CURSO DE NÚMEROS NATURALES

PRODUCTOS NOTABLES

Los productos notables son multiplicaciones que cumplen reglas específicas y cuyo resultado se puede escribir

mediante simple inspección, sin verificar la multiplicación. Cada producto notable corresponde a una fórmula

de factorización. Para desarrollar los binomios se tiene en cuenta lo siguiente:

- Número de Términos: Debe haber uno más que el exponente.

- Signos de cada término: Si el binomio tiene signo positivo, entonces todos los términos serán positivos,

si el binomio es negativo los signos se intercalan siendo el primero positivo.

- Coeficiente de cada término: Se determina por el triángulo de Pascal.

1615201561)(6

15101051)(5

14641)(4

1331)(3

121)(2

11)(1

1)(0

6

5

4

3

2

1

0

ban

ban

ban

ban

ban

ban

ban

De esta forma se pueden determinar los coeficientes para cualquier exponente.

- Exponente de cada término: El del primer término disminuye de uno en uno a partir del exponente

indicado; el del segundo término aumenta de uno en uno a partir del cero.

Suma o resta de dos cantidades al cuadrado 2ba

2222 bababa

Ejemplo: 25105 22 xxx

963 22 xxx

Suma o resta de dos cantidades al cubo 3ba

3223333 babbaaba

Ejemplo: 12575155 233 xxxx

272793 233 xxxx

Producto de la suma por la diferencia de dos cantidades ))(( baba

22))(( bababa

Ejemplo: 25)5)(5( 2 aaa

Profesor: Jaime H. Ramírez Rios Página 2

22 94)32)(32( bababa

Producto de dos binomios de la forma ))(( bxax

abbaxxbxax )())(( 2

Ejemplo: 6)23()23()2)(3( 22 xxxxxx

2110)37()37()3)(7( 242422 xxxxxx

Desarrollar los siguientes productos notables.

Ejercicio Respuesta Ejercicio Respuesta

1) 22x 442 xx 2) 2yx

22 2 yxyx

3) 24x 1682 xx 4) 23x 962 xx

5) 253 x 25309 2 xx 6) 22ba 22 44 baba

7) 212 a 144 2 aa 8) 22ba 22 44 baba

9) 253 )910( xyx

102546 81180100 yxyxx 10) 221 )3( aa xx

421222 96 aaa xxx

11) 32x 8126 23 xxx 12) 3yx 3223 33 yxyyxx

13) 342 nm 3223 6496488 nmnnmm 14) 322 x 824248 23 xxx

15) 352 x 860150125 23 xxx 16) 37 yx 3223 34314721 yxyyxx

17) 32yx 3223 8126 yxyyxx 18)

3)32( yx 3223 2754368 yxyyxx

19) 3)34( n 2710814464 23 nnn 20) 4yx

432234 464 yxyyxyxx

21) 11 bb 12 b 22) xx 44 216 x

23) 44 mm 162 m 24) 2323 zz 49 2 z

25) mnmn 2525 22 425 mn 26) 1212 xx 14 2 x

27) yxyx 3232 22 94 yx 28) zyzy 33 22 9zy

29) 2323 55 yxyx 46 5yx 30) yxyx 22 22 4yx


31)

8

5

8

5yy

64

252 y 32)

2

3

2

3xx

4

92 x

33)

8

3

5

1

8

3

5

1yy

64

9

25

1 2 y 34)

3

5

3

5nn

9

252 n

35) )5)(7( aa 3522 aa 36) )4)(9( xx 3652 xx

37) )4)(10( nn 4062 nn 38) )15)(2( mm 30132 mm

39) )6)(4( xx 2422 xx 40) )3)(11( aa 33142 aa

41) )29)(1( nn 29282 nn 42) )6)(3( xx 1892 xx

43)

4

3

2

5xx

8

15

4

72 xx 44)

8

5

3

2nn

12

5

24

312 nn

FACTORIZACIÓN

Factorizar es escribir o representar una expresión algebraica como producto de sus factores.

Ejemplo: )5)(5(252 xxx

Una expresión queda completamente factorizada cuando se representa como el producto de la mayor cantidad

posible de factores de "primer grado" o "factores lineales". El tipo más sencillo de factorización se presenta

cuando los términos tienen un factor común.

Obtención de factores comunes.

Esta será la primera factorización que se aplique a cualquier expresión algebraica de acuerdo a lo siguiente:

1. Se observa si la expresión algebraica cuenta con un término común, en el caso de las letras se toman las

comunes con menor exponente, en el caso de los coeficientes se obtiene el máximo común divisor, este

término o factor común deberá ser diferente a uno.

2. Una vez encontrando el término común se busca el otro factor el cual es el resultado de la división de la

expresión entre el término común.

Ejemplo: factorizar yxyxyx23332 48326

Letras (términos comunes con menor exponente) : yx2

Números máximo común divisor: 2

2416324832622223332 yxyyxyxyxyx


Factorización por agrupación o asociación

Esta factorización se puede aplicar siempre y cuando el número de términos de la expresión algebraica sea par.

Se procede de la siguiente manera:

1. Se agrupan las parejas que tienen factor común

2. Cada pareja se factoriza por el método del factor común, de tal manera que los términos que resulten dentro

de los paréntesis deberán ser iguales de lo contrario se tendrá que buscar otra combinación.

3. A los dos términos que quedan se les vuelve a sacar factor común.

Ejemplo: Factorizar

)()( baybax

byaybxax

Factor común ))(( bayx

Factorizar las siguientes expresiones algebraicas


1) aba 2 baa 2)

2bb bb 1

3) xx 2 1xx 4)

233 aa 132 aa

5) 43 4xx xx 413 6)

32 155 mm mm 315 2

7) 22 62 axxa xaax 32 8) zxyx 22

zyx 2

9) 332 7035 mnm mnm 235 32 10)

4222 3624 yxxya 222 3212 xyaxy

11) 432 xxxx 31 xxx 12) bzazbyay bazy

13)

222222 33 byyabxxa bayx 3222 14) svstrvrt vtsr

15) 44 3223 mxnxnm 4123 xnm 16) axaxx 393 23

axx 313 2

17) ywyxwx 2412168

wyx 21128 18) bxbxx 393 23 bxx 313 2

19)xaynyaxn 222222 55 222 5anyx 20) baba 33 ba 311

Factorización de Trinomios de la forma x2+bx+c

Ejemplo: Factorizar 35122 xx

Se necesita encontrar dos números cuyo producto sea 35 y cuya suma sea igual a 12. Se puede realizar por

inspección )5)(7(35122 xxxx



Ejercicio Respuesta Ejercicio Respuesta Ejercicio Respuesta

1) 40132 aa )5)(8( aa 2) 29282 nn )29)(1( nn

3) 4062 nn )4)(10( nn

4) 30132 mm )15)(2( mm 5) 6072 aa )12)(5( aa

6) 33142 aa )3)(11( aa

7) 3652 xx )4)(9( xx 8) 3522 aa )5)(7( aa

9) 22 xx )2)(1( xx

10) 28112 aa )4)(7( aa 11) 2422 xx )6)(4( xx

12) 822 xx )2)(4( xx

Factorización de Trinomios de la forma ax2+bx+c

Los trinomios de esta forma presentan como característica que el coeficiente del primer término es diferente de

1. Para factorizar estos trinomios existen varias formas: por inspección o de la siguiente forma:

Ejemplo: Factorizar 42315 2 xx

15

4231515 2 xx Se multiplica y se divide el trinomio por el coeficiente del primer término.

15

601523152

xx Se aplica la propiedad distributiva, dejando indicado el término del medio.

15

3152015 xx Se factoriza como el trinomio de la forma x2+bx+c

35

153435

xx Factor común a los dos binomios y descomponer el denominador en factores

primos

1543 xx



1) 384 2 xx )32)(12( xx 2) 352 2 xx )32)(1( xx

3) 456 2 xx )43)(12( xx 4) 276 2 xx )23)(12( xx

5) 12176 2 xx )32)(43( xx 6) 583 2 yy )53)(1( yy


7) 6713 2 xx )613)(1( xx 8) 21121 2 mm )23)(17( mm

9) 2157 2 xx )17)(2( xx 10) 1252 2 xx )4)(32( xx

11) 3148 2 xx )14)(32( xx 12) 2137 2 pp )2)(17( pp

Factorización de Trinomio cuadrado perfecto:

1. Ordenar el Trinomio.

2. El 1ro y 3er término deben ser positivos y tener cuadrados perfectos.

3. El 2do término debe ser el doble producto de las raíces de los extremos.

222 2 bababa

Ejemplo: Factorizar 44 24 xx

24 xx 24 Se escribe con el signo de la mitad 22 2x



1) 22 2 hghg

2)( hg 2) 230225 bb

2)15( b

3) 22 2 yxyx

2)( yx 4) 122 aa 2)1( a

5) 962 mm 2)3( m 6)

22 4129 yxyx 2)23( yx

7) 22 44 baba

2)2( ba 8)22 498436 ppnn

2)76( pn

9) 25102 xx 2)5( x 10) 11449 2 xx

2)17( x

11) 144 2 xx 2)12( x 12)

22 497025 nmnm 2)75( nm

Factorización de Diferencia de cuadrados x2-y2:

yxyxyx 22

Ejemplo: Factorizar 362 x

xx 2 636 Se escriben dos paréntesis con signos contrarios 66 xx




1) 252 x )5)(5( xx 2) 22 my ))(( mymy

3) 14 2 x )12)(12( xx 4) 169 2 x )43)(43( xx

5) 10016 2 a )104)(104( aa 6) 2536 22 nm )56)(56( mnmn

7) 22 196169 nm )1413)(1413( nmnm 8) 649 2 p )83)(83( pp

9) 32 p )3)(3( pp 10) 188 2 y )2322)(2322( yy

Factorización de Suma o Diferencia de cubos x3 -y3, x3 +y3

Diferencia de cubos 2233 yxyxyxyx

Se extrae la raíz cúbica de ambos términos, luego se escriben dos paréntesis, el primero con la resta de las raíces

y el segundo en la forma siguiente: la primera raíz al cuadrado más el producto de las dos raíces más el

cuadrado de la segunda raíz, como lo indica el ejemplo

Ejemplo: Factorizar 33 2x

4222 233 xxxx

Suma de cubos 2233 yxyxyxyx

Igual que la diferencia, sólo se cambian algunos signos

Ejemplo: Factorizar 33 2x

4222 233 xxxx



1) 643 x )164)(4( 2 xxx 2) 33 yx ))(( 22 yxyxyx

3) 278 33 ba )964)(32( 22 abbaab 4)3327 nm )39)(3( 22 nmnmnm

5) 12564 3 a )252016)(54( 2 aaa 6) 12533 nm )255)(5( 22 mnnmmn


7) 2161728 3 m )3672144)(612( 2 mmm 8) 66 yx ))(( 422422 yyxxyx

9) 93 p )339)(9( 3323 ppp 10) 2168 3 y )36124)(62( 2 yyy

Ajustar el trinomio cuadrado perfecto:

Ejemplo: Ajustar el trinomio 822 xx a TCP

82

2

2

22

22

2

xx

9)1(8112 22 xxx

Ajustar las expresiones algebraicas a trinomio cuadrado perfecto y factorizar


1) 562 xx 14)3( 2 x 2) 1080662 aa 9)33( 2 a

3) 648542 xx 81)27( 2 x 4) 382 mm 19)4( 2 m

5) 50162 nn 14)8( 2 n 6) 1482 mm 2)4( 2 x

7) 30122 xx 6)6( 2 x 8) 262 pp 11)3( 2 p

9) 642 yy 2)2( 2 x 10) 74182 yy 7)9( 2 y

11) 80202 xx 20)10( 2 x 12) 162 xx 10)3( 2 x

13) 3182 yy 78)9( 2 y 14) 562 xx 4)3( 2 x

15) 282 xx 18)4( 2 x

Factorizar las siguientes expresiones


1) 22 1444896 nmn 22 3248 nmn 2)

yyy 52015 23 1435 2 yyy

3) bxbyyaxa 61552 22

bayx 352 2

4) 1610 48 xx )2)(8( 44 xx

5) 10337 36 pp )5)(27( 33 pp 6)422 9124 yxyx 2232 yx


7) 12125 42 yx 115115 22 xyxy 8) 34333 ba )497)(7( 22 abbaab

9) 3

22

2

3322

x

ba

x

ba

x

ba

2

22 11

xx

ab

x

ba 10)

abc

qp

ac

pq

ab

qp

222

3322

bc

qp

cb

pq

a

pq 221

2

11) 102910 48 uu )52)(25( 44 uu 12) 33 729st )819)(9( 22 ststst

13)236 2615 yyxx )2)(13( 33 yxyx 14) 5624 ff )7)(8( 22 ff

15) 2

12

3 45 xxx 15 27

21

xxx 16) 22 26 nmnm )2)(23( nmnm

17) 22

64

25

81

144ax

2222

8

3

5

1

8

3

5

1xyxy 18)

25

142 nnba

5

1

5

1 22 nnnn baba

19) 210712 xx )32)(45( xx

20)

345 18153 xxx 653 23 xxx

21) 42025 52104 xx ww 252 25 xw 22) 244050 2 mm )410)(65( mm

23)33 827 pa )469)(23( 22 papapa 24)

32 963 xxx 23213 xxx

25) 6124824 254016 lklklk 2362 54 lklk 26) xaax 2136 1213 xa

27) amxbmbaxa 3344 23 baxma 34 2

28) 27512 3 z )92464)(38( 2 zzz

29) 2222 41616 bavtabtv 224 abvt 30)

357 5 xxx

8125 5 xxx

31) 32

21123

b

a

b

a

b

a

2

741

3

bbb

a 32)

336

25

25

1 24 xx

22

5

1

6

5

x

33)6324 69 yyxx 2323 yx 34) 154420 2 qq )52)(310( qq

35) 33 125xy )255)(5( 22 xxyyxy 36)

282 cba cabcab 44

37)222 468289 zyxyzx

2)217( yzx 38) 122 xx 2)1( x

39) 44

64

9

25

1xy

2222

8

3

5

1

8

3

5

1xyxy 40)

51020

51020 mmm

1

245

5155 mmm

41) 11616 yx ))(( 588588 yxyx 42)

12106249 azyx 653653 77 azxyazxy

43) xyyxyx 4223 4210 32 252 yxyxxy 44)

222 yxyxx xyx 12


45) 46 5yx 2323 55 yxyx 46) 144 2 xx

2)12( x

47) 22 144121 kx )1211)(1211( kxkx 48) 169 2 xx

2)13( x

49) 221 xyyxxy

332312 yxyxyx

50) 656 2 xx )23)(32( xx

51)32222 22 xyzyxzyx 22 22 zxyyx

52)22 211730 qpqp )76)(35( qpqp

53) yxyx 224 14491 22 )71( yx 54) 1245 36 tt )2)(65( 33 tt

55) axxbba 623 22 xba 213 2

56) 84 675 xx )12)(53( 44 xx

57) 9

14 2 nx

3

12

3

12 nn xx 58)

8149

1210

xn b

a

97

97

65

65

xn

xn b

ab

a

59) 222 xxa 222 axa 60)

24129 xx 2)32( x

61) yyxx nnmm 22 164836 246 yx nm 62) 20920 2 ff )45)(54( ff

63) 351312 2 mm )73)(54( mm 64) 151615 2 mm )53)(35( mm

65)2222 3223 abyxyabx 2223 yxab

66) 4379 2 rr )4)(19( rr

67) bxaxaba 2

baxa 68) 144730 2 xx )25)(76( xx

69) byaybxax 422

bayx 22 70) aaa 414 23 1412 aa

71) 24102 aa )4)(6( aa 72) 2832 xx )4)(7( xx

73) ababxx 623 22 312 2 xab 74) 154616 2 xx )52)(38( xx

75)610 164 yx 3535 4242 yxyx 76) 164025 24 mm 22 45 m

77)24 505 bxbx )5)(10( 22 bxbx 78) 87 36 xx )1)(8( 33 xx

79) mxnxnm 142196 xnm 7332 80) 6322 aa )9)(7( aa

81) 12710 2 bb 4532 bb 82)

46236 bax 2323 66 baxbax

83)141024 6449 zwyx 752752 8787 zwyxzwyx 84) 25294 24 xx 1254 22 xx

85) 646 x )164)(4( 242 xxx 86) 12712 2 pp )34)(43( pp


87) 352 2 xx )32)(1( xx 88)86 925 nm 4343 3535 nmnm

89)615 343tp 4251025 4977 ttpptp 89) 615 2 mm )23)(35( mm

90)22 215 mmnn )3)(25( mnmn 91)

64 4916 yx 3232 7474 yxyx

En los siguientes ejercicios debe aplicar varios casos de factorización en cada ejercicio. Debe reducirse lo

máximo posible.

Factorizar completamente las siguientes expresiones.

Ejercicio Respuesta

1) xxx 44 23 2)2( xx

2) xxx 1654 23 )11)(15( xxx

3) xx 425 3 )425( 2 xx

4) 132x

)4)(2( xx

5) 24 82 xx )2)(2(2 2 xxx

6) 31

32

22 xxx

32

2)1(2

xx

7) 21

21

23

2 xxx

2)1(2

3

xx

8) 21

25

xx )1(121

xxx

9) 44 x )2)(2)(2( 2 xxx

10) xx 63 )6)(6( xxx

11) xx 644 )164)(4( 2 xxxx

12) 625 xyyx ))()(( 222 yxyxyxxy

13) 21

21

23

12093

xxx )5)(8(3 21

xxx

14) 31

34

32

31

2522

xxxx 31

31

2)43(

xxx

15) 21

21

121 22

xx 21

13 22

xx


16) 43 48 xx 221 224 xxx

17)88 dc dcdcdcdc 2244

18) 223 48243 abbaa

2)4(3 baa

19) 332764 yxyx )131437(7 22 yxyxyx

20) 4224 92516 nnmm nmnmnmnm 3434 22

21)1212 yx 4224222222 yyxxyxyxyxyxyxyxyx

22) xxx 14440 35 2266 xxxxx

23) 98 24 xx 1192 xxx

24) 98 34 xx 1133 xxxx

25) 87 36 xx 11422 22 xxxxxx

26) 5425 36 xx 2933 32 xxxx

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