Cuaderno de Ecuaciones Diferenciales

5/7/2018 Cuaderno de Ecuaciones Diferenciales - slidepdf.com

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ECUACIONES DIFERENCIALES

DEFINICIÓN: Una ecuación que contiene las derivadas a diferenciales de una o

más variables dependientes con respecto a una o más variables independientesCLASIFICACIÓN DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES

Ordinarias: La ecuación diferencial contiene derivadas de una o másvariables dependientes con respecto a una sola variableindependiente

TIPO

Parciales: La ecuación diferencial contiene derivadas parciales deuna o más variables dependientes con respecto a dos o másvariables independientes

Primer orden F( x, y, y’)=0

Segundo orden F(x, y, y’, y’’)=0

ORDEN Tercer orden F(x, y, y’, y ’’,y’’’)=0

………………

Orden n F(x, y, y’,…,)=0

a) La variable dependiente y, y todas sus derivadas son deprimer orden

Lineales b) Cada coeficiente de y, y sus derivadas depende solamente

de la variable independiente x.

GRADO

No Lineales Las que no cumplen las propiedades anteriores



SOLUCIÓN DE UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL:

Es una función que no contiene derivadas y que satisface la dicha ecuación, esdecir, al sustituir la función y sus derivadas en la ecuación diferencial resulta unaidentidad

y=f(x).

Solución General: Es la diferencia que contiene una o más constantesarbitrarias (obtenidas de las sucesivas integraciones).Solución Particular: Es la función cuyas constantes arbitrarias toman unvalor específico.Solución Singular: Es una función cuya tangente a su gráfica en cualquierpunto (x0,y0) coincide con esta última tangente.Si una función satisface una ecuación diferencial y no puede obtenerse de

la solución general (dando valores específicos a las constantes).

PROBLEMA DE VALOR INICIAL

Es la ecuación diferencial acompañada de condiciones iniciales solución quesatisface alguna condición de la forma:

y(x0)=y0

ECUACIÓN ES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN

DEFINICIÓN: Una ecuación diferencial de primer orden es de la forma F(x, y, y’)=0 si se

puede resolver respecto a la derivada y’, se tiene entonces:

y’=f(x, y)

Ejemplos de solución:

1.

2. =0



3.

FORMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN

La ecuación diferencial de primer orden con una función y incógnita resulta conrelación a la derivada y’, tiene la forma:

y’= f(x, y) (1)

donde f(x, y), es una función dada. En algunos casos, es conveniente considerar

como función incógnita la variable x y escribir la ecuación (1) en la forma

x’=g(x, y) (1’)

donde g(x, y)=

teniendo en cuenta que

, las ecuaciones diferenciales (1) y (1’) se

puede escribir en forma simétrica.

P(x, y)dx + Q(x, y)dy =0 (2)

Donde P(x, y) y Q(x, y) son funciones conocidas.

Por solución de la ecuación (2) se entiende la función de la forma

Que satisface a esta ecuación, la integral general de las ecuaciones (1) y (1’) o dela ecuación 2; tiene la forma:

donde c es una constante arbitraria.

MÉTODO DE VARIABLES SEPARABLES:

Se dice que una ecuaicón diferencial de primer orden de la forma:



Es separable o de variables separables.

Se puede escribir como:

Que es una expresión integrable de modo que:

Donde c es una constante de integración, es la solución buscada.

ECUACIONES QUE SE REDUCEN A VARIABLES SEPARABLES:

Ecuaciones de la forma , con a, b, c constantes

Método de la Solución:

Se hace la sustitución . Es claro que por lo tanto

, de donde

,Se tiene entonces las siguientes

equivalencias.

La última ecuación es a variables separadas y su solución es :

A toda integral , de esta ecuación corresponde la integral

De la ecuación

Ejercicios:

1.



2.

3.

4.

Ecuaciones que se reducen a Variables Separables:

Casos:

a)

b)



Ejercicios:

1.

2.

ECUACIONES HOMOGÉNEAS

Una función f(x, y) de dos variables se dice que es homogénea de grado n siverifica la siguiente condición:



Ejemplo:

Grado= 3

Solución de Homogéneas

ECUACIONES QUE SE REDUCEN A HOMOGÉNEAS:

L1 no es paralela a L2 Hallar h y k Sustituir

Ejemplo:



ECUACIONES DIFERENCIALES EXACTAS

La sencilla ecuación y dx + x dy = 0 es separable, pero también equivale a ladiferencial del producto de x por y; esto es, y dx + x dy = d (xy) = 0. Al integrar obtenemos de inmediato la solución implícita xy = c.

Si , para que sea una diferencial exacta esque:

Ejemplo:



FACTOR INTEGRANTE

Si

Es continuo y depende solamente de x, entonces:

es un factor integrante de la ecuación.

Si

es continuo y depende solamente de y, entonces

Ejemplo:



u=x

ECUACIÓN DIFERENCIAL LINEAL DE PRIMER ORDEN

Una ecuación diferencial de primer orden, de la forma

es una ecuación lineal.

Solución de la ecuación diferencial lineal de primer orden

i) Para resolver una ecuación lineal de primer orden, primero se conviertea la forma de

ii) Hay que identificar P(x) y definir el factor integrante,iii) La ecuación obtenida en el paso i se multiplica por el factor integrante:

iv) El lado izquierdo de la ecuación obtenida en el paso iii es la derivadadel producto del factor integrante por la variable dependiente, y; esto es,



v) Se integran ambos lados de la ecuación obtenida en el paso iv.

Ejemplo:

ECUACIONES DIFERENCIALES DE BERNOULLI

Ejemplo:

,



APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN

Crecimiento y Decaimiento: El problema de valor inicial

En donde k es una constante de proporcionalidad, se emplea como modelo dedistintos fenómenos donde intervienen crecimiento o decrecimiento(desintegración).

Cambio de Temperatura

Ley de Newton del enfriamiento la ley empírica de Newton, relativa al enfriamientode un objeto, se expresa con la ecuación diferencial lineal de primer orden

En que k es una constante de proporcionalidad, T(r) es la temperatura del objetocuando t > 0 y es la temperatura ambiente; o sea, la temperatura del medio querodea al objeto.

Circuitos Eléctricos:

Circuitos en serie: Cuando un circuito en serie sólo contiene un resistor y uninductor (circuito LR), la segunda ley de Kirchhoff establece que la suma de lascaídas de voltaje a través del inductor (L(di/dt)) y del resistor (iR) es igual al voltajeaplicado, (E(t)), al circuito (Fig. 3.5).



La caída de voltaje a través de un capacitar de capacitancia C es q(t)lC, donde q es la carga del capacitar; por lo tanto, para el circuito en serie de la figura 3.6(circuito RC), la segunda ley de Kirchhoff establece

(9)Pero la corriente i y la carga q se relacionan mediante i = dqldt, así, la ecuación (9)

se transforma en la ecuación diferencial lineal

ECUACIONES DIFERENCIALES DE SEGUNDO ORDEN

Las ecuaciones diferenciales de segundo orden son de la forma donde f es una función dada en la variable independiente x y en la variabledependiente y.

Una ecuación diferencial de segundo orden involucra una segunda derivada, seránnecesarias dos integraciones para hallar su solución. Así, al considerar laecuación:

Ecuaciones Diferenciales de Segundo Orden con coeficientes constantes

Una ecuación diferencial de segundo orden es de la forma:



Si g(x) =0 se llama Ecuación Diferencial Homogénea caso contrario, es decir, se llama Ecuación no Homogénea.

Ecuación Diferencial de Segundo Orden con coeficientes ctes EcuacionesHomogéneas

La ecuación lineal homogénea de segundo orden con coeficientes constantes p yq es de la forma:

La solución general de la ecuación se escribe de las formas siguientes:

, si son reales k1 y k2 y , si k1=k2;

, si

,

OPERADOR ANULADOR

Si L es un operador diferencial con coeficientes constantes y f es una funciónsuficientemente diferenciable tal que L(f(x))=0 se dice que L es un anulador de lafunción; por ejemplo, una función constante como y = k es anulada por D porqueDk = 0. La función y = x es anulada por el operador diferencial porque laprimera y segunda derivadas de x son 1 y 0, respectivamente. En forma similar, .

El operador diferencial anula cada una de las siguientes funciones:

El operador diferencial nula cada una de las siguientes funciones

El operador anulador anula cada una de las siguientesfunciones:



COEFICIENTES INDETERMINADOS

si L(y) = g(x) es una ecuación diferencial lineal con coeficientes constantes,y que la entrada g(x) es una combinación lineal de funciones de la forma

VARICAIÓN DE PARÁMETROSEl procedimiento que seguimos en la sección para llegar a una solución particularde una ecuación diferencial lineal de primer orden.

en un intervalo se aplica también a ecuaciones lineales de orden superior. Paraadaptar el método de variación de parámetros a una ecuación diferencial desegundo orden,

forma reducida

yp = u(x)yl(x)

(6)



(7)Por lo general, no se aconseja memorizar fórmulas, sino más bien comprender unprocedimiento. Sin embargo, el procedimiento anterior es demasiado largoy complicado para recurrir a él cada que deseemos resolver una ecuacióndiferencial. En este caso lo más eficaz es usar las formulas (6). Así, para resolver

primero se halla la función complementaria

y después se calcula el wronskiano W(y2(x),y2(x))). Se divideentre a2 para llevar la ecuación a su forma reducida y” + Py’ + Qy =f(x) para hallar-

f(x). Se determinan ut y u2 integrando, respectivamente,se definen WI y W2 de acuerdo con (7). Una solución particular

es La solución general de la ecuación es, por consiguiente,y = yc + yp

Sistemas de resorte y masa: movimiento libre no amortiguado

Ley de Hooke: Supongamos que, como en la figura 5.l(b), una masa m1 estáunida a un resorte flexible colgado de un soporte rígido. Cuando se reemplaza rn1con una masa distinta m2, el estiramiento, elongación o alargamiento del resortecambiará, soporte rígido. Cuando se reemplaza rn1 con una masa distinta m2, elestiramiento, elongación o alargamiento del resorte cambiará

Según la ley de Hooke, el resorte mismo ejerce una fuerza de restitución, F,

opuesta a la dirección del alargamiento y proporcional a la cantidad dealargamiento s. En concreto, F = Rs, donde k es una constante deproporcionalidad llamada constante del resorte. Aunque las masas con distintospesos estiran un resorte en cantidades distintas, este está caracterizado



Sistemas de resorte y masa: movimiento amortiguado libreEl concepto del movimiento armónico libre no es realista porque el movimiento quedescribe la ecuación (1) supone que no hay fuerzas de retardo que actúan sobrela masa en movimiento.A menos que la masa esté colgada en un vacío perfecto, cuando menos habráuna fuerza de resistencia debida al medio que rodea al objeto. Según se advierteen la figura 5.6, la masa podría estar suspendida en un medio viscoso o conectadaa un dispositivo amortiguador.

Ecuación diferencial del movimiento amortiguado libreLas fuerzas de amortiguamiento que actúan sobre un cuerpo son proporcionalesa alguna potencia de la velocidad instantánea. En particular, supondremos en elresto de la descripción que esta fuerza está expresada por un múltiplo constantede Cuando no hay otras fuerzas externas aplicadas al sistema, se siguepor la segunda ley de Newton:

Circuitos en serieLRC Según planteamos en la introducción a este capítulo, diversos sistemasfísicos se pueden describir con una ecuación diferencial lineal de segundo ordensemejante a la de las oscilaciones forzadas con amortiguamiento:



Si i(t) representa la corriente en el circuito eléctrico en serie LRC de la figura5.15, las caídas de voltaje a través del inductor, resistor y capacitar son las quemuestra la figura 1.13. De acuerdo con la segura ley de Kirchhoff, la suma de esascaídas es igual al voltaje E(t) aplicado al circuito; esto es,

(34)Si E(t) = 0, las vibraciones eléctricas del circuito se llaman libres. Como la

ecuación auxiliar de la (34) es 0, habrá tres formas de la solución

cuando R 0, dependiendo del valor del discriminante se dice que elcircuito es:

TRANSFORMADA DE LAPLACE

Sea f una función definida para Entonces la Integral:

Cuando la integral converge, el resultado es una función de s. En la descripcióngeneral emplearemos letras minúsculas para representar la función que s e va atransformar y la mayúscula correspondiente para denotar su transformada deLaplace; por ejemplo:

Transformadas de algunas funciones básicas



TRANSFORMADA DE LA DERIVADA

Suponiendo que f(x) es continua y que f’(x) es seccionalmente continua en el

intervalo donde k, a y M son constantes.Entonces f {x} existe para s >a

De igual forma, la transformada de la segunda derivada es

Forma General de la transformada de la Derivada



Algunas Transformadas de la Inversa

Ejemplo:

Aplicación:1. Aplicar la transformada de Laplace a los 2 miembros de la Ecuación

Diferencial y sustituir las condiciones iniciales.2. Despejar o Obtener F(s).3. Aplicar la Transformada inversa de Laplace4. Escribir la solución.

Ejemplo:



SISTEMA DE ECUACIONES DIFERENCIALES- MÉTODO DE LOSOPERADORES

Las ecuaciones diferenciales ordinarias comprenden dos o más ecuaciones quecontienen las derivadas de dos o más funciones incógnitas de una sola variablesindependiente. Si x,

y dos funciones de la variable t, entonces:

Son dos ejemplos de sistemas de ecuaciones diferenciales simultáneas.

Solución de un sistema:

Una solución de un sistema de ecuaciones diferenciales es un conjunto defunciones diferenciales que satisfacen cadaecuación en algún intervalo I.Eliminación sistemática: la primera técnica para resolver sistemas se basa en elprincipio fundamental de eliminación algebraica sistemática de las variables,veremos que lo análogo de multiplicar una ecuación diferencial con algunacombinación de derivadas.



Puede ser escrita:

Ejemplo:



MÉTODO DELA TRANSFORMADA DE LAPLACE

Cuando se especifican las condiciones iniciales, la transformada de Laplacereduce un sistema de ecuaciones diferenciales lineales con coeficientesconstantes a un conjunto de ecuaciones algebraicas simultáneas para lasfunciones transformadas.

Ejemplo:



SISTEMA DE ECUACIONES DE PRIMER ORDEN

(3)Un sistema con la forma de las ecuaciones (3) se denomina sistema lineal deorden n, o simplemente sistema lineal. Se supone que los coeficientes, y lasfunciones, fi, son continuos en un intervalo común, I. Cuando = 0, i = 1,2, . . .,n, se dice que el sistema lineal es homogéneo; en caso contrario, es nohomogéneo.Forma Matricial de un Sistema lineal



Si el sistema es homogéneo, su forma matricial esX’ = AX. Forma Matricial de un Sistema Homogéneo

En dondeForma Matricial de un Sistema no Homogéneo

En dondeUn vector solución en un intervalo I es cualquier matriz columna



Cuyos elementos son funciones diferencialesEjemplo de Ecuaciones Homogéneas

Para =3

Matriz fundamentalSea:



Un conjunto fundamental de n vectores solución del sistema homogéneo (3) en unintervalo I . En tal caso decimos que la matriz

(3)

Es una matriz fundamental del sistema en el intervalo.Ejemplo:

Matriz fundamental del sistema en el intervalo es:

una solución particular del sistema no homogéneoX’ = AX + F(t).

Solución de un sistema no homogéneo



Ejemplo de un sistema de Ecuaciones No homogéneo

1= -2 y 2= -5.

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