Cuarta parte Final Aplicaciones de la Probabilidad en la Industria · 2010-07-16 · Aplicaciones...

Aplicaciones de la Probabilidad

en la IndustriaDr. Enrique Villa Diharce

CIMAT, Guanajuato, México

Verano de probabilidad y estadística CIMAT

Guanajuato,Gto. Julio 2010

Cuarta parteFinal

Reglas para detección de señales de alarma

En algún momento se propuso agregar a las cartas mecanismos de detección de señales fuera de control, más rápidamente.

El manual de Western Electric (1956) sugirió un conjunto de reglas de decisión para detectar patrones no aleatorios en las cartas de control.

El problema con la adición de estas reglas de detección de señales fuera de control, es que aumenta bastante el número de falsas alarmas y puede ser muy complicado estar revisando frecuentemente el proceso para encontrar las causas de las señales.

A+B+C+

A -B -C-

LSC

LIC

LC

PRUEBA 1 . Un punto fuera de los límites de control.

.

X

X

A+B+C+

A -B -C-

LSC

LIC

LC

PRUEBA 2 .Nueve puntos consecutivos todos por arriba o por abajo de la linea central.

X.. . . . . . .A+B+C+

A -B -C-

LSC

LIC

LC

PRUEBA 3 . Seis puntos consecutivos con un ascenso o descenso constante.

.. ....X

......X

A+B+C+

A -B -C-

LSC

LIC

LC

PRUEBA 4 .Catorce puntos alternandose hac ia abajo y arriba

X

.. .

.....

......

A+B+C+

A -B -C-

LSC

LIC

LC

PRUEBA 5 . Dos de tres puntos consecutivos en la zona A

...

...

X

X

A+B+C+

A -B -C-

LSC

LIC

LC

PRUEBA 6 .Cuatro de cinco puntos consecutivos en la zona B o más allá de ella.

.....

.....X

X

A+B+C+

A -B -C-

LSC

LIC

LC

PRUEBA 7 . Quince puntos consecutivos en la zona C (por abajo y arriba de la linea central)

X

...............

A+B+C+

A -B -C-

LSC

LIC

LC

PRUEBA 8. Ocho puntos consecutivos en ambos lados de la linea central con ningún punto en la zona C.

.

. .. .

. .

.X

Se muestran las zonas y sus probabilidades normales de queun punto caiga en cada una de ellas.

Ahora se darán las probabilidades de que estas pruebas nosden una falsa alarma cuando los puntos sean variablesaleatorias normales. Las probabilidades correspondientes aestos Gráficos que son los siguientes .

Prueba 1: Probabilidad = 0.0027

Prueba 2: Probabilidad = 2(1/2)9 = 0.00391

Prueba 3: Probabilidad = 2/6! = 0.00277




Prueba 7: Probabilidad = (0.68268)15 = 0.00326

Prueba 8: Probabilidad = (0.31732)8 = 0.000103

ESTIMACIÓN DE LAS SEÑALES POR TENDENCIAnn <- 100006 FUERA1 <- rep(0,nn-6); FUERA2 <- rep(0,nn-6); FUERA3 <- rep(0,nn-6); FUERA4 <- rep(0,nn-6)FUERA5 <- rep(0,nn-6);DAT <- rnorm(nn); for (i in 1:(nn-6)){if (DAT[i] < DAT[i+1]) FUERA1[i] <- 1if (DAT[i+1] < DAT[i+2]) FUERA2[i] <- 1if (DAT[i+2] < DAT[i+3]) FUERA3[i] <- 1if (DAT[i+3] < DAT[i+4]) FUERA4[i] <- 1if (DAT[i+4] < DAT[i+5]) FUERA5[i] <- 1}FUERA <- 0for (i in 1:(nn-6)){

if(FUERA1[i]*FUERA2[i]*FUERA3[i]*FUERA4[i]*FUERA5[i] > 0)

FUERA <- FUERA +1}2*FUERA/(nn-6)

Programa, elaborado en R, para calcular pro simulación la probabilidad de falsa alarma por señal de tendencia.

ARL combinado

La consideración de un número grande de reglas de detección de fuera de control, aumenta notablemente el número esperado de falsas alarmas.

==−

i-11αα Probabilidad de no salir de control

Sustituyendo las probabilidades de salir de control para las diferentes reglas tenemos que la probabilidad de salir, de acuerdo a una o mas de las reglas es,

Probabilidad de no salir de control , por la regla i=1,2,…,n.

∏∏

=

=

−−=

−=−n

i i

n

i i

1

1

)1(1

)1(1

αα

αα

Suponiendo que las reglas actúan de forma independiente, y considerando

Tenemos que,

ARL combinado

01.3902564./1/1 === αARL

Este es un valor sumamente pequeño, por lo tanto si se consideran reglas de fuera de control adicionales a la de Shewhart, habría que seleccionar un número reducido, que tenga sentido.

02564.)0001.1)(00326.1)(00553.1)(00304.1()00461.1)(00277.1)(00391.1)(0027.1(1

=−−−−

−−−−−=α

Por lo que la longitud promedio de corrida es,

Cartas de Shewhart para observaciones individuales

Las cartas cartas de Shewhart para observaciones individuales se usan cuando los datos no se pueden agrupar de una manera natural. Esto ocurre cuando la inspección o medición de las unidades es muy costosa o demanda mucho tiempo. También utilizamos estas cartas cuando los procesos son de tipo continuo. Algunos ejemplos son: •Procesos quimicos•Industria de bebidas alcoholicas, en las que debe pasar desde 1 hasta más de 100 horas para tener resultados de los procesos de fermentación y destilación.•Algunas cantidades administrativas, cuyas mediciones se obtienen cada día, cada semana o más. Por ejemplo: mediciones de rendimiento, desperdicio, de consumo de agua, energía eléctrica, etc.


En la carta de observaciones individuales, se grafica directamente la observación, que suponemos tiene distribución normal, con media y desviación típica . Los límites de control de esta carta son de la forma .

En este caso estimamos la desviación utilizando los rangos móviles de orden 2, que se forman tomando parejas de observaciones sucesivas y calculando su rango, como se muestra a continuación,

µσ

σµ 3±

221619325

22RangoiX


En este caso, la desviación típica se estima como, .

La constante ya es conocida, solo que aquí consideramos que es función del tamaño muestral n=2. Además de la carta de observaciones individuales, podemos construir también la carta de medias móviles para monitorear la variación del proceso. Los límites de ambas cartas son los siguientes:

128.1// 2 RdRX ==σ

2d

128.1/3128.1/3

RXLCSRXLCI

XLC

+=−=

=

RLCSLCI

RLC

267.30

===

Límites de la carta de observaciones individuales

Límites de la carta de medias móviles


Ejemplo. En un proceso industrial de trituración, se toma una muestra de 40 componentes y se miden sus diámetros en mm. Los datos se muestran en la siguiente tabla.

18.989 18.989 18.987 18.990 18.992 18.993 18.994 18.98918.992 18.991 18.990 18.993 18.989 18.995 18.989 18.99018.991 18.990 18.992 18.986 18.988 18.989 18.987 18.98918.986 18.985 18.984 18.987 18.989 18.988 18.988 18.99018.989 18.989 18.989 18.987 18.988 18.990 18.989 18.990

Tabla. Diámetro en mm de 40 componentes

En la siguiente figura tenemos la gráfica de probabilidad normal, en donde podemos apreciar que la distribución normal aproxima bien a la distribución de los datos, por lo que podemos la carta de observaciones individuales a estos datos.

Figura. Gráfica de probabilidad normal de los diámetros.

Figura. Cartas de observaciones individuales y rangos móviles para los diametros.


La figura anterior tenemos las cartas de observaciones individuales y rangos móviles. En estas cartas observamos que el proceso esta en control.

Cartas EWMACartas de medias móviles con ponderación exponencial

Esta carta es una alternativa a la carta Shewhart cuando queremos detectar cambios pequeños.

puede ser el valor observado individualmente del proceso o la media muestral de una muestra tomada al tiempo t. La estadística EWMA es un promedio ponderado de todas las observaciones anteriores.

El esquema de control EWMA se basa en la siguiente estadistica:

,...2,1,)1( 1 =−+= − tZXZ ttt λλ

Donde es una constante de suavizamiento. El punto de partida , usualmente es usualmente el valor objetivo.

10 << λ0Z

tX

Cartas EWMA

Continuando de esta manera, vemos que el EWMA es una combinación lineal de las observaciones de la forma:

Donde los pesos de las observaciones pasadas decaen exponencial-mente, como en una serie geométrica.

33

22

1

22

1

21

)1()1()1(

)1()1(

])1()[1(

−−−

−−

−−

−+−+−+=

−+−+=

−+−+=

tttt

ttt

tttt

ZXXXZXXZXXZ

λλλλλλ

λλλλ

λλλλ

01

0)1()1( ZXZ tt

j jtj

t λλλ −+−= ∑ −

= −

Cartas EWMA

Cuando las son vaiid con varianza común , se tiene que

Esta varianza converge rápidamente a su valor asintótico. Es decir, cuando ,

22

22

22

2)1(242

2])1(1[

)1(1])1(1[

])1(...)1()1(1[)(

σλλλ

σλλλ

σλλλλ

−−−

=

−−−−

=

−++−+−+= −

t

t

ttZV

22

2σ

λλσ−

=Z

tX 2σ

∞→t

Usualmente se calcula a partir de la carta R, como ya vimos anteriormente.

σ

Cartas EWMA

Por lo anterior, tenemos que la estadística que usamos en esta carta, la varianza crece inicialmente y se aproxima rapidamente a su valor asintótico, por lo tanto los límites de control de la carta EWMA tienen una distancia a la linea central, creciente y en un momento dado se estabiliza.

Los límites de esta carta son:

λλλσ

λλλσ

−−−

+=

−−−

−=

=

2])1(1[3

2])1(1[3

2

2

t

X

t

X

XLCS

XLCI

XLC

Ejemplo

Se generan aleatoriamente 40 observaciones con una distribución normal con media y varianza 1. Las primeras 20 observaciones se generan con media igual a cero, la cual se considera como la distribución bajo control. Las ultimas 20 observaciones se generan con una media igual a .5, y simulan el proceso fuera de control.

µ

En la Figura 1, tenemos la gráfica de la carta EWMA con el parámetro de suavizamiento igual 0.2. En esta carta vemos claramente la señal de fuera de control a partir de la observación número 25. Una vez que el primer punto cruza el limite de control superior, otros también lo hacen.

En la Figura 2, tenémos la carta EWMA, con el parámetro de suavizamiento igual a 0.8, en este caso, la observación número

Ejemplo

cruza el limite superior, pero los siguiente puntos ya no lo hacen. Esta carta da una evidencia muy pobre del cambio de nivel de la media del proceso, a diferencia de la carta EWMA de la Figura 1, en donde notamos una fuerte evidencia de del cambio de la media del proceso hacia arriba. La diferencia en estas dos cartas EWMA es el valor del parámetro de suavizamiento. Valores pequeños de este parámetro, permiten detectar cambios pequeños en la media del proceso más facilmente.

En la Figura 3, tenemos la carta de control para datos individuales, en este caso, no hay puntos que crucen el límite de control superior, aunque si se mantienen en la parte superior de la carta.

Figura 1. Carta EWMA con parámetro .2.0=λ

Cartas EWMA

Figura 2. Carta EWMA con parámetro .8.0=λ

Cartas EWMA

Cartas EWMA

Figura 3. Carta de observaciones individuales.

Cuarta parte Final Aplicaciones de la Probabilidad en la Industria · 2010-07-16 · Aplicaciones...

Documents

Transcript of Cuarta parte Final Aplicaciones de la Probabilidad en la Industria · 2010-07-16 · Aplicaciones...