Cuaderno de Ejercicios de Circuitos Electricos Libro

5/25/2018 Cuaderno de Ejercicios de Circuitos Electricos Libro

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UNIVERSIDAD DE QUINTANA ROODivisin de Ciencias e Ingeniera

Ingeniera en Redes

Cuaderno de Ejercicios De

Circuitos Elctricos

Dr. Homero Toral Cruz

Dr. Freddy Ignacio Chan Puc

M.C. Emmanuel Torres Montalvo

Documento aprobado en reunin de Academia de Redes

21 de Diciembre de 2011



CONTENIDO

1. Introduccin............................................................................................................................ 5

2. Carga, Corriente, Voltaje, Potencia y Energa ............................................................................ 6

Ejercicio 2.1 .................................................................................................................................... 6

Ejercicio 2.2 .................................................................................................................................... 6

Ejercicio 2.3 .................................................................................................................................... 7

Ejercicio 2.4 .................................................................................................................................... 8

3. Ley de Ohm ........................................................................................................................... 10

Ejercicio 3.1 .................................................................................................................................. 10

Ejercicio 3.2 .................................................................................................................................. 11

Ejercicio 3.3 .................................................................................................................................. 12

Ejercicio 3.4 .................................................................................................................................. 14

Ejercicio 3.5 .................................................................................................................................. 14

Ejercicio 3.6 .................................................................................................................................. 15

Ejercicio 3.7 .................................................................................................................................. 15

4. Leyes de Kirchhoff ................................................................................................................. 16

Ejercicio 4.1 .................................................................................................................................. 16

Ejercicio 4.2 .................................................................................................................................. 17

Ejercicio 4.3 .................................................................................................................................. 19

Ejercicio 4.4 .................................................................................................................................. 20

Ejercicio 4.5 .................................................................................................................................. 21

Ejercicio 4.6 .................................................................................................................................. 22

Ejercicio 4.7 .................................................................................................................................. 24

Ejercicio 4.8 .................................................................................................................................. 25

Ejercicio 4.9 .................................................................................................................................. 26

Ejercicio 4.10 ................................................................................................................................ 26

5. Divisores de voltaje y de corriente ......................................................................................... 28

Ejercicio 5.1 .................................................................................................................................. 28

Ejercicio 5.2 .................................................................................................................................. 29

Ejercicio 5.3 .................................................................................................................................. 30



CUADERNO DE EJERCICIOS DE CIRCUITOS ELCTRICOS

3

Ejercicio 5.4 .................................................................................................................................. 30

Ejercicio 5.5 .................................................................................................................................. 31

Ejercicio 5.6 .................................................................................................................................. 32

Ejercicio 5.7 .................................................................................................................................. 34

Ejercicio 5.8 .................................................................................................................................. 35

Ejercicio 5.9 .................................................................................................................................. 36

Ejercicio 5.10 ................................................................................................................................ 36

6. Anlisis de Mallas y Nodos..................................................................................................... 38

Ejercicio 6.1 .................................................................................................................................. 38

Ejercicio 6.2 .................................................................................................................................. 39

Ejercicio 6.3 .................................................................................................................................. 40

Ejercicio 6.4 .................................................................................................................................. 42

Ejercicio 6.5 .................................................................................................................................. 44

Ejercicio 6.6 .................................................................................................................................. 45

Ejercicio 6.7 .................................................................................................................................. 46

Ejercicio 6.8 .................................................................................................................................. 47

Ejercicio 6.9 .................................................................................................................................. 50

Ejercicio 6.10 ................................................................................................................................ 51

7. Superposicin ....................................................................................................................... 54

Ejercicio 7.1 .................................................................................................................................. 54

Ejercicio 7.2 .................................................................................................................................. 55

Ejercicio 7.3 .................................................................................................................................. 57

Ejercicio 7.4 .................................................................................................................................. 58

Ejercicio 7.5 .................................................................................................................................. 60

Ejercicio 7.6 .................................................................................................................................. 62

Ejercicio 7.7 .................................................................................................................................. 64

8. Teoremas de Thevenin y Norton ............................................................................................ 66

Ejercicio 8.1 .................................................................................................................................. 66

Ejercicio 8.2 .................................................................................................................................. 68

Ejercicio 8.3 .................................................................................................................................. 70

Ejercicio 8.4 .................................................................................................................................. 71

Ejercicio 8.5 .................................................................................................................................. 74




4

Ejercicio 8.6 .................................................................................................................................. 76

Ejercicio 8.7 .................................................................................................................................. 77

Ejercicio 8.8 .................................................................................................................................. 79

Ejercicio 8.9 .................................................................................................................................. 79

Ejercicio 8.10 ................................................................................................................................ 81

9. Circuitos RL, RC y RLC ............................................................................................................ 83

Ejercicio 9-1 .................................................................................................................................. 83

Ejercicio 9-2 .................................................................................................................................. 84

Ejercicio 9-3 .................................................................................................................................. 85

Ejercicio 9-4 .................................................................................................................................. 87

Ejercicio 9-5 .................................................................................................................................. 88

Ejercicio 9-6 .................................................................................................................................. 91

Ejercicio 9-7 .................................................................................................................................. 92

10. Referencias ....................................................................................................................... 97




5

1. Introduccin

El anlisis de circuitos no solo es fundamental para las reas de ingeniera electrnica y elctrica,

los conceptos estudiados en este tpico tienen un amplio alcance en diversas reas, tales como

computacin, redes, etc. En la actualidad este tema recibe menos atencin en los planes de

estudio que en el pasado, debido a diversas situaciones, que van desde la posibilidad de reducir el

nmero total de horas de clase o incluso el aumento de asignaturas bsicas [1].

El principal objetivo de este cuaderno de ejercicios es desarrollar habilidades a estudiantes de

licenciatura en la solucin de problemas, mediante un conjunto de ejercicios seleccionados

cuidadosamente para lograr un mejor entendimiento de la parte conceptual y los diversos

mtodos de solucin de problemas.

El presente cuaderno de ejercicios contiene una coleccin de problemas de los principales temas

abordados en la asignatura de Circuitos Elctricos, tales como:

Carga, Corriente, Voltaje, Potencia y Energa

Ley de Ohm

Leyes de Kirchhoff

Divisores de voltaje y corriente

Anlisis de Mallas y Nodos

Superposicin

Teoremas de Thvenin y Norton

Circuitos RL, RC, y RLC




6

2. Carga, Corriente, Voltaje, Potencia y Energa

Ejercicio 2.1

Obtenga el flujo de corriente en un elemento, cuando la carga que ha entrado al elemento es

q =12tC

En donde tes el tiempo en segundos.

Solucin

Recuerde que la unidad de carga es el coulomb, C. Debido a que la corriente est dada por la

ecuacin , entonces:

= 12 A

Donde la unidad de corriente es el ampere, A.

Ejercicio 2.2

Calcule la carga que ha entrado a la terminal de un elemento, en el momento tcuando la corrientees

=Mt, t

Como se muestra en la Figura 1, siendoMconstante. Suponga que la carga es cero cuando t=0(q(0) = 0).

Figura 2.1 Rampa con pendienteM

Solucin

De la ecuacin se tiene

q =




7

Ejercicio 2.3

Determine la carga que ha entrado a la terminal de un elemento desde t= 0 s hasta t = 3 s cuando

la corrientes es como aparece en la Figura 2.2.

Figura 2.2 Seal de corriente para el ejercicio 2.3

Solucin

De la Figura 2.2, (t) puede describirse como

Usando la ecuacin , se tiene:

De otra manera, se observa que en la integracin de de t= 0 a t= 3 s slo es necesario

calcular el rea bajo la curva mostrada en la Figura 2.2.

As, se tiene

q = 1 + 2 x 2 = 5 C




8

Ejercicio 2.4

Calcule la carga q(t) y trace su grfica cuando la corriente que entra a la terminal de un elemento

es como se muestra en la Figura 2.3. Suponga que q(0) = 0

Figura 2.3 Seal de corriente para el ejercicio 2.4

Solucin

De la Figura 2.3, puede describirse como

Usando la ecuacin , se tiene:

q(t) =

Luego, cuando 0 t , se tiene

C

Cuando t se obtiene

En la Figura 2.4 aparece la grfica de q(t). Observe que q(t) es una funcin continua pese a quetiene una discontinuidad en t = 0.




9

Figura 2.4 Grfica de q(t)para el ejercicio 2.4

Ejercicio 2.5

Una fuente de energa fuerza una corriente constante de 2 durante 10 para que fluya por unabombilla elctrica. Si 2.3 se emiten en forma de luz y energa termina, calcule la cada detensin en la bombilla.

Solucin

La cada de tensin es

Ejercicio 2.6

Halle la potencia que se entrega a un elemento en si la corriente que entra a su terminalpositiva es:

y la tensin es: a) b)

Solucin

a) La tensin es as, la potencia es:

En




10

b) Se encuentra la tensin y la potencia como

En ,

Ejercicio 2.7

Cunta energa consume una bombilla elctrica de 100 en dos horas?

Solucin

Esto es lo mismo que:

3. Ley de Ohm

Ejercicio 3.1

a) Determine la corriente y la potencia que absorbe el resistor de la Figura 3.1a.b) Encontrar los valores de en la red de la Figura 3.1b.

Figura 3.1 Circuitos para el ejercicio 3.1

(a)

12 V Vs4mA

R

(b)

P = 80 mW+

_




11

Solucin

a)

Usando la ecuacin , la corriente es:

La potencia que absorbe el resistor est dada por:

b)

Usando la relacin de potencia, se tiene que:

El voltaje se puede obtener empleando la ley de Ohm

Ejercicio 3.2

En el circuito que se muestra en la Figura 3.2, calcule la corriente , la conductancia y lapotencia .

Figura 3.2 Circuitos para el ejercicio 3.2




12

Solucin

La tensin en el resistor es la misma que la tensin de la fuente porque ambos estnconectados al mismo par de terminales. Por lo tanto, la corriente es igual a

La conductancia es

Es posible calcular la potencia de diversas maneras utilizando las ecuaciones.

Ejercicio 3.3

En cada circuito de la Figura 3.3, se desconoce el valor de o el de .

a) Calcule los valores de e .

b) Determine la potencia que disipa cada resistor.




13

Figura 3.3 Circuitos para el ejemplo 2.3

Solucin

a) El voltaje en la Figura 3.3 (a) es una cada en la direccin de la corriente en el resistor.Por lo tanto:

La corriente en el resistor con una conductancia de 0.2 S en la Figura 3.3 (b) va en ladireccin de la cada de voltaje a travs del resistor. As,

El voltaje en la Figura 3.3 (c) es una elevacin de voltaje en la direccin de lacorriente. Por lo tanto,

La corriente en el resistor de de la Figura 3.3 (d) va en la direccin de la elevacinde voltaje a travs del resistor. Por lo que




14

b) La potencia que disipan cada uno de los cuatro resistores es:

Ejercicio 3.4

Determine la corriente resultante de la aplicacin de una batera de a travs de una red conuna resistencia de .

Figura 3.4 Circuito del ejercicio 3.4

Solucin

Ejercicio 3.5

Calcule la resistencia de un foco de si se produce una corriente de a partir de unvoltaje aplicado de




15

Solucin

Ejercicio 3.6

Calcule la corriente por el resistor de de la Figura 3.5 si la cada de voltaje a travs de l esde


Solucin

Ejercicio 3.7

Calcule el voltaje que debe aplicarse a travs del acero para soldadura de la Figura 3.6 con el finde establecer una corriente de por el acero si su resistencia interna es de .


Solucin

R

-

----->

I2 k

R

------

E

-




16

4. Leyes de Kirchhoff

Ejercicio 4.1

En el circuito de la Figura 4.1 se ha empleado la convencin pasiva para asignar direcciones dereferencia a los voltajes y corrientes en los resistores. Esto se hace para poder aplicar la ley deOhm. Calcule cada corriente y cada voltaje cuandoR1 = 8 , , y

. Adems, determine la resistenciaR2.

Figura 4.1 Circuito con dos fuentes de voltaje constantes

Solucin

La suma de las corrientes que entran al nodo a est dada por:

Al usar la ley de Ohm paraR3 se encuentra que

La ley de voltajes de Kirchhoff en la malla del lado izquierdo que contiene y y la fuentede -10 V, es

Por tanto,

Aplicando la ley de Ohm para el resistorR1

o




17

Dado que ya se ha hallado A e A como se estableci originalmente, entonces

Ahora se puede calcular la resistenciaR2 de

donde

Ejercicio 4.2

Determinar el valor de la corriente, en amperes, medido mediante el ampermetro en la Figura4.2a.

Figura 4.2a Un circuito con una fuente dependiente y un ampermetro

Solucin

Un ampermetro ideal es equivalente a un corto circuito. La corriente medida mediante elampermetro es la corriente de corto circuito. La Figura 4.2b muestra el circuito despus de

reemplazar el ampermetro mediante el corto circuito equivalente.

Figura 4.2b El circuito equivalente despus de reemplazar el ampermetromediante un corto circuito




18

El circuito se ha redibujado en la Figura 4.3 para etiquetar los nodos del circuito. Este circuitoconsiste de una fuente de voltaje, una fuente de corriente dependiente, dos resistores y dos cortos

circuitos. Uno de estos cortos circuitos es el elemento de control de la fuente de corrientecontrolada por corriente (FCCC) y el otro es el modelo del ampermetro.

Figura 4.3 El circuito de la Figura 4.2 despus de etiquetar los nodos yalgunas corrientes y voltajes de los elementos

Aplicando dos veces la ley de corriente de Kirchhoff (LKC), una vez en el nodo dy de nuevo enel nodo a, se ve que la corriente en la fuente de voltaje y la corriente en el resistor de 4 ambas iguales a . Estas corrientes se pueden identificar en la Figura 4.3. Aplicando de nuevo laLCK, en el nodo c, se ve que la corriente en el resistor de 2 . Esta corriente seetiqueta en la Figura 4.3.

Despus la ley de Ohm nos dice que el voltaje a travs del resistor de 4 y elvoltaje a travs del resistor de 2 . Ambos voltajes se etiquetan en la Figura 4.3.

Al aplicar la LCK en el nodo b da por resultado

Al aplicar la ley de voltaje de Kirchhoff (LVK) a la trayectoria cerrada a-b-c-e-d-a da porresultado

Por ltimo al resolver esta ecuacin da por resultado




19

Ejercicio 4.3

Determinar el valor del voltaje, en volts, medido mediante el voltmetro en la Figura 4.4a.

Figura 4.4a. Un circuito con una fuente dependiente y un voltmetro

Solucin

Un voltmetro ideal es equivalente a un circuito abierto. El voltaje medido mediante el voltmetroes el voltaje a travs del circuito abierto. La Figura 4.4b muestra el circuito despus dereemplazar el voltmetro por el circuito abierto equivalente.

Figura 4.4b. El circuito equivalente despus de reemplazar el voltmetropor un circuito abierto

El circuito se ha redibujado en la Figura 4.5 para etiquetar los nodos del circuito. Este circuitoconsiste de una fuente de voltaje, una fuente de voltaje dependiente, dos resistores, un cortocircuito y un circuito abierto. El corto circuito es el elemento de control de la fuente de voltajecontrolada por corriente (FVCC) y el circuito abierto es un modelo del voltmetro.




20

Figura 4.5 El circuito de la Figura 4.4b despus de etiquetar los nodos yalgunas corrientes y voltajes de los elementos

Aplicando dos veces la LCK, una vez en el nodo dy de nuevo en el nodo a, se ve que la corrienteen la fuente de voltaje y la corriente en el resistor de 8 . Estas corrientes

se etiquetan en la Figura 4.5. Aplicando de nuevo la LCK, en el nodo c, se ve que la corriente enel resistor de 5 etiqueta en la Figura 4.5. La ley de Ohm nos dice que el voltaje a travs del resistor de 5 tambin igual a cero.

Despus de aplicar la LVK a la trayectoria cerrada b-c-f-e-b da por resultado

Al aplicar la LVK a la trayectoria cerrada a-b-e-d-a da por resultado

de esta manera

Por ltimo

Ejercicio 4.4

Sume las corrientes en cada nodo del circuito que se muestra en la Figura 4.6. Observe que nohay punto de conexin en el centro del diagrama, en donde la rama de cruza la rama que

contiene la fuente de corriente ideal .




21

Figura 4.6 El circuito para el ejercicio 4.4

Solucin

Al escribir las ecuaciones, usamos signo positivo para la corriente que deja un nodo. Las cuatroecuaciones son

Nodo a

Nodo b

Nodo c

Nodo d

Ejercicio 4.5

Sume los voltajes alrededor de cada trayectoria designada en el circuito que se indica en la Figura4.7.




22

Figura 4.7 El circuito para el ejercicio 4.5

Solucin

Al escribir las ecuaciones empleamos un signo positivo para las cadas de voltaje. Las cuatroecuaciones son

Trayectoria a

Trayectoria b

Trayectoria c

Trayectoria d

Ejercicio 4.6

Para el dispositivo que se muestra en la Figura 4.8 se midieron el voltaje y la corriente en lasterminales, los valores de e se tabulan e la Tabla 4.1.




23

Tabla 4.1 Datos para el ejercicio 4.6

30 015 30 6

Figura 4.8 Dispositivo

a) Construya un modelo para el dispositivo que est en el interior de la caja.b) Empleando el modelo del circuito, trate de predecir la potencia que entregara el aparato a

un resistor de .

Solucin

a) Despus de graficar el voltaje como una funcin de corriente se obtiene la grfica de laFigura 4.9 (a), donde .

Figura 4.9 (a) la grfica de en funcin de para el dispositivo de la Figura 4.8. (b) El modelo decircuito resultante para el dispositivo de la Figura 4.8, conectado a un resistor de




24

Necesitamos identificar los componentes de un modelo de circuito que produzca la mismarelacin entre el voltaje y la corriente. La ley del voltaje de Kirchhoff nos dice que las

cadas de voltaje a travs de dos componentes en serie se suman. De la ecuacin, uno delos componentes produce una cada de sin importar la corriente. Este componentepuede modelarse como una fuente ideal independiente de voltaje.El otro componente produce una cada de voltaje positiva en la direccin de la corriente

. Ya que la cada de voltaje es proporcional a la corriente, la ley de Ohm nos dice queeste componente puede modelarse como un resistor ideal con un valor de . El modelodel circuito resultante se presenta en la Figura 4.9 (b) dentro del cuadro de lneaspuntadas.

b) Ahora aadimos un resistor de al dispositivo de la Figura 4.9 (b) para completar elcircuito. La ley de la corriente de Kirchhoff nos dice que la corriente en el resistor de

es la misma corriente que en el resistor de . Empleando la ley de voltaje deKirchhoff y la ley de Ohm, podemos escribir la ecuacin de la cada de voltaje alrededordel circuito empezando en la fuente de voltaje y procediendo en el sentido de giro de lasmanecillas del reloj:

Resolviendo para , obtenemos

Debido a que este es el valor de la corriente que fluye en el resistor de , podemos usarla ecuacin de la potencia para calcular la potencia entregada a este resistor:

Ejercicio 4.7

En referencia al circuito de la Figura 4.10a), halle las tensiones y

Figura 4.10 Figura del ejercicio 4.7




25

Solucin

Para hallar y se aplica la ley de ohm y la ley de tensin de Kirchhoff. Supngase que lacorriente fluye a travs del lazo como se muestra en la Figura 4.10b) con base a la ley de ohm,

La aplicacin de la LTK alrededor del lazo produce

Al sustituir

o

Al sustituir se origina finalmente

Ejercicio 4.8

Determine e en el circuito que aparece en la Figura 4.11 a).

Figura 4.11 Figura del problema 4.8

Solucin

Se aplica la LVK a lo largo del lazo como se indica en la Figura 4.11 b). El resultado es

La aplicacin de la ley de ohm al resistor de produce

Sustituyendo




26

Ejercicio 4.9Hallar la corriente y la tensin en el circuito que aparece en la Figura 4.12

Figura 4.12 Figura de problema 4.9

Solucin:

Al aplicar la LCK al nodo se obtiene

En cuando el resistor de 6

Ejercicio 4.10

Halle las corrientes y tensiones en el circuito que se presenta en la Figura 4.13 a)





27

Solucin

Se aplica la ley ohm y las leyes de Kirchhoff. Por efecto de la ley de ohm,

Puesto que la tensin y la corriente de cada resistor estn relacionados por la ley de ohm como seindica, en realidad se estn buscando tres cosas ( ) o ( ). En el nodo , la LCK dacomo resultado.

Al aplicar la LTK al lazo 1 como en la Figura 4.13 b)

Se expresa esto en trminos de e para obtener

o sea,

Al aplicar la LVK al lazo 2

Como era de esperar, ya que los dos resistores estn en paralelo. Se expresa y en trminosde e .

La sustitucin de las ecuaciones y en la ecuacin , produce

Despejando , se obtiene: . Con el valore de , se hacen las sustitucionescorrespondientes y se obtienen:




28

5. Divisores de voltaje y de corriente

Ejercicio 5.1

Usando la regla divisora del voltaje, determine los voltajes para el circuito en serie de laFigura 5.1


Solucin

R2

R3

V1 45 V

-

+

V3

-

V

-




29

Ejercicio 5.2

Disee el divisor de voltaje de la figura 5.2 de modo que


Solucin

La resistencia total se define mediante

Dado que

Por tanto




30

Ejercicio 5.3

Encuentre la corriente para la red de la Figura 5.3.


Solucin

Existen dos opciones para despejar este problema. La primera es mediante el clculo de laconductancia

y

Ejercicio 5.4

Determine la magnitud de las corrientes para la red de la Figura 5.4.




31


Solucin

Mediante la regla divisora de corriente,

Aplicando la Ley de la corriente de Kirchhoff,

o usando la regla divisora de corriente otra vez,

La corriente total que entra a las ramificaciones en paralelo debe ser igual a la que sale, por tanto,

Ejercicio 5.5

Determine la resistencia para efectuar la division de la corriente de la Figura 5.5.




32


Solucin

Aplicando la regla divisora de corriente.

Ejercicio 5.6

Halle y en el circuito mostrado en la Figura 5.6 a). Calcule la potencia disipada en elresistor de 3




33

Figura 5.6 a) Circuito original, b) Su circuito equivalente

Solucin

Los resistores de 6 y 3

En consecuencia, el circuito se reduce al mostrado en la Figura 5.6 b). Ntese que no se veafectado por la combinacin de los resistores, porque los resistores estn en paralelo, y por lotanto tienen la misma tensin . En la Figura 5.6 b) se puede obtener de dos maneras una de

ellas es aplicar la ley de ohm para obtener

Y por lo tanto Otra manera es aplicar la divisin de tensin, ya que los12 de la Figura 5.6 b) se dividen entre los resistores de 4 y 2

De igual forma, puede obtenerse de dos maneras. Un mtodo es aplicar la ley de ohm alresistor de 3 a) ahora que se conoce asi,

Otro mtodo es aplicar la divisin de corriente al circuito de la Figura 5.6 a) ahora que se conoce, escribiendo




34

La potencia disipada en el resistor de 3

Ejercicio 5.7

En referencia al circuito que se muestra en la Figura 5.7 a), determine: a) la tensin , b) lapotencia suministrada por la fuente de corriente, c) la potencia absorbida por cada resistor.


Solucin

a) Los resistores de 6 y 12 . de este modo, el circuito de la Figura 5.7 a) se transforma en el que se muestra en la

Figura 5.7 b). Ahora se aplica la tcnica de divisin de corriente para hallar e .

Advirtase que la tensin a lo largo de los resistores de 9 y 18 es el mismo y que, como se esperaba.

b) La potencia absorbida por la fuente es

c) La potencia absorbida por el resistor de 12k




35

La potencia absorbida por el resistor de 6

La potencia absorbida por el resistor de 9 es

O sea

Ntese que la potencia suministrada (5.4 ) es igual a la potencia absorbida () esta es una manera de comprobar resultados.

Ejercicio 5.8

Determine en el circuito de la Figura 5.8 a.

Solucin

Combinamos primero los resistores de y , sustituyndolos por:

Puesto que aparece en los extremos de la combinacin en paralelo, nuestra simplificacin noha perdido esta cantidad. Sin embargo, una simplificacin adicional del circuito al sustituir lacombinacin en serie del resistor de por un nuevo resistor de producira dicha situacin.

En consecuencia, procedemos aplicando slo la divisin de tensin al circuito de la Figura 5.8 b.





36

Ejercicio 5.9

Escriba una expresin para la corriente que pasa por el resistor de en el circuito de la figura5.9.


Solucin

La corriente total que fluye en la combinacin de y se calcula mediante:

y por tanto la corriente deseada est dada por la divisin de corriente:

Ejercicio 5.10





37

a) calcule el valor sin carga de en el circuito que se muestra.

b) calcule cuando es .c) Cunta potencia se disipa en el resistor de si las terminales de carga se ponen en

corto circuito accidentalmente?d) Cul es la mxima potencia disipada en el resistor de ?

Solucin

a)

b)

c)

d)




38

6. Anlisis de Mallas y Nodos

Ejercicio 6.1

Recurra al anlisis de malla para determinar las tres corrientes de malla en el circuito de la figura6.1.


Solucin

Las tres corrientes de malla requeridas se asignan como se indica en la figura 4.14, y aplicamosde manera metdica la LVK en torno a cada malla:

Simplificando

y resolviendo, obtenemos e = 3 A.




39

Ejercicio 6.2

a) Use el mtodo de voltajes de nodos para anlisis de circuitos para calcular la corriente de

las ramas e del circuito que muestra la figura 6.2.


b) Calcule la potencia asociada con cada fuente, y especifique si la fuente est entregando oabsorbiendo potencia.

Figura 6.3 El circuito mostrado en la figura 6.2 con un nodo de referencia y voltaje de nodo desconocido

Solucin

a) Empecemos notando que el circuito tiene dos nodos esenciales; por lo que necesitamosescribir una sola expresin de voltaje de nodo. Seleccionando el nodo inferior como elnodo de referencia y definimos el voltaje del nodo desconocido como . La figura 6.3ilustra estas decisiones. La suma de las corrientes que salen del nodo genera la ecuacinde voltaje de nodo.

Resolviendo para




40

Por lo tanto

b) La potencia asociada con la fuente de es

La potencia asociada con la fuente de es

Verifiquemos estos clculos notando que la potencia total entregada es de . Lapotencia total absorbida por tres resistores o bien, comocalculamos y como debe ser.

Ejercicio 6.3

Obtenga los valores para las tensiones desconocidas en los diversos elementos simples de lafigura 6.4.


Solucin

Como primer paso, volvemos a dibujar el circuito para subrayar el hecho de que slo hay tresnodos (se deja de tarea al estudiante hacerlo). Despus de esto asociamos un voltaje a cada nodo,pero debemos recordad que cada uno debe definirse como si existiera entre dos nodos de una red.Por ellos seleccionamos un nodo de referencia, y determinamos luego una tensin entre cadanodo restante y el nodo de referencia. Por consiguiente, advertimos de nuevo que habr slo

tensiones definidas en un circuito de nodos.Otra pequea simplificacin en las ecuaciones resultantes se obtiene si el nodo conectado almayor nmero de ramas se identifica como el nodo de referencia. Si hay un nodo de conexin atierra, a menudo resulta ms conveniente elegirlo como el nodo de referencia; con muchafrecuencia, el nodo de conexin a tierra aparece como un hilo de conexin comn a travs de la




41

parte inferior de un diagrama de circuito. Para este ejemplo, elegimos el nodo 3 como el nodo dereferencia.La tensin del nodo 1 en relacin con el nodo de referencia se define como , y se definecomo la tensin del nodo 2 con respecto al nodo de referencia. Ambas tensiones son suficientes,puesto que la tensin entre cualquier otro par de nodos puede determinarse en trminos de ellos.Por ejemplo, la tensin del nodo 1 con respecto al nodo 2 es .Aplicaremos ahora la a los nodos 1 y 2. Realizamos esto igualando la corriente total que saledel nodo a travs de varios resistores con la corriente de fuente total que entra al nodo. De talmanera que:

o

En el nodo 2 obtenemos:

o

Las ecuaciones y son las dos deseadas con dos incgnitas, y adems resolver confacilidad. Los resultados son:

y

A partir de esto, se determina de manera directa la tensin en el resistor de :

Las corrientes y las potencias absorbidas tambin se podan calcular en un paso.




42

Ejercicio 6.4

Determine las tensiones de nodo en el circuito de la figura 4.3a.


Solucin

Hay cuatro nodos en este circuito. Eligiendo el nodo inferior como nuestra referencia.Volvemos a dibujar el circuito para subrayar el hecho de que slo hay cuatro nodos (sedeja de tarea al estudiante hacerlo). Se definen tres tensiones desconocidas , y(una para cada nodo, excepto para el nodo de referencia). Todas las fuentes de corriente ylos resistores tienen valores designados, los cuales se marcan sobre el esquema.Este problema es bastante apropiado para la tcnica del anlisis nodal, ya que es factibleescribir tres ecuaciones independientes en trminos de las fuentes de corriente y dela corriente a travs de cada resistor.Empezamos escribiendo una ecuacin para el nodo 1:

o

Advierta que en un esfuerzo por ser congruentes, ubicamos todas las fuentes de corriente(que se definen como si fluyeran hacia el nodo 1) en el lado izquierdo, y todas lascorrientes que fluyen fuera del nodo 1 a travs de los resistores del lado derecho. Estoresulta benfico al expresar todas nuestras ecuaciones de una forma similar, lo que ayudaen la verificacin de errores. En el nodo 2:




43

o

Y, en el nodo 3:

o, de manera ms simple:

Tenemos tres ecuaciones con tres incgnitas. Siempre y cuando stas sean independientes,lo anterior es suficiente para determinar las tres tensiones.Las ecuaciones a la se resuelven mediante la eliminacin sucesiva de variables, elmtodo de matrices o por medio de la regla de Cramery los determinantes. Empleando elltimo mtodo, tenemos:

de manera similar:

y

Una forma de verificar parte de nuestra solucin consiste en resolver las tres ecuacionesmediante otra tcnica. Ms all de eso, es posible determinar si las tensiones son valoresrazonables? Tenemos una corriente mxima posible de




44

en cualquier punto del circuito. El resistor ms grande es de , de modo que noesperamos ninguna magnitud de tensin superior a:

Ejercicio 6.5

Determine la corriente que pasa por cada resistor en el circuito de la figura 6.6 a.

Figura 6.6Circuito del ejercicio 6.5

Solucin

Del mismo modo que procedimos en el circuito de un solo lazo, empezamos definiendo unacorriente a travs de una de las ramas. Vamos a denominar a la corriente que circula hacia laderecha a travs del resistor de . Aplicaremos la alrededor de cada una de las dos mallas;

y las dos ecuaciones resultantes son suficientes para determinar las dos corrientes desconocidas.Definimos despus una segunda corriente , que fluye hacia la derecha en el resistor de .Podramos tambin denominar como a la corriente que fluye hacia abajo por la rama central,pero resulta evidente, a partir de la , que puede expresarse en trminos de las doscorrientes supuestas antes como . Las corrientes supuestas se muestran en la figura 6.5 b.

Siguiendo el mtodo de solucin para el circuito de un lazo, aplicamos ahora la a la malladel lado izquierdo:

o

Aplicando la en la malla del lado derecho:

o

Las ecuaciones y son independientes; no es posible deducir una a partir de la otra. Haydos ecuaciones y dos incgnitas, y la solucin se obtiene sin ninguna dificultad:




45

Ejercicio 6.6

Repita el problema del ejercicio 6.5 mediante la tcnica del anlisis de malla para determinar een el circuito de la figura 6.7.

Figura 6.7El mismo circuito que en el ejercicio 6.5, pero visto de una manera diferente

Solucin

Si marcamos como la malla 1 a la del lado izquierdo de nuestro problema, entonces es factibleestablecer una corriente de malla que circula en la misma direccin que las manecillas de reloj,alrededor de dicha malla. Una corriente de malla se indica por una flecha curva que casi se cierra

sobre s misma y se dibuja dentro de la malla apropiada, como en la figura 6.7. La corriente demalla se establece en la malla restante, otra vez en la direccin de las manecillas de reloj. Sibien las direcciones son arbitrarias, siempre elegiremos las corrientes de malla en el sentido delas manecillas del reloj debido a que una cierta simetra de minimizacin de errores se produce enlas ecuaciones en tal caso.Ya no contamos con una corriente o una flecha de corriente que se muestre de manera directasobre cada rama del circuito. La corriente a travs de cualquier rama debe determinarse alconsiderar las corrientes de malla que fluyen en cada malla en la que aparece dicha rama. Esto noes difcil, debido a que ninguna rama puede aparecer en ms de dos mallas. Por ejemplo, elresistor aparece en ambas mallas, y la corriente que fluye hacia abajo a travs de l es .El resistor slo aparece en la malla 1, y la corriente que fluye hacia la derecha en esa rama esigual a la corriente de malla .

Para la malla de la izquierda:

mientras que para la malla derecha:




46

As que estas dos ecuaciones son equivalentes a las ecuaciones y .

Ejercicio 6.7

Use el mtodo de voltaje de nodo para calcular la potencia disipada en el resistor de delcircuito que se muestra en la figura 4.10.


Solucin

Empecemos notando que el circuito tiene 3 nodos esenciales. Por lo que necesitamos dosecuaciones de voltaje de nodo para describir el circuito. Cuatro ramas terminan en el nodoinferior, as que lo elegimos como nodo de referencia. Se definen dos voltajes de nododesconocidos. Sumando las corrientes que salen del nodo se obtienen la ecuacin

Sumando las corrientes que deja el nodo 2 se obtiene

Tal como estn escritas, estas dos ecuaciones de voltaje de nodo contienen tres incgnitas, asaber, e . Para eliminar debemos expresar esta corriente en de control en trminos de losvoltajes de nodo, o bien,




47

Sustituyendo esta relacin en la ecuacin para nodo se simplifican las ecuaciones de voltaje de

nodo a

Resolviendo para v1 y para v2 se obtiene

(0.75)

Y

Entonces,

Ejercicio 6.8




48

Calcule las tensiones de nodo en el circuito que se muestra en la figura 3.3a).

Figura 6.9a) Circuito original, b) circuito para anlisis

Solucin

Considrese la figura 6.9 b) donde el circuito de la figura 6.9 a) se ha preparado para el anlisisnodal. Ntese como se han seleccionado las corrientes para la aplicacin de la LCK. Excepto porlas ramas con fuentes de corriente, la rotulacin de las corrientes es arbitraria, pero coherente.

(Por coherente entenderemos que si, por ejemplo, se supone que entra en un resistor de 4 el lado izquierdo, debe salir de ese resistor por el lado derecho.) Se selecciona el nodo dereferencia y se determinan las tensiones de nodo .

Al multiplicar cada trmino de esta ltima ecuacin por 4 se obtiene

O sea

En el nodo 2 se hace lo mismo y se obtiene

La multiplicacin de cada trmino por 12 produce




49

O sea

Ahora hay dos ecuaciones simultneas. Se pueden resolver con cualquier mtodo para obtener losvalores de

Mtodo 1: si se aplica la tcnica de eliminacin

La sustitucin de produce

Mtodo 2: si se aplica la regla de Cramer

La determinante de la matriz es

Ahora se obtienen de esta forma:

Lo que da el mismo resultado que con el mtodo de eliminacin.

Si se necesitan las corrientes se pueden calcular fcilmente a partir de los valoresde las tensiones de nodo.




50

El hecho de que sea negativa indica que la corriente fluye en la direccin contraria a lasupuesta.

Ejercicio 6.9

Considrese el circuito de la figura 6.10. Se seleccion el nodo inferior como nodo de referencia,puesto que muchos elementos se conectan a ste. Las resistencias son marcadas segn susconductancias.


Solucin

Puesto que hay tres nodos que no son de referencia, y se obtendrn tres ecuaciones con tresincgnitas de voltaje de nodo. El nodo , notamos que la suma de conductancias es ,el negativo del nodo de conexin de conductancia al nodo es , y la corriente neta defuente que entra al nodo es . Por consiguiente, la primera ecuacin de nodo es

(8)

De manera similar, en los nodos y , obtenemos

(9a)(9b)

Podemos resolver (8) y (9) para los voltajes de nodo utilizando cualquiera de una variedad demtodos para resolver ecuaciones simultaneas. Tres de estos mtodos son la inversin dematrices, la regla de Cramer y la eliminacin Gaussiana. Seleccionando la regla de Cramer,primero obtngase el determinante de la matriz coeficiente, dada por

7 A17 A3S

1S

3S

2S

1S 4S

v1 v2 v3i




51

(10)

Para determinar , se sustituye la primera columna de la matriz coeficiente por el vector deconstantes en el lado derecho de (8)-(9), calclese su determinante, y divdase por eldeterminante de la matriz coeficiente que ya se obtuvo.

, se obtiene remplazando la segunda, y , remplazando la tercera columna de la matrizcoeficiente y calculando como se hizo anteriormente, obtenindose y .

Ahora que hemos descompuesto el circuito obteniendo los voltajes de nodo, podemos obtenerfcilmente cualquier otro voltaje o corriente. Por ejemplo, si deseamos obtener la corriente en elelemento , esto est dado por

Ntese que la matriz coeficiente que aparece en (10) es simtrica. Esto proviene del hecho de que

la conductancia entre los nodos y , es la misma que hay entre los nodos e . La simetrasimplifica an ms la escritura de las ecuaciones de nodo. En tanto que la simetra sea ciertacomo regla general para todos los circuitos que no contienen fuentes dependientes, la simetra dela matriz coeficiente no puede considerarse como dada en ese caso, como lo veremos en elejemplo siguiente.

Ejercicio 6.10

Considrese el circuito de la figura 6.11, que contiene fuentes de corriente dependientes.Comenzaremos escribiendo las ecuaciones de nodo exactamente como si las fuentes fueranindependientes.




52


Solucin

En el nodo 1,

Y en el nodo 2,

Luego expresamos las variables de control para las fuentes dependientes y en estasecuaciones, en trminos de los voltajes del nodo.

Por la ley de Ohm,

Y por inspeccin

Sustituyendo las ltimas dos ecuaciones en las dos previas,

Estas dos ecuaciones con dos incgnitas pueden ser resueltas por la regla de Cramer, la inversinde matrices o la eliminacin de Gauss, como se desee. Seleccionando la inversin de matrices,primero la reescribimos como

5 A

i

v1+ v -

v2

2v




53

El determinante de la matriz coeficiente es y la inversa es

Luego

A partir de este ejemplo vemos que la presencia de fuentes dependientes destruye la simetra dela matriz coeficiente y que en tales circuitos los elementos de esta matriz ya no pueden serinterpretados simplemente como sumas de conductancias, puesto que tambin contribuyen lasfuentes dependientes. Por otra parte, la presencia de fuentes dependientes no complicasignificativamente el anlisis nodal, requiriendo solamente un paso adicional de sustitucin,reemplazando variables de control por voltajes de nodo.




54

7. Superposicin

Ejercicio 7.1

En el circuito de la figura 7.1a, utilice la superposicin para escribir una expresin para lacorriente de rama desconocida .

Figura 7.1a)Circuito con dos fuentes independientes para las cuales se desea la corriente de rama ; b) elmismo circuito con la fuente de corriente en circuito abierto; c) el circuito original con la fuente de tensin

en cortocircuito

Solucin

Primero igualamos a cero la fuente de corriente y volvemos a dibujar el circuito, como se ilustraen la figura 7.1b. La parte de debida a la fuente de tensin se ha denominado para evitarconfusiones; adems, se calcula sin ninguna dificultad su valor, que es de .

A continuacin igualamos a cero la fuente de tensin de la figura 7.1a y de nuevo dibujamos elcircuito, como en la figura 7.1c. La aplicacin rutinaria de la divisin de corriente nos permitedeterminar que (la parte de debida a la fuente de corriente de ) es igual a:

Ahora es factible calcular la corriente completa como la suma de las dos componentesindividuales:

Otra manera de examinar este ejemplo es que la fuente de y la fuente de se encuentrancada una efectuando un trabajo sobre el circuito, originado una corriente total que fluye por elresistor de . Sin embargo, la contribucin de la fuente de a no depende de la




55

contribucin de la fuente de , y viceversa. Por ejemplo, si duplicamos la salida de la fuente dehasta , contribuir ahora con a la corriente total que fluye por el resistor de . Sin

embargo, la fuente de seguir contribuyendo con slo a , para una nueva corrientetotal de:

Ejercicio 7.2

Consultando el circuito de la figura 7.2a, determine la corriente positiva mxima a la cual lafuente puede ajustarse, antes de que cualquier resistor supere su valor nominal de potencia y sesobrecaliente.

Figura 7.2a) Circuito con dos resistores con valor nominal de 1 b) Circuito con solamente la

fuente de 6V activa, c) Circuito con la fuente activa

Solucin

Cada resistor se especifica hasta un mximo de . Si el circuito permite que seexceda este valor (al forzar demasiada corriente a travs de cualquier resistor), ocurrir un

calentamiento excesivo, lo que quizs provoque un accidente. La fuente de no puedecambiarse, por lo que estamos buscando una ecuacin que incluya a y a la corrientemxima a travs de cada resistor.Con base en su valor nominal de potencia de , la corriente mxima que el resistorde tolera es:

y, de modo similar, la corriente que circula por el resistor de debe ser menorque .

Figura 5.5




56

Se aplica el anlisis nodal o el de malla para la solucin de este problema, aunque lasuperposicin quiz nos d una visin un poco diferente puesto que estamos interesados

principalmente en el efecto de la fuente de corriente.Mediante la superposicin, se vuelve a dibujar el circuito como en la figura 7.2b yencontramos que la fuente de aporta una corriente de:

al resistor de y puesto que el resistor de est en serie,

Por lo tanto, la fuente de que acta sola no origina ningn problema desobrecalentamiento en cualquiera de los resistores.

Reconociendo al divisor de corriente de la figura 7.2c, observamos que se sumar a, pero tiene una direccin opuesta a . En consecuencia, contribuye con

seguridad hasta

A la corriente del resistor de , y hasta

a la corriente del resistor de .

El resistor de impone la siguiente restriccin sobre :

y el resistor de requiere que:

Si se considera primero el resistor de , vemos que est limitada a:

El resistor de , limita a , de manera que:




57

Para satisfacer ambas restricciones, debe ser menor que . Si se incrementa elvalor, el resistor de se sobrecalentar mucho antes de que lo haga el resistor de

. Una manera en particular til para evaluar nuestra solucin consiste en efectuar unanlisis de barrido de cd en PSpice, como se describe en el ejemplo siguiente. Sinembargo, una cuestin interesante es si habramos esperado que el resistor de 64 sesobrecalentara primero.Originalmente encontramos que el resistor de tiene una corriente mxima mspequea, por lo que podra ser razonable esperar que limitara a . Sin embargo, debido aque se opone a la corriente enviada por la fuente de a travs del resistor de ,pero se suma a la contribucin de la fuente de a la corriente que circula por el resistorde , resulta que trabaja de otra forma: es el resistor de el que fija el lmite sobre

.

Ejercicio 7.3

En el circuito de la figura 7.3a, utilice el principio de la superposicin para determinar el valor de.

Figura 7.3a) Ejemplo de circuito con dos fuentes independientes y una dependiente, para la que se desea la

corriente de rama , b) Circuito con la fuente de 3A en circuito abierto, c) Circuito original con la fuentede 10V en cortocircuito




58

Solucin

Ponemos primero en circuito abierto la fuente de (Figura 7.3b). La ecuacin de una malla es:

por lo que:

A continuacin, ponemos en cortocircuito la fuente de (Figura 7.3c) y escribimos laecuacin de un nodo:

y relacionamos la cantidad controladora de la fuente dependiente para :

Encontramos:

y, por lo tanto:

Observe que al volver a dibujar cada subcircuito, siempre hemos tenido cuidado de usar algntipo de notacin para indicar que no estamos trabajando con las variables originales. Esto evita laaparicin de errores bastante desastrosos cuando sumamos los resultados individuales.

Ejercicio 7.4

Emplee el principio de superposicin para calcular para el circuito que se muestra en la figura7.4.





59

Figura 7.5El circuito que se muestra en la figura 7.4 con la fuente de 5A desactivada

Figura 7.6El circuito que se muestra en la figura 7.4 con la fuente de 10v desactivada

Solucin

Empezamos encontrando el componente de que resulta de la fuente de . La figura 7.5muestra el circuito. Con la fuente de desactivada, debe ser igual a . Por lotanto, debe ser cero, la rama que contiene las dos fuentes dependientes est abierta, y

Cuando la fuente de se desactiva, el circuito se reduce al que se seala en la figura 7.6.Hemos aadido un nodo de referencia y las designaciones de los nodos , , y para apoyar ladiscusin, sumando las corrientes que salen del nodo se obtiene

O




60

Sumando las corrientes que salen del nodo , tenemos

O

Ahora usamos

Para calcular el valor para . Por lo tanto,

O

De la ecuacin del nodo ,

O

El valor de es la suma de y o .

Ejercicio 7.5

Figura 7.7aCircuito del ejercicio 7.5:componente a

Vg1

ia1




61

Figura 7.7bCircuito del ejercicio 7.5:componente b

Solucin

Primero eliminamos las fuentes de corriente, lo que origina el circuito modificado de la figura7.7a, y determinamos e . Este es el problema de la componente y e son loscomponentes de las respuestas e debidas a la fuente . Este es un circuito de una sola vuelta,y

Pero luego eliminamos la fuente de voltaje, lo cual provoca el problema de la componente queaparece en la figura 7.7b. Por divisin de corrientes,

Por el principio de superposicin, cada respuesta es la suma de las componentes de las respuestas,o

Ciertamente, estos resultados concuerdan con los clculos anteriores.

ig2

ib1




62

Ejercicio 7.6


Figura 7.9(a) Componente a; (b) Componente b; (c) Componente c

2A

18V

ab

c

d

2A

a cb,d + va -

18V

a,c

b

d

-

vb

+

-

vc

+

(b)

(c)




63

Solucin

Obtengamos el voltaje en el circuito con tres fuentes independientes que aparece en la figura

7.8. Utilizando la superposicin, obtendremos los componentes de provenientes separadamentede cada fuente, refirindonos a la fuente como fuente a, a la fuente como fuente b y a lafuente como fuente c.

En la figura 7.9a, aparece el problema de la componente a, en donde se han eliminado las fuentesb y c. eliminando la fuente une a los nodos b y d para formar un solo nodo. Se ha dibujado el

circuito para mostrar esto. El equivalente paralelo de las resistencias y es , y puede

obtenerse mediante una divisin de voltajes:

En la figura 7.9b se muestra el problema de la componente b. eliminando la fuente ha hechoque se unan los nodos y tal y como aparece en la figura. Nuevamente, luego de sustituir las

resistencias y , por su equivalente paralelo , puede obtenerse por emisin de

voltajes.

El problema de la componente c (figura 7.9c), tiene tres resistencias en paralelo.

Por superposicin, el valor de es la suma de sus componentes:

Ntese que hemos resuelto un conjunto de problemas de circuitos simples en lugar de unproblema original que, de no ser por la superposicin, habra requerido ecuaciones simultneas.




64

Ejercicio 7.7


Figura 7.11(a) Componente a; (b) Componente bSolucin

Este ejercicio ilustra el uso adecuado de la superposicin cuando debe calcularse la potencia, ytambin su uso cuando existe en el circuito una fuente dependiente. Deseamos obtener el voltaje

y la potencia disipada por la resistencia , en el circuito 7.10. Para obtener , utilizaremos lasuperposicin. nicamente las fuentes independientes generan componentes, por lo que lasdescompondremos en dos problemas de componentes y , como aparece en la figura 7.11. Parala componente , eliminaremos la fuente de corriente. La figura 7.11a es un circuito de una solavuelta con la ecuacin LVK

6A

2i1

+

v

-

6A

2ia1

+

va

-

2ib1

+

vb

-

ib1

(a) (b)




65

En el problema de la componente b, eliminando la fuente de voltaje, LCK en el nodo superior

produce una corriente hacia abajo a travs de la rama media de . Por consiguiente, LVKalrededor de la vuelta izquierda es

, y

Luego, por superposicin de voltajes componentes,

Tambin necesitamos la potencia que pasa a travs de la resistencia de . Puesto queconocemos su voltaje ,

Ntese que obtuvimos por superposicin, y utilizamos el voltaje total despus de la

superposicin de componentes de voltaje para calcular la potencia. De haber calculado lapotencia que pasa por la resistencia en los problemas de componentes separadamente, yhubiramos tratado de superponerlos, esto nos habra dado un resultado distinto y errneo, puesto

que la suma de las potencias componentes , no es la misma que la potencia debida a la

suma de las componentes . Aun en circuitos lineales, la potencia no se superpone, y

esto ocurre nicamente con el voltaje y la corriente.




66

8. Teoremas de Thevenin y Norton

Ejercicio 8.1

Encuentre el circuito equivalente de Thevenin en el circuito mostrado en la figura 8.1, a laizquierda de las terminales Despus, encuentre la corriente a travs de .


Solucin

Encontramos apagando la fuente de tensin de (reemplazndola con un corto circuito) yla fuente de corriente de (sustituyndola por un circuito abierto). El circuito se convierte enque se muestra en la figura 8.2 As,

Figura 8.2 a)Circuito del ejercicio 8.1

32V

2A RL

b




67

Figura 8.2 b)Circuito del ejercicio 8.1

Para encontrar , considere el circuito de la figura 8.2 Aplicando el anlisis de malla a losdos lazos, obtenemos

Resolviendo para obtenemos

Alternativamente, es aun ms fcil usar el anlisis nodal. Ignoramos la resistencia de puestoque ninguna corriente fluye a travs de ella. En el nodo superior, la LCK da

O

Como se obtuvo antes. Tambin podramos usar la transferencia de fuente para encontrar

El circuito equivalente de Thevenin se muestra en la figura 8.3. La corriente a travs de es

Cuando

Cuando

Cuando

b

VTH32V

3 Ai1 i2




68

Figura 8.3Circuito equivalente de Thevenin para el ejercicio 8.1

Ejercicio 8.2Encuentre el equivalente de Thevenin del circuito de la figura 8.4.


Solucin

Este circuito contiene una fuente dependiente, a diferencia del circuito del ejercicio anterior. Paraencontrar igualamos la fuente independiente a cero, pero dejamos la fuente dependiente

sola. Debido a la presencia de la fuente dependiente, sin embargo, excitamos la red con unafuente de tensin conectada a las terminales como se indica en la figura 8.5 Podramoshacer que para facilitar el clculo, puesto que el circuito es lineal. Nuestra meta esencontrar la corriente a travs de las terminales, y despus obtener (Alternativamente,insertaramos una fuente de corriente de calcular la tensin correspondiente y obtener




69



Al aplicar el anlisis de malla al lazo 1 en el circuito de la figura 8.5 resulta en

Pero por consiguiente,

Para los lazos 2 y 3, al aplicar LVK se obtiene

La resolucin de estas ecuaciones da

2V

3 A

a

b

Voci1

i2

i3

Vx

+

-




70

Pero Por lo tanto,

Para obtener encontramos en el circuito de la figura 8.5 Aplicando el anlisis demalla, obtenemos

O

Pero La solucin de estas ecuaciones lleva a As,

El equivalente de Thevenin es el que se muestra en la figura 8.6.

Figura 8.6Circuito equivalente de Thevenin para el ejercicio 8.2

Ejercicio 8.3

Determine el equivalente de Thevenin para el circuito de la figura 8.7


20V

b

Voc




71


Solucin

Puesto que el circuito de la figura 8.7 no tiene ninguna fuente independiente, paraencontrar es mejor aplicar una fuente de corriente , en las terminales como se muestra enla figura 8.7 . La aplicacin del anlisis nodal da

Pero,

Por tanto

As,

El valor negativo de la resistencia nos dice que, segn la convencin de la seal pasiva, elcircuito en la figura 8.7 est proporcionando potencia. Por supuesto, las resistencias en lafigura 8.7 no pueden proporcionar potencia (absorben potencia); es la fuente dependiente laque proporciona la potencia. Este es un ejemplo de cmo pudiera usarse una fuente dependiente yresistencias para simular la resistencia negativa.

Ejercicio 8.4

Encuentre el circuito equivalente de Norton para el circuito de la figura 8.8.




72


Solucin

Encontramos de la misma manera que calculamos en el circuito equivalente deThevenin. Iguale las fuentes independientes a cero. Esto propicia el circuito de la figura 8.9 ,desde el cual calculamos . As,

Para encontrar cortocircuitamos las terminales como se muestra en la figura 8.9Ignoramos la resistencia de porque el corto circuito. Aplicando el anlisis de malla,obtenemos

De estas ecuaciones, obtenemos

2 A12V

b




73



Figura 8.9 c)Circuito del ejercicio 8.4

Alternativamente, podramos determinar de obtenemos como la tensin en un circuito

abierto en las terminales del circuito de la figura 8.9 Usando el anlisis de malla,obtenemos

b

2A

12V

b

VTH=VOC

i1 i2




74

Y

Por consiguiente,

Como se obtuvo previamente, . As, el circuito equivalente de Norton es el

que se muestra en la figura 8.10.

Figura 8.10Circuito equivalente de Norton para el ejercicio 8.4

Ejercicio 8.5

Aplicando el teorema de Norton, encuentre y para el circuito de la figura 8.11 en lasterminales .


2A

b




75



Solucin

Para encontrar igualamos la fuente de tensin independiente a cero y conectamos una fuentede tensin de (o cualquier tensin no especificada ) a las terminales. Obtenemos el

circuito de la figura 8.12 Ignoramos la resistencia de porque est en corto circuito.Tambin debido al corto circuito, la resistencia de , la tensin y la fuente de corriente

dependiente estn en paralelo. De esta forma, En el nodo

y

Para encontrar , ponemos en corto circuito las terminales y encontramos la corrientecomo se indica en la figura 8.12 Note en esta figura que la resistencia de , la fuente de




76

tensin de la resistencia de y la fuente de corriente dependiente estn en paralelo. Por lotanto,

En el nodo , LCK da

As,

Ejercicio 8.6

Calcule el circuito equivalente de Thevenin a la izquierda de las terminales en el circuitode la figura 8.13.


Figura 8.14Circuito de Figura 8.13 con las terminales en corto circuito

Solucin

Primero, se necesita determinar el voltaje de circuito abierto . Advirtiendo que lafuente de corriente es comn a dos mallas, se crea una supermalla que incluye y sedescribe una ecuacin de la LVK recorriendo la supermalla. Ntese tambin que la corriente porel resistor de 3 Ohms es cero. La LVK en torno a la periferia es




77

Por consiguiente,

Para determinar la corriente de corto circuito se establece un corto circuito a travs de ,como se muestra en la figura 8.14. Dado que , la fuente de corriente se hace cero (esdecir, se reemplaza por un circuito abierto). Entonces, si se aplica la LVK en la periferia de lasupermalla, se tiene

Por tanto, la resistencia de Thevenin es

Ejercicio 8.7

Considrese el circuito 5.5-15, que no tiene fuentes independientes. Se desea determinar sucircuito equivalente de Thevenin.


Figura 8.16Circuito de la figura 8.15 con una fuente de 1 A conectada en las terminales a-b

Solucin

Para ello, se determinara y en las terminales .

Puesto que el circuito no tiene fuentes independientes, cuando las terminales estnabiertas. Entonces, . De igual manera, se ve que .




78

Queda por determinar . Dado que e , no se puede calcular partiendo

de . Entonces, procede a conectar una fuente de corriente de en las terminales

, como se muestra en la figura 8.16. Una vez determinado , la resistencia de Thevenines

Al plantear la LCK en y tomando como referencia, se obtiene

Para el resistor de

Y, en consecuencia, se tiene

O

La resistencia de Thevenin es , o bien

El circuito equivalente de Thevenin se deja de tarea al estudiante.




79

Ejercicio 8.8

Determine el equivalente de Norton para el circuito de la figura 8.17.


Solucin

En vista de que el circuito slo contiene una fuente independiente, la podemos desactivar ycalcularRN por un corto circuito se tiene un resistor de 6 k k consecuencia

Para determinar se ponen en corto las terminales de salida, estando activada la fuente devoltaje como se ve en la figura 8.18.

Figura 8.18Corto circuito conectado a las terminales de salida de la Figura 8.178

Al plantear la LCK en el nodo a se obtiene

o sea

As que el equivalente de Norton tiene e .

Ejercicio 8.9

Determine el circuito equivalente de Norton al de la figura 8.19.




80


Solucin

Primero, se determina la corriente para el estado de corto circuito de la figura 8.20.

Figura 8.20Corto circuito conectado a las terminales a-b del circuito de la figura 8.19. Las resistencias enohms

Al aplicar LCK en a, se obtiene

Ntese que no pasa corriente alguna por el resistor de 12 corto circuito. Adems, debido al corto circuito, la fuente de 24 V hace que aparezcan 24 V a

travs del resistor de 4

Ahora se determina la resistencia equivalente , desactivando las fuentes de loscircuitos como se muestra en la figura 8.21.




81

Figura 8.21Circuito de la figura 8.20 con sus fuentes desactivadas. La fuente de voltaje se convierte en uncorto circuito y la fuente de corriente se reemplaza por un circuito abierto. Resistencias en ohms

Obviamente, ohms. As, se obtiene el circuito equivalente de Norton que aparece en lafigura 8.22.

Figura 8.22Circuito Equivalente de Norton

Ejercicio 8.10

Determine el equivalente de Norton a la izquierda de las terminales a-b en el circuito de la figura8.23.

Figura 8.23El circuito del ejercicio 8.10. Las resistencias en ohms

Solucin

Primero hace falta determinar la corriente de corto circuito, Para ello se usa la figura 8.24.Ntese que cuando las terminales estn en corto circuito.




82

Figura 8.24Circuito de la figura 8.23 con un corto circuito en las terminales a-b. Las resistencias en ohms

Entonces

por tanto, para la parte derecha del circuito

Ahora, para obtener se necesita que de la figura 8.23, donde es la corriente enla primera malla (izquierda). Si se escribe la ecuacin de la corriente de malla se tiene

Adems, en la malla derecha del circuito de la figura 8.23 se ve que

Por tanto

Al sustituir en la ecuacin de la primera malla

Por consiguiente,

y

El circuito equivalente de Norton se muestra en la figura 8.25.

Figura 8.25Circuito Equivalente de Norton




83

9. Circuitos RL, RC y RLC

Ejercicio 9-1

En la figura 9.1, sea . Halle e para


Figura 9.2Circuito equivalente de la Figura 9.1

Solucin

Primero se debe hacer el circuito de la figura 9.1 se ajuste a un circuito estndar (Figura 9.2).Se encuentra la resistencia equivalente o resistencia de Thevenin en las terminales del capacitor.El objetivo es siempre obtener primero la tensin del capacitor . Con base en ella se puededeterminar e .Los resistores de y enserie pueden combinarse para producir un resistor de . Esteresistor de en paralelo con el resistor de puede combinarse para que la resistenciaequivalente sea

As, el circuito equivalente es el que presenta en la figura 9.2. La constante de tiempo es

Por lo tanto




84

Con base en la figura 9.1, se puede aplicar el divisor de tensin para obtener ; as,

Por ltimo,

Ejercicio 9-2

El interruptor del circuito de la figura 9.3 ha estado cerrado mucho tiempo, y se abre en .

Halle para . Calcule la energa inicial almacenada en el capacitor.


Figura 9.4 a) t0

Figura 7.8




85

Solucin

Para , el interruptor est cerrado; el capacitor es un circuito abierto para cd, como serepresenta en la figura 9.4a). Al aplicar la divisin de tensin,

Como la tensin a lo largo de un capacitor no puede cambiar instantneamente, est a , osea

Para , el interruptor esta abierto, y se tiene el circuito que se muestra en la figura 9.4b).(Ntese que el circuito de esta ultima figura es sin fuente; la fuente independiente de la figura9.3 es necesario para proporcionar o la energa inicial en el capacitor.) Los resistores en seriede y dan por resultado

La constante de tiempo es

As, la tensin a lo largo del capacitor para es

O sea

La energa almacenada en el capacitor es

Ejercicio 9-3

Encuentre las expresiones matemticas para el comportamiento de los transitorios depara el circuito de la figura 9.5 cuando el interruptor se mueve a la posicin 1. Grafique lascurvas .

5/25/2018 Cuaderno de Ejercicios de Circuitos Electricos L

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