Curso de Perfeccionamento Docente

Tecnicas de Conteo

Edwin Villogas H.

Febrero 2015

Preguntas de motivacion

1. ¿Cuantas banderas de 3 bandas horizontales pueden formarse con 3

colores distintos si se utilizan todos? Justifique:

a) Mostrando explıcitamente todas las banderas.b) Realizando un diagrama de arbol.c) Aplicando el Principio del Producto.

2. ¿Cuantas banderas de 4 bandas horizontales pueden formarse con 4colores distintos si se utilizan todos?

3. ¿Cuantas banderas de n bandas horizontales pueden formarse con ncolores distintos si se utilizan todos?

Preguntas de motivacion

1. ¿Cuantas banderas de 3 bandas horizontales pueden formarse con 3

colores distintos si se utilizan todos? Justifique:

a) Mostrando explıcitamente todas las banderas.b) Realizando un diagrama de arbol.c) Aplicando el Principio del Producto.

2. ¿Cuantas banderas de 4 bandas horizontales pueden formarse con 4colores distintos si se utilizan todos?

3. ¿Cuantas banderas de n bandas horizontales pueden formarse con ncolores distintos si se utilizan todos?

Preguntas de motivacion

1. ¿Cuantas banderas de 3 bandas horizontales pueden formarse con 3

colores distintos si se utilizan todos? Justifique:

a) Mostrando explıcitamente todas las banderas.b) Realizando un diagrama de arbol.c) Aplicando el Principio del Producto.

2. ¿Cuantas banderas de 4 bandas horizontales pueden formarse con 4colores distintos si se utilizan todos?

3. ¿Cuantas banderas de n bandas horizontales pueden formarse con ncolores distintos si se utilizan todos?

Preguntas de motivacion

1. ¿Cuantas banderas de 3 bandas horizontales pueden formarse con 3

colores distintos si se utilizan todos? Justifique:

a) Mostrando explıcitamente todas las banderas.b) Realizando un diagrama de arbol.c) Aplicando el Principio del Producto.

2. ¿Cuantas banderas de 4 bandas horizontales pueden formarse con 4colores distintos si se utilizan todos?

3. ¿Cuantas banderas de n bandas horizontales pueden formarse con ncolores distintos si se utilizan todos?

1. Principio del Producto

PrincipioEl principio del producto dice que si existen x formas de tomar una decisionD1 y, tomada la decision D1, existen y formas de tomar la decision D2,entonces el numero de formas para tomar sucesivamente las decisiones D1 yD2 es xy.

EjemploCon 5 hombres y 4 mujeres, ¿de cuantas formas se puede formar una parejamixta?

EjemploUna bandera esta formada por 7 franjas que deben ser de colores usandosolamente los colores verde, azul y plomo. Si cada franja debe ser de uncolor y no se pueden usar colores iguales en franjas contiguas, ¿De cuantasformas se puede colorear la bandera?

Ejemplo¿Cuantos numeros de tres dıgitos distintos existen?

Ejemplo¿Cuantos numeros impares de tres dıgitos distintos existen?

1. Principio del Producto

PrincipioEl principio del producto dice que si existen x formas de tomar una decisionD1 y, tomada la decision D1, existen y formas de tomar la decision D2,entonces el numero de formas para tomar sucesivamente las decisiones D1 yD2 es xy.

EjemploCon 5 hombres y 4 mujeres, ¿de cuantas formas se puede formar una parejamixta?

EjemploUna bandera esta formada por 7 franjas que deben ser de colores usandosolamente los colores verde, azul y plomo. Si cada franja debe ser de uncolor y no se pueden usar colores iguales en franjas contiguas, ¿De cuantasformas se puede colorear la bandera?

Ejemplo¿Cuantos numeros de tres dıgitos distintos existen?

Ejemplo¿Cuantos numeros impares de tres dıgitos distintos existen?

1. Principio del Producto

PrincipioEl principio del producto dice que si existen x formas de tomar una decisionD1 y, tomada la decision D1, existen y formas de tomar la decision D2,entonces el numero de formas para tomar sucesivamente las decisiones D1 yD2 es xy.

EjemploCon 5 hombres y 4 mujeres, ¿de cuantas formas se puede formar una parejamixta?

EjemploUna bandera esta formada por 7 franjas que deben ser de colores usandosolamente los colores verde, azul y plomo. Si cada franja debe ser de uncolor y no se pueden usar colores iguales en franjas contiguas, ¿De cuantasformas se puede colorear la bandera?

Ejemplo¿Cuantos numeros de tres dıgitos distintos existen?

Ejemplo¿Cuantos numeros impares de tres dıgitos distintos existen?

1. Principio del Producto

PrincipioEl principio del producto dice que si existen x formas de tomar una decisionD1 y, tomada la decision D1, existen y formas de tomar la decision D2,entonces el numero de formas para tomar sucesivamente las decisiones D1 yD2 es xy.

EjemploCon 5 hombres y 4 mujeres, ¿de cuantas formas se puede formar una parejamixta?

EjemploUna bandera esta formada por 7 franjas que deben ser de colores usandosolamente los colores verde, azul y plomo. Si cada franja debe ser de uncolor y no se pueden usar colores iguales en franjas contiguas, ¿De cuantasformas se puede colorear la bandera?

Ejemplo¿Cuantos numeros de tres dıgitos distintos existen?

Ejemplo¿Cuantos numeros impares de tres dıgitos distintos existen?

1. Principio del Producto

PrincipioEl principio del producto dice que si existen x formas de tomar una decisionD1 y, tomada la decision D1, existen y formas de tomar la decision D2,entonces el numero de formas para tomar sucesivamente las decisiones D1 yD2 es xy.

EjemploCon 5 hombres y 4 mujeres, ¿de cuantas formas se puede formar una parejamixta?

EjemploUna bandera esta formada por 7 franjas que deben ser de colores usandosolamente los colores verde, azul y plomo. Si cada franja debe ser de uncolor y no se pueden usar colores iguales en franjas contiguas, ¿De cuantasformas se puede colorear la bandera?

Ejemplo¿Cuantos numeros de tres dıgitos distintos existen?

Ejemplo¿Cuantos numeros impares de tres dıgitos distintos existen?

1. Principio del Producto

PrincipioEl principio del producto dice que si existen x formas de tomar una decisionD1 y, tomada la decision D1, existen y formas de tomar la decision D2,entonces el numero de formas para tomar sucesivamente las decisiones D1 yD2 es xy.

EjemploCon 5 hombres y 4 mujeres, ¿de cuantas formas se puede formar una parejamixta?

EjemploUna bandera esta formada por 7 franjas que deben ser de colores usandosolamente los colores verde, azul y plomo. Si cada franja debe ser de uncolor y no se pueden usar colores iguales en franjas contiguas, ¿De cuantasformas se puede colorear la bandera?

Ejemplo¿Cuantos numeros de tres dıgitos distintos existen?

Ejemplo¿Cuantos numeros impares de tres dıgitos distintos existen?

2. Principio de la suma

PrincipioEl principio de la suma dice que si una situacion puede ocurrir de mmaneras diferentes y otra de k maneras diferentes, incompatibles las unascon las otras, entonces existen m + k maneras en las cuales puede ocurrir laprimera o la segunda, mas no ambas.

EjemploPara viajar de la ciudad A a la ciudad B se cuentan con dos lıneas aereas ycinco de transporte terrestre ¿De cuantas formas distintas se puede viajarde A a B?

Ejemplo¿Cuantos numeros enteros hay entre 1 y 50 que sean multiplos de 7 o de 11?

2. Principio de la suma

PrincipioEl principio de la suma dice que si una situacion puede ocurrir de mmaneras diferentes y otra de k maneras diferentes, incompatibles las unascon las otras, entonces existen m + k maneras en las cuales puede ocurrir laprimera o la segunda, mas no ambas.

EjemploPara viajar de la ciudad A a la ciudad B se cuentan con dos lıneas aereas ycinco de transporte terrestre ¿De cuantas formas distintas se puede viajarde A a B?

Ejemplo¿Cuantos numeros enteros hay entre 1 y 50 que sean multiplos de 7 o de 11?

2. Principio de la suma

PrincipioEl principio de la suma dice que si una situacion puede ocurrir de mmaneras diferentes y otra de k maneras diferentes, incompatibles las unascon las otras, entonces existen m + k maneras en las cuales puede ocurrir laprimera o la segunda, mas no ambas.

EjemploPara viajar de la ciudad A a la ciudad B se cuentan con dos lıneas aereas ycinco de transporte terrestre ¿De cuantas formas distintas se puede viajarde A a B?

Ejemplo¿Cuantos numeros enteros hay entre 1 y 50 que sean multiplos de 7 o de 11?

2. Principio de la suma

PrincipioEl principio de la suma dice que si una situacion puede ocurrir de mmaneras diferentes y otra de k maneras diferentes, incompatibles las unascon las otras, entonces existen m + k maneras en las cuales puede ocurrir laprimera o la segunda, mas no ambas.

EjemploPara viajar de la ciudad A a la ciudad B se cuentan con dos lıneas aereas ycinco de transporte terrestre ¿De cuantas formas distintas se puede viajarde A a B?

Ejemplo¿Cuantos numeros enteros hay entre 1 y 50 que sean multiplos de 7 o de 11?

3. Principio del producto o principio de la suma

Ejemplo

¿Cuantos numeros pares de tres dıgitos distintos existen?

Ejemplo

a) ¿Cuantos divisores positivos posee el numero 360?.

b) ¿Cuantos de ellos son pares?.

c) ¿Cuantos son impares?.

c) ¿Cuantos son cuadrados perfectos?.

3. Principio del producto o principio de la suma

Ejemplo

¿Cuantos numeros pares de tres dıgitos distintos existen?

Ejemplo

a) ¿Cuantos divisores positivos posee el numero 360?.

b) ¿Cuantos de ellos son pares?.

c) ¿Cuantos son impares?.

c) ¿Cuantos son cuadrados perfectos?.

3. Principio del producto o principio de la suma

Ejemplo

¿Cuantos numeros pares de tres dıgitos distintos existen?

Ejemplo

a) ¿Cuantos divisores positivos posee el numero 360?.

b) ¿Cuantos de ellos son pares?.

c) ¿Cuantos son impares?.

c) ¿Cuantos son cuadrados perfectos?.

3. Principio del producto o principio de la suma

Ejemplo

¿Cuantos numeros pares de tres dıgitos distintos existen?

Ejemplo

a) ¿Cuantos divisores positivos posee el numero 360?.

b) ¿Cuantos de ellos son pares?.

c) ¿Cuantos son impares?.

c) ¿Cuantos son cuadrados perfectos?.

3. Principio del producto o principio de la suma

Ejemplo

¿Cuantos numeros pares de tres dıgitos distintos existen?

Ejemplo

a) ¿Cuantos divisores positivos posee el numero 360?.

b) ¿Cuantos de ellos son pares?.

c) ¿Cuantos son impares?.

c) ¿Cuantos son cuadrados perfectos?.

3. Principio del producto o principio de la suma

Ejemplo

¿Cuantos numeros pares de tres dıgitos distintos existen?

Ejemplo

a) ¿Cuantos divisores positivos posee el numero 360?.

b) ¿Cuantos de ellos son pares?.

c) ¿Cuantos son impares?.

c) ¿Cuantos son cuadrados perfectos?.

3. Principio del producto o principio de la suma

Ejemplo

¿Cuantos numeros pares de tres dıgitos distintos existen?

Ejemplo

a) ¿Cuantos divisores positivos posee el numero 360?.

b) ¿Cuantos de ellos son pares?.

c) ¿Cuantos son impares?.

c) ¿Cuantos son cuadrados perfectos?.

4. Permutaciones simples

Ejemplo¿Cuantas palabras de cinco letras distintas, sin importar el sentido quetengan, se pueden formar con las letras de la palabra CALOR?

Ejemplo¿De cuantas formas podemos ordenar en fila cinco objetos distintos?

Ejemplo¿De cuantas formas podemos ordenar en fila n objetos distintos?

4. Permutaciones simples

Ejemplo¿Cuantas palabras de cinco letras distintas, sin importar el sentido quetengan, se pueden formar con las letras de la palabra CALOR?

Ejemplo¿De cuantas formas podemos ordenar en fila cinco objetos distintos?

Ejemplo¿De cuantas formas podemos ordenar en fila n objetos distintos?

4. Permutaciones simples

Ejemplo¿Cuantas palabras de cinco letras distintas, sin importar el sentido quetengan, se pueden formar con las letras de la palabra CALOR?

Ejemplo¿De cuantas formas podemos ordenar en fila cinco objetos distintos?

Ejemplo¿De cuantas formas podemos ordenar en fila n objetos distintos?

4. Permutaciones simples

Ejemplo¿Cuantas palabras de cinco letras distintas, sin importar el sentido quetengan, se pueden formar con las letras de la palabra CALOR?

Ejemplo¿De cuantas formas podemos ordenar en fila cinco objetos distintos?

Ejemplo¿De cuantas formas podemos ordenar en fila n objetos distintos?

DefinicionCada orden que se da a los objetos es llamado permutacion simple de losobjetos.

Ası, por ejemplo, las permutaciones simples de las letras a, b y c son: (abc),(acb), (bac), (bca), (cab), (cba).

Por lo tanto, el numero de permutaciones simples de n objetos distintos es

Pn = n!

DefinicionCada orden que se da a los objetos es llamado permutacion simple de losobjetos.

Ası, por ejemplo, las permutaciones simples de las letras a, b y c son: (abc),(acb), (bac), (bca), (cab), (cba).

Por lo tanto, el numero de permutaciones simples de n objetos distintos es

Pn = n!

DefinicionCada orden que se da a los objetos es llamado permutacion simple de losobjetos.

Ası, por ejemplo, las permutaciones simples de las letras a, b y c son: (abc),(acb), (bac), (bca), (cab), (cba).

Por lo tanto, el numero de permutaciones simples de n objetos distintos es

Pn = n!

DefinicionCada orden que se da a los objetos es llamado permutacion simple de losobjetos.

Ası, por ejemplo, las permutaciones simples de las letras a, b y c son: (abc),(acb), (bac), (bca), (cab), (cba).

Por lo tanto, el numero de permutaciones simples de n objetos distintos es

Pn = n!

5. Combinaciones simples

Ejemplo¿De cuantas formas podemos separar 8 objetos en un grupo de 5 y otro de3?

Ejemplo¿De cuantas formas podemos seleccionar 5 objetos distintos de 8 objetosdados?

Ejemplo¿De cuantas formas podemos seleccionar p objetos distintos de n objetosdados?

5. Combinaciones simples

Ejemplo¿De cuantas formas podemos separar 8 objetos en un grupo de 5 y otro de3?

Ejemplo¿De cuantas formas podemos seleccionar 5 objetos distintos de 8 objetosdados?

Ejemplo¿De cuantas formas podemos seleccionar p objetos distintos de n objetosdados?

5. Combinaciones simples

Ejemplo¿De cuantas formas podemos separar 8 objetos en un grupo de 5 y otro de3?

Ejemplo¿De cuantas formas podemos seleccionar 5 objetos distintos de 8 objetosdados?

Ejemplo¿De cuantas formas podemos seleccionar p objetos distintos de n objetosdados?

5. Combinaciones simples

Ejemplo¿De cuantas formas podemos separar 8 objetos en un grupo de 5 y otro de3?

Ejemplo¿De cuantas formas podemos seleccionar 5 objetos distintos de 8 objetosdados?

Ejemplo¿De cuantas formas podemos seleccionar p objetos distintos de n objetosdados?

DefinicionCada seleccion de p objetos es llamada combinacion simple de clase p de losn objetos.

El numero de combinaciones esta dado por

Cnp =

n!

p!(n− p)!

EjemploLas combinaciones simples de clase 3 de los objetos a, b, c, d, e son:

{a, b, c}, {a, b, d}, {a, b, e}, {a, c, d}, {a, c, e},{a, d, e}, {b, c, d}, {b, c, e}, {b, d, e}, {c, d, e}.

Ası

C53 =

(5

3

)= 10.

DefinicionCada seleccion de p objetos es llamada combinacion simple de clase p de losn objetos.

El numero de combinaciones esta dado por

Cnp =

n!

p!(n− p)!

EjemploLas combinaciones simples de clase 3 de los objetos a, b, c, d, e son:

{a, b, c}, {a, b, d}, {a, b, e}, {a, c, d}, {a, c, e},{a, d, e}, {b, c, d}, {b, c, e}, {b, d, e}, {c, d, e}.

Ası

C53 =

(5

3

)= 10.

DefinicionCada seleccion de p objetos es llamada combinacion simple de clase p de losn objetos.

El numero de combinaciones esta dado por

Cnp =

n!

p!(n− p)!

EjemploLas combinaciones simples de clase 3 de los objetos a, b, c, d, e son:

{a, b, c}, {a, b, d}, {a, b, e}, {a, c, d}, {a, c, e},{a, d, e}, {b, c, d}, {b, c, e}, {b, d, e}, {c, d, e}.

Ası

C53 =

(5

3

)= 10.

DefinicionCada seleccion de p objetos es llamada combinacion simple de clase p de losn objetos.

El numero de combinaciones esta dado por

Cnp =

n!

p!(n− p)!

EjemploLas combinaciones simples de clase 3 de los objetos a, b, c, d, e son:

{a, b, c}, {a, b, d}, {a, b, e}, {a, c, d}, {a, c, e},{a, d, e}, {b, c, d}, {b, c, e}, {b, d, e}, {c, d, e}.

Ası

C53 =

(5

3

)= 10.

EjemploCon 5 hombres y 4 mujeres, ¿Cuantas comisiones de 5 personas, con 3hombres exactamente, se pueden formar?

EjemploCon 5 hombres y 4 mujeres, ¿Cuantas comisiones de 5 personas, con por lomenos 3 hombres, pueden ser formadas ?

EjemploSe tienen 5 puntos sobre una recta R y 8 puntos sobre una recta R′ paralelaa R. ¿Cuantos triangulos y cuantos cuadrilateros convexos con vertices enesos puntos existen?

Ejemplo

Con 5 hombres y 4 mujeres, ¿Cuantas comisiones de 5 personas, con 3hombres exactamente, se pueden formar?

EjemploCon 5 hombres y 4 mujeres, ¿Cuantas comisiones de 5 personas, con por lomenos 3 hombres, pueden ser formadas ?

EjemploSe tienen 5 puntos sobre una recta R y 8 puntos sobre una recta R′ paralelaa R. ¿Cuantos triangulos y cuantos cuadrilateros convexos con vertices enesos puntos existen?

EjemploCon 5 hombres y 4 mujeres, ¿Cuantas comisiones de 5 personas, con 3hombres exactamente, se pueden formar?

EjemploCon 5 hombres y 4 mujeres, ¿Cuantas comisiones de 5 personas, con por lomenos 3 hombres, pueden ser formadas ?

EjemploSe tienen 5 puntos sobre una recta R y 8 puntos sobre una recta R′ paralelaa R. ¿Cuantos triangulos y cuantos cuadrilateros convexos con vertices enesos puntos existen?

EjemploCon 5 hombres y 4 mujeres, ¿Cuantas comisiones de 5 personas, con 3hombres exactamente, se pueden formar?

Ejemplo

Con 5 hombres y 4 mujeres, ¿Cuantas comisiones de 5 personas, con por lomenos 3 hombres, pueden ser formadas ?

EjemploSe tienen 5 puntos sobre una recta R y 8 puntos sobre una recta R′ paralelaa R. ¿Cuantos triangulos y cuantos cuadrilateros convexos con vertices enesos puntos existen?

EjemploCon 5 hombres y 4 mujeres, ¿Cuantas comisiones de 5 personas, con 3hombres exactamente, se pueden formar?

EjemploCon 5 hombres y 4 mujeres, ¿Cuantas comisiones de 5 personas, con por lomenos 3 hombres, pueden ser formadas ?

EjemploSe tienen 5 puntos sobre una recta R y 8 puntos sobre una recta R′ paralelaa R. ¿Cuantos triangulos y cuantos cuadrilateros convexos con vertices enesos puntos existen?

EjemploCon 5 hombres y 4 mujeres, ¿Cuantas comisiones de 5 personas, con 3hombres exactamente, se pueden formar?

EjemploCon 5 hombres y 4 mujeres, ¿Cuantas comisiones de 5 personas, con por lomenos 3 hombres, pueden ser formadas ?

Ejemplo

Se tienen 5 puntos sobre una recta R y 8 puntos sobre una recta R′ paralelaa R. ¿Cuantos triangulos y cuantos cuadrilateros convexos con vertices enesos puntos existen?

EjemploCon 5 hombres y 4 mujeres, ¿Cuantas comisiones de 5 personas, con 3hombres exactamente, se pueden formar?

EjemploCon 5 hombres y 4 mujeres, ¿Cuantas comisiones de 5 personas, con por lomenos 3 hombres, pueden ser formadas ?

EjemploSe tienen 5 puntos sobre una recta R y 8 puntos sobre una recta R′ paralelaa R. ¿Cuantos triangulos y cuantos cuadrilateros convexos con vertices enesos puntos existen?