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7/25/2019 Curso-Analisis-Vectorial-Tema5.ppt

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Integrales de Lnea

Sabemos que una curva cerrada C paramtrica para a t b(en donde tes el parmetro), se

representa por:

( ) ( ) ( ) ( ) r t x t i y t j z t k = + +r

Donde res el vector de posicin. El vector de desplaamiento di!erencial dra lo lar"o de C

es:

( ) ( ) ( ) ( ) dr t dx t i dy t j dz t k = + +r

#as inte"rales que inclu$en vectores de desplaamiento di!erencial drse llaman inte"rales

de l%nea. Consideremos las si"uientes inte"rales de l%nea a lo lar"o de una curva C que puede

ser cerrada o abierta.

& &C C C

dr f dr f dr #a primera inte"ral indica movimiento a lo lar"o de una curva C. #a inte"ral del producto

punto entre la !uncin vectorial ! $ el desplaamiento di!erencial vectorial drrepresenta la

circulacin defalrededor de C, $ la tercera inte"ral representa la torca total e'ercida por f.


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roblema .*+ pa". +- /ei . su.0 CalcularC

dr r para 1 ,x y y= +De (+,+,2) a (,,2) a lo lar"o de: a) la parbolay = x2; z = 0& b) #a recta que une

(+,+,2) $ (,,2).

Solucin: a) la integral nos queda como: ( )( )1 ,C C

dr x y y dxi dyj dzk = + + + r

As para el desplazamiento sobre la parbola, que no est en forma paramtrica,

elegimos a una de las variables para reducir la integral de dos variables a una sola.

,3aciendo & , & ,x t dx dt y x dy xdx dy tdt= = = = =

( )( ) ( )( )4 , 4 , , , , ,C C C

dr t t dti tdtj t t i tj dt = + + = + + r

( ) ( )

, ,

4 , 5 1

+ +

, , )C

dr t t idt t t jdt = + + + r

,5 1 6

)

+

, , -+ 14- 5 1 6 5 6

C

t t tdr i t j i j

= + + + = +

r


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b) ara !allar la integral a lo largo de la recta que va de "#,#,$) a "%,&,$) lo primero

que !a' que !acer es construir la ecuacin con los puntos dados, as:

( )) +

1 + 1 + 1 ,, +m y x y x

= = = =

Si utilizamos un parmetrox(t dx( dt adems dy( *dt # t%

( ) ( ) ( )

1 1 , , 1 , 1

C C

dr t t t dti dtj = + +

r

( ) ( ), ,

) 1 ) 1

+ +

1 , 5 ) 1 1 , 5 )

C

dr t t t dti t t t jdt = + + + r

( )

,, 4 )

) 1 ,

+ +

1 +5+1 , 5 ) 1 )4 , +2t tA t t t dt t t= + = + =

+5+ +5+ +5+ )*1 1+2 +2 +2 +2

C

dr i j i j = + = +

r


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roblema .* pa". +- /ei . su.0 Calcular

C

f dr para la !uncin vectorial( ) $ $1 ,f xi xz y j zk= + +$ desde (2,2,2) 3asta (,+,1) a lo lar"o de: a) la curva de

x = 2t2; y = t ; z = 4t2-t donde 0 t 1b) +a recta que une "$,$,$) ' "%,#,*).

Solucin. a) Sustitu'endo las e-presiones dex, y, zcomo funcin del parmetro t,

queda la funcin vectorial como:

( ) ( ) ( ) $ ( ) $, , , ,1 , , , ) )f t i t t t t j t t k = + + $

( )

$

( )

$, ) 1 ,5 +5 ) )f t i t t t j t t k

= + +

$

l diferencial total del vector de posicin es: $ $dr dxi dy j dzk = + +r $

n trminos de tes: ( ) $ ( ) $ * +dr tdt i dt j t k = + + r $

/ealizando el producto punto entre f dr Se tiene:

( ) $ ( ) $ ( ) $ ( )$, ) 1 ,5 +5 ) ) ) * +f dr t i t t t j t t k tdt i dt j t k = + + + + r $ $

( )1 ) 1 1 ,,) +5 ) 1, +,f dr t t t t t t t dt = + + +

( )) 1 ,

+5 4, +,f dr t t t dt = +


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( )+

) 1 ,

2

+5 4, +,

C

f dr t t t dt = + ur r

0ntegrando en los lmites del parmetro

+

4 ) 1

2

+5+1 )

4C

f dr t t t = +

ur r 5+

4C

f dr =

ur r

b) ara poder !acer la integral a travs de la recta que une los puntos "$,$,$) ' "%,#,*)

es necesario primero !allar la ecuacin de esta recta que une los puntos. ara esto

tracemos el vector entre estos puntos:

( ) ( ) $ ( )$ $ $, , + , + , + 1or P P x x i y y j z z k i j k = = + + = + +$ $

As, la ecuacin de la recta es: + + +

, + , + , +

x x y y z z

x x y y z z

= =

x

y=1

zy=

1i2emos el parmetro eny = t, 'a que va de $ a # dy dt = dx dt = 1dz dt = $ $

( ) 1dr i j k dt = + +r $

l diferencial del vector de posicin es:

' la funcin vectorial es: ( ) $ $,5 +, 1f ti t t j tk= + +$

l producto punto es: ( ) $ $ $ $( ),5 +, 1 , 1f dr ti t t j tk i j k dt = + + + + r $ $

3 la integral es:

( )

++, , 1

22

,2 +, +2 ) +)

C

f dr t t dt t t = + = + =

ur r


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roblema .*4 pa". +- /ei . su.0 Calcular

C

f dr para la !uncin vectorial$f yi x j= +$ desde (2,2,2) 3asta (1,-,2) a lo lar"o de la

curva:

1+1

& 2.y x z= =

Solucin. tomando axpara establecer al parmetro

x t dx dt= = dy t dt =

' la funcin vectorial es: $1+1

f t i t j= +$

$( ) dr i t j dt = +r $

$ $( )1 ,+1f dr t i t j i t j dt = + + r $ $

el producto cruz entre el diferencial del vector de posicin ' la funcin vectorial es:

$ $( )4+1 f dr t k tk dt = r

As, la integral de este producto cruz es:

$ $( ) ( ) $1

14 5 + + +

1 +* 2

2C

f dr t k tk dt t t k = = ur

r

$ $*+ - 15

Cf dr k k

= =

ur rvaluando en los lmites se tiene:


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Integrales de Superficie

4na superficie se representa por:

( ) ( ) ( ) ( ) , , , ,r u v x u v i y u v j z u v k = + +r

5onde r es el vector de posicin ' u,vson parmetros de la superficie. l elemento

diferencial de rea dS est dado por:

( )u vdS r r dudv= sto se puede representar tambin como:

dS ndS=5onde n es el vector unitario normal a la superficie en el punto que corresponde a las

coordenadasx,y,zdeterminadas a travs de los parmetros u,vde modo que:

u vu v u v

u v

r rn r r n r r

r r

= =

r r r rr r

As, el vector diferencial de superficie es:

u v

dS n r r dudv ndS = =or lo que se tiene que:

u vdS r r dudv=


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5e la misma manera que en las integrales de lnea, las integrales de superficie son:

S S S

dS f dS f dS 6ada una de las cuales est sobre una superficie Sque puede ser cerrada o abierta.Si Ses una superficie cerrada, las integrales se e-presan como:

S S S

dS f dS f dS ara superficies cerradas es com7n suponer que la direccin positiva de la normal

est dirigida !acia fuera.

6aso particular #. Si se tiene una funcin de superficie constante ( ), , .x y z t! =donde adems se puede despe2arzcomo funcin dex,yes decir:z = "x,y#, al obtener

esta funcin se est llevando a la superficie a ser una pro'eccin sobre el planoxy,

que por tanto tiene direccin . artiendo del vector de posicin

en

k

( ) ( ) , ,r x y xi yj z x y k = + +r

( ) ( ), , x y

z x y z x yr r

r i k r j k x x y y

= = + = = +

r r


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' la normal es:

+

u v

u v

z zi j k

x yr rn

r rz z

x y

+ = =

+ +

r r

r r

l diferencial de superficie queda como:

+x yz z

dS r r dxdy dxdyx y

= = + +

r r

As, para el caso de la integral de superficie: S S

f dS f ndS =

+

+S S

z zi j kx y z z

f ndS f dxdyx y

z z

x y

+ = + + + +

r r


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Simplificando queda:

S S

z zf dS f i j k dxdy

x y

= +

r rr

8ue es la pro'eccin en el planoxycon direccin .k

6aso particular %. ara el caso en el que la funcin de superficie "x,y,z# = t!. no se

despe2e ' se quiera calcular la normal en funcin del gradiente, es necesario calcular

la pro'eccin a uno cualquiera de los planos, sin olvidar que estas pro'ecciones

deben ser evaluadas en el punto de la superficie donde se calcula la normal, es decir

n

=

la pro'eccin sobre el planoxyes

( ),

pro$eccin sobre el plano con direccin

z x y

f nxy kn k

=


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roblema &.99 ;ei . su. Si $ $ 1f xzi xyz j zk= + +$ 6alcular la integral de superficie

S

f d$ donde Ses la superficie limitada por & 2 & z x y z z= + = =

Solucin. rimero !agamos un bosque2o de la superficie donde se calcular la

integral, para esto !agamos una pro'eccin sobre el planozy"por e2emplo), es decir!agamos - ( $, lo que se obtiene es una recta que pasa por el origen. Si a!ora

tomamos para una z positiva, vemos que tenemos una ecuacin de un circulo. or

lo que podemos decir que la superficie es la de un cono que se abre !acia arriba.

6omo se trata de una integral cerrada, e-istirn dosnormales Asociadas a cada superficie.

+ +n dS

n dS

+

+ +

S S S

f ndS f n dS f n dS = + n donde n1est apuntando en general !acia afuera

de la superficie, pero que en la pro'eccin sobre el

planoxysu direccin es !acia aba2o, es decir:

+

+ +

S S S

f ndS f n dS f n dS = 5ado que la funcinzse puede despe2ar estamos en el primer caso, calculando

las parciales:

&z x z y

x yx y x y

= = + +

z x y= +


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ara la tapa del cono se tiene: $ &n k dS dxdy= = 6onz( & para esta tapa.

$ $( ) $

1z

S S

f n dS xzi xyz j zk kdxdy=

= + + r $

( )

2 2

1 + +zS S

f n dS z dxdy dxdy d d

== =

= = = r

( )

2

72

+ +-

S

f n dS

= =

r

$ $

+ +

+ +S S

z z

f n dS f i j k dxdyx y

= + r r $

+a otra parte de la superficie es:

$ $ $ $( ) $

$

1z z xi y j

f i j k xzi xyz j zk kx x x y x y

+ = + + + + +

$r $ $

$ $

1

z z x z xy zf i j k z

x x x y x y

+ = + + +

r $

/ealizando el producto punto:

5e2ando en funcin dex,y

$ $ ( )

1

xy x yx x yz zf i j k x y

x x x y x y

++

+ = + + + +

r $


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$ $ 1z z

f i j k x xy x y x yx x

+ = + + +

r$simplificando

( )+ +

+ + 1

S S

f n dS x xy x y x y dxdy = + + + r

Sustitu'endo en la integral

nos quedan tres integrales, que son:

( )+ A x dxdy= ( ) A xy x y dxdy= + ( )

1 1A x y dxdy= +

Sustitu'endo por coordenadas polares: cos & sin &x y dxdy d d = = =

( ) ( )

+ cos 45A d d = =( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

4

cos sin cos sin cos sin 2A d d d d = + = =

( ) ( ) ( ) 1 1 cos sin 1 +*A d d d d = + = =

+

+ + 45 +* +*

S

f n dS = + = 1inalmente la integral total es:

( ) +

+ + +- +* 12

S S S

f ndS f n dS f n dS = = =


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roblema &.99 ;ei . su. Si $ $ f xi y j z k= +$ 6alcular la integral de superficie

S

f d$ donde Ses la superficie limitada por & 2 & 1x y z z+ = = =

1 1n dS

+ +n dS

n dS

Solucin. 6omo se trata de una integral cerrada,

e-istirn tres normales una por cada superficie.

+ 1

+ + 1 1

S S S S

f ndS f n dS f n dS f n dS = + + +as normales a las tapas del cilindro son:

$+n k= $n k=

$ $( ) $+ + +

+ +1

-z

S S S

f n dS xi y j z k kdxdy dxdy=

= + = r

$

l producto punto de la funcin ' la normal # es:

+

+ + 22 2

- - 15S

f n dS d d

= =

= = =

r

l producto punto de la funcin ' la normal % es:

$ $( ) $( )

2

2z

S S

f n dS xi y j z k k dxdy=

= + = r $

6omo la normal * es paralela al planoxy, se trata del caso particular %.


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$ $( )1 1 1

1

1 1 1 1

S S S

xi yj x yf n dS xi y j z k dS dS

x y x y

+ = + =

+ +

r $

( )1

xi yj xi yjn

x yx y

+ += =

++

n donde1

n se calcula como: 1n

=

siendo

x y= + xi yj = +

or lo que la integral de la superficie lateral es:

( ) ( )

( ) ( )1 1 1

1 1

1 1 1

cos sin

cos sinS S S

x yf n dS dS d dz

x y

= =

+ +

rara la superficie lateral se tiene que el radio es constante e igual a %

( )1 1 1

1 1

1 1

+5cos +5sin

+5cos +5sinS S S

f n dS d dz d dz

= =

r

ara realizar la primera integral recordemos el coseno del ngulo doble:

( ) ( ) cos cos cos sin sin si 8 cos cos sin + = =

( ) ( ) ( ) +

cos cos + cos cos + cos cos +

= = = +


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( ) ( )1 1

1

2 2

++5 cos +5 cos + * cos +

S S

d dz d dz d dz

= + = + sustitu'endo

( ) [ ] ( ) ( )1

1

22

++5 cos * sin * 1 *

S

d dz z

= + = =

ara la segunda integral se tiene:

1

1

1 1

2 2

+5sin +5 sinS

d dz d dz

=

1

22 2

sin sin cossin cos sin sin cos

sin cos

u dud

dv d v

= == = +

= =

/ealizando la integral del seno

11

2 2 2

cossin sin cos 2

1d d

= = =

1

1+5sin 2

S

d dz =

+a integral cerrada de rea es:

+ 1

+ + 1 1 15 2 * *

S S S S

f ndS f n dS f n dS f n dS = + + = + + =


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roblema. Si $ $1A zi x j y zk= + $ 6alcular la integral de superficie

S

f d$donde Ses la superficie limitada por

+5x y+ =2 & 4.z z= =

situada en el primer octante entre

ndS

Solucin. 6omo se trata de una integral abierta,

solo se tiene una normal la de la superficie lateral.

S

A ndS

n donde n se calcula como: n

=

( )

xi yj xi yjn

x yx y

+ += =

++

siendo x y= + xi yj = +

$ $( )

1

S S S

xi yj zx xyA ndS zi x j y zk dS dS

x y x y

+ + = + =

+ +

r $Sustitu'endo en laintegral de rea:

ara la superficie lateral se tiene que el radio es constante e igual a &

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

cos cos sin cos cos sin

S S S

zA ndS d dz z d dz

+ = = +

r

4 4

2 2 2 2

cos +5 cos sinS

A ndS d zdz d dz

= + r

( ) ( )

4

4

2 22 2

sin sin +5 42 2 -2

S

zA ndS z

= + = + =

r


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roblema &.9< ;ei . su. Si $ $f xi y j zk= + +$ 6alcular la integral de superficie

S

f d$ donde Ses la superficie cilndrica representada por:2 & 2 +u v

$ $cos sinr ui u j vk = + +r $

con

Solucin. 4tilizando la representacin del diferencial de superficie

( )u vdS r r dudv=

sin cosu

rr ui uj

u

= = +

r

v

rr k

v

= =

r

( ) ( ) sin cos cos sindS ui uj k dudv ui uj= + = +

$ $( ) ( ) cos sin cos sinf dS ui u j vk ui uj dudv = + + +$$ $cos sinf ui u j vk= + +$

+

2 2

S

f d$ du dv

= =

r r

( ) cos sinf dS u u dudv dudv = + =


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Teorema de Divergencia de Gauss

Sifes una funcin vectorial continua en una regin%con volumen &' limitada por

una superficie cerrada S, entonces:

( )& Sf d& dS f =

=asados en este teorema se plantean las transformaciones de integrales de

superficie cerrada a integrales de volumen, que son:

( )& S

f d& dS f =

( )& S

d& dS =

( )& S

f d& dS f =

Teorema de Stokes

SiS es una superficie abierta limitada por una curva cerrada simple C'fes una

funcin vectorial que tiene primeras derivadas parciales continuas sobre S' 6,

entonces:

( )S C

f dS f dr =


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=asados en este teorema se plantean las transformaciones de integrales de

superficie abierta a integrales de lnea cerrada, que son:

( )S C

f dS dr f = ( )S C

dS dr = ( )S C

dS f dr f =

roblema. 4sando el teorema de la divergencia de >auss calcular

( )S

xdydz ydzdx zdxdy+ +5onde Ses una superficie que consiste en la superficie del paraboloide

+x y z+ =

$?z?#.

Solucin: podemos ver que la integral se puede escribir como:

( ) ( ) ( ) S S S

xdydz ydzdx zdxdy xi yj zk dydzi dzdxj dxdyk f dS+ + = + + + + =

f xi yj zk= + + f xi yj zk = + + =( )S &

f dS f d& = ( )

& &

f d& d& = + +x y z z r+ = = ( ) +A r z = =

( ) ( )++

2 2

+ +

&f d& z dz z z

= = =

r


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roblema &.99 ;ei . su. Si $ $ 1f xzi xyz j zk= + +$ 6alcular la integral de superficie

S

f d$ donde Ses la superficie limitada por & 2 & z x y z z= + = =

Solucin. 4tilizando el teorema de >auss

( )S &

f dS f d& = 1f z xz = + +

( ) ( ) 1& &

f d& z xz d& = + + or coordenadas polares

( ) ( ) cos 1

& &

f d& z rz rdrd dz = + +

Al integrar el coseno de $ a %, esta integral se !ace cero

( ) ( ) ( )

2 2 2

1 1

z

& &

f d& z rdrd dz z dz rdr d

= + = +

r

z x y r= + =

( ) ( ) ( )

1

2 2

+ 1 1

&

f d& z z dz z z dz = + = +

r

( ) ( )

1

2

12&

f d& z z = + =

r


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Problema 4.95. Si la funcin vectorial fes: ( )%

f d& donde%es la regin limitada por: ( )

+

+ , $ 2.z x y z= =

calcular f yi xj z k= + +

Solucin. Sabemos que esta e-presin es el teorema de la divergencia de >auss.

6alculando la divergencia de la funcin vectorial obtenemos:

f z =

n coordenadas esfricas la e-presin de los valores que obtiene una funcin

sobre los e2esx, y, zson:

sin cos & sin sin & cosx r y r z r = = =

l diferencial de volumen para este sistema de coordenadas esfricas es:

sind& r drd d =

( ) ( )+

1

2 2 2

cos sin cos sin& &

f d& r r drd d r dr d d

= = r

Sustitu'endo en la e-presin de la triple integral tenemos:

( ) ( )

+

2

2 2

sin

&

rf d&

= =

r

0ntegrando ' evaluando

en los lmites tenemos:

( ) ( )


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Al !acer la transformacin a una integral cerrada de lnea, tenemos que la curva

lmite es un circulo conz( 0' r( %, estando este circulo en el planoxy por tanto

para coordenadas polares se tiene:

Solucin. Sabemos que esta e-presin es parte del teorema del rotacional de

Sto@es.

Problema 4.10. Si la funcin vectorial fes:

( )S

f dS donde Ses la superficie limitada por: ( ) )z x y= +calcular( ) ( ) ) 1 f x y i xyj xz z k= + + + +

( )S C

f dS f dr =

( ) cos & sin & cos sin & sin cosx y r i j dr i j d = = = + = +r r

or lo que:

( ) ( ) ( ) ( ) cos sin 1 cos sin 2 sin cosf dr i j k i j d = + + + + r

( )

*cos sin sin *sin cos sinf dr d = + +

2 2 2

+5 cos sin sin * sinC

f dr d d d

= + r r


222

sin+5cos *cos

C

f dr

=

r r

C

f dr =


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Problema. Si la funcin vectorial !es:

( )S

f dS donde Ses la superficie limitada por: +x y z+ + =calcular( ) A x y i yz j y zk=

Al !acer la transformacin a una integral cerrada de lnea, tenemos que la curva

lmite es un circulo conz( 0' r( #, estando este circulo en el planoxy por tanto

para coordenadas polares se tiene:

Solucin. Sabemos que esta e-presin es parte del teorema del rotacional de

Sto@es.( )

S C

f dS f dr =

( ) cos & sin & cos sin & sin cosx y r i j dr i j d = = = + = +r r

or lo que:

( ) ( ) cos sin 2 2 sin cosA dr i j k i j d = + + + r

( )cos sin sinA dr d = +

2 2

cos sin sinC

A dr d d

= + r r


22

sincos

C

A dr

= +

r r

CA dr =

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