CUADERNOS DE ALGEBRA´ No. 1 Grupos · Cap´ıtulo 1 Grupos y subgrupos La teor´ıa de grupos...

CUADERNOS DE ALGEBRA

No. 1

Grupos

Oswaldo Lezama

Departamento de MatematicasFacultad de Ciencias

Universidad Nacional de ColombiaSede de Bogota

30 de mayo de 2017

ii

Cuaderno dedicado a Justo Pastor, mi padre.

Contenido

Prologo vi

1. Grupos y subgrupos 1

1.1. Operaciones binarias y estructuras algebraicas elementales . . . . . . 1

1.2. Grupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.3. Subgrupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.4. Generacion de subgrupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.5. Teorema de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.6. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2. Grupos cıclicos 24

2.1. Definicion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.2. Orden y periodo de un elemento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.3. Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.4. Propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.5. Generadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.6. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

3. Subgrupos normales y homomorfismos 34

3.1. Subgrupos normales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

3.2. Grupo cociente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

3.3. Homomorfismo de grupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

3.4. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

4. Teoremas de estructura 42

4.1. Teorema fundamental de homomorfismo . . . . . . . . . . . . . . . . 42

4.2. Teorema de factorizacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

4.3. Teorema de correspondencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

4.4. Teoremas de isomorfismo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

4.5. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

iii

iv CONTENIDO

5. Automorfismos 53

5.1. Automorfismos interiores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

5.2. Teorema de Cayley . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

5.3. Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

5.4. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

6. Grupos de permutaciones 61

6.1. Ciclos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

6.2. El grupo alternante An . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

6.3. Sistemas de generadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

6.4. El grupo diedrico Dn, n ≥ 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

6.5. Subgrupos normales del grupo Dn, n ≥ 3 . . . . . . . . . . . . . . . . 73

6.6. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

7. Productos y sumas directas 75

7.1. Definicion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

7.2. Producto cartesiano: caso infinito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

7.3. Suma directa externa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

7.4. Suma directa interna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

7.5. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

8. G-conjuntos 87

8.1. Accion de grupos sobre conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

8.2. Orbitas y subgrupos estacionarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

8.3. Grupos transitivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

8.4. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

9. Teoremas de Sylow 97

9.1. p-grupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

9.2. Preliminares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

9.3. Teoremas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

9.4. Aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

9.5. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

10.Grupos abelianos finitos 111

10.1. p-grupos abelianos finitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

10.2. Sistemas de invariantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

10.3. Grupos abelianos finitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

10.4. Grupos de orden ≤ 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

10.5. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

CONTENIDO v

11.Grupos solubles 12011.1. Centro de un grupo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12011.2. Conmutante de un grupo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12111.3. Cadenas normales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12611.4. Grupos solubles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13211.5. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

Bibliografıa 134

Prologo

La coleccion Cuadernos de algebra consta de 10 publicaciones sobre los principalestemas de esta rama de las matematicas, y pretende servir de material para prepararlos examenes de admision y de candidatura de los programas colombianos de doc-torado en matematicas. Los primeros cinco cuadernos cubren el material basico delos cursos de estructuras algebraicas y algebra lineal de los programas de maestrıa;los cinco cuadernos siguientes contienen algunos de los principales temas de losexamenes de candidatura, a saber: anillos y modulos; categorıas; algebra homologica;algebra no conmutativa; algebra conmutativa y geometrıa algebraica. Cada cuadernoes fruto de las clases dictadas por el autor en la Universidad Nacional de Colombiaen los ultimos 25 anos, y estan basados en las fuentes bibliograficas consignadas encada uno de ellos, como tambien en el libro Anillos, Modulos y Categorıas, publicadopor la Facultad de Ciencias de la Universidad Nacional de Colombia, y cuya edicionesta totalmente agotada (vease [8]). Un material similar, pero mucho mas completoque el presentado en estas diez publicaciones, es el excelente libro de Serge Lang, Al-gebra, cuya tercera edicion revisada ha sido publicada por Springer en el 2004 (vease[7]). Posiblemente el valor de los Cuadernos de algebra sea su presentacion ordenaday didactica, ası como la inclusion de muchas pruebas omitidas en la literatura ysuficientes ejemplos que ilustran la teorıa. Los cuadernos son:

1. Grupos 6. Anillos y modulos2. Anillos 7. Categorıas

3. Modulos 8. Algebra homologica

4. Algebra lineal 9. Algebra no conmutativa5. Cuerpos 10. Geometrıa algebraica

Los cuadernos estan divididos en capıtulos, los cuales a su vez se dividen ensecciones. Para cada capıtulo se anade al final una lista de ejercicios que deberıa sercomplementada por los lectores con las amplias listas de problemas que incluyen lasprincipales monografıas relacionadas con el respectivo tema.

Cuaderno de grupos . La teorıa de grupos, como todas las ramas del algebracontemporanea, estudia ciertos objetos matematicos llamados grupos, ası como lasrelaciones entre estos objetos, llamadas homomorfismos. Podrıamos justificar el es-

vi

PROLOGO vii

tudio de la teorıa de los grupos diciendo que los conjuntos son para la matematicacomo los grupos son para el algebra.

En el primer capıtulo daremos la definicion axiomatica de la estructura abstractade grupo y veremos algunos conjuntos estructurados como grupos. Se estudiara lanocion de subgrupo y se demostrara un teorema de gran imortancia dentro de lateorıa de grupos finitos como es el teorema de Lagrange. Quiza los grupos abelianosmas importantes son los llamados grupos cıclicos, ya que los grupos abelianos fini-tamente generados son expresables a traves de sumas directas de grupos cıclicos.

En el segundo capıtulo mostraremos las propiedades basicas de los grupos cıclicos.El objetivo central del capıtulo 3 es mostrar la estrecha relacion que guardan losconceptos de subgrupo normal y homomorfismo de grupos. Sera demostrado que,salvo isomorfismo, hay tantos subgrupos normales en un grupo G como imageneshomomorfas tiene este ultimo.

Los conceptos de homomorfismo e isomorfismo, ası como los teoremas corres-pondientes, son el objeto del capıtulo 4. Por medio de estos teoremas es posiblecaracterizar las imagenes homomorfas de un grupo, y ellos son herramienta clavepara la clasificacion de grupos, en particular, para la clasificacion de grupos finitos.Los homomorfismos biyectivos de un grupo G en sı mismo se conocen como losautomorfismos de G. Estas funciones conforman un grupo que tiene informacionimportante relativa sobre grupo G y seran estudiados en el quinto capıtulo.

En el capıtulo 6 estudiaremos con algun detalle al grupo simetrico Sn. Destacare-mos en Sn el subgrupo alternante An y describiremos el grupo diedrico de grado n,Dn, por medio de permutaciones. El objetivo del capıtulo 7 es presentar la cons-truccion del grupo producto cartesiano y la suma directa externa para una familiadada de grupos. Como fundamento teorico para la demostracion de los teoremas deSylow, en el capıtulo 8 seran tratadas las acciones de grupos sobre conjuntos. Paralos grupos cıclicos finitos es valido el recıproco del teorema de Lagrange (vease elsegundo capıtulo), es decir, si G un grupo cıclico finito de orden n y m divide a nentonces G contiene exactamente un subgrupo de orden m. En el noveno capıtulose mostrara que la afirmacion anterior es valida para cuando m es potencia de unprimo. Este resultado es uno de los famosos teoremas de Sylow.

El objetivo del capıtulo 10 es describir para un entero positivo n dado todos losgrupos abelianos de orden n (salvo isomorfismo). Se incluira tambien en este capıtulouna tabla con la lista de todos los grupos de orden ≤ 15. Por ultimo, una de las masimportantes generalizaciones de la nocion de conmutatividad es la solubilidad, de lacual nos ocupamos en el capıtulo 11.

El material presentado esta complementado con una gran variedad de ejemplosque ilustran las definiciones y propiedades estudiadas a lo largo del texto. Estosejemplos constituyen parte muy importante de la teorıa basica de grupos introducidaen el presente cuaderno.

viii PROLOGO

El autor desea expresar su agradecimiento a Milton Armando Reyes Villamil,discıpulo, colega y amigo, por la digitalizacion del material, y a Fabio AlejandroCalderon Mateus por la lectura cuidadosa y las correcciones finales introducidas alpresente cuaderno.

Oswaldo LezamaDepartamento de Matematicas

Universidad Nacional de ColombiaBogota, Colombia

[email protected]

Capıtulo 1

Grupos y subgrupos

La teorıa de grupos estudia ciertos objetos matematicos llamados grupos, ası comolas relaciones entre ellos, los homomorfismos. Podrıamos justificar el estudio de lateorıa de los grupos diciendo que los conjuntos son para la matematica como losgrupos son para el algebra. En este primer capıtulo presentamos la definicion axio-matica de la estructura abstracta de grupo y veremos algunos ejemplos notables. Seestudiara la nocion de subgrupo y se demostrara un teorema de gran importanciadentro de la teorıa de grupos finitos como es el teorema de Lagrange sobre claseslaterales.

1.1. Operaciones binarias y estructuras algebrai-

cas elementales

En esta seccion definimos el concepto de operacion entre elementos de un conjunto,nocion que hemos utilizado tacitamente en todas nuestras matematicas elementales.Se dara ademas una definicion precisa de las propiedades mas comunes de las quegozan estas operaciones. Esto permitira introducir posteriormente la estructura degrupo.

Definicion 1.1.1. Sea G un conjunto no vacıo. Una operacion binaria interna(ley de composicion interna) en G es una funcion 4 : G × G → G del productocartesiano de G con G en G.

Ası pues, a cada par ordenado (x, y) de elementos de G se le asigna un unicoelemento de G. La imagen del par (x, y) mediante la funcion 4 se denota por x4 y.Se dice tambien que x4 y es el resultado de operar x con y (en ese orden).

1

2 CAPITULO 1. GRUPOS Y SUBGRUPOS

Ejemplo 1.1.2. La adicion de numeros naturales es una ley de composicion:

+ : N× N → N(a, b) 7→ a + b.

Ejemplo 1.1.3. En N podemos definir una funcion 4 por

4 : N× N → N(a, b) 7→ mın(a, b).

4 es una operacion binaria interna en N. Por ejemplo, 344=3, 542=2, y 343=3.

Ejemplo 1.1.4. Sea X un conjunto no vacıo y sea P (X) el conjunto de todoslos subconjuntos de X. La interseccion de conjuntos define una operacion binariainterna en P (X):

∩ : P (X)× P (X) → P (X)

(A, B) 7→ A ∩B.

Ejemplo 1.1.5. En el conjunto de los numeros naturales N definimos la funcion:

∗ : N× N → Na ∗ b 7→ (a4 b) + 2,

donde la operacion 4 es como en el ejemplo 1.1.3. Ası pues,

5 ∗ 3 = (543) + 2 = 3 + 2 =5,4 ∗ 4 = (444) + 2 = 4 + 2 = 6.

Ejemplo 1.1.6. La funcion ∇ : Z×Z → Z, definida por a∇b = (ab)÷ 2 , no defineen Z una operacion binaria interna.

Dado un conjunto G con una operacion binaria interna ∆ y dados 3 elementos a,by c del conjunto G, podemos preguntarnos las maneras de operar estos tres elemen-tos en ese orden e investigar si los resultados de estas formas de operar coinciden.Ası pues, en el ejemplo 1.1.2 sean 2,5, 7 ∈ N, entonces

2 + 5 = 7, 7 + 7 = 14, 5 + 7 = 12, 2 + 12 = 14.

Es decir, (2 + 5) + 7 = 2 + (5 + 7), donde los parentesis indican la secuencia en quese han efectuado las operaciones. Es bien conocido que para la adicion de numerosnaturales esta propiedad es valida, es decir, cualesquiera que sean a, b, c ∈ N, secumple (a + b) + c = a + (b + c). Notese sin embargo que en el ejemplo 1.1.5 sobreN se definio la operacion ∗ la cual no cumple esta propiedad:

1.1. OPERACIONES BINARIAS Y ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS ELEMENTALES 3

(3 ∗ 5) ∗ 7 = 5 ∗ 7 = 7, 3 ∗ (5 ∗ 7) = 3 ∗ 7 = 5.

Esto permite clasificar las operaciones binarias de acuerdo con esta condicion.

Definicion 1.1.7. Sea ∗ una operacion binaria definida sobre un conjunto G. Sedice que la operacion ∗ tiene la propiedad asociativa, o que * es una operacionasociativa, si para cualesquiera elementos a,b,c de G se cumple la igualdad

a ∗ (b ∗ c) = (a ∗ b) ∗ c.

De esta definicion surge una pregunta inmediata: en el caso que sean dados4, 5, o n elementos (en un orden determinado), ¿la secuencia en que se efectuen lasoperaciones influye en el resultado? Se puede probar por induccion sobre n que si laoperacion es asociativa, es decir, si para el caso de 3 elementos se tiene la propiedadexigida, entonces la misma propiedad tendra lugar para cualesquiera n elementosdados. Ası pues, si se dan n elementos a1, . . . , an del conjunto G y suponiendo quela operacion ∗ de G es asociativa, los parentesis que indican la secuencia de como serealizan las operaciones en la expresion a1 ∗ · · · ∗ an pueden ser colocados donde sequiera y el resultado no varıa.

Proposicion 1.1.8. Sea G un conjunto donde se ha definido una operacion binariaasociativa ∗. Para a ∈ G, sea

a1 := a, an := an−1 ∗ a, n ≥ 2.

Entonces, para cualesquiera naturales m y n se tienen las identidades

an ∗ am = an+m, (an)m = anm.

Demostracion. La prueba se realiza por induccion y se deja como ejercicio al lector.

Definicion 1.1.9. Un semigrupo es un conjunto G dotado de una operacion bi-naria interna asociativa ∗, y se denota por (G, ∗). Se dice tambien que sobre G setiene una estructura de semigrupo.

Ejemplo 1.1.10. (N, +) es un semigrupo.

Ejemplo 1.1.11. Sea X un conjunto no vacıo cualquiera y sea Aplc(X) el conjuntode aplicaciones (funciones) de X en sı mismo. Por teorıa elemental de conjuntossabemos que la operacion composicion de funciones ◦ es una operacion binaria in-terna en Aplc(X), y ademas es asociativa. Ası pues, (Aplc(X), ◦) es un semigrupo.

El ejemplo anterior ilustra que no toda operacion binaria ∗ definida sobre unconjunto G satisface a ∗ b = b ∗ a para todos los elementos a y b de G.


Definicion 1.1.12. Sea ∗ una operacion binaria definida sobre un conjunto G. Sedice que la operacion ∗ es conmutativa si para cualesquiera elementos a y b de Gse tiene que:

a ∗ b = b ∗ a.

Mediante induccion es facil probar la siguiente propiedad.

Proposicion 1.1.13. Sea (G, ∗) un semigrupo conmutativo, es decir, la operacion ∗es asociativa y conmutativa. Entonces, para cualesquiera a, b ∈ G y cualquier naturaln se tiene que:

(a ∗ b)n = an ∗ bn.

Demostracion. Ejercicio para el lector.

Existen conjuntos con operaciones binarias internas donde se destacan elementosespeciales.

Definicion 1.1.14. Sea G un conjunto en el cual se ha definido una operacionbinaria ∗. Se dice que el elemento e de G es una identidad de G con respecto a laoperacion ∗ si para cualquier elemento de G se tiene que:

e ∗ a = a = a ∗ e.

Ejemplo 1.1.15. En el semigrupo (Z, +), donde Z es el conjunto de numeros enterosy + es la adicion habitual, 0 es una identidad.

Surge la siguiente pregunta: ¿en un conjunto G con una operacion binaria ∗pueden existir varias identidades?

Proposicion 1.1.16. En un conjunto G con una operacion binaria ∗ solo puedeexistir un elemento identidad respecto de ∗.

Demostracion. Sean e, e′ dos identidades, entonces e ∗ e′ = e = e′.

Notese que para diferentes operaciones, las identidades no necesariamente coinci-den, como tampoco cada operacion debe tener un elemento identidad. Por ejemplo,0 es la identidad del semigrupo (Z, +), 1 es la identidad de (Z, ·) y (N, +) no tieneidentidad.

Definicion 1.1.17. Un monoide es un semigrupo que posee elemento identidad.

Definicion 1.1.18. Sea G un conjunto dotado de una operacion binaria interna ∗la cual posee un elemento identidad e, se dice que u ∈ G es invertible si existeu′ ∈ G tal que u′ ∗ u = e = u ∗ u′. El elemento u′ se denomina el inverso de urespecto de la operacion ∗.

1.2. GRUPOS 5

En la definicion anterior no se exige que cada elemento de G sea invertible. Sinembargo, de esta definicion se desprende lo siguiente.

Proposicion 1.1.19. Sea G un monoide.

(i) Si u ∈ G es invertible entonces su inverso u′ es unico.

(ii) Sean x′, u′ los inversos de x y u respectivamente. Entonces, x ∗ u es invertibley ademas

(x ∗ u)′ = u′ ∗ x′ , (x′)′ = x.

Demostracion. Notemos que (u′ ∗ x′) ∗ (x ∗ u) = 1 = (x ∗ u) ∗ (u′ ∗ x′). De igualmanera, puesto que x′ ∗ x = 1 = x ∗ x′, entonces (x′)′ = x.

1.2. Grupos

En la seccion anterior fueron estudiadas algunas propiedades que pueda tener unaoperacion binaria definida en un conjunto. Ası pues, se dijo que cuando la operacionbinaria ∗ definida sobre el conjunto G es asociativa se obtiene sobre el conjunto Guna estructura de semigrupo. Al poseer la operacion ∗mas propiedades, la estructurase hace mas rica y las posibilidades de operar en G se hacen mayores. Un ejemplode tal situacion lo constituyen los llamados grupos, los cuales pasamos a definir.

Definicion 1.2.1. Sea G un conjunto no vacıo y ∗ una operacion binaria definida enG. Se dice que G es un grupo respecto de ∗, o tambien que ∗ da a G una estructurade grupo, si ∗ cumple las siguientes propiedades:

(i) ∗ es asociativa.

(ii) En G existe un elemento identidad e respecto de ∗.

(iii) Cada elemento de G es invertible.

Denotaremos un grupo por (G, ∗), pero cuando no haya ambiguedad sobre laoperacion ∗, escribiremos simplemente G.

Definicion 1.2.2. Un grupo (G, ∗) es conmutativo, tambien denominado abelia-no, si la operacion ∗ es conmutativa.

Ejemplo 1.2.3. Los siguientes conjuntos numericos, donde las operaciones indi-cadas son las habituales, constituyen grupos conmutativos:

(Z, +, 0), (Q, +, 0), (R, +, 0), (C, +, 0).

Z, Q, R y C denotan los conjuntos de numeros enteros, racionales, reales y complejos,respectivamente.


Ejemplo 1.2.4. Los siguientes ejemplos no conforman grupos:

(Z, ·, 1): solo hay dos elementos invertibles: 1 y −1,(Q, ·, 1): el cero no es invertible,(R, ·, 1): el cero no es invertible,(C, ·, 1): el cero no es invertible.

Ejemplo 1.2.5. El grupo de elementos invertibles de un monoide : sea(G, ·, 1) un monoide con identidad 1. Entonces, el conjunto de elementos de G queson invertibles no es vacıo y, respecto de la misma operacion, constituye un grupo,el cual se acostumbra a denotar por G∗: G∗ 6= ∅ ya que 1 ∈ G∗; sean x, y ∈ G∗,entonces xy ∈ G∗ ya que xyy′x′ = 1, y′x′xy = 1. Puesto que la operacion que actuasobre los elementos de G∗ es la misma que la de G, entonces la propiedad asociativatambien se cumple para G∗. 1 ∈ G∗ es la identidad. Por ultimo, de acuerdo con ladefinicion de G∗, cada uno de sus elementos es invertible y su inverso esta en G∗.

Notemos por ejemplo que (Z, ·, 1) es un semigrupo conmutativo con elementoidentidad 1 y

Z∗ = {1,- 1}.

De igual manera,

(Q∗, ·, 1); (R∗, ·, 1); (C∗, ·, 1)

son grupos conmutativos, con

Q∗ = Q\ {0} , R∗ = R\ {0} , C∗ = C\ {0} .

De la proposicion 1.1.19 y de la definicion de grupo se obtienen de manera in-mediata las siguientes conclusiones.

Proposicion 1.2.6. Sea (G, ·, 1) un grupo. Entonces,

(i) El elemento identidad 1 del grupo G es unico.

(ii) Cada elemento x de G tiene un unico inverso, el cual se denota por x−1.

(iii) Se cumple la ley cancelativa, es decir, para cualesquiera elementos x, y, z ∈G se tiene que

x · z = y · z ⇔ x = yz · x = z · y ⇔ x = y.

(iv) Sean a, b elementos cualesquiera de G, entonces las ecuaciones lineales a·x = by z · a = b tienen solucion unica en G.

1.2. GRUPOS 7


La proposicion que demostraremos a continuacion indica que los axiomas quedefinen un grupo pueden ser debilitados.

Proposicion 1.2.7. Sea (G, ∗) un semigrupo. Entonces, G es un grupo si, y solosi, ∗ tiene las siguientes propiedades:

(i) Existe un elemento identidad a la izquierda e ∈ G tal que e ∗ x = x, para cadax ∈ G.

(ii) Para cada x ∈ G existe x′ ∈ G tal que x′ ∗ x = e.

Demostracion. ⇒): Las condiciones (i) y (ii) se cumplen trivialmente ya que G esun grupo.

⇐): Sea (G, ∗) un semigrupo en el cual se cumplen las condiciones (i) y (ii).Demostremos que el inverso x′ de x a la izquierda es tambien a la derecha, es decir,

x ∗ x′ = e.

Sea x ∗ x′ = y ∈ G, entonces

y ∗ y = x ∗ x′ ∗ x ∗ x′ = x ∗ (x′ ∗ x) ∗ x′ = x ∗ (e ∗ x′) = x ∗ x′ = y.

Ahora, por (ii), existe y′ ∈ G tal que y′ ∗ y = e. Ası pues, de y ∗ y = y se deduce que

(y′ ∗ y) ∗ y = y′ ∗ y, luego e ∗ y = e, es decir, y = e, de donde, x ∗ x′ = e.

Finalmente, probemos que x ∗ e = x:

x ∗ e = x ∗ (x′ ∗ x) = (x ∗ x′) ∗ x = e ∗ x = x.

Observacion 1.2.8. (i) Segun la proposicion anterior, si se da un semigrupo G, essuficiente encontrar en G un elemento identidad a la izquierda e y encontrar paracada x ∈ G un inverso a la izquierda x′ para concluir que G es un grupo.

(ii) La proposicion anterior es valida tambien por el lado derecho.(iii) No es siempre cierto que si en un semigrupo (G, ∗) tiene lugar la propiedad

(i) por la derecha y la propiedad (ii) por la izquierda el sistema sea un grupo. Porejemplo, sea G un conjunto no vacıo cualquiera y sea ∗ definida por a ∗ b = a.∗ es claramente asociativa. Ademas, cualquier elemento x0 de G es identidad a laderecha: a ∗ x0 = a. Tambien, dado a ∈ G, a tiene inverso a la izquierda respectodel elemento x0 : x0 ∗ a = x0. Sin embargo, (G, ∗) no es un grupo en el caso queG tenga al menos tres elementos distintos a, b, c. En efecto, si G fuera un grupo setendrıa la ley cancelativa:


a ∗ b = a,a ∗ c = a,

a ∗ b = a ∗ c ⇒ b = c.

Analogamente, si tiene lugar la propiedad (i) a la izquierda y la propiedad (ii) a laderecha, el sistema (G, ∗) no es necesariamente un grupo.

Presentamos a continuacion algunos ejemplos notables de grupos.

Ejemplo 1.2.9. El grupo de elementos invertibles del semigrupo Aplc(X), denotadopor S(X), esta constituido por las funciones f : X → X tales que existe g : X → Xpara la cual f ◦ g = iX = g ◦ f . En otras palabras, f ∈ S(X) si, y solo si, f es unafuncion biyectiva. S(X) es pues el grupo de todas las funciones biyectivas definidasde X en X. En el caso en que X sea un conjunto finito de n ≥ 1 elementos, S(X)se denota por Sn. Este grupo sera estudiado en detalle en el capıtulo 6. Para el cason = 3, los elementos de S3 son: x1 x2 x3

↓ ↓ ↓x1 x2 x3

,

x1 x2 x3

↓ ↓ ↓x1 x3 x2

,

x1 x2 x3

↓ ↓ ↓x3 x2 x1

x1 x2 x3

↓ ↓ ↓x2 x1 x3

,

x1 x2 x3

↓ ↓ ↓x2 x3 x1

,

x1 x2 x3

↓ ↓ ↓x3 x1 x2

.

Notemos que este grupo no es conmutativo.

Ejemplo 1.2.10. Sea X un conjunto no vacıo y sea (G, .) un grupo con elementoidentidad 1. Sea Aplc(X, G) el conjunto de funciones de X en G. Se define en esteconjunto la siguiente operacion:

fg : X → G

x 7→ (fg)(x) = f(x) · g(x),

donde f, g son elementos de Aplc(X, G) y x ∈ X. Esta operacion convierte aAplc(X, G) en un grupo. Notese que el elemento identidad es la funcion i que asignaa cada elemento x de X el elemento identidad 1 de G. El inverso de la funcion fes una funcion f−1 tal que f−1(x) = f(x)−1, para cada x ∈ X. Un caso particularde esta construccion es cuando X = N y G = (R, +), en este caso Aplc(N, R) es elgrupo de sucesiones reales .

Ejemplo 1.2.11. Del algebra lineal tenemos el siguiente ejemplo: sea Mn×m(R) elconjunto de matrices rectangulares de n filas y m columnas con la operacion habitualde adicion definida sobre las entradas de las matrices. Esta operacion convierte aMn×m(R) en un grupo conmutativo, en el cual el elemento identidad es la matriz

1.3. SUBGRUPOS 9

nula y el inverso aditivo de una matriz F := [fij] es la matriz cuyas entradas son loselementos opuestos a las entradas de la matriz F , es decir, −F := [−fij]. El grupode matrices cuadradas de tamano n× n se denota por Mn(R).

Ejemplo 1.2.12. En algebra elemental se consideran los polinomios a0 + a1x +· · · + anx

n con coeficientes reales; la coleccion de todos estos polinomios (n no esfijo) se denota por R[x], y constituye un grupo respecto de la adicion mediantereduccion de terminos semejantes. El polinomio nulo es el elemento identidad y elinverso aditivo de un polinomio se obtiene cambiandole el signo a cada uno de suscoeficientes.

1.3. Subgrupos

Dado un grupo (G, ·, 1) y un subconjunto no vacıo S de G, es interesante conocer sibajo la misma operacion binaria S tiene tambien estructura de grupo. Lo primeroque debera cumplirse es que el producto x · y de dos elementos del conjunto S debepermanecer tambien en S.

Definicion 1.3.1. Sean (G, ·, 1) un grupo y S 6= ∅ un subconjunto G. Se dice queS es un subgrupo de G si S bajo la operacion · tiene estructura de grupo. En talcaso se escribe S ≤ G.

De acuerdo con esta definicion tendrıamos que verificar cuatro condiciones paragarantizar que un subconjunto ∅ 6= S ⊆ G constituye un subgrupo:

(i) Si x, y ∈ S, entonces x · y ∈ S.

(ii) La operacion · es asociativa en S.

(iii) En S hay elemento identidad con respecto a la operacion ·

(iv) Cada elemento x de S tiene un inverso x−1 en S respecto de la operacion · ydel elemento identidad encontrado en (iii).

Sin embargo, como lo muestra la siguiente proposicion, solo hay que comprobar elcumplimiento de dos condiciones.

Proposicion 1.3.2. Sea (G, ·, 1) un grupo y ∅ 6= S ⊆ G. S es un subgrupo de Grespecto de la operacion · si, y solo si, se cumplen las siguientes condiciones:

(i) Si a, b ∈ S entonces a · b ∈ S.

(ii) Si a ∈ S entonces a−1 ∈ S.


Demostracion. ⇒): Si S es un subgrupo de G, entonces S bajo la operacion · esun grupo. Por tanto, · es una operacion binaria en S, con lo cual se garantiza lacondicion (i). Puesto que S 6= ∅, sea a ∈ S; sabemos entonces que las ecuacionesa · x = a y x · a = a tienen soluciones unicas en el grupo S, pero estas condicionespueden ser consideradas en el grupo G, por tanto, 1, que es la solucion de ellas enG, debe ser tambien la solucion en S, es decir, 1 ∈ S. Ahora, las ecuaciones a ·x = 1y x · a = 1 tambien tienen soluciones unicas tanto en S como en G. Esto indica quea−1 ∈ S y la condicion (ii) esta demostrada.

⇐): La condicion (i) indica que · define en S una operacion binaria interna. Laasociatividad de · en S es evidente ya que se cumple para todos los elementos deG, en particular, para los elementos de S. Sea a ∈ S (S 6= ∅). Entonces, segun (ii),a−1 ∈ S, y segun (i), a · a−1 = 1 = a−1 · a ∈ S.

Ejemplo 1.3.3. Subgrupos triviales . Todo grupo (G, ·, 1) tiene al menos dossubgrupos, llamados sus subgrupos triviales:

1 := {1}, G := (G, ·, 1).

Ejemplo 1.3.4. (Z, +, 0) ≤ (Q, +, 0) ≤ (R, +, 0) ≤ (C, +, 0).

Esta cadena de subgrupos induce la siguiente propiedad evidente.

Proposicion 1.3.5. Sean (G, ·, 1) un grupo, (H, ·, 1) un subgrupo de G y (K, ·, 1)un subgrupo de H, entonces (K, ·, 1) es un subgrupo de (G, ·, 1).

Demostracion. Evidente a partir de la proposicion 1.3.2.

Ejemplo 1.3.6. (Z∗, ·, 1) ≤ (Q∗, ·, 1) ≤ (R∗, ·, 1) ≤ (C∗, ·, 1).

Ejemplo 1.3.7. Sea X un conjunto no vacıo y sea S(X) el grupo de permutacionesde X respecto de la operacion de composicion de funciones. Sea x0 un elementofijo de X. Sea C := {f ∈ S(X) | f(x0) = x0} el conjunto de funciones que dejanfijo el punto x0. Entonces, C ≤ S(X) : C 6= ∅ ya que iX ∈ C. Sean f, g ∈ C,entonces (f ◦ g)(x0) = f [g(x0)] = f(x0) = x0, ası pues f ◦ g ∈ C. Ahora, seaf ∈ C; f−1(x0) = f−1 [f(x0)] = (f−1 ◦ f)(x0) = iX(x0) = x0, por tanto f−1 ∈ C.

Como caso particular, sea S(X) = S3 y sea C el conjunto de permutaciones quedejan fijo el punto 3, entonces

C =

1 2 3↓ ↓ ↓1 2 3

,

1 2 3↓ ↓ ↓2 1 3

.

Ejemplo 1.3.8. Para un semigrupo con notacion multiplicativa fueron definidas laspotencias enteras positivas (vease la proposicion 1.1.8). Pretendemos ahora extenderestas potencias a todos los enteros y presentar la correspondiente notacion para elcaso de los grupos aditivos. Sea G un grupo, entonces

1.3. SUBGRUPOS 11

Notacion multiplicativa Notacion aditiva

(G, ·, 1) (G, +, 0)a1 := a 1 · a := a

an := an−1 · a, n ∈ Z+ n · a := (n− 1) · a + a, n ∈ Z+

a0 := 1 0 · a := 0a−n := (a−1)n, n ∈ Z+ (−n) · a := n · (−a), n ∈ Z+.

Teniendo en cuenta esta definicion, es posible demostrar por induccion matematicalas siguientes relaciones en cualquier grupo:

Notacion multiplicativa Notacion aditiva

(an)m = anm m · (n · a) = (mn) · aan · am = an+m (n · a) + (m · a) = (n + m) · a

(an)−1 = a−n −(n · a) = (−n) · a

para cualesquiera m, n ∈ Z.

Sea (G, ·, 1) un grupo y sea a un elemento cualquiera de G. Simbolizamos por〈a〉 el conjunto de todos los elementos de G que son potencias enteras de a :

〈a〉 = {. . . , a−3, a−2, a−1, 1, a, a2, a3, . . . } = {an | n ∈ Z}.

Notese que 〈a〉 es un subgrupo de G: claramente 〈a〉 es no vacıo ya que a ∈ 〈a〉, yademas

Si x = an ∈ 〈a〉 , y = am ∈ 〈a〉, entonces xy = an+m ∈ 〈a〉 .Si x = an ∈ 〈a〉 entonces x−1 = (an)−1 = (a−n) ∈ 〈a〉.

〈a〉 se denomina el subgrupo cıclico de G generado por el elemento a. En notacionaditiva tenemos que el subgrupo cıclico generado por a es:

〈a〉 = {. . . ,−3a,−2a,−a, 0, a, 2a, 3a, . . . } = {n · a |n ∈ Z}.

Definicion 1.3.9. Sea G un grupo, se dice que G es cıclico si existe un elementoa ∈ G tal que el subgrupo cıclico generado por a coincide con todo el grupo G, esdecir, G = 〈a〉.

Ejemplo 1.3.10. El grupo Z. (Z, +, 0) es un grupo cıclico y todos sus subgruposson cıclicos. Sea H ≤ Z, si H = {0} es el subgrupo trivial nulo, entonces claramente〈0〉 = {0} y H es cıclico. Supongamos que H 6= {0}. Entonces existe k 6= 0, kentero, k ∈ H. Si k ∈ Z−, entonces −k ∈ Z+ y −k ∈ H. Ası pues, el conjunto

H+ := {x ∈ H |x ∈ Z+} 6= ∅.


Ya que (Z+,≤) es bien ordenado, existe un entero positivo mınimo n en H. Queremosprobar que H coincide con el subgrupo cıclico generado por n, es decir, H = 〈n〉 .En efecto, sea p ∈ H. Existen enteros q, r tales que p = q · n + r, 0 ≤ r < n, luegor = p + [− (q · n)]. Si q ∈ Z+, entonces r = p + q · (−n). Como −n y p ∈ H se tieneque r ∈ H. Por la escogencia de n, r = 0 y ası p = q · n ∈ 〈n〉. Si q ∈ Z−, entonces−q ∈ Z+ y r = p + [(−q) · n]. Como p, n ∈ H, entonces r ∈ H y nuevamenter = 0, con lo cual p = q · n ∈ 〈n〉. Si q = 0 entonces p = r ∈ H, luego r = 0 yası p = 0 ∈ 〈n〉. En los tres casos hemos probado que H ≤ 〈n〉. Puesto que n ∈ H,la otra inclusion es obvia. Se ha demostrado que cada subgrupo H de Z es cıclicoy generado por el menor entero positivo n contenido en H. Ademas, 〈n〉 = 〈−n〉 .Ası pues, los subgrupos de Z son: 〈n〉 , n ≥ 0.

Observacion 1.3.11. En adelante omitiremos en la teorıa general de grupos connotacion mutltiplicativa el punto para representar la operacion correspondiente,ası pues, escribiremos xy en lugar de x · y para denotar el producto de los elementosx, y.

1.4. Generacion de subgrupos

Dado un subconjunto X de un grupo G se desea establecer si existe un subgrupoH en G, distinto de G, que contenga a X. En caso de que podamos determinar unacoleccion de tales subgrupos, conviene preguntar cual es el subgrupo mas pequenode G que contiene X. Antes de responder a estas preguntas aclaremos primero laexpresion “subgrupo mas pequeno”.

Proposicion 1.4.1. Sea G un grupo. En el conjunto de todos los subgrupos de G larelacion “ser subgrupo de” determina un orden parcial.

Demostracion. Evidente.

Como en cualquier conjunto parcialmente ordenado, podemos hablar de subgrupomaximal y subgrupo minimal.

Definicion 1.4.2. Sean (G, ·, 1) un grupo y H 6= G un subgrupo de G.

(i) Se dice que que H es un subgrupo maximal de G, si para cada subgrupo Kde G se tiene

H ≤ K ⇔ (K = H o K = G).

(ii) Se dice que H 6= {1} es un subgrupo minimal de G, si para cada subgrupoK de G se tiene

1.4. GENERACION DE SUBGRUPOS 13

K ≤ H ⇔ (K = H o K = {1}).

Ejemplo 1.4.3. Los subgrupos maximales del grupo (Z, +, 0) son de la forma 〈p〉,donde p es primo. Ademas, (Z, +, 0) no posee subgrupos minimales.

Queremos responder ahora las preguntas planteadas al principio de la seccion.

Proposicion 1.4.4. Sean G un grupo, {Hi}i∈I una familia de subgrupos de G y Xun subconjunto cualquiera de G. Entonces,

(i) La interseccion⋂

i∈I Hi es un subgrupo de G.

(ii) Existe en G un subgrupo, denotado por 〈X〉, que contiene a X y es el maspequeno subgrupo de G con dicha propiedad.

(iii) 〈X〉 coincide con la interseccion de la familia de todos los subgrupos de G quecontienen a X.

(iv) 〈∅〉 = 1.


La proposicion anterior no permite de una manera concreta determinar los ele-mentos del subgrupo 〈X〉, ya que serıa necesario determinar todos los subgrupos deG que contienen X y luego efectuar la interseccion. Se tiene en cambio el siguienteresultado.

Proposicion 1.4.5. Sean (G, ·, 1) un grupo y X 6= ∅ un subconjunto de G. Entonces,

〈X〉 = {xε11 · · ·xεn

n | xi ∈ X, εi = ±1, n ≥ 1}.

Demostracion. Sea S el conjunto de la derecha de la igualdad anterior. Entonces,S es un subgrupo de G: sean x = xε1

1 · · ·xεnn , y = yθ1

1 · · · yθmm dos elementos de S,

entonces xy = xε11 · · ·xεn

n yθ11 · · · yθm

m tiene la forma de los elementos del conjunto S.Es claro que el inverso de un elemento de S tiene la forma de los elementos de S.Ademas, S contiene al conjunto X: en efecto, para cada elemento x de X se tieneque x = x1 ∈ S. De lo anterior se obtiene que 〈X〉 ≤ S.

De otra parte,

〈X〉 =⋂

X⊆H≤G

H

entonces, cada H que contiene a X contiene a todos los productos de elementos deX e inversos de elementos de X, ası pues, cada H que contiene a X contiene tambiena S, luego S ≤ 〈X〉.

Corolario 1.4.6. Sean (G, ·, 1) un grupo abeliano y ∅ 6= X ⊆ G. Entonces,


〈X〉 ={xk1

1 · · · xknn | ki ∈ Z, xi ∈ X, n ≥ 1

}.

En notacion aditiva, 〈X〉 = {k1 · x1 + · · ·+ kn · xn | ki ∈ Z, xi ∈ X, n ≥ 1}.

Demostracion. Como G es abeliano, para cada elemento x = xε11 · · ·xεn

n ∈ 〈X〉podemos agrupar las potencias de elementos iguales.

Definicion 1.4.7. Sea G un grupo y sea X un subconjunto de G. 〈X〉 se denominael subgrupo generado por X y a X se le llama un conjunto de generadores de〈X〉. Si X es finito y 〈X〉 = G se dice que G es un grupo finitamente generado.

Ejemplo 1.4.8. Todo grupo cıclico G con generador a es un grupo finitamentegenerado con conjunto generador {a}:

G = 〈{a}〉 = 〈a〉 ={ak | k ∈ Z

}.

Notese por ejemplo que

Z = 〈{1}〉 = 〈1〉 = {k · 1 | k ∈ Z}.

Ejemplo 1.4.9. Sea (Q, +, 0) el grupo aditivo de los numeros racionales, entonces

Q =⟨

1n| n ∈ N

⟩.

En efecto, sea r un racional. Si r es positivo entonces podemos considerar que r es

de la forma r = pq, con p, q ∈ N, luego r = p ·

(1q

). Si r = 0 entonces r = 0

1= 0 ·

(11

).

Si r es negativo entonces podemos suponer que r es de la forma r = −pq

, con p, q ∈ N

luego r = (−p) ·(

1q

).

Ejemplo 1.4.10. Sea (Q∗, ·, 1) el grupo multiplicativo de los numeros racionales nonulos, entonces

Q∗ = 〈−1, 2, 3, 5, 7, . . . 〉 = 〈x ∈ Q | x = −1 o x es primo positivo〉.

En efecto, sea r un racional no nulo. Si r es positivo entonces r es de la forma pq

conp, q ∈ N. p y q se pueden descomponer en factores primos,

p = pα11 · · · pαr

r , q = qβ1

1 · · · qβss , con α1, . . . , αr, β1, . . . , βs ∈ N ∪ {0},

pq

= pq−1 = (pα11 · · · pαr

r )(q−β1

1 · · · q−βss

).

Si r es negativo podemos suponer que r es de la forma −pq

con p, q ∈ N, entonces

r = −pq

= (−1)pq

= (−1)pq−1 = (−1)pα11 · · · pαr

r q−β1

1 · · · q−βss .

Proposicion 1.4.11. Sea G un grupo y H un subconjunto no vacıo de G. Entonces

1.5. TEOREMA DE LAGRANGE 15

(i) H ≤ G ⇔ 〈H〉 = H.

(ii) X ⊆ Y ⊆ G ⇒ 〈X〉 ≤ 〈Y 〉.

(iii) 〈X〉 ∪ 〈Y 〉 ⊆ 〈X ∪ Y 〉.

Demostracion. (i) es evidente.

(ii) 〈Y 〉 es un subgrupo de G que contiene a Y ⊇ X, por tanto, 〈X〉 ≤ 〈Y 〉.(iii) 〈X ∪ Y 〉 ⊇ X ∪ Y ⊇ X, luego 〈X ∪ Y 〉 ≥ 〈X〉. Analogamente, 〈X ∪ Y 〉 ≥

〈Y 〉, de donde 〈X〉 ∪ 〈Y 〉 ⊆ 〈X ∪ Y 〉 (en general, la union de subgrupos no es unsubgrupo).

Proposicion 1.4.12. Sea G un grupo finitamente generado y sea H un subgrupopropio de G. Entonces, existe un subgrupo maximal de G que contiene a H.

Demostracion. Sea {x1, . . . , xn} un sistema finito de generadores de G. Sea Φ :={K | H ≤ K � G}. Observemos que Φ 6= ∅ ya que H ∈ Φ. (Φ,≤) es un conjuntoparcialmente ordenado. Sea Φ0 una cadena de Φ. Sea H ′ :=

⋃K, la union de los

subgrupos K de esta cadena. Notese que H ≤ H ′ ≤ G. En efecto, Sean x, y ∈ H ′,entonces existen Kx,Ky ∈ Φ0 tales que x ∈ Kx, y ∈ Ky. Como Φ0 es totalmenteordenado podemos suponer que Kx ≤ Ky y entonces x, y ∈ Ky, luego xy ∈ Ky, conlo cual xy ∈ H ′. Ademas, x−1 ∈ Kx ⊆ H ′. Ahora, como H ≤ K para cada K ∈ Φ0,entonces H ≤ H ′.

Observemos que H ′ 6= G. En efecto, si H ′ = G = 〈x1, . . . , xn〉, entonces x1 ∈Kx1 , . . . , xn ∈ Kxn , con Kxi

∈ Φ0. Existe Kxjtal que x1, . . . , xn ∈ Kxj

, luegoG ≤ Kxj

, es decir, Kxj= G, lo cual es contradictorio. Ası pues, H ′ 6= G. H ′ es cota

superior para Φ0 en Φ. De acuerdo con el Lema de Zorn, Φ tiene elemento maximalH0 el cual es obviamente subgrupo maximal de G.

1.5. Teorema de Lagrange

Sea G un grupo con un numero finito de elementos y sea H un subgrupo de G.Resulta interesante preguntar que relacion guardan la cantidad de elementos de Hy la cantidad de elementos de G. En esta seccion mostraremos que el numero deelementos de H divide al numero de elementos del grupo dado G.

Proposicion 1.5.1. Sea G un grupo y sea H un subgrupo de G. La relacion en Gdefinida por

a ≡ b ⇔ ab−1 ∈ H, a, b ∈ G (1.5.1)

es de equivalencia.


Demostracion. Si dos elementos a y b de G estan relacionados mediante (1.5.1) sedice que a es congruente con b modulo H.

Reflexiva: sea a ∈ G entonces a ≡ a ya que aa−1 = 1 ∈ H.Simetrica: sean a, b ∈ G tales que a ≡ b . Entonces, ab−1 ∈ H, pero como H ≤ G

tenemos que (ab−1)−1 = ba−1 ∈ H, o sea que b ≡ a.Transitiva: sean a, b, c elementos de G tales que a ≡ b y b ≡ c. Entonces ab−1 ∈ H

y bc−1 ∈ H . De ahı que resulta que (ab−1)(bc−1) ∈ H, es decir, ac−1 ∈ H, y portanto, a ≡ c. Esto completa la demostracion de la proposicion.

Observacion 1.5.2. Si el grupo G tiene notacion aditiva entonces la relacion ≡ sedefine como a ≡ b ⇔ a− b ∈ H.

Es conocido que cualquier relacion de equivalencia ≡ definida sobre un conjuntoG determina una particion de dicho conjunto en clases de equivalencia disyuntasentre si, y la reunion de las cuales da G. Ası pues, para el caso que estamos tratando,sea a un elemento cualquiera del grupo G, la clase de eqivalencia a la cual perteneceel elemento a sera denotada por [a] y esta constituıda por todos los elementos x deG con los cuales a esta relacionado mediante la relacion ≡, es decir,

[a] = {x ∈ G | a ≡ x} = {x ∈ G | ax−1 ∈ H}.

Como dijimos arriba, la reunion de las clases determinadas por la relacion ≡ es todoel grupo G:

⋃a∈G[a] = G.

Proposicion 1.5.3. Sean G un grupo, H ≤ G y ≡ la relacion de equivalenciadefinida en (1.5.1). Sea a un elemento cualquiera de G. Entonces, [a] = Ha :={xa | x ∈ H}. En particular, [1] = H.

Demostracion. Sea z ∈ [a], entonces a ≡ z. Por ser ≡ una relacion simetrica tenemosque z ≡ a, y por eso, za−1 = x, con x ∈ H, luego z = xa ∈ Ha. Hemos probadoque [a] ⊆ Ha. Sea z = xa un elemento de Ha, con x ∈ H, entonces za−1 = x ∈ H,o sea z ≡ a, de donde a ≡ z, es decir, z ∈ [a].

Definicion 1.5.4. Sean G un grupo, H ≤ G y a ∈ G. El conjunto Ha se llama laclase lateral derecha del elemento a modulo H .

La proposicion anterior muestra que la clase del elemento identidad 1 del grupoG coincide con el subgrupo H. Luego [1] y H tienen la misma cantidad de elementos.A continuacion probaremos que todas las clases tienen la cardinalidad de H, y porende, todas las clases de equivalencia tienen la misma cantidad de elementos.

Proposicion 1.5.5. Sean G un grupo, H un subgrupo de G y ≡ la relacion de equi-valencia definida en (1.5.1). Entonces, todas las clases de equivalencia determinadaspor ≡ tienen el mismo cardinal que el subgrupo H.

1.6. EJERCICIOS 17

Demostracion. Sea a un elemento cualquiera de G. Entonces [a] = Ha y la funcionf : Ha → H, f(xa) = x , x ∈ H, es biyectiva. En efecto, claramente f es sobreyec-tiva. Supongase que f(xa) = f(ya), entonces x = y y ası xa = xy , con lo cual f esinyectiva.

Estamos ya en condiciones de demostrar el teorema de Lagrange para gruposfinitos. Si G es un grupo, |G| denota el cardinal de G.

Teorema 1.5.6 (Teorema de Lagrange). Sea G un grupo finito y sea H unsubgrupo cualquiera de G. Entonces, |H| | |G|.

Demostracion. Puesto que G es finito entonces H determina un numero finito declases de equivalencia en G . Sea k el numero de clases de equivalencia definidas;como estas clases son disyuntas, y ademas todas tienen |H| elementos, entonces|H|+ · · ·+ |H| = |G| , es decir, k|H| = |G|, ası |H| | |G|.

Definicion 1.5.7. Sean G un grupo y H un subgrupo de G. El cardinal del conjuntode clases de equivalencia determinado por H mediante la relacion definida en (1.5.1)se llama el ındice del subgrupo H en el grupo G, y se simboliza por |G : H|.

Cuando G es finito se tiene que

|G : H| = |G||H|

. (1.5.2)

Ejemplo 1.5.8. (i) Sea G = S3 y sea H = {1, f}, donde

f =

(1 2 31 3 2

).

Calculemos | G : H | y ademas determinemos el conjunto de clases laterales de

H. Por el Teorema de Lagrange, | G : H |= |G||H| = 6

2= 3, H1 = H = {1, f},

Hh = {h, fh} = {h, k}, Hf = {f, f2} = {1, f}, Hk = {k, fk} = {k, h}, Hg ={g, fg} = {g,m}, Hm = {m, fm} = {m, g}. Notese que H1 = Hf = H, Hg =Hm y Hh = Hk, es decir, se tienen 3 clases de equivalencia tal como lo habıapronosticado el teorema de Lagrange. Observese que una clase de equivalencia, o enotras palabras, una clase lateral derecha no es general un subgrupo del grupo dado.

(ii) | Z : 〈n〉 |= n, para n ≥ 1 y | Z : 〈0〉 |= ℵ0.

1.6. Ejercicios

1. Demuestre por induccion las proposiciones 1.1.8 y 1.1.13.


2. Sea G un conjunto dotado de una operacion binaria interna ∗, se dice que unelemento e ∈ G es:

(i) Identidad a la izquierda de ∗ si e ∗ a = a, cualquiera que sea a ∈ G.

(ii) Identidad a la derecha de ∗ si a ∗ e = a, cualquiera que sea a ∈ G.

Sean e1 y e2 elementos de G tales que e1 es identidad a la izquierda de ∗ y e2

es identidad a la derecha de ∗, pruebe que e1 = e2.

3. Compruebe que en

(i) (N, ∗), donde a ∗ b := a, todo elemento de N es identidad a la derecha,pero no existe identidad a la izquierda.

(ii) (N, ∗), donde x ∗ y := maximo comun divisor de x e y, no hay elementosidentidad.

(iii) (N, ∗), donde a ∗ b := mınimo comun multiplo de a y b, 1 es el elementoidentidad.

(iv) (Z, ∗) donde a ∗ b := a − b, 0 es identidad a la derecha pero no poseeidentidad a la izquierda.

4. Sea G un conjunto dotado de una operacion binaria interna ∗ asociativa, lacual posee elemento identidad e. Sea a ∈ G, se dice que

(i) a posee un inverso a la izquierda (respecto de e) si existe b ∈ G talque b ∗ a = e.

(ii) a posee un inverso a la derecha (respecto de e) si existe c ∈ G tal quea ∗ c = e.

Demuestre que si a posee un inverso a la izquierda b y un inverso a la derechac, entonces b = c.

5. Demuestre la proposicion 1.2.6.

6. Sean (A, ∗) y (B, ∆) conjuntos con operaciones binarias internas. Una funcionf : A → B se denomina un homomorfismo si f respeta las operaciones delos conjuntos A y B, es decir,

f(a1 ∗ a2) = f(a1)∆f(a2)

para cualesquiera elementos a1, a2 de A. Ademas, si A y B poseen elementosidentidad e y k respectivamente, entonces f debe cumplir la propiedad adi-cional f(e) = k. Sea f un homomorfismo de A en B. Pruebe por induccionque f(an) = f(a)n para todo a ∈ A y todo n ∈ N . Pruebe ademas que si a esinvertible en A, entones f(a) es invertible en B, y f(a−1) = f(a)−1.

1.6. EJERCICIOS 19

7. Sea f : (A, ∗, e) → (B, ∆, k) un homomorfismo de A en B, donde e y k son losrespectivos elementos identidad. Se definen los siguientes objetos:

(i) El conjunto de imagenes de la funcion f se llama imagen del homomor-fismo f y se simboliza por Im(f), ası pues, Im(f) := {f(x) |x ∈ A}.

(ii) El conjunto de elementos de A cuya imagen es el elemento identidad kse llama el nucleo del homomorfismo f y se denota por ker(f) (de lapalabra alemana kernel). Ası pues, ker(f) := {x ∈ A|f(x) = k}.

(iii) Se dice que f es un sobreyectivo si la funcion f es sobreyectiva, es decir,Im(f) = B.

(iv) Se dice que el homomorfismo f es inyectivo si la funcion f es inyectiva,es decir, para cualesquiera elementos x, y en A, la igualdad f(x) = f(y)implica x = y.

(v) Se dice que f es un isomorfismo si f es sobreyectivo e inyectivo.

(vi) Si los conjuntos A y B coinciden y las operaciones ∗, y, ∆ tambien,entonces un isomorfismo f en este caso se denomina automorfismo deA.

Sea X un conjunto y sea P (X) su conjunto de partes. Sea f : (P (X),∪) →(P (X),∩) la funcion que a cada subconjunto V de X le asigna su comple-mento: f(V ) = X − V . Determine las identidades en (P (X),∪) y (P (X),∩)y demuestre que f es un isomorfismo (∪ representa la union de conjuntos y ∩la interseccion).

8. Sea A un conjunto dotado de una operacion binaria interna ∗. Supongase queen A ha sido definida una relacion de equivalencia ≡ . Se dice que la relacion≡ es compatible con la operacion ∗ si para cualesquiera a1, b1, a2, b2 ∈ A,a1 ≡ b1 y a2 ≡ b2, implica a1 ∗ a2 ≡ b1 ∗ b2. Denotemos para A el conjuntoA/ ≡ de clases de equivalencia [a], a ∈ A. Se desea definir en A una operacionbinaria inducida por ∗ y ≡: sean [a] y [b] elementos de A entonces definimos

[a]∗[b] = [a ∗ b]. (1.6.1)

(i) Demuestre que (1.6.1) esta bien definida, es decir, demuestre que paraotros representantes a1 y b1 de las clases [a] y [b], respectivamente, secumple que [a1]∗[b1] = [a]∗[b].

(ii) La funcion j : (A, ∗) → (A, ∗) que asigna a cada elemento a de A su clase[a] es un homomorfismo sobreyectivo.

9. Sea f : (A, ∗) → (B, ∆) un homomorfismo sobreyectivo. Definimos en A larelacion ≡ como sigue:


a1 ≡ a2 ⇔ f(a1) = f(a2), para cualesquiera a1, a2 en A.

(i) Demuestre que ≡ es una relacion de equivalencia.

(ii) Demuestre que ≡ es compatible con ∗, es decir, si a1 ≡ a2 y b1 ≡ b2,entonces a1 ∗ b1 ≡ a2 ∗ b2.

(iii) Sean A, ∗ definidos como en el ejercicio anterior. Entonces, demuestreque f : (A, ∗) → (B, ∆) definido por f([a]) := f(a) es un isomorfismo(como toda funcion definida sobre un conjunto cociente, es importanteprobar como primer paso que f esta bien definida, es decir que si a1 ≡ a2,entonces f([a1]) = f([a2])).

10. Sea (G, ·) un semigrupo finito en el cual se cumplen las leyes cancelativas, esdecir, para cualesquiera elementos a, b, c ∈ G se tiene que

ac = bc ⇔ a = b,

ca = cb ⇔ a = b.

Demuestre que (G, ·) es un grupo.

11. Demuestre que si (G, ·) es un semigrupo en el cual las ecuaciones ax = b, xa =b son solubles para cualesquiera elementos a, b ∈ G, entonces (G, ·) es un grupo.

12. Demuestre que el conjunto G := {(a, b) | a, b ∈ R, a 6= 0} con la operacion

(a, b) (c, d) := (ac, ad + b)

es un grupo. ¿G es conmutativo?

13. Sea G un grupo tal que (ab)2 = a2b2 para cualesquiera elementos a, b ∈ G.Pruebe que G es conmutativo.

14. Pruebe que todo grupo finito de tamano n ≤ 5 es conmutativo.

15. Sea R \{0} el conjunto de reales no nulos con la operacion ◦ definida por

a ◦ b := |a| b.

Pruebe que ◦ es asociativa, que existe elemento identidad al lado izquierdo yque cada elemento tiene inverso al lado derecho respecto de la identidad de laizquierda. ¿Es G un grupo?

16. Cada una de las siguientes tablas definen operaciones binarias internas de lascuales se saben que son asociativas. Compruebe que ellas definen grupos:

1.6. EJERCICIOS 21

Z4 = {0, 1, 2, 3}+ 0 1 2 30 0 1 2 31 1 2 3 02 2 3 0 13 3 0 1 2

V = {e, a, b, c}. e a b ce e a b ca a e c bb b c e ac c b a e

¿Es Z4 un grupo conmutativo? ¿Es V un grupo conmutativo? Es {0, 2} unsubgrupo de Z4? ¿Es {e, c} ≤ V ? ¿Es {0, 3} un subgrupo de Z4? ¿Es {e, a, b} ≤V ?

17. Sea H un subconjunto finito no vacıo de un grupo (G, ·, 1) y sea H cerradorespecto a la operacion, es decir, a, b ∈ H implica ab ∈ H. Demuestre que Hes un subgrupo de G.

18. Sea G un grupo y a un elemento de G. Se define NG(a) := {x ∈ G | xa = ax}.NG(a) se llama el normalizador de a en G. Demuestre que NG(a) ≤ G.

19. Sea (G, ·, 1) un grupo abeliano. Pruebe que el conjunto H := {x ∈ G | x2 = 1}es un subgrupo de G.

20. Sea Mn(R) el grupo de matrices reales de tamano n× n, n ≥ 1, con respectoa la adicion, y sea D el conjunto de matrices de Mn(R) que son diagonales, esdecir,

D :=

diag(d1, . . . , dn) :=

d1 0. . .

0 dn

| d1, . . . , dn ∈ R

.

Demuestre que D ≤ Mn(R).

21. Sea GLn(R) el grupo lineal general de orden n sobre los numeros reales,es decir, GLn(R) := Mn(R)∗ es el grupo de elementos invertibles del semigrupomultiplicativo (Mn(R), ·). Entonces,


(i) Sea SLn(R) el subconjunto de GLn(R) constituido por las matrices dedeterminante 1, es decir,

SLn(R) := {F ∈ GLn(R) | det(F ) = 1}.

Demuestre que SLn(R) ≤ GLn(R). SLn(R) se denomina el grupo espe-cial de orden n sobre R.

(ii) Sea

Dn(R) := {diag(d1, . . . , dn) ∈ Mn(R) | d1 · · · dn 6= 0}.

Demuestre que Dn(R) ≤ GLn(R). Dn(R) se conoce como el grupo dematrices diagonales de orden n sobre R.

(iii) Sea

Tn(R) :=

f11 · · · f1n

. . ....

0 fnn

∈ Mn(R) | f11 · · · fnn 6= 0, fij = 0 si i > j

.

Demuestre que Tn(R) ≤ GLn(R). Tn(R) se denomina el grupo de matri-ces triangulares superiores de orden n sobre R.

(iv) Sea

UTn(R) := {F ∈ Tn(R) | fii = 1, 1 ≤ i ≤ n}.

Demuestre que UTn(R) ≤ Tn(R)∩SLn(R). UTn(R) se denomina el grupode matrices unitriangulares superiores de orden n sobre R.

(iv) Para 1 ≤ m ≤ n sea UTmn (R) el conjunto de matrices unitriangulares

F = [fij] ∈ UTn(R) tales que fij = 0 para i < j < i + m, es decir,las primeras m − 1 diagonales consecutivas por encima de la diagonalprincipal de F son nulas. Demuestre que UTm

n (R) ≤ UTn(R), y ademas

UTn(R) = UT 1n(R) ⊇ UT 2

n(R) ⊇ · · · ⊇ UT nn (R) = {E}.

22. En el grupo GLn(R) se tienen tres tipos de matrices elementales:

(i) Matrices propiamente elementales o transvecciones : Tij(a) :=E + aEij, i 6= j, a ∈ R, donde E es la matriz identica y Eij ∈ Mn(R)es la matriz canonica que tiene todas sus entradas nulas, salvo laentrada (i, j) que es 1. Notese que Tij(a) ∈ SLn(R).

(ii) Matrices diagonales: Di(d) := diag(1, . . . , d, . . . , 1) ∈ Dn(R), 0 6= d ∈R, 1 ≤ i ≤ n.

(iii) Permutaciones : Pij = E − Eii − Ejj + Eij + Eji.

1.6. EJERCICIOS 23

Demuestre que:

(i) GLn(R) se puede generar por matrices elementales. Mejor aun, demuestreque

GLn(R) = 〈Tij(a), Dn(d)|1 ≤ i, j ≤ n, i 6= j, a ∈ R, 0 6= d ∈ R〉.

(ii) SLn(R) = 〈Tij(a)|1 ≤ i, j ≤ n, i 6= j, a ∈ R〉.(iii) Dn(R) = 〈Di(di)|0 6= di ∈ R, 1 ≤ i ≤ n〉.(iv) Tn(R) = 〈Tij(a), Di(di)|j > i, a ∈ R, 0 6= di, 1 ≤ i, j ≤ n〉.(iv) UTn(R) = 〈Tij(a)|j > i, a ∈ R, 1 ≤ i, j ≤ n〉.(v) UTm

n (R) = 〈Tij(a)|j − i ≥ m, a ∈ R, 1 ≤ i, j ≤ n〉.

Capıtulo 2

Grupos cıclicos

Una rama destacada dentro de la teorıa de grupos la constituyen los llamados gruposabelianos. Quiza los grupos abelianos mas importantes son los llamados grupos cıcli-cos, ya que los grupos abelianos finitamente generados son expresables a traves desumas directas de grupos cıclicos. En este capıtulo vamos a mostrar las propiedadesbasicas de los grupos cıclicos finitos. Se establecera la relacion que guardan losconceptos de periodo de un elemento y orden. Para grupos cıclicos finitos son de-mostradas algunas proposiciones relacionadas con el orden de sus subgrupos y elnumero de generadores de dichos grupos. Al final del capıtulo hemos incluido unaserie de ejercicios donde se estudian algunas aplicaciones de los grupos cıclicos ateorıa elemental de numeros.

2.1. Definicion

Sea G un grupo cualquiera y sea a un elemento arbitrario de G. El conjunto de todaslas potencias enteras an, n ∈ Z, del elemento a constituye un subgrupo de G llamadoel subgrupo cıclico de G generado por el elemento a. Como vimos en el capıtuloanterior, cuando el grupo G sea aditivo, na, n ∈ Z, representa los multiplos enterosdel elemento a. Recordemos la nociones de subgrupo y grupo cıclico introducidas enel capıtulo anterior.

Definicion 2.1.1. Sea G un grupo y sea a un elemento cualquiera de G. El conjunto

〈a〉 = {an | n ∈ Z} = {. . . , a−3, a−2, a−1, 1, a, a2, a3, . . . }

es un subgrupo del grupo G, llamado el subgrupo cıclico de G generado por elelemento a. Si G es un grupo con notacion aditiva escribiremos

〈a〉 = {n · a | n ∈ Z} = {. . . ,−3 · a,−2 · a,−a, 0, a, 2 · a, 3 · a, . . . }.

24

2.1. DEFINICION 25

Es posible que el subgrupo generado por algun elemento a del grupo G coincidacon todo el grupo: 〈a〉 = G; esta situacion se presenta por ejemplo con el entero 1en el grupo aditivo de los numeros enteros. Los grupos para los cuales se tiene estetipo de situacion reciben un nombre especial.

Definicion 2.1.2. Sea G un grupo cualquiera. Se dice que G es cıclico si G coincidecon uno de sus subgrupos cıclicos; es decir, si existe un elemento a en G tal que〈a〉 = G. En este caso se dice que a es un generador del grupo cıclico G.

Ejemplo 2.1.3. (i) Z es un grupo cıclico y todos sus subgrupos son cıclicos.(ii) El grupo de raıces complejas de grado n de la unidad, n ≥ 1, es cıclico:

denotemos por Un las soluciones complejas de la ecuacion xn = 1, es decir,

Un := {z ∈ C | zn = 1};

afirmamos que Un es un subgrupo de 〈C∗, ·, 1〉: en efecto, Un 6= ∅ ya que 1n = 1y por lo tanto 1 ∈ Un. Sean z1 y z2 elementos de Un, entonces (z1z2)

n = z n1 z n

2

por ser 〈C∗, ·, 1〉 un grupo abeliano, luego (z1z2)n = 1 y ası z1z2 ∈ Un. Sea ahora

z ∈ Un, entonces (z−1)n

= z−n = (zn)−1 = 1−1 = 1, es decir, z−1 ∈ Un y nuestraafirmacion esta probada.

Sea z un elemento de Un. Al escribir z en la forma polar z = r (cos θ + i sin θ) ,donde r = | z| es la norma de z, y teniendo en cuenta que la norma de un producto decomplejos es el producto de las normas, concluimos que | zn| = | z|n = rn = |1| = 1.Puesto que la norma es un real no negativo entonces r = 1 y z tiene la formapolar z = cos θ + i sin θ. Podemos utilizar el teorema de D’Moivre para determinarla cantidad de elementos de Un y para demostrar que este subgrupo es cıclico:zn = cos nθ + i sin nθ = 1 = 1 + i0, entonces cos nθ = 1 y sin nθ = 0, ası nθ = 2kπ,k = 0, 1, 2, . . . . Despejando θ obtenemos que θ = 2kπ

n, k = 0, 1, 2, . . . . Sin embargo,

por la periodicidad de las funciones cos y sin es suficiente considerar los valoresde k hasta n − 1: θ = 2kπ

n, k = 0, 1, 2, . . . , n − 1. De tal manera que si z ∈ Un

entonces z es de la forma z = cos 2kπn

+ i sin 2kπn

, con k = 0, 1, . . . , n− 1. Utilizandola forma exponencial de z podemos demostrar que los complejos cos 2kπ

n+ i sin 2kπ

n,

con k = 0, 1, . . . , n − 1 son diferentes: si cos 2kπn

+ i sin 2kπn

= cos 2k′πn

+ i sin 2k′πn

entonces ei 2kπn = ei 2k′π

n ası, i2kπn

= i2k′πn

y por tanto k = k′.

De tal manera que Un ={

ei 2kπn = cos 2kπ

n+ i sin 2kπ

n| k = 0, 1, . . . , n− 1

}consta

de n elementos exactamente (notese que C∗ es un grupo infinito que posee gruposfinitos no triviales: Un , n > 1). Utilizando nuevamente el teorema de D’Moivre

comprobemos que Un es cıclico y generado por z1 = ei 2πn = cos 2π

n+ i sin 2π

n. Sea

z = ei 2kπn un elemento cualquiera de Un, entonces z es la k-esima potencia de z1 :

(z1)k =

(ei 2π

n

)k

= ei 2kπn = z. Ası que, Un ≤ 〈 z1〉 ⊆ Un entonces Un = 〈z1〉,

|Un| = n.

26 CAPITULO 2. GRUPOS CICLICOS

2.2. Orden y periodo de un elemento

Consideremos nuevamente un grupo cualquiera G y 〈a〉 el subgrupo cıclico generadopor el elemento a de G. Vale la pena preguntar sobre la cantidad de elementosdel subgrupo 〈a〉. Descartemos en primer lugar el caso trivial a = 1; en este caso〈1〉 = {1} y es un subgrupo de un solo elemento. Sea pues a 6= 1 (en notacion aditivaa 6= 0).

Caso infinito. Si para cada par de enteros diferentes m y n, m 6= n, am 6= an

entonces logicamente 〈a〉 contiene una cantidad infinita de elementos y por tanto elsubgrupo cıclico 〈a〉 es infinito. La condicion que am 6= an para cada par de enterosdiferentes m 6= n es equivalente a la condicion an 6= 1 para todo entero n > 0.En efecto, si existe n > 0 tal que an = 1 entonces an+1 = a = a1. Recıprocamente,supongase que hay enteros m 6= n tales que am = an. Supongase por ejemplo quem > n, entonces ama−n = an a−n entonces am−n = 1, donde m− n > 0.

Definicion 2.2.1. Sea (G, ·, 1) un grupo y sea a 6= 1 un elemento cualquiera de G.Se dice que a es de periodo infinito si para cada entero positivo n > 0, an 6= 1.

En notacion aditiva tendremos que 0 6= a ∈ 〈G, +, 0〉 es de periodo infinito sina 6= 0 para todo n > 0.

Caso finito. Sea G nuevamente un grupo y 〈a〉 el subgrupo cıclico generado pora. Supongase que existen enteros m 6= n tales que am = an. Sea m > n, entoncesam−n = 1 con m−n > 0. Considerese entonces el conjunto A :=

{k ∈ Z+ | ak = 1

},

entonces por ser 〈 Z+,≤ 〉 un conjunto bien ordenado A tiene primer elemento n, esdecir, n es el menor entero positivo tal que an = 1.

Definicion 2.2.2. Sea (G, ·, 1) un grupo y sea a un elemento cualquiera de G. Sedice que a es de periodo finito si existe k > 0 tal que ak = 1. El menor enteropositivo n > 0 tal que an = 1 se llama el periodo del elemento a. En notacionaditiva tendremos que a ∈ 〈G, +, 0〉 es de periodo finito n si n es el menor enteropositivo tal que n · a = 0.

Podemos ahora responder a nuestra pregunta sobre el numero de elementos delsubgrupo cıclico generado por a.

Proposicion 2.2.3. Sea G un grupo y sea a un elemento cualquiera de G. Entonces

(i) El subgrupo cıclico 〈a〉 generado por a es infinito si, y solo si, a es un elementode periodo infinito.

(ii) El subgrupo cıclico 〈a〉 generado por a es finito si, y solo si, a es un elementode periodo finito. Ademas, si n es el periodo del elemento a entonces el orden|〈a〉| del subgrupo generado por el elemento a es exactamente n, se denominael orden del elemento a y se simboliza por |a| . Si a es de periodo infinitodiremos que a es un elemento de orden infinito y escribiremos |a| = ∞.

2.2. ORDEN Y PERIODO DE UN ELEMENTO 27

Demostracion. (i) ⇒): Supongamos que a no es un elemento de periodo infinito.Entonces existe un entero k > 0 tal que ak = 1. Esto quiere decir que a es de pe-riodo finito. Sea n el periodo del elemento a. Afirmamos que entonces 〈a〉 contieneexactamente n elementos diferentes: 〈a〉 = {1, a, a2, a3, . . . , an−1}. Probemos inicial-mente que los elementos 1, a, a2, a3, . . . , an−1 son diferentes. Si ai= aj con i 6= j e1 ≤ i, j ≤ n − 1, entonces, suponiendo por ejemplo i > j tendremos que ai−j = 1con 0 < i− j < n, pero esto contradice el hecho de ser n el periodo de a. Sea ahorak ∈ Z y ak un elemento cualquiera de 〈a〉 . Por el algoritmo de la division tenemosque k = ng + r con 0 ≤ r < n. Entonces ak = ang ar = (an)g ar = 1ar = ar, ası puesak coincide con una de las potencias a0 = 1, a, . . . , an−1. Esto prueba entonces que〈a〉 es finito. Notese que cuando a es de periodo finito n entonces n = periodo de a= |〈a〉| = orden del subgrupo cıclico generado por a = |a| = orden del elemento a.

⇐): Si a es de periodo infinito entonces an 6= 1 para todo n > 0. Como vimosantes, esto implica que am 6= an para cada par de enteros diferentes m y n. Entonceslogicamente 〈a〉 es infinito.

(ii) ⇒): Supongamos que a no es de periodo finito. Entonces a es de periodoinfinito y, como acabamos de ver en (i), 〈a〉 es un subgrupo infinito.

⇐): Si a es de periodo finito n entonces como se demostro anteriormente 〈a〉contiene n elementos.

Corolario 2.2.4. (i) Sea G un grupo grupo finito. Entonces |a| | |G| .

(ii) Sea a un elemento de periodo finito n del grupo G ( G no necesariamentefinito). Si ak = 1, con k ∈ Z, entonces n | k. Recıprocamente, si k es unentero tal que n | k, entonces ak = 1.

(iii) Sea G un grupo finito. Entonces, a|G| = 1.

Demostracion. (i) Si G es un grupo finito entonces 〈a〉 es tambien finito. Como|〈a〉| = |a| entonces por el teorema de Lagrange |a| | |G| .

(ii) Por el algoritmo de la division, k = ng + r, con 0 ≤ r < n. Entoncesak = 1 = (an)g ar= ar. Por ser n el periodo de a entonces r = 0, y ası, n | k.Recıprocamente, si k = ns, entonces ak= (an)s = 1.

(iii) Se desprende de (i) y (ii).

Definicion 2.2.5. Se dice que G es un grupo sin torsion si cada elemento a 6= 1tiene periodo (orden) infinito. Si cada elemento a de G es de periodo finito, se diceque G es un grupo periodico. Finalmente, se dice que G es un grupo mixto si Gcontiene elementos a 6= 1 tanto de periodo infinito como de periodo finito.


2.3. Ejemplos

Ejemplo 2.3.1. Grupo sin torsion . Notemos en primer lugar que todo grupo sintorsion debe ser infinito. Sea p un numero primo. El conjunto de numeros racionales

Qp ={

mpn ∈ Q | m, n ∈ Z

}bajo la adicion es un grupo abeliano sin torsion, y se denomina el grupo de losp-cocientes racionales : por ser Qp ⊂ Q y por ser la operacion definida en Qp lainducida por la adicion en Q entonces es suficiente probar que Qp ≤ Q y que Qp esun grupo sin torsion:

m1

pn1+ m2

pn2= m1.pn2+ m2.pn1

pn1 + n2∈ Qp,

−mpn = −m

pn ∈ Qp.

Sea mpn ∈ Qp, supongase que existe k > 0 tal que k

(mpn

)= 0, es decir, km

pn = 0,

entonces km = 0, ası m = 0. Luego, mpn = 0.

Ejemplo 2.3.2. Grupo infinito periodico. Observemos en primer lugar quecada grupo finito es necesariamente periodico. Sin embargo, como lo muestra esteejemplo, la recıproca de la afirmacion anterior no es correcta. Sea p un numeroprimo. El conjunto de numeros complejos

Cp∞ :={z ∈ C | zpn

= 1, para algun n = 0, 1, 2, . . .}

bajo la multiplicacion es un grupo abeliano infinito donde cada elemento diferentede 1 tiene periodo finito. Notese pues que Cp∞ consta de las raıces complejas delas ecuaciones xpn

= 1, con n = 0, 1, 2, . . . . El grupo Cp∞ se denomina gruposemicıclico del tipo p∞.

Para probar que Cp∞ es un grupo es suficiente probar que Cp∞ es un subgrupo

de C∗: sean z1 y z2 ∈ Cp∞ , entonces existen n1 y n2 tales que zpn1

1 = 1 y zpn2

2 = 1. Sin := n1 + n2, entonces zpn

1 = 1 y zpn

2 = 1, luego (z1z2)pn

= 1, es decir, z1z2 ∈ Cp∞ .

Sea z ∈ Cp∞ , entonces existe n ≥ 1 tal que zpn= 1. Esto quiere decir que z ∈

Upn y como Upn ≤ C∗ entonces z−1 ∈ Upn , es decir, (z−1)pn

= 1 y ası z−1 ∈ Cp∞ .Notemos que para cada n ≥ 1, Upn ≤ Cp∞ , y por la misma definicion de Cp∞ , cadaelemento z de Cp∞ tiene periodo finito. Notese que para cada n ≥ 1 Upn ≤ Upn+1 .Denotando por Cpn el grupo Upn obtenemos la cadena de subgrupos de Cp∞ :

Cp∞ =⋃

k ≥ 0 Cpk

{1} = Cp0 ≤ Cp ≤ Cp2 ≤ Cp3 ≤ · · · ≤ Cpn ≤ Cpn+1 ≤ · · ·

2.4. PROPIEDADES 29

Veamos que estos son los unicos sugbrupos: sea H un subgrupo propio de Cp∞ . Sipara cada k ≥ 0, Cpk ≤ H, entonces H = Cp∞ , pero este caso esta descartado.Entonces existe un k ≥ 0 tal que Cpk no esta incluido en H. Escojamos el menork tal que Cpk−1 ≤ H pero Cpk no esta incluido en H. k no puede ser 0 ya queCp0 ≤ H. Por lo tanto k ≥ 1. La idea es entonces demostrar que H = Cpk−1 . Si estoes ası entonces el n buscado es n = k − 1.

Sabemos que Cpk−1 ≤ H y supongamos que la inclusion es estricta, es decir, existez ∈ H pero z /∈ Cpk−1 . Como z ∈ Cp∞ existe un m ≥ 1 mınimo tal que z ∈ Cpm

pero z /∈ Cpm−1 . Notese que m ≥ k porque de lo contario z ∈ Cpk−1 . Se tiene queCpk ≤ Cpm . Sea Cpm =< z1 >, entonces z = za

1 , donde 0 ≤ a ≤ pm − 1, noteseque p no divide al entero a. En efecto, si p|a, entonces a = pb y en consecuencia

zpm−1= zapm−1

1 = zbpm

1 = 1, pero esto indica que z ∈ Cpm−1 , lo cual es falso. Se tieneentonces que a y pm son primos realtivos, es decir, 1 = ua + vpm, donde u, v sonenteros. De aquı resulta que z1 = (za

1)u(zpm

1 )v = zu. Esto implica que Cpm ≤ 〈z〉 ≤ Hy de aquı se tendrıa que Cpk ≤ H, lo cual es falso. En conclusion, H = Cpk−1 .

Ejemplo 2.3.3. Grupo mixto. El grupo multiplicativo de los numeros complejoses mixto ya que hay elementos, como por ejemplo los enteros diferentes de 1, queson de periodo infinito y complejos como z1 = cos 2π

n+ i sin 2π

n, n 6= 1 , que son de

periodo finito.

2.4. Propiedades

Las siguientes afirmaciones son validas para grupos cıclicos cualesquiera. Especial-mente importante es la afirmacion (iv).

Proposicion 2.4.1. (i) Todo grupo cıclico es abeliano.

(ii) Cada subgrupo de un grupo cıclico es cıclico.

(iii) Si 〈G, ·, 1〉 es un grupo cıclico infinito entonces cada subgrupo de G diferentede {1} es tambien infinito.

(iv) Sea G 6= {1} un grupo. Entonces, G es un grupo cıclico finito de orden primosi, y solo si, G no tiene subgrupos diferentes de los triviales.

Demostracion. (i) Esta propiedad se deduce de la regla de exponentes aman = am+n

valida en todo grupo.(ii) Sea G = 〈a〉 un grupo cıclico generado por el elemento a; sea H un subgrupo

de G. Si H = {1} entonces el es claramente cıclico con generador 1. Sea H 6= {1},entonces existe un k 6= 0 tal que ak ∈ H. Esto indica que H contiene potenciasenteras positivas del elemento a. Por el principio de buena ordenacion del conjunto


Z+ escogemos el menor entero positivo s tal que as ∈ H. Afirmamos que H = 〈as〉 .Claramente 〈as〉 ⊆ H. Sea x ∈ H ⊆ G, entonces existe m ∈ Z tal que x = am.Utilizando el algoritmo de la division encontramos enteros g, r tales que m = gs+ r,con 0 ≤ r < s, de donde am = (as)g ar por lo que ar = am−sg ∈ H. Por la eleccionde s concluimos que r = 0 y ası x = (as)g ∈ 〈as〉.

(iii) Sea H 6= {1} un subgrupo del grupo cıclico infinito 〈a〉 = G. Segun (ii)existe s > 0 tal que H = 〈as〉. Si H es finito entonces eso quiere decir que el ordende as es finito con lo cual a es de periodo finito y ası 〈a〉 es finito, lo cual contradicela hipotesis. Esto indica que H debe ser infinito.

(iv) ⇒): Sea G un grupo finito de orden primo p : |G| = p. Sea H ≤ G, entonces|H| | |G| de modo que |H| = 1 o |H| = p, por lo tanto H = {1} o H = G.

⇐): Sea b 6= 1, b ∈ G. El subgrupo cıclico 〈b〉 generado por b es entonces diferentede {1} . Por lo tanto 〈b〉 = G, lo cual quiere decir que G es cıclico. Probemos ahoraque G es finito. Consideremos el subgrupo cıclico generado por b2. Por la condicionde la hipotesis 〈b2〉 = {1} o 〈b2〉 = G = 〈b〉. En el primer caso tendremos que b2 = 1con lo cual b es de periodo 1 o 2. No puede ser de periodo 1 ya que b 6= 1. Por lotanto b es de periodo 2 y ası 〈b〉 = {1, b} , de donde se tiene que G es finito y suorden es el primo 2. Supongase que 〈b2〉 = G = 〈b〉 . Existe entonces k ∈ Z tal que

b = (b2)k, es decir, b2k−1 = 1 con lo cual b es de perıodo finito y 〈b〉 es finito; es decir

G es finito. Resta solo probar que el orden de G es un numero primo. Sea p = |G|el orden del grupo G y sea k ∈ Z+ tal que k | p. Consideremos el subgrupo cıclicogenerado por bk. Si

⟨bk⟩

= {1} entonces bk = 1 y k es un multiplo del periodo p,por lo que k = p. Supongase ahora que

⟨bk⟩

= G = 〈b〉 entonces existe t ∈ Z tal

que(bk)t

= b, ası bkt−1 = 1 entonces p | kt − 1, es decir que existe s ∈ Z tal quekt− 1 = ps, pero k | p entonces existe k′ ∈ Z tal que p = kk′; luego kt− 1 = kk′s;ası k(t − k′s) = 1 entonces k = 1. Esto prueba que los unicos divisores de p son py 1, y de esta forma se tiene que p es primo.

2.5. Generadores

Teorema 2.5.1. (i) Sea G un grupo cıclico finito de orden n con generador a.Entonces, x ∈ G es generador de G ⇔ x = ar, donde m.c.d.(n, r) = 1.

(ii) Sea G un grupo cıclico con generador a y sea H 6= {1} un subgrupo de G.Entonces H = 〈as〉 , donde s es el menor entero positivo tal que as ∈ H.Ademas, si G es de orden finito n entonces |H| = n

d, d = m.c.d.(n, s).

(iii) Sea G un grupo cıclico de orden finito n y sea t ∈ Z+ tal que t | n. EntoncesG contiene exactamente un subgrupo de orden t.

Demostracion. (i) ⇒): Sea x un generador de G = 〈a〉 . Entonces existe un r ∈ Ztal que x = ar y 〈x〉 = 〈ar〉 = 〈a〉 . De aquı obtenemos que a ∈ 〈ar〉 , es decir, existe

2.5. GENERADORES 31

k ∈ Z tal que a = (ar)k entonces ark−1 = 1, ası n | rk − 1 es decir rk − 1 = sn, cons ∈ Z; de lo cual rk − sn = 1, ası r y n son primos relativos y m.c.d.(r, n) = 1.

⇐): Sea r ∈ Z tal que m.c.d.(n, r) = 1. Logicamente, 〈ar〉 ⊆ G. Sea x ∈ G,entonces existe k ∈ Z tal que x = ak. Como m.c.d.(n, r) = 1 existen t, v ∈ Z talesque 1 = nt + rv, ası k = ntk + rvk; luego x = ak = antkarvk = arvk = (ar)vk ∈ 〈ar〉.

(ii) La primera parte de esta afirmacion fue demostrada en el punto (ii) de laproposicion 2.4.1.

Para la segunda parte, el orden de H es el orden de as. Sea m := |as|, entonces(as)m = 1, es decir, asm = 1, luego n | sm, por lo tanto n

d| m, con d := m.c.d.(n, s).

De otra parte, (as)nd = (an)

sd = 1 entonces m | n

d. Por lo tanto, n

d| m y m | n

dcon lo

cual m = nd.

(iii) Existencia: como t | n entonces n = ts, con s ∈ Z, ası |〈as〉| = t. En efecto,(as)t = 1, entonces |as| | t. Si |as| := t0 y t0 < t entonces ast0 = 1 y st0 < n, lo cuales una contradiccion.

Unicidad: sea H un subgrupo de G de orden t. Sea n = ts y sea k el menorentero positivo tal que ak ∈ H. Por (ii) sabemos que H =

⟨ak⟩

y t = |H| = nd, donde

d = m.c.d.(n, k); entonces n = td = ts de modo que s = d, ası s | k, es decir, k = swcon w ∈ Z. Luego, ak = (as)w y por tanto H ⊆ 〈as〉 , pero |H| = |〈as〉| = t entoncesH = 〈as〉.

Ejemplo 2.5.2. Los enteros modulo n. Sea n ≥ 2 un entero, entonces el conjun-to Zn conformado por todos los enteros {0, 1, 2, 3, . . . , n− 1} conforman un grupocıclico respecto de la siguiente adicion: r + s := t , donde t es el resıduo de dividirr+s entre t. Notese que el generador de Zn es 1. El grupo Zn lo consideraremos nue-vamente en el capıtulo 3. Por ahora digamos algo mas respecto a su definicion. Tam-bien podrıamos haberlo definido usando las ideas previas al teorema de Lagrange,es decir, se vio que en Z se puede definir la relacion de equivalencia ≡ respecto delsubgrupo 〈n〉 en la forma a ≡ b si, y solo si, a− b ∈ 〈n〉. Esta relacion divide a Z enn clases de equivalencia de la forma [a] = {x ∈ Z | a−x ∈ 〈n〉} = 〈n〉+a. Las clasesen este caso se denotan mejor en la forma [a] = a, y la suma de clases se hace comose dijo arriba. Notese que las clase distintas son exactamente {0, 1, 2, 3, . . . , n− 1}.Queremos ahora calcular todos los subgrupos de Z24 y todos sus generadores.

Si H ≤ Z24 entonces |H| | 24 de modo que |H| ∈ {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24}Para |H| = 1 tenemos H =

{0}

y para |H| = 24 tenemos H = Z24.Para cada r = 2, 3, 4, 6, 8, 12 sabemos que Z24 contiene solamente un subgrupo

de orden r. Ahora, cada subgrupo H es cıclico y de la forma H =⟨s · 1

⟩= 〈 s 〉 ,

donde |H| = r = 24d, con d = m.c.d.(24, s). Obtenemos pues:

24d

= 2, entonces d = 12 = s;⟨12⟩

={0, 12

}24d

= 3, entonces d = 8 = s;⟨8⟩

={0, 8, 16

}24d

= 4, entonces d = 6 = s;⟨6⟩

={0, 6, 12, 18

}24d

= 6, entonces d = 4 = s;⟨4⟩

={0, 4, 8, 12, 16, 20

}


24d

= 8, entonces d = 3 = s;⟨3⟩

={0, 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21

}24d

= 12, entonces d = 2 = s;⟨2⟩

={0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22

}.

Los generadores de Z24 son de la forma s, con m.c.d.(s, 24) = 1. Entonces s =1, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23.

2.6. Ejercicios

1. Sea G un grupo y sean a,b elementos de G tales que:

(i) 〈a〉 ∩ 〈b〉 = {1}.(ii) ab=ba.

(iii) |a| = m, |b| = n.

Demuestre que |ab| = m.c.m. (|a| , |b|).

2. Sea G un grupo y sean a,b elementos de G tales que:

(i) ab=ba.

(ii) |a| = n, |b| = m.

(iii) m.c.d.(n, m) = 1.

Demuestre que |ab| = nm. Ademas, 〈a, b〉 = 〈ab〉.

3. Sea G un grupo y sean a, b elementos de G. Demuestre que:

(i) |a| = |a−1|.(ii) |xax−1| = |a| , para todo x ∈ G.

(iii) |ab| = |ba|.(iv) Sea |a| = n. Pruebe que ai = aj ⇔ n | i− j.

4. Sea Zn = {0, 1, 2, 3, . . . , n− 1} el conjunto de los enteros modulo n. En Zn

definimos la multiplicacion mediante la regla r · s := rs. Demuestre que 〈Zn, ·〉es un semigrupo conmutativo con elemento identidad 1 (compruebe inicial-mente que la operacion · en Zm esta bien definida). Construya la tabla paran = 8. ¿Es 〈Z8, ·〉 un grupo?

5. Sea Zn el conjunto de los enteros modulo n. Sea Z∗n el grupo multiplicati-

vo del semigrupo 〈Zn, ·〉 del ejercicio anterior. Demuestre que: [r] ∈ Z∗n ⇔

m.c.d.(r, n) = 1.

2.6. EJERCICIOS 33

6. La funcion ϕ : N → N del conjunto de los numeros naturales que asignaa cada natural m el numero de enteros positivos menores que m y que sonprimos relativos con el. Por ejemplo, ϕ (6) = 2, ϕ (10) = 4. La funcion ϕ esdenominada funcion de Euler . Segun el ejercicio anterior, Z∗

m tiene ϕ (m)elementos. Utilice estas observaciones para demostrar los siguientes teoremas:

(i) Teorema de Euler : sean a, m enteros, m > 0 y m.c.d.(a, m) = 1.Entonces aϕ(m) ≡ 1 (modulo m), es decir, m | aϕ(m) − 1.

(ii) Teorema de Fermat : si p es primo entonces ap ≡ a (modulo p), paratodo a ∈ Z.

7. Sea G un grupo cıclico de orden 60. ¿Cuantos generadores tiene G?

8. Determine el subgrupo cıclico de 〈Z42, +〉 generado por 30.

9. Demuestre que (1+i)√2

es un elemento de periodo finito de C∗.

10. Sean p y q primos diferentes. Calcule el numero de generadores del grupocıclico 〈Zpq, +〉.

11. Determine todos los subgrupos de Z36 y todos sus generadores.

12. Determine todos los subgrupos de C36 y todos sus generadores.

Capıtulo 3

Subgrupos normales yhomomorfismos

El objetivo central de este capıtulo es mostrar la estrecha relacion que guardan losconceptos de subgrupo normal y homomorfismo de grupos. Sera demostrado que,salvo isomorfismo, hay tantos subgrupos normales en un grupo G como imageneshomomorfas tiene este ultimo. El concepto de grupos isomorfos permite, entre otrascosas, clasificar los grupos cıclicos: los infintos que son isomorfos a 〈Z, +〉, y los finitosde orden n que son isomorfos a 〈Zn, +〉. Dentro de los ejemplos hemos incluido ungrupo muy importante como es el grupo octico correspondiente a las 8 simetrıas delcuadrado.

3.1. Subgrupos normales

En el capıtulo 1 se construyo el grupo de enteros modulo n, Zn, por medio de 4objetos, a saber: el grupo Z, el subgrupo 〈n〉 de multiplos de n, la relacion deequivalencia en Z definida como a ≡ b si, y solo si, a − b ∈ 〈n〉 y la operacion deadicion entre clases de equivalencia determinadas por esta relacion: a + b = a + b,a, b ∈ Z.

Vale la pena preguntarnos si, dado un grupo G y H un subgrupo cualquiera de G,podemos repetir la construccion mencionada anteriormente con ayuda de la relacionde equivalencia en G utilizada para la demostracion del teorema de Lagrange: a ≡b ⇔ ab−1 ∈ H. Puesto que las clases de equivalencia estan determinadas por elsubgrupo H, sera logico preguntarnos que condicion debe satisfacer H para quepodamos dar al conjunto de clases de equivalencia una estructura de grupo. Antesde responder a estas preguntas recordemos cierta terminologıa ya introducida antespor nosotros.

Definicion 3.1.1. Sea G un grupo y sean A y B subconjuntos no vacıos de G.

34

3.2. GRUPO COCIENTE 35

Se denomina producto de los conjuntos A y B (en ese orden) al conjunto deproductos de la forma ab, donde a ∈ A y b ∈ B, y se denota por AB. En otraspalabras, AB := {ab | a ∈ A, b ∈ B}.

Proposicion 3.1.2. Sea G un grupo y sea H un subgrupo de G. Entonces las si-guientes condiciones son equivalentes:

(i) ∀x ∈ G, ∀h ∈ H : x−1hx ∈ H.

(ii) ∀x ∈ G : x−1Hx = H.

(iii) ∀x ∈ G : xH = Hx.

(iv) ∀x, y ∈ G : xHyH = xyH.

Demostracion. (i) ⇒ (ii): Evidentemente x−1Hx ≤ H. Sea ahora h ∈ H. Entoncesh = x−1(xhx−1)x; segun (i), xhx−1 ∈ H; ası pues, H ≤ x−1Hx.

(ii) ⇒ (iii): Sea h ∈ H, entonces xhx−1 ∈ H, luego xhx−1 = h0 ∈ H con lo cualxh = h0x ∈ Hx; resulta, xH ≤ Hx. Analogamente, Hx ≤ xH.

(iii) ⇒ (iv): Sean h1, h2 ∈ H entonces xh1yh2 = xyh′1h2, donde h′1 ∈ H, luegoxHyH ≤ xyH. Ahora, si h ∈ H se obtiene que xyh = x1yh ∈ xHyH, es decir,xyH ≤ xHyH.

(iv) ⇒ (i): Sea x ∈ G, h ∈ H entonces x−1hx ∈ x−1HxH luego x−1hx ∈x−1xH = H. Esto completa la prueba de la proposicion.

Definicion 3.1.3. Sea G un grupo y H ≤ G. Se dice que H es un subgruponormal de G, lo cual denotamos por H E G, si H cumple una de las condicionesde la proposicion anterior.

Definicion 3.1.4. Sea G 6= {1} un grupo. Entonces G posee al menos dos subgruposnormales, llamados los subgrupos normales triviales: {1}, G. Si G no poseeotros subgrupos normales fuera de los triviales se dice que G es un grupo simple.

3.2. Grupo cociente

Sea G un grupo y H E G. En G se tiene la relacion

a ≡ b ⇔ ab−1 ∈ H.

Como ya fue demostrado en el capıtulo 1, ≡ es una relacion de equivalencia la cualdetermina una particion del grupo G en clases de equivalencia, llamadas tambienclases laterales derechas:

[a] = Ha

36 CAPITULO 3. SUBGRUPOS NORMALES Y HOMOMORFISMOS

Notese que la relacion ≡ es igual a la relacion ≡′ definida por a ≡′ b ⇔ a−1b ∈ H.En tal caso [a] = aH. Pero como H E G entonces las clases laterales derechas eizquierdas de a coinciden.

Podemos definir un producto entre clases de equivalencia, ası como se hizo enZn, y dar al conjunto de clases estructura de grupo.

Proposicion 3.2.1. Sea (G, ·, 1) un grupo y sea H E G. Sea ≡′ la relacion deequivalencia de G definida por:

a ≡′ b ⇔ a−1b ∈ H(de forma equivalente, a ≡ b ⇔ ab−1 ∈ H).

Sea G/H el conjunto de clases de equivalencia (de clases laterales derechas o iz-quierdas) determinadas por la relacion ≡. Entonces definiendo el producto de clasesde G/H por:

aH bH := abH, ∀a, b ∈ G(a b := ab).

G/H adquiere estructura de grupo. G/H se denomina el grupo cociente de Gpor H.

La clase con representante a sera denotada simplemente por a o aH en el casomultiplicativo; en notacion aditiva a = a + H.

Proposicion 3.2.2. Sea G un grupo y H E G. Entonces,

(i) Si G es abeliano, entonces G/H es tambien abeliano.

(ii) Si G es cıclico con generador a, entonces G/H es cıclico con generador a.

(iii) Si G es finito, entonces |G : H| = |G/H| = |G||H| .

(iv) Zn = Z/〈n〉.

(v) Sea K ≤ G tal que H ≤ K. Entonces, H E K.

(vi) Sea L ≤ G tal que |G : L| = 2, entonces L E G.

(vii) La relacion de normalidad no es en general transitiva.

Demostracion. Las cinco primeras afirmaciones son casi evidentes. Veamos la pruebade (vi): G queda dividido en solo dos clases laterales izquierdas: G = L

⋃(G− L).

Sea x ∈ G, h ∈ L; consideremos las siguientes cuatro posibilidades:a) x−1h ∈ L, x−1 ∈ L ⇒ x−1hx ∈ Lb) x−1h ∈ L, x−1 /∈ L, imposiblec) x−1h /∈ L, x−1 ∈ L, imposibled) x−1h /∈ L, x−1 /∈ L ⇒ x−1h ≡ x−1 ⇒ x−1hx ∈ L ⇒ L E G.(vii) Esto se ilustra en el siguiente ejemplo.

3.2. GRUPO COCIENTE 37

Ejemplo 3.2.3. Consideremos un cuadrado cuyos vertices se numeran sucesiva-mente en sentido contrario al movimiento de las manecillas del reloj con los numeros1, 2, 3, 4, comenzando en el extremo inferior izquierdo, y consideremos el conjuntoD4 de las 8 simetrıas de un cuadrado: cuatro rotaciones en sentido antihorario atraves de los angulos 2πk

4, k = 0, 1, 2, 3; cuatro reflexiones a traves de cuatro ejes de

simetrıa X, Y, 13, 24. Este conjunto posee estructura de grupo bajo la operacion decomposicion. Notese que cada simetrıa permuta los vertices 1, 2, 3, 4; por lo tantoel grupo D4 puede ser visto como subgrupo de S4: la rotacion a traves del anguloθ = π

2, k = 1, corresponde a la permutacion:

f =

(1 2 3 42 3 4 1

)= (1 2 3 4).

Observe que las otras tres rotaciones corresponden a potencias de f : f 2, f 3, f 4 =1 = rotacion de cero grados.

La reflexion a traves del eje 13 corresponde a la permutacion:

g =

(1 2 3 41 4 3 2

)= (2 4), g2 = 1.

Las otras tres reflexiones corresponden a productos de f y g :

Reflexion a traves del eje Y :

(1 2 3 42 1 4 3

)= fg.

Reflexion a traves del eje X:(1 2 3 44 3 2 1

)= f 3g.

Reflexion a traves del eje 24:(1 2 3 43 2 1 4

)= f 2g.

Como dijimos anteriormente, D4 = {1, f, f 2, f3, fg, f2g, f 3g, g} es un subgrupode S4 conocido como grupo diedrico de grado 4. Notese que H = {1, g} ≤ K ={1, g, f 2, f2g}. Ademas, K E D4 ya que |D4 : K| = 2, H E K ya que |K : H| = 2pero H no es subgrupo normal de D4 : f 3g (f 3)

−1= f 3gf = f 2g /∈ H.


3.3. Homomorfismo de grupos

En esta seccion se presenta el concepto de homomorfismo de grupos ası como tambienalgunas de las propiedades fundamentales de estas funciones. Al final, con ayuda delconcepto de isomorfismo, se hace una clasificacion de los grupos cıclicos.

Definicion 3.3.1. Sean 〈G, ·〉 y 〈F, ·〉 dos grupos. Una funcion ϕ : G → F tal queϕ(ab) = ϕ(a) ϕ(b),∀a, b ∈ G se denomina un homomorfismo del grupo G en elgrupo F .

Si ambos grupos tienen notacion aditiva, entonces la condicion anterior se escribecomo ϕ(a + b) = ϕ(a) + ϕ(b). Veamos algunos ejemplos:

(i) Sea G = R el grupo aditivo de los numeros reales, y sea F = R∗ el grupomultiplicativo de los numeros reales no nulos. La funcion f : R → R∗ definidapor f (x) =: ex es un homomorfismo de R en R∗.

(ii) Homomorfismo trivial : sea 〈G, ·, 1〉 un grupo multiplicativo y sea 〈F, +, ◦〉un grupo con notacion aditiva. La funcion de G en F definida por f : G → F ,f (x) = 0 es un homomorfismo, Ademas la funcion g : F → G es definida porg (x) = 1 es tambien un homomorfismo; lo podemos denominar homomorfismounitario.

(iii) Homomorfismo identico: sea 〈G, ·〉 un grupo. La funcion ı : G → G de Gen sı mismo definida por iG (x) := x es un homomorfismo.

Definicion 3.3.2. Sea ϕ : G → F un homomorfismo de grupos.

(i) Sea 1 el elemento identidad del grupo F . El conjunto de elementos de G cuyaimagen es el elemento identidad 1 de F se denomina el nucleo de ϕ y sedenota por ker(ϕ):

ker(ϕ) := {g ∈ G | ϕ (g) = 1}.

(i) Sea A ⊆ G. El conjunto de las imagenes de los elementos del conjunto A sedenomina imagen del conjunto A mediante ϕ y se denota por ϕ (A):

ϕ (A) := {ϕ (a) | a ∈ A}.

En particular el conjunto ϕ (G) se denomina la imagen del homomorfismo ϕy se simboliza tambien por Im (ϕ).

(iii) Sea B ⊆ F . El conjunto de elementos de G cuyas imagenes pertenencen alconjunto B se denomina imagen inversa de B mediante ϕ,

3.3. HOMOMORFISMO DE GRUPOS 39

ϕ−1 (B) := {g ∈ G | ϕ (g) ∈ B}.

(iv) Se dice que ϕ es un homomorfismo inyectivo si ϕ es una funcion inyectiva,es decir, para cualesquiera elementos x, y ∈ G se cumple

ϕ (x) = ϕ (y) ⇔ x = y.

(v) Se dice que ϕ es un homomorfismo sobreyectivo si Im (ϕ) = F .

(vi) Se dice que un grupo F es una imagen homomorfa de un grupo G si existeun homomorfismo sobreyectivo de G en F .

(vii) Se dice que ϕ es un isomorfismo o tambien que G y F son grupos isomorfos,lo cual se denota por G ∼= F , si ϕ es inyectivo y sobreyectivo.

Proposicion 3.3.3. Sea ϕ : G → F un homomorfismo, entonces:

(i) ϕ (1) = 1.

(ii) ϕ (x−1) = ϕ (x)−1, para cada x ∈ G.

(iii) ker (ϕ) E G.

(iv) La imagen de un subgrupo de G mediante ϕ es un subgrupo de F :

H ≤ G ⇒ ϕ (H) ≤ F .

(v) La imagen inversa de un subgrupo de F mediante ϕ es un subgrupo de G:

K ≤ F ⇒ ϕ−1 (K) ≤ G.

(vi) La imagen de un subgrupo normal de G mediante ϕ es un subgrupo normal dela imagen de ϕ:

H E G ⇒ ϕ (H) E Im(ϕ).

(vii) La imagen inversa de un subgrupo normal de F mediante ϕ es un subgruponormal de G:

K E F ⇒ ϕ−1 (K) E G.

(viii) ϕ es inyectivo ⇔ ker (ϕ) = {1}.


(ix) Sea H E G. La funcion j : G → G/H definida por j (x) =: x = xH es unhomomorfismo sobreyectivo. j se denomina el homomorfismo canonico.

(x) ϕ es un isomorfismo si, y solo si, existe una funcion θ : F → G tal que

θϕ = iG, ϕ θ = iF .

Ademas, θ es tambien un homomorfismo. θ se denomina el homomorfismoinverso de ϕ y se denota por ϕ−1.

(xi) Sea α : F → M un homomorfismo. Entonces la funcion compuesta αϕ : G →M es un homomorfismo.

Demostracion. Todas las pruebas se reducen a aplicar directamente las definicionesanteriores.

Teorema 3.3.4. Sea G un grupo cıclico. Entonces,

(i) Si G es infinito, entonces G ∼= Z.

(ii) Si es finito de orden n, entonces G ∼= Zn.

Demostracion. Es un ejercicio sencillo que se deja al lector.

3.4. Ejercicios

1. Demuestre que en un grupo abeliano todos sus subgrupos son normales.

2. Sea G un grupo y A un subconjunto no vacıo de G. Sea x ∈ G el conjunto:

Ax := x−1Ax = {x−1ax | a ∈ A}.

se denomina el conjugado de A por x. Demuestre que el conjugado de unsubgrupo de G mediante cualquier elemento x de G es tambien un subgrupode G. Demuestre que si A ⊆ G, entonces ∀x ∈ G, Card(x−1Ax) = Card (A).

3. Sea G un grupo, H un subgrupo de G y A un subconjunto no vacıo de G.Demuestre que

NH (A) := {x ∈ H |Ax = A} y CH (A) := {x ∈ H |xs = sx,∀s ∈ A}

son subgrupos de H (NH (A) se llama el normalizador de A en H y CH (A)se llama el centralizador de A en H). Compruebe ademas que CH (A) ENH (A).

3.4. EJERCICIOS 41

4. Sea G un grupo y K ≤ G. Con las definiciones del ejercicio anterior, NG (K) sedenomina el normalizador de K en G y CG (K) se denomina el centralizadorde K. El centralizador de G se denota por Z (G) y se llama el centro delgrupo G. Demuestre que

a) K E NG (K) y Z(G) es un grupo abeliano.

b) K E G ⇔ G = NG (K).

c) Sea H ≤ G tal que K E H. Entonces H ⊆ NG (K).

5. Sea G un grupo, H ≤ G, A 6= ∅, A ⊆ G. Denotemos por F a la familia desubconjuntos de G constituidos por los conjugados de A con elementos de H,es decir F := {Ax | x ∈ H}. Demuestre que Card(F ) = |H : NH (A)|.

6. Sea G un grupo y sea X un conjunto no vacıo. Demuestre que Z[Apl (X, G)] =Aplc (X, Z (G)).

7. Demuestre que la interseccion de dos subgrupos normales es un subgrupo nor-mal. Generalice este resultado a una familia no vacıa cualquiera de subgruposnormales.

8. Sea G un grupo y H E G. Demuestre que las relaciones de equivalencia ≡1 y≡2 definidas por a ≡1 b ⇔ ab−1 ∈ H y a ≡2 b ⇔ a−1b ∈ H son iguales, esdecir, ∀a, b ∈ G, a ≡1 b ⇔ a ≡2 b.

Capıtulo 4

Teoremas de estructura

El concepto de homomorfismo e isomorfismo, ası como los teoremas correspon-dientes, son el objeto del presente capıtulo. Por medios de estos teoremas se puedencaracterizar las imagenes homomorfas de un grupo, y son herramienta clave para laclasificacion de grupos, en particular, para la clasificacion de grupos finitos.

4.1. Teorema fundamental de homomorfismo

Se mostrara en esta seccion que un grupo G tiene tantas imagenes homomorfascomo grupos cocientes por subgrupos normales, este es precisamente el contenidodel teorema fundamental de homomorfismo.

Teorema 4.1.1 (Teorema fundamental de homomorfismo). Sea G un grupocualquiera. Entonces hay tantas imagenes homomorfas de G como subgrupos nor-males tiene G (o lo que es lo mismo, como grupos cocientes de G). Mas exactamente,si G′ es una imagen homomorfa de G entonces existe un subgrupo normal H de G talque G′ ∼= G/H. H es precisamente el nucleo del homomorfismo G → G′. Recıproca-mente, dado un subgrupo normal H de G, G/H es una imagen homomorfa de G. Elhomomorfismo sobreyectivo requerido es el homomorfismo canonico j : G → G/H.

Demostracion. Sea G′ una imagen homomorfa de G con homomorfismo sobreyectivoh : G → G′; sea ker(h) el nucleo de h y sea j : G → G/ ker(h) el homomorfismocanonico de G sobre el grupo cociente G/ ker(h). Se define la funcion

h : G/ ker(h) → G′

mediante h(x) := h(x), donde x = x ker(h) es la clase de equivalencia (clase lateralizquierda) determinada por el elemento x. h esta bien definida, h es sobre y h esinyectiva. Ademas, h es un homomorfismo de grupos. Finalmente, ya se ha visto quela funcion canonica j es un homomorfismo sobre de G en G/H.

42

4.1. TEOREMA FUNDAMENTAL DE HOMOMORFISMO 43

Corolario 4.1.2. Sea h : G → G′ un homomorfismo de grupos. Entonces Im(h) ∼=G/ ker(h).

Ejemplo 4.1.3. (i) Determinemos todas las imagenes homomorfas del grupo aditivode los numeros enteros 〈Z, +〉: segun el teorema fundamental de homomorfismo lasimagenes homomorfas de 〈Z, +〉 son los subgrupos cociente de Z por sus subgruposnormales. De esta manera debemos determinar todos los subgrupos normales H deZ y construir los grupos cociente G/H. Como 〈Z, +〉 es un grupo abeliano entoncescada uno de sus subgrupos es normal. Ası pues, las imagenes homomorfas de Z sonde la forma Z/〈n〉 con n ≥ 0, es decir las imagenes de 〈Z, +〉 son Zn con n ≥ 0 .

(ii) Sea (R, +, 0) el grupo de los numeros reales bajo la adicion y sea (U, ·, 1) elgrupo multiplicativo de los complejos de modulo 1: U = {z ∈ C | |z| = 1}. Noteseque U = {cos θ + i sin θ | θ ∈ R} = {eiθ | θ ∈ R}. La funcion ϕ : R → U definidapor ϕ(θ) = eiθ es un homomorfismo: en efecto, ϕ(θ1 + θ2) = ei(θ1+θ2) = eiθ1 · eiθ2 . ϕ esobviamente un homomorfismo sobreyectivo ya que cada complejo tiene determinadoal menos un argumento θ. Segun el teorema fundamental de homomorfismo U ∼=R/ ker(ϕ) ; ker(ϕ) = {θ ∈ R | cos θ +i sin θ = 1 }; si θ ∈ ker(ϕ) entonces sin θ = 0,luego θ = 2kπ, k ∈ Z. Recıprocamente, cada real de forma θ = 2kπ, k ∈ Z esun elemento de ker(ϕ) por lo tanto N(ϕ) = 〈2π〉, grupo generado por 2π; ası puesU ∼= R/〈2π〉.

(iii) Imagenes homomorfas de S3 : determinamos en primer lugar los subgruposde S3. Puesto que |S3| = 6 entonces S3 solo puede tener subgrupos de orden 1, 2, 3y 6:

f =

(1 2 32 3 1

)=(

1 2 3), g =

(1 2 31 3 2

)=(

2 3),

S3 = {1, f, f 2, g, fg, f 2g} ; f 2 =(

1 3 2), fg =

(1 2

), f 2g =

(1 3

),

1 = {1} es el unico subgrupo de orden 1.

Los subgrupos de orden 2 son cıclicos y por lo tanto generados por los elementosde orden 2:

〈g〉, 〈fg〉, 〈f 2g〉 son los subgrupos de orden 2.

Los subgrupos de orden 3 son necesariamente cıclicos y son generados por ele-mentos de orden 3 :

〈f〉 es el unico subgrupo de orden 3,

S3 es el unico subgrupo de orden 6.

1 y S3 son normales. Puesto que |S3 : 〈f〉| = 2 entonces 〈f〉 E S3.Para la determinacion de subgrupos normales de orden 2 no sobra construir la

tabla del grupo S3:

44 CAPITULO 4. TEOREMAS DE ESTRUCTURA

◦ 1 f f 2 g fg f 2g1 1 f f 2 g fg f 2gf f f 2 1 fg f 2g gf 2 f 2 1 f f 2g g fgg g f 2g fg 1 f 2 ffg fg g f 2g f 1 f 2

f 2g f 2g fg g f 2 f 1

〈g〉 no es subgrupo normal de S3 ya que fgf−1 = fgf 2 = f 2g /∈ 〈g〉; 〈fg〉 no essubgrupo normal de S3 ya que f 2fg (f 2)

−1= f 2fgf = gf = f 2g /∈ 〈fg〉; 〈f 2g〉 no

es subgrupo normal de S3 ya que ff 2gf−1 = gf2 = fg /∈ 〈f 2g〉 .

S3 no tiene subgrupos normales de orden 2,

1, 〈f〉, S3 son los subgrupos normales de S3.

De aquı obtenemos que las imagenes homomorfas de S3 (salvo isomorfismo) sonS3/1 = S3 , S3/ 〈f〉 ∼= Z2 ya que |S3/ 〈f〉| = 6

3= 2 ; S3/S3

∼= Z1 (grupo unitario).

4.2. Teorema de factorizacion

Definicion 4.2.1. Sea α : G1 → G2 un homomorfismo de grupos. Se dice que elhomomorfismo α se puede factorizar a traves del homomorfismo j : G1 → G3 (otambien, a traves del grupo G3) si existe un homomorfismo θ : G3 → G2 tal queθj = α.

Teorema 4.2.2. Sea α : G → G′ un homomorfismo de grupos y sea H un subgruponormal de G. Entonces α se puede factorizar de una manera unica a traves de G/Hsi, y solo si, H ⊆ ker(α).

Demostracion. ⇒): Sea H E G tal que α se puede factorizar a traves de G/H.Esto quiere decir que existe un homomorfismo θ : G/H → G′ tal que θj = α. Seax ∈ H entonces θj(x) = α(x) por lo tanto θ(j(x)) = θ(x) = θ(1) = 1 = α(x), esdecir, x ∈ ker(α) y de esta manera H ⊆ ker(α).

⇐): Supongamos que H E G tal que H ⊆ ker(α). Definimos

θ : G/H → G′, θ(x) := α(x), x = xH, x ∈ G .

θ esta bien definida : x = y entonces x−1y ∈ H luego x−1y ∈ ker(α), es decir,α(x−1y) = 1, con lo cual α(x)−1α(y) = 1 y ası α(x) = α(y); esto indica que θ(x) =θ(y).

θ es homomorfismo : θ(x · y) = θ(xy) = α(xy) = α(x)α(y) = θ(x)θ(y).θj(x) = θ(x) = α(x), para todo x ∈ G;⇒ θj = α.θ es unica : sea β : G/H → G′ un homomorfismo tal que βj = α, entonces

βj(x) = β(x) = α(x) = θ(x), luego β = θ.

4.2. TEOREMA DE FACTORIZACION 45

Corolario 4.2.3. (i) El homomorfismo θ del teorema anterior es inyectivo ⇔H = ker(α). Ademas, θ es sobreyectivo ⇔ α es sobreyectivo.

(ii) Cada homomorfismo sobreyectivo Gα−→ G′ se puede factorizar de manera unica

a traves del grupo cociente G/ ker(α). Ademas, en este caso θ es un isomor-fismo.

Demostracion. (i) Supongamos que θ es un homomorfismo inyectivo y sea x ∈ker(α). Entonces α(x) = 1 = θ(x), es decir, x = 1, de donde x ∈ H, lo cualprueba que ker(α) ⊆ H y por lo tanto H = ker(α). Recıprocamente, sea x ∈ ker(θ),entonces θ(x) = α(x) = 1, es decir, x ∈ ker(α) y de esta manera x = 1.

Puesto que α = θ ◦ j, entonces como θ sobreyectivo, α lo es ya que j es elhomomorfismo canonico.

Sea ahora α sobreyectivo, y sea y ∈ G′. Entonces, existe x ∈ G tal que α(x) = y,luego θ(x) = α(x) = y, es decir, θ es sobreyectivo.

(ii) Es consecuencia directa del teorema anterior.

Las afirmaciones siguientes evidencian la utilidad del teorema de factorizacion.

Corolario 4.2.4. Sea α : G → K un homomorfismo sobreyectivo de grupos y seaH E G. Entonces α induce el homomorfismo sobreyectivo

α′ : G/H → K/α(H)

definido por α′(x) := α(x), donde x = xH y α(x) := α(x)α(H). Ademas, α′ esinyectivo (y por lo tanto un isomorfismo) si, y solo si, ker(α) ⊆ H.


Corolario 4.2.5. Sea α : G → K un homomorfismo de grupos y sea H un subgruponormal de K. Entonces α induce el homomorfismo inyectivo

α′ : G/α−1(H) → K/H

definido por α′(x) := α(x), x = xα−1(H), α(x) := α(x)H. Ademas, si α essobreyectivo, entonces α′ es un isomorfismo.

Demostracion. Se deja como ejercicio al lector.

Corolario 4.2.6. Sea G un grupo y sean H y K subgrupos normales de G tales queH ⊆ K. Entonces se tiene el homomorfismo sobreyectivo

θ : G/H → G/K

definido por θ(x) := x , donde x := xH y x := xK.



4.3. Teorema de correspondencia

Sea G un grupo y H un subgrupo normal de G. Consideremos el grupo cocienteG/H y el homomorfismo canonico j : G → G/H. Sea X un subconjunto de G quecontiene H, H ⊆ X ⊆ G. Segun vimos, la imagen de X mediante j es

j(X) = {j(x) | x ∈ X} = {x | x ∈ X}.

Denotamos este conjunto por X/H. Sea ahora K un subgrupo de G que contieneH, H ≤ K ≤ G. Entonces

j(K) = {j(x) | x ∈ K} = {x | x ∈ K} = K/H.

Ademas, como H E K podemos construir el grupo cociente de K por H, K/H, ypor tanto, la notacion K/H para j(K) es adecuada. Podemos ahora demostrar elsiguiente teorema.

Teorema 4.3.1 (Teorema de correspondencia). Sea G un grupo y sea H unsubgrupo normal de G. Sea L(G, H) la familia de subgrupos de G que contienen H

L(G, H) := {K ≤ G|H ⊆ K}.

Sea L(G/H) la familia de subgrupos de G/H. Entonces existe una correspondenciabiyectiva entre L(G, H) y L(G/H)

ϕ : L(G, H) → L(G/H)ϕ(K) := j(K) = K/H = {x ∈ G/H |x ∈ K}.

Ademas, si N es un subgrupo normal de G que contiene a H, entonces ϕ(N) E G/H.Por ultimo, si A y B son elementos de L(G, H) tales que A ≤ B, en otras palabras,si H ≤ A ≤ B ≤ G, entonces ϕ(A) ≤ ϕ(B) y ademas |B : A| = |ϕ(B) : ϕ(A)|.

Demostracion. Notese en primer lugar que ϕ(K) es realmente un subgrupo de G/Hya que j es un homomorfismo.

ϕ es una funcion inyectiva: supongamos que ϕ(K1) = ϕ(K2), entonces K1/H =K2/H. Sea x ∈ K1, se tiene que x ∈ K1/H con lo cual x ∈ K2/H y ası x = ypara algun y ∈ K2, es decir, x−1y ∈ H ⊆ K2 de donde x ∈ K2. En total K1 ⊆ K2.Analogamente se prueba que K2 ⊆ K1 y ası K1 = K2, con lo cual ϕ es 1− 1.

ϕ es una funcion sobreyectiva: sea M un subgrupo de G/H, como hemos vistoj−1(M) es un subgrupo de G. Veamos en primer lugar que H ≤ j−1(M): sea x ∈H entonces j(x) = x = 0 ∈ M . Ası pues, j−1(M) es un elemento de L(G, H).Finalmente, notemos que j [j−1(M)] = M por ser j una funcion sobre. Esto completala prueba de que ϕ es una funcion sobre.

Si N es un subgrupo normal de G que contiene H, entonces segun vimos laimagen de cada subgrupo normal mediante un homomorfismo es nuevamente unsubgrupo normal en la imagen. Por tanto, ϕ(N) = j(N) E G/H.

Sea ρ la relacion de equivalencia inducida en B por el subgrupo A:

4.4. TEOREMAS DE ISOMORFISMO 47

x, y ∈ B : xρy ⇔ xy−1 ∈ A.

Denotemos por [x] la clase de equivalencia correspondiente al elemento x ∈ B medi-ante la relacion ρ. Sea θ la relacion de equivalencia inducida en B/H por el subgrupoA/H:

x, y ∈ B/H : xθy ⇔ x y−1 ∈ A/H.

(x = Hx, x ∈ B). Denotemos por [x] la clase de equivalencia determinada por elelemento x de B/H mediante la relacion θ.

Sean C1 = B/ρ y C2 = (B/H)/θ los respectivos conjuntos cocientes. Se quiereprobar que Card(C1) = Card(C2) : Definimos

F : C1 → C2

F ([x]) := [x].

F esta bien definida: [x] = [y] implica xy−1 ∈ A luego xy−1 ∈ A/H, es decir,x y −1 ∈ A/H, con lo cual [x] = [y] y ası F ([x]) = F ([y]).

F es inyectiva: F ([x]) = F ([y]) implica [x] = [y], de donde x y −1 ∈ A/H por lotanto xy−1 ∈ A y de esta manera [x] = [y]. F es obviamente sobreyectiva.

4.4. Teoremas de isomorfismo

El primer teorema fundamental de isomorfismo combinado con el teorema de corres-pondencia permite determinar las imagenes homomorfas de Zn, n ≥ 2.

Teorema 4.4.1 (Primer teorema fundamental de isomorfismo). Sea G ungrupo y sean H y K subgrupos normales de G tales que H ≤ K. Entonces K/H EG/H y se tiene el isomorfismo

(G/H)/(K/H) ∼= G/K.

Demostracion. Podemos aplicar el teorema de factorizacion y el teorema fundamen-tal de homomorfismo para demostrar este importante teorema: en efecto el homo-morfismo canonico j : G → G/K se puede factorizar a traves del homomorfis-mo j1 : G → G/H debido a que H ⊆ K = ker(j) Denotamos los elementos deG/H mediante x := xH y los de G/K por x := xK, entonces θ : G/H → G/Kesta definido por θ(x) := x; puesto que j es sobreyectivo, entonces θ tambien loes, y segun el teorema fundamental de homomorfismo (G/K) ∼= (G/H)/ ker(θ)pero ker(θ) = {x ∈ G/H | x = 0} = {x ∈ G/H | x ∈ K} = K/H. Ası pues,(G/H)/(K/H) ∼= G/K.

Teorema 4.4.2 (Segundo teorema fundamental de isomorfismo). Sean G ungrupo, H ≤ G y K E G. Entonces,


HK/K ∼= H/H ∩K.

Demostracion. En primer lugar HK = KH: sea hk∈ HK, ya que K E G se tieneque hk = (hkh−1)h ∈ KH; ası pues, HK ⊆ KH. Sea ahora kh ∈ KH; entonceskh = h(h−1kh) ∈ HK ⇒ KH ⊆ HK y en consecuencia HK = KH. Esto garantizaque HK es un subgrupo de G. Como K E G entonces K E HK y tiene sentido elgrupo factor HK/K. Definimos la funcion

f : H → HK/Kh 7→ hK.

Probemos que f es un homomorfismo sobreyectivo con nucleo ker(f) = H ∩ K :f(h1h2) = (h1h2)K = h1Kh2K = f(h1)f(h2). Sea x ∈ HK/K. Entonces x es dela forma x = hkK = hK = f(h). Esto prueba que f es sobre. Sea x ∈ ker(f)entonces f(x) = xK = 1K, es decir, x ∈ K con lo cual x ∈ H ∩K. Esto estableceque ker(f) = H ∩K y el teorema esta demostrado.

Ejemplo 4.4.3. (i) Calculemos las imagenes homomorfas de Zn, n ≥ 0. Para n = 0,Z0 = Z, segun vimos, en este caso las imagenes homomorfas son de la forma Zn,n ≥ 0. Sea n = 1, Z1 = 0, grupo con un solo elemento. Por tanto, las unicasimagenes homomorfas de Z1 son los grupos unitarios. Sea n ≥ 2, Zn = Z/ 〈n〉. Lasimagenes homomorfas de Zn segun el teorema fundamental de homomorfismo son dela forma Zn/H donde H es subgrupo normal de Zn. Como Zn es un grupo abelianoentonces todos sus subgrupos son normales. Segun el teorema de correspondencialos subgrupos de Zn = Z/ 〈n〉 son de la forma K/ 〈n〉 donde K es un subgrupo de Zque contiene al subgrupo 〈n〉. Los subgrupos de Z son de la forma 〈m〉. Ası pues, lossubgrupos de Zn = Z/ 〈n〉 son de la forma 〈m〉 / 〈n〉 donde 〈m〉 ⊇ 〈n〉. Notese que si〈n〉 ⊆ 〈m〉 entonces n = km, k ∈ Z, ⇒ m|n. Recıprocamente, si m|n ⇒ 〈n〉 ⊆ 〈m〉.En conclusion los subgrupos de Zn = Z/ 〈n〉 son de la forma 〈m〉 / 〈n〉 con m|n. Portanto las imagenes homomorfas de Zn = Z/ 〈n〉 son de la forma Z/ 〈n〉 / 〈m〉 / 〈n〉 ∼=Z/ 〈m〉 = Zm. Ası pues, las imagenes homomorfas de Zn son los subgrupos Zm conm|n. Por ejemplo, las imagenes homomorfas de Z12 son: Z1 = 0, Z2, Z3, Z4, Z6, Z12.

(ii) Sea G un grupo no unitario y sea H E G. Se dice que H es un subgruponormal maximal de G si se cumple que

H ≤ K y K E G ⇔ K = H o K = G,

en otras palabras, los unicos subgrupos normales de G que contienen H son G yH. Sea 〈G, ·, 1〉 un grupo simple, es decir, G es no trivial y los unicos subgruposnormales de G son los triviales: {1} y G. Probemos que H E G es maximal si,y solo si, G/H es simple: sea W un subgrupo normal de G/H, segun el teoremade correspondencia existe en G un subgrupo normal K que contiene H. Por ser Hnormal maximal K = H o K = G, es decir W = K/H = H/H o W = G/H, esdecir, los unicos subgrupos normales de G/H son los triviales. Sea ahora K ≤ G,


K E G, H ≤ K. Entonces segun el teorema de correspondencia K/H E G/H; comoeste ultimo es simple entonces K/H = {1} o K/H = G/H luego K/H = H/H oK/H = G/H por lo tanto K = H o K = G, con lo cual H es maximal normal.

(iii) Calculemos las imagenes homomorfas del grupo de Klein

V = {1, a, b, ab}, a2 = 1, b2 = 1, ab = ba.

V es un grupo de orden 4. Por tanto, sus subgrupos son de ordenes 1,2,4. Subgrupode orden 1 : H1 = {1}. Los subgrupos de orden 2 son necesariamente cıclicos:H2 = 〈a〉 = {1, a}, K2 = 〈b〉 = {1, b}, L2 = 〈ab〉 = {1, ab}. Ası pues, los subgruposde orden 2 son H2 = 〈a〉, K2 = 〈b〉, L2 = 〈ab〉. Hay un unico subgrupo de orden 4:V . De lo anterior obtenemos que todos los subgrupos de V son normales. Ası, lasimagenes homomorfas de V son: V/H1

∼= V , V/H2∼= V/K2

∼= V/L2∼= Z2, V/V = 1.

(iv) Notemos que V es un grupo abeliano de orden 4 al igual que Z4. Sin embargo,V no es isomorfo a Z4 ya que este ultimo es cıclico. Tenemos pues dos grupos distintosde orden 4. Nos preguntamos si existen otros grupos de orden 4 diferentes (noisomorfos) a Z4 y V . La respuesta es no: como V es de orden 4, V es necesariamenteabeliano. En efecto, probemos que si G es un grupo de orden ≤ 5 entonces G esabeliano:

|G| = 1 ⇒ G es un grupo unitario y por ende abeliano.|G| = 2 ⇒ G es un grupo cıclico ⇒ G ∼= Z2 ⇒ G es abeliano.|G| = 3 ⇒ G es un grupo cıclico ⇒ G ∼= Z3 ⇒ G es abeliano.|G| = 4, si G es cıclico ⇒ G ∼= Z4 ⇒ G es abeliano.|G| = 5 ⇒ G es un grupo cıclico ⇒ G ∼= Z5 ⇒ G es abeliano.Volvemos al caso |G| = 4 y G no es cıclico. Entonces cada elemento de G es de

orden 1 o 2 (no hay elementos de orden 4 ya que de lo contrario G serıa cıclico). Deesto concluimos que G = {1, a, b, ab}, a2 = 1, b2 = 1, ab = ba, es decir, G es el grupode Klein.

(v) Determinemos la imagenes homomorfas de D4: recordemos que D4 = {1, f, f 2

f 3, g, fg, f 2g, f 3g}. La tabla de D4 ayuda a determinar los subgrupos de D4 (veaseel capıtulo 3). 1 es el unico subgrupo de orden 1. Los subgrupos de orden 2 son losdeterminados por las permutaciones de orden 2:

〈g〉 , 〈f 2〉 , 〈fg〉 , 〈f 2g〉 , 〈f 3g〉 son los subgrupos de orden 2.

Los subgrupos de orden 4 son de dos tipos: unos isomorfos a Z4 y otros isomorfosal grupo de Klein, V : elementos de orden 4: f , f 3. Pero 〈f〉 = 〈f 3〉 ∼= Z4. Sub-grupos isomorfos a V = {1, a, b, ab}, a2 = 1, b2 = 1, ab = ba. a puede tomar losvalores f 2, g, fg, f 2g, f 3g; lo mismo ocurre para b. Se presentan entonces 5·4

2= 10

combinaciones posibles:1) a = f 2, b = g ⇒ K4 = {1, f2, g, f 2g};2) a = f 2, b = fg ⇒ H4 = {1, f2, fg, f3g};3) a = f 2, b = f 2g ⇒ K4;


4) a = f 2, b = f 3g ⇒ H4;

5) a = g, b = fg, descartado ya que g(fg) 6= (fg)g;

6) a = g, b = f 2g ⇒ K4;

7) a = g, b = f 3g, descartado ya que g(f 3g) 6= (f 3g)g;

8) a = fg, b = f 2g, descartado ya que (fg)(f 2g) 6= (f 2g)(fg);

9) a = fg, b = f 3g ⇒ H4;

10) a = f 2g, b = f 3g, descartado ya que (f 2g)(f 3g) 6= (f 3g)(f 2g).

Subgrupos de orden 4: Isomorfos a Z4 : 〈f〉 ; isomorfos a V: K4, H4.

Unico subgrupo de orden 8: D4.

En resumen se obtiene lo siguiente: 〈f〉 ∼= Z4;

K4∼= H4

∼= V ;

〈g〉 ∼= 〈f 2g〉 ∼= 〈f 2〉 ∼= 〈f 3g〉 ∼= 〈fg〉 ∼= Z2.

De otra parte, 1 y D4 son automaticamente subgrupos normales de D4.

Ademas, K4, H4 y 〈f〉 son tambien normales ya que su ındice en D4 es 2.

〈g〉 no es subgrupo normal de D4 ya que f−1gf = f 3gf = f 2g /∈ 〈g〉;〈fg〉 no es subgrupo normal de D4 ya que g−1(fg)g = f 3g /∈ 〈fg〉;〈f 2g〉 no es subgrupo normal de D4 ya que f−1(f 2g)f = g /∈ 〈f 2g〉;〈f 3g〉 no es subgrupo normal de D4 ya que f−1(f 3g)f = fg /∈ 〈f 3g〉;〈f 2〉 E D4 ya que f−1f 2f = f 2; (f 2)−1f 2f 2 = f 2; (f 3)−1f 2f 3 = f 2; g−1f 2g = f 2;

(fg)−1f 2(fg) = f 2 ; (f 2g)−1f 2(f 2g) = f 2; (f 3g)−1f 2(f 3g) = f 2.

Subgrupos normales de D4 : 1, D4, 〈f 2〉, 〈f〉, K4, H4.

Las imagenes homomorfas de D4 (salvo isomorfismo) son:

D4/1 = D4; D4/ 〈f〉 = Z2; D4/K4∼= D4/H4

∼= Z2; D4/D4 = 1.

Para 〈f 2〉 se tiene que D4/ 〈f 2〉 ∼= Z4 o D4/ 〈f 2〉 ∼= V . La primera posibilidades descartada ya que en D4/ 〈f 2〉 no hay elementos de orden 4: en efecto, en D4

todos los elementos salvo 1, f 2, f 3 son de orden 2. Ademas, para estos ultimos se

tiene que |1| = 1,∣∣f ∣∣ = 2,

∣∣∣f 3

∣∣∣ = 2. Por tanto, D4/ 〈f 2〉 ∼= V , esta es la otra imagen

homomorfa de D4.

(vi) Calculemos las imagenes homomorfas del grupo de los cuaterniones deHamilton Q8: el grupo Q8 es de orden 8 y puede ser definido por las siguientesrelaciones:

Q8 = 〈a, b | a4 = 1, b2 = a2, bab−1 = a−1〉,Q8 = {1, a, a2, a3, b, ab, a2b, a3b}.

La tabla para Q8 viene dada por


◦ 1 a a2 a3 b ab a2b a3b1 1 a a2 a3 b ab a2b a3ba a a2 a3 1 ab a2b a3b ba2 a2 a3 1 a a2b a3b b aba3 a3 1 a a2 a3b b ab a2bb b a3b a2b ab a2 a 1 a3

ab ab b a3b a2b a3 a2 a 1a2b a2b ab b a3b 1 a3 a2 aa3b a3b a2b ab b a 1 a3 a2

ba = a−1b = a3b; ba2 = (ba)a = (a3b)a = a3(ba) = a3(a3b) = a2b; etcSubgrupos de Q8: los subgrupos de Q8 tienen orden 1, 2, 4, 8:Subgrupo de orden 1: 1;Subgrupo de orden 8: Q8;Subgrupos de orden 2: cıclicos y estan generados por los elementos de orden 2:〈a2〉 es el unico subgrupo de orden 2.Subgrupos de orden 4: cıclicos : 〈a〉 = 〈a3〉; 〈b〉 = 〈a2b〉, 〈ab〉 = 〈a3b〉; no cıclicos :

son de la forma V = {1, x, y, xy}, donde x2 = y2 = 1, xy = yx. Pero en Q8 solo hayun elemento de orden 2. Por tanto, Q8 no tiene subgrupos de orden 4 no cıclicos.

Subgrupos normales: Los subgrupos normales 1 y Q8 son normales. Los subgru-pos de orden 4 〈a〉, 〈b〉 , 〈ab〉 son tambien normales por ser de ındice 2.

〈a2〉 = {a2, 1} : 1a21−1 = a2; aa2a−1 = aa2a3 = a2; a2a2a2 = a2; a3a2(a3)−1 =a3a2a = a2; ba2b−1 = a2; aba2(ab)−1 = a2; a2ba2(a2b)−1) = a2; a3ba2(a3b)−1 = a2,luego 〈a2〉 E Q8. Ası pues, en Q8 todos sus subgrupos son normales.

Imagenes homomorfas:Q8/1 ∼= Q8; Q8/ 〈a〉 ∼= Q8/ 〈b〉 ∼= Q8/ 〈ab〉 ∼= Z2; Q8/Q8

∼= Z1; Q8/ 〈a2〉 ∼= Vya que en Q8/〈a2〉 no hay elementos de orden 4:

|1| = 1, |a| = 2 : a 2 = a2 = 1.∣∣∣a2

∣∣∣ = 1,∣∣∣a3

∣∣∣ = 2: (a3) 2 = a6 = a2 = 1,∣∣b∣∣ = 2 : b 2 = b2 = a2 = 1,∣∣ab∣∣ = 2 : ab 2 = (ab)2 = a2 = 1;

∣∣∣a2b∣∣∣ = 2 : (a2b) 2 = (a2b)2 = 1;∣∣∣a3b

∣∣∣ = 2 : (a3b) 2 = (a3b)2 = a2 = 1.

Matricialmente Q8 se puede interpretar como Q8 = 〈A, B〉,

A =

[i 00 −i

], B =

[0 ii 0

],

i ∈ C, i2 = −1, A4 = E, B2 = A2, BAB−1 = A−1.


Notese que Q8 y D4 no son isomorfos, ya que en Q8 hay 6 elementos diferentesde orden 4: a, a3, b, a2b, ab, a3b, en cambio en D4 solo hay 2: f, f3. Otra forma deexplicar esto es que en Q8 todos sus sugrupos son normales, en cambio en D4 elsubgrupo 〈g〉 no es normal.

Centro de Q8: a /∈ Z(Q8) ya que ab 6= ba luego 〈a〉 6= Z(Q8); b /∈ Z(Q8) conlo cual Z(Q8) 6= 〈b〉 ; ab /∈ Z(Q8) ya que (ab)a 6= a(ab) y entonces Z(Q8) 6= 〈ab〉.Segun lo anterior Z(Q8) 6= Q8. Notese que, Z(Q8) = 〈a2〉 ∼= Z2.

4.5. Ejercicios

1. Calcule las imagenes homomorfas del grupo GL2(R).

2. ¿Cuantos homomorfismos no triviales hay de D4 en Zp?, donde p es primo.

3. ¿Cuantos homomorfismos no triviales hay de Q8 en Zp?, donde p es primo.

4. Demuestre el corolario 4.2.4.



Capıtulo 5

Automorfismos

Los homomorfismos biyectivos de un grupo G en sı mismo se conocen como losautomorfismos de G. Estas funciones conforman un grupo que tiene informacionimportante relativa al grupo G.

5.1. Automorfismos interiores

Estudiamos en esta seccion la relacion entre los automorfismos de un grupo, susautomorfismos interiores y su centro. Recordemos que si G es un grupo, su centrosimbolizado por Z(G) es un subgrupo normal de G el cual esta definido por

Z(G) := {x ∈ G | xa = ax para cada a ∈ G}.

Notemos que G es abeliano si, y solo si, G = Z(G).Antes de demostrar el primer resultado importante de esta leccion definamos los

automorfismos, y en particular, los automorfismos interiores de un grupo.

Definicion 5.1.1. Sea (G, ·, 1) un grupo, un automorfismo de G es un homomor-fismo biyectivo de G en sı mismo. Sea x ∈ G; la funcion definida por

fx : G : → G

a 7→ x−1ax

es un automorfismo de G y se denomina automorfismo interior de G determi-nado por x.

Teorema 5.1.2. Sea (G, ·, 1) un grupo, Aut(G) su coleccion de automorfismos y seaInt (G) el conjunto de automorfismos interiores de G. Entonces,

(i) Aut(G) es un subgrupo del grupo S(G) de funciones biyectivas de G en G.

(ii) Int (G) E Aut (G).

53

54 CAPITULO 5. AUTOMORFISMOS

Demostracion. (i) La primera afirmacion es evidente.(ii) Int (G) ≤ Aut (G): Int (G) 6= ∅ ya que iG = f1 ∈ Int (G) . Sean x, y ∈ G.

Entonces fx ◦ fy = fyx, f−1x = fx−1 .

Int (G) E Aut (G): sea x ∈ G, h : G → G un automorfismo cualquiera de G.Entonces para cada a ∈ G,

h−1fxh(a) = h−1(fx(h(a))) = h−1(x−1h(a)x) = h−1(x−1)ah−1(x) =(h−1(x))−1ah−1(x) = fh−1(x)(a), es decir, h−1fxh = fh−1(x) ∈ Int (G).

Teorema 5.1.3. Sea G un grupo cualquiera. Entonces

G/Z (G) ∼= Int (G).

Demostracion. Consideremos la funcion

ϕ : G → Int (G)x 7→ fx−1 .

ϕ es un homomorfismo: ϕ(xy) = f(xy)−1 = fy−1x−1 = fx−1 ◦ fy−1 = ϕ(x) ◦ ϕ(y). ϕ esevidentemente sobre. Por ultimo, veamos que ker (ϕ) = Z (G) : sea x ∈ ker (ϕ),entonces fx−1 = iG luego xax−1 = a para cada a ∈ G, de donde x ∈ Z (G).Recıprocamente, si x ∈ Z (G) entonces x ∈ ker (ϕ). Por el teorema fundamentalde homomorfismo se tiene que G/Z (G) ∼= Int (G).

Corolario 5.1.4. G es abeliano ⇔ Int (G) = {iG}.

5.2. Teorema de Cayley

La importancia del teorema de Cayley radica en parte en que determina la cotasuperior

(n!n

)para el numero de grupos finitos no isomorfos de orden n.

Teorema 5.2.1. Sea G un grupo y sea S (G) el grupo de permutaciones del conjuntoG. Entonces G es isomorfo a un subgrupo de S (G).

Demostracion. Considerese la funcion

Ψ : G → S(G)

definida por Ψ(x) := %x, %x : G → G, %x(a) := xa. %x ∈ S(G) para cada x ∈ G:%x(a) = %x(b) por lo tanto xa = xb, es decir, %x es 1 − 1; sea y ∈ G entoncesy = %x(x

−1y). Ψ es un homomorfismo: Ψ(xy) = %xy, %xy(a) = xya = %x(%y(a)) luego%xy = %x · %y = Ψ(x)Ψ(y). Ψ es inyectiva: Ψ(x) = Ψ(y), entonces, x1 = y1, es decir,x = y.

5.3. EJEMPLOS 55

Corolario 5.2.2. Sea n ≥ 1. Existen a lo sumo(

n!n

)grupos no isomorficos de orden

n.

Demostracion. Sea G un grupo finito de orden n. Entonces G es isomorfo a unsubgrupo de Sn. Pero Sn tiene un numero finito de subgrupos de orden n, estenumero es menor que

(n!n

). Notese que el problema de determinar todos los grupos

no isomorfos de orden n se reducirıa a determinar todos los subgrupos no isomorfosde Sn con n elementos.

5.3. Ejemplos

Ejemplo 5.3.1. Automorfismos de grupos cıclicos: (i) Grupo cıclico infinito Z: seaf ∈ Aut(Z). Como f es un automorfismo, la imagen de cada generador de Z esnuevamente un generador de Z, mas generalmente, si G es un grupo cıclico congenerador a y f ∈ Aut (G) entonces f (a) es un generador de G. En efecto, dadox ∈ G existe y ∈ G tal que x = f(y) ⇒ x = f(at) = f(a)t.

Puesto que Z tiene solo dos generadores entonces se presentan dos posibilidadespara f , f(1) = 1 o f(1) = −1, en el primer caso f(k) = k y en el segundo f(k) = −k,para cada k, por lo tanto Aut(Z) ∼= Z2.

(ii) Grupo cıclico finito de orden n, Zn: recordemos que el grupo Zn se obtuvo apartir de Z por medio de una relacion de equivalencia

a ≡ b ⇔ n|(a− b), a, b ∈ Z.

En otras palabras Zn es el grupo cociente Z/ 〈n〉. En Zn se puede definir un productoy convertirlo ası en un semigrupo multiplicativo:

r s = rs, para 0 ≤ r, s < n.

Es sencillo verificar que el producto esta correctamente definido. Ademas, este pro-ducto es asociativo con elemento neutro 1, luego se tiene el monoide

(Zn, ·, 1

). Aso-

ciado a todo monoide se tiene su grupo de elementos invertibles Z∗n. Notese que

Z∗n = {r| (r, n) = 1, 1 ≤ r < n}.

En efecto,

r ∈ Z∗n ⇔ ∃s ∈ Zn tal que r s = 1 ⇔ rs = 1 ⇔ n| (rs− 1) ⇔ rs− 1 = nk con

k ∈ Z ⇔ (r, n) = 1.

Con la observacion anterior queremos probar que Aut(Zn) ∼= Z∗n.

Sea h : Zn → Zn un automorfismo de Zn. Como 1 genera a Zn entonces h(1) esun generador de Zn. Ası pues, tenemos tantos automorfismos como generadores tieneZn. Pero notese que r genera Zn si, y solo si, m.c.d.(r, n) = 1. Podemos entoncesdefinir


θ : Aut (Zn) −→ Z∗n

h 7−→ θ (h) = r

donde r = h(1).

θ es un homomorfismo: sean f y h automorfismos de Zn tales que f(1)

= r,h(1)

= s. Notese que θ (h ◦ f) = (h ◦ f)(1)

= h(f(1))

= h (r) = h(r1)

= rh(1)

= rs = rs1 = rs = sr = sr = θ (h) ◦ θ (f).θ es inyectiva: sea h ∈ Aut (Zn) con θ (h) = 1 entonces h

(1)

= 1 y h (r) = rpara cada 0 ≤ r < n por lo tanto h = iZn .

θ es sobre: sea r ∈ Z∗n y sea h definido por h (s) := sr. Notese que h

(1)

= r yademas h ∈ Aut (Zn), con lo cual θ (h) = r.

Ejemplo 5.3.2. El grupo de automorfismos de un grupo finito es finito: Sea G ungrupo de orden n. Notese que Aut (G) ≤ S (G) ∼= Sn luego |Aut (G)| | |Sn| = n!.Mas exactamente, |Aut (G)| | (n− 1)! ya que para cada f ∈ Aut (G) , f (1) = 1.

Ejemplo 5.3.3. El grupo de automorfismos de un grupo conmutativo puede ser noconmutativo: Consideremos el grupo de Klein: V = {1, a, b, ab} , a2 = 1, b2 = 1, ab =ba. Segun el ejemplo anterior |Aut (V )| = 1, 2, 3, 6.

Facilmente se comprueba que las siguientes funciones son automorfismos de V yademas diferentes:

iG :(1 a b ab1 a b ab

), f =

(1 a b ab1 b ab a

)g :(1 a b ab1 a ab b

), f 2 =

(1 a b ab1 ab a b

)fg =

(1 a b ab1 b a ab

), f 2g =

(1 a b ab1 ab b a

).

Entonces, Aut (V ) ∼= S3.

Ejemplo 5.3.4. Dos grupos no isomorfos pueden tener grupos de automorfismosisomorfos: Aut (Z3) ∼= Z2

∼= Aut (Z).

Ejemplo 5.3.5. Aut (D4): en el capıtulo 6 estudiaremos los automorfismos delgrupo diedrico Dn. Segun se vera alla |D4| = 4ϕ (4) = 8; Int (D4) ∼= V y ademasAut (D4) ∼= D4. Explıcitamente los automorfismos de D4 son:

T1,0 : D4 → D4

fαgβ 7→ fα(f 0g)β = fαgβ

T1,0 = iD4

T1,1 : D4 → D4

fαgβ 7→ fα(fg)β

T1,1 =(1 f f2 f3 g fg f2g f3g1 f f2 f3 fg f2g f3g g

)T1,2 : D4 → D4

fαgβ 7→ fα(f 2g)β

5.3. EJEMPLOS 57

T1,2 =(1 f f2 f3 g fg f2g f3g1 f f2 f3 f2g f3g g fg

)T1,3 : D4 → D4

fαgβ 7→ fα(f 3g)β

T1,3 =(1 f f2 f3 g fg f2g f3g1 f f2 f3 f3y g fg f2g

)T3,0 : D4 → D4

fαgβ 7→ (f 3)α

(f 0g)β

T3,0 =(1 f f2 f3 g fg f2g f3g1 f3 f2 f g f3g f2g fg

)T3,1 : D4 → D4

fαgβ 7→ (f 3)α

(fg)β

T3,1 =(1 f f2 f3 g fg f2g f3g1 f3 f2 f fg g f3g f2g

)T3,2 : D4 → D4

fαgβ 7→ (f 3)α

(f 2g)β

T3,2 =(1 f f2 f3 g fg f2g f3g1 f3 f2 f f2g fg g f3g

)T3,3 : D4 → D4

fαgβ 7→ (f 3)α

(f 3g)β

T3,3 =(1 f f2 f3 g fg f2g f3g1 f3 f2 f f3g f2g fg g

).

Ejemplo 5.3.6. Aut (Q): sea f ∈ Aut (Q) y seapo

qo

= f (1) , (po, qo) = 1. Entonces

f (p/q) = pf (1/q) ⇒ qf (p/q) = pf (1) luego f(p/q) =p

qf (1). Lo anterior permite

establecer la funcion

τ : Aut(Q) → Q∗

f 7→ f(1).

f(1) 6= 0 ya que f es 1− 1. τ es un homomorfismo de grupos:

τ (f ◦ g) = (f ◦ g) (1) = f [g(1)] = f

(p1

q1

), donde g(1) =

p1

q1

. Sea f(1) =po

qo

,

entonces f

(p1

q1

)=

p1

q1

f(1) luego τ(f ◦ g) = τ(f)τ(g).

τ es 1− 1: f(1) = g(1) ⇒ f(p/q) =p

qf(1) =

p

qg(1) = g

(p

q

)entonces f = g.

τ es sobre: seap0

q0

6= 0 un racional. Definimos

f : Q → Qp

q7→ p

q

p0

q0

.

Notese que f(1) =p0

q0

, es decir, τ(f) =p0

q0

. Veamos que f ∈ Aut(Q):


f

(p

q+

r

s

)= f

(ps + qr

qs

)=

(ps + qr

qs

)p0

q0

=p

q

p0

q0

+r

s

p0

q0

= f

(p

q

)+ f

(r

s

);

si f

(p

q

)= 0 entonces

p

q

p0

q0

= 0, entonces p = 0 luegop

q= 0.

Sear

s∈ Q; entonces f

(r

s

q0

p0

)=

r

s, es decir, f es sobre, luego Aut (Q) ∼= Q∗.

Ejemplo 5.3.7. Calculamos en este ejemplo Aut (Q8). Sea F : Q8 → Q8 un auto-morfismo de Q8. Puesto que en Q8 = 〈a, b | a4 = 1, b2 = a2, ba = a−1b〉 el unico ele-mento de orden 2 es a2, entonces F (a2) = a2 , ademas, F (1) = 1, luego F realmentepermuta los 6 elementos restantes, a saber: a, a3, b, ab, a2b, a3b. Esto parece mostraruna relacion de Aut(Q8) con el grupo de permutaciones S4. En realidad se vera queAut (Q8) ∼= S4. Cada F viene determinado por su accion sobre los generadores a, b.Puesto que tanto a como b son de orden 4, entonces F (a) = a, a3, b, ab, a2b, a3b yF (b) = a, a3, b, ab, a2b, a3b. Esto genera 36 posibilidades, de las cuales solo 24 corre-sponden a funciones biyectivas:

F (a) = a F (b) = a Descartada ya que F debe ser biyectiva

F (a) = a F (b) = a3 Descartada ya que entonces F (a3) = a3

F1(a) = a F1(b) = b ⇒ F1(a3) = a3, F1(ab) = ab, F1(a2b) = a2b, F1(a3b) = a3b

F2(a) = a F2(b) = ab ⇒ F2(a3) = a3, F2(ab) = a2b, F2(a2b) = a3b, F2(a3b) = b

F3(a) = a F3(b) = a2b ⇒ F3(a3) = a3, F3(ab) = a3b, F3(a2b) = b, F3(a3b) = ab

F4(a) = a F4(b) = a3b ⇒ F4(a3) = a3, F4(ab) = b, F4(a2b) = ab, F4(a3b) = a2b

F (a) = a3 F (b) = a Descartada ya que F (a3) = a

F (a) = a3 F (b) = a3 Descartada ya que F debe ser biyectiva

F5(a) = a3 F5(b) = b ⇒ F (a3) = a, F5(ab) = a3b, F5(a2b) = a2b, F5(a3b) = ab

F6(a) = a3 F6(b) = ab ⇒ F6(a3) = a, F6(ab) = b, F6(a2b) = a3b, F6(a3b) = a2b

F7(a) = a3 F7(b) = a2b ⇒ F7(a3) = a, F7(ab) = ab, F7(a2b) = b, F7(a3b) = a3b

F8(a) = a3 F8(b) = a3b ⇒ F8(a3) = a, F8(ab) = a2b, F8(a2b) = ab, F8(a3b) = b

F9(a) = b F9(b) = a ⇒ F9(a3) = a2b, F9(ab) = a3b, F9(a2b) = a3, F9(a3b) = ab

F10(a) = b F10(b) = a3 ⇒ F10(a3) = a2b, F10(ab) = ab, F10(a2b) = a, F10(a3b) = a3bF (a) = b F (b) = b Descartada ya que F debe ser biyectiva

F11(a) = b F11(b) = ab ⇒ F11(a3) = a2b, F11(ab) = a, F11(a2b) = a3b, F11(a3b) = a3

F (a) = b F (b) = a2b Descartada ya que F (ba) = 1 = F (a3b) = F (1)

F12(a) = b F12(b) = a3b ⇒ F12(a3) = a2b, F12(ab) = a3, F12(a2b) = ab, F12(a3b) = a

F13(a) = ab F13(b) = a ⇒ F13(a3) = a3b, F13(ab) = b, F13(a2b) = a3, F13(a3b) = a2b

F14(a) = ab F14(b) = a3 ⇒ F14(a3) = a3b, F14(ab) = a2b, F14(a2b) = a, F14(a3b) = b

F15(a) = ab F15(b) = b ⇒ F15(a3) = a3b, F15(ab) = a3, F15(a2b) = a2b, F15(a3b) = aF (a) = ab F (b) = ab Descartada ya que F es biyectiva

F16(a) = ab F16(b) = a2b ⇒ F16(a3) = a3b, F16(ab) = a, F16(a2b) = b, F16(a3b) = a3

F (a) = ab F (b) = a3b Descartada ya que F (ba) = 1 = F (a3b) = F (1)

F17(a) = a2b F17(b) = a ⇒ F17(a3) = b, F17(ab) = ab, F17(a2b) = a3, F17(a3b) = a3b

F18(a) = a2b F18(b) = a3 ⇒ F18(a3) = b, F18(ab) = a3b, F18(a2b) = a, F18(a3b) = ab

F (a) = a2b F (b) = b Descartada ya que F (ab) = 1 = F (1)

F19(a) = a2b F19(b) = ab ⇒ F19(a3) = b, F19(ab) = a3, F19(a2b) = a3b, F19(a3b) = a

F (a) = a2b F (b) = a2b Descartada ya que F es biyectiva

F20(a) = a2b F20(b) = a3b ⇒ F20(a3) = b, F20(ab) = a, F20(a2b) = ab, F20(a3b) = a3

F21(a) = a3b F21(b) = a ⇒ F21(a3) = ab, F21(ab) = a2b, F21(a2b) = a3, F21(a3b) = b

F22(a) = a3b F22(b) = a3 ⇒ F22(a3) = ab, F22(ab) = b, F22(a2b) = a, F22(a3b) = a2b

F23(a) = a3b F23(b) = b ⇒ F23(a3) = ab, F23(ab) = a, F23(a2b) = a2b, F23(a3b) = a3

F (a) = a3b F (b) = ab Descartada ya que F (ba) = 1 = F (a3b) = F (1)

F24(a) = a3b F24(b) = a2b ⇒ F24(a3) = ab, F24(ab) = a3, F24(a2b) = b, F24(a3b) = a

F (a) = a3b F (b) = a3b Descartada ya que F es biyectiva.

Ahora solo falta demostrar que estas 24 funciones biyectivas son homomorfismos,es decir, son los unicos automorfismos en Aut(Q8). Tendrıamos pues que las 24 per-mutaciones de los 6 elementos a, a3, b, ab, a2b, a3b corresponden a los automorfismosde Q8, quedando probado de esta manera que Aut (Q8) ∼= S4.

5.3. EJEMPLOS 59

Solo revisamos la funcion F24, las otras 22 se revisan de manera similar (noteseque la funcion F1 corresponde a la identica). Cada elemento de Q8 es de la formaarbs, donde 0 ≤ r ≤ 3, 0 ≤ s ≤ 1. Se debe entonces demostrar que F24(a

rbsapbq) =F24(a

rbs)F24(apbq). Consideremos dos casos:

(i) s = 0. Entonces, F24(arbsapbq) = F24(a

rapbq) = F24(ar+pbq). Si q = 0, entonces

F24(arbsapbq) = F24(a

r+p). Debemos entonces considerar 16 posibilidades, pero envista de la simetrıa de la situacion, basta tener en cuenta solo los siguientes 10 casos:

r = 0, p = 0 ⇒ F24(arbsapbq) = 1, F24(a

rbs)F24(apbq) = 1;

r = 0, p = 1 ⇒ F24(arbsapbq) = a3b, F24(a

rbs)F24(apbq) = a3b;

r = 0, p = 2 ⇒ F24(arbsapbq) = a2, F24(a

rbs)F24(apbq) = a2;

r = 0, p = 3 ⇒ F24(arbsapbq) = ab, F24(a

rbs)F24(apbq) = ab;

r = 1, p = 1 ⇒ F24(arbsapbq) = a2, F24(a

rbs)F24(apbq) = aa = a2;

r = 1, p = 2 ⇒ F24(arbsapbq) = ab, F24(a

rbs)F24(apbq) = a3ba2 = ab;

r = 1, p = 3 ⇒ F24(arbsapbq) = 1, F24(a

rbs)F24(apbq) = a3bab = 1;

r = 2, p = 2 ⇒ F24(arbsapbq) = 1, F24(a

rbs)F24(apbq) = a2a2 = 1;


rbs)F24(apbq) = a2ab = a3b;

r = 3, p = 3 ⇒ F24(arbsapbq) = a2, F24(a

rbs)F24(apbq) = abab = a2.

Para q = 1 entonces F24(arbsapbq) = F24(a

r+pb), se presentan entonces 16 posi-bilidades:



r = 0, p = 1 ⇒ F24(arbsapbq) = a3, F24(a

rbs)F24(apbq) = a3;

r = 0, p = 2 ⇒ F24(arbsapbq) = b, F24(a

rbs)F24(apbq) = b;

r = 0, p = 3 ⇒ F24(arbsapbq) = a, F24(a

rbs)F24(apbq) = a;

r = 1, p = 0 ⇒ F24(arbsapbq) = a3, F24(a

rbs)F24(apbq) = a3ba2b = a3;

r = 1, p = 1 ⇒ F24(arbsapbq) = b, F24(a

rbs)F24(apbq) = a3ba3 = b;

r = 1, p = 2 ⇒ F24(arbsapbq) = a, F24(a

rbs)F24(apbq) = a3bb = a;


rbs)F24(apbq) = a3ba = a2b;

r = 2, p = 0 ⇒ F24(arbsapbq) = b, F24(a

rbs)F24(apbq) = a2a2b = b;

r = 2, p = 1 ⇒ F24(arbsapbq) = a, F24(a

rbs)F24(apbq) = a2a3 = a;



r = 2, p = 3 ⇒ F24(arbsapbq) = a3, F24(a

rbs)F24(apbq) = a2a = a3;

r = 3, p = 0 ⇒ F24(arbsapbq) = a, F24(a

rbs)F24(apbq) = aba2b = a;


rbs)F24(apbq) = aba3 = a2b;

r = 3, p = 2 ⇒ F24(arbsapbq) = a3, F24(a

rbs)F24(apbq) = abb = a3;

r = 3, p = 3 ⇒ F24(arbsapbq) = b, F24(a

rbs)F24(apbq) = aba = b.

(ii) s = 1. Entonces, F24(arbsapbq) = F24(a

r+3pbq+1). Al igual que en el caso (i) sedebe considerar por separado cuando q = 0 y cuando q = 1. Revisemos en calidadde ilustracion el caso r = 3, p = 3, q = 1: F24(a

rbsapbq) = F24(a12b2) = F24(a

2) =a2, F24(a

rbs)F24(apbq) = aa = a2.


5.4. Ejercicios

1. Calcule Aut (S3).

2. Calcule Int(S3).

3. Calcule Int(V ).

4. Calcule Int(D4).

5. Calcule Int(Q8).

Capıtulo 6

Grupos de permutaciones

En el capıtulo anterior se probo que cada grupo G es isomorfo a un subgrupo delgrupo de permutaciones S(G). Cuando G = {x1, . . . , xn} es finito, el grupo depermutaciones se acostumbra a denotar Sn. En este caso los elementos x1, . . . , xn

pueden ser reemplazados por los naturales 1, . . . , n. Ası pues, Sn es el grupo de todaslas funciones biyectivas del conjunto In := {1, 2, . . . , n}.

En este capıtulo estudiaremos con algun detalle al grupo Sn, denominado gruposimetrico de grado n. Destacamos en Sn algunos subgrupos importantes: el grupoalternante An y el grupo diedrico de grado n, Dn.

6.1. Ciclos

Definicion 6.1.1. Sea f un elemento de Sn. Se dice que f es un ciclo de longitudm, (1 ≤ m ≤ n), si existen a1, a2, . . . , am elementos diferentes de In tales que

1. f(a1) = a2, f(a2) = a3, . . . , f(am−1) = am, f(am) = a1,

2. f(x) = x para x /∈ {a1, . . . , am}.

Se denota a f por

f = (a1a2 · · · am) = (a2a3 · · · ama1) = (a3a4 · · · ama1a2) = · · · = (ama1a2 · · · am−1).

Notese que un ciclo de longitud 1 es la identica de In.Sean f = (a1 . . . am) y g = (b1 . . . br) dos ciclos de Sn. Se dice que f y g son dos

ciclos disyuntos si {a1, a2, . . . , am}∩{b1, b2, . . . , br} = ∅. Notese que las siguientespermutaciones f y g de S7 son ciclos disyuntos:

f =

(1 2 3 4 5 6 72 3 1 4 5 6 7

)= (123),

g =

(1 2 3 4 5 6 71 2 3 5 7 4 6

)= (4576).

61

62 CAPITULO 6. GRUPOS DE PERMUTACIONES

Proposicion 6.1.2. En Sn el producto de ciclos disjuntos conmuta.

Demostracion. Sean f = (a1 · · · am) y g = (b1 · · · br) dos ciclos disyuntos de Sn. SeanA := {a1, . . . , am} y B := {b1, . . . , br}. Sean A1 := In − A y B1 := In − B. Dadox ∈ In existen tres posibilidades:

(i) x ∈ A: entonces f(x) ∈ A, f(x) /∈ B luego g(f(x)) = f(x); g(x) = x implicaf(g(x)) = f(x) y fg(x) = gf(x).

(ii) x ∈ B: es analogo al anterior.

(iii) x /∈ A y x /∈ B entonces f(x) = x, g(x) = x de donde fg(x) = x = gf(x).

De (i), (ii) y (iii) se desprende que fg = gf .

La importancia de la anterior proposicion se pone de manifiesto en el siguienteteorema.

Teorema 6.1.3. (i) Sea f = (a1 · · · am) un ciclo de longitud m de Sn. Entonces

|f | = m.

(ii) Sea f = f1 · · · ft una permutacion de Sn, donde f1, . . . , ft son ciclos disyuntosde longitudes m1, . . . ,mt, respectivamente. Entonces

|f | = m.c.m.(m1, . . . ,mt).

Demostracion. (i) Probemos en primer lugar que fm = 1: si x /∈ {a1, . . . , am} en-tonces f(x) = x luego fm(x) = x. Sea aj ∈ {a1, . . . , am}, 1 ≤ j ≤ m, f sepuede expresar tambien como f = (ajaj+1 · · · ama1a2 · · · aj−1) entonces f(aj) =aj+1; f

2(aj) = aj+2; · · · ; fm−1(aj) = aj−1; fm(aj) = aj;, es decir, fm actua tam-

bien como la identica sobre los elementos de {a1, . . . , am}.El orden de f es el menor entero positivo k tal que fk = 1. Supongase que existe

1 ≤ k < m tal que fk = 1. Por lo tanto, f(a1) = a2, f2(a1) = a3, . . . , f

k−1(a1) =ak, f

k(a1) = a1 = f(ak) = ak+1, pero esto es una contradiccion ya que los elementosdel ciclo f son diferentes. Lo anterior prueba que |f | = m.

(ii) La demostracion se efectua por induccion sobre t.t = 1: la afirmacion es consecuencia de (i).t = 2: f = f1f2, donde f1 y f2 son ciclos disyuntos de longitudes m1 y m2

respectivamente. Segun la proposicion 6.1.2, f1f2 = f2f1. Ademas, 〈f1〉 ∩ 〈f2〉 = 1.En efecto, sea g 6= 1 tal que g = f s

1 = f r2 con 1≤ s < m1 y 1≤ r < m2. Sea

f1 = (a1 · · · am). Puesto que g 6= 1 existe x ∈ In tal que g(x) 6= x. Necesariamentex ∈ {a1, . . . , am}. Sea pues x = aj ⇒ f s

1 (aj) 6= aj pero f r2 (aj) = aj, contradiccion.

Ası pues, 〈f1〉 ∩ 〈f2〉 = 1, f1f2 = f2f1 ⇒ |f1f2| = m.c.m.(m1, m2).

6.1. CICLOS 63

Supongamos que la afirmacion es cierta para t: sea f = f1f2 · · · ftft+1, dondef1, f2, . . . , ft, ft+1 son ciclos disyuntos dos a dos y de longitudes m1, m2, . . . ,mt+1,respectivamente. Sea f ′ := f1f2 · · · ft. Entonces, f = f ′ft+1. Notese que 〈f ′〉 ∩〈ft+1〉 = 1. Ademas, f ′ft+1 = ft+1f

′; entonces

|f | = m.c.m.(|f ′|, mt+1) = m.c.m.(m.c.m.(m1, . . . ,mt), mt+1)= m.c.m.(m1, . . . ,mt+1).

Teorema 6.1.4. Cada permutacion f de Sn es representable como producto deciclos disyuntos dos a dos. Tal representacion es unica salvo el orden y la inclusionde ciclos de longitud 1.

Demostracion. La existencia se realiza por induccion sobre n.

n = 1: S1 solo posee un elemento, el cual es un ciclo de longitud 1.

Supongase que la afirmacion es valida para toda permutacion de un conjuntode m elementos con m < n. Sea f ∈ Sn. Si f es un ciclo entonces no hay nadaque probar. Sea f una permutacion que no es un ciclo. Esto en particular implicaque f 6= 1. Existe entonces a1 ∈ In tal que f(a1) 6= a1. Cosideremos la sucesionf(a1), f

2(a1), f3(a1), . . . . En esta sucesion se tiene un numero finito de elementos

diferentes de In debido a que para cada k ≥ 1, fk(a1) ∈ In y In es finito. Por lotanto existen r y p enteros positivos diferentes (por ejemplo r > p) tales que

fp(a1) = f r(a1), luego f r−p(a1) = a1.

Sea A := {r ∈ N | f r(a1) = a1}. Segun lo dicho anteriormente, A 6= ∅. Como A ⊂ N yN es bien ordenado A posee entonces primer elemento k, es decir, k es el menor enteropositivo tal que fk(a1) = a1. Los elementos f(a1), f

2(a1), . . . , fk−1(a1), f

k(a1) = a1

son diferentes, ya que en caso contrario existirıa un s < k tal que f s(a1) = a1. Lapermutacion f determina ası el k-ciclo g = (a1a2 · · · ak), donde

a2 = f(a1), a3 = f(a2) = f 2(a1), . . . , ak = f(ak−1) = fk−1(a1), a1 = f(ak) = fk(a1).

Consideremos la permutacion f1 ∈ Sn definida por f1(ai) = ai, 1 ≤ i ≤ k , f1(x) =f(x), x ∈ In − {a1, . . . , ak}. Notese que f = f1g. En efecto, si x ∈ {a1, . . . , ak}entonces sea x = aj para algun 1 ≤ j ≤ k. Si j < k entonces

g(x) = g(aj) = aj+1 ⇒ f1g(x) = f1(aj+1) = aj+1 = f(aj) = f(x).

Si j = k entonces

g(x) = g(ak) = a1 ⇒ f1g(x) = f1(a1) = a1 = f(ak) = f(x).


Ahora, si x /∈ {a1, . . . , ak} entonces g(x) = x, luego f1g(x) = f1(x) = f(x).Puesto que f1 fija los elementos a1, . . . , ak entonces f1 puede considerarse como

una permutacion del conjunto In − {a1, . . . , ak}. Por la hipotesis de induccion f1 esproducto de ciclos disyuntos conformados por los elementos de In−{a1, . . . , ak}. Entotal f es producto de ciclos disyuntos conformados por los elementos de In. Estocompleta la prueba de la primera afirmacion del teorema.

Probemos ahora la unicidad de la descomposicion: sean

f = (a11a12 · · · a1k1)(a21a22 · · · a2k2) · · · (ar1ar2 · · · arkr)

= (b11b12 · · · b1m1)(b21b22 · · · b2m2) · · · (bs1bs2 · · · bsms)

dos descomposiciones de f en producto de ciclos disyuntos. Notese que 1 ≤ r ≤n, 1 ≤ s ≤ n. Estamos considerando que los elementos de In que permanezcan fijosbajo f conforman ciclos de longitud 1, es decir,

1 ≤ ki ≤ n, 1 ≤ i ≤ r; 1 ≤ mj ≤ n, 1 ≤ i ≤ s.

En otras palabras, estamos considerando que

In = {a11, a12, . . . , a1k1 ; . . . ; ar1, ar2, . . . , arkr}= {b11, b12, . . . , b1m1 ; . . . ; bs1, bs2, . . . , bsms}.

El elemento a11 debe aparecer en alguno de los ciclos de la segunda descomposicion.Por la conmutatividad de los factores podemos asumir que a11 ∈ {b11, b12, . . . , b1m1}.Reordenando el ciclo (b11b12 · · · b1m1) podemos considerar sin perdida de generali-dad que a11 = b11. Segun el teorema 6.1.3, k1 es el menor entero positivo tal quefk1(a11) = a11. Se obtiene pues que k1 = m1 y ademas

f(b11) = b12 = f(a11) = a12; f(b12) = b13 = f(a12) = a13; . . . ;f(b1m1−1) = b1m1 = f(a1k1−1) = a1k1 ; f(b1m1) = b11 = f(a1k1) = a11,

es decir, (a11a12 · · · a1k1) = (b11b12 · · · b1m1). El mismo analisis podemos aplicar aa21, a31, . . . , ar1 demostrando que r ≤ s y la igualdad de ciclos. En forma similars ≤ r, lo cual concluye la prueba del teorema.

Ejemplo 6.1.5.

f =

(1 2 3 4 5 6 7 8 92 5 3 1 7 6 9 8 4

)⇒

f = (125794)(3)(6) = (125794);

g =

(1 2 3 4 5 6 7 8 93 6 4 1 2 5 8 7 9

)⇒

g = (134)(265)(78)(9) = (265)(134)(78) = (78)(134)(265) = (134)(78)(265) =(78)(265)(134) = (265)(78)(134).

6.2. EL GRUPO ALTERNANTE AN 65

6.2. El grupo alternante An

Definicion 6.2.1. Para n ≥ 2, los ciclos de longitud 2 de Sn se conocen comotransposiciones.

Teorema 6.2.2. Cada permutacion de Sn es representable como un producto finitode transposiciones.

Demostracion. Puesto que cada permutacion es representable como un producto deciclos disyuntos entonces es suficiente demostrar el teorema para cada ciclo. Seaf = (a1a2 · · · am) un m-ciclo. Si m = 1 entonces f = 1 y f = (a1a2)(a1a2). Sea puesm 6= 1. Notese que (a1a2 · · · am) = (ama1)(am−1a1) · · · (a2a1).

Observacion 6.2.3. (i) A diferencia del teorema 6.1.4, la representacion de unapermutacion en producto de transposiciones no es unica:(

1 2 3 4 52 4 5 3 1

)= (12435) = (51)(31)(41)(21) = (12)(52)(32)(42).

(ii) Segun el teorema anterior, cada permutacion f de Sn es representable comoun numero finito r de transposiciones; ademas se vio que dicha representacion noes unica. De tal manera que podrıa presentarse la posibilidad de que en una des-composicion r sea par y en otra r sea impar. Sin embargo, la siguiente proposicionmuestra que tal situacion es imposible.

Proposicion 6.2.4. Sea f una permutacion de Sn la cual tiene dos descomposi-ciones en producto de r y s transposiciones. Entonces, r es par si, y solo si, s espar.

Demostracion. Sea f una permutacion de Sn la cual tiene dos descomposiciones enproducto de transposiciones f = f1 · · · fr = f ′1 · · · f ′s r ≥ 1, s ≥ 1. Consideremosel natural p = Πj>i(j − i), i, j ∈ In (por ejemplo para n = 4 se tiene que p =(4− 3)(4− 2)(4− 1)(3− 2)(3− 1)(2− 1) = 12). Sea f una permutacion cualquierade Sn. Definamos la accion de f sobre p como pf = Πj>i(f(j)− f(i)).

Notese que pf es un entero (no necesariamente positivo como p); los factores(f(j)−f(i)) que conforman pf son diferencias de elementos de In y ademas |pf | = p.En efecto, demostraremos que si f = f1 · · · fr, donde cada fi, 1 ≤ i ≤ r, es unatransposicion, entonces

pf = (−1)rp.

(a) Sea f = (ab) una transposicion con a > b. Los factores (j − i) de p en los cualesno intervienen ni a ni b no cambian al aplicar f . Consideremos pues aquellos factoresdonde aparezcan a o b o ambos. Se presentan entonces las siguientes posibilidades.

(i) Factores donde aparece a pero no b:


(n− a), ((n− 1)− a), ((n− 2)− a) · · · ((a + 1)− a),(a− (a− 1)), (a− (a− 2)) · · · (a− (b + 1)), (a− (b− 1)) · · · (a− 1).

Al aplicar f a los factores de la primera fila obtenemos

(n− b), ((n− 1)− b) · · · ((a + 1)− b)

y no hay cambios de signo. Al aplicar f a los factores de la segunda fila obtenemos

(b− (a− 1)), (b− (a− 2)) · · · (b− (b + 1))(b− (b− 1)) · · · (b− 1)

y hay a− b− 1 cambios de signo.(ii) Los factores donde aparece b pero no a:

(n− b), ((n− 1)− b) · · · ((a + 1)− b)

((a− 1)− b), ((a− 2)− b) · · · ((b + 1)− b)

(b− (b− 1)) · · · (b− 1).

Aplicando f a los factores anteriores obtenemos

(n− a), ((n− 1)− a) · · · ((a + 1)− a)

((a− 1)− a), ((a− 2)− a) · · · ((b + 1)− a)

(a− (b− 1)) · · · (a− 1).

Se presentan en este caso a− b− 1 cambios de signo.(iii) Factor donde aparece a y b, (a− b); al aplicar f obtenemos (b− a) y hay un

cambio de signo.En total al aplicar f a p se efectuan 2(a− b− 1) + 1 cambios de signos y ası pf

tiene signo menos.Notese que los factores de (i) mediante f se convierten en los factores de (ii)

con algunos signos cambiados, y a su vez los de (ii) en los de (i) con algunos signoscambiados. De lo anterior se desprende que

pf = −p, f = (ab), a > b.

(b) Si f = f1 · · · fr es un producto de r transposiciones, entonces

pf = (pf1)f2 · · · fr = (−1)rp.

(c) pf = (−1)rp = (−1)sp, entonces (−1)r = (−1)s si, y solo si, r y s son pares o ry s son impares.

Segun la proposicion anterior se pueden distinguir aquellas permutaciones queson producto de un numero par de transposiciones.

6.3. SISTEMAS DE GENERADORES 67

Teorema 6.2.5. Sea n ≥ 2 y An := {f ∈ Sn | f es producto de un numero par detransposiciones}. Entonces, An E Sn y se denomina el grupo alternante o grupode permutaciones pares. Ademas, |An| = n!

2.

Demostracion. Claramente An 6= ∅. Ademas, segun la proposicion anterior el pro-ducto de dos permutaciones pares es par y la inversa de una permutacion par estambien par, con lo cual An ≤ Sn.

Probemos ahora que An es normal en Sn. Consideremos la funcion signo

sgn : Sn → Z∗

sgn(f) :=

{1, si f es par

−1, si f es impar.

sgn es un homomorfismo: sean f, g ∈ Sn. Entonces se presentan las siguientes posi-bilidades:

f y g pares: entonces fg es par y ası

sgn(fg) = 1 = sgn(f)sgn(g) = (1)(1).

f es par y g es impar: entonces fg es impar y ası

sgn(fg) = −1 = sgn(f)sgn(g) = 1(−1).

f es impar y g es par: analogo al anterior.f y g impares: entonces fg es par y ası

sgn(fg) = 1 = sgn(f)sgn(g) = (−1)(−1).

sgn es una funcion sobre:

sgn(1) = 1, sgn(ab) = −1; a, b ∈ In, a 6= b.

Segun el teorema fundamental de homomorfismo

Z∗ ∼= Sn/ ker(sgn),

pero ker(sgn) = An, ası pues, Z∗ ∼= Sn/An;⇒ |Sn : An| = 2 ⇒ An E Sn. Noteseademas que |An| = n!

2.

6.3. Sistemas de generadores

Ya hemos visto que el subconjunto de todos los ciclos y tambien el conjunto de todaslas transposiciones constituyen sistemas de generadores para Sn. Queremos ahoramostrar otros sistemas mas reducidos de generadores.


Proposicion 6.3.1. (i) Sn = 〈(12), (123 · · ·n)〉.

(ii) Sn = 〈(12), (13), . . . , (1n)〉.

Demostracion. Es suficiente demostrar la primera afirmacion, ya que

(123 · · ·n) = (1n) · · · (13)(12).

Sea f una permutacion de Sn. Entonces f es producto de ciclos disyuntos; basta puesprobar que cada ciclo esta en el generado por (12) y (123 · · ·n). Sea (a1a2 · · · am)un m-ciclo de Sn. Entonces (a1a2 · · · am) = (a1am) · · · (a1a2). Notese que cada trans-posicion (ab) se puede escribir como

(ab) = (1a)(1b)(1a).

Probemos entonces que para cada a, (1a) ∈ 〈(12), (123 · · ·n)〉:

a = 1 : (1a) = 1 = (12)(12);

a = 2 : (1a) = (12);

a = 3 : (13) = (21345 · · ·n)(12)(21345 · · ·n)−1.

Pero notese que

(21345 · · ·n) = (12)(123 · · ·n)(12);

por tanto

(13) = (21345 · · ·n)(12)(12)(123 · · ·n)−1(12),

(13) = (12)(123 · · ·n)(12)(123 · · ·n)−1(12).

En general, (1a), con a ≥ 3, se puede expresar como

(1a) = (2, 3, . . . , a− 2, a− 1, 1, a, a + 1, a + 2, . . . , n)(1, a− 1)(2, 3, . . . , a− 2,a− 1, 1, a, a + 1, a + 2, . . . , n)−1.

Por induccion suponemos que (1b) ∈ 〈(12), (123 · · ·n)〉, con b < a; entonces restaprobar que (2, 3 . . . , a−2, a−1, 1, a, a+1, a+2 . . . n) esta en el mencionado subgrupo.

(2, 3, . . . , a− 2, a− 1, 1, a, a + 1, a + 2, . . . , n) =(1, a− 1)(1, a− 2) · · · (13)(12)(123 · · ·n)(12)(13) · · · (1, a− 2)(1, a− 1).

Segun la hipotesis inductiva (1, a− 1), (1, a− 2), . . . , (13), (12) ∈ 〈(12), (123 · · ·n)〉.Esto completa la demostracion de la proposicion.

Proposicion 6.3.2. Para n ≥ 3, An coincide con con el subgrupo generado por los3-ciclos.

6.3. SISTEMAS DE GENERADORES 69

Demostracion. Sea f una permutacion par. Podemos agrupar las transposiciones def de dos en dos y probar que cada pareja ası constituida es producto de 3-ciclos.

Sean pues (a1a2) y (b1b2) dos transposiciones cualesquiera. Consideremos doscasos posibles:

(i) {a1, a2} ∩ {b1, b2} = ∅ :

(a1a2)(b1b2) = (b1b2)(a1b1)(a1b1)(a1a2)

= (b1b2)(b1a1)(a1a2b1)

= (b1a1b2)(a1a2b1)

ya que (a1b1) = (b1a1).

(ii) {a1, a2} ∩ {b1, b2} 6= ∅: si {a1, a2} = {b1, b2}, entonces (a1a2) = (b1b2) y(a1a2)(b1b2) = 1 = (abc)(abc)(abc); hemos utilizado el hecho de que n ≥ 3.

(iii) Si a1 = b1 pero a2 6= b2 entonces

(a1a2)(b1b2) = (a1a2)(a1b2) = (a1b2a2).

Si a1 = b2 pero a2 6= b1 entonces se obtiene un 3-ciclo como en el caso anterior.

Proposicion 6.3.3 (Teorema de Jordan). Sea f una permutacion cualquiera deSn. Entonces para cada ciclo (a1a2 · · · am) se tiene que

f−1(a1a2 · · · am)f = (f(a1)f(a2) · · · f(am)).

Demostracion. Puesto que cada permutacion es producto de transposiciones, es su-ficiente suponer que f es una pernutacion (αβ). Consideremos dos casos posibles:

(i) {α, β} ∩ {a1, a2, . . . , am} = ∅:

(αβ)(a1a2 · · · am)(αβ) = (a1a2 · · · am)(αβ)(αβ) = (a1a2 · · · am)

= (f(a1)f(a2) · · · f(am))

ya que f(ai) = ai para 1 ≤ i ≤ m.

(ii) {α, β} ∩ {a1, a2, . . . , am} 6= ∅: se presentan entonces dos situaciones:

(a) α ∈ {a1, a2, . . . , am}, β /∈ {a1, a2, . . . , am} : sea α = aj, 1 ≤ j ≤ m. En-tonces

(αβ)(a1 · · · aj−1ajaj+1 · · · am)(αβ) = (a1 · · · aj−1βaj+1 · · · am)

= (f(a1) · · · f(aj−1)f(aj)f(aj+1) · · · f(am))

(b) α, β ∈ {a1, a2, . . . , am}: sea α = aj, β = as, s 6= j, s < m, j < m. Entonces


(αβ)(a1 · · · aj · · · as · · · am)(αβ) = (a1 · · · aj−1as · · · as−1aj · · · am) =(f(a1) · · · f(aj−1)f(aj) · · · f(as−1)f(as) · · · f(am)).

Por ultimo, si por ejemplo j = m entonces α = am y

(αβ)(a1 · · · as−1as · · · am)(αβ) = (a1 · · · as−1amas+1 · · · as)

= (f(a1)f(a2) · · · f(as) · · · f(am)).

Ejemplo 6.3.4. Calculemos Z (Sn) y Z (An). Para n = 2, S2∼= Z2 luego Z (S2) =

S2; Z (A2) = A2.n ≥ 3 : si n = 3 entonces A3

∼= Z3 y Z (A3) = A3. Sea π un elemento cualquierade Sn, π 6= 1. Entonces π es producto de ciclos disjuntos:

π = (ij · · · ) (· · · ) · · · , donde i 6= j.

Como n ≥ 3 existe k 6= i, k 6= j; consideremos la trasposicion (jk). Notese queπ (jk) 6= (jk) π. En efecto, π (jk) i = j; (jk) πi = k. Por lo tanto, para cada π 6= 1en Sn, n ≥ 3, existe un elemento con el cual π no conmuta, luego Z (Sn) = 1, n ≥ 3.

Sea ahora n ≥ 4 y sea π = (ij · · · ) (· · · ) · · · un elemento de An diferente de 1.Sea ` 6= i, ` 6= j, ` 6= k y k escogido como antes. Entonces (jk`) ∈ An y ademasπ (jk`) 6= (jkl) π. En efecto, π (jkl) i = j 6= k = (jk`) πi; entonces para cadaπ 6= 1 en An, n ≥ 4, existe un elemento con el cual π no conmuta, por lo tantoZ (An) = 1, n ≥ 4.

6.4. El grupo diedrico Dn, n ≥ 3

Consideremos un polıgono regular de n ≥ 3 lados. Como ilustracion consideremosun pentagono y un hexagono: por simetrıas de un polıgono regular de n lados seentienden el siguiente conjunto de movimientos de dicho polıgono.

(i) n rotaciones en sentido contrario al movimiento de las manecillas del reloj atraves de los angulos 2πk

n, k = 0, 1, 2, . . . , n− 1.

(ii) n reflexiones correspondientes a los n ejes de simetrıa.

Para el caso en que n sea par los ejes de simetrıa son: (a) n2

lıneas obtenidas uniendo elcentro O del polıgono con cada uno de sus vertices 1, 2, . . . , n. (b) n

2lıneas obtenidas

uniendo el centro O con los puntos medios de los n lados del polıgono. Para el casoen que n es impar las n reflexiones corresponden a los n ejes de simetrıa obtenidosuniendo el centro O del polıgono con sus vertices.

6.4. EL GRUPO DIEDRICO DN , N ≥ 3 71

Este conjunto de 2n movimientos constituye un grupo bajo la operacion de com-posicion de movimientos, y se denomina el grupo diedrico de grado n el cual sedenota por Dn.

El grupo diedrico Dn como subgrupo de Sn: sea R1 la rotacion a traves del anguloθ := 2π

n. Esta rotacion corresponde a la permutacion de los vertices dada por

f =

(1 2 3 · · · n2 3 4 · · · 1

)= (123 · · ·n).

Si denotamos la rotacion a traves del angulo 2πkn

por Rk, k = 0, 1, 2, . . . , n, entoncesa Rk corresponde fk. Notese que R1 es un elemento de Dn de orden n: Rn

1 = R0,fn = 1.

Sea R′1 es la reflexion a traves del eje de simetrıa que pasa por el vertice 1. Esta

reflexion corresponde a la permutacion de los vertices dada por

g =

(1 2 3 · · · k · · · n− 1 n1 n n− 1 · · · n− k + 2 · · · 3 2

).

Notese que R′1 tiene orden 2: (R′

1)2 = R0, g2 = 1. Por ultimo, notese que fg es de

orden 2, de donde (fg)2 = 1, luego

gfg = f−1.

Generadores y relaciones del grupo diedrico: consideremos la rotacion y reflexion an-teriores las cuales podemos identificar con las permutaciones f y g, respectivamente.Desde luego que 〈f, g〉 ≤ Dn. Si probamos que |〈f, g〉| = 2n entonces tendrıamosque

Dn = 〈f, g〉, con fn = 1, g2 = 1, gfg = f−1. (6.4.1)

Sea x ∈ 〈f, g〉, entonces x tiene la forma

x = fk1gl1fk2gl2 · · · fkmglm , ki, li ∈ Z, 1 ≤ i ≤ m.

Puesto que f es un elemento de orden n y g un elemento de orden 2 podemosconsiderar que

x = fk1gl1fk2gl2 · · · fkmglm , con 0 ≤ ki ≤ n− 1, 0 ≤ li ≤ 1, 1 ≤ i ≤ m.

Como gf = f−1g, entonces cada elemento x ∈ 〈f, g〉 tiene la forma x = fkgl, con0 ≤ k ≤ n − 1, 0 ≤ l ≤ 1. Resultan 2n elementos. Comprobemos que ellos sondiferentes. Sean 0 ≤ k, r ≤ n − 1 y 0 ≤ l, s ≤ 1 tales que fkgl = f rgs entoncesf r−k = gs−l ∈ 〈f〉 ∩ 〈g〉 = 1 (de lo contrario g = fk, con 1 ≤ k ≤ n − 1, luegogf = fk+1 = f−1g, y de esta forma fk+2 = g = fk, es decir, f 2 = 1, lo cual es


falso). En consecuencia, n|(r−k). Siendo r y k con las condiciones dadas solo puedetenerse que r = k, y de esto resulta tambien que l = s.

De lo anterior obtenemos que

Dn = {1, f, f 2, . . . , fn−1, g, fg, . . . , fn−1g}. (6.4.2)

De otra parte, sea G un grupo generado por los elementos a y b tales que

an = 1 es decir, a es de orden n,

b2 = 1 es decir, b es de orden 2,

bab = a−1.

Entonces es posible repetir la prueba realizada anteriormente para comprobar queG tiene 2n elementos diferentes a saber

G = {1, a, a2, . . . , an−1, b, ab, . . . , an−1b}.

La funcion ϕ : G → Dn, definida por ϕ(akbl) = fkgl, 0 ≤ k ≤ n− 1, 0 ≤ l ≤ 1 es unisomorfismo de grupos.

Representacion matricial del grupo diedrico: consideremos en GL2(R) las matri-ces

A :=

[cos θ − sin θsin θ cos θ

],

B :=

[1 00 −1

],

con θ := 2πn

. Notese que A es de orden n y B es de orden 2. Ademas,[1 00 −1

] [cos θ − sin θsin θ cos θ

] [1 00 −1

]=

[cos θ sin θ− sin θ cos θ

],

es decir BAB = A−1. Esto indica que 〈A, B〉 es isomorfo al grupo diedrico. La matrizA representa la rotacion del sistema de coordenadas xy a traves de de un anguloθ = 2π

n; la matriz B representa una reflexion de dicho sistema.

Regla de multiplicacion en el grupo diedrico: notese que en Dn se tiene la siguienteregla de multiplicacion:

(fkgm)(fk′gm′) =

{fk+k′gm+m′

, si m = 0fk−k′gm+m′

, si m = 1.

Ejemplo 6.4.1. Algunos subgrupos de Dn. A partir de los generadores y las rela-ciones que definen Dn podemos presentar inmediatamente los siguientes subgrupos:de orden 1 el trivial 1 := {1}; de orde 2n el trivial Dn; de orden n tenemos al menos

6.5. SUBGRUPOS NORMALES DEL GRUPO DN , N ≥ 3 73

a 〈f〉 (como se observo, en D4, este no es el unico subgrupo de orden 4). Puesto que〈f〉 es cıclico entonces por cada divisor de n tendremos al menos un subgrupo deorden k.

Los subgrupos de orden 2 son:

〈fn2 〉 si n es par; 〈g〉, 〈fg〉, 〈f 2g〉, . . . , 〈fn−1g〉.

Ejemplo 6.4.2. Centro de Dn. Para todo 0 ≤ k ≤ n− 1, fkg /∈ Z(Dn) : en efecto,( fkg)f = fk−1g, f( fkg) = fk+1g. Si fuese fk−1g = fk+1g entonces f 2 = 1; peron ≥ 3 y fn = 1. De lo anterior obtenemos que Z(Dn) contiene solamente rotaciones:Sea fk ∈ Z(Dn) con 0 ≤ k ≤ n−1. Entonces fkg = gfk luego fkg = f−kg y f 2k = 1de donde n|2k. Cuando n es impar, k = 0 y Z(Dn) = 1. Sea n = 2m par. Como2m|2k entonces existe λ ≥ 1 tal que 2k = 2mλ ⇒ k = mλ. Si fuese λ ≥ 2 entoncesmλ ≥ 2m = n luego k ≥ n, contradiccion; por lo tanto, λ = 1 y k = n/2. De loanterior obtenemos que si x ∈ Z(Dn) entonces x es de la forma x = f

n2 . Veamos

que realmente en este caso par fn2 ∈ Z(Dn):

ffn2 = f

n2 f, gf

n2 = f−

n2 g = f

n2 g.

Obtenemos que fn2 conmuta con cada elemento de 〈f, g〉 = Dn, es decir, f

n2 ∈ Z(Dn).

De lo dicho obtenemos que

Z(Dn) =

{1, si n es impar

{1, f n2 } = 〈f n

2 〉, si n es par.

6.5. Subgrupos normales del grupo Dn, n ≥ 3

Sea N E Dn. Consideremos los siguientes casos posibles:

(i) n es impar y N no contiene reflexiones: en este caso N ≤ 〈f〉 y existe entoncesun divisor positivo k de n tal que N = 〈fk〉. Veamos que cada subgrupo deeste tipo es efectivamente normal en Dn:

(fαgβ)−1(fk)j(fαgβ) =

{f−kj, si β = 1fkj, si β = 0.

(ii) n es impar y en N hay al menos una reflexion: sea fkg en N , donde k es fijo ycumple 0 ≤ k ≤ n−1. Sea 0 ≤ r ≤ n−1, entonces (f r)−1(fkg)(f r) ∈ N , luegofk−2rg ∈ N . Tomando r = k se tiene que f−kg ∈ N y entonces f−2k ∈ N .Tomemos ahora r = k + 1, entonces fk−2(k+1)g = f−k−2g ∈ N y entoncesfkgf−k−2g = f 2k+2 ∈ N . De aquı resulta entonces que f 2 ∈ N . Como n esimpar, 〈f〉 = 〈f 2〉 ⊆ N , es decir, f ∈ N . Finalmente, f−k ∈ N y entoncesg ∈ N . Esto garantiza que N = Dn.


(iii) n es par y N no contiene reflexiones: razonando como en el caso impar seobtiene que existe entonces un divisor positivo k de n tal que N = 〈fk〉.

(iv) n es par y en N hay al menos una reflexion: sea n = 2t y sea fkg en N ,donde k es fijo y cumple 0 ≤ k ≤ n − 1. Al igual que en el caso imparpodemos concluir que f 2 ∈ N . Consideremos dos casos posibles: (a) g ∈ N :entonces el siguiente conjunto de n elementos distintos esta incluido en N :{f 2rgl | 0 ≤ r ≤ n

2−1, 0 ≤ l ≤ 1}. Si N posee al menos un elemento adicional,

entonces |N | ≥ n + 1 y esto implica que |N | = 2n. En efecto, |N | divide a 2ny entonces 2n = |N |a; si a ≥ 2 entonces |N |a ≥ 2|N |, luego 2n ≥ 2n + 2 , locual es falso. Ası pues, si N no posee al menos un elemento adicional, entoncesN es exactamente el subgrupo

N = {f 2rgl | 0 ≤ r ≤ n

2− 1, 0 ≤ l ≤ 1} =< f 2, g >∼= Dn

2.

En caso contrario, N coincide con Dn.

(b) g /∈ N : veamos que entonces necesariamente fg ∈ N . En efecto, k debeser impar, ya que de lo contrario k = 2u y entonces (f 2)−u = f−k ∈ N ,con lo cual f−kfkg = g ∈ N , lo cual es falso. Ası pues, k = 2w + 1 y estoimplica que f−2wfkg = fg ∈ N . Notese que entonces N contiene al conjunto{f 2k | 0 ≤ k ≤ n

2−1} y tambien al conjunto {f 2k+1g | 0 ≤ k ≤ n

2−1}, la reunion

de los cuales tiene n elementos. Como se vio anteriormente, si N posee al menosun elemento adicional, entonces N = Dn, en caso contrario N es exactamentela reunion de estos dos conjuntos. Pero notemos que la reunion de estos dosconjuntos es 〈f 2, fg〉.

En conclusion, los subgrupos normales de Dn se caracterizan de la siguiente manera:sea N E Dn, si n es impar, entonces N = Dn o N = 〈fk〉 con k|n; si n es par,entonces N = Dn o N = 〈fk〉 con k|n o N = 〈f 2, g〉 ∼= Dn

2o N = 〈f 2, fg〉 ∼= Dn

2.

6.6. Ejercicios

1. Demuestre que Int(Dn) =

{Dn, si n es imparDn

2, si n es par.

2. Calcule Int(Sn) para n ≥ 2.

3. Calcule Int(An) para n ≥ 2.

4. ¿Cuantos subgrupos normales tiene D21?

5. ¿Cuantos subgrupos normales tiene D12?

Capıtulo 7

Productos y sumas directas

El objetivo de este capıtulo es presentar la construccion del grupo producto carte-siano y su suma directa externa para una familia dada de grupos. Mostraremos comose definen el producto y la suma directa externa en el caso de una familia infinita. Seda ademas la definicion de suma directa interna de una familia finita de subgruposde un grupo dado, mostrando la relacion que esta guarda con el producto cartesiano.Las construcciones presentadas aquı serviran como base teorica para iniciar en elcapıtulo 10 el estudio de los grupos abelianos finitos.

7.1. Definicion

Sea {G1, . . . , Gn} una coleccion finita de grupos (tomados con notacion multiplica-tiva) y sea∏n

i=1 Gi := Gi × · · · ×Gn := {(xi, . . . , xn) | xi ∈ Gi, 1 ≤ i ≤ n}

el producto cartesiano conjuntista de la familia dada. Se pretende definir en∏n

i=1 Gi

una operacion binaria bajo la cual∏n

i=1 Gi tenga estructura de grupo.

Proposicion 7.1.1. Sea {G1, . . . , Gn} una familia finita de grupos y sea∏n

i=1 Gi elproducto cartesiano de los conjuntos Gi, 1 ≤ i ≤ n. El producto definido por

(x1, . . . , xn) (x′1, . . . , x′n) := (x1x

′1, . . . , xnx

′n)

da a∏n

i=1 Gi una estructura de grupo. La pareja (∏n

i=1 Gi, ·) ası constituida se de-nomina producto cartesiano de la familia {G1, . . . , Gn} .

Demostracion. En efecto, la asociatividad del producto se desprende de las respec-tivas propiedades asociativas de los productos definidos en los grupos Gi, 1 ≤ i ≤ n.Denotando por 1 el elemento neutro del grupo Gi, entonces 1 := (1, . . . , 1) es elelemento neutro del producto cartesiano. Ademas, si x−1

i denota el inverso de xi enGi entonces el inverso de x = (x1, . . . , xn) es x−1 = (x−1

1 , . . . , x−1n ).

75

76 CAPITULO 7. PRODUCTOS Y SUMAS DIRECTAS

Observacion 7.1.2. Si los grupos Gi, 1 ≤ i ≤ n, presentan notacion aditiva, en-tonces la operacion se denota por

(x1, . . . , xn) + (x′1, . . . , x′n) = (x1 + x′1, . . . , xn + x′n).

En este caso el neutro y los opuestos toman la forma

0 := (0, . . . , 0), − (x1, . . . , xn) = (−x1, . . . ,−xn) = −x.

Ejemplo 7.1.3. (i) Sean G1 = Z2 y G2 = Z3. Entonces los elementos de Z2 × Z3

son

Z2 × Z3 = {(0, 0), (0, 1), (0, 2), (1, 0), (1, 1), (1, 2)}.

Notese que |Z2 × Z3| = 6 = 2 · 3 = |Z2| . |Z3|. Mas aun, Z6∼= Z2 × Z3: Z2 × Z3

es un grupo cıclico con generador (1, 1): 1 (1, 1) = (1, 1) ; 2 (1, 1) = (0, 2); 3 (1, 1) =(1, 0) ; 4 (1, 1) = (0, 1); 5 (1, 1) = (1, 2) ; 6 (1, 1) = (0, 0).

(ii) Sean G1 = G2 = Z2. Entonces los elementos de Z2 × Z2 son

Z2 × Z2 = {(0, 0) , (0, 1) , (1, 0) , (1, 1)}.

Observemos que |Z2 × Z2| = 4 pero Z2 × Z2 no es isomorfo a Z4 :|(0, 0)| = 1, |(0, 1)| = |(1, 0)| = |(1, 1)| = 2, luego Z2 × Z2 no es cıclico, por lo

tanto, Z2 × Z2 no es isomorfo a Z4, y entonces Z2 × Z2∼= V .

Algunas propiedades del producto cartesiano se presentan a continuacion.

Proposicion 7.1.4. Sea {Gi}ni=1 una familia de grupos arbitrarios. Entonces:

(i) G1 ×G2∼= G2 ×G1.

(ii) G1 × · · · ×Gn∼= Gπ(1) × · · · ×Gπ(n), para cada π ∈ Sn.

(iii) G1 ×G2 ×G3∼= G1 × (G2 ×G3) ∼= (G1 ×G2)×G3.

(iv) El producto cartesiano tiene la propiedad asociativa generalizada.

(v) G1 × · · · ×Gn es abeliano ⇔ para cada i, 1 ≤ i ≤ n, Gi es abeliano.

Demostracion. Todas las afirmaciones se obtienen en forma inmediata de la defini-cion de producto cartesiano.

Proposicion 7.1.5. Sea {Gi}ni=1 una familia de grupos finitos. Entonces:

|G1 × · · · ×Gn| = |G1| · · · |Gn|.

Ademas,

7.2. PRODUCTO CARTESIANO: CASO INFINITO 77

(i) Sea {Gi}ni=1 una familia finita de grupos arbitrarios y sea x = (x1, . . . , xn) ∈∏n

i=1 Gi tal que xi es de orden finito para cada 1 ≤ i ≤ n, entonces |x| =m.c.m. {|xi|}n

i=1.

(ii) Si m y n son enteros positivos primos relativos, entonces Zm × Zn∼= Zmn.

(iii) Sean m1, . . . ,mk enteros positivos tales que m.c.d.(mi, mj) = 1 para i 6= j,1 ≤ i, j ≤ n. Entonces

Zm1 × · · ·× Zmk∼= Zm1···mk

.

(iv) Sea n = pm11 · · · pmk

k la descomposicion del entero n en factores primos. En-tonces

Zpm11× · · · × Zp

mkk

∼= Zn.

Demostracion. Basta encontrar dos elementos a, b en Zm × Zn tales que su ordenes|a| = m y |b| = n sean primos entre si, porque entonces ab es de orden mn yZm×Zn resulta cıclico de orden mn, es decir, Zm×Zn

∼= Zmn. Notese que a = (1, 0)y b = (0, 1) son los elementos buscados. La parte (iii) de esta proposicion se pruebausando lo que acabamos de ver en forma recurrente, y la parte (iv) es un casoparticular de (iii).

Notemos que para cada 1 ≤ i ≤ n, Gi se sumerge de manera natural en elproducto G1× · · · ×Gn, y por lo tanto puede ser considerado como un subgrupo deeste.

Proposicion 7.1.6. Sea {Gi}ni=1 una familia finita de grupos. Entonces:

(i) Gi E G1 × · · · ×Gn, para cada 1 ≤ i ≤ n.

(ii) (G1 × · · · ×Gn) / Gi∼= G1 × · · · ×Gi−1 ×Gi+1 × · · · ×Gn.

Demostracion. Esto es un sencillo ejercicio para el lector.

7.2. Producto cartesiano: caso infinito

Sea {Gi}i∈I una familia cualquiera de grupos. Sea∏

i∈I Gi el producto cartesianode los conjuntos de la familia dada, es decir,∏

i∈I Gi := {x : I →⋃

i∈I Gi | x(i) ∈ Gi}.

Definimos en∏

i∈I Gi el producto de manera analoga a como se hizo en el caso finito.Sea xi := x(i), luego x = (xi)i∈I y entonces


xy = (xi)(yi) := (xiyi).

Notese que este producto da a∏

i∈I Gi una estructura de grupo, cuyo elementoneutro es 1 := (ei), donde ei = 1 ∈ Gi, para cada i ∈ I. El inverso de x = (xi)es entonces x−1 = (x−1

i ). Cuando I = In = {1, 2 . . . n} entonces esta definicionde producto

∏i∈I Gi coincide con la definicion de producto cartesiano dada en la

seccion anterior.

Las proyecciones canonicas del producto se definen por

πj :∏

Gi → Gj, πj[(xi)] := xj.

El producto cartesiano junto con sus proyecciones esta caracterizado por la siguientepropiedad universal.

Teorema 7.2.1. Sean {Gi}i∈I una familia de grupos,∏

i∈I Gi su producto cartesianoy {πj :

∏i∈I Gi → Gj}j∈I las proyecciones canonicas. Entonces,

(i) Para cada grupo G con homomorfismos {pj : G → Gj}j∈I existe un unicohomomorfismo α de G en

∏i∈I Gi tal que para cada j ∈ I se tiene que πjα =

pj.

(ii) Cualquier otro grupo H con homomorfismos {Hπ′j−→ Gj}j∈I que tenga la

propiedad (i) es isomorfo al producto cartesiano.

Demostracion. (i) α se define por α(y) := (pj(y)) con y ∈ G; claramente α esun homomorfismo de grupos y satisface πjα = pj para cada j ∈ I. Sea θ otrohomomorfismo de G en el producto que cumple estas mismas igualdades; sea θ(y) :=(xi)i∈I . Entonces, πjθ(y) = xj = pj(y), para cada j ∈ I, luego θ(y) = (xj) = α(y).

(ii) Puesto que tanto H como el producto tienen la propiedad (i), entonces paracada j ∈ I resulta πj(αβ) = πj, π′j(βα) = π′j, con β : ΠGi → H un homomorfismo.En vista de la unicidad, iH = βα y αβ = iΠGi

. Esto muestra que H y ΠGi sonisomorfos.

7.3. Suma directa externa

Sea {Gi}i∈I una familia de grupos y sea∏

i∈I Gi su grupo producto. Se denominasoporte de x = (xi) al subconjunto Ix de I de elementos i tales que xi 6= 1.Definimos el conjunto⊕

i∈I Gi := {x = (xi) ∈∏

Gi | x es de soporte finito}.

7.3. SUMA DIRECTA EXTERNA 79

⊕i∈I Gi es un subgrupo del producto y se denomina suma directa externa de

la familia dada. En efecto, 1 ∈⊕

i∈I Gi, con lo cual la suma directa externa noes vacıa. Sean x, z ∈

⊕i∈I Gi con soportes Ix, Iz. Entonces, xizi = 1 para cada

i ∈ I − (Ix ∪ Iz). Esto indica que solo para los elementos de un cierto subconjuntofinito Iy ⊆ Ix ∪ Iz se tiene que xizi 6= 1. Por lo tanto, si y = (yi) es el producto de xy z entonces y ∈

⊕i∈I Gi. Es claro que si x ∈

⊕i∈I Gi entonces x−1 ∈

⊕i∈I Gi.

Asociadas a la suma directa externa de una familia de grupos estan las siguientesinyecciones canonicas :

µj : Gj →⊕

i∈I Gi,

µj(a) := x := (xi), donde xj :=

{a, si i = j1, si i 6= j.

Evidentemente estas funciones son homomorfismos inyectivos.Para la clase de los grupos abelianos, la suma directa externa con sus inyecciones

canonicas esta caracterizada por la siguiente propiedad universal.

Teorema 7.3.1. Sea {Gi}i∈I una familia de grupos abelianos, y sea⊕

i∈I Gi su sumadirecta externa y sean {µj : Gj →

⊕i∈I Gi} sus inyecciones canonicas. Entonces,

(i) Para cada grupo abeliano G con homomorfismos {tj : Gj → G} existe ununico homomorfismo α :

⊕i∈I Gi → G tal que para cada j ∈ I se tiene que

αµj = tj.

(ii) Cualquier otro grupo abeliano H con homomorfismos {µ′j : Gj → H}j∈I quetenga la propiedad (i) es isomorfo a la suma directa externa.

Demostracion. (i) Definimos α por

α(x) :=

{ ∏j∈Ix

tj(xj), si x 6= 1

1 , si x = 1.

α es un homomorfismo: si x = 1 o y = 1 entonces evidentemente α(xy) = α(x)α(y).Supongamos pues que x 6= 1 y y 6= 1. Sea z = (zi) = xy. Si z = 1, entonces y = x−1

y ası yi = x−1i para cada i ∈ I, con lo cual α(z) = 1 =

∏j∈Ix

tj(xj)∏

j∈Iytj(yj) =

α(x)α(y). Sea entonces z 6= 1. Ya que Iz ⊆ Ix ∪ Iy se tiene que

α(z) =∏

j∈Iztj(zj) =

∏j∈Ix∪Iy

tj(zj) =∏

j∈Ix∪Iytj(xjyj) =∏

j∈Ix∪Iytj(xj)

∏j∈Ix∪Iy

tj(yj) =∏

j∈Ixtj(xj)

∏j∈Iy

tj(yj) = α(x)α(y).

Probemos ahora la unicidad de α: sea θ otro homomorfismo de⊕

i∈I Gi en G talque θ ◦ µj = tj para cada j ∈ I. Sea x un elemento cualquiera de

⊕i∈I Gi. Si x = 1

entonces necesariamente α(1) = θ(1) = 1. Considerese pues que x 6= 1. Entonces

α(x) =∏

j∈Ixtj(xj) =

∏j∈Ix

θµj(xj) = θ[∏

j∈Ixµj(xj)

]= θ(x), ya que x =∏

j∈Ixµj(xj).

(ii) La prueba es como en el caso del producto y la dejamos al lector.


Observacion 7.3.2. Notese que cuando I = In := {1, 2, . . . , n} es un conjuntofinito, entonces el producto cartesiano G1 × · · · × Gn y la suma directa externa⊕n

i=1 Gi de grupos abelianos coinciden y entonces se usa tambien la siguiente no-tacion: G1 × · · · ×Gn = G1 ⊕ · · · ⊕Gn.

7.4. Suma directa interna

Sea G un grupo y sean H, K subgrupos de G. Se ha visto que el conjunto HK ={hk | h ∈ H, k ∈ K} es un subgrupo de G si, y solo si, HK = KH. Es posibleque para dos subgrupos H y K de G el producto HK coincida con G. En efecto,considerese el grupo D4 = {1, f, f 2, f3, g, fg, f 2g, f 3g}, f4 = 1, g2 = 1, y gfg = f−1.Sean K = {1, f 2, g, f 2g} y H = {1, f 2, fg, f3g}. Notese que KH = HK = D4.De aquı en particular se desprende que cada elemento de D4 puede escribirse comoproducto de un elemento de K y otro de H. Por ejemplo: f = g(f 3g), g ∈ K,f 3g ∈ H. Sin embargo esta representacion de f no es unica: f = (f 2g)(fg), f 2g ∈ K,fg ∈ H. Esta no unicidad se debe al hecho que H ∩K 6= 1.

La suma directa interna de subgrupos de un grupo puede ser definida para el casoinfinito. Nosotros consideramos solo el caso de una coleccion finita de subgrupos.

Proposicion 7.4.1. Sean H1, . . . , Hn subgrupos normales de G. Entonces

〈⋃n

i=1 Hi〉 = H1 · · ·Hn := {h1 · · ·hn | hi ∈ Hi, 1 ≤ i ≤ n}.

Ademas, H1 · · ·Hn E G y para cada π ∈ Sn, H1 · · ·Hn = Hπ(1) · · ·Hπ(n).

Demostracion. Induccion sobre n : n = 1 : 〈H1〉 = H1.n = 2: evidentemente H1H2 ⊆ 〈H1 ∪H2〉 . Sea x ∈ 〈H1 ∪H2〉; entonces x =

xε11 · · ·xεt

t , donde xi ∈ H1 ∪ H2, εi = ±1, 1 ≤ i ≤ t. Se desea ahora reordenar loselementos xε1

1 . . . xεtt , de tal manera que aparezcan a la izquierda solo elementos de

H1 y a la derecha solo elementos de H2. Sea i el menor ındice (1 ≤ i ≤ t) tal quexεi

i ∈ H2 y xεi+1

i+1 ∈ H1. Si i = t entonces x ∈ H1H2. Sea pues i 6= t, entonces

x = xε11 · · ·x

εii x

εi+1

i+1 · · ·xεtt = xε1

1 · · ·xεii x

εi+1

i+1 (xεii )−1xεi

i xεi+2

i+2 · · ·xεtt .

Como H1 E G entonces xεii x

εi+1

i+1 (xεii )−1 ∈ H1. Si x

εi+2

i+2 . . . xεtt estan todos en H2,

entonces tendremos que x = x′1x′2, con x′1 := xε1

1 · · ·xεii x

εi+1

i+1 (xεii )−1 ∈ H1 y x′2 :=

xεii x

εi+2

i+2 · · ·xεtt ∈ H2. En caso contrario repetimos lo anterior maximo hasta t. De

esto obtenemos que 〈H1 ∪H2〉 ⊆ H1H2.Supongase que 〈H1 ∪ · · · ∪Hn−1〉 = H1 · · ·Hn−1. Notese que 〈H1 ∪ · · · ∪Hn〉 =

〈K ∪Hn〉 , con K = H1 ∪ · · · ∪ Hn−1, ademas, K E G ya que gH1 · · ·Hn−1g−1 =

gH1g−1gH2g

−1g · · · gHn−1g−1 = H1 · · ·Hn−1.

De acuerdo con el paso n = 2 y con la hipotesis de induccion, 〈H1 ∪ · · · ∪Hn〉 =KHn = H1 · · ·Hn−1Hn.

7.4. SUMA DIRECTA INTERNA 81

La normalidad se acaba de probar; la ultima afirmacion de la proposicion esevidente ya que

⋃ni=1 Hi =

⋃ni=1 Hπ(i).

Teorema 7.4.2. Sean G un grupo y H1, . . . , Hn subgrupos normales de G. Las si-guientes condiciones son equivalentes:

(i) Para cada 1 ≤ j ≤ n, Hj ∩ (H1 · · ·Hj−1Hj+1 · · ·Hn) = 1.

(ii) Cada elemento x de H1 · · ·Hn tiene una representacion unica en la forma:

x = h1 · · ·hn, hi ∈ Hi, 1 ≤ i ≤ n.

Demostracion. (i)⇒ (ii): Sea x ∈ H1 · · ·Hn. Por hipotesis x tiene una representacionen la forma

x = h1 · · ·hn, hi ∈ Hi, 1 ≤ i ≤ n.

Sean h′i ∈ Hi, 1 ≤ i ≤ n, tales que

x = h1 · · ·hn = h′1 · · ·h′n ⇒ (h′−11 h1)h2 · · ·hn = h′2 · · ·h′n

⇒ h′−11 h1 = (h′2 · · ·h′n)(h2 · · ·hn)−1 ∈ H2 · · ·Hn ⇒

h′−11 h1 = 1 ⇒ h′1 = h1 ⇒ h2h3 · · ·hn = h′2h

′3 · · ·h′n.

Procediendo de manera analoga encontramos que hi = h′i para cada 1 ≤ i ≤ n.(ii) ⇒ (i): Sea x ∈ Hj, j fijo. Supongase que x ∈ H1 · · ·Hj−1Hj+1 · · ·Hn, en-

tonces existen x1 ∈ H1, . . . , xj−1 ∈ Hj−1, xj+1 ∈ Hj+1, . . . , xn ∈ Hn tales quex = x1 · · ·xj−11xj+1 · · ·xn. El elemento x se puede representar tambien como x =1 · · · 1x1 · · · 1, luego x1 = 1, . . . , xj−1 = 1, x = 1, . . . , xn = 1, de donde Hj ∩(H1 · · ·Hj−1Hj+1 . . . Hn) = 1.

Definicion 7.4.3. Se dice que el grupo G es suma directa interna de los sub-grupos normales H1, . . . , Hn si:

(i) G = H1 · · ·Hn.

(ii) Se cumple una cualquiera de las condiciones del teorema anterior.

Dicha relacion entre G y los subgrupos H1, . . . , Hn se denota por G =∑n

i=1⊕Hi =H1 ⊕ · · ·⊕ Hn.

Proposicion 7.4.4. Sea {Gi}ni=1 una coleccion finita de grupos, y sea G = G1 ×

· · · ×Gn su producto cartesiano. Sea

G′i := µi(Gi) = {(1, . . . , x, . . . , 1) | x ∈ Gi}

la imagen de Gi mediante la inyeccion canonica µi. Entonces, G es suma directainterna de los subgrupos G′

i,


G = G′1 ⊕ · · · ⊕G′

n.

Ademas G′i∼= Gi, 1 ≤ i ≤ n.

Demostracion. Claramente G′i E G para cada 1 ≤ i ≤ n. Ademas, cada elemento

x = (x1, . . . , xn) de G tiene la representacion unica

x = (x1, 1, . . . , 1) · · · (1, . . . , 1, xn).

Por ser µi inyectivo se tiene que G′i∼= Gi.

Ejemplo 7.4.5. (i) Sea M2(R) el grupo aditivo de las matrices cuadradas reales deorden 2. Sean

M11:=

[R 00 0

]= {A = [aij] | aij = 0 para i 6= 1 y j 6= 1},

M12:=

[0 R0 0

], M21:=

[0 0R 0

], M22:=

[0 00 R

].

Entonces, M2(R) =M11 ⊕M12 ⊕M21 ⊕M22.(ii) Sea C el grupo aditivo de los numeros complejos, y sean R y iR los subgrupos

de numeros reales e imaginarios, respectivamente. Entonces C = R⊕ iR.(iii) Sea V = {1, a, b, ab}, a2 = 1 = b2, ab = ba el grupo de Klein; V es

suma directa de los subgrupos 〈a〉 y 〈b〉 ya que ambos son normales en V y ademas〈a〉 ∩ 〈b〉 = 1; luego, V = 〈a〉 ⊕ 〈b〉.

(iv) Cada grupo G se puede descomponer trivialmente en suma directa interna:G = G ⊕ 1. Hay grupos para los cuales esta es la unica descomposicion posible.Consideremos el grupo diedrico de grado 4, D4 :

Los subgrupos normales de D4 son 1, D4, 〈f〉 , 〈f 2〉 , K4 = {1, f2, g, f 2g}, H4 ={1, f2, fg, f 3g}. Si D4 es suma directa de dos de sus subgrupos normales entoncesse presentan las siguientes posibilidades:

G = 1⊕D4, 〈f〉 ⊕ 〈f 2〉 , 〈f 2〉 ⊕K4, 〈f 2〉 ⊕H4.

Solo la primera posibilidad tiene lugar ya que 〈f〉 ∩ 〈f 2〉 6= 1, 〈f 2〉 ∩ K4 6= 1,〈f 2〉 ∩H4 6= 1.

(v) Notese que si un grupo G no se puede descomponer en suma directa de dossubgrupos no triviales entonces no se puede descomponer en suma directa de 3 omas subgrupos no triviales.

(vi) Sea G = G1 × G2 × · · · × Gn y sea Ai E Gi, 1 ≤ i ≤ n. Entonces A :=A1 × · · · × An E G : sea x = (x1 . . . xn) ∈ G y sea a = (a1 . . . an) ∈ A. Entonces

x−1ax = (x−11 a1x1, · · · ., x−1

n anxn) ∈ A.

El resultado anterior podemos generalizarlo: sea G =∏

i∈I Gi, y sea Ai E Gi,i ∈ I. Si A :=

∏i∈I Ai, entonces A E G.

7.4. SUMA DIRECTA INTERNA 83

Ejemplo 7.4.6. Calculemos Aut(Dn) y probemos que |Aut(Dn)| = φ(n)n, paran ≥ 3, φ denota la funcion de Euler que calcula los enteros positivos menores que ny primos relativos con el.

Dn = {1, f, f 2, . . . , fn−1, g, fg, f 2g, . . . , fn−1g}, y ademas fn = 1, g2 = 1, gf =f−1g = fn−1g.

Sean

A := 〈f〉, B := {g, fg, f 2g, . . . , fn−1g},

F := {µ ∈ Aut(Dn) | µ(f) = f} y G := {µ ∈ Aut(Dn) | µ(g) = g}.

La solucion implica realizar varios pasos.

1. En primer lugar notese que F y G son subgrupos de Aut(Dn).

2. Si µ ∈ Aut(Dn), entonces, µ(A) = A y µ(B) = B: puesto que todo elementode B es de orden 2 y el orden de µ(f) es n, entonces µ(f) es un generador deA, es decir, µ(A) = A. Como µ es inyectivo, entonces µ(B) = B.

3. F es un subgrupo normal de Aut(Dn): sea µ ∈ Aut(Dn) y φ ∈ F . Entonces,µ(A) = A y φ|A = iA. Para f se tiene que µ ◦ φ ◦ µ−1(f) = µ ◦ φ(µ−1(f)) =µ(µ−1(f)) = f , es decir, µ ◦ φ ◦ µ−1 ∈ F .

4. Es claro que F ∩G = {iDn}.

5. Como F E Aut Dn, entonces FG ≤ Aut Dn. Ademas, |FG| = |F | |G|. Enefecto, ya que F ∩ G = {iDn}, cada elemento de FG se puede representar enforma unica en la forma xy, con x ∈ F y y ∈ G. El numero de tales elementoses claramente |F | |G|.

6. |G| = ϕ(n): sea J el conjunto de generadores de A, sabemos entonces que|J | = ϕ(n). Vamos a probar que |J | = |G|. Sea µ ∈ G, entonces µ(f) debe serun generador de A, es decir, µ(f) ∈ J . Ası pues, definimos

G → J

µ 7→ µ(f).

Si µ1(f) = µ2(f) entonces µ1 = µ2 ya que µ1(g) = g = µ2(g). Veamos final-mente que la asignacion que estamos haciendo es sobre: sea k primo relativocon n y menor que n, de tal forma que fk ∈ J . Definimos la funcion µ porµ(f rgs) := fkrgs, con 0 ≤ r ≤ n − 1, s = 0, 1. Veamos que µ es un automor-fismo. En efecto, primero veamos que µ es un homomorfismo: µ(f rgsfpgq) =µ(f r+pgq) si s = 0, y en este caso µ(f r+pgq) = fkr+kpgq = fkrgsfkpgq es decir,µ(f rgsfpgq) = µ(f rgs)µ(fpgq). Para s = 1 se tiene que


µ(f rgsfpgq) = µ(f r−pgs+q) = fkrf−kpgsgq = fkrgsfkpgq,

es decir, µ(f rgsfpgq) = µ(f rgs)µ(fpgq). Teniendo en cuenta que 〈f〉∩ 〈g〉 = 1,entonces µ es claramente inyectiva y por lo tanto biyectiva. Entonces µ es lapreimagen buscada ya que µ(f) = fk y µ ∈ G por ser µ(g) = g.

7. |F | = n. Sea µ ∈ F , segun la parte b) µ(g) debe ser un elemento de B, digamos,µ(g) = fkg, con 0 ≤ k ≤ n − 1. Ası pues cada elemento µ ∈ F determina ununico elemento fkg ∈ B, es decir, definimos

F → Bµ 7→ µ(g).

Si µ1(g) = µ2(g) entonces µ1 = µ2 ya que µ1(f) = f = µ2(f). Veamosfinalmente que la asigancion que estamos haciendo es sobre: sea fkg ∈ B,con 0 ≤ k ≤ n − 1, definimos la funcion µ por µ(f rgs) := f r+ksgs, con0 ≤ r ≤ n − 1, s = 0, 1. µ es un automorfismo: primero veamos que µ es unhomomorfismo, µ(f rgsfpgq) = µ(f r+pgq) si s = 0, y en este caso µ(f r+pgq) =f r+p+kqgq = f r+ksgsfp+kqgq, es decir, µ(f rgsfpgq) = µ(f rgs)µ(fpgq). Cuandos = 1, se tiene que µ(f rgsfpgq) = µ(f r−pgs+q). Consideremos los dos casosposibles, q = 0: entonces

µ(f rgsfpgq) = f r−p+ksgs = f r+ksf−pgs == f r+ksgsfp = f r+ksgsfp+kqgq = µ(f rgs)µ(fpgq).

Si q = 1, entonces se tiene que µ(f rgsfpgq) = µ(f r−p) = f r−p, por el otrolado, µ(f rgs)µ(fpgq) = f r+kgfp+kg = f r+k−p−k = f r−p. Al igual que el puntof), 〈f〉 ∩ 〈g〉 = 1, luego µ es claramente inyectiva y por lo tanto biyectiva.Entonces µ es la preimagen buscada ya que µ(g) = fkg y µ ∈ F debido a queµ(f r) = f r, para cada 0 ≤ r ≤ n− 1.

8. Se tiene que |FG| = |F | |G| = nϕ(n). De otra parte, si µ ∈ Aut(Dn), entoncespor b) µ(f) debe ser un generador de A y µ(g) ∈ B, esto hace que |Aut(Dn)| ≤ϕ(n)n. Como se probo en e), FG es un sugrupo de Aut(Dn) y en consecuenciaFG = Aut(Dn) y |Aut(Dn)| = ϕ(n)n.

Si G fuera subgrupo normal de Aut(Dn) entonces Aut(Dn) serıa suma directainterna de F y G. Pero G no es un subgrupo normal de Aut(Dn): en efecto,segun f) y g) las siguientes funciones son elementos de G y F , respectivamente:φ(f) = fk, φ(g) = g, θ(f) = f , θ(g) = fg, donde k es primo relativo con n ydistinto de 1. Esta ultima condicion se da ya que n ≥ 3. Entonces, θφθ−1(g) =θφ(fn−1g) = θ(f−kg) = f−k+1g. Es decir, θφθ−1 /∈ G, con lo cual G no es unsubgrupo normal de Aut(Dn).

Entonces, ¿que es Aut(Dn) respecto de F y G?

7.5. EJERCICIOS 85

9. Sean G1 y G2 grupos y µ un homomorfismo de G2 en Aut(G1); en el con-junto G1× G2 definimos la operacion ×µ, ası: (a, b)×µ (c, d) = (aµ(b)(c), bd).Entonces, G1× G2 con esta operacion es un grupo y recibe el nombre de pro-ducto semidirecto de G1 y G2 con respecto a µ. Para el producto corrientede grupos en calidad de µ se toma el homomorfismo trivial que asigna a cadaelemento de G2 el automorfismo identico.

10. Sea G un grupo con M y N subgrupos de G tal que M es normal en G. SiM ∩ N = {1} y MN = G, G es isomorfo al producto semidirecto de M y Nmediante el homomorfismo µ : N → Aut(M) dado por: µ(n)(m) = nmn−1.En efecto, como G = MN , entonces todo elemento g ∈ G se puede es-cribir en la forma g = mn, m ∈ M , n ∈ N y de manera unica ya queM ∩ N = {1}. Definimos f : G → M ×µ N , de la siguiente manera: f(g) :=f(mn) = (m, n); f esta bien definida y es obviamente biyectiva. Veamos quef es un homomorfismo: sea g1 = m1n1, g2 = m2n2 elementos de G, en-tonces g1g2 = (m1n1)(m2n2) = m1(n1m2n

−11 )n1n2 = m1µ(n1)(m2)n1n2, donde

m1µ(n1)m2 ∈ M y n1n2 ∈ N . Ası pues, f(g1g2) = f(m1µ(n1)(m2)n1n2) =(m1µ(n1)(m2), n1n2) = (m1, n1)×µ (m2, n2) = f(g1)×µ f(g2).

11. De los puntos anteriores tenemos que Aut(Dn) ∼= F ×µ G, mediante el homo-morfismo µ : G → Aut(F ) dado por µ(y)(x) = y ◦ x ◦ y−1.

12. Una ultima observacion. De manera mas sencilla se define la suma semi-directa interna de dos subgrupos de un grupo de la siguiente forma: sea Gun grupo y M, N subgrupos de G. Se dice que G es suma semidirecta internade M y N (en ese orden) si: M es normal en G, M ∩N = {1} y G = MN . Unopodrıa entonces obviar los pasos i), j) y k) y decir simplemente que Aut(Dn)es la suma semidirecta interna de F y G.

7.5. Ejercicios

1. Pruebe que S3 solo tiene la descomposicion trivial S3 = 1⊕ S3.

2. Sea G := G1 × · · · × Gn. Demuestre que Z (G) = Z (G1) × · · · × Z (Gn).Extienda este resultado a una familia cualquiera de grupos, es decir, pruebeque Z (

∏i∈I Gi) =

∏i∈I Z(Gi).

3. Sea G := G1 × · · · ×Gn y sean Hi ≤ Gi, 1 ≤ i ≤ n. Sea H := H1 × · · · ×Hn.Demuestre que

NG (H) = NG1 (H1)× · · · ×NGn (Hn).

Extienda este resultado a una familia cualquiera de grupos.


4. Sean G y H grupos finitos cuyos ordenes son primos relativos. Pruebe queAut (G×H) ∼= Aut (G)× Aut (H).

5. ¿Es cierto que la unica descomposicion de Q8 es la trivial: Q8 = 1⊕Q8?

Capıtulo 8

G-conjuntos

Como fundamento teorico para la demostracion de los teoremas de Sylow apareceel concepto de accion de un grupo sobre un conjunto. Esta nocion tiene bastanteanalogıa con el de operacion binaria externa y sera tratada en el presente capıtulo. Seestudiara en particular la accion de conjugacion. Ademas, seran definidos los grupostransitivos del grupo simetrico Sn. De vital importancia para la demostracion de losteoremas de Sylow es la ecuacion de clases, la cual estableceremos en este capıtulo.Un tratamiento completo de los G-conjuntos nos llevara a la teorıa de los espaciosvectoriales y modulos sobre anillos (vease [9]). Nosotros nos limitaremos a utilizarlos G-conjuntos como lenguaje y herramienta para comprender mejor la teorıa deSylow.

8.1. Accion de grupos sobre conjuntos

En esta seccion se establece la equivalencia entre los conceptos de representacion deun grupo en un grupo de permutaciones y el concepto de accion de un grupo sobreun conjunto.

Definicion 8.1.1. Sean X un conjunto y (G, ·, 1) un grupo. Se dice que el grupo Gactua sobre el conjunto X, si existe una funcion

φ : G×X → X , φ(g, x) := gx

tal que

(i) φ(gh, x) = (gh)x = g(hx) = φ(g, φ(h, x)),

(ii) φ(1, x) = 1x = x,

para cualesquiera elementos g, h de G y cualquier elemento x de X.

87

88 CAPITULO 8. G-CONJUNTOS

Se dice tambien que X es un G-conjunto o que X tiene a G como grupo deoperadores.

Estrechamente relacionado con el concepto de G-conjunto aparece el conceptode representacion de un grupo.

Definicion 8.1.2. Sea X un conjunto no vacıo, S(X) el grupo de permutaciones deX y sea (G, ·, 1) un grupo. Por representacion de G en S(X) se entiende cualquierhomomorfismo

Φ : G → S(X).

Proposicion 8.1.3. Sea (G, ·, 1) un grupo y sea X un conjunto no vacıo arbitrario.Entonces, cada representacion de G en S(X) determina una accion de G sobreX, es decir, convierte a X en un G−conjunto. Recıprocamente, cada estructura deG−conjunto sobre X determina una representacion de G en S(X).

Demostracion. Sea Φ : G → S(X) una representacion de G en S(X). Definamos lafuncion

φ : G×X → X

(g, x) 7−→ φ(gx) =: Φg(x),

donde Φg denota la imagen de g mediante el homomorfismo Φ.Se debe probar que para cualesquiera elementos g, h ∈ G y cualquier elemento

x ∈ X, (gh)x = g(hx) y 1x = x, donde 1 es el elemento identidad del grupo G.

(gh)x = Φgh(x) = Φ(gh)(x) = (Φ(g) ◦ Φ(h))(x)

= (Φg ◦ Φh)(x) = Φg[Φh(x)] = Φg(hx)

= g(hx).

1x = Φ1(x) = iX(x) = x.

Sea ahora φ : G × X → X una funcion que define una estructura de G−conjuntosobre X. Denotemos la imagen de la pareja (g, x) mediante φ por gx. La funcion

Φ : G → S(X)

definida por Φ(g) = Φg, donde Φg(x) := gx, ∀x ∈ X, es un homomorfismo. Enefecto,

Φ(gh) = Φgh, Φgh(x) = (gh)x = g(hx) = g(Φh(x)) = Φg[Φh(x)]

= (Φg ◦ Φh)(x);⇒ Φgh = Φg ◦ Φh, es decir, Φ(gh) = Φ(g) ◦ Φ(h).

8.2. ORBITAS Y SUBGRUPOS ESTACIONARIOS 89

Definicion 8.1.4. Sea φ : G×X → X, φ(g, x) = gx, una accion del grupo G sobreel conjunto X y sea Φ : G → S(X), Φ(g) = Φg, Φg(x) = gx, la representacion de Gen S(X) asociada a φ. Se denomina nucleo de la accion φ y se denota por ker(φ)al nucleo del homomorfismo Φ:

ker(φ) := ker(Φ) = {g ∈ G | gx = x, ∀x ∈ X}.

Se dice que G actua efectivamente sobre X si ker(φ) = 1, es decir, gx = x, ∀x ∈ Xsi, y solo si, g = 1.

Directamente de la definicion de accion de un grupo sobre un conjunto se des-prenden las siguientes propiedades.

Proposicion 8.1.5. Sea X un G−conjunto. Entonces,

(i) Xk = X × · · · ×X es un G−conjunto.

(ii) 2X es un G−conjunto, donde 2X denota el conjunto de partes del conjunto X.

(iii) Sea Y ⊆ X y sea C(Y ) := {Z ⊆ X |Card(Z) = Card(Y )}. Entonces C(Y )es un G−conjunto.


8.2. Orbitas y subgrupos estacionarios

Proposicion 8.2.1. Si el grupo G actua sobre el conjunto X, entonces en X sedefine la relacion ∼ por

x ∼ y ⇔ ∃g ∈ G : gx = y;

∼ es de equivalencia en X. La clase de equivalencia del elemento x se denota porG(x) y se llama la G−orbita determinada por x. Para cada x ∈ X

G(x) = {gx|g ∈ G}.

Al Card(G(x)) se le denomina la longitud de la G−orbita determinada por x.


Proposicion 8.2.2. Sea X un G−conjunto y sea x un elemento de X. Se denominasubgrupo estacionario del punto x en G y se denota por Gx al subgrupo deelementos de G que dejan fijo x

Gx := {g ∈ G : gx = x}.

Ademas, Card(G(x)) = |G : Gx|.


Demostracion. Sean g, h ∈ Gx. Entonces gx = x, hx = x, luego hgx = hx = x,es decir, hg ∈ Gx; g−1x = g−1(gx) = x, con lo cual g−1 ∈ Gx. Denotemos por Ael conjunto de clases laterales izquierdas determinadas por el subgrupo estacionarioGx en G. La correspondencia

Φ : G(x) → A,

definida por Φ(gx) = gGx es una biyeccion. En efecto, Φ(gx) = Φ(hx) luego gGx =hGx de donde g−1h ∈ Gx y ası g−1hx = x, es decir, gx = hx; Φ es evidentementesobre.

Corolario 8.2.3. Sea X un G−conjunto, con G un grupo finito. Entonces, la lon-gitud de cualquier G−orbita divide al orden de G, |G(x)| | |G|.

Demostracion. Consecuencia directa de la proposicion anterior y del teorema deLagrange.

Proposicion 8.2.4. Sea G un grupo que actua sobre el conjunto X.

(i) Si x, y estan en la misma orbita entonces sus grupos estacionarios son conju-gados:

y = gx ⇒ Gy = gGxg−1.

(ii) Si G es un grupo finito y X = X1 ∪ · · · ∪ Xr es la particion de X en unnumero finito de r orbitas con representantes x1, . . . , xr, entonces

|X| =r∑

i=1

|G : Gxi| (Ecuacion de clases).

Demostracion. (i) h ∈ Gy ⇔ hy = y ⇔ hgx = gx ⇔ g−1hgx = x ⇔ g−1hg ∈ Gx ⇔h ∈ gGxg

−1.(ii) La segunda afirmacion de la proposicion es debido a que G es finito. En

efecto, si G es finito entonces para cada x ∈ X, Gx es tambien finito, con lo cual|G : Gx| es finito y ası cada G(xi) = Xi es finito. Como X1∪· · ·∪Xr es una particionde X entonces la ecuacion de clases se cumple.

Algunos de los conceptos estudiados anteriormente como centro, centralizador,normalizador, etc., pueden ser vistos como consecuencia de acciones de grupos sobreconjuntos.

Ejemplo 8.2.5. Accion de conjugacion. Sea G un grupo cualquiera y consi-deremos la accion de G sobre sı mismo, es decir, con X = G, definida por:

φ : G×G → G(g, x) 7−→ gxg−1.

8.2. ORBITAS Y SUBGRUPOS ESTACIONARIOS 91

Notemos que el nucleo de φ es el centro del grupo G:

ker(φ) = {g ∈ G | gxg−1 = x, ∀x ∈ G}= {g ∈ G | gx = xg, ∀x ∈ G} = Z(G).

Sea x un elemento cualquiera de G. La orbita G(x) del elemento x, en este casodenotada por xG, se denomina la clase de elementos conjugados con x:

xG = {gxg−1 | g ∈ G}.

Notese que G ha sido particionado en clases conjugadas. Decir que dos elementosx, y ∈ G son conjugados significa que estan en una misma clase (de equivalencia)conjugada, es decir, existe g ∈ G tal que y = gxg−1. Sea x un elemento cualquierade G. El subgrupo estacionario de x se denomina en este caso el centralizador dex en G:

CG(x) = {g ∈ G : gxg−1 = x} = {g ∈ G : gx = xg}.

Segun la proposicion 8.1.5, la accion de conjugacion puede ser extendida a los sub-conjuntos del grupo G. Sean A, B subconjuntos de G. Decimos que A y B sonconjugados si existe g ∈ G tal que B = gAg−1. Notemos que cuando A es unsubgrupo de G entonces gAg−1 es tambien un subgrupo de G, es decir, la accionde conjugacion a subconjuntos de G puede ser restringida a subgrupos de G. Eneste caso, dado un subgrupo H de G la orbita de H, HG, esta constituida por lossubgrupos de G que son conjugados con H:

HG = {gHg−1 : g ∈ G}.

Ademas, el subgrupo estacionario en este caso coincide con el normalizador de Hen G:

NG(H) = {g ∈ G : gHg−1 = H}.

Notese que Card(HG) = |G : NG(H)|, es decir, el numero de subgrupos conjugadosde un subgrupo H de G es igual al ındice de su normalizador en G.

Ejemplo 8.2.6. Generalizacion del Teorema de Cayley . Sea G un grupo yH un subgrupo cualquiera de G. Denotemos por G/H el conjunto de clases lateralesizquierdas determinadas por H en G. La aplicacion definida por

φ : G×G/H → G/H(x, gH) 7−→ xgH,

determina una accion de G en G/H. Notemos en primer lugar que φ es una funcion:sean gH = hH, entonces g−1h ∈ H, luego g−1x−1xh ∈ H, es decir, xgH = xhH.Ademas, (1, gh) 7→ 1gH = gH, y tambien, (xy) · (gH) = (xy)gH = x(yg)H =x · (y · (gH)).


Determinemos el nucleo de φ:

ker(φ) = {x ∈ G |xgH = gH, ∀g ∈ G}= {x ∈ G | g−1xgH = H, ∀g ∈ G};

de aquı obtenemos que

x ∈ ker(φ) ⇔ g−1xg ∈ H, ∀g ∈ G ⇔ x ∈ gHg−1, ∀g ∈ G,

es decir,

ker(φ) =⋂g∈G

gHg−1 = Interseccion de los subgrupos de G conjugados con H.

Demostremos que⋂g∈G

gHg−1 es el subgrupo normal mas grande de G que esta contenido en H.

En efecto, sea

x ∈⋂g∈G

gHg−1.

Se desea probar que para cada elemento w ∈ G

wxw−1 ∈⋂g∈G

gHg−1,

es decir, que ∀g ∈ G, wxw−1 ∈ gHg−1. Sea g un elemento cualquiera de G, entonces:x ∈ w−1gHg−1w = (w−1g)H(w−1g)−1, luego x = w−1ghg−1w, con h ∈ H, por lotanto, wxw−1 = ghg−1 y ası wxw−1 ∈ gHg−1. Claramente,⋂

g∈G

gHg−1 ⊆ 1H1−1 = H.

Sea K E G, K ≤ H, entonces para cada g ∈ G, K = gKg−1 ⊆ gHg−1, por lo tantoK ⊆

⋂g∈G gHg−1.

La accion φ determina desde luego una representacion del grupo G en S(G/H) :

Φ : G → S(G/H)Φ(x) 7−→ Φx

Φx : G/H → G/HgH 7−→ xgH.

Tomando H = {1} la funcion Φ es precisamente el isomorfismo del teorema deCayley. Notese que cuando H 6= {1} y ker(φ) = ker(Φ) = {1}, G no es tan “pequeno”con respecto a S(G/H) como en el teorema de Cayley.

8.3. GRUPOS TRANSITIVOS 93

De este segundo ejemplo se obtiene el siguiente resultado:

Proposicion 8.2.7. Sea G un grupo finito y sea H ≤ G un subgrupo de G tal que|G| no divide a |G : H|!. Entonces, H contiene un subgrupo normal no trivial de G.En consecuencia, G no es simple.

Demostracion. Supongamos que el unico subgrupo normal de G contenido en H es{1}. Esto indica que

ker(φ) =⋂g∈G

gHg−1 = ker(Φ) = {1}.

Por lo tanto Φ es 1 − 1 y ası G es isomorfo a un subgrupo de S(G/H). De aquı seobtiene que |G| divide a |G : H|!.

8.3. Grupos transitivos

Se dice que el grupo G actua transitivamente sobre X si G determina en X so-lamente una orbita, es decir, para cada par de elementos i, j ∈ X existe g ∈ G talque gi = j. Mas generalmente, se dice que G actua k− transitivamente sobre X otambien que G es un grupo k−transitivo sobre X, si para cualesquiera subconjun-tos ordenados de k elementos de X {x1, . . . , xk}, {y1, . . . , yk} existe g ∈ G tal quegxi = yi, i = 1, 2, . . . , k. Esto equivale a decir que G actua transitivamente sobre elconjunto X [k] de subconjuntos ordenados de X de k elementos.

Proposicion 8.3.1. Si G actua k−transitivamente sobre X, donde k ≤ |X|, en-tonces G actua s−transitivamente sobre X para cada s ≤ k.

Demostracion. Si s = k entonces no hay nada que probar. Sea s < k y {x1, . . . , xs}y {y1, . . . , ys} subconjuntos ordenados de X de s elementos. Sean {xs+1, . . . , xk} ⊆X\{x1, . . . , xs} y {ys+1, . . . , yk} ⊆ X\{y1, . . . , ys}. Consideremos los conjuntos orde-nados {x1, . . . , xs, xs+1, . . . , xk} y {y1, . . . , ys, ys+1, . . . , yk}. Como G es k−transitivoentonces existe g ∈ G tal que gxi = yi, i = 1, . . . , s, s + 1, . . . , k; es decir, G ess−transitivo.

Proposicion 8.3.2. (i) Sn actua n−transitivamente sobre In = {1, 2, · · · , n}.

(ii) An actua (n− 2)−transitivamente sobre In.

Demostracion. (i) Sean {x1, . . . , xn} y {y1, . . . , yn} dos ordenaciones de In. Seanσ, ρ ∈ Sn definidas por σ(i) = xi y ρ(i) = yi. Entonces ρ(σ−1(xi)) = yi ∀i = 1, . . . , n.

(ii) Sean {x1, . . . , xn−2} y {y1, . . . , yn−2} subconjuntos ordenados de In. ComoSn es n−transitivo, entonces Sn es (n − 2)−transitivo, es decir, existe σ ∈ Sn talque σ(xi) = yi ∀i = 1, . . . , n− 2.


Si σ es par, entonces no hay nada que probar. Supongase que σ es impar. Seanz1, z2 ∈ In − {y1, . . . , yn−2}. Entonces Θ = (z1z2)σ es par y ademas Θ(xi) = yi

∀i = 1, . . . , n− 2.

Proposicion 8.3.3. Sea G ≤ Sn e In = {1, 2, . . . , n}. Si G actua transitivamentesobre In sea N(g) el conjunto de puntos de In que quedan fijos bajo g, g ∈ G.Entonces,

(i) ∑g∈G

|N(g)| = |G|.

(ii) Si G es 2−transitivo sobre In entonces∑g∈G

|N(g)|2 = 2|G|.

Demostracion. (i) Simbolicemos por G1 el subgrupo estacionario del punto 1 ∈ In.Sea i un elemento cualquiera de In, como G actua transitivamente, entonces existegi ∈ G tal que gi(1) = i. Se determinan ası n elementos (los cuales no podemos ase-gurar por ahora que sean diferentes) g1 = iIn , . . . , gn de Sn. Considerese el conjuntocociente G/G1 de clases laterales izquierdas determinadas por G1 (recordemos quelas clases se definen por medio de la relacion de equivalencia g ≡ h (mod G1) ⇔g−1h ∈ G1). Demostremos que

G =n⋃

i=1

giG1 (8.3.1)

(siendo ası, podemos afirmar que los n elementos g1, . . . , gn son diferentes). Sea g unelemento cualquiera de G. Sea i ∈ In la imagen de 1 mediante g: g(1) = i. Entonces

g(1) = i = gi(1) ⇒ g−1i g(1) = 1 ⇒ g−1

i g(1) ∈ G1 ⇒ g ∈ giG1

⇒ G ⊆n⋃

i=1

giG1. Obviamenten⋃

i=1

giG1 ⊆ G.

Supongamos que para dos elementos i, j ∈ In se tiene

giG1 ∩ gjG1 6= ∅ ⇒ gih = gjg con h, g ∈ G1 ⇒ h(1) = 1 = g(1) ⇒gih(1) = gi(1) = i, gjg(1) = gj(1) = j ⇒ i = j ⇒ giG1 = gjG1.

Esto completa la prueba de la igualdad (8.3.1).

8.3. GRUPOS TRANSITIVOS 95

Sea N(g) el conjunto de puntos de In que permanecen fijos bajo g; sea {g}×N(g)el producto cartesiano del conjunto unitario {g} y el conjunto N(g). Notese que parag 6= h, {g} ×N(g) ∩ {h} ×N(h) = ∅. Es posible ademas que N(g) = ∅.

Sea Gj el subgrupo estacionario del punto j ∈ In. Considerese el producto carte-siano Gj × {j}; como antes, para i 6= j se tiene que Gj × {j} ∩ Gi × {i} = ∅.Evidentemente

Card

[(⋃g∈G

)∅{g} ×N(g)

]= Card

[(

n⋃i=1

)∅Gj × {j}

];

Card

[(

n⋃i=1

)∅{g} ×N(g)

]=∑g∈G

Card({g} ×N(g)) =

∑g∈G

|N(g)| =n∑

j=1

Card(Gj × {j}) =n∑

j=1

|Gj|.

Teniendo en cuenta que gj(1) = j se tiene que g−1j Gjgj = G1 (proposicion

8.2.4) entonces, para cada j ∈ In, |Gj| = |G1|. Ya que todas las clases lateralesG1, g2G1, . . . , gnG1 tienen el mismo cardinal, y ademas utilizando (8.3.1) resulta

∑g∈G

|N(g)| =n∑

j=1

|Gj | =n∑

j=1

n|G1| = |G1|+ · · ·+ |G1| = |G1|+ |g2G1|+ · · ·+ |gnG1| = |G|,

(ii) Supongamos que el grupo G es 2−transitivo sobre In. Esto implica que G1

es un grupo transitivo sobre In = In\{1}. En efecto, sean x, y ∈ In. Entonces existeσ ∈ G tal que σ{x, 1} = {y, 1}, es decir, σ(x) = y y σ(1) = 1; esto indica que σ ∈ G1

(observemos que G1 determina en In solo dos orbitas {1} y In). Sea N(g) el conjuntode puntos de In que quedan fijos bajo g ∈ G1. Segun la parte (i) obtenemos que∑

g∈G1

|N(g)| = |G1| ⇒∑g∈G1

|N(g)| =∑g∈G1

(1 + |N(g)|),

la ultima igualdad se debe a que cada g ∈ G1, deja fijo un punto mas en In, el 1.De esto obtenemos que∑

g∈G1

|N(g)| =∑g∈G1

1 +∑g∈G1

|N(g)| = |G1|+ |G1| = 2|G1|.

Analogamente, para cada j ∈ In obtenemos que∑g∈Gj

|N(g)| = 2|Gj| = 2|G1|,


Por lo tanton∑

j=1

∑g∈Gj

|N(g)| = 2n|G1| = 2|G|.

Peron∑

j=1

∑g∈Gj

|N(g)| =∑g∈G

|N(g)|2.

8.4. Ejercicios

1. Calcule todas las acciones del grupo Z3 sobre el conjunto Z2.

2. Calcule todas las acciones del grupo Z2 sobre el conjunto Z3.

3. Sea n ≥ 2; calcule todas las acciones del grupo Zn sobre el conjunto Z2.

4. Sea n ≥ 2; calcule todas las acciones del grupo Z2 sobre el conjunto Zn.



Capıtulo 9

Teoremas de Sylow

De fundamental importancia para el estudio de los grupos finitos son los teoremasprobados por el matematico noruego Ludwig Sylow. Es conocido que para los gruposcıclicos finitos es valido el recıproco del teorema de Lagrange, es decir, si G un grupocıclico finito de orden n y m divide a n entonces G contiene exactamente un sub-grupo de orden m. En este capıtulo se mostrara que la afirmacion anterior es validapara grupos finitos cualesquiera pero con m una potencia de un primo. Ademas,la unicidad se da salvo conjugacion. Los resultados de este capıtulo ayudaran adescribir en el proximo los grupos abelianos finitos.

9.1. p-grupos

En el capıtulo 2 se definieron los principales conceptos relacionados con la partefinita de un grupo. Ademas, se tienen las siguientes nociones.

(i) Periodo (exponente) de un grupo periodico: supongamos que el conjuntode los periodos de los elementos de un grupo periodico es acotado superiormente.Entonces el mınimo comun multiplo de estos perıodos se denomina periodo del grupoperiodico G.

(ii) Parte periodica de un grupo abeliano: sea G un grupo abeliano. Elconjunto de elementos de G de periodo finito constituyen un subgrupo de G llamadosubgrupo de torsion de G o parte periodica de G.

(iii) p-grupos : sea G un grupo (finito o infinito). Si cada elemento de G tieneperiodo potencia del primo p, se dice que G es un p− grupo.

(iv) p-subgrupo: se dice que H ≤ G es un p − subgrupo de G , si H es unp− grupo.

(v) Grupos primarios : un grupo G se dice que es primario, si G es un p−grupopara algun primo p. En otras palabras, la coleccion de los grupos primarios es lareunion de los p− grupos, donde p recorre los primos positivos.

97

98 CAPITULO 9. TEOREMAS DE SYLOW

(vi) Subgrupo de Sylow : sea G un grupo. Supongamos que G contiene p −subgrupos. Un p − subgrupo H se denomina p − subgrupo de Sylow de G si H esmaximal entre los p− subgrupos de G.

Ejemplo 9.1.1. Sea (G, ·, 1) un grupo abeliano y sea P el conjunto de elementos deG de periodo finito. P 6= ∅ ya que 1 ∈ P ; sean x, y ∈ P , entonces existen n, m ∈ Z+

tales que xn = 1, ym = 1. Sea k = m.c.m. {n, m}, se tiene que (xy)k = xkyk = 1,luego xy ∈ P ; si x ∈ P entonces claramente x−1 ∈ P luego P ≤ G.

Ejemplo 9.1.2. (Zpn , +, 0), con n ≥ 1, es un p-grupo finito, Cp∞ es un p-grupoinfinito.

Ejemplo 9.1.3. Ejemplos de p-subgrupos en un grupo no abeliano: sea GLn(R)el grupo multiplicativo formado por las matrices reales invertibles. Podemos definirconjuntos de matrices sobre otros grupos que tienen, al igual que sobre R, un pro-ducto. Sea M3(Zn) = {A = [aij] | aij ∈ Zn} se definen en M3(Zn) dos operaciones:

Adicion: A = [aij], B = [bij] ∈ M3(Zn) tal que A + B = [aij + bij].Multiplicacion: AB = C = [cij], donde cij :=

∑3k=1 aikbkj.

Se puede comprobar facilmente que (M3(Zn), +, 0), donde 0 es la matriz nula, esun grupo abeliano, y que (M3(Zn), ·, E), con E la matriz identica, es un monoide.Tomemos en particular n = p primo y sea GL3(Zp) un grupo multiplicativo delmonoide M3(Zn). Destacamos en GL3(Zp) el subconjunto UT3(Zp) definido por:

UT3(Zp) :=

1 a b

0 1 c0 0 1

| a, b, c ∈ Zp

;

UT3(Zp) ≤ GL3(Zp): UT3(Zp) 6= ∅ ya que E ∈ UT3(Zp);1 a b0 1 c0 0 1

−1

=

1 −a ac− b0 1 −c0 0 1

,

por ultimo, el producto de dos matrices de UT3(Zp) es nuevamente una matriz deeste conjunto.

Notese que |UT3(Zp)| = p3 con lo cual UT3(Zp) es un p-subgrupo de GL3(Zp), elcual no es abeliano:1 1 1

0 1 00 0 1

1 0 10 1 10 0 1

6=1 0 1

0 1 10 0 1

1 1 10 1 00 0 1

.

Ejemplo 9.1.4. Algunos ejemplos de grupos primarios son Cp∞ , Zpn , UT (3, Zp).

Ejemplo 9.1.5. Subgrupos de Sylow de Z72:2-subgrupos: Z1, Z2, Z4, Z8; 2-subgrupo de Sylow: Z8;3-subgrupos: Z1, Z3, Z9; 3-subgrupo de Sylow: Z9.

9.1. P -GRUPOS 99

Proposicion 9.1.6. Sea G un grupo de orden pn, con p primo y n ≥ 1. Entonces,Z (G) 6= 1.

Demostracion. Sea G un grupo finito cualquiera y sean xG1 , . . . , xG

r , las clases deequivalencia determinadas por la accion de conjugacion:

G = ∪ri=1x

Gi , xi ∈ G.

Se tienen clases de un solo elemento (por ejemplo 1G ). Podemos reordenar los ındicesy suponer que las primeras q clases constan de un solo elemento. Se afirma que Z(G)={x1, . . . , xq} . En efecto, si x ∈ Z(G), entonces gxg−1 = x para cada g ∈ G, luegoxG = {x} y por lo tanto x ∈ {x1, . . . , xq}. El recıproco es evidente.

La ecuacion numerica de clases toma la forma

|G| = | Z(G)| +∑r

i=q+1 | G : CG(xi)|.

Si q = r entonces G es abeliano y ası Z(G) = G 6= 1. Sea pues q < r. Noteseque |G : CG(xi)| |pn por lo tanto pni = |G : CG(xi)| con 1 ≤ ni < n, q + 1 ≤ i ≤ r,de donde p||Z(G)|, luego Z(G) 6= 1.

Corolario 9.1.7. Todo grupo de orden p2 es abeliano.

Demostracion. El Z(G) es de orden 1, p, p2. Segun la proposicion anterior Z(G) 6= 1.Supongamos que |Z(G)| = p. Entonces, |G/Z(G)| = p y G/Z(G) = 〈a〉, a ∈ G.Logicamente a /∈ Z(G), ademas, Z(G) ⊂ CG(a). Ya que a 6∈ Z(G) se tiene que|CG(a)| > p luego |CG(a)| = p2 y entonces CG(a) = G, es decir, a ∈ Z(G), lo cuales contradictorio. Por lo tanto, |Z(G)| = p2, es decir, G es abeliano.

Proposicion 9.1.8. Sean G un grupo y P, Q ≤ G tales que:

(i) P es un p-subgrupo de G.

(ii) P y Q son conjugados, es decir, existe x ∈ G tal que Q = xPx−1.

(iii) P normaliza Q, es decir, para cada p ∈ P , pQp−1 = Q.

Entonces PQ es un p-subgrupo de G.

Demostracion. PQ ≤ G : sea pq ∈ PQ, entonces pqp−1 ∈ Q luego pq ∈ QP con locual PQ ⊆ QP . Analogamente, QP ⊆ PQ y ası PQ = QP .

Q E PQ: sean q ∈ Q, pq0 ∈ PQ, entonces pq0q(pq0)−1 = pq0qq

−10 p−1 ∈ Q.

Por el teorema fundamental de isomorfismo PQ/Q ∼= P/(P ∩ Q). Notese queP/(P ∩Q) es un p-grupo ( mas generalmente, si G es un p-grupo y N E G entoncesG/N es un p-grupo: x ∈ G implica |x| = pα, α ≥ 0; (x)pα

= xpα = 1 luego |x| | pα).Q es un p-grupo ya que los elementos de Q tienen el mismo orden que los elementosde P .


PQ es un p-grupo: mas generalmente, si G/N es un p-grupo y N es un p-subgrupo de G, entonces G es un p-grupo. En efecto, si x ∈ G entonces |x| =pα, con α ≥ 0, por lo tanto (x)pα

= 1, es decir, xpα ∈ N luego (xpα)pβ

= 1 conβ ≥ 0 se tiene entonces que xpα+β

= 1 lo cual implica que |x| | pα+β, esto completala prueba de la afirmacion.

Proposicion 9.1.9. Sean G un grupo y H un p-subgrupo de G. Entonces, xHx−1

es un p-subgrupo de G para cada x ∈ G.

Demostracion. Fue probada en la demostracion anterior.

9.2. Preliminares

El siguiente ejemplo ilustra que el recıproco del teorema de Lagrange no es en generalvalido.

Ejemplo 9.2.1. En A5 no hay subgrupos de orden 30, aunque 30 | |A5| = 60. Siexistiera H ≤ A5 tal que | H| = 30 entonces H E A5. Pero probaremos que paracada n ≥ 5, An es simple.

Proposicion 9.2.2. Para cada n ≥ 5, An es simple.

Demostracion. Sea H E An y H 6= 1. Sea τ 6= 1, τ ∈ H. Puesto que cadapermutacion es producto de ciclos disyuntos entonces τ tiene alguna de las siguientesformas:

(a) En la descomposicion de τ hay al menos un ciclo de longitud ≥ 4, τ =(α1α2α3α4 · · · ) · · ·

(b) Si en τ todos los ciclos son de longitud ≤ 3 entonces se presentan dos posi-bilidades:

(b1) τ es exactamente un ciclo de longitud 3, τ = (α1α2α3).(b2) En τ hay un ciclo de longitud 3 y otros ciclos de longitud ≤ 3, τ =

(α1α2α3)(α4, α5 · · · ) · · ·(c) En τ todas los ciclos son de longitud ≤ 2, es decir, τ es producto de trans-

posiciones (al menos 2 ya que H ≤ An ), τ = · · · ( α3 α4)( α1 α2) (si para cadaτ ∈ H no se presenta ninguna de estas 4 formas entonces H = 1).

Demostraremos que la existencia en H de un elemento τ 6= 1 implica la existenciaen H de al menos un ciclo de longitud 3. Estudiaremos las 4 formas posibles.

(a) τ = (α1α2α3α4 · · · ) · · · ∈ H; sea θ = (α1α2α3). Como θ = (α1α2)(α1α3) · · · ∈An y H E An entonces (θτθ−1)τ−1 ∈ H, es decir,

(α1α2α3)(α1α2α3α4 · · · ) · · · (α3α2α1) · · · (· · ·α4α3α2α1) = (α1α2α4) ∈ H(b1) No hay nada que probar.(b2) τ = · · · (α4α5 · · · )(α1α2α3) ∈ H. Sea θ = (α1α2α4) ∈ An, entonces θτθ−1τ−1

= (α1α2α5α3α4) ∈ H. Esto implica, segun (a), que H tiene un ciclo de longitud 3.

9.2. PRELIMINARES 101

(c) τ = · · · ( α3 α4)( α1 α2) ∈ H; θ = (α1α2α3) ∈ An, luego θτθ−1τ−1 =(α2α4)(α1 α3) ∈ H. Puesto que n ≥ 5 entonces se tiene que (α1α2α5α3α4) =(α1α4)(α1α3)(α1α5)(α1α2) ∈ An, de aquı resulta

(α1α2α5α3α4)(α2α4)(α1α3)(α1α2α5α3α4)−1 = (α1α5)(α2α4) ∈ H.

Hagamos ahora el producto de estas permutaciones (α1α5)(α4α2)(α2α4)(α1α3) =(α1α3α5) ∈ H.

Queremos mostrar ahora que la contenencia en H de un ciclo de longitud 3implica la inclusion en H de todos los 3-ciclos, con lo cual H = An. Sea pues(α1α2α3) un ciclo de H. Sea (β1β2β3) un 3-ciclo cualquiera de An. Puesto quen ≥ 5 entonces An es 3-transitivo; existe entonces σ ∈ An tal que σ(βi) = αi,i = 1, 2, 3. Entonces σ−1(α1α2α3)σ = (β1β2β3) ∈ H.

Antes de probar los tres teoremas de Sylow consideremos algunos hechos elemen-tales de la teorıa de numeros.

Proposicion 9.2.3. Sea X un conjunto de n elementos. Entonces el numero desubconjuntos diferentes de k elementos de X , 0 ≤ k ≤ n, es(

nk

)=

n!

(n− k)!k!.

Demostracion. Por induccion sobre n.

n = 1: valores de k; k = 0,

(10

)= 1; k = 1

(11

)= 1.

Supongamos que la afirmacion es cierta para conjuntos de n elementos: X ={x1,x2, . . . , xn} . Agregamos a X un nuevo elemento xn+1 y vemos cuantos subcon-juntos de k elementos, 0 ≤ k ≤ n , tiene X ′ := X ∪ {xn+1}.

Podemos considerar que la coleccion de subconjuntos de X ′ de k elementosesta conformada por aquellos subconjuntos donde xn+1 no aparece y aquellos quecontienen a xn+1. Del primer tipo de subconjuntos tenemos de acuerdo a la hipotesisinductiva

(nk

).

Los subconjuntos del segundo tipo podemos obtenerlos de la siguiente manera.En cada uno de los

(nk

)subconjuntos de k elementos donde no aparece xn +1 pode-

mos suprimir un elemento y en su lugar colocar xn +1. Puesto que cada conjuntotiene k elementos podemos hacer con cada uno k sustituciones; en total obtenemosk(

nk

)conjuntos donde aparece xn +1. Sin embargo, en este proceso cada conjunto

aparece n+1−k veces repetido (en efecto consideremos el conjunto de k elementos{ xi1 , . . . , xik} ⊂ X, quitamos por ejemplo xi1 y obtenemos { xn +1, xi2 , . . . , xik} .El numero de conjuntos iguales en este es n− 1 + k obteniendo al cambiar xi1 porlos n− k + 1 elementos restantes de X − { xi1 , . . . , xik}).


Por lo tanto el numero de conjuntos diferentes de k elementos donde figura xn +1

esk(n

k)n − k +1

. Como conclusion obtenemos que el numero de conjuntos de k elementosde X ′ es :(

n

k

)+

(k(

nk

)n − k + 1

)=

(n

k

)[1 +

k

n − k + 1

]=

(n + 1

k

).

Hemos probado que el numero de subconjuntos de k elementos con 0 ≤ k ≤ n, deun conjunto de n + 1 elementos es

(n +1

k

).

El caso k = n + 1 es evidentemente pues(

n +1n +1

)= 1.

La siguiente afirmacion es clave en la demostracion de los teoremas de Sylow.

Proposicion 9.2.4. Sean p primo, m ∈ Z+, m.c.d.(p, m) = 1, r ≥ 0, 0 ≤ k ≤ n.Entonces, la mayor potencia de p que divide a

(prmpk

)es pr −k.

Demostracion. Notese en primer lugar que(prm

pk

)=

pr −k m( pr m − 1) · · · ( pr m − ( pk − 1))

12 · · · (pk − 1).

Consideremos el racional prm − ii

, con 1 ≤ i ≤ pk − 1 < pk. Si pj es una potenciade p que divide a i, entonces

i = pjλ < pk ⇒ j < k ≤ r ⇒ prm−i = pr− j+jm−pjλ = pj(pr−jm−λ) ⇒ pj|prm−i,

es decir, pj es tambien una potencia que divide a prm− i.

Sea ahora pj una potencia de p que divide a prm−i, entonces prm−i = pjλ luegoprm−pjλ = i y j ≤ r, de lo contrario, prm−pj−r+rλ = i y entonces pr(m−pj−rλ) = iluego i ≥ pr ≥ pk, lo cual es falso.

Por lo tanto,

pr+ j− jmpjλ = i ⇒ pj(pr−jm− λ) = i ⇒ pj|i.

En conclusion, como m.c.d. (m, p) = 1, entonces el racional m(prm−1)···(prm−(pk−1))1,2···(pk −1)

es libre de potencias de p.

Resta ver que pr−k |(

prmpk

). Sea c =

(prmpk

)y m(prm−1)···(prm−pk+1)

1,2···(pk −1)= a

b, donde esta

ultima fraccion ya esta libre de factores p en su numerador y denominador. Entoncesc = pr−k a

b, luego cb = pr−ka, es decir, pr−k | c. Notese que pr−k+1 no divide a

(prmpk

),

ya que de lo contario abpr−k = pr−k+1λ y entonces a

b= pλ, lo cual ya probamos no

se tiene.

9.3. TEOREMAS 103

9.3. Teoremas

Teorema 9.3.1 (Teoremas de Sylow). Sea G un grupo finito y sea p un numeroprimo que divide al orden de G. Entonces:

(i) Existencia: para cada potencia pα que divide al orden de G, existe en G unsubgrupo de orden pα. Ademas, si pα+1 divide tambien a | G| entonces cadasubgrupo de orden pα esta incluido en un subgrupo de orden pα+1. En particu-lar, los p-subgrupos de Sylow de G existen y son los subgrupos de G de ordenpr, donde pres la maxima potencia de p que divide al orden de G.

(ii) Conjugacion: todos los p-subgrupos de Sylow son conjugados en G.

(iii) Cantidad: la cantidad de los p-subgrupos de Sylow de G es congruente con 1modulo p y divide al orden del grupo G.

Demostracion. (i) Existencia: sea n el orden del grupo G y sea pr la maxima potenciade p que divide a n. Sea pues n := prm, donde m.c.d.(p, m) = 1. Consideremos elconjunto M de todos los subconjuntos de G que contiene pα elementos. Puesto queG actua sobre sı mismo de la manera trivial

G×G → G, (g, x) 7→ gx,

se induce entonces una accion de G sobre M. Demostraremos en primer lugar quela accion de G sobre M determina una orbita de s elementos {M1, . . . ,Ms} tal quepr − α + 1 no divide a s: sabemos que card(M) =

(prmpα

); si la longitud de cada una de

las orbitas determinadas en M por el grupo G es divisible por pr − α + 1, entoncespr − α + 1 divide a card(M) debido a la ecuacion de clases, pero esto no es posiblesegun la proposicion 9.2.4.

Sea G1 el sugrupo estacionario de M1. Queremos demostrar que G1 es de ordenpα. Sea |G1| = t. Entonces de acuerdo con el teorema de Lagrange |G : G1| |G1| =|G|, es decir, st = prm. Sea pw la mayor potencia de p que divide a s y pv la mayorpotencia de p que divide a t, es decir, s = pwa, t = pvb. Entonces la mayor potenciade p que divide a st, es decir a n , es pw+v. Por lo tanto w+v = r. Pero como pr −α +1

no divide a s, entonces w < r − α + 1, es decir, w ≤ r − α, de aquı obtenemos quev = r − w ≥ α y por lo tanto pα | pv| t. Ası pues, pα| t y con esto t ≥ pα.

Sea ahora x ∈ M1. Notese que G1x ⊆ M1. En efecto, sea g ∈ G1. Entoncesgx ∈ gM1 = M1, es decir gx ∈ M1 y ası obtenemos la inclusion mencionada. De estainclusion obtenemos que |G1| = |G1x| ≤ |M1| = pα, es decir, t ≤ pα. De t ≥ pα yt ≤ pα obtenemos que |G1| = t = pα.

Hemos probado pues que el grupo G contiene necesariamente un subgrupo deorden pα; el subgrupo G1.

Pasamos ahora a demostrar la segunda afirmacion del primer teorema de Sylow.


Supongase que pα +1 divide a n = |G| y sea P un subgrupo de G de orden pα.Consideremos la accion de conjugacion sobre el conjunto S de subgrupos del G. SeaC la orbita del subgrupo P , es decir,

C = {gPg−1 | g ∈ G} = PG.

Recordemos que |C| = |G : NG(P )|, con NG(P ) el normalizador de P en G (= grupoestacionario de P mediante la accion de conjugacion). Notese que

|C| = |G||NG(P )|

⇒ |G| = |C||NG(P )|.

Consideremos 2 posibilidades: si p no divide a |C| entonces como pα+1 | |G| entoncesnecesariamente pα+1 | |NG(P )|. Notese que entonces p divide al orden del grupo co-ciente NG(P )/P . Segun lo demostrado en la primera parte, NG(P )/P debe contenerun subgrupo de orden p. Segun el teorema de correspondencia dicho subgrupo esde la forma P ∗/P , donde P ∗ ≤ G. Por lo tanto, |P ∗/P | = |P ∗|

|P | = |P ∗|P α = p luego

|P ∗| = pα+1 y entonces P ∗ es el subgrupo buscado.Analicemos ahora la segunda posibilidad: p | |C|. Consideremos nuevamente el

conjunto C de los subgrupos de G conjugados con P . El subgrupo P actua sobre Cmediante la conjugacion, es decir, si gPg−1 ∈ C con g ∈ G, entonces x( gPg−1)x−1 ∈C para cada x ∈ P . Como es sabido la longitud de las orbitas determinadas medianteesta accion dividen al orden del grupo P , es decir, dichas longitudes son de la formapαi , con 0 ≤ αi ≤ α.

Notese que uno de los elementos de C es el subgrupo P , por lo tanto, la orbitapor el determinada consta de un solo elemento; el mismo subgrupo P . Sean O1 ={P}, O2, . . . , Os las orbitas que determina la accion de P sobre C. Entonces segunla ecuacion de clases

|C| = 1 + |O2|+ · · ·+ |Os|.

Puesto que p | |C| y las longitudes de las orbitas O2, . . . , Os son potencias de pentonces debe existir al menos otra orbita con un solo elemento Q; de lo contrario p|1,lo cual es falso. Q es por lo tanto un subgrupo conjugado con P tal que xQx−1 = Qpara cada x ∈ p; es decir, P normaliza Q.

Tenemos pues en G, P y Q subgrupos conjugados tales que P normaliza Q yP es un p-subgrupo de G. Segun la proposicion 9.1.8, PQ es un p-subgrupo de G.Como Q es conjugado con P existe g ∈ G tal que P = gQg−1. En la prueba de laproposicion 9.1.8 se vio que Q es subgrupo normal de PQ, notese que en realidadla contenencia es propia: si Q = PQ entonces P ≤ PQ = Q luego P ≤ Q, pero|P | = |Q| luego P = Q, lo cual es falso.

PQ/Q es un p-subgrupo no trivial, entonces p | |PQ/Q| por lo tanto en PQ/Qhay un subgrupo Q∗/Q de orden p luego |Q∗| = p |Q| = pα+1 y entonces Q ≤ Q∗

9.3. TEOREMAS 105

donde |Q∗| = pα+1 se tiene pues que g−1Pg = Q ≤ Q∗ luego P ≤ gQ∗g−1 y|gQ∗g−1| = pα+1.

Para terminar la demostracion del primer teorema de Sylow mostremos que losp-subgrupos de Sylow de G son los subgrupos de G de orden pr, donde pr es lamaxima potencia de p que divide al orden de G.

Demostramos en primer lugar la siguiente afirmacion consecuencia directa delprimer teorema de Sylow.

Afirmacion. Sea G un grupo finito y sea H ≤ G, un p-subgrupo de G. Entonces|H| = pn, n ≥ 0.

En efecto, sea H 6= {1}, y sea q | |H| donde q es un primo diferente de p. Entonces,H contiene un subgrupo de orden q, el cual es cıclico, es decir, H contiene unelemento de orden q. Pero esto contradice que H es un p-grupo. Por lo tanto, elunico primo que divide el orden de H es p, por lo tanto |H| = pn, n ≥ 0.

Regresamos sobre los p-subgrupos de Sylow de G. Sea H un p-subgrupo de Sylowde G. Entonces, segun la afirmacion anterior |H| = pα, 0 ≤ α ≤ r. Si α 6= r entoncesH esta incluido en un grupo de orden pα+1. Pero esto contradice la condicion deser H maximal. Por lo tanto, |H| = pr.

Sea ahora K un p-subgrupo de G de orden pr donde pr es la maxima potenciade p que divide al orden de G. Sea H un p-subgrupo de G que contiene a K; comovimos, |H| = pα, pero como pr es la maxima potencia de p que divide a |G| entoncesα = r y ası H = K, es decir, K es maximal y por lo tanto K es un p-subgrupo deSylow de G. Hemos concluido la demostracion del primer teorema de Sylow.

(ii) Conjugacion: sean nuevamente G a un grupo de orden n y sea pr la maximapotencia de p que divide a n, n = prm, donde m.c.d.(p, m) = 1. Sea P un p-subgrupo de Sylow de G, es decir, |P | = pr. Consideremos nuevamente la accion deconjugacion sobre el conjunto S de los subgrupos de G. Sea C la orbita del subgrupoP , es decir C = {gPg−1 | g ∈ G} = PG, en otras palabras, C es el conjunto de todoslos subgrupos de G conjugados con P .

Sea Q otro p-subgrupo de Sylow de G. Se desea probar que Q ∈ C. El subgrupoQ actua nuevamente con la accion de conjugacion sobre C, dividiendo a C en orbitas.La longitud de cada orbita divide al orden de Q, |Q| = pr. Por lo tanto la longitud

de cada orbita es de la forma pα con 0 ≤ α ≤ r. Notese que |C| = |G||NG(P )| o tambien

|C| |NG(P )| = |G| = prm, como P ≤ NG(P ) entonces |P | = pr | |NG(P )|. Puestoque pr es la maxima potencia de p que divide a n = |G| entonces p no divide a |C|.Por lo dicho anteriormente, debe existir al menos una orbita de un solo elemento P ′.Esto implica que para cada x ∈ Q se tiene que xP ′x−1 = P ′, es decir, Q normalizaP ′. Ademas, como P ′ es conjugado con P , entonces P ′ es un p-subgrupo de Sylow.Tenemos pues que Q/P ′ ∩Q es un p-grupo. Se tiene el isomorfismo

P ′Q/P ′ ∼= Q/P ′ ∩Q.

Puesto que P ′ es un p-grupo y P ′Q/P ′ tambien lo es, entonces P ′Q es un p-subgrupo


de G. Notese que P ′ ≤ P ′Q, Q ≤ P ′Q; como P ′ y Q son p-subgrupos de Sylow,entonces P ′ = P ′Q = Q.

(iii) Cantidad : como P un p-subgrupo de Sylow de G todos los p-subgrupos deSylow de G estan en PG, ademas cada subgrupo gPg−1 de PG es un p-subgrupo deSylow. La primera afirmacion fue demostrada en 2) y la segunda se desprende deque |gPg−1| = |P |. Por lo tanto el numero de p-subgrupos de Sylow de G es igualal cardinal de PG.

Puesto que∣∣PG

∣∣ |NG(P )| = |G| entonces el numero de p-subgrupos de Sylowde G divide el orden de G. P actua sobre PG mediante la accion de conjugaciondeterminado al menos una orbita de un solo elemento: {P}. Supongase que P de-termina otra orbita de un solo elemento Q, Q 6= P . Entonces se tiene que P y Q conconjugados, P normaliza Q, P es un p-subgrupo. De aquı obtenemos que PQ es unp-subgrupo y ademas P es subgrupo propio de PQ. Esto contradice el hecho de queP es maximal. Por lo tanto, P determina sobre PG solo una orbita unitaria. Ya quelas longitudes de las orbitas dividen a pr = |P | entonces

∣∣PG∣∣ ≡ 1 (mod p).

9.4. Aplicaciones

Proposicion 9.4.1. Sea G un grupo finito y sea H un p-subgrupo de Sylow de G.Entonces, H E G ⇔ H es unico.

Demostracion. ⇒): Sea K un p-subgrupo de Sylow, entonces K = xHx−1 = Hluego H es unico.

⇐): Sea x ∈ G entonces |xHx−1| = |H| luego xHx−1 es p-subgrupo de Sylow,de donde xHx−1 = H, y por lo tanto H E G.

Corolario 9.4.2. Sea G un grupo finito y sea H el p-subgrupo de Sylow de G talque H E G. Entonces H = {x ∈ G | |x| es una potencia de p}.

Demostracion. Sea x ∈ H, como H por definicion es p-subgrupo entonces |x| esuna potencia de p. De otra parte, sea x ∈ G tal que |x| = pα entonces 〈x〉 es unp-subgrupo de G por lo tanto 〈x〉 esta contenido en el unico p-subgrupo de Sylowde G.

La proposicion anterior sirve para caracterizar todos los subgrupos de orden pqcon p > q y p, q primos

Proposicion 9.4.3. Sea G un grupo de orden pq con p y q primos y con p > q.Entonces:

(i) G ∼= Zpq o

(ii) G es no abeliano y se tiene que G = Gpq := 〈a, b | ap = 1, bq = 1, bab−1 = ak

con k 6≡ 1 (mod p) y kq ≡ 1 (mod p), p ≡ 1 (mod q) 〉.

9.4. APLICACIONES 107

Demostracion. G contiene al menos un subgrupo de Sylow H = 〈a〉 de orden p y unsubgrupo de Sylow K = 〈b〉 de orden q. Sean np y nq el numero de tales subgruposde Sylow, como p > q entonces np = 1. De aquı se afirma que H E G. Para nq setienen entonces dos posibilidades, nq = 1 o nq = p.

Caso 1. En G solo hay un subgrupo de Sylow de orden q. Entonces K E G yaba−1b−1 ∈ H ∩K = 1, luego ab = ba y entonces G ∼= Zpq.

Caso 2. En G hay p subgrupos de Sylow de orden q. Esto implica que p ≡ 1(mod q). Veamos que esta situacion es descrita por b). G no es abeliano, en casocontrario nq = 1, como H E G existe 1 < k < p tal que bab−1 = ak y k 6≡ 1(p).Si fuese k ≡ 1(p) entonces: p|(k − 1) luego ak−1 = 1 con lo cual ak = a de dondeab = ba es decir, G ∼= Zpq y G serıa abeliano.

Notese que escogiendo k entre 1 y p tal k es unico. Observese que b2ab−2 = ak2.

En efecto,(ak)k = ak2= (bab−1)k = bakb−1 = b(bab−1)b−1 = b2ab−2.

Podemos generalizar esta relacion por induccion y probar que

bnab−n = akn

, n ≥ 0. (9.4.1)

Tomando en particular n = q obtenemos que a = akqluego p|(kq − 1) y de esta

forma kq ≡ 1(p).Sea W = 〈a, b〉 ≤ G; y sea x ∈ W . Entonces x = ar1bl1 · · · armblm , 0 ≤ ri ≤ p−1,

0 ≤ li ≤ q − 1 , 0 ≤ i ≤ m. Consideremos el producto blar con 0 ≤ l ≤ q − 1 ,0 ≤ r ≤ p − 1. De (9.4.1) se desprende que bnarb−n = arkn

, n ≥ 0, r ≥ 0. Deaquı obtenemos que bnar = arkn

bn de esta relacion se obtiene que cada elementox ∈ G toma la forma x = arbl con 0 ≤ r ≤ p − 1, 0 ≤ l ≤ q − 1. Tales xtenemos maximo pq. Veamos que son exactamente pq. Sean 0 ≤ r, s ≤ p−1 y 0 ≤ l,m ≤ q − 1 tales que arbl = asbm entonces bm−l = ar−s ∈ 〈a〉 ∩ 〈b〉 por lo tanto∣∣bm−l

∣∣ | p,∣∣bm−l

∣∣ | q luego bm−l = 1. Por la condicion de m y l se tiene que m = l.Analogamente r = s.

Ası pues, |W | = pq con lo cual G = W . Hemos probado pues que G cumpletodas las condiciones de b), por ultimo notemos la regla de multiplicacion en Gpq yescribamos sus elementos:

Gpq ={1, a, a2, . . . , ap−1; b, b2, . . . , bq−1; ab, ab2, . . . , abq−1; . . . , ap−1b, . . . , ap−1bq−1

},

arblasbm = ar+skl

bl+m, r, l, s,m ≥ 0.

Proposicion 9.4.4. Sea p primo impar y G un grupo de orden 2p. Entonces, G ∼=Z2p o G ∼= Dp.

Demostracion. Si G es abeliano entonces G ∼= Z2p. En caso contrario existen a, b ∈ Gtales que |a| = p, |b| = 2, bab−1 = ak con k 6≡ 1(p), k2 ≡ 1(p), p ≡ 1(2), 2 ≤ k ≤ p−1.


Supongase que k ≤ p − 2. Como p|(k2 − 1) ⇒ p|k + 1 o p|k − 1. Por la condicionde k obtenemos una contradiccion. Ası, k = p − 1 y bab = ap−1 = a−1. Entonces,G ∼= Dp.

Corolario 9.4.5. Los grupos de orden 6 son Z6 y D3∼= S3.

Demostracion. Consecuencia directa de la proposicion anterior.

Proposicion 9.4.6. Los grupos no abelianos de orden 8 son D4 y Q8.

Demostracion. Sea G un grupo no abeliano de orden 8. Entonces en G debe existiral menos un elemento a de orden 4. En efecto, si todos los elementos 6= 1 tienenorden 2 entonces G es abeliano. G tampoco posee elementos de orden 8, ya que encaso contrario serıa cıclico y por lo tanto abeliano.

Puesto que |G : 〈a〉| = 2 entonces 〈a〉 E G. Evidentemente existe al menos unelemento b en G tal que b /∈ 〈a〉 . Notese que los elementos 1, a, a2, a3, b, ba, ba2, ba3

son diferentes, con lo cual G = 〈a, b〉. Puesto que |G : 〈a〉| = 2 entonces b2 ∈ 〈a〉. Enefecto, como en G/ 〈a〉 solo hay dos clases entonces b2 6= b (de lo contrario, b = 1 yası b ∈ 〈a〉 ).

Se presentan entonces las siguientes posibilidades: b2 = 1, a, a2, a3;b2 = a ⇒ b8 = a4 = 1 ⇒ |b| = 8, falso.b2 = a3 ⇒ b8 = a12 = 1 ⇒ |b| = 8 falso.Se tiene entonces que b2 = 1 o b2 = a2.De otra parte como 〈a〉 E G entonces bab−1 = 1, a, a2, a3.bab−1 = 1 ⇒ a = 1, falso.bab−1 = a ⇒ ab = ba ⇒ G es abeliano, falso.bab−1 = a2 ⇒ |bab−1| = |a| = |a2| = 4 = 2, imposible.En total, bab−1 = a3 = a−1.Se tiene pues que G es un grupo generado por dos elementos a y b para los

cuales a4 = 1, b2 = 1, bab−1 = a−1 o a4 = 1, b2 = a2, bab−1 = a−1. En el primer casoG ∼= D4 y en el segundo G ∼= Q8.

Proposicion 9.4.7. Los grupos no abelianos de orden 12 son: A4, D6 y

T := 〈a, b | a6 = 1, b2 = a3, bab−1 = a−1〉.

Demostracion. Sea H un subgrupo de Sylow de G de orden 3: H = 〈c〉. Medianteel refinamiento del teorema de Cayley (vease el ejemplo 8.2.6) podemos definir unhomomorfismo

Φ : G → S (G/H) ∼= S4

Notese que ker(Φ) ⊆ H (ker(Φ) es el subgrupo normal mas grande de G contenidoen H) luego ker(Φ) = 1 o ker(Φ) = H. Si ker(Φ) = 1 entonces G es isomorfo a unsubgrupo de S4 de orden 12. Pero se puede probar que si n ≥ 2, G ≤ Sn y |G| = n!

2

entonces G = An (vease el ejecicio 6 del presente capıtulo).

9.4. APLICACIONES 109

Supongamos ahora que ker(Φ) = H, entonces H es normal en G y por lo tantoH es el unico 3-subgrupo de Sylow. Entonces, en G solo hay dos elementos de orden3: c y c2. Puesto que dos elementos conjugados tienen el mismo orden entonces∣∣cG∣∣ = 1 o 2 luego |CG(c)| = 12 o 6. En cualquiera de los dos casos CG(c) contiene

un elemento d de orden 2. Como cd = dc, sea pues a := cd entonces |a| = 6 con locual 〈a〉 E G y |G/ 〈a〉| = 2.

Sea b ∈ G con b /∈ 〈a〉, entonces b2 ∈ 〈a〉 (vease la prueba de la proposicion 9.4.6),luego b2 = 1, a, a2, a3, a4, a5 ; tambien, bab−1 ∈ 〈a〉 ⇒ bab−1 = 1, a, a2, a3, a4, a5.

bab−1 = 1 ⇒ a = 1, falso.bab−1 = a ⇒ ab = ba ⇒ 〈a, b〉 es abeliano, pero este subgrupo tiene 12 elementos

y coincide entonces con G, falso.bab−1 = a2 ⇒ (bab−1)

3= 1 ⇒ ba3b−1 = 1 ⇒ a3 = 1, falso.

bab−1 = a3 ⇒ (bab−1)2

= 1 ⇒ a2 = 1, falso.bab−1 = a4 ⇒ (bab−1)

3= 1 ⇒ a3 = 1, falso.

bab−1 = a5 = a−1 ⇒ bab−1 = a−1, esta es una entonces una condicion necesariaen G.

b2 = 1, esta es una posibilidad.

b2 = a ⇒ (b2)6

= 1 ⇒ b12 = 1 ⇒ |b| | 12, luego|b| = 1 ⇒ b = 1, falso.|b| = 2 ⇒ b2 = 1 = a, falso.|b| = 3 ⇒ b2b = 1 ⇒ ab = 1 ⇒ b ∈ 〈a〉, falso.|b| = 4 ⇒ b4 = a2 = 1, falso.|b| = 6 ⇒ b6 = a3 = 1, falso.

⇒ |b| = 12 ⇒ G es abeliano, falso.

b2 = a2: puesto que bab−1 = a−1 ⇒ (bab−1)2

= a−2 ⇒ ba2b−1 = a−2 ⇒ bb2b−1 =a−2 ⇒ b2 = a−2 = a2 ⇒ a4 = 1, falso.

b2 = a3, esta es una posibilidad.b2 = a4 : (bab−1)

4= a−4 ⇒ ba4b−1 = a−4 ⇒ bb2b−1 = a−4 ⇒ b2 = a−4 = a4 ⇒

a8 = 1 ⇒ 6|8, imposible.b2 = a5 ⇒ (b2)

6= (a5)

6= 1 ⇒ b12 = 1 ⇒ |b| | 12, luego

|b| = 1 ⇒ b = 1, falso.|b| = 2 ⇒ a5 = 1, falso|b| = 3 ⇒ a15 = 1 ⇒ 6|15, falso.|b| = 4 ⇒ a10 = 1, falso.|b| = 6 ⇒ a15 = 1, falso.|b| = 12 ⇒ G es abeliano, falso.

Resumiendo los resultados anteriores obtenemos que si G es un grupo no abelianode orden 12 entonces: G es A4 o en G se tienen dos elementos a y b tales que


a6 = 1, b2 = 1, bab−1 = a−1, o en G hay dos elementos a , b tales que a6 = 1, b2 =a3, bab−1 = a−1.

Veamos que en los dos ultimos casos G = 〈a, b〉. En ambas situaciones conside-remos el conjunto

C :={akbm | 0 ≤ k ≤ 5, 0 ≤ m ≤ 1

}y sean 0 ≤ k1, k2 ≤ 5, 0 ≤ m1, m2 ≤ 1 tales que ak1bm1 = ak2bm2 ⇒ ak1−k2 = bm2−m1 .Supongamos que m2 6= m1 y por ejemplo m2 > m1 entonces ak1−k2 = b ∈ 〈a〉, falso,luego m2 = m1 y k1 = k2.

Ası pues, en A hay 12 elementos y en consecuencia G = 〈a, b〉. En total obtenemosque si G es un grupo no abeliano de orden 12, entonces G es alguno de los siguientesgrupos:

A4, D6 =⟨a, b | a6 = 1, b2 = 1, bab−1 = a−1

⟩, T =

⟨a, b | a6 = 1, b2 = a3, bab−1 = a−1

⟩.

9.5. Ejercicios

1. Sea G un grupo formado por dos elementos x, y tales que

(i) xp = 1 (es decir x es de orden p);

(ii) yq = 1 (es decir y es de orden q < p);

(iii) Existe 1 < k0 < p, k0 6≡ 1(p) tal que yxy−1 = xk0 ;

(iv) kq0 ≡ 1 (p);

(v) p ≡ 1 (q).

Entonces, G ∼= Gpq.

2. Demuestre que ningun grupo de orden pq es simple, donde p, q son primos.

3. Demuestre que todo grupo de orden 15 es cıclico.



6. Demuestre que si n ≥ 2, H ≤ Sn, |H| = n!2⇒ H = An (vease la demostracion

de la proposicion 9.2.2).

7. Calcule todos los 3-subgrupos de Sylow del grupo T .

8. Calcule el grupo Aut(T ).

9. Calcule el grupo Aut(Gpq).

Capıtulo 10

Grupos abelianos finitos

El objetivo central de este capıtulo es describir para un entero positivo dado ntodos los grupos abelianos de orden n (salvo isomorfismo). La descripcion se hara enterminos de p-grupos cıclicos, los cuales, como veremos, son indescomponibles. Seestablecera ademas un criterio para la unicidad de dicha descomposicion.

10.1. p-grupos abelianos finitos

Comenzamos probando que todo grupo finito G de orden n = pr11 · · · prk

k es sumadirecta de sus subgrupos de Sylow si, y solo si, estos son normales. En el caso de serG abeliano esta condicion se da automaticamente y podemos enunciar el siguienteteorema.

Teorema 10.1.1. Sea G un grupo finito de orden n,

|G| = n = pr11 · · · p

rkk ; p1, . . . , pk primos diferentes y r1, . . . , rk ≥ 1.

Entonces, G es suma directa de sus subgrupos de Sylow si, y solo si, estos sonnormales en G:

G = P1 ⊕ · · · ⊕ Pk, (10.1.1)

donde Pi es el pi-subgrupo de Sylow de G, 1 ≤ i ≤ k. En particular, si G es abeliano,entonces G es suma directa interna de sus subgrupos de Sylow.

Demostracion. ⇒): Si G es suma directa de sus subgrupos de Sylow, entonces porla definicion de suma directa, cada sumando es necesariamente subgrupo normal deG.

⇐): Para 1 ≤ i ≤ k, sea Pi un pi-subgrupo de Sylow de G tal que Pi es unsubgrupo normal de G. Entonces Pi es unico. Probaremos entonces que (10.1.1) secumple. Veremos que cada elemento x ∈ G tiene una representacion unica en laforma x = x1 · · ·xk, donde xi ∈ Pi, 1 ≤ i ≤ k.

111

112 CAPITULO 10. GRUPOS ABELIANOS FINITOS

(a) Por razones de orden de sus elementos, para i 6= j se tiene que Pi ∩ Pj = 1.(b) A partir de (a) se obtiene que para i 6= j los elementos de Pi conmutan con

los de Pj.(c) El neutro 1 de G tiene representacion unica: sean xi ∈ Pi, 1 ≤ i ≤ k

tales que 1 = x1 · · ·xk. Sea si = |xi|, entonces si = pαii , 0 ≤ αi ≤ ri. Sea s =

s1 · · · si−1si+1 · · · sk, entonces 1s = xsi , luego si|s y pαi

i |pα11 c · · · pαi−1

i−1 pαi+1

i+1 · · · pαkk . Esto

implica que αi = 0, luego si = 1, es decir, xi = 1, para cada 1 ≥ i ≥ k.(d) Cada elemento x ∈ G se puede representar en la forma unica anunciada: sea

x ∈ G de orden r de tal forma que r|n y r = ps11 . . . psk

k , donde 0 ≤ si ≤ ri con1 ≤ i ≤ k. Sea ui = r

psii

, entonces m.c.d.(u1, . . . , uk) = 1. Existen entonces enteros

t1, . . . , tk tales que 1 = t1u1 + · · · + tkuk, sea xi = xtiui , 1 ≥ i ≥ k. Notese que

xp

sii

i = (xtiui)psii = xtiuip

sii = xtir = 1; luego xi ∈ Pi. Notese ahora que x1 · · ·xk =

xt1u1 · · ·xtkuk = xt1u1+···+tkuk = x1 = x. A partir de (b) y (c) se obtiene que estarepresentacion es unica.

Corolario 10.1.2. Sea n = pr11 · · · p

rkk . Entonces,

Zn∼= Zp

r11× · · · × Zp

rkk

.

Demostracion. Consecuencia inmediata del teorema anterior.

El objetivo central en la descripcion de los grupos abelianos finitos consiste enexpresar G como suma directa de subgrupos de estructura simple y conocida, comopor ejemplo a traves de subgrupos cıclicos. Desde luego que sobre estos subgruposhabra que colocar alguna restriccion ya que de lo contrario la descomposicion noserıa unica. Notese por ejemplo que Z6

∼= Z2 × Z3.Nuestro objetivo inmediato es estudiar los p-grupos abelianos finitos, es decir,

los grupos abelianos cuyo orden es de la forma pn, n ≥ 0.

Proposicion 10.1.3. Si G es un grupo cıclico de orden pn, entonces G no se puededescomponer en suma directa de subgrupos cıclicos de orden menor, es decir, G esirreducible.

Demostracion. Sabemos que G ∼= Zpn ∼= Cpn . Probemos inicialmente que los unicossubgrupos de Cpn son los subgrupos de la cadena

{1} = Cp0 ⊂ Cp1 ⊂ Cp2 ⊂ · · · ⊂ Cpn−1 ⊂Cpn .

Sea K ≤ Cpn , entonces |K| | pn, luego |K| = pα, 0 ≤ α ≤ n; sea x ε K, entoncesxpα

= 1 de donde K ≤ Cpα y K = Cpα .Ahora si existieran H, K en Cpn tales que Cpn = H ⊕ K entonces H = Cpα ,

K = Cpβ , H ∩K = {1}. Para α y β dados se tiene que α ≤ β o β ≤ α. En el primercaso H ≤ K y H ∩K = H = {1} luego α = 0 y β = n. En el segundo caso K ≤ H,H ∩K = K = {1} y entonces α = n, β = 0. En total, la unica descomposicion deCpn es la trivial: Cpn = {1} ⊕ Cpn .

10.1. P -GRUPOS ABELIANOS FINITOS 113

Ejemplo 10.1.4. Z4 y Z2 ⊕ Z2 no son isomorfos; Z9 y Z3 ⊕ Z3 no son isomorfos.

Teorema 10.1.5. Cada p-grupo abeliano finito G es suma directa de subgruposcıclicos.

Demostracion. Sea G un p-grupo abeliano finito, entonces |G| = pn, con n ≥ 0. Laprueba se realiza por induccion sobre n. Si n = 0 o n = 1, entonces G es cıclico yno hay nada mas que demostrar.

Sea n ≥ 2. Suponemos que el teorema ya ha sido probado para grupos de ordenpα con 0 ≤ α < n. Sea G de orden pn. Si G es cıclico entonces segun la proposicionanterior la unica descomposicion de G es la trivial: G = {1} ⊕G.

Supongase que G no es cıclico. Cada elemento a de G, a 6= 1, tiene orden de laforma |a| = pβ, 0 < β < n. Escojamos un a 6= 1 que tenga orden maximal pm (estoquiere decir que no existe y en G tal que |y| = pm+1).

Consideremos el grupo cociente G = G/〈a〉. Puesto que |G| = pn

pm = pn−m y0 < n−m < n entonces segun la hipotesis inductiva

G = G1 ⊕ · · ·⊕ Gr,

donde cada Gi es un subgrupo cıclico de G de orden |Gi| = pmi , 1 ≤ mi ≤ n−m, 1 ≤i ≤ r; ademas

m1 + m2 + · · ·+ mr = n−m.

Sea Gi = 〈δi〉, δi = δi〈a〉, δi ε G, 1 ≤ i ≤ r. Serıa logico pensar que G = 〈δ1〉⊕ · · ·⊕〈δr〉⊕〉a〉. Sin embargo no es este el caso, pero con ayuda de los elementos δ1, . . . , δr

construiremos otros a1, . . . , ar y para ello probaremos que G = 〈a1〉 ⊕ 〈a2〉 ⊕ · · · ⊕〈ar〉 ⊕ 〈a〉.

Notese que para cada 1 ≤ i ≤ r, (δi)pmi = (δpmi

i ) = 1 por lo tanto δpmi

i ε〈a〉 yentonces δpmi

i = asi con 0 ≤ si < pm. Sea |bi| = pαi con 1 ≤ αi ≤ m, entonces(bpmi

i )pαi = (asi)pαi , luego 1 = asipαi , con lo cual pm|sip

αi y existe entonces ti tal quesi = tip

m−αi . Definimos

ai =: δia−ti , 1 ≤ i ≤ r.

Notese que para cada 1 ≤ i ≤ r ai = δi : en efecto, ai = ai〈a〉 = δi〈a〉 = δi ya queaiδ

−1i = a−tiε〈a〉. De aquı obtenemos que 〈ai〉 = 〈δi〉 = Gi, 1 ≤ i ≤ r. Por lo tanto,

G = 〈ai〉 ⊕ · · · ⊕ 〈ar〉.Sea x un elemento cualquiera de G. Entonces x = x1 · · · xr, donde xiε〈ai〉, 1 ≤

i ≤ r, resulta xi = aiki , 0 ≤ ki < pmi , luego xi = aki

i y entonces x = ak11 · · · akr

r , esdecir, x(ak1

1 · · · akrr )−1 = ak ∈ 〈a〉, con lo cual x = ak1

1 · · · akrr ak.

Se ha probado que cada elemento x de G se expresa como producto de elementosde 〈a1〉 · · · 〈ar〉 y 〈a〉. Queda por demostrar que la representacion es unica. Para estoes suficiente demostrar la unicidad de la representacion del elemento identidad 1.Sea


1 = ak11 · · · akr

r ak con 0 ≤ ki < pmi , 0 ≤ k < pm.

Mediante el homomorfismo G → G /〈a〉 obtenemos 1 = ak11 · · · akr

r , luego ak11 =

1 · · · akrr = 1 ya que G = G1 ⊕ · · · ⊕ Gr y aki

i εGi, 1 ≤ i ≤ r, por lo tanto, akii ε〈a〉,

1 ≤ i ≤ r, y entonces akii = az, con 0 ≤ z < pm. Se tiene que δki

i a−tiki = az, luego

δkii = az+tiki , es decir, δki

i = az+tiki = 1 y entonces (δi)ki = 1. Como |δi| = pmi y

0 ≤ ki < pmi , entonces ki = 0, 1 ≤ i ≤ r, y de esta forma 1 = ak. Como 0 ≤ k < pm

y |a| = pm, luego k = 0.

El teorema anterior ha probado que cada grupo abeliano finito de orden pn sedescompone en suma directa de subgrupos cıclicos

G = G1 ⊕ · · · ⊕Gr,

donde |Gi| = pmi , 1 ≤ mi ≤ n, 1 ≤ i ≤ r, m1 + · · · + mr = n, 1 ≤ r ≤ n (Noteseque aquı se ha incluido el caso trivial en el que G es cıclico y r = 1).

Vale la pena entonces preguntar sobre la unicidad de la descomposicion anterior.

Teorema 10.1.6. Si el grupo abeliano finito G se descompone en dos formas enproducto de subgrupos cıclicos

G = G1 ⊕ · · · ⊕Gr = H1 ⊕ · · · ⊕Hs,

entonces r = s y los ordenes |Gi| coinciden con los ordenes |Hj| despues de unareordenacion de ındices.

Demostracion. Este resultado se puede enunciar y probar de una manera mas gen-eral usando teorıa de modulos, omitimos sun demostracion e invitamos al lector aconsultar [9].

10.2. Sistemas de invariantes

Segun el teorema 10.1.5 cada p-grupo abeliano finito G, |G| = pn, determina unarreglo ordenado (pm1 , . . . , pmr) conformada por los ordenes de los subgrupos cıclicosde su descomposicion:

G = G1 ⊕ · · · ⊕Gr, |Gi| = pmi ,

La suma directa se puede reordenar de tal forma que m1 ≥ m2 ≥ · · · ≥ mr ≥ 1,1 ≤ r ≤ n (se ha incluido el caso trivial cuando G es cıclico y r = 1). Segun elteorema 10.1.6, la longuitud r del arreglo ası como sus componentes pm1 , . . . , pmr ,estan determinadas unıvocamente por el grupo G. Esta primera observacion permitedar la siguiente definicion.

10.2. SISTEMAS DE INVARIANTES 115

Definicion 10.2.1. Sea G un p− grupo abeliano finito, (|G| = pn).

(i) Se dice que G es del tipo (pm1 , . . . , pmr) si G es suma directa de subgruposcıclicos de ordenes pmi, 1 ≤ i ≤ r, m1 ≥ m2 ≥ · · · ≥ mr, 1 ≤ r ≤ n,m1 + · · · + mr = n; las componentes pm1 , . . . , pmr se denominan divisoreselementales del grupo G.

(ii) Sean A y B dos p− grupos abelianos finitos con el mismo sistema de divisoreselementales (pm1 , . . . , pmr). Entonces A = A1 × · · · × Ar, B = B1 × · · · × Br

con Ai∼= Zpmi

∼= Bi. El sistema de isomorfismos ϕi induce el isomorfismo

ϕ : A → B

ϕ(a1, . . . , ar) := (ϕ1(a1), . . . , ϕr(ar)).

Hemos probado entonces la siguiente proposicion.

Proposicion 10.2.2. Con sus divisores elementales cada p-grupo abeliano finitoqueda determinado unıvocamente salvo isomorfismo.

Veamos en un ejemplo la ilustracion de los resultados anteriores.

Ejemplo 10.2.3. Sea p un primo cualquiera y n = 4. Determinemos todos losposibles grupos abelianos de orden p4.

Divisores elementales: (p4), (p3, p), (p2, p2), (p2, p, p), (p, p, p, p). Salvo isomorfis-mo, unicamente se tienen los siguientes grupos distintos de orden p4:

Zp4 , Zp3 ⊕ Zp, Zp2 ⊕ Zp2 , Zp2 ⊕ Zp ⊕ Zp, Zp ⊕ Zp ⊕ Zp ⊕ Zp.

El ejemplo anterior permite la siguiente generalizacion.

Definicion 10.2.4. Sea n un entero positivo. Una sucesion de enteros positivos(m1, . . . ,mr) con m1 ≥ m2 ≥ · · · ≥ mr ≥ 1 y m1 + · · · + mr = n se denomina unaparticion de n. Sea p(n) el numero de particiones de n.

Ejemplo 10.2.5. n = 4: (4), (3, 1), (2, 2), (2, 1, 1), (1, 1, 1, 1) ⇒ p(4) = 5.

Proposicion 10.2.6. Sea F la clase de todos los grupos abelianos no isomorfosde orden pn, n ≥ 1, y sea P el conjunto de todas las particiones de n. Existe unacorrespondencia biunıvoca entre F y P , es decir, el numero de grupos abelianos noisomorfos de orden pn es finito e igual a p(n).

Demostracion. Segun hemos visto, cada elemento G de F determina unıvocamentesu tipo (pm1 , . . . , pmr) con m1 ≥ m2 ≥ · · · ≥ mr y m1 + · · ·+ mr = n. Tenemos puesla funcion


h: F → Ph(G) := (m1, . . . ,mr).

Cada particion (m1, . . . ,mr) determina un unico grupo (salvo isomorfismo) con sis-tema de divisores elementales (pm1 , . . . , pmr). Ası pues, h es 1 − 1. Ahora, h esclaramente sobre: (m1, . . . ,mr) determina (pm1

1 , . . . , pmr), el cual a su vez determinaZpm1 ⊕ · · ·⊕ Zpmr .

Ejemplo 10.2.7. (i) Determinemos todos los subgrupos abelianos de orden 4: 4 = 22

entonces en este caso p = 2, n = 2, luego (4), (2, 2) y ası los subgrupos son Z4,Z2 ⊕ Z2

∼= V .(ii) Determinemos todos los grupos abelianos de orden 125:p = 5, n = 3 ⇒ (53), (52, 5), (5, 5, 5) ⇒ Z125, Z25 ⊕ Z5, Z5 ⊕ Z5 ⊕ Z5.

Definicion 10.2.8. Un grupo abeliano de orden pn con sistema de divisores elemen-tales (p, . . . , p) (es decir, isomorfo a Zp ⊕ · · · ⊕ Zp) se denomina grupo abelianoelemental.

10.3. Grupos abelianos finitos

De los resultados de las secciones anteriores obtenemos las siguientes conclusiones.

Teorema 10.3.1. Cada grupo abeliano finito es suma directa de p-subgrupos cıcli-cos. Dos descomposiciones difieren solo en el orden de disposicion de los sumandos.

Demostracion. Sea G un grupo abeliano finito de orden n

|G| = pn11 · · · pnk

k , p1, . . . , pk son primos diferentes.

Entonces, segun el teorema 10.1.1 G tiene una descomposicion unica en suma directade sus subgrupos de Sylow (sus componentes primarias),

G = P1 ⊕ · · · ⊕ Pk.

Por el teorema 10.1.5 cada componente primaria Pi, 1 ≤ i ≤ k, se descompone ensuma directa de subgrupos cıclicos (componetes primarias cıclicas). Ademas, segunel teorema 10.1.6 cada componente primaria Pi determina unıvocamente el numeroy orden de sus subgrupos cıclicos:

P1 = G11 ⊕ · · · ⊕G1

t1, P2 = G2

1 ⊕ · · · ⊕G2t2, . . . , Pk = Gk

1 ⊕ · · · ⊕Gktk

,

donde los Gij son pi-subgrupos cıclicos. Entonces,

G = G11 ⊕ · · · ⊕G1

t1⊕G2

1 ⊕ · · · ⊕G2t2⊕ · · · ⊕Gk

1 ⊕ · · · ⊕Gktk

.

10.3. GRUPOS ABELIANOS FINITOS 117

Si G tiene otra descomposicion en suma directa de subgrupos primarios cıclicosG = H1 ⊕ H2 ⊕ · · · ⊕ H`, entonces podemos ordenar dichos sumandos de tal for-ma que colocamos todos los p1-grupos a la izquierda, los p2-grupos a la derecha acontinuacion y ası sucesivamente. Segun el primer teorema de Sylow en esta nuevadescomposicion de G deben aparecer pi− grupos para cada primo pi, 1 ≤ i ≤ k.

Ademas, segun el segundo teorema de Sylow los pi−sumandos conforman elpi−subgrupo de Sylow de G. Luego segun el teorema 10.1.6, los pi sumandos dela nueva descomposicion deben ser tantos como ti, 1 ≤ i ≤ k, ademas los ordenesdeben coincidir con los ordenes de Gi

1, . . . , Giti.

El teorema anterior describe de manera completa los grupos abelianos finitos enterminos de grupos primarios cıclicos.

Corolario 10.3.2. El numero de grupos abelianos no isomorfos de orden

n = pn11 · · · pnk

k , p1, . . . , pk primos diferentes

es p(n1)p(n2) · · · p(nk), donde p(ni) es el numero de particiones del entero positivoni, 1 ≤ i ≤ k.

Demostracion. Consecuencia directa del teorema anterior y de la proposicion 10.2.6.

Proposicion 10.3.3 (Recıproco del teorema de Lagrange para grupos a-belianos finitos). Sea G un grupo abeliano finito y sea m ∈ Z+ tal que m||G|.Entonces G contiene al menos un subgrupo de orden m.

Demostracion. Sea |G| = n = pn11 · · · pnk

k y sea m|n, m = pm11 · · · pmk

k con 0 ≤mi ≤ ni, 1 ≤ i ≤ k. Existen en G subgrupos H1, . . . , Hk de ordenes |Hi| = pmi

i ,1 ≤ i ≤ k. Como G es abeliano H1 · · ·Hk ≤ G. Veamos que |H1 · · ·Hk| = m. Paraello probemos que Hj ∩ (H1 · · ·Hj−1Hj+1 · · ·Hk) = 1, para cada 1 ≤ j ≤ k.

Sea x ∈ Hj ∩ (H1 · · ·Hj−1Hj+1 · · ·Hk), entonces |x| | pmj

j y |x| | pm11 · · · pmj−1

j−1

pmj+1

j1 · · · pmkk luego |x| | d, donde d = m.c.d. (p

mj

j ; pm11 · · · pmj−1

j−1 pmj+1

j+1 · · · pmkk ) = 1. Se

tiene entonces que |x| = 1, es decir, x = 1.

Ejemplo 10.3.4. (i) Determinemos todos los grupos abelianos de orden 1440.1440 = 25 × 5× 32;p(5): (5),(4,1),(3,2),(3,1,1),(2,2,1),(2,1,1,1),(1,1,1,1,1);p(1)=(1);p(2):(2),(1,1); ⇒Z32 ⊕ Z5 ⊕ Z9; Z32 ⊕ Z5 ⊕ Z3 ⊕ Z3

Z16 ⊕ Z2 ⊕ Z5 ⊕ Z9; Z16 ⊕ Z2 ⊕ Z5 ⊕ Z3 ⊕ Z3

Z8 ⊕ Z4 ⊕ Z5 ⊕ Z9; Z8 ⊕ Z4 ⊕ Z5 ⊕ Z3 ⊕ Z3

Z8 ⊕ Z2 ⊕ Z2 ⊕ Z5 ⊕ Z9; Z8 ⊕ Z2 ⊕ Z2 ⊕ Z5 ⊕ Z3 ⊕ Z3


Z4 ⊕ Z4 ⊕ Z2 ⊕ Z5 ⊕ Z9; Z4 ⊕ Z4 ⊕ Z2 ⊕ Z5 ⊕ Z3 ⊕ Z3

Z4 ⊕ Z2 ⊕ Z2 ⊕ Z2 ⊕ Z5 ⊕ Z9; Z4 ⊕ Z2 ⊕ Z2 ⊕ Z2 ⊕ Z5 ⊕ Z3 ⊕ Z3,Z2 ⊕ Z2 ⊕ Z2 ⊕ Z2 ⊕ Z2 ⊕ Z5 ⊕ Z9; Z2 ⊕ Z2 ⊕ Z2 ⊕ Z2 ⊕ Z2 ⊕ Z5 ⊕ Z3 ⊕ Z3

(ii)Veamos que Z72 ⊕ Z84∼= Z36 ⊕ Z168:

Z72 ⊕ Z84∼= Z8 ⊕ Z9 ⊕ Z4 ⊕ Z3 ⊕ Z7

∼= Z9 ⊕ Z4 ⊕ Z8 ⊕ Z3 ⊕ Z7∼= Z36 ⊕ Z168

(iii) ¿Son Z72 ⊕ Z12 y Z18 ⊕ Z48 isomorfos?Z72 ⊕ Z12

∼= Z8 ⊕ Z9 ⊕ Z4 ⊕ Z3∼= Z8 ⊕ Z4 ⊕ Z9 ⊕ Z3 ⇒ (23, 22, 32, 31);

Z18 ⊕ Z48∼= Z9 ⊕ Z2 ⊕ Z16 ⊕ Z3

∼= Z16 ⊕ Z2 ⊕ Z9 ⊕ Z3 ⇒ (24, 21, 32, 31).Puesto que los sistemas de divisores elementales son distintos, entonces los grupos

no son isomorfos.

10.4. Grupos de orden ≤ 15

Con la informacion obtenida en este y el capıtulo anterior podemos determinar (salvoisomorfismo) todos los grupos de orden ≤ 15.

n Abelianos No abelianos1 12 Z2

3 Z3

4 Z4, V = 〈a, b|a2 = 1 = b2, ab = ba〉5 Z5

6 Z6 D3 = S3

7 Z7

8 Z8, Z4 ⊕ Z2, Z2 ⊕ Z2 ⊕ Z2 D4, Q8

9 Z9, Z3 ⊕ Z3

10 Z10 D5

11 Z11

12 Z12, Z6 ⊕ Z2 A4, D6, T = 〈a, b | a6 = 1, b2 = a3, bab−1 = a−1〉13 Z13

14 Z14 D7

15 Z15

10.5. Ejercicios

1. Determine todos los grupos abelianos de orden 81.

2. Determine todos los grupos abelianos de orden 1024.

3. ¿Son Z30 ⊕ Z20 y Z10 ⊕ Z60 isomorfos?

4. Sean G, H grupos abelianos finitos tales que G×G ∼= H ×H. Demuestre queG ∼= H.

10.5. EJERCICIOS 119

5. Sean G, H grupos abelianos finitos tales que para cada entero positivo m ambostienen el mismo numero de elementos de orden m. Demuestre que G ∼= H.

6. Sea G un grupo abeliano que tiene 8 elementos de orden 3, 18 elementosde orden 9 y el elemento identidad. Encuentre la descomposicion de G comoproducto de grupos cıclicos.

Capıtulo 11

Grupos solubles

En los capıtulos anteriores hemos tratado con grupos abelianos y grupos finitos. Ungrupo cualquiera no esta obligado a pertenecer a alguna de estas clases, sin embargo,siempre se puede relacionar de alguna manera con ellas y estudiar por este caminoel grupo. Una de las generalizaciones mas importantes de la conmutatividad es lasolubilidad, de la cual nos ocupamos en este capıtulo. Es importante anotar que lasolubilidad en grupos esta estrechamente ligada con la solubilidad por radicales delas ecuaciones algebraicas (vease [10]). La solubilidad, sera estudiada a traves de losconmutadores y el conmutante de un grupo.

11.1. Centro de un grupo

Uno de los parametros que indica el grado de conmutatividad de un grupo es laaproximacion de el con su centro. A continuacion repasaremos algunas nociones ypropiedades introducidas en capıtulos anteriores.

Proposicion 11.1.1. Sea G un grupo, H un subgrupo de G y A un subconjunto novacıo de G. Sean

NH (A) := {x ∈ H|Ax := xAx−1 = A},CH (A) := {x ∈ H|ax := xax−1 = a para cada a ∈ A}

el normalizador y centralizador de A en H, respectivamente. Entonces,

CH (A) E NH (A) ≤ H.

Demostracion. Notese que NH (A) 6= ∅ ya que 1 ∈ NH (A). Sean x, y ∈ NH (A)entonces Axy = (Ax)y = Ay = A luego xy ∈ NH (A); ademas Ax−1

= A, es decir,x−1 ∈ NH (A). Esto indica que NH (A) ≤ H. De manera analoga se prueba queCH (A) ≤ H. Evidentemente CH (A) ≤ NH (A). Sean a ∈ A, x ∈ NH (A) y seay ∈ CH (A), entonces xyx−1a (xyx−1)

−1= xyx−1axy−1x−1 = xya0y

−1x−1, dondea0 := x−1ax ∈ A; luego xya0y

−1x−1 = xa0x−1 = a, es decir, xyx−1 ∈ CH (A).

120

11.2. CONMUTANTE DE UN GRUPO 121

Consideremos ahora el caso particular en el cual H = G y A = K es un subgrupode G.

Proposicion 11.1.2. Sea G un grupo y K ≤ G. Entonces

(i) K E NG (K) y NG (K) es el subgrupo mas grande de G en el cual K es normal.

(ii) K E G ⇔ NG (K) = G.

Demostracion. (i) La primera parte es consecuencia de la definicion de normalizador.(ii) Es una consecuencia directa de (i).

Recordemos que si G es un grupo su centro se define como el centralizador de Gen G y se denota por Z (G), es decir,

Z (G) := {x ∈ G|ax = a para cada a ∈ G}.

Proposicion 11.1.3. Sea G un grupo. Entonces

(i) Z (G) es un grupo abeliano.

(ii) Z (G) E G.

(iii) G es abeliano ⇔ G = Z (G).

Demostracion. Consecuencia directa de la definicion de centro.

11.2. Conmutante de un grupo

Ademas del centro, otro de los parametros que permite establecer la “distancia”de ungrupo a la conmutatividad es su conmutante. Definimos en esta leccion el conmutantede dos subconjuntos cualesquiera de un grupo.

Definicion 11.2.1. Sea G un grupo cualquiera y sean a, b elementos de G. Se de-nomina conmutador de los elementos a y b al elemento [a, b] de G definido por

[a, b] := a−1b−1ab.

Se denomina conmutante de G o subgrupo derivado de G al subgrupo generadopor los conmutadores y se denota por G′ o tambien por [G, G]:

G′ = [G, G] := 〈[a, b] | a ∈ G, b ∈ G〉.

Mas generalmente, sean L, M ⊆ G no vacıos. Se denomina conmutante mutuo,o sencillamente conmutante de L y M , al subgrupo

[L, M ] := 〈[a, b] | a ∈ L, b ∈ M〉.

122 CAPITULO 11. GRUPOS SOLUBLES

Proposicion 11.2.2. Sea G un grupo y sean L, M E G. Entonces [L, M ] E G. Enparticular, G′ E G.

Demostracion. Cada elemento z de [L, M ] es de la forma z = z1 · · · zk, donde cadazi, 1 ≤ i ≤ k, es de la forma [a, b] o [a, b]−1 con a ∈ L, b ∈ M . Sea x un elementocualquiera de G. Entonces zx = x−1zx = zx

1 · · · zxk . Pero

[a, b]x = [ax, bx] y ax ∈ L, bx ∈ M ,([a, b]−1)x = ([a, b]x)

−1= [ax, bx]−1.

Se obtiene entonces que zx ∈ [L, M ] , es decir, [L, M ] E G.

Proposicion 11.2.3. Sea G un grupo. G es abeliano ⇔ G′ = 1.


Proposicion 11.2.4. Sea G un grupo. Si G′ ≤ K ≤ G entonces K E G. Ademas,G/G′ es un grupo abeliano y G′ esta contenido en cada subgrupo normal K de G talque G/K sea abeliano. En particular, el maximo cardinal de G/K, con este ultimoabeliano, es igual a | G : G′ |.

Demostracion. Sea K tal que G′ ≤ K ≤ G. Sea x ∈ G y a un elemento cualquierade K. Entonces (x−1ax) a−1 ∈ G′ ≤ K ⇒ x−1ax ∈ K, es decir, K E G. Seanx, y ∈ G. Entonces, x −1 y −1 xy = x−1y−1xy = 1, es decir, x y = y x y ası G/G′ esabeliano.

Sea ahora K E G tal que G/K es abeliano. Sea z = z1 · · · zk un elementocualquiera de G′. Cada zi es de la forma [a, b] = a−1b−1ab o de la forma [a, b]−1 =[b, a] = b−1a−1ab, donde a, b ∈ G. Consideremos la clase de a−1b−1ab en el cocienteG/K: a−1b−1ab = a −1b −1 ab = 1, o sea que (a−1b−1ab)

−1 ∈ K. De lo anterior sedesprende que z ∈ K y en total G′ ≤ K. Ademas, | G |=| G : K || K |≥| G : K ||G′ |, luego | G : G′ || G′ |=| G |≥| G : K || G′ | por lo tanto | G : G′ |≥| G : K |.

Consideremos ahora algunas propiedades de los conmutadores y conmutantes.

Proposicion 11.2.5. Sea G un grupo tal que G/Z (G) es cıclico. Entonces G esabeliano.

Demostracion. Sea x un elemento de G. Entonces, x = xZ (G) ∈ G/Z (G). Comoeste cociente es cıclico existe a ∈ G tal que x = a k para algun k ∈ Z por lo tantox−1ak ∈ Z (G), es decir, existe z ∈ Z(G) tal que x−1ak = z luego x = akz−1, esdecir, x es de la forma x = akω, donde ω ∈ Z (G).

Sean x, y elementos cualesquiera de G. Entonces

[x, y] = x−1y−1xy =(ak1w1

)−1 (ak2w2

)−1ak1w1a

k2w2, donde k1, k2 ∈ Z yw1w2 ∈ Z (G);

⇒ [x, y] = w−11 a−k1w−1

2 a−k2ak1w1ak2w2 = a−k1−k2+k1+k2 = 1,


es decir, x, y conmutan. Lo anterior implica que G es abeliano.

Proposicion 11.2.6. Sea G un grupo de orden pq, donde p y q son primos dife-rentes, tal que Z (G) 6= 1. Entonces G ∼= Zpq.

Demostracion. Puesto que Z (G) ≤ G entonces | Z (G) |= p, q, pq. Si | Z (G) |= pqentonces es abeliano e isomorfo a Zpq. Si | Z (G) |= p entonces | G/Z (G) |= q y enconsecuencia G/Z (G) es cıclico. Segun vimos G es abeliano y nuevamente G ∼= Zpq.Analogamente, si | Z (G) |= q.

Ejemplo 11.2.7. (i) Z′ = 0, Z′n = 0, n ≥ 1; Q′ = 0, R′ = 0, C′ = 0, Z∗′ = 1,

Q∗′ = 1, R∗′ = 1, C∗′ = 1, C′p∞ = 1, Q′

p = 0.

(ii) S′n = An : en efecto, para n = 1, S

′1 = 1 = S1 = A1. Para n = 2, S

′2 = 1 = A2

ya que S2 es abeliano. Veamos la prueba para n ≥ 3.Probemos en primer lugar que An ⊆ S

′n : puesto que An esta generado por los

ciclos de longitud 3 basta probar que cada ciclo (abc) de longitud 3 esta en S ′n :

Sean a, b, c diferentes, entonces

(abc) = [(ab) , (ac)], en efecto[(ab) , (ac)] = (ab)−1 (ac)−1 (ab) (ac) = (ab) (ac) (ab) (ac) = (abc).

S′n ⊆ An : sean α, β ∈ Sn. Entonces, [α, β] = α−1β−1αβ es una permutacion par.

(iii) Calculemos ahora A′n. Para n = 1, A

′1 = 1, para n = 2, A

′2 = 1, para

n = 3, A′3 = 1 ya que A3 es abeliano.

Para n = 4 probemos que A′4 = {1, (12) (34) , (13) (24) , (14) (23)}, es decir, A

′4∼=

V . Sea L := {1, (12) (34) , (13) (24) , (14) (23)}, veamos queL E An : denotando pora = (12) (34), b = (13) (24), entonces a2 = 1 = b2, ab = (14) (23) = ba, estoprueba que el conjunto mencionado es realmente un subgrupo de An y ademas quees isomorfo al grupo de Klein.

Notese que en L estan todos los productos de dos transposiciones disyuntas. Seaπ ∈ Sn una permutacion cualquiera de Sn y sea (α1α2) (β1β2) uno cualquiera detales productos. Entonces

π−1 (α1α2) (β1β2) π = π−1 (α1α2) ππ−1 (β1β2) π= (π (α1) , π (α2)) (π (β1) , π (β2)) ∈ L;

lo anterior prueba que L E Sn, en particular, L E An.A′4 ⊆ L: teniendo en cuenta que An esta generado por ciclos de longitud 3,

L E An y por las formulas del ejercicio 4 de este capıtulo, es suficiente probar queel conmutador de 2 tres-ciclos esta en L. Sean i, j, k, l elementos diferentes de In (enparticular, si n = 4). Entonces

[(ijk) , (ijl)] = (ij) (kl) ∈ L[(ijk) , (ilj)] = (il) (jk) ∈ L.


Notese que el conmutador [(ijk) , (lij)] coincide con el primero, [(ijk) , (jli)] tambiencoincide con el primero.

L ⊆ A′n : las relaciones anteriores demuestran esta inclusion ya que ademas

(ik) (jl) = (il) (jk) (ij) (kl).n ≥ 5: A

′n = An, n ≥ 5. En efecto, sean i, j, k, l, m elementos diferentes de

In. Entonces (ijk) = [(ikl) , (ijm)] y esto prueba que An ⊆ A′n y en consecuencia

A′n = An.

Cerramos esta seccion con otras propiedades de los conmutantes.

Proposicion 11.2.8. Sea G un grupo, A, B ≤ G y sea H := 〈A, B〉. Entonces

(i) [A, B] , A [A, B] , B [A, B] E H.

(ii) A [A, B] B [A, B] = H.

Demostracion. (i) [A, B] E H : sea y ∈ [A, B] y sea x ∈ H. Queremos mostrar quex−1yx ∈ H. Notemos que y es de la forma

y = [a1,b1]ε1 · · · [an, bn]εn , (11.2.1)

donde ai ∈ A, bi ∈ B, εi = ±1, 1 ≤ i ≤ n, x es de la forma

x = xλ11 · · ·xλm

m , xi ∈ A ∪B, λi = ±1, 1 ≤ i ≤ m. (11.2.2)

Basta entonces considerar los productos de la forma x−1 [a, b] x, x−1 [a, b]−1 x, cona ∈ A, b ∈ B y x ∈ A ∪B.

x ∈ A: notese que x−1 [a, b] x = [ax, b] [x, b]−1 ∈ [A, B] (vease el ejercicio 4).x−1 [a, b]−1 x = (x−1 [a, b] x)

−1 ∈ [A, B]x ∈ B: x−1 [a, b] x = x−1 [b, a]−1 x = (x−1 [b, a] x)

−1

=([bx, a] [x, a]−1)−1

(vease el ejercicio 4)

= [x, a] [bx, a]−1

= [a, x]−1 [a, bx] ∈ [A, B].Ahora, x−1 [a, b]−1 x = (x−1 [a, b] x)

−1 ∈ [A, B].A [A, B] E H : sean y ∈ [A, B] un elemento como en (11.2.1) y sea x ∈ H un

elemento como en (11.2.2); sea ademas a ∈ A. Es suficiente entonces considerarsolamente un producto de la forma

x−1ayx, con x ∈ A ∪B.

Pero x−1ayx = x−1axx−1yx; segun lo probado, x−1yx ∈ [A, B]. Ademas, si x ∈ Aentonces x−1ax ∈ A y ası x−1ayx ∈ A [A, B].

Si x ∈ B entonces x−1ax = x−1axa−1a = [x, a−1] a = [a−1, x]−1

a ∈ [A, B] A =A [A, B], y ası x−1ayx ∈ A [A, B] (la ultima igualdad es consecuencia de que Anormaliza [A, B]).


B [A, B] E H : analogo al caso anterior pero considerando el producto x−1byxcon b ∈ B, y ∈ [A, B].

(ii) A [A, B] B [A, B] = H : segun (i) A [A, B] B [A, B] ≤ H. Puesto que H =〈A, B〉 sea x ∈ A o x ∈ B. Entonces x = x · 1 · 1 · 1 ∈ A [A, B] B [A, B] o x =1 · 1 · x · 1 ∈ A [A, B] B [A, B].

Proposicion 11.2.9. Sea G = A × B, entonces [G, G] = [A, A] × [B, B]. Esteresultado se puede extender a un producto finito de grupos.

Demostracion. Sean x := [a1, b1], y := [a2, b2] ∈ G. Se tiene entonces la identidad

[x, y] = ([a1, a2] , [b1, b2])

la cual inmediatamente da la inclusion de izquierda a derecha.

Para la otra inclusion observemos que cada elemento de [A, A] × [B, B] es dela forma [c1 · · · cm, d1 · · · dl], donde ci son conmutadores de A y dj conmutadores deB. Se puede suponer sin perdida de generalidad que m = l, y entonces se tiene[c1, d1] · · · [cm, dm] y resta aplicar otra vez la identidad de arriba.

Ejemplo 11.2.10. Recordemos que Q8 = 〈a, b | a4 = 1, b2 = a2, bab−1 = a−1〉. Cal-culemos [Q8, Q8]:

b−1 = a2b, ba = a3b[akbi, arbj

]= (akbi)−1(arbj)−1akbiarbj

= b−ia−kb−ja−rakbiarbj = b−ia−kb−jak−rbiarbj;

(a) i = 0, j = 0: a−kak−rar = 1.

(b) i = 0, j = 1: a−kb−1ak−rarb = a−ka2bakb

= a−k+2a−kb2 = a2a2 = 1.

(c) i = 1, j = 0: b−1a−kak−rbar = a2ba−ra3rb = a2ba2rb

= a2a6rb2 = a2a6ra2 = a6r = (a2)3r ∈ 〈a2〉.(d) i = 1, j = 1: b−1a−kb−1ak−rbarb = (a2)9r+3k ∈ 〈a2〉 ⇒ [Q8, Q8] = 〈a2〉 ya que

tomando r = 1 en (c) tenemos que a2 ∈ [Q8, Q8] .

Ejemplo 11.2.11. Calculemos Z (T ), Z (Gpq). Comencemos realizando la tabla delgrupo T a partir de las relaciones que definen este grupo, a6 = 1, b2 = a3, ba = a−1b:


· 1 a a2 a3 a4 a5 b ab a2b a3b a4b a5b1 1 a a2 a3 a4 a5 b ab a2b a3b a4b a5ba a a2 a3 a4 a5 1 ab a2b a3b a4b a5b ba2 a2 a3 a4 a5 1 a a2b a3b a4b a5b b aba3 a3 a4 a5 1 a a2 a3b a4b a5b b ab a2ba4 a4 a5 1 a a2 a3 a4b a5b b ab a2b a3ba5 a5 1 a a2 a3 a4 a5b b ab a2b a3b a4bb b a5b a4b a3b a2b ab a3 a2 a 1 a5 a4

ab ab b a5b a4b a3b a2b a4 a3 a2 a 1 a5

a2b a2b ab b a5b a4b a3b a5 a4 a3 a2 a 1a3b a3b a2b ab b a5b a4b 1 a5 a4 a3 a2 aa4b a4b a3b a2b ab b a5b a 1 a5 a4 a3 a2

a5b a5b a4b a3b a2b ab b a2 a 1 a5 a4 a3

De la tabla se observa que el centro de T es {1, a3} ∼= Z2. De otra parte, Gpq esel grupo no abeliano de orden pq donde p, q son primos distintos; esto implica queGpq/Z(Gpq) no puede ser cıclico (vease la proposicion 11.2.5). En cosencuencia elunico orden posible de Z(Gpq) es 1, es decir, Z(Gpq) = 1.

Ejemplo 11.2.12. Veamos que los grupos A4, D6 y T no son isomorfos. En elcapıtulo 6 se demostro que Z(D6) = Z2 y tambien que Z(An) = 1 para n ≥ 4. Estoilustra que D6 y A4 no son isomorfos. De igual forma, vimos en el ejemplo anteriorque Z(T ) = 〈a3〉 ∼= Z2; de esto se deduce que An y T no son isomorfos. Finalmente,de la tabla de T se concluye que en este grupo b es un elemento de orden 4, encambio D6 no tiene elementos de este orden. Esto demuestra que T y D6 no sonisomorfos.

11.3. Cadenas normales

Nuestro objetivo central ahora es probar los teoremas de Jordan-Holder y Schreiersobre refinamientos isomorfos de cadenas subnormales y normales.

Definicion 11.3.1. Se denomina cadena de un grupo G a una sucesion finitatotalmente ordenada de subgrupos de G comenzando en 1 y terminando en G:

1 = H0 ≤ H1 ≤ · · · ≤ Hn = G. (11.3.1)

La cadena (11.3.1) se denomina subnormal si

Hi E Hi+1, para cada 0 ≤ i ≤ n− 1.

La cadena (11.3.1) se denomina normal si

11.3. CADENAS NORMALES 127

Hi E G, para 0 ≤ i ≤ n.

Se dice que un subgrupo H de un grupo G es subnormal en G, lo cual denotamospor H EE G, si H es miembro de una cadena subnormal de G.

Los cocientes Hi+1/Hi, 0 ≤ i ≤ n − 1, se denominan secciones de la cadenasubnormal (11.3.1).

Observacion 11.3.2. Para los grupos abelianos los conceptos de cadena, cadenasubnormal y normal coinciden. Evidentemente en el caso general toda cadena nor-mal es subnormal.

Ejemplo 11.3.3. (i) 0 < 6Z < 3Z < Z y 0 < 45Z < 15Z < 3Z <Z son cadenas de Z con secciones 6Z/0∼= Z, 3Z/6Z ∼= Z2, Z/3Z = Z3; 45Z/0∼= Z,15Z/45Z ∼= Z3, 3Z/15Z ∼= Z5, Z/3Z = Z3.

(ii) 1 < 2Z < Z < Qp es una cadena de Qp con secciones 2Z/1∼= Z, Z/2Z ∼= Z2,Qp/Z = Cp∞ .

(iii) 1 < Cp < Cp2 < · · · < Cpn es una cadena de Cpn con secciones isomorfas aCp.

(iv) 1 < 〈g〉 < K = {1, f2, g, f 2g} < D4 es una cadena subnormal no normal deD4 con secciones isomorfas a Z2.

(v) 1 < 〈a2〉 < 〈b〉 < Q8; 1 < 〈a2〉 < 〈a〉 < Q8; 1 < 〈a2〉 < 〈ab〉 < Q8 son cadenasnormales de Q8 con secciones isomorfas a Z2. Notese que en Q8 toda cadena esnormal ya que todos sus subgrupos son normales.

(vi) 1 < {1, (12)(34)} < A′4 = {1, (12)(34), (13)(24), (14)(23)} < A4 es una

cadena subnormal no normal de A4 con secciones Z2, Z2, Z3. En efecto, {1, (12)(34)}no es normal en A4 : (123)−1(12)(34)(123) = (13)(24).

Definicion 11.3.4. Sean

1 = H0 ≤ H1 ≤ · · · ≤ Hn = G, (11.3.2)

1 = K0 ≤ K1 ≤ · · · ≤ Km = G (11.3.3)

cadenas del grupo G.

(i) (11.3.3) es un refinamiento de (11.3.2) si {H0, . . . , Hn} ⊆ {K0, . . . , Km}.

(ii) Sean (11.3.2) y (11.3.3) cadenas subnormales (normales) de G. Se dice queellas son isomorfas si n = m y existe π ∈ Sn tal que

Hi+1/Hi∼= Kπ(i)+1/Kπ(i), 0 ≤ i ≤ n− 1.


Ejemplo 11.3.5. (i) 0 < Z2< Z6 < Z12 < Z24 < Z48 es un refinamiento de lacadena 0 < Z2 < Z12 < Z48.

(ii) 0 < Z2 < Z6 < Z24 y 0 < Z4 < Z12 < Z24 son cadenas normales isomorfas deZ24: Z2/0 ∼= Z2

∼= Z24/Z12 ; Z24/Z6∼= Z4

∼= Z4/0 Z6/Z2∼= Z3

∼= Z12/Z4.

Una ultima definicion para luego probar los principales resultados de esta seccion.

Definicion 11.3.6. Sea (11.3.1) una cadena subnormal del grupo G. Se dice que(11.3.1) es una cadena de composicion de G si

Hi+1/Hi es simple para cada 0 ≤ i ≤ n− 1.

Si (11.3.1) es normal se dira entonces que es una cadena principal de G.

Proposicion 11.3.7. Sea G un grupo con cadena subnormal (normal)

1 = H0 ≤ H1 ≤ · · · ≤ Hn = G.

Sea K ≤ G. Entonces

(i) 1 = K0 ≤ K1 ≤ · · · ≤ Kn = K, con Ki = Hi ∩K es una cadena subnormal(normal) de K. Ademas Ki+1/Ki ↪→ Hi+1/Hi, 0 ≤ i ≤ n− 1.

(ii) Si K E G entonces

1 = H0 ≤ H1 ≤ · · · ≤ Hn = G/K, con Hi = HiK/K

es una cadena subnormal (normal) de G/K,. Tambien, la seccion Hi+1/Hi esuna imagen homomorfa de Hi+1/Hi, 0 ≤ i ≤ n− 1.

Demostracion. (i) Sea Hi E Hi+1 y sea Ki = Hi ∩ K, con K ≤ G. EntoncesKi E Ki+1. En efecto, sea x ∈ Ki+1, a ∈ Ki, entonces x ∈ Hi+1 ∩K y a ∈ Hi ∩K,x−1ax ∈ Hi ∩K = Ki (caso subnormal).

Sea Hi E G y sea x ∈ K, b ∈ Ki = Hi ∩ K. Entonces x−1bx ∈ Hi ∩ K = Ki

(caso normal). Evidentemente K0 = 1 y Kn = K. Ahora,

Ki+1

Ki

=Ki+1

Ki+1 ∩Hi

∼=Ki+1Hi

Hi

≤ Hi+1

Hi

.

(ii) Notese que Hi es la imagen de Hi mediante el homomorfismo canonico.

j : G → G/K;

por lo tanto, como Hi E Hi+1, entonces j(Hi) = Hi E j(Hi+1) = Hi+1. Por ser jsobre y Hi E G, entonces j(Hi) = Hi E G/K. Evidentemente H0 = 1 y Hn = G/K.Ahora,


Hi+1

Hi=

Hi+1K

KHiK

K

∼= Hi+1KHiK

∼= Hi+1

Hi(Hi+1∩K)∼=

Hi+1Hi

Hi(Hi+1∩K)

Hi

.

En la demostracion anterior se uso la siguiente forma generalizada del teoremade isomorfismo:

A E B ≤ G, H E G; entonces BHAH

∼= BA(B∩H)

.

En efecto, BH = HB ya que H E G; AH = HA ya que H E G; evidentementeAH ≤ BH, AH E BH ya que A E B y H E G. Consideremos el homomorfismonatural α : B → BH → BH/AH, b 7→ b 7→ b := bAH. Notese que α es sobrey que ker(α) = B ∩ AH. En efecto, sean bh ∈ BH/AH. Entonces α(b) = bh yaque b = bh (bhb−1 ∈ H ≤ AH); α(b) = 1 entonces b ∈ AH y b ∈ B ∩ AH. Restaprobar que B ∩ AH = A(B ∩ H); sea x ∈ B ∩ AH entonces x = ah, notese queh = a−1x ∈ B ya que x ∈ B y a−1 ∈ A ≤ B; por lo tanto, x ∈ A(B ∩ H). Seaahora z ∈ A(B ∩H) entonces z = ah, con h ∈ B ∩H, luego z ∈ AH y z ∈ B. Estodemuestra la afirmacion.

Lema 11.3.8 (Lema de Zassenhaus). Sean G un grupo, H, K ≤ G y H∗ E H,K∗ E K. Entonces

(i) H∗(H ∩K∗) E H∗(H ∩K).

(ii) K∗(H∗ ∩K) E K∗(H ∩K).

(iii) H∗(H ∩K)/H∗(H ∩K∗) ∼= K∗(H ∩K)/K∗(H∗ ∩K) ∼=(H ∩K)/[(H∗ ∩K)(H ∩K∗)].

Demostracion. Probemos inicialmente que los productos de subgrupos indicados sonrealmente grupos.

H∗(H ∩K) es un grupo: ya que H∗ E H, entonces H∗(H ∩K) = (H ∩K)H∗.K∗(H ∩K) es un grupo: ya que K∗ E K, se obtiene K∗(H ∩K) = (H ∩K)K∗.H∗(H ∩K∗) es un grupo ya que H∗ E H.K∗(H∗ ∩K) es un grupo ya que K∗ E K.(H∗ ∩K)(H ∩K∗) es un grupo: notese que H∗ ∩K, H ∩K∗ E H ∩K; por tal

razon (H∗ ∩K)(H ∩K∗) E H ∩K.Podemos ya probar las afirmaciones del lema.(i) H∗(H ∩K∗) E H∗(H ∩K): Consideremos la funcion

θ : H∗(H ∩K) → (H ∩K)/[(H∗ ∩K)(H ∩K∗)]θ(hx) := xL,


con L := [(H∗ ∩K)(H ∩K∗)], h ∈ H∗, x ∈ H ∩K.θ esta bien definida: h1, h2 ∈ H∗, x1, x2 ∈ H ∩K tales que h1x1 = h2x2, entonces

θ(h1x1) = x1L, θ(h2x2) = x2L. Por lo tanto, x1x−12 = h−1

1 h2 ∈ H∗ ∩ (H ∩ K) =H∗ ∩K ⊆ L luego x1L = x2L y θ(h1x1) = θ(h2x2).

θ es un homomorfismo: como H∗ E H entonces x1H∗ = Hx∗1 para x1 ∈ H ∩K,

por tal razon

θ(h1x1h2x2) = θ(h1h3x1x2) = x1x2L = x1Lx2L = θ(h1x1)θ(h2x2).

θ es evidentemente sobre.

θ(hx) = L ⇔ xL = L ⇔ x ∈ L ⇔ hx ∈ H∗L ⇔ hx ∈ H∗(H∗ ∩K)(H ∩K∗)= H∗(H ∩K∗) ⇒ ker(θ) = H∗(H ∩K∗).

Hemos probado que H∗(H ∩K∗) E H∗(H ∩K) y ademas H∗(H∩K)H∗(H∩K∗)

∼= (H∩K)L

.

(ii) Se prueba como (i) y se establece la ultima parte de (iii).

Teorema 11.3.9 (Teorema de Schreier). Cualesquiera dos cadenas subnormales(normales) de un grupo tienen refinamientos isomorfos.

Demostracion. Sea G un grupo y sean

1 = H0 ≤ H1 ≤ H2 ≤ · · · ≤ Hn = G, (11.3.4)

1 = K0 ≤ K1 ≤ K2 ≤ · · · ≤ Km = G, (11.3.5)

dos cadenas subnormales de G. Para cada 0 ≤ i ≤ n− 1 insertamos entre Hi y Hi+1

una sucesion ordenada de subgrupos (no necesariamente diferentes)

Hi = Hi(Hi+1 ∩K0) ≤ Hi(Hi+1 ∩K1) ≤ · · · . ≤ Hi(Hi+1 ∩Km) = Hi+1.

Sea Hi,j = Hi(Hi+1 ∩ Kj), 0 ≤ i ≤ n − 1, 0 ≤ j ≤ m. Notese que Hi,m = Hi+1 =H1+i,0, 0 ≤ i ≤ n − 1. Segun el lema de Zassenhaus se obtiene una nueva cadenasubnormal de G que es refinamiento de (11.3.4):

1 = H0,0 ≤ H0,1 ≤ · · · ≤ H0,m−1 ≤ H1,0 ≤ H1,1 ≤ · · · ≤ H1,m−1

≤ H2,0 ≤ H2,1 ≤ · · · ≤ H2,m−1 ≤ H3,0 ≤ · · · ≤ Hn−1,0

≤ Hn−1,2 ≤ · · · . ≤ Hn−1,m−1 ≤ Hn = G.

(11.3.6)

Notese que esta nueva cadena subnormal tiene nm+1 subgrupos (no necesariamentediferentes). Lo mismo podemos hacer con la cadena (11.3.5) obteniendose la cadenasubnormal (11.3.7) que es refinamiento de (11.3.5) y que contiene tambien nm + 1subgrupos (no necesariamente diferentes):

1 = K0,0 ≤ K0,1 ≤ · · · ≤ K0,n−1 ≤ K1,0 ≤ K1,1 ≤ · · · ≤ K1,n−1

≤ K2,0 ≤ K2,2 ≤ · · · ≤ K2,n−1 ≤ K3,0 ≤ · · · ≤ Km−1,0

≤ Km−1,2 ≤ · · · ≤ Km−1,n−1 ≤ Km = G,

(11.3.7)


donde Kj,i = Kj(Kj+1 ∩ Hi), 0 ≤ j ≤ m − 1, 0 ≤ i ≤ n, Kj+1,0 = Kj,n = Kj+1,0 ≤ j ≤ m− 1. Notese que para cada 0 ≤ i ≤ n− 1 y 0 ≤ j ≤ m− 1

Hi,j+1

Hi,j

∼=Kj,i+1

Kj,i

. (11.3.8)

En efecto,Hi,j+1

Hi,j=

Hi(Hi+1∩Kj+1)

Hi(Hi+1∩Kj)∼= Kj(Kj+1∩Hi+1)

Kj(Kj+1∩Hi); el ultimo isomorfismo es debido al

lema de Zassenhaus.Sean

I = {(i, j) | 0 ≤ i ≤ n− 1, 0 ≤ j ≤ m− 1} ∪ {(n, 0)},J = {(r, s) | 0 ≤ r ≤ m− 1, 0 ≤ s ≤ n− 1} ∪ {(m, 0)}

los conjuntos que indizan (11.3.6) y (11.3.7), respectivamente. Sea

I ′ := {k ∈ Z |0 ≤ k ≤ nm} ,

notese que I, J, I ′ son equipotentes |I| = |J | = |I ′| = nm + 1. Podemos entoncesindizar (11.3.6) y (11.3.7) por medio de I ′ :

I → I ′ J → I ′

(i, j) → im + j (r, s) → rn + s(n, 0) → nm (m, 0) → mn

0 ≤ i ≤ n− 1 0 ≤ r ≤ m− 10 ≤ j ≤ m− 1 0 ≤ s ≤ n− 1.

En la nueva notacion:

Hi,j = Him+j , Hn,0 = Hnm, 0 ≤ i ≤ n− 1, 0 ≤ j ≤ m− 1;Kr,s = Krm+s ,Km,0 = Kmn, 0 ≤ r ≤ m− 1, 0 ≤ s ≤ n− 1.

Sea ahora Snm el conjunto de permutaciones del conjunto I0 := {0, 1, . . . , nm− 1} .Entonces la funcion

I0 → I0

π : k = im + j → jn + i, 0 ≤ i ≤ n− 1, 0 ≤ j ≤ m− 1

es tal que π ∈ Snm y ademas:

Hk+1/Hk = Him+j+1/Him+j = Hi,j+1/Hi,j,Kπ(k)+1/Kπ(k) = Kjn+i+1/Kjn+i = Kj,i+1/Kj,i;

segun (11.3.8) Hk+1/Hk∼= Kπ(k)+1/Kπ(k), k ∈ I0.

Con esto termina la prueba del teorema para el caso subnormal. Para el casonormal basta observar que Hi E G, 0 ≤ i ≤ n y Kj E G, 0 ≤ j ≤ m, y entoncesHi,j E G, Kj,i E G.

Teorema 11.3.10 (Teorema de Jordan-Holder). Cualesquiera dos cadenas decomposicion (principales) de un grupo son isomorfas.


Demostracion. Sean {Hi} y {Kj} dos series de composicion (principales) del grupoG. Segun el teorema 11.3.9 ambos tienen refinamientos isomorfos. Pero como Hi esmaximal en Hi+1 0 ≤ i ≤ n− 1 y Kj es maximal en Kj+1, 0 ≤ j ≤ m− 1, entonceslos refinamientos coinciden con las cadenas iniciales.

Corolario 11.3.11. Si el grupo G tiene una cadena de composicion (principal) yN es un subgrupo normal propio de G, entonces G tiene una cadena de composicion(principal) que contiene a N.

Demostracion. La cadena 1 < N < G es subnormal y normal en G. Consideremosinicialmente el caso subnormal. Sea {Hi} una cadena de composicion de G. Segunel teorema 11.3.10, 1 < N < G tiene un refinamiento subnormal isomorfo a un refi-namiento de {Hi}. Pero como {Hi} es de composicion, entonces dicho refinamientode 1 < N < G es una serie de composicion. De manera analoga se argumenta elcaso principal.

11.4. Grupos solubles

Teorema 11.4.1. Sea G un grupo. Entonces las siguientes condiciones son equiva-lentes:

(i) G posee una cadena subnormal con secciones abelianas.

(ii) La cadena de conmutantes

G ≥ G(1) ≥ G(2) ≥ · · · ≥ G(m) ≥ · · ·

del grupo G se estabiliza en 1 despues de un numero finito de pasos, donde

G(k) := [G(k−1), G(k−1)], k ≥ 1; G(0) := G.

(iii) G posee una cadena normal con secciones abelianas.

Demostracion. (i) ⇒(ii): Supongamos que

1 = H0 ≤ H1 ≤ · · · ≤ Hn = G

es una cadena subnormal de G con secciones abelianas. Puesto que Hn−1 E G yG/Hn−1 es abeliano entonces de acuerdo con la proposicion 11.2.4, G′ ≤ Hn−1.Supongase inductivamente que G(k) ≤ Hn−k, 1 ≤ k ≤ n. De nuevo, como Hn−k−1 EHn−k y Hn−k/Hn−k−1 es abeliano (Hn−k)

′ ≤ Hn−k−1, pero (G(k))′ ≤ (Hn−k)′, luego

G(k+1) ≤ Hn−k−1. Ası pues por induccion, G(n) ≤ Hn−n = 1 y entonces G(n) = 1.(ii) ⇒(iii): Segun la proposicion 11.2.2, G(k) E G, para cada 1 ≤ k ≤ n.(iii) ⇒(i): Evidente.

11.5. EJERCICIOS 133

Definicion 11.4.2. Un grupo G se dice que es soluble si satisface una cualquierade las condiciones del teorema anterior.

Corolario 11.4.3. (i) Si G es soluble entonces cada subgrupo de G es soluble ycada imagen homomorfica de G es soluble.

(ii) G1 × · · · ×Gn es soluble ⇔ Gi es soluble, para cada 1 ≤ i ≤ n.

Demostracion. (i) Es consecuencia directa de la proposicion 11.3.7.(ii) ⇒): Consecuencia (i).⇐): Sea k := max{ki}1≤i≤n, donde ki es el grado de solubilidad de Gi, es decir,

el menor entero positivo k tal que G(k) = 1. Pero [G1 × · · · ×Gn, G1 × · · · ×Gn] =[G1, G1]× · · · × [Gn, Gn], luego G1 × · · · ×Gn es soluble de grado k.

Ejemplo 11.4.4. (i) Todo grupo abeliano es soluble. El concepto de solubilidadtiene entonces interes para los grupos no abelianos.

(ii) S3 es soluble: [S3, S3] = A3, [A3, A3] = 1.(iii) S4 es soluble: [S4, S4] = A4, [A4, A4] = V , [V, V ] = 1.(iv) Sn no es soluble para n ≥ 5: [Sn, Sn] = An, [An, An] = An.(iv) [Q8, Q8] = 〈a2〉 , [〈a2〉 , 〈a2〉] = 1, por lo tanto Q8 es soluble.

11.5. Ejercicios

1. Sea G un grupo y sean L, M ⊆ G no vacıos. Pruebe que [L, M ] = [M, L] .

2. Sea G un grupo y K �G. Pruebe que el conmutante K′de K es normal en G.

3. Sea ϕ : G1 → G2 un homomorfismo de grupos. Pruebe que ϕ(G′1

)⊆ G

′2.

Ademas, si ϕ es sobre entonces ϕ(G′1

)= G

′2

4. Demuestre que b−1[a, c]b = [ab, c][b, c]−1; a[b, a]a−1 = [a−1, b]; [a, b]−1 = [b, a].

5. Sean A, B, C subgrupos normales de G. Pruebe que [AB, C] = [A, C] [B, C].

6. Calcule [D4,D4] , [Dn, Dn] , [Gpq, Gpq] , [T, T ].

7. Calcule refinamientos isomorfos de las cadenas normales 0 < 60Z < 20Z < Zy 0 < 45Z < 90Z < Z.

8. Calcule todas las cadenas de composicion de Z60 y muestre que son isomorfas.

9. Compruebe que todas las cadenas de composicion de S3 × Z2 son isomorfas.

10. Determine si los siguientes grupos son solubles: D4, Dn, Gpq.

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