Cuerpos geométrico

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Colegio Finca Naranjo

Geometra

Undcimo ao

Cuerpos geometricosCuerpos geomtricos

Se define como Figuras geomtricas de 3 dimensiones (largo, ancho y altura) limitadas por superficies planas, curvas o por ambas.

Se clasifica en

Poliedros Se define como Cuerpos geomtricos limitados por figuras planas (polgonos), por ejemplo: o Prisma o Pirmide

Cuerpos redondos Se define como

Cuerpos geomtricos limitados por superficies curvas o por superficies curvas y planas, por ejemplo:

o Prisma o Pirmide o Esfera

Elementos Caras: Son polgonos que limitan al poliedro. Arista lateral: son los lados de las caras laterales del poliedro. Arista basal: lados de las bases. Vrtice: son los vrtices de las caras del poliedro. Altura: segmento que tiene como extremo los centros de las bases del prisma. o Diagonal: segmento que tiene dos vrtices opuestos del prisma ( vrtice que no pertenecen a una misma cara) o o o o oProf. Enrique Montero M.

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Prisma rectoUn prisma recto es un prisma formado por: o Dos bases que son polgonos paralelos y congruentes. o Caras laterales que son paralelogramos perpendiculares a las bases. La cantidad de caras laterales coinciden con el nmero de lados de cada polgono de las bases. Un prisma recto tiene polgonos regulares en sus bases.

Un paraleleppedo es un polgono que tiene como bases 2 paralelogramos.

Representacin de un prisma recto y sus componentes:

Frmulas del rea para un prisma recto

AB rea lateral AL rea basal rea total

Frmula

Simbologa

AB 2 AbAL Pb h AT AB AL

Ab : rea de una basePb : Permetro de una base. h : Altura del prisma.

AT

Frmula de volumen para un prisma recto V Ab hProf. Enrique Montero M.

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Ejemplos: De acuerdo con las medidas de los siguientes prismas complete el cuadro. Cuerpo solido10 cm 24 cm 4 cm

rea basal

rea lateral

rea total

Volumen

8 cm 5 cm 5 cm

10 cm

6 cm

PrcticaResuelva los siguientes problemas. a. Cul es el rea lateral de un prisma recto octogonal regular, si el lado del polgono de la base mide 6m y la altura del prisma es 2m ? b. Cul es el rea total de un prisma recto triangular regular, si el lado de la base mide 12cm , y la altura del prisma mide 4cm ? c. Cul es el volumen de un recipiente que tiene forma de prisma recto triangular regular, si su altura mide 25cm , y el permetro de la base mide 36cm ? d. La apotema de la base del prisma regular recto de base hexagonal mide 6 3cm y la arista lateral mide 15cm . Cul es el rea total del prisma? e. La base de un prisma recto es un tringulo equiltero. Si el reaPgina

lateral es de 12cm y la altura del prisma es de 4cm , entonces cual es el volumen del prisma.Prof. Enrique Montero M.

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El cuboEl cubo es un prisma regular recto que tiene todas sus aristas congruentes. Tambin se conoce como hexaedro regular debido a que posee 6 caras congruentes. Algunos elementos del cubo son los siguientes: Arista AB : Diagonal de una cara AE : Vrtice DC : Diagonal del cubo E : AEBC : Cara

Frmula del rea de un cubo A 6a 2 donde a es la arista. Frmula del volumen de un cubo V a3 donde a es la arista.Ejemplos: 1. Calcule el rea y volumen de los siguientes cubos.

11 cm cm

mm

2. Complete las lneas con la respuesta correcta. a. El rea de un cubo es 726cm2 . Cul es su volumen? _________ b. El volumen de cubo es 216cm3 . Cul es su rea? _____________ c. De acuerdo a la figura, calcule las medidas que se le solicita si el rea del cubo es 294cm2 .

a _______ d _______Pgina

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D ______

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Pirmide regular rectaUna pirmide regular recta es un poliedro formado por: o Una base que es un polgono regular recto. o Caras laterales que son tringulos issceles congruentes. La cantidad de caras laterales coinciden con el nmero de lados del polgono de la base. El vrtice de la pirmide es el punto comn de todas las caras laterales. La altura de la pirmide es el segmento perpendicular a la base que contiene tanto el centro del polgono de la base como el vrtice de la pirmide. Algunos elementos de la pirmide son:

Frmulas del rea para una pirmide regular rectarea basal

AB

Frmula

Simbologa

AB AL

rea lateral rea total

AL

Pb ab 2 Pb a p

AT

2 AT AB AL

Pb : Permetro de una base ab : apotema de la base Pb : Permetro de una base. a p : apotema de la pirmide

Frmula de volumen para una pirmide regular recta 1 V AB h 3Pgina

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Ejemplos: Escriba sobre la lnea la respuesta que complete correctamente el enunciado.

12 cm

7 cm

2 cm 8 cm 1,45 cm

PrcticaResuelva los siguientes problemas.

a. El rea lateral de una pirmide de base cuadrada es 36 3cm . Si cada una de las caras de la pirmide es un tringulo equiltero, entonces Cul es el rea basal de dicha pirmide? b. Cul es el rea lateral de un pirmide si la base es un hexgono regular de 8 3cm de apotema y su altura es de 16cm ? c. Una pirmide cuadrangular tiene una altura de 13cm . Uno de sus lados del cuadrado de su base mide 6cm . Cul es el rea lateral de la pirmide? d. Determine el volumen y el rea total de una pirmide cuadrangular regular, sabiendo que el rea de la base es de 64m y la apotema de la pirmide mide 5m . e. Una pirmide recta tiene por base un cuadrado de 12m de lado. Sabiendo que la apotema de la pirmide mide2

2

5 del lado de la base, 6

determine el volumen. f. Si la altura de una pirmide regular cuadrangular recta mide 9cm , yPgina

la apotema de la base mide 6 2cm . Cul es el volumen de esa pirmide?Prof. Enrique Montero M.

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Cilindro circular rectoUn cilindro recto es un cuerpo geomtrico que se obtiene del giro de un rectngulo alrededor de uno de sus lados. Elementos Radio r Altura h Base Caracterstica o Tiene dos caras circulares que son las bases. o No tiene vrtices. o No tiene aristas.

Frmulas del rea para un cilindro circular rectorea basal

AB

Frmula

AB 2 r 2AL 2 rhAT AB AL AT 2 r r h

Simbologa r : Radio de una base.

rea lateral rea total

AL

AT

r : Radio de una base. h : Altura del prisma.

Frmula de volumen para un cilindro circular recto V r 2hEjemplos: De acuerdo con las medidas de los siguientes prismas complete el cuadro. Cilindro recto La altura mide 9,5 cm y el radio mide 3 cm. La altura mide 6 m y el dimetro mide 4 m. El rea lateral es de 24 cm2 y la altura mide 13 cm. El rea basal mide 56 mm y la altura mide 10mm.Prof. Enrique Montero M.2

rea basal

rea lateral

rea total

Volumen

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PrcticaResuelva los siguientes problemas. a. Cul es el rea lateral, en centmetros cuadrados, de un cilindro cuya altura es 18 cm y el dimetro es de la base es de 10 cm? b. El volumen de un cilindro circular recto de 8 cm de altura es de

392 cm3 Cul es el rea total del cilindro?c. En un cilindro circular recto cuya altura es 8 cm, si el pera de la base es de 32 cm entonces, Cul es el rea lateral?2

d. El volumen de un cilindro circular recto es de 972cm . Si la altura es de 12 cm, Cul es el radio de la base? e. Cuntos centmetros cuadrados de papel se necesitan para forrar un cilindro de 12 cm de altura y base circular de 8 cm de dimetro?

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Cono circular rectoUn cono circular recto es un cuerpo geomtrico que se obtiene del giro de un tringulo rectngulo alrededor de un de sus catetos. Algunos elementos de un cono circular rectos son Elementos Radio r Altura h Generatriz g Base Caracterstica o Tiene una cara circular que es la base. o Solo tiene un vrtice. o No tiene aristas.

Relacin pitagrica entre los elementos de un cono circular recto

rProf. Enrique Montero M.

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h

g

g 2 h2 r 2

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Frmulas del rea para un cono circular rectorea basal

AB

Frmula

AB r 2AL rg

Simbologa r : Radio de una base.

rea lateral rea total

AL

AT

r : Radio de una base. h : Altura del prisma.

AT AB AL

AT r r g

1 Frmula de volumen para un cono circular recto V r 2 h 3Ejemplos: Escriba sobre la line la respuesta que completa correctamente los enunciados. 1. Calcule la altura de un cono circular recto se la generatriz mide 13 cm y el radio de la base 5 cm. ________________ 2. Halle lo solicitado con base en los datos de la figura.

g _____AB _____6cm 5cm

AL _____AT _____V _____Prctica

1. Complete el siguiente cuadro. Considere que en cada fila se presenta la informacin de un cono circular recto. Radio Altura Generatriz rea lateral rea basal rea total Volumen

32cm 14cm

52cm100 cm2

20cm

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5cm 10cm

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49 cm2

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2. Resuelva los siguientes problemas. a. Si la longitud de la base de un cono circular recto es de y su altura mide 6cm , Cul es el volumen del cono? b. Si el rea total de un cono es 15 cm Cunto mide la altura de ese cono?2

y un dimetro de 4 cm,3

c. El volumen de un cono circular recto es 320 dm y su altura mide 5dm . Cules son las medidas del radio y de la generatriz del cono? d. El permetro de la base de un cono circular recto es 64 cm . Si la medida de la altura es de 8cm , Cul es la medida de la generatriz?

EsferaUna esfera es un cuerpo geomtrico que se obtiene del giro de un semicrculo alrededor del dimetro. Todos los puntos de la superficie de la esfera equidistan del centro. Algunos elementos de la esfera son:

Frmulas del rea de una esfera A 4 r 2

4 Frmula de volumen de una esfera V r 3 3Ejemplos: Complete el siguiente cuadro. Radio rea total Volumen De acuerdo a la siguiente figura calcule:

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32cm 4 5m 2 dm 5 5cm

10

12 cm

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reas y volmenes de otros cuerpos geomtricosCuando dos cuerpos geomtricos se unen forma otro cuerpo geomtrico llamado unin. Por ejemplo un cilindro unido a una semiesfera en una de sus bases o ambas.

Para calcular el rea total de esta figura se resuelve:

AT rea lateral del cilindro + rea de una base del cilindro + rea de lasemiesfera Parea calcular el volumen de esta figura se resuelve: V = volumen del cilindro + volumen de la semiesfera Por ejemplo: De acuerdo con la figura, es un cilindro recto cuya base tiene un dimetro de 18 cm, y una altura de 20 cm. Adems tiene sobre su base superior una semiesfera cuyo radio es igual al del cilindro. Determine el rea total y el volumen de la siguiente figura.

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Prctica

1. Calcule el rea total y el volumen de las siguientes figuras.

2. Determine el rea y el volumen total de la unin de los siguientes cuerpos solidos. 4m

2m 5m r=8m 8m 8m

4m 12cm

10cm 3cm 5cm 10cm

r=3cm2cm

20cm

2cm

2cm5cmProf. Enrique Montero M.

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