Cuaderno No. 4 Álgebra Lineal

CUADERNOS DE ALGEBRA

No. 4

Algebra lineal

Oswaldo Lezama

Departamento de MatematicasFacultad de Ciencias

Universidad Nacional de ColombiaSede de Bogota

30 de junio de 2014

ii

Cuaderno dedicado a Tonita, mi madre.

Contenido

Prologo v

1. Matrices 11.1. Estructuras algebraicas basicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2. Matrices sobre anillos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.3. Inversa de una matriz y cambio de base . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.4. Matrices y operaciones elementales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.5. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2. Determinantes y sistemas de ecuaciones lineales 222.1. Determinantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222.2. Determinantes y funciones multilineales . . . . . . . . . . . . . . . . . 272.3. Menores y cofactores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302.4. Ideales, rango y sistemas de ecuaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . 352.5. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

3. Producto tensorial 503.1. Producto tensorial de espacios vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . 503.2. Producto tensorial de transformaciones y matrices . . . . . . . . . . . 543.3. Funciones multilineales y tensores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 583.4. Tensores simetricos, antisimetricos y alternados . . . . . . . . . . . . 633.5. Algebras y producto tensorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 683.6. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

4. Formas canonicas 774.1. Polinomios mnimo y caracterstico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 774.2. Forma canonica clasica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 854.3. Forma canonica racional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 884.4. Forma canonica de Jordan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 924.5. Forma canonica diagonal: valores y vectores propios . . . . . . . . . . 974.6. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

iii

iv CONTENIDO

5. Grupos de matrices 1095.1. Grupos de matrices sobre cuerpos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

5.1.1. El grupo lineal y algunos subgrupos destacados . . . . . . . . 1095.1.2. Grupos clasicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

5.2. Grupos de matrices sobre anillos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1255.3. El grupo elemental sobre anillos conmutativos . . . . . . . . . . . . . 127

5.3.1. Teorema de normalizacion de Suslin . . . . . . . . . . . . . . . 1275.3.2. Teorema de estabilidad de Suslin . . . . . . . . . . . . . . . . 130

5.4. Grupos clasicos sobre anillos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1355.5. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140

Bibliografa 144

Prologo

La coleccion Cuadernos de algebra consta de 10 publicaciones sobre los principalestemas de esta rama de las matematicas, y pretende servir de material para prepararlos examenes de admision y de candidatura de los programas colombianos de doc-torado en matematicas. Los primeros cinco cuadernos cubren el material basico delos cursos de estructuras algebraicas y algebra lineal de los programas de maestra;los cinco cuadernos siguientes contienen algunos de los principales temas de losexamenes de candidatura, a saber: anillos y modulos; categoras; algebra homologica;algebra no conmutativa; algebra conmutativa y geometra algebraica. Cada cuadernoes fruto de las clases dictadas por el autor en la Universidad Nacional de Colombiaen los ultimos 25 anos, y estan basados en las fuentes bibliograficas consignadas encada uno de ellos, como tambien en el libro Anillos, Modulos y Categoras, publicadopor la Facultad de Ciencias de la Universidad Nacional de Colombia, y cuya edicionesta totalmente agotada (vease [7]). Un material similar, pero mucho mas completoque el presentado en estas diez publicaciones, es el excelente libro de Serge Lang, Al-gebra, cuya tercera edicion revisada ha sido publicada por Springer en el 2004 (vease[8]). Posiblemente el valor de los Cuadernos de algebra sea su presentacion ordenaday didactica, as como la inclusion de muchas pruebas omitidas en la literatura ysuficientes ejemplos que ilustran la teora. Los cuadernos son:

1. Grupos 6. Anillos y modulos2. Anillos 7. Categoras

3. Modulos 8. Algebra homologica

4. Algebra lineal 9. Algebra no conmutativa

5. Cuerpos 10. Algebra conmutativa y geometra algebraica

Los cuadernos estan dividido en captulos, los cuales a su vez se dividen ensecciones. Para cada captulo se anade al final una lista de ejercicios que debera sercomplementada por los lectores con las amplias listas de problemas que inluyen lasprincipales monografas relacionadas con el respectivo tema.

Cuaderno de algebra lineal. El presente cuaderno esta dedicado al estudiodel algebra lineal generalizada, es decir, al estudio de los espacios vectoriales, losoperadores lineales, las matrices y las formas, pero consideradas sobre anillos di-mensionales arbitratrarios, es decir, anillos para los cuales un espacio libre de bases

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vi PROLOGO

finitas tiene dimension. El algebra lineal sobre anillos ha sido tratada tambien porotros autores, veanse por ejemplo las monografas [1] y [9] en las cuales se estudiaen algebra lineal sobre anillos conmutativos.

Para aprovechar mejor el material del presente cuaderno es conveniente que ellector haya estudiado previamente un curso elemental de algebra lineal clasica, esdecir, de algebra lineal sobre cuerpos, y un curso basico de anillos y modulos (veansepor ejemplo [5] y [6]).

El autor desea expresar su agradecimiento a Claudia Milena Gallego Joya, dis-cpula y amiga, por la digitalizacion del material del presente cuaderno.

Oswaldo LezamaDepartamento de Matematicas

Universidad Nacional de ColombiaBogota, Colombia

[email protected]

Captulo 1

Matrices

El estudio de los espacios vectoriales sobre anillos, desde la perspectiva matricial,tensorial y de las formas canonicas y sesquilineales que estudiaremos en el presentecuaderno, constituye la denominada algebra lineal generalizada, o tambien llamadaalgebra lineal sobre anillos. Esta area por supuesto se puede considerar como unarama de la teora de modulos (vease [6]). La teora que desarrollaremos se hara sobreanillos arbitrarios (principalmente conmutativos), sin embargo, los ejemplos estarancentrados en los siguientes anillos particulares: un cuerpo cualquiera K, el anillo Zde los numeros enteros, el anillo Zn de los enteros modulo n 2, y el anillo K[x] delos polinomios en una indeterminada con coeficientes en el cuerpo K.

1.1. Estructuras algebraicas basicas

La primera seccion de este captulo es de caracter introductorio y permite repasaralgunos conceptos de anillos y modulos, sin embargo, invitamos al lector a recordarla teora basica de los cuadernos 2 y 3, la cual usaremos libremente durante todoslos desarrollos del presente cuaderno (veanse [5] y [6]).

Definicion 1.1.1. Sea G un conjunto no vaco. Una operacion binaria internaen G es una funcion con dominio el producto cartesiano GG y codominio G

GG G(a, b) 7 a b.

Si la operacion es asociativa en el sentido que(a b) c = a (b c)

para cualesquiera elementos a, b, c G, entonces se dice que (G, ) es un semi-grupo. Si en el conjunto G del semigrupo (G, ) existe un elemento e tal que

1

2 CAPITULO 1. MATRICES

e a = a = a epara cada a G, se dice que (G, ) es un monoide con elemento neutro e. Si(G, ) es un monoide y cada elemento a G tiene un inverso, es decir, existe a Gtal que

a a = e = a aentonces se dice que (G, , e) es un grupo. Si ademas la operacion es conmutativa,es decir,

a b = b apara cualesquiera elementos a, b G, entonces se dice que el grupo (G, , e) esconmutativo (tambien llamado abeliano).

Los semigrupos, monoides y grupos se acostumbran a denotar simplemente porsu conjunto de elementos, de tal manera que por ejemplo el grupo (G, , e) se deno-tara por G.

Ejemplo 1.1.2. El conjunto N = {0, 1, 2, . . . } de los numeros naturales es unmonoide conmutativo respecto de la adicion usual y tiene como elemento neutro alnatural 0. De igual manera, el conjunto Z = {. . . ,2,1, 0, 1, 2, . . . } de los numerosenteros es un grupo abeliano con la adicion usual.

Proposicion 1.1.3. En cualquier grupo el elemento neutro y el inverso de un ele-mento son unicos.

Demostracion. La prueba es una consecuencia directa de las definiciones.

Notemos que el conjunto Z posee dos operaciones, la adicion y el producto, de talforma que respecto de la primera es un grupo abeliano, mientras que con la segundaes un monoide. Conjuntos con tal condicion conforman los llamados anillos.

Definicion 1.1.4. Un anillo es un conjunto A con dos operaciones + y . llamadasadicion y producto, tal que

(i) A es un grupo conmutativo respecto de la adicion.

(ii) A es un monoide respecto del producto.

(iii) El producto se distribuye sobre la adicion, es decir,

a (b+ c) = a b+ a c(a+ b) c = a c+ b c.

1.1. ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS BASICAS 3

(iv) El anillo A es conmutativo si el producto es conmutativo.

(v) Un elemento a A es invertible si tiene inverso respecto del producto.Observacion 1.1.5. Todos los anillos tendran elemento neutro respecto del produc-to, este elemento sera denotado por 1. El neutro respecto de la adicion sera denotadopor 0. Si a A, entonces el inverso de a respecto de la adicion se denominara enadelante el opuesto de a, y se denotara por a. El producto a b sera simbolizadosimplemente como ab, es decir, omitiremos el punto para el producto de dos elemen-tos del anillo A. Si a A es invertible, entonces el inverso de a es unico y se denotapor a1.

Ejemplo 1.1.6. El conjunto Z de los numeros enteros es un anillo conmutativorespecto de las operaciones usuales de adicion y producto. El neutro aditivo es 0y el neutro del producto es 1. De igual manera, si restringimos el conjunto de losenteros a los 8 primeros enteros no negativos, es decir, Z8 = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}y realizamos las operaciones tomando resduos respecto de 8 obtenemos el llamadoanillo de enteros modulo 8 (vease [8]). El neutro aditivo es nuevamente el 0 y el neutromultiplicativo es 1. Este ejemplo por supuesto se puede generalizar a cualquier enteropositivo n 2 (veanse [5] y [7]). De otra parte, el conjunto de todos los polinomios enla variable x y con coeficientes reales constituyen otro ejemplo de anillo conmutativo,el cual se acostumbra denotar por R[x]. El neutro aditivo es el polinomio nulo y elneutro multiplicativo es el polinomio constante 1 (veanse [5], [7] y [8]).

Ejemplo 1.1.7. Es posible que el lector este familiarizado con el conjunto de lasmatrices cuadradas reales de tamano 2 2, M2(R) (veanse [5], [7] y [8]). Estasmatrices conforman un anillo no conmutativo respecto de la adicion y multiplicacionhabituales, el neutro aditivo es la matriz nula y el neutro multiplicativo es la matrizidentica. Notemos que [

1 00 0

] [0 10 0

]6=[0 10 0

] [1 00 0

].

En la definicion de anillo no se exige que cada elemento no nulo tenga inversorespecto del producto. As por ejemplo, Z es un anillo en el cual no existe enterox tal que 2x = 1. Sin embargo, existen anillos en los cuales este tipo de ecuacionestiene solucion, tal es el caso de anillo de los numeros racionales Q con las operacioneshabituales. Esta observacion permite definir el siguiente tipo de anillo.

Definicion 1.1.8. Un anillo A es de division si cada elemento no nulo es in-vertible. Si ademas A es conmutativo, entonces se dice que A es un cuerpo.

Proposicion 1.1.9. Sea A un anillo, el conjunto A conformado por los elemen-tos invertibles de A es un grupo respecto del producto, y se denomina el grupo deelementos invertibles de A.


Demostracion. Ejercicio para el lector.

Segun la proposicion anterior, A es un anillo de division si, y solo si, A = A{0}.Ejemplo 1.1.10. Los numeros racionales Q, los numeros reales R y los numeroscomplejos C, con sus operaciones habituales, son cuerpos. Notemos adicionalmenteque Z = {1,1} es decir, Z no es un cuerpo. De otra parte, M2(R) consta de lasmatrices invertibles, es decir, aquellas que tienen determinante no nulo. Este grupose denomina grupo lineal general de orde 2 sobre R y se denota por GL2(R).Sobre estos grupos de matrices invertibles volveremos mas adelante.

Un tipo de estructura mas compleja que las definidas anteriormente la consti-tuyen los llamados espacios vectoriales, tambien denominados modulos, los cualesconforman los objetos en se basa el algebra lineal generalizada.

Definicion 1.1.11. Un espacio vectorial es una tripla conformada por

(a) Un grupo abeliano V cuyos elementos llamaremos vectores.

(b) Un anillo A cuyos elementos llamaremos escalares.

(c) Una operacion externa entre escalares y vectores

V A V(v, a) 7 v a

que satisface las siguientes condiciones:

(i) (v + u) a = v a+ u a(ii) v (a+ b) = v a+ v b(iii) v (ab) = (v a) b(iv) v 1 = vpara cualesquiera elementos a, b A, v, u V .

Si no hay lugar a confusion, el espacio vectorial (V,A, .) sera denotado sim-plemente por V y se dira que V es un espacio vectorial sobre A, o que V es unA-espacio. Cuando los escalares operan al lado izquierdo se dice que V es un A-espacio a izquierda, sin embargo, es necesario aclarar que la teora de algebra linealdesarrollada a izquierda es completamente equivalente a la desarrollada a derecha. Sino se advierte lo contrario, todos los espacios vectoriales del presente cuaderno sonespacios vectoriales a derecha. Los espacios vectoriales sobre anillos se les denominatambien modulos (vease [6]). As pues, en teora de anillos y modulos se dira queV es un A-modulo a derecha.


Observacion 1.1.12. Es importante senalar que si A es un anillo no conmutativoy V es un espacio vectorial izquierdo, entonces no basta con cambiar de lado losescalares, pero manteniendo la asignacion del literal (c) de la defincion anterior,para obtener un espacio vectorial a derecha. En efecto, si V es un A-espacio aizquierda y definimos v a := a.v, entonces notemos que (v a) b = b.(a.v) perov (ab) = (ab) v = a (b v) y los dos resultados anteriores pueden ser distintos(veanse [6] y [7]). Claramente para anillos conmutativos los escalares pueden serdispuestos indistintamente a derecha o izquierda, segun resulte mas conveniente.En adelante, salvo que sea necesario algo distinto, los escalares para modulos sobreanillos conmutativos seran dispuestos por el lado izquierdo.

Ejemplo 1.1.13. SeanA un anillo y n 1 un entero, el conjuntoAn conformado portodos los vectores columna de n componentes (a1, . . . , an)

T , ai A, 1 i n, cons-tituye un espacio vectorial sobre el anillo A respecto de las siguientes operaciones:

[a1, . . . , an]T + [b1, . . . , bn]

T = [a1 + b1, . . . , an + bn]T

[a1, . . . , an]T c = [a1c, . . . , anc]T ,

con c A. An se conoce como el n-espacio vectorial canonico sobre el anilloA. Dos casos particulares destacados son el n-espacio vectorial canonico real Rn yel n-espacio vectorial canonico entero Zn. Tomando n = 1, es decir, A1 = A, seobtiene que el anillo A tiene estructura de espacio vectorial sobre si mismo: la sumade vectores es la suma en el anillo A y el producto entre vectores y escalares es elproducto del anillo A.

Observacion 1.1.14. El conjunto de vectores fila de n componentes se acostumbraa denotar por A1n y usualmente se le da estructura de A-espacio a izquierda:c (a1, . . . , an) := (ca1, . . . , can). Sin embargo, con el proposito de ahorrar espacio ysimplificar la notacion, en adelante, a menudo escribiremos los elementos del espacioAn como vectores fila, siempre y cuando esto no represente confusion.

Como anotamos al principio, toda la teora de espacios vectoriales y transfor-maciones lineales sobre anillos desarrollada en [6] sera usada en adelante. No sobraresaltar algunos resultados, definiciones y observaciones.

Teorema 1.1.15. Todo espacio vectorial sobre un anillo de division es libre, esdecir, posee una base. En particular, todo espacio vectorial sobre un cuerpo es libre.

Demostracion. Sea V un espacio vectorial sobre un anillo de division A y sea L lacoleccion de subconjuntos de V que son linealmente independientes (l.i.); L es novaco y es ordenado respecto de la inclusion de conjuntos. Sea C un subconjunto novaco de L totalemente ordenado y sea C la reunion de los conjuntos que conformana C. Vamos a demostrar que C L. Sea {x1, . . . , xn} un subconjunto finito de C,


existen entonces C1, . . . , Cn C tales que xi Ci, 1 i n. Como C es totalmenteordenado podemos suponer que xi Cn para cada 1 i n, luego {x1, . . . , xn}es l.i ya que Cn es l.i. Esto muestra que C es l.i. C es pues una cota superiorpara C en L; aplicamos entonces el lema de Zorn y encontramos en L un elementomaximal X. Basta entonces demostrar que X = V . Sea v V , si v X entoncesv X, sea v / X, entonces por la maximalidad de X se tiene que X {v} es l.d.y existen escalares no todos nulos a, a1, . . . , an A y vectores x1, . . . , xn X talesque v a+x1 a1+ +xn an = 0. No es posible que a = 0, de lo contrario X seral.d. Por lo tanto, v = (x1 a1a1 + + xn ana1) X.Definicion 1.1.16. Sean V y W dos espacios vectoriales sobre un anillo A. Unatransformacion lineal (t.l.) de V en W es una funcion f : V W que satisfecelas siguientes condiciones:

(i) f(u+ v) = f(u) + f(v)

(ii) f(v a) = f(v) apara cualesquiera vectores u, v V y cualquier escalar a A. Se dice tambien quef es un operador lineal o un A-homomorfismo.

Ejemplo 1.1.17. La funcion

An Am(a1, . . . , an) 7 (b1a1 + c1an, b2a1 + c2an, . . . , bma1 + cman)

donde b1, c1 . . . bm, cm son escalares de A, es una transformacion lineal de An en Am.

Ejemplo 1.1.18. La transformacion lineal nula denotada por 0 se define por

V0 W

v 7 0De igual manera, la transformacion lineal identica de V se denota por iV y se definepor

ViV V

v 7 vEn algebra lineal, como en cualquier rama del algebra, es de vital importancia

el concepto de isomorfismo.

Definicion 1.1.19. Dos espacios vectoriales V y W se dicen isomorfos si existeuna transformacion lineal biyectiva entre ellos, denominada isomorfismo. En tal casose escribe V = W . Una transformacion lineal f : V W es invertible si existe unafuncion g : W V tal que fg = iW y gf = iV .


Es facil verificar que la funcion g de la definicion anterior es tambien una t.l. yque f es un isomorfismo si, y solo si, f es invertible.

Pasamos ahora a recordar la estructura algebraica del conjunto de todas las t.l.de un espacio V en otro W .

Definicion 1.1.20. Sean V y W dos A-espacios. Se definen

HomA(V,W ) := {f : V W |f es una t.l.},EndA(V ) : = HomA(V, V ).

Proposicion 1.1.21. Sea A un anillo y sean V,W dos A-espacios. Entonces,

(i) HomA(V,W ) es un grupo abeliano.

(ii) EndA(V ) es un anillo.

(iii) Si R es un anillo conmutativo, entonces HomR(V,W ) es un R-espacio.

Demostracion. Vease [6].

Notemos que en general el anillo EndA(V ) no es conmutativo, basta por ejemplotener en cuenta el caso particular EndR(R2). El grupo de elementos invertibles delanillo EndA(V ) juega un papel muy importante en el algebra lineal generalizada, enparticular, cuando V es de dimension finita.

Definicion 1.1.22. Sea V un A-espacio. AutA(V ) := EndA(V ) es el grupo lineal

general sobre A.

Notemos tambien que si R es conmutativo, EndR(V ) posee dos estructuras: esun anillo y es un R-espacio. Este tipo de estructuras se conoce como R-algebras, enel sentido de la siguiente definicion.

Definicion 1.1.23. Sea R un anillo conmutativo y sea A un conjunto no vaco. Sedice que A es una R-algebra si

(i) A es un anillo.

(ii) A es un R-espacio respecto de la adicion definida en A.

(iii) (ab) r = a(b r) = (a r)b, para cualesquiera a, b A y cada r R.A es en algebra conmutativa si A es un anillo conmutativo.

Ejemplo 1.1.24. Si R es un anillo conmutativo y V es un R-espacio, entoncesEndR(V ) es una R-algebra no necesariamente conmutativa.

Ejemplo 1.1.25. Si R es un anillo conmutativo entonces el conjunto R[x] de todoslos polinomios con coeficientes en R es una R-algebra conmutativa.


1.2. Matrices sobre anillos

Definicion 1.2.1. Sea A un anillo y sean m,n enteros positivos; una matriz detamano m n es una tabla ordenada de m filas y n columnas conformada porelementos de A en la forma

B =

b11 b1n... ...bm1 bmn

.Los elementos b11, . . . , bmn se denominan las componentes o entradas de B. Laentrada que esta en la interseccion de la i-esima fila con la j-esima columna sedenota por bij, y la matriz B tambien se simboliza por B = [bij]. La i-esima fila deB se denota por Bi := [bi1, . . . , bin], la j-esima columna se denota por

B(j) :=

b1j...bmj

.La matriz BT = [bij] de tamano nm definida por bij := bji, para cada i y cada j,se denomina la traspuesta de B. La matriz B se dice cuadrada si m = n.

Proposicion 1.2.2. El conjunto Mmn(A) de todas las matrices de tamano m ncon entradas en el anillo A es un A-espacio vectorial respecto de las siguientesoperaciones: si B = [bij], C = [cij] Mmn(A) y a A, entonces

B + C := [bij + cij], B a := [bija].Mmn(A) es libre con base canonica {Eij}m,ni=1,j=1, donde

Eij :=

0... 0

1 0

... 0

, (1.2.1)es decir, en la matriz Eij la unica entrada no nula corresponde a la interseccion dela i-esima fila con la j-esima columna en donde esta ubicado el elemento 1. Ademas,estas matrices satisfacen la siguiente regla para el producto:

EijEpq =

{Eiq, j = p

0, j 6= p.Demostracion. Dejamos los detalles de la prueba al lector. Indiquemos solamente lanotacion para la matriz nula y la representacion de cualquier matriz B de Mmn(A)en terminos de la base canonica:

1.2. MATRICES SOBRE ANILLOS 9

0 =

0 0... ...0 0

, B =i,j Eij bij.

Definicion 1.2.3. Sean B = [bij] Mmn(A), C = [cij] Mnp(A), se define elproducto

BC := D = [dij], dij :=ni=1

bikckj, 1 i m, 1 j p.

Notemos que el producto de matrices se define con la siguiente condicion decompatibilidad: el numero de columnas del primer factor coincide con el numero defilas del segundo factor.

Proposicion 1.2.4. Sean B,C,D matrices compatibles para las operaciones indi-cadas. Entonces

(i) (BC)D = B(CD).

(ii) B(C +D) = BC +BD; (B + C)D = BD + CD.

(iii) Si R es un anillo conmutativo y B,C son matrices con entradas en R, entoncespara cada r R se tiene que (B r)C = (BC) r = B(C r).

(iv) Sean B,C y D matrices como en la definicion 1.2.3. Entonces,

BC = [BC(1) BC(p)],

BC = [B1C BmC]T

(v) Para cada n 1 se define la matriz identica de tamano nn sobre el anilloA por

E = [eij] :=

1 0. . .0 1

, eij := {1, i = j0, i 6= j

Entonces, para cada matriz B Mmn(A) se tiene que

EB = B, BE = B,


donde en la primera identidad E es la identica de tamano m m y en lasegunda E es de tamano n n.

(vi) Para cada n 1, Mn(A) es un anillo. Si R es un anillo conmutativo, entoncesMn(R) es una R-algebra.

Demostracion. Todas las afirmaciones de esta proposicion son consecuencia directade las definiciones; dejamos su prueba la lector.

Las matrices constituyen un lenguaje computacional para el algebra lineal talcomo lo ilustra el siguiente teorema en el cual mostraremos la representacion detransformaciones lineales por medio de matrices. Para el teorema necesitamos lassiguientes nociones (veanse [4], [5] y [6]).

Definicion 1.2.5. Sean G,H dos grupos, se dice que G es isomorfo a H, locual se denota por G = H, si existe una funcion biyectiva f : G H tal quef(g g) = f(g) f(g) para cualesquiera elementos g, g G. Sean A,B dos anillos,se dice que A es isomorfo a B, lo cual se denota por A = B, si existe una funcionbiyectiva f : A B tal que f(a + a) = f(a) + f(a), f(aa) = f(a)f(a) paracualesquiera elementos a, a A, y ademas f(1) = 1. Sea R un anillo conmutativoy sean K,L dos R-algebras, se dice que K es isomorfa a L, lo cual se denota porK = L, si existe una funcion biyectiva f : K L tal que f(k + k) = f(k) + f(k),f(k r) = f(k) r, f(kk) = f(k)f(k) para cualesquiera elementos k, k K, r R,y ademas f(1) = 1.

Teorema 1.2.6. Sea A un anillo arbitrario.

(i) Si V es un A-espacio libre con una base de n 1 elementos y W es unA-espacio libre con una base de m elementos, entonces

HomA(V,W ) = Mmn(A) (isomorfismo de grupos).

Si A = R es un anillo conmutativo entonces el isomorfismo anterior es deespacios vectoriales.

(ii) EndA(V ) = Mn(A) (isomorfismo de anillos).(iii) Si R es un anillo conmutativo, entonces EndR(V ) = Mn(R) (isomorfismo de

algebras).

Demostracion. La idea central de la prueba del teorema es asignar a cada transfor-macion lineal una matriz y, recprocamente, definir con cada matriz una transfor-macion lineal.

Matriz asociada a una transformacion lineal : sea X = {x1, . . . , xn} unabase de V y sea Y = {y1, . . . , ym} una base de W ; sea f : V W una t.l., entonces

1.2. MATRICES SOBRE ANILLOS 11

f determina una unica matriz mX,Y (f) := F := [fij] Mmn(A), llamada la matrizde la tranformacion f en las bases X, Y , y definida por

f(xj) :=mi=1

yi.fij, 1 j n. (1.2.2)

Transformacion lineal definida por una matriz : cada matriz F = [fij] Mmn(A) determina una unica t.l. f : V W definida como en (1.2.2). Si enparticular V = An y W = Am, entonces f se puede presentar matricialmente en lasiguiente forma:

f : An Ama := [a1, . . . , an]

T 7 Fa = F [a1, . . . , an]T = F (1) a1 + + F (n) an. (1.2.3)(i) Por lo anterior es claro que la funcion

HomA(V,W )mX,YMmn(A)

f 7 mX,Y (f)es un isomorfismo de grupos. Si A = R es un anillo conmutativo, la funcion mX,Yes un isomorfismo de espacios vectoriales.

(ii) Sea U un A-espacio libre con una base Z = {z1, . . . , zp} de p elementos y seag : W U otra t.l., veamos entonces que

mX,Z(gf) = mY,Z(g)mX,Y (f). (1.2.4)

Sean F = mX,Y (f), G = mY,Z(g) y H = mX,Z(gf); se tiene que

(gf)(xj) =

pk=1

zk hkj

= g(f(xj)) = g(ml=1

yl flj)

=ml=1

(

pk=1

zk gkl) flj

=

pk=1

zk (ml=1

gklflj),

luego hkj =m

l=1 gklflj, es decir, H = GF .Tomando V = W = U y X = Y = Z en (1.2.4) y considerando lo probado en (i)

se obtiene que EndA(V ) y Mn(A) son anillos isomorfos. Notemos que mX,X(iV ) :=mX(iV ) = E.

(iii) Esto es consecuencia directa de (i) y (ii).


Observacion 1.2.7. (i) Al considerar espacios vectoriales a izquierda algunos au-tores acostumbran a disponer por filas los coeficientes de la expansion a travesde una base. En forma mas precisa, sea X = {x1, . . . , xn} una base de V y seaY = {y1, . . . , ym} una base de W ; sea f : V W una t.l., entonces f determinauna unica matriz mX,Y (f) := [fij] Mnm(A), denominada tambien la matriz dela tranformacion f en las bases X, Y , y definida por

f(xi) :=mj=1

fij yj, 1 i n. (1.2.5)

La identidad (1.2.4) se convierte en

mX,Z(gf) = mX,Y (f)mY,Z(g). (1.2.6)

En efecto, usando la notacion de la demostracion del toerema 1.2.6 tenemos queg(yj) =

pk=1 gjk zk, 1 j m, mY,Z(g) := [gij] Mmp(A), luego

(gf)(xi) =mj=1

fij g(yj) =mj=1

pk=1

fijgjk zk.

Si utilizaramos tambien notacion izquierda para funciones, es decir, en lugar de

f(x) escribieramos xf , entonces la compuesta Vf W g U debera denotarse fg,

en cuyo caso se tendra la relacion mX,Z(fg) = mX,Y (f)mY,Z(g). Con esta notaciontendramos en particular el isomorfismo de anillos EndA(AV ) = Mn(A). Sin em-bargo, la notacion a izquierda para funciones es muy poco usada, esto trae comoconsecuencia que en el teorema 1.2.6 los anillos EndA(AV ) y Mn(A) sean anti-isomorfos. Pero si consideramos el anillo opuesto de Mn(A) (vease [6]), entoncestendremos el isomorfismo de anillos EndA(AV ) = Mn(A)op. Notemos adicionalmenteque una matriz F := [fij] Mnm(A) define una t.l. dada por

A1nf A1m

(a1, . . . , an) 7 (a1, . . . , an)F (1.2.7)

y la matriz de f en las bases canonicas coincide con F .(ii) Otra alternativa para los espacios a izquierda es disponer nuevamente los

coeficientes de la expansion por columnas y mantener la notacion usual de funcionesa derecha, en tal caso resulta

(gf)(xj) = g(mi=1

fij yi) =mi=1

pk=1

fijgki zk;

1.3. INVERSA DE UNA MATRIZ Y CAMBIO DE BASE 13

si cambiamos el anillo A por su anillo opuesto Aop, entonces tendramos mX,Z(gf) =mY,Z(g)mX,Y (f), y en consecuencia el isomorfismo EndA(AV ) = Mn(Aop). Otravariante de esta alternativa es no usar el anillo opuesto, pero entonces la identidadanterior dice que

mX,Z(gf) = (mX,Y (f)TmY,Z(g)

T )T . (1.2.8)

La matriz F Mrs(S) define un homomorfismoSs

f Sra 7 (aTF T )T (1.2.9)

y su matriz en las bases canonicas coincide con F . As pues, f : Sr Sr es unisomorfismo si, y solo si, F T GLr(S). Finalmente, sea C Mr(S); las columnasde C constituyen una base de Sr si, y solo si, CT GLr(S) (vease el corolario 1.3.5mas adelante).

(iii) Notemos de todos modos que los valores asignados por la funcion f encada una de las dos opciones anteriores coinciden ya que la matriz F en (1.2.7) esprecisamente F T en (1.2.9).

(iv) Finalmente, siA es un anillo conmutativo entonces la relacion (1.2.8) coincidecon (1.2.4) y tambien se tiene que (aTF T )T = Fa.

1.3. Inversa de una matriz y cambio de base

Definicion 1.3.1. Sea B Mnm(A) una matriz; se dice que B es semi-invertiblesi existe otra matriz B Mmn(A) tal que BB = E y BB = E. En tal caso sedice que B es la semi-inversa de B. Si n = m se dice que B es invertible yB1 := B es la inversa de B. El grupo de elementos invertibles del anillo Mn(A)se denota por GLn(A) y se denomina el grupo lineal general de orden n sobre elanillo A.

Notemos que la semi-inversa de una matriz es unica. Ademas, si C Mmp(A)es semi-invertible, entonces BC es semi-invertible con semi-inversa C B.

Corolario 1.3.2. Sea V un A-espacio libre con una base de n 1 elementos.Entonces,

AutA(V ) = GLn(A) (isomorfismo de grupos).Demostracion. Esto es consecuencia del teorema anterior y los detalles de la pruebalos dejamos al lector.

El grupo GLn(A) y varios de sus subgrupos mas destacados seran estudiadosen forma detallada en el ultimo captulo del presente cuaderno. Pasamos ahora aestudiar los cambios de bases en los espacios libres y a entender su efecto en lasrepresentaciones matriciales de las transformaciones lineales.


Proposicion 1.3.3. Sea V un espacio libre con base X = {x1, . . . , xn} y sea B =[bij] Mnm(A). Entonces el conjunto

Y := {yj =ni=1

xi.bij|1 j m} (1.3.1)

es una base de V si, y solo si, B es semi-invertible.

Demostracion. Para simplificar la prueba utilizaremos notacion matricial de tal for-ma que la igualdad (1.3.1) la escribiremos como

[Y ] = [X]B

con [Y ] := [y1, . . . , ym].) Si Y es una base de V cada elemento de X es combinacion lineal de los

elementos de Y , resulta entonces una matriz B Mmn(A) tal que [X] = [Y ]B.Por lo tanto , [Y ] = [X]B = [Y ]BB, y por la independencia lineal de Y se tieneque BB = E. Por la simetra del problema, BB = E.

) [X] = [X]E = [X]BB = [Y ]B, luego V = X Y y entonces V = Y .Sean a1, . . . , am A tales que y1 a1 + + ym am = 0; se tiene entonces que[Y ]F = 0, donde F Mm(A) es una matriz en la cual cada columna es el vector[a1, . . . , am]

T . Resulta entonces [X]BF = 0, pero como X es l.i. entonces BF = 0,luego BBF = 0, es decir, F = 0, con lo cual a1 = = am = 0.Definicion 1.3.4. La matriz B de la proposicion 1.3.3 es la matriz de cambiode la base X a la base Y .

La matriz B es la matriz de cambio de Y a X; notemos que B es semi-invertible.Esta situacion se presenta solamente en los anillos no dimensionales (vease [5] y laobservacion 1.3.10 mas adelante). Para anillos dimensionales n = m y la matriz decambio B es invertible.

Corolario 1.3.5. Sea B Mnm(A); B es semi-invertible si, y solo si, las columnasde B constituyen una base de Am. Sim = n, B es invertible si, y solo si, las columnasde B constituyen una base de An.

Demostracion. Basta tomar V = An y X la base canonica de An en la prueba de laproposicion 1.3.3.

Ejemplo 1.3.6. La sola independencia la columnas de una matriz no garantiza quesea semi-invertible. Consideremos por ejemplo la matriz cuadrada

B =

[1 23 4

]M2(Z),

1.3. INVERSA DE UNA MATRIZ Y CAMBIO DE BASE 15

notemos que B no es invertible como matriz entera ya que su inversa como matrizreal es

B1 =[2 1

32

12

]M2(Z);

notemos ademas que las columnas de B son l.i.

Definicion 1.3.7. Dos matrices P Mpq(A) y Q Mmn(A) son semi-equi-valentes si existen matrices semi-invertibles D Mpm(A) y C Mqn(A) talesque

Q = DPC.

Si p = m y q = n se dice que P y Q son equivalentes si existen matrices invertiblesD GLm(A) y C GLn(A) tales que Q = D1PC, lo cual denotaremos por P Q.Si p = m = q = n se dice que P y Q son similares si existe una matriz invertibleC GLn(A) tal que Q = C1PC, lo cual se denota por P Q.

Todas las relaciones de la definicion anterior son de equivalencia.

Proposicion 1.3.8. Sea f : V W una t.l, donde V es libre con bases X ={x1, . . . , xn}, X = {x1, . . . , xq} y W es libre con bases Y = {y1, . . . , ym}, Y ={y1, . . . , yp}. Sean P = mX,Y (f), Q = mX,Y (f), C la matriz de cambio de X a X y D la matriz de cambio de Y a Y . Entonces,

Q = DPC.

Si q = n y p = m entonces Q = D1PC. Si V = W , Y = X,Y = X , entoncesQ = C1PC.

Demostracion. Tenemos que

f(xj) =mk=1

yk.pkj, 1 j n

f(xt) =p

r=1

yr.qrt, 1 t q

xt =nj=1

xj.cjt

yr =mk=1

yk.dkr, 1 r p,

luego


f(xt) =n

j=1 f(xj).cjt =n

j=1(m

k=1 yk.pkj).cjt =m

k=1 yk.(n

j=1 pkjcjt);

f(xt) =p

r=1(m

k=1 yk.dkr).qrt =m

k=1 yk.(p

r=1 dkrqrt),

y puesto que Y es l.i, entonces PC = DQ, es decir, Q = DPC.

Proposicion 1.3.9. Dos matrices P Mpq(A) y Q Mmn(A) son semiequi-valentes si, y solo si, representan la misma transformacion lineal. Si q = n y p =m, entonces P,Q Mmn(A) son equivalentes si, y solo si, representan la mismatransformacion lineal. Si q = n = p = m, entonces P,Q Mn(A) son similares si,y solo si, representan la misma transformacion lineal.

Demostracion. ): sea Q = DPC con D Mpm(A) y C Mqn(A) semi-invertibles; P representa una t.l. Aq

f Ap en las bases canonicas X de Aq y Yde Ap. Sea [Y ] := [Y ]D; como D es semi-invertible, entonces Y es tambien unabase de Ap (notemos que Y esta conformada por las m columnas de D, luegoAp = Am). De igual manera, sea [X ] := [X]C, y X es tambien una base de Aq (X esta conformada por las n columnas de C, luego Aq = An). De otra parte, Q tambienrepresenta una t.l. Aq

g Ap en las bases X , Y ; se tiene entonces que mX,Y (f) = Py mX,Y (g) = Q, de donde mX,Y (f) = D

mX,Y (f)C = DPC = Q = mX,Y (g), ypor lo tanto, f = g.

): esta parte corresponde la la proposicion 1.3.8.Observacion 1.3.10. (i) Un punto donde el algebra lineal sobre anillos se aparta delalgebra lineal clasica es en la existencia y tamano de las bases. En [6] se demuestraque el Z-espacio de los numeros racionales Q no es libre. En cuanto a la unicidadde las bases, en general, podemos afirmar que en un espacio vectorial libre existeninfinitas bases. Por ejemplo, en Rn el conjunto Xa = {e1.a, . . . , en}, con a R{0},es una base. En Z2 se tienen las siguientes bases,

{(1, 0), (0, 1)}, {(1, 0), (0,1)}, {(1, 0), (0,1)}, {(1, 0), (0, 1)}, {(1, 1), (1, 2)}.En el siguiente captulo veremos que {(a, b), (c, d)} es una base de Z2 si, y solo si,ad bc = 1. El problema de la unicidad entonces es mejor plantearlo en terminosdel tamano de las bases. En [6] se prueba que todo espacio vectorial libre finitamentegenerado (f.g.) posee una base finita, y tambien que, en un espacio vectorial libretodas las bases son finitas o bien todas son infinitas. Ademas, para espacios de basesinfinitas no hay problema con el tamano de las bases, todas tinen la misma cantidadde elementos. Sin embargo, existen anillos A para los cuales se tiene la siguientepropiedad: si V es un A-espacio de bases finitas, no necesariamente todas las basesde V tienen el mismo numero de elementos. Un ejemplo puede ser consultado en [6].

(ii) Sea V un A-espacio libre. Se dice que V es dimensional si todas las bases deV tienen el mismo numero de elementos. Este numero se denomina la dimension

1.4. MATRICES Y OPERACIONES ELEMENTALES 17

de V y se denota por dimA(V ). Se dice que A es un anillo dimensional si todossus A-espacios libres son dimensionales (en ingles IBN , invariant basis number). Lamayora de los anillos estudiados en algebra son dimensionales (vease [2] y [4]). Porejemplo, los anillos de division son dimensionales: en efecto, seanX yX dos bases detamanos n y n, respectivamente, de un espacio vectorial V sobre un anillo de divisionA; si n > n, entonces, tal como se prueba en espacios vectoriales sobre cuerpos (sinusar conmutatividad), n+1 vectores de X son linealmente dependientes, lo cual esfalso ya que X es l.i. Los anillos conmutativos tambien son dimensionales (esto loprobaremos mas adelante).

(iii) Notemos que un anillo A es dimensional si, y solo si, las unicas matricessemi-invertibles sobre A son las matrices cuadradas (en cuyo caso son invertibles).Esto hace que si A es un anillo dimensional, entonces todos los A-espacios vectorialeslibres izquierdos son dimensionales, es decir, A es dimensional a derecha si, y solosi, A es dimensional a izquierda (vease [4]). Ademas, en anillos dimensionales, semi-invertible = invertible y semi-equivalente = equivalente.

(iv) En adelante en el presente cuaderno asumiremos que A es un anillo dimen-sional.

1.4. Matrices y operaciones elementales

En el grupo GLn(A) se tienen tres tipos importantes de matrices que permitenrealizar cambios sobre las filas y/o columnas de una matriz. Definimos en esta seccionestas matrices invertibles especiales.

Definicion 1.4.1. Sea n 2. Se definen los siguientes tipos de matrices elemen-tales.

(i) Matrices propiamente elementales:

Tij(a) := E + Eij a =

1

. . . a. . .

. . .

1

, a A, i 6= j.

(ii) Permutaciones:

Pij := E Eii Ejj + Eij + Eji.

(iii) Diagonales:


Di(a) := E + Eii (a 1), a A.

Proposicion 1.4.2. Las matrices elementales son invertibles,

Tij(a)1 = Tij(a), P1ij = Pij, Di(a)1 = Di(a1).

Demostracion. Ejercicio para el lector.

Definicion 1.4.3. El subgrupo de GLn(A) generado por todas las matrices propia-mente elementales se denomina grupo elemental, y se denota por En(A).

Las matrices elementales inducen las llamadas operaciones elementales sobrelas filas y columnas de una matriz F Mmn(A), m,n 2:(i) El efecto de multiplicar F a la derecha por Tij(a) GLn(A) es sumar a la

j-esima columna de F la i-esima columna multiplicada a derecha por a. Elefecto de multiplicar F a la izquierda por Tij(a) GLm(A) es sumar a lai-esima fila la j-esima multiplicada a izquierda por a.

(ii) El producto FPij, con Pij GLn(A) intercambia las columnas i-esima y j-esima de F . PijF , con Pij GLm(A), efectua el correspondiente intercambiode filas.

(iii) La matriz FDi(a), con Di(a) GLn(A), se obtiene de F multiplicando lai-esima columna de F a la derecha por a. Di(a)F , con Di(a) GLm(A), seobtiene de F multiplicando la i-esima fila de F por a a la izquierda.

Teniendo en cuenta que el producto de matrices invertibles es invertible, obtenemosinmediatamente el siguiente resultado.

Corolario 1.4.4. Si la matriz G Mmn(A) se obtuvo de F Mmn(A) pormedio de operaciones elementales sobre las fila y/o columnas de F , entonces G esequivalente a F .

1.5. Ejercicios

1. Determine 10 bases diferentes en Z2 distintas de la base canonica.

2. Determine 10 conjuntos diferentes en Z2 cada uno de 2 elementos y l.d.

3. Sea K un cuerpo y sea V un K-espacio. Si x1, . . . , xn son vectores l.i. de V ,demuestre que cada conjunto de n+ 1 vectores de x1, . . . , xn es l.d.

4. Demuestre que todo cuerpo K es un anillo dimensional.

1.5. EJERCICIOS 19

5. Sea n 1 entero y sea Rn[x] el conjunto de polinomios reales de grado menoro igual a n. Demuestre que Rn[x] es un R-espacio de dimension n+ 1.

6. Con la notacion del ejercicio anterior, sea X un subconjunto de Rn[x] quecontiene para cada k = 0, 1, . . . , n un unico polinomio de grado k. Demuestreque X es una base de Rn[x].

7. Demuestre la afirmacion del ejemplo 1.1.17.

8. Sea f : V W una t.l. para la cual existe una funcion g : W V tal quefg = iW y gf = iV . Demuestre que g es una t.l.

9. Compruebe que EndR(R2) no es un anillo conmutativo.

10. Demuestre que M2(R) es una R-algebra no conmutativa.

11. Sea R un anillo conmutativo y R[x1, . . . , xn] el conjunto de polinomios enn indeterminadas con coeficientes en R. Demuestre que R[x1, . . . , xn] es unaR-algebra conmutativa.

12. Demuestre el corolario 1.3.2.

13. Demuestre que las columnas de la matriz B del ejemplo 1.3.6 son l.i.

14. Demuestre que las relaciones de la definicion 1.3.7 son de equivalencia.

15. (vease [1], pag. 17) Sea A un anillo; un subconjunto no vaco I de A es unideal derecho de A si x + y I y xa I para cada x I y cada a A.De manera similar se definen los ideales izquierdos de A. Demuestre que paracada 1 r n 1, el conjunto

I =

[0A

]conformado por todas las matrices en las cuales las primeras r filas son nulases un ideal derecho de Mn(A). De igual manera, demuestre que el conjuntode matrices de Mn(A) conformado por todas las matrices en las cuales lasprimeras r columnas son nulas es un ideal izquierdo de Mn(A).

16. Sea V un A-espacio y sea v V ; se define

AnnA(v) := {a A|v.a = 0}.

Demuestre que AnnA(v) es un ideal derecho de A. Ademas, si


AnnA(V ) := {a A|v.a = 0 para cada v V },

entonces AnnA(V ) es un ideal bilatero de A, es decir, AnnA(V ) es un idealizquierdo y derecho de A que cumple

AnnA(V ) =

vV AnnA(v).

17. Sean V1, V2 dos subespacios de un A-espacio V . Demuestre que

V1 + V2 := {vi + v2|v1 V1, v2 V2}

es un subespacio de V y que AnnA(V1 + V2) = AnnA(V1) AnnA(V2).18. Sea V un A-espacio libre con una base de n elementos. Sea f : V V una

t.l. Muestre con un ejemplo que la sobreyectividad de f y la inyectividad noson condiciones equivalentes.

19. Demuestre la proposicion 1.4.2.

20. Sea A un anillo y sea B Mn(A); se dice que B es simetrica si BT = B,y antisimetrica si BT = B. Demuestre que B + BT es simetrica y queB BT es antisimetrica. Ademas, si 2 := 1 + 1 A, entonces demuestre queB es suma de una matriz simetrica y una matriz antisimetrica.

21. Sean P,Q matrices rectangulares o cuadradas, segun corresponda, sobre unanillo conmutativo R. Demuestre que (P +Q)T = P T +QT ; (PQ)T = QTP T ;(P1)T = (P T )1.

22. Sean A1, . . . , An anillos; demuestre que el producto cartesiano

A1 An := {(a1, . . . , an)|ai Ai, 1 i n}

bajo las operaciones definidas por componenetes tiene estructura de anillo.Demuestre ademas los siguientes isomorfismos de anillo y grupo, respectiva-mente:

Mn(A1 An) = Mn(A1) Mn(An),GLn(A1 An) = GLn(A1) GLn(An).

23. Sea R un anillo conmutativo y sea B = [bij] Mn(R). Se define la traza de Bpor Tr(B) := b11 + + bnn. Demuestre las siguientes propiedades:(i) Tr(BC) = Tr(CB).

1.5. EJERCICIOS 21

(ii) Tr(B + C) = Tr(B) + Tr(C).

(iii) Tr(B.r) = Tr(B)r, r R.(iv) La traza es una t.l. sobreyectiva de Mn(R) en R.

(v) ker(Tr) = X, donde X = {Eij|i 6= j} {E11 Eii|i 6= 1}.(vi) Tr(BT ) = Tr(B).

(vii) Tr(P1BP ) = Tr(B), para cada P GLn(R).(viii) ker(Tr) = Y , con Y = {BC CB|B,C Mn(R)}.

Captulo 2

Determinantes y sistemas deecuaciones lineales

En este captulo presentaremos la teora de determinantes sobre anillos conmutativosarbitrarios y la usaremos para estudiar sistemas de ecuaciones lineales sobre estosanillos. Si no se advierte lo contrario R denotara un anillo conmutativo.

2.1. Determinantes

El enfoque que daremos a la funcion determinante utiliza el grupo de permutacionesde un conjunto finito, el cual trataremos a continuacion.

Definicion 2.1.1. Para cada n 1 sea Sn el conjunto de todas las funciones biyec-tivas del conjunto In := {1, 2, . . . , n}. Cada una de tales funciones se denominapermutacion del conjunto In. Bajo la operacion de composicion de funciones , Snes claramente un grupo, y se le denomina grupo simetrico de grado n. Una per-mutacion pi Sn se llama ciclo de longitud m, 1 m n, si existen m elementosdiferentes 1, . . . , m In tales que pi(i) = i+1 para 1 i m 1, pi(m) = 1y pi() = para cada In \ {1, . . . , m}. Un ciclo de longitud 2 se denominatrasposicion. Dos ciclos pi = (1 m) y = (1 r) se dicen disyuntos, si{1 m} {1 r} = .

Enunciamos a continuacion algunas de las propiedades mas importantes delgrupo Sn y de sus ciclos. La demostracion de estas puede ser consultada en [8]y [4].

(i) Los ciclos disjuntos conmutan.

(ii) Cada permutacion de Sn es el producto de ciclos disjuntos. La representaciones unica salvo el orden.

22

2.1. DETERMINANTES 23

(iii) Cada permutacion en Sn es producto de trasposiciones.

(iv) Si una permutacion pi Sn tiene dos descomposiciones en productos de r y strasposiciones, entonces r es par si, y solo si, s es par.

(v) Una permutacion pi Sn se denomina par , si se descompone en un numeropar de trasposiciones. El conjunto An de las trasposiciones pares de Sn tienelas siguientes propiedades: el producto de permutaciones para es par; la per-mutacion identica es par; la inversa de una permutacion par es par. En otraspalabras, An bajo la composicion es un grupo, llamado el grupo alternantede grado n.

(vi) Sn tiene n! elementos, mientras que An poseen!2.

Definicion 2.1.2. Sea n 1. Para cada B = [bij] Mn(R) se define su determi-nante como el elemento de R dado por

detB :=piSn

(1)pib1pi(1) bnpi(n), (2.1.1)

donde (1)pi es 1 o 1, dependiendo si pi es par o impar, respectivamente.

A partir de ((2.1.1)) se pueden demostrar las principales propiedades de la funciondeterminante

det : Mn(R) RB 7 detB.

Proposicion 2.1.3. Sea B = [bij] Mn(R). Entonces

det[B1, . . . , aBi, . . . , Bn]T = a detB, a R.

Demostracion. Sea C = [cij] la matriz obtenida de B multiplicando la i-esima filapor a R. Entonces

detC =piSn

(1)pic1pi(1) cipi(i) cnpi(n)

=piSn

(1)pib1pi(1) abipi(i) bnpi(n)

= a detB.

Notese la aplicacion de la propiedad conmutativa.

24 CAPITULO 2. DETERMINANTES Y SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

Proposicion 2.1.4. Sea B = [bij] Mn(R) y (a1 . . . , an) Rn. Entonces

det

b11 b1n

bi1 + a1 bin + an

bn1 bnn

= detB + detb11 b1n

a1 an

bn1 bnn

.Demostracion. Sea C = [cij] Mn con

crs =

{brs, r 6= ibis + as, r = i.

Entonces,

detC =piSn

(1)pib1pi(1) (bipi(i) + api(i)) bnpi(n)

= detB + det

b11 b1n

a1 an

bn1 bnn

.

Proposicion 2.1.5. Si dos filas de una matriz son iguales entonces su determinantees nulo.

Demostracion. Sea B = [bij] Mn(R) tal que Br = Bs con r 6= s. Sea =(rs) Sn y An el grupo de permutaciones pares. Sea An := {pi | pi An}.Notese que |An | = n!2 y que cada permutacion de An es impar. resulta entoncesSn = AnAn , con lo cual podemos desarrollar el determinante de B de la siguientemanera:

detB =piAn

(1)pib1pi(1) bnpi(n) +piAn

(1)pib1pi(1) bnpi(n)

=piAn

[(1)pib1pi(1) bnpi(n) + (1)pib1pi(1) bnpi(n)].

Observemos con mayor detalle cada termino de la anterior suma:

(1)pib1pi(1) brpi(r) bspi(s) bnpi(n) + (1)pib1pi(1) brpi(r) bspi(s) bnpi(n)(2.1.2)

Para i 6= r, s, bipi(i) = bipi(i); brpi(r) = bspi(r) = bspi(s); bspi(s) = brpi(s) = brpi(r); (1)piy (1)pi tienen signo diferente. Por lo tanto la suma de 2.1.2 es nula, obteniendoseque detB = 0.

2.1. DETERMINANTES 25

Proposicion 2.1.6. Si en una matriz se intercambian dos filas el determinantecambia de signo.

Demostracion. Sean B,C Mn(R), donde Cr = Bs, Cs = Br para r 6= s, y Ci = Bipara i 6= r, s. Considerese la matriz D = [B1, . . . , Br + Bs, . . . , Bs + Br, . . . , Bn]T .De acuerdo a 2.1.5 detD = 0, pero por 2.1.4 se tiene que

0 = detD =det[B1, . . . , Br, . . . , Bs +Br, . . . , Bn]T+

det[B1, . . . , Bs, . . . , Bs +Br, . . . , Bn]T

=det[B1, . . . , Br, . . . , Bs, . . . , Bn]T + det[B1, . . . , Br, . . . , Br, . . . , Bn]

T+

det[B1, . . . , Bs, . . . , Bs, . . . , Bn]T + det[B1, . . . , Bs, . . . , Br, . . . , Bn]

T

=detB + detC.

Corolario 2.1.7. Si la matriz C Mn(R) se obtuvo de B Mn(R) mediante unapermutacion pi de filas, entonces detC = (1)pi detB.

Demostracion. Consecuencia directa de 2.1.6.

Proposicion 2.1.8. Sea B Mn(R). Entonces

det[B1, . . . , Br + aBs, . . . , Bs, . . . , Bn]T = detB, con a R, r 6= s.

En consecuencia, si una fila es nula el determinante es nulo.

Demostracion. Consecuencia de las proposiciones 2.1.3, 2.1.4 y 2.1.5.

De la definicion y de las propiedades establecidas se obtienen los siguientes re-sultados:

(i) detE = 1.

(ii) detDi(a) = a, a R.

(iii) detPij = 1 para i 6= j.

(iv) detTij(a) = 1, a R.

Teorema 2.1.9. Para B,C Mn(R) se cumple que

det(BC) = (detB)(detC). (2.1.3)


Demostracion. Considerese la matriz D Mn(R) cuyas filas se definen porDi := bi1C1 + + binCn, 1 i n.

Aplicando 2.1.3 y 2.1.4 a la primera fila de D obtenemos

detD =nj=1

bij det[Cj, b21C1 + + b2nCn, . . . , bn1C1 + + bnnCn]T

Procediendo de manera analoga con las demas filas resulta

detD =

j1,...,jn

b1j1b2j2 bnjn det[Cj1 , . . . , Cjn ]T , (2.1.4)

donde j1, . . . , jn recorren independientemente los valores de 1 a n. Para valoresiguales de dos ndices el determinante det[Cj1 , . . . , Cjn ] es nulo. As pues, en (2.1.4)podemos suponer que los subndices j1, . . . , jn son diferentes. Esto hace que tengamosuna correspondencia biyectiva entre Sn las n-plas (j1, . . . , jn) de entradas diferentesentre s. Resulta entonces

detD =piSn

b1pi(1) bnpi(n) det[Cpi(1), . . . , Cpi(n)]T ,

aplicando el corolario 2.1.7 resulta

detD =piSn

(1)pib1pi(1) bnpi(n) det[C1, . . . , Cn]T , es decir,

detD = (detB)(detC).

De este teorema se desprenden algunas conclusiones importantes.

Corolario 2.1.10. (i) Si B GLn(R), entonces detB R y ademas detB1 =(detB)1.

(ii) Matrices similares tienen el mismo determinante.

(iii) Los anillos conmutativos son dimensionales.

Demostracion. Las dos primeras afirmaciones son evidentes.(iii) Sea V un R-espacio libre con bases X = {x1, . . . , xn} y Y = {y1, . . . , ym}.

Supongase que m 6= n; por ejemplo m > n. Sea B Mnm(R) la matriz de cambiode X a Y . Por 1.3.3, existe B Mmn(R) tal que BB = E (identica de orden m).Sean B, B Mm(R) las matrices obtenidas de B y B adjuntando columnas y filasnulas respectivamente. Entonces BB = E, pero detE = 1 = det B det B = 0 yaque B tiene filas nulas.

2.2. DETERMINANTES Y FUNCIONES MULTILINEALES 27

El punto (ii) del corolario anterior induce la siguiente definicion.

Definicion 2.1.11. Si f : V V es una transformacion lineal de un espacio dedimension finita, entonces se define el determinante de f como el determinantede la matriz de f en cualquier base.

La funcion determinante ha sido introducida a traves de las filas de las matrices.Para mostrar que el tratamiento por columnas es analogo, basta probar que paracada B Mn(R) se tiene que

detB = detBT . (2.1.5)

En efecto, sea BT = [bij] con bij = bij. Notese que pi Sn es par s, y solo si,

pi1 Sn lo es; ademas, cuando pi recorre Sn, pi1 tambien lo hace. Por tanto,

detB =piSn

(1)pib1pi(1) bnpi(n)

=piSn

(1)pibpi(1)1 bpi(n)n.

Sea pi(i1) = 1, pi(i2) = 2,. . . , pi(in) = n, reordenando el producto bpi(1)1 bpi(n)n se

tiene que

detB =piSn

(1)pibpi(i1)i1 bpi(in)in

=piSn

(1)pib1pi1(1) bnpi1(n)

=

pi1Sn(1)pib1pi1(1) bnpi1(n).

En total,

detB =Sn

(1)b1(1) bn(n)

= detBT

2.2. Determinantes y funciones multilineales

Consideramos en seguida la caracterizacion de los determinantes a traves decuatro propiedades basicas.


Definicion 2.2.1. Sea V un R-espacio y n 1. Una funcion multilineal sobreV de n argumentos es una aplicacion

D : V V R,que es lineal en cada uno de sus argumentos, es decir,

(i) D(vi, . . . , vi + vi, . . . , vn) = D(v1, . . . , vi, . . . , vn) + D(v1, . . . , vi, . . . , vn), paracada 1 i n.

(ii) D(v1, . . . , vi a, . . . , vn) = D(v1, . . . , vi, . . . , vn)a, a R, para cada 1 i n.

La funcion se dice alternada si

(iii) D(v1, . . . , vi, vi+1, . . . , vn) = 0, para vi = vi+1 y cada 1 i n 1;

y antisimetrica, si

(iv) D(v1, . . . , vi, vi+1, . . . , vn) = D(v1, . . . , vi+1, vi, . . . , vn), para cada 1 i n.Proposicion 2.2.2. Toda funcion multilineal alternada es antisimetrica. Si 2 :=1 + 1 R, entonces el recproco es valido.

Demostracion.

D(v1, . . . , vi + vi+1, vi + vi+1, . . . , vn) = 0=D(v1, . . . , vi, vi + vi+1, . . . , vn) +D(v1, . . . , vi+1, vi + vi+1, . . . , vn)=D(v1, . . . , vi, vi, . . . , vn) +D(v1, . . . , vi, vi+1, . . . , vn)+D(v1, . . . , vi+1, vi, . . . , vn) +D(v1, . . . , vi+1, vi+1, . . . , vn),

de dondeD(v1, . . . , vi, vi+1, . . . , vn) = D(v1, . . . , vi+1, vi, . . . , vn).

Para el recproco basta considerar

D(v1, . . . , vi, vi, . . . , vn) = D(v1, . . . , vi, vi, . . . , vn),de donde 2D(v1, . . . , vi, vi, . . . , vn) = 0.Proposicion 2.2.3. La funcion determinante definida en (2.1.1), es una funcionmultilineal alternada de sus filas (y columnas).

Demostracion. Consecuencia de las proposiciones 2.1.3, 2.1.4 y 2.1.6.

Teorema 2.2.4. Sea D : Mn(R) R es una funcion multilineal y alternada re-specto de las filas, tal que D(E) = 1. Entonces D = det.

2.2. DETERMINANTES Y FUNCIONES MULTILINEALES 29

Demostracion. Sean B,C Mn(R), tales Cr = Bs, Cs = Br para r 6= s y Ci = Bipara i 6= r, s. Entonces D(C) = D(B): en efecto, supongase por ejemplo que s > r.La matriz C es el resultado de intercambiar la r-esima y s-esima filas de B. Noteseque este intercambio se logra aplicando 2(s r) 1 veces la propiedad (iv) de 2.2.1,la cual podemos usar en virtud de 2.2.2. Puesto que toda permutacion pi Snes producto de transposiciones , entonces de lo demostrado hace un momento seobtiene: si la matriz C Mn(R) se obtuvo de B Mn(R) mediante una permutacionpi de sus filas, entonces D(C) = (1)piD(B).Antes de emprender la prueba propiamente, notese que si la matriz B tiene dos filasiguales, entonces D(B) = 0: si las filas son consecutivas no hay algo por mostrar.De no ser as, aplicamos una permutacion adecuada para que lo sean, y entoncesusamos lo probado hace un momento.Sea B = [bij] Mn(R) y ei = (0, . . . , 1, . . . , 0) para 1 i n. B puede serconsiderado como una elemento de Rn Rn notando que B = [nj=1 b1j ej, . . . ,

nj=1 bnj ej]. De esto se sigue que

D(B) =D[nj=1

b1j ej, . . . ,nj=1

bnj ej]

=nj=1

b1jD[ej, . . . ,nj=1

bnj ej]

= ==

j1,...,jn

b1j1 bnjnD[ej1 , . . . , ejn ],

donde j1, . . . , jn recorren independientemente valores de 1 a n. El resto de la pruebaes similar a la demostracion del teorema 2.1.9.

La proposicion 2.2.3 y el teorema 2.2.4 garantizan la existencia y unicidad deuna funcion determinante.

Presentaremos a continuacion un resultado antiguo relativo a determinantes pero

con aplicaciones recientes. Sea A Mmn(R) y A[i1, . . . , ikj1, . . . , jk

]la submatriz de A de

orden k k, conformada por las filas i1, . . . , ik y las columnas j1, . . . , jk. Se tieneentonces la siguiente formula.

Proposicion 2.2.5 (Formula de Cauchy-Binet). Sean A Mmn(R), B Mnp(R) matrices sobre R y C Mmp(R) su producto. Entonces,

detC

[i1, . . . , ikj1, . . . , jk

]=

detA

[i1, . . . , ikr1, . . . , rk

]detB

[r1, . . . , rkj1, . . . , jk

],


donde la suma se extiende a todos los subconjuntos {r1, . . . , rk} de In = {1, 2, . . . , n}tales que 1 r1 < r2 < < rk n.Demostracion. Ejercicio para el lector.

2.3. Menores y cofactores

La teora de determinantes puede ser emprendida por medio de los llamados menoresde las matrices. La construccion en este caso la efectuamos por induccion sobre eltamano n de las matrices. Apoyandonos en el teorema 2.2.4, estableceremos que lanueva definicion coincide con la dada en ((2.1.1)) de la seccion anterior.

Definicion 2.3.1. Definimos inductivamente una funcion

D : Mn(R) Rde la siguiente manera:

(i)

D1 : M1(R) Ra 7 D1(a) := a

(ii)

D2 : M2(R) R[b11 b12b21 b22

]7 b11D1(b22) b21D1(b12) = b11b22 b21b12

(iii) Se supone definida una funcion

Dn1 : Mn1(R) RB 7 Dn1(B)

(iv) Sea B = [bij] Mn(R). Se denomina menor del elemento bij a la imagenmediante Dn1 de la matriz obtenida eliminando la i-esima fila y la j-esimacolumna de B. Dicho menor lo denotaremos por Mij. Definimos entonces

D : Mn(R) R

B 7ni=1

(1)i+1bi1Mi1. (2.3.1)

2.3. MENORES Y COFACTORES 31

Se dice que la funcion D se ha definido por medio de los menores de la primeracolumna.

Proposicion 2.3.2. La funcion D de la definicion 2.3.1 es multilineal y alternadade sus filas. Ademas D(E) = 1.Demostracion. La prueba de las cuatro propiedades requeridas se hace por induccionsobre n. Los casos n = 1, 2 se demuestran directamente a partir de las definicionesde D1 y D2. Supongase entonces que Dn1 satisface las cuatro propiedades. SeaE = (eij) la identica de orden n. Puesto que eij = 0 para i 6= 1, de (2.3.1) resultaD(E) = e11M11. Pero M11 = Dn1(En1) donde En1 denota la identica de tamanon 1. Por induccion D(E) = 1.Sea B = [bij] Mn(R), v = (a1, . . . , an) Rn y C = [cij] = (B1, . . . , Br +v, . . . , Bn)

T . Por (2.3.1), D(C) = ni=1(1)i+1ci1M i1, donde M i1 es el menor deci1. Podemos escribir entonces

D(C) =ni=1i6=r

(1)i+1ci1M i1 + (1)r+1(br1 + a1)Mr1

=ni=1i6=r

(1)i+1bi1[Mi1 +Dn1(F )] + (1)r+1(br1 + a1)Mr1,

donde F es la matriz obtenida de C suprimiendo la primera columna y la i-esimafila. Resulta entonces

D(C) = D(B) +D[B1, . . . , v, . . . , Bn].Sean ahora B = [bij] Mn(R) y C = [cij] = [B1, . . . , aBr, . . . , Bn]T , a R. Entonces

D(C) =ni=1

(1)i+1ci1M i1

=ni=1i6=r

(1)i+1bi1aMi1 + (1)r+1br1aMr1

=aD(B).Sean por ultimo B = [bij] Mn(R) tal que B = [B1, . . . , Br, Br, . . . , Bn]T . Entonces

D(B) =ni=1

i6=r,r+1

(1)i+1bi1Mi1 + (1)r+1br1Mr1 + (1)r+2Mr+1,1

=0 + (1)r+1[br1Mr1 br1Mr1],dado que Mr1 = Mr+1,r. De esta manera, D(B) = 0.


Del teorema 2.2.4 se desprende inmediatamente que la funcion D en (2.3.1)coincide con la funcion definida en (2.1.1).

Como habiamos mencionado antes, la funcion D se definio mediante los menoresde la primera columna. Sin embargo, tambien podemos definir la funcion D a travesde los menores de cualquier columna, y demostrar de manera analoga la proposicion2.3.2. De esto, y teniendo en cuenta que det(BT ) = det(B), resulta que

detB =ni=1

(1)i+jbijMij, 1 j n (2.3.2)

detB =nj=1

(1)j+ibijMij, 1 i n (2.3.3)

Definicion 2.3.3. Sea B = [bij] Mn(R). El elemento Bij definido mediante

Bij := (1)i+jMij,

se denomina el complemento algebraico de bij. La matriz Cof(B) de los com-plementos algebraicos

Cof(B) = [Bij],

se denomina matriz cofactor de B. La transpuesta Cof(B)T de la matriz cofactorde denomina la adjunta de B, y se denota por Adj(B).

Teorema 2.3.4. Sea B Mn(R). Entonces,

(i) BAdj(B) = Adj(B)B = det(B)E.

(ii) B GLn(R) si, y solo si, det(B) R. En tal caso

B1 = (detB)1Adj(B).

Demostracion. (i) Probaremos inicialmente las siguientes formulas:

bi1Bj1 + + binBjn ={0, i 6= j,detB, i = j.

(2.3.4)

b1jB1i + + bnjBni ={0, i 6= j,detB, i = j.

(2.3.5)

Las pruebas en ambos casos son analogas, por ello solo analizaremos (2.3.4). El casoi = j corresponde a (2.3.3). Sea pues i 6= j y considerese la matriz C = [cij] obtenida

2.3. MENORES Y COFACTORES 33

de B reemplazando la j-esima fila de B por la i-esima. Entonces calculando detCpor la j-esima fila tenemos

0 = detC =n

k=1

(1)k+jbjkMjk =n

k=1

bikBjk.

Sea ahora C = [cij] = BAdj(B). Entonces,

cij =n

k=1

bikBjk

{0, i 6= j,detB, i = j

,

de donde BAdj(B) = det(B)E. De (2.3.5) resulta tambien det(B)E = Adj(B)B.(ii) Es consecuencia de (i) y del corolario 2.1.10

Del teorema anterior se desprenden algunas consecuencias interesantes. SeanB,C Mn(R) tales que BC = E. entonces detB R, con lo cual B GLn(R) yCB = E.La funcion

det : GLn(R) RB 7 detB

es un homomorfismo sobreyectivo de grupos (o equivalentemente, un isomorfismono necesariamente inyectivo).

Definicion 2.3.5. El conjunto de matrices de GLn(R) cuyo determinante es 1,es decir, el nucleo del homomorfismo det es un subgrupo normal de GLn(R), de-nominado el grupo especial lineal de dimension n sobre R, y se denota porSLn(R).

SLn(R) constituye otro de los grupos de matrices que estudiaremos en el ultimocaptulo. Se tienen ademas las siguientes propiedades:

En(R) SLn(R)GLn(R), GLn(R)/SLn(R) = R, (2.3.6)donde En(R) es el grupo elemental generado por todas las transvecciones (veasela definicion 1.4.3). Se puede probar que para n 3, En(R) SLn(R). Ademas,existen clases importantes de anillos conmutativos para los cuales el grupo especialy el elemental coinciden. Sobre esto volveremos en el ultimo captulo (vease tambien[12]). Por ahora veamos las siguientes propiedades para cuerpos.

Proposicion 2.3.6. Sea K un cuerpo. Entonces,

(i) GLn(K) = Tij(a), Dn(b), 1 i, j n, i 6= j, a K, b K.


(ii) En(K) = SLn(K).

Demostracion. (i) Induccion sobre n. Para n = 1 no hay algo por demostrar. Sea

n = 2 y

[a bc d

] GLn(K); no es posible que a = 0 = c; sea c 6= 0, entonces[

1 1ac

0 1

] [a bc d

]=

[1 b

c d

], b = b+ (1a)d

c,[

1 0c 1

] [1 b

c d

]=

[1 b

0 d

], d = bc+ d,[

1 b

0 d

] [1 b0 1

]=

[1 00 d

],

de donde, [a bc d

]=

[1 a1

c

0 1

] [1 0c 1

] [1 00 d

] [1 b

0 1

];

notese que d 6= 0, pues de lo contrario d = bc = bc+dabc

c y as bc ad = 0, estoultimo implica que b = d

ca, y como d = d

cc tenemos que las columnas de la matriz son

l.d. contradiciendo nuestra hipotesis inicial. Sea D =

d11 d1ndn1 dnn

GLn(K);existe 1 j n tal que dj1 6= 0; entonces

T1j(1 d11dj1

)D =

1 d12 d1nd21 d

22 d2n

dn1 dn2 dnn

,mediante operaciones elementales del tipo Tij reducimos esta ultima matriz a una

de la forma

[1 00 D

]donde D GLn1(K); mediante induccion y despejando como

hicimos en el caso n = 2 completamos la prueba (notese que en la factorizacionde de D solo aparece una matriz diagonal). Por otra parte, si c = 0 pero a 6= 0,realizamos la siguiente operacion elemental previamente:[

1 01 1

] [a b0 d

]=

[a ba b+ d

]con a 6= 0.

(ii) Esto se obtiene de (i) y (2.3.6).

Otras consecuencias de la teora de determinantes son las siguientes.

Teorema 2.3.7. Sea V un R-espacio libre de dimension finita n 1. Tenemos,

2.4. IDEALES, RANGO Y SISTEMAS DE ECUACIONES 35

(i) Si X es un sistema de generadores de V con n elementos, entonces X es unabase de V .

(ii) Un conjunto X de generadores de V con r 1 elementos es minimal si Vno se puede generar con menos de R elementos. Si X es minimal, entonces Xes una base de V y |X| = n. En particular, V no se puede generar con menosde n elementos, es decir, dimV = minimal de generadores de V .

Demostracion. (i) Vimos en el ejemplo 1.3.6 que aunque X sea l.i. con |X| = n,no necesariamente X resulta ser una base de V . Veremos ahora que si V = X y|X| = n, entonces X es una base de V . En efecto, sean Y = {y1, . . . , yn} un basede V , y r1 . . . , rn R tales que x1 r1 + + xn rn = 0, entonces [X][r]T = 0;sin embargo, [X] = [Y ]B y [Y ] = [X]C para ciertas matrices B, C Mn(R).De esta forma, [Y ]B[r]T = 0 de donde B[r]T = 0; ademas, [Y ] = [Y ]BC y enconsecuencia BC = E, con lo que det(B) det(C) = 1, es decir, det(B) R y portanto B GLn(R); as, CB = E y CB[r]T = 0, de donde se concluye que [r]T = 0.(ii) Como r es minimal necesariamente r n. Supongamos que r < n; como en (i),sea Y = {y1, . . . , yn} una base de V , entonces [X] = [Y ]B para alguna B Mnr(R)y [Y ] = [X]C para cierta matriz C Mrn(R); as [Y ] = [Y ]BC, y por tanto,BC = E. Sean B0 := [B | 0] Mn(R) y C0 := [C0 ] Mn(R), entonces B0C0 = Ey, en consecuencia, det(B0) det(C0) = 1; pero det(C0) = 0 lo que es claramente unacontradiccion, y as necesariamente r = n. De (i) se sigue que X es una base.

Teorema 2.3.8. Sea R un anillo conmutativo cualquiera y sea f : Rn Rn unhomomorfismo sobreyectivo. Entonces f es biyectivo.

Demostracion. Sea X = {e1, . . . , en} la base canonica de Rn; entonces existena1, . . . , an Rn tales que f(ai) = ei para 1 i n. Sea g : Rn Rn el homomorfis-mo dado por g(ei) = ai para 1 i n, entonces fg = iRn ; as mX(fg) = FG = E,de modo que det(F ) R y, por tanto, F es invertible. En consecuencia, f es unhomomorfismo biyectivo.

Ejemplo 2.3.9. Aun en DIPs inyectividad no implica sobreyectividad: basta con-siderar la aplicacion f : Z Z dada por f(a) := 2a; claramente esta aplicacion esun homomorfimo inyectivo pero no sobre.

2.4. Ideales, rango y sistemas de ecuaciones

Definicion 2.4.1. Sea R un anillo conmutativo. Se denomina sistema lineal deecuaciones en n indeterminadas y m ecuaciones, al conjunto de ecuaciones

a11x1 + + a1nxn = b1...

......

...am1x1 + + amnxn = bm

(2.4.1)


con a11, . . . , amn, b1, . . . , bm R. Los elementos aij se denominan coeficientes delsistema, los bi se denominan los terminos independientes del sistema, esto para1 i m y 1 j n, y x1, . . . , xn representan elementos de R por determinar. SiA = [aij] Mmn(R) es la matriz de coeficientes del sistema, X := [x1, . . . , xn]T yB := [b1, . . . , bm]

T , el sistema (2.4.1) puede escribirse matricialmente en la forma

AX = B (2.4.2)

El sistema (2.4.2) se dice homogeneo si B = 0. Se denomina solucion del sistema(2.4.2) a una matriz columna X0 = [x

01, . . . , x

0n], x

0i R, tal que AX0 = B. (2.4.2)

se dice compatible (o soluble) si posee al menos una solucion, de los contrario sedenomina incompatible. Un sistema compatible con mas de una solucion se llamaindeterminado. Sea AX = B otro sistema de orden m n sobre R; AX = B yAX = B se dicen equivalentes, si ambos son incompatibles, o bien siendo amboscompatibles, tienen el mismo conjunto de soluciones. Es claro que esta relacion esde equivalencia. La matriz (A | B) de orden m (n+ 1) obtenida de A adjuntandoB como ultima columna, se denomina matriz ampliada del sistema (2.4.2).

El proposito de esta seccion es estudiar la compatibilidad y determinabilidad delos sistemas lineales de ecuaciones con coeficientes en un anillo conmutativo arbi-trario

Supongamos inicialmente que el sistema (2.4.2) es cuadrado, es decir, m = n.Multiplicando (2.4.2) por la adjunta de A resulta

Adj(A)AX = Adj(A)B

det(A)[x1, . . . , xn]T =

n

k=1(1)k+1Mk1bk...n

k=1(1)k+nMknbk

.Entonces,

det(A)xj =n

k=1

(1)k+jMkjbk,

es decir,

det(A)xj = det

a11 a1,j1 b1 a1,j+1 a1n... ... ... ... ... ... ...an1 an,j1 bn an,j+1 ann

(2.4.3)para cada 1 j n, es decir, det(A)xj = det[A1 Aj1BAj+1 An]. Notese quesi det(A) R, entonces el sistema cuadrado AX = B es determinado. En tal caso,(2.4.3) se conoce como la regla de Cramer , con X = A1B.


Pasamos ahora a considerar el caso general de un sistema rectangular como en(2.4.2). Comencemos por recordar el concepto de ideal de un anillo conmutativo R.

Definicion 2.4.2. Un subconjunto no vaco I de R se denomina ideal de R si

(i) Para cualesquiera a, b I su suma a+ b I.(ii) Para cada a I y cada r R el producto ar I.En otras palabras, los ideales de R son los subespacios del R-espacio canonico

R1. Podemos entonces hablar del ideal generado por un conjunto (finito o infinito)X de elementos de R. Sea A = [aij] Mnn(R). Para cada 1 k mn{m,n}, seaIk(A) el ideal generado por los determinantes de todas las submatrices de orden kkde A. Se define ademas Ik(A) := R para k 0 e Ik(A) := 0 para k > mn{m,n}.Ik(A) se denomina el k-esimo ideal determinante de la matriz A.

Notese que se tiene la cadena

= I1(A) = R = I0(A) I1(A) Imn{m,n} Imn{m,n}+1 = 0 = .Presentamos enseguida el primer criterio de necesidad para la compatibilidad de unsistema.

Proposicion 2.4.3. Si el sistema (2.4.2) tiene solucion, entonces los ideales de-terminantes de A coiniciden con los ideales determinantes de la matriz ampliada(A | B).Demostracion. Podemos asumir que m n: en efecto, si m > n, agregando inde-terminadas xn+1, . . . , xm con coeficientes nulos y columnas a la matriz A, obten-emos un nuevo sistema AX = B con A = (A | 0); notese que X es solucion

de AX = B si, y solo si, X =

Xxn+1...xm

es solucion de AX = B. Ademas,Ik(A) = Ik(A

) e Ik(A | B) = Ik(A | B), para todo k Z. Por lo tanto, dadok Z, Ik(A) = Ik(A | B) si, y solo si, Ik(A) = Ik(A | B). Supondremos entoncesque m n; para k 0 o k > mn{m,n} = m se tiene que Ik(A) = Ik(A | B). Seaentonces 1 k mn{m,n}; es claro que Ik(A) Ik(A | B). Sea s el determinantede una submatriz de (A | B) de tamano k k; si toda la submatriz esta incluidaen A se sigue de inmediato que s Ik(A). Supongamos entonces que la submatrizincluye la columna B:

s = det

ai1j1 ai1jk1 bi1ai2j1 ai2jk1 bi2...

......

...aikj1 aikjk1 bik

.


Sea X = [x1, . . . , xn] una solucion de AX = B, entonces

bi1 = ai11x1 + + ai1nxn...

......

...bik = aik1x1 + + aiknxn

Aplicando las propiedades de la funcion determinante obtenemos

s =x1 det

ai1j1 ai1jk1 ai11... ... ... ...aikj1 aikjk1 aik1

+ +xn det

ai1j1 ai1jk1 ai1n... ... ... ...aikj1 aikjk1 aikn

.De esta forma s resulta ser una combinacion lineal de subdeterminantes de A detamano k k (algunos de ellos pueden ser nulos). En consecuencia, s Ik(A).

La condicion de la proposicion 2.4.3 no es suficiente para garantizar la solubilidaddel sistema AX = B. Es posible presentar un ejemplo donde los ideales determi-nantes de A y (A | B) coincidan, sin que el sistema AX = B tenga solucion (vease[1], pag. 59, ejemplo 5.24).

Definicion 2.4.4. Sea A Mmn(R), con m,n enteros positivos arbitrarios. Elrank(A) de la matriz A se define como el mayor entero no negativo k tal queIk(A) 6= 0. Notese que 0 rank(A) mn{m,n}. El rango de A segun McCoy,denotado por Mrank(A), es el mayor entero no negativo tal que AnnR(Ik(A)) = 0,donde

AnnR(Ik(A)) := {r R | Ik(A)r = 0},es decir, AnnR(Ik(A)) es el conjunto de elementos r R que anulan a cada elementode Ik(A).

Se tienen las siguientes propiedades del rango.

Proposicion 2.4.5. Sea A Mmn(R). Entonces,(i) rank(A) = rank(AT ),

Mrank(A) = Mrank(AT ).

(ii) Para cada Q GLm(R) y P GLn(R),rank(QAP ) = rank(A),Mrank(QAP ) = Mrank(A).


(iii) 0 Mrank(A) rank(A) mn{m,n}.Demostracion. (i) Veamos primero que Ik(A) = Ik(A

T ), para todo k Z. Parak 0 tenemos que Ik(A) = R e Ik(AT ) = R; para k > mn{m,n} tenemos queIk(A) = 0 = Ik(A

T ). Supongamos ahora que 1 k mn{m,n} y sea s un

generador de Ik(A), entonces existe una submatriz A

i1 ikj1 jk

de A tal que s =detA

i1 ikj1 jk

= detATi1 ikj1 jk

; de esto ultimo se sigue que s Ik(AT ).De manera analoga se muestra la otra contenencia, de modo que Ik(A) = Ik(A

T );as rank(A) coincide con el mayor entero positivo k tal que Ik(A) 6= 0, que esprecisamente el mayor entero positivo k para el que Ik(A

T ) 6= 0, es decir, es igual alrank(AT ). De la misma manera tenemos que Mrank(A) = Mrank(AT ).(ii) Comenzamos probando la siguiente propiedad general (vease [1], pag. 43, lema4.5): si B Mmp(R) y C Mpn(R) entonces

Ik(BC) Ik(B) Ik(C), para todo k Z. (2.4.4)En efecto, para k 0 tenemos que Ik(BC) = R, Ik(B) = R = Ik(C); de formasimilar, si k > mn{m,n} entonces Ik(BC) = 0, pero en este caso k > m o k > nlo cual implica que k > mn{m, p} o k > mn{p, n}, luego Ik(B) = 0 o Ik(C) = 0.Por tanto, podemos asumir 1 k mn{m,n}. Para terminar la demostracion de(2.4.4) probemos tres propiedades preliminares:

Ik(BC) Ik(C): sea C = [C1 Cn], entonces BC = [BC1 BCn]. Seas un generador de Ik(BC), es decir, s es el determinante de una submatrizde BC de orden k k tomando las filas i1 < < ik y las columnas j1 < < jk de BC, entonces (BC)j1 = BCj1 , . . . , (BC)jk = BCjk , de modo ques Ik([(BC)j1 (BC)jk ]) = Ik([BCj1 BCjk ]) = Ik(B[Cj1 Cjk ]). Clara-mente Ik([C

j1 Cjk ]) Ik(C), luego basta probar que Ik(B[Cj1 Cjk ]) Ik([C

j1 Cjk ]). As pues, estamos en la situacion inical pero con dos matri-ces B Mmp(R), F Mpk(R) con 1 k mn{m, k}, esto es, k m.

Tenemos BF =

B1F...BmF

, luego para cada 1 i m(BF )i =BiF = [bi1 bip]

f11 fikfp1 fpk

=[bi1f11 + + bipfp1 bi1f1k + + bipfpk]=bi1F1 + + bipFp,


de donde (BF )i =p

l=1 bilFl. Sea u un generador de Ik(BF ), entonces

u =det(BF

i1 ik1 k

) = det(BF )i1...(BF )ik

=det

p

l=1 bi1lFl...p

l=1 biklFl

= pl=1

bi1l det

Flp

l=1 bi2lFl...p

l=1 biklFl

= =

l1,...,lk

bi1l1 biklk det

Fl1...Flk

,

pero det

Fl1...Flk

= 0 si hay filas repetidas, y en los de mas casos detFl1...Flk

Ik(F ). Por lo tanto, u Ik(F ).

Ik(BC) Ik(B): por (i) Ik(BC) = Ik((BC)T ) = Ik(CTBT ) Ik(BT ) =Ik(B). Con esto hemos completado la prueba de 2.4.4.

De (2.4.4) resulta Ik(PAQ) = Ik(A) para todo k Z, P GLm(R) y Q GLn(R):en efecto, Ik(PA) Ik(A) = Ik(P1(PA)) Ik(PA), entonces Ik(PA) = IA;Ik(PAQ) = Ik(AQ) Ik(A) = Ik((AQ)Q1) Ik(AQ) = Ik(PAQ), y as, Ik(PAQ)= Ik(A). En consecuencia, rank(PAQ) = rank(A) y Mrank(PAQ) = Mrank(A).(iii) Es claro que rank(A) mn{m,n}, tambien por definicion Mrank(A) 0; seal = Mrank(A) y supongamos que l > rank(A), entonces Il(A) = 0 y en consecuenciaAnR(Il(A)) = R, lo que claramente es una contradiccion.

Sea ahora A Mmn(R) con m n y supongase que Mrank(A) = m. SeaIm(A | B) el ideal generado por los determinantes de todas las submatrices de ordenmm de (A | B) que no son completamente submatrices de A, es decir, la columnaB va incluida.

Proposicion 2.4.6. Sea A Mmn con m n, y sea Mrank(A) = m. Si existeun ideal J de R y un elemento s R rm(que no sea divisor de cero), tales que

JIm(A | B) s JIm(A),

entonces AX = B es soluble.


Demostracion. Antes de probar la proposicion, recordemos algunos hechos elemen-tales relacionados con divisores de cero e ideales. Un elemento s R se dice queno es divisor de cero en R si s 6= 0 y para cada a R tal que sa = 0 se tieneque a = 0. De otra parte, siendo I, J ideales de un anillo R se define su productoIJ como el ideal generado por el conjunto de todos los productos de la forma ab,con a I y b J . Notese entonces que cada elemento de IJ es una suma finitaa1b1 + + atbt, con ai I, bi J , 1 i t.

ComoMrank(A) = 0, entonces AnnR(Im(A)) = 0 y por tanto, Im(A) 6= 0. Existeentonces al menos una submatriz A de A de orden mm con determinante no nulo.Reenumerando las columnas y las indeterminadas x1, . . . , xn, podemos asumir sinperdida de generalidad que

A =

a11 a1mam1 amm

, r1 := det(A) 6= 0.Entonces, det(A

) 0. . .

0 det(A)

b1...bm

= AAdj(A) b1...bm

,y por tanto,r1 0. . .

0 r1

b1...bm

=A (1)1+1M11 (1)m+1Mm1(1)1+mM1m (1)m+mMmm

b1...bm

=A

(1)1+1b1M11 + + (1)m+1bmMm1(1)1+mb1M1m + + (1)m+mbmMmm

=A

x11...x1m

,con x1j Im(A | B), luego r1bi =

mj=1 aijx

1j para 1 i m. Tomando x1m+1 =

= x1n = 0 obtenemos

r1bi

nj=1

aijx1j , 1 i m.

Sean r1, . . . , rk los generadores de Im(A). De manera analoga a como lo hicimos haceun momento tenemos

rtbi =nj=1

aijxtj, 1 i m, 1 t k,


donde xtj Im(A | B). Por hipotesis existen q1, . . . , qk J tales que

s =kt=1

qtrt.

Entonces

sbi =kt=1

qtrtbi =kt=1

nj=1

qtaijxtj

=nj=1

aij(kt=1

qtxtj).

Perok

t=1 qtxtj JIm(A | B) s. Por lo tanto,

sbi =nj=1

aijsxj, xj R, 1 i m,

y como s no es divisor de cero tenemos que

bi =nj=1

aijxj.

Corolario 2.4.7. Sea A Mmn(R) con m n. Si Im(A) = R, entonces AX = Bes soluble.

Demostracion. Im(A) = R implica que Mrank(A) = m. Tomando J = R y s = 1en la proposicion 2.4.6, el corolario se sigue de inmediato.

Evidentemente el recproco no es siempre cierto, Basta considerar el sistemahomogeneo sobre el anillo Z de enteros[

1 00 0

] [xy

]=

[00

].

Definicion 2.4.8. Sea A Mmn(R); se dice que A es unimodular si Imn{m,n}(A)= R.

Corolario 2.4.9. Sea A Mmn(R).(i) Sea m n. Entonces, A es unimodular si, y solo si, A tiene inversa a derecha.


(ii) Sea n m. Entonces, A es unimodular si, y solo si, A tiene inversa a izquier-da.

Demostracion. (i)) Como m n entonces mn{m,n} = m, as Im(A) = R y

por el corolario 2.4.9 tenemos que AX =

10...0

, . . . , AX =00...1

son solubles, luego

existen C1 =

c11...cn1

, . . . , Cm =c1m...cnm

Rn tales que A[C1 Cm] = E, es decir,si C = [C1 Cm], entonces C es una inversa derecha de A.) Si AC = E para alguna C Mnm(R), entonces Im(AC) = Im(E) = R Im(A) Im(C), y por tanto, Im(A) = R, es decir, A es unimodular dado quemn{m,n} = m.(ii) Sea n m; como A Mmn(R) entonces AT Mnm(R); as, AT tiene in-versa a derecha si, y solo si, In(A

T ) = R, es decir, si existe D Mmn(R) tal queATD = E. Esto ultimo se tiene si, y solo si In(A) = R dado que In(A) = In(A

T ).Por lo tanto, DTA = E si, y solo si, A es unimodular.

Observacion 2.4.10. (i) Sea A Mmn(R) con m n. Entonces A no puede tenerinversa a izquierda: si existe C Mnm(R) tal que CA = E, entonces [C | 0][A0 ] = Ey tomando determinantes obtenemos que 0 = 1.(ii) Sea A Mmn(R) con n m. Entonces A no puede tener inversa a derecha:si existe C Mmn(R) tal que CA = E, entonces [A | 0][C0 ] = E y tomandodeterminantes obtenemos que 0 = 1.

Estudiaremos ahora los sistemas homogeneos AX = 0 con A Mmn(R). Noteseen primer lugar que tales sistemas son solubles y que el conjunto de solucionesconforman un subespacio de Mn1(R) = Rn.Teorema 2.4.11. Sea A Mmn(R). AX = 0 tiene solucion no trivial X =[x1, . . . , xn]

T si, y solo si, Mrank(A) < n. En particular si m < n, entonces elsistema AX = 0 tiene solucion no trivial.

Demostracion. ) SeaX = [x1 . . . , xn]T una solucion no trivial del sistema AX = 0,luego xj 6= 0 para algun subndice j, 1 j n. Sim < n, tenemos queMrank(A) m < n y no hay algo por probar. Sea entonces m n; de este modo

A

x1...xn

= 0, con A =a11 a1nan1 ann

.


Multiplicando por Adj(A) obtenemos

det(A)xj = 0. (2.4.5)

Notese que si A es cualquier submatriz de A de tamano n n, entonces tambien setiene 2.4.5; en otras palabras, xj 6= 0 anula a todos los generadores de In(A). Por lotanto, AnnR(In(A)) 6= 0, y as Mrank(A) < n.

) Supongase ahora que t := Mrank(A) < n; entonces AnnR(It+1(A)) 6= 0,sea y 6= 0 R tal que It+1(A)y = 0; si t = 0 entonces X := [y, . . . , y] es unasolucion no trivial del sistema. Supongase entonces que 1 t mn{m,n}; comoAnnR(It(A)) = 0, el producto de y con algun generador de It(A) es no nulo. Estegenerador es el determinante de una submatriz de A de orden tt. Permutando filasy/o columnas de A y reindizando las indeterminadas, podemos asumir sin perdidade generalidad que tal submatriz es

A

a11 a1tat1 att

, y(det(A)) 6= 0.Sea A la matriz

A :=

a11 a1,t+1at+1,1 at+1,t+1

,(si t = m, tomamos at+1,1 = = at+1,t+1 = 0). Sea dj el determinante de lasubmatriz de A obtenida al suprimir la ultima fila y la j-esima columna, 1 j t+ 1; sean ademas

hj :=(1)j+(t+1)dj, 1 j t+ 1xj :=hjy, 1 j t+ 1xj :=0, t+ 2 j nX :=[x1, . . . , xn]

T .

Notese que X 6= 0 dado que xt+1 = y det(A) 6= 0; se tiene entonces que

AX =

t+1

j=1 a1jxj...t+1

j=1 amjxj

.


Pero para 1 i m,t+1j=1

aijxj =(t+1j=1

aijhj)y

=(t+1j=1

aij(1)j+(t+1)dj)y

=(t+1j=1

aijAt+1,j)y.

Para i 6= t + 1 la suma en el ultimo parentesis es nula; para i = t + 1 esta sumacorresponde al determinante de una submatriz de A de tamano (t+ 1) (t+ 1), esdecir, es un generador de It+1(A). Como y AnnR(It+1(A)) entonces AX = 0 y elsistema tiene una solucion no trivial.

Corolario 2.4.12. Sea A Mn(R). AX = 0 tiene solucion no trivial si, y solo si,det(A) es un divisor de cero en R.

Demostracion. det(A) es un divisor de cero en R si, y solo si, AnnR(In(A)) 6= 0 si,y solo si, Mrank(A) < n.

Corolario 2.4.13. Sea V un R-espacio libre de dimension m 1. Entonces todoconjunto de n > m vectores de V es l.d.

Demostracion. Sean Y := {y1, . . . , ym} una base de V , v1, . . . , vn V y b1, . . . , bn R tales que v1 b1 + + vn bn = 0. Entonces, existen escalares aij R tales que(a11 y1+ +am1 ym)b1+ +(a1n y1+ +amn ym)bn = 0. De la independencialineal de los vectores de Y resulta el sistema AB = 0, con A Mmn(R) y B :=[b1, . . . , bn]

T . Segun el teorema 2.4.11, algun bj es no nulo.

Ejemplo 2.4.14. Calculemos rank(A) y Mrank(A) para

A =

[2 20 2

], B =

[2 00 3

], C =

[1 23 5

]M2(Z6).

rank(A): I0(A) = Z6, I1(A) = 2, I2(A) = a; as rank(A) = 2.Mrank(A): Ann(I0(A)) = 0, Ann(I1(A)) = {0, 3} = 3, Ann(I2(A)) = 3;

as Mrank(A) = 0.rank(B): I0(B) = Z6, I1(B) = 2, 3 = Z6 dado que 3 2 = 1 I1(B) e

I2(B) = 0; entonces rank(B) = 1.Mrank(B): Ann(I0(B)) = 0, Ann(I1(B)) = 0, Ann(I2(B)) = Z6; por lo tanto

Mrank(B) = 1.rank(C), Mrank(C): I0(C) = Z6, I1(C) = 1, 2, 3, 5 = Z6, I2(C) = 1 =

1 = Z6. Entonces rank(C) = 2 = Mrank(C).


Ejemplo 2.4.15. Sea R = Z4. Calculemos todas las soluciones de AX = B con

A =

1 1 12 1 21 0 2

y B =123

.Tenemos,

det(A) =1 det

[1 11 2

]+ 2det

[1 12 1

]=(2 1) + 2(1 2) = 1 = 3,

det

1 1 12 1 23 0 2

=3 + 2(1) = 1;entonces 3x1 = 1 de modo que x1 = 3. Analogamente,

det

1 1 12 2 21 3 2

= 0,as que 3x2 = 0 implica x2 = 0.

Finalmente,

det

1 1 12 1 21 0 3

= 1 + 3(1) = 2 = 2,por tanto de 3x3 = 2 se sigue x3 = 2 y en consecuencia X =

322

.A continuacion haremos la comparacion de algunos de los resultados de esta

seccion con los correspondientes del algebra lineal clasica sobre cuerpos.

Definicion 2.4.16. Sea K un cuerpo y sea X = {x1, . . . , xn} un conjunto finitode vectores de un K-espacio vectorial V . Se define el rango de X, denotado porRank(X), como la dimension de su envolvente lineal, es decir,

Rank(X) := dim(X).Recordemos algunas propiedades destacadas del rango:

(i) Rank(X) coincide con el maximo numero de vectores l.i. que posea X. Notesetambien que Rank(X) concuerda con el numero minimal de generadores deX (vease el teorema 2.3.7).


(ii) Si V es un K-espacio de dimension n y X es un sistema de n vectores de V ,entonces X es una base de V si, y solo si, Rank(X) = n.

(iii) El rango columna de una matriz F Mmn(K) se define como el rangode sus vectores columna: cada columna de F se puede considerar como unelemento de Km y de esta forma

rango columna de F := Rank{F (1), . . . , F (n)}.

(iv) El rango columna de F coincide con la dimension del espacio imagen de latransformacion f que F representa.

(v) De manera analoga se define el rango fila de la matriz F , el cual coincidecon el rango columna. Este rango comun se denomina rango de la matriz Fy se denota por Rank(F ). En particular se tiene que Rank(F ) = Rank(F T ).

(vi) F Mn(K) es invertible si, y solo si, Rank(F ) = n.

(vii) Sean F Mmn(K), Q GLm(K) y P GLn(K). Entonces,

Rank(QFP ) = Rank(F ).

(viii) Dos matrices son equivalentes si, y solo si, tienen el mismo rango.

Proposicion 2.4.17. Para cada A Mmn(K) se cumple

0 Mrank(A) = rank(A) = Rank(A).

Demostracion. Si k = rank(A), Ik(A) 6= 0, Ik+1 = 0, luego AnnK(Ik(A)) = 0 yAnnK(Ik+1(A)) = K, con lo cual Mrank(A) = k. Sea ahora Rank(A) = r, entoncesA es equivalente a la matriz

B =

[E 00 0

], E = Identica de orden r r.

Por la proposicion 2.4.5, rank(A) = rank(B) = r; en consecuencia, r = k.

En relacion con los sistemas de ecuaciones lineales sobre cuerpos se tienen los si-guientes resultados.

(a) Sea AX = 0 un sistema homogeneo de orden mn. Si Rank(A) = r entoncesla dimension del espacio solucion es n r, y recprocamente.


(b) Todo sistema lineal AX = B de orden mn, con A 6= 0, es equivalente a unocon matriz escalonada y de la forma

a1j1xj1 + a1j2xj2 + a

1j3xj3 + + a1nxn = b1

a2j2xj2 + a2j3xj3 + + a2nxn = b2

arjrxjr + + arnxn = br

0 = br+1 0 = bm,

Cuaderno No. 4 Álgebra Lineal

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