UNIVERSIDAD SIMÓN BOLÍVARDEPARTAMENTO DE MECÁNICA

NOMBRE:CARNET No.:

SECCIÓN: DISEÑOPERÍODO: Enero – Marzo 2007

PROFESOR ORLANDO PELLICCIONI ASIGNATURA DISEÑO DE MÁQUINAS II (MC4132)

CUADERNO – EXAMEN 01

CONTENIDO

SEMANA FECHA CONTENIDO1 10/Ene Introducción al curso.

Introducción a engranajes: definición y tipos.Engranajes rectos: nomenclatura y definiciones.

2 15/Ene Acción conjugada: perfil evolvente y acción entre dientes. Relación de contacto.Interferencia.Tipos de esfuerzos.Caracterización de fallas.Esfuerzos de flexión.Esfuerzos de contacto.

17/Ene Engranajes helicoidales.Ventajas y desventajas.Geometría.Relación de contacto.Distancia entre centros.

3 22/ Ene Análisis de fuerzas.Relación entre θn y θt.Esfuerzos.Engranajes cónicos.Geometría y nomenclatura.Dimensionamiento de una pareja.Análisis de fuerzas.

24/ Ene Esfuerzos.Engranajes sin fin.Ventajas y desventajas.

4 29/ Ene Análisis de fuerzas.Eficiencia.Sistema autoblocante.Esfuerzos.

31/ Ene Problemas5 05/Feb Examen 01 (20%)

Introducción a engranajes: definición y tipos

Definición:

Los engranajes son ruedas cilíndricas dentadas que se emplean para transmitir movimiento y potencia desde un eje o flecha giratorio a otro. Los dientes de un engranaje impulsor se insertan, enlazándose con precisión, en los espacios entre los dientes del engrane que es impulsado. Los dientes impulsores empujan a los dientes que son impulsados, ejerciendo una fuerza perpendicular al radio del eje. Por consiguiente se transmite un torque y, debido a que el engranaje está girando, también se transmite potencia (Mott, pág. 377).

Para conseguir un funcionamiento correcto, este operador suele girar solidario con su eje, por lo que ambos se ligan mediante una unión desmontable que emplea otro operador denominado chaveta.

Este operador se puede emplear para dos funciones básicas:

Transmitir un movimiento giratorio entre dos ejes con la idea de modificar su sentido de giro, velocidad o dirección, bien acoplándose directamente varias ruedas dentadas entre sí (rueda dentada-linterna, tren de engranajes, sinfín-piñón) o empleando una cadena articulada (mecanismo cadena-piñón).

Transformar movimientos giratorios en alternativos (o viceversa), empleando mecanismos que combinan la rueda dentada con la cremallera (sistema cremallera-piñón) Este montaje se emplea en cerraduras, juegos infantiles, microscopios, taladros sensitivos, sacacorchos, motores fueraborda...

Durante la edad media se empleaban mecanismos de rueda dentada-linterna que eran de uso común en todos los ingenios hidráulicos de la época (molinos, mazos...). Permite acoplar ejes paralelos o cruzados a 90º.

El sistema de engranajes se emplea mucho en automóviles (cambio de marchas), máquinas herramientas (taladros, tornos, fresadoras...), relojería... como reductor de velocidad, pues permite acoplar ejes paralelos o que se crucen con cualquier ángulo

El sinfín-piñón se emplea en los reductores de velocidad para motores eléctricos; también se emplea en elementos de gran precisión (tornillos micrométricos).

Este sistema no es reversible (el árbol conductor siempre tiene que estar unido al sinfín) y presenta la ventaja de proporcionar una gran reducción de velocidad en el mínimo espacio. Solamente permite acoplar ejes a 90º. El sistema cadena-piñón podemos verlo en bicicletas, motos, puertas de apertura automática (ascensores, supermercados, aeropuertos...), mecanismos internos de motores...; pero solamente permite acoplar ejes paralelos entre si.

Material adicional: http://concurso.cnice.mec.es/cnice2006/material107/index.htm

Tipos de engranajes:

Los engranajes se pueden clasificar de acuerdo con varios criterios.

Por el número de dientesLos engranajes de más de 15 dientes se llaman coronas y los de hasta 15 dientes piñones. En dos engranajes que trabajan juntos, el de mayor tamaño es la corona y el más pequeño se denomina piñón, independientemente del número de dientes que tengan.

Piñón (derecha) y corona (izquierda)

Existen dos casos particulares:

El tornillo sin fin, que engrana con su corona perpendicularmente a su eje, y que suele tener uno, dos o hasta tres dientes helicoidales. La cremallera, que posee los dientes alineados sobre una superficie plana. Podría considerarse como un engranaje de infinitos dientes y diámetro infinito. Por la orientación relativa de sus ejesCilíndricos, cuando sus ejes son paralelos. Cónicos, cuando sus ejes no son paralelos. Corona tornillo sin fin, es un caso particular en el que sus ejes no se cruzan y forman 90º

De arriba hacia abajo y de izquierda a derecha: cilíndrico, cónico, corona / tornillo sin fin, cilíndrico

Por la forma de los dientesDe dientes rectos. De dientes helicoidales.

Dientes rectos (izquierda) y helicoidales (derecha)

Por el tamaño de dienteLos dientes de los engranajes tienen un tamaño específico; en el sistema métrico se denomina módulo, un número proporcional al tamaño del diente.

Tamaños de dientes de engranajes. Note como el tamaño del diente está directamente relacionado al paso de avance del engranaje

Material adicional: http://es.wikipedia.org/wiki/Engranaje https://sdp-si.com/eStore/

Engranajes rectos: nomenclatura y definiciones

Los términos y símbolos se utilizan de conformidad con las normas de la American Gear Manufacturers Association (AGMA). Para más detalle puede revisarse la norma AGMA 1012-F90.

El paso circular p es la distancia, medida sobre la circunferencia de paso, entre determinado punto de un diente y el correspondiente de uno inmediato. De manera que el paso circular es igual a la suma del grueso del diente y el ancho del espacio entre dos consecutivos.

El módulo m es la razón o relación del diámetro de paso dp al número de dientes Z. La unidad de longitud que se utiliza habitualmente es el milímetro. El módulo es el índice del tamaño de los dientes en el sistema SI.El paso diametral P es la relación del número de dientes al diámetro de paso. En consecuencia, es el recíproco del módulo. El paso diametral se emplea cuando se consideran unidades inglesas, y por tanto, se expresa en dientes por pulgada (dte/in).El addendum a es la distancia radial entre el tope del diente (o la circunferencia de addendum) y la circunferencia de paso. El deddendum b es la distancia radial entre el fondo del espacio (o la circunferencia de deddendum) y la circunferencia de paso. La altura total ht de un diente es la suma del addendum y el deddendum.La circunferencia de holgura de un engranaje es la circunferencia tangente a la de addendum del otro engranaje conectado. La holgura c (o claro) es la diferencia entre el deddendum de un engranaje dado que excede al addendum del engranaje conectado. El juego es la diferencia del espacio entre dos dientes consecutivos y el grueso del diente del otro engranaje, medidos sobre las circunferencias de paso. (Extraído de Shigley & Mischke).

Características de los dientes de un engranaje de talla recta (Mott, pág. 381)

Material adicional: Mott, R., Diseño de elementos de máquinaGuía teórica del curso MC3142

Acción conjugada: perfil evolvente y acción entre dientes

Cuando los perfiles de los dientes se diseñan de modo que produzcan una relación constante de velocidades angulares durante su funcionamiento en contacto, se dice que tienen acción conjugada. Cuando una superficie curva empuja a otra, el punto de contacto queda donde las dos son tangentes entre sí y en cualquier instante, las fuerzas están dirigidas a lo largo de la normal común a las dos curvas. Esta recta representa la dirección en que actúan las fuerzas y recibe el nombre de línea de acción (o de presión).La línea de acción corta a la línea de los centros entre el par de ruedas dentadas en un punto P (punto de paso). La relación existente entre las velocidades angulares de los brazos de dientes es inversamente proporcional a la de los radios al punto de paso. Las circunferencias que se trazan en cada rueda desde el origen al punto P se conocen como circunferencias de paso, y el radio de cada una recibe el nombre de radio de paso. (Shigley, pág. 599)

La transmisión de potencia y la operación silenciosa de un engranaje depende del uso óptimo de las formas geométricas disponibles. Muchos de los dientes de los engranajes rectos usan el perfil evolvente como forma geométrica básica. Esto permite que la acción resultante de los dos engranajes sea muy suave; si no fuera así, habría incremento y disminución de velocidad a lo largo de su acción conjunta y la aceleración resultante generaría vibración, ruido y oscilaciones de torsión peligrosas en el sistema. En nuestro caso la evolvente es una línea curva formada por la traza espiral de un punto sobre una cuerda que se desenrolla alrededor del círculo que representa la rueda dentada (círculo base). Podrá notar que en cualquier punto sobre la curva evolvente, una línea perpendicular a ella será tangente al círculo base. La evolvente es un tipo de curva geométrica que pertenece al grupo de las que se denominan curvas conjugadas.

Animación para el trazo de una curva evolvente (tocar la imagen)

Al dibujar otro círculo base a lo largo de la misma línea central en tal posición que la evolvente que resulta es tangente a la primera, como se ilustra en la figura siguiente, se demuestra que en el punto de contacto las dos líneas tangentes a los círculos base coinciden y permanecerán en la misma posición conforme gire el círculo base. Esto es lo que sucede cuando los dientes de dos engranajes están enlazados.

Animación de evolventes que coinciden (Mott, pág. 380) (tocar la imagen)

Para estudiar la acción entre dientes podemos practicar con el ejemplo 13-1 de Shigley, página 606.

Relación de contacto

Recuérdese que el contacto entre dientes comienza y termina en las intersecciones de las dos circunferencias de addendum con la línea de presión. El segmento de circunferencia de paso delimitado por la línea de acción se conoce como arco de acción qt.La relación de contacto mc se define como el promedio de dientes en contacto de un par de engranajes, o lo que es igual la relación del arco de acción sobre el paso circular. Un valor de mc=1 indica que el arco de acción coincide con el paso circular y por lo tanto solamente un diente del engranaje impulsor estará simultáneamente en contacto con un diente del engranaje impulsado. Si consideramos un valor ligeramente mayor, por ejemplo mc=1.2, significa que en un corto lapso de tiempo habrá dos pared de dientes en contacto simultáneamente, uno en su fase inicial de recorrido y otro en su fase final. A medida que avance el embonado de los engranajes, el par de dientes cercanos a la fase final debe salir del contacto dejando sólo un par de dientes en contacto, y luego, se repetirá la operación.

Por lo general, los engranajes no deben diseñarse con relaciones de contacto menores que 1.20 aproximadamente, porque las inexactitudes en el montaje podrían reducir aún más la relación de contacto, acrecentando la posibilidad de choques entre dientes, así como elevando el nivel de ruido. (Shigley, pág. 608)

Una manera fácil de determinar la relación de contacto consiste en medir la línea de acción en vez del arco de acción. Ahora, como la línea de acción es tangente a la circunferencia de base, al prolongarla debe utilizarse el paso base pb para calcular mc en vez del paso circular:

mc= (longitud de la línea de acción) / (p cos Ø)

donde Ø define al ángulo de acción (o presión), entre la línea de acción y la tangente al punto de paso.

Definición del ángulo de presión

Interferencia

El contacto de porciones de perfiles de dientes no conjugados se denomina interferencia. Para ciertas combinaciones de números de dientes en un engrane se presenta interferencia entre la punta del diente en el piñón y el chaflán o raíz del diente en el engranaje. Es obvio que esto no puede tolerarse porque los engranes no coincidirían.La interferencia ocurre cuando el contacto entre dos dientes se produce fuera del perfil evolvente del mismo. La guía teórica estudia el caso límite, que permite deducir una expresión para el cálculo del número mínimo de dientes en los engranajes:

z ≥ 2 / sen2Ø

Para un ángulo de presión normalizado de 20º, se tiene que el número mínimo de dientes es zmin = 17.09 ≈18 dientes. Una tabla generalizada puede encontrarse en el Shigley, página 610.

Algunas veces es necesario fabricar engranajes con un número de dientes inferior al zmin y garantizar que no ocurra

interferencia. Con esto en mente, el diseñador puede pensar en reducir dimensiones, modificar la cabeza en el piñón o en la corona, o bien, modificar la distancia central.Reducir dimensiones es el proceso de cortar el material en el chaflán o raíz de dientes de la corona, lo que alivia, en consecuencia, la interferencia. Resulta evidente que este proceso debilita los dientes.El problema de la interferencia puede atenuarse incrementando la cabeza del piñón en tanto se disminuye la cabeza del engrane. La distancia central puede permanecer igual que su valor teórico para el número de dientes en el par. Pero los engranes resultantes no son, desde luego, estándar (Dudley, D. 1984). Es posible hacer el piñón de un par de engranes más grande de lo estándar, mientras la corona conserva su tamaño estándar, si se alarga la distancia central (Drago, R. 1988).

Tipos de esfuerzos

Los esfuerzos que producen las fuerzas de reacción sobre los dientes son de dos tipos:Esfuerzos de flexión sobre la base del diente, similares a los que se generan sobre una viga en voladizo que pueden generar grietas y rupturas en la base de los dientes.Esfuerzos de contacto de Hertz sobre los distintos puntos instantáneos en las superficies en contacto entre engranajes, capaces de generar caries en los dientes.Una pareja de engranajes bien diseñada no debe fallar nunca por fatiga a flexión, ya que el diseño puede hacerse suficientemente resistente para limitar los esfuerzos de flexión a valores inferiores al límite de fatiga.Por otra parte, no es posible diseñar una pareja de engranajes que tenga vida infinita con respecto a los esfuerzos de contacto superficial, ya que la mayoría de los materiales no exhiben un límite de fatiga ante éstos.De este modo, los engranajes eventualmente fallarán debido a los esfuerzos de contacto, a no ser que la lubricación sea

inadecuada y entonces se presente además, desgaste adhesivo y/o abrasivo, antes que la falla por fatiga superficial.

Caracterización de fallas

La falla por fatiga a flexión se inicia con la aparición de una grieta que finalmente conlleva a la rotura del diente.La falla por fatiga superficial se inicia con la aparición de una grieta, ya sea en la superficie de contacto o a niveles subyacentes, la cual conlleva al desconche del material.La falla por desgaste adhesivo consiste en la soldadura localizada de las superficies en contacto seguida de la ruptura de los mismos, mientras que el desgaste abrasivo se refiere a la presencia de partículas sueltas y duras que producen ralladuras.

Esfuerzos de flexión

Fórmula de Lewis:Wilfred Lewis fue el primero que presentó una fórmula para calcular el esfuerzo por flexión en dientes de engranajes, en la que interviene la forma de los mismos. Esta fórmula fue publicada en 1982 y en la actualidad sigue siendo fundamental para la mayor parte del diseño de engranajes.

La ecuación para la tensión en la base del perfil evolvente del diente es (ecuación de Lewis):

σt = FtP / (bY)En la ecuación de Lewis Ft es la fuerza tangencial, P el paso diametral del diente, b es el espesor de la cara del diente y Y es el factor de forma de Lewis, que depende de la forma del diente, el ángulo de presión, el paso diametral, el número de dientes en el engranaje y el lugar en el que ejerce su acción Ft. En tanto presenta la base teórica para el análisis de tensiones de los dientes de engranes, la ecuación de Lewis debe modificarse para el diseño y el análisis prácticos. (Mott,

pág. 417). Ejemplos de valores para Y pueden encontrarse en el Shigley, página 664.La ecuación de Lewis también puede presentarse en función del módulo m, que sí es una variable nominal del engranaje (a diferencia del paso diametral):

σt = Ft / (m b Y)

Desventajas del uso de esta ecuación:

Solamente considera flexión en el diente y se desprecia la compresión debido a la fuerza radial.

Los dientes no comparten la carga La forma máxima se aplica sobre la punta del diente.

La ecuación de Lewis ya no se aplica en su forma original, pero es la base para una versión más avanzada de la AGMA. La ecuación de esfuerzos a flexión de la AGMA corrige la ecuación original de Lewis con factores adicionales que consideran mecanismos de falla que sólo posteriormente fueron descubiertos.

Fórmula de la AGMA:Con el fin que se considere la variedad de condiciones que pueden encontrarse durante el servicio para el diseño práctico de engranajes, una modificación aplicada a la fórmula de Lewis es la que presenta la AGMA en el estándar 2001-B88:

σt = Ka Kv Ks Km KB Ft / (m b J) ≤ Sat KL / (ψ KT KR)

Ft = fuerza tangencialb = ancho del engranajem = móduloJ = factor geométrico de la resistencia por flexiónKa = factor de sobrecarga o aplicaciónKv = factor dinámicoKs = factor de tamañoKm = factor de distribución de cargaKB = factor de espesor de bordeKL = factor de vida

KT = factor de temperaturaKR = factor de confiabilidadSat = esfuerzo permisible a flexión

Hipótesis para la ecuación de la AGMA: La relación de contacto está entre 1 y 2 No hay interferencia en el acoplamiento Ningún diente es puntiagudo Existe un juego distinto de cero Los radios de la raíz son estándar, lisos y producidos por

un proceso generatriz(ver más detalles en la guía teórica)

Esfuerzos de contacto

La propiedad más importante de los dientes de engranajes que proporciona resistencia a la corrosión es la dureza de la superficie de los dientes. Cuanto más dura sea la superficie, más alta es la resistencia a la corrosión del material. Los esfuerzos superficiales en los dientes de los engranajes fueron estudiados por primera vez de manera sistemática por E. Buckingham, quien utilizó dos cilindros de igual radio de curvatura que los dientes en el punto de paso cargados radialmente en contacto de rodadura para simular el acoplamiento de los engranajes.Conocidos como esfuerzos de contacto de Hertz, son tridimensionales y con valores máximos en la superficie o ligeramente por debajo de ella, dependiendo de la cantidad de deslizamiento en combinación con rodadura. Al igual que la fórmula de Lewis para flexión, la ecuación de Buckingham sirvió de base para la ecuación modificada de la AGMA (fuente: AGMA 218-01):

σC = Cp (Ka Kv Km Cf Ft / (dp b I))1/2 ≤ Sac KL CH / (ψ KT KR)

Ft = fuerza tangencialb = ancho del engranajedp = diámetro de paso (primitivo)

I = factor geométrico de resistencia a desgaste superficialKa = factor de sobrecarga o aplicaciónKv = factor dinámicoKm = factor de distribución de cargaCp = coeficiente elásticoCf = factor de acabado superficialCH = factor de razón de durezaKL = factor de vidaKT = factor de temperaturaKR = factor de confiabilidadSac = esfuerzo permisible a desgaste superficial

Engranajes helicoidales

Los engranajes helicoidales y los de talla recta se distinguen por la orientación de sus dientes. En los engranes de talla recta los dientes son rectos y están alineados con el eje del engranaje. En los engranajes helicoidales los dientes presentan inclinación a un cierto ángulo (ángulo helicoidal o ángulo de hélice). Si el engranaje fuera muy ancho

parecería que los dientes se enrollan alrededor del disco con que se fabrica el engranaje, describiendo una trayectoria helicoidal.

En los engranajes rectos se asume que las fuerzas actúan en un solo plano. En los engranajes helicoidales no ocurre esto, puesto que los dientes no son paralelos al eje (Mott, pág. 467).El ángulo de hélice es el mismo en cada engranaje del par, pero un engranaje debe tener una hélice derecha y el otro una hélice izquierda. Debido a la naturaleza del ensamblaje entre engranajes helicoidales, la relación de contacto es sólo

de menor importancia, y es el área de contacto, -la que es proporcional al ancho de la cara del engranaje-, que se vuelve significativa (Shigley, pág. 615).

Contacto entre engranajes helicoidales. Detalle de la hélice derecha e izquierda de igual ángulo de hélice.

Cuando dos o más engranajes helicoidales adyacentes están montados en el mismo eje, la inclinación de los dientes (derecha, izquierda) de los engranajes debe seleccionarse de manera que se produzca la mínima carga de empuje axial.

Cajas de reductores con engranes cilíndricos y cónicos. Una de ellas tiene dos pares de engranajes cilíndricos de diente helicoidal y la otra posee además un par de engranajes cónicos de diente helicoidal (tocar la imagen)

Ventajas y desventajas

Ventajas: Sirven para transmitir potencia entre ejes paralelos y no

paralelos (cualquier ángulo), inclusive perpendiculares entre sí.

Son más resistentes y silenciosos que los engranajes rectos.

El contacto entre dientes se realiza en un punto, a diferencia de los engranajes rectos, cuyo contacto se realiza en una línea. En otras palabras, el engranaje helicoidal asume la carga en forma gradual. Debido a que más de un diente entra en contacto en un momento en particular esto da por resultado una carga promedio por diente más baja y una operación más suave.

Desventajas: La desventaja principal de los engranajes helicoidales es

que se genera un empuje o carga axial por la orientación inclinada de los dientes.

Requieren más cuidado en su fabricación. El costo es similar al de un engranaje recto si la

producción es razonable, pero si la producción es baja, resulta mucho más costoso.

Cuando las cargas de empuje o axiales se vuelven altas o son objetables por otras razones, quizá convenga utilizar engranajes helicoidales dobles. Un engrane helicoidal doble (o “espina de pescado”) es equivalente a dos engranes helicoidales de sesgo, opuesto, montados lado a lado en el mismo eje. Estos engranajes desarrollan reacciones de empuje opuestas, y por lo tanto, cancelan la carga axial.

Vista en perspectiva de la geometría y las fuerzas en un engranaje helicoidal (Mott, pág. 468)

Modelo de engranaje helicoidal doble utilizado en la industria para transmisión de potencia (Tocar la

imagen)

Geometría

Supongamos una cremallera de dientes rectos. El engranaje helicoidal se genera al pasar sobre la cremallera, el cilindro (cubo) que se encuentra a la izquierda en dirección β respecto a la horizontal.Así, los dientes que se tallan (por ejemplo, sobre plastilina o cera blanda) quedan inclinados respecto al eje del engranaje en el ángulo de hélice.

pt = paso transversalpn = paso normalpx = paso axialβ = ángulo hélice

Paso para un engranaje cilíndrico de dientes rectos Paso para un engranaje cilíndrico de dientes helicoidales

Nomenclatura:Paso transversal (pt): es el paso en engranajes helicoidales equivalente al que se conoce para engranajes rectos.

Paso normal (pn): es la proyección del paso transversal sobre el plano normal, el cual está inclinado β con respecto al plano transversal de la cremallera (en ésta ocurre la forma del diente).

pn = pt cos β

Módulo normal (mn): es el módulo que se calcula para engranajes helicoidales y debe ser el mismo para que dos engranajes sean pareja. Al igual que el paso normal, se define en función del módulo conocido para engranajes rectos:

mn = mt cos β = ( dt / z ) cos β

Diámetro primitivo (dp): Se obtiene partiendo de la definición para engranajes rectos:

dp = ( mn z ) / cos β

Número mínimo de dientes (zmin): Se obtiene a partir de la misma expresión utilizada para engranajes rectos.

zmin ≥ ( 2 cos β ) / sen2Ø

β

β

El ángulo de hélice no es normalizado y usualmente oscila entre 10º y 45º. Su selección parte del compromiso entre niveles de ruido menores y costos de fabricación, y el grado de afectación por la carga axial.

Relación de contacto

Sigue existiendo una dirección transversal, pero el hecho de que los dientes están inclinados respecto a la dirección de rotación, da lugar a una relación de contacto normal Rcn que se define como:

Rcn = b / px

b = ancho de carapx = paso axial

px = pn / sen β = pt cos β / sen β =π mn / sen β

Rcn = b sen β / ( π mn )

Distancia entre centros

Se define para el caso más genérico de engranajes helicoidales:

C = ( mn / 2 ) ( zpiñón / cos βpiñón + zcorona / cos βcorona )

En la imagen β1 y β2 representan los ángulos de hélice del piñón (en rojo) y la corona (en negro) respectivamente

Análisis de fuerzas (engranajes rectos)

Tomado del Mott, pág. 468

Carga transmitida (Wt): fuerza que actúa tangencial a la superficie de paso del engranaje. Es la que en realidad transmite torque y potencia desde el engranaje impulsor hacia el impulsado. Actúa en sentido perpendicular al del eje de la flecha que soporta al engranaje. Se determina igual que el Wt de engranajes para dientes rectos:

Wt = T / ( D / 2 )

Donde D es el diámetro de paso del engranaje. Si se conocen la potencia transmitida (en hp) y la

velocidad de giro (en rpm), el torque en libras por pulgada se calcula

T = 63000 (potencia) / (rpm del motor)

Carga axial (Wx): es aquella que se dirige en forma paralela al eje de la flecha que soporta al engranaje. Conocida también como fuerza de empuje, es una fuerza por lo general indeseable, a la que deben resistir los cojinetes de ejes o flechas que tienen una capacidad de empuje. El ángulo de hélice o helicoidal es quien establece la relación entre Wx y Wt:

Wx = Wt tan β

Observe que en el esquema de las fuerzas que actúan en el diente, la carga axial se incrementa conforme aumenta el valor del ángulo de hélice. Por lo regular este ángulo varía entre 15º y 45º.

Carga radial (Wr): es la fuerza que actúa hacia el centro del engrane, en sentido radial. El sentido de la fuerza es siempre tal que tiende a separar los engranajes. Para calcular su magnitud es necesario incorporar dos nuevas definiciones: el ángulo de presión transverso θt (aparece en el plano que pasa por los dientes de un engranaje en un sentido perpendicular al eje o flecha, plano transversal) y el ángulo de presión normal θn

(aparece en el plano que pasa por un engranaje en un sentido normal respecto a los propios dientes, plano normal). Se puede definir una relación entre Wr y Wt:

Wr = Wt tan θt

Relación entre θn y θt

Algunos engranajes helicoidales se fabrican con el ángulo de presión transverso establecido a un ángulo específico, digamos 20º ó 14 ½º. Otros se fabrican con el ángulo de

presión normal establecido. La ecuación que relaciona estos dos ángulos de presión para un ángulo helicoidal específico es:

(tan θn ) = (tan θt ) (cos β )

Observaciones: El contacto entre engranajes helicoidales no ocurre en

un punto a la vez. En realidad, lo que ocurre es que el contacto es progresivo, es decir, en principio entra en contacto un punto y un momento después, un punto posterior y así sucesivamente. De este mode se genera una línea de contacto que se inicia con dos puntos, alcanza una longitud máxima que depende de la geometría de los dientes, y desaparece al terminar el contacto del último punto.

Imaginemos un diente helicoidal compuesto por varios dientes rectos puestos uno detrás del otro y desfasados regularmente un diferencial dy. Por ejemplo, en un engranaje impulsado, el primer diente recto entra en contacto arriba, un momento después el segundo diente entra en contacto arriba y el primer diente está en contacto en un punto más abajo, así el punto de inicio de contacto se va desplazando hacia atrás y a medida que esto ocurre, los puntos de contacto anteriores van bajando a lo largo del diente hasta abandonar el contacto con su pareja. Así la línea de contacto aparece, crece hasta que el punto de contacto del primer diente recto o plano desaparece y a partir de allí, comienza a decrecer hasta desaparecer ella misma.

Siempre que no se especifique el ángulo de presión o el paso circular con algún subíndice, se debe asumir que corresponde al θt y pc respectivamente (plano transverso).

Las relaciones de contacto definidas corresponden a engranajes helicoidales de ejes paralelos ( β1 = β2 = β ).

El módulo normal mn es el módulo normalizado, tomándose los valores reportados para engranajes rectos.

Esfuerzos en engranajes helicoidalesLas ecuaciones AGMA para esfuerzos a flexión y esfuerzos de contacto en engranajes rectos también aplican para engranajes helicoidales. Los parámetros Ka, Kv, Ks, Km, KB, KL, KT, KR, CH, Cf, Cp, Sat, siguen siendo los mismos que para engranaje recto; no obstante, los factores geométricos J e I, introducen diferencias:

Factor geométrico de resistencia a flexión J: este factor presenta una dependencia adicional con el ángulo helicoidal del engranaje, de modo que se determina para una combinación de θ y β.

Factor geométrico de resistencia a la falta superficial I: para la determinación de este factor, se requiere la inclusión de un término adicional en la ecuación, que queda como (ver detalles en la guía teórica): Para engranajes de dientes rectos I = cos θ / [ (1/ ρp ± 1/ ρg) dp]

Para engranajes de dientes helicoidales I = cos θ / [ (1/ ρp ± 1/ ρg) dp b / lmin]

Engranajes cónicosGeometría y nomenclaturaDimensionamiento de una parejaAnálisis de fuerzas (engranajes cónicos)

REFERENCIAS

American Gear Manufacturers Association. Standard 1012-F90, Gear Nomenclatura, Definitions of Terms with Symbols. Alexandria, Va.: American Gear Manufacturers Association, 1990.

American Gear Manufacturers Association. Standard 2001-B88, Fundamental Rating Factors and Calculation Methods for Involute Spur and Helical Gear Teeth. Alexandria, Va.: American Gear Manufacturers Association, 1988.

Clavijo, Andrés y Torrealba, Rafael, Elementos de Máquinas. Parte 2. Guía teórica (2004).

Drago, Raymond J. Fundamentals of Gear Design, Butterworths, Boston (1988). ISBN 978-0409901276.

Dudley, Darle W, Handbook of Practical Gear Design, McGraw-Hill Book Company, Nueva York (1984). ISBN 978-1566762182.

Mott, Robert L., Diseño de elementos de máquina. Segunda edición. Prentice Hall hispanoamericana, s.a. (1992). ISBN 968-880-575-0.

Shigley, Joseph Edward y Mischke, Charles R., Diseño en ingeniería mecánica, quinta edición, McGraw-Hill (1998). ISBN 84-481-0817-5.