Universidad de Guayaquil

Facultad de Ciencias Físicas y Matemáticas

Materia: Matemáticas

Tema: Cuaderno Digital

Profesor: Ing. Wilmer Naranjo

Nombre: Kevin Poveda Ríos

Curso:207 Cn10

Matemáticas

Unidades :

I. IntroducciónII. Potenciación y Radicación

III. Números racionalesIV. Expresiones AlgebraicasV. Ecuaciones

VI. Sistemas de EcuacionesVII. Desigualdad

VIII. GeometríaIX. TrigonometríaX. Geometría Analítica

XI. Números complejos

INTRODUCCIÓN

Numeros Primos: Son los que son divisibles para si mismo y para 1.

Ejm: 2,3,5,7 etc.

Numeros compuestos: Son divisibles para otros números.

Ejm: 4,6,8,9 etc.

Criterio de Divisibilidad

Si el valor de a es divisible para b y la división es exacta se aplican los criterios de divisibilidad.

Criterio de divisibilidad para 2

Un numero es divisible para 2 si la unidad es un numero para o termina en 0.

Ejm: 14,1024 etc.

Criterio de divisibilidad para 3

Un numero es divisible para 3 si la suma de todas sus cifras del numero es un múltiplo de 3.

Ejm: 111 = 1+1+1= 3

Criterio de divisibilidad para 4

Es para 4 si sus 2 ultimas cifras son 0 o múltiplo de 4.

Ejm: 100, 1028.

Criterio de divisibilidad para 5

Terminar en 5 o 0.

Criterio de divisibilidad para 6

Si es múltiplo de 3 y 2 a la vez.

Ejm: 114 = par y por 3.

Criterio de divisibilidad para 7

Cuando la diferencia entre el numero sin la cifra de unidad y el doble de la cifra de unidades es 0 o múltiplo de 7.

Ejm: 343 34-2*3= 34-6 = 28 = 7*4

Criterio de divisibilidad para 8

Si sus 3 ultimas cifras son 0 o múltiplo de 8.

Ejm: 4000, 1032, 1512.

Criterio de divisibilidad para 9

Si la suma de sus digitos es múltiplo de 9.

Criterio de divisibilidad para 11

Si la diferencia entre la suma de las cifras que ocupan los lugares pares y de los impares es 0 o múltiplo de 11.

4224 = (4+2) – (2+4) = 0

MCD: MÁXIMO COMÚN DIVISOR

MCM: MÍNIMO COMÚN MULTIPLO

MCD: Es el máximo numero que se utiliza el divisor entre los números.

12 y 24 = 4

93 y 2387 = 31

Mcm: es el mínimo valor que es múltiplo de las cantidades mcm de 2 o mas números es el menor numero que es múltiplo de ellos.

12 y 15 = 60

12 15 2

6 5 23 1 3

24 2

12 26 23 31

12 26 23 3

1

2387 7341 1131 311

93 331 311

1 5

2, 4, 10, 20, 25, 30

2 4 10 20 25 30 21 2 5 10 12 15 2

1 1 5 6 5 21 3 1 3

1 5

El mcm de 2 numeros es 450 y el MCD es igual a 3 si uno de los números es 18 cual es el otro numero.

Datos

Mcm: 450

MCD: 3

N1: 18

N2: 75

POTENCIACIÓN Y RADICACIÓN

Potenciación: Es una operación matemática de 2 terminos denominados base y exponente se los identifica como a elevado a la potencia x.

Propiedades

X0 = 1

X1= X

X-1= 1/X

1/X-1= X

(X*Y)n= Xn.Yn

(X/Y)n=Xn/Yn

(X/Y)-n=Yn/Xn

Xn.Ym=Xn+m

Xn/Xm=Xn-m

(Xn)m=Xn.m

450 2 75 3225 3 25 575 3 5 525 5 15 51

Radicación

Es una base elevado al exponente fraccional

X-1/n= 1/X1/n=1/n√X

X1/n = n√X

(X.Y)1/n= X1/n/Y1/n

(X/Y)-1/n=Y1/n/X1/n

X1/n.X1/m= X(n+m/nm)

X1/n/X1/m=X(m-n/nm)

(X1/n)1/m=X1/n.m

{[(5)2]3}2 = 512

{[(7)3]5}0=70=1

(85)*(-24)*(-2-6)=(85)(-2-2)

(23)5*(24-6)= 215*2-2=213=8192

Potenciación

(2/3)5(2/3)0(2/3)-3(81/16)-2 (2/3)2(24/34)2

(3/2)-5(2/3)[(2/3)5]2(8/27)3 (2/3)16(2/3)9

(2/3)10 (2/3)-15= (3/2)15

(2/3)25

(-2)5(4)-3[(-2)-2]3(1/2)-5=

-25.2-6.2-6.-25=

25-6-6+5=

2-2=

1/4

NÚMEROS REALES Números primos

Clasificacion de los números Positivios (Natural) N Números

Enteros (Z) Cero compuestos

Racional (Q) Negativos

Real Fraccionario propios

Irracional impropios

Imaginario

Numeros Naturales = 1,2,3,4…n

Numeros negativos= -1,-2,-3,-4,….n

Numero entero Z = Numero

Numero Fraccionarios= (a/b)

COMPLEJOS

A= numerador

B= denominador

Numeros fraccionarios Propios

Es cuando b es mayor que a= b>a

1/2 3/4 6/16

Fraccionarios Impropios a>b

4/3 6/5 18/7

Número Racional Q ( Quotient ) = Cociente

Numeros racionales son los que puede representarse como el cociente de 2 números enteros.

Ejm: 4/5 8/2

Números Irracionales

Son los números que no tiene periodicidad.

Números Reales

Formado por el grupo de números racionales e irracionales se identifica con la letra R.

Números Imaginario

Está representado por una raíz negativa.

2i = √-4 =√-1 √4 = i2 = 2i

Números Complejos

Están formado por una parte real y una imaginaria.

3 + 4;

-6 -8;

Propiedades

Propiedad conmutativa

a/b + c/d = c/d + a/b = ad+bc/db

Propiedad asociativa

a/b + (c/d + f/g ) = ( a/b + c/d) + f/g

propiedad nulo o neutro

a/b + 0/c = a/b

propiedad identidad

a/b +b/b = a+b/b = a/b+1

propiedad conmutativa

a/b*c/d= c/d*a/b= ac/bd

propiedad asociativa

(a/b*c/d)(f/g) = (a/b)(c/d*f/g)

Propiedad nula

a/b*0/c = 0

propiedad identidad

a/b*b/b = a/b

Decimales Exactos/fenitos

Finitos 27,14= La representación será el mismo numero sin la coma dividido por el 1 acompañado entre 0 de igual numero de decimales

2714/100

Decimales periódicos puros

Es la fracción correspondiente que tiene como numerador la diferencia entre el numero escrito sin la coma y el numero sin la parte periódica y como denominador tantos 9 como cifras periódicas.

23,64646464646

2364-23/99

Decimales periódicos mixtos

Es la fracción que tiene como denominador a la diferencia entre el numero escrito sin coma y el numero escrito sin la parte periódica y como denominador tantos 9 como cifras del periodo y además tantos 0 como cifras tenga el ante periodo.

NOTACIÓN CIENTÍFICA

Se utiliza para reducir una expresión numérica que va acompañada de 0 por el término an, ay n son números enteros.

Generalmente se utiliza como base 10 con un exponente mas o menos.

0,000065 = 65*10-6

Para convertir una cantidad decimal en notación científica se corre la coma n posiciones hasta obtener el numero entero se multiplica por 10 y se eleva al exponente –n.

Para convertir un numero entero en Notación Científica se corre la coma a la izquierda n posiciones se multiplica *10 elevado a la n.

300000000 = 3 * 108

0,000000000015= 15*10-11

0,000027*10-3=27*10-3-6= 27*10-9

Suma

Para la suma de cantidades de notación científica se deben de expresar todas las potencias a un mismo valor y posterior a ellos sumar las cantidades.

5*107+8*106+150*105+1*108 =

50*106+8*106+15*106+100*106=173*106

1,7*10-4+205*10-6+0,015*10-2=

1,7*10-4+2,05*10-4+1,5*10-4=5,25*10-4

(60000)3(0,00004)7[(1024)2/5] / (72000000) (1/18*10-4)=

(6*104)3(4*10-5)7(5√10242)/(72*106)(1/18*10-4)=

(63*1012)(47*10-35)24/(4*106)(1*10-4)=

219*10-25*33

EXPRESIONES ALGEBRAICAS

Es un valor compuesto por números y letras sea por constantes y variables ejemplo: 4x2, 28mn3.

Suma

2 a3+3 a2+ 8 a3 + a 2 +3 a3 =

4 a2 + 13 a3

1/2 a3/2 + 5/7 a3/2 + 3/2 a =

17/14 a3/2 + 3/2 a

Resta

3/4 a7 + 2/3 a6 –a7-2a 6 +7/3 a6 =

-1/4 a7 + a6

Multiplicación

(7x2 + 5x3 +3x4)*3=

21x2 + 15x3 +9x4

(7x2 + 5x3 +3x4)(3x6)=

21x8 + 15x9 +9x10

(7x2 + 5x3 +3x4)(4x-2y2)=

28y2 + 20xy2+12x2y2

(x2+3y2)(4x4+y3)=

4x6+x2y3+12x4y2+3y5

X2y3+12x4y2+4x6+3y5

4x6+12x4y2+x2y3+3y5

División

(2x2+14y5+6x4y2) / (2x2y2)=

y-2+7x-2y3+3x2

(4x2y6-1)/(2xy3+1)=

2xy3-1

(36 a4-b8)/(6 a2-b4)=

6 a2 + b4

PRODUCTOS NOTABLES

Reglas

Se llaman productos notables a productos que cumplen reglas fijas cuyo resultado puede ser escrito por simple intención.

Cuadrado de la suma de 2 cantidades

(a+b)2= a2+2ab+b2

Cuadrado de la diferencia de 2 cantidades

(a-b)2= a2-2ab+b2

Producto de la suma por la diferencia de 2 cantidades

(a+b) (a-b)= a2-b2

Cubo de un binomio

(a+b)3= a3+3ª2b+3ab2+b3

(a+b)3=(a+b) (a+b) (a+b)

Product de 2 binomios de la forma (x + a) (x + b)

(x + a) (x + b)= x2+(a+b)x + a*b

(x1/2 + y1/2)2=

(x1/2)2 + 2x1/2 y1/2 +(y1/2)2=

X+2x1/2y1/2+y

X+y+2x1/2 y1/2

Cocientes Notables

Se llaman cocientes notables a ciertos cocientes 1que obedecen a reglas fijas y pueden ser escritos por simple imperfección.

Cociente de la diferencia de los cuadrados entre la suma y la diferencia de la cantidad

(a2 – b2)/a+b= a-b

(a2 – b2)/a-b= a-b

(a3+ b3)/a+b= a2-ab+ b2

(a3- b3)/a-b= a2+ab+ b2

Suma o diferencia de 2 potencias iguales

(an – bn)/a-b= n es par o impar

(an + bn)/a+b= n es impar

(an – bn)/a+b= n es par

(an – bn)/a-b= no es divisible

Se identifican a las ecuaciones de 1º grado que el 0 de la exponente de la variable es igual a uno

Ec.de 1º grado de 1 variable

1ºmiembro 5x -10 = 0 2º miembro

5x=10

X=10/5 =2

Ec.de 1º grado de 2 variables

1º ecuación 5x-4y=7

2º ecuación x+2y=7

Este sistema de ecuaciones tiene finita solución si el nº de ecuaciones es igual al nº de incógnitas, siempre y cuando las ecuaciones sean linealmente independientes.

X+2y=7 infinitas soluciones

2x+2y=14

X+2y=7 no hay solución

2y+4y=0

Ecuación recta

y

7

7/5

x

7/2

-7/4

X+2y=7

2x+4y=14 7/2

3,5

7

X+2y=7

2x+4y=0 3,5

7

X+2y=7 14

X+2y=14

14

Métodos Igualación

Consiste en despejar la misma variable delas 2 ecuaciones y finalmente igualar ambas incógnitas X+2y=7 5x-4y=7

X=7-2y 35-10y=7+4yX=7+4y/5 -10y-4y=7-35 -14y=-28X=x y=-28/-14=22-2y=7+4y/5 X=7-2y X=7-2(2)=3

Sustitución Consiste en despejar una variable de la primera ecuación y sustituirla o remplazarla en la 2º ecuación X+2y=7 5x-4y=7

5(7-2y)-4y=735-10y-4y=7-147y=7-3514y=28Y=28/14=2

Reducción Consiste en multiplicar factores a los valores numéricos de las variables con el objetivo que al sumarlos algebraicamente se elimine una variable

(-5) x+2y=7 (1) 5x-4y=7 -5x-10y=-35 5x- 4y =-28______________

/ / -14y =-28

Y=-28/-14= 2

6x-2y=-14

5x+2y=7

X=-14+2y/6 x = x 6x-2(4)=-12

X=7-3y/5 -14+2y-6 = 7-3y/5 6x-8=-12

5(-14+2y) = 6(7-3y) 6x=-12+8

-90+10y=42-18y x= -6/6

10y+18y=42+70 x=-1

28y=132

Y=132/28=4

PROBLEMAS MATEMATICOS

*3personas recolectan $100 se conoce que una de ellas aporta el doble de la menor cantidad y la otra persona aporta$20 mas que la menor cantidad. ¿Cuánto aporto cada persona?

A+b+c=100 Aporta menor A

B=2a c=20+a

A+2a+(20+a)=100

4a=100-20

A=80/4=20

*Repartir $140 entre a , b ,c. Se conoce que la parte de b es la mitad, es la parte de a y ¼ es la de c

A+b+c=140

B=a/2 a=2b b=c/4 c=4b

2b+b+(4b)=140 a=2(b)=2(20)=40

7b=140 c=4(b)=4(20)=80

B=140/7=20

*La edad de María es el triplo de la de Rosa mas 15 años y ambas edades 59 años. Hallar la edad de María y la de Rosa

a + b =59 María=48 Rosa=11 a= 3b+15

3b+15+b=59 b=44/4

4b=59-15 b=11

4b=44

*Preguntando un hombre por su edad. Si al doble de mi edad se le quita 17 años se tendrían lo que me falta para tener 100 años ¿Qué edad tiene el hombre?

2a +17=100-a

2a +a=100+17

3a =117

A=117/3

A=39

*El exceso de 8 veces un numero de 60 equivalente al exceso de 60 de 7 veces el numero

8a -60=60-7a

8a +7a =60+60

15a = 120

a =120/15

a =8

*La suma de2 números 506 y el triplo del menor excede en 50 al mayor aumentando en 100

a + b =506 b=506- a

3a = (b+100)+50

3a =(506-a )+100+50

3a + a =656 b=506-a=506-164=342

4a =656

A=164

*Dentro de 22 años la edad de Juan será el doble de la de su hijo y actualmente el triplo ¿Cuál será la edad de ambos?

22+5=2(h+22)

5=3h

H=22+22=44

22+3h=2h j=66+22=88

H=22

J=66

*Hace 14 años la edad de un padre era el triplo de su hijo y ahora es el doble. Hallar las edades respectivas hace 14 años

P-14=3(h-14) p=2h p=53

2h-14=3h-42 h = 28 - 14=14

H=28 p = 56 - 14 =42

*En una clase el número de señoritas es 7/3 del número de varones. Si ingresan 20 señoritas y de asistir 10 varones habrían 6 señoritas más que varones. ¿Cuántos varones hay y cuantas señoritas?

s=v/3 -2/3v=-24

S+20= (v-10)+6 V=24*3/2=36

V/3-v=-24 s=36/3 s=12

*Dividir 120 en 2 partes tal que la menor sea a la mayor como 3 es a 5

A=mayor b=menor

A+b=120 b=3a /5

5b=3a 5(a +3a /5=120)

5a +3a =600

a =75

*Vendí un automóvil por$8000 mas la tercera parte de lo que me había costado. En esta operación gaste $2000. ¿Cuánto me había costado el auto?

8000+1/3x=2000+x

1/3x-x=2000-8000

-2/3=-6000

X=9000

*La edad actual de A es ¼ de la de B, hace 10 años era 1/10. Entonces las edades son:

A=b/4 a-10=b-10/10

A=60/4 b/4-10/1=b-10/10

A=15 b-40/4=b-10/10

10(b-40=4(b-10)

10b-400=4b-40

10b-4b=400-40

6b=360

B=60

*Un hombre compra cierto número de libros por$400. Si hubiera comprado ¼ más de numero de libros de los que compro por el mismo dinero. Cada libro le hubiera costado $2,00 menos. ¿Cuántos libros compro y cuantos pago por cada uno?

Nl*costo =400 = costo=400/nl

( nl+nl/4) l (costo-2)=400

(5/n*nl) l (400/nl-2)=400

5/4*nl(400/nl)-5/4*nl(2)=400

500 -5/2 *nl=400

-5/2=-100

Nl=40

*Un padre tiene 60 años y sus 2 hijos 16, 14, dentro de cuantos años de edad del padre será igual al de la suma de los hijos

Ep= 5(16+14) Ep(60)=30 (p+x)=(h1+x)+(h2+x)

60+x=16+x+14+x

60x=30+2x

-2x+x=-60+30

X=30

*Hallar los números consecutivos tal vez que la diferencia de sus cuadrantes excede en 43 a 1/11 del número menor

n menor(x) n mayor(x+1)

[(x+1)^2-x^2 ] =1/11x+43

(2x+1)=(1/11x)+43

22x+11=x+43

21x=42(11)

IntervalosSon subconjuntos de números reales.

INTERVALO CERRADO

[a,b] en corchete incluido a

A B

( ) (a,b) aproximaciones

A B

INTERVALO SEMI CERRADO MIXTOS

) [a,b)

A B

( (a,b]

A B

OTROS

-infinito /////////////////////////////////////// (- infinito , a]

A

/////////////////////////////////// +infinito [a+infinito)

A

(//////// +infinito (a+infinito]

A

VALOR ABSOLUTOEl valor absoluto se lo representa por barra y representa siempre una cantidad positiva. Su función es la siguiente

/a/: valor absoluto de a

/a/ = a si a >=0

- a si a < 0

/5/=5 /-1/4/=1/4

/-2/=2

Al valor absoluto también se lo conoce como módulo//

Propiedades I. /a*b/ = /a/ * /b/

II. /a/b/ = /a/ / /b/III. /a+b/ <= /a/ +/b/IV. /a-b/ >= /a/ - /b/

Ejercicios

/a*b/= /5*-3/=/-15/=15

/5/-3/= 5/3=1.66 2

/a+b/<= /a/+/b//5+(-3)<=/5/+/-3/121<=5+32<=8

/a-b/>=/a/-/b//5-(-3)>=/5/-/-3/ -2 -1/4181>=5-38>=2

-x ) x

0

/x/ = x x >=0 [0,+infinito]

-x x<0 (-infinito,0)

/x+3/ = x+3 x+3>=0 x>=-3

-(x+3) x+3<0 x<-3

-(x+3) x+3

////////////////////) ////////////////////

-infinito -7 -3 0 -5

(-infinito,-3) ; y = - (x+3) [-3, + infinito) ; y = x+3

Grafica

Y= /x+a/ + b

-3

Valor absoluto

Y=/-/x+2/-3/

-3

Y=/4-/x+1//

1

FUNCIÓN LINEALEcuación de la recta

Y=mx+b

Y=mx+b

b

m: representa o inclinación de la recta

b: representa la distancia del origen hasta el punto de intersección de la recta con el eje y

m= y2 -y1 / x 2

xm=7-4/5-2 = 3/3 =1

x=mx+b

xy=x+b

9=2+b

B=2

1 2 3 4 5 6 7

Y=-5x+7

Y=x

Y=-1

Y=-x+0 y=x+a

a

y=x-a

y=x-a

DESIGUALDAD

X<a -infinito /////////////////////////// (-infinito, a)

X<= a -infinito ////////////////////////// [-infinito , a]

X=a {a}

x>a /////////////////// [a,++infinito)

x>a /////////////////// [a,+infinito)

2x+5>x+3

2x-x>3-5 (////////////////////////////

X>-2 -2 0

8/3x-5<x/2+4 4x+5<=x-7

8/3x-x/2<4+5 4x-x<=7-5

16x-3x/6<9 3x<=2

13x/6<9 x<=2/3

13x<54

X<54/13

PROPIEDADES1. A>b = b<a2. A<b = b>a3. –a<b = a>-b4. –a<-b =a<b

*X^2+2x-15

(x+5)(x-3)>0

x-3>0 x+5>0 /////////////////////////////////// (3,+infinito)

x>+3 x>-5 5 0 3

x^2+8x+15>0

x^2+8x+16-1>0

(x+4)^2>0

X2+8x+15<=0

(x+5)(x+3)<=0

(x+5)>0 ^ (x+3)<0

X>-5 x<-30 ///////////////////////////////////

(x+5)<0 (x+3)>0

X<-5 (x>-3) //////////// ////////////////

{[-5,-3]}

Potenciación

1. a^0=12. a^1=a3. a^-1=1/a4. 1/a^-1=a5. (a*b)^n=a^n*b^n6. (a/b)^n=a^n/b^n´7. (a/b)^-1=b^n/a^n8. A^n*a^m=a^n+m9. A^n/a^m=a^n-m10.(a^n)^a^n-m

/x-1/=2x-3

-(x-1)=2x+3 (x-1)=2x+3

0 1/1

-x+1=2x+3 x-2x=3+1

-3x=2 -x=4 x=-4

X=-2/3 x=-2/3

Geometria Analitica

PuntoRepresenta una posición, orientación en el plano o en el espacio

RectaEs un conjunto formado por puntos en el plano

PlanoConjunto formado por 2 rectas. Plano mas utilizado es el cartesiano es el eje x y y

Angulo Es la abertura formada por 2 semirecta y un mismo origen llamado vértice

BisetrizEs la semirecta que tiene como origen el vértice de un ángulo y lo dividen 2 ángulos iguales

Medida de los angulosCentesimal 400º

Sexadecimal 360º

Gº= grados

M’= minutos

S’’=segundo

AdyacenteSon los ángulos formados de manera que un lado es común y los otros 2 lados del angulo pertenecen a la misma recta

a Infinito B 120 60

Angulo recto

Es el angulo q mide 90º

Angulo llanoEs aquel en el cual un lado el angulo es la prolongación de otro ángulo a o b =180

Angulo complementarioSon los angulos q sumados forman un ángulo recto, o sea 90º

Alfa+omega=90º

alfa

omega

Angulo suplementarioSon los angulos que sumados forman el angulo llano o sea 180º

Conversiones

5 rad - 6º

5rad *360/2 pi rad= 2.86.48º

280º = 0.48*60´/10=28.8´

28*60´´/1´=48´´

3.5 rad - 6º m´ s´´

3.5 rad * 360º/2 pi rad = 200.54º

200= 0.54*60º/10=32.4

0.4*60´´/1=24

65.43º - rad

65.43 * 2 pi rad /360 =1.14 rad

Triangulo Esla posicion del Plano limitado en 3 segmentos

B

Vertices (A,B,C)

C a segmentos (a,b,c)

A b C

Clasificación de los triangulos Hay 2 en base a sus lados y angulos

En base a sus lados son:

*soceles: 2 segmentos iguales

*escaleno: 3 segmentos desiguales

*equilátero: 3 segmentos iguales

A sus angulos:

*acutángulo: 3 angulos agudos

*obtusángulo: 1 angulo obtuso

* rectángulo: 1 angulo de 90º

La suma de los angulos internos de un triangulo es 180º

Cuadrilátero A=b*a a=a^2

P=2a+2b p=4a

Trapecio

a=b(h1+h2)/2

p=h1+h2+b1+raíz(h2-h1)^2+b^2

Trapezoide

a=a(b+c)/2

Rombo

A=(d1*d2)/2

P=4a

Circulo

A=pi*r^2

P=2 pi r

TrigonometríaLa trigonometría fue inventada como un medio para medir indirectamente las partes de un triángulo rectángulo; actualmente, tiene muchas aplicaciones, pero los conceptos básicos se entienden mejor todavía en relación con el triángulo rectángulo. 

Ecuaciones trigonométricas

En las ecuaciones trigonométricas la incógnita es el ángulo común de las funciones trigonométricas. No puede especificarse un método general que permita resolver cualquier ecuación trigonométrica; sin embargo, un procedimiento efectivo para

solucionar un gran número de éstas consiste en transformar, usando principalmente las identidades trigonométricas, todas las funciones que aparecen allí en una sola función (es recomendable pasarlas todas a senos o cosenos).

De un triángulo rectángulo ABC, se conocen a = 415 m y b = 280 m. Resolver el triángulo.

sen B = 280/415 = 0.6747     B = arc sen 0.6747 = 42° 25′C = 90° – 42° 25′ = 47° 35′c = a cos B   c = 415 · 0.7381 = 306. 31 m

De un triángulo rectángulo ABC, se conocen b = 33 m y c = 21 m. Resolver el triángulo.tg B = 33/21 = 1.5714      B = 57° 32′C = 90° – 57° 32′ = 32° 28′a = b/sen B   a = 33/0.5437 = 39.12 m

Definiciones respecto de un triángulo rectángulo

La hipotenusa (h) es el lado opuesto al ángulo recto, o lado de mayor longitud del triángulo rectángulo.

El cateto opuesto (a) es el lado opuesto al ángulo . El cateto adyacente (b) es el lado adyacente al ángulo .

Función Abreviatura Equivalencias (en radianes)

Seno sin (sen)

Coseno cos

Tangente

tan

Circunferencia

Una circunferencia es el lugar geométrico de los puntos de un plano que equidistan de otro punto fijo y coplanario llamado centro en una cantidad constante llamada radio.

Elementos de la circunferencia

Centro, el punto interior equidistante de todos los puntos de la circunferencia; Radio, el segmento que une el centro con un punto cualquiera de la circunferencia; Diámetro, el mayor segmento que une dos puntos de la circunferencia (necesariamente pasa por el centro); Cuerda, el segmento que une dos puntos de la circunferencia; (las cuerdas de longitud máxima son los

diámetros) Recta Secante, la que corta a la circunferencia en dos puntos; Recta Tangente o simplemente Tangente, la que toca a la circunferencia en un sólo punto; Punto de tangencia, el de contacto de la recta tangente con la circunferencia; Arco, el segmento curvilíneo de puntos pertenecientes a la circunferencia; Semicircunferencia, cada uno de los dos arcos delimitados por los extremos de un diámetro.

Ángulos en una circunferencia

Ángulo central, si tiene su vértice en el centro de esta. Sus lados contienen a dos radios.

La amplitud de un ángulo central es igual a la del arco que abarca.

Ángulo inscrito, si su vértice es un punto de la circunferencia y sus lados contienen dos cuerdas.

La amplitud de un ángulo inscrito en una semi circunferencia equivale a la mayor parte del ángulo exterior que limita dicha base.

Ángulo semi-inscrito, si su vértice es un punto de la circunferencia y sus lados contienen una cuerda y una recta tangente a la circunferencia. El vértice es el punto de tangencia.

La amplitud de un ángulo semi-inscrito es la mitad de la del arco que abarca.

Ángulo interior, si su vértice está en el interior de la circunferencia.

La amplitud de un ángulo interior es la mitad de la suma de dos medidas: la del arco que abarcan sus lados más la del arco que abarcan sus prolongaciones.

Ángulo exterior, si tiene su vértice en el exterior de la circunferencia

Longitud de la circunferencia

La longitud   de una circunferencia es:

El área del círculo delimitado por la circunferencia es:

Ecuación en coordenadas cartesianas

En un sistema de coordenadas cartesianas x-y, la circunferencia con centro en el punto (a, b) y radio rconsta de todos los puntos (x, y) que satisfacen la ecuación

.

Cuando el centro está en el origen (0, 0), la ecuación anterior se simplifica al

.

La circunferencia con centro en el origen y de radio la unidad, es llamada circunferencia goniométrica, circunferencia unidad o circunferencia unitaria.

De la ecuación general de una circunferencia,

se deduce:

Resultando:

F = a2 + b2 – r2

r = D2 + E2 - 4F

2

Ejercicios

1) Hallar la ecuación de la circunferencia en forma canoníca y forma general

DATOS: C = ( -3 , -5 ) r = 7

RESOLUCION:

D = -2a E = -2b F = a2 + b2 – r2

D = -2(-3) E = -2(-5) F = 9 + 25 - 49

D = 6 E = 10 F = -15

( x + 3 )2 + ( y + 5 )2 = 49 CANÓNICA

x2 + 6x + 9 + y2 + 10y + 25 – 49 = 0

x2+ y2 + 6x + 10y – 15 = 0 GENERAL

Ley de los Senos

La ley o teorema de los Senos es una relación de tres  igualdades que siempre se cumplen entre los lados y ángulos de un triángulo cualquiera, y que es útil para resolver ciertos tipos de problemas de triángulos. Especialmente los triángulos oblicuángulos, es decir, aquellos que carecen de un ángulo recto o de 90°.

La ley de los Senos dice así:

“En todo triángulo, los lados son directamente proporcionales a los senos de los ángulos opuestos

Donde A, B y C (mayúsculas) son los lados del triángulo, y a, b y c (minúsculas) son los ángulos del triángulo:

Las letras minúsculas de los ángulos se encuentran separadas de su letra mayúscula. Es decir, la a está en el ángulo opuesto de A. La b está en el ángulo opuesto de B. Y la c está en el ángulo opuesto de C.

resolución de triángulos oblicuángulos por la ley de senos.

Datos Fórmulas

A = 80° 25', A + B + C = 180°;

B = 35° 43', a = b = c .

c = 60. senA sen B sen C

Cálculo de C.

A + B + C = 180°; 80° 25' + 35° 43' + C = 180°; 116° 8' + C = 180°

.

. . C = 180° ― 116° 8' = 63° 52'

Cálculo de a.

a = c ; a = 60

Sen A sen C sen 80° 25’ sen 63° 52'

a = 60

0.98604 0.89777

.

. . a = (60) (0.98604) = 59.16240 = 65.88

0.89777 0.89777

Cálculo de b.

b = c ; b = 60 .

sen B sen C sen 35° 43' sen 63° 52'

b = 60 .

0.58378 0.89777

.

. . b = (60) (0.58378) = 39.01

0.89777

Ley del Coseno

La ley de los Coseno es un término que permite conocer cualquier lado de un triángulo, pero para resolverlo pide que conozcas los otros dos lados y el ángulo opuesto al lado que quieres conocer.  La ley de los Cosenos ayuda a resolver ciertos tipos de problemas de triángulos, como los triángulos oblicuángulos, los cuales carecen de un ángulo de 90°.

La ley del Coseno dice así:

“En todo triángulo el cuadrado de un lado es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados menos el doble producto de ellos, por el coseno del ángulo que forman”

Pero si tienes los lados, y quieres saber el ángulo que hacen los lados B y C, entonces realizaras la siguiente formula:

A, B y C son los lados del triángulo, y a, b y c son los ángulos del triángulo:

Las letras minúsculas y mayúsculas del mismo tipo no se encuentran juntas, es decir, la a está en el ángulo opuesto de A, la b está en el ángulo opuesto de B y la c está en el ángulo opuesto de C. Esto siempre debe ser así cuando resuelvas un triángulo. Si no lo haces así, el resultado seguramente te saldrá erróneo.

de resolución de triángulos oblicuángulos.

Primer caso: Conocidos los tres lados.

Ejemplo. Resolver el triángulo cuyos datos son:

a = 34, b = 40, c = 28.

Se aplica la ley de coseno.

Cálculo de A. a2 = b2 + c² - 2bc cosA.

Despejando cos A: cos A = b² + c² - a²

2bc

Cos A = 40² + 28² - 40² = 1600 + 784 - 1156 = 307 = 0.54821.

2 x 40 x 28 2240 560

.

. . A = 56° 45’.

Cálculo de B.

Análogamente: a² + c² - b²

cosB = 2ac

.

. .Cos B = 34² + 28² ― 40² = 1156 + 784 ―1600 = 340 = 0.17857.

(2) (34) (28) 1904 1904

.

. .B = 79° 43’.

Cálculo de C.

Análogamente:

Cos C = a² + b² - c² .

2ab ´

Cos C = 34² + 40² ―28² = 1156 + 1600 ― 784 = 1972 = 0.72500

(2) (34) (40) 2720 2720

.

. .C = 43° 32´

Es decir:

A = 56° 45"

B = 79° 43'

C = 43° 32'

A + B + C = 178° 120' = 180°.

Ley de las tangentes:

Teorema según el cual en todo triángulo la tangente de uno de sus ángulos es igual a su seno dividido por su coseno:

tgb=senb/cosb.

Funcion Exponencial

F(x)= a^x

Y= a

a>0 a≠1

F(x)= a^x

F(x)= a^x + 5

F(x)= a^x + 5

F(x)= a^(x+2) -3

a^(x+2)

a^(x+2) -3

2-

F(x)= (1/2) ^x x f(x)

-2 2^-(2)=4

-1 2^-(1)=2

(1/2) ^x 0 1

1 1/2 = 0.5

2 1/4 = 0.25

Función Logarítmica

F(x)= log a^x

A= Base

a>0 y a≠1

a^-x

log a^x

Propiedades de los Logaritmos

1. Log a^1 = 02. Log a^a = 13. Log a^x^b = b log a^x4. Loga^x*y = loga^x + loga^y5. Loga^(x/y) = loga^x - loga^y

6. Loga^x = logb^x/ logb^a7. ALoga^x = x8. Loga^a^x = x (Loga^a) ^1

3log(36/25) + log(6/27) ^3 – 2log(16/125)

3(log6^2 – log5^2) + (log6 – log27) – 2 (log2^4 – log5^3)

3(2(log(2*3) – (log5)) + 3(log(2*3) – log(3)^3) – 2(4 log2 – 3 log 5)

6 (log2 + log3 – 2 log5) + 3 (log2 + log3) – 9 log3 – 8 log2 + 6 log5

6 log5 + 6 log3 + 3 log2 + 3 log3 – 9 log3 – 8 log2

log2 R//

Ecuaciones Exponenciales 2 (25) ^x - 5^(x+1) = 3

2 (5^2) ^x - 5^x*5 3 U = 5 ± √25 + 24 / 4

25^2^x – 5*5^x = 0 U1 = 5 + 7/4 = 3

U= 5^x U2 = 5 – 7 /4 = - 1/2

2u^2 – 5u – 3 = 0

Log10 5^x = log10 3

X log10 5 = log10 3

X = log10 3/ log10 5 = 0.68

Ecuación Logarítmica Log (5x – 1) – log (x-3) = 3

Log10 (5x – 1/ x-3) = 10^3

(5x – 1/ x-3) = 1000

5x – 1 = 1000(x – 3)

5x – 1 = 1000x – 3000

-995x = 2999

X= 3.01

Log2 x + 3 log2 2 = log2 (x/y)

Log2 x+ log2 2^3 = log2 (2/x)

Log2 (x)*(2^3) = log2 (2/x) x1 = 1/2

2 log2 8x = 2 log (2/x) x2 = -1/2 No es posible

8x = 2/x

8x ^2 = 2

x^2 = 1/4

x = ± 1/2

Log (x^2 + 3x – 6) – log (1/x) = log (2x +6) + log x

10 log10 (x^2 + 3x – 6) = 10 log10 (2x +6) (x)

(x) (x^2 + 3x – 6) = 2x^2 + 6x

10 log10 (x^2 + 3x – 6/ x – 1) = = 10 log10 2x^2 + 6x

X^2 + 3x – 6 = 2x^2 + 6x (x ^-1) x1= -4

X^2 + 3x – 6 = 2x + 6 x2 = 3

X^2 + 3x – 6 - 2x – 6 = 0

X^2 + x – 12 = 0

(x + 4) (x – 3) = 0

Números Complejos

R + i

3 5 + 3i

1 = √-1 5

1 = √-1 √-1 = i (√-1) ^4 =(√-1) ^2*(√-1) ^2

√-4 = √-1 * √4 (√-1) ^2 = 1^2 = -1 -1 * -1 = 1

=i2 (√-1) ^3 = (√-1) ^2 *√-1 = -i

-1 = i

Magnitudes Rectangulares

R + i

6 + 8i

10

8i

6

Coordenadas rectangulares