Curso para formación de delineantes. · 2017. 6. 12. · Viga empotrada por un extremo y cargada...

Curso para formación de delineantes.

Conocimientos elementales de Resistencia de Materiales, composición de fuerzas, cálculo de pesos y croquizado.

1977

Carlos R. Alonso Prieto

02/05/1977

2


Curso para formación de delineantes. 3

Introducción.

Este curso se impartió por el autor en Construcciones Aeronáuticas dentro de un plan para

incrementar los conocimientos técnicos de los delineantes que entonces (1977) integraban la oficina

de Diseño de Utillaje de la planta de Tablada en Sevilla. En este contexto se impartieron cursos de

conocimientos elementales de resistencia de materiales, tecnología mecánica aplicada a la

aeronáutica, geometría descriptiva, etc.

El borrador de este curso que incluye la parte de conocimientos elementales de Resistencia de

Materiales, composición de fuerzas, cálculo de pesos y croquizado, se escribió totalmente a mano,

así como se dibujaron abocetadas todas las figuras que le acompañan en la idea (en aquellos

tiempos en que todavía no había aparecido el ordenador personal) de pasarlo luego a máquina y

delinear convenientemente las figuras. Pero aquel “paso a limpio” resultó más largo y arduo de lo

previsto, por lo que llegado el momento en que había que empezar a dar los cursos, se decidió

fotocopiar directamente el original a mano y repartirlo tal cual bajo la forma de cuadernillos que se

iban entregando sucesivamente.

Pasado el tiempo, un día encontré en un armario el original y ya, dotado de más medios, decidí

pasarlo a limpio, pero conservando las figuras tal como estaban en boceto a mano, pues creo que así

se transmite algo del mucho trabajo, la frescura e ilusión con que se abordaron estos cursos.

Mucha gente me ha transmitido a lo largo del tiempo lo mucho que aquellos cursos les ayudaron en

su desarrollo profesional, por lo que ahora espero que si se los encuentran pasados a limpio les

sirvan para tener un recuerdo amable de lo que en su momento, mucho más jóvenes, hicieron.

Sevilla, marzo 2010.

4


Nota sobre las unidades de medida.

En este curso, por razones de simplicidad, se ha optado por la utilización como unidad de fuerza el

kilogramo-fuerza o kilopondio = 9,80665 Newton, pero denotado como kg, ya que es la manera en

que en el habla corriente se suele utilizar, aunque kg es técnicamente la notación para la unidad de

masa, no la de fuerza.

Así mismo, aunque se emplea también el metro y otras unidades, en general como unidades de

longitud y superficie se ha adoptado el milímetro, mm, y el milímetro cuadrado, mm2,

respectivamente ya que son las unidades más empleadas en la construcción mecánica en general y

aeronáutica en particular.

Agradecimientos:

Se agradece especialmente la contribución del Delineante Proyectista José María Gómez García en

la preparación de la parte cuarta de este curso.


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Contenido Introducción. .................................................................................................................................... 3

Parte 1. Nociones elementales de Resistencia de Materiales ......................................................... 9

101. Noción de esfuerzo. ............................................................................................................ 11

101.1. Esfuerzo de tracción. .................................................................................................. 11

101.2. Esfuerzo de cortadura. ............................................................................................... 12

101.3. Esfuerzo de aplastamiento. ........................................................................................ 13

102. Noción de alargamiento. .................................................................................................... 14

103. Comportamiento de los materiales ante la aplicación de esfuerzos de tracción. ............. 15

103.1. Zona elástica. Definición del Módulo de Elasticidad. ................................................. 16

103.2. Zona inelástica. ........................................................................................................... 18

103.3. Deducción de las características de los materiales a través de su diagrama de

tracción. 19

103.4. Acritud. ....................................................................................................................... 19

103.5. Aplicación a la práctica. .............................................................................................. 20

104. Comportamiento de los materiales ante la aplicación de esfuerzos de cortadura. .......... 22

105. Aplicaciones prácticas al cálculo de diversos elementos estructurales. ............................ 23

105.1. Cálculo de barras en tracción. .................................................................................... 23

105.2. Cálculo de herrajes. .................................................................................................... 26

105.2.1. Fallo a tracción de las orejetas. .......................................................................... 27

105.2.2. Fallo a cortadura de las orejetas. ....................................................................... 28

105.2.3. Fallo a aplastamiento en el taladro de las orejetas. ........................................... 30

105.2.4. Fallo por cortadura del bulón. ............................................................................ 30

Problemas correspondientes a la parte 1. ..................................................................................... 35

Parte 2. Ampliación de conocimientos de Resistencia de Materiales: Nociones de Estática y

trabajo a flexión. ............................................................................................................................. 37

201. Equilibrios de fuerzas. ........................................................................................................ 39

201.1. Concepto de fuerza. Representación gráfica. ............................................................ 39

201.2. Composición de fuerzas. Método Gráfico. ................................................................. 40

201.2.1. Fuerzas con la misma línea de acción. ............................................................... 40

201.2.2. Fuerzas con las líneas de acción que se cruzan. ................................................. 41

201.3. Proyección de una fuerza sobre un eje. ..................................................................... 43

201.4. Componentes de una fuerza en un sistema de ejes coordenados............................. 43

201.5. Composición de fuerzas. Método analítico. ............................................................... 44

Contenido 6

201.6. Equilibrio de un cuerpo sometido a diversas fuerzas que pasan por un mismo punto.

48

201.7. Concepto de Momento. ............................................................................................. 51

201.8. Momento de una fuerza respecto a un punto. .......................................................... 52

201.9. Equilibrio general de un cuerpo sometido a fuerzas cualesquiera. ........................... 52

202. Trabajo a flexión de vigas. Estudio de casos sencillos de flexión. ..................................... 56

202.1. Noción de momento flector. ...................................................................................... 56

202.2. Esfuerzos que aparecen en una viga sometida a flexión. .......................................... 57

202.3. Algunos casos sencillos de flexión de vigas. .............................................................. 64

202.3.1. Viga empotrada por un extremo y cargada por el otro con una carga P ........... 64

202.3.2. Viga empotrada por un extremo y con una carga uniformemente distribuida

sobre ella q kg/m ................................................................................................................... 65

202.3.3. Viga simplemente apoyada en sus extremos y con una carga P en su centro. . 65

202.3.4. Viga simplemente apoyada en sus extremos con una carga P en un punto

cualquiera. 65

202.3.5. Viga simplemente apoyada por sus extremos y con una carga uniformemente

distribuida q kg/m. ................................................................................................................. 65

Problemas correspondientes a la Parte 2. ..................................................................................... 75

Parte 3. El problema del peso en el diseño aeronáutico. .............................................................. 79

301. Por qué tiene tanta importancia el peso. .......................................................................... 80

302. Revisión de los conceptos relacionados con el peso. ........................................................ 81

302.1. Peso específico. .......................................................................................................... 81

302.2. Estimación del peso de una pieza dada. .................................................................... 82

303. Determinación de volúmenes. ........................................................................................... 83

303.1. Piezas de chapa. ......................................................................................................... 83

303.2. Piezas mecanizadas, fundidas o forjadas. .................................................................. 92

Formulario para superficies y volúmenes ...................................................................................... 95

Problemas correspondientes a la parte 3. ..................................................................................... 97

Parte 4. Métodos para el croquizado. ......................................................................................... 101

401. Qué se entiende por croquis. ........................................................................................... 104

402. Realización de un croquis. ............................................................................................... 105

402.1. Elección del formato del papel y de la escala. ......................................................... 105

402.2. Centrado, fijación de ejes y disposición de vistas. ................................................... 105

402.3. Acotado. Toma de medidas. .................................................................................... 107

403. Realización de un ejemplo de croquizado. ...................................................................... 108


7

403.1. Elección del formato del papel y de la escala. .......................................................... 108

403.2. Centrado, fijación de ejes y disposición de vistas. ................................................... 109

403.3. Acotado. ................................................................................................................... 111

Anexo I. Resolución de los problemas planteados. ...................................................................... 113

Contenido 8

Parte 1. Nociones elementales de Resistencia de Materiales

9

Parte 1. Nociones elementales de

Resistencia de Materiales

Curso para la formación de Delineantes. 10


11

101. Noción de esfuerzo.

101.1. Esfuerzo de tracción.

Imaginemos la barra metálica de la figura 1. Se trata de

una barra metálica de sección circular constante a todo

lo largo de la misma, siendo el área de dicha sección S

mm2. La barra la hemos cargado con un peso P.

Considerando una sección cualquiera vemos que el

efecto de la carga P es la de intentar separar entre sí

las partículas adyacentes del material. Si el área de la

sección de la barra es grande habrá muchas partículas

para resistir la carga, mientras que si la sección es

pequeña habrá pocas, o lo que es lo mismo, a cada

partícula le tocará una mayor cantidad de carga.

Como el número de partículas es proporcional al área,

si hacemos el cociente:

(Fórmula 1.1)

el valor de σ (sigma) del mismo nos da la fracción de la

carga que le toca a cada partícula de material. A este

cociente σ es el que se denomina “ESFUERZO DE TRACCIÓN” y tiene como unidades el kilo

dividido por milímetro cuadrado:

Ejemplo 1.1

¿Cuál es el esfuerzo de tracción al que están sometidas las secciones de la barra de la figura

1 si P=800 kg y S=20 mm2?

Según lo dicho anteriormente, para determinar el esfuerzo pedido calcularemos el cociente

entre P y S, teniéndose:

Luego éste es el esfuerzo a la tracción pedido.


101.2. Esfuerzo de cortadura.

Imaginemos ahora el montaje de la figura 2.

Dos placas están unidas entre sí por un

remache de sección transversal S.

Si tiramos de ambas placas con una fuerza P

vemos que esta fuerza provoca que las

partículas situadas a ambos lados de la

sección central del remache tiendan a

deslizar unas sobre otras “cortando” el

remache por esta zona.

Aplicando aquí la misma idea de lo ya

explicado para el esfuerzo de tracción, se define aquí el “ESFUERZO DE CORTADURA” como

el cociente:

(Fórmula 1.2)

Como se observará, la diferencia entre τ (tao) y σ viene dada por la forma en que se

considera aplicada la carga y el sentido en que tienden a desplazarse las partículas del

material, siendo sus expresiones matemáticas iguales.

Las unidades en que se mide el esfuerzo de cortadura son también kilos divididos por

milímetros cuadrados:

Ejemplo 1.2

¿Cuál es el esfuerzo de cortadura a que está sometido el remache de la figura 2 si P=1.000

kg y S=10 mm2?

Aplicando la fórmula 1.2 tendremos:

Siendo éste el valor del esfuerzo de cortadura.


13

101.3. Esfuerzo de aplastamiento.

Si en la figura 2 nos fijamos no en el remache

sino en una de las placas, la de arriba por

ejemplo, vemos que (figura 3) la carga que

tendía a cortar el remache aquí actúa sobre

la pared del taladro en la placa. El material

tiende a “aplastarse” con lo cual el taladro se

ovaliza.

Aquí la superficie S sobre la que actúa la

carga es igual al producto del diámetro del

taladro “D” por el espesor “e” de la placa:

En forma similar a los dos casos anteriores se define el esfuerzo de aplastamiento como:

(Fórmula 1.3)

Ejemplo 1.3.

¿Cuál es el esfuerzo de aplastamiento en el taladro de las placas de la figura 3 si el

diámetro D=3mm, el espesor e=2mm y P=100kg?

Aplicando la fórmula 1.3 tenemos:


102. Noción de alargamiento.

Volviendo a la barra de la figura 1, supongamos que antes de colgar de ella el peso P, hemos

trazado sobre la misma dos líneas distanciadas la cantidad L (ver la figura 4).

Al colgar el peso nos encontramos que la barra se

alarga, quedando la distancia L incrementada en la

cantidad l1.

Se define el alargamiento de la barra como el

cociente entre lo que se ha alargado la barra l1 al

colgarle el peso P y la longitud inicial L:

(Fórmula 2.1)

Como al cargar la barra con un peso P ésta recibe

un esfuerzo de tracción σ=P/S, se dice que el

esfuerzo de tracción σ ha provocado un

alargamiento δ (delta).

El alargamiento es adimensional pues resulta del cociente entre dos longitudes.

Ejemplo 1.4.

¿Cuál es el alargamiento de la barra de la figura 4 si la longitud inicial es de 1 metro y al

aplicarle una carga de 1.000 kg se alarga en 1 cm?

Previamente a resolver el problema hemos de pasar las longitudes que nos dan a las mismas

unidades para poderlas dividir entre sí. Pasémoslas, por ejemplo, a milímetros:

Ahora ya podemos calcular el alargamiento aplicando la fórmula 2. 1:

= 0,01


15

103. Comportamiento de los materiales ante la aplicación de esfuerzos de

tracción.

Si de la barra de la figura 4 en vez de colgar un peso fijo colgamos un

platillo de forma que podamos ir incrementando paulatinamente el

peso (figura 5), veremos que para cada valor del peso tendremos un

incremento de la longitud de la barra hasta que al llegar a un

determinado peso ésta se nos romperá.

Si para cada valor del peso aplicado vamos midiendo los

incrementos de longitud y calculamos los esfuerzos de tracción y los

alargamientos correspondientes aplicando las fórmulas 1.1 y 2.1

respectivamente, podremos formar la siguiente tabla:

σ σ1 σ2 σ3 σ4 σ5 etc...

δ δ1 δ2 δ3 δ4 δ5 etc...

En donde σ1 , δ1 , σ2 , δ2 , etc. son los esfuerzos y los alargamientos calculados correspondientes.

Si ahora esta tabla la llevamos a un gráfico en donde sobre el eje vertical representamos los

esfuerzos y sobre el horizontal los alargamientos, nos quedará de la siguiente forma:

Ahora, uniendo mediante una línea los diversos puntos, nos resulta la siguiente gráfica:


El gráfico obtenido es denominado “DIAGRAMA DE TRACCIÓN”. Su forma depende del tipo de

material de que se ha construido la barra. En particular, la forma representada es la típica de un

acero y en ella se pueden señalar las siguientes peculiaridades:

103.1. Zona elástica. Definición del Módulo de Elasticidad.

La zona de la curva comprendida entre los puntos 0 y 3 resulta una recta y en ella los

alargamientos son proporcionales a los esfuerzos, esto es (ver figura 6) si σ2 es doble que σ1,

δ2 también será doble que δ1.

El máximo valor del esfuerzo comprendido dentro de la zona recta (σ3 en nuestro caso), se

denomina límite elástico y se le denota por σe.

Siempre que a la barra no se le apliquen esfuerzos superiores a σe ésta se comporta al modo

de un muelle, alargándose proporcionalmente a la carga que se le aplica y recuperando su

longitud inicial cuando se le retira. Por esta razón a esta zona de la curva se le denomina

“ZONA ELASTICA” y el material se dice que trabaja en “REGIMEN ELASTICO”.

El conocimiento de la zona elástica, y en particular el límite elástico es importantísimo pues

en aviación, y en la mayoría de las técnicas, los materiales siempre trabajan dentro de la

zona elástica y nunca deben aplicarse a los mismos esfuerzos superiores al límite elástico.

Como ya hemos dicho, dentro de esta zona los alargamientos son proporcionales a los

esfuerzos (y viceversa) por lo que se tiene que:

(Fórmula 3.1)

en donde E es un coeficiente denominado “MÓDULO DE ELASTICIDAD” cuyo valor depende

del material de la barra y es típico del mismo. Así, por ejemplo, para el acero:

E = 2 × 106 kg/cm

2 = 2 × 10

4 kg/mm

2

Nota: 2 × 106 significa un dos seguido por seis ceros, esto es 2.000.000 (dos millones).

Para el material ligero:

E = 7 × 105 kg/cm

2 = 7 × 10

3 kg/mm

2


17

Ejemplo 1.5.

¿Cuánto se alargará una barra de acero de 1 m de longitud y 20 mm2 de sección si se carga

en igual forma que la mostrada en la figura 1 con una carga de 1.000 kg?

Para resolver este problema primero hemos de determinar el esfuerzo de tracción a que está

sometida la barra. aplicando la fórmula 1.1 con P=1.000 kg y S=20 mm2:

Ahora calcularemos el alargamiento de la fórmula 3.1 empleando el valor de E para el acero

(2 × 104 kg/mm

2). Para ello tenemos que hacer una pequeña transformación de la fórmula:

Puesto que σ = E × δ también podemos poner que E × δ =σ, si dividimos por E ambos

miembros de esta expresión su valor no varía, con la que tendríamos que:

Como en una expresión una cantidad que está multiplicando es anulada por la misma

cantidad que está dividiendo (su cociente es 1) del primer miembro desaparece E y tenemos

que:

Por último, de la fórmula 2.1 podemos calcular cuánto se alarga la barra, que es lo que se nos

pide, con L= 1m = 1.000 mm.

Como

Aplicando una transformación similar a la hecha anteriormente (dando la vuelta a la

expresión y ahora multiplicando ambos miembros por L) tenemos:

l1 = δ × L = 0,0025 × 1.000 mm = 2,5 mm

así pues la barra en cuestión se alarga 2,5 mm al aplicarle la carga de 1.000 kg.


NOTA IMPORTANTE

Al resolver este problema hemos cometido una incorrección, pues la fórmula 3.1 solo se

puede aplicar cuando el esfuerzo sobre la barra (50 kg/mm2) es inferior al límite elástico,

pues solo en este caso δ y σ son proporcionales.

Como desconocemos cuál es el valor del límite elástico, pues el enunciado del ejercicio no

nos lo indica, no podemos asegurar que el resultado obtenido para el alargamiento (2,5 mm)

sea correcto. Más adelante volveremos a reconsiderar este ejemplo.

La inclinación de la zona recta nos

suministra información sobre las

características elásticas del material. Un

material con una recta poco inclinada

(línea de trazos en figura 8) es un

material muy elástico comparado con

otro cuya zona recta es muy inclinada

(línea de trazo y punto en la figura 8).

Esto es así pues si se observa la figura 8

para los dos materiales con el mismo límite elástico σe cuyos diagramas de tracción se han

representado (solo la zona recta) se ve que que para este mismo esfuerzo la barra hecha del

segundo material se alarga hasta δ1, mientras que la hecha del primer material se alarga

hasta δ2, valor muy superior.

103.2. Zona inelástica.

Volviendo a la figura 7, cuando la barra se carga de forma tal que el esfuerzo de tracción

sobre la misma supera el límite elástico σe, entonces nos encontramos que los esfuerzos y los

alargamientos ya no son proporcionales. Además, si retiramos la carga aplicada y medimos

la longitud entre los trazos marcados sobre la barra nos encontramos con que ésta ha

aumentado, o sea que se ha quedado con una deformación permanente. Por ello esta zona

del diagrama se denomina “ZONA INELÁSTICA”. Esta es la razón por la que antes se ha dicho

que los esfuerzos sobre los materiales empleados en una estructura nunca deben de

sobrepasar el límite elástico, pues entonces la estructura quedaría deformada perdiendo

para siempre su geometría original.

Dentro de la zona inelástica hay un punto importante que señalar, que es el marcado con el

número 4. Este punto se denomina “punto de fluencia”, y se llama así porque si a la barra la

cargamos con una carga tal que se alcance el esfuerzo de tracción σ4, la barra no solo se

alarga en el momento de incrementar la carga sino que luego se sigue alargando por sí sola

(con tal de que se deje aplicada la carga el tiempo suficiente) como si el material “fluyese”

hasta alcanzar el alargamiento correspondiente al punto 4’ en donde para conseguir mayor

alargamiento hay ya que incrementar la carga, portándose a partir de ahí ya normalmente

(dentro de la no proporcionalidad entre esfuerzos y alargamientos).


19

Si la carga la aumentamos tanto que llegamos a alcanzar el esfuerzo correspondiente al

punto 7, entonces la barra se nos rompe y se dice que se ha alcanzado el esfuerzo de rotura

a tracción σr.

El valor del esfuerzo de rotura es un valor típico e importantísimo de cada material y es uno

de los fundamentales que deciden si un material es apto o no para soportar las cargas que se

espera aparezcan sobre una estructura o elemento que se piensa construir con el mismo.

103.3. Deducción de las características de los materiales a través de su diagrama de

tracción.

La observación de la forma general del diagrama de tracción nos

suministra mucha información sobre el material que forma la

barra, indicándonos cómo se comportará si se emplea en un

montaje.

Ya hemos visto al hablar de la zona elástica que la pendiente de

la recta nos informa de sus características elásticas y que la

forma típica de la curva representada en la figura 7 corresponde

a la de un acero. La volvemos a representar en la figura 9 a fines

comparativos.

En la figura 10 se representa el diagrama característico de un

material ligero en donde se puede apreciar que no existe zona de

fluencia.

En la figura 11 puede verse el diagrama de un material tal como

la fundición que carece de zona recta de proporcionalidad entre

esfuerzos y alargamientos, por lo que este material carece de zona elástica.

En la figura 12 se han representado dos diagramas: uno de

un material frágil (línea de puntos) y otro de un material

dúctil (línea de punto y raya). Un material se dice que es

frágil cuando alcanza el punto de rotura con apenas

alargamiento (δ1). Un material se dice que es dúctil

cuando antes de romper es capaz de alcanzar un gran

alargamiento (δ2).

103.4. Acritud.

Si la barra la vamos cargando, como explicamos al principio, y

vamos determinando los esfuerzos y los alargamientos y

dibujamos el diagrama de tracción hasta llegar a un esfuerzo

σa superior al límite elástico, tendremos la curva o-a de la

figura 13.


Si a partir de ese momento empezamos a retirar la carga y volvemos a determinar los

esfuerzos y alargamientos veremos que la curva resultante no es la anterior recorrida

“marcha atrás” sino una nueva a-b que es una recta

paralela a la zona recta de la curva o-a. Nos encontramos

así al llegar a retirar totalmente la carga que la barra queda

con una deformación permanente δp.

Si ahora volvemos a repetir la carga y a determinar el

diagrama de tracción nos encontramos que ésta consistirá

en un recta hasta alcanzar el esfuerzo σa que teníamos

aplicado cuando empezamos a retirar la carga (ver figura

14) y a partir de allí la curva deja de ser recta para ya

adaptarse a la forma que debiera haber seguido (zona de trazos en la figura 13) si no

hubiéramos descargado, hasta llegar a la rotura. Así pues, ahora, el esfuerzo σa se comporta

como el nuevo límite elástico del material (superior al σe) y se llega a la rotura con una

deformación menor que la que se hubiera obtenido en la primera carga, siendo este nuevo

alargamiento de rotura δr’ la diferencia entre el original δr y el permanente δp.

Si comparamos esto con la figura 12 y tenemos en cuenta lo dicho para los materiales

dúctiles y frágiles, vemos que en la segunda carga el material se comporta como más frágil

que en la primera. Este efecto de aumentarse la fragilidad y aumentarse el limite elástico de

un material cuando se le somete a una carga por encima del límite elástico original se

denomina acritud y es la razón de por qué un material se hace más frágil cuando, por

ejemplo, se le golpea y machaca para poderlo adaptar en el montaje, pudiéndose llegar

fácilmente a la rotura.

103.5. Aplicación a la práctica.

Como ya anteriormente se ha dicho, un material nunca debe de ser cargado por encima del

límite elástico, por lo cual es muy importante conocer el valor de este límite elástico para

cada material. Pero en la práctica surge una dificultad consistente en que el valor del límite

elástico es muy difícil de determinar, por ser precisamente el valor para el cual el diagrama

de tracción deja de ser recto para transformarse en una curva. Sin embargo, el punto de

rotura y su esfuerzo correspondiente se determina con mucha facilidad.

Después de muchos ensayos, se ha podido comprobar que el valor del límite elástico siempre

es superior a los 2/3 del esfuerzo de rotura. Esta es la razón por la cual en la práctica lo que

se emplea es el valor del esfuerzo de rotura y lo que se hace es que se multiplican las cargas

que se aplican al material por un factor de seguridad de 1,5 (que es el valor inverso de los

2/3), comparándose entonces con el esfuerzo de rotura. Si las cargas así multiplicadas no

sobrepasan el esfuerzo de rotura hay una seguridad de que la carga real no sobrepasará

tampoco el límite elástico.

Ejemplo 1.6.

“Una barra de acero de 1m de longitud y 20 mm2 de sección se piensa emplear formando

parte de una estructura donde se sabe que trabajará a tracción debiendo de soportar una

carga máxima de 1.000 kg, Si el material de que está construida tiene un esfuerzo de rotura


21

σr=90kg/mm2, se desea conocer si esta barra puede utilizarse en la estructura que se

proyecta y cuál será la máxima deformación que experimente.”

Para poder contestar lo que el problema nos pide hemos de determinar primero el esfuerzo

de tracción sobre la barra pero teniendo en cuenta que hemos de multiplicar por 1,5 la carga

sobre la barra pues vamos a comparar con el esfuerzo de rotura.

Aplicando la fórmula 1.1 tenemos:

Como este esfuerzo es inferior al de rotura que es 90kg/mm2 deducimos que sí se puede

emplear esta barra.

El resto del problema a resolver (determinar la deformación de la barra) es idéntico al del

ejemplo 5:, pero aquí, por tener la seguridad de que los esfuerzos sobre la barra no

sobrepasan el límite elástico sabemos que el valor de 2,5mm de alargamiento de la barra es

efectivamente cierto.


104. Comportamiento de los materiales ante la aplicación de esfuerzos de

cortadura.

El ensayo de materiales a cortadura es más difícil

de realizar que el ensayo de tracción pues no es

posible aplicar a un material un esfuerzo cortante

puro pues siempre se combina con algún esfuerzo a

tracción o a flexión.

De todas formas los resultados que se obtienen en

estos ensayos son en todo similar a los de tracción,

obteniéndose un “DIAGRAMA DE ESFUERZOS

CORTANTES” en donde puede apreciarse un

esfuerzo cortante τe que es el límite elástico a

cortadura y un esfuerzo cortante τr que es el de

rotura.

Se ha comprobado que para los materiales normalmente empleados el esfuerzo cortante de

rotura está entre 0,55 y 0,66 veces el de tracción, por lo que conocido σr se conoce sin más τr. De

ahora en adelante emplearemos el valor de 0,55 con lo que:

(Fórmula 4.1)

Para los esfuerzos cortantes también se cumple que el límite elástico es superior a los 2/3 del de

rotura, por lo cual habremos de multiplicar las cargas por el factor 1,5, como ya anteriormente

hemos explicado para el caso del trabajo a tracción.

Ejemplo 1.7.

“El remache de la figura 2 es de material ligero y tiene un diámetro de 4mm. Si el material tiene

una resistencia a la rotura de σr = 40kg/mm2, se pide determinar la máxima carga P que se

puede aplicar a las cargas sin que el remache se rompa.”

Como el remache trabaja a cortadura hemos de determinar el esfuerzo cortante sobre el mismo

mediante la fórmula 1.2.

Previamente calcularemos la sección del remache:

Como τ = P/S, de aquí (haciendo unas transformaciones similares a las que ya hemos visto

anteriormente) obtenemos que P = τ × S. El valor de S ya lo conocemos, hemos de determinar el

valor de τ.

Para que el remache no rompa, lo más que puede valer τ es τr. De la fórmula 4.1 tenemos:

τr = 0,55 × σr = 0,55 × 40 kg/mm2 = 22 kg/mm

2


23

Luego,

P = 22kg/mm2 × 12,57 mm

2 = 276,54 kg

OBSERVACIÓN

Como ya repetidamente se ha dicho, ningún material debe de emplearse por encima de su límite

elástico. Podemos determinar cuál debe de ser el valor de P para que esto no ocurra. Este valor

es precisamente el anteriormente calculado dividido por 1,5, o sea:

Para este valor tenemos la seguridad de que el remache no rompe y de que, además, no

sobrepasamos el límite elástico en él, por lo que no produciremos deformaciones permanentes

en el mismo.

105. Aplicaciones prácticas al cálculo de diversos elementos estructurales.

105.1. Cálculo de barras en tracción.

Para lo que a continuación se expone, se entiende como “barra” cualquier elemento cuya

longitud es mucho mayor que su anchura y que se supone trabaja únicamente en la

dirección de esa longitud y en el sentido de que las cargas tienden a alargarla, esto es,

trabaja en tracción.

En los ejemplos anteriores nos hemos referido siempre a una barra de sección circular

constante, pero es igualmente aplicable a una barra de sección cualquiera: rectangular,

triangular, hexagonal, tubos de diversas formas, etc. Únicamente hay que hacer la

observación de que si la sección no es constante a lo largo de toda la barra, el esfuerzo de

tracción tampoco lo será, lo cual puede verse en el siguiente ejemplo.

Ejemplo 1.8.

“Determinar los esfuerzos de tracción que aparecen en las distintas secciones de la barra

de la figura 16, cuando ésta se carga con una fuerza P = 200 kg.”


Aquí hemos de aplicar la fórmula 1.1 que nos da el esfuerzo de tracción en una barra que

soporta una carga P, pero como el valor de S no es constante a lo largo de toda la barra,

tendremos tantos valores para el esfuerzo de tracción σ, como valores distintos de S. Así

pues tendremos:

En la sección AA:

En la sección BB:

En la sección CC:

En la sección DD:

Así pues, en este ejemplo vemos que el máximo esfuerzo a tracción se presenta en la sección

CC, debido a que es la que presenta menor área.

De lo anterior se deduce que una barra sometida a tracción fallará por el punto de menor

sección ya que allí el esfuerzo de tracción será máximo.

Por ello daremos la siguiente


25

Regla práctica para el cálculo de una barra a tracción:

“Se determinará cuál es la menor sección que presenta la barra, empleándose la misma

para determinar el esfuerzo de tracción presente. Este esfuerzo multiplicado por 1,5 se

comparará con el esfuerzo de rotura a tracción del material que compone la barra,

viéndose así si la barra va a resistir o no la carga que se prevé.”

Ejemplo 1.9.

“Comprobar si la barra de la figura 16 puede ser empleada para soportar una carga de

tracción de 2.000kg si está construida en material ligero con una resistencia a la rotura de

σr = 40 kg/mm2.”

Ya hemos visto en el ejemplo anterior que la sección de área mínima es la CC; luego esta es

la sección que hemos de utilizar para calcular el esfuerzo de tracción:

Este valor del esfuerzo de tracción lo hemos de comparar con el de rotura del material, pero

para ello, como ya se explicó, lo hemos de multiplicar previamente por 1,5:

1,5 × σmáx = 1,5 × 13,33 kg/mm2 = 20 kg/mm

2

Y como σr = 40 kg/mm2, vemos que la barra en cuestión puede aguantar perfectamente los

2.000kg previstos.

Ejemplo 1.10.

“¿Cuál es la máxima carga a tracción que es capaz de soportar la barra de la figura 16 se

está construida en un acero de resistencia a la rotura σr = 90 kg/mm2.”

Ya sabemos que el máximo esfuerzo de tracción se presenta en la sección CC y sabemos que

su valor multiplicado por 1,5 no puede ser superior a σr para que el material nos resista, así

pues, en el límite 1,5 × σmáx = σr y de aquí:

Y éste será el máximo valor que puede tener σ en la sección CC de la barra.

Como de aquí:

P = σ × SCC = 60 kg/mm2 × (20mm – 10mm) × 15mm = 9.000 kg.

Y esta es la máxima carga que puede soportar la barra sin sufrir deformaciones

permanentes.


105.2. Cálculo de herrajes.

Se denominan herrajes a elementos de unión con una geometría similar a la representada en

la figura 17. Conocer cómo se calculan es imprescindible, pues tal tipo de unión se presenta

en infinidad de lugares y en aviación es el sistema normal para unir alas, superficies de cola,

trenes de aterrizaje, etc., al fuselaje.

En la figura 18 se presentan todos los puntos por donde puede fallar un herraje. El cálculo del

herraje consiste en comprobar uno a uno cada uno de estos puntos para asegurarse de que

en ninguno se sobrepasa el esfuerzo máximo permitido por los materiales que componen las

diversas partes del herraje.

A continuación pasamos revista a cada uno de dichos puntos:


27

105.2.1. Fallo a tracción de las orejetas.

Las orejetas del herraje trabajan del mismo modo que las barras a tracción ya

consideradas y, por lo tanto, fallarán por el punto donde presentan su sección

mínima, la cual es precisamente aquella donde se encuentra el taladro de

alojamiento del bulón y que se señala en la figura 19.

S1 = (2×R – D) × e

Hay que tener en cuenta que

esta superficie hay que

multiplicarla por 2 cuando

consideremos las orejetas

exteriores del herraje (pues la

carga P se reparte entre las

dos).

Ejemplo 1.11.

“Determinar la máxima carga a la que puede someterse el herraje de la figura 20

sin que falle a tracción ninguna orejeta si está construido en acero con σr =

110kg/mm2.”

(A) Primero vamos a ver las orejetas exteriores,

en ellas

S1 = (2×20 – 10) × 15 = 450 mm2

Pero como son dos orejetas hemos de considerar

una superficie:

2×S1 = 2×450 mm2 = 900 mm

2

Como ya vimos en el ejemplo número 10

Y

P = σmax × 2 × S1 = 73,33 kg/mm2 × 900mm

2 = 66.000 kg.

(B) Ahora hagamos lo mismo con la orejeta interior, en ella

S1 = (2×20 – 10) × 35 = 1.050 mm2


Y

P = σmax × S1 = 73,33 kg/mm2 × 1.050 mm

2 = 76.996 kg.

Por lo tanto, la máxima carga a la que puede someterse el herraje es a 66.000 kg,

para la cual fallarían a tracción las orejetas exteriores.

105.2.2. Fallo a cortadura de las orejetas.

La presión que el bulón ejerce sobre las orejetas

puede hacer que el material de estas falle a cortadura,

rompiéndose en la forma que se indica en la figura 21.

Las superficies que trabajan a cortadura y que deben

de ser consideradas en los cálculos son en este caso

algo difíciles de determinar. Experimentalmente se ha

comprobado que una buena aproximación es tomar

estas superficies como las limitadas entre el taladro y

el borde de la pieza por dos ángulos de 40º trazados

desde el centro del taladro tal como se muestra en la

figura 22 y entonces el área a considerar es:

2 × S2 = 2 × a × e

Como la cota “a” hay que calcularla en cada caso, se

prefiere por su rapidez, aunque se pierda algo de

precisión, el tomar como superficie para el cálculo dos

veces el área del rectángulo que se muestra en la

figura 23, o sea, las del rectángulo uno de cuyos lados

es el espesor de la orejeta y el otro la distancia del

borde del taladro al borde de la pieza que, en el caso

de la figura 23 vale:

y, por lo tanto

El esfuerzo cortante lo tenemos aplicando la fórmula 1.2

Como siempre, este esfuerzo multiplicado por 1,5 no debe de sobrepasar el de

rotura a cortadura del material, τr, para que la orejeta aguante.


29

Como en el caso del fallo a tracción, cuando estemos considerando las orejetas

exteriores hemos de multiplicar de nuevo por 2, esto es, calcularemos τ poniendo

Ejemplo 1.12


sin que aparezca fallo a cortadura en las orejetas si está construido en acero con

σr=110kg/mm2”.

Primeramente hemos de calcular el esfuerzo de rotura a cortadura del material que,

por la fórmula 4.1 sabemos que es:

τr = 0,55 × σr = 0,55 × 110kg/mm2 = 60,5kg/mm

2

Para las orejetas exteriores el área S2 es:

Como para estas orejetas es de aquí

P= τ × 4 × S2

Similarmente que para el esfuerzo a tracción

y

P= τ × 4 × S2 = 40,33kg/mm2 × 4 ×225mm

2 = 36.300kg

Ahora, para la orejeta interior:

Como para estas orejetas es de aquí

P= τ × 2 × S2

Puesto que el valor de τ ya lo tenemos calculado, podemos determinar P:

P= τ × 2 × S2 = 40,33kg/mm2 × 2 ×525mm

2 = 42.346kg

Así pues, la máxima carga que podemos aplicar al herraje es de 36.300 kg, para la

cual fallarán a cortadura las orejetas exteriores.


105.2.3. Fallo a aplastamiento en el taladro de las orejetas.

Este caso ya se vio en 1.3 al explicar el esfuerzo de aplastamiento, dado por la

fórmula 1.3.

Aquí, como siempre, habrá que comprobar que el esfuerzo de aplastamiento

multiplicado por 1,5 no supera al esfuerzo de rotura a tracción del material.

Ejemplo 1.13.


para que no aparezca fallo por aplastamiento en las orejetas, siendo el material el

mismo que para el ejemplo 12”.

Aquí, como en los casos anteriores, nos fijaremos primero en las orejetas exteriores

y luego en la interior.

Por la fórmula 1.3 :

en donde hemos puesto 2×D por ser dos orejetas.

De aquí tenemos que P= 2 × D × e × σa = 300 mm2 × σa

Como

Entonces

P = 300mm2 × 73,33kg/mm

2 = 21.999kg.

Haciendo lo mismo para la orejeta interior:

P= D × e × σa = 10mm × 35mm × 73,33kg/mm2 = 25.665kg

Luego la máxima carga aplicable al herraje para que no haya posibilidad de

aplastamiento del material en ninguna orejeta es de 21.999kg.

105.2.4. Fallo por cortadura del bulón.

El bulón que une el herraje puede fallar a cortadura en la misma forma que ya se

explicó en 1.2 al hablar del esfuerzo de cortadura, solo que aquí, según puede verse


31

en la figura 24, la sección ha de ser

considerada dos veces por haber dos

secciones del bulón que trabajan a

cortadura:

El proceso para verificar el bulón es, similarmente a los casos anteriores, calcular τ,

multiplicarlo por 1,5 y comparar el resultado con el τr del material para comprobar

que con la carga aplicada no sobrepasamos el esfuerzo máximo a cortadura

admitido para el material del bulón y éste no recibe deformaciones permanentes.

Ejemplo 1.14.

“Si el material que compone el bulón que une el herraje de la figura 20 tiene una

resistencia a la rotura de 75kg/mm2, calcular la máxima carga que puede aplicarse

al herraje sin que el bulón falle a cortadura”.

De la fórmula 4.1:

τr = 0,55 × σr = 0,55 × 75kg/mm2 = 41,25kg/mm

2

como,

y

tendremos:

P = τ × 2 × S = τ × 2 × (π D2/4) = 27,5kg/mm

2 × 2 × (3,14 × 10

2/4) = 4.319kg

Luego esta es la máxima carga que podemos aplicar al herraje en cuestión para que

no nos falle a cortadura el bulón.

Ejemplo 1.15.

“Estando el herraje de la figura 20 constituido por un material de resistencia a la

rotura de 110kg/mm2 y el bulón por uno de 75kg/mm

2, determinar la máxima

carga a tracción que puede soportar sin fallo dicho herraje”.

Este caso es una compilación de los ejemplos 11 a 14 en donde hemos ido viendo

las cargas necesarias para que el herraje fallase por cada uno de sus puntos. La

menor de las cargas que resultan es, evidentemente, la máxima que podemos

aplicar al conjunto del herraje. En la siguiente tabla se resumen los resultados

obtenidos:


Tipo de fallo Ejemplo aplicable Carga máx admisible kg.

Tracción en las orejetas 11 66.000

Cortadura en las orejetas 12 36.300

Aplastamiento en orejetas 13 21.999

Bulón a cortadura 14 4.319

De aquí deducimos que la máxima carga a tracción que nos admite el conjunto del

herraje es de 4.319kg. Con más de ésta nos fallaría el bulón de unión.

Ejemplo 1.16

“El conjunto de herraje de la figura 25 está compuesto por piezas de un acero con

resistencia a la rotura de 90kg/mm2 y unidas con un bulón de un material de

resistencia a la rotura de 75kg/mm2. Se pretende cargar el herraje a tracción con

una carga P = 2.500kg. Se pide comprobar si esto es posible”.

Vamos a comprobar paso a paso la resistencia de los elementos.

1.- Resistencia de las orejetas a tracción

1a.- Orejetas exteriores.

S1 = (2 × R – D) × e = (2 × 9 – 6) × 3 = 36mm2

1b.- Orejeta interior.

S1 = (2 × R – D) × e = (2 × 6 – 6) × 3 = 18mm2

Como el valor que sale para la orejeta interior es muy superior al de rotura del

material vemos ya que sería imposible el cargar el herraje con 2.500kg como se

pretende, pues se nos rompería esta orejeta.


33

Aquí podríamos dejar el ejercicio pero, no obstante, vamos a calcular los restantes

pasos para tener el ejemplo completo y, de paso, ver si tendríamos un fallo antes en

otro lugar.

2.- Resistencia de las orejetas a cortadura.

τr = 0,55 × σr = 0,55 × 90 kg/mm2 = 49,5 kg/mm

2


S2 = (R – D/2) × e = (9 – 6/2) × 3 = 18mm2

2a.- Orejeta interior.

S2 = (R – D/2) × e = (6 – 6/2) × 3 = 9mm2

Como el esfuerzo de cortadura en la orejeta interior es muy superior al de rotura

(49,5 kg/mm2) del material, de nuevo nos encontramos que también nos falla la

orejeta interior (esta vez por cortadura), pero también nos falla en las exteriores por

la misma razón.

3.- Resistencia de las orejetas a aplastamiento.


S = D × e = 6 × 3 = 18 mm2

3b.- Orejeta interior.

S = D × e = 6 × 3 = 18 mm2

Así pues, por aplastamiento tendríamos también fallo en todas las orejetas.

4.- Fallo del bulón a cortadura.

τr = 0,55 × σr = 0,55 × 75 kg/mm2 = 41,25 kg/mm

2

S = π × D2/4 = 3,14 × 6

2/4 = 28,27 mm

2


Como el valor resultante también es superior al esfuerzo de rotura a cortadura

(41,25 kg/mm2) para el material del bulón, éste también fallará.

Para saber cuál es la máxima carga que nos admitiría realmente el herraje hemos de

conseguir para cada componente que en la zona para la cual el esfuerzo es mayor

no se llegue a la rotura.

Revisando los esfuerzos que nos han salido, vemos que para las orejetas el mayor

ocurre para la orejeta interior con 208 kg/mm2 por aplastamiento y para el bulón lo

es a cortadura con 66,32 kg/mm2. Así pues los puntos críticos son la orejeta interior

y el bulón.

La máxima carga que aguantaría la orejeta interior a tracción sería:

P = σ × S1

con

tenemos:

P = 60 kg/mm2 × 18 mm

2 = 1.080 kg

Y la máxima carga que soportaría el bulón a cortadura sería:

P = τ × 2 × S

con

tenemos:

P = 27,5 kg/mm2 × 2 × 28,27 mm

2 = 1.554 kg

Luego, la máxima carga que podemos aplicar al herraje es de 1.080 kg.


35

Problemas correspondientes a la parte 1.

Problema 1.1

Una pletina de acero de sección rectangular constante de 100 × 5 milímetros se carga con una

fuerza de tracción de 2.500kg. Determinar el alargamiento total de la misma si su longitud antes

de la carga es de 1,5 metros.

Problema 1.2

Una de las barras que componen una determinada estructura es un tubo de acero de 20mm de

diámetro y 2mm de espesor de pared. Esta barra tiene una longitud de 500mm. Se ha observado

que cuando la estructura se carga de cierta manera dicha barra sufre un alargamiento de

0,5mm. ¿Cuál es el valor de la carga que recibe la barra?

Problema 1.3

Determinar la carga máxima

que puede soportar a tracción

la barra de la figura si está

construida en aleación ligera

con una resistencia a la rotura

de 40kg/mm2.

Si se sobrepasa la carga

máxima, ¿por dónde fallaría la

barra?

Problema 1.4

Dos piezas que deben soportar una carga de 1.800kg se desean remachar entre sí empleando

remaches de material ligero de diámetro 3,2mm. Se desea determinar el número mínimo de

remaches necesarios a emplear suponiendo que la carga de 1.800kg es absorbida a cortadura

por los remaches y que estos son de un material de 45kg/mm2 de resistencia a la rotura.

Problema 1.5

Un trozo de alambre de 30cm de largo sometido a una fuerza extensora de 500kg alarga 25mm.

Determinar el módulo de elasticidad (E) del material que lo compone si el área de la sección

recta del alambre es de 0,25 cm2.


Problema 1.6

El montaje de la figura se compone de dos orejetas superiores y dos inferiores de 4mm de

espesor entre las cuales está situada una lámina de 8mm de espesor, sujeta arriba con un bulón

de 5mm de diámetro y abajo con otro de 8mm.

Los bulones son de acero de resistencia a la rotura de 75 kg/mm2 y

orejetas y lámina de material ligero de 40kg/mm2.

Se pide determinar la máxima carga que puede soportar el

conjunto.

Problema 1.7

Determinar el alargamiento que sufre la lámina del problema anterior al aplicarle la carga

máxima que puede soportar el conjunto.

Problema 1.8

Determinar la máxima presión que podría obtenerse en la prensa

de la figura, suponiendo que sus elementos críticos son los dos

montantes M y estos son dos barras de acero de resistencia a la

rotura de 110kg/mm2 y 50mm de diámetro.

¿En cuánto aumentará la altura de la prensa a causa del

alargamiento de los montantes cuando se aplique esta carga

máxima?

Nota: Las soluciones a estos problemas se dan en el Anexo I.

Parte 2. Nociones de Estática y trabajo a flexión.

37

Parte 2. Ampliación de conocimientos

de Resistencia de Materiales: Nociones

de Estática y trabajo a flexión.


39

201. Equilibrios de fuerzas.

201.1. Concepto de fuerza. Representación gráfica.

Fuerza es la acción que ocasiona que un cuerpo se ponga en movimiento cuando

está parado, se detenga o cambie de dirección cuando está en movimiento o

produce deformaciones en el mismo cuando su movimiento está impedido.

La Resistencia de Materiales se ocupa de la acción de las fuerzas que actúan sobre

cuerpos cuyo movimiento está impedido por fijaciones exteriores, determinando los

efectos que dichas fuerzas ocasionan sobre los cuerpos: cargas que aparecen en su

estructura interior, deformaciones, etc.

En relación con las fuerzas existen los tres siguientes conceptos fundamentales:

A). Magnitud de la fuerza: Es el valor de la intensidad de la misma. Su unidad de

medida es el kilogramo (kg). Así se habla de que sobre un cuerpo actúa una fuerza

de 1.000kg, sobre otro de 250kg etc.

B). Punto de aplicación: Es el lugar en que la fuerza se aplica o actúa sobre el cuerpo

en cuestión.

C). Línea de acción: Es una línea que pasa por el punto de aplicación en la dirección

según la cual actúa la fuerza.

Una fuerza se representa mediante

una flecha, tal como se ve en la

figura 1.

La magnitud viene dada por la

distancia entre su extremo

posterior, que representa el punto

de aplicación, y la punta de la

misma. Esta longitud vendrá

determinada por la escala que se haya decidido emplear en la representación. Así, si

se ha convenido que 1mm sobre el papel representan 100kg, una fuerza de 1.000kg

será una flecha de 10mm de longitud.

La línea de acción es la recta sobre la cual se halla situada la flecha.

Convencionalmente se considera que una fuerza cuya flecha representativa está

dirigida hacia la derecha o arriba es positiva, mientras que si lo está hacia abajo o la

izquierda es negativa. Así, según lo anterior, la fuerza de la figura 1 es positiva.


Nota importante.

De ahora en adelante, por ser ideas sinónimas, diremos siempre “fuerza” tanto si

nos estamos refiriendo a la idea física como a la flecha que la representa

gráficamente.

201.2. Composición de fuerzas. Método Gráfico.

201.2.1. Fuerzas con la misma línea de acción.

Cuando sobre un cuerpo actúan dos o más fuerzas, el resultado de esta acción es

similar a que sobre el cuerpo actuase una sola fuerza llamada resultante. A la acción

de calcular la resultante de varias fuerzas se denomina composición de fuerzas.

Para calcular la resultante de varias fuerzas que tengan la línea de acción común

basta con representar una cualquiera de ellas e ir llevando a continuación de la

misma las siguientes, de forma que el punto de aplicación de cada una vaya

coincidiendo con el extremo de la anterior. La representación de la resultante es la

flecha cuyo punto de aplicación es el de la primera de las fuerzas y su extremo el de

la última.

La figura 2 ilustra el método. Se hace notar que para clarificar la representación las

fuerzas se han representado sobre líneas paralelas; en la realidad todas estarán

sobre la misma línea.


41

201.2.2. Fuerzas con las líneas de acción que se cruzan.

La resultante de dos fuerzas cuyas líneas de

acción se cruzan se determina dibujando el

paralelogramo que se señala en la figura 3

cuyos lados son las fuerzas a componer. La

resultante viene dada por la diagonal del

paralelogramo que pasa por el punto de

aplicación de las fuerzas.

El caso de la suma de más de dos fuerzas

coplanarias (todas sus líneas de acción están

en el mismo plano) se resuelve tal como se

ilustra en la figura 4 en donde se determina la

resultante de las cuatro fuerzas F1, F2, F3 y F4.

Para ello se componen primero las fuerzas F1 y

F2, su resultante se compone con F3; la nueva

resultante se compone con la F4 y esta última resultante es la total del grupo

buscada. El orden que se escoja para componer las fuerzas no influye en el

resultado.

Ejemplo 2.1

“Se tienen cuatro cables atados a una argolla tal como se indica en la figura 5,

habiéndose tensado cada uno de ellos con la tensión señalada. Todos los cables

están en el mismo plano. Se desea saber la carga total que actúa sobre la argolla y

su dirección”.

Para resolver el problema empezamos posicionando un punto “O” (ver figura 6) que

va a representar el centro de la argolla.

A partir de este centro trazamos la línea (1) con una inclinación de 20o respecto a la

horizontal y que representará la línea de acción de la tensión de 1.500kg que actúa

sobre el cable número 1.


Igualmente trazaremos la línea (2) con una inclinación de 50o, línea de acción de la

tensión del cable número 2; la línea (3) con 85o, línea de acción del cable numero 3

y, por último la (4) con 50o, línea de acción del cable numero 4.

Eligiendo ahora una escala de, por ejemplo, 2mm = 100kg, sobre la línea (1)

representaremos con una flecha de 30mm de longitud la tensión de 1.500kg; sobre

la línea (2) una flecha de 40mm para la tensión de 2.000kg; sobre la (3) una flecha de

20mm para la tensión de 1.000kg y, por último, sobre la (4) representaremos con

una flecha de 36mm de longitud la tensión de 1.800kg.

Ahora procederemos a componerlas dos a dos sucesivamente:

Componiendo la fuerza de 1.500kg con la de 2.000kg tenemos la resultante

R1.

Componiendo R1 con la fuerza de 1.000kg tenemos la resultante R2.

Componiendo R2 con la fuerza de 1.800kg tenemos la resultante total.

Esta resultante total tiene 83mm de longitud representando, por lo tanto, una carga

de:

y forma con la horizontal un ángulo (medido con un círculo graduado) de 72,5o.

En definitiva, que la resultante sobre la argolla debida a la tensión de los cuatro

cables es una fuerza de 4.150kg inclinada 72,5º hacia la derecha.


43

201.3. Proyección de una fuerza sobre un eje.

En la figura 7 F es una fuerza de magnitud conocida y OB un eje que forma un ángulo

α con la fuerza anterior y pasa por su punto de aplicación.

Consideremos el triángulo OAB que tiene un ángulo recto

en B y la fuerza P tal que tiene su origen en el punto de

aplicación de F y su extremo en el punto B.

A esta fuerza P se la denomina “Proyección de F sobre el

eje OB”.

Por ser el ángulo OAB rectángulo, el valor de P viene dado por:

(Fórmula 1.3)

Si el eje OB no pasa por el punto de aplicación de F

(figura 8), la fuerza proyección P se determina tal como

se indica en la figura.

Por ser OB = O’B’ = F × cos α

también es aquí

P = F × cos α.

201.4. Componentes de una fuerza en un sistema de ejes coordenados.

Se denominan ejes coordenados a un par de rectas XX e YY (figura 9) que se cruzan

en ángulo recto y sobre las cuales se ha tomado una unidad de medida común.

Se denominan componentes de una

fuerza en un sistema coordenado a las

fuerzas proyecciones de dicha fuerza

sobre cada uno de los ejes.

Así, en la figura 9, las componentes de F

son Fx, proyección de F sobre el eje XX,

y Fy, proyección de F sobre el eje YY.

Los valores de estas componentes son,

por la fórmula 1.3:

Fx = F × cos α

Fy = F × cos β

pero, por ser α y β ángulos complementarios (α + β = 90º) tenemos que:

cos β = sen α


y entonces podremos poner que:

Fx = F × cos α

Fy = F × sen α (Fórmulas 1.4.1)

Si nos fijamos en la figura 9, vemos que si consideramos Fx y Fy como dos fuerzas

conocidas y las componemos según el método del paralelogramo explicado en 1.2.2,

su resultante es precisamente F. Esta es la razón de que Fx y Fy se denominen

“Componentes de F”.

Si conocemos los valores de Fx y Fy, el valor de F viene dado por el teorema de

Pitágoras:

(Fórmula 1.4.2)

Ejemplo 2.2

“Determinar las componentes en unos ejes coordenados de una fuerza de 2.500kg que forma

con el eje XX un ángulo de 35º”.

Las componentes pedidas, Fx y Fy, las calculamos (ver

figura 10) aplicando las fórmulas 1.4.1:

Así:

Fx = F × cos α = 2.500kg × cos 35º = 2.500kg × 0,819 =

2.047,8 kg

Fy = F × sen α = 2.500kg × sen 35º = 2.500kg × 0,574 =

1.433,9 kg

201.5. Composición de fuerzas. Método analítico.

El método gráfico explicado en 1.2. tiene la ventaja de su rapidez, pero tiene la

desventaja de su falta de precisión cuando se quieren determinar cargas con

exactitud (sobre todo cuando hay que componer fuerzas de pequeño valor con otras

más grandes), y que resulta muy engorroso cuando intervienen más de cuatro

fuerzas, pues el papel se llena de líneas entre las que es fácil perderse.

El método analítico que se explica a continuación es el preferido para el cálculo.

Este método consiste en lo siguiente:

a). Se determinan las componentes de todas las fuerzas presentes sobre un par de

ejes coordenados haciendo uso de las fórmulas 1.4.1.


45

b) Se suman las componentes según cada eje. La suma de todas las componentes

según el eje XX nos da la componente de la resultante según este eje. La suma de

todas las componentes según el eje YY nos da la componente de la resultante según

el eje YY.

c). Se calcula la resultante total a partir de sus componentes antes determinadas

mediante la fórmula 1.4.2.

Ejemplo 2.3

“Determinar la carga sobre la argolla de la figura 5 por el método analítico”.

Seguiremos paso a paso lo anteriormente dicho:

a). Cálculo de las componentes de las fuerzas (tensiones de los cables).

Para el cable 1 (1.500 kg)

Fx1 = 1.500kg × cos 20º = 1.500kg × 0,940 = 1.409,5 kg

Fy1 = 1.500kg × sen 20º = 1.500kg × 0,342 = 513 kg

Para el cable 2 (2.000kg)

Fx2 = 2.500kg × cos 50º = 2.500kg × 0,643 = 1.285,5 kg

Fy2 = 2.500kg × sen 50º = 2.500kg × 0,766 = 1.532 kg


Fx3 = 1.000kg × cos 85º = 1.000kg × 0,087 = 87,1 kg

Fy3 = 1.000kg × sen 85º = 1.000kg × 0,996 = 996,1 kg


Fx4 = 1.800kg × cos 30º = 1.800kg × 0,866 = 1.558,8 kg

Fy4 = 1.800kg × sen 30º = 1.800kg × 0,500 = 900 kg

b). Suma de las componentes según los ejes:

Ahora se determinan las componentes de la resultante de las cuatro tensiones (que llamaremos

R) sumando sus componentes que hemos determinado antes, pero

¡¡Atención!! En 1.1. se ha dicho que una fuerza es positiva cuando está dirigida hacia la derecha

o arriba y si nos fijamos en las componentes de la tensión del cable 4 (desde el punto de vista de

la argolla) la componente Fx4 está dirigida hacia la izquierda, luego “es negativa”. Por lo tanto las

componentes del cable 4 serán:

Fx4 = - 1.558,8 kg

Fy4 = 900 kg


Sumando ya ahora las components tenemos:

Rx = Fx1 + Fx2 + Fx3 + Fx4 = 1.409,5kg + 1.285,5kg +87,1kg – 1.558,8kg = 1.223,3kg

Ry = Fy1 + Fy2 + Fy3 + Fy4 = 513kg + 1.532kg +996,1kg + 900kg = 3.941,1kg

c). Cálculo de la resultante total.

Mediante la fórmula 1.4.2:

kg

En el ejemplo 1, resuelto gráficamente, nos habían salido 4.150kg, o sea, cometimos un error de

~ 23kg. El valor de 4.126,59kg es el exacto.

Si queremos determinar el valor del ángulo que forma esta

resultante con la horizontal, α, tenemos que en el triángulo OAB de

la figura 11:

Si en una tabla de tangentes (o mediante una calculadora

trigonométrica) buscamos qué ángulo es el que su tangente vale

3,2217 encontramos que es 72º 45’ 21’’ que es muy próximo al

valor de 72,5º que habíamos podido medir en el método gráfico.

NOTA IMPORTANTE

En la práctica, a fin de evitar posibles errores y facilitarnos la presentación de los cálculos, es

muy conveniente realizar estos no en la forma que hemos resuelto el ejemplo sino mediante un

cuadro como el siguiente en donde se han colocado los valores correspondientes a este ejemplo.

1 2 3 4 5 = 1 × 3 6 = 1 × 4

Fuerzas kg Angulos αo Cos α Sen α Fx kg Fy kg

1.500 20 0,940 0,342 1.409,5 513

2.000 50 0,643 0,766 1,285,5 1.532

1.000 85 0,087 0,996 87,1 996,1

1.800 30 0,866 0,500 - 1.558,8 900

+ +

Rx= 1.223,3 Ry=3.941,1

Encima de las columnas 5 y 6 se indica que son producto de la 1×3 y 1×4 respectivamente. La

componente Rx se obtiene sumando (pero atendiendo al signo) los valores de la columna 5 y la

Ry los de la 6.

¡Ojo al signo!


47

Ejemplo 2.4

“Sobre el cable de mando que descansa en la polea de la figura 12 se ha determinado que en

vuelo actúa una tensión máxima de 1.900kg. Se pide determinar el valor de la carga sobre la

polea para esta tensión del cable y su dirección”.

Para resolver el problema comenzaremos haciendo

un diagrama (figura 13) de las cargas que intervienen

en el problema.

Las cargas T1 y T2 (tensión del cable) son de igual

valor (1.900kg) y dirigidas según se dibuja.

Nota: Realmente esto solo es cierto suponiendo que

no hay rozamiento en la polea, pero a los efectos de

este ejemplo supondremos que ello es así.

La resultante será R (a calcular) y su dirección β (a calcular

también).

Del gráfico vemos que Tx1 es positiva (hacia la derecha), Ty1

negativa (hacia abajo), Tx2 negativa (hacia la izquierda) y

Ty2 es cero.

Hagamos una tabla de cálculo similar al del ejemplo

anterior:

1 2 3 4 5 = 1 × 3 6 = 1 × 4

Fuerzas kg Angulos αo Cos α Sen α Fx kg Fy kg

1.900 28 0,883 0,469 1.677,7 -891,1

1.900 180 1 0 - 1.900 0

+ +

Rx= -222,3 Ry=-891,1

Hay que hacer notar que las dos componentes de R resultan negativas como ya se podía esperar

al inspeccionar la figura 13.

Calculemos el valor de la resultante:

Para determinar el valor de β veamos la figura 14, de ella:

Β = 180º - α


y

Las tablas trigonométricas nos dan que el anterior valor de la

tangente corresponde aproximadamente a un ángulo α = 76º,

luego:

Β = 180º - 76º = 104º

201.6. Equilibrio de un cuerpo sometido a diversas fuerzas que pasan por un mismo

punto.

En la figura 15 se ha representado un taco

de madera, que tiene un peso P, que

descansa sobre un plano inclinado con un

ángulo de inclinación α.

Al taco de madera se le ha atado un cordel

del que cuelga un peso K tal que el taco no

desliza sobre el plano.

Suponiendo que no existe rozamiento

entre el taco y la superficie del plano, vamos a considerar las fuerzas que actúan

sobre el taco:

Por un lado tendremos el peso del propio taco P. Esta es una fuerza dirigida

verticalmente hacia abajo y que pasa por el centro de gravedad del taco.

Luego tendremos la fuerza K con la que el cordel tira del taco y que es igual al peso K

que hemos colgado. Esta fuerza es hacia arriba en dirección paralela a la superficie

del plano y, suponiendo que hemos fijado adecuadamente el cordel al taco, pasa

también por el centro de gravedad del taco.

Por último tenemos la reacción R (y es muy importante fijarse en esta fuerza) que es

la fuerza ejercida entre la superficie del taco y la del plano y que es perpendicular a

éstas.

Ahora podemos imaginar que hacemos abstracción del plano inclinado e

imaginamos el taco “flotando en el espacio” tal como lo representamos en la figura

15B.


49

Naturalmente, si quitamos el plano inclinado de

debajo del taco este se nos cae, pero si

suponemos que sobre el taco actúa una fuerza

R igual a la reacción que se ejercía entre plano y

taco, al someter el taco a esta fuerza el efecto

es como si el plano siguiese existiendo debajo

del taco.

Igualmente el taco caería si quitamos el cordel,

pero vamos a sustituirlo por una fuerza K igual a la tensión del cordel.

Como originalmente el taco no se movía, este taco “flotando en el espacio”

sometido a las fuerzas R, K y P tampoco se mueve. Se dice que el taco está en

equilibrio. Pero sabemos que para que un cuerpo pueda estar “flotando en el

espacio” sin moverse es necesario que no actúe ninguna fuerza sobre él. Pero como

sobre el taco hemos supuesto que están actuando las fuerzas R, K y P es necesario

deducir entonces que la resultante de la combinación de estas fuerzas ha de ser

nula.

Nota importante:

En este ejemplo hemos supuesto que las tres fuerzas pasan por un mismo punto (el

centro de gravedad del taco). Esto no tiene por qué suceder siempre así (y lo normal

es que no suceda), pero aquí lo suponemos. El caso de que todas las fuerzas que

actúan sobre el cuerpo no pasen por el mismo punto lo veremos más adelante.

Así pues, de lo dicho anteriormente deducimos la siguiente

Regla I: “Para que un cuerpo sometido a varias fuerzas que pasan por un mismo

punto esté en equilibrio es preciso que sea NULA la resultante de dichas fuerzas”.

En 1.5. se ha visto cómo se calculan las componentes de la resultante de varias

fuerzas sumando las correspondientes componentes según el eje XX y el YY de las

diferentes fuerzas. Como para que una fuerza tenga valor nulo deben de ser nulas

sus componentes, de la regla anterior se deduce la:

Regla II: “Para que un cuerpo sometido a varias fuerzas que pasan por un mismo

punto esté en equilibrio es preciso que la suma de las componentes según ambos

ejes XX e YY sea NULA”.

Ejemplo 2.5

“El taco de la figura 15 pesa 200gr y para impedir que resbale sobre el plano inclinado 30º es

necesario colgar un peso de 100gr. Suponiendo que no hay rozamiento entre taco y plano se

pide determinar el valor de la reacción R entre taco y plano”.


Para resolver este problema vamos a hacer uso de la

Regla II, poniendo que la suma de las componentes de

las fuerzas sobre el taco son nulas.

Vamos a tomar los ejes que se señalan en la figura 16 y

calcular las componentes de las fuerzas mediante las

fórmulas 1.4.1.

Componentes de P (atención al signo):

Px = 0

Py = -P = -200gr

Componentes de K (atención al signo):

Kx = - K × cos 30º = - 100gr × 0,866 = -86,6 gr

Ky = k × sen 30º = 100gr × 0,5 = 50 gr

Componentes de R (R es desconocido)

Rx = R × cos 60º = 0,5 × R

Ry = R × sen 60º = 0,866 × R

Aplicando ahora la Regla II ha de ser:

Px + Kx + Rx = 0 , o sea

0 + (- 86,6gr) + 0,5 × R = 0

de aquí obtenemos que:

0,5 × R = 86,6gr y, por lo tanto:

Con esto hemos determinado ya el valor de la reacción pedida. No obstante, para ampliar el

ejercicio y a modo de comprobación, vamos a hacer lo mismo empleando las componentes

según YY. Nos deberá salir el mismo valor de R.

También, por la misma Regla II, ha de ser:

Py + Ky + Ry = 0 , o sea

-200gr + 50gr + 0,866 × R = 0, o sea

-150gr + 0,866 × R = 0

de aquí obtenemos que:

0,866 × R = 150gr y, por lo tanto:


51

valor que coincide con el ya anteriormente obtenido.

Así pues, el valor de la reacción entre plano y taco es de 173,2 gramos.

201.7. Concepto de Momento.

En la figura 17 se ha representado un

tambor sobre el que está enrollado un cable

cuyas ramas salen horizontalmente.

Sabemos que si tiramos de ambos extremos

del cable con una fuerza T el tambor no se

moverá de su sitio pero se pondrá a girar.

Si hacemos la suma de las componentes

según los ejes XX e YY de las fuerzas que

actúan sobre el tambor (haciendo caso omiso de su peso pues suponemos que el

tambor está soportado de alguna forma) vemos que esta suma es nula, pues las

tensiones del cable solo tienen componentes según el eje XX (la proyección sobre YY

es cero) y estas son iguales y opuestas. Así pues, desde el punto de vista de la

resultante de las fuerzas (que es nula) se podría decir que el tambor está en

equilibrio, pero realmente no lo está, puesto que gira.

El quid de la cuestión está en que aunque la resultante de las fuerzas que actúan

sobre el tambor es nula, estas fuerzas no pasan por el mismo punto.

En esta situación se dice que las tensiones del cable forman “UN PAR DE FUERZAS”.

Sabemos por experiencia que para una misma tensión del cable la acción sobre el

tambor es tanto mayor cuanto mayor sea su radio. Esto es, la acción del par de

fuerzas depende de la separación entre las mismas.

Para medir el “valor” del efecto producido por un par

de fuerzas se ha creado el concepto de “MOMENTO”

(más exactamente “momento del par de fuerzas”).

En un caso general se define como momento del par

de fuerzas FF (fuerzas iguales, de sentidos opuestos y

líneas de acción paralelas) al producto de una de las

fuerzas por la distancia entre ellas, o sea:

M = F × d (Fórmula 1.7.1)

En el caso particular de nuestro tambor de la figura 17, el momento que actúa sobre él es:

M = T × 2 × R


Las unidades en que se acostumbra medir el momento es en metros por kilogramos

m × kg

Se escribe precisamente de esta manera y no al revés (kilos por metro) para evitar confundirlo

con la unidad kg/m (kilogramos divididos por metro) y que se acostumbra a leer en la misma

forma (kilos por metro) pero que corresponde a una unidad de densidad empleada, por ejemplo,

para perfiles de acero.

Un momento se suele representar gráficamente por una flecha

curva señalando un giro en el mismo sentido que giraría el

cuerpo al que se le aplica. Esto se ilustra en la figura 19 para el

caso del tambor.

Por convenio, un momento se dice positivo si tiende a hacer

girar al cuerpo en el mismo sentido que las agujas de un reloj

(caso de la figura 19). En el caso contrario se dice negativo.

201.8. Momento de una fuerza respecto a un punto.

Se define como momento de una fuerza F

respecto de un punto O (ver figura 20) al

producto de la fuerza por la distancia entre la

línea de acción de la fuerza y dicho punto O.

(Fórmula 1.8.1)

En el caso del tambor de la figura 17 el momento

de cada tensión del cable respecto del centro del

tambor es:

El momento total que actúa sobre el tambor es la suma de los momentos respecto

del centro que produce cada tensión T, o sea:

Valor que coincide con lo dicho en 1.7. para el momento producido por el par de

fuerzas T.

A calcular el momento de una fuerza respecto a un punto de denomina “tomar

momentos respecto a ese punto”.

201.9. Equilibrio general de un cuerpo sometido a fuerzas cualesquiera.

Ya hemos visto en 1.6. (Regla I) que para que un cuerpo sobre el que actúan fuerzas

concurrentes en un punto esté en equilibrio es necesario que la resultante de dichas

fuerzas sea nula.


53

En un caso general, las fuerzas que actúan sobre un cuerpo no pasan por un punto y

así, aunque su resultante fuese nula, podría ser que el cuerpo girase debido a que la

suma de los momentos de las fuerzas respecto a algún punto del cuerpo no es

nula, esto es, que hay un momento resultante no nulo que hace que el cuerpo gire

alrededor de dicho punto.

De lo anteriormente expuesto se deduce la siguiente:

Regla III: “Para que un cuerpo sometido a varias fuerzas que no pasan por un mismo

punto esté en equilibrio es preciso que la resultante de dichas fuerzas sea NULA, y

que la suma de momentos respecto a cualquier punto del cuerpo de dichas fuerzas

sea también NULA”.

Ejemplo 2.6

“La viga de la figura 21 está cargada con un peso de 7.500kg tal como se muestra.

Despreciando el peso de la propia viga, calcular las reacciones en los apoyos”.

Igual que hicimos en el caso del taco,

vamos a suponer que la viga se encuentra

“flotando en el aire” sustituyendo el peso

por una fuerza P dirigida hacia abajo, la

reacción en el apoyo 1 por una fuerza R1

dirigida hacia arriba y la reacción en el

apoyo 2 por una fuerza R2 dirigida hacia arriba (figura 22).

Aquí vemos que estamos en un caso

de fuerzas no concurrentes, por lo que

para que la viga esté en equilibrio

(pueda “flotar en el aire”) es necesario

que se cumpla la Regla III. Aquí, como

las fuerzas son paralelas al eje vertical ,

no nos tenemos que ocupar de la

componente horizontal de las mismas.

Siguiendo la Regla III tenemos:

1º) La resultante de las fuerzas ha de ser nula, luego:

R1 + R2 – P = 0 (atención al signo de P)

de aquí tenemos que:

R1 + R2 = P

o sea, que la suma de las dos reacciones en los apoyos ha de ser igual al peso colgado de la viga,

cosa que es evidente en este caso.


2º) La suma de los momentos respecto a cualquier punto del cuerpo ha de ser cero.

Como podemos elegir cualquier punto para tomar momentos, elijamos el punto 1 (extremo

izquierdo de la viga).

El momento de cada una de las fuerzas (según la fórmula 1.8.1.) es el producto de cada fuerza

por la distancia al punto elegido. El signo del momento será positivo si el sentido es hacia la

derecha y negativo si lo es hacia la izquierda.

Momento de R1 respecto al punto 1:

MR1 = R1 × 0 = 0

Momento de P respecto al punto 1:

Mp = P × (2m – 0,75m) = 1,25 × P

Momento de R2 respecto al punto 1:

MR2 = - R2 × 2m = -2 × R2

En el último caso hemos puesto signo negativo porque este momento tendería a hacer girar

toda la viga alrededor del punto 1 en sentido contrario a las agujas del reloj.

Como la suma de momentos ha de ser nula tenemos:

MR1 + MP + MR2 = 0

y sustituyendo los valores:

0 + 1,25 × P – 2 × R2 = 0

de donde,

2 × R2 = 1,25 × P

y

Como ya sabíamos que R1 + R2 = P, de aquí:

R1 = P – R2 = 7.500kg – 4.687,5kg = 2.815,5kg

Así pues, las reacciones pedidas en los apoyos de la viga son de 2.815,5kg en el de la izquierda y

de 4.687,5 kg en el de la derecha.

Ejemplo 2.7

“En los aviones son datos necesarios de conocer el peso de los mismos y la posición de su

centro de gravedad. Para ello, una forma normal de proceder es colocar el avión sobre tres

básculas, una debajo de cada rueda, y obtener las reacciones de cada rueda sobre el suelo (que


55

es lo que miden las básculas). En el avión de la figura esta operación nos ha dado una reacción

para la rueda de morro de Rm = 100kg y una reacción para cada rueda principal de Rp = 250kg.

Las distancias de los centros de las ruedas al morro del avión (medidas horizontalmente) son

las indicadas. ¿Cuál es el peso total del avión y la distancia horizontal desde el morro al centro

de gravedad?”.

Aquí aplicaremos la Regla III.

a). Equilibrio de fuerzas:

Y de aquí:

Luego el avión pesa 600 kg.

Nota: Se ha puesto 2×Rp por ser dos las ruedas principales.

b). Equilibrio de momentos:

Vamos a tomar momentos respecto del morro del avión. Vamos a llamar x a la distancia

horizontal, desconocida, desde el morro hasta el centro de gravedad del avión:

Nota: Los momentos producidos por Rm y Rp se han considerado negativos pues estos tenderían

a hacer girar al avión respecto del morro en sentido contrario a las agujas del reloj.

de aquí:

luego,

Así pues, el centro de gravedad del avión está a 2,25m desde el morro.


202. Trabajo a flexión de vigas. Estudio de casos sencillos de flexión.

202.1. Noción de momento flector.

En lo que ahora sigue entenderemos por “viga” a un elemento estructural cuya

longitud es grande comparada con cualquier otra de sus dimensiones y que está

destinado a soportar cargas en su mismo plano perpendiculares a su longitud.

Supongamos la viga de la figura 24. Se trata

de una doble T empotrada por uno de sus

extremos en una pared y por el otro se le ha

colgado un peso P.

El efecto de la carga P será el hacer flexar la

viga de forma que, siendo primitivamente

recta, toma una forma curva como, muy

exageradamente, se ha representado en la

figura 25.

Supongamos ahora que la viga la cortamos a

una distancia x desde el extremo en que está

aplicada la carga, según se ve en la figura 26,

y que establecemos el equilibrio de este

trozo, esto es, lo dejamos “flotando en el

aire” como hicimos para el taco de la figura

15 o la viga de la figura 22. Esto lo hacemos

en la figura 27.

Nos encontramos que en el trozo está

actuando por su extremo derecho la carga P y

por el izquierdo las reacciones que, cuando

formaba parte de la viga, le suministraba el

otro pedazo.

Vamos a ver por qué esas reacciones tienen

que ser tal como las hemos representado en

la figura 27: una fuerza vertical V y un

momento en dirección contraria a las agujas

del reloj M. En efecto, al existir en uno de

los extremos la carga P, debe de existir (para

que el trozo “no se caiga”), otra fuerza

vertical y de sentido contrario que, en el caso normal de que se desprecia el peso

propio de la viga vale:


57

Ahora bien, las fuerzas V y P forman un par de fuerzas cuyo efecto sería el hacer

girar el trozo hacia la derecha. Es por lo tanto preciso un momento M hacia la

izquierda que lo equilibre, habiendo de ser, por tanto (fórmula 1.7.1.):

Este momento que aquí aparece es el que se conoce con el nombre de “MOMENTO

FLECTOR”.

Como el valor de x puede ser cualquiera, podemos recorrer toda la longitud de la

viga teniéndose un valor diferente del momento flector para cada punto de la

misma.

Para el extremo derecho de la viga el momento flector vale 0 puesto que x = 0. Para

el extremo izquierdo x = l y

Este es el máximo valor que puede alcanzar el momento flector sobre la viga y es

por lo que se le denomina “MOMENTO FLECTOR MÁXIMO”.

A la fuerza V se le conoce con el nombre de “FUERZA CORTANTE”.

202.2. Esfuerzos que aparecen en una viga sometida a flexión.

Ya hemos visto en el apartado anterior que en una viga sometida a flexión aparece

una fuerza cortante. Esta fuerza actúa sobre cada sección de la viga en la misma

forma que se explicó en la sección 1.2. de la Parte 1, originando un esfuerzo de

cortadura:

siendo S el área de la sección recta de la viga.

La viga podría fallar a cortadura si este esfuerzo τ es superior al límite elástico.

Por otra parte, si nos fijamos en la figura 25, vemos que para curvarse es necesario

que al menos su parte superior haya cambiado de longitud (lo que realmente ocurre

es que la parte superior se larga y la inferior se acorta). Sabemos que para que un

metal aumente de longitud es necesario aplicarle un esfuerzo de tracción y, para

acortarlo, uno de compresión. Así pues, el efecto del momento flector es hacer que

aparezca un esfuerzo de tracción en la parte superior de la viga y uno de compresión

en la inferior. Si cualquiera de estos esfuerzos sobrepasase el límite elástico

entonces la viga fallaría.

Para el cálculo de estos esfuerzos generados por el momento flector es necesaria la

aplicación de matemáticas superiores, pero puede entenderse a través del estudio

de la siguiente viga simplificada.


Sea nuevamente, figura 28, una viga de

longitud l empotrada por uno de sus

extremos y por el otro cargada con una

fuerza P. Pero ahora la vamos a suponer

constituida por dos varillas, una inferior y

otra superior, de sección circular constante y

área S, unidas por un alma de chapa muy

delgada.

Establezcamos también como antes el

equilibrio de un trozo de longitud x. Sabemos

que, figura 29, en el extremo izquierdo aparece una fuerza cortante

y un momento flector

Como hemos dicho que el momento

flector provoca una fuerza de tracción

en el cordón superior y una de

compresión en el inferior, sean F tales

fuerzas, tal como se ha representado.

Las dos fuerzas F forman un par de

fuerzas que deben de equilibrar el

momento M, luego:

y de aquí:

o bien:

y el esfuerzo de tracción (compresión) originado por la fuerza F en el cordón

superior (inferior) vale:

Si tomamos en el plano de la sección de la viga unos ejes XX e YY según se señala en

la figura 28 y denotamos por “y” la distancia desde el centro de los cordones al

centro de la sección tenemos que:


59

y sustituyendo en la expresión de σ queda:

El valor de una expresión no varía si multiplicamos el numerador y denominador a la

vez por la misma cosa. Vamos a multiplicar arriba y abajo por “y”, quedándonos:

Al producto 2×y2×S se le conoce con el nombre de “MOMENTO DE INERCIA DE LA

SECCIÓN CON RESPECTO AL EJE XX”, y se le denota como Ix.

con lo cual la expresión de σ queda:

(Fórmula 2.2.1.)

Esta fórmula que hemos obtenido a través de un cálculo muy simple se puede

demostrar que coincide con la que nos da los esfuerzos de tracción y compresión

que se presentan en una viga de sección cualquiera a una distancia “y” del centro de

la misma sometida a un momento flector M que la hace flexar en un plano

perpendicular. La única restricción a la aplicación de esta fórmula es que la sección

debe de ser simétrica respecto del eje YY. No es por lo tanto aplicable a vigas con

secciones, por ejemplo, en L o en C.

Si la flexión se realiza en un plano horizontal, entonces σ viene dado por:

en donde Iy es el momento de inercia de la sección respecto al eje YY.

El momento de inercia o bien se calcula o bien se toma directamente de los

catálogos proporcionados por los fabricantes de los perfiles. A continuación se dan

las fórmulas de cálculo para secciones sencillas y se reproduce una página de un

catálogo para perfiles en doble T.


Momentos de inercia para algunas secciones sencillas.

Rectángulo.

Círculo.

Anillo circular.


61

Los momentos de inercia Ix e Iy se leen en las columnas recuadradas y vienen dados en cm4.


Como para estudiar el posible fallo de la viga por los esfuerzos de tracción que en

ella aparecen hemos de conocer el máximo valor de estos esfuerzos, en la fórmula

2.2.1. hemos de emplear el máximo valor del momento flector que se presenta en la

viga y emplear para “y” el máximo valor posible en la sección, esto es, para la

superficie superior o inferior de la viga:

(Fórmula 2.2.2)

El valor de σmax multiplicado por 1,5 es el que compararemos con el esfuerzo de

rotura del material para determinar si va a resistir o no.

Lo anteriormente dicho vamos a resumirlo en la siguiente:

Regla IV

“Para determinar si una viga puede emplearse para resistir unas determinadas

cargas:

1). Se calculará primero el MOMENTO FLECTOR MÁXIMO (Mmax) que se presenta

en la viga haciendo uso de los métodos que más adelante se describen.

2). Se calculará o se obtendrá de las correspondientes tablas para la sección recta

de la viga el valor del momento de inercia (Ix o Iy) correspondiente al eje

perpendicular al plano en que la viga flexa (si lo hace en el plano vertical se

tomará Ix, si lo hace en el horizontal se tomará Iy).

3). Se tomará para “y” (o para “x”, según el plano de flexión) la máxima distancia

que haya desde el centro de la sección recta de la viga a la superficie superior o

inferior de ésta (o derecha – izquierda, según el plano de flexión).

4). Se aplicará la fórmula 2.2.2. (o su equivalente a flexión en el plano horizontal

) para determinar el valor del máximo esfuerzo de tracción (o

compresión). Este esfuerzo se multiplicará por 1,5 y se comparará con el esfuerzo

de rotura del material”.

Ejemplo 2.8

“Una viga de sección rectangular de 20×50 mm flexa en un plano vertical, siendo el valor del

máximo momento flector 2.500 mkg. Determinar el valor máximo del esfuerzo de tracción que

aparece en la viga”.

En la figura 30 hemos representado la sección de la viga que nos ocupa.

El máximo esfuerzo de tracción que aparecerá viene dado por la fórmula 2.2.2.


63

en donde:

Mmax= 2.500 mkg

ymax es el valor de “y” para la superficie o canto superior de

la viga, esto es:

Ix lo calcularemos haciendo uso de las fórmulas que hemos dado anteriormente para calcular los

momentos de inercia para secciones sencillas empleando la de un rectángulo con a=20mm y b=

50mm teniéndose:

Ahora ya podemos sustituir todos estos valores en la fórmula de σmax pero, ¡Atención!, como el

momento está en metros × kilo, ymax en milímetros e Ix en milímetros a la cuarta, hemos de

poner todo antes bien en metros o bien en milímetros para poder operar. Pongámoslos, por

ejemplo, en metros, entonces:

Mmax= 2.500 mkg (sin cambio)

ymax = 25 mm = 0,025 m (hay que dividir por 1.000, o desplazar la coma 3 lugares a la izquierda)

Ix =208.333 mm4 = 0,000000208333 m4 (hay que dividir por 1.0004 = 1012, o desplazar la coma 12

lugares a la izquierda)

con ello:

Si lo hubiésemos puesto en milímetros sería:

Mmax= 2.500 mkg =2.500.000 mmkg (hay que multiplicar por 1.000)

ymax = 25 mm (sin cambios)

Ix =208.333 mm4 (sin cambios)

y,

Hemos hecho el cálculo empleando unidades distintas para resaltar el hecho importante de

que:

1º- Siempre en una fórmula deben de emplearse unidades coherentes, y


2º- La elección cuidadosa de las unidades que se van a emplear puede facilitar el cálculo. Es

obvio en el ejemplo que el cálculo en metros es mucho más engorroso que con milímetros.

Ejemplo 2.9

“Repetir el cálculo anterior si ahora la sección es un perfil en doble T de 100mm del catálogo

de Altos Hornos de Vizcaya”.

Ahora tenemos:

Mmax= 2.500 mkg (igual que antes)

ymax = h/2 = 100mm/2 = 50 mm

Ix = 171 cm4 (leído en el catálogo para el perfil de 100mm de alto)

y vamos a hacer el cálculo empleando centímetros:

Mmax= 2.500 mkg = 250.000 cmkg (multiplicando por 100)

ymax = 50 mm = 5 cm (dividiendo por 10)

Ix = 171 cm4 (sin cambios)

Sustituyendo en la fórmula de σmax tenemos:

202.3. Algunos casos sencillos de flexión de vigas.

A continuación vamos a dar las expresiones de los momentos flectores máximos y

de las fuerzas cortantes que se presentan en los casos corrientes de vigas cargadas a

flexión. Todas las expresiones que se van a dar pueden determinarse estableciendo

el equilibrio de un trozo de viga tal como se hizo en 2.1. para una viga empotrada

con una carga en su extremo. En particular, en el ejemplo 10 se desarrolla el caso de

una viga simplemente apoyada en sus extremos con una carga en su centro.

202.3.1. Viga empotrada por un extremo y cargada por el otro con una carga P

Fuerza cortante:

Momento flector máximo:


65

202.3.2. Viga empotrada por un extremo y con una carga uniformemente distribuida sobre

ella q kg/m

Fuerza cortante máxima:


202.3.3. Viga simplemente apoyada en sus extremos y con una carga P en su centro.



202.3.4. Viga simplemente apoyada en sus extremos con una carga P en un punto

cualquiera.

Fuerza cortante:

En tramo 1-2:

En tramo 2-3:


202.3.5. Viga simplemente apoyada por sus extremos y con una carga uniformemente

distribuida q kg/m.




Ejemplo 2.10.

“Se desea instalar un depósito de agua de 2.000 litros de capacidad colocándolo sobre dos

vigas en doble T, las cuales se apoyarán a su vez en dos tabiques paralelos distantes entre sí 2

m, tal como se ve en la figura 31. Se pide determinar la sección más conveniente para las

vigas”.

Para resolver el problema vamos a hacer las hipótesis

simplificatorias de que ambas vigas se comportan como

simplemente apoyadas, estando sus apoyos a 2m de distancia,

y que ambas están cargadas en su centro con la mitad de la

carga que supone el depósito, la cual, desestimando el peso

del propio depósito evaluaremos en 2.000kg cuando esté lleno

(1litro de agua = 1kg de peso), con ello a cada viga le

corresponderán 1.000 kg de carga. Desestimaremos también

el peso propio de cada viga. Como ambas vigas son iguales

bastará que nos ocupemos de una de ellas.

Con las hipótesis realizadas la situación queda tal como se

muestra en la figura 32.

R1 y R2 son las reacciones que aparecen en los

apoyos que han de ser iguales al estar centrada la

carga sobre la viga. Estableciendo el equilibrio

vertical tenemos que ha de ser:

luego:

y

Estableciendo el equilibrio de un trozo de viga de

longitud “x” tal que la x sea menor que 1m, figura 33,

tenemos que:

y

Si establecemos ahora el equilibrio de un trozo de viga

de longitud “x” tal que la x sea mayor que 1m, figura

34, tenemos que:


67

y de aquí:

De ello vemos que a ambos lados del centro de la viga la fuerza cortante es constante y vale P/2,

solo que cambia de signo (a la derecha va dirigida hacia arriba y a la izquierda hacia abajo).

Para el momento ha de ser:

en donde hemos tomado momentos respecto al extremo derecho. Sustituyendo V2 por su valor

tenemos:

y, entonces:

Así pues, vemos que a la derecha del centro de la viga el momento flector vale:

y a la izquierda:

Al ir aumentando “x” vemos que M1 aumenta tomando un valor máximo para y

, mientras que M2 disminuye, siendo también su valor máximo para y

, luego vemos que el máximo del momento flector vale:

Lo cual coincide con lo que se dio en 2.3.3.

Y vamos ya a la resolución práctica del problema propuesto. Tendremos:




En principio, vamos a comprobar si nos valdría para soportar estas cargas un perfil en doble T del

catálogo de Altos Hornos de Vizcaya de 80mm. De este catálogo obtenemos los siguientes datos:

S = 7,58 cm2, h = 80 mm e Ix = 77,8 cm4.

El material que compone estos perfiles es de acero de resistencia a la rotura de 40 a 50 kg/mm2,

dato suministrado por el mismo catálogo. Para mayor seguridad tomaremos el valor inferior de

40 kg/mm2.

La fuerza cortante máxima nos produce un esfuerzo cortante de (fórmula 1.2. de la parte 1):

y

Como por la fórmula 4.1 de la parte 1:

tendremos para nuestro caso:

Como el valor de 1,5×τr es 0,99, mucho más pequeño que el de rotura, vemos que con el perfil

elegido no vamos a tener problemas a cortadura.

Vamos a hacer ahora la comprobación por flexión. Aplicando la fórmula 2.2.2.

con

Mmax = 500 mkg = 50.000 cmkg

Ymax = h/2 = 80mm/2 = 40mm = 4 cm

Ix =77,8cm2

Como este valor es inferior al de rotura de 40 kg/mm2 deducimos que el perfil de 80mm elegido

es válido.


69

Ejemplo 2.11

Nota: el presente ejemplo resume todo lo estudiado en la parte primera y segunda de este

curso.

“Se trata de diseñar la palanca en L correspondiente al reenvío que se esquematiza en la figura

35. Esta palanca se construirá en material ligero de resistencia a la rotura σr = 40 kg/mm2.

Las condiciones de diseño son que el brazo vertical debe de tener 30mm de longitud entre

centros, el horizontal 25, los bulones de unión deben de ser M4 (métrico 4) y se sabe que la

máxima carga que en vuelo aparece en la barra superior es de 250 kg.”

El primer paso que debemos dar para resolver este problema es determinar todas las cargas que

actúan sobre la palanca. En la figura 36 se han representado: una tracción T1 (250 kg)

correspondiente a la barra superior, una tracción T2 (desconocida) correspondiente a la barra

inferior y una reacción R (desconocida) en el punto de giro de la palanca. Se trata pues de

calcular T2 y R.

Para que la palanca esté en equilibrio sabemos que

ha de haber equilibrio de fuerzas y de momentos.

Si tomamos momentos respecto al punto de giro de

la palanca tendremos:

luego, de aquí:

y


Luego ya conocemos T2.

Estableciendo el equilibrio de fuerzas según el eje XX tenemos:

luego:

Estableciéndolo ahora según el eje YY:

luego:

y como

Ya conocemos pues el valor de todas las fuerzas que actúan sobre la palanca. Pasemos pues al

diseño de la misma.

Empezaremos haciendo un croquis de la palanca

más o menos como pensamos que ésta “debe ser”.

Así el croquis de la figura 37 se ha hecho atendiendo

a conseguir una forma “estética” para la palanca.

Las cotas de 6, 3 y 5 mm las hemos colocado a “ojo”.

Comprobemos ahora si esta palanca “vale”.

1).- Empecemos por el punto de giro. Aquí la

palanca se comporta frente a la carga R de 390,5kg

como si fuese la orejeta de un herraje, tal como se

esquematiza en la figura 38. Despreciamos la

contribución que los brazos de la palanca pudieran

tener, pues así estamos seguros de que la palanca

real es más fuerte que lo calculado.

Hagamos las comprobaciones normales:


71

1a). Tracción:

Como este valor es mucho menor que σr no hay problema: en este punto la palanca resiste a

tracción.

1b). Cortadura.

Como,

la sección resiste a cortadura.

1c). Aplastamiento.

Vemos que a aplastamiento tampoco vamos a tener ningún problema en esta zona.

2).- Comprobaremos ahora los extremos de los brazos de la palanca tratándolos también como

orejetas. Como ambos son iguales y uno de ellos tiene una carga de 300 kg, utilizaremos dicha

carga.

Nota: Aunque la carga forma un ángulo de 90º con la orejeta, para el cálculo la supondremos en

prolongación por ser la posición más desfavorable, figura 39.

2a). Tracción:


Luego no se van a presentar problemas a tracción en esta orejeta.

2b). Cortadura.

Como,

No hay tampoco problemas a cortadura.

2c). Aplastamiento.

Vemos que a aplastamiento tampoco vamos a tener ningún problema en esta zona.

3).- Los brazos de la palanca se comportan como vigas de sección rectangular sometidas a

flexión. Luego hemos de comprobarlos también desde este punto de vista.

Vemos que la forma de trabajar de los brazos es la misma que la viga de la figura del apartado

2.3.1. (viga empotrada por un extremo y cargada por el otro con una carga P). La situación es

pues la representada en la figura 40 con P = 250 kg y para el brazo vertical y P = 300

kg y para el horizontal.

Comprobaremos primeramente el brazo horizontal, en

él:

Fuerza cortante:

Luego no hay problema por fuerza cortante ya que, como vimos anteriormente,

>


73


Para determinar el esfuerzo producido por este momento flector aplicaremos la fórmula 2.2.2.

con

e

Esta última fórmula es la ya indicada para el momento de inercia de una sección rectangular.

Con esto:

Este esfuerzo es completamente inadmisible pues es casi unas cuatro veces superior al de rotura

del material (40 kg/mm2). Para solventar este problema podemos pensar en aumentar el

espesor de los brazos. Sería necesario aumentarlo también en cuatro veces con lo que nos

quedarían con 12mm.

Ahora:

Este valor ya es correcto, luego habremos de corregir en la figura 37 el espesor del brazo

horizontal a 12 mm.

Nos queda por comprobar el brazo vertical.

Como en él la fuerza cortante es de 250kg, más pequeña que en el brazo horizontal, no tenemos

que comprobarla.

El momento flector máximo es de:


Como este valor es igual que para el brazo horizontal, vamos a tener el mismo problema de

resistencia, luego también vamos a necesitar un espesor de 12 mm.

La palanca quedaría como se muestra en la figura 41:

Este diseño puede aun optimizarse desde el

punto de vista de resistencia y, sobre todo,

de peso dejando en cada sección el material

estrictamente necesario para que resista las

cargas que en ella se prevén. El problema

del peso lo veremos en la tercera parte de

este curso.


75

Problemas correspondientes a la Parte 2.

Nota: los problemas marcados con un (*) son de una dificultad mayor.

Problema 2.1

Un poste recibe un cable eléctrico al cual se le ha dado una

tensión de 85 kg. El poste está sujeto por un viento tal como

se muestra en la figura. Se pide determinar la tensión del

viento suponiendo que el poste absorbe por sí mismo el 5%

de la tensión del cable.

Problema 2.2

Los dos cables que pasan por el soporte de poleas de la

figura están tensados con 45 kg.

Determinar la carga que actúa sobre el soporte según el

plano vertical en magnitud, dirección y sentido.

Resolver el problema:

1º Por el método gráfico.

2º Por el método analítico.

Problema 2.3

La figura representa un ascensor cuya caja y contrapeso pesan cada

uno 200 kg. La polea P del tambor que arrastra el cable tiene un

diámetro de 60 cm.

En el ascensor sube una persona que pesa 90 kg. ¿Qué momento

debe aplicar el sistema motor sobre la polea P, suponiendo que no

existe rozamiento y que el ascensor sube a velocidad uniforme?

Determinar la reacción en magnitud, dirección y sentido sobre la

polea P mientras el ascensor está subiendo.


Problema 2.4

El montaje de la figura consiste en una barra B de material ligero

de sección constante de 100mm2, empotrada en “c” y articulada

en “a” en donde se une a una palanca P que puede girar

alrededor de “o” por efecto de un peso de 875 kg colgado en “b”

del cable C. Determinar (despreciando los posibles efectos de

flexión en la barra) cuánto desciende el peso por efecto del

alargamiento de la barra si la longitud inicial de ésta es de 1m,

suponiendo que no sufren deformaciones ni el cable ni la palanca.

*Problema 2.5

En el problema anterior determinar el máximo valor del esfuerzo debido a la flexión que se

presenta en la palanca P si esta está formada por una pletina de 10×30mm en material ligero.

*Problema 2.6

Se trata de diseñar un pequeño puente grúa

que cubra una luz de 3m. Se piensa pueda estar

formado por una viga en doble T sobre la que

corra el grupo elevador. Si el peso de este

grupo es de 80kg y la máxima carga a elevar es

de 500kg, elegir entre las diversas secciones de

perfiles figurados en la reproducción del

catálogo incluido anteriormente la más

apropiada si el material es acero con una

resistencia a la rotura de 50kg/mm2. No considerar el peso propio de la viga.

*Problema 2.7

Rediseñar la palanca del ejemplo 11 suponiendo que se emplea acero de σr = 70 kg/mm2, que la

carga que actúa sobre la barra superior es de 400kg y que las longitudes entre centros de los

brazos vertical y horizontal deben de ser respetivamente 45 y 30mm.

*Problema 2.8

Se dispone de una eslinga constituida por un tubo de

40mm de diámetro y 3mm de espesor de pared,

dotado de unas orejetas tal como se indica en la

figura.

La forma normal de utilización es enganchar los

cables que sujetan la carga en A y C y la grúa en B. Si

el material es acero con una resistencia a la rotura de


77

40 kg/mm2, se desea saber cuál es la máxima carga que puede elevarse con esta eslinga.


Parte 3. El problema del peso en el diseño aeronáutico.

79

Parte 3. El problema del peso en el

diseño aeronáutico.


301. Por qué tiene tanta importancia el peso.

En el ejemplo 11 de la Parte 2 hemos diseñado una palanca basándonos

únicamente en criterios de obtener la máxima resistencia para la misma. Si

examinamos el resultado obtenido vemos que esa palanca puede tener todas las

bendiciones en cuanto a resistencia, pero de pieza aeronáutica tiene poco.

Obviamente se ve que si diseñamos de la misma forma el avión entero, el

resultado sería un avión al que no se le podría objetar nada en cuanto a

resistencia pero en cuanto a volar... ¡habría que verlo!

En aviación, aun en vuelo horizontal (no digamos de cuando se trata de subir), la

potencia de los motores no solo se emplea en vencer la resistencia del aire

consiguiendo que el avión avance a 300, 600 o 900 km/h, sino que una

importante parte de la misma se utiliza para mantener el avión en el aire. Así,

para la misma potencia de motor, misma capacidad de combustible e iguales

características aerodinámicas externas, dos aviones, uno ligeramente más

pesado que el otro se diferenciarán en que el primero subirá más lentamente

hasta una altura determinada y la distancia en vuelo horizontal que podrá

recorrer será menor que el segundo, debido a que parte de la potencia de los

motores (y, por lo tanto, del combustible) se ha consumido en el transporte del

peso extra.

Por otra parte, todo avión se diseña para transportar algo, sean pasajeros, carga,

armamento o lo que sea. Dos aviones externamente idénticos, con idénticos

motores y misma capacidad de combustible, pero uno de ellos con una

estructura más pesada podrán realizar exactamente la misma ruta a la misma

velocidad, pero, evidentemente, el estructuralmente más pesado no podrá

transportar la misma carga que el más ligero y uno de los parámetros principales

para juzgar las actuaciones de un avión en igualdad de otras circunstancias es la

“carga de pago” que es capaz de transportar, llamada así precisamente porque

es la que rentabiliza el uso del avión. Muchas veces el éxito de un avión sobre sus

competidores estriba en que por un diseño más cuidadoso se ha logrado reducir

el peso, con lo cual se consigue a la vez unas mejores actuaciones y un aumento

de la “carga de pago” que es capaz de transportar.

En el transporte terrestre o marino, el soporte del peso está asegurado por la

reacción del suelo (o el agua), con lo cual la potencia del motor solo se empleará

en acelerar el vehículo y, cuando ya vaya a velocidad constante, en vencer los

rozamientos, por lo cual el problema del peso no es tan determinante.

Naturalmente el peso también tiene su influencia pues la inercia y parte de los


81

rozamientos son proporcionales al mismo, además más peso = más caro, pero

esta influencia es en un grado mucho más pequeño que en la aviación.

Por ello, en aeronáutica, en todo cálculo hay que tener presente el peso, por lo

cual las piezas tendrán la sección justa en el lugar preciso para obtener el nivel

de resistencia especificado, ahorrándose al máximo el material para evitar el

peso extra.

Todo diseño de una pieza debe de ir acompañado de una estimación del peso y

de una revisión de las zonas que más contribuyen al mismo para procurar

disminuirlo.

Esta parte tercera sistematiza y da los datos necesarios para calcular el peso de

las piezas que más corrientemente se presentan en la práctica.

302. Revisión de los conceptos relacionados con el peso.

302.1. Peso específico.

Todo el mundo conoce una propiedad de los cuerpos que se expresa por la frase

vulgar “este cuerpo pesa más que este otro”. Con esto se quiere dar a entender, en

términos más exactos, que para igualdad de volumen uno pesa más que el otro.

La propiedad mencionada es la que se conoce como “PESO ESPECIFICO”, que es la

relación que existe entre el peso del cuerpo y su volumen. Esto es, el peso

específico, pe, viene dado por la expresión matemática:

(Fórmula 2.1.1)

en donde P es el peso del cuerpo y V su volumen.

El valor de pe es una constante típica para el material que constituye el cuerpo de

que se trate. La tabla de la página siguiente contiene los valores de los pesos

específicos de los materiales más comúnmente empleados en la aviación.

NOTA: Para la realización de cálculos rigurosos del peso de una parte habrá de emplearse

el valor exacto del peso específico para el material concreto utilizado que aparece junto a

otras características en los catálogos del suministrador del mismo.

Las unidades de pe dependen de las unidades del peso y del volumen, pero las más

corrientes son las de gramos por centímetro cúbico (gr/cm3), o kilogramos por

decímetro cúbico (kg/dm3). La relación entre ambas unidades es:


NOTA: Muchas veces se confunde el concepto de peso específico con el de densidad. Tales

conceptos no representan la misma idea pues la densidad es la masa por unidad de

volumen. Lo que ocurre es que a nivel de la superficie de la Tierra el valor numérico del

peso específico y de la densidad coinciden para una misma sustancia (por ejemplo, en la

Luna, esto no ocurriría).

Peso específico medio de los materiales más corrientes

Material pe gr/cm3

Material ligero 2,7

Aleación de magnesio 1,74

Bronce 8,1

Acero 7,8

Plástico 1,3

Plástico con fibra de vidrio 2,4

Cristal 2,6

Caucho 0,99

Madera 0,64

302.2. Estimación del peso de una pieza dada.

La fórmula 2.1.1 nos indica el modo de determinar el peso de una pieza construida

(o que se va a construir) en un material dado. El peso lo obtendremos multiplicando

el volumen de la pieza por el peso específico del material:

(Fórmula 2.2.1)

Con esto el problema de determinar el peso de una pieza se transforma en el de

calcular su volumen o, mejor dicho, el volumen del material que la forma.

A fin de cubrir los conceptos que en la práctica aparecen, tendentes siempre a

incrementar el peso, tales como variaciones respecto a las medidas nominales

debido a las tolerancias, pintura, sellantes, etc., para el cálculo se acostumbra a

incrementar el valor de pe en un 3%. Así para el material ligero tomaremos un valor

de:

A fin de facilitar las operaciones se desechará la contribución al peso de radios de

fresa en fondos, redondeo de esquinas, filetes de rosca, etc., siempre que se tenga

la seguridad de que contribuyen en menos del 1% al peso total del elemento.


83

303. Determinación de volúmenes.

303.1. Piezas de chapa.

El volumen de una pieza de chapa viene dado por el producto Area × Espesor, en

donde el área es la superficie de la chapa DESARROLLADA, de la que se le

descuentan los taladros de aligeramiento, fijación, etc.

El principal problema pues para el cálculo del volumen de piezas de chapa es

determinar su desarrollo.

Cuando una chapa de espesor “e”

se pliega adaptándola a un radio

“R”, figura 42, parte del material

(el rayado en la figura) se

comprime y parte se estira (el

cuadriculado). Existe una línea,

llamada “línea neutra”, a lo largo

de la cual el material no sufre

variación en sus dimensiones. Por

lo tanto la longitud de esta línea

es la misma que la del material sin plegar por la sección que se esté considerando.

La situación de esta línea neutra (cota “d” en la figura 42) es función del material

que constituye la pieza. Para facilitar los cálculos y dentro de la precisión que se

pretende a los efectos de la determinación de pesos, esta posición de la línea neutra

se tomará a la mitad del espesor, o sea:

El área de la chapa desarrollada de la pieza de

la figura 43 será la de un rectángulo de área

, estando la distancia AF medida sobre

la línea neutra, esto es:

todo ello según la línea neutra.

A continuación se sistematiza la forma de

hacer los cálculos de la longitud de la línea

neutra en dos casos que recogen la generalidad de todos los que se pueden

presentar en la práctica.


a). Pieza con plegados a 90º.

Sea la pieza de chapa cuya sección recta es la que se representa en la figura 44.

El primer paso es el de dibujar la línea neutra determinando las cotas que la definen.

Esto lo hacemos en la figura 45.

La justificación de las cotas señaladas en esta

figura es la siguiente:

- Cota de la distancia AB.

En la figura 46 se ve que:

- Radio del arco BC.

En la misma figura 46 y suponiendo la línea

neutra localizada a la mitad del espesor, se ve el radio del arco BC es:

Por similitud es inmediato deducir que los valores para el resto de las cotas en la

figura 45 son los señalados.

Tenido lo anterior, la distancia AF que es lo que vamos buscando será:


85

con:

y, sumando todo:

b). Piezas con plegados a un ángulo cualquiera.

Sea ahora la sección

de la figura 47. Lo

primero a hacer es

dibujar la línea

neutra señalando las

cotas que hemos de

determinar. Esto lo

hacemos en la figura 48.

Pasemos ahora al cálculo de las cotas que ahora no son tan directas como en el

caso anterior.

- Cota AB:

En la figura 49:

En el triángulo O’OB’:


de aquí:

Como:

entonces:

y, sustituyendo en la expresión de AB,:

- Arco BC

En la misma figura 49:

- Cota CD.

Entre la figura 49 y 50 tenemos:

En el triángulo OOC’:

y en el D’H’H:

luego:


87

- Arco DE

Similarmente a lo anterior:

- Cota EF.

En la figura 50:

En total, sumando todo:

Para resolver un problema práctico no es preciso hacer cada vez todo el cálculo

anterior, basta que apliquemos lo siguiente que fácilmente se ve está obtenido de

los casos anteriormente desarrollados:

a) Plegados a 90º.

KL es la llamada “constante de compensación”

que en este caso viene dada por:

(Fórmula 3.1.1)

b) Plegados a un ángulo cualquiera (distinto a 90º).

con:

(Fórmula 3.1.2)

Esto se aplica a una pieza con un número

cualquiera de plegados, figura 53, poniendo:


en donde KL1 es el valor de KL (fórmula 3.1.1) para un plegado a 90º y radio R1, Kα2 es

el valor de Kα (fórmula 3.1.2) para un plegado a un ángulo αº, un radio R2 y un

espesor e, y Kβ es el valor de la fórmula anterior para un plegado de βº, radio R3 y

espesor e.

La forma de proceder se aclara más en el siguiente ejemplo numérico:

Ejemplo 3.1.

“Calcular la longitud desarrollada de la sección de la figura 54”.

- Valor de la constante de

compensación para el plegado de 90º

(fórmula 3.1.1):

- Valor de la constante de

compensación para el plegado de 115º

(fórmula 3.1.2):

- Valor de la constante de compensación para el plegado de 65º (fórmula 3.1.2)

- (fórmula 3.1.2):

- Valor de la constante de compensación para el plegado de 120º (fórmula 3.1.2)

La longitud desarrollada total será pues:

NOTA IMPORTANTE:

Las fórmulas anteriores proporcionan la exactitud suficiente a efectos de cálculos de pesos pero

no deben ser empleadas a otro efecto, como por ejemplo ejecución de trazados.

Para dicho uso deben de emplearse las tablas y ábacos contenidos en las normas (por ejemplo la

CAN16006 o LN9003), cuyo conocimiento se aconseja pues con ella se resuelven los casos de la

práctica sin necesidad de cálculos.


89

Una vez obtenido el desarrollo de la pieza el problema nos habrá pasado ahora al

cálculo de la superficie de una chapa plana. Esto se resuelve fácilmente suponiendo

descompuesta la chapa en figuras elementales: rectángulos, cuadrados, triángulos,

trapecios, sectores circulares, etc. y calculando el área de cada una de ellas por

separado, sumando para determinar el total.

El ejemplo siguiente, resuelto totalmente, da la pauta a seguir en cualquier

problema similar:

Ejemplo 3.2.

“Determinar el peso de la pieza de chapa de la figura 55, la cual se fabricará en material

ligero”

El primer paso para la resolución del

problema es el hacer un croquis de la pieza

desarrollada señalando sobre él todas las

cotas que es necesario determinar. Esto lo

hacemos en la figura 56. En ellas las cotas

“a”, “b” y “c” de longitud de las faldillas es

necesario calcularlas ya que no están

directamente indicadas en el dibujo de la


pieza en la figura 55. Las cotas “d”, “e” y “f” de anchura de las faldillas las obtendremos por

desarrollo de éstas.

Para el cálculo de las tres primeras cotas

haremos uso de los triángulos de la figura 57.

Tenemos:

con:

e,

con ello

En el triángulo grande interior:

Para el cálculo de las tres restantes cotas habremos de determinar previamente los valores de

las constantes de compensación de los plegados a 90º y 120º.

Para el plegado a 90º con R= 4mm y e = 1mm:

Para el plegado a 120º con R=4 mm y e=1 mm:

Con ello tendremos:


91

Tenidas ya todas las cotas relevantes descompondremos la superficie desarrollada de la pieza en

sus componentes geométricos elementales, lo cual hacemos en la figura 58:

Vemos que la pieza la podemos descomponer en la suma de tres rectángulos (1), (4) y (3) y de

un triángulo (2), a la que hay que restar el círculo (5) y seis veces el triángulo (6) (agujero de

diámetro 30 y cortes de esquinas de 5×5 respectivamente).

Area Cálculo Valor mm2

(1) 1.097

(2) 2.605

(3) 2.375

(4) 2.194

(5) - 706,8

(6)

- 75

Total 7.489,2

Con esto:

Volumen = 7.489,2 mm2 × 1 mm = 7.489,2 mm3 = 7,48 cm3

Peso = 7,48 cm3 × 2,7 gr/cm3 = 20,20 gr

Así pues, el peso de la pieza es de 20,20 gramos.

Si se desea tener en cuenta la posible influencia sobre el peso de la pieza terminada de las

tolerancias, pintura, etc., como ya dijimos anteriormente, tomaremos como peso específico

2,781 gr/cm3 en lugar de 2,7 gr/cm3; con ello nos sale:

Peso = 7,48 cm3 × 2,781 gr/cm3 = 20,80 gr


303.2. Piezas mecanizadas, fundidas o forjadas.

El cálculo del volumen de este tipo de piezas es normalmente sencillo pues se suelen

poder descomponer fácilmente en sumas y restas de cuerpos geométricos

elementales. Únicamente se corre el peligro de equivocarse al atribuir las

dimensiones a las diversas partes, olvidarse de alguna de ellas o contarla

inadvertidamente más de una vez.

A fin de evitar lo anterior se debe de seguir el siguiente proceso:

1º. Representar la descomposición de la pieza en sus partes elementales dibujando

de línea llena las que sean a sumar y de trazos las que lo sean a restar, atribuyéndole

un número a cada una de ellas.

Cada una de estas partes se acotará con las cotas precisas para calcular su volumen.

Si existiese alguna cota desconocida se representará mediante una letra.

2º. Calcular los valores de todas las cotas desconocidas.

3º. Calcular los volúmenes de cada parte en el mismo orden en que se han

numerado, atribuyéndole valor positivo a los que sean a sumar y negativo a los que

sean a restar. Totalizar el volumen.

4º. Determinar el peso multiplicando el volumen totalizado por el peso específico

del material.

En el siguiente ejemplo sencillo se sigue el método anterior.

Ejemplo 3.3.

“Determinar el peso de la pieza de la figura 59 construida en bronce”.

1º. Descomposición en partes elementales.


93

Tenemos que la pieza se nos descompone en los siguientes cuerpos elementales:

- Un tronco de cono (1) de altura 10 mm y radios de bases 5 y 7,5 mm. A sumar.

- Un cilindro (2) de altura 15 mm y radio 7,5 mm. A sumar.

- Un cilindro (3) de altura “a” (desconocida, a calcular) y radio 2,5 mm. A restar

por representar un hueco.

- Una semiesfera (4) de radio 5 mm. A restar por ser un hueco.

- Un casquete esférico (5) de radio 5 mm y altura “b” (desconocida, a calcular). A

sumar, pues este volumen lo hemos descontado dos veces, una como parte del

cilindro (3) y otra como parte de la semiesfera (4).

2º. Cálculo de las cotas desconocidas “a” y “b”.

En la figura 61 tenemos:

y

En el triángulo OAB:

luego:

a = 20,67 mm

b= 0,67 mm.

3º. Cálculo de los volúmenes de las partes elementales y volumen total (Ver formulario en

páginas siguientes).


Volumen Cálculo Signo Valor mm3

(1) + 1.243,55

(2) + 2.650,72

(3) - 405,85

(4)

- 261,80

(5) ) + 6,74

Total 3.233,36

Volumen total = 3.233,36 mm3 = 3,23 cm3

4º Determinación del peso de de la pieza.

Peso = 8,1 gr/cm3 × 3,23 cm3 = 26,16 gr

Aquí conviene señalar que como el volumen (5) contribuye al peso en un

podíamos no haberlo tenido en cuenta sin cometer un error apreciable en el peso total, con lo

cual habríamos acortado los cálculos.

Lo mismo habría ocurrido si la pieza tuviese algún redondeo de aristas: no lo tendríamos en

cuenta.


95

Formulario para superficies y volúmenes Figura, dimensiones Denominación Fórmula aplicable

Superficie del cuadrado

Superficie del rectángulo

Superficie del triángulo

Superficie del trapecio

Superficie del circulo

Superficie del sector circular

Superficie del segmento circular

Volumen del cubo

Volumen del paralelepípedo


Formulario para superficies y volúmenes Figura, dimensiones Denominación Fórmula aplicable

Volumen de un prisma de base cualquiera

Volumen de una pirámide de base cualquiera

Volumen de pirámide truncada de base cualquiera

Am=área base menor AM=área base mayor

Cilindro recto. Volumen y área lateral

Volumen:

Área lateral:

Cono recto. Volumen y área lateral

Volumen:

Área lateral:

Volumen del tronco de cono

Esfera. Volumen y superficie exterior

Volumen:

Superficie:

Volumen del segmento o casquete esférico.

Toro. Volumen y superficie exterior

Volumen:

Superficie:


97

Problemas correspondientes a la parte 3.

Determinar los pesos de las piezas representadas.

Problema 3.1.

Pieza en material ligero de 1mm de espesor. Radios de plegado de 8mm.


Problema 3.2.

Material: acero.

Problema 3.3.

Material: material ligero.

Problema 3.4.

Material: bronce.


99

Problema 3.5.

Material: bronce.

Problema 3.6.

Material: acero.


Problema 3.7.

Material: material ligero.


Parte 4. Croquizado.

101

Parte 4. Métodos para el croquizado.


103

Introducción a la parte 4.

En esta parte dedicada al croquizado, cuarta del curso, no se pretende enseñar lo que es un

croquis ni mucho menos las reglas del dibujo técnico, cosas que estamos seguros que todo

delineante conoce a la perfección, sobre todo después de su paso por una Escuela de Formación

Profesional y, quizás, de largos años de trabajo dentro de la profesión.

Lo que se pretende es simplemente el marcar un “método” o “secuencia” de trabajo que en

algunos casos no se domina, bien porque no se ha insistido bastante en ello durante el periodo

de formación o bien porque no se ha vuelto a pensar sobre el tema con el suficiente

detenimiento después.

Así se ha podido comprobar que a la hora de realizar un croquis hay personas que no se paran

un momento a pensar cuáles son los ejes fundamentales de la pieza, tomando unos cualquiera,

otras dibujan todas las vistas posibles de la pieza cuando con dos era más que suficiente, otras

empiezan a dibujar en una esquinita del papel teniendo luego que borrar o desechar lo hecho

pues no le caben todas las vistas, otros empiezan a tomar medidas sin haber fijado previamente

cuáles son las que precisan tomar y otros, finalmente, hacen el croquis tan fuera de escala, o con

detalles tan desproporcionados, que un error cualquiera tomado a la hora de medir es

indetectable a la hora de pasar a limpio, pues el croquis recuerda muy poco la forma real de la

pieza.

Otro error a menudo observado es el de por querer que el croquis quede “muy bonito” emplear

útiles de dibujo en su realización, trazando tangentes y enlazando curvas, con lo cual se pierde

un tiempo precioso necesario para tomar las cotas con exactitud sobre el modelo, que es de lo

que fundamentalmente se trata.


401. Qué se entiende por croquis.

Un croquis es un dibujo rápido realizado a mano alzada representando un

elemento ya existente o bien plasmando sobre el papel una idea para un nuevo

diseño.

La finalidad del croquis es servir luego como modelo para un dibujo ya

perfectamente delineado.

Aquí vamos a considerar solamente el croquis realizado a fin de copiar un

elemento ya existente, aunque casi todo lo que se diga es aplicable al caso de un

elemento de nuevo diseño, sobre todo cuando al persona que va a realizar el

dibujo definitivo es distinta del que lo concibió.

Normalmente la necesidad de hacer un croquis surge cuando es preciso

reproducir un conjunto o pieza de la cual no se dispone de documentación o,

caso muy frecuente en la construcción de prototipos, el elemento diseñado ha

sido modificado parcial o totalmente a la hora de su montaje por necesidades de

éste.

El croquizado habrá de llevarse pues a cabo bien sea en el taller, en un almacén

donde podemos encontrar el elemento, en el campo, etc. Rara vez podremos

llevarlo sobre el tablero de dibujo para allí estudiarlo a nuestras anchas.

Estas circunstancias nos indican cuáles son las principales características que

debe de reunir un croquis:

a). Realizado con rapidez.

b). Contener todos los detalles precisos para la construcción del elemento.

Normalmente no podremos ver al modelo más que una vez, pues luego o

montarán, lo llevarán a otra parte, etc. Aun en el mejor de los casos no

podremos estar desplazándonos constantemente a donde se encuentra para

comprobar detalles.

b). Ser exacto en todas sus cotas al modelo si queremos reproducirlo con

fidelidad.

d). Debe de estar acomodado a una cierta normalización a fin de que cualquier

persona lo pueda entender o aprovechar independientemente de quién lo

dibujó.

e). Aproximarse en sus vistas, secciones, detalles, etc. lo más posible al dibujo

definitivo, pues es muy difícil si se nos olvidó un detalle el reconstruirlo luego sin

tener el elemento a mano para poderlo comprobar.


105

402. Realización de un croquis.

A continuación se indican los pasos que deben de darse a la hora de realizar un

croquizado. Estos pasos se reflejan luego en la realización de un ejemplo.

402.1. Elección del formato del papel y de la escala.

Un croquis, por tratarse de un dibujo a mano alzada, no puede ser realizado

exactamente a escala. Por ello el hablar aquí de “escala” es una forma convencional

de decir que el croquis representará más o menos al elemento a su tamaño natural,

a la mitad de su tamaño, a cinco veces éste, etc. y que la proporción entre sus

detalles y formas es la misma que se observa en la realidad.

La escala a elegir será la misma que normalmente se emplea en el dibujo técnico:

Escalas de aumento: 10:1, 5:1, 2:1

Natural: 1:1

Reducción: 1:2, 1:2’5, 1:5, 1:10, 1:20 y 1:50

La elección de la escala estará condicionada por tres factores principales:

a). El tamaño real del elemento a reproducir.

b). El número de sus detalles y el tamaño de estos.

c). El tamaño del papel disponible.

La escala recomendada es siempre la natural, pero para un elemento muy grande o

muy pequeño no hay más remedio que acudir a una reducción o a una ampliación

respectivamente. A la escala elegida, el detalle más pequeño debe de quedar

representado claramente, en otro caso habrá que emplear escalas distintas para el

todo y sus detalles.

El tamaño del papel se elegirá acorde con el tamaño de la pieza croquizada a la

escala elegida. No se aconseja el empleo en el croquizado de un tamaño de papel

mayor que el DIN A3 por lo engorroso de su manejo.

402.2. Centrado, fijación de ejes y disposición de vistas.

Una vez elegida la escala y el tamaño del papel hemos de proceder al centrado del

dibujo, esto es, a estudiar las zonas sobre las que van a ir cada vista o detalle a fin de

que resulte un conjunto armonioso y de que cada una quede situado en su lugar

natural y no vernos obligados por falta de espacio a representar alguno de ellos en

un lugar no adecuado o a “comprimir” otros.

La anterior operación está íntimamente ligada a la de fijación de los ejes y

disposición de vistas.


Los ejes del elemento es lo primero que debe de quedar representado sobre el

papel.

Nota importante:

En lo que sigue, el concepto de “eje” está entendido más como trazas de los planos

de referencia del elemento sobre los planos de proyección que como “centros” de

algo.

La elección de los ejes es un asunto que debe de considerarse con cuidado pues

unos ejes correctamente elegidos facilitarán la representación y el acotado

posterior.

En general, para la elección de los ejes se pueden seguir los siguientes criterios:

a). Ejes de simetría: Siempre que una vista o proyección cuente con un eje de

simetría se elegirá éste o uno paralelo a él.

b). Ejes de taladros de fijación o funcionamiento: Los ejes serán siempre dentro de lo

posible los (o paralelos a los) de los taladros de fijación o funcionamiento del

elemento.

Nota:

Se entiende por taladros de fijación aquellos de alojamiento de bulones u otras

normales que sirven para la fijación del elemento y van mecanizados sobe la pieza.

Normalmente no entrarán en esta categoría los taladros previos para la colocación

de remaches que se abren a definitivo al montaje. Por taladros de funcionamiento

se entiende aquellos que sirven para el paso y alojamientos de ejes, muñones, etc.,

con intermedio o no de casquillos, rótulas o rodamientos.

c). Superficies de apoyo principales: Los ejes serán (siempre a salvo de otras

consideraciones) paralelos a las superficies de apoyo del elemento.

Para una acertada elección de ejes normalmente será preciso conocer la forma de

montaje o funcionamiento del elemento croquizado o, a falta de otros datos, la

forma de fabricación del mismo.

Otro punto importante a estudiar con cuidado es la disposición de las vistas (esto es,

de las proyecciones diédricas ortogonales) del elemento. Los criterios para la

elección de las vistas serán los siguientes por orden de preferencia de acuerdo con

los datos de que dispongamos:

a). El elemento se representará de acuerdo con la forma en que nos lo encontramos

situado en el montaje real respecto a los planos horizontales y verticales de

referencia de dicho montaje.


107

b). El elemento se representará de acuerdo con la disposición normal que adoptará

al colocarlo sobre la mesa de la máquina para su mecanizado o sobre el banco de

trabajo para su montaje.

c). El elemento se representará de forma que la vista principal (normalmente el

alzado) nos suministre la máxima comprensión del mismo.

De cualquier forma, las vistas adoptadas deben de ser las mínimas necesarias y

estar de tal forma estructuradas que de su simple consulta pueda componerse

mentalmente y sin dificultad el elemento sin necesidad de hacer deducciones ni

consideraciones especiales.

402.3. Acotado. Toma de medidas.

Una vez dibujadas las vistas, cortes y detalles necesarios para la definición

geométrica del elemento croquizado, pasaremos al acotado.

El primer paso para obtener un perfecto acotado es señalar previamente sobre las

vistas y detalles todas las cotas que es preciso medir. Nunca debe de pasarse a

medir nada sobre el modelo sin haber hecho antes un replanteo total de las

dimensiones que se precisan.

Para la disposición de las cotas sobre el dibujo se seguirán las reglas normales

empleadas en el dibujo técnico y que a modo de recordatorio vamos a resumir a

continuación las más importantes:

a) Las cotas siempre deben de estar tomadas desde los ejes de referencia,

debiéndose de evitar las cotas “en cascada”.

b) Al acotar se debe de pensar siempre que una cota es para medirla luego. No se

señalarán pues (si acaso solo como referencia) cotas cuya medida no es precisa

por salir deducidas a partir de otras, o cotas referidas a puntos fuera de la pieza

cuya medida es imposible una vez terminada la pieza.

c) Una buena guía para acotar correctamente es pensar en la forma en que luego

se fabricará la pieza. Dentro de lo posible no se darán cotas desde puntos

inaccesibles cuando la pieza esté sobre la máquina y que obligue a retirarla de

ella para su comprobación.

d) Se debe evitar siempre la existencia de dimensiones que sea preciso controlar

durante la fabricación y que se deban de obtener por cálculo, por muy sencillo

que éste sea: el que fabrica o verifica no debe de calcular nada, solo comprobar.

Una vez situadas todas las cotas en el dibujo pasaremos a su medida sobre el

modelo.

Estas medidas se llevarán a cabo haciendo uso del instrumento de medida más

adecuado: regla milimetrada, calibre pié de rey, tornillo micrométrico para

exteriores, tornillo micrométrico para interiores, falsa escuadra y círculo graduado,


galgas para radios y roscas, etc., o auxiliándose de plantillas recortadas en cartulina

o de reglas de plomo para obtener perfiles complicados, según las necesidades.

Es muy importante proceder con orden a la toma de cotas a fin de evitar errores u

olvidos. Se trabajará vista por vista y siguiendo un orden que puede ser:

Diámetro de taladros-distancias entre centros-distancias entre caras-espesores-

radios y chaflanes.

403. Realización de un ejemplo de croquizado.

Supongamos que se nos presenta el caso del croquizado de la pieza que se

muestra a continuación. En una perspectiva convencional se ha representado

dicha pieza tal como nos la encontramos situada respecto a los ejes de avión.

Se trata de un herraje de apoyo y articulación del tren de aterrizaje. Va fijo por su

cara superior a través de los seis taladros de la misma a un elemento horizontal,

siendo el taladro grande de la cabeza inferior el de alojamiento del eje de

articulación. Este taladro es perpendicular al plano vertical longitudinal de

simetría del avión.

De acuerdo con el plan antes trazado, vamos a proceder al croquizado.

403.1. Elección del formato del papel y de la escala.

Vamos a elegir una escala 1:1, con ello, dado el tamaño real de la pieza

necesitaremos un papel de tamaño DIN A3.


109

Nota:

Por razones obvias, en este libro no podemos incluir figuras en tamaño DIN A3 ni a

ninguna escala exacta en particular, por lo que todas las representaciones irán

incluidas en un remarco que representará los límites de tal formato de papel.

403.2. Centrado, fijación de ejes y disposición de vistas.

Estudiando la forma de la pieza, la manera de fijarla y su función, vemos que sus

superficies fundamentales son la superior de apoyo y la lateral derecha (Figura 4.1)

La primero de ellas en razón

precisamente de su superficie de

apoyo. La segunda porque va a servir

como referencia para posicionar

transversalmente la pieza respecto al

eje de avión (o a su simétrica).

En principio pues (sin decidir nada aún

sobre si esta distribución de vistas es la

adecuada, la situación del croquis

puede ser como se representa en la

figura 4.2.


La distribución de vistas es satisfactoria, pero vamos a ver si es la adecuada:

Por de pronto vemos que de la vista en alzado y de la lateral no podemos prescindir

pues entre las dos nos indican totalmente cómo es la pieza. Únicamente nos queda

por definir los radios de las esquinas de la base de apoyo. Para esto no tenemos más

remedio que hacer una vista en planta.

Además vemos que es preciso hacer un detalle o sección para poder indicar el

redoblonado que llevan los dos taladros de fijación de más hacia la derecha.

Para planta cabe preguntarse: ¿lo haremos proyectando la pieza desde arriba tal

como lo representado en la figura 4.2, o desde abajo como en la figura 4.3?

Evidentemente la representación de la figura 4.3 suministra mucha más información

que la de la 4.2. Ahora bien, la representación 4.3 tiene tres cosas en contra:

1- La información que nos suministra es repetitiva pues salvo en lo referente a los

radios de la base y taladros, todo lo demás se obtiene de las otras dos vistas.

2- Es más complicada que la 4.2.

3- Con esta distribución de vistas el dibujo queda en forma algo extraña, con

aspecto poco agradable.

Dado lo anterior nos decidimos por las vistas de la 4.2.

Los ejes señalados los hemos tomado de acuerdo con lo ya dicho.


111

403.3. Acotado.

Tras añadirle al croquis una sección a fin de poder observar los redoblonados antes

aludidos procederemos a señalar sobre el mismo todas las cotas que nos son

necesarias para medir sobre la pieza. Esto puede verse realizado en la figura 4.4.

Una vez hecho lo anterior, para completar lo más posible el croquis tendríamos que

añadir las indicaciones correspondientes de acuerdo con la pieza real sobre

acabados superficiales (rugosidad), tratamiento superficial (cadmiado, anodizado,

etc.), pintura y el material que constituye la pieza.

Nota: El ejemplo anterior lo hemos realizado basándonos en que conocíamos la

situación de la pieza en el montaje. Si tal cosa no es conocida, basaríamos la manera

de disponer las vistas en la forma de mecanizar la pieza, lo que nos llevaría a la

representación de la figura 4.5 siguiente:

Anexo I. Resolución de los problemas planteados.

113

Anexo I. Resolución de los problemas

planteados.


115

En este anexo se resuelven los problemas planteados al final de las partes 1, 2 y 3.

Algunas observaciones a cómo deben de resolverse los problemas:

1. Debe de pensarse cuál es la incógnita que nos piden y cuáles las formulas de que

disponemos para, a partir de ellas, tratar de obtener la expresión de lo pedido. No

sustituir valores numéricos más que en esta expresión, ello disminuirá la cantidad de

operaciones a realizar y la posibilidad de errores. Siempre que pueda evitarse no

obtener valores para incógnitas intermedias que no nos han pedido.

Un ejemplo de lo anteriormente dicho es el problema 1 de la primera parte:

Hemos de calcular l y disponemos de las fórmulas:

y

En el problema hemos combinado estas expresiones para obtener la de l:

y solo aquí hemos sustituido lo valores numéricos.

2. No deben de olvidarse nunca las unidades, debiendo de anotarse siempre. Así

detectaremos cualquier error al manejar las expresiones, pues al realizar las operaciones

entre ellas nos deben de salir las unidades correspondientes al resultado.

Por ejemplo, si sustituimos unidades en la expresión anterior:

vemos que el resultado final son milímetros, luego la expresión es muy probablemente

correcta.

Por otra parte, al anotar las unidades nos podremos dar cuenta que no estamos

mezclando unidades incompatibles (cm con mm, gr con kg, kg/cm2 con kg/mm2, etc.).

Por último, los resultados deben de darse siempre con sus unidades. Por ejemplo, en el

problema 5 de la primera parte, decir que E=240 no significa nada; se ha de decir que

son 240 kilogramos por milímetro cuadrado (kg/mm2).

3. Lo ya obtenido en un problema debe de aprovecharse al máximo para en los siguientes.

Por ejemplo, la expresión de “l” obtenida en el problema 1 se utiliza en el 2, 5 y 8 de la

parte primera.


4. Siempre que sea factible, cuando hay muchas operaciones repetitivas y a fin de evitar

errores, deben de establecerse tablas en donde se van anotando los resultados, tal

como se ha hecho en los problemas 3 y 6 de la primera parte.


117

Problema 1.1.

, de aquí

como y de aquí tenemos que y con esto en la expresión anterior de l

tenemos:

aquí podemos sustituir ya los datos del problema que son:

P = 2.500 kg

E= 2×104 kg/mm2 (acero)

S=100 mm × 5 mm = 500 mm2

L = 1.500 mm

con lo que nos resulta:

Problema 1.2.

Despejando P en la expresión de l del problema anterior tenemos:

en donde sustituiremos los datos del problema que son:

E= 2×104 kg/mm2 (acero)

S= π × (R2 – r2) = 3,14 × (102 – 82) = 113 mm2

l = 0,5 mm

L = 500 mm

con lo que resulta:


Problema 1.3.

Esfuerzo de trabajo:

Tabla de cálculos:

Sección Superfície (S) mm2 P = S × σ kg

A-A 180 4.800

B-B 176 4.693

C-C 150 4.000

La sección de fallo es la CC por ser la que tiene menor capacidad de carga.

Problema 1.4.

De tenemos:

S = sección total trabajando a cortadura, igual al producto del área de un remache “A” por el

número de ellos “n”.

de aquí:

En donde, según los datos del problema:

A= π × D2/4 = 3,14 × 3,22/4 = 8,04 mm2

P = 1.800 kg

τ = 0,55 × σ = 0,55 × σr/1,5 = 0,55 × 45 kg/mm2 / 1,5 = 16,5 kg/mm2

que sustituidos en la expresión de n nos da:


119

Como ha de emplearse un número entero de remaches, el número total de remaches a emplear

será de 14.

Problema 1.5.

Despejando E de la expresión de l en el problema primero tenemos:

con:

P = 500 kg

L = 30 cm = 300 mm

S = 0,25 cm2 = 25 mm2

l = 25 mm

Sustituyendo en E:

Problema 1.6.

Secciones de trabajo:

Orejetas superiores:

(1) Tracción = 2 × 15 mm × 4 mm = 120 mm2

(2) Cortadura = 2 × 2 × 7,5 mm × 4 mm = 120 mm2

(3) Aplastamiento = 2 × 5 mm × 4 mm = 40 mm2

Bulón superior:

(4) Cortadura = 2 × π × 52 / 4 = 39 mm2

Taladro superior de la lámina:

(5) Tracción = 20 mm × 8 mm = 160 mm2

(6) Cortadura = 2 × 12,5 mm × 8 mm = 200 mm2

(7) Aplastamiento = 5 mm × 8 mm = 40 mm2

Taladro inferior de la lámina:


(8) Tracción = 17 mm × 8 mm = 136 mm2

(9) Cortadura = 2 × 16 mm × 8 mm = 256 mm2

(10) Aplastamiento = 8 mm × 8 mm = 64 mm2

Bulón inferior:

(11) Cortadura = 2 × π × 82 / 4 = 100 mm2

Orejetas inferiores:

(12) Tracción = 2 × 32 mm × 4 mm = 256 mm2

(13) Cortadura = 2 × 2 × 16 mm × 4 mm = 256 mm2

(14) Aplastamiento = 2 × 8 mm × 4 mm = 64 mm2

Esfuerzos de trabajo:

Material ligero:

Acero:

Tabla de cálculos:

Caso S mm2 P = S × σ (kg) P = S × τ (kg)

(1) 120 3.200 --

(2) 120 -- 1.760

(3) 40 1.066 --

(4) 39 -- 1.072

(5) 160 4.267 --

(6) 200 -- 2.934

(7) 40 1.066 --

(8) 136 3.627 --

(9) 256 -- 3.755


121

Caso S mm2 P = S × σ (kg) P = S × τ (kg)

(10) 64 1.706 --

(11) 100 -- 2.750

(12) 256 6.827 --

(13) 256 -- 3.755

(14) 64 1.706 --

Carga máxima admisible: 1.066 kg

Fallo: casos (3) y (7), aplastamiento en orejetas superiores y taladro superior de la lámina.

Problema 1.7.

Como y de aquí:

con:

P = 1.066 kg (resultado del problema anterior)

S= sección central de la lámina = 25 mm × 8 mm = 200 mm2

E = 7.000 kg/mm2 (material ligero)

Sustituyendo:

Problema 1.8.

Esfuerzo de trabajo:


Utilizando la expresión de “l” obtenida en el problema 1:

Según lo anterior, la fuerza máxima de la prensa es de 287.893 kg, alargándose 5,5 mm.

Problema 2.1.

Estableciendo el equilibrio en la unión del cable

al poste tenemos las siguientes cargas:

T = tensión del cable = 85 kg

RH = reacción horizontal del poste = 5% T =

4,25kg

V = tensión en el viento (a calcular) de

componente vertical Vy y horizontal Vx.

Estableciendo el equilibrio en el sentido

horizontal tenemos:

de aquí:

Como:

de aquí:

En el triángulo OAB:

con ello:


123

Así pues, la tensión en el viento es de 179,44 kg.

Problema 2.2.

1. Resolución por el método gráfico:

Midiendo sobre el gráfico:

Resultante (R) Longitud = 72 mm = 144 kg

Inclinación 56º

2. Resolución por el método analítico.

Rx = T1 × cos 10 + T2 × cos 30 = 45 × 0,98 + 45 × 0,87 = 83,29 kg

Ry = T1 × sen 10 + T2 × sen 30 + T3 = 45 × 0,17 + 45 × 0,5 + 90= 120,31 kg

de aquí obtenemos que α=55,31º


Problema 2.3.

Sea M el momento que el motor aplica a la polea.

Tomando momentos respecto del centro de ésta

tenemos:

M + 200 kg × 30 cm – 290 kg × 30 cm = 0

luego:

M = 290×30 cmkg - 200×30 cmkg = 2.700 cmKg

Valor de la resultante:

De ello α=55,41º

Problema 2.4.

Sea R la carga sobre la barra.

Tomando momentos respecto al centro de

giro de la palanca:

875kg × 120mm – R × 75 mm = 0

de aquí:

Alargamiento de la barra:

Distancia que desciende el peso:


125

Problema 2.5.

Cálculo de Mmax:

En el tramo de viga ao,

y

En el tramo de viga ob,

de lo anterior tenemos que el valor máximo para el momento es de:

Determinamos ahora lo que nos falta para el cálculo de σmax:

con esto:

Problema 2.6.

Considerando el problema como una viga apoyada

por sus dos extremos y con una carga en su centro

de 580 kg, tenemos:


Ensayando un perfil doble T de 80 tenemos:

con ello:

Como este valor es menor que el máximo admisible de trabajo para el material (33,33 kg/mm2)

vemos que el perfil de 80 es una elección adecuada.

Problema 2.7.

Comprobemos un modelo de palanca como el

representado.

Cálculo de V y R:

Tomando momentos respecto al centro de

giro:

luego:

Comprobaciones:

Esfuerzos de trabajo:

Como los extremos del brazo horizontal y vertical son iguales y sobre el horizontal hay una carga

mayor (600 kg) comprobaremos solo éste.


127

(1) Tracción

(2) Cortadura

(3) Aplastamiento

Como los valores resultantes son menores que los de trabajo, los extremos de la palanca

valen.

Nota: Se ha despreciado el efecto del no paralelismo de las aristas de los brazos.

Comprobación del centro de giro:

(4) Tracción

(5) Cortadura

(6) Aplastamiento

También resulta válido.

Nota: No se ha tenido en cuenta la contribución de los brazos.

Comprobación de los brazos a flexión:

Como el momento respecto del centro es igual para los dos brazos, basta que comprobemos

uno de ellos.

ymax = 10 mm

Por lo tanto la forma de los brazos es así mismo válida.

Problema 2.8.

Flexión del tubo:


Sustituyendo en lo anterior:

y de aquí

en donde:

σmax = σ = 26,67 kg/mm2

ymax = 20 mm

Con ello:

que es la máxima carga que es capaz de soportar el tubo a flexión.

Orejetas extremas:

Tracción, P = 26,67 kg/mm2 × 30 mm × 10 mm = 8.001 kg

Cortadura, P = 14,67 kg/mm2 × 2 mm × 15 mm × 10 mm = 4.401 kg

Aplastamiento, P = 26,67 kg/mm2 × 20 mm × 10 mm = 5.334 kg

Como la orejeta central es de mayores dimensiones que las extremas no es necesario

comprobarla.

De todo anterior deducimos que la máxima carga que puede levantar la eslinga es de 210,39 kg.


129

Problema 3.1.

Descomponemos la pieza de chapa desarrollada en las

áreas representadas en la figura.

Cálculo de las cotas desconocidas a, b y c:

Cálculo de las áreas:

A1 = 2 × 72 × 97,63 = 14.058 mm2

A2 = 4 × 24,5 × 20,35 = 1.994 mm2

A3 = - 2 × (162 – π × 82) = -109 mm2

A4 = - 2 × π × 152 = - 1.413 mm2

Atotal = 14.530 mm2

Vtotal = 14.530 mm2 × 1 mm = 14.530 mm3 = 14,53 cm3

Peso = 2,7 gr/cm3 × 14,53 cm3 = 39 gr


Problema 3.2.

Nota:

Al resolver este problema surge la necesidad de calcular el volumen de un “semitoro” exterior:

y de un “semitoro” interior:

Estos volúmenes no son iguales entre sí ni iguales al volumen de “medio toro”

cuya fórmula es: V1/2 = π2 × R × r2

Las fórmulas para el volumen del semitoro exterior y para el semitoro interior son

respectivamente:

El tomar para el cálculo la fórmula del medio toro en lugar de la del semitoro interior o exterior

nos conduce a tener un error de:

que para el problema que nos ocupa es:

Esto es, de alrededor de un 4%. La persona que haya resuelto el problema empleando la fórmula

del medio toro habrá cometido este error.


131

Para resolver el problema descomponemos la pieza en los siguientes volúmenes:

La solución calculando el peso utilizando la fórmula del medio toro es de 13.925 gr, o sea, con un

error de:

Este error de un 2% es completamente admisible.

Problema 3.3.

Descomponemos el volumen según lo indicado en la figura.

Cálculo de las cotas desconocidas a y b:

Cálculo de los volúmenes:


Sumando todos los volúmenes anteriores:

Y el peso:

Problema 3.4.

Descomponemos el volumen en la forma indicada en la

figura. Hemos despreciado la influencia del redondeo de r=5

del fondo.


133

Problema 3.5.

Descomponemos el volumen en la forma indicada en la figura.

Problema 3.6.

Descomponemos el volumen en la forma indicada

en la figura.

Cálculo de la cota “a” desconocida:



Problema 3.7.

Descomponemos el volumen en la forma indicada en

la figura, despreciando la influencia del pequeño

casquete esférico intersección de los huecos

cilíndrico y esférico interiores.

Cálculo de la cota “a” desconocida:


Índice alfabético.

135

Índice.

Acotado, 107 Acritud, 19 Alargamiento, 14, 17, 18, 19, 20, 21, 35, 36,

76 Componentes de una fuerza, 43 Composición de fuerzas, 44 Constante de compensación, 87 Croquis, 104 Desarrollo de una pieza de chapa, 83 Diagrama de esfuerzos cortantes, 22 Diagrama de tracción, 16 Ejes coordenados, 43 Esfuerzo de aplastamiento, 13, 30 Esfuerzo de cortadura, 12 Esfuerzo de rotura a tracción, 19 Esfuerzo de tracción, 11 Formulario de superficies y volúmenes, 95

Fuerza cortante, 57 Fuerza, concepto, 39 Línea de acción de una fuerza, 39 Magnitud de la fuerza, 39 Módulo de Elasticidad, 16 Momento de inercia, 59 Momento flector máximo, 57 Momento flector, noción, 56 Momento, concepto, 51 Par de fuerzas, 51 Peso específico, 81 Proyección de una fuerza sobre un eje, 43 Punto de aplicación de una fuerza, 39 Régimen Elástico, 16 Resultante de fuerzas, 40 Zona elástica, 16 Zona inelástica, 18

Curso para formación de delineantes. · 2017. 6. 12. · Viga empotrada por un extremo y cargada...

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