Cine y Matemáticas

Como en casi todos los aspectos de la vida, también en el cine aparecen las matemáticas. Existen muchaspelículas en las que el protagonista es un matemático y se sirve de sus conocimientos científicos para eldesarrollo del argumento de la misma, recordáreis la serie de TV Numb3rs que recientemente hemos vistoen televisión. Otras veces se trata sobre la vida personal y el trabajo desarrollado por un matemático, lamás renombrada quizás sea Una Mente Maravillosa en la que Russell Crowe daba vida a John ForbesNash.

Pero en muchas otras ocasiones las matemáticas aparecen en las películas como parte del argumento: en laJungla de Cristal 3 el agente John McClane con la ayuda de Zeus, un electricista del Harlem, viven unaescena en una fuente pública en la que han de resolver un problema con números enteros que más adelanteanalizaremos. En otras ocasiones el argumento principal lo constituye un ente matemático, así ocurre en lapelícula argentina Moebius, basada en la banda del mismo nombre que tiene importantes propiedadesmatemáticas, especialmente en el campo de la Topología.

Nos detendremos a analizar algunas películas: veremos su ficha técnica, el argumento y los contenidosmatemáticos, abordados desde un punto de vista divulgativo para intentar que todos lo comprendamosfácilmente. Pulsa encima de la película para verlo.

Si quieres ver un trozo de la película, pulsa encima de la carátula que está al lado de la ficha técnica.

MATEMÁTICAS Y CINE

CubeDonald en elpaís de las

Matemáticas

El indomable Will Hunting Enigma

La jungla de cristal 3 Moebius Una mente

maravillosa

Cube

Cine y Matemáticas

Título:CubeReparto: Nicole De Boer, Nicky Guadagni, David Hewlett, Andrew Miller,Wayne Robson, Maurice Dean Wint . Director de fotografía: Derek SandersDiseño de producción: Jasna StefanovichEditor: John Sanders Música: Mark KorvenEfectos digitales y animación: C.O.R.E Digital PicturesEfectos visuales y maquillaje: Caligari StudiosEscrita por: Andre Bijelic, Vicenzo Natali y Graeme MansonProducida por: Mehra Meh y Betty OrrDirigida por: Vicenzo Natali

Comentario-resumen: Seis personas, desconocidas entre sí, se despiertan una mañana en un espaciocerrado en forma de cubo. Entre esas personas están un escapista, un policía, una persona discapacitada,una médico, una brillante estudiante de matemáticas y una persona nihilista (persona escéptica que no creeen nada, de gran importancia en la trama).

El cubo está formado por compartimentos cúbicos que forman a su vez un cubo madre de dimensionesgigantescas. Estos habitáculos pueden ser de dos tipos: libres o con trampas, dependiendo del numero deserie que posea. Esas series de números tienen una relación lógica que tratan de resolver los ocupantes delcubo.

Qué matemáticas se tratan: En Cube la ciencia juega un papel muy importante, en especial lasmatemáticas, conformando la trama de una forma exacta y sin rodeos.

Las matemáticas que aparecen en la película son unas matemáticas accesibles a cualquier estudiante deinstituto,utilizando las permutaciones, los números primos, la descomposición en factores y lascoordenadas tridimensionales (X,Y,Z). A su vez y aunque parezca gracioso, las muertes en cube son muycientíficas. Por poner un ejemplo: en la película, cuando uno de sus ocupantes es descuartizado no es tipopelícula de terror para adolescentes sino con una geometría perfecta de cubos, también ocurre lo mismocon los ácidos corrosivos.

¿Cómo funciona el cubo?. El recinto es un espacio cúbico compuesto por otros cubos más pequeños, todosellos de igual tamaño (14 pies de lado). David Worth averigua que está contenido en una carcasa exteriorde dimensión 1432 pies cuadrados, planteando la hipótesis de que entre la carcasa y el cubo gigante hay unespacio igual al lado de un cubo pequeño. Así en cada arista hay 26 cubos, luego en total 26·26·26=17576

Cada cubo tiene en una de sus caras una puerta que conduce a otro cubo, y en cada puerta un número denueve cifras, agrupadas de tres en tres, que identifican al cubo. Leaven descubre que si suma las cifras,obtiene las coordenadas de ese cubo en eun sistema de ejes cartesianos. Pero se encuentran con un cuboque tiene coordenada 27, ¡imposible! pues el máximo es 26, a no ser que ese cubo indique la salida, ya queestarían en contacto con la carcasa exterior. Si eso ocurre los cubos están cambiando continuamente deposición dado que el cubo con coordenadas 27 se encuentra en contacto con otros cubos y no con elexterior.

¿Cómo se mueven los cubos? Si la suma de cada tres cifras indica las coordenadas iniciales, la resta deberíadar los cambios de posición.

Existe una segunda parte de esta película con el título Cube 2: Hypercube, en la que ocho personas dediferente clase social son metidas dentro de un cubo sin saber cómo ni por qué. Varias son las hipótesispero pocas son las respuestas. El cubo parece infinito formado por varias dimensiones y siempre losmismos habitáculos; el avance parece no existir, pero sí el tiempo, que acelera y decelera a su antojo segúnuna frecuencia perfecta. Hay salas libres, pero también con trampas. En esta parte interviene también lateoría de la relatividad y la cuarta dimensión.

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Donald en el país de las Matemáticas

Título: Donald en el País de las Matemáticas.

Autor: Walt DisneyNivel recomendado: E.S.O., aunque es interesante también para mayores.

Comentario-resumen: "Donald en el País de las matemáticas" es un magnífico corto de Walt Disney. Enél, Donald se aventura en un mundo de fantasía, cuyo destino es un lugar increíble relacionado con lasMatemáticas, donde los árboles tienen raíces cuadradas y los ríos rebosan números.

También pasea por un mundo de "Inventos modernos" y encuentra mucho más de lo que nunca imaginó...El simpático Donald no pasará de meterse en líos gracias a, entre otros inventos, la empaquetadoraautomática o la silla para peluqueros.

Qué matemáticas se tratan: En el país de las Matemáticas encontrará sorprendido árboles con las raícescuadradas, un río de números, un extraño animal con cuerpo de lápiz que lo reta a una partida de tres enraya, tres figuras geométricas (círculo, rectángulo y triángulo) que se juntan para formar un rostro, y eserostro empieza a recitar los dígitos del número p...

El pato Donald viaja a la antigua Grecia para conocer a los matemáticos de la escuela Pitagórica, creadoresde la escala musical, descubre la proporción aurea en el Partenón de Atenas y aprende las proporciones quese esconden en la estrella de cinco puntas, símbolo pitagórico, proporciones que conducen al número áureoy al rectángulo perfecto. Después se nos muestra cómo tanto el pentagrama o estrella de cinco puntascomo la proporción áurea se encuentra en muchos lugares de la naturaleza y ha sido empleado por losartistas, arquitectos, escultores, pintores, en sus obras más famosas.

El pato Donald también descubre el empleo de la lógica matemática en el ajedrez, y la presencia de lasmatemáticas y de la geometría en los juegos y deportes. Así descubre el billar, en su modalidad decarambola a tres bandas, y el narrador le enseña cómo calcular el modo de obtener carambolas sencillasusando las marcas que aparecen en los bordes de la mesa de billar y sumando y restando números yfracciones simples.

El indomable Will Hunting

Cine y Matemáticas

Título: El indomable Will Hunting Año: 1997 Nacionalidad USA Estreno: 13-03-98 Género: Drama Duración: 126 m Título original: Good Will Hunting Dirección: Gus Van Sant Intérpretes: Matt Damon (Will Hunting), Robin Williams (Sean McGuire), Minnie Driver (Skylar), Ben Affleck (Chuckie), Stellan Skarsgard (Lambeau) Guión: Ben Affleck, Matt Damon Fotografía: Jean-Yves Escoffier Música: Danny Elfman

Comentario-resumen: Will Hunting es un joven rebelde y carismático con una capacidad intelectual fuerade lo normal. Al igual que sus amigos, Will realiza trabajos mal pagados y pasa su tiempo libre en el bar,donde en ocasiones tiene problemas con la ley. Tras una pelea en la calle, Will se ve obligado a ir a lacárcel. Suúnica esperanza es Sean McGuire, un profesor y terapeuta que queda asombrado de suscapacidades y problemas emocionales. Entre ellos empieza una conflictiva y extraña relación.

Will Hunting (Matt Damon) es un joven-prodigio autodidacta que trabaja en los servicios de limpieza de unInstituto y que resuelve espontáneamente un problema de Teoría de Grafos propuesto por un profesor asus estudiantes como reto, en una pizarra de un pasillo de la facultad. El profesor, premiado con laMedalla Fields de matemáticas, descubrirá sus portentosas facultades e intentará que reconduzca su vida.Después de pagar una fianza para que salga de la cárcel, donde se encuentra como consecuencia de unalboroto provocado en compañía de sus inseparables amigos, el profesor consigue que acepte eltratamiento de un psicólogo (Robin Williams) con el que entablará una profunda relación. Al mismo tiempose enamorará de una joven (Minnie Driver) y la relación con sus amigos, especialmente con uno de ellos,sufrirá una ligera transformación.

Qué matemáticas se tratan: Aunque no hay una profunda discusión matemática en la película, losproblemas en los que trabajan los profesores del Instituto y que resuelve con facilidad Will Huntingabordan conceptos de la Teoría de Grafos. En matemáticas y ciencias de la computación, la Teoría deGrafos estudia las propiedades de los grafos, que son colecciones de objetos llamados vértices (o nudos)conectados por líneas llamadas aristas (o arcos) que pueden tener orientación (dirección asignada).Típicamente, un grafo está diseñado por una serie de puntos (los vértices) conectados por líneas (lasaristas).

Leonhard Euler fue un matemático de gran talento del siglo XVIII que enriqueció las matemáticas en casicada una de sus ramas y cuya energía fue al menos tan notable como su genio. Uno de sus resultados másfamosos, su solución al problema de los puentes de Königsberg (ciudad de la Rusia occidental, actualmente llamada Kaliningrado), es un ejercicio clásico de la rama de matemáticas llamada Topología, ogeometría de la posición.

El problema es el siguiente: Dos islas en el río Pregel que cruza Königsberg se unen entre ellas y con latierra firme mediante siete puentes. ¿Es posible dar un paseo empezando por una cualquiera de las cuatropartes de tierra firme, cruzando cada puente una sola vez y volviendo al punto de partida?

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La solución al problema de los puentes, está relacionada con el ejercicio de trazar una figura dada sobre elpapel, de un solo trazo, sin trazar una línea dos veces. Si te fijas con atención el problema es equivalente atrazar sobre el siguiente grafo una linea continua pasando por cada nudo y por cada arista una sola vez.

Puedes intentarlo, claro está, pero no lo conseguirás. Euler dio una demostración matemática de laimposibilidad de recorrer los siete puentes con un paseo continuo sin volver a recorrer dos veces el mismopuente, y hoy en día, esa solución se considera como el primer escrito de una teoría matemática fecunda yprolija, la teoría de grafos, encuadrada dentro de la llamada Matemática discreta. Sin embargo, ¿te atrevescon este otro problema? :¿Puedes recorrer el grafo siguiente pasando por todos los nudos y recorriendo todas las aristas una sólavez sin levantar el lápiz del papel?

Aunque seguro que ya has obtenido la solución, si lo deseas pulsa aquí para comprobarlo.

Enigma

Título: EnigmaAño: 2001Director: Michael AptedGuión: Tom Stoppard (Novela: Robert Harris)

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Música: John BarryFotografía: Seamus McgarveyReparto: Dougray Scott, Kate Winslet, Saffron Burrows, Jeremy Northam,Corin Redgrave, Tom Hollander, Nikolaj Coster-Waldau, Donald Sumpter,Matthew MacfadyenProductora: coproducción GB-USA; Intermedia FilmGénero: Intriga.

Comentario-resumen: Segunda Guerra Mundial. Inglaterra, 1943. Los descifradores de códigos deBetchley Park, la estación X, sede de los servicios secretos británicos, se enfrentan a su peor pesadilla:inesperadamente, los submarinos nazis han cambiado el código que utilizan para comunicarse entre sí y conel alto mando alemán. Un convoy de barcos de mercancías aliado que está cruzando el atlántico con diezmil pasajeros e importantes suministros está en peligro de ataque. Las autoridades recurren a Tom Jericho-Dougray Scott-, un brillante matemático y experto descifrador de códigos de la inteligencia británica, elhombre que había conseguido descifrar el anterior código nazi, denominado Enigma, empleado para laflota submarina alemana. Lo que sus colegas no saben es que Jericho tiene un engima personal queresolver: Claire -Saffron Burrows-, la mujer de la que se ha enamorado desaparece cuando las autoridadesempiezan a sospechar que puede haber un espía en Bletchley Park. Para llegar a fondo de ambos misterios,Jericho solicitará la ayuda de Hester -Kate Winslet-, la mejor amiga de Claire.

Qué matemáticas se tratan: Tal como hemos comentado en el comentario resumen, el trasfondomatemático de la película es la criptografía. La criptografía es la técnica, ciencia o arte de la escriturasecreta. El principio básico de la criptografía es mantener la privacidad de la comunicación entre dospersonas alterando el mensaje original de modo que sea incomprensible a toda persona distinta deldestinatario; a esto debemos la autenticación, esto es, la firma del mensaje de modo que un tercero nopueda hacerse pasar por el emisor. La palabra criptografía proviene de las palabras griegas "criptos"(oculto) y "grafos" (escritura). A la transformación del mensaje original en el mensaje cifrado(criptograma) le llamamos cifrado, y a la operación inversa, le llamamos descifrado; estos pasos se realizanmediante un conjunto de reglas preestablecidas entre los comunicantes a la que llamamos clave. Elcriptoanálisis es el conjunto de técnicas que intenta encontrar la clave utilizada entre dos comunicantes,desvelando así el secreto de su correspondencia.

La escitala: El método mecánico de encriptado más antiguo que se conoce es el llamado escitala, de usomilitar y que fue empleado durante la guerra entre Esparta y Atenas en el siglo V a.C. Para ello senecesitaban dos rodillos que tuvieran exactamente el mismo diámetro: uno lo tenía el emisor (el que escribeel mensaje) y otro el receptor (el que ha de leerlo). Una larga tira de papel se enrrollaba en el rodillo, luegose escribía el mensaje. Al desenrollar la tira el mensaje quedaba ilegible y sólo se podía volver a leer cuandose enrollaba en el otro rodillo. Para complicarlo aún más se solían añadir otras letras en los huecos vacíos.Puedes construir una escitala con la ayuda de un boligrafo o rotulador grueso, es importante indicar dondecomienza a enrollarse la tira que contendrá el mensaje.

En cualquier caso existen muchos métodos de encriptación, más o menos complejos. Te proponemos ahoraque descifres este código : PEXIPEXMGEW. Una pista, está basado en el número 4. Si deseasconocer la solución pulsa aquí.

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La jungla de cristal 3

Título: Jungla de Cristal 3Título Original: Die Hard with a VengeanceAño: 1995Duración: 130 min.Director: John McTiernanGuión: Jonathan HensleighMúsica: Michael KamenFotografía: Peter Menzies Jr.Reparto: Bruce Willis, Samuel L. Jackson, Jeremy Irons, Graham Greene,Colleen Camp,Larry Bryggman, Anthony PeckProductora: 20th Century Fox. Productor: Joel Silver

Comentario-resumen: Bruce Willis es el detective John McClane dispuesto a enfrentarse a su peor día, enesta película de acción. En la ciudad de Nueva York, un astuto terrorista (Jeremy Irons) explota unabomba en un concurrido centro comercial y entonces revela la existencia de más explosivos que amenazana la ciudad. Atrapado en un retorcido juego, McClane y un singular héroe, Zeus (Samuel L. Jackson), unelectricista de Harlem, buscan frenéticamente las bombas antes de que Nueva York estalle en pedazos.Para ello han de superar varias pruebas a las que son sometidos por los terroristas, alguna de ellas decarácter matemático. Esquivando la muerte y destrucción, Bruce Willis escapa en el último momento en LaJungla de Cristal, La venganza.

Qué matemáticas se tratan: Aunque no hay un tratamiento matemático de fondo en la película, hemosincluido este film para observar cómo aparecen las matemáticas en las situaciones más diversas. Eldetective John McClane y su extraño compañero Zeus tienen que desactivar varias bombas por toda laciudad.

Fíjate por ejemplo en alguna de estas escenas: muchos ejercicios de esta índole puedes encontrarlos encualquier libro de divertimentos o acertijos matemáticos.

Yo a Sant Ebbes iba y conocí a un hombre con 7 mujeres, cada mujer tenía 7 sacos, cadasaco 7 gatos y cada gato 7 gatitos. Gatitos, gatos, mujeres y sacos, ¿cuántos a SantEbbes iban? Mi teléfono es 555... y la respuesta. Llámeme en 30 segundos o morirá.

Después de realizar cálculos numéricos, llegan a la conclusión de que el número buscado es 2401. Sinembargo antes de marcarlo se dan cuenta del error, la solución correcta es....

En otro momento de la película encuentran una bomba en una fuente pública. Para desctivarla Simon lepropone el siguiente enigma:

Debería haber 2 garrafas en la fuente, una de 5 y otra de 3 galones. Llene una de ellascon 4 galones y póngala sobre la báscula. El contador (de la bomba) se parará. Seaexacto, una onza de más o de menos provocará la detonación. Si sigue vivo dentro de 5minutos, volveremos a hablar.

Observa que en definitiva se trata de expresar el número 4 utilizando para ello los números 3 y 5. ¿Cómoconseguirlo?

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Moebius

Título: MoebiusAño: 1996Duración: 88 minutosDirector: Gustavo Mosquera R.Guión: Gustavo Mosquera R., Pedro Cristiani, Gabriel Lifschitz y NataliaUrrutyMúsica: Mariano Nuñez WestFotografía: Abel PeñalbaReparto: Annabella Levy, Guillermo Angelelli, Jorge Petraglia y RobertoCarnaghiProductor: Gustavo Mosquera R.Género: Ciencia Ficción

Comentario-resumen: Un tren del Metro de Buenos Aires desaparece inexplicablemente con más de 30pasajeros. Los conductores de otras líneas creen oírlo, y de hecho los sistemas de seguridad detectan supresencia en diferentes ocasiones; sin embargo nadie consigue verlo, ni saber dónde está. Los responsablesdel subte (abreviatura de subterráneo, que es como llaman en Argentina al Metro) y las autoridadestratarán de resolver el enigma antes de que la opinión pública se entere del asunto. Ante el desinterés de losingenieros constructores de los túneles, y sin muchas opciones más, aceptan sin mucha convicción que unjoven matemático (topólogo, para más señas) estudie el problema y trate de encontrarle una solución. Sinembargo, sus explicaciones no serán muy bien recibidas.

Qué matemáticas se tratan: En un momento el guión transcurre de la siguiente forma:Daniel Pratt dice: "Este tren, en algún punto de su recorrido, se esfumó. Dio con un nodo, que en elcampo de la topología, es una particularidad, un polo de orden superior. El sistema perimetral es unared de asombrosa complejidad topológica, llevando a la conectividad de todo el sistema a un orden talalto que no sé cómo calcularlo, supongo que ha llegado a ser infinito. De ser así podríamos decir que elsistema se comporta como una cinta de Moebius"

La banda o cinta de Moebius (Möebius) es una superficie con un solo lado y un solo componente decontorno. Tiene la propiedad matemática de ser un objeto no orientable. También es una superficie reglada.Fue co-descubierta en forma independiente por los matemáticos alemanes August Ferdinand Möebius yJohann Benedict Listing en 1858.

Para construirla se parte de una cinta que se gira 180° por uno de los extremos yse unen ambos. La banda resultante tiene sólo un borde, lo que se puedecomprobar siguiendo el borde con un dedo desde un punto y notando que sealcanza el punto de partida sin haber atravesado la superficie. Así mismo, si setrata de pintar un lado de un color y el opuesto de otro, se llegará al momentoen que los dos colores choquen. Si se parte con una díada (pareja) de ejesperpendiculares, y se desplaza paralelamente a lo largo de la cinta, se llegará al

punto de partida con la orientación invertida. Este objeto se utiliza frecuentemente como ejemplo entopología.

En la práctica tiene muchas utilidades:

En una cinta de audio, de las que se usan en los grabadores comunes, entran en una especie de loop

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o lazo, el tape está enrollado como una cinta de Moebius. En ellos, se puede grabar de los dos“lados”, y el aprovechamiento de su capacidad obviamente es mayor.Ciertas impresoras que funcionan a tinta o las viejas máquinas de escribir, solían tener enrollada lacinta que va dentro del cartucho formando una banda de Moebius.Las cintas transportadoras suelen ser cintas de Moebius con el objeto de repartir el desgaste quesufren a consecuencia del rozamiento entre las dos caras.

El interés en las bandas de Moebius no pasa sólo por sus aplicaciones, reales o potenciales. Pasa por laimaginación y el descubrimiento de algo que ahora parece sencillo y obvio. Hace un poquito más de unsiglo y medio, no lo era y es producto de hacer matemática. Una prueba de las fascinación por este objetola tienes en este poema sobre la Cinta de Moebius.

Una mente maravillosa

Título: Una mente maravillosaTítulo original: A beautiful mindAño: 2001Director: Ron HowardDuración: 134 minutosGuión: Akiva Goldsman; basado en el libro de Sylvia NasarMúsica: James HornerFotografía: Roger DeakinsReparto: Russell Crowe, Ed Harris, Jennifer Connelly, Christopher Plummer,Paul Bettany, Adam Goldberg, Josh Lucas, Vivien Cardone, Anthony Rapp,Jason Gray-Stanford, Judd Hirsch, Austin PendletonProducción: Ron Howard y Brian GrazerGénero: Drama

Comentario-resumen: Una mente maravillosa es un drama intensamente humano sobre un auténticogenio, inspirado en la vida del matemático John Forbes Nash Jr. El atractivo y altamente excéntrico Nashhizo un descubrimiento asombroso al comienzo de su carrera y se hizo famoso en todo el mundo. Pero sufulgurante ascenso a la estratosfera intelectual sufrió un drástico cambio de curso cuando la brillante mentede Nash se vio atacada por la esquizofrenia. Enfrentándose a un reto que hubiera destruido a cualquierotro, Nash luchó por recuperarse con la ayuda de su devota esposa Alicia. Tras varias décadas depenalidades logró superar su tragedia y recibió el premio Nobel (de Economía, recuerda que no existe el deMatemáticas) en el año 1994. Hoy en día Nash es un leyenda viviente que sigue entregado a su trabajo.

Qué matemáticas se tratan: El departamento de matemáticas de la universidad de Princeton, en la queNash desarrolla su trabajo es muy competitivo. Una noche está con ellos en un bar y observa susreacciones cuando aparece una rubia muy atractiva. Nash observa la rivalidad que se crea entre ellos yentonces encuentra el germen de la idea que andaba buscando. Su estudio sobre la teoría del juego, lamatemática de la competitividad, contradice las ideas de Adam Smith, el padre de la economía moderna.

La teoría de juegos es un área de la matemática aplicada que utiliza modelos para estudiar interacciones enestructuras similares a las que se producen el cualquier juego inteligente. Sus investigadores estudian lasestrategias óptimas (las que obtienen mayor beneficio) así como el comportamiento previsto y observadode individuos en juegos.

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Desarrollada en sus comienzos como una herramienta para entender el comportamiento de la economía, lateoría de juegos se usa actualmente en muchos campos, desde la biología a la filosofía. Experimentó uncrecimiento sustancial y se formalizó por primera vez a partir de los trabajos de John von Neumann yOskar Morgenstern, antes y durante la Guerra Fría, debido sobre todo a su aplicación a la estrategiamilitar. Desde los setenta, la teoría de juegos se ha aplicado a la conducta animal, incluyendo el desarrollode las especies por la selección natural. A raíz de situaciones planteadas como las del dilema del prisionero, en los que el egoísmo generalizado perjudica a los jugadores, la teoría de juegos se ha usado en cienciapolítica, ética y filosofía. Finalmente, ha atraído también la atención de los investigadores en informática,usándose en inteligencia artificial y cibernética.

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Fórmula del Terror

Un grupo de expertos universitarios del King's College de Londres estudío el secreto para hacer una obra maestra del género del horror.Durante dos semanas estuvieron analizando películas del género de terror y los factores que favorecen la sensación de miedo entre losespectadores.

El trabajo les llevó al planteamiento de una fórmula matemática que recoge los aspectos más relevantes de este tipo de películas y querevela por qué algunas de ellas tienen tanto éxito cuando se trata de aterrar al público.

La fórmula combina aspectos de suspense, realismo y capacidad de impresión, aunque tiene en cuenta también otros elementos, lautilización de la música, el realismo y la fantasía, la cantidad de sangre derramada, ...

La expresión que recoge los aspectos anteriores viene dada por: (im+d+ep+sa)2+s+(fr+f)/2+(sp+eo+a)/n+ sen x - e dondecada una de las variables representa lo siguiente:

im intensidad musical

d lo desconocido

ep escenas de persecución

sa sensación de ser atrapado

s sobresaltos, sustos

fr fiel a la realidad

f fantasía

sp soledad de los personajes

eo escenas en la oscuridad

a ambientaciónn número de personajesx sangre y armase estereotipos

Para una película de miedo, el suspense desempeña un papel de vital importancia en su éxito, así, elementos como la intensidad músical,lo desconocido, las escenas de persecuciones y la sensación de estar atrapado fueron agrupados y elevados al cuadrado con el fin deintensificar su valor en el contexto general de la fórmula.

Otros elementos importante son los sustos y sobresaltos que provoca una película, así será mejor aquella que consiga provocar un númeromayor de ellos. Adicionalmente, los expertos señalaron que una película necesita combinar realismo y fantasía para provocar verdaderomiedo, pero entendiendo que estas variables influyen en menor medida que el susto. Por eso están divididas por 2, de esta forma su pesoserá menor.

También estudiaron el número de personajes en las películas, y concluyeron que los espectadores muestran más empatía con grupospequeños de personas, por lo que el número de personajes es inversamente proporcional al miedo que provoca, lo que se traduce en quela variable n aparece dividiendo a una suma de variables.

El equipo de investigadores tomó en cuenta además la oscuridad de la escenografía. La fórmula también considera la cantidad de sangre,medida que contrapone al número de estereotipos presentes en la película.

Según la fórmula matemática que hemos analizado, la película de Stanley Kubrick El Resplandor es la películade terror perfecta. En la imagen observamos un fotograma de la misma, protagonizada por Jack Nicholson. Elescenario aislado de El Resplandor, película ambientada en un enorme hotel que está cerrado durante el invierno,y la escena de la ducha del film Psicosis, de Alfred Hitchcok, fueron considerados como ejemplos perfectos delgénero de horror.

La película Tiburón de Steven Spielberg alcanzó el nivel óptimo perfecto al permitir al espectador ver suficientesangre para sentirse atemorizado por el gran tiburón blanco, pero no tanta para sentir repulsión

Películas de Terror

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El Exorcista El Grito 2 El hijo del mal

Muñecodiabólico

El resplandor Escalofríos La matanza

de Texas Tiburón

Te invitamos a valorar la fórmula con las películas expuestas anteriormente o con aquellas que tu desees. Para ello basta con ver algunade ellas o recordar una película de terror que ya hayas visto. Debes elegir la puntuación adecuada a cada uno de los aspectos que seconsideran, hemos tabulado los valores de cero a diez, salvo para el número de personajes que por supuesto ha de ser mayor.

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Estructuras matemáticas en el cine

Además de las películas con contenidos matémáticos, los directores de cine utilizan en muchas ocasionesestructuras matemáticas que guían el argumento de las mismas, fundamentalmente en el campo de lageometría, y lo hacen en la composición de escenas y en la estructura de la trama argumental. Veamos conmayor detenimiento alguna de ellas.

Simetría

Título: Simetría

Título original: Symetria2003 (Polonia)Actores: Arkadiusz Detmer, Mariusz Jakus, Janusz Bukowski, MarcinJedrzejewski, Andrzej Chyra, Borys Szyc, Kinga Preis, Janusz ChabiorDirector: Konrad NiewolskiDuración aprox.: 99 min.Distribuidor: Divisa Home VideoClasificación: Mayores de 18 años

Argumento

Lukasz, un veinteañero acusado de un asesinato que no ha cometido, ingresa en prisión. Poco después,se entera de que la única persona que podía testificar a su favor ha muerto antes del juicio. Lukaszcomparte celda con seis reclusos que se rigen por su propio código ético, que ellos denominan Grypsera.Un día, un pederasta es encarcelado junto a ellos.

El código de honor entre reclusos es el tema central de este curioso thriller carcelario filmado en Polonia,y que recoge la realidad del sistema penitenciario de ese país.

La simetría es utilizada en ocasiones como canon estético y recurso narrativo; en la película anterior seutiliza como recurso para el cartel anunciador, simetría horizontal para el título y vertical para fondo.Grandes directores como Akira Kurosawa o Alfred Hitchcock cuidan con esmero la composición simétricade muchas escenas.

La simetría aparece también en la estructuración de la propia historia, con escenas o situaciones que serepiten en orden contrario, o con partes cláramente diferenciadas unas de otras en las que hay unoselementos que favorecen que todo obedezca a una especie de orden armónico.

En Barry Lindon (1975), Stanley Kubrick incluye sendos duelos al principio y al final de la película, ajenosa la novela de referencia, para darle una simetría muy adecuada en una obra ambientada en el Barroco.Para ambientar Barry Lyndon, Kubrick se inspiró fundamentalmente en la pintura neoclásica, trasladandosus cánones de simetría, orden y belleza al celuloide.

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Título: Barry Lindon

Título Original: Barry Lyndon.1975, Reino Unido.Dirección: Stanley Kubrick.Intérpretes: Ryan O'Neal, Marisa Berenson, Patrick Magee, Hardy Kruger, StevenBerkoff, Gay Hamilton, Marie Kean, Diana Körner, Murray Melvin, FrankMiddlemass, André Morell.Duración: 2 horas 58 minutos.

Argumento

Ambientada en la Inglaterra de mediados del siglo XVIII, Redmond Barry es un joven pobre e irlandésque desea triunfar en la vida a toda costa. Sin embargo, tras dejar por muerto a un hombre al que sehabía enfrentado en duelo y para huir de la Justicia, se alista en el ejército, que combate en la guerra delos siete años. Pero la vida militar no está hecha para él y trata de desertar. Atrapado en el intento, esforzado a alistarse de nuevo, pero, en esta ocasión, en el bando prusiano.

Simétricas, que no paralelas, son las vidas de los dos personajes de El hombre del tren (L´homme du train. Patrice Leconte, 2002), el aventurero (Johnnie Halliday) y el profesor jubilado (Jean Rochefort), comoqueda de manifiesto en el propio cartel de la película.

Título: El Hombre del Tren

Título Original: L'Homme du TrainDirección: Patrice Leconte.País: Francia.Año: 2002.Duración: 90 min.Interpretación: Jean Rochefort, Johnny Hallyday, Jean-François Stevenin, CharlieNelson, Pascal Parmentier, Isabelle Petit-Jacques, Édith Scob, Maurice Chevit,Véronique Kapoian, Jean-Jacques Cornillon.Guión: Claude Klotz.Producción: Philippe Carcassonne.Música: Pascal Estève.Fotografía: Jean-Marie Drejou.

Argumento

Una estación. Un tren se para: baja un hombre. Un tipo solo, que llega a la ciudad por primera vez. Sellama Milan (Johnny Hallyday), un hombretón con aire de desencanto y una bolsa de viaje al hombro.Una farmacia a punto de cerrar. Entra buscando aspirinas efervescentes y encuentra a Manesquier (JeanRochefort), profesor de lengua jubilado, mayor que él. Aunque no pueden ser más opuestos o, al menos,más distintos, parece que simpatizan, muy poco a poco, y por una simple razón: curiosamente, a cadauno le hubiera gustado llevar la vida del otro. El profesor soñaba con ser un aventurero, el aventureropodía imaginarse como un hombre casero. Dentro de tres días, Milan tiene que atracar el banco local...Por eso está aquí. Dentro de tres días, Manesquier tiene que someterse a un triple by-pass. Por eso tienemiedo. Tres días para conocerse.

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Curvas: espirales y hélices

Observa algunos fotogramas de la siguiente pélicula: corresponden a Vértigo, de Alfred Hitchcock. Envarias escenas aparecen, y por supuesto no de forma casual, diferentes motivos de hélices y espirales. Estarecurrencia de las espirales parece deberse a su fuerte carga simbólica. En cada situación rubricandiferentes sugestiones e impulsos (desde el miedo hasta el erotismo) que rompen el equilibrio cotidiano delos protagonistas, arrastrándoles en un remolino vertiginoso hacia lo desconocido.

Incluso el cartel de la película representa una hélice que envuelve al protagonista, produciendo desde elinicio la sensación de suspense que se mantiene durante toda la trama.

Título: Vértigo

Título original: VértigoDuración: 2:04:14Reparto: James Stewart, Kim Novak, Henry Jones, Barbara Bel Geddes, TomHelmore, Raymond Bailey, Henry Jones, Ellen Corby, Lee PatrickDirector: Alfred HitchcockMúsica: Bernard Herrmann Fotografía: Robert BurksGuión: Alec Coppel & Samuel TaylorProductora: Paramount PicturesPaís: Estados Unidos.

Argumento

El inspector de San Francisco Scottie Ferguson sufre de vértigo y se ve compelido a retirarse del serviciocuando un compañero cae de una cornisa al vacío durante la persecución de un delincuente. Un día recibe

una llamada de Gavin Elster, un antiguo compañero de clase, que es millonario, y le pide que vigilediscretamente a su esposa Madeleine, que parece estar poseída por el espíritu de su bisabuela, Carlota

Valdés, muerta cien años antes. Después de seguirla y observarla durante unos días, Ferguson seobsesiona con Madeleine. A partir de ese momento se ve envuelto en una trama de la que ya no puede

salir.

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Fractales

En los últimos años la industría viene utilizando los fractales en numerosos campos de la investigación y lasimulación, así ocurre con la industria cinematográfica, Aunque pueda resultar sorprendente, en multitudde películas, especialmente del género de ciencia ficción, paisajes e incluso personajes son diseñosrealizados con fractales generados por ordenador.

Se usan fractales, por ejemplo, para generar entornos montañosos o arborescentes, para conseguirdeterminadas texturas en materiales o personajes; se aplican diversas propiedades hasta conseguir el gradode veracidad deseado.

Las siguientes imágenes usan de las tecnologías de generación de fractales para ser recreadas. Podemosobservar imágenes de la trilogía de la Guerra de las Galaxias y de El Señor de los Anillos.

Título: El Señor de los Anillos: La Comunidad del Anillo

Título original: The Lord of the Rings: The Fellowship of the RingAño: 2001Duracción 180 min.País: Estados UnidosDirector: Peter JacksonGuión: Frances Walsh, Philippa Boyens, Peter Jackson (Novela: J.R.R. Tolkien)Música: Howard ShoreFotografía: Andrew LesnieReparto: Elijah Wood, Ian McKellen, Liv Tyler, Viggo Mortensen, Sean Astin,Cate Blanchett, John Rhys-Davies, Billy Boyd, Dominic Monaghan, OrlandoBloom, Christopher Lee, Hugo Weaving, Sean Bean, Ian Holm, Andy SerkisProductora: New Line Cinema.

Argumento

En la Tierra Media, el Señor Oscuro Sauron creó los Grandes Anillos de Poder, forjados por los herrerosElfos. Tres para los reyes Elfos, siete para los Señores Enanos, y nueve para los Hombres Mortales.Secretamente, Sauron también forjó un anillo maestro, el Anillo Único, que contiene en sí el poder paraesclavizar a toda la Tierra Media. Con la ayuda de un grupo de amigos y de valientes aliados, Frodoemprende un peligroso viaje con la misión de destruir el Anillo Único. Pero el Señor Oscuro Sauron,quien creara el Anillo, envía a sus servidores para perseguir al grupo. Si Sauron lograra recuperar elAnillo, sería el final de la Tierra Media.

Una de las razones por las que, la Trilogía Cinematográfica de El Señor de los Anillos obtuvo semejanteéxito fue que los espectadores se sintiron seducidos por las sorprendentes imágenes fractales generadas por

Cine y Matemáticas

ordenador.

Los fractales se utilizan en el cine por dos razones fundamentales: aunque son imágenes muy complejas sugeneración es relativamente simple, además requieren pocos recursos informáticos comparados con elconsumo que supone la utilización de imágenes finales, un fractal conlleva menos necesidades y ofrece unaimitación bastante aceptable visualmente. Lo mismo sucede si se pretende introducir en la películaficticiamente lluvia, tormentas, nubes, fuego, etc. Actualmente la mayoría de las grandes películastaquilleras están basadas en los efectos visuales.

Podemos ir un poco más lejos en la utilización de fractales. En la película La Historía Interminable,adaptación del libro del mismo título de Michael Ende, el lector pasa a ser personaje leído por otro lector,condenado a su vez a ser personaje, en una sucesión en la que el autor logra implicar a cada nuevoparticipante, creando de esta forma una estructura argumental fractal.

Título: La Historia Interminable.

Título Original: Die unendliche Geschichte (The Neverending Story)Año: 1984Duración: 94 min.País: AlemaniaDirector: Wolfgang PetersenGuión: Wolfgang Petersen & Herman Weigel (Novela: Michael Ende)Música: Giorgio Moroder & Klaus DoldingerFotografía: Jost VacanoReparto: Barret Oliver, Noah Hathaway, Moses Gunn, Tami Stronach, PatriciaHayes, Sydney BromleyProductora: Neue Constantin Film / Bavaria Film / WDR. Distribuida por WarnerBros.

Argumento

Escondido en el desván de su colegio, Bastian devora durante las horas de clase un libro enigmático, ”Lahistoria interminable”, que relata la paulatina destrucción del Reino de Fantasía. Una especie de ”Nada”misteriosa destruye todo el país y a todas las criaturas que lo habitan. A medida que avanza en su lectura,Bastian se da cuenta de que la salvación de Fantasía depende de él. De que consiga entrar dentro dellibro...

La princesa de Fantasía, desesperada, asiste a la lectura del propio libro del que forma parte, paraencontrarse de nuevo dentro del libro, leyéndose a sí misma interminablemente hasta que alguien puedadetenerlo.