CUATERNIONES

DEFINICIÓN Y PROPIEDADES

Los cuaterniones son miembros de un cuerpo no conmutativo inventado por primera vez por William Rowan Hamilton. Su descubrimiento le causó tal satisfacción que no pudo resistir la tentación de perpetuar su fórmula fundamental en una piedra del puente Brougham.

El conjunto de los cuaterniones se denota por la letra o , y son uno de los ejemplos de una clase más amplia de números, también descubiertos por Hamilton, los hipercomplejos. A pesar de no ser conmutativos, los cuaterniones sí son asociativos, formando un grupo.

Los cuaterniones admiten diversas representaciones:

Por analogía con los números complejos, se pueden representar como la suma de una parte real y una imaginaria,

, siendo a, b, c y d números reales.En forma matricial la representación es la siguiente:

, donde z y w son números complejos, a, b, c y d son reales y es el complejo conjugado de z.

Como representación matricial alternativa tenemos la que utiliza como bases las matrices 2x2, siendo los cuaterniones combinaciones lineales de las mismas:

, de forma que I, J y K son las tres soluciones de la ecuación matricial:

, cumpliéndose las siguientes igualdades:

Por lo tanto, I, J y K pueden ser consideradas como las raíces negativas de la matriz unidad. A la combinación lineal de estas cuatro matrices con coeficientes enteros se la llama entero hamiltoniano.

En estas matrices toman la forma

Como ultima representación recogemos la más compacta y cómoda a la hora de operar; también está constituida por una parte real, w, y una imaginaria, (x, y, z), pero a diferencia de la anterior, la parte imaginaria va agrupada en un vector, v, de forma que la representación resulta: q= [ v , w]

Mediante esta representación podemos identificar los números reales con los cuaterniones de la forma q = [0,s] , y los vectores de R³ con los de la forma

q = [v, 0].

Operaciones con cuaterniones:

La fórmula, que para el gusto o disgusto del puente de Brougham , quedó grabada en una de sus piedras es:

, fórmula considerada como fundamental en el álgebra de los números complejos.Otras igualdades notables referentes a los productos de las unidades imaginarias

son:

En estas desigualdades podemos comprobar la no conmutatividad existente en el cuerpo de los cuaterniones.

La suma de dos cuaterniones es similar a la de dos complejos; cada coordenada se suma con su homóloga del otro número:

El conjugado de un cuaternión también es similar al de un complejo:

, y tiene las siguientes propiedades:q*=conjugado de q(q*)*=q(pq)*=q*p*(p+q)*=p*+q*

Los cuaterniones se multiplican como combinaciones lineales de las unidades imaginarias, que siguen las reglas de multiplicación arriba expuestas:

(a . b)=

Si utilizamos la representación escalar-vector, tenemos:

Otras propiedades a destacar en el producto:Producto por un escalar:

s=escalarq=cuaternión

s.q= q.s= [0,s][v,w]= [sv,sw]Asociatividad:

p,q=cuaterniones(pq)q'=p(qq')

Elemento neutro:1q= q1=[0,1][v,w]=[v,w]

Producto de cuaterniones sin parte real :vv'=[v,0][v',0]=[vxv',-v.v']

La norma de un cuaternión está definida como la raíz cuadrada de éste por su conjugado:

, y es

La división está unievaluada, excepto para divisor cero. Por ello los cuaterniones forman un cuerpo.

El inverso se define como el conjugado dividido por la norma al cuadrado:

Bilinealidad :p,q,q'=cuaternioness,s'=escalarp(sq+s'q')= spq + s'pq'(sq+s'q')p= sqp + s'q'p

Cuaterniones unitariosSean los cuaterniones q y q', tales que N(q)=N(q')=N(v)=1,entonces:Los cuaterniones son de la forma q=[v sinθ, cosθ], para cualquier v unitario.

N(q.q')= 1q-¹= q*v²= -1

UTILIDAD DE LOS CUATERNIONES

Los cuaterniniones son utilizados en los gráficos por ordenador como coordenadas para las rotaciones y orientaciones. Su buen funcionamiento y facilidad de uso los permite competir con las coordenadas más habituales, como las matrices o los ángulos de Euler.

A pesar de ser quizá la forma más sofisticada y práctica de tratar coordenadas homogéneas en el espacio tetradimensional, los cuaterniones están condenados a comer solos; son ignorados en los programas de la mayoría de las universidades.

ROTACIONES

La complejidad que presentan las rotaciones en el espacio tridimensional se debe a su no conmutatividad. Esta propiedad implica que no pueden ser tratadas como vectores.

Por tanto, el conjunto de todas las rotaciones tridimensionales no están organizadas como un espacio vectorial tridimensional, sino como un conjunto de superficies curvas y cerradas que envuelven una esfera, que es la superficie directriz. Este grupo es denominado SO3, 'Special Orthogonal tridimensional group'

Los cuaterniones unidad, S³, tienen la capacidad de capturar toda la geometría, topología, y estructura de las rotaciones tridimensionales, en la forma más sencilla posible.

LOS CUATERNIONES COMO ROTACIONES

Podemos recoger en tres teoremas la relación entre los cuaterniones y las rotaciones tridimensionales:

Sea p un punto en el espacio proyectivo tridimensional representado como un cuaternión, de forma que p=[v,w]=[(x,y,z),w]

Sea q cualquier cuaternión distinto de cero.1- El producto (qpq-¹) transforma a p=[v,w] en p'=[v',w], siendo los

módulos de v y v' iguales.

2- Cualquier múltiplo de q distinto de cero actúa de la misma manera sobre p.

3- Si q es un cuaternión unitario, tal que N(q)=1, entonces q=[v*sinθ,cosθ] actúa sobre p rotándolo un ángulo de 2θ alrededor del eje con vector director unidad v*.

Demostraciones de los teoremas:

La demostración del segundo teorema es trivial, teniendo en cuenta que la inversa de sq, s es un real, es q-¹s-¹, y que el producto de escalares es conmutativo:

(sq)p(sq)-¹=sqpq-¹s-¹=qpq-¹ss-¹=qpq-¹

Por lo tanto, podemos elegir para las demás demostraciones un cuaternión unitario sin perder generalidad. Además para cuaterniones unitarios, el inverso es igual al conjugado, por lo que la acción de q sobre p, qpq-¹, es igual a qpq*.

Demostremos ahora el primer teorema:Primeramente vamos a certificar la igualdad de las partes escalares de p y p'.

Para ello utilizaremos la siguiente propiedad: [2S(q)= q + q*], siendo S(q) la parte escalar de q.

Extraigamos la parte escalar del transformado de p por qpq*, y comprobemos que es igual a la de p:

2S(qpq*)= (qpq*) + (qpq*)*= qpq* + qp*q*

Como la multiplicación de cuaterniones es bilineal, podemos poner:

2S(qpq*)= qpq* + qp*q*= q(p+p*)q*=q(2S(p))q*

Gracias a la conmutatividad en el producto por un escalar, tenemos:

2S(qpq*)= 2S(p)qq*; q*=q-¹ qq*=qq¹=12S(qpq*)=2S(p) S(qpq*)=S(p)

Demostremos seguidamente que la norma del vector que agrupa la parte imaginaria de p es igual a la norma de la parte vectorial de su transformado, qpq*:

Por ser q un cuaternión unitario, no actúa sobre la norma de p, por lo tanto:

p'=(qpq*)N(p)= N(p')

Dado que p y p' tienen la misma parte escalar como hemos demostrado arriba, y sus normas son iguales, como acabamos de afirmar, las normas de sus partes imaginarias han de ser iguales.

p=[v,w]p'=[v',w]N(p)= N(p') N(v)= N(v')Pasemos a la demostración del tercer teorema, el de mayor carga significativa de

los tres.

Supongamos un cuaternión unitario, tal que q=[v,0][v',0]=v.(v')*=[vxv',v.v'], siendo N(v)=N(v')=1

Llamemos θ al ángulo entre v y v'.Sea z=(vxv')/||vxv'||, un vector unitario perpendicular a v y v'.Gracias a las definiciones de producto escalar y vectorial, obtenemos:

v.v'=||v||.||v'||cosθ= cosθ q=[vxv',v.v']= [z sinθ, cosθ]

||vxv'||=||v||.||v'||senθ= senθ

Vamos a demostrar que q'=v''.(v')*=(qvq*)(v')* tiene la misma forma que q, es decir, define los mismos productos escalares y vectoriales que los definidos por [v'.(v)*]; v''= qvq* está, por lo tanto, en el mismo plano que v y v' y forma un ángulo θ con v'. Debemos aclarar que q no actúa como una trasformación unidad sobre v, es decir, v y v'' no son el mismo vector.

q'=(qvq*)(v')* ; sustituyendo q*=(v.(v')*)q'= (qv(v'.v*)*)v'= qv(v.v'*)v'*= q(v.v)(v'*v'*)

Como v y v' son vectores unitarios, su cuadrado es -1, pues recordemos que i²=j²=k²=-1.

q'=q(-1)(-1)=q (qvq*).(v')*= v'.v* [(qvq*).v',(qvq*)xv']=[v'v,v'xv] (qvq*).v'= v'v (a);

(qvq*)xv'= v'xv= z(b)

(a)- cos (ang((qvq*),v'))=cos(ang(v',v)) ang((qvq*),v')= ang(v',v)(b)- (qvq*) , v, v' están en el mismo plano, pues su producto vectorial es siempre z.Conclusión:

El vector v'' =(q v q*) forma un ángulo θ con v' , y está contenido en el plano definido por v y v' . Como no es el propio vector v, de la primera afirmación concluimos que dicho vector forma un ángulo de 2θ con v ; q gira el vector v alrededor del eje con vector director z .

VxV'

V(qVq*)

V'

θ θ

Podemos demostrar que ejerce la misma acción sobre v'. Solamente tenemos que comprobar que el vector v''= (qv'q*) está en el mismo plano que v y v' , y que forma un ángulo 2θ con v' , o lo que es lo mismo, un ángulo θ con (qvq*) :

Obsérvese que q.v= (v'.v*)v= v'(v.v*)= v' ; v' = qv (c)

q''=(qv'q*).(qvq*)* ; introduciendo (c)q''= (q(qv)q*)(qvq*)*= q(qvq*)(qvq*)*= q q''= q

Queda demostrado que la acción de q sobre v' es girar el vector un ángulo de 2θ sobre el eje de vector director z .

En definitiva, el cuaternión q=[ z sin θ, cos θ] actúa sobre cualquier vector unitario del plano perpendicular a z girándolo un ángulo de 2 θ si se premultiplica por q y se postmultiplica por q* el vector.

Cualquier vector del espacio tridimensional se puede expresar como combinación lineal de tres vectores linealmente independientes. Los vectores v, v' y z son linealmente independientes, por lo tanto, forman base en el espacio tridimensional.

La acción de q sobre un vector p es la acción de q sobre (av + bv' + cz).La bilinealidad de los cuaterniones nos permite examinar por separado las

acciones de q sobre v, v' y z.La acción sobre v y v' ya la conocemos. Vamos a ver cómo de bueno es el vector z :qz =[z sin θ, cos θ][z, 0]¿ qz= zq?La única operación que rompe la conmutitividad en el producto de cuaterniones

es el producto vectorial. En este caso este producto es cero; por lo tanto qz= zq. Por lo tanto:

qzq* = zqq*= zComo era de esperar, q no actúa sobre z , lo transforma en sí mismo .Resumiendo:qpq*= q(av + bv' + cz)q*= a(qvq*) + b(qv'q*) + cz

TODA ROTACIÓN EN EL ESPACIO TRIDIMENSIONAL ES LA ACCIÓN DE UN CUATERNIÓN UNITARIO; LA ACCIÓN DE Q=[Z SIN θ, COS θ] EN CUALQUIER VECTOR ES UNA ROTACIÓN ALREDEDOR DEL EJE DE VECTOR DIRECTOR Z UN ÁNGULO 2 θ.

PROPIEDADES DE LAS ROTACIONES CON CUATERNIONES

La combinación de la rotación q seguida de la rotación q' es dada por la rotación q''=qq'

q'(qpq*)q'*= (q'q)p(q'q)*=q''pq''*

Como la multiplicación de cuaterniones es bilineal, puede ser expresada en forma matricial.

Sea q=[(x,y,z),w]

qpq*= pQ

w²+x²-y²-z² 2(xy-wz) 2(xz+wy) 0

2(xy+wz) w²-x²+y²-z² 2(yz-wx) 0Q= 2(xz-wy) 2(yz+wx) w²-x²-y²+z² 0

0 0 0 w²+x²+y²+z²

Teniendo en cuenta que N(q) ²=w²+x²+y²+z²

N(q) ²-2(y²+z²) 2(xy-wz) 2(xz+wy) 0 2(xy+wz) N(q)²-2(x²+z²) 2(yz-wx) 0

Q= 2(xz-wy) 2(yz+wx) N(q)²-2(x²+y²) 00 0 0 N(q) ²

Dividiendo por N(q) ²:

1-s(y²+z²) s(xy-wz) s(xz+wy) 0 s(xy+wz) 1-s(x²+z²) s(yz-wx) 0

Q= s(xz-wy) s(yz+wx) 1-s(x²+y²) 00 0 0 1

siendo s=2/N(q) ²

CURVAS FORMADAS POR CUATERNIONES

Cualquier curva continua de cuaterniones que no pase por [ 0 , 0] representa una secuencia continua de rotaciones. Especial interés radica en aquellas formadas por cuaterniones unitarios, pues son en las que podemos controlar la secuencia de rotaciones.

Como ya comentamos en la introducción, el espacio de rotaciones tridimensional está formado por superficies que rodean, envuelven una esfera, en el caso de cuaterniones unitarios, la esfera unidad..

Entre dos cuaterniones unitarios, q y q', hay un único arco que los une recorriendo la mínima distancia, la intersección del plano que une q, q' y el origen, con la esfera unidad. Estos arcos se llaman geodésicas y son los caminos con aceleración mínima. Un arco geodésico formado por cuaterniones unitarios representa una rotación a velocidad constante alrededor de un eje fijo.

C(t) =( (q'q–¹)exp(t)) q

CONTROL DE LA TORSIÓN

Los cuaterniones nos permiten controlar el grado de torsión en una secuencia de rotaciones.

La estructura de rotaciones tridimensionales ('fiber bundle structure'- conjunto de fibras),SO(3) se diferencia de un espacio proyectivo en que las proyecciones de sus elementos no se pueden realizar en segmentos rectilíneos, sino en círculos. La imagen de un punto en el círculo base es una línea en la banda.

Las rotaciones, SO(3), y los cuaterniones unitarios, S³, pueden ser proyectados en la esfera unidad a través de Л(q)=(qvq-¹)= q [(0,0,1),0] q-¹. Como la rotación de un

vector unitario sigue siendo un vector unitario, la función definida nos proporciona un punto en la esfera unidad.

La banda que tiene esta proyección es la formada por los cuaterniones unitarios de la forma (q [(0,0,sinθ),cosθ]), que difieren de q en un ángulo de 2θ. Como ninguno de los conjuntos son proyectivos, no hay una forma consistente de relacionar la proyección en la esfera tridimensional con las bandas. Sin embargo, existe una forma 'natural' de relacionar una trayectoria en la esfera con una en el espacio de rotaciones o en el de cuaterniones.

Esta relación nos va a ser muy útil en la animación por ordenador. Normalmente una cámara está orientada según el eje z. Si q controla la orientación de la cámara, su proyección en la esfera de direcciones, Л(q), nos indica en qué dirección estamos mirando. La torsión representa un giro alrededor del eje z, por lo tanto, para controlarla, debemos cambiar la orientación de la cámara sin variar la dirección en la que mira; esto significa que tendremos que variar la trayectoria en S ³ sin modificar su proyección . Gracias a la relación 'natural' antes mencionada, podemos medir el ángulo de torsión entre dos secuencias próximas, correspondientes cada una a dos cuaterniones próximos de la trayectoria de S³, y modificarlo en este espacio sin tocar la proyección.

EPÍLOGO

A pesar de que el tratamiento de las rotaciones se puede realizar con ángulos de Euler, e incluso con matrices, aunque éstas sean un tanto engorrosas para ser utilizadas en secuencias de rotaciones, los cuaterniones son la herramienta más simple de usar,con definición y propiedades sólidas . Su único fallo aparente debe ser su falta de higiene, que les hace ser excluidos de la pulcra sociedad científica.

FUENTES

http://mathworld.wolfram.com/

QuaternionsKen ShoemakeDepartment of Computer and Information ScienceUniversity of PennsylvaniaPhiladelphia, PA 19104

Métodos Matemáticos IMaría Elena Rodríguez Rojo 05236