Universidad Nacional de Catamarca

Facultad de Ciencias Exactas y Naturales

Departamento de Física General y Teórica

CURSO DE INGRESO

Asignatura: FÍSICA

Carreras:

Profesorado en Física.

Licenciatura en Física.

Tecnicatura en Física Médica

Docentes.

Lic. Víctor Aramburu.

Lic. David Lucero

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“La mayoría de las ideas fundamentales de la Ciencia son esencialmente sencillas y, por regla

general, pueden ser expresadas en un lenguaje comprensible para todos.” (Albert Einstein)

A los alumnos ingresantes

Es esta breves líneas les damos la Bienvenida a la Vida Universitaria.

Inician en este año sus primeros pasos en el estudio de sus carreras universitarias y en

ellas la Física juega un rol importante sino el central.

El conocimiento de la Física resulta esencial para comprender nuestro mundo.

Ninguna otra ciencia ha intervenido en forma tan activa para revelarnos las causas y efectos

de los hechos naturales.

Este material didáctico esta destinado a los alumnos ingresantes a las carreras de

Profesorado en Física, Licenciatura en Física y Profesorado en Tecnología; ha sido elaborado

con el propósito de presentarles una breve introducción a la Física Clásica, y orientarlos, en

esta etapa de ingreso, en la adquisición del ritmo de estudio universitario.

Se ha desarrollado, a modo de soporte de las actividades áulicas, el material teórico,

ejemplos de aplicación y actividades propuestas para ejercitación.

Con el deseo de haber alcanzado cierto grado de claridad en la exposición de los

temas tratados, esperamos les sea útil.

¡Buena Suerte!!!

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Contenidos. Unidad I. La física: su objeto de estudio. Ramas de la Física. El método de la Física. El Proceso de Medición. Magnitudes Fundamentales y Magnitudes Derivadas. Múltiplos y Submúltiplos. Sistemas de Unidades. El SI y el SIMELA. Unidad II. Magnitudes escalares y Magnitudes vectoriales. Sistemas de Referencia Cartesianos. Representación de un vector. Clasificación de los vectores. Criterios de igualdad. Coordenadas Cartesianas. Componentes coordenadas de un vector. Álgebra Vectorial: Suma y resta de vectores libres. Métodos gráficos y analíticos. Unidad III. Introducción a la Cinemática: Posición, Trayectoria, Desplazamiento. Sistemas de referencia. Magnitudes Escalares y Magnitudes Vectoriales: Características. Movimiento. Tipos de Movimiento. Velocidad y Aceleración. Movimiento Rectilíneo Uniforme. Representación gráfica.

UNIDAD I.

Física

La palabra física procede del vocablo griego que significa naturaleza, pudiéndose

decir que la Física es una rama de la Filosofía Natural y estudia las propiedades básicas del

Universo y por tanto está regida por los inalterables principios que la naturaleza impone.

La Física, como todas las Ciencias Experimentales, es el producto de un largo proceso de

investigación efectuado con dedicación, paciencia y esfuerzo.

Los principios, leyes y teorías que conforman la Física son el resultado del trabajo metódico y

constante de muchos investigadores preocupados por interpretar los hechos y los

fenómenos que ocurren en el universo.

Los científicos, para lograr sus objetivos, no proceden desordenadamente ni respondiendo a

súbitas inspiraciones, sino que lo hacen siguiendo planes adecuadamente preparados.

Los investigadores, cuando se enfrentan a un problema cuya solución les es desconocida, se

sienten estimulados por la curiosidad y adoptan una actitud fuertemente inquisitiva. En sus

mentes surgen diversos interrogantes que tratan de responder efectuando una serie

organizada de acciones y procesos.

Estos procesos constituyen lo que se llama método experimental o científico.

El método científico o experimental.

La Física trata de dar contestación a los fenómenos de la Naturaleza, fenómenos de cada día,

de cada instante, comienza por dar al hombre que la trabaja un agudo espíritu de

observación, obligándole en todo momento a preguntarse los motivos (¿por qué?) de ciertos

cambios que su medio material experimenta. Al no contentarse con un mero «por que sí» se

obliga a recorrer todos los conocimientos que de éstas y otras disciplinas tiene, aunque es

probable que previo a este análisis memorístico, trate de clasificar el fenómeno. Su

imaginación juega, sus sentidos observan y analizan, su inteligencia determina, llegando en

un alto porcentaje de los casos a la conclusión de que la Física puede darle una respuesta

aclaratoria del fenómeno observado.

Esta inquietud del hombre condicionada a su razón, tratando de explicarse los fenómenos

que ocurren a su alrededor, hace que se organice sistemáticamente, estableciéndose un

método para encontrar respuestas a sus interrogantes: observación, razonamiento y

experimentación constituyen lo que llamamos el Método Científico; no necesariamente este

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proceso sigue el orden que hemos establecido, piénsese, por ejemplo, en los trabajos de

Dimitri I. Mendeléiev (1834-1907) ordenando los elementos en lo que hoy se denomina

sistema periódico, atreviéndose a dejar huecos prediciendo la existencia de elementos

desconocidos hasta entonces, adelantándose la razón a la observación. Muy

frecuentemente, trabajos realizados por los que han sido llamados físicos teóricos y que a

primera vista parecen puramente teóricos y abstractos, encuentran con el tiempo las más

diversas aplicaciones técnicas.

En el estudio de la Física en general, las Matemáticas constituyen la herramienta

fundamental en la descripción del comportamiento físico; sin embargo, la descripción

perfectamente pormenorizada no es posible debido al comportamiento anárquico de la

naturaleza en muchas de sus facetas. La aplicación de las Matemáticas a un fenómeno físico

implica un conocimiento exhaustivo del problema, su formulación matemática representa

un modelo o descripción límite ideal, que se aproxima, pero nunca alcanza por completo la

situación física real.

El estudiante debe tener un proceso dual en su mente, debe pensar en la situación física y

también de acuerdo con la descripción matemática correspondiente; al construir el modelo

matemático idealizado, para su aplicación a un problema real, debe conocer las limitaciones

y aproximaciones que se han realizado y por supuesto tener conocimiento de las

consecuencias que pueden tener, en muchos casos decimos que no influyen o que son

despreciables. Esta aproximación es totalmente válida en un conocimiento en que es

aplicada al problema técnico, siempre que los efectos de esta aproximación no vulneren el

funcionamiento del mecanismo, estructura, prototipo... que se ha aplicado.

Toda investigación comienza por la observación metódica y sistemática de los fenómenos y

hechos que suceden en el mundo que nos rodea. Como resultado de esa observación, se

generan diversos interrogantes y dudas que llevan al planteamiento de un problema.

Una vez definido dicho problema, el observador, con toda la información disponible, da una

respuesta probable al cuestionamiento planteado: formula hipótesis. Como ésta es una

suposición, debe ser corroborada por medio de la experimentación, para determinar su

validez.

De acuerdo con la hipótesis formulada, es posible prever consecuencias que habrán de

presentarse en los hechos o fenómenos que se investigan, es decir, establecer predicciones.

Luego se debe comprobar si dichas predicciones son correctas, para lo cual se realiza la

experimentación.

Las hipótesis científicas son fructíferas en la medida que permiten establecer predicciones, y

el experimento constituye la prueba de la validez de las predicciones efectuadas.

El trabajo experimental proporciona resultados e información que el investigador somete al

análisis y a la interpretación.

De ese modo, se llega a elaborar las conclusiones correspondientes a la investigación

realizada.

Entonces, los datos obtenidos experimentalmente constituyen el núcleo fundamental del

trabajo de investigación y su correcto análisis e interpretación resulta un aspecto

importantísimo para elaborar conclusiones confiables.

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En caso de que la conclusión no demuestre la corrección de la hipótesis formulada, es

necesario formular nuevas hipótesis y reanudar las acciones tendientes a comprobar su

validez.

Cuando la conclusión confirma la hipótesis y puede ser aplicada a todos los fenómenos

semejantes, se esta en presencia de una generalización, la cual a su vez, puede derivar de la

formulación de una ley o principio, con los cuáles se elaboran teorías.

Las conclusiones constituyen conocimientos o informaciones básicas que deben motivar

para realizar nuevas investigaciones por los interrogantes que dejan planteados.

Fenómeno científico. División de la Física

La Física estudia el Fenómeno Científico dando categoría de tal a toda manifestación de orden

material. Partiendo del fenómeno y mediante observación de otros similares, ocurridos en la

naturaleza o provocados artificialmente, se elabora la Ciencia. El principio de la ciencia, casi su

definición, es el siguiente: la comprobación de todo conocimiento es el experimento.

El Experimento es el único método de comprobación de la verdad científica.

La Física estudia estas manifestaciones de la naturaleza, haciéndolo de una manera puramente

Cualitativa (descripción del fenómeno), o Cuantitativa (medida de las magnitudes y relaciones de

variación entre ellas).

Hasta el signo XIX se convenía en distinguir dos tipos de fenómenos científicos: el Fenómeno Químico

en el que la materia experimenta cambios en su composición, en caso contrario el Fenómeno es

Físico. Son fenómenos físicos las caídas de los cuerpos, su calentamiento, iluminación, color, fusión,

vaporización, etc. La combustión de un cuerpo es un fenómeno químico.

Actualmente nos resulta muy difícil poner un límite definido entre la Física y otras Ciencias naturales;

la separación hecha entre Física y Química no es real, existen extensas regiones limítrofes entre

ambas; igual les ocurre a otras ramas de la Filosofía Natural a las que se les han aplicado los métodos

físicos, tales como la Biología, la Medicina, etc.

Pasa exactamente lo mismo al tratar de delimitar en partes a la Física, unas y otras se solapan;

digamos de todos modos, que la Física Clásica, atendiendo a la fenomenología que se estudia, se

divide en las siguientes partes: Mecánica, Termología, Electromagnetismo y Óptica que estudian

respectivamente los movimientos, el calor y la temperatura, los fenómenos producidos por los

cuerpos cargados y la luz.

A principios del presente siglo, en 1905, Einstein demostró la necesidad de hacer un estudio

diferente al que realiza la mecánica clásica o Newtoniana, para los objetos que se mueven a

velocidades comparables a la luz (c = 3 x 108 m/s), naciendo la parte de la Física que se denomina

Mecánica Relativista.

No se tardó mucho tiempo para que Planck, de Broglie, Shrödinger y otros, descubrieran que los

objetos de tamaño atómico a más pequeños, requería un tratamiento diferente al dado hasta

entonces, por lo que surge una nueva parte de la Física a la que llamamos Mecánica Cuántica. De

todas las maneras, todas las partes de la Física, incluyendo estas dos últimas, siguen solapándose; y

muchos de los trabajos de la vanguardia de la Física pertenecen a estas dos últimas mecánicas o a

ambas.

Principios

El Fenómeno Científico es ante todo un fenómeno de la Naturaleza y por tanto su estudio comenzar

á mediante la aplicación al mismo de una serie de Principios, los cuales pueden ser: axiomáticos,

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definitorios e hipotéticos. A partir de ellos, y mediante una exhaustiva comprobación a distintos

niveles cuantitativos y cualitativos, se llega a las Leyes y Teorías que nos dan cuenta del acontecer

fenoménico.

Entendemos por Principio la verdad primera, más evidente que las demás y cuyo conocimiento

adquirimos con la razón; no necesita la comprobación matemática alguna. Son todos ellos

universalmente admitidos. Como hemos dicho pueden ser de tres tipos:

a) Principio Axiomático o Axioma: Proposición evidente por sí misma. Ejemplo: “La distancia mínima

entre dos puntos de un plano es una línea recta”.

b) Principio definitorio o Definición: Nos expresa la construcción o generación de una magnitud.

Ejemplo: “Trabajo es el producto escalar de la fuerza por el desplazamiento”.

c) Principio Hipotético, Postulado o Ley Empírica: Toda proposición que sin ser axioma (no es

evidente por sí misma) sirve de base explicativa del fenómeno físico. Como fácilmente puede

deducirse, la formulación de un postulado o hipótesis debe proceder de una minuciosa

comprobación experimental, cuya probabilidad de certidumbre aumenta en función directa del

mayor número de hechos verificables y comprobables con ella. Ejemplo: Principio «Ley» de

gravitación universal de Newton.

Del análisis razonado de todas estas “herramientas” primeras de trabajo y estudio, concluimos que

todas ellas vienen marcadas por una pauta lineal y continua: sea cual sea el punto de partida por el

que iniciamos el estudio de un fenómeno, éste viene determinado por “imposiciones” de la

naturaleza.

Es de notar, sin embargo, que, conforme el estudio científico avanza y profundiza más, tratando de

desentrañar la fenoménica del Universo, conforme el hombre ambicioso y aventurero amplía sus

horizontes de observación y análisis, los principios universales se restringen más y más. Y así los que

un día fueron considerados como principios, dejan hoy día de serlo, pasando a ser meras

consecuencias de principios más generales, es decir, pueden ser demostrados a partir de éstos. A

pesar de ellos, por razones de tipo histórico, se sigue empleando para aquellos la denominación

genérica con que inicialmente se les catalogaba. (Principio de Pascal, Principio de Arquímedes, etc.).

Dichos «principios» son actualmente simples teoremas y de esta manera debería denominárseles.

Leyes. Constantes físicas

De los principios y de sus aplicaciones a fenómenos determinados y concretos se extrae la Ley Física.

Ésta es pues, en general, un hecho, una verdad restringida por la aplicación de los principios a

circunstancias particulares de instrumentación y medio; concreta la medida de las magnitudes físicas

permitiendo, en fin, establecer relaciones de variación entre unas y otras. Expresada la ley mediante

una fórmula matemática significa una idea, debiendo ser por su reducido alcance lo más sencilla

posible.

Podríamos afirmar que una ley Física tiene una configuración conceptual y significación sencilla y

clara.

En su forma más general podríamos expresar matemáticamente una ley de la siguiente forma:

. Es decir, el valor de la magnitud a depende de los valores de las magnitudes b, c, d,

etc. Las Constantes Físicas que intervienen en las fórmulas que expresan las leyes, pueden ser

Universales o Circunstanciales, según que su valor sea siempre el mismo, cualesquiera que sean las

condiciones del lugar, tiempo, temperatura, etc., o bien dependa de las condiciones en que el

fenómeno se realiza. Ejemplos: la constante de gravitación G, la de los gases perfectos R, la carga de

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un electrón e son constantes universales. La velocidad inicial v0, la constante de la ley de Boyle-

Mariotte K, el coeficiente dieléctrico de un medio son constantes circunstanciales.

Teoría y teorema.

Un paso más adelante en el desarrollo estructural de la elaboración sistemática nos lleva a considerar

el término genérico de Teoría, entendiéndose como tal la deducción y planificación de los fenómenos

particulares que, a la luz de principios y leyes, pueden ser estudiados y comprendidos.

Como instrumento inseparable del desarrollo teórico acudimos en general a la lógica y en particular

al razonamiento matemático.

Llegamos finalmente a la cúspide de esta gran pirámide científica que constituye la Física mediante la

aceptación de las conclusiones lógico-matemáticas que la formulación de una Ley nos determina y

que denominamos con la palabra Teorema. Expresión sencilla del símbolo matemático a que

reducimos el fenómeno científico, que sintetiza la esencia del fenómeno mismo.

MAGNITUDES FÍSICAS. UNIDADES

Magnitud y Cantidad

Magnitud es todo aquello susceptible de medida. Ejemplo: La longitud, la masa, el tiempo, son

magnitudes, ya que pueden medirse.

Medir es comparar dos magnitudes de la misma especie, una de las cuales se toma como Unidad.

Ejemplo: Si A y B son magnitudes de la misma especie, y se toma A como unidad, el número de

unidades A que se necesitan para hacer una magnitud igual a B expresa la medida de B.

Cantidad de una Magnitud es el número de unidades a que es equivalente dicha magnitud. Ejemplo:

El tiempo es una magnitud; siete años es una cantidad.

Unidad: expresión de una medida

Unidad es una cantidad arbitraria que se adopta para comparar

con ella cantidades de su misma especie. En la elección de una

unidad influye la extensión de la cantidad a medir. Ejemplos:

Para la medida de la distancia de la Tierra a una estrella de las

llamadas lejanas escogeremos el año luz; para la distancia entre

dos ciudades el kilómetro; en la venta de un cable, el metro; en la

medida del espesor de una lámina el milímetro y para la medida

de la longitud de onda de la luz el angstrom (Å). No es necesario que sean éstas las unidades

empleadas; siempre que nos convenga podemos tomar como unidad cualquier cantidad arbitraria: si

llamamos A a una cantidad (superficie en la Fig. I-1), la cantidad B equivale a 4A; hemos medido B

adoptando A como unidad.

La expresión de una medida es un número concreto, es decir, un número (veces que la cantidad

contiene a la unidad) seguido del nombre o expresión de la unidad empleada en la medida (500

kilómetros; 26 metros; 2 milímetros).

Condiciones que debe reunir la unidad. Unidad natural

En toda unidad de medida se debe poder determinar la igualdad y la suma. Ejemplo: adoptada una

determinada longitud como unidad metro, ha de poder establecerse qué magnitud es igual a un

metro y qué magnitud contiene dos, tres, cuatro veces a nuestra unidad. De aquí nace el concepto de

múltiplo (km = 1 000 m) empleado, a su vez, como unidad en medidas adecuadas.

A A A

A A

B

Fig. I.1. La medida de B es 4A

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Este criterio de suma, que nos lleva a establecer múltiplos, nos da como consecuencia la posibilidad

de conseguir submúltiplos o divisores de la unidad, pues si el km se puede dividir en 1 000 partes

iguales (metro), el metro tiene necesariamente de la misma propiedad, obteniéndose fracciones de

la unidad que, a su vez, nos sirven como unidad cuando pueda interesarnos.

Con la intención de llegar a establecer unidades únicas adoptadas universalmente para lo que

llamaremos magnitudes fundamentales, y siempre con la idea de elegir conveniente el término

adecuado para la extensión de la cantidad a medir, los organismos de carácter internacional [La

Conferencia General de Pesas y Medidas (CGPM), el Comité Internacional de Pesas y Medidas (CIPM)

y la Unión Internacional de Física Pura y Aplicada (UIFPA)] recomiendan para prefijos, símbolos y

valores correspondientes a las unidades simples del Sistema Internacional (SI), que posteriormente

definiremos, los indicados en la tabla adjunta.

Un proceder unánime en esta línea, nos proporcionaría un mejor entendimiento y una mayor fluidez

en el lenguaje científico, además de una mejor comprensión en el orden de la magnitud de la

cantidad a medir. Ejemplo: debemos tener en cuenta que para expresar una fuerza determinada, 1

kilogramo-fuerza por ejemplo, también se puede decir 10 newton (.) o 106 dinas; o que 1 caballo de

vapor es 75 kilográmetros por segundo o 735 joule por segundo; esta pluralidad de formas para

expresar lo mismo, es indudable que desconcierta al estudiante y le dificulta el “darse cuenta” de la

cantidad expresada.

Existen en la naturaleza cantidades de una magnitud sin posibilidad de poderse encontrar divisores

de ella, a tal cantidad la llamamos Unidad Natural de la magnitud; existen múltiplos enteros de ella

pero nunca una fracción. Decimos de tal magnitud que está “cuantificada” y a la unidad la llamamos

“quantum”. Así por ejemplo: la energía luminosa que emite un foco no varía de forma continua,

existe para cada frecuencia una cantidad mínima, llamada “fotón” y que es indivisible.

La unidad natural de energía electromagnética es la energía de un fotón.

Magnitudes fundamentales y suplementarias

Son magnitudes fundamentales aquellas cuyas unidades se eligen arbitrariamente tomándose como

base de los sistemas de unidades y no tienen una ecuación que las defina.

Como los fenómenos físicos se realizan en el espacio mientras transcurre el tiempo; la Naturaleza nos

impone, así, dos magnitudes fundamentales: Longitud (L) y Tiempo (T), sin definición precisa, cuya

existencia conocemos desde que se inicia nuestra razón.

En la parte de la Física llamada Mecánica, es necesaria una tercera magnitud fundamental definida

por nuestra propia intuición que, con las dos anteriores, permita definir de una manera coherente las

demás magnitudes que intervienen en los fenómenos mecánicos; tal magnitud se elige

arbitrariamente: en Física teórica se usa la Masa (M) y en la técnica la Fuerza (F).

Muchos fenómenos físicos varían según la homogeneidad del espacio, en particular en electricidad,

teniendo que introducir para su estudio, otra magnitud fundamental llamada Coeficiente Dieléctrico

o Permitividad (e) que nos mide la variabilidad del espacio, desde el vacío hasta el más complicado

medio heterogéneo; o bien, ésta quedará definida si se toma a la Intensidad de Corriente (A) como

magnitud fundamental, por lo que puede tomarse como tal a la una o a la otra.

Al variar el “equilibrio energético” dentro del “caos molecular” en los sistemas físicos, es necesario

para el estudio de la Termología introducir como magnitud fundamental. No pudiendo ser eludido,

que los fenómenos ópticos, deban ser observados por nuestros ojos, y que la retina tenga unas

propiedades que provocan gran variedad de sensaciones, cuya medida entra dentro de la Psicología

Experimental, se hace necesario introducir en el estudio de la Fotometría la magnitud fundamental

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Intensidad Luminosa (J) que de alguna manera nos mide la sensación de luminosidad en el ojo

humano.

Como se verá más adelante, es necesario distinguir entre la magnitud fundamental masa y la que

vamos a llamar Cantidad de Sustancia, (N); completándose, con esta última elección arbitraria, el

cuadro de magnitudes fundamentales (L, T, M, A, q, J y N) que actualmente se utilizan en Física.

Son Magnitudes Suplementarias, El Ángulo Plano, definido como la porción de plano limitada por dos

semirrectas que parten de un mismo punto; a este punto se le llama vértice y a las semirrectas lados

del ángulo; y el Ángulo Sólido definido como cada una de las porciones del espacio limitadas por una

superficie cónica. Ambas magnitudes son puramente geométricas y todavía no se ha decidido si son

fundamentales o derivadas.

Unidades patrones

Elegidas convencionalmente las magnitudes fundamentales (como se explicará más adelante), los

diferentes Congresos Científicos Internacionales fijaron las unidades llamadas PATRONES, cuyas

definiciones han ido variando con las exigencias de superior precisión en las técnicas metrológicas, y

que exponemos a continuación.

La unidad de LONGITUD es el METRO (m): distancia a cero grados celsius, entre dos trazos

paralelos hechos en una barra de platino con 10% de iridio, que se conserva en el Museo Nacional de

Pesas y medidas de Sevres, París, aproximadamente igual a la diezmillonésima parte del cuadrante

del meridiano terrestre. El 16 de octubre de 1960 la Conferencia General cambió la definición clásica

del metro, tomando como nuevo patrón (nuevo metro) a 1 650 763.73 longitudes de onda, en el

vacío, de la radiación correspondiente a la transición entre los niveles 2p10 y 5d5 del átomo de

criptón 86. Debido a las constantes exigencias de superior precisión, en octubre de 1986 la

Conferencia General de Pesas y Medidas celebrada en esta fecha en París, define nuevamente el

metro como la longitud recorrida en el vacío por las ondas electromagnéticas durante un tiempo de

1/299 792 458 de segundo (lo que nos indica que la velocidad de estas ondas es 299 792 458 m/s).

(Obsérvese que la tendencia en la búsqueda de un patrón internacional es que su definición sea de

naturaleza universal, y no basada en ningún artilugio artificial susceptible de variaciones temporales).

La unidad de MASA es el KILOGRAMO (kg), es la masa del prototipo de platino iridiado sancionado

por la Conferencia General de Pesas y medidas en 1901 y depositado en el pabellón de Bretenil de

Sevres. Este prototipo tiene forma cilíndrica, contiene aproximadamente el 90% de platino y el 10%

de iridio, y su masa es muy aproximada a la de un litro de agua destilada a cuatro grados centígrados.

Actualmente se define en función de la masa de los átomos como se verá más adelante.

La unidad de TIEMPO es el SEGUNDO (s): 1/86 400 del día solar medio. (86 400 es el número de

segundos del día solar medio, que se obtiene multiplicando 24 horas del día, por 60 minutos de la

hora y por 60 segundos del minuto). DÍA SOLAR MEDIO es la duración media de los días solares del

año, determinadas por el tiempo que tarda el Sol, en su movimiento aparente en realizar un giro en

torno a la Tierra. La XI conferencia General de Pesas y medidas de 1960 definió el SEGUNDO como la

fracción igual a 1/31 556 925,974 7 del año trópico para enero de 1900, cero a doce horas del tiempo

efemérides.

Si bien, el patrón segundo astronómico es más exacto que el segundo solar medio, se necesitaba de

un patrón material comparable a los prototipos metro patrón y kilogramo patrón; por lo que la XIII

Conferencia General de 1967-68, adoptó para EL SEGUNDO el patrón atómico de frecuencia definido

como la duración de 9 192 631 770 períodos de la radiación correspondiente a la transición entre los

dos niveles hiperfinos del estado fundamental del átomo de cesio 133.

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La unidad de INTENSIDAD DE CORRIENTE ELÉCTRICA es el AMPERIO (A) definido como la

intensidad de una corriente eléctrica constante que, mantenida entre dos conductores paralelos

rectilíneos, de longitud infinita, de sección circular despreciable y colocados en el vacío a una

distancia de un metro uno de otro, produce entre estos dos conductores una fuerza igual a 2x10-7

newton por metro de longitud.

La unidad de TEMPERATURA es el KELVIN (K) definido como grado de la escala termodinámica de

las temperaturas absolutas, en la cual la temperatura del punto triple del agua es 273,16 K, por tanto

“es la fracción 1/273,16 de la temperatura termodinámica del punto triple del agua”.

La unidad óptica de INTENSIDAD LUMINOSA es la CANDELA (cd) definida como “la intensidad

luminosa en una dirección determinada de una abertura perpendicular a esta dirección, que tenga

una superficie de 1/600 000 metro cuadrado y radie como una radiador integral o cuerpo negro a la

temperatura de fusión del platino (2 043 K = 1 770 ºC), bajo la presión de 101 325 pascales”.

Sistemas de unidades

Llamamos SISTEMA DE UNIDADES al conjunto de éstas que resulta de escoger determinadas unidades

simples.

La elección del sistema de unidades no se hace, en general, atendiendo a las magnitudes

fundamentales; puesto que se eligen unidades simples que tienen con las fundamentales una

dependencia funcional. Así, por ejemplo, elegimos en el sistema técnico como unidad por su

dependencia con la masa, la magnitud fuerza. Esta unidad es el kilopondio o KILOGRAMO-FUERZA;

fuerza con que el kilogramo patrón es atraído hacia la Tierra, al nivel del mar y 45º de latitud. En este

sistema la unidad de masa es una unidad derivada y se llama UNIDAD TÉCNICA DE MASA.

Ya hemos indicado la conveniencia de tomar universalmente un único sistema de unidades; hoy por

hoy es una cuestión de adaptación y tránsito por lo que el lenguaje científico no está sujeto a las

normas dadas por las CGPM, teniendo el lector que adquirir cierta flexibilidad en el empleo de

sistemas de unidades, lo cual le facilitará la comunicación entre personas cuyos intereses particulares

están situadas en diversos campos; por lo que entramos a definir los distintos sistemas que hoy

suelen utilizarse, pero siempre, dándole la máxima importancia al que llamaremos sistema

internacional.

En mecánica emplearemos los siguientes sistemas: SISTEMA CEGESIMAL (CGS); sus unidades simples

son el centímetro de longitud, el gramo de masa y el segundo de tiempo. SISTEMA GIORGI (G), o

MKS; sus unidades simples son el metro de longitud, el kilogramo de masa y el segundo de tiempo.

SISTEMA TÉCNICO; sus unidades simples son: el metro, el kilogramo fuerza y el segundo.

En electricidad emplearemos: SISTEMA DE UNIDADES ELECTROSTÁTICAS; sus unidades simples son el

centímetro de longitud, el gramo de masa, el segundo de tiempo y el coeficiente dieléctrico para el

vacío

SISTEMA GIORGI ELÉCTRICO; sus unidades simples son el metro de longitud, el

kilogramo de masa, el segundo de tiempo y el amperio de intensidad.

SISTEMA INTERNACIONAL (SI): sus unidades simples son el metro de longitud, el kilogramo de masa,

el segundo de tiempo, el amperio de intensidad, el kelvin de temperatura, la candela de intensidad

luminosa y el mol de cantidad de sustancia. Como vemos es el sistema GIORGI AMPLIADO, cuya

extensión debe hacerse a todo tipo de aplicación Científica o Técnica, es el más frecuentemente

utilizado. En este sistema se distingue entre MASA, “como coeficiente característico de cada partícula

o cuerpo, que determina su comportamiento cuando interactúa con otras partículas”, y la magnitud

CANTIDAD DE SUSTANCIA que nos define “la cantidad de elementos o composiciones químicas que

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llevan los cuerpos”; esta magnitud es diferente de la masa y evidencia que la antigua definición de

masa como cantidad de materia es errónea.

Se define el MOL como: “la cantidad de sustancia de un sistema que contiene tantas entidades

elementales (átomos, moléculas, iones...) como átomos de carbono hay en 0.012 kilogramos de

Carbono 12». Su símbolo es «mol”; el valor de 1 u (UNIDAD UNIFICADA DE MASA ATÓMICA), será,

teniendo en cuenta que 1 u es “la doceava parte de la masa de un átomo del isótopo 12 del Carbono”

y que “0,012 kg de Carbono 12 contiene 6,022x1023 átomos/mol (NÚMERO DE AVOGADRO):

Así por ejemplo sabemos que un mol de hidrógeno contiene dos gramos de hidrógeno, uno de

oxígeno contiene 32 gramos de oxígeno, uno de agua 18 gramos de agua... Luego iguales cantidades

de sustancia (un mol) contienen generalmente diferentes masas; diferencia evidente entre masa y

sustancia.

En una reacción química pueden variar el número de moles sin cambiar la masa.

También es importante la medición del sistema ABSOLUTO INGLÉS, utilizado en los países de habla

inglesa, en los que se eligen como unidades simples: el pie de longitud, la libra de masa, el segundo

de tiempo, y el amperio de intensidad de corriente.

Presentamos a continuación, algunas unidades distintas a las ya definidas, que son normalmente

utilizadas en los distintos medios de trabajo; dando su equivalencia en el SI:

Masa Longitud

1 gramo (g)

1 tonelada métrica (t)

1 libra-masa (lbm)

1 slug

1 ton, long (2 240 lb)

1 ton, short (2 000 lb)

1 unidad de masa atómica (u)

1 unidad técnica de masa (utm)

= 10-3 kg

= 10-3 kg

= 0,453 6 kg

= 14,59 kg

= 1 016 kg

= 907,2 kg

= 1,661x10-27 kg

= 9,806 kg

1 micra (m)

1 milimicra (mm)

1 angström (Å)

1 fermi (fm)

1 año luz

1 parsec (pc)

1 milla* (mile)

1 pie (ft)

1 pulgada (in)

1 yarda (yd)**

= 10-6 m

= 10-9 m

= 10-10 m

= 10-15 m

= 9,65x1015 m

= 3,07x1016 m

= 1 609 m

= 0,304 8 m

= 2,54x10-2 m

= 0,914 4 m

Tiempo Intensidad de Corriente Eléctrica

1 año (a)

1 día (d)

1 hora (h)

1 minuto (min)

= 3,156 x10 7 s

= 86 400 s

= 3 600 s

= 60 s

1 UEEI

= 3,336x10-10 A

** Esta es la milla terrestre. La milla marina equivale a 1 852 m.

** Definida como unidad básica de longitud para todos los países anglosajones en 1854, como la

distancia existente entre dos líneas trazadas sobre dos botones de oro fijos sobre una barra de

platino que se conserva en Londres (1 yd = 3 ft).

Magnitudes derivadas. Medidas indirectas

Una Magnitud es Derivada cuando se define empleando magnitudes simples. Ejemplo: al decir que un

automóvil lleva una velocidad de 60 kilómetros por hora, nombramos una cantidad que corresponde

a una magnitud derivada o compuesta, ya que en su determinación necesitamos la medida de una

longitud (por medio de carteles que nos señalan distancias en la carretera, por ejemplo) y de un

tiempo (por medio de un reloj o un cronómetro), la velocidad es una magnitud derivada.

- 11 -

Las magnitudes fundamentales o simples, son elegidas convencionalmente, las demás tendrán que

depender de ellas; por tanto, el que una magnitud sea simple o derivada será arbitrario. Ya hemos

indicado que en el CGS y SI la masa es fundamental, y derivada en el sistema TÉCNICO.

Realizamos una medida indirecta cuando medimos una cantidad en función de otras que se

relacionan con aquella por medio de una fórmula matemática.

La determinación de una magnitud derivada requiere: a) Su definición correcta, clara y concisa. b)

Establecer una fórmula matemática en la que se compendien todas las ideas expresadas en la

definición. c) Fijar unidades de medida.

Una vez comprendida y aprendida la definición de una magnitud física, hay que expresarla por medio

de una fórmula. La Fórmula, en Física, la expresión de una idea. Por ejemplo, cuando se define

velocidad media como “el desplazamiento recorrido en la unidad de tiempo” y si llamamos ΔX al

desplazamiento o camino recorrido y Δt al intervalo de tiempo empleado en recorrerlo,

formularemos sin duda:

Unidades derivadas y suplementarias

Para fijar unidades derivadas, basta considerar la fórmula de la magnitud, expresando las unidades

simples en el sistema que se desee adoptar.

De acuerdo con las XII y XIV Conferencia General de Pesas y Medidas, adoptamos como unidades

suplementarias y derivadas las que se definen en el siguiente cuadro:

UNIDADES SUPLEMENTARIAS Y DERIVADAS

Magnitud Unidad Símbolo Expresión en otras unidades

SI

UNIDADES SUPLEMENTARIAS

Ángulo plano Ángulo sólido

radián estereorradián

rad sr

UNIDADES DERIVADAS

Superficie Volumen Frecuencia Densidad Velocidad Velocidad angular Aceleración Aceleración angular Fuerza Presión (tensión mecánica) Viscosidad cinemática Viscosidad dinámica Trabajo, energía, cantidad de calor Potencia Cantidad de electricidad Tensión eléctrica, diferencia de potencial, fuerza electromotriz Intensidad de campo eléctrico Resistencia eléctrica Conductancia eléctrica

metro cuadrado metro cúbico hertz kilogramo por metro cúbico metro por segundo radián por segundo metro por segundo cuadrado radián por segundo cuadrado newton pascal metro cuadrado por segundo pascal por segundo joule watt coulomb volt volt por metro ohm siemens

m2 m3 Hz kg/m3 m/s rad/s m/s2 rad/s2 N Pa m2/s Pa s J W C V V/m

S

1/s kg · m/s2 N/m2 N s/m2 N · m J/s A s W/A V/A

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Capacidad eléctrica Flujo de inducción magnética Inducción electromagnética, Inductancia Inducción magnética, Densidad de flujo magnético Intensidad de campo magnético Fuerza magnetomotriz Flujo luminoso Luminosidad Iluminación Número de ondas Entropía Calor específico Conductividad térmica Intensidad energética Actividad (de una fuente radiactiva)

farad weber henry tesla ampere por metro ampere lumen candela por metro cuadrado lux una onda por metro joule por kelvin joule por kilogramo kelvin watt por metro kelvin watt por estereorradián una desintegración por segundo

F Wb H T A/m A lm cd/m2 lx 1/m J/ K J/(kg K) W/(m K) W/sr Bq

A / V C / V V s Wb/A Wb/m2

cd sr lm/m2 1/s

La unidad de magnitud suplementaria Ángulo Plano es el Radián (rad) definido como: ángulo plano

que, teniendo su vértice en el centro de un círculo, intercepta sobre la circunferencia de este círculo,

un arco de longitud igual al radio.

La unidad de la magnitud suplementaria Ángulo Sólido () es el Estereorradián (sr) definido como: el

ángulo sólido que teniendo su vértice en el centro de una esfera, abarca sobre la superficie de ésta un

área equivalente al cuadrado del radio. Según esta definición, dividiendo el área (A) de la porción de

la esfera que se limita, por el cuadrado del radio de ésta, (R2), tendremos medido el ángulo sólido en

estereorradianes, es decir: = A/ R2. Así por ejemplo, a la superficie total de la esfera (A = 4R2), le

corresponderán = 4sr.

El Sistema Métrico Legal Argentino (SIMELA)

Durante muchos años existió una verdadera anarquía en las unidades usadas para las diferentes

magnitudes. Cada país o región tenía las suyas y a veces existían diferencias dentro de un mismo

país. Así, por ejemplo, en el caso de la longitud, se fue evolucionando desde formas poco precisas,

como el palmo, el paso, el codo, hasta llegar al metro, utilizado en la actualidad, y pasando por otras

unidades, tales como el pie, la pulgada, la vara y otras que aun se siguen utilizando en algunos países

y lugares, así como también en algunas actividades que se desarrollan en nuestro país (por ejemplo,

en la medición de maderas).

Finalmente, tras un largo proceso de homogeneización que ha abarcado muchos siglos se llegó a

establecer, en 1960 por la CGPM el denominado SI. Éste fue adoptado por nuestro país en 1972 por

Ley Nacional N° 19511 con la denominación de Sistema Métrico Legal Argentino.

Este sistema esta elaborado sobre la base del Sistema Internacional de Unidades (SI) con el agregado

de unas pocas unidades no pertenecientes al SI pero admitidas, tales como: el litro, la hora, el

minuto, etc.

El SIMELA consta de unidades de base, unidades suplementarias y unidades derivadas.

Unidades de base.

Magnitud Unidad

Nombre Símbolo

Longitud metro m

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Masa kilogramo kg

Tiempo segundo s

Intensidad de corriente eléctrica ampere A

Temperatura termodinámica kelvin K

Intensidad luminosa candela cd

Cantidad de sustancia mol mol

Unidades suplementarias

Magnitud Unidad

Nombre Símbolo

Ángulo plano radián rad

Ángulo sólido estereorradián sr

Unidades derivadas. Son muchas, pues abarcan todo el demonio de la ciencia. Algunas se designan

de acuerdo con el nombre de las unidades de base y otras tienen nombres especiales.

Unidades derivadas sin nombres especiales.

Magnitud Unidad

Nombre Símbolo

Superficie metro cuadrado m2

Volumen metro cúbico m3

Velocidad metro por segundo m/s

Aceleración metro por segundo al cuadrado m/s2

Densidad (de masa) kilogramo por metro cúbico kg/m3

Unidades derivadas con nombres especiales.

Magnitud Unidad

Nombre Símbolo Otra forma de expresión

Fuerza newton N kg m/s2

Energía joule J N m

Presión pascal Pa N/m2

Frecuencia hertz Hz 1/s

Potencia watt W J/s

Unidades agregadas. Las unidades más importantes agregadas al SI por Ley Nacional 19511 son:

Unidades SIMELA no SI

Magnitud Unidad

Nombre Símbolo Equivalencia

Tiempo minuto min 1 min = 60 s

hora h 1 h = 3600 s

día d 1 día = 86.400 s

Ángulo plano grado (sexagesimal) ° 1° = (π/180) rad

minuto ´ 1´ = (π/10.800) rad

segundo ´´ 1´´ = (π/648.000) rad

Volumen litro l ó L 1 L = 1x10-3

m3

Para la escritura de los nombres y símbolos de las unidades se han establecido normas concretas,

tales como:

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Los símbolos deben escribirse con letras romanas rectas y nunca deben pluralizarse. Ej: kg y no

kgs; m y no mts; h y no hs.

No deben colocarse los símbolos con punto final salvo cuando finaliza la oración. Ej: kg y no kg.;

m y no m.; h y no h.; etc.

Los símbolos de las unidades se deben escribir con letras minúsculas, excepto cuando el nombre

de la unidad deriva de un nombre propio. Ej: m; kg; A; J.

Aunque la unidad de volumen es el metro cúbico, se admite el uso del litro, pudiendo utilizarse

como símbolo la “ele” minúscula o mayúscula, según se prefiera.

En temperatura puede usarse la unidad derivada del grado Celsius, aclarando que no es

centígrado y que su símbolo es °C. Ej: 37 °C y no 37° C (los símbolos ° y C son inseparables).

Cuando se escribe el nombre de la unidad siempre debe hacerse con minúscula. Ej: metro;

segundo; pascal.

No se deben castellanizar los nombres de las unidades. Ej: joule y no julio; volt y no voltio.

Cuando se multiplican dos unidades se coloca un punto entre ellas. Ej: N.m; N.s .

En el caso de una multiplicación conviene eliminar la palabra “por”. Ej: newton segundo y no

newton por segundo. En cambio, cuando se trata de un cociente sí se utiliza la palabra “por”. Ej:

m/s= metro por segundo; kg/m3 = kilogramo por metro cúbico.

Cuando se trata de una unidad formada a partir de otras dos pos división, puede utilizarse una

barra, una línea horizontal o potencia negativa. Ej: m/s,

ó m.s-1.

Múltiplos y submúltiplos de la unidades

Cuando el valor de una cantidad es un número muy grande, o por el contrario, muy pequeño, se

suelen emplear los múltiplos y submúltiplos de la unidad.

Por ejemplo: Unidad de longitud: el metro

Múltiplos Submúltiplos

Nombre Símbolo Longitud (m) Nombre Símbolo Longitud (m)

Decámetro dam 10 (1x101) Decímetro dm 0,1 (1x10-1)

Hectómetro hm 100 (1x102) Centímetro cm 0,01 (1x10-2)

Kilómetro km 1.000 (1x103) Milímetro mm 0,001 (1x10-3)

Megámetro Mm 1.000.000 (1x106) Micrómetro µm 0,000 001 (1x10-6)

Nanómetro nm 0,000 000 001 (1x10-9)

Si observamos con atención vemos que los nombres de cada múltiplo y submúltiplo se forman

colocándole un determinado prefijo a la unidad metro. Precisamente, el Sistema Internacional de

unidades, establece cuáles son los prefijos que pueden usarse para las distintas unidades:

Prefijos para obtener múltiplos Prefijos para obtener submúltiplos

Nombre Símbolo Factor Nombre Símbolo Factor

exa E 1018 deci d 10-1

peta P 1015 centi c 10-2

tera T 1012 mili m 10-3

giga G 109 micro µ 10-6

mega M 106 nano n 10-9

kilo k 103 pico p 10-12

hecto h 102 femto f 10-15

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deca da 101 atto a 10-18

También se indica que se debe aplicar un solo prefijo por cada unidad. Ej: 0,000 000 001 es igual a 1

nm (nanómetro) y no 1mµm (milimicrómetro)

Análisis Dimensional.

Toda magnitud derivada se puede expresar por medio de un producto, ECUACIÓN DE DIMENSIONES,

de las unidades simples y expresan la manera de intervenir en su formación.

Consistencia y conversiones de unidades

Usamos ecuaciones para expresar las relaciones entre cantidades físicas representadas por símbolos

algebraicos. Cada símbolo denota siempre un número y una unidad. Por ejemplo, d podría

representar una distancia de 10 m, t un tiempo de 5 s y v una rapidez de 2 m/s.

Toda ecuación debe ser dimensionalmente consistente. No podemos sumar manzanas y

automóviles; s´lo podemos sumar o igualar dos términos si tienen las mismas unidades. Por ejemplo,

si un cuerpo que viaja con rapidez constante v recorre una distancia d en un tiempo t, estas

cantidades están relacionadas por la ecuación:

si d se mide en metros, el producto v t también debe expresarse en metros. Con los números

anteriores, escribimos:

(

)

como la unidad 1/s del miembro derecho de la ecuación cancela a s, el producto v t esta en metros,

como debe ser. En los cálculos, las unidades se tratan igual que los símbolos algebraicos en cuanto a

la multiplicación y la división.

Cuando un problema requiere de cálculos con números y unidades, siempre escriba los números con

las unidades correctas en todo el cálculo. Esto es muy útil, pues ayuda a verificar los cálculos. Si en

algún momento una ecuación o expresión tiene unidades inconsistentes , es que hay un error.

Una estrategia en la resolución de problemas es identificar los conceptos pertinentes. La conversión

de unidades es importante, pero también lo es saber cuándo se requiere. En general, lo mejor es usar

las unidades SI fundamentales (longitudes en metros, masas en kilogramos y tiempo en segundos)

dentro de un problema. Si la respuesta en otras unidades (kilometros, gramos u horas, por ejemplo),

espere hasta el final para efectuar la conversión.

Incertidumbre y cifras significativas.

Las mediciones siempre tienen incertidumbre. Si medimos el espesor de la portada de un libro con

una regla común, la medición sólo será confiable al milímetro más cercano, y el resultado será 3 mm,

por ejemplo. Sería erróneo dar este resultado como 3,00 mm; dadas las limitaciones del instrumento

de medición, no puede saberse si el espesor real es de 3,00 mm, 2,85 mm ó 3,11 mm. Pero si se usa

un micrómetro, que mide distancias de forma confiable al 0,01 mm más cercano, el resultado será de

2,91 mm. La distinción entre dos mediciones radica en su incertidumbre. La medida con micrómetro

tiene menor incertidumbre; es más exacta. La incertidumbre también se llama error, porque indica la

máxima diferencia probable entre el valor medido y el valor real. La incertidumbre o error de un

valor medido depende de la técnica empleada.

A menudo indicamos la exactitud de un valor medido – es decir qué tanto creemos que se acerca al

valor real- escribiendo el número, el símbolo y un segundo número que indica la incertidumbre. Si

el diámetro de una varilla se da como 56,47 0,02 mm, esto implica que es poco probable que el

valor real sea menor que 56,45 o mayor que 56,59 mm.

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También podemos expresar la exactitud en términos de error porcentual o porcentaje de error

máximo probable (también llamado incertidumbre fraccionaria o porcentaje de incertidumbre) Un

resistor rotulado como “47 ohms 10%” probablemente tiene una resistencia real que difiere de 47

ohms en menos del 10% de 47 ohms, o sea unos 5 ohms. En el caso del diámetro de la varilla antes

citada, el error fraccionario es de (0,02mm)/(56,47 mm), que es aproximadamente 0,0004; el

porcentaje de error es de (0,0004) (100%) ó 0,04%. Incluso porcentajes de error muy pequeños

pueden ser muy significativos.

En muchos casos, no se da explícitamente la incertidumbre de un número, sino que se indica con el

número de dígitos informativos, o cifras significativas, en el valor medido. Indicamos el espesor de la

portada de un libro como 2,91 mm, que tiene tres cifras significativas. Con estos queremos decir que,

hasta donde sabemos, los dos primeros dígitos son correctos, pero el tercero es incierto. El último

digito esta en la posición de las centésimas, así que la incertidumbre es de 0,01 mm. Dos valores con

el mismo número de cifras significativas pueden tener diferente incertidumbre; una distancia dad

como 137 km también tiene tres cifras significativas, pero la incertidumbre en de 1 km.

Si usamos números con incertidumbre para calcular otros números, el resultado también es incierto.

Es muy importante entender esto al comparar un número que se obtuvo de mediciones con un valor

que se obtuvo de una predicción teórica. Suponga que quiere verificar el valor de π, la razón entre la

longitud de la circunferencia y correspondiente diámetro. El valor verdadero hasta 10 dígitos es

3,141592654. Para calcularlo, dibuje un círculo grande, mida el diámetro y la circunferencia. Suponga

que obtiene los valores 135 mm y 424 m; los cuales al dividirlos se obtiene 3,1407740741 ¿concuerda

esto con el valor real?

En primer lugar, los últimos 7 dígitos de la respuesta no significan nada; implican una incertidumbre

menor que la de las mediciones. Cuando se multiplica o dividen número, el resultado no puede tener

más cifras significativas que el factor con menos cifras significativas. Por ejemplo, 3,1416 x 2,34 x

0,58= 4,3.

Las dos mediciones que usted efectuó tienen tres cifras significativas, así que el valor medido de π,

igual a (424 mm)/(135 mm), sólo puede tener 3 cifras significativas, y debe darse simplemente como

3,14: Dentro del límite de 3 cifras significativas, este valor coincide con el verdadero.

Al sumar o restar números, lo que importa es la posición del punto decimal, no el número de cifras

significativas. Por ejemplo, 123,6 + 8,9. Aunque 123,62 tiene una incertidumbre de 0,01, la de 8,9 es

de 0,1, así que la suma debe tener esta misma incertidumbre y escribirse como 132,5 y no 132,52.

En el mundo real muchos números tienen una exactitud aun menor: un velocímetro de un automóvil

sólo suele indicar dos cifras significativas. Podemos hacer cuentas con la calculadora que exhibe 10

dígitos, pero dar una respuesta de 10 dígitos no sólo es innecesario, es erróneo, porque falsea la

exactitud del resultado. Cabe señalar que al reducir una respuesta al número apropiado de cifras

significativas, debemos redondear, no truncar: la calculadora indica que 525 m/311 m es

1,688102894, con tres cifras significativas esto es 1,69, no 1,68.

Al calcular con números muy grandes o muy pequeños, es mucho más fácil indicar las cifras

significativas usando notación científica, también llamada notación de potencias de 10. La distancia

de la Tierra a la Luna es de cerca de 384.000.000 m, pero esta forma del número no da idea de

cuantas cifras significativas tiene. En vez de ello, movemos la coma decimal ocho lugares a la

izquierda ( que equivale a dividir entre 108) y multiplicamos por 108. Es decir:

En esta forma, es obvio que tenemos tres cifras significativas. El número 4,00x10-7 también tiene tres

cifras significativas, aunque dos de ellas sean cero. En notación científica acostumbra a expresar la

cantidad como un número entre 1 y 10 multiplicado por la potencia de 10 apropiada.

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Cuando aparece un número entero o una fracción en una ecuación general, tratamos ese número

como si no tuviera incertidumbre. Por ejemplo, en la ecuación

, el

coeficiente 2 es exactamente 2; podemos pensar que tiene un número infinito de cifras significativas

(2,0000000…). Lo mismo ocurre con los exponentes 2.

Por último, cabe señalar que precisión no es lo mismo que exactitud. Un reloj digital que nos informa

la hora 10:35:17 AM, es muy preciso (la hora se da con segundos), pero si el reloj está atrasado varios

minutos no será muy exacto. Por otro lado, un reloj de pared con agujas puede ser muy exacto (da la

hora correcta) pero si no tiene segundero, no será muy preciso. Una medición de alta calidad, como

las que definen estándares, es precisa y exacta.

Cifras Significativas.

A través del proceso de medición obtenemos el valor numérico de una magnitud expresado en cierta

unidad, es decir la cantidad. Pero existe evidentemente un límite para el número de cifras con que

realmente conocemos una magnitud. Es claro que si determinamos por ejemplo una longitud con

una regla graduada en milímetros y aún suponiendo que no existe ninguna causa de error en la

lectura, podremos determinar la longitud hasta los milímetros, quizás aproximar las décimas de

milímetros pero con seguridad no sabremos nada, sobre los centésimos, milésimos, etc. De hecho,

solo expresamos en nuestros resultados las cifras que medimos. Llamamos a estas cifras, que son

resultados de una medición, Cifras Significativas. Dicho de otro modo, del proceso de medición se

obtiene un número con una cierta cantidad de dígitos que corresponden a los sucesivos órdenes de

magnitud1 medidos, a los cuales llamaremos cifras significativas, es decir cifras que provienen

realmente de una medición.

Toda medición va afectada de un cierto error. Supongamos que un estudiante al medir la longitud de

una varilla, encontró los siguientes valores 18,5 cm; 18, 8 cm y 18,2 cm. Otros estudiantes midieron

respectivamente 18,9 cm y 18 cm. Nótese que todos ellos coinciden en las dos primeras cifras, pero

la tercera es una cifra dudosa.

Los dígitos que se conocen exactamente y la primera cifra dudosa son, en este ejemplo, las cifras

significativas.

Al informar sobre la longitud de la varilla de acero, el mejor valor que se podría dar sería el promedio

o media aritmética de las mediciones.

Apliquemos la fórmula para calcular el promedio:

cm 18,5m48,185

cm 92,4

5

)cm0,188,182,188,18(18,5x_

c

El resultado del cálculo tiene cuatro cifras, pero solo tres son significativas. ¿Tiene algún sentido

informar sobre cuatro cifras cuando solo estamos seguros de las dos primeras? NO, por lo tanto la

respuesta debe ser “La longitud de la varilla de acero es de, aproximadamente, 18,5 cm”.

Cómo limitamos el número de cifras significativas en el resultado de una medición?

Como la primera cifra suprimida es 8, convenimos en incrementar en una unidad la última cifra

conservada.

En general:

1 Entendemos por orden de magnitud, al orden de la potencia de 10 más próxima al valor de la magnitud, así

375 m es del orden de 102 m, 850 es del orden de 103 m.

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a) Si la primera cifra significativa eliminada es inferior a 5, la última cifra conservada queda

invariable.

b) Si la primera cifra significativa eliminada es superior a 5, se incrementa en 1 la última cifra

conservada.

c) Si la primera cifra significativa eliminada es 5, la última cifra conservada aumenta en 1 si ella es

impar; mientras que si es par conserva su valor.

Cuando usamos datos en los cálculos no debemos introducir en el resultado más dígitos de los que

permitan los datos originales.

Otro error frecuente consiste en la alteración del número de cifras significativas cuando se efectúa

una transformación de unidades. Es obvio que la información sobre la medida de una magnitud dada

no puede modificarse por el solo hecho de cambiar la unidad en que se mide. Por ejemplo:

cmm 37505,37 .

El segundo término indica que al medir el orden de magnitud de los centímetros obtuve como

resultado cero, en tanto que 37,5 m índica que no se midió el orden de los centímetros.

Otra fuente de confusiones que surge a raíz de las unidades usadas se presenta con los ceros a la

derecha. En efecto: m 0,0035y 5,3 mm tienen el mismo número de cifras significativas.

Para evitar estos problemas es conveniente usar la notación científica, haciendo las transformaciones

en términos de potencias de 10: Kmxcmxm 32 105,37105,375,37

“El número de cifras significativas no siempre es evidente. Ellas dependen del error de medición”

Estimaciones y órdenes de magnitud.

Si bien es muy importante conocer la exactitud de los números que representan cantidades físicas, es

también útil hacer una estimación burda de una cantidad para obtener alguna información. A veces

sabemos cómo calcular cierta cantidad pero debemos estimar los datos necesarios para ese cálculo.

O bien, el cálculo podría ser demasiado complicado para efectuarse con exactitud, así que lo

aproximamos. En ambos casos el resultado es una estimación, pero puede servirnos incluso si tiene

un factor de incertidumbre de 2, 10 0 más. Tales cálculos se denominan estimaciones de orden de

magnitud.

Las mediciones en Física

Definiciones Operacionales.

En toda medición y a los fines de analizar el proceso de medición se pueden diferenciar los siguientes

elementos:

a) lo que va a medirse.; b) la unidad.; c) el instrumento con el que se mide.; d) la “receta” que indica

como se mide.

En un ejemplo veamos cada uno de ellos: “se mide la longitud de un lápiz con una regla”.

a) la longitud de un lápiz. b) el centímetro. c) regla.

d) se compara la longitud de una regla con la del centímetro que se tomo de unidad (calibración) y

luego se compara la longitud de la regla con la longitud del lápiz. El resultado de estas dos

comparaciones dará el número de veces que la longitud unidad está contenida en la longitud que se

mide.

Cada proceso de medición define lo que se llama una magnitud física.

- 19 -

Una magnitud queda unívocamente determinada por el proceso de medición correspondiente, pero

hay más de un proceso posible para medir una magnitud. Los resultados serán equivalentes:

En síntesis el proceso de medición define dos conceptos:

1- la magnitud física que se mide.

2- el valor de dicha magnitud expresado en cierta unidad: la cantidad.

No preocupa a los físicos lo que una magnitud es realmente sino sólo cómo se mide (esto es lo que

llamamos una definición operacional), “Una definición útil debe enseñarnos cómo medir una fuerza;

esto nos basta, no es absolutamente necesario que nos diga lo que la fuerza es en sí, ni si es una

causa o un efecto del movimiento” (Poincare).

Unidad de Medida.

Si bien, a los fines de cada proceso particular, la elección de la unidad es completamente arbitraria,

puesto que los resultados de la Ciencia deben ser comunicados y controlados por grupos numerosos

se hace necesario convenir unidades más o menos universales. Es decir, una unidad es arbitraria y

convencional.

La unidad elegida convencionalmente se llama “patrón” y se selecciona de acuerdo a los siguientes

criterios:

a) debe ser reproducible, es decir debe fijarse de acuerdo a fenómenos u operaciones que

pueden repetirse en las mismas condiciones.

b) debe ser objetiva, es decir exterior al sujeto que efectúa la determinación.

c) debe poder establecerse con el máximo posible de exactitud.

d) debe ser accesible a fin de que pueda reproducirse y hacer calibraciones de los

instrumentos que se usarán para medir.

Errores Experimentales.

Definiremos como error de medición de una magnitud cuyo valor verdadero (si existe) es X y cuyo

valor medido es xi , a la diferencia iixX x

En general el valor verdadero X no es conocido y lo reemplazamos por el mejor valor o valor más

probable x , el cual es un promedio de las mediciones realizadas.

Evidentemente existe un límite para el número de cifras significativas con que se expresa una

medición. En efecto, todo proceso de medición es una interacción entre el objeto que se mide y el

instrumento con que se mide. Esta interacción es a veces evidente, como en el caso de la medición

del espesor de un cuerpo deformable usando un calibre, pero a veces parecería que no existe como

por ejemplo en el caso en que medimos una longitud usando un microscopio. Sin embargo, aun aquí

la interacción existe ya que para que el objeto que se mide sea visible, debe estar iluminado y por lo

tanto el rayo luminoso está actuando sobre él. Si el objeto que se observa es suficientemente

pequeño la interacción podrá ser considerable.

A causa de esta interacción tenemos en toda medición tres tipos de limitaciones:

- La que proviene del objeto que se mide: La magnitud en cuestión no esta siempre definida hasta

ordenes de magnitud tan pequeños como se quiera, por ejemplo no tiene sentido tratar de medir la

longitud de una mesa de madera consignando las 1/1000 de mm porque las rugosidades y asperezas

que presentan los bordes son mayores que ese orden decimal. La longitud de onda de un rayo

luminoso, en cambio, tiene buena definición hasta órdenes de magnitud tan pequeños como 10-10

cm.

- 20 -

- La que proviene del instrumento o más generalmente del método con que se efectúa las

mediciones.

- La que proviene del error de interacción, que en muchos casos no puede despreciarse.

Clasificación de Errores.

En cada medición es muy importante poder estimar el error cometido. Para ello es necesario

clasificar los errores en las siguientes categorías: errores sistemáticos, errores de apreciación y

errores accidentales.

Errores Sistemáticos: son producidos por defectos del instrumento, del método o fallas del

observador. Se caracterizan porque son errores regulares, que se producen siempre en el mismo

sentido, con el mismo signo y en general con el mismo valor.

Son, por esta causa, muy difíciles de detectar pues, aún cuando repitamos las mediciones, todos los

valores vendrán afectados por la misma diferencia y no habrá divergencia entre ellos por esta causa.

A ellos no se le aplica la teoría de errores que se desarrollará más adelante.

La única forma de detectarlos y corregirlos es hacer en cada caso un análisis muy cuidadoso de todas

las posibles causas que puedan generarlos o bien controlar los resultados de las mediciones usando

métodos diferentes.

“Los errores sistemáticos de una medición pueden ser eliminados; previo estudio de los mismos.”

Un ejemplo muy frecuente de error sistemático debido al observador y que es imposible de corregir,

es el que se comete cuando se mide un tiempo con un cronómetro. En efecto, desde que el cerebro

da la orden de apretar el cronómetro hasta el instante en que los músculos lo ejecutan transcurre un

cierto lapso de 0,2 segundos que se conoce como tiempo de reacción.

Error de Apreciación: depende del instrumento de medida. Apreciación es la menor división que

puede leer el observador con dicho instrumento. Por ejemplo si leemos con una regla milimetrada, la

apreciación es del orden del milímetro y el error de apreciación puede ser de ese orden, pero un

observador más experimentado puede apreciar “entre líneas” fracciones de milímetro y disminuir el

error. En general se toma:

Errores accidentales: dependen exclusivamente de las fluctuaciones inevitables e imprevisibles de

los parámetros físicos que determinan la cantidad que se mide. Son producidos por causas fortuitas,

varían al azar y por ello pueden producirse tanto en un sentido como en el otro y no siempre con el

mismo valor absoluto. Se producen, por ejemplo, por fluctuaciones de la temperatura, por diferencia

de atención del observador, por falta de coincidencias entre los índices y las escalas, etc.

Gracias a que se pueden suponer distribuidos al azar, aceptan un tratamiento estadístico y pueden

corregirse repitiendo las mediciones.

“Los errores accidentales no pueden ser eliminados. Por obedecer a leyes de carácter estadístico, se

les aplica la Teoría errores”.

Error de una magnitud que se mide una sola vez:

El error o cota para una magnitud medida una sola vez, vendrá dada por el error de apreciación del

instrumento utilizado, el error de definición del objeto ó el error que proviene de la interacción entre

el objeto y el sistema medidor, tomándose siempre el de mayor valor absoluto. Si el más significativo

es el error de apreciación, el resultado de la medición debe expresarse como:

Apixx

donde xi es el valor de la medida y Ap es el error de apreciación.

- 21 -

Error Absoluto y Relativo:

Se define como error absoluto de una cierta medida xi de una magnitud cuyo valor verdadero es x a

la diferencia x = x - xi

Si se mide una distancia con un determinado error absoluto, nada se puede afirmar respecto a la

precisión de la medición mientras no se conozca por lo menos de que orden es la medida xi de la

longitud medida o sea el error por unidad de longitud. Se define por ello el error relativo como el

cociente entre el error absoluto y la magnitud medida. Cuanto menor sea el error relativo, mayor es

la precisión de la medición. El error relativo se expresa como:

i

rx

x

donde r es el error relativo de la medición xi y Δx es el error absoluto relativo de la medición.

“Los errores absolutos conservan la dimensión de los valores medidos”.

“El error relativo es una cantidad adimensional”.

Por ejemplo, si se mide la longitud de un péndulo con una regla graduada en milímetros y se emplea

este mismo instrumento para medir el diámetro de un lápiz, en ambos casos el error absoluto será

del mismo orden, es decir del orden de apreciación del instrumento. Si los valores obtenidos son 98,9

cm y 0,8 cm, respectivamente, el error de apreciación es de 1mm y es el mismo para ambas medidas.

Sin embargo, aparece en forma evidente que la calidad en ambas mediciones no es la misma: la

medición de la longitud del péndulo parece mucho mejor que la del diámetro de la tiza. Ello es

debido a que el error por unidad de longitud es mucho menor en el primer caso. Para visualizarlo

mejor, calculemos el error relativo en cada caso:

Para la longitud del péndulo: 0,0011000mm

1mm

98,9cm

1mm1r

Para el diámetro de la moneda: 1,0 10

1

8mm

1mm2r

mm

mm

Vemos que r2 es 100 veces mayor que r1.

Es costumbre expresar el error porcentual, que resulta más cómodo y más expresivo. Éste se calcula

multiplicando el error relativo por cien.

Precisión y Exactitud.

Se simplifica el estudio de las posibles causas de incertezas si se considera que:

a) Una parte de la incerteza proviene directamente del hecho de que al repetir la misma medición

con idéntico instrumento puede no registrarse exactamente la misma lectura. A este hecho se

refiere el concepto de precisión (o si se prefiere de falta de precisión).

b) Aunque el instrumento repita bien su lectura, puede indicar un valor que esté alejado del

“correcto” ( o sea, del valor que indicaría un instrumento mejor). Esto se describe como falta de

exactitud.

Es decir:

Precisión: ¿Cuándo una medición es precisa?

Generalmente se piensa que si la incerteza x es pequeña, la medición correspondiente es precisa,

pero esta afirmación puede no ser verdadera. Si se mide una distancia con una incerteza igual a 0,1

- 22 -

mm, nada podemos afirmar respecto a la precisión de la medición mientras no conozcamos por lo

menos de que orden es la medida l de la longitud medida.

Si por ejemplo es l= 100.000 mm 0,1 mm la precisión es muy buena pues l es muy pequeña con

respecto a l, ya que 610 000.100

1,01

mm

mm

l

lEr

En cambio si l= 0,2 mm 0,1 mm, con la misma incerteza, la precisión es muy pobre pues el intervalo

de incerteza es del mismo orden que la medida obtenida y

5,02,0

1,02

mm

mm

l

lEr

De modo que para conocer la precisión de una medición es necesario determinar la incerteza o error

relativo.

La incerteza o error relativo porcentual, indica la incerteza por cada 100 unidades medidas. Así

Er1%=10-4 y Er2%= 50.

El error relativo en el segundo caso (50 %) es muy grande y admite que cada 100 unidades existe la

posibilidad de cometer una incerteza de hasta 50 unidades. Por lo tanto:

“Cuando menor es la incerteza relativa, mayor es la Precisión de la medición”.

Exactitud: El concepto de exactitud del resultado de una medición presupone que al objeto medido

se le puede atribuir un valor “verdadero” (o “exacto”).

Supongamos dos mediciones de un mismo objeto (a cuyo hipotético valor verdadero llamaremos A),

que arrojarán dos resultados , respectivamente.

Decimos que el primer resultado es más exacto que el segundo si esta más próximo al valor

verdadero.

Perímetros, Áreas y volúmenes de cuerpos geométricos regulares.

hexaedroo cubo

área Volúmen

6 x arista al cuadrado arista al cubo

cono

Area lateral= rgg h

r

r2h

3

cilindro recto

Area total= r (g + r)

Area lateral= 2rg

Area total= r [g + r]

r2

hg h

r

Esfera

4r2 4r3

3

Perímetro

Triángulo

área

suma de 3 lados base x altura

Triángulo

equilátero

lado x 3

h

b2

lado x altura2

cuadrado

suma de sus cuatro lados

lado al cuadradol

hl

rectángulo

suma de sus cuatro lados base x altura

circulo

2r r2

A1 y A2

- 23 -

Guía de Ejercitación N° 1.

Actividades de Comprensión.

Lea atentamente el material de lectura y responda las siguientes preguntas.

1. ¿Qué estudia la física?

2. ¿En qué consiste el método científico o experimental? ¿Cuáles son sus etapas?

3. ¿Cuál es el rol en la Ciencia de los datos obtenidos experimentalmente?

4. ¿De qué manera se divide la física? ¿Qué utilidad tiene hacer divisiones en las ramas de la Física?

5. Dé una definición de: Principio, Ley, Teoría y Teorema.

6. Para una dada magnitud, dé ejemplos de diferentes cantidades.

7. ¿Qué es una unidad de medida?

8. ¿Cuáles son las condiciones que debe reunir una unidad de medida?

9. Mencione algunos organismos internacionales que legislan sobre unidades de medida.

10. Defina magnitudes fundamentales y magnitudes derivadas y dé ejemplos de cada uno de ellos.

12. ¿Qué es un sistema de unidades? Ejemplifique.

13. ¿Qué es el SIMELA? Explique.

14. ¿Qué entiende por incertidumbre?

15. Defina cifras significativas. Dé ejemplos.

16. ¿Qué es el orden de magnitud de una cantidad?

17. ¿Cuáles son los elementos del proceso de medición?

18. ¿Qué es una definición operacional de una magnitud?

19. ¿Qué es un error experimental? Clasifíquelos y defina cada uno de ellos.

20. Defina error absoluto, error relativo y error porcentual.

21. Explique cuando una medida es más precisa y cuándo es más exacta.

Actividades de Aplicación.

1) Escríbalos en forma ordenada siguientes pasos del método científico: observación, análisis de los

datos, conclusiones, problema, hipótesis, experimentación, predicción.

2) Marque la respuesta correcta.

- Frente al planteo de un problema, la hipótesis resulta ser una:

a) sugerencia b) respuesta c) propuesta d) pregunta

- Las predicciones se establecen a partir de la:

a) observación b) conclusión c) experimentación d) hipótesis

- El análisis de los datos es un proceso:

a) innecesario b) prescindible c) fundamental d) intrascendente

- Las conclusiones que se obtienen de un experimento son:

a) conocimientos b) predicciones c) observaciones d) hipótesis

- El método científico es:

a) objetivo b) transmisible c) sistemático d) todas las anteriores

3) Suponga que dos cantidades A y B tienen diferentes dimensiones. Determine cuál de las siguientes

operaciones aritméticas podría tener sentido físico:

a) A + B b) A/B c) B – A d) AxB

4) ¿Cuál de las siguientes magnitudes físicas no es una de las unidades fundamentales del SI

a) longitud b) masa c) fuerza d) tiempo e) todas son magnitudes fundamentales

5) Al hacer un cálculo el resultado final tiene m/s en el numerador y m/s2, en el denominador.

¿Cuáles son las unidades finales?

a) m2/s2 b) 1/s c) s3/m2 d) s e) m/s

6) Exprese en notación científica.

- 24 -

a) 2000000 cm b) 0,000007 Km c) 234, 09 seg d) 0,011 dm

7) Exprese en forma decimal.

a) 9x10-3 mm b) 2,036 x104 Km c) 16,309 x102 seg d) 128x10-6 mm

8) Escribir las siguientes expresiones utilizando los prefijos dados y las abreviaturas

correspondientes: por ejemplo, 10 000 metros = 10 km.

a) 1 000 000 watt b) 0,002 gramos c) 3x10-6 m d) 30 000 segundos

e) 298 000 metros f) 7600 Volts g) 0,000067 amperes h) 0,045 newton

i) 43 000 000 gramos j) 0,00000065 farad k) 0,000055 coulomb l) 54 000 metros cuadrados

9) El National Institute of Science and Technology (NIST) de EE.UU. mantiene varias copias exactas

del kilogramo estándar internacional. Pese a una cuidadosa limpieza, estos estándares nacionales

aumentan de peso a razón de 1 µg/año, en promedio, en comparación con el estándar internacional (

se comparan cada 10 años aproximadamente). ¿Es importante este cambio aparente? Explique.

10) Escribir las siguientes expresiones sin utilizar prefijos.

a) 40 b) 4 ns c) 3 MW d) 25 km

e) 0,5 mm f) 24 kJ g) 0,08 hPa h) 2 cm

11) Exprese las siguientes cantidades utilizando los prefijos dados.

a) 3x10-4 m; b) 5x10-5 s; c) 72x102 g, d) 5x10-8 m; e) 5x107 s; f) 3x10-4 m

12) Calcule su edad en segundos.

13) La velocidad del sonido en el aire es 340 m/s; ¿cuál será la velocidad de un avión supersónico que

se mueve con una velocidad doble a la del sonido? Exprese su respuesta en km/h y en millas/hora.

14) un jugador de basquetbol tiene una altura de 6 pies y 10,5 pulgadas ¿cuál es su altura en cm?

15) Un cilindro circular recto tiene un diámetro de 6,8 pulgadas y una altura de 2 pies. ¿Cuál es el

volumen del cilindro en: a) pies cúbicos, b) metros cúbicos, y c) litros?

16) Un piso rectangular tiene una longitud de 15,7 m y un ancho de 440 cm.

a) utilice esta medidas para calcular el área del piso.

b) determine el número de cerámicos para piso de 30x30 cm, que se debe comprar para cubrirlo

totalmente.

c) si cada caja de cerámico contiene 1,57 m2, ¿cuántas cajas debe comprar?

17) Una habitación mide 4 m x 4 m y la altura del techo es de 25dm.

a) ¿Es posible tapizar por completo las paredes de esta habitación utilizando una resma de papel A4?

b) ¿Cuántas hojas le faltan o le sobran?

18) El radio promedio de la Tierra es 6,37x106 m y el de la Luna es de 1,74x108 cm. Con estos datos

calcule:

a) la proporción entre el área superficial de la Tierra y la de la Luna.

b) La proporción de volúmenes entre la Tierra y la Luna.

19) Un millonario ofrece 1000 millones de dólares en billetes de un dólar con la condición de

contarlos uno por uno. ¿Aceptaría su oferta? Suponga que cuenta un billete cada segundo, y

considere que necesita aproximadamente 8 horas diarias para dormir y comer, y que en la actualidad

probablemente tiene usted 18 años.

20) Una llave gotea agua a un recipiente a razón de 2 gotas cada 3 segundos. Un centímetro cúbico

contiene 20 gotas. ¿Cuál será el volumen de agua recogida, en decímetros cúbicos, al cabo de una

hora?

21) El record oficial de rapidez terrestre es de 1228,0 km/h, establecido por Andy Green el 15 de

octubre de 1997 en el auto de reacción Thrust SSC. Exprese esta rapidez en m/s; cm/s; km/min

22) Calcule su edad en segundos, en minutos y en horas.

- 25 -

23) El diamante tallado más grande del mundo es la Primera Estrella de África (montada en el cetro

real británico y guardado en la Torre de Londres). Su volumen es de 1,84 pulgadas cúbicas. Exprese

su volumen en centímetros cúbicos y en metros cúbicos.

24) La densidad de un material es igual al cociente entre su masa dividida y su volumen. ¿Qué

densidad tiene una roca de masa 1,80 kg y volumen 6,0x10-4 m3? Compruebe que la respuesta tenga

el número correcto de cifras significativas.

25) La energía en reposo E de un objeto con masa en reposo m está dada por la ecuación de Einstein

, donde c es la rapidez de la luz en el vacio cuyo valor exacto es 299.792.458 m/s=

2,99792459x108 m/s. Calcule E para un objeto con m=9,11x10-31 kg (la masa del electrón, con tres

cifras significativas). La unidad SI para E es el Joule (J); 1 J= 1 kg m2/s2.

26) Suponga que esta escribiendo una novela en la que el héroe huye a otro país con mil millones de

dólares en oro en una maleta. ¿Es posible esto? ¿Cabría tanto oro en una maleta? ¿Sería demasiado

pesado? Realice estimaciones de órdenes de magnitud. (Densidad del oro 19,3x103 kg/m3)

27) Considere un cubo de aluminio de 250 mm de arista.

a) Determine el área del cubo. Exprese el resultado en mm2, cm2 y m2.

b) Calcule en volumen del cubo. Exprese el resultado en mm3, cm3 y m3.

28) Considere un tanque cilíndrico que tiene 5 m de altura y 135 mm de radio. Determine cuantos

litros de agua pueden colocarse en él.

29) Una esfera maciza de 0,15 dam de radio debe cubrirse con un trozo de tela. Determine la

cantidad de tela necesaria para ello.

30) según la etiqueta de un frasco de mermelada, el volumen contenido es de 0,473 litros (L). Use

sólo las conversiones 1L = 1000 cm3 y 1 pulg = 2,53 cm para expresar dicho volumen el pulgadas

cúbicas.

31) ¿cuántos nanosegundos tarda la luz en viajar 1,00 km en el vacio? (c=3000000km/s)

32) La densidad del plomo es 11,3 g/cm3 ¿cuánto es esto en kilogramos por metro cúbico?

33) El motor más potente que había para el automóvil clásico Crevrolet Corvete Sting Ray modelo

1963 desarrollaba 360 caballos de fuerza y tenía un desplazamiento de 327 pulgadas cúbicas.

Exprese este desplazamiento en litros (L) (utilce las conversiones 1 L= 1000 cm3 y 1 pulg = 2,54 cm)

34) Resolver según se indica

a) 9603 m = ____ km ____ m, b) 661 cm = ____ m ____ cm, c) 529 cm = ____ m ____ cm

d) 9 km 448 m = ______ m, e) 0 km 911 m = ______ m, f) 10 cm 9 mm = ______ mm,

g) 6 m 45 cm = ______ cm, h) 2856 m = ____ km ____ m, i) 32 cm 8 mm = ______ mm,

j) 7 km 232 m = ______ m, k) 2630 m = ____ km ____ m, l) 165 mm = ____ cm ____ mm,

ll) 2 cm 9 mm = ______ mm, m) 687 mm = ____ cm ____ mm, n) 4 km 139 m = ______ m,

o) 22 cm 4 mm = ______ mm, p) 2 m 68 cm = ______ cm, q) 12 cm 8 mm = ______ mm,

r) 497 mm = ____ cm ____ mm, s) 576 cm = ____ m ____ cm, t) 66275 m = ____ km ____ m,

u) 156 cm 0 mm = ______ mm, v) 71779 m = ____ km ____ m, w) 507 cm = ____ m ____ cm

x) 26 cm 1 mm = ______ mm, y) 763 cm = ____ m ____ cm, z) 1722 mm = ____ cm ____ mm,

ab) 114 cm 9 mm = ______ mm, ac) 83 cm 9 mm = ______ mm, ad) 511 cm = ____ m ____ cm,

af) 21 km 314 m = ______ m, ag) 439 mm = ____ cm ____ mm ah) 1266 cm = ____ m ____ cm,

ai) 86 cm 4 mm = ______ mm, aj) 15413 m = ____ km ____ m, ak) 22 m 79 cm = ______ cm,

al) 1739 cm = ____ m ____ cm, am) 86478 m = ____ km ____ m, an) 22 m 68 cm = ______ cm,

ao) 16 m 37 cm = ______ cm, at) 840 mm = _____ cm, au) 399 mm = _____ nm,

av) 9.57 m3 = ______ cm3, aw) 5805 m = _____ km, ax) 18,8 cm2 = ______ mm2,

ay) 196 cm = _____ µm, az) 43 cm3 = ______ km3, ba) 850 cm = _____ m, bb) 931 cm = _____ dam,

bc) 240 mm2 = _____ nm2, bd) 4,06 m2 = ______ cm2, be) 9277 m2 = _____ km2,

- 26 -

bf) 870 hm = _____ cm, bg) 41,6 cm2 = ______ dam2, bh) 86,2 cm = ______ mm, bi) 4,86 m =___cm,

bj) 6857 Mm = _____ km, bk) 68 cm = _____ m, bl) 37.1 cm3 = ______ mm3, bll) 0,52 km2 =____m2,

35) El tiempo transcurrido desde que los primeros animales habitaron el mundo, sobre tierra seca, es

de unos 12.000.000.000.000.000 segundos. Expresar esta cantidad en notación científica, ¿cuál es el

orden de magnitud?

36) La velocidad de propagación de la luz en el vacío es igual para todos los cuerpos y colores: c =

(2,99774 ± 0,00001)x105 km/s. ¿cuál es el orden de magnitud?

37) Un rayo de luz tarda en atravesar el vidrio de una ventana, aproximadamente

1/100.000.000.000 segundos. ¿Qué tiempo tarda en atravesar un vidrio del doble que el anterior?,

comparar los ordenes de magnitud de ambos tiempos, ¿cuántos vidrios como el primero, deberá

atravesar, para que el orden de magnitud cambie?

38) Efectúe las siguientes conversiones: a) 24 mg → kg b) 8,6 cg → g c) 2.600 dm ³ → l

d) 92 cm ³ → m ³ e) 3 kg → g f) 3 kg → ng ; g) 9 cm → m h) 5 h → s i) 0,05 km → cm ..j) 135 s → h

39) ¿Cuántas cifras significativas tiene cada una de las siguientes cantidades?

a) 9 m, b) 90 km, c) 9000,0 cm, d) 0,009 s, e) 0,090 mm, f) 909 h, g) 0,00881 g, h) 0,04900 m,

i) 0,0224 min, j) 74,24 cm2

40) Exprese en forma decimal:

a) 3,59x10 ² m, b) 4,32x10-³ s, c) 3,05x10-5 nm, d) 5,29x105 µm,

e) 6,94x10¹ km, f) 0,05x10 ² cm; g) 1x108 m, h) 3,2x10-³ mm, i) 7,56x104 h, j) 0,00011x105 hm,

k) 3,58.10- ² m, l) 4,33x10³ nm, ll) 3,15x105 ml, m) 5,303x10-5 nm, n) 6,94x10-2 s, o) 0,003x10 ² km,

p) 6,02x1023 cm, q) 4,2x10³ h, r) 7,66x10-4 min, s) 235x10-5 mm2

41) Efectúe las siguientes operaciones:

a) 1,29x105 + 7,56x104; b) 4,59x10-5 - 6,02x10-6; c) 5,4x10 ²x 3,2x10-³

42) Exprese en notación científica:

a) 45,9 m, b) 0,0359 mm, c) 45.967.800,1 d) 0,0005976 mm2,

e) 345.690.000.000 s, f) 0,00011x105 cm, g) 4,59 m, h) 0,0035 mm, i) 45.900.800 h,

j) 0,0000597 cm, k) 345.700.000 h, l) 0,03x105 mm

43) Efectúe las siguientes conversiones:

a) 8 h → s, b) 0,0200 Mm → dm, c) 2.600 dm ³ → l, d) 1 dl → μl, e) 8 nm → mm, f) 5 kg → ng

g) 9 m ³ → l, h) 5 h → s, i) 0,05 km → m, j) 2 h 5 m 15 s → s

44) Considere una esfera hueca que tiene un pequeño orificio de 7 mm en la parte

superior como muestra la figura. Determine la cantidad de agua que cabe en ella.

Considere que el radio interior de la esfera es de 95 cm, el espesor de la misma es de 15 mm.

45) Dada la siguiente expresión: : donde v y v0 son velocidades y se expresan

en m/s; a es la aceleración y se expresa en m/s2; x y x0 son posiciones y se expresa en m.

Despeje cada una de las magnitudes (v0, a, x y x0) que intervienen en la expresión y realice el análisis

dimensional.

46) Dada la siguiente expresión:

: donde y e y0 son posiciones y se expresan

en m; v y v0 son velocidades y se expresan en m/s; g es la aceleración y se expresa en m/s2; t es

tiempo y se expresa en s.

- 27 -

Despeje cada una de las magnitudes (y0 , v0,, t y g) que intervienen en la expresión y realice el análisis

dimensional.

- 28 -

UNIDAD II.

Magnitudes escalares y Magnitudes vectoriales. Sistemas de Referencia Cartesianos

En este parágrafo estudiamos los entes matemáticos denominados vectores, para cuyo manejo

existe un álgebra vectorial. Para entender esta álgebra, conviene abstraerse de todo paralelismo con

respecto a las operaciones que estamos acostumbrados a realizar con números (escalares) y

considerar al vector como una entidad matemática diferente.

La razón fundamental del empleo del cálculo vectorial en el lenguaje físico, es que los fenómenos

físicos generalmente ocurren en el espacio tridimensional y, de no existir este cálculo, tendríamos

que escribir tres ecuaciones (una por cada dimensión) cada vez que manejáramos una magnitud

vectorial; el empleo del cálculo vectorial nos reduce estas tres ecuaciones a una sola, dando a

nuestro lenguaje más fluidez y simplicidad.

Es decir: cada vez que escribamos una ecuación vectorial, tendremos siempre presente que nos

representa tres ecuaciones.

Magnitudes escalares y vectoriales

“Una magnitud física es ESCALAR cuando queda determinada por un número real que expresa su

medida”. Su álgebra operacional es la de los números. Son ejemplo de estas magnitudes: el tiempo,

la masa, la temperatura, la presión, la energía, ...

“Una magnitud es VECTORIAL cuando en su determinación necesitamos, además de su medida

(módulo), una dirección y un sentido”. Son ejemplo de magnitudes vectoriales: el desplazamiento, la

velocidad, la fuerza, aceleración, cantidad de movimiento, momento de una fuerza, entre otras.

Aclaremos el significado de estos dos últimos conceptos: convenimos en que un haz de rectas

paralelas definen una misma dirección, aún podemos sobre una de ellas movernos en dos sentidos

distintos; asociando a ellos un signo, positivo o negativo; decimos entonces que la recta está

orientada, indicando con una flecha el sentido que acordemos sea positivo (los ejes de coordenadas

cartesianas son rectas orientadas).

En resumen: una recta orientada nos define una

dirección y dos sentidos.

Como ejemplo de una magnitud vectorial, supongamos

que un punto se mueve desde la posición O a la

Osiguiendo uno cualquiera de los caminos que

indicamos en la Fig. II.1.

Prescindiendo de la distancia escalar S que nos mide la

distancia de O a por cada trayectoria particular, la

variación de la posición del punto desde O a O´ es una

magnitud vectorial, llamada desplazamiento, que se representa mediante el vector , que no es más

que el segmento OO´ orientado de O hacia O´.

Obsérvese que la distancia recorrida por el punto varía según el camino recorrido, sin embargo, en

todos los casos su desplazamiento es el mismo.

Existe otro tipo de magnitudes para las que el carácter escalar o vectorial es insuficiente, y hay que

definirlas con un mayor número de condiciones (nueve en un espacio tridimensional). A éstas se les

O

O´

Figura II.1 Representación de un Vector

- 29 -

llama “Magnitudes Tensoriales”. Su nombre proviene de su primera aplicación que apareció en el

estudio de las “tensiones” producidas por fuerzas en medios continuos.

Por ejemplo: en un medio elástico e isótropo (sus características no dependen de la dirección), la

relación entre la fuerza aplicada, F, y la deformación producida, x, es lineal, F = Kx donde K es un

escalar; lo que significa que F y x son dos vectores paralelos. Sin embargo si el medio es anisótropo F

y x serán de distinta dirección, y para relacionarlos ya no basta con una K escalar, sino que ahora

debe ser un tensor que cambie el módulo y la dirección de x. El álgebra de los tensores escapa al

alcance de este curso de ingreso.

Representación de un vector

Los vectores se representan gráficamente por segmentos acabados en una punta de flecha. Queda

determinado su módulo por la longitud del segmento, su dirección por la de la recta a que pertenece

y su sentido por la punta de la flecha. Al origen del vector se le llama Punto de Aplicación.

La Unión Internacional de Física Pura y Aplicada (U.I.F.P.A.) emplea como notación para un vector, la

siguiente: representa las magnitudes vectoriales por letras negritas d, y la representación de su

módulo por la correspondiente letra cursiva d o bien por |d|.

Cuando se define un vector por su origen (O) y extremo (O´) se conviene en representarlo así: OO´o

también mediante la diferencia simbólica . Otra opción es representarlos como normalmente

se hace en un manuscrito o en la pizarra del aula, es decir, con la flecha indicativa de vector sobre la

letra que representa a la magnitud vectorial correspondiente.

Clasificación de los vectores. Criterios de igualdad

Los vectores pueden ser:

Libres cuando se pueden trasladar paralelamente a sí mismos a un punto origen arbitrario.

(Ejemplo: el momento de un par de fuerzas).

Deslizantes, cuando se pueden trasladar a lo largo de su dirección, es decir, que además de su

módulo, dirección y sentido, se fija su recta de posición, y se puede tomar cualquier punto de ella

como origen del vector. (Ejemplo: una fuerza);

Ligados, cuando su punto de aplicación, su dirección, y su sentido son fijos e invariables.

(Ejemplo: la intensidad del campo gravitatorio, eléctrico o magnético en un punto del espacio).

Dos vectores son Equipolentes cuando sus direcciones son paralelas y son iguales en módulo y

sentido.

También los vectores pueden clasificarse en Axiales y Polares.

Los vectores Polares tienen sentido propio inherente a su definición. Por ejemplo, la velocidad de un

móvil, la fuerza aplicada a un cuerpo, su

aceleración, etc. Los vectores Axiales (o

pseudovectores), no tienen sentido propio sino

que necesitan de un convenio para precisarlo. Es

el caso de la velocidad angular, del momento de

una fuerza respecto de un punto, de la inducción

magnética, etc. En el caso de la velocidad angular

de rotación el convenio que se establece para la

representación de tal vector es que su longitud

represente el módulo o medida de la magnitud

(en nuestro caso, número de radianes por segundo, por ejemplo) que su dirección sea perpendicular

Figura II.2. Representación de un Vector Axial

- 30 -

al plano en que se verifica el giro (Figura II.2) y cuyo sentido sea el de avance de un tornillo que girase

en el mismo sentido de la rotación considerada.

Teniendo en cuenta la primera clasificación que hemos hecho, establecemos el siguiente Criterio de

Igualdad de vectores:

Dos vectores libres son iguales si tienen los

mismos módulos, dirección y sentido (es decir

cuando son equipolentes, Figura II.3a); para que

sean iguales dos vectores deslizantes han de

pertenecer además a la misma recta soporte

(Figura II.3b); y en el caso de vectores ligados

deben estar también aplicados en el mismo

punto (Figura II.3c), es decir, un vector ligado

sólo puede ser igual a sí mismo.

Coordenadas cartesianas.

Para el estudio de cualquier fenómeno físico

necesitamos un sistema de referencia, la forma más

simple empleada es el de coordenadas cartesianas

ortogonales. Para establecer éste, la idea esencial

inventada por René Descartes (1596-1650), es la

identificación del conjunto de los puntos que componen

una línea recta, que llamaremos X, con la totalidad de

los números reales; definiendo sobre ella un “origen” O

que divide a la recta en dos semirrectas a las que daremos el signo positivo y negativo (Figura II.4).

Si convenimos en llamar “unidad” a la longitud del segmento OA y consideramos al segmento OP,

también sobre la semirrecta positiva, entonces al punto P le asociamos el número real: x = OP/OA;

decimos entonces que “x es la coordenada del punto P”. La coordenada de un punto Q situado en la

semirrecta negativa, le corresponde el número real: x = OQ/OA.

Esta asociación del conjunto de los puntos X con el conjunto de los números reales constituye un

Sistema Coordenado del Espacio Unidimensional formado por los puntos de X.

Observe que a cada punto de la recta X le corresponde uno y sólo uno de los números reales, y

recíprocamente.

Un paso más adelante es establecer una relación

entre los puntos del plano y el conjunto de los

números reales, para lo cual se toman dos rectas X e

Y que se cortan ortogonalmente en un punto O, y

cuyos sentidos positivos indicamos en la Figura II.5.

Un par de tales rectas con unidades de longitud OA y

OB forman los que llamamos Ejes Cartesianos

Ortogonales (si no se cortan ortogonalmente el

sistema se llama Cartesiano Oblicuo).

A cada punto P del plano le asociamos una pareja

ordenada de números reales (x, y); x corresponde al

número real asociado al punto M tal y como dijimos

anteriormente; el punto M se obtiene trazando la

recta paralela al eje Y por P, y es el punto de corte

a) b) c)

Figura II.3 Criterios de igualdad de vectores

- +

X O A P

x

Figura II.4 Correspondencia entre los puntos de una recta y los números reales.

Q

N

M O

B

A X

Y

+

P (x,y)

Figura II.5 Localización de un punto en un sistema cartesiano bidimensional. Convenio de sentido positivo en la rotación.

- 31 -

entre ésta y el eje X. La recta paralela al eje X trazada por P corta en N al eje Y, a N le corresponde el

número real y.

El par ordenado de números (x, y) son las coordenadas de P en el plano y la correspondencia

biunívoca de parejas ordenadas de números con el conjunto de puntos del plano XY es el Sistema

Coordenado Ortogonal Bidimensional constituido por los puntos del plano.

Si consideramos a una partícula moviéndose en el plano XY en trayectoria circular, como se indica en

la Figura II.5, observamos que son dos los posibles sentidos de rotación, convenimos en admitir como

positivo el correspondiente al movimiento en sentido contrario a las agujas del reloj, de acuerdo con

lo que normalmente se hace en los textos de Física; pero no es necesario que éste sea siempre el

convenio elegido y por ello las definiciones de operaciones vectoriales y las fórmulas para su cálculo

se establecen independientemente del sentido de rotación elegido.

La extensión a la representación de puntos en el espacio tridimensional es inmediata: escogemos

primero un origen O, por él pasamos tres

planos perpendiculares entre sí, las rectas de

intersección de estos planos son también

ortogonales entre sí y se les llama Ejes de

Coordenadas X, Y, Z. Para asociar al punto P

tres números hacemos pasar por P tres

planos ortogonales entre sí que sean a su vez

normales a los planos de referencia,

interceptarán a los ejes X, Y, Z en los puntos

M, N y R a los que corresponden tres

números reales x, y, z.

La terna ordenada de números (x, y, z) son

las coordenadas de P en el espacio, y la correspondencia biunívoca de ternas ordenadas de números

con el conjunto de puntos del espacio XYZ es el Sistema de Coordenadas del Espacio Tridimensional

constituido por los puntos del espacio.

Al triedro que aparece en la Figura II.6 se le llama Triedro Trirrectángulo Positivo o Dextrógiro; se

conviene en que un triedro cualquiera será positivo cuando podamos llevarlo a coincidir con el de la

figura mediante movimientos rígidos. Otro convenio más general para caracterizar los triedros

positivos es: si hacemos girar a la parte positiva del eje X en el plano XY, alrededor del eje Z, hasta

hacerlo coincidir con la parte positiva del eje Y a través del menor ángulo entre X e Y, ese

movimiento produce al eje Z una rotación tal que un sacacorchos colocado en él, avance en la

dirección positiva del eje Z; tales sistemas positivos son los que por convenio se consideran; pero ya

sabemos que no es necesario que sea siempre ésta la forma de proceder.

La razón por la que tenemos que abandonar el convenio de las agujas del reloj establecido en el

plano es que al observar un giro en un plano desde el espacio, el observador puede encontrarse en

dos semiespacios diferentes, determinados

por el plano en que gire la partícula, y

observadores en los semiespacios A y B no

podrán ponerse de acuerdo sobre cual es el

sentido positivo o negativo con el criterio

del reloj y si se pondrán de acuerdo con los

sentidos de giro establecidos en el párrafo

anterior (Figura II.7).

X

Z

Y O

R

M

N

P (x,y,z)

Figura II.6 Localización de un punto en un sistema cartesiano tridimensional positivo. Triedro positivo.

B

+

Figura II.7. Semiespacios determinados por un plano

A

- +

-

- 32 -

Componentes coordenadas de un vector

En el espacio tridimensional hemos definido un punto

por tres coordenadas (x, y, z). Definimos lo mismo

mediante un vector r =r(x, y, z) llamado Vector de

Posición, a la terna ordenada de números (x, y, z) los

llamamos Componentes Coordenadas del vector y le

asociamos un único símbolo matemático r (Figura II.8).

Si utilizamos un sistema de coordenadas diferente, los

tres números cambian a (x´, y´, z´), sin embargo, el

vector r es el mismo en ambos sistemas. Lo que

queremos decir es que la definición de vector

permanece invariante o independiente del sistema de

coordenadas elegido.

Tomando el sistema X, Y, Z, y dándole carácter

vectorial a x, y, z (proyecciones ortogonales de r sobre

los ejes), indicaremos r de la forma:

El sentido físico de esta igualdad es: suponiendo que r fuera un efecto (una fuerza por ejemplo), no

se afirma que r es la suma numérica de sus componentes, sino que el efecto físico que produce r es

el mismo que el efecto de x, y, y z actuando simultáneamente. Las componentes tienen por valor:

, , (1)

son los ángulos que forma r con cada uno de los ejes. A sus cosenos se les llama Cosenos

Directores. El módulo de r (diagonal del paralelepípedo construido con x, y, z como lados) es:

√

Si elevamos al cuadrado las

igualdades (1) y sumamos, obtendremos:

Si el vector viene dado por las coordenadas de su origen A(x, y, z) y de su extremo B(x´, y´, z´),

entonces las componentes coordenadas del vector AB (Figura II.9) serán: (x´-x, y´-y, z´-z).

Álgebra Vectorial

X

Z

Y O

P (x,y,z)

Figura II.8 Componentes coordenadas de un vector

X

Z

Y O

A(x,y,z)

B(x´,y´,z´)

Figura II.9 Componentes coordenadas de un vector

- 33 -

Una vez establecido el criterio de igualdad de vectores, vamos a estudiar algunas operaciones

vectoriales referidas a vectores libres. Las conclusiones que se obtendrán son también aplicables a

vectores deslizantes cuyas rectas soporte se cortan y a vectores ligados con el mismo punto de

aplicación.

Suma de vectores libres

Físicamente, sumar vectores, representantes de una misma magnitud, es hallar un tercer vector de la

misma naturaleza que produzca los mismos

efectos que producirían los vectores sumandos

actuando simultáneamente.

La suma de dos vectores libres se define

mediante la siguiente construcción gráfica: Sean

los vectores v1=AB y v2= CD (Figura II.10), si

desde el extremo del primero, B, trazamos el

vector BE equivalente al segundo, definimos el

vector suma como el que tiene por origen el

primero, A, y por extremo el del segundo, E.

Componentes rectangulares

Analíticamente la suma de vectores se realiza en

función de sus componentes. Estudiamos el caso

sencillo de dos vectores en dos dimensiones.

Si s = v1 +v2 , siendo v1= x1 + y1 y v2 = x2 + y2 ,

entonces s = x + y +z, donde:

;

lo cual se observa en la Figura II.11.

El resultado es generalizable a tres dimensiones:

si ,

siendo v1= x1 + y1 +z1 y v2 = x2 + y2 +z2, entonces

, donde (Figura II.12):

“Las componentes cartesianas del vector suma se

obtienen sumando algebraicamente las

correspondientes componentes de los

sumandos”.

El módulo del vector suma será:

√

y sus cosenos directores:

D

C

A

E

B

Figura II.10 Definición de suma de vectores libres.

Y

X

O

Figura II.11 Suma de dos vectores coplanares en función de sus componentes.

Z

Y

X

Función II.12 Suma de dos vectores en función de sus componentes en tres dimensiones.

- 34 -

Es importante resaltar la diferencia existente entre las expresiones s = v1 +v2 y s=v1 + v2. La primera

expresa que el efecto físico que produce s es el mismo que el de v1 y v2 actuando a la vez.

La segunda, referida a los módulos, sólo es cierta si ambos vectores sumandos son paralelos y del

mismo sentido.

Para expresar, en general, la relación existente entre el

módulo del vector suma y los módulos de los vectores

sumandos, consideremos los vectores v1 y v2 de la Figura

II.13, que forman entre sí el ángulo ; de ella se obtiene

las siguientes relaciones:

Esta expresión se conoce como Teorema del Coseno.

De donde:

√

Casos Particulares:

1. En el caso de que los vectores tengan la misma dirección y sentido (Figura II.14a) el ángulo es cero

y su coseno la unidad; por tanto:

√

√

y el módulo de s es la suma de los módulos. Único caso en que la suma vectorial coincide con la suma

de los módulos.

2. En el caso de que los vectores tengan la misma dirección y sentido

contrario (Figura II.14b) el ángulo j es 180º y su coseno es .1:

y el módulo de s es la diferencia de los módulos.

3. Si los vectores son perpendiculares, = 90º, entonces:

o bien,

Para obtener la dirección de s, bastará con determinar el valor de en la

Figura II.13, en la que se obtiene:

A O

D

B

C

Figura II.13 Para calcular el módulo del vector suma en función de los módulos de los sumandos

Figura II.14 Casos particulares de suma de vectores

√

√

√

- 35 -

Esta última relación se conoce como Teorema del seno

Diferencia de vectores. El vector Diferencia entre y , se obtiene sumando a el negativo de Resumen.

Métodos para sumar vectores

Métodos Gráficos

Los métodos gráficos requieren trazar los vectores a escala y utilizar regla y transportador para

indicar dirección y módulo. El método del Paralelogramo se emplea para sumar sólo dos vectores y el

método del polígono (o poligonal) para sumar dos o más vectores.

Método del Paralelogramo

Consiste en colocar los vectores de forma que coincidan los puntos de aplicación de los dos vectores

y formar un paralelogramo con la proyección de estos vectores en los lados opuestos. El vector suma

(Resultante R) se obtendrá de la diagonal del paralelogramo que se ha formado.

Método del Polígono.

Consiste en colocar los vectores uno a continuación del otro y así sucesivamente hasta que todos los

vectores estén presentes.

El vector suma

(Resultante) se obtiene

trazando el vector que

va del origen del

primero al extremo del

último vector.

Métodos Analíticos

Los métodos analíticos son el método de componentes para 2 o más vectores y el método del

triángulo (una variación del método poligonal donde se requiere emplear métodos trigonométricos

para resolver las incógnitas) para dos vectores.

Método del Triángulo

Como se observa en la figura Los vectores A y B se colocan de forma que coinciden sus puntos de aplicación.

Clasificación de los métodos

para sumar vectores

Métodos Gráficos

Métodos Analíticos

Método del Paralelogramo

Método del Polígono

Método de Componentes Rectangulares

Método del Triángulo

O

B

A R

A B

C

D

A

B C

D

R= A + B + C+ D

A

B

A

B

R= A + B

- 36 -

Se aplica el método del polígono (un vector a continuación del otro) y luego se trabaja con el

triángulo que se forma al trazar la resultante.

Si el triángulo es rectángulo:

Se pueden aplicar las

funciones trigonométricas

y el teorema de Pitágoras

para determinar la

resultante y el ángulo que

nos indica su dirección.

Si el triángulo es oblicuo:

Un triángulo oblicuo es cualquier triángulo que no sea recto. Para poder obtener la Resultante y

su dirección debe

obtenerse por

medio de la ley de

cosenos y la ley de

los senos,

enunciados a

continuación.

Teorema del Coseno:

Permite encontrar cualquier lado de un triángulo, si conoces los otros dos y el ángulo opuesto al lado

que quieres determinar.

Teorema del Seno: En cualquier triángulo se verifica que las

longitudes de los lados son proporcionales a los senos de los

ángulos opuestos. Expresado en función del triángulo de la figura

Método de las Componentes

Cualquier Vector se puede descomponer en dos o más componentes, esto es, si fuese un vector

fuerza, puede ser reemplazada por dos

o más fuerzas que originen el mismo

efecto sobre la partícula.

Se dice que la fuerza se ha

descompuesto en dos componentes

rectangulares si sus componentes Fx y

Fy son perpendiculares entre sí y están

dirigidos a los largo de los ejes coordenados

Pasos para Aplicar el Método de las Componentes

1. Dibuje todos los vectores a partir del origen en un sistema coordenado

2. Descomponga todos los vectores en sus componentes "X" y "Y". (Nota: Recuerde tomar en

cuenta la dirección negativa o positiva de los componentes)

3. Encuentre la componente "X" de la resultante sumando los componentes "X" de todos los

vectores. Rx= Ax+Bx+Cx ,

A

C

B

b

a

c

F

x

y

Fy

Fx

A

B

C

a

b

c

- 37 -

La resultante en la dirección X (horizontal) es la sumatoria de todas las fuerzas en la

dirección x.

4. Encuentre la componente "Y" de la resultante sumando los componentes "Y" de los vectores.

Ry= Ay+By+Cy

La resultante en la dirección y (vertical) es la sumatoria de todas las Fuerzas en la dirección y.

5. Obtenga la magnitud y dirección de la resultante a partir de dos vectores perpendiculares,

aplicando el teorema de Pitágoras y la función

trigonométrica tangente.

En símbolos:

Haciendo:

,

se calcula el ángulo alfa que forma la resultante con el eje X,

(

) ,

Guía de Ejercitación N° 2.

1) Un empleado postal conduce su camión por la ruta

que se muestra en la figura.

a) Determine la magnitud y dirección del

desplazamiento resultante en un diagrama a escala.

b) Utilice el método de componentes rectangulares

para determinar la magnitud y dirección del

desplazamiento resultante.

c) Muestre que ambos resultados coinciden

cualitativamente.

2) Con los vectores A y B de la figura, utilice un diagrama a escala

para obtener la magnitud y dirección de a) la resultante ;

b) la diferencia .

Con base en sus respuestas de a) y b), deduzca de c) ; d)

Repita los apartados anteriores utilizando el método de

componentes rectangulares.

3) Escriba los vectores de la figura en términos de los vectores unitarios i y j

Rx = Σ Fx ← Sumatoria en X;

Ry = Σ Fy ← Sumatoria en Y

R2

= Rx2 + Ry

2 Pitágoras

A

B

C

x

y

- 38 -

4) Dados los vectores y , a) calcule las magnitudes de cada

vector; b) escriba una expresión para usando vectores unitarios; c) obtenga la magnitud y

dirección de ; d) en un diagrama vectorial represente , y .

5) Dados los vectores a, b, c, d, e, y f, demostrar analíticamente cuales de las siguientes afirmaciones

son verdaderas.

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

6) Un explorador camina 4 km hacia el Este y después camina 8 km hacia el Norte. a) Encuentre su

posición final, gráfica y analíticamente. (R. 8,94 km, 63,4° NE)

7) Un agrimensor inicia su tarea en la esquina sudeste de un terreno y registra los siguientes

desplazamientos: A= 600 m al Norte, B= 400 m al Oeste, C= 200 m al Sur y D= 100 m al Este. ¿Cuál es

el desplazamiento neto desde su punto de partida? (R. 500 m, 126,9°)

8) Una embarcación navega una distancia de 200 m al Oeste, después avanza hacia Norte 400 m y

finalmente 100 m a 30° SE. ¿Cuál es su desplazamiento neto?

9) Un trineo es arrastrado con una fuerza de 540 N y su dirección forma un ángulo de 40° con

respecto a la horizontal. ¿Cuáles son sus componentes horizontal y vertical?

10) Un río fluye hacia el Sur a una velocidad de 20 km/h. Una embarcación desarrolla una rapidez

máxima de 50 km/h en aguas tranquilas. En el río descripto, la embarcación avanza a su máxima

velocidad posible hacia el Oeste. ¿Cuáles son la velocidad y la dirección resultantes de la

embarcación? (R. 53,8 Km/h; 21,8° SO)

11) Encuentre la resultante de las siguientes fuerzas perpendiculares: F1= 400 B, 0°; F2= 820 N, 270°;

F3= 500 N, 90°. (R. 512 N, 321,3°)

12) Calcule la resultante de las siguientes fuerzas aplicando el método de componentes para efectuar

suma de vectores: A= (200 N, 30°), B= (300 N, 330°) y C= (400 N, 250°).

13) Un muelle de pescadores se extiende de Norte a Sur. ¿Cuál deberá ser la velocidad de una

embarcación que avanza a un ángulo de 40° EN para que su componente de velocidad a lo largo del

muelle sea de 30 km/h.

14) Si un vector forma con los ejes X e Y ángulos de 60° y tiene de módulo 4 unidades. Calcular:

a) Sus componentes coordenadas. b) Ángulo que forma con el eje Z.

15) Se tienen dos fuerzas coplanarias y concurrentes cuyos módulos son: F1= 5 y F2= 7 , que

forman respectivamente los siguientes ángulos con el eje OX: 60° y -30°. Calcular: a) La fuerza

resultante. b) Su módulo. c) Ángulo que forma con el eje OX.

16) Dados los vectores a (2, 4, 6) y b (1, .2, 3). Calcular: a) El vector suma a + b, su módulo y cosenos

directores. b) El vector diferencia a - b.

- 39 -

UNIDAD III

Introducción a la Cinemática

Se denomina Cinemática a la parte de la Física que estudia el movimiento de los cuerpos sin tener en

cuenta las causas que lo producen. El caso más simple es el movimiento de una partícula a lo largo de

una línea recta.

Una partícula es un objeto cuya posición puede describirse por un sólo punto. Un objeto adquiere la

categoría de partícula cuando sus dimensiones pueden ser despreciadas con respecto a las de los

otros objetos que intervienen en el fenómeno en estudio. Por ejemplo, la Tierra dentro del Universo

es una partícula.

Movimiento. Un cuerpo se encuentra en movimiento cuando su posición con respecto a otro cuerpo,

elegido arbitrariamente como referencia, cambia al transcurrir el tiempo.

La descripción de un movimiento es relativa a la elección de los cuerpos de referencia. Así, para

poder hablar del movimiento de un cuerpo es necesario ante todo, decir con respecto a que se

mueve o sea fijar un sistema de referencia.

El modo más sencillo de especificar la posición de una partícula móvil sobre una línea recta consiste

en:

a) elegir un punto cualquiera de la recta como

origen del sistema de referencia,

b) indicar los semiejes, (+) y (-), y

c) determinar la abscisa x, midiendo el segmento

, teniendo en cuenta la unidad y asignando

signo (+) ó (-), según que pertenezca al semieje (+) ó (-).

De acuerdo a la Figura III.1 la abscisa x, que también se llama coordenada x de la posición de P, es

igual a + 2 Km.

Trayectoria. Una vez fijado el sistema de referencia, se determina la trayectoria de una partícula,

entendiéndose por tal al conjunto de los sucesivos e infinitos puntos del espacio que va ocupando la

partícula móvil en el transcurso del movimiento. Según la forma de la trayectoria el movimiento será

rectilíneo, circular, parabólico, etc.

Intervalo de tiempo. Se define como intervalo de tiempo t a la diferencia (siempre positiva):

Así, es el tiempo transcurrido entre los instantes t1 y t2. Por lo general es conveniente

elegir t1 igual a cero, que el momento en que comienza a realizarse el estudio de un fenómeno

coincida con el momento en que se pone en marcha el cronómetro utilizado para medir el tiempo.

Desplazamiento. Si una partícula se mueve en un intervalo , desde la posición x1 a la

posición x2, se define el desplazamiento como la

correspondiente variación de la coordenada

posición en ese intervalo.

O sea:

El desplazamiento es positivo si x2 es mayor que

x1 y es negativo si x2 es menor que x1.

Por ejemplo:

-1 1 0 2 x (km)

O P

Figura III.1

-1 1 0 2 x (km)

Figura III.2

-2

O O´ P´ P

- 40 -

Los desplazamientos OP y O´P´, en la Figura III.2, son positivos y exactamente equivalentes.

Los desplazamientos OP y O´P´, en la Figura III.3,

son negativos y exactamente equivalentes.

El desplazamiento, además, no es necesariamente

la medida del camino recorrido por el móvil: el camino recorrido es la suma de las distancias

parciales en un desplazamiento dado, mientras que el desplazamiento sólo relaciona la posición final

e inicial.

Velocidad Media. El objetivo de la Cinemática es obtener la ecuación que relaciona a la posición con

el tiempo, es decir encontrar la función x= f(t), en el caso unidimensional, denominada ecuación

horaria del movimiento y que permite conocer la posición del móvil en cualquier instante.

Si las posiciones del móvil en los instantes t1 y t2 son x1 y x2, se

define como velocidad media al cociente entre la variación de la

posición, es decir el desplazamiento x, y el intervalo de tiempo

t en que se produjo esa variación:

12

12

tt

xx

t

xvm

En el gráfico x= f(t) de la Figura III.4, considere la pendiente de la

recta que une los puntos P1 y P2 del gráfico (recta secante). Dicha

pendiente representa la velocidad media en el intervalo t.

Entonces:

mvtt

xx

t

xpendiente

12

12

La unidad de la velocidad media se obtiene como el cociente entre una unidad de longitud y una

unidad de tiempo.

El signo de la velocidad media coincide con el signo del

desplazamiento, el que decimos esta asociado al sentido del

movimiento. Un valor positivo de la velocidad media indica que el

movimiento de la partícula es en sentido de la coordenada

creciente y un valor negativo indica un retroceso de la partícula.

A menos que la velocidad sea constante, la velocidad media

dependerá del intervalo de tiempo escogido. Si tomamos un

intervalo menor de tiempo, escogiendo t2 más próximo a t1, la

velocidad media será menor, según indica la menor pendiente de

la recta que une los puntos P1 y P´2. Figura III.5

La velocidad media definida a partir del desplazamiento no guarda relación con la realidad, en la

medida en que el desplazamiento no coincide con la trayectoria. Por este motivo es conveniente

introducir una nueva magnitud que se adecue a las necesidades prácticas.

Velocidad Instantánea

-1 1 0 2 x (km)

O P

Figura III.3

-2

O´ P´

x

t

Figura III.4 Velocidad media

x

t

Figura III.5 Velocidad media

- 41 -

Supongamos que una partícula se esta moviendo de modo tal que la velocidad media medida en

diferentes intervalos de tiempo no sea constante. Decimos, que se mueve con velocidad variable.

Ahora bien, ¿cómo varía la velocidad punto a punto o dicho de otro modo, en cada instante de

tiempo?

Cuando menor sea la distancia x que dos posiciones,

menor será el tiempo empleado en recorrerla, t . La

condición ideal para obtener el valor exacto de la velocidad

instantánea sería que t2 y t1 fuesen tan próximos que

prácticamente coincidiesen con t.

En tal caso decimos que el intervalo tiende a cero

y no se apreciaría diferencia entre el valor del

cociente obtenido para dicho intervalo y el obtenido parea

un intervalo menor.

A partir del razonamiento anterior, se define a la velocidad

como el valor hacia el que se aproxima el cociente

cuando

Al hacer este cálculo, el cociente tiende a un valor finito. Decimos que es el valor límite de la

expresión

:

esta expresión se lee “límite cuando delta de t tiende a cero de delta de x sobre delta de t”, o bien:

Si analizamos gráficamente lo que sucede a medida que el intervalo de tiempo disminuye, notaremos

que la velocidad instantánea esta representada por la pendiente de la recta tangente a la gráfica x(t),

en un punto (x,t), Figura III.6.

Aceleración.

Cuando la velocidad de una partícula cambia con el tiempo, se dice que la partícula esta acelerada .

Por ejemplo, le velocidad de un automóvil aumentará cuando usted “le pise el acelerador” y

disminuirá cuando aplique los frenos. Sin embargo, es necesaria una definición más precisa de

aceleración:

Supóngase que una partícula que se mueve a lo largo del eje x a una velocidad v1 al tiempo t1 , y a

una velocidad v2 al tiempo t2.

Entonces la aceleración (media o promedio) esta dada por la siguiente expresión: 12

12

tt

vv

t

va

La aceleración tiene dimensiones de longitud dividida por tiempo al cuadrado, o [ ]

[ ] . Algunas de las

unidades comunes de la aceleración son m/s2 ; km/h2, cm/s2.

De la misma forma que con la velocidad se pueden emplear los signos positivo y negativo para

indicar el sentido de la aceleración cuando el movimiento que se analiza es unidimensional.

Movimiento Rectilíneo con Velocidad Constante, Movimiento

Rectilíneo Uniforme, (M.R.U.)

Es el tipo más sencillo de movimiento, la trayectoria es una recta y la

velocidad, constante. Es decir que en un M.R.U. una partícula realiza

desplazamientos iguales en intervalos de tiempo iguales, por lo tanto

los desplazamientos x son proporcionales al intervalo de tiempo t.

O sea:

x

t

Recta secante

Recta tangente

Figura III.6 Velocidad media y velocidad instantánea

x

t

Figura III.7 Posición en función del tiempo en el MRU

- 42 -

Considerando el intervalo de tiempo [ ], donde t es un instante cualquiera, podemos escribir:

Si es la posición en el instante , entonces:

Esta igualdad se llama ecuación horaria del M.R.U.

En consecuencia las constantes del movimiento son la posición inicial, x0, y la velocidad, v.

Si el móvil pasa por el origen del sistema de referencia cuando se empieza a cronometrar el tiempo,

es decir para t= 0, , la ecuación anterior resulta:

y la gráfica x= f(t) correspondiente pasa por el origen O. Como se muestra en la Figura III.7

Como en este movimiento la velocidad es constante, para cualquier valor de tiempo la velocidad es la

misma. En consecuencia si graficamos la v= f(t), obtenemos la gráfica de la Figura II.8; es decir una

recta paralela al eje de los tiempos.

Obtención del Desplazamiento a partir del gráfico v(t).

Analizando el gráfico de la Figura III.8, vemos que desde el punto de vista geométrico el producto v

t equivale al “área” del rectángulo comprendido entre el gráfico y

el eje de los tiempos. "Área", entre comillas porque si la base del

rectángulo esta dada en horas y la altura en Km/h, entonces el área

tiene unidades de: *

+ [ ]

De esta manera podemos obtener el desplazamiento o variación de

la posición x en un intervalo t como el área bajo la curva v(t).

Al calcular el área comprendida entre la curva v= f(t) y el eje t

debemos tener en cuenta que cuando la velocidad es negativa v t

también es negativo, por tanto en las porciones de una curva v(t) que se encuentran debajo del eje t,

el área es negativa. Para hallar el desplazamiento total debe sumarse cada parte con el signo

adecuado.

Guía de Ejercitación N° 3.

1) Una partícula se desplaza siguiendo una trayectoria rectilinea y pasa sucesivamente por los puntos

fijos: A, B, C, D y E. A B C D E

a) Elija un sistema de referencia (si lo considera necesario) y gradúelo correspondientemente. Dibuje

los vectores posición de cada punto y obtenga (mida, calcule, etc.) el módulo, las componentes,

dirección y sentido de cada uno de ellos. ¿Debe obtener necesariamente los mismos valores que sus

compañeros SI/ NO. ¿Por qué?.

b) Cuando la partícula se desplaza de B a D. ¿Cuánto se desplaza?. Indique como hace el cálculo.

c) ¿Clasificaría a los desplazamientos dentro de las magnitudes vectoriales?. ¿Por qué?.

d) La partícula que se estudia, se desplaza rápidamente o lentamente?. ¿Puede contestar?. SI/NO.

¿Por qué?

e) Clasificaría el tiempo como una magnitud vectorial?. ¿Por qué?.

2) En una experiencia de laboratorio se obtuvieron los siguientes valores para la posición y el tiempo

de un móvil:

v

t

Figura III.8 Velocidad en función del tiempo en el MRU

- 43 -

0 m 1 m 2 m 3 m 3.5m 4 m 5 m 6 m

0 s 2 s 3 s 4 s 6 s 8 s

posición

tiempo

a) Represente gráficamente x= f(t).

b) Exprese en m/s y en cm/s la velocidad del móvil. ¿Qué tipo de movimiento lo anima?.

c) Escriba la ecuación horaria, x= f(t), para este movimiento, reemplazando los parámetros por sus

valores correspondientes.

3) Calcule la pendiente de las siguientes rectas y expréselas en las unidades correspondientes

0.25 0.50 1.00

10

20

30

40

0

x (m)

t( min) 1 2 3 4 5

2

4

6

8

10

x (Km)

0t (s)

2 4 8

2

4

0

x (km)

t( h)

-2

-4

6

2 4 6 8 100

3

6

9

12

x (m)

t (s)

2 4 6 8 10

0

3

6

9

12

x (cm)

3

6

9

t (s) x10-1

-45

-30

-15

x (mm)

2 4 60 t (s) x10-3

a) ¿Qué representa la pendiente de cada una de las gráficas?

b) ¿De estos gráficos, puede obtener información sobre cual de los movimientos es más veloz?

Indique cuál de ellos lo es.

c) Especifique el sentido de cada uno de los movimientos indicando, además, la posición inicial del

móvil, es decir X para t= 0s?.

d) Escriba la ecuación horaria de cada uno de los movimientos

e). Obtenga la gráfica v= f(t).

4) Un cuerpo recorre una trayectoria rectilínea con velocidad constante. En los instantes t1= 0.5s y

t2= 4s sus posiciones x1= 3.5 cm y x2= 21 cm. a) Determinar la velocidad del móvil, el sentido del

movimiento y su posición en t= 0s. b) Escriba la ecuación horaria correspondiente a este movimiento.

c) Determine la posición del cuerpo en el instante t3= 2.5s. d) Represente gráficamente la posición

del móvil y su velocidad en función del tiempo.

5) Sabiendo que la estrella -Centauro (la más próxima a nosotros después del Sol) se encuentra de

la Tierra a 4,04x1013 km, calcular el tiempo que tarda la luz de a-Centauro en llegar a la Tierra.

Exprese el resultado en horas, en minutos y en segundos.

6) La distancia mínima a que debe estar un muro para que se produzca eco al emitir enfrente de él

una sílaba, es de 17 m; el mínimo tiempo para que se perciban dos sílabas distintamente es 0,1 s

(poder separador del oído medio). Calcular con estos datos la velocidad de propagación del sonido

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en el aire, teniendo en cuenta que el sonido va y vuelve en el trayecto de 17 m. ¿Cuál es el valor de

una velocidad «supersónica» en km/h?

7) A las 8 hs pasa por la localidad A un automóvil con movimiento uniforme a 80 km/h. Dos horas

después pasa otro en su persecución a 120 km/h. Calcule a qué hora y a qué distancia de la localidad

A, el segundo automóvil alcanza al primer.

8) A las 8 hs pasa por la localidad A un automóvil (M) a 80 km/h que se dirige a otra localidad B

distante 710 km en línea recta. Dos horas después pasa por B otro vehículo (N) a 120 km/h en

dirección a la localidad A. Calcule a qué hora se encuentran y a qué distancia de la localidad A.

9) Dos móviles marchan en sentidos contrarios, dirigiéndose el uno al encuentro del otro con las

velocidades de 4 y 5 cm/s respectivamente. Sabiendo que el encuentro tiene lugar a 1,52 m, de la

posición de partida del primero, determinar la distancia entre los móviles al comenzar el movimiento

y el tiempo transcurrido hasta que se encontraron.

10) El gráfico de la figura nos representa el movimiento realizado por un móvil en trayectoria recta.

a) Interpretar y clasificar su movimiento. b) Determinar el desplazamiento en cada intervalo de

tiempo. c) Calcule la distancia total recorrida.

11) Dos móviles pasan simultáneamente, con movimiento rectilíneo y uniforme, por dos posiciones A

y B distantes entre si 3 Km, con

velocidad 64 Km/h y 26 Km/h

respectivamente, paralelas al

segmento AB y del mismo sentido.

Hallar analítica y gráficamente la

posición del encuentro.

12) Dos móviles pasan

simultáneamente con

movimiento rectilíneo uniforme,

por dos posiciones A y B distantes

entre si 60 Km, con velocidades

de 36 Km/h y 72 Km/h respectivamente, paralelas al segmento AB y de sentidos opuestos. Hallar

analítica y gráficamente la posición y el instante del encuentro.

Bibliografía

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A B

3 km

A B

60 km