Cuaderno No. 10 Geometría Algebraica

7/13/2019 Cuaderno No. 10 Geometra Algebraica

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CUADERNOS DE ALGEBRA

No. 10

Geometra algebraica

Oswaldo Lezama

Departamento de Matematicas

Facultad de Ciencias

Universidad Nacional de Colombia

Sede de Bogota

30 de junio de 2014


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ii

Cuaderno dedicado a Nelson Leonardo, mi hermano.


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Contenido

Prologo iv

1. Conjuntos algebraicos afines 11.1. Preliminares algebraicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2. El espacio afn y los conjuntos algebraicos . . . . . . . . . . . . . . . 51.3. El ideal de un conjunto de puntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.4. Conjuntos algebraicos e hipersuperficies. . . . . . . . . . . . . . . . . 101.5. Componentes irreducibles de un conjunto algebraico . . . . . . . . . . 111.6. Subconjuntos algebraicos del plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.7. Teorema de ceros de Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.8. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2. Variedades afines 26

2.1. Variedades y algebras afines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262.2. Morfismos polinomiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282.3. Cambio de coordenadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352.4. Funciones racionales y anillos locales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412.5. Ideales con un numero finito de ceros . . . . . . . . . . . . . . . . . . 482.6. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

3. Propiedades locales de curvas planas 533.1. Puntos multiples y rectas tangentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 533.2. Multiplicidades y anillos locales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

3.3. Polinomio de Hilbert-Samuel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 613.4. Numero de intersecciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 633.5. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

4. El espacio proyectivo 714.1. Espacios proyectivos, espacios afines. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 714.2. Conjuntos algebraicos proyectivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 754.3. Variedades proyectivas y algebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 794.4. Algebraicos afines, algebraicos proyectivos . . . . . . . . . . . . . . . 85

iii


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iv CONTENIDO

4.5. Producto cartesiano de espacios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

4.6. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

5. Curvas planas proyectivas 1015.1. Definiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1015.2. Sistemas de curvas planas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1055.3. Teorema de Bezout . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1075.4. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

6. Topologa de Zariski, haces y esquemas 1156.1. La topologa de Zariski de un anillo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1156.2. Espacios noetherianos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

6.3. Dimension de espacios y anillos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1276.4. Prehaces y haces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1316.5. Esquemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1406.6. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144

Bibliografa 145


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Prologo

La coleccion Cuadernos de algebraconsta de 10 publicaciones sobre los principalestemas de esta rama de las matematicas, y pretende servir de material para prepararlos examenes de admision y de candidatura de los programas colombianos de doc-torado en matematicas. Los primeros cinco cuadernos cubren el material basico delos cursos de estructuras algebraicas y algebra lineal de los programas de maestra;los cinco cuadernos siguientes contienen algunos de los principales temas de losexamenes de candidatura, a saber: anillos y modulos; categoras; algebra homologica;algebra no conmutativa; algebra conmutativa y geometra algebraica. Cada cuadernoes fruto de las clases dictadas por el autor en la Universidad Nacional de Colombiaen los ultimos 25 anos, y estan basados en las fuentes bibliograficas consignadas encada uno de ellos, como tambien en el libro Anillos, Modulos y Categoras, publi-cado por la Facultad de Ciencias de la Universidad Nacional de Colombia, y cuyaedicion esta totalmente agotada (vease [18]). Un material similar, pero mucho mas

completo que el presentado en estas diez publicaciones, es el excelente libro de SergeLang, Algebra, cuya tercera edicion revisada ha sido publicada por Springer en el2004 (vease [10]). Posiblemente el valor de los Cuadernos de algebra sea su pre-sentacion ordenada y didactica, as como la inclusion de muchas pruebas omitidasen la literatura y suficientes ejemplos que ilustran la teora. Los cuadernos son:

1. Grupos 6. Anillos y modulos2. Anillos 7. Categoras

3. Modulos 8. Algebra homologica

4. Algebra lineal 9. Algebra no conmutativa

5. Cuerpos 10. Algebra conmutativa y geometra algebraica

Los cuadernos estan dividido en captulos, los cuales a su vez se dividen ensecciones. Para cada captulo se anade al final una lista de ejercicios que debera sercomplementada por los lectores con las amplias listas de problemas que inluyen lasprincipales monografas relacionadas con el respectivo tema.

Cuaderno de geometra algebraica. El presente cuaderno esta dedicadoa los temas introductorios y basicos de la geometra algebraica. Se estudian lasvariedades afines y proyectivas desde la perspectiva de la teora de anillos y modulosconmutativos. El material presentado podra servir de base para emprender estudios

v


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vi PROLOGO

posteriores en aspectos avanzados de la geometra algebraica, tales como la resolucion

de singularidades, la teora abstracta de las variedades, las tecnicas constructivas ola geometra algebraica no conmutativa.El captulo 1 esta dedicado a los objetos que estudia la geometra algebraica

elemental: los conjuntos algebraicos del espacio afn, es decir, los conjuntos de ceroscomunes de polinomios fi(x1, . . . , xn) K[x1, . . . , xn], 1 i m, K un cuerpo.Se probara el teorema posiblemente mas importante de la geometra algebraica, elteorema de ceros de Hilbert. En el captulo 2 estudiaremos los algebraicos irredu-cibles del espacio afnAn(K), los cuales llamaremos variedades, as como las algebrasafines y los anillos locales asociados. Se introducen tambien los morfismos polinomia-les entre variedades as como los cambios afnes de coordenadas. El analisis de lassingularidades de curvas planas es considerado en el captulo 3 a traves de la nocion

de multiplicidad de una curva plana y del numero de intersecciones. Las variedadesproyectivas y las curvas planas proyectivas son estudiadas en los captulos 4 y 5,se incluye el teorema de Bezout sobre el calculo del numero de intersecciones dedos curvas planas proyectivas. En el ultimo captulo se hace una introduccion a lateora de haces y esquemas lo cual dara las bases para estudios posteriores de lasvariedades abstractas.

El autor desea expresar su agradecimiento a Claudia Milena Gallego Joya, dis-cpula y amiga, por la revision cuidadosa de todo el contenido.

Oswaldo LezamaDepartamento de Matematicas

Universidad Nacional de ColombiaBogota, Colombia

[email protected]


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Captulo 1

Conjuntos algebraicos afines

1.1. Preliminares algebraicos

Salvo que se advierta lo contrario, K denotara un cuerpo arbitrario. En algunaspartes asumiremos adicionalmente queK es algebraicamente cerrado.

En esta seccion concentramos algunos preliminares algebraicos requeridos en elpresente cuaderno.

Proposicion 1.1.1. Todo cuerpo algebraicamente cerrado es infinito.

Demostracion. Sobre cualquier cuerpo K existe un numero infinito de polinomios

monicos irreducibles. En efecto, supongamos lo contrario y sean f1, . . . , f n los poli-nomios irreducibles deK[x], entonces f1 fn+ 1 es reducible y se debe factorizaren la forma f1 fn+ 1 = fr11 frnn , donde al menos un ri es positivo. De estaforma,fi| 1, lo cual es falso.

Pero si K es algebraicamente cerrado, los polinomios irreducibles son de la formax a, con a K. Esto muestra queK es infinito.Ejemplo 1.1.2.Res infinito pero no es algebraicamente cerrado.

Teorema 1.1.3. SeaL un cuerpo que contiene un cuerpo algebraicamente cerradoK y supongase que existe un homomorfismo sobreyectivo deK[x1, . . . , xn] enL que

actua identicamente sobreK. Entonces,L = K.Demostracion. Tenemos por hipotesis queK L. Vamos a probar queL K.

(a) Como primer paso veamos que siz L es algebraico sobre K, entoncesz K:existe un polinomio monicop(x)K[x] tal que p(z) = 0, es decir, zes una raz de

p(x), pero comoK es algebriacamente cerrado entonces z K.(b) La idea ahora es ver que todos los elementos de L son algebraicos sobre

K. Vamos a suponer que L es una extension finita deK, es decir,L es un espaciovectorial de dimension finitam 1 sobre K. Seaz L, entonces 1, z , z 2, . . . , z m son

1


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2 CAPITULO 1. CONJUNTOS ALGEBRAICOS AFINES

linealmente dependientes sobreK y existen a0, a1, . . . , amK no todos nulos talesque a0+a1z+ +am1z

m1

+amzm

= 0. Esogemos el mayor ndice r tal que arsea no nulo. Entoncesa0 + a1z+ + ar1zr1 + zr = 0, y por tanto, zes algebraicosobreK. Segun (a),z K.

(c) Debemos ahora demostrar que L es una extension finita de K. Basta de-mostrar que L es finitamente generado sobreK. Sea : K[x1, . . . , xn] L unhomomorfismo sobreyectivo de anillos que actua identicamente sobre K. Esto impli-ca que es un homomorfismo sobreyectivo de K-algebras, es decir, el homomorfismo es tambien una transformacion lineal. Sea (xi) =vi, 1 i n. Entonces notesequeL = K[v1, . . . , vn], y podemos entonces decir queL es una extension del cuerpoKque se obtiene adjuntando aK los elementos v1, . . . , vn L. Debemos demostrarque L es finitamente generado como espacio vectorial sobre K. La prueba se hara porinduccion sobre n.

Paso 1. SeaL =K[v], entonces en este caso el homomorfismo sobreyectivo :K[x]L implica queL = K[x]/ ker(). Notese que ker() es no nulo ya que de locontrarioK[x] sera un cuerpo. De manera similar, ker() es propio ya que actuaidenticamente sobre K. En conclusion, ker() es generado por un polinomio monicoirreducible de grado mnimor. Se observa entonces que dimK(L) =r. Esto completala prueba en el caso n = 1.

Paso 2. Vamos a analizar la prueba en el caso n= 2 para comprender mejor laprueba de induccion. Sea : K[x1, x2] L sobreyectivo actuando identicamentesobreK. Entonces,L = K[v1, v2] = K[v1][v2] K(v1)[v2] L[v2] = L, dondeK(v1)es el cuerpo de fracciones de K[v1] (notese que K(v1) L ya que K[v1] L).Entonces,L es un cuerpo que contiene aK(v1) y obtenido adjuntando el elementov2 a este cuerpo. Segun el paso 1,L es finitamente generado sobreK(v1). Restarademostrar queK(v1) es finitamente generado sobreK.

Paso 3. L = K[v1, . . . , vn] = K(v1)[v2, . . . , vn], luego L es una extension de K(v1)que se obtiene adjuntando v2, . . . , vn L a este cuerpo. Por induccion podemossuponer que L es finitamente generado sobreK(v1), y otra vez, si probamos queK(v1) es finitamente generado sobre K, entonces la prueba de (c) habra terminado.

Tenemos pues que demostrar queK(v1) es finitamente generado sobre K, paraello demostremos quev1 es algebraico sobre K, es decir, satisface un polinomio p(x)monico irreducible con coeficientes enK, de ser as, entonces razonamos como en elpaso 1 yK[v1]=K[x]/p(x) es un cuerpo, y en consecuenciaK(v1) =K[v1] es dedimension finita sobreK.

Vamos entonces a suponer que L =K[v1, . . . , vn] =K(v1)[v2, . . . , vn] es finita-mente generado sobre K(v1) y vamos a demostrar que v1 es algebraico sobre K.Supongamos contrariamente que v1 no es algebraico sobreK, es decir,K[v1] es iso-morfo aK[x] yK(v1) es isomorfo al cuerpo de fracciones racionales K(x) (este esel cuerpo de fracciones deK[x]). Si obtenemos una contradiccion la prueba de (c)habra terminado.


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1.1. PRELIMINARES ALGEBRAICOS 3

Puesto queK(v1)[v2, . . . , vn] es finitamente generado sobreK(v1), entoncesL =

K(v1)[v2, . . . , vn] es una extension finita deK(v1), por tanto, cada elemento deL =K[v1, . . . , vn] es algebraico sobre K(v1). Esto implica que para cada vi, 1 in, existe un polinomio monico pi(x) con coeficientes en K(v1) tal que pi(vi) = 0.Entonces, vrii +ari1,iv

ri1i + +a1,ivi+a0,i = 0, donde los coeficicientesaji K(v1).

Podemos escoger un polinomio comun a K[v1] multiplo de todos los denominadoresde todas las fracciones aji tal que (avi)

ri +aari1,i(avi)ri1 + +ari1a1,i(avi) +

aria0,i = 0, 1 i n, y ahora todos los coeficientes son de K[v1]. Es decir, tenemosun polinomio a K[v1] tal que av1, . . . , a vn son enteros sobre K[v1]. Si tomamosahora cualquier elemento z K[v1, . . . , vn], es decir, cualquier expresion polinomicaenv1, . . . , vn , encontraremos un entero s >0 dependiente deztal quea

szes enterosobreK[v1] (la suma y producto de elementos enteros es un elemento entero). Enparticular, esto debe ser cierto para cada z K(v1), pero esto es una contradiccionsegun la propiedad que se demuestra en el siguiente y ultimo paso.

Paso 4. No existe polinomio no nulo aK[x] tal que para cada zK(x), aszsea entero sobreK[x] para un cierto s entero dependiente de z. En efecto, sea b unpolinomio irreducible de K[x] que no divide aa, entonces tomandoz= 1b se tiene queas

b no es entero sobreK[x] para ningun entero s >0: supongamos que existe s >0

entero tal que as

b es entero sobreK[x]. Entonces existe un polinomio monico q(z)con coeficientes en K[x] tal que q(as

b) = 0, resulta entonces que b divide aats, donde

tes el grado deq(z). Puesto que b es irreducible , entoncesb divide al polinomio a,lo cual es falso.

Proposicion 1.1.4. SeaL = K (x) el cuerpo de fracciones deK[x]. Entonces,L es un cuerpo extension deK finitamente generado, pero no es anillo extensionfinitamente generado deK.

Demostracion. Para comenzar recordemos un par de definiciones: sea L un cuerpoextension del cuerpo K, se dice que L es un cuerpo extension deK finitamentegenerado, si existen elementos v1, . . . , vr L tales queL =K (v1, . . . , vr). De otraparte, se R un anillo y sea Sun anillo extension de R, se dice que S es un anilloextension de R finitamente generado, si existen elementos v1, . . . , vr S tales queS=R[v1, . . . , vr].

ObviamenteK (x) es una extension finitamente generada del cuerpoK. Veamosque considerados como anillos, K(x) no es una extension finita de K. En efecto,supongamos que existen v1, . . . , vrK(x) tales queK(x) =K[v1, . . . , vr], con vi =pi(x)qi(x)

, 1ir y sea q= q1(x) qr(x). Sea zK(x), entonces zes de la formaz=

a(i)p1(x)q1(x)

i1 pr(x)qr(x)

ir, podemos encontrar unn suficientemente grande tal

quezqn K[x]; sifes un polinomio irreducible que no divide a q, entonces 1f K(x)

pero 1f

qn / K[x] para cada n 1, lo cual es una contradiccion.


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Proposicion 1.1.5. SeaK un subcuerpo algebraicamente cerrado del cuerpo L.

Entonces,(i) Cualquier elemento deL que sea algebraico sobreK esta enK.

(ii) SiL es una extension finita deK, entoncesL = K.

Demostracion. (a) Siz L es algebraico sobre K entonceszes raz de un polinomiomonico con coeficientes en K, pero como K es algebraicamente cerrado entoncesz K.

(b) Sea n= [L : K] y sea zL, entonces 1, z , . . . , z n son linealmente dependi-entes y por lo tanto existen a0, . . . , an K tal que a0 + a1z+ +anzn = 0, esdecir,zes algebraico sobreK. Segun (a),z K. Por lo tanto, [L : K] = 1, es decir,L = K.Definicion 1.1.6. SeaR un dominio de integridad(DI)que no es un cuerpo, se dicequeR es un dominio de valuacion discreta (DVD) siR es local, noetherianoy su ideal maximal es principal.

Teorema 1.1.7. SeaR un DI que no es un cuerpo. Entonces, R es un DVD si ysolo si existe un elemento irreducible t R tal que cada elemento no nulo z Rpuede ser escrito de manera unica en la forma z = utn, donde u R y n es unentero no negativo. Se dice quet es unpar ametro uniformizantedeR.

Demostracion.) Sea Mel maximal de R y sea M =t. Sea zR no nulo, si zes invertible entonces z= ut

0

, sea entonces zno invertible, por lo tanto z M, conlo cualz= z1t. Siz1 es invertible, hemos terminado. Si z1 no es invertible, entoncesz1 = z2t con lo cualz= z2t

2. Se tiene la cadena

z z1 z2 Esta cadena se detiene cuandozn1 = znt, conzninvertible. Pero comoRes noethe-riano la cadena debe detenerse, por lo tanto, existe n tal que zn1 = znt, con zninvertible. Esto implica que z= znt

n, con zn invertible. Veamos ahora la unicidad:siznt

n =zmtm conn > m, entoncesz1m znt

nm = 1, de donde t resulta invertible enM, pero esto no es posible. Por lo tanto, n = m y tambien zn= zm.

) Vamos a probar que M =

t

es el unico ideal maximal de R y ademas que

R es un dominio de ideales principales (DIP). Sea Iun ideal maximal de R, comoRno es un cuerpo entoncesIes no nulo, seax Ino nulo, entoncesx = utn, dondeu R. De esto se sigue que I M, pero como Ies maximal, entonces I = M.Sea ahora Jun ideal no nulo de R, y sea zno nulo de J, entonces z=utn, dondeu R, cada zdetermina un n, escojamos n mnimo y veamos que J =tn: esclaro que tn J, pero cualquier otro elemento deJes de la formautm conm n,por lo tanto utm =utmntn tn. Con lo anterior se tiene que R es un DI local ynoetheriano con su maximal principal.


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1.2. EL ESPACIO AFIN Y LOS CONJUNTOS ALGEBRAICOS 5

1.2. El espacio afn y los conjuntos algebraicos

En esta seccion presentamos los objetos que estudia la geometra algebraica ele-mental: los conjuntos algebraicos del espacio afn, es decir, los conjuntos de ceroscomunes de polinomiosfi(x1, . . . , xn) K[x1, . . . , xn], 1 i m.

Definicion 1.2.1. Sean 1 un entero. Entonces,

(i) Elespacio afnde dimensionn sobre el cuerpoK se define por

An (K) := {(a1, . . . , an) | ai K, 1 i n}.

(ii) El plano afnesA2 (K).

(iii) La recta afnesA1 (K).

(iv) Un cero de un polinomio f K[x1, . . . , xn] es un elemento (a1, . . . , an)An (K) tal quef(a1, . . . , an) = 0.

(v) Unahipersuperficie es el conjunto de todos los ceros de un polinomio noconstantef y se denota porV(f):

V (f) :=

{(a1, . . . , an)

An (K)

|f(a1, . . . , an) = 0

}.

(vi) Un hiperplano de An (K) es una hipersuperficie, donde f es de la formaf=b0+ b1x1+ + bnxn.

(vii) Una curva planaafn es una hipersuperficie del plano afn.

(viii) Un hiperplano deA2 (K) es una recta.

Definicion 1.2.2. Un subconjuntoX deAn (K) esalgebraico siXes la coleccionde ceros de un conjunto S de polinomios deK[x1, . . . , xn]. En otras palabras, losconjuntos algebraicos del espacio afn son los conjuntos de la forma

V (S) := {(a1, . . . , an) An (K) | f(a1, . . . , an) = 0 para cadaf S}

dondeS K[x1,...,xn].

Notese que

V (S) =fS

V (f) .


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Ejemplo 1.2.3. Algunos ejemplos de conjuntos algebraicos son los siguientes:

(i)V(y2

xy x2

y+ x3

) =V (y (y x) x2

(y x)) =V((y x) (y x2

)) ={(x, y)A2 (R)|y =x oy =x2}={(x, y)A2 (R)|y =x} {(x, y)A2 (R)|y = x2}. (ii) V (y2 x (x2 1)) ={(x, y)A2 (R)|y =

x (x2 1)} {(x, y)

A2 (R) | y= x (x2 1)}.(iii)V(x2 + y2 4, xy 1) =V(x2 + y2 4)V(xy 1)(iv)V(z2 x2 y2)Ejemplo 1.2.4. Veamos que

X= {(x, y) A2 (R) | y= sen(x)}no es un conjunto algebraico del plano afn. Supongamos que X es algebraico,entonces existe un conjunto no vaco de polinomios no constantes S R[x, y]tal que X = V(S). Sea f(x, y) = f0(y) + f1(y)x + + fm(y)x

m

S, dondefi(y) R[y], 0 i m. Para un y0 fijo,1 y0 1, el polinomio f(x, y0) =f0(y0) +f1(y0)x+ + fm(y0)xm tiene infinitas races ya que la funcion seno esperiodica. Entonces, fi(y0) = 0 para cada1 y0 1 y cada 1 i m. Estoindica que fi tiene infinitas races, luego fi = 0 para cada 1 i m, i.e., f= 0, locual es una contradiccion.

El siguiente teorema muestra las principales propiedades de los conjuntos al-gebraicos. En particular, se demostrara que el espacio afn An(K) es un espaciotopologico.

Teorema 1.2.5. El espacio afnAn(K) tiene las siguientes propiedades basicas:

(i) Si S K[x1, . . . , xn], entonces V (S) = V (I), con I =S. Todo conjun-to algebraico del espacio afn es de la forma V(I), donde I es un ideal deK[x1, . . . , xn]. Ademas, seanI, J ideales deK[x1, . . . , xn]. Entonces,

I J V (J) V (I).(ii) La interseccion de una coleccion arbitraria de conjuntos algebraicos es un con-

junto algebraico: sea{Ix}xCuna familia de ideales deK[x1, . . . , xn], entonces

xCV (Ix) =V(

xCIx) =V(

xCIx).

(iii) SeaI un ideal deK[x1, . . . , xn], entoncesV(I) =V(

I).

(iv) Seanf, g K[x1, . . . , xn], entoncesV (f g) =V(f) V(g).(v) La union finita de conjuntos algebraicos es un conjunto algebraico, e.d., siI , J

son ideales deK[x1, . . . , xn], entonces

V (I) V(J) =V(I J) =V (IJ) =V ({f g| f I, g J}) .


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1.3. EL IDEAL DE UN CONJUNTO DE PUNTOS 7

(vi) V(0) =An (K), es decir, An (K) es algebraico.

(vii) V (K[x1, . . . , xn]) = , es decir, es algebraico.(viii) (An(K), ) es un espacio topologico en el cual los conjuntos algebraicos con-

forman la coleccion de cerrados,

:= {V(I) | Ies un ideal deK[x1, . . . , xn]}.La topologa se conoce como latopologa de ZariskideAn(K).

(ix) (a1, . . . , an) An (K) V (x1 a1, . . . , xn an) = {(a1, . . . , an)}.(x) Cualquier subconjunto finito del espacio afn es algebraico y, por lo tanto,

cerrado.

Demostracion. Todas las afirmaciones del teorema son consecuencia directa de lasdefiniciones. Mostraremos a continuacion solamente la prueba de los numerales (iii),(v) y (ix).

(iii) Sabemos que I I, luego V(I) V (I); sea (a1, . . . , an) V(I),entonces para cada f I se tiene que f(a1, . . . , an) = 0, y sea g

I, entonces

exister 1 tal quegr I, luegogr (a1, . . . , an) = 0 = (g (a1, . . . , an))r, por lo tantog (a1, . . . , an) = 0, es decir, (a1, . . . , an) V(

I).

(v) Puesto que IJ I, J, entonces V(I)V(J) V(IJ). De maneraanaloga, como IJ

I

J, entonces V(I

J)

V(IJ). Es claro que V (IJ) =

V ({f g| f I, g J}). Para concluir veamos queV(IJ) V(IJ) V(I)V(J):para la primera inclusion, seanP V(IJ) yh I J, entoncesh2 IJ, de dondeh2(P) = 0, es decir, h(P) = 0, luego P V(I J); para la segunda supongamosque P / V(I) V(J), entonces P / V(I) y P / V(J), luego existen f I andg J tales que f(P)= 0 y g(P)= 0. Por lo tanto, f g I J y f g(P)= 0, esdecir,P / V(I J).

(ix) Es claro que{(a1, . . . , an)} V(x1 a1, . . . , xn an), sea (b1, . . . , bn)V (x1 a1, . . . , xn an) =V(x1 a1) V(xn an), entonces necesariamenteb1= a1, . . . , bn= an.

1.3. El ideal de un conjunto de puntosEn la seccion anterior vimos que cada ideal de K[x1, . . . , xn] determina un algebraicode An(K), veremos en la presente seccion la asignacion recproca, es decir, a cadasubconjunto de An(K) le asignamos un ideal deK[x1, . . . , xn].

Definicion 1.3.1. SeaX An(K), se define el ideal deX porI(X) := {f K[x1, . . . , xn] | f(a1, . . . , an) = 0 para cada(a1, . . . , an) X}.


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El siguiente teorema puede ser considerado como el dual del teorema 1.2.5.

Teorema 1.3.2. SeanX, Y An(K) y seaS K[x1, . . . , xn]. Entonces,(i) X Y I(Y) I(X).

(ii) S I(V(S)).(iii) X V(I(X)).(iv) V(I(V(S))) =V(S). Por lo tanto, siVes un conjunto algebraico del espacio

afnAn (K), entoncesV(I(V)) =V.

(v) I(V(I(X))) =I(X). Por lo tanto, siIes el ideal de un conjunto de puntos,

entoncesI(V(I)) = I.

(vi) SeaI un ideal deK[x1, . . . , xn], entoncesI

I I(V(I)).(vii)

I(X) =I(X).

(viii) I() = K[x1, . . . , xn].(ix) I(An (K)) = 0 K es infinito.(x) I({(a1, . . . , an)}) = x1 a1, . . . , xn an.

Demostracion.Las pruebas de las afirmaciones del teorema son consecuencia directade las definiciones. Veamos solamente las pruebas de (ix) y (x).

(ix)) Supongamos queK es finito, sea|K|= q, entonces An (K) tiene p= qnelementos diferentes, digamos

(a(1)1 , . . . , a

(1)n ), (a

(2)1 , . . . , a

(2)n ), . . . , (a

(p)1 , . . . , a

(p)n ).

Notemos que el polinomio

f(x1, . . . , xn) = (x1 a(1)1 ) (xn a(1)n ) (x1 a(p)1 ) (xn a(p)n )es no nulo y se anula en todos los puntos de An(K), es decir,I(An (K)) = 0.

) Si K es infinito la prueba la realizamos por induccion sobren. Paran = 1 se

tiene entonces un polinomio en una indeterminada con infinitas races, esto ocurresolamente cuando el polinomio es nulo. Supongamos que la propiedad es cierta paran 1 indeterminadas y sea f K[x1, . . . , xn] tal que f(a1, . . . , an) = 0 para cada(a1, . . . , an)An (K). Podemos escribir f =

mi=1fix

in, donde fiK[x1, . . . , xn1],

entonces dado (a1, . . . , an1) An1(K), el polinomiom

i=1fi(a1, . . . , an1) xin tiene

infinitas races en K ya que K es infinito. Luego, fi(a1, . . . , an1) = 0 para cada(a1, . . . , an1) An1(K). Aplicando induccion se tiene que fi = 0 para cada 1i m, y entonces f= 0.


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1.3. EL IDEAL DE UN CONJUNTO DE PUNTOS 9

(x) La inclusionx1 a1, . . . , xn an I({(a1, . . . , an)}) es evidente. La otrainclusion la probamos por induccion sobre el numero n de indeterminadas. Paran= 1 la afirmacion es consecuencia directa del teorema del resduo. Vamos a supon-er que el teorema es cierto para n1 indeterminadas. Sea f I({a1, . . . , an}),f(x1, . . . , xn), podemos dividir f(x1, . . . , xn) entre xnan y obtener la descom-posicion f(x1, . . . , xn) = (xn an) gn(x1, . . . , xn) + h0(x1, . . . , xn1). Puesto quef(a1, . . . , an) = 0, entonces h0(a1, . . . , an1) = 0 y aplicamos induccion. Por lotanto, f = (xn an) gn(x1, . . . , xn) + + (x1 a1) g1(x1, . . . , xn1), es decir, fx1 a1, . . . , xn an.

Otra propiedad interesante de los ideales de conjuntos de puntos se presenta enla siguiente proposicion.

Proposicion 1.3.3. Sea{Xi}iC una coleccion de subconjuntos de An (K). En-tonces, I

iCXi

=

iCI(Xi).

Demostracion. Puesto que Xi

iCXi para cada i C , entonces I

iCXi

I(Xi), para cada i C, luego I

iCXiiCI(Xi). Sea fiCI(Xi) y sea

(a1, . . . , an)

iCXi, entonces (a1, . . . , an)Xi0 para alguni0 C, luego se tienequef(a1, . . . , an) = 0 ya que f I(Xi0), esto indica que f I

iCXi

.

Ejemplo 1.3.4. SiX An (K) no es un conjunto algebraico entonces puede ocurrirque X=V (I(X)): consideremos el conjunto X={(x, y)A2 (R)|y = sen (x)},sabemos que Xno es algebraico luego no se puede tener la igualdad X=V(I(X))

(de tenerse X sera algebraico).

Ejemplo 1.3.5. Si I K[x1, . . . , xn] no es un ideal de un conjuntos de puntosentonces puede ocurrir que I= I(V(I)): en efecto, sea I =f, donde f es unpolinomio no constante deK[x], entonces V (I) es el conjunto de ceros que tiene fenK. Si V (I) =, entonces I(V (I)) =K[x] y por lo tanto I I(V (I)). Estoocurre por ejemplo con f=x2 + 1 enR[x].

Ejemplo 1.3.6. En relacion con la propiedad (ix) del teorema 1.3.2, se tiene elsiguiente contraejemplo: sea p (x) = x2 +x Z2[x], entonces p (a) = 0 para cadaa A1 (Z2) = Z2, es decir, I(A1 (Z2)) = 0.

De los teoremas1.2.5y 1.3.2resultan las siguientes funciones: seaI la coleccionde ideales deK[x1, . . . , xn],IP la coleccion de ideales de puntos,Pla coleccion detodos los subconjuntos deAn(K) y la coleccion de algebraicos deAn(K). Entonces,sea v la funcion que asigna a cada ideal I el algebraico V(I) y sea ila funcion queasigna a cada subconjunto Xel idealI(X),

I v P P i IP I I V(I) X I(X).


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Notemos que Im(v) = y v no es inyectiva. En efecto, en A3(R) se tiene que

V(x2

+y2

+ 1) = = V(x2

+z2

+ 1). De igual manera, Im(i) =IP pero i no esinyectiva (pruebese !). Sin embargo, sea v la restriccion dev aIPei la restriccionde i a, entonces se tiene que i v =idIP yv i =id.

1.4. Conjuntos algebraicos e hipersuperficies

En esta seccion expresaremos los conjuntos algebraicos propios a traves de hiper-superficies. Ademas probaremos que si K es un cuerpo algebraicamente cerrado,entonces cada abierto no vaco de An(K) es infinito.

Teorema 1.4.1. SeaK

un cuerpo cualquiera. Entonces,

(i) Cada conjunto algebraico propio de An (K) es la interseccion de un numerofinito de hipersuperficies.

(ii) SiK es infinito, entoncesAn (K) no es la interseccion de un numero finito dehipersuperficies, y por lo tanto, no es una hipersuperficie.

(iii) SiK es finito, entoncesAn (K) es una hipersuperficie.

Demostracion. (i) Sea V(I) un conjunto algebraico propio de An (K), donde I esun ideal deK[x1, . . . , xn]. I

= 0 ya que de lo contrario V(0) = An (K). Si I =

1

,

entonces V(1) = =V(x1 a)V(x1 b), dondea =b son elementos de K. Seaentonces Iun ideal no nulo y propio, Ies f.g, digamos I=f1, . . . , f m, donde lospolinomios fi no son constantes, 1 i m. Entonces,I= f1 + + fmy por lotantoV (I) =V (f1 + + fm) =V (f1) V (fm) =V (f1)V(fm).

(ii) Supongamos lo contrario, si An (K) = V (f1) V (fm), donde fi no esconstante, 1im, entonces An (K) =V (fi) para cada i. Resulta, I(An (K)) =I(V (fi)) {fi}. ComoK es infinito, I(An (K)) = 0 y por lo tanto fi = 0, lo cuales una contradiccion.

(iii) Si K es finito entoncesAn (K) =V (f), dondefes el polinomio no constantede la prueba del teorema1.3.2.

Proposicion 1.4.2. SeanK un cuerpo infinito y fK[x1, . . . , xn] un polinomiono constante. Entonces,

(i) V(f)c es infinito.

(ii) El complemento de cualquier conjunto algebraico propio es infinito. Por lotanto, cada abierto no vaco deAn(K) es infinito.

(iii) SiK es algebraicamente cerrado yn= 1, entoncesV(f) es finito no vaco.


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1.5. COMPONENTES IRREDUCIBLES DE UN CONJUNTO ALGEBRAICO 11

(iv) SiK es algebraicamente cerrado, entonces paran 2, V (f) es infinito.Demostracion. (i) Existe (a1, . . . , an) An (K) V (f), de lo contrario An (K) =V (f) y entonces 0 = I(An (K)) = I(V (f)) {f}, lo que es falso ya que f es noconstante. Sea g1 := (x1 a1) f+ + (xn an) f, entonces V (f) V(g1) y g1es no constante, luego existe (b1, . . . , bn) An (k) V (g1) An (k) V (f). Seag2 = (x1 b1) g1+ + (xn bn) g1, entoncesV (g1) V (g2) yg2 es no constante,podemos continuar indefinidamente de esta manera y concluir queAn (k) V (f) esinfinito.

(ii) SeaV (I) un algebraico no vaco (para se tiene que c =An (K) es infinito).Como es propio, entoncesV (I) =V (f1) V (ft), dondeI= f1, . . . , f t y cadafi es no constante. Por lo tanto, V (I)

c = V (f1)c V (ft)c es union finita de

infinitos.(iii) Notese que si n= 1 entonces V(f) ={a K |f(a) = 0}es finito no vacoya queK es algebraicamente cerrado.

(iv) Sea n 2, como f no es constante, entonces f es un polinomio en almenos una variable xj , entonces digamos que f es de grado m 1 en esta va-riable, f = f0 + f1xj + + fmxmj , donde fi K[x1, . . . , xj1, xj+1 . . . , xn1],1 i m y fm= 0. Si fm es una constante entonces fm evaluado en cada pun-to de An1(K) es no nulo, si fm no es una constante entonces por la parte (i)ya probada existen infinitos valores (b1, . . . , bj1, bj+1, . . . , bn) enA

n1(K) tales quefm(b1, . . . , bj1, bj+1, . . . , bn) = 0. As pues, en ambos casos, existen infinitos valores(b1, . . . , bj1, bj+1, . . . , bn) en A

n1(K) tales que fm(b1, . . . , bj1, bj+1, . . . , bn)

= 0.

Pero para cada uno de estos valores el polinomio f(b1, . . . , bj1, xj, bj+1, . . . , bn) tieneal menos una solucion bj ya que K es algebraicamente cerrado. Por lo tanto laecuacion f= 0 tiene infinitas soluciones, e.d., V(f) es infinito.

Ejemplo 1.4.3. En relacion con la proposicion anterior se tiene que si K es uncuerpo finito, entonces para cada polinomio f K[x1, . . . , xn], V(f)c y V(f) sonfinitos. De igual manera, todo abierto de An(K) es finito. De otra parte, si K esinfinito, pero no es algebraicamente cerrado, entonces en (iii) y (iv), V(f) puede servaco. En efecto, podemos tomar K = Ry considerar en (iii), f =x2 + 1 y en (iv),f=x2 + y2 + 1.

1.5. Componentes irreducibles de un conjunto al-gebraico

En esta seccion expresaremos los conjuntos algebraicos a traves de algebraicos irre-ducibles.

Definicion 1.5.1. Un conjunto algebraico V =V(S) deAn (K) esreducible siVse puede expresar en la formaV =V1 V2, dondeV1, V2 son conjuntos algebraicos


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deAn (K) yVi=V para i= 1, 2. En caso contrario se dice queV esirreducible.El conjunto vaco es por definicion irreducible.

Proposicion 1.5.2. An(K) es irreducible K es infinito

Demostracion. SiK es finito, entonces An (K) es finito no vaco, y por lo tanto, esunion finita de conjuntos algebraicos propios. Es decir, An (K) es reducible.

SeaK infinito, supongamos que An(K) es reducible, entonces An(K) = V(I) V(J), con V(I) An(K), V(J) An(K). Entonces, V(I) = V(f1) V(fs) yV(I) =V(g1) V(gr), donde fi y gj son polinomios no constantes, 1is,1 j r. Resulta, An(K) =

i,jV(figj), donde cada figj es no constante, e.d.,

An(K) es interseccion de un numero finito de hipersuperficies, pero esto es falso ya

queK es infinito (teorema1.4.1).

Observacion 1.5.3. Tal y como vimos en la demostracion anterior, An(K) es re-ducible cuandoK es finito.

Proposicion 1.5.4. SeaV un conjunto algebraico deAn (K). V es irreducible novaco I(V) es primo.

Demostracion.) SeaV un conjunto algebraico no vaco. Notese queI(V) es pro-pio, de lo contrario I(V) =1, y entonces V = V (I(V)) = V (1) =. Seanf, g

K[x1, . . . , xn] tales que f g

I(V), entonces

{f g

} I(V) y V = V(I(V))

V(f g) = V(f)V(g). Se obtiene entonces VV (V(f)V(g))V, e.d.,V (V(f)V) (V(g)V) V, por lo tanto,V = (V(f)V)(V(g)V). ComoVes irreducible entoncesV(f) V =V o bien V =V(g) V, de donde, V V(f)oV V(g). Esto implica queI(V) I(V(f)) {f} oI(V) I(V(g)) {g}, e.d.,f I(V) o g I(V).

) Sea I(V) primo, entonces I(V) es propio, y en consecuencia V es no vaco.En efecto, si V = , entoncesI(V) = K[x1, . . . , xn]. Sea V =V(I) V(J), entoncesI(V) =I(V(I)V(J)) = I(V(I))I(V(J)) IJ IJ, pero comoI(V) es primo,entonces I I(V) o bien J I(V), por lo tanto, V(I(V)) V(I) o V(I(V))V(J), e.d.,V V(I) o bien V V(J), luegoV =V(I) o V =V(J).

Proposicion 1.5.5. En cada coleccion no vaca de conjuntos algebraicos deAn (K)hay al menos un elemento minimal.

Demostracion. Sea {Vi}iCuna coleccion no vaca de algebraicos de An (K), entoncesse tiene la coleccion no vaca {I(Vi)}iC de ideales del anillo K[x1, . . . , xn], como esteanillo es noetheriano, entonces existe un elemento maximal I(Vi0) en la coleccionde ideales. En consecuencia,Vi0 es minimal en la coleccion dada de conjuntos alge-braicos.


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1.6. SUBCONJUNTOS ALGEBRAICOS DEL PLANO 13

Teorema 1.5.6. Sea V un conjunto algebraico de An(K). Entonces, V tiene una

descomposicion unica como union finita de algebraicos irreducibles en la forma

V =V1 Vm, conVi Vj parai =j. (1.5.1)Demostracion. Existencia: sea

S= {V | V no es union finita de algebraicos irreducibles}.Veremos queS= . Supongamos lo contrario, y sea Vun elemento minimal deS,entonces V es reducible, V = V1 V2, Vi V, i = 1, 2. Por la condicion de V setiene que Vi / S, por lo tanto Vi = V(i)1 V(i)mi , i = 1, 2, donde cada V(i)j esirreducible. Esto indica que V / S, lo cual es una contradiccion.

Unicidad: sea V =V1

Vm = W1

Wt, donde Vi, Wj son irreduciblescon las condiciones de (1.5.1), 1 i m, 1 j t. Entonces, Vi = VVi =(W1 Wt) Vi =

tj=1(Wj Vi); puesto que Vi es irreducible entonces existe

unji tal que Vi = Wji Vi, por lo tanto, Vi Wji. Simetricamente, existe l tal queWji Vl, de donde Vi Vl, y en consecuencia i = l. Se tiene pues que Vi = Wji.Por la simetra del problema se tiene tambien que cada Wj coincide con algun Vi.Esto muestra que las dos descomposiciones son identicas.

Otra prueba de este teorema es la siguiente. Sea V(I) un algebraico, si V(I) esirreducible hemos terminado. Si V(I) es reducible, entonces V(I) =V(I1) V(I2),con V(Ii) V(I), i= 1, 2. Se tiene entonces I(V(I)) I(V(Ii)). Si V(I1) y V(I2)son irreducibles hemos terminado. De lo contrario, por ejemplo, V(I1) es reducible

y entonces V(I1) =V(I11) V(I12) con V(I1i) V(I1), i= 1, 2. Se tiene entoncesla cadena de ideales I(V(I)) I(V(I1)) I(V(I1i)). Una de estas cadenas seextendera infinitamente mientras hayan reducibles en la descompocision, pero comoK[x1, . . . , xn] es noetheriano, entonces V(I) se debe expresar como union finita deirreducibles. La prueba de la unicidad es la misma.

Definicion 1.5.7. SeaV un conjunto algebraico deAn(K). Los irreduciblesVi delteorema 1.5.6se denominan las componentes irreducibles deV.

Observacion 1.5.8. Mas adelante en la seccion 1.7 mostraremos ejemplos de des-composicion irreducible de un conjunto algebraico. Por ahora notemos que si Kes infinito, entonces An(K) es irreducible (proposicion 1.5.2), y por lo tanto, la

descomposicion irreducible de An

(K) es An

(K) = An

(K). Si K es finito, entoncesla descomposicion irreducible de An(K) es la union finita de sus puntos. Para elalgebraico la descomposicion es = .

1.6. Subconjuntos algebraicos del plano

En esta seccion describimos todos los algebraicos del plano afn A2(K). Segun elteorema1.5.6, para caracterizar todos los algebraicos basta conocer todos los irre-


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ducibles. Comenzamos con la siguiente propiedad.

Proposicion 1.6.1. Seanf , g K [x, y] sin factores comunes. Entonces, V (f, g) =V(f) V (g) es finito.Demostracion. Sean f, g considerados como polinomios deK (x) [y], veamos que si

p(x, y)K (x) [y] es un factor comun, entonces p(x, y) = p(x)K(x). En efecto,sea f = pf1 y g = pg1 con f1, g1K (x) [y]; se tiene entonces que p = p(x,y)p(x), con

p(x, y) K[x, y] y p(x) K[x]. En forma similar,f1= f

1(x,y)

f1 (x), conf1(x, y) K[x, y]

y f1 (x) K[x] y g1 = g

1(x,y)

g1 (x), con g1(x, y) K[x, y] yg1 (x) K[x]. Eliminando de-

nominadores encontramos que f pf1 =pf1 ygp

g1 =pg1. Si en la descomposicion

irreducible de p aparece algun factor que contiene a la variable y, entonces estefactor divide tanto a fcomo ag, pero esto es absurdo. Entonces,p K[x] y de estaformap es un cociente de polinomios en la variable x, e.d., p K(x).

ComoK (x) [y] es un DIP, existen r, sK (x) [y] tales que 1 = rf+sg , comovimos antesr = r

(x,y)r(x), s =

s(x,y)s(x) conr

(x, y), s(x, y) K[x, y] y r(x), s(x) K[x].Por lo tanto,rs =r sf+srg. Si (a1, a2) V(f, g), entonces (rs)(a1) = 0, perors tiene un numero finito de ceros. Esto prueba que el numero de posibilidadesde a1 en los arreglos (a1, a2) V (f, g) es finito. La simetra del problema garantizaque V (f, g) es finito.

Como es la hipersuperficieV(f) cuandofes irreducible? Sabemos que f es unideal primo, pero no necesariamente f y I(V (f)) coinciden, entonces no podramosgarantizar queV (f) es irreducible. Sin embargo, como veremos a continuacion, estose tiene cuando V (f) es infinito.

Corolario 1.6.2. Seaf K[x, y] un polinomio irreducible tal queV (f) es infinito.Entonces,f = I(V(f)) yV (f) es irreducible. En particular, siK es un cuerpoalgebraicamente cerrado yf K[x, y] es un polinomio irreducible, entonces las doscondiciones anteriores se cumplen.

Demostracion. Sabemos que{f} I(V (f)), luegof I(V (f)). Sea g I(V (f)), entonces{g} I(V (f)), luego V (I(V(f)))V(g), de donde V (f)V(g), de esta forma V (f, g) = V (f) V (g) = V (f) es infinito. Por la proposi-cion anterior, f y g tienen factores comunes, por lo tanto, g f. Se tiene queI(V (f)) =f, pero V (f) =V(f), es decir, I(V (f)) =f es primo, y por laproposicion1.5.4,V (f) =V(f) es irreducible.

La ultima afirmacion es consecuencia de lo probado y de la proposicion1.4.2.

Ejemplo 1.6.3. (i) Notemos que f=y2 + x2 (x 1)2 R[x, y] es irreducible, peroV(f) es finito y reducible. En efecto, supongamos que f = pq con p, q R[x, y],consideremos estos polinomios en (R[x]) [y], entonces f = y 2 +r2 = pq, donde r =


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1.6. SUBCONJUNTOS ALGEBRAICOS DEL PLANO 15

x (x 1) R[x]. Por razones de grado en la indeterminada y se tienen las siguientesposibilidades: gr (p) = 2 y gp (q) = 0, o gr(p) = 0 ygr(q) = 2 o gr(p) = 1 = gr(q).El primer caso es posible solamente siqes una constante ya quefno tiene terminosen xrys para r, s 1, en forma similar, en el segundo caso se debe tener que p esuna constante. Veamos finalmente que el tercer caso no es posible: p = p0+ p1y yq= q0 + q1y, dondep0, p1, q0, q1 R[x]; entoncesp0q0= r2, p0q1 +p1q0 = 0, p1q1 = 1,se tienen entonces dos opciones: (p1 = 1 =q1) o (p1= 1 =q1), en ambos casosresultap0 =q0 con lo cualq20 =r2, y esto es falso ya que r= 0. Se ha probadoentonces que f solo admite factorizacion trivial. De otra parte, V (f) ={(x, y)R2 | y2 +x2 (x 1)2 = 0} ={(0, 0) , (1, 0)} ={(0, 0)} {(1, 0)}, es decir, V(f) esreducible. Ademas,I(V(f)) = I{(0, 0)} I{(1, 0)} =x, yx 1, y =fya quey /

f

.

(ii)f=x2 + y2 R[x, y] es irreducible y V(f) = {(0, 0)}es finito e irreducible.Ademas,I(V (f)) = x, y = f.

El siguiente teorema describe todos los irreducibles del plano afn.

Teorema 1.6.4. (i) SeaK un cuerpo infinito. Entonces, los conjuntos irreduciblesde A2 (K) son: A2 (K) , , los conjuntos unitarios y las curvas planas irreduciblesV (f), conf irreducible yV (f) infinito.

(ii) SiK es un cuerpo finito, entonces los irreducibles de A2 (K) son y losconjuntos unitarios.

Demostracion. (i) Sea V un conjunto algebraico e irreducible de A2 (K). Si V esfinito entonces V = o V es unitario. Sea V infinito. Si I(V) = 0, entoncesV(I(V)) = V = V(0) = A2 (K) es irreducible. Sea pues I(V)= 0, entonces I(V)no contiene constantes no nulas, de lo contrario I(V) =K[x, y] y en consecuenciaV =V(I(V)) =V(K[x, y]) =, pero esto no es posible ya que asumimos que V esinfinito. Sea f un polinomio no constante que esta en I(V), como I(V) es primo,entonces al menos un factor irreducible de festa enI(V). Se puede entonces asumirquefes irreducible. De esta forma,f I(V). Supongamos que la contenencia esestricta, entonces existe g I(V) y g / f, y en consecuencia V (I(V)) V (g),tambien V (I(V))V (f), es decir, V V(f) V (g), pero este ultimo conjuntoes finito, lo cual es imposible ya que Ves infinito. Se tiene pues que

f

= I(V), yentonces V(f) =V(f) =V (I(V)) =V.

(ii) SiK es un cuerpo finito entonces cada subconjunto de A2 (K) es finito . Losirreducibles de A2 (K) son pues y los conjuntos unitarios. En este caso A2 (K) esreducible por ser finito.

Corolario 1.6.5. SeaK un cuerpo algebraicamente cerrado. Entonces, los conjuntosirreducibles de A2 (K) son: A2 (K) , , los conjuntos unitarios y las curvas planasV (f), dondef es irreducible.


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Demostracion. Consecuencia directa del teorema anterior y del corolario1.6.2.

Para cuerpos algebraicamente cerrados es facil calcular las componentes irre-ducibles de una hipersuperficie deA2(K), tal como se muestra en el siguiente teore-ma.

Teorema 1.6.6. SeaK un cuerpo algebraicamente cerrado yf K[x, y] un poli-nomio no constante. Sea f = fm11 fmrr la descomposicion de f en producto deirreducibles. Entonces, V(f) =V (f1) V (fr) es la descomposicion deV (f)en sus componentes irreducibles. Ademas, I(V (f)) = f1 fr.

Demostracion. V (f) = V(fm11 fmrr ) = V (fm11 ) V (fmrr ) = V (f1) V(fr), segun la proposicion 1.4.2, cada V (fi) es infinito y, por el corolario 1.6.2,V(fi) es irreducible. Ademas, no hay inclusiones entre dos componentes diferentes(de lo contrario V (fi, fj) =V (fi) V (fj) =V (fi) es infinito, lo es contradictoriocon la proposicion1.6.1). Finalmente,I(V(f)) = I(

ri=1V (fi)) =

ri=1I(V (fi)) =r

i=1fi = f1 fr.

Ejemplo 1.6.7. Los conjuntos algebraicos de A2 (R) son de la forma V (f) conf

R[x, y]. En efecto, Sea V un conjunto algebraico de A2 (R) yV =V1

Vm

su descomposicion en algebraicos irreducibles, cada Vi tiene una de las siguientesposibilidades: A2 (R) , , {(a, b)} o V(f), donde fes irreducible y V(f) es infinito.Si V = A2 (R), entonces V = V (0); si V =, entonces V = V(1);{(a, b)} =V((xa)2+(yb)2). Puesto queV (f)V (g) =V (f g) para cualesquiera polinomiosf, g, entonces es suficiente considerar dos casos.

(a)V (f) {(a, b)} =V f(x a)2 + f(y b)2 para cualquier polinomio f.(b) En el caso de la union de dos puntos{(a, b)} {(c, d)} se tiene que

{(a, b)} {(c, d)} =V((x a)2 + (y b)2) V((x c)2 + (y d)2) =V((x a)

2

(x c)2

+ (x a)2

(y d)2

+ (y b)2

(x c)2

+ (y b)2

(y d)2

).

Ejemplo 1.6.8. (a) Notemos que V (y x2) A2 (C) es irreducible ya que y x2es irreducible y C es algebraicamente cerrado. De igual manera,V(y x2) A2 (R)es irreducible ya que y x2 es irreducible yV (y x2) es infinito. Tanto en el casocomplejo como en el caso real se tiene que I(V(y x2)) =< y x2 > (corolario1.6.2).

(b) Consideremos el algebraicoV(y4 x2, y4 x2y2 + xy2 x3) A2 (C) y cal-


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1.7. TEOREMA DE CEROS DE HILBERT 17

culemos sus componentes irreducibles:

V y4 x2, y4 x2y2 + xy2 x3=V

y2 x y2 + x , y2 y2 x2+ x y2 x2=V

y2 x y2 + x , y2 x2 y2 + x=V

y2 x y2 + x V y2 x2 y2 + x=V

y2 x V y2 + x V y2 x2 V y2 + x=V

y2 x V y2 x2 V y2 x V y2 + xV

y2 + x V y2 x2 V y2 + x V y2 + x=

{(0, 0) , (1, 1) , (1,

1)

} {(0, 0)

} {(0, 0) , (

1, 1) , (

1,

1)

} V y

2 + x={(1, 1)} {(1, 1)} V y2 + x .Estos tres ultimos conjuntos son irreducibles. Obtenemos la misma respuesta si enlugar del plano complejo consideramos el plano afn real.

1.7. Teorema de ceros de Hilbert

Esta seccion esta dedicada a probar el teorema de ceros de Hilbert y la correspon-dencia biyectiva que existe entre los conjuntos algebraicos irreducibles de An (K) ylos ideales primos de K[x1, . . . , xn], donde K un cuerpo algebraicamente cerrado. Laparte (ii) del teorema de ceros de Hilbert justifica completamente su nombre: seaK un cuerpo algebraicamente cerrado y sean f1, . . . , f t, gK[x1, . . . , xn] tales queg (a1, . . . , an) = 0 para cada cero comun (a1 . . . , an) de f1, . . . , f t. Entonces exister 1 tal que gr f1 . . . , f t.

En esta seccion supondremos siempre queK es algebraicamente cerrado .

Teorema 1.7.1 (Teorema de ceros de Hilbert). SeaIun ideal deK[x1, . . . , xn].Entonces,

(i) V (I) = I= K[x1, . . . , xn].

(ii) I(V (I)) = I.Demostracion. (i)) Vamos a probar que siIes propio entonces V (I) = . Pode-mos suponer que Ies maximal (de lo contrario existe J maximal tal que I J yentonces V (J) V (I)). SeaL := K[x1, . . . , xn]/I, entonces L es un cuerpo quecontiene aK mediante la indentificacion a = a, para cada aK. Aplicamos aho-ra el teorema 1.1.3 y podemos asegurar que L = K de tal forma que para cada1 i n,xi = ai, conai K, es decir,xi ai I, luegox1 a1, . . . , xn an I.Pero notemos quex1a1, . . . , xnan es maximal de K[x1, . . . , xn]. En efecto,


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sea Mun ideal deK[x1, . . . , xn] tal que N :=x1 a1, . . . , xn an M, sea pM N,p puede ser considerado en K[x1, . . . , xn1][xn] y ser escrito en la formap =(xn an) q1(x1, . . . , xn) + r1(x1, . . . , xn1), notemos que r1(x1, . . . , xn1) M N,de lo contrariop N. Podemos repetir el procedimiento paraxn1an1, . . . , x1a1y obtener que rn1(x1) = (x1 a1) qn(x1) +rn, con rn M N. Esto signifi-ca que rn= 0 es una constante deK, luego M =K[x1, . . . , xn]. Resulta entoncesI= x1 a1, . . . , xn any de esta formaV(I) = {(a1, . . . , an)} = .

Notemos adicionalmente que

K = K[x1, . . . , xn]/x1 a1, . . . , xn an. (1.7.1)

) Si I= K[x1, . . . , xn], entoncesV(I) =V(K[x1, . . . , xn]) =

.

(ii) Sabemos que I I(V (I)) (vease el teorema 1.3.2). Sea g I(V (I)),dondeI:= f1, . . . , f r. DefinimosJ := f1, . . . , f r, xn+1g 1 K[x1, . . . , xn, xn+1].Notemos que V(J) = (supongamos lo contrario, si (a1, . . . , an, an+1) V (J)entonces fi(a1, . . . , an) = 0 para cada 1 i r, luego (a1, . . . , an) V(I), dedondeg (a1, . . . , an) = 0 y de esta forma an+1g (a1, . . . , an)1 = 0, es decir, 1 = 0,lo cual es falso). Segun (i), J= K[x1, . . . , xn, xn+1] y se tiene entonces la relacion

1 =r

i=1hi(x1, . . . , xn, xn+1) fi+ b (x1, . . . , xn, xn+1) (xn+1g 1) ,con hi, b K[x1, . . . , xn, xn+1]. Consideremos el cuerpo de fracciones del anillo depolinomios K[x1, . . . , xn, xn+1] y sea y := 1xn+1 , entonces la ultima relacion toma la

forma1 =r

i=1hi

x1, . . . , xn, 1y

fi+ b

x1, . . . , xn,

1y

1yg 1

enK(x1, . . . , xn, xn+1). Existe m suficientemente grande tal que

ym =r

i=1ci(x1, . . . , xn, y) fi+ d (x1, . . . , xn, y) (g y) K[x1, . . . , xn, y],con ci, d K[x1, . . . , xn, xn+1]. Como y es una indeterminada, hacemos y = g yentonces gm f1, . . . , f r =I, es decir, g

I.

El teorema de ceros de Hilbert permite obtener algunas conclusiones interesantes.

Corolario 1.7.2. Si I es un ideal radical deK[x1, . . . , xn], entonces I(V (I)) =I. En consecuencia, los ideales radicales coinciden con los ideales de puntos y,por lo tanto, existe una correspondencia biyectiva entre los ideales radicales de

K[x1, . . . , xn] y los conjuntos algebraicos.

Demostracion. La primera afirmacion se obtiene directamente del teorema de cerosde Hilbert y demuestra ademas que los ideales radicales coinciden con los idealesde puntos (vease el teorema 1.3.2). Para la segunda afirmacion podemos repetir el


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razonamiento que vimos al final de la seccion 1.3: seaR := {I| Ies ideal radical deK[x1, . . . , xn]} y sea = {V| Ves algebraico de A

n

(K)}. Definimos entoncesR I V(I)

es inyectiva: si V(I1) =V (I2) entoncesI(V (I1)) =I(V (I2)), luegoI1= I2. essobreyectiva: seaValgebraico, sabemos queI(V) R, luego (I(V)) =V(I(V)) =V.

En relacion con la proposicion1.5.4se se tiene la siguiente propiedad.

Corolario 1.7.3. Si I es un ideal primo deK[x1, . . . , xn] entonces V (I) es irre-ducible no vaco. Existe una correspondencia biyectiva entre los ideales primos deK[x1, . . . , xn] y los conjuntos algebraicos irreducibles no vacos deAn (K). En estacorrespondencia los ideales maximales corresponden a conjuntos unitarios.

Demostracion. SiIes primo entoncesIes un ideal radical yI(V (I)) =I, de dondeV (I) es irreducible no vaco (proposicion1.5.4). SeaSpec(K[x1, . . . , xn]) la coleccionde ideales primos de K[x1, . . . , xn] y seaV la coleccion de algebraicos irreduciblesno vacos de An (K), denotemos tambien por la restriccion de la funcion en elcorolario1.7.2aSpec(K[x1, . . . , xn]), se tiene entonces la correspondencia

Spec(K[x1, . . . , xn]) V

I V (I) .Por lo tanto, es inyectiva. Sea V (I) V, entonces I(V (I)) es primo y ademas (I(V (I))) =V(I(V(I))) =V (I).

Si (a1, . . . , an) An (K), entoncesx1a1, . . . , xnan es un ideal maximaldeK[x1, . . . , xn] (vease la demostracion del teorema de ceros de Hilbert, (1.7.1)) y (x1 a1, . . . , xn an) = V(x1 a1, . . . , xn an) = {(a1, . . . , an)}.

Recprocamente, sea I un ideal maximal y sea (a1, . . . , an) V (I), entonces{(a1, . . . , an)} V (I) y I(V(I)) I({(a1, . . . , an)}) =x1 a1, . . . , xn an, esdecir,I x1 a1, . . . , xn an, luegox1 a1, . . . , xn an =I. Se tiene pues queV (I) =V(

x1

a1, . . . , xn

an

) =

{(a1, . . . , an)

}.

El siguiente corolario es una generalizacion del teorema1.6.6a dimension n.

Corolario 1.7.4. Sea f K[x1, . . . , xn] un polinomio no constante y sea f =fm11 fmrr la descomposicion defen producto de polinomios irreducibles. Entonces,V (f) =V (f1) V (fr) es la descomposicion irreducible deV (f) yI(V (f)) =f1 fr. Ademas, existe una correspondencia biyectiva, salvo multiplicacion porconstantes no nulas deK, entre los polinomios irreducibles deK[x1, . . . , xn] y lashipersuperficies irreducibles deAn (K).


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Demostracion. Sea V (f) = V(fm11 fmrr ) = V(f1) V (fr), como fi esirreducible entonces fi es primo yV (fi) es irreducible. SiV (fi) V (fj), entoncesI(V (fj))I(V (fi)), es decir, I(V (fj))I(V (fi)), pero comofj, fi sonprimos entonces son ideales radicales, luego,fj fi. Se tiene entonces que fidivide afj, pero como ambos son irreducibles, entonces fi = fj.

Finalmente,I(V (f)) = I(V (f1) V(fr)) = I(V(f1)) I(V(fr)) =f1 fr =f1 fr. La correspondencia mencionada viene dada por fV(f), donde fes un polinomio irreducible deK[x1, . . . , xn].

El tamano de un conjunto algebraico finito V (I) guarda relacion con la dimensiondelK-espacioK[x1, . . . , xn]/I.

Corolario 1.7.5. SeaIun ideal deK[x1, . . . , xn]. Entonces,V(I)es finito si, y solosi,K[x1, . . . , xn]/I es de dimension finita. Si esto ocurre,

|V(I)| dimK(K[x1, . . . , xn]/I).Demostracion.) Sea V(I) finito, si V(I) =, entonces I=I(V (I)) =I() =K[x1, . . . , xn], es decir,

I =K[x1, . . . , xn], de donde 1 I, I =K[x1, . . . , xn]. En

este caso, dimK(K[x1, . . . , xn]/I) = 0 y el numero de puntos de V(I) coincide condimK(K[x1, . . . , xn]/I).

Sea puesV(I) = {

a(1)1 , . . . , a

(1)n

, . . . ,

a

(r)1 , . . . , a

(r)n

}, definimos los polinomios

fi =

xi a(1)i

xi a(r)i

para cada 1in. Notemos que fi I(V(I)) =I, por lo tanto existemsuficientemente grande tal quefmi Ipara cada 1 i n.En el cociente se tiene entonces que fi

m= 0 y de esta forma xi

rm es combinacionlineal de 1, xi, . . . , xi

rm1. Usando esto, y mediante induccion, se puede concluir quexi

s es combinacion lineal de 1, xi, . . . , xirm1 para cada s0. Como esto es valido

para cada 1 i n, se tiene que{x1m1 xnmn | 0 mi rm 1} genera aK[x1, . . . , xn]/I.

) Sean v1, . . . , vr V(I) algunos puntos de V (I) (si V(I) =, como vimosantes, dimK(K[x1, . . . , xn]/I) = 0 y e l n umero de puntos de V(I) coincide condimK(K[x1, . . . , xn]/I)). Existen polinomiosf1, . . . , f r K[x1, . . . , xn] tales que parai= j, fi(vj) = 0 y fi(vi) = 1, 1 i r. En efecto, veamos primero que siV un conjunto algebraico propio de An (K) y u

An (K)

V, entonces existe un

polinomio f K[x1, . . . , xn] tal quef(v) = 0 para cada punto v V perof(u) = 1:V V {u}, luego I(V {u}) I(V), existe entonces un polinomio g tal queg (v) = 0 para cada v V pero g (u) = c= 0. El polinomio f := c1g cumplelas condiciones pedidas. El conjunto finito{v1, . . . , vi1, vi+1, . . . , vr} es algebraicopropio; segun acabamos de ver, existe fital que fi(vj) = 0 para i =j pero fi(vi) = 1.Esto es valido para cada 1 i r.

Notemos que f1, . . . , f r K[x1, . . . , xn]/I son linealmente independientes sobreK: en efecto, seanc1, . . . , cr K tales quec1.f1 + +cr.fr = 0, entoncesc1.f1 + +


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cr.frIy en consecuencia 0 = (c1.f1+ + cr.fr) (vi) =ci, para cada 1in.Esto garantiza que r dimK(K[x1, . . . , xn]/I).Observacion 1.7.6. En [1], proposicion 2.1.6 y teorema 2.2.7, se encuentra unaprueba de este corolario va bases de Grobner.

Ejemplo 1.7.7. El teorema de ceros de Hilbert y los corolarios que le siguen sonfalso siK no es algebraicamente cerrado. En efecto,

(a) La parte (i) del teorema falla: sea K = R, I=x2 + 1 R[x] pero V(I) =V(x2 + 1) = .

(b) La parte (ii) del teorema falla: sea K = R,I= x2 + 1, V(I) = ,I(V(I)) =R[x], 1 /

x2 + 1 =x2 + 1 (notemos quex2 + 1 es maximal, y por lo tanto

primo).

(c) El corolario1.7.2falla: x2 + 1=x2 + 1, pero I(V(x2 + 1)) = R[x]=x2 + 1. As pues,x2 + 1 es un ideal radical pero no es un ideal de puntos.(d) El corolario1.7.3falla: f = y2 +x2 (x 1)2 R[x, y] es irreducible, con lo

cual< f >es primo, pero V(f) = {(0, 0)} {(1, 0)} es reducible.(e) El corolario 1.7.4 falla: el mismo ejemplo anterior, f es irreducible pero

V (f) = {(0, 0)} {(1, 0)} =V(x2 + y2) V (x 1)2 + y2 es reducible.(f) El corolario 1.7.5falla: f = y2 + 1R[x, y], I =y2 + 1, V(f) =, pero

dimR(R[x, y]/I) = ya que 1, x , x2, . . . son linealmente independientes sobreR.Concluimos este captulo con otros ejemplos que ilustran los resultados y temas

tratados en el.

Ejemplo 1.7.8. Veamos queV(y2 x (x 1) (x )) A2 (K) es irreducible paracada K, dondeK es algebraicamente cerrado. Basta probar que el polinomiof =y2 x (x 1) (x ) K[x, y] es irreducible. Supongamos que f es reducible,f=pqconp, q K[x, y], consideremos estos polinomios en (K[x]) [y], entoncesf=y2 r= pq, donder = x (x 1) (x ). Por razones de grado en la indeterminada yse tienen las siguientes posibilidades:gr (p) = 2 ygr (q) = 0, ogr(p) = 0 ygr(q) = 2,o gr(p) = 1 =gr(q). El primer caso p = r0(x) + r1(x)y+ r2(x)y

2 yq= s0(x), luegor2(x)s0(x) = 1, es decir, s0(x) es una constante no nula de K. En el segundo casose debe tener que p es una constante no nula. Veamos finalmente que el tercer casono es posible: y 2 r= (y+ t(x)) (y+ s(x)), se tiene entonces que t(x) + s(x) = 0 yt(x)s(x) = r, luegot(x) = s(x) y de esta forma s(x)

2

=r, pero esto no es posibleya que r es de grado 3 y s(x)2 es de grado par. Por lo tanto, y 2 r es irreducible yV(y2 r) es tambien irreducible.Ejemplo 1.7.9. Sea I =y2 x2, y2 +x2 C[x, y]. Queremos calcular V (I)y dimC(C[x, y]/I). Sea (a, b) V (I), entonces b2 a2 = 0 = b2 + a2, resulta(a, b) = (0, 0). As, V (I) = (0, 0). De otra parte, dimC(C[x, y]/I) = 4. En efecto,y2 x2 +y2 +x2 = 2y2 I, es decir, y2 I. Similarmente, x2 I, entoncesC[x, y]/I= 1,x,y,xy, y 1,x,y,xy son linealmente independientes sobreC.


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Ejemplo 1.7.10. SeaK un cuerpo algebraicamente cerrado y V = V(I), donde I

un ideal de K[x1, . . . , xn]. Veamos que existe una correspondencia biyectiva entre lossubconjuntos algebraicos de V y los ideales radicales deK[x1,...,xn]/I. Probemosademas que en esta correspondencia los irreducibles no vacos corresponden a losprimos y los puntos a maximales: Notemos que I se puede tomar como un idealradical de tal forma que I(V(I)) = I y K[x1,...,xn]/I = K[x1,...,xn]/I(V). SeaWun subconjunto algebraico de V, existe J ideal radical deK[x1, . . . , xn] tal queW = V (J). Sea W V (I) algebraico, entonces J = I(V(J)) I(V (I)) I yJ/Ies un ideal radical deK[x1, . . . , xn]/I. En efecto, veamos que

J/I =

J/I

=J/I. La primera igualdad se puede probar de la siguiente manera: sea f

J/I,

entonces fm J/I, de donde fm =g cong J, se tiene quefm g I J, luego

fm

Jy de esta manera f

J/I. En el otro sentido se tiene que si f

J/Iconf J entoncesfm J, luegofm J/I, de dondefm J/Iy asfJ/I.

Notemos queJes unico paraW, en realidadJ=I(W), y la correspondencia sedefine entonces por

W =V(J) J/I.

Por el teorema de correspondencia de la teora de anillos, esta asignacion es inyec-tiva. Veamos que la correspondencia es sobreyectiva: sea J/I un ideal radical deK[x1, . . . , xn]/I, con I J , veamos que Jes un ideal radical deK[x1, . . . , xn]. Enefecto,

J/I =

J/I = J/I, luego

J = J. Por lo tanto, W := V (J)V(I) y

(W) =J/I.

Sea ahoraW =V(J) irreducible no vaco contenido en V, conJradical, entoncesI(V (J)) =Jes primo, luegoJ/Ies primo de K[x1, . . . , xn]/I. De otra parte, si J/Ies primo, entonces Jes primo que contiene a Iy en consecuencia W := V(J) esirreducible no vaco contenido en V(I) tal que (W) =J/I.

Finalmente, sea{(a1, . . . , an)} V(I) un punto, entonces{(a1, . . . , an)} =V(x1 a1, . . . , xn an) y

(V (x1 a1, . . . , xn an)) = x1 a1, . . . , xn an/I.Notemos quex1 a1, . . . , xn an/Ies maximal deK[x1, . . . , xn]/Iya quex1 a1, . . . , xn an es maximal deK[x1, . . . , xn]. De otra parte, si J/I es maximal deK[x1, . . . , xn]/I, entonces J es maximal deK[x1, . . . , xn] que contiene a Iy en talcaso, como vimos en la prueba del teorema de ceros de Hilbert, necesariamenteJ=x1 a1, . . . , xn an para algun punto (a1, . . . , an)An(K). Luego, V(J) =V(x1 a1, . . . , xn an) ={(a1, . . . , an)} esta contenido en V(I) y (V(J)) =J/I.

Ejemplo 1.7.11. SeaK un cuerpo algebraicamente cerrado y sean V1 y V2 alge-braicos de An(K). Veamos que

I(V1 V2) =

I(V1) + I(V2).


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1.8. EJERCICIOS 23

En efecto,V(

I(V1) + I(V2) ) =V(I(V1) + I(V2)) =V(I(V1))V(I(V2)) =V1 V2,

as I(V(I(V1) + I(V2) )) =I(V1) + I(V2) =I(V1) + I(V2) =I(V1 V2).Veamos un contraejemplo para el caso en el cual el cuerpo K no es algebraica-

mente cerrado: en el plano afn real A2(R) sean V1 = V(f), con f = yx2 yV2 = V(g), cong = y + 1.V1 es una parabola yV2 es una recta, por lo tanto V1 yV2son infinitos, ademasfyg son ambos irreducibles. LuegoI(V1) = f yI(V2) = g.ComoV1 V2= , entonces I(V1 V2) = R[x, y], pero

I(V1) + I(V2) = R[x, y] ya

que 1 / I(V1)+I(V2) = yx2, y+1. En efecto, si 1 = p(x, y)(yx2)+q(x, y)(y+1),entonces tomandoy = x2 se tiene que 1 =q(x, x2)(x2 +1), pero por razones de gradoesto es imposible.

Ejemplo 1.7.12. Sea V ={

(t, t2, t3)|tC

}. Calculemos I(V) y probemos que V

es irreducible. Notemos que V = V(y x2, z x3) = V(y x2) V(z x3), seanV1 = V(yx2) y V2= V(zx3). Aplicamos el ejercicio anterior y obtenemosI(V) =I(V1 V2) =

I(V1) + I(V2) =

y x2 >+ < z x3 ya que y x2 y z x3son polinomios irreducibles y C es algebraicamente cerrado. Por lo tanto, I(V) =y x2, z x3, peroy x2, z x3 es primo. En efecto, este ideal es propio yseana, b C[x,y,z] tales que ab y x2, z x3, entonces existen p, q C[x,y,z]tales queab= p(y x2) + q(zx3). Resulta entonces quea(x, x2, x3)b(x, x2, x3) = 0,luego a(x, x2, x3) = 0 o b(x, x2, x3) = 0, es decir, a=p(y x2) +q(z x3) o b =

p(y x2) + q(z x3) con p, p, q, q C[x,y,z] (vease el ejercicio 1). Se tieneentonces que I(V) = y x2, z x3 y V es irreducible.

1.8. Ejercicios

1. SeanK un cuerpo, f K[x1, . . . , xn] ya1, . . . , an K.(a) Pruebe que f=

(i)(x1 a1)i1 (xn an)in, con (i) K.

(b) Si f(a1, . . . , an) = 0, pruebe que f =n

i=1(xi ai) gi para ciertos poli-nomios (no necesariamente unicos)gi K[x1, . . . , xn].

2. Pruebe que los siguientes conjuntos no son algebraicos:

(a){(z, w) A2

(C) | |z|2

+ |w|2

= 1}.(c){(cos(t) ,sen (t) , t) A3 (R) | t R}.

3. Calcule las componentes irreducibles de V(y2 xy x2y+ x3) en A2(R) ytambien en A2(C). Haga lo mismo para V(y2 x(x2 1)) y para V(x3 + x x2y y).

4. Sea K un cuerpo algebraicamente cerrado. Demuestre que dos idealesI , J deK[x1, . . . , xn] son comaximales si, y solo si, V(I) V(J) = .


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5. Dentro de An(C) se tiene el subconjunto An(Z) el cual consta de todos los

puntos con coordenadas enteras.

(a) Pruebe que si f C[x1, . . . , xn] es tal que f(v) = 0 para cada puntov An(Z), entonces f= 0.

(b) Sea f C[x1, . . . , xn] y sea M el exponente mas grande de cualquierade las variables que aparecen en f. Sea AnM+1(Z) el conjunto de puntosde An(Z) cuyas coordenadas estan entre 1 y M+ 1. Demuestre que sif(v) = 0 para cada punto v AnM+1(Z), entoncesf= 0.

6. Con la notacion del ejercicio anterior demuestre que An(Z) no es un subcon-junto algebraico deAn(C).

7. Muestre a traves de un ejemplo que la union infinita de algebraicos no essiempre un conjunto algebraico.

8. Demuestre que el conjuntoS={(x, y)A2(R)|y >0} no es un subconjuntoalgebraico de A2(R).

9. Sean V An(K) yW Am(K) conjuntos algebraicos. Demuestre que

V W = {(a1, . . . , an, b1, . . . , bm) An+m(K)|(a1, . . . , an) A

n

(K), (b1, . . . , bm) Am

(K)}es algebraico.

10. Sea K un cuerpo cualquiera. Demuestre queV(x+xy,y +xy,x2, y2) =V(x, y).

11. Calcule las componentes irreducibles deV(2x2 +3y2 11, x2 y2 3) A2(C).

12. Demuestre quex2, y2no es un ideal radical deK[x, y].

13. Sea J =x2 +y2 1, y 1. Encuentre un polinomio f I(V(J)) tal quef / J.

14. Sea K un cuerpo cualquiera, demuestre quexn, ym =x, y, para cua-

lesquiera enteros positivos n, m.

15. Sea J= xy, (x y)x. DescribaV(J) y pruebe que J= x.

16. Demuestre queI(A2(Z2)) = x2 x, y2 y(Sugerencia: dadof I(A2(Z2)),dividaf por x2 x y luego divida pory 2 y).


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1.8. EJERCICIOS 25

17. Usando los resultados de geometra algebraica vistos en el presente captulo,

demuestre el siguiente resultado de algebra conmutativa. SeaK un cuerpoalgebraicamente cerrado y sea Iun ideal radical deK[x1, . . . , xn]. Entonces Itiene una descomposicion unica, salvo el orden, en la forma I=P1 Pt,donde cada Pi es primo, 1 i t.


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Captulo 2

Variedades afines

En este captulo, salvo que se advierta lo contrario, K denota un cuerpo algebraica-mente cerrado. Estudiaremos los algebraicos irreducibles del espacio afnAn(K), loscuales llamaremos variedades, as como las funciones entre variedades. Muchos au-tores denominan variedad a los algebraicos que definimos en el captulo anterior,vease por ejemplo [1], de tal forma forma que distingen las variedades de las varie-dades irreducibles. Nosotros sin embargo mantendremos la denominacion dada en[4] en donde se asume que las variedades son los algebraicos irreducibles.

2.1. Variedades y algebras afines

En esta seccion mostraremos la correspondencia biyectiva que existe entre el conjun-to de los morfismos polinomiales de dos variedades y la coleccion de homomorfismosentre las algebras afines correspondientes.

Definicion 2.1.1. Una variedad afn deAn (K) es un conjunto algebraico irre-ducible deAn (K).

Las variedades afines de An (K) las llamaremos simplemente variedades. Sea Vuna variedad no vaca, sabemos que I(V) es un ideal primo deK[x1, . . . , xn], y porlo tanto,K[x1, . . . , xn]/I(V) es un DI.

Definicion 2.1.2. Sea V una variedad no vaca, K[x1, . . . , xn]/I(V) es el anillode coordenadas o algebra afndeV, y se denota porA (V).

Notemos que A(V) es una K-algebra y K se sumerge de manera natural en A(V),a a,a K.

Sea X un conjunto no vaco cualquiera, notemos que el conjuntoF(X,K) detodas las funciones de X en K es un anillo conmutativo con unidad respecto delas operaciones habituales: (F+ G) (x) = F(x) +G (x), (F G) (x) = F(x) G (x),

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2.1. VARIEDADES Y ALGEBRAS AFINES 27

x X. En realidad F(X,K) es una K-algebra y K se sumerge en F(X,K) mediantela identificacion de las funciones constantes con los elementos de K.Definicion 2.1.3.F(X,K) se denomina el anillo de funcionales sobre X, otambien, elalgebra de funciones racionales sobreX.

Definicion 2.1.4. SeaV una variedad no vaca, un funcional polinomialsobreV es un elemento F F(V,K) tal que existe un polinomio fK[x1, . . . , xn] parael cual se tiene queF(a1, . . . , an) =f(a1, . . . , an) para cada(a1, . . . , an) V.

Es decir, un funcional es polinomial si viene definido por medio de un polinomio.Notemos que los funcionales polinomiales constituyen un subanillo (subalgebra) de

F(V,K) que contiene a K, este anillo se denota por

P(V,K). Ademas, con cada

polinomio f K[x1, . . . , xn] podemos definir un funcional polinomial F dado porF(a1 . . . , an) = f(a1 . . . , an). Notemos que dos polinomios f, g definen el mismofuncional polinomial si (f g) (a1 . . . , an) = 0 para cada (a1 . . . , an)V, es decir,sif g I(V).

Se tiene el siguiente resultado.

Proposicion 2.1.5.A (V) =P(V,K).Demostracion. Consideremos la funcionque asigna a cada polinomio fel funcionalF P(V,K), es decir,

K[x1, . . . , xn]

P(V,K)f F

Es claro que es un homomorfismo de anillos, ademas, si (f) = 0, entoncesF(a1, . . . , an) = 0 para cada (a1, . . . , an) V, es decir, f(a1, . . . , an) = 0 para cada(a1, . . . , an) V, pero esto significa que f I(V). En otras palabras, ker () =I(V). Finalmente, seaF P(V,K), entonces existe un polinomio f K[x1, . . . , xn]tal queF(a1, . . . , an) =f(a1, . . . , an), esto indica que (f) =Fy ases sobre.

Algunas propiedades de las algebras afines son las siguientes.

Proposicion 2.1.6. SeanV una variedad no vaca. Entonces,

(i) Existe una correspondencia biyectiva entre los subconjuntos algebraicos deVy los ideales radicales deA(V). En esta correspondencia las subvariedades novacas van en primos y los puntos en maximales.

(ii) SeaW= una subvariedad deV, es decir, una variedad no vaca contenidaenV, y seaIV(W) el ideal primo en la correspondencia del numeral anterior.Entonces,


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28 CAPITULO 2. VARIEDADES AFINES

A (V) /IV(W) =A (W).

(iii) Las siguientes condiciones son equivalentes:

(a) V es un punto

(b)A (V) = K(c) dimK(A (V))< .

Demostracion. (i) En el ejemplo1.7.10vimos que a cada algebraico Wcontenido enV se le asigna el ideal radical J/I(V), donde W =V(J) y Jes un ideal radical deK[x1, . . . , xn]. Vimos que en realidad Jes unico paraW,J=I(W), de esta manera

la asignacion esW IV(W) :=I(W)/I(V).

Segun vimos, los irreducibles de V, es decir, las subvariedades de Vvan en primosdeA(V) y los puntos en ideales maximales.

(ii) Si W =, entonces I(W) =K[x1, . . . , xn] y el cocienteK[x1, . . . , xn]/I(W)es nulo, es decir, en este caso no definimos el algebra afn. Sea pues W= , tenemosque

A(V)/IV(W) = K[x1, . . . , xn]/I(V)/I(W)/I(V) = K[x1, . . . , xn]/I(W) = A(W).(iii) (a)

(b): sea V =

{(a

1, . . . , a

n)}

, entonces I(V) =

x1

a1, . . . , x

nan

esmaximal de K[x1, . . . , xn] y ademas A (V) = K[x1, . . . , xn]/x1a1, . . . , xnan = K(vease la prueba del toerema de ceros de Hilbert).

(b)(c): dimK(A (V)) = 1(c)(a): si dimK(A (V))


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2.2. MORFISMOS POLINOMIALES 29

para cada(a1, . . . , an) V. Se dice que es unisomorfismo polinomialsi existeun morfismo polinomial:W V tal que=iW y = iV.Teorema 2.2.2. Cada morfismo polinomial define un homomorfismo entre las alge-bras afinesA(W) yA(V). Recprocamente, cada homomorfismo entre estos anillosinduce un morfismo polinomial entre las variedades. Ademas, cada morfismo poli-

nomial entreV yWes la restriccion de un morfismo polinomial entre los espaciosafinesAn (K) yAm (K).

Demostracion. Sea : V Wun morfismo polinomial definido por los polinomiosf1, . . . , f m K[x1, . . . , xn] de tal forma que

(a1, . . . , an) = (f1(a1, . . . , an) , . . . , f m(a1, . . . , an))

para cada (a1, . . . , an) V. El morfismo da origen a un homomorfismo de K-algebras entre las K-algebras afines K[y1, . . . , ym]/I(W) y K[x1, . . . , xn]/I(V)como sigue:

: K[y1, . . . , ym]/I(W) K[x1, . . . , xn]/I(V)yi+ I(W) fi+ I(V)

es decir,g (y1, . . . , ym) + I(W) g (f1, . . . , f m) + I(V).

Para ver que esta bien definido, necesitamos probar que dado g

I(W) entoncesg (f1, . . . , f m) I(V). Pero para cada (a1, . . . , an) V tenemos que (a1, . . . , an) W, y por tanto

g (f1, . . . , f m) (a1, . . . , an) =g (f1(a1, . . . , an) , . . . , f m(a1, . . . , an))

=g ( (a1, . . . , an)) = 0,

como se anuncio. Tenemos entonces que es un homomorfismo deK-algebras.Recprocamente, sea

: K[y1, . . . , ym]/I(W) K[x1, . . . , xn]/I(V)

un homomorfismo deK-algebras, y sea (yi) =fi, con fi K[x1, . . . , xn], 1 i m.Se define entonces el morfismo polinomial

: An (K) Am (K)

(a1, . . . , an) (f1(a1, . . . , an) , . . . , f m(a1, . . . , an)) .

Veamos que (V) W: en efecto, sea (a1, . . . , an) V, puesto que Wes algebraico,W =V(I(W)) y basta probar que (f1(a1, . . . , an) , . . . , f m(a1, . . . , an)) V(I(W)).


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Sea pues g I(W), entonces (g) = 0 = g (f1, . . . , f m) y g (f1, . . . , f m) I(V),luegog (f1(a1, . . . , an) , . . . , f m(a1, . . . , an)) =g (f1, . . . , f m) (a1, . . . , an) = 0.Hemos probado entonces que la restriccion dea la variedadVes un morfismopolinomial, este morfismo lo denotamos tambien por .

Probemos ahora la ultima afirmacion del teorema. Sea : V W un morfis-mo polinomial definido por los polinomios f1, . . . , f m K[x1, . . . , xn] de tal for-ma que (a1, . . . , an) = (f1(a1, . . . , an) , . . . , f m(a1, . . . , an)), y sea el homo-morfismo correspondiente de algebras afines, entonces (yi) = fi. Notemos que induce un morfismo polinomial : A

n (K) Am (K) de tal forma que(a1, . . . , an) = (f1(a1, . . . , an) , . . . , f m(a1, . . . , an)), y para su restriccion sobreV se tiene que (a1, . . . , an) = (a1, . . . , an), es decir, = es la restricciondel morfismo polinomial :A

n (K)

Am (K).

Usando la notacion de la prueba anterior, se tienen las siguientes conclusiones.

Corolario 2.2.3. Sean V An (K), W Am (K) y Z Ar (K) variedades novacas y sean: VW y :W Z morfismos polinomiales, entonces esun morfismo polinomial y ademas = .

Demostracion. Sean y definidos por los polinomios f1, . . . , f m K[x1, . . . , xn] yg1, . . . , gr K[y1, . . . , ym], de tal forma que

(a1, . . . , an) = ((f1(a1, . . . , an) , . . . , f m(a1, . . . , an)))

y

(b1, . . . , bm) = ((g1(b1, . . . , bm) , . . . , gr(b1, . . . , bm))).

Entonces,

: V Z(a1, . . . , an) (h1(a1, . . . , an) , . . . , hr(a1, . . . , an))

donde hi= gi(f1, . . . , f m), 1 i r.De otra parte, se tienen los homomorfismos de algebras afines

: K[y1, . . . , ym]/I(W) K[x1, . . . , xn]/I(V)yi+ I(W) fi+ I(V)

y

: K[z1, . . . , z r]/I(Z) K[y1, . . . , ym]/I(W)zi+ I(W) gi+ I(V)


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En consecuencia,

: K[z1, . . . , z r]/I(Z) K[x1, . . . , xn]/I(V)zi+ I(W) gi(f1, . . . , f m) + I(V)

es decir, ( ) (zi+ I(W)) = hi+ I(V) = (zi+ I(W)). Esto muestra que =.Corolario 2.2.4. Sean V An (K), W Am (K) y Z Ar (K) variedades novacas y sean :A(Z) A(W) y:A(W) A(V) homomorfismos de algebrasafines. Entonces, = .Demostracion. Sean (yi) =fi y (zj) =gj , donde fi

K[x1, . . . , xn], 1

i

m

ygj K[y1, . . . , ym], 1 j r. Entonces, : A(Z) A(V)

zj gj(f1, . . . , f m)y por lo tanto, viene definida de la siguiente manera:

:V Z(a1, . . . , an) (h1(a1, . . . , an) , . . . , hr(a1, . . . , an))

donde hj =gj(f1, . . . , f m), 1

j

r. Pero esta es la definicion de

.

Corolario 2.2.5. SeanV An(K), W Am (K) variedades no vacas. Entonces,(i) Existe una correspondencia biyectiva entre la coleccion de morfismos polino-

miales deV enW y la coleccion de homomorfismos deA(W) enA(V).(ii) En la correspondencia anterior los isomorfismos polinomiales corresponden a

isomorfismos de las algebras afines.

Demostracion. (i) Sea Mor (V, W) la coleccion de morfismos polinomiales de V enWy sea H om(A(W), A(V)) la coleccion de homomorfismos del algebra afnA(W)en el algebra afn

A(V). Definimos entonces las aplicaciones

:M or (V, W) Hom(A(W), A(V))

y

:Hom(A(W), A(V)) Mor (V, W)


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Veamos entonces que = iMor(V,W) y que = iHom(A(W),A(V)). Al fi-nal de la prueba del teorema 2.2.2 vimos que ( ) () = . Sea ahora Hom(A(W), A(V)), con (yi) =fi, entonces para cada (a1, . . . , an) Vse tiene que(a1, . . . , an) = (f1(a1, . . . , an) , . . . , f m(a1, . . . , an)) y por lo tanto (yi) = fi.Esto significa que =, es decir, ( ) () =.

(ii) Sea ahora : V Wun isomorfismo polinomial, entonces existe un mor-fismo polinomial :W V tal que =iW y = iV. Segun el corolario2.2.3, = iW = iA(W) = y tambien = iV = iA(V) = . Hemosmostrado que es un isomorfismo de algebras.

Recprocamente, si :A(W) A(V) es un isomorfismo de algebras, entoncesexiste :A(V) A(W) tal que = iA(W) y = iA(V). Segun el corolario2.2.4, =

= iW y =

= iV, es decir, es un isomorfismo

polinomial de variedades.

Usando lengua je de categoras y funtores (vease [15]), podemos resumir algunasde las propiedades anteriores de la siguiente manera.

Corolario 2.2.6. La coleccion de variedades afines es una categora equivalente ala categora de las algebras afines.

Demostracion. SeaK un cuerpo algebraicamente cerrado que fijamos. Sea Vla colec-cion de las variedades afines sobre K y seaM or (V, W) el conjunto de los morfismospolinomiales deV enW. Entonces Ves una categora. Sea A la coleccion de K-alge-bras afines, es decir, algebras de la forma

K[x

1, . . . , x

n]/I, con n

1 e I un ideal

primo de K[x1, . . . , xn] ( notemos queV(I) es una variedad no vaca, corolario1.7.3,e I=I(V(I))). Sea Hom(A(W), A(V)) el conjunto de homomorfismos del algebraafnA(W) en el algebra afnA(V). Entonces es claro queAes una categora.

Se tiene el funtor contravariante G :V A definido por G(V) := A(V),G() := tal y como vimos en la demostracion del teorema 2.2.2. El coro-lario 2.2.5 dice que G es fiel y pleno. Ademas, dada A un algeba afn, entoncesA= K[x1, . . . , xn]/I, conIideal primo deK[x1, . . . , xn], luegoV(I) es una variedadde An(K) y G(V(I)) = K[x1, . . . , xn]/I(V(I)) = K[x1, . . . , xn]/I. Esto demuestraque el funtor G es representativo.

Presentamos a continuacion una proposicion que util para demostrar que unconjunto algebraico es irreducible. El resultado es valido para cuerpos no necesaria-mente algebraicamente cerrados. Ademas, notemos que los morfismos polinomialespueden ser definidos entre conjuntos algebraicos no necesariamente irreducibles.

Proposicion 2.2.7. Sea : V W un morfismo polinomial y sea X un sub-conjunto algebraico de W, donde W no necesariamente es irreducible. Entonces,1 (X) es un subconjunto algebraico deV. Ademas, si es sobreyectivo y1 (X)es irreducible, entoncesX es irreducible.


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Demostracion. SeaX=V(J), dondeJes un ideal radical deK[y1, . . . , ym]. Vamos

a probar que 1

(X) =V V(I), donde I :=g (f1, . . . , f m)|gJ yf1, . . . , f mson los polinomios que definen . En efecto, sea (a1, . . . , an) 1 (X), entonces(a1, . . . , an) V y (a1, . . . , an) = (f1(a1, . . . , an) , . . . , f m(a1, . . . , an)) X, deesta forma g ( (a1, . . . , an)) = g (f1, . . . , f m) (a1, . . . , an) = 0 para cada g J.Esto muestra que (a1, . . . , an) V (I). Recprocamente, sea (a1, . . . , an) VV (I), entonces para cada g Jse tiene que g (f1, . . . , f m) (a1, . . . , an) = 0, luego(f1(a1, . . . , an) , . . . , f m(a1, . . . , an)) V(J) =X y (a1, . . . , an) 1 (X).

Supongamos ahora queX=X1X2es union de algebraicos, entonces1 (X) =1 (X1) 1 (X2), por la hipotesis 1 (X) = 1 (X1) o 1 (X) =1 (X2), ycomo es sobre entonces X=X1 o X=X2.

La proposicion2.2.7se puede complementar observando el comportamiento delos algebraicos a traves de imagen recproca por morfismos polinomiales del espacioafn.

Corolario 2.2.8. Sea

: An (K) Am (K)(a1 . . . , an) (f1(a1 . . . , an) , . . . , f m(a1 . . . , an))

un morfismo polinomial y sea

: K[y1, . . . , ym] K[x1, . . . , xn]g

g (f1, . . . , f m)

el homomorfismo correspondiente de algebras afines. Sea X = V(J) un algebraicode Am (K), donde J es un ideal radical deK[x1, . . . , xm], entonces 1 (X) es unalgebraico deAn (K). En forma mas precisa,

1 (X) =V ((J)) =V (g (f1, . . . , f m) | g J) .En particular, sig es un polinomio deK[y1, . . . , ym] y V (g) es la correspondientehipersuperficie, entonces

1 (V(g)) =V (g (f1, . . . , f m)) .

Ademas, si es sobre y1 (X) es irreducible, entoncesXes irreducible.

Demostracion. Consecuencia directa de la proposicion2.2.7.

Ejemplo 2.2.9. (a){(t, t2, t3) A3 (K)| t K} es una variedad. En efecto, enla Proposicion2.2.7, sea V = A1(K) y sea W ={(t, t2, t3) A3 (K)| t K}. Lafuncion

: A1 (K) Wt t, t2, t3


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es polinomial sobreyectiva. Notemos que Wes algebraico. En efecto, W = V(yx

2

, z x3

). Puesto que 1

(W) = A1

(K) es irreducible (basta suponer que K esinfinito ), entoncesW es irreducible, es decir, Wes una variedad.(b) Veamos que V (xz y2, yz x3, z2 x2y) A3 (R) es una variedad. En

efecto, sea (a,b,c) W :=V (xz y2, yz x3, z2 x2y), entoncesac= b2, bc= a3, c2 =a2b

luego

abc= b3, abc= a4, c3 =a2bc,

y de esta manera

b3 =a4, c3 =a5,c4 =b5.

Como vimos en la proposicion2.2.7, es suficiente definir una funcion polinomial deA1 (R) sobre W. Necesitamos polinomiosf1(x), f2(x), f3(x) R[x] tales que

: A1 (R) Wt (f1(t), f2(t), f3(t))

sea sobreyectivo. Podemos tomar f1(x) := x3, f2(x) := x

4 y f3(x) := x5. Veamos

que as definida es sobre. Notemos primero que W =W :=

{(t3, t4, t5)

|t

R

}. En

efecto, es claro queW W; si (a,b,c) W, entonces tomandot := 3a, obtenemos(t) = (t3, t4, t5) = (a, ( 3

a)4, ( 3

a)5) = (a,b,c).

Ejemplo 2.2.10. El morfismo proyecci ondefinido por

: An (K) Am(K), n m(a1, . . . , an) (a1, . . . , am)

es un morfismo polinomial. En efecto, puesto queK es infinito, entonces An (K) yAm (K) son irreducibles, es decir, son variedades. Los polinomios de este morfismoson f1= x1, . . . , f m = xm.

Ejemplo 2.2.11. Sea V una variedad no vaca de An (K) y sea f A(V), conf K[x1, . . . , xn]. Definimos el grafo def por

G f:= {(a1, . . . , an+1) An+1 (K) | (a1, . . . , an) V yan+1= f(a1, . . . , an)}.Veamos queG f es una variedad y que la funcion

(a1, . . . , an) (a1, . . . , an, f(a1, . . . , an))


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2.3. CAMBIO DE COORDENADAS 35

es un isomorfismo entreV yG

f

, donde la proyeccion es la inversa. En efecto, sea

V = V(I), donde I es un ideal radical deK[x1, . . . , xn]. Probaremos inicialmenteque G f= V(I+xn+1 f). Sea (a1, . . . , an+1) G f, entonces (a1, . . . , an) Vy an+1 = f(a1, . . . , an), por lo tanto g (a1, . . . , an) = 0 para cada g I y an+1f(a1, . . . , an) = 0, luego h (a1, . . . , an+1) = 0 para cada hI+ xn+1 f, con locual (a1, . . . , an+1)V(I+ xn+1 f). La inclusion recproca se prueba en formasimilar. Se tiene entonces queG fes algebraico. Definimos el morfismo polinomialsobreyectivo

V G f

(a1, . . . , an) (a1, . . . , an, f(a1, . . . , an))

Segun el la proposicion2.2.7,G f es una variedad.Consideremos ahora el morfismo proyeccion del ejercicio anterior:

An+1 (K) An(K)(a1, . . . , an+1) (a1, . . . , an)

Podemos restringir este morfismo aG f obteniendo un morfismo polinomialG

f

V

de tal forma que = iV y= iG(f).

2.3. Cambio de coordenadas

Dentro de los morfismos polinomiales del espacio afn se destacan los cambios decoordenadas que estudiaremos en la presente seccion.

Definicion 2.3.1. Uncambio afn de coordenadas sobre el espacio afnAn (K)es un morfismo polinomial biyectivo

: An (K) An (K)definido por polinomios lineales

f1 := f10+ f11x1+ + f1nxn, . . . , f n:= fn0+ fn1x1+ + fnnxn.

Algunas propiedades de los cambios afines de coordenadas son las siguientes.

Proposicion 2.3.2. Sea un cambio afn de coordenadas. Entonces,


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(i) es la composicion de dos cambios afines de coordenadas, = , donde

:An (K) An (K)

es definido por los polinomios

f1= f11x1+ + f1nxn, . . . , f n= fn1x1+ + fnnxn,

y

:An (K) An (K)es definido por los polinomios

f1 =x1+ f10, . . . , f n =xn+ fn0.

En otras palabras, es la composicion de una transformacion lineal conuna translacion, i.e., =

(ii) es biyectivo.

(iii) La composicion de dos cambios afines de coordenadas es un cambio afn decoordenadas.

(iv) La funcion 1 : An (K)

An (K) es un cambio afn de coordenadas, y enconsecuencia, es un isomorfismo de variedades.

(v)

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