CUADRICAS-Aplic-ARQUITECT

UNA VISIÓN DE LAS CUÁDRICAS Y OTRAS SUPERFICIES Y SU VINCULACIÓN A LA ARQUITECTURA

S. E. M. UR. eMe 22

(22º Encuentro de Matemática Educativa)

Centro Regional de Profesores del SuroesteColonia del Sacramento 9 y 10 de setiembre de 2006

Arq. Miguel Ángel Odriozola Guillot

Origen (base) de la charla (posible aplicación)Situación real o de partida (alumno, equipo docente, objetivos del curso)Posición personal y responsabilidad

OBJETIVOS Motivar Vincular sin forzarConocer (formar y aplicar), enseñar a pensar y descubrir la matemática

...La geometría es pues el instrumento con que delimitamos, cortamos, precisamos y formamos el espacio, que como hemos dicho es el material de base de la arquitectura. L. Quaroni

La forma tridimensional de la arquitectura no es el exterior de un sólido, sino la envoltura cóncava y convexa de un espacio; y a su vez el espacio no es el vacío sino el lugar volumétrico en el que se desenvuelve toda una serie de actividades posibles y variadas. En consecuencia, en el caso de la arquitectura, la “invención” se refiere a un “sistema espacial organizado” que experimentamos a través de su utilización y percibimos a través de su forma”. Giancarlo De Carlo

SECCIONES CÓNICAS

ELIPSEEcuación canónica

ELIPSE – Propiedad geométrica

La normal y la tangente a la elipse son las bisectrices correspondientes de los ángulos interior y exterior entre los radios vectores del punto de tangencia.

HIPÉRBOLA

HIPÉRBOLA – Propiedad geométrica

La tangente y la normal a la hipérbola son las bisectrices correspondientes de los ángulos interior y exterior entre los radios vectores del punto de tangencia M.

PARÁBOLA

y 2= 2px (p es el parámetro focal, distancia del foco a la

directriz)

PARÁBOLA

La tangente y la normal la parábola son las bisectrices de los ángulos entre el radio vector focal y el diámetro que pasa por el punto de tangencia.

SUPERFICIES CUÁDRICAS:

Después de los planos, las superficies más sencillas son las definidas por ecuaciones de segundo grado en

coordenadas cartesianas, llamadas de segundo grado, cuádricas o cuadráticas.

CUÁDRICASLas figuras tridimensionales que corresponden a las cónicas en el plano son las llamadas superficies cuádricas.

Estas superficies son las gráficas de las ecuaciones de segundo grado en x, y, z.

Como en el caso de las cónicas, se presentan algunas degeneraciones. Son básicamente de cuatro tipos:

1- No hay ningún punto. Ej. La ecuación x2 + y2 + z2 + 1 = 0.

2- Un solo punto. Ej. La ecuación x2 + 2y2 + z2 = 0. Se satisface sólo para el punto (0,0,0).

3- Una recta. Ej. La ecuación x2 + y2 = 0. Se satisface sólo para los puntos del eje z.

4- Uno o dos planos. Ej.1. La ecuación z2 = 0. Se satisface sólo para los puntos del plano xy y sólo para ellos. Ej.2. La ecuación x2 – y2 = 0, son los puntos de los dos planos de ecuaciones x – y = 0 y x + y = 0.

SUPERFICIES CUÁDRICAS - Cilindros:

Llamamos Cilindro a toda superficie engendrada por una recta que se mueve apoyándose en una curva plana y permaneciendo paralela a una recta dada. Dicha curva la llamamos directriz del cilindro y la recta que se mueve engendrando el mismo, la llamamos generatriz.Decimos que un cilindro es circular cuando su directriz es una circunferencia. Si la generatriz es perpendicular al plano de esta circunferencia decimos que es un cilindro circular recto.Cuando la directriz es una recta, el cilindro se reduce a un plano.Los cilindros son superficies regladas, es decir, una superficie tal que por cada uno de sus puntos pasa por lo menos una recta contenidaenteramente en la superficie.

ECUACIONES(en R3)

SE ANALIZAN CASOS PARTICULARES a=b, etc., Y SE MENCIONAN LAS ECUACIONES REFERIDAS A OTROS EJES.

SE PLANTEA: DETERMINAR LAS CARACTERÍSTICAS DE CADA SUPERFICIE DADA SU ECUACIÓN, A TRAVÉS DE CORTES CON LOS PLANOS COORDENADOS Y PLANOS PARALELOS A LOS COORDENADOS.

ELIPSOIDE

semiejes del

ELIPSOIDE

ELPSOIDE

ESFERA

Geoda

Arq. Adrien Fainsilber

Diámetro=36m

HIPERBOLOIDE DE UNA HOJA

HIPERBOLOIDE DE UNA HOJA DE REVOLUCIÓN

(cono asintótico e hiperboloide de dos hojas de revolución)


Monumento al EjércitoGral. Flores y Julio Herrera y Obes - Montevideo


Tanque elevado

Colonia Valdense

HIPERBOLOIDE DE DOS HOJAS

12

2

2

2

2

2

=+−−cz

by

ax

a, b, c +∈R

HIPERBOLOIDE DE 2 HOJAS

CONO ELÍPTICO

PARABOLOIDE ELÍPTICO

PARABOLOIDE HIPERBÓLICO


Superficie reglada


Plaza FabiniMontevideo

Restaurante Los Manantiales en la ciudad de México. A la derecha, descripción explícita de la parte del paraboloide hiperbólico utilizada por el arquitecto Félix Candela.

L’Oceanogràfic, fotografiado durante su construcción, muestra su estructura. © Javier Yaya Abajo, representación como unión departes de un paraboloide hiperbólicode la cubierta del edificio de recepción de l’Oceanogràfic. Año 1997 Arq. Félix Candela

de la Ciudad de las Artes y de las Ciencias de Valencia. España.


Depósito de Gas

Colonia Valdense

Depósito de Gas – Colonia Valdense


CILINDRO ELÍPTICO*

CILINDRO HIPERBÓLICO*

CILINDRO PARABÓLICO

y 2= 2px (p=parámetro)

p +∈R

CILINDRO PARABÓLICO

y 2= 2px (p es el parámetro focal, distancia del foco a la

directriz)

catenaria

Un cable colgante sujeto por sus dos extremos como los que emplean las compañías eléctricas para llevar la corriente de alta tensión entre las centrales eléctricas y los centros de consumo. La curva que describe un cable que está fijo por sus dos extremos y no está sometido a otras fuerzas distintas que su propio peso es una catenaria. Esta curva se confundió al principio con la parábola, hasta que el problema lo resolvieron los hermanos Bernoulli simultáneamente con Leibniz y Huygens.

Catenaria y parábola

catenaria

CILINDROS

Helicoide circular

Parque de la Villette

París – Francia (1984-1986)

Arq. Bernard Tschumi

CILINDROS CIRCULARES RECTOS

Tres Cilindros en el World Trade CenterMontevideo

TORRE CAELUSMontevideo26 de marzo esq. Rambla MontevideoArq. Ernesto Kimelman & asociados

CILINDROS - CRADECO Colonia Valdense

CUBIERTAS CILÍNDRICAS

Montevideo ShoppingIng. Eladio Dieste

CILINDROS Y OTRAS SUPERFICIES CURVAS

MONTEVIDEO SHOPPINGIng. Eladio Dieste y otros

INTERSECCIONES DE 3 PLANOS EN R3

ESTRUCTURAS LAMINARES SIMPLESCubiertas cilíndricas

Las superficies medias de las estructuras laminares pueden ser de doble curvatura y de simple curvatura, según que las dos secciones principales sean curvas o bien que una de ellas sea una recta.

Dieste - Bóvedas de cerámica armada de doble curvatura

Procesadora de frutas Caputto - Salto

Bóvedas de cerámica armada de doble curvatura. Con lucernariosentre bóvedas. Luz=46,50mÁrea cubierta=4.200m2Fecha de finalización: octubre de 1972

Gentileza Ing. Gonzalo Larrambebere

Dieste – Bóvedas de cerámica armada

Procesadora de frutas Caputto - SaltoBóvedas de cerámica armada de doble curvatura. Con

lucernarios entre bóvedas. Luz=46,50mÁrea cubierta=4.200m2Fecha de finalización: octubre de 1972La curvatura trasversal de las bóvedas de doble curvatura

puede ser cualquier curva, lo importante es obtener un momento de inercia suficiente para que el arco no pandee. Dieste utiliza dos catenarias de curvaturas opuestas acordadas . Siempre usa las catenariaspara los arcos principales para generar un estado básico de compresiones, que luego puede superponerse con flexiones originadas por diferentes causas, como viento, cargas concentradas accidentales, defectos constructivos, etc. La catenaria es la antifunicular del peso propio, en cambio la parábola lo es de una carga uniforme. En realidad, ambas curvas son muy similares, especialmente para arcos rebajados (relación Luz/Flecha grande)

Gentileza Ing. Gonzalo Larrambebere

BÓVEDAS AUTOPORTANTES – corte longitudinal

FAGAR-San Juan Refrescos FINALISTA PREMIO MIES VAN DER ROHE 1998

Depto. De ColoniaBóvedas autoportantes de cerámica armadaProyecto y dirección: Arq. Miguel Ángel Odriozola OdriozolaEstructura: Ing. Eladio DiesteCodirector y colaborador: Arq.Miguel Ángel Odriozola Guillot

BÓVEDAS AUTOPORTANTES – corte transversal

FAGAR-San Juan Refrescos FINALISTA PREMIO MIES VAN DER ROHE 1998 Depto. De Colonia

Bóvedas autoportantes de cerámica armada (anticatenarias)(luz de cada bóveda 14,50m) Área cubierta por bóvedas aprox.4.000m2Proyecto y dirección: Arq. Miguel Ángel Odriozola OdriozolaEstructura: Ing. Eladio DiesteCodirector y colaborador: Arq.Miguel Ángel Odriozola Guillot

BÓVEDAS AUTOPORTANTES

FAGAR-San Juan RefrescosDepto. De ColoniaVista exterior 1Bóvedas autoportantes de cerámica armadaFINALISTA PREMIO MIES VAN DER ROHE 1998

Proyecto y dirección: Arq. Miguel Ángel Odriozola Odriozola

Estructura: Ing. Eladio Dieste

Codirector y colaborador: Arq.Miguel Ángel Odriozola Guillot


FAGAR-San Juan RefrescosDepto. De ColoniaVista interior1 (embotellado)FINALISTA PREMIO MIES VAN DER ROHE 1998

Proyecto y dirección: Arq. Miguel Ángel OdriozolaOdriozola


Codirector y colaborador: Arq.Miguel Ángel Odriozola Guillot

CONOIDE

FAGAR-San Juan RefrescosDepto. De Colonia

FINALISTA PREMIO MIES VAN DER ROHE 1998

Vista interior Proyecto y dirección: Arq. Miguel Ángel OdriozolaOdriozola


Codirector y colaborador: Arq. Miguel Ángel OdriozolaGuillot

ARCOS

Pasaje del GobernadorVivienda MaffeiColonia del SacramentoMENCIÓN HONROSA en CONCURSO INTERNACIONAL DE REMODELACIÓN DE EDIFICIOS – Santiago de Chile 06-10-93

Restauración:Proyecto y dirección: Arq. Miguel Ángel OdriozolaOdriozola

Estructura y codirección: Arq.Miguel Ángel Odriozola Guillot

ARCOS

Pasaje del GobernadorVivienda Maffei 2Colonia del SacramentoMENCIÓN HONROSA en CONCURSO INTERNACIONAL DE REMODELACIÓN DE EDIFICIOS –Santiago de Chile 06-10-93Restauración:Proyecto y dirección: Arq. Miguel Ángel OdriozolaOdriozola

Estructura y codirección: Arq.Miguel Ángel OdriozolaGuillot

ARCOS

Pasaje del GobernadorVivienda Maffei 3Colonia del SacramentoMENCIÓN HONROSA en CONCURSO INTERNACIONAL DE REMODELACIÓN DE EDIFICIOS – Santiago de Chile 06-10-93

Restauración:Proyecto y dirección: Arq. Miguel Ángel OdriozolaOdriozola

Estructura y codirección: Arq.Miguel Ángel Odriozola Guillot

ARCOS

Centro Cultural Bastión del Carmen

Arquería SubterráneaColonia del Sacramento

Recuperación: Arq.M.A.Odriozola Odriozola

ARCOS Y BÓVEDAS

Iglesia Matriz delSantísimo SacramentoColonia del Sacramento

Restauración: Arq.M. A. Odriozola OdriozolaLuz bóveda: 7,80 m

ARCOS Y BÓVEDAS

Iglesia Matriz delSantísimo SacramentoColonia del Sacramento

Restauración: Arq.M. A. Odriozola Odriozola

TRONCO DE CONO

Bastión del CarmenColonia del Sacramento

Chimenea(altura: 30m)

MEMBRANAS (Carpa de Circo)

La carpa del circo es una membrana capaz de cubrir decenas de metros, siempre que la tela cuente con adecuado sostén en parantes de compresión, estabilizados por riendas de tracción.La membrana adopta su forma para resistir las cargas a la tracción y se comporta como una superficie funicular bidimensional

MEMBRANAS

1 – Carpa pretensada para el Aeropuerto de Jiddah, Arabia Saudita

Proyecto: Geiger-Berger

2 – Carpa del Zoológico Franklin de Boston, Massachusetts

Proyecto: Weidlinger Asociados

3 – Membrana pretensada de un paraguas

MEMBRANAS

Estadio olímpico de MunichAlemania, año 1972 Proyecto: Frei Otto

CUBIERTAS TENSADAS

Pista de patinaje de la Universidad de YaleArq. E. Saarinen

Techo de cables con nervio en forma de arco.(material de la cubierta: madera)

CUBIERTAS TENSADAS

Estadio de RaleighCarolina del norte, EEUU

“Silla de montar”(chapas livianas de metal

corrugado)

CUBIERTA DE CABLES PRETENSADOS

Cilindro MunicipalMontevideoIng. Viera

TECHO EN BÓVEDA

El elemento que conecta los arcos entre sí es una bóveda de ladrillo en las cubiertas medievales, o una placa de hormigón en los hangares modernos. Las bóvedas sostenidas por arcos de acero son también comunes en el proyecto de techos para fábricas modernas.

Walt Disney Concert Hall

Los Ángeles – EEUU

Arq. Frank Ghery

CONOIDEHOTEL EL MIRADOR –COLONIASALA DE CONFERENCIASArq. M.A.OdriozolaOdriozolaEstr.Ing.Simeto-Ing.BermúdezEdificio original Arq. Julio Vilamajó

CONOIDE

HOTEL EL MIRADOR –COLONIASALA DE CONFERENCIASArq. M.A.OdriozolaOdriozolaEstr.Ing.Simeto-Ing.BermúdezEdificio original Arq. Julio Vilamajó

CONOIDEHOTEL EL MIRADOR –COLONIASALA DE CONFERENCIASArq. M.A.OdriozolaOdriozolaEstr.Ing.Simeto-Ing.BermúdezEdificio original Arq. Julio Vilamajó

CONOIDE

HOTEL EL MIRADOR – COLONIASALA DE CONFERENCIASArq. M.A.Odriozola OdriozolaEstr.Ing.Simeto-Ing.BermúdezEdificio original Arq. Julio Vilamajó

CONOIDE

Escuela nº 90 – Colonia

Año finalización 1971

…El Ing. Marcelo Sassón fue el proyectista y calculista de la cubierta del edificio, cuyo proyecto arquitectónico, según él, fue realizado por varios arquitectos, pero el "alma mater" fue Gonzalo Rodríguez Orozco, con quien lo unía una gran amistad. Sassón me contó algunos detalles. Cada aula está cubierta por dos conoides enfrentados, en cuya unión se produce el lucernario cenital. Este lucernario surgió a pedido del arquitecto, que quería complementar la iluminación lateral de las ventanas que están en las paredes. La idea era que el lucernario cenital proyectara luz sobre el pizarrón. Los conoides son superficies regladas, con una directriz recta, horizontal, sobre el muro, y la otra directriz en forma de arco. Los dos arcos superpuestos tienen igual luz y diferente flecha, con lo que se genera la abertura del lucernario…(datos aportados por el Ing. Gonzalo Larrambebere)

CONOIDE

Escuela nº 90 – Colonia

Año finalización 1971

CUBIERTA CILÍNDRICA

CLUB PLAZA –COLONIAARQ.M.A.OdriozolaOdriozolaARQ.C.ArmandUgónESTRUCTURA: Ing. Simeto – Ing. Bermúdez

CUBIERTA CILÍNDRICA

CLUB PLAZA –COLONIAARQ.M.A.OdriozolaOdriozolaARQ.C.Armand UgónESTRUCTURA: Ing. Simeto – Ing. Bermúdez

CILINDRO CIRCULAR

PASEO COLONIA(hoy BSE Colonia)

Colonia del Sacramento

1er Premio Concurso y Ejecución de la Obra

Miguel Ángel Odriozola GuillotARQUITECTO

APOLO-BOGA-CAYON-VERA CAMPOARQUITECTOS ASOCIADOS

OTROS TIPOSDE CUBIERTAS

RECONOCIMIENTO DE ALGUNAS SUPERFICIES CUÁDRICASAnalizando los coeficientes de las ecuaciones dadas:ax2 + by2 + cz2 = 1

a b c

+ + + Elipsoide

+ + - Hiperboloide de una hoja

+ - - Hiperboloide de dos hojas

- - - Conjunto vacío

+ + 0 Cilindro elíptico

+ - 0 Cilindro hiperbólico

- - 0 Conjunto vacío

+ 0 0 Dos planos paralelos

- 0 0 Conjunto vacío

signo de nombre de la cuádrica


a b c

+ + + Sólo un punto

- - - Sólo un punto

+ + - Cono

+ - - Cono

+ + 0 Una recta

- - 0 Una recta

+ - 0 Dos planos secantes

+ 0 0 Un plano

- 0 0 Un plano

a b

+ + Paraboloide elíptico

- - Paraboloide elíptico

+ - Paraboloide hiperbólico

+ 0 Cilindro parabólico

- 0 Cilindro parabólico


ax2 + by2 + cz2 = 0

ax2 + by2 + cz = 0

¡AQUÍ SE LES PLANTEÓ UN PROBLEMA!Maquetas de alumnos

Curso MatemáticasFacultad de Arquitectura

1er semestre 2002

¿Por qué no propuse el problema como disparador?

Maquetas de alumnos

Curso Matemáticas 1er semestre 2002

“...Pero es claro que, en la actualidad, disponemos de un instrumento extraordinariamente potente, el ordenador, cuyo influjo sobre el quehacer matemático se va dejando sentir en muchos aspectos. Uno de ellos es, obviamente, la visualización.”

Miguel de Guzmán – EL RINCÓN DE LA PIZARRA

Trabajos en Arquinauta

Paraboloide Hiperbólico

Trabajos en AUTOCAD – Paraboloide Hiperbólico

Imágenes y animaciones creadas por el Arq. Enrique Abeledo(Aregentino) utilizando AUTOCAD y 3D STUDIO

Trabajos en Derive

Cilindroparabólico

Trabajos en Derive

Paraboloide Hiperbólico

Esfera R=5

Trabajos en Derive 5

Paraboloide elíptico

Trabajos en Derive 5

BIBLIOGRAFÍA

• CALCULUS T I (APÓSTOL)• ANÁLISIS MATEMÁTICO T II (REY PASTOR-PI CALLEJA-TREJO)• GEOMETRÍA ANALÍTICA (STEEN-BALLOU)• GEOMETRÍA ANALÍTICA SERIE SCHAUM• Apuntes de Curso Matemáticas Superiores. Facultad de Arquitectura año 1991

– Markarian y otros.• Notas de matemática para arquitectura y diseño (Vera W. De Spinadel –

Hernán S. Nottoli) • EL RINCÓN DE LA PIZARRA (Miguel De Guzmán)• PROYECTAR UN EDIFICIO EN 8 LECCIONES DE ARQUITECTURA - L.Quaroni• Hormigón Armado – Montoya, Meseguer y Morán• Estructuras para Arquitectos – Salvadori y Heller• La Estructura Cerámica – Eladio Dieste

Colonia, 9 de setiembre de 2006

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