CURSO DE ANÁLISIS NUMÉRICO DE ECUACIONES DIFERENCIALES.

2010-11

CAPÍTULO 0: INTRODUCCIÓN TEÓRICA, PRIMEROS EJEMPLOS Y PRIMERAS DIFICULTADES.

1 Objetivos.2 Algunos ejemplos.3 Algunos teoremas.

CAPÍTULO 1: ANÁLISIS NUMÉRICO. MÉTODO DE EULER.

1.1 Introducción al análisis numérico. Ideas básicas.1.2 El método de Euler.1.3 Convergencia de un método numérico (I).1.4 Convergencia del método de Euler1.6 Estabilidad del método de Euler:1.7 Convergencia de un método numérico (II).1.8 Apéndice: Demostración de la convergencia del método de Euler.1.9 Ejercicios del capítulo 1.1.10 Ejemplos de programación del método de Euler.

CAPÍTULO 2: IDEAS QUE INSPIRAN EL DISEÑO DE NUEVOS MÉTODOS. ANÁLISIS DE LOS MÉTODOS OBTENIDOS.ALGUNOS MÉTODOS MONOPASO LINEALES.

2.1 Introducción.2.2 El método de Euler implicito. Diseño y análisis.2.3 Los métodos de Taylor.2.4 Aproximaciones integrales.2.5 Ejercicios del capítulo 2.

CAPÍTULO 3: LOS MÉTODOS DE RUNGE-KUTTA. MÉTODOS MONOPASO NO LINEALES.

3.1 Introducción a los métodos no lineales.3.2 Consistencia de los métodos de Runge-Kutta.3.3 Algunos ejemplos.3.4 Ejercicios del capítulo 3.

CAPÍTULO 4: INTRODUCCIÓN A LOS MÉTODOS MULTIPASO.

1

LOS MÉTODOS BDF.

4.1 Introducción a los métodos multipaso.4.2 Aproximaciones de la derivada.4.3 Los métodos BDF.4.4 Un método inestable.4.5 Ejercicios del capítulo 4.

CAPÍTULO 5: LOS MÉTODOS DE ADAMS.

5.1 Introducción.5.2 Construcción de los métodos de Adams.5.3 Método de Adams-Bashforth de un paso.5.4 Método de Adams-Bashforth de dos pasos.5.5 Método de Adams-Bashforth de tres pasos.5.6 Ejercicios del capítulo 5.

CAPÍTULO 6: ESTUDIO GENERAL DE LOS MÉTODOS MULTIPASO LINEALES.

CAPÍTULO 7: INTRODUCCIÓN A LA RIGIDEZ.

7.1 Introducción al fenómeno de la rigidez. Algunos ejemplos.7.2 Otros ejemplos.7.3 Consideraciones teóricas sobre rigidez para los métodos de Euler explícito e implícito.7.4 Consideraciones teóricas sobre la rigidez de los métodos monopaso.7.5 Consideraciones teóricas sobre la rigidez de los métodos monopaso aplicados a sistemas de ecuaciones diferenciales.7.6 Consideraciones teóricas sobre la rigidez de los métodos multipaso lineales.7.7 Ejercicios del capítulo 7.

CAPÍTULO 8: ANÁLISIS NUMÉRICO DE PROBLEMAS DE CONTORNO.

8.1 Introducción a los problemas de contorno. Un resultado de existencia y unicidad.8.2 Problemas de contorno lineales.8.3 Aproximación numérica de los problemas de contorno lineales.8.4 El método de las diferencias finitas.8.5 Convergencia del método de las diferencias finitas.8.6 Algunas aproximaciones numéricas.8.7 El método de las diferencias finitas cuando se consideran otras condiciones de frontera.8.8 Ejercicios del capítulo 8.

2

3

CAPÍTULO 0: INTRODUCCIÓN TEÓRICA, PRIMEROS EJEMPLOS Y PRIMERAS DIFICULTADES.

1 Objetivos.2 Algunos ejemplos.3 Algunos teoremas.

1 Objetivos.

Una ecuación diferencial es una relación entre una función y sus derivadas, que en general tiene la forma El objetivo al plantear una ecuación diferencial es obtener la variable dependiente en términos de la variable independiente es decir obtener

Una ecuación diferencial se dice de primer orden si la derivada más alta que aparece es de orden uno. Vamos a trabajar fundamentalmente con ecuaciones diferenciales de primer orden con la derivada despejada, es decir con ecuaciones de la forma

También trabajaremos ocasionalmente con ecuaciones diferenciales de segundo orden o superior.

¿Dónde aparecen las ecuaciones diferenciales? El rango de aplicación de las ecuaciones diferenciales es muy amplio, están en los fundamentos de la física y se usan en biología, economía y geometría entre otros campos.

En la mayoría de los casos la variable independiente representa al tiempo, la derivada primera de la variable independiente suele interpretarse como una velocidad o una tasa de variación y representa a veces a la aceleración. Para que la solución de una ecuación diferencial venga dada de forma unívoca es necesario que se complete con una serie de condiciones adicionales. Estas condiciones pueden ser de varios tipos y usualmente se denominan condiciones iniciales o condiciones de contorno.

El primer objetivo del análisis numérico va a ser problemas de valor inicial (PVI) de la forma

4

Como se pone de manifiesto en el estudio teórico de las ecuaciones diferenciales existen muchas técnicas de resolución de los PVI. Una de ellas, muy básica y que se supone conocida, es la separación de variables.

2 Algunos ejemplos.

Vamos a comenzar nuestro estudio resolviendo problemas de valor inicial que serán representativos de las dificultades que nos vamos a encontrar en los próximos capítulos:

a) Solución: También

b) Solución:

c) Solución:

Estos tres PVI son de aspecto muy parecido, sin embargo observamos que sus soluciones tienen características completamente diferentes.

En el primer caso la solución no es única.

En el caso b) la solución es única y está bien definida en cualquier intervalo de la variable independiente

Por último en el caso c) la solución es única pero presenta un comportamiento asintótico en que nos impide extender la solución más allá de este valor. Usualmente se dice que la solución de c) explota en

La falta de unicidad de la solución de a) es previsible y podemos pensar que se debe a la falta de regularidad de la función en el punto Lo que resulta más sorprendente es que la solución de c) presente un comportamiento asintótico (o explosivo) ya que en ningún caso dicho comportamiento puede achacarse a una falta de regularidad en la función Este comportamiento explosivo de la soluciones de ciertos PVI es un fenómeno poco conocido entre muchos usuarios de las ecuaciones diferenciales y a lo largo de la historia ha dado lugar a comportamientos anómalos de los sistemas que han venido descritos por algunas ecuaciones diferenciales, es decir, a dado lugar a explosiones, derrumbamientos, …

5

3 Algunos teoremas.

¿Qué nos dice la teoría clásica de ecuaciones diferenciales en lo que respecta a estos ejemplos?

Hay que comenzar con el teorema de Peano:

Teorema de Peano1: El PVI

con continua en un abierto que contenga al punto tiene al menos una solución definida al menos en un entorno de .

Este teorema nos permite disponer de una herramienta sencilla que garantiza la existencia de solución local de los PVI pero que sin embargo no garantiza la unicidad de dicha solución y por tanto se convierte en una herramienta insuficiente para los propósitos del análisis numérico.

El ejemplo a) considerado anteriormente nos muestra que la unicidad de soluciones para un PVI no está garantizada con la mera continuidad de

Para garantizar la unicidad de soluciones de un PVI tenemos que imponer que la función cumpla al menos una condición de Lipschitz con respecto a su segunda variable

Tenemos el siguiente teorema de existencia local:

Teorema de Picard (Local): Sea continua en un abierto que contenga al punto y tal que verifica una condición de Lipschitz para su segunda variable en dicho

intervalo. Entonces el PVI

tiene una solución única definida al menos en un entorno de .

Este teorema garantiza la existencia de una solución local, es decir en un intervalo que eventualmente puede ser muy pequeño en torno al punto de partida.

1 El teorema de Peano introduce la necesidad de la continuidad de la función como función de dos variables. Es por ello que en el estudio de ecuaciones diferenciales se mezclan conceptos de análisis unidimensional con conceptos de análisis de mayor dimensión.

6

El análisis numérico nos obliga a mejorar estas estimaciones ya que hemos de garantizar la existencia y unicidad de soluciones en un intervalo fijado desde el principio El ejemplo c) considerado anteriormente nos muestra que incluso para funciones regulares la solución de existencia global no está garantizada.

Una posible forma de resolver este problema es utilizar el siguiente teorema de existencia global:

Teorema de Picard (Global): Sea una función continua en y tal que verifica una condición de Lipschitz para su segunda variable en Entonces el PVI

tiene una solución única definida en

Aunque este teorema responde a las necesidades de existencia global que necesitamos en análisis numérico tiene el inconveniente de ser demasiado restrictivo y funciones como o no verifican este teorema. En el primer caso esta restricción está justificada dado el comportamiento asintótico de las soluciones, pero en el segundo caso no, es decir el PVI

tiene solución única para cualquier intervalo acotado de la variable independiente.

En la práctica la forma de proceder será la siguiente: Utilizaremos el teorema de Picard (global) si se verifican las condiciones para ello. En caso contrario utilizaremos un teorema de existencia local (Picard local) para garantizar existencia y unicidad de solución local y además utilizaremos cotas a priori sobre la solución de los PVI con objeto de detectar posibles comportamientos asintóticos.

Para obtener las cotas a priori de la solución de los PVI’s citadas utilizaremos el siguiente resultado, únicamente cierto si previamente puede probarse existencia y unicidad local para todos los PVI considerados:

Teorema de las sub y supersoluciones: Consideremos los PVI’s, definidos para todo

donde las funciones y continuas y tales que Entonces se verifica que para todo

Veamos a continuación un ejemplo de utilización de este resultado.

7

Ejemplo: Probar que la solución del siguiente PVI está bien definida:

Establecer además cotas para la solución, su primera y su segunda derivadas.

Solución:

Utilizando el teorema de existencia local tenemos que la solución está bien definida localmente para todo valor de Por otro lado la cota

nos permite obtener una sub y una supersolución y respectivamente. A saber,

De donde

y así,

Las cotas sobre la derivada y segunda derivada se obtienen como sigue:

Es decir,

8

9

EJERCICIOS DEL CAPÍTULO 0.

I. Estudiar si la solución de los siguientes PVI está bien definida en los intervalos considerados y, si es posible, calcular dicha solución en el caso en que sea única. Caso de que no podamos garantizar unicidad intentar encontrar al menos dos soluciones del PVI considerado.

1.

2.

3.

II. Estudiar si es posible garantizar que el PVI

tiene solución única en el intervalo considerado.

A continuación probar que las funciones y son ambas solución

de este PVI.

III. Consideremos el problema de valor inicial

Comprobar que es solución de este PVI. ¿Es única? ¿Contradice este

ejemplo algún teorema de existencia y unicidad? Razonar las respuestas.

IV. ¿Admiten solución única los siguientes problemas de valor inicial? Razonar la respuesta.

10

a)

b)

c)

d)

V. Demostrar que el PVI tiene solución única. Dar una cota a priori (sin resolver la ecuación) de la solución de este PVI y de sus primera y segunda derivadas.

VI. Igual que el ejercicio anterior pero con el PVI

VII. Estudiar para qué condiciones iniciales el PVI

tiene solución única. Dar una cota a priori de dicha solución.

VIII. Consideremos el problema de valor inicial

Encontrar cotas a priori para y sin calcular explícitamente.

11

CAPÍTULO 1: ANÁLISIS NUMÉRICO. MÉTODO DE EULER.

1.1 Introducción al análisis numérico. Ideas básicas.1.2 El método de Euler.1.3 Convergencia de un método numérico (I).1.4 Convergencia del método de Euler1.6 Estabilidad del método de Euler:1.7 Convergencia de un método numérico (II).1.8 Apéndice: Demostración de la convergencia del método de Euler.1.8 Ejercicios del Capítulo 1.1.8 Ejemplos de programación del método de Euler.

1.1 Introducción al análisis numérico. Ideas básicas.

Consideremos el PVI

que no sabemos resolver explícitamente, pero del que tenemos la seguridad de que tiene solución única en el intervalo considerado.

El objetivo del análisis numérico será obtener una aproximación de la solución

La forma de aproximar la solución de un PVI no es única y de hecho muchas técnicas de aproximación de soluciones se han desarrollado a lo largo de la historia del análisis funcional. Podemos destacar la aproximación de soluciones de PVI’s utilizando series de potencias, métodos perturbativos, …

El análisis numérico nos provee de una forma muy particular de aproximar la solución de un PVI. Es en esta forma de aproximar soluciones en la que vamos a estar interesados.

En primer lugar haremos una partición del intervalo en trozos, en principio equiespaciados. Vamos a pasar de considerar que la variable independiente toma valores en un intervalo a considerar que toma valores únicamente en el conjunto

con y Al conjunto lo llamaremos partición del intervalo y a los valores les llamaremos nodos de la partición. Cada nodo verifica que y

por tanto donde es el paso de la partición y

El objetivo del análisis numérico es desarrollar un método recursivo, es decir, que vamos a utilizar herramientas algebraicas y no diferenciales, para la obtención de

12

que serán valores aproximados de la solución exacta del PVI en los nodos de la partición considerada2.

Planteamos el PVI en los nodos de la partición de la siguiente forma3:

1.2 El método de Euler.

El primer método de aproximación numérica de PVI, ya desarrollado en los albores del cálculo diferencial, para la obtención de los valores aproximados la proporciona el llamado método de Euler. Este método constituirá un modelo sencillo de obtención de soluciones aproximadas de PVI’s, pero además vamos a utilizarlo como modelo y como punto de partida para desarrollar métodos más complejos. Es por tanto fundamental aprender detenidamente las ideas involucradas en el análisis de este método y reflexionar sobre los conceptos que van a aparecer. En particular adquiere especial relevancia el concepto de error de truncatura.

El método de Euler surge de la idea de eliminar el límite del PVI considerado, es decir este método propone pasar de la igualdad

para la solución exacta a la igualdad

o equivalentemente

para la solución aproximada 2 En análisis numérico es muy importante fijar adecuadamente la notación utilizada. Vamos a denotar como

a la solución exacta del PVI y como a la solución aproximada en el nodo

3 Este paso ya es en sí muy importante porque supone despreciar toda la información sobre la solución del

problema que no se refiera a estos nodos

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Hay que hacer notar que el valor de arranque del método aproximado y el valor inicial del PVI no van necesariamente a coincidir, aunque hay que suponer que si no son valores iguales al menos sí van a ser valores muy próximos4.

1.3 Convergencia de un método numérico (I).

¿Qué hemos de pedirle a un método numérico de aproximación de soluciones de PVI’s para que sea satisfactorio? Que aproxime adecuadamente a las soluciones del PVI. En este sentido damos las siguientes definiciones:

Llamamos error local de discretización a la diferencia

mientras que denominamos error (global) de discretización a la expresión

Obviamente vamos a estar interesados en que el error de discretización sea lo más bajo posible y que de hecho tienda a cero a medida que tienda a cero, o equivalentemente a medida que en número de nodos de la partición aumente.

Diremos que un método es CONVERGENTE si

1.4 Convergencia del método de Euler.

Vamos a calcular detalladamente en el caso del método de Euler con el objetivo adicional de tratar de entender cuales son las fuentes que contribuyen a hacer que el error aumente. Este estudio nos llevará a nuevos conceptos y nuevas definiciones.

Con objeto de ser lo más claros posible y de simplificar y sistematizar a un tiempo nuestras técnicas de cálculo y de estimación de errores, vamos a introducir la definición de error de truncatura.

4 Vamos a notar como a la condición inicial exacta del PVI. es el valor aproximado de la solución del PVI en

el primer nodo y es el valor de . Por tanto la igualdad es siempre cierta mientras que la igualdad

no lo es de forma general.

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Este concepto en este momento puede parecer un tanto artificioso. Más adelante veremos que es un concepto que va a jugar un papel fundamental en el estudio de los métodos de aproximación numérica de la solución de los PVI’s.

Veamos a continuación como se introduce el error de truncatura en el método de Euler.

Podemos ver el método de Euler como el paso de la expresión exacta

a la expresión aproximada

que esperamos sea tanto más exacta cuanto más pequeño sea el paso considerado.5

El error local de truncatura podemos interpretarlo como el error que cometemos al hacer la anterior aproximación, es decir, que de manera exacta tenemos que

Análogamente a lo que establecimos con el error de discretización se define el error (global) de truncatura

Diremos que un método es CONSISTENTE si

El orden de consistencia de un método consistente se define como el mayor natural tal que

Antes de pasar a calcular errores hay que llamar la atención sobre la similitud de las siguientes expresiones, aparentemente muy parecidas:

y

5 Nótese que las dos ecuaciones anteriores están referidas a la solución exacta

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La primera se refiere a la solución exacta del PVI y la segunda a la solución aproximada de dicho PVI que proporciona el método de Euler6.

Tenemos el siguiente resultado:

TEOREMA 1 (sobre la convergencia del método de Euler):

Se verifica la siguiente desigualdad:

La demostración, que se deja como ejercicio y puede verse en el apéndice al final del capítulo. De hecho también puede considerarse el ejercicio de introducir un término de redondeo en el cálculo de

A la vista del Teorema 1 vemos que el error de discretización y por tanto la convergencia del método de Euler depende de dos términos. De hecho en forma concisa podemos escribir que

Diremos que el primer término está relacionado con la estabilidad y el segundo con la consistencia.

1.5 Consistencia del método de Euler.

Ya hemos introducido el concepto de consistencia al introducir el error de truncatura. Nos queda probar formalmente la consistencia del método de Euler y calcular su orden de consistencia.

Dicha propiedad se obtiene de la igualdad

6 A la vista de la expresión cobra sentido interpretar el error de

truncatura de la siguiente forma: es lo que “le falta” a la solución de exacta para verificar el método de Euler.

16

Desarrollando la función por Taylor y utilizando la fórmula del resto en forma de Lagrange, tenemos que

Al sustituir en la ecuación anterior y teniendo en cuenta que nos queda

Cancelando términos obtenemos que

de donde obtenemos la acotación

Concluimos que el método de Euler es consistente y de hecho es consistente de orden 1.

1.6 Estabilidad del método de Euler.

Para el estudio de la estabilidad de un algoritmo7 introducimos la siguiente definición:

Consideremos la sucesión de forma que el primer término esté dado y el resto vengan dados por el algoritmo siguiente:

7 En el estudio de las ecuaciones diferenciales aparece el concepto de estabilidad de la solución de una ecuación diferencial. En este caso hablamos de estabilidad de un algoritmo numérico.

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Para dos datos iniciales e obtendremos mediante este algoritmo dos sucesiones y .

Diremos que el algoritmo considerado es estable8 si existe una constante positiva , que solo depende del algoritmo, tal que

Surge de manera natural la pregunta: ¿Es el método de Euler un algoritmo estable9? Sí, veámoslo:

Construimos dos sucesiones de la forma:

y

con y los nodos de la partición fijos.

Restando obtenemos que

y por tanto se verifican las siguientes acotaciones:

De donde se concluye la estabilidad del método de Euler.La consistencia y la estabilidad del método de Euler garantizan su convergencia.

1.7 Convergencia de un método numérico (II).

8 El concepto de estabilidad de un algoritmo no tiene nada que ver con el PVI cuya solución pretendemos aproximar.9 Hablaremos indistintamente de método de Euler o de algoritmo de Euler.

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La desigualdad

nos ha permitido estudiar la relación entre los conceptos de convergencia ( ), consistencia ( ) y estabilidad para el método de Euler. ¿Qué relación tienen estos conceptos entre sí en el resto de los métodos de aproximación ?

Puede probarse que en general se verifica que

Es por esto que una vez que diseñemos un método de aproximación numérico el estudio de su convergencia se va a llevar a cabo en dos pasos, en primer lugar vamos a estudiar su consistencia, y de hecho vamos a determinar siempre el orden de dicha consistencia, y posteriormente vamos a estudiar su estabilidad.

1.8 Apéndice: Demostración de la convergencia del método de Euler.

Dedicamos este apartado a la demostración del siguiente resultado:

TEOREMA 1 (sobre la convergencia del método de Euler):

Se verifica la siguiente desigualdad:

Demostración:

Notaremos a la solución exacta del PVI y a la solución aproximada en los nodos de la partición. Por construcción,

19

Por otro lado la solución aproximada verifica que

Restando obtenemos el siguiente resultado:

Teniendo en cuenta la Lipschitzianidad de obtenemos que

que escrito con la notación introducida en el capítulo 1.3 queda como

En este momento hemos de aplicar un resultado algebraico al que a partir de ahora nos vamos a referir como Primer Lema de Acotación. Estos lemas son muy utilizados en las demostraciones de convergencia de diferentes métodos numéricos.

Lema (Primer Lema de Acotación):

Sea una sucesión de números reales no negativos, que verifican la condición

con A y B constantes no negativas, entonces

y además

20

Aplicando el primer lema de acotación a la desigualdad anterior obtenemos que

De donde

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1.9 Ejercicios del capítulo 1.

1. Considerar los PVI

y

Calcular la solución exacta para cada uno de ellos y la solución aproximada que proporciona el método de Euler. Tomar para ello Obtener explícitamente el error local de discretización obtenido en cada caso y compararlo con la cota obtenida teóricamente para dicho error.

2. Consideremos el problema de valor inicial

a) Encontrar cotas a priori para y sin calcular explícitamente.b) Dar una cota explícita del error de truncatura obtenido al aplicar el método de

Euler explícito a este PVI. Tomar

3. Consideremos el problema de valor inicial

Estudiar si es posible aproximar de forma razonable la solución de este problema de valor inicial por el método de Euler explícito. En caso de que sea posible tomar un valor de y dar una cota explícita del error de truncatura

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1.10 Ejemplos de programación del método de Euler.

A modo de aplicación de la teoría desarrollada vamos a llevar a cabo un programa utilizando MATLAB para aproximar las solución del PVI

con

El algoritmos resultante de aplicar el método de euler

en este caso queda como

El programa en MATLAB:

%El método de Euler aplicado a la resolución de x’=sin(t), x(0)=1clear all%Datos de entradaf=@(t)[sin(t)];a=0;b=2*pi;h=0.5;N=(b-a)/h;t(1)=a;x(1)=1; %Programa Principalfor k=1:N t(k+1)=t(k)+h; x(k+1)=x(k)+f(t(k))*h; end%Salidahold onplot(t,x,'*') % solución aproximada z=dsolve('Dz=sin(t)','z(0)=1'); %solución exacta en color azulezplot(z,[a,b])hold off

donde hemos tomado

23

Si tomamos obtenemos

24

A modo de ejemplo de aplicación del método de Euler a PVI de segundo orden vamos a considerar el caso del oscilador armónico, que viene dado por

con

Este PVI modeliza la vibración de un muelle.

Para resolver este PVI hemos de pasar de una ecuación de segundo orden a dos ecuaciones de primer orden. Llamando

Por tanto el sistema de ecuaciones diferenciales equivalente a .

Las condiciones iniciales se transforman de la siguiente forma:

La idea es aplicar la aproximación de Euler a las dos ecuaciones obtenidas por separado:

que generan los dos algoritmos siguientes:

que han de resolverse a la vez.

Podemos considerar el siguiente programa:

%Aplicamos el método de Euler a la resolución aproximada del problema:% x''+x=0; x(0)=0; x'(0)=1. Oscilador armonico.clear all%datosa=0;b=2*pi;h=0.05;N=(b-a)/h;

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t(1)=a;x(1)=0;y(1)=1;%programafor k=1:N t(k+1)=t(k)+h; x(k+1)=x(k)+h*y(k); y(k+1)=y(k)-h*x(k);end%salidahold onplot(t,x,'r')z=dsolve('D2x+x=0','x(0)=0','Dx(0)=1')ezplot(z,[0,2*pi])hold off

Ejecutamos y tenemos las siguientes gráficas:

Podemos incluso dibujar el diagrama de las fases:

%Diagrama de las fases del oscilador armónico.clear all%datosa=0;

26

b=2*pi;h=0.001;N=(b-a)/h;t(1)=a;x(1)=0;y(1)=1;%programafor k=1:N t(k+1)=t(k)+h; x(k+1)=x(k)+h*y(k); y(k+1)=y(k)-h*x(k);end%salidahold onplot(x,y,'r')hold off

Obtenemos la gráfica:

CAPÍTULO 2: IDEAS QUE INSPIRAN EL DISEÑO DE NUEVOS MÉTODOS. ANÁLISIS DE LOS MÉTODOS OBTENIDOS.

ALGUNOS MÉTODOS MONOPASO LINEALES.

2.1 Introducción.2.2 El método de Euler implicito. Diseño y análisis.

27

2.3 Los métodos de Taylor. 2.4 Aproximaciones integrales. 2.5 Ejercicios del capítulo 2.

2.1 Introducción.

El objetivo del análisis numérico es la aproximación de la solución del PVI

Hemos visto que en primer lugar hemos de restringir nuestro problema a los nodos de la partición considerada, es decir, vamos a aproximar en realidad el problema

El método de Euler surge al aproximar la derivada por el cociente incremental, es decir,

Introduciendo esta aproximación en el PVI obtenemos

o equivalentemente

Parece claro que cualquier otra aproximación de la derivada nos conducirá a un nuevo método.

2.2 El método de Euler implícito. Diseño y análisis.

Supongamos que consideramos ahora diferencias hacia atrás, es decir,

28

Al sustituir en el PVI obtenemos

o equivalentemente

Algunas veces se renumera, y el método se escribe como

Usualmente se denomina a este método Método de Euler Implícito. Es eviendente que la programación efectiva de este método entraña una dificultad adicional con respecto al método de Euler explícito obtenido en el capítulo anterior, por aparecer en ambos miembros de la igualdad. Sin embargo en este momento únicamente vamos a estar interesados en el diseño y análisis teórico de los métodos que vamos a ir obteniendo. Más adelante trataremos en detalle la programación efectiva de los métodos implícitos.

Consistencia del método de Euler Implícito:

Para el análisis de la consistencia basta sustituir en el método la solución aproximada por la exacta y añadir el término Obtenemos:

Desarrollando por Taylor,

Utilizando estas dos expresiones deducimos que

De donde

Concluimos que el método de Euler implícito es consistente de orden 1.

29

Estabilidad del método de Euler Implícito:

Consideremos dos sucesiones:

y

Restando obtenemos que

Se verifican las siguientes acotaciones:

Para se verifica que lo que nos permite completar la

acotación como sigue:

De donde se concluye la estabilidad del método de Euler implícito.10

2.2 Los métodos de Taylor.

10 Nos hemos visto obligados a introducir una cota superior sobre para garantizar la estabilidad del método de Euler. Este hecho no es grave ya que en principio está destinado a ser un parámetro muy pequeño. Veremos en el tema dedicado a rigidez que en otros entornos nos vemos obligados a introducir hipótesis mucho más restrictivas sobre

30

Volviendo al método de Euler podemos constatar la similitud que hay entre el desarrollo de Taylor de la solución

y la forma en la que se calcula el error de truncatura. Por ejemplo podemos considerar que para el método de Euler,

La diferencia entre estos dos desarrollos se encentra en los términos de orden Es por esto que a la vista de un desarrollo más detallado del

podemos pensar en desarrollar métodos que nos permitan imitar este desarrollo. Esta es la base de los métodos de Taylor y aquí se encuentra también una forma de motivar los métodos de Runge-Kutta, que serán tratados posteriormente.En efecto, un ejemplo es el método de Taylor de orden 2, que se construye como sigue:

Se deja como ejercicio probar que este método tiene orden de consistencia 2.

Parece claro que utilizando esta forma de razonar seremos capaces de desarrollar métodos numéricos consistentes y estables de órdenes arbitrariamente altos.

El inconveniente que presentan los métodos de Taylor es que nos obligan a evaluar no solo la función sino además a sus derivadas. En los ejemplos académicos que suelen considerarse esta no suele ser una gran dificultad, sin embargo en las aplicaciones prácticas debemos evitar evaluar derivadas de .

2.4 Aproximaciones integrales.

Una forma alternativa de intentar resolver un PVI dado por

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es integrar a izquierda y derecha la variable independiente entre Obtenemos la siguiente expresión

Obviamente la resolución por medios teóricos de este problema implícito es incluso más difícil que la resolución del PVI inicial. Sin embargo en términos de la interpretación geométrica de la integral definida es fácil justificar la siguiente aproximación:

Basta sustituir en la ecuación anterior para obtener el método de Euler explícito.

Nuevas aproximaciones de la integral generan nuevos métodos de aproximación. Cabe destacar que la aproximación

nos conduce al método de Euler implícito, mientras que la generalización de las anteriores aproximaciones

nos conduce al llamado método, que en el caso adquiere especial relevancia

por conducirnos al método del trapecio

que es un método consistente de segundo orden. De hecho es el primer método de consistencia mayor a la del método de Euler que aparece en el curso.

Se deja como ejercicio probar la consistencia y estabilidad de todos estos métodos, en especial las del método del trapecio.

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Ejercicios del capítulo 2.

1. Acotar el error de truncatura de los siguientes métodos monopaso, y establecer el orden de consistencia de cada uno de ellos.

a. Método de Euler explícito: b. Método de Euler implícito: c. Método

d. Método de Taylor de segundo orden:

2. Diseñar un método de Taylor de orden 3.

3. Consideremos el siguiente método monopaso

Calcular que valores tienen que tener los parámetros y para que el método tenga un error de truncatura al menos de orden 2.

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CAPÍTULO 3: LOS MÉTODOS DE RUNGE-KUTTA. MÉTODOS MONOPASO NO LINEALES.

3.1 Introducción a los métodos no lineales.3.2 Consistencia de los métodos de Runge-Kutta.3.3 Algunos ejemplos.3.4 Ejercicios del capítulo 3.

3.1 Introducción a los métodos no lineales.

Los métodos de Runge-Kutta son métodos no lineales monopaso que se introducen para obtener grados de consistencia altos.

En estos métodos la no linealidad del método viene dada por la evaluación de la función en puntos diferentes a los nodos de la partición.11

En general estos métodos pueden escribirse como

donde la función va a tener la forma donde en general los

valores y van a ser diferentes de y respectivamente.

3.2 Consistencia de un método de Runge-Kutta.

El cálculo del error de truncatura de un método de Runge-Kutta se hace en la forma usual, sustituyendo la solución aproximada por la exacta y agregando el término de error Así,

La dificultad que tenemos en este caso es no saber a priori el orden en de la función Para determinar la consistencia del método procedemos a desarrollar y

en potencias de

11 Es importante no confundir la linealidad de la ecuación que vamos a resolver con la linealidad del método de resolución.

34

Simplicando y agrupando términos queda

A la vista de esta ecuación la condición imprescindible para que un método de Runge-Kutta sea consistente es que

En la medida en que el método cumpla las condiciones

su orden de consistencia será mayor.

3.3 Algunos ejemplos.

Vamos a considerar algunos ejemplos de métodos de Runge-Kutta. El estudio de estos ejemplos servirá como ejemplo al estudio general de los métodos monopaso no lineales.

En este caso Tenemos que

35

Concluimos que este método es consistente de orden 1.

En este caso Así

Concluimos que este método es consistente de orden 2.

El método de Runge-Kutta más famoso y utilizado es el conocido como método de Runge-Kutta de orden 4:

donde

Se deja como ejercicio probar que efectivamente este método tiene un error de truncatura de orden 4.

Ejercicios del capítulo 3.

36

1. Consideremos el siguiente método monopaso

Calcular que valores tienen que tener los parámetros y para que el método tenga un error de truncatura al menos de orden 2.

2. Estudiar la consistencia del método del punto medio implícito dado por

3. Calcular, utilizando la definición, el error de truncatura del método

4. Aproximar la solución del problema de valor inicial

con y , utilizando el método de Euler mejorado

Tomar y estudiar para qué valores del parámetro es nulo el límite cuando de la solución aproximada obtenida.

1. Probar que el método de Runge-Kutta de orden 4, que viene dado por

con

es consistente.

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CAPÍTULO 4: INTRODUCCIÓN A LOS MÉTODOS MULTIPASO. LOS MÉTODOS BDF.

4.1 Introducción a los métodos multipaso.4.2 Aproximaciones de la derivada.4.3 Los métodos BDF.4.4 Un método inestable.4.5 Ejercicios del capítulo 4.

4.1 Introducción a los métodos multipaso.

Hemos visto en los capítulos anteriores los llamados métodos monopaso. Como su nombre indica en estos métodos se pretende calcular la aproximación de la solución en el punto a partir de la información contenida en el nodo anterior En este capítulo vamos a introducir los métodos multipaso (de pasos) en los que la aproximación en el punto va a llevarse a cabo teniendo en cuenta la información contenida en los nodos anteriores

Un primer problema que surge es que un método multipaso no es autosuficiente para dar la aproximación de un PVI ya que este solo proporciona el valor de Los valores de

que nos permitan han de ser calculados con algún método monopaso. A este proceso se le llama LANZAMIENTO y debe hacerse sin pérdida de precisión. Una vez lanzado el método multipaso ya no es necesario el auxilio de ningún método adicional.

Los conceptos desarrollados en el análisis de los métodos monopaso se generalizan sin dificultad, en concreto, el concepto de consistencia para métodos multipaso es el mismo que en caso de los métodos monopaso. El concepto de estabilidad se extiende de manera natural al caso de los métodos multipaso como sigue:

Consideremos un algoritmo que nos permita construir una sucesión de forma que los primeros términos estén dados y el resto vengan dados por el algoritmo

Tomemos dos sucesiones generadas por este algoritmo y Diremos que el algoritmo considerado es estable si existe una constante tal que

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Una ventaja de los métodos multipaso es que se pueden construir, con mayor facilidad que en el caso de los monopaso, métodos de un orden de consistencia alto. Esto es debido al hecho de que en cada iteración del método estamos teniendo en cuenta mayor información. Entre las desventajas de los métodos multipaso hemos de señalar que hay vigilar con cuidado la estabilidad de estos métodos y también que a la hora de llevar a cabo su programación práctica hemos de proceder a su lanzamiento.

4.2 Aproximaciones de la derivada.

Una forma muy sencilla de obtener métodos multipaso es proceder de la misma forma que se hace en la construcción del método de Euler. Al utilizar diferentes aproximaciones de la derivada podemos construir diferentes métodos de aproximación numérica de PVI’s. Por ejemplo, si tomamos

tenemos que

Obtenemos así el método

Para algunos cálculos es muy conveniente renumerar los subíndices, con lo que el método obtenido se puede escribir de forma equivalente a la anterior como

Se deja como ejercicio estudiar la consistencia de este método.

Diferentes aproximaciones de darán lugar a diferentes métodos numéricos.

4.3 Los métodos BDF.

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Una generalización del proceso expuesto en el apartado anterior, es decir una forma generalizada de obtener aproximaciones de y consecuentemente de construir métodos de aproximación multipaso, lo constituyen los llamados métodos BDF.

Como ejemplo vamos a deducir el método del apartado anterior,

utilizando esta nueva filosofía.

Ejercicio: Deducir un método multipaso de aproximación de PVI, del máximo orden de consistencia posible, utilizando la información contenida en los nodos

y

Solución: Desarrollamos y por serie de Taylor:

Restando tenemos que

Sustituyendo por respectivamente y

despreciando términos de orden superior a uno obtenemos

Hay que señalar que en la deducción de este método se ha utilizado la simetría de los nodos utilizados. Esto nos ha permitido eliminar fácilmente los términos de orden En general será necesaria la introducción de parámetros para garantizar esta eliminación. En el siguiente apartado aparece la construcción de un método multipaso utilizando parámetros adicionales.

4.4 Un método inestable.

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Como hemos anticipado los métodos multipaso tienen el grave inconveniente de que pierden la estabilidad con facilidad. Vamos a dar a continuación un ejemplo para ilustrar este hecho12.

Ejercicio: Deducir un método de aproximación de PVI multipaso, del máximo orden de consistencia posible, utilizando la información contenida en los nodos

Solución: Desarrollamos por Taylor y multiplicamos a izquierda y derecha por los parámetros y

Sumando obtenemos:

De esta expresión hemos de hacer cero los coeficientes de la segunda derivada y de todas las derivadas superiores a dos que sea posible. En este caso solo va a ser posible anular el coeficiente de Para ello tomamos

Así, para y ,

El método que obtenemos es

del que fácilmente se puede probar que tiene un orden de consistencia igual a 2. Sin embargo este método no es estable como se deduce del siguiente razonamiento:

12 Los métodos de Adams vienen a remediar esta pérdida de estabilidad para métodos multipaso. Tienen el inconveniente de introducir muchas evaluaciones de y además son métodos que involucran coeficientes que podemos calificar al menos de un tanto extraños.

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Tomamos dos sucesiones generadas por este método y con datos iniciales

y por otro lado donde es un número pequeño pero fijo.

Obviamente para todo Por otro lado un cálculo detallado nos lleva a que En efecto,

Tenemos que y por tanto concluimos la inestabilidad del método.

4.4 Ejercicios del capítulo 4.

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1. Estudiar la consistencia de los siguientes métodos multipaso:

a.

b.

c.

2. Diseñar un método multipaso del máximo orden de consistencia que contenga y

3. Construir un método multipaso de la forma

de orden de consistencia máximo.

4. Estudiar si el método

es consistente y en caso afirmativo estudiar el orden de consistencia.

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CAPÍTULO 5: LOS MÉTODOS DE ADAMS.

5.1 Introducción.5.2 Construcción de los métodos de Adams.5.3 Método de Adams-Bashforth de un paso.5.4 Método de Adams-Bashforth de dos pasos.5.5 Método de Adams-Bashforth de tres pasos.5.6 Ejercicios del capítulo 5.

5.1 Introducción.

Los métodos de Adams pretenden aprovechar aproximaciones integrales para el diseño de métodos estables de orden de consistencia altos.

Todos los métodos de Adams explícitos son de la forma

mientras que en los implícitos también se evalúa El diseño de estos

métodos se basa en determinar los coeficientes mediante aproximaciones

integrales.

5.2 Construcción de los métodos de Adams.

Como veíamos en el capítulo 2 al considerar el PVI dado por

podemos integrar a izquierda y derecha la variable independiente entre obteniendo:

Solo tenemos que aproximar la integral obtenida en el segundo miembro. El problema es que la función es desconocida y por tanto también lo es

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La idea que da origen a los métodos de Adams consiste en establecer que una vez

resuelto el PVI en realidad y en aproximar la integral

mediante evaluaciones de la función en los nodos de la partición, es decir

si se pretende diseñar un método explícito, mientras que si se pretende diseñar un método implícito,

Escogeremos los coeficientes de forma que esta aproximación sea exacta para polinomios del orden más alto posible.

Estos coeficientes se trasladarán a posteriori al método.

Es importante resaltar que las aproximaciones integrales que vamos a hacer a continuación tienen que ver con la naturaleza de la función pero no con el hecho de que el paso sea pequeño o con el valor concreto de Es por esto que en el diseño de los métodos y por razones de simplicidad tomaremos y

A modo de ejemplo vamos a diseñar varios métodos de Adams explícitos.

Nota: Los métodos de Adams explícitos se denominan métodos de Adams-Bashforth mientras que los métodos de Adams implícitos se denominan métodos de Adams-Moulton.

5.3 Método de Adams-Bashforth de un paso.

En este caso vamos a imponer que la aproximación

sea exacta al menos para polinomios de orden 0, es decir para funciones constantes. Para ello tomamos una base del espacio de polinomios de orden 0, a saber y evaluamos esta condición sobre los elementos de esta base para determinar el valor de

Obtenemos el método de Euler explícito.

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5.3 Método de Adams-Bashforth de dos pasos.

Imponemos ahora que la condición

sea exacta al menos para polinomios de orden 1. Tomamos ahora una base del espacio de polinomios de orden 1, a saber y evaluamos esta condición sobre los elementos de esta base:

para tenemos que

para tenemos que

Los parámetros y cumplen las siguientes ecuaciones:

Por tanto y el método que deducimos es el siguiente:

5.3 Método de Adams-Bashforth de tres pasos.

Imponemos ahora que la condición

sea cierta al menos para polinomios de orden 2. Tomamos ahora una base del espacio de polinomios de orden 2. En principio podemos utilizar la base y obtenemos un

sistema de ecuaciones que nos permite determinar los parámetros y Sin embargo

es mucho más interesante considerar la base ya que obtendremos un sistema triangular. Si evaluamos la condición sobre los elementos de esta base:

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para tenemos que

para tenemos que

para tenemos que

Obtenemos el sistema triangular

cuya solución es y

El método obtenido es:

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Ejercicios del capítulo 5.

1. Deducir los métodos de Adams-Bashforth de cuatro y cinco pasos:

2. Deducir los métodos de Adams-Moulton de dos, tres y cuatro pasos.

3. Estudiar el orden de consistencia de los métodos de Adams-Bashforth y Adams- Moulton de dos y tres pasos.

CAPÍTULO 6: ESTUDIO GENERAL DE LOS MÉTODOS MULTIPASO LINEALES.

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Un método multipaso lineal puede escribirse como

con

Si el método se trata de un método implícito, mientras que en el caso el método es explícito.

Nota: Todos los numéricos de aproximación de PVI que hemos visto son lineales excepto los métodos de Runge-Kutta.

Para el estudio de la consistencia y la estabilidad de los métodos multipaso lineales se definen los siguientes polinomios en el plano complejo:

y

A los polinomios y se les llama respectivamente primer y segundo polinomio característico asociado a un método multipaso lineal.

Nota: En lo que sigue denominaremos a los métodos multipaso lineales como métodos

Tenemos los siguientes resultados:

Teorema 1 (Sobre la consistencia de los métodos ):Un método es consistente si y solo si y

Teorema 2 (Sobre la estabilidad de los métodos ):

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Un método es estable si todas las raices del polinomio se encuentran en el disco y si todas las raices de módulo 1 son simples.

Teorema 3 (Sobre la convergencia de los métodos ):Un método es consistente y estable es convergente.

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Ejercicios del capítulo 6.

1. Probar que un método multipaso lineal es consistente si se verifican las condiciones y

2. Estudiar la convergencia de los siguientes métodos multipaso:

a)

b)

3. Se considera el método multipaso

para un mallado equiespaciado de nodos con paso siendo y números reales.

a) Determinar los valores de y para que el método sea convergente.b) Calcular el error local de truncamiento a partir de su definición y

deducir el orden de consistencia del método.c) Aplicar el método anterior, con los valores de y obtenidos en el apartado

a) al problema de valor inicial

se obtiene la secuencia Obtener una cota explícita del error local de truncamiento que se obtiene en este caso.d) Igual que en el apartado c) pero considerando ahora el problema de valor

inicial

4. Estudiar si el método

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es consistente y en caso afirmativo estudiar el orden de consistencia.¿Es estable?

5. Probar que todos los métodos de Adams son estables.

6. Consideremos el método multipaso

Determinar de manera que el método sea consistente y estable.

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CAPÍTULO 7: INTRODUCCIÓN A LA RIGIDEZ.

7.1 Introducción al fenómeno de la rigidez. Algunos ejemplos.7.2 Otros ejemplos.7.3 Consideraciones teóricas sobre rigidez para los métodos de Euler explícito e implícito.7.4 Consideraciones teóricas sobre la rigidez de los métodos monopaso.7.5 Consideraciones teóricas sobre la rigidez de los métodos monopaso aplicados a sistemas de ecuaciones diferenciales.7.6 Consideraciones teóricas sobre la rigidez de los métodos multipaso lineales.7.7 Ejercicios del capítulo 7.

7.1 Introducción al fenómeno de la rigidez. Algunos ejemplos.

Consideremos el PVI

Podemos calcular fácilmente su solución exacta

cuya gráfica es

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Supongamos que aplicamos el método de Euler explícito para obtener una aproximación de la solución de este PVI en el intervalo [0,20]. Utilizamos el siguiente programa:

%Estudio numerico de los PVI de la forma x'=-x%utilizando el método de Euler explícito.clear all%datosa=0;b=20;t(1)=a;x(1)=1;h=2.5;N=(b-a)/h;%programafor i=1:N t(i+1)=t(i)+h; x(i+1)=x(i)-h*x(i);endplot(t,x)

Nótese que hemos tomado un paso h=2.5. La gráfica obtenida es la siguiente:

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La conclusión es que obviamente no se parecen en nada la solución exacta y la solución aproximada. Podemos pensar que esto se debe a que hemos elegido un paso muy grande.

Nótese que en la solución aproximada aparece una oscilación que se va incrementando a medida que aumenta el valor de t.

El error lógicamente debe bajar si disminuimos el paso. Además es lógico pensar que el error debe bajar progresivamente, es decir, a medida que baje el paso y de forma progresiva se han de ir pareciendo las gráficas de la solución aproximada y exacta. Vamos a ver que ocurre cuando se baja el paso.

Para h=2.01

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Se observa de nuevo una oscilación, aunque de menor amplitud que en el caso anterior. Sin embargo, al igual que en el caso anterior, esta oscilación va aumentando conforme aumenta t.

Si aumentamos el intervalo de t observaremos mejor la divergencia de la oscilación:

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Para h=1.99

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El fenómeno que nos proponemos estudiar tiene que ver con la comparación de estas dos imágenes.

El resultado obtenido es que al aplicar el método de Euler a la resolución de

las propiedades de la solución aproximada cambian radicalmente según

el valor del paso, de forma que

Nota: Hay que observar que este fenómeno se produce cuando consideramos intervalos de la variable independiente t muy altos.

Puede comprobarse fácilmente que nuevas bajadas de h no producen comportamientos significativamente diferentes de la solución aproximada, sino que con h mas bajos se consigue únicamente que se aproximen la solución numérica y la exacta.

Surgen de manera natural dos cuestiones:

¿Este cambio brusco en las propiedades de la solución aproximada aparece únicamente cuando se usa el método de Euler explícito?

En un PVI genérico, ¿Existe siempre un valor de h que hace que se produzca este cambio significativo del comportamiento de la solución aproximada?

La primera cuestión se responde con facilidad, basta programar el método de Euler implícito para el mismo PVI. Obtenemos el siguiente programa y las siguientes gráficas:

Para h=2.01

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Si h=2.01 entonces Si h=1.99 entonces

Para h=1.99

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Es decir, no hay oscilación en la solución aproximada ni tampoco hay cambio significativo en el comportamiento de las soluciones proporcionadas por este método a medida que bajo el paso h.

Luego el fenómeno de la rigidez se presenta en el método de Euler explícito pero no en el método de Euler implícito.

Surgen de nuevo cuestiones:

¿La rigidez aparece únicamente en el método de Euler o en cualquier método explícito?

¿La ausencia de rigidez es propia del método de Euler implícito o también están libres de rigidez todos los métodos implícitos?

¿Tienen algo que ver la rigidez y el orden de consistencia?

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7.2 Otros ejemplos.

El fenómeno de la rigidez de ciertos métodos de aproximación numérica de soluciones de PVI aparece también de otra forma, relacionando el paso h con los datos iniciales.

Siempre vamos a estar interesados en valores de la variable independiente t muy altos.

Consideremos el siguiente sistema:

Podemos escribir el sistema en forma matricial:

o equivalentemente

con y

La resolución exacta de este sistema nos lleva a que:

y por tanto

para cualquier dato inicial.

Vamos ahora a aplicar el método de Euler explícito a este sistema:

o equivalentemente

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Utilizamos el siguiente programa:

%Programa para aproximar las soluciones de X'=AX con A=(-1,0;0,-10)clear all%datosa=0;b=10;t(1)=a;A=[-1,0;0,-2];X(1,1)=1;X(2,1)=1;h=0.1;N=(b-a)/h;%programafor i=1:N t(i+1)=t(i)+h; X(:,i+1)=(eye(2)+h*A)*X(:,i)endhold onplot(t,X(1,:))plot(t,X(2,:),'r')hold off

que nos lleva a la siguiente gráfica.

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h=0.1x se representa en azuly se representa en rojo

Si ahora tomamos como pasos h=2.1, h=1.9, h=1.1 y h=0.9 obtenemos las siguientes gráficas. Vamos a representar siempre x en azul e y en color rojo.

h=2.1

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Vemos que en este caso las soluciones aproximadas x e y no están acotadas para intervalos grandes de tiempo. Por tanto la aproximación numérica no es válida para ninguna de las dos soluciones en lo que se refiere a la tendencia asintótica.

64

h=1.9

Vemos que en este caso x tiende a cero mientras que y no está acotada. Por tanto el comportamiento de x es similar al teórico mientras que el de y no lo es.

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h=1.1

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-6

-4

-2

0

2

4

6

Este caso es totalmente similar al caso anterior.

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h=0.9

En este caso ambas soluciones tienden a cero.

“La conclusión es que la aproximación numérica, para un paso h dado, de diferentes partes de la solución de un sistema de ecuaciones diferenciales conserva la misma tendencia asintótica que las soluciones teóricas correspondientes, pero que sin embargo hay otras partes de la solución numérica que no tienen el mismo comportamiento que la solución teórica a la cual pretenden aproximar.”

Todo esto siempre para valores de t altos. Nótese que en las gráficas se ha jugado con la escala temporal para hacer más representativas las figuras.

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7.3 Consideraciones teóricas sobre rigidez para los métodos de Euler explícito e implícito.

Consideremos el PVI

cuya solución exacta es

Es fácil comprobar que la solución exacta de este PVI verifica que

Vamos a aplicar el método de Euler explícito para obtener una solución aproximada de este PVI:

y finalmente

¿Reproduce la solución aproximada el comportamiento asintótico de la solución exacta? Es decir

¿se verifica que ?

Para que esto ocurra es condición necesaria y suficiente que lo que equivale a las desigualdades:

que a su vez equivalen a la condición

Otra forma de expresar este resultado es la siguiente:

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Podemos concluir que la solución que proporciona el método de Euler explícito aplicado al PVI tiene un comportamiento asintótico similar al de la solución exacta únicamente si imponemos una condición adicional sobre el paso h.

¿Ocurre esto mismo con el método de Euler implícito? Enseguida comprobamos que no.Al aplicar el método de Euler al PVI obtenemos que

y finalmente

Tenemos que si h>0 se verifica incondicionalmente que

A raíz de lo expuesto diremos que el método de Euler explícito es condicionalmente A- estable o que presenta problemas de rigidez, mientras que diremos que el método de Euler implícito es incondicionalmente A-estable o que no presenta problemas de rigidez.

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7.4 Consideraciones teóricas sobre la rigidez de los métodos monopaso.

Supongamos que aplicamos un método monopaso para aproximar la solución del PVI

Obtendremos siempre una expresión de la forma

A la función así obtenida se le llama Función Generatriz.

Ejemplos de funciones generatrices son los siguientes:

En el caso del método de Euler explícito

En el caso del método de Euler implícito

y en el caso del método del paralelogramo

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Se establecen las siguientes definiciones:

Se llama dominio de estabilidad D asociado a un método monopaso al conjunto dado por

Un método monopaso se dice A-estable o asintóticamente estable si

Ejercicio: Calcular los dominios de estabilidad de los métodos de Euler explícito, implícito y del método del paralelogramo. Concluir que tanto el método de Euler implícito como el método del paralelogramo son asintóticamente estables.

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7.5 Consideraciones teóricas sobre la rigidez de los métodos monopaso aplicados a sistemas de ecuaciones diferenciales.

Consideremos ahora el sistema de ecuaciones diferenciales dado por

con y A una matriz cuadrada de orden 2, diagonalizable y tal que sus dos

autovalores y verifican que y Esta condición es suficiente para garantizar que la solución exacta verifica que

Si aplicamos el método de Euler explícito para resolver este sistema obtenemos que

Diagonalizando la matriz y notando a P como la matriz de paso tenemos que

y por tanto

Así,

si y Es decir si y están en el interior del dominio de estabilidad del método de Euler explícito.

Resultados análogos pueden obtenerse para cualquier otro método monopaso.

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7.6 Consideraciones teóricas sobre la rigidez de los métodos multipaso lineales.

El estudio de la estabilidad asintóntica (A-estabilidad) de los métodos multipaso lineales es similar al que hemos llevado a cabo para métodos monopaso.

Para el estudio de la convergencia de los métodos multipaso lineales de la forma

con

hemos visto que se definen los polinomios

y

Para el estudio de la A-estabilidad se introduce un nuevo polinomio dado por

donde es un parámetro complejo.

Se establecen las siguientes definiciones:

Se llama dominio de estabilidad D asociado a un método multipaso al conjunto dado por

Un método multipaso se dice A-estable o asintóticamente estable si

Ejercicio: Probar, usando el tratamiento general de los métodos multipaso, que tanto el método de Euler implícito como el método del paralelogramo son asintóticamente

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estables. Calcular también, utilizando estas mismas herramientas, el dominio de estabilidad del método de Euler explícito.

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Ejercicios del capítulo 7.

1. Estudiar si los siguientes métodos multipaso son A-estables:

a.

b.

c.

2. Probar que para el -método

es A-estable.

3. Considerar el método

¿Es convergente?¿Es A-estable?

4. Estudiar análogamente el método

¿Es convergente?¿Es A-estable?

5. Considere el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales

a) Determine la solución analítica de dicho sistema.b) Establecer qué condición o condiciones han de cumplir los parámetros

para que la solución decaiga exponencialmente a cero para tiempos muy altos. Asumir en los siguientes apartados que se verifican dichas condiciones.

c) Utilizar el método de Euler explícito para aproximar la solución del sistema y obtener explícitamente las fórmulas que generan dicha aproximación.

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d) ¿Qué restricción o restricciones sobre el paso garantizan que la solución numérica de este sistema imite el comportamiento de las soluciones aproximadas?

e) Estudiar analítica y numéricamente el sistema para los valores y . Utilizar el método de Euler explícito para la resolución

numérica y determinar si existen en este caso problemas de rigidez.

6. Caracterizar el valor de la condición inicial en el problema de valor inicial

para que al aplicar el método de Euler con se cumpla que

7. Considerar el problema

Probar que cualquiera que sea la condición inicial y el paso al aplicar el método de Euler se tiene que

8. Probar que la matriz

verifica que

Considerar el problema

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Probar que la solución numérica que genera el método de Euler verifica que para todo dato inicial si y solo si

Nota: Puede ser útil probar y utilizar que si se verifica que

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