Curso de Matemática Básica-portal (1)

8/16/2019 Curso de Matemática Básica-portal (1)

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Curso de Matemática Básica – Prof: Marco Tadeu Gonç[email protected]

CURSO DE MATEMÁTICA BÁSICA

CONTEÚDOS BÁSICOS PARA UM MELHORDESENVOLVIMENTO NA DISCIPLINA DE MATEMÁTICA

Prof: Marco Tadeu Gona!"e#

mailto:[email protected]:[email protected]


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CAMPO MOUR$O% &'()

2



3/21


*NDICE

(+ CON,UNTOS NÚM-RICOS......................................................................................................................31.1 CON,UNTO DOS NÚMEROS NATURAIS .N/.................................................................................3(0& CON,UNTO DOS NÚMEROS INTEIROS .1/...............................................................................3

(02 CON,UNTO DOS RACIONAIS .3/....................................................................................................3(0) CON,UNTO DOS IRRACIONAIS .I/..................................................................................................3(04 CON,UNTO DOS NÚMEROS REAIS .R/.........................................................................................3

& 5 M6DULO OU VALOR ABSOLUTO.......................................................................................................42 5 NÚMEROS OPOSTOS OU SIM-TRICOS E INVERSO DE UM NÚMERO0...................................4) 5 OPERA78ES COM NÚMEROS RELATIVOS.....................................................................................44+ OPERA78ES COM DECIMAIS................................................................................................................59 5 EPRESS8ES NUM-RICAS..................................................................................................................6; 5 POTENCIA7$O.........................................................................................................................................7

;0( Reenc?a@o.......................................................................................................................7

3



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(+ CON,UNTOS NÚM-RICOS

1.1 CON,UNTO DOS NÚMEROS NATURAIS .N/

O conjunto dos números naturais é formado por todos osnúmeros inteiros positivos junto com o zero.

N'%(%&%2%)%4%000

(0& CON,UNTO DOS NÚMEROS INTEIROS .1/

No conjunto dos números inteiros, representado pela letra(Z), não h números !"ue#rados$, ou fra%&es "ue nãorepresentam divis&es e'atas. odemos dizer então, "ueeste conjunto é composto por números inteiros neativose positivos. *ejam+

1000% +&%+(%'%(%&%2%000

O-+ O#serve "ue todo número natural tam#ém é umnúmero inteiro, por isso dizemos "ue o conjunto dosNaturais est contido nos inteiros. m s/m#olos+ Z N ⊂

(02 CON,UNTO DOS RACIONAIS .3/

0izemos "ue um racional é "ual"uer número "ue podeser escrito na forma de uma fra%ão de inteiros, ou seja+

}0int,,{ ≠= beeirosbab

aQ

O-+• ela defini%ão dada, vemos "ue todos decimais

e'atos são racionais• 2odas as d/zimas peri3dicas são números

racionais• 2odo número inteiro é racional

(0) CON,UNTO DOS IRRACIONAIS .I/

4pesar de normalmente ser usado a letra 5 pararepresentar o conjunto dos números irracionais, estes/m#olo não é o único utilizado. ste conjunto pode ser representado de vrias formas.Os números irracionais são todos os decimais não

e'atos, não peri3dicos e não neativos.0izemos tam#ém "ue um irracional é um número "ue nãopode ser escrito na forma de uma fra%ão de inteiros.-ão e'emplos de números irracionais+

1,676869... 4 3;17;2 , ...; eπ

(04 CON,UNTO DOS NÚMEROS REAIS .R/

2odo tipo de número citado anteriormente nos outrosconjuntos, são números reais. 0izemos "ue o conjuntodos reais é a união dos :acionais com os 5rracionais.

)( I Q R ∪=

O diarama a seuir ilustra os conjuntos numéricos deuma forma "ue facilita a visualiza%ão da rela%ão e'istenteentre eles+

A>?"?dade (: U>?!?e o# #Fo!o# de =er>ence .∈/ en@o =er>ence ∉ =ara re!ac?onar e!eFen>o econun>o eF ca#a ca#o:

N 1 3 I R&%))000

2

6

1

5

&%'7

618

&%((2&000

&%)+ 16

9

4

(%2000

+('

73

9

&%4

%J;'9000

81

&%J(

6

1

4



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& 5 M6DULO OU VALOR ABSOLUTO

O m3dulo ou valor a#soluto é o valor aritmético de umnúmero relativo, isto é, sem considerar seu sinal.odemos pensar no m3dulo tam#ém, como a dist;ncia donúmero até a oriem da reta numérica. 4 representa%ãodo m3dulo de um número é feita por meio de #arrasverticais. *eja aluns e'emplos+

• •


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EERC*CIOS DE IA7$O

(+ E!?F?ne o# =arn>e#e# e ca!cu!e o "a!or da#eK=re##e# a #ere o "a!or da# Fu!>?=!?cae# e d?"?#e# a#e


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IV+ D?"?#@o de nFero# dec?Fa?#

ara dividir dois números decimais, devemos iualar o número de casas decimais desses números"uando necessrio, acrescentamos zeros I partedecimal do dividendo ou do divisor, ou am#os, para"ue se iualem as casas decimais, em seuida,eliminamos as v/rulas e efetuamos a divisãonormalmente.

12,0200:24200,0:024,02,0:024,0 ===

fetue+

6,17F+6,F?

@,617+6,9?

O-+ ara se dividir um número por 16, 166, 1666,...

#asta deslocar a v/rula para a es"uerda tantas casasdecimais, conforme o número de zeros do divisor.

'emplo+

003,01000:3

18723,0100:723,18

==

EKercc?o#

(+ Re#o!"a a# o=erae# a #era@o0

.Oedecendo #eF=re ordeF eF ue e!a#a=areceF/

Ne##a# o=erae# #@o rea!?ada#:

(W + Parn>e#e# . /

&W + Co!ce>e# X Y

2W + Ca"e#

EERC*CIOS

1 ) (J2L:) O valor da e'pressão+}48]5)28(27[3{9 +−+−−+−−

7 ) :esolva as e'press&es a#ai'o+

=−++

=+−

=−+−

=−+

=+−

=+−

)20*04,01,1()3,0*28,1()

100*028,0025,31000*032,0)

183,602,0:]2*)21,67,3)[(

6:427*32*25,4)

4,0*3,114,1:96,1542,35)

02,0:2,0)4,6*5,0(2,4)

f

e

d

c

b

a

7



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; 5 POTENCIA7$O

Po>enc?a@o coF eK=oen>e ?n>e?ro Fa?or ue (

otBncia de rau n de um número é o produto de nfatores iuais a esse número.

O-+

• Muando a #ase é positiva a potBncia é semprepositiva.

• Muando a #ase é neativa, o sinal de potBncia

depende do e'poente+= #ase neativa e e'poente par ⇒potBncia positiva= #ase neativa e e'poente /mpar ⇒ potBncianeativa.

:esumindo+

Po>nc?a de eK=oen>e ero

2oda potBncia de #ase não=nula e e'poente zero éiual a 1.

Po>nc?a de eK=oen>e (

2oda potBncia de e'poente 1 é iual I #ase

Po>nc?a de a#e (

2oda potBncia de #ase um é iual a 1.

Po>nc?a coF eK=oen>e ?n>e?ro ne?"o

2oda potBncia de e'poente inteiro neativo e #asediferente de zero é iual a potBncia de #ase iual ao

inverso da #ase dada e e'poente iual ao oposto doe'poente dado.m outras palavras, "uando um número tem e'poenteneativo, para dei'=lo positivo devemos inverter sua#ase.

EKeF=!o#

422

1

8

1

2

12

2

2

3

3

==

=

=

−

−

;0( Reenc?a@o

Produ>o de =o>nc?a de Fe#Fa a#e:

ara alcan%ar o produto de potBncia de mesma #ase,#asta manter a #ase e somar os e'poentes+

mnmn aaa +=.

D?"?#@o de =o>nc?a de Fe#Fa a#e:

Jm "uociente de potBncias de mesma #ase é iual IpotBncia "ue se o#tém conservando a #ase esu#traindo os e'poentes+

zerodediferentenúmerouméaOnde

aaaaa nmn

m

nm

,

: −==

Po>nc?a de =o>nc?a

Jma potBncia elevada a um dado e'poente é iual IpotBncia "ue se o#tBm conservando a #ase emultiplicando os e'poentes.

( ) mnnm aa =

0izemos então "ue eleva=se a #ase ao produto dose'poentes.

8

1

)(......

>

=

nereal númeroa sendo

fatoresnaaaaa n

)()(

)()(

)()(

−=−

+=−

+=+

ímpor

par

n

.,10 nulonãonúmerouma sendoa −=

.,1 real númerouma sendoaa =

.,11 real todo para =

.

,

11

zerodediferenteae

reaisnúmerosnea sendoa

b

b

a

aaa

nn

n

n

n

=

==

−

−



9/21


Po>nc?a de uF =rodu>o

Jm produto elevado a um e'poente "ual"uer é iual aoproduto das potBncias "ue são o#tidas elevando=se cadafator ao e'poente dado.

( )

nnn

baba .. =Mu!>?=!?ca@o de =o>nc?a de Fe#Fo eK=oen>e

Jm produto de potBncia de mesmo e'poente é umapotBncia cuja #ase é o produto das #ases anterioreselevado ao e'poente dado+

( ) nnn abba =.

Po>nc?a de uF uoc?en>e

Jm "uociente elevado a um dado e'poente é iual ao"uociente das potBncias "ue são o#tidas elevando=se odividendo e o divisor ao e'poente dado+

n

nn

b

a

b

a=

Po>nc?a de a#e (' e no>a@o c?en>f?ca

ara as potBncias de #ase 16 o#servamos "ue

.,0...1010 zerosnn =

.1...00,00...10

110 decimaiscasasnn ==−

D?+#e "ue um número est escrito em nota%ão cient/fica"uando ele est na forma+

nk 10.

m "ue é um número tal "ue 616 e n é um númerointeiro.

4 nota%ão cient/fica é usada para diminuir a escrita de umnúmero tornando mais fcil as opera%&es por meio daspropriedades de potBncia.

'emplo+

6,4102103,2102000023,0 555 =×××=×× −

P:DQD5O-

1 R Dalcule o valor das e'press&es+

=

=

=−−+

=−−+

=−+−+

=−−−

=

=+−−−

=

=−−−−

=−−−+−−−

=

−−

−

001,0

100)².01,0.(0001,)

70000.01,0.2,1

100.280.003,0)

)¹2.(89:³39)

)²12(:²325,0.48)

]2:)3¹5².3(45[2)

³]2)68(:²6[2)

500.9,0.10.5

270.5000.005,0)

}1600²]2)1113(:²14[39{)

2

3.

3

2.

3

2)

)5²3(:]7)²42(:1224[)

])981.(2:)2[(²2)²2.(3)

³)2².2(:2)

0

046

0

172035

0

045

39

0

1

3

e

l

k

j

i

h

g

f

d

c

b

a

9



10/21


J 5 MÚLTIPLOS E DIVISORES DE UM NÚMERONATURAL

• Jm múltiplo de um número a "ual"uer é todoresultado da multiplica%ão de um número naturalpor a0 ntão podemos pensar "ue o múltiplo deum número são a"ueles "ue estão na !ta#uada$desse número.

'emplos+

,...}68,51,34,17,0{)17(

,...}20,16,12,8,4,0{)4(

,...}15,12,9,6,3,0{)3(

===

!

!

!

• O divisor de um número é a"uele "ue divide onúmero em parte inteiras. -em resto.

'emplo+

.0173:51,513 restocom poisdedi"isor é

=+ MÁIMO DIVISOR COMUM E M*NIMO MÚLTIPLOCOMUM0

0ados dois ou mais números diferentes de zero,chamamos de H'imo 0ivisor comum (m.d.c) o maior número "ue seja divisor de todos eles.ara o clculo do H0D usamos os procedimentos aseuir+

• 0ecomponha cada número em seus fatoresprimos.

• *erifi"ue "uais são os fatores comuns a todos osnúmeros

• Dalcule o produto dos fatores comuns de menor e'poente.

• O resultado é o H0D procurado.

Outra possi#ilidade é decompor os números I encontrar oH0D em seus fatores primos e multiplicar a"ueles "ueem um determinado passo dividiram a todos.

'emplos+

Ca!cu!e o MZK?Fo D?"?#or coFuF do# nFero#:MDC.(J%4)/

MDC.&)%29/

O M*NIMO MÚLTIPLO COMUM .MMC/ entre dois oumais números, é o menor número não nulo "ue sejamúltiplo de todos os números em "uestão.

2emos #asicamente dois processos para encontrar o

HHD+

Proce##o da DecoF=o#?@o eF a>ore# Pr?Fo#

Nesse processo precede=se assim+

• 0ecomp&e=se cada número em seus fatoresprimos

• Dalcula=se o produto de todos os fatorescomuns e não comuns de maior e'poente

• O resultado o#tido é o m.m.c procurado.

Proce##o da DecoF=o#?@o S?Fu!>[nea

0e forma mais prtica, podemos encontrar o HHD dedois ou mais números fazendo a decomposi%ãosimult;nea dos mesmos. O produto de todos os fatoresencontrados ser o HHD dos números dados, poistodos os fatores primos dos números aparecem nessadecomposi%ão.

'emplo

31313193

2296

24912

'

OBSERVA7$O:

Dados dois números naturais, temos:

mmc (a,b)=mdc (a,b)

EKercc?o#

( 5 O menor número divis/vel por 1S, 79 e 8@ é+

&+ Num determinado pa/s, o mandato do presidente éde @ anos, dos senadores é de S anos e dosdeputados é de F anos. 4 primeira elei%ão para os 8caros foi em 1>97. m "ue ano ocorrer uma novaelei%ão para os mesmos carosA

2+ -elecione o "ue for correto+

61) F é múltiplo de 1F67) O m'imo divisor comum de dois números primosentre si é 1.69) O m/nimo múltiplo comum de @ e 1@ é 9S.6S) 8 e 17 são números primos entre si.

)+ 2rBs satélites iram em torno da 2erra em 3r#itasconstantes. O tempo de rota%ão do primeiro é de 8@dias do seundo, 17 dias e do terceiro, 9S dias. m

um determinado dia eles estão alinhados. 0epois de"uantos dias eles se alinharão novamenteA

10

1 36



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4+ 0ados dois números 97 e F9, então mdc (97,F9) Gmmc (97,F9) é+a)8C7#)8CSc)8S9d)8>@

9+ O valor da e'pressão+1]3).26(35[3).2:12(3.2 +−−+− \:

;+ O m/nimo múltiplo comum entre os números 16S, 8@,199 e 1S6 é+

J+ Os Tni#us partem de Duriti#a para o :io de Uaneiro de9 em 9 horas, e para elo Vorizonte, de @ em @ horas. -enum certo instante, partem Tni#us para essas cidades,"uantas horas ap3s essa partida haver a pr3'ima sa/dasimult;nea dos Tni#usA

+ :afael, oranizando sua cole%ão de selos, o#serva "ueao cont=los de 16 em 16, so#ram "uatro selos o mesmo

acontece "uando conta de S em S, e tam#ém so#ram"uatro selos "uando ele os conta de 17 em 17. Muantosselos :afael possuiA

('+ Jma professora d aulas em duas turmas, uma de 87alunos e outra de 79 alunos. m cada sala, ela formarrupos, e todos os rupos (nas duas turmas) devem ter omesmo número de alunos. Mual é o maior número dealunos "ue cada rupo pode terA

('+ RA78ES

Definição: Lra%ão é um "uociente indicado onde odividendo é o numerador e o divisor é o denominador.

*eja a#ai'o "ue podemos representar uma fra%ãotam#ém na sua forma decimal. ara isso #asta, como

visto na defini%ão, dividir o numerador pelo denominador+

4 fra%ão é pr3pria "uando o numerador é menor do"ue o denominador+

'emplos+...,

101

100,

16

9,

5

3,

7

1etc

4 fra%ão e impr3pria "uando o numerador é maior "ueo denominador, sendo poss/vel represent=la por umnúmero misto e reciprocamente.

'emplos+

m "ual"uer fra%ão, ao multiplicarmos ou dividirmosnumerador e denominador por um mesmo número, o"ue se altera é apenas a escrita do número, seu valor é preservado. 4 fra%ão resultante "uando multiplicamos ou dividimosuma fra%ão por um número natural diferente de zero échamada de fra%ão e"uivalente. 4 partir de uma determinada fra%ão chamadairredut/vel, podemos encontrar infinitas fra%&ese"uivalentes.

'emplos+

)(5

4

6:30

6:24

30

24

...6

2

3*2

3*1

2

1

l irredutí"e==

==

('0( OPERA78ES COM RA78ES

• SoFa e Su>ra@o

Na soma e su#tra%ão alé#rica de fra%&es, reduzem=se ao menor denominador comum as fra%&es a serem

somadas e somam=se ale#ricamente osnuFeradore# das fra%&es e"uivalentes encontradas.O-+ O menor denominador comum é o m.m.c. dosdenominadores.

11



12/21


'emplos+

=+3

1

5

1

*eja "ue na soma acima o mmc(8,F)?1F. 4s fra%&ese"uivalentes Is fra%&es citadas, "ue tem denominador 1F

são trocadas pelas primeiras. 4ssim o#temos+

15

8

15

5

15

3 =+

Na su#tra%ão o processo é o mesmo, veja+

=−2

1

3

2

O mmc (8,7)?@. 4s fra%&es e"uivalentes a dois ter%os eum meio "ue tem denominador seis são respectivamente

63

64 e loo o#temos+

6

1

6

3

6

4=−

• Mu!>?=!?ca@o de frae#

Na multiplica%ão de fra%&es, !multiplica=se numerador com numerador e denominador com denominador$. *eja+

95

45

1

15*

5

315*

5

3

35

6

7

3

*5

2

===

=

O#s+ 4o se fazer uma multiplica%ão com vrias fra%&es époss/vel, em aluns casos, fazermos alumassimplifica%&es antes de o#ter o produto final para "ue oclculo se torne menor.

• D?"?#@o de frae#

Na divisão de fra%&es, multiplicamos a primeira fra%ão

(dividendo) pelo inverso da seunda fra%ão, a fra%ãodivisora.

'emplos+

32

3

64

6

4

1*

16

64:

16

6)

2

1

8

4

1

4*

8

1

4

1:

8

1)

−=−=−=−

===

b

a

EERC*CIOS1= :esolva as opera%&es com fra%&es a seuir+

a) =+4

3

3

2

#) =

5

12

3

c) =+−51

32

d) =−

4

53

4

:esolva as e'press&es+

a) =

−−

+22

3

4

2

32

3

2

#) =+−3

1

7

3*

4

5

c) =−+ 24

5

5

33

2

d) =+

−

−+

−

4

5

5

73

7

4

7

2

3

2 2

8= (correios)

9= (Dorreios)

12



13/21


Rad?c?a@o

4 opera%ão para se o#ter a raiz n=ésima é denominada deradicia%ão. -e é e'ata, a radicia%ão é a opera%ão inversada potencia%ão.

1#uemaior enatural ncom

abba nn =⇒=

EKeF=!o#:

42.2.2.2,216

82.2.2,28

25²55.5,525

4

3

==

==

===

pois

pois

pois

e assim por diante.

Po>nc?a coF eK=oen>e frac?onZr?o

-endo a um númeo real positivo, n um número natural

positivo e mWn um número racional na forma irredut/vel,definimos+

n mnm aa =

'emplos+

2

1

2

33

3434

=

=

A!erFo# eF ue uF de!e#% ou aFo#% #@orad?ca?# do #e


14/21


=−+

=+−+

=+

++

752273124)

985632722283)

28

3

7

25

4

8

1

81

49

)

j

i

h

&+ Rac?ona!?e o# denoF?nadore#

=−−+

=−−

=−

=−

=

=

12108

48375)

22

12)

32

3)

25

1)

1024

9)

8

4)

2

6)

3

2

)

22

53)

9

4

i

h

g

f

e

d

c

b

a

14



15/21


SISTEMA M-TRICO DECIMAL

'istem vrias formas de se medir "uantidades.asicamente o sistema métrico envolve medidas decomprimentos, medidas de superf/cie (rea) e medidas devolume ou capacidade. *ejamos alumas das unidadesde medida mais utilizadas para cada caso.

Med?da# de CoF=r?Fen>o

4 unidade padrão de medida é o metro. 4 partir deletemos os múltiplos e su#múltiplos do metro. O#serve noes"uema+

*emos no es"uema "ue se tivermos uma medidae'pressa em alum múltiplo do metro para converter para

uma unidade inferior, #asta multiplicar o resultado por 16. 4o contrrio, se tivermos uma medida em unidade inferior e "uisermos pass=la para uma maior, teremos "ue dividir por 16. 'emplos+

• 17 hm ? 1766 m

• 866 dm ? 8 dam

• 1666mm ? 1 m

• 8 cm ? 6,68 m

O-+ ara efetuar opera%&es matemticas com asunidades de medida é preciso "ue todas as medidasutilizadas estejam na mesma unidade.

Un?dade# de Fed?da de #u=erfc?e .Zrea/

Nas medidas de superf/cie (medidas "uadradas) parapassar de uma medida para outra devemos multiplicar oudividir por 166, seuindo o es"uema a#ai'o+

Un?dade# de Fed?da de Vo!uFe

Dada unidade de volume é 1666 vezes maior "ue aunidade imediatamente inferior, isto é, as sucessivasunidades variam de 1666 em 1666

OBS: SeF=re de?Kar na Fe#Fa un?dade =araefe>uar o# cZ!cu!o#0

Un?dade# de Fed?da de Ca=ac?dade 4 unidade fundamental de capacidade é o litro, poréme'istem tam#ém seus múltiplos e su#múltiplos. *eja+

odemos relacionar o volume com as medidas decapacidade. or e'emplo+

l m

l dm

1000³1

1³1

=

=

Un?dade# de Med?da de Ma##a

4 unidade principal nas medidas de massa é o rama. 4 partir dela temos seus múltiplos e su#múltiplos veja+

15

Multili!" $% 10

&i'i $% 10

&i'i $% 100

Multili!" $% 100

Multili!" $% 1000

&i'i $% 1000



16/21


EKercc?o#

( 5 4 soma de 7F dam G 8,F m G C7 m G CS,C dm,e"uivale a "uantos metrosA

7= -elecione o "ue for correto+

61) 179 mm e"uivalem a 17,9 cm67) 7>, 9 e"uivalem a 7> F66 .69) 1 ml e"uivale a 16 cmX.6S) 16 dias e"uivalem a 19 966 min.

8= Dada olpe de uma #om#a de vcuo e'trai F6 dmX dear de um recipiente. -e o volume inicial do recipiente é de1 mX, ap3s o FK olpe da #om#a, "ual o volume de ar "uepermanece no recipienteA

9 R Jma arrafa térmica, totalmente cheia, contém 1F6C,7cmX de café. -a#endo "ue numa '/cara de café ca#em81, 9 cmX de café, "uantas '/caras poderão ser servidasA

EPRESS8ES ALG-BRICAS

4s letras, na matemtica, são usadas para representar números desconhecidos ou para eneralizar propriedades e f3rmulas da Yeometria. 4s e'press&es "ue apresentam letras, além deopera%&es e números são denominadas deP:--- 4EY[:5D4- e as letras são chamadasde inc3nitas. is alumas propriedades importantes+ (+ Todo nFero na>ura! Fu!>?=!?cado =e!o nFero ( \? Mon]F?o# 4s e'press&es alé#ricas "ue não representam asopera%&es de adi%ão e su#tra%ão entre os números eas variveis, são denominadas de monTmios. O#serve os e'emplos+

• @', 9', F], C]•

8'^]^, 9'^]^• a#, 16, 17

4 parte numérica de uma e'pressão alé#ricachamada de monTmios é denominada coeficiente e aoutra parte da senten%a formada por letras é chamadade parte literal. 'emplos para fi'a%ão de conteúdo 0e acordo com a defini%ão so#re monTmios, vamosdestacar nas senten%as a#ai'o a parte literal e ocoeficiente+

• = @'Doeficiente+ @arte Eiteral+ '

• = 9'^]^ Doeficiente+ 9arte Eiteral+ '^]^ O=erae# Fa>eFZ>?ca# coF Fon]F?o# 0ois ou mais monTmios "ue possuem a mesma parteliteral e tam#ém coeficientes diferentes sãodenominados de monTmios parecidos ou monTmios

semelhantes.ara se efetuar opera%&es matemticas de su#tra%ãoe soma eles devem ser semelhantes, ou seja, possuir a mesma parte literal e tam#ém mesmo coeficientes.Daso isto não ocorra, a adi%ão e a su#tra%ão serãoapenas indicadas, porém não poder ser efetuadonenhum clculo. 'emplos para fi'a%ão 0e acordo com a defini%ão fornecida acima, vamos ver aluns e'emplos com clculos envolvendo monTmios. a) F'] G 17'] G 8'](F G 17 G 8)']76']

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#) 9'] R 7'] G C'](9 R 7 G C)']>'] c) 9' G 8'](Opera%ão não é poss/vel por"ue os monTmios não sãosemelhantes) Euae# do =r?Fe?ro odo da #u#>?>u?@o

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mailto:[email protected]://www.matematicadidatica.com.br/EquacaoPrimeiroGrauExercicios.aspx#anchor_ex2%23anchor_ex2http://www.matematicadidatica.com.br/EquacaoPrimeiroGrauExercicios.aspx#anchor_ex2%23anchor_ex2http://www.matematicadidatica.com.br/EquacaoPrimeiroGrauExercicios.aspx#anchor_ex2%23anchor_ex2http://www.matematicadidatica.com.br/EquacaoPrimeiroGrauExercicios.aspx#anchor_ex2%23anchor_ex2http://www.matematicadidatica.com.br/EquacaoPrimeiroGrauExercicios.aspx#anchor_ex3%23anchor_ex3http://www.matematicadidatica.com.br/EquacaoPrimeiroGrauExercicios.aspx#anchor_ex3%23anchor_ex3http://www.matematicadidatica.com.br/EquacaoPrimeiroGrauExercicios.aspx#anchor_ex3%23anchor_ex3http://www.matematicadidatica.com.br/EquacaoPrimeiroGrauExercicios.aspx#anchor_ex3%23anchor_ex3http://www.matematicadidatica.com.br/EquacaoPrimeiroGrauExercicios.aspx#anchor_ex4%23anchor_ex4http://www.matematicadidatica.com.br/EquacaoPrimeiroGrauExercicios.aspx#anchor_ex4%23anchor_ex4http://www.matematicadidatica.com.br/EquacaoPrimeiroGrauExercicios.aspx#anchor_ex4%23anchor_ex4http://www.matematicadidatica.com.br/EquacaoPrimeiroGrauExercicios.aspx#anchor_ex4%23anchor_ex4http://www.matematicadidatica.com.br/EquacaoPrimeiroGrauExercicios.aspx#anchor_ex4%23anchor_ex4http://www.matematicadidatica.com.br/EquacaoPrimeiroGrauExercicios.aspx#anchor_ex5%23anchor_ex5http://www.matematicadidatica.com.br/EquacaoPrimeiroGrauExercicios.aspx#anchor_ex5%23anchor_ex5http://www.matematicadidatica.com.br/EquacaoPrimeiroGrauExercicios.aspx#anchor_ex5%23anchor_ex5http://www.matematicadidatica.com.br/EquacaoPrimeiroGrauExercicios.aspx#anchor_ex5%23anchor_ex5http://www.matematicadidatica.com.br/EquacaoPrimeiroGrauExercicios.aspx#anchor_ex5%23anchor_ex5http://www.matematicadidatica.com.br/EquacaoPrimeiroGrauExercicios.aspx#anchor_ex2%23anchor_ex2http://www.matematicadidatica.com.br/EquacaoPrimeiroGrauExercicios.aspx#anchor_ex2%23anchor_ex2http://www.matematicadidatica.com.br/EquacaoPrimeiroGrauExercicios.aspx#anchor_ex2%23anchor_ex2http://www.matematicadidatica.com.br/EquacaoPrimeiroGrauExercicios.aspx#anchor_ex2%23anchor_ex2http://www.matematicadidatica.com.br/EquacaoPrimeiroGrauExercicios.aspx#anchor_ex3%23anchor_ex3http://www.matematicadidatica.com.br/EquacaoPrimeiroGrauExercicios.aspx#anchor_ex3%23anchor_ex3http://www.matematicadidatica.com.br/EquacaoPrimeiroGrauExercicios.aspx#anchor_ex3%23anchor_ex3http://www.matematicadidatica.com.br/EquacaoPrimeiroGrauExercicios.aspx#anchor_ex4%23anchor_ex4http://www.matematicadidatica.com.br/EquacaoPrimeiroGrauExercicios.aspx#anchor_ex4%23anchor_ex4http://www.matematicadidatica.com.br/EquacaoPrimeiroGrauExercicios.aspx#anchor_ex4%23anchor_ex4http://www.matematicadidatica.com.br/EquacaoPrimeiroGrauExercicios.aspx#anchor_ex5%23anchor_ex5http://www.matematicadidatica.com.br/EquacaoPrimeiroGrauExercicios.aspx#anchor_ex5%23anchor_ex5http://www.matematicadidatica.com.br/EquacaoPrimeiroGrauExercicios.aspx#anchor_ex5%23anchor_ex5mailto:[email protected]


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sse método consiste em escolher uma das duase"ua%&es e isolar uma das inc3nitas. m seuida deve=se su#stituir na outra e"ua%ão o valor "ue foi isolado, veja

como+

0ado o sistema , enumeramos ase"ua%&es.

scolhemos a e"ua%ão 1 e isolamos o '+' G ] ? 76' ? 76 R ]

4ora na e"ua%ão 7 su#stitu/mos o valor de ' ? 76 R ].

8' G 9 ] ? C78 (76 R ]) G 9] ? C7

@6=8] G 9] ? C7=8] G 9] ? C7 R @6

] ? 17

0esco#rimos o valor de ], para desco#rir o valor de '#asta su#stituir 17 na e"ua%ão

' ? 76 R ].' ? 76 R ]

' ? 76 R 17' ? S

ortanto, a solu%ão do sistema é - ? (S, 17)

• M\>odo da ad?@o

sse método consiste em adicionar as duase"ua%&es de tal forma "ue a soma de uma dasinc3nitas seja zero. ara "ue isso aconte%a serpreciso "ue multipli"uemos alumas vezes as duase"ua%&es ou apenas uma e"ua%ão por números

inteiros para "ue a soma de uma das inc3nitas sejazero.

0ado o sistema+

ara adicionarmos as duas e"ua%&es e a soma de umadas inc3nitas de zero, teremos "ue multiplicar a primeirae"ua%ão por R 8.

4ora, o sistema fica assim+

4dicionando as duas e"ua%&es+

= 8' R 8] ? = @6G 8' G 9] ? C7

] ? 17

ara desco#rirmos o valor de ' #asta escolher umadas duas e"ua%&es e su#stituir o valor de ]

encontrado+' G ] ? 76

' G 17 ? 76' ? 76 R 17

' ? Sortanto, a solu%ão desse sistema é+ - ? (S, 17).

OBS: -e resolver um sistema utilizando "ual"uer umdois métodos o valor da solu%ão ser sempre o

mesmo.

EKercc?o#

(+ Jm estacionamento co#ra : 7,66 por moto e :8,66 por carro estacionado. 4o final de um dia, o cai'areistrou : 7CC,66 para um total de 166 ve/culos.Muantas motos e carros usaram o estacionamentonesse diaA

7) Jma f#rica de refrierantes produz refrescos deuaran nas vers&es tradicional e diet. Os #aresvendem os tradicionais por : 1,66 e os diet por :1,7F. 4o final do dia haviam sido vendidos 7666refrierantes, com um faturamento de : 7166,66.0escu#ra "uantas arrafas de cada tipo de refrieranteforam vendidas.

8) Num "uintal h 8@ animais entre porcos e alinhas.-a#e=se "ue h ao todo, 117 pés. Muantos são osporcos e "uantas são as alinhasA

9) No último encontro Nacional de duca%ãoHatemtica a inscri%ão dos professores do ensinomédio e fundamental custava : F6,66. Osprofessores do ensino superior paavam : CF,66. 4

arrecada%ão total o#tida com as inscri%&es foi de :@S C7F,66 de um total de 176S professores inscritos.Muantos eram os professores do ensino fundamental emédio presenteA

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RA1$O E PROPOR7$O

Dhamamos de razão entre dois números a e , sendo #não nulo, o "uociente entre eles. 4ssim a razão de a para é dada por+

baoub

a:

O número a é chamado de antecedente e o número é

chamado de conse"bente da razãob

a.

• Pro=or@o

Jma propor%ão é uma iualdade entre raz&es+

d cbaoud c

ba :: ==

OBS: EF >oda =ro=or@o% o =rodu>o do# Fe?o# \ ?o do# eK>reFo#:

bcad d

c

b

a=⇒=

NuFa =ro=or@o% a #oFa ou d?ferena do#an>eceden>e# e#>Z =ara a #oFa ou d?ferena do#con#e_en>e# a##?F coFo cada an>eceden>e e#>Z=ara o #eu con#e_en>e0 4ssim na propor%ão+

d

c

b

a

d b

catemos

d

c

b

a==

++= valendo o mesmo para a

su#tra%ão.

• NFero# d?re>aFen>e e ?n"er#aFen>e=ro=orc?ona?#0

0uas sucess&es de números são diretamenteproporcionais se as raz&es entre cada termo da primeira

sucessão e o termo correspondente da seunda

sucessão são iuais. o valor dessas raz&es é chamadode fator de proporcionalidade.

or outro lado, duas sucess&es são inversamenteproporcionais "uando os produtos de cada termo daprimeira sucessão pelo termo correspondente da seundasucessão são iuais.

EKercc?o#

(/ Muero distri#uir @6 #alas entre 8 crian%as,proporcionalmente Is suas idades sa#e=se "ue 4ntTniotem > anos, runo, C anos e Darlos 9. Os números de

#alas "ue ca#e a cada um é+

&/ 0ivida o número CF em "uatro partes inversamenteproporcionais a 7, 8, 9 e @.

2/ Jma estrada de 81F m de e'tensão foi asfaltadapor 8 e"uipes 4, e D, cada uma delas atuando emum trecho diretamente proporcional aos números 7, 8e 9, respectivamente. Muantos "uilTmetros tem otrecho asfaltado pela e"uipe DA

)/ Jm comerciante precisa paar trBs d/vidas+ Jma de86 mil reais, outra de 96 mil reais e uma terceira de F6mil reais. Domo ele s3 tem >6 mil reais, resolve paar "uantias diretamente proporcionais a cada dé#ito.Nessas condi%&es, "uanto rece#er o maior credorA

4/ O proprietrio de uma chcara distri#uiu 866laranjas a trBs fam/lias, em partes proporcionais aonúmero de filhos. -a#endo=se "ue as fam/lias 4, , Dtem respectivamente 7, 8 e F filhos, "uantas laranjasrece#eu cada fam/liaA

GRANDE1AS DIRETAMENTE E INVERSAMENTEPROPORCIONAIS E REGRA DE TR`S

0uas randezas são diretamente proporcionais,"uando a razão entre os valores da primeira é iual Irazão entre os valores da seunda.

0uas randezas são inversamente proporcionais,"uando a razão entre os valores da primeira é iual aoinverso da razão entre os valores da seunda.

EKercc?o#:

(/ -e @ operrios levam 16 dias para levantar um muroao redor de um campo de fute#ol, "uantos operriosseriam necessrios para levantar o mesmo muro em 8diasA

&/ m um acampamento, F6 pessoas tBm alimentopara 1F dias. 2endo cheado mais 7F pessoas, oalimento dever ser suficiente para "uantos diasA

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2/ m um rupo de 1@6 pessoas SF são mulheres. Mual aporcentaem de mulheres nesse rupoA

)/ 2rinta e seis operrios, tra#alhando C horas por diadurante 17 dias fazem um determinado servi%o. Muantashoras por dia, 17 operrios farão o mesmo servi%o em 19diasA

4/ Numa f#rica de sapatos tra#alham 1@ operrios, "ueproduzem, em oito horas de servi%o, 176 pares desapatos. 0esejando=se produzir 866 pares, tra#alhando16 horas, a "uantidade necessria de operrios ser de+a) 81#) 87c) 9Sd) 9>

PORCENTAGEM

O#serve os e'emplos a seuir so#re porcentaem+

Numa loja de materiais elétricos, um velho cliente entra para comprar cabos, e compra o ue costuma comprartodo m!s" # conta fica em $% reais, mais cara ue a dom!s passado"& 'eve aumento& perunta o cliente& 'eve" *s cabos aumentaram +% & responde o dono da

loja, do outro lado do balcão"& -ntão, em nome da nova velha ami.ade, este m!s euuero +% de desconto"* dono da loja concorda" /uem anhou e uem perdeunessa transação, o velho cliente ou o dono da loja

0m trabalhador aut1nomo, toda ve. ue emite uma notafiscal de serviços, paa $ de impostos" /uando lhe peruntam uanto ele cobra por semana de trabalho elesempre responde:& 2obro 34% reais l5uidos"2ontudo, terminado o trabalho, o cliente insiste em lhe

paar 34% reais por semana, e disso não arreda pé" 6orfim, o trabalhador se rende, emite a nota fiscal no valorde 34% reais, paa $ de impostos e embolsa 78% reais"/uanto ele deveria cobrar para, durante as neociaç9es,

dar ao cliente um desconto de +, paar os $ deimposto e ainda assim ficar com 34% reais

ara responder tais peruntas vamos entender umpouco mais so#re as porcentaens+

Def?n?@o: O:DN24YH pode ser definida como acentésima parte de uma randeza, ou o clculo#aseado em 166 unidades.[ visto com fre"bBncia as pessoas ou o pr3priomercado usar e'press&es de acréscimo ou redu%ãonos pre%os de produtos ou servi%os. 4luns e'emplos+

a)@6 de 1F6 dias de tra#alho ? >6 dias #)C6 de : 176,66 de compra ? : S9,66

CoFo ca!cu!ar =orcen>ao# =orcen>ua?#

m termos erais, se um valor "ual"uer ( Q% )

aumenta ', podemos calcular o novo valor fazendo+

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)1.(

.

%

% %

Q

QQ

+=

+

D?F?nu?e# =orcen>ua?#

0e forma anloa ao desenvolvimento anterior se

o#tivermos um desconto de ' em um valor "ual"uer (Q% ) calcularmos o valor final fazendo+

Q% + Q% .,*

- Q% (1 + ,*)

AuFen>o #e

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