Cuaderno de trabajo de matemáticas aplicadas

Cuaderno de Trabajo

de

CECYTEJ

Alumno: __________________________Grado y Grupo: ___ Especialidad:

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Colegio de Estudios Científicos y Tecnológicos del Estado de JaliscoCECyTEJ #11

Primer ParcialSecuencia 1. Actividad I

Integrar equipos de 5 para que resuelvan la siguiente actividad: Un fabricante desea hacer cajas sin tapa para envasar su producto. Para esto hará uso de piezas rectangulares de cartón de 12 x 18 centímetros, cortando cuadrados iguales en las cuatro esquinas, y doblando por las líneas punteadas. Encuentra la longitud del lado del cuadrado que será recortado en cada esquina (“x”), si se quiere obtener una caja que encierre el mayor volumen posible.

1. Cada integrante del equipo se designa con las letras (A, B, C, D o E) y recorta un rectángulo de 12 X 18 cm en papel bond.

2. Con cada rectángulo de papel se hará una caja sin tapa, recortando cuadrados de igual tamaño en las esquinas y doblando las cejas para formar los lados, de acuerdo con el dibujo y cuadro siguiente:

3. ¿Cuál es la fórmula para calcular el volumen de una caja como la planteada en el problema?

V =_________________________________

4. Si llamamos a x a la longitud del lado del cuadrado que se va a cortar, cuales son las dimensiones de la caja expresadas en términos de x.

Largo:______, Ancho:_______, Altura:______

5. La representación algebraica del cálculo del volumen de la caja expresada para cierto valor de x será:

V(x) =_______. Esta fórmula se conoce como modelo matemático del problema o función del problema.

6. Cada alumno debe calcular el volumen de la caja elaborada y completará la tabla con los datos de los integrantes del equipo.

7. De los valores enlistados en la tabla anterior, ¿Qué alumno tiene la caja con mayor volumen? _____________________________

8. De todos los valores posibles de x, ¿El que seleccionaste en la pregunta anterior es la caja de mayor volumen que se puede construir? ___

9. Si piensan que existe una mejor opción, ¿entre que valores de x se encuentra? ___________

10. Probemos con otros valores de x, utiliza la siguiente tabla para encontrar mejores aproximaciones del volumen máximo, si es que las hay.

11. De los valores enlistados en la tabla anterior, ¿Cuál es la mejor opción? _______________

12. De todos los posibles valores de x que existen, ¿está es la mejor?____________________

13. Entre todos los alumnos construyen y calculan el volumen de las cajas con las siguientes alturas:

a) para x = 6, ¿cuánto vale V? V = ____ cm3.

b) para x = 0, ¿cuánto vale V? V = ____ cm3.

3


Secuencia 1 Actividad IIRazonamiento Aritmético Lógico

1. En cada línea hay tres números, que con simples operaciones matemáticas tienes que conseguir que el resultado siempre sea seis. Las operaciones que se pueden usar son las normales en una calculadora científica:

111=6222=6333=64 4 4=6555=6666=6777=6888=6999=6

Por ejemplo:66∗6=6

Aritmética2. Una ración de pescados contiene 20 gramos de proteína y corresponde al 500% de los requerimientos

diarios de un adulto. ¿Cuál es el requerimiento diario de proteína de un anciano?

3. El precio de trigo aumento de $85 a $100 el kilogramo. ¿Qué porcentaje aumentó?

4. Un ciclista que va a 60 m/s, recorre una pista en 8 minutos, ¿Qué distancia recorrerá?

5. ¿Qué cantidad se obtiene al resolver la siguientes operaciones ( 13+ 35 ) y ( 12−18 )?

4


6. ¿Cuál es la fracción equivalente de: 172

a. 35

b.219

c. 812

d. 524

7. ¿Cuál es el resultado de las siguientes operaciones de fracciones?

a.49+ 618

+ 53

b.57+ 414

−3

c. ( 34 )( 56 )( 24 )

d.

37∗14

4

e.53÷89

f.57÷713

8. Resuelva la siguiente operación

√9− {23+[−1+8 (10−3 ) ] }

9. Luis , Jorge y Rosy fueron a la papelería a comprar un material que necesitan Luis adquiere una libreta , un bolígrafo rojo y otro negro ,un lápiz y una goma ; Jorge pide dos libretas, una regla , un lápiz y un bolígrafo azul; Rosy solicita una libreta , un bolígrafo rojo , un lápiz , una goma y una regla . si

5


en la papelería las libretas cuesta 23 pesos, los bolígrafos 12 pesos, los lápices 9 pesos, las reglas 7 pesos y las gomas 3 pesos. 1. ¿Cuánto pagaran en total?

2. Si Jorge pagó con un billete de 100 pesos ¿Cuánto le dieron de cambio?

3. Luis solo llevaba 50 pesos, por lo que Jorge tuvo que prestarle. ¿Cuánto le prestó Jorge?

4. ¿Cuánto dinero le qué do a Jorge cuando regresaban de la papelería?

AlgebraTraduce al lenguaje algebraico las siguientes expresiones en lenguaje común:10. La suma de dos números cualquiera

11. El cuadrado de un número aumentado en trece unidades.

12. La suma del triple de un número con la tercera parte del mismo número.

13. El área (A) de un polígono regular es igual al semi producto del perímetro (P) por la apotema(a).

Realiza las siguientes Sumas14. (5x -7y)+(5y-2x)

15. (-6ax-7by+4cz)+(4ax-4cz+2by)

6


Realiza las siguientes Resta16. (11x+9y)-(-6x-7y)

17. (-8x2-5x3)-(x2+x3)

Realiza las siguientes Multiplicaciones 18. (6a+2b)(5a-4b)

19. (8x +5xy)(3x-2y)

Realiza las siguientes Divisiones

20.12xz3x

21.6mbc3mc

Realiza los siguientes Radicales

22. (a12 )5

23. (a−23 −√b)2

Despeja las variables de las incógnitas que se te piden en cada formula

24. C=2B+5despejaB=?

7


25. V=dtdespejad=? t=?

Encontrar el valor de las incógnitas de estas ecuaciones26. 3 x−2 y=16 2 x+ y=16

27. 2 x− y=3 6 x−5 y=5

Encontrar el valor de las incógnitas de las siguientes ecuaciones cuadráticas

28. x2−2 x−3=0

29. x2+4 x=5

8


Secuencia 1 Actividad IIIGeometría y Trigonometría

Comprueba tu respuesta antes de elegirla1. Observe el siguiente triángulo. A partir de los datos, ¿cuál es el valor de las seis funciones

trigonométricas para el ángulo (A)?

2. Completa los datos desconocidos de los 3 triángulos dados por las filas de la siguiente tabla:

Cuadro

A B C A b c

Triangulo 1 45° 90°10.5

Triangulo 2 60° 24 16

Triangulo 3 75° 4 6 5

3. En un terreno horizontal y desde un punto A, hay que mirar 30º hacia arriba para ver la azotea de una torre. Aproximándose 20 metros a la torre, el ángulo se convierte en 45º. ¿Calcular la altura de dicha torre?

4. Para determinar la distancia entre dos puntos A y B un topógrafo escoge un punto C que se halla a 375m de A y a 530m de B. si BAC mide 49°30’, calcule la distancia de A a B.

9


5. Determinar el lado de un triángulo equilátero cuyo perímetro es igual al de un cuadrado de 12 cm de lado. ¿Serán iguales sus áreas?

6. Calcular el área de un triángulo equilátero inscrito en una circunferencia de radio 6 cm.

7. Dado un triángulo equilátero de 6m de lado, hallar el área de uno de los sectores determinado por la circunferencia circunscrita y por los radios que pasan por los vértices.

8. Determinar el área del cuadrado inscrito en una circunferencia de longitud 18.84m.

9. En un cuadrado de 2m de lado se inscribe un círculo y en este círculo un cuadrado y en este otro círculo. ¿Hallar el área comprendida entre el último cuadrado y el último círculo?

10. Calcular el área de la corona circular determinada por las circunferencias inscrita y circunscrita a un cuadrado de 8m de diagonal.

11. En una circunferencia de radio igual a 4m se inscribe un cuadrado y sobre los lados de este y hacia el exterior se construyen triángulos equiláteros. ¿Hallar el área de la estrella así formada?

12. El perímetro de un trapecio isósceles es de 110m, las bases miden 40 y 30m respectivamente. ¿Calcular los lados no paralelos y el área?

13. Si los lados no paralelos de un trapecio isósceles se prolongan, quedaría formado un triángulo equilátero de 6cm de lado. Sabiendo que el trapecio tiene la mitad de la altura del triángulo, ¿calcular el área del trapecio?

14. El área de un cuadrado es 2304cm². ¿Calcular el área del hexágono regular que tiene su mismo perímetro?

10


15. La superficie de una mesa está formada por una parte central cuadrada de 1m de lado y dos semicírculos adosados en dos lados opuestos. ¿Calcula el área?

Geometría Analítica16. Determine las coordenadas del punto medio de un segmento de recta delimitado por los puntos A (-5,3)

y B (6,1/2). Grafique

17. Calcula el ángulo interior del triángulo con vértice en el punto A del triángulo formado por los puntos A (-1,1), B (2,5) y C (4,-3). Grafique

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18. Halle la ecuación del conjunto de puntos, tales que el triple de su ordenada disminuida en seis unidades es igual al cuádruple de su abscisa.

19. Halle la ecuación del conjunto de puntos que equidistan ocho unidades del punto. A(4,3), Grafique.

12


20. Obtenga la ecuación de la recta que contiene al punto P (2,3) y su ángulo de inclinación es 135º. Grafique

21. Obtenga la ecuación de la recta que pasa por los puntos A (-2,-3) y B (2,5). Grafique

13


22. Halle la ecuación de la recta que tiene pendiente m=1/3 y su intersección con el eje Y es el punto (0,-2). Grafique

23. Escribe la ecuación cuya pendiente es 1/2 y su intersección con el eje y es el punto (0,2).

14


24. Escribe la ecuación de la recta de pendiente y ordenada en el origen igual a 4.

25. Escribe la ecuación de la recta que pasa por el punto (3,5) y tiene pendiente 2 m

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Secuencia 1 Actividad IV

Ejercicios Prueba Enlace

1. Una fracción equivalente a 74

es:

2. ¿Cuál es el resultado de la siguiente operación? 125

+ 34+2

3. ¿Cuál es el resultado de la siguiente operación de fracciones (5 34 )( 13 ) (2 )

4. ¿Cuál es el resultado de la siguiente división de fracciones? (2 13 )÷( 38 )

5. En un laboratorio de química tienen frascos con los siguientes elementos: 8397

g de sodio, 57g de

magnesio, 25g de yodo y

1531

g de potasio. ¿Cuál de los frascos contiene la menor cantidad de gramos?

6. Una profesora de inglés quiere hacer una presentación teatral y pide material a sus alumnos para construir el escenario, le pidió a una alumna que llevará 9.50 pies de listón azul. Si la alumna sabe que 1 pie equivale a 0.305 metros, ¿cuántos centímetros pide en la papelería?

7. ¿Qué resultado se obtiene al convertir 128.5° a grados sexagesimales?

17


8. Una tortillería tiene tres máquinas para completar un pedido. El tortillero sabe que la primera máquina tarda un día en completar el pedido, la segunda tarda 36 horas y los terceros 3 días. Si las tres máquinas trabajan simultáneamente para el pedido, ¿cuántas horas tardarán en hacerlo?

9. Mario está armando un rompecabezas en forma triangular. Si lleva armada la parte blanca que equivale

a 1018

, ¿cuál de las figuras representa la cantidad que le falta para completarlo?

a. b. c. c.

10. Si se corta por las líneas punteadas al octágono, como se muestra en la figura, ¿cuántas diagonales internas se pueden trazar en la figura resultante?

11. Carlos y José son vendedores de una tienda de libros. En la siguiente tabla se muestra el sueldo que obtiene cada uno de ellos dependiendo del número de libros que vendan. Para este periodo de pago cada uno debe obtener un sueldo de $600.00. ¿Cuántos libros debe vender Carlos (C) y cuántos José (J) para que obtengan el sueldo deseado?

12. ¿Cuál es el resultado de la siguiente expresión? 23−{(√4 )( 63−1)}

18


13. En la ciudad de Monterrey se registraron, por cuatro días, las siguientes temperaturas en grados centígrados: -7°, -5°, 2°, 4°. ¿En cuál día se registró la temperatura que sobrepasaba los -6° pero estaba por debajo de los -3°?

14. En un centro comercial se vende chocolate en polvo en cuatro diferentes presentaciones:Presentaci

ónCantidad del producto en

gramosPrecio

Mini 250 $ 11.75Chica 400 $ 18.00

Mediana 1,800 $ 82.80

Grande 3,500$161.0

0De acuerdo con la cantidad y el precio, la presentación que proporciona el menor costo por producto es:

15. En un cubo se realizaron cortes en cuatro aristas, como se representa en la figura.

¿Cuál es el número de caras después de realizar los cortes?16. Pedro se desplazó en su automóvil por toda la avenida Juárez a una velocidad constante de 50

kilómetros por hora y tardó 5 minutos en recorrerla. Si velocidad=distanciatiempo

, ¿qué longitud, en

kilómetros, tiene la avenida Juárez?

17. Una tubería atraviesa diagonalmente un terreno de forma cuadrada. La tubería mide 30 m. ¿Cuál es la longitud, en metros, del lado del cuadrado?

18. En una compañía de autos, 30% de los empleados son miembros de algún club deportivo; de ellos, 20% se ubica en la zona sur. Si la compañía cuenta con 300 empleados, ¿cuántos de ellos asisten a un club deportivo en la zona sur?

19


19. Observe la siguiente figura.

¿Cuál es el volumen, en centímetros cúbicos, del prisma mostrado?

20. Una sala de museo tiene la forma como se muestra en la figura.Para la instalación eléctrica se necesita tender un cable alrededor de todos los muros. ¿Cuántos metros deberá medir el cable?

21. Una empresa desea construir una alberca en el patio de una casa como se muestra en la figura. ¿Cuántos metros cuadrados de mosaico se necesitan para cubrir el fondo de la alberca?

22. María registra en la siguiente tabla el número de llamadas de larga distancia llevadas a cabo por los empleados de una empresa en los últimos 12 días.Si su jefe le pide la media de los datos, ¿cuál es el dato que le debe proporcionar?

20


23. La gráfica muestra la matrícula de ingreso de estudiantes en una universidad. Si al año siguiente se da de baja 13% de los estudiantes en cada carrera, ¿cuántos estudiantes de ingeniería permanecerán en la carrera en el segundo año escolar?

24. La figura muestra la mitad de un cuerpo simétrico con respecto a la línea punteada. ¿Cuál es la figura que representa la otra mitad?

a. b. c. d. 25. Gustavo lanza un dado 50 veces y registra el número que se obtiene. En la tabla se muestra el número

de veces que se obtuvo las diferentes caras del dado.Con base en los datos, determine la probabilidad de obtener un 4

Cara del lado 1 2 3 4 5 6Número de veces

8 5 6 10 12 9

21


26. Una urna contiene 51 esferas numeradas del 1 al 51. Luis apuesta a Antonio que en la primera esfera sale un número impar o el número 2. ¿Cuál es la probabilidad de que Luis gane la apuesta?

27. Leonardo lanza una moneda en tanto que Juan lanza un dado. ¿Cuál es la probabilidad de que en sus respectivos lanzamientos obtengan exactamente un águila y un seis?

28. Luis y Hugo caminaban juntos llevando sacos de igual peso. Si Luis tomara un saco de Hugo, su carga sería el doble que la de Hugo. En cambio, si Hugo tomara un saco de Luis, sus cargas se igualarían. ¿Cuántos sacos lleva Hugo y cuántos Luis?

29. En una empresa bacteriológica se estudia el crecimiento de una bacteria muy rara y peligrosa; el estudio de su comportamiento fue encargado a Fidel, pero, como se quedó dormido, sólo alcanzó a registrar los datos que se muestran en la siguiente tabla

Hora (x) Crecimiento de una bacteria (y)30. 1 31. 432. 3 33. 1234. 35. 2836. 7 37.38. 39. 84

40. 11 41. 124¿Cuál expresión Algebraica establece la Relación entre Ambas Comunas para determinar el valor que falta?

Secuencia 1 Actividad V31. ¿Cuál expresión algebraica establece la relación entre ambas columnas para determinar los valores

que faltan?

32. Las siguientes figuras son cortes horizontales de un cuerpo a distintas alturas:

22


¿A cuál de los siguientes cuerpos corresponden?

a. b. c. d.

33. Un comerciante tiene $50.00 y desea adquirir 20 artículos de papelería entre cuadernos (c) y bolígrafos (b), si el costo de cada cuaderno es de $7.00 y de cada bolígrafo de $3.00, el sistema de ecuaciones que representa dicho problema es:

34. Analice la siguiente figura. ¿Cuál es el valor del lado a?

35. Un hombre empuja una caja desde el suelo por una rampa con una inclinación de 30° con respecto al piso hasta un descanso que se encuentra exactamente 4 metros por encima del nivel del piso. ¿Cuántos metros empujó el hombre la caja?

23


36. Ángel y su hermano compraron un pequeño terreno cuadrangular que se dividió en dos partes iguales como se muestra en la figura. Es necesario saber la longitud de x en metros, para hacer una división con algún enrejado. ¿Cuánto mide x?

37. La descripción gráfica que arroja un sensor de movimiento es la siguiente: ¿Cuál es la función trigonométrica que la describe?

38. ¿Qué posición final representa la figura si se realiza una rotación de 180° con respecto al lado frontal?

a. b. c. d.39. Observe el siguiente triángulo

A partir de los datos, ¿cuál es el valor de cos (A)?

24


40. Una persona observa un espejo que se encuentra frente a un edificio y corresponde al plano y-z, como se observa en la figura.¿Cuál de las figuras representa la imagen observada a través del espejo?

a. b. c. d.

41. En la figura que se muestra, considere al eje de las abscisas (x) como eje de simetría.¿Cuáles son las coordenadas de los puntos A y C del triángulo simétrico reflejado?

42. Dadas las coordenadas del punto P que se muestra en la figura, ¿cuál de las siguientes opciones muestra las coordenadas de la posición final del punto P después de sufrir un desplazamiento de 5 unidades a la izquierda, 1 unidad hacia el lado positivo del eje y, y 1 unidad hacia abajo?

25


26


Segundo ParcialDerivadas

Reglas de derivación

Derivadas Inmediatas

Sean a, b y k constantes (números reales) y consideremos a: u y v como funciones.

Derivada de una constante y=k y '=0

Derivada de x y=x y '=1

Derivada de la función lineal y=ax+b y '=a

Derivada de una potencia y=uk y '=k uk−1 . u '

Derivada de una raíz cuadrada y=√u y '= u '

2√u

Ejercicios Resueltos

1. y=−2 y '=02. y=−5x y '=−5

3. y=−72

x−3 y '=−72

4. y=x 4 y '=4 x3

5. y=x−4 y '=−4 x−5=−4x5

6. y=(2 x−12 )3

y '=3 (2 x−12 )2 d (2 x−1/2)

dx = 3(2x−12 )

2

2=6 (2x−12 )2

7. y=√5 x+2 , y=(5x+2 )1 /2 y '=12

(5x+2 )−1/2 d (5 x+2)dx

=52

(5 x+2 )−1/2= 5

2 (5 x+2 )1 /2= 52√5x+2

8.

y=4√2 x−4 , y=(2 x−4 )1/4 y '=14

(2x−4 )−3 /4 d (2 x−4)dx

=24

(2 x−4 )−3 /4= 1

2 (2 x−4 )3 /4= 1

24√(2 x−4)3

9. y= 1

√ x=x−1/2 y '=−1

2x−3 /2 dx

dx= −12x3 /2

= −12√x3

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Secuencia 2. Actividad I

Resuelve las siguientes derivadas de Funciones Algebraicas:

1. y=100−3 x2

2. y=7 x−11

3. y=8x3

4. y=x5

5. y=2x3

6. y=4 x2−5 x+6

7. y=35x 4−2

9x3+5

2x2

8. y= 14x4−7

3x3+6 x2−10x+4

13. y=x2−9

14. y=x3−3x2+8 x−11

15. y=a t3−b t2+ct−d

16. y=t3−b t2+5 t−7

17. y=x2−5 x−6

18. y=2x3−x2+6 x−5

19. y=12 x4+17 x3+14 x2+2x−3

20. y=mxn−n xm

28


9. y=4 x5−3 x3+5x+21

10. y= x3

a3+ 3 x

2

a2+ 9x

a+b

11. y= x4−b2 x2

b2−cx

12. y=12t 2−1

4t+ 13

21. y=(10x4−11 x2+1 )5

22. y=( x3−2 )4

23. y= (1−2x )3

24. y= (a+bx )7

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Derivadas de Sumas, Productos, Cocientes

Derivada de una suma

y=u± v y '=u ' ± v '

Derivada de una constante por una función

y=ku y '=ku '

Derivada de un producto

y=uv y '=u' v+uv 'Derivada de una constante partida por una función

y= kvy '=−kv '

v2

Derivada de un cociente

y=uvy '=u 'v−uv '

v2

Derivada de la función exponencial

y=au y '=au lnaDerivada de la función exponencial de base e

y=eu y '=eu

Derivadas Trigonométricas

Derivada del seno:

y=sinu y '=cosu∗¿u ' ¿Derivada del coseno:

y=cosu y '=−sinu∗u'

Derivada de la tangente

y=tan u y '=sec2u∗u'

Derivada de la cotangente

y=cot u y '=−csc2u∗u 'Derivada de la secante

¿ secu y '=secu tan u∗u 'Derivada de la cosecante

y=cscu y '=−u 'csc ucotu∗u'

Ejemplos de derivadas con operaciones de funciones:

1. y=−2x2 y '=−4 x2. y=−2x2−5 x+2 y '=−4 x−53. y=3 x3−2 x2−5 x+2 y '=9x3−4 x2−54. y=x 4+3x3−2x2−5 x+2 y'=4 x3+9 x2−4 x−5

30


5. y=(x¿¿2−1)(x3+3x ) y '=(x3+3 x) (x2−1 )'+(x2−1) (x3+3 x )' ¿¿ (x3+3 x )2 x+ (x2−1 ) (3 x2+3 )=2 x4+6 x2+3x4−3 x2+3 x2−3=5x 4+6 x2−3

6. y=3 (x2+2 )3

5=35

(x2+2 )3 y '=353 (x2+2 )2 .2x=18 x

5(x2+2 )2

7. y=3 x3+ x+25 x2+1

y '=(5 x2+1 ) (3 x3+x+2 )'−(3x3+x+2 ) (5 x2+1 )'

(5 x2+1 )2

¿(5x2+1 ) (9 x2+1 )−(3 x3+x+2 ) (10x )

(5x2+1 )2=

(45 x4+9x2+5 x2+1 )−(30 x4+10 x2+20 x )(5 x2+1 )2

45 x4+14 x2+1−30 x4−10x2−20 x(5 x2+1 )2

=15x4+4 x2−20 x+1

(5 x2+1 )2

31


Secuencia 2. Actividad II

Resuelve las siguientes derivadas de Funciones Algebraicas:

1. y=( X3+1 ) (x2−4 )3

2. y=√X

3. y=2 5√ x− 35√x

4. y= x3

√ (a2−b2 )3

− x2

√b+2x √a

5. y=√3 x+1

29. y=x−1x

30. y=6x− 23 x

31. y= 1x−1

−1x

32. y= 1

x−x2

33. y= 1

(1−x )2

32


6. y=√2 x+3

7. y= (x+1 )13

8. y=√u3

9. y=√400−h4

10. y=√2 px

34. y= 1

(2 x+1 )2

35. y= x

(5−x2)2

36. y= 15

(9+X )2

37. y=2+sen x

38. y=1−cos x

33


11. y= (1−2x )13

12. y=( x2+9 )32

13.y=(a23−x

23 )23

14. y= (3 x+4 )52

39. y=2 sen x+cos2 x

40. y=sen x+cos x

41. y=cos x−12cos2 x

42. y=12cos (x+ π

3 )

34


15. y=( x2+3 )43

16. y= (7 x−9 )35

17. y=(2ax−x2)52

18. y=(a2−x2 )52

19. y=4 x2√x2−1

43. y=12tg22x

44. y=tg( x−π4 )

45. y=2 sen(x−π6 )

46. y=8 tan(x−π3 )

47. y= 572

5√ sen3 x+[ 9−4 sen2 x ] sen x

35


20. y=x2√3−4 x

21. y=x33√ (8−x3 )2

22. y=1x

23. y= 1

x4

24. y= 11−x

48.

y=−4 sen2 x−83sen3 x+6 sen4 x+8 sen5 x+8

3sen6 x

49. (a2−b2 sen2wx )12

50. √1+sen2 x

51. y=cos xcos 3x+sen x sen3 x

36


25. y= 43 x−1

26. y= 1

x2

27. y= 1

x3

28. y= 1

2 x−1

52. y= sen xx

53. y=senx2

4−x2

54. y=x (1+cot x )3

55. y=x2 cot (x2+5 )

56. y=√ 1−cos x1+cos x

37


38


Derivadas Trigonométricas Inversas

Derivada del arcoseno

y=arc senu y '= 1

√1−u2∗u'

Derivada del arcocoseno

y=arc cosu y '= −1

√1−u2∗u'

Derivada del arcotangente

y=arc tgu y '= 1

1+u2∗u'

Derivada del arcocotangente

y=arc cotg u y'= −11+u2

∗u'

Derivada del arcosecante

y=arc sec u y '= 1

u√u2−1∗u'

Derivada del arcocosecante

y=arc csc u y '= −1u√u2−1

∗u '

Derivada de la Función Compuesta

Regla de la cadena

( fog )' ( x )=g' [ f ( x ) ]∗f ' (x)

39


Secuencia 2. Actividad III

Resuelve las siguientes derivadas Funciones Trigonométricas Inversas:

1. y=tan−1 (√1−x2 )

2. y=sen−1 (3 x )

3. y=tan−1 (4 x )

4. y=csc−1 (√a2−x2 )

5. y=csc−1 (2t−1 )

9. y=13cos

−1

( 2x¿)¿

10. y=2x2 sec−1 (2x )

11. y=cot−1( 2 xx2−1 )

12. y=cot−1 (x4 )

13. y=cos−1 (√ x )

40


6. y=sen−1 (x √1−x2 )

7. y=sec−13 x

8. y=3 x cos−1(3x )

14. y=csc−1 (x3 )

15. y=tan−1( ax )

41


Derivadas Logarítmica

Derivada de un logaritmo

La der ivada de un logar i tmo en base a es igua l a la der ivada de la func ión d iv id ida por la func ión, y por e l logar i tmo en base a de e .

y=logau y '=u'

uloga e

Como

log ae=ln eln a

también se puede expresar así:

y=logau y '=u 'u1ln a

y=uv

ln y=ln uv

ln y=v ln u

y '

y=v ' lnu+v u

'

u

y '=(v ' ln u+v u'

u ) yDerivada de un logaritmo neperiano: es igua l a la der ivada de la func ión d iv id ida por la func ión.

y=ln u y'=u 'u

En a lgunos e jerc ic ios es conveniente ut i l i zar las prop iedades de los logar i tmos antes de der ivar , ya que s impl i f i camos e l cá lcu lo :

Propiedades:

1. log a ( xy )=loga x+ loga y

2. log a( xy )=loga x−loga y3. log a (xn )=n loga x

4. log a ( n√x )=1nloga x

Ejemplos

1. y=ln (2x4−x3+3x2−3 x ) y '=(8x3−2x2+6 x−3 )(2x4−x3+3x2−3 x )

2.y=ln( ex+1ex−1 )=ln (e x+1 )−ln (ex−1 ) y '= ex

ex+1− e x

ex−1= e2x−ex−e2x−ex

(e¿¿ x+1)(e¿¿ x−1)= −2ex

e2x−1¿¿

42


3. y=ln √x (1−x )=12

[ ln x+ln (1−x ) ] y '=12 ( 1x ± 1

1−x )=12 1−x−xx (1−x )

= 1−2x2 x (1−x )

4. y=ln 3√ 3xx+2=13

[ ln 3 x−ln ( x+2 ) ] y '=13 ( 33x− 1

x+2 )=13 x+2−xx ( x+2 )

= 23 x (x+2 )

5. y=log2 (x 4−3 x ) y '= 4 x4−3(4 x4−3x )

log2 e

6. y=ln( 1−x1+x )=ln (1−x )−ln (1+x ) y '= −1

1−x− 11+x

= 1(1−x ) (1+x )

= −2(1−x ) (1+x )

7.

y=log √ 1+x1−x=12log( 1+x1−x )=12 [ log (1+ x )−log (1−x ) ] y '=1

2 ( 11+x

log e+ 11−x

log e)=12 ( 11+x + 11−x ) log e

y'=12 ( 1−x+1+x

1−x2 ) log e= 1

1−x2log e

8. y=x5 ln x y '=5 x4 ln x+x5 1x=5 x4 ln x+x4=x 4 (5 ln x+1 )

9. y=ln43 x=( ln 3 x )4 y '=4 ( ln 3x )3 33 x

=4 ( ln 3x )3 1x=4

x( ln 3 x )3=4

xln33 x

10. y=ln(x−2 )3

√2 x−1=ln ( x−2 )3−ln √2 x−1=3 ln ( x−2 )−1

2ln (2x−1 )

y '=3( 1x−2 )−12 ( 2

2 x−1 )= 6 x−3−x+2( x−2 ) (2 x−1 )

=5 x−1

( x−2 ) (2x−1 )

11. y= (x )sin x ln y=ln xsin x ln y=sin x ln x y '

y=(cos x ln x+sin x 1x2 ) y '=(cos x ln x+sin x 1x2 ) y

y'=(cos x ln x+sin x 1x2 ) ( x )sin x

12. y=¿¿

y '=(−sin x lnsin x+ cos2 xsin x )( (sin x )cosx )

13. y= x2√cos x y=( cos x )1x2 ln y=ln (cos x )

1x2 ln y= 1

x2ln cos x

y '

y=(−1x2 ln cos x+ 1x2 −sin xcos x )=(−1x2 ln cos x− 1

x2sin xcos x )

y'=(−1x2 ln cos x− 1

x2tan x) y

y '=−1x2

( ln cos x+ tan x ) ( x2

√cos x )

43


Secuencia2. Actividad IV

Resuelve las siguientes derivadas de Funciones Logarítmicas y Exponenciales:

1. y=ln 5x

2. y=ln [ x (3 x−1 ) ]

3. y=x (ln 2ax−2 ln ax+2 )

4. y=ln( (ex+1 )2

e x−1 )

5. y=ln1−sen

x2

1+senx2

6. y=ln cos3 x

7. y=cos ln x

8. y=ex2 ln x2

9. y=x2 e−x2

10. y=cos2 e3 x

44


Calcula la derivada, de cada una de las siguientes funciones:

1. y=5

2. y=2x4+x3−x2+4

3. y= x+1x−1

4. y=(5x2−3 ) ( x2+x+4 )

5. y= 1

3 x2

Calcula mediante la fórmula de la derivada de una potencia:

1 . y= 5

x5

Calcula mediante la fórmula de la derivada de funciones logarítmicas:

1 . y=ln (2x4−x3+3x2−3 x )

2. y=ln( ex+1ex−1 )

3. y=log √ 1+x1−x

Calcula mediante la fórmula de la derivada de una potencia:

1 . y=√x2−2 x+3

2. y=4√x5−x3−2

45


2. y= 5

x5+ 3x2

3. y=√x

4. y= 1

x √x

5. y= 3√x2+√ x

Calcula mediante la fórmula de la derivada de funciones exponenciales:

1 . y=10√x

2. y=e3− x2

3. y= ex+e− x

2

3. y= 3√ x2+1x2−1

4. y=4√ x3−x2−2x−1

√ x−2

5. y=√ x2+2x2−2

46


4. y=32x2

√ x

5. y= e2x

x2

47


Secuencia2. Actividad V

Calcula la derivada, con respecto de x, de cada una de las siguientes funciones:

1. y=sen2 (x5 )

2. y=sen ( sen x )

3. y=cos (sen x )

4. y=tan (sen x )

5. y=cot (sen x )

11. y=ln (sen x ) , considera y=lnu y u=sen x

12. y=tan ( ln x ) ,considera y=tan u y u=ln x

13. y=ln ( ln x ) , considera y=ln u yu=ln x

14. y=ln (sec x ) ,considera y=ln u yu=sec x

15. y=ln (csc x ) , considera y=ln u yu=csc x

48


6. y=32 tan x2+ 323tan3

x2

7. y=sec−1 (2x−3 )

8. y=csc−1 (x2−3x+4 )

9. y=tan−1 (2 x−3 )

16. y=e2 x−3

17. y=5x2−3x+4

18. y=−csc2 x

19. y=−csc x cot x

49


10. y=cot−15x−π

20. y= [9−4sin2 x ] sen x

50


Tercer ParcialIntegración

Integrar es el proceso recíproco del de derivar, es decir, dada una función f (x) ,busca aquellas funciones F (x) que al ser derivadas conducen a f ¿) . Se dice, entonces, que F(x) es una primitiva o antiderivada de f(x) ; dicho de otro modo las primitivas de f(x) son las funciones derivables F(x) tales que:

F ' (x)=f (x )Si una función f(x) tiene primitiva, tiene infinitas primitivas, diferenciándose todas ellas en una constante.

[F (x )+C] '=F ' (x)+0=F '(x )=f (x)Integral indefinida.- es el conjunto de las infinitas primitivas que puede tener una función.Se representa por ∫ f (x )dx .Se lee: integral de x diferencial de x.∫ es el signo de integración. f (x) es el integrando o función a integrar. dx es diferencial de x , e indica cuál es la variable de la función que se integra. C es la constante de integración y puede tomar cualquier valor numérico real. Si F (x) es una primitiva de f(x) se tiene que:

∫ f (x )dx=F (x )+CPara comprobar que la primitiva de una función es correcta basta con derivar.

Propiedades de la integral indefinida1. La integral de una suma de funciones es igual a la suma de las integrales de esas funciones.

∫ [ f (x )+g (x)]dx= ∫ f (x)dx+ ∫ g(x )dx2. La integral del producto de una constante por una función es igual a la constante por la

integral de la función.∫ k f (x )dx=k ∫ f (x)dx

Fórmulas de Integrales Inmediatasa , e , k, y c son constantes; u es una función y u ' es la derivada de u.

51


Si u=x¿), tenemos una tabla de integrales simples:

Integrales inmediatasIntegral de una constante

La integral de una constante es igual a la constante por x.

Integral de cero

Integral de una potencia

52



53


54


55


Integrales Logarítmicas y Exponenciales

56



57


Integrales Trigonométricas

58



59


60


Integrales Trigonométricas Inversas

61



62


Vamos a transformar el denominador de modo que podamos aplicar la fórmula de la integral del arcotangente. Transformamos el denominador en un binomio al cuadrado.

Multiplicamos numerador y denominador por 4/3, para obtener uno en el denominador. Dentro del

binomio al cuadrado multiplicaremos por su raíz cuadrada de 43

.

63


Secuencia 3 Actividad I1. Resolver las siguientes integrales:

a.

b.

c.

d.

e.

f.

g.

h.

2. Calcular las integrales:

a. e.

64


b.

c.

d.

f.

g.

h.

Secuencia 3 Actividad II3. Resolver las siguientes integrales exponenciales:

a. d.

65


b.

c.

e.

f.

g.


a.

b.

d.

e.

66


c. f.

g.

67


Secuencia 3 Actividad III

5. Resolver las integrales:

a.

b.

c.

d.

e.

f.


a. e.

68


b.

c.

d.

f.

g.

h.

Secuencia 3 Actividad IV7. Resolver las integrales:

a.

b.


a.

69


c.

d.

e.

b.

c.

d.

70


Secuencia 3 Actividad V

Problemas de integrales

1. De las infinitas funciones primitivas de la función y=x ²−x+1, ¿cuál es la que para x=3 toma el valor 5?

2. Escribe la función primitiva de y=x ²+2 x cuya representación gráfica pasa por él punto (1 ,3).

3. Hallar una función F (x) cuya derivada sea f (x)=x+6 y tal que para x=2 tome el valor 25.

4. Hallar una recta cuya pendiente es 2 y pasa por él punto P(0 , 4).

5. Calcular la ecuación de la curva que pasa por P(1 ,5) y cuya pendiente en cualquier punto es:

3 x2+5 x−2

6. Hallar la primitiva de la función f ( x )=x √ x2−1 , que se anula para x=2

Cuaderno de trabajo de matemáticas aplicadas

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