Curso: Matemática SOLUCIONARIO MATEMATICA ......13 56. La alternativa correcta es D Pendiente de AB...

SOLUCIONARIO

MATEMATICA Experiencia PSU MA02-3M-2018

1. La alternativa correcta es E

3 5 7 + +

100 1.000 100.000 =

3.000 500 7 3.507 + + =

100.000 100.000 100.000 100.000 = 0,03507

2. La alternativa correcta es B

1

13

13

3 1

= 1

13

13

2

= 1

23

5

= 5

13

3. La alternativa correcta es C

a = -5

8 y b = -

1

2, entonces

-2a – b2 = -25

-8

– 2

1-2

= 5 1

4 4

= 1


5

6L –

1

6L =

4

6 +

3

6 +

5

6 / · 6

4

6L =

12

6

L = 3

5. La alternativa correcta es A

P(24) = 2 · 4 · 6 · 8 · … · 22 · 24

P(24) = 2 · 4 · 6 · 8 · … · 20 · 2 · 11 · 24

Luego, el mayor factor primo es 11.

Curso: Matemática

2


p = 7000

6999, q =

7000

6990 y r =

7000

6900.

p < q < r

I) Falso. p < q, ya que 7000

6999 <

7000

6990

II) Falso. r > p, ya que 7000

6900 >

7000

6999

III) Falso. q < r, ya que 7000

6990 <

7000

6900


2

5S1 =

3

5S2

2 24

3

= S2 S2 = 16


(1) Insuficiente

Si a + b = 6, se puede tener distintos valores.

(2) Suficiente

Si ab = ba, entonces a = 2 y b = 4

O bien, a = 4 y b = 2

a + b 6

= ab 8

9. La alternativa correcta es D

3 3 3 6625 1 1 1

= = = 10.000 16 4 2

3


I) Verdadero. La suma de dos números racionales es un número racional.

II) Verdadero. El producto de dos números racionales es un número racional.

III) Falso. El cuociente de dos números racionales es un número racional, salvo que

se divida por cero. Ejemplo, 4

0 no es un número racional.


Como mn = 3, se tiene m = 3 y n = 1 o bien m = 1 y n = 3.

En cualquiera de esos casos resulta 24 = 16.


log2 2 = 1

logc 1 = 0


-2 x = -12 (-2 – 1)(x + 1) = -12

(x + 1) = 4

x = 3


3 3 3 3

3

3 3 3 3

3 + 3 + 3 + 3

4 + 4 + 4 + 4 =

3

3

3

4 3 3 =

44 4


Z1 · Z2 = (3, 4) · (2, -7) = (3 + 4i)(2 – 7i) = 6 – 21i + 8i – 28i2

= 6 – 13i + 28

= 34 – 13i = Z3

3Z = (34, 13)

4


z = 2 24 + (-3) = 25 = 5


Con ambas informaciones por separado se determina que n = 5

6


1 1 1 + +

t 2t 3t =

6 + 3 + 2 11 =

6t 6t


(p + q)(p q)

q p

= -(p + q), pero p + q = 3

Luego, lo pedido es -3.


(k2 – 1)(k2 + 1) + 1 = (k4 – 1) + 1 = k4


2(0,7)2 – 2,4(0,7) – 1,7 = 2(0,49) – 1,68 – 1,7 =

0,98 – 1,68 – 1,7 = -2,40

5


c2 – 2c + 1 = 0 (c – 1)2 = 0 c = 1

c2 - 1

c = 0 y c +

2

1

c = 2


P P 8P 5P 3P = =

10 16 80 80 80


6x 24 30

= 6 6

x – 4 = 5

(x – 4)2 = 25


4 < 7 x

3

12 < 7 – x x < -5

I) Falso.

II) Verdadero.

x + 3 > 2 x + 3 > 2 ó x + 3 < -2

x > -1 ó x < -5

III) Verdadero.

–(x + 5) > 0 x < -5

6


3

2

x 8

x + 2x + 4

=

2

2

(x 2)(x + 2x + 4)

x + 2x + 4

= x – 2 = 2 – 2


2x + 2y + 2z = 38 x + y + z = 19

15 + z = 19

z = 4

y = 6

x = 9

Por lo tanto, z < y < x


(1) Suficiente. a + 2b = 5b a = 3b b 1

= 3b 3

(2) Suficiente. Si a = 3b, entonces b

a =

b 1 =

3b 3


f(-1) = (-1)2 – (-1)3 = 1 + 1 = 2


f(f(x)) = f(x) + 1

f(x) 1 =

x + 1 + 1

x 1x + 1

1x 1

=

x + 1 + x 1

x 1x + 1 x + 1

x 1

= 2x

2 = x


f(a) f(b)

b a

=

2a + b ab b a(a b) = = -a

b a b a

7


I) Para f(x) = -x3 + 2, se tiene

f(-1) = -(-1)3 + 2

= -(-1) + 2

= 3

f(1) = -(1)3 + 2

= -1 + 2

= 1

Luego, f(-1) > f(1), por lo tanto, cumple

II) Para f(x) = -x2 + 2, se tiene

f(-1) = -(-1)2 + 2

= -1 + 2

= 1

f(1) = -(1)2 + 2

= -1 + 2

= 1

Luego, f(-1) = f(1), por lo tanto, no cumple

III) Para f(x) = -x-1 + 2, se tiene

f(-1) = -1

-1 + 2 = 1 + 2 = 3

f(1) = -1

1 + 2 = -1 + 2 = 1

Luego, f(-1) > f(1), por lo tanto, cumple


g(x – 1) = 3(x – 1) – 2 = 3x – 3 – 2 = 3x – 5

g(x – 1) – g(x) = (3x – 5) – (3x – 2) = -3

g(x – 1) – g(x) = 5x

-3 = 5x x = -3

5


En f(x) = (a – 1)x + b + 1, m = a – 1 < 0

a < 1

y

n = b + 1 < 0

b < -1

I) Verdadero. a – b < 0, luego a < 1

II) Falso. b + 1 < 0, luego b < -1

III) Falso. a < 1 y b < -1, luego a puede ser mayor a b.

8


Como y = y, entonces

-x2 = x2 – k

Y como d = 12, entonces –(6)2 = –(6)2 – k

k = -72 = 72


(1) Insuficiente. Se desconoce a y b.

(2) Insuficiente. Solo se puede afirmar que a + b = 5

(1) y (2) Insuficiente. a + b = 5 pero se desconocen por separado.

Se requiere información adicional.


I) Verdadero. Al trazar las 3 medianas se forman 4 triángulos congruentes en todo

triángulo.

II) Falso. No dice que es rectángulo en C.

III) Verdadero. Al trazar la simetral no se forman 2 triángulos necesariamente.


Si (a, b) es un punto del plano y se rota en 90° en sentido antihorario queda con

coordenadas (-b, a).


M = 7 + x 12 + y

, 2 2

Al rotar (-13, 8) en 180° en torno al origen resulta (13, -8)

7 + x = -3

2 x = -13

12 + y = 10

2 y = 8

9


Base del triángulo = 6

Altura del triángulo = 3 3

Distancia de G al eje x = 3

Luego, G = (3, 3 ) y su simétrico G’ = (3, - 3 )

Donde,

a = 3 y b = - 3


Dos vectores son paralelos si uno de ellos es el ponderado del otro.

I) Verdadero. a = 2

3c

II) Falso. b · d 0

III) Verdadero. c = -6b


w = (-2, -5) + (1, 1) = (-1, -4)

w = 1 + 16 = 17


Los triángulos ABE y CDE son semejantes cuyos lados homólogos están en la razón

2 : 3, luego x 2

= 12 3

, donde x = 8.


Como ACB es rectángulo en C y AEO es rectángulo en E.

I) Verdadero. Si CAB = OAE, son semejantes por A-A.

II) Verdadero. AE = 1

2BC, son por LLA>.

III) Verdadero. Si BOD = 120° DOA = 60°, luego son por A-A

10


MQ : PQ = 3 : 7 MQ : PM = 3 : 4 PM = 6

Aplicando el Teorema de las cuerdas se tiene:

4,5 · 6 = 9 · MR MR = 3


Los triángulos DEC y ABC son semejantes cuyos lados homólogos están en la

razón 12 : 16 = 3 : 4.

Luego, las áreas pedidas están en razón 2

3

4

= 9

16


(1) Suficiente

P(x, y) P’(x + a, y + b) P’’(x + a + c, y + b + d)

Si se conoce P y P’’ se tiene x, y; a + c y b + d

(2) Insuficiente

Si se conoce x, y, a y b, aún no se tiene c y d.


I) Falso. TS < r; 6 < r

II) Falso

82 = 5(10 + x)

64 = 50 + 5x

14 = 5x 14

5 = x

III) Verdadero PR 5

= ST 6


ABC = 25° y BCD = 45° (subtiende un arco de 90°)

AEC = 25° + 45° = 70°

(a,b) (c,d)

P T

Q

S R

O

8

5

5

6

x

11


Dibujando un trazo que una O con el punto medio del

segmento que mide 16 mm, se determina en él

2 segmentos de 8 mm

Por Teorema de Pitágoras el radio mide 10 mm.


I) Falso

MR : MQ = 1 : 2 MQ = 8

De donde, PQ = 16

II) Falso

MR 1

= PR 3

MR = 16

3 = 5,3

Luego, 2 · 16

3 =

32

3 = 10,6

III) Verdadero. Si RQ = 8, como MQ = 12, entonces MQ : RQ = 3 : 2

10

8

O

16 mm

O

A B

D C

Q P 12 mm 10 6

8

P M R Q

4

P M R Q

16

12


Como PR : RO = 3 : 4 PR = 6 y RQ = 8

Aplicando el Teorema de las Cuerdas, se tiene, siendo x el diámetro

6 · 14 = 4(4 + x) 4x = 6 · 14 – 16 x = 17, por lo tanto el perímetro de la

circunferencia es 17 · .


Perímetro : a 3 + a 3 + a 3 = 3a 3


3 -1

= 11x 1

x3

11 – 3x = -x + 1 x = 5


Si AD = DF = x, entonces DF + FC = x + 12

Como x(x + 12) = 540, entonces x2 + 12x – 540 = 0

(x – 18)(x + 30) = 0 x = 18

Área achurada 18 · 12 = 216

A

B

C

D

E

F

a

a

a a

a

a

60

30

a3

2

30

a a

60

30 a

32

a

2

13


Pendiente de AB = 1

2 pendiente de L = -2

Punto medio de AB = (-2, 1)

Ecuación de L = y – 1 = -2(x + 2) y = -2x – 3

Altura CBD = 2

Base CBD = 5

Área = 2 5

2

= 5


Si el radio es r, entonces el área del triángulo es r2 3 .

La suma de las áreas de los tres sectores es 1

2r2.

r2 3 – 1

2r2 = r2 1

3 2

Pero el área dada es

64 3 – 32 = 641

3 2

r2 = 64 r = 8


(1) Suficiente

Luego, ABC es 30°, 60°, 90°, de donde BC = 2 3

(2) Suficiente

Luego, ABC es 30°, 60°, 90°, de donde BC = 4

23 = 2 3

C

A B

60°

4

C

A B

60° 30°

2

14


Rango: 90 – 50 = 40

Amplitud : 40

5 = 8

a b c d = = =

2 3 4 5

a = 2t

b = 3t

c = 4t

d = 5t

Luego, el porcentaje pedido es 2t + 4t 6t

= 16t 16t

= 6

16t = 0,375 = 37,50%


I) Verdadero. Variación entre jueves y viernes es 700 – 100 = 600, la que corresponde

a la mayor variación diaria.

II) Verdadero. Variación entre martes y miércoles es 200 y la variación entre miércoles

y jueves es 100.

III) Verdadero. Lunes = 500, Martes = 400, Miércoles = 200, Jueves = 100,

Viernes = 700 y Sábado = 600, luego nunca faltaron desodorantes en barra.

a

b

c

d

50 90 masa (kg)

f

58 66 74 82

el total es a + b + c + d + a = 16t

100

200

300

400

500

600

700

Lu Ma Mi Ju Vi Sa

N°Desodorantes

Días

15


3 + 5 + 2 + 8 + m + 3x =

6

4 = 21 + m

6

24 = 21 + m

3 = m


Si el promedio obtenido por valores = x

Entonces,

15P + 10x

25 = 580 15P + 10x = 14.500 x =

14.500 15P

10

x = 1.450 - 3

2P


I) Verdadero.12 3 + 13 3 + 14 3 + 15 1 + 16 3 + 17 4 + 18 1 + 19 1

x = 3 + 3 + 3 + 1 + 3 + 4 + 1 + 1

= 15

II) Falso. La moda es 17

III) Falso. La mediana es 15


Se trata de una combinación 9

3


Si la variable aleatoria es obtener fichas verdes, y se sacan dos fichas, este puede tomar

los valores 0, 1 y 2.

Luego, las tres proposiciones son falsas.

16


Por definición.

P(A/B) = P(A B)

P(B)


I) Verdadero.

Alumnos con notas menores a 5 son 13, luego P = 13

40

II) Verdadero.

Mediana = 5

III) Falso.

3 + 10 + 14 + 11 + m = 40

38 + m = 40

m = 2


(n 2)!(n 1) n

(n 2)!

= 12 n2 – n – 12 = 0

(n – 4)(n + 3) = 0

n = 4

I) Falso. n = 4 y n 3

II) Verdadero. n = 4

III) Falso. n = 4 y n -3


(1) Insuficiente

No se conocen los datos

(2) Insuficiente

Si 0 es el dato central, no permite determinar el promedio.

Con (1) y (2) se puede determinar la media aritmética, si todos los datos son iguales y el

dato central es 0, entonces la media es 0, dado que implicaría que todos los datos son 0.

Calificación 3 4 5 6 7

Frecuencia 3 10 14 11 m

17


I) Falso

P(C D) = P(C) + P(D) – P(D C)

= 0,42 + 0,36 – 0,1512

= 0,6288

II) Verdadero

P(C D) = P(C) · P(D)

= 0,42 · 0,36

= 0,1512

III) Falso

P(C) – P(D) = 0,42 – 0,36

= 0,06


Hay 3 casos: mm = par

Par par + par impar + impar par

1 1

2 3

+ 1 2

2 3

+ 1 1

2 3

1

6 +

1

3 +

1

6 =

4

6 =

2

3


Se trata de una variación

53

5!V =

(5 3)! = 3 · 4 · 5 = 60


4

3 x =

10010 x =

300

10.000 = 0,03

18


I) La varianza es una medida de dispersión con respecto al promedio.

II) Los cuartiles son medidas de posición o localización.

III) La mediana es una medida de centralización.


Casos posibles =1 2

cant. total de elemento!

cant. elementos repetido ! cant. elementos repetido !

Casos posibles = 5!

2! 2!

(cok repet) (pep repet)

=

5 42

3 2

2 2 = 30

Casos favorables:

Cada grupo de 2 Pep y 1 Lim = 3!

2! = 3

Posibles posiciones en fila de 5 = 3

Casos favorables= 3 · 3 = 9

Esquema casos favorables

Probabilidad pedida = 9

30 =

3

10


(n 1) + n + (n + 1)

= x3

x = n = 2 2 2(-1) + 0 + 1

3 =

2

3 =

6

3

P P L C C

C P P L C

C C P P L

P L P C C

C P L P C

C C P L P

L P P C C

C L P P C

C C L P P

Pep repetidas

19


Prob. que Julio no lo resuelva = 1

5

Prob. que Alex no lo resuelva = 1

3

Prob. que Mario no lo resuelva = 4

7

Probabilidad Pedida = 1 - 1

5 ·

1

3 ·

4

7 = 1 -

4

105 =

101

105


E(X) = 0,4 · 0 + 0,2 · 1 + 0,1 · 4 + 0,3 · 8 = 3


Pueden ser 3 puntos (1, 1, 1)

Pueden ser 4 puntos (1, 1, 2)

(1, 2, 1)

(2, 1, 1)

Luego, la probabilidad pedida es:

P = 1 - 4

216 =

53

54


(1) Suficiente. Si se conoce el número de alumnos que rindió el examen se puede

determinar n.

(2) Insuficiente. Si la mediana es igual a la moda, no se puede determinar la frecuencia

acumulada.

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