Avances en Flotacin DISEO EXPERIMENTAL

INTRODUCCIN:

El diseo y anlisis de experimentos se hace necesario cuando en una investigacin experimental sistemtica disponemos de un gran nmero de datos y resultados que posteriormente debemos interpretar.

Primeramente debemos planificar las experiencias iniciales, a efecto de auscultar como se muestra el proceso, ante la presencia o ausencia de ciertas variables y de los niveles en que estn presentes.

Esto se hace de tal forma de obtener el mximo de informacin, sobre la base de realizar el mnimo de experiencias posibles, en una primera etapa. Esto por razones lgicas de tiempo y costo de la experimentacin.

Posteriormente, se realiza el anlisis de los resultados, usando mtodos estadsticos simples, teniendo en consideracin el error experimental del mtodo, al cual siempre est sujeta la experimentacin de laboratorio.

Finalmente, se determinan modelos matemticos basados en la experimentacin que mejor represente el proceso, para as optimizar la respuesta que buscamos, ya sea como un mximo o un mnimo.

1

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ESTRATEGIA EXPERIMENTAL La mejor estrategia experimental ser la que d el mejor resultado

con el menor trabajo realizado. Por lo tanto debe considerarse:

1. La magnitud del error experimental 2. La complejidad de la Superficie Respuesta 3. La posibilidad de realizacin secuencial de los experimentos Los puntos 1 y 3 se explican fcilmente, para mejor ilustrar el caso 2

veamos el siguiente ejemplo:

Usando el mtodo de optimizacin, conocido como pendiente ascendente o descendente, es posible encontrar la regin de mxima o mnima variable respuesta.

2

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COMPLEJIDAD DE LA SUPERFICIE RESPUESTA 3

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Si consideramos un plano perpendicular al inicial A1, este apuntar en direccin a una regin experimental de mayor variable respuesta ( eje Y).

Por geometra analtica conocemos que este plano es proporcional a las pendientes B1 y B2 , as el experimentador puede usar los signos y valores de los coeficientes B1 y B2 , para determinar el factor direccional que le permitir ubicar la nueva regin experimental que le interesa.

Se repite el procedimiento en las nuevas regiones experimentales A2, A3, ...etc.

Puesto que se busca un mximo, llega un instante que es imposible aproximar la superficie respuesta por un plano debido a la curvatura propia de la superficie en el mximo, en consecuencia ser necesario darle una forma ms compleja (de segundo orden) a nuestra funcin respuesta.

Determinada finalmente la regin experimental ptima, podremos conocer la forma de Y = (Xi,j) mediante el uso de diseos de experiencias adecuados, con la ventaja de poder chequear experimentalmente los resultados obtenidos en el anlisis terico. 4

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Carcter Iterativo de la Investigacin Experimental

IDEA: definicin del problema, seleccin de respuesta, seleccin de factores a ser variados y sus niveles.

DISEO: nmero de experimento, orden de experimentacin, modelo matemtico que describe el experimento

ANALISIS: coleccin de datos, procesamiento, test estadstico, interpretacin de datos con el experimentador. 5

Avances en Flotacin Variables de un proceso

PROCESO

Independientes Incontrolables

Controlables De rendimiento

Intermedias Dependientes

(Entrada)

(Salida) 6

Avances en Flotacin Diseos Experimentales

Bsicamente distinguiremos dos tipos de diseo:

1. Diseos experimentales preliminares, que servirn para determinar que variables son importantes en el rango de estudio y si existe interaccin entre ellas.

2. Diseo definitivo, que nos permitir ajustar un modelo matemtico que interprete lo ms acertadamente posible el proceso en cuestin.

As mismo, se distinguen tres etapas en la planificacin racional de experimentos:

1. Pruebas de reproducibilidad.

2. Diseo experimental preliminar

3. Diseos detallados

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INFERENCIA ESTADISTICA ELEMENTAL Distribucin de Probabilidades.

Una distribucin de probabilidades es la forma ideal que adquiere una

distribucin o funcin de frecuencias cuando el nmero de observaciones es lo suficientemente grande.

De aqu que, cuando estadsticamente podemos confirmar que nuestras muestras son representativas, podemos aplicar los conceptos y principios de la Teora de Probabilidades, para tomar decisiones respecto del problema analizado.

Leyes de Distribucin.

1. Distribucin Normal. Es una de las ms utilizadas y est definida por:

( ) ( )

221

21

=x

exP8

Avances en Flotacin Esta tiene por funcin distribucin o densidad correspondiente para un valor

x=x0 :

( ) ( ) ( ) dxedxxPxfx

x x 221

0 0

21

==

En donde: : media poblacional : desviacin estandar poblacional : 3.1416... e: 2.7182

El rea total limitada por la curva P(x)dx es igual a 1 en el rango - y + , de aqu que el rea bajo la curva entre dos ordenadas x1=a y x2=b donde a

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En la curva normal, los puntos de inflexion (2 derivada = 0) se encuentran para x = mientras que en x = la primera derivada es igual a cero.

La funcion P(x) no es calculable directamente. Existen tablas de la funcin de distribucion N(0,1) denominada Ley Normal Tipificada o Reducida donde:

=

xZ

La forma de la ley normal reducida:

y las tablas corespondientes indican los valores en funcin de z, tal que:

( ) 22121 zezP =

( ) ( )00 zzPrzF =

10

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Distribucin Normal General

Distribucin Tipificada

11

Avances en Flotacin F(z) se lee en la curva de Gauss, como el rea comprendida entre la curva z = z0, y el eje

OZ. Generalmente las tablas indican los valores z 0.

Cuando se busca F(z) para z 0, se aplica la frmula F(-z) = 1 F(z), como consecuencia de la simetra de la curva.

Para el uso de las tablas cuando la variable x no sigue una ley normal N(0,1), si no que una ley N( , ), se hace una transformacin como la siguiente:

Supongamos que deseamos calcular f(x0) = Pr(x x0), dado un x0.

Escribimos:

F(x0) = Pr(x x0) =

Y aplicamos la siguiente regla de transformacin:

Si x sigue una ley N( , ) sigue una ley ( 0,1), Luego:

( )

= 0

xxPr

( ) ( )

==

== 00

0

00xF)z(F

xxPr)xxPr()x(f

=xz

12

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Distribucin t de Student

( ) ( ) ( )( )2

12

0

22

0

111

+

+

=

+

=

t

t

Nt

tt N

La disttribucin normal es aplicable cuando N30 y la aproximacin es tanto mejor mientras mayor sea N.

Para muestras de tamao N30 esta distribucin no es buena y va siendo peor a medida que N disminuye.

La distribucin t es vlida en ambos casos y deber tenerse en cuenta segn sea la situacin por analizar.

Est definida por:

Donde: (t0)=constante que depende de N

=nmero de grados de libertad del sistema = N-1

13

Avances en Flotacin El rea bajo la curva debe ser igual a 1 conforme el valor de N disponible,

siendo (t0) el valor de correccin correspondiente.

Para valores de N>30, esta distribucin se acerca a la normal como se observa en la figura siguiente:

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Dcima F

Se emplea para comparar dos varianzas 21 y 22 a partir de sus estimaciones s21 y s22, basndose en 1 y 2 grados de libertad respectivamente. Si la alternativa a la hiptesis nula es 21> 22 , calculamos el cuociente y buscamos en la tabla F valores crtticos de f con 1 y 2..

22

21

ssF =

La hiptesis nula se rechaza si ( )21 ,FF >

En cambio si la alternativa es H0 es 21 22 , la dcima es bilateral y se calcula la razn de la mayor estimacin a la menor, doblndose las probabilidades de la tabla F para los valores crticos de este cuociente.

Puesto que la tabla F considera solo valores para cuocientes mayores que la unidad, la dcima F se calcula siempre con la mayor varianza en el numerador, es decir:

( )2

121

,ianzavarmenor

,ianzavarmayorF , =15

Avances en Flotacin Errores experimentales

Toda medida est sujeta a un error experimental en procesos de Ingeniera y son casi imposibles de aislar y eliminar.

Se distinguen en: a) Error Relativo: de distribucin gaussiana. Este tipo de error

puede ocurrir como resultado de variables fuera de control y a menudo desconocidas que afectan al fenmeno medido.

b) Error Sistemtico: a diferencia del anterior, siempre tiene el mismo signo algebraico. Se detecta en referencia a un estandar.

c) Errores: tal como intercambio de muestras, lecturas o anotaciones mal hechas, etc.

Estimacin del error experimental Lo ms lgico es disear un experimento y obtener una

estimacin haciendo distintas mediciones.

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Varianza del error experimental Si un experimento consta de varias experiencias distintas, para estimar

el error experimental podemos hacer algunas experiencias en duplicados, otras en triplicado o bien, otras repetirlas ms nmero de veces. Cuando una experiencia se hace en duplicado, su varianza se puede calcular segn la expresin:

Si en el experimento se hacen k experiencias duplicadas, la varianza del error experimental queda:

( )1

2

22 =

= conxS i

( )kcon

kx

S i =

=

2

22

La varianza del error experimental corresponde a la suma de las varianzas en duplicado ms la varianza de las experiencias repetidas ms de dos veces. Lo mismo sucede con los grados de libertad.

17

Avances en Flotacin Lmites de Confianza

Sean s y s la media y la desviacin tpica de la distribucin muestral de un estadstico s. Si la distribucin muestral de s es aproximadamente normal, N 30, cabe esperar que el estadstico s se encuentre en los intervalos s s a s + s; s 2 s, a s + 2s; s 3 s a s + 3s, el 68.27%, 95.45% y 99.73% de las veces respectivamente.

Similarmente, ocurre lo mismo para s.

Estos son los llamados intervalos de confianza, en que los nmeros extremos son llamados Lmites de Confianza.

Anlogamente, s 1.96s y s 2.58s son los lmites de confianza del 95% y 99% para s.

El porcentaje de confianza se llama tambin nivel de confianza.

18

Avances en Flotacin Lmites de confianza.

Cuando realizamos cierto nmero de experiencias repetidas del mismo experimento, para determinar la media aritmtica, usualmente notamos que los valores numricos de nuestros resultados no son idnticos. Una forma conveniente de precisar el dato es especificar un lmite, que con una probabilidad dada, incluya el valor verdadero.

Hiptesis de significacin. Supongamos que operamos una planta piloto usando un reactivo A, con

el cual se obtiene un rendimiento de un 90.5%, con una desviacin estandar de 0.5%. Posteriormente, usando el reactivo B se obtiene un rendimiento de 89.5%, con una desviacin estandar de 0.6%.

Nuestro problema ser averiguar si la variacin en el rendimiento se produjo efectivamente por el cambio de reactivo o si se debi simplemente por el azar.

Para tomar una decisin al respecto, recurrimos a una hiptesis de significacin estadstica, que consiste esencialmente en establecerla y luego comprobarla. 19

Avances en Flotacin Hiptesis Nula y Alternativa.

Si la alternativa a la hiptesis formulada consiste en postular que no hay diferencia en el rendimiento y la diferencia observada se debe exclusivamente al azar, entonces hemos formulado una hiptesis nula y se denomina Ho.

Si se postula cualquier hiptesis diferente a la descrita, entonces hemos planteado una hiptesis alternativa que se denomina Hi (i = 1,2,3,..etc).

Los procedimientos que permiten aceptar o rechazar una hiptesis determinada constituyen los test de significacin o reglas de decisin.

Errores del tipo I y II. Puesto que todas las hiptesis estn basadas en el anlisis de parmetros

estadsticos y provenientes de un cierto nmero N de observaciones, la decisin siempre est sujeta a posibles errores. Si se rechaza una hiptesis que debera ser aceptada entonces se comete un error del tipo I. La probabilidad de cometer este tipo de error se designa por . Si por el contrario se acepta una hiptesis que debera ser rechazada se comete un error del tipo II y la probabilidad correspondiente se designa por . En ambos casos se comete un error al tomar una decisin equivocada. 20

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Las probabilidades y de cometer errores del tipo I y II se denominan niveles de significacin del ensayo estadstico y los valores acostumbrados son 0.05 y 0.01, aunque igualmente pueden emplearse otros valores. Un nivel del 0.05, significa que se tiene un 95% de confianza de que se toma la decisin adecuada.

Al establecer una hiptesis de significacin, es conveniente proceder segn el siguiente esquema:

1.- Establecer la hiptesis nula y su alternativa

2.- Establecer el nivel de significacin del test

3.- Elegir el test de significacin que se aplicar

4.- Determinar la distribucin de este test estadstico cuando Ho es

verdadera

5.- Clculo del test y decisin sobre la hiptesis establecida.

21

Avances en Flotacin Test t.

Los test de signifcacin sealados se emplean para comparar dos promedios. Si N30 se emplea la distribucin normal de probabilidades usando las tablas en que aparecen los valores de z. Para N

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El uso de un test de una o dos colas, para tomar la decisin estadstica correspondiente, depende de la hiptesis alternativa propuesta a la hiptesis nula postulada.

El estadstico t es una constante tomada de las tablas T, con grados de libertad que proporciona un intervalo de confianza del ( 1- )%.

Si la alternativa a la hiptesis nula es x0 en que xo es un valor dado y donde la varianza sx2 tiene grados de libertad, el valor t viene dado por:

Ho se acepta si t T2; La alternativa es x0 , en este caso Ho se acepta si -T; t T;

_x

s

xxtx

_

20=

_x

23

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Un experimento, un test o serie de test, consiste generalmente en producir cambios en las variables de entrada de un proceso para conocer su importancia en la respuesta que estamos estudiando. Si bien es cierto el diseo experimental tiene mltiples aplicaciones en las diferentes reas de la ciencia, nos remitiremos a casos relacionados con la ingeniera, diseo, desarrollo de manufactura de procesos, y mejoramiento de procesos.

As, cuando presentamos un diseo factorial 2n, estamos estudiando los efectos que tienen sobre la respuesta, todas las combinaciones de n variables, cada una de ellas a dos niveles.

Se entender por: NIVEL DE UN FACTOR, a los distintos valores asignados a un factor (o variable) en el experimento; por COMBINACION EXPERIMANTAL, al conjunto de todos los factores empleados en una experiencia; y por EFECTO DE UN FACTOR, a la variacin en la respuesta producida por un cambio en el nivel del factor. Al examinar un factor en dos niveles, el efecto ser la diferencia entre el promedio de las respuestas de todas las experiencias realizadas con el nivel superior menos el promedio a nivel inferior.

DISEOS FACTORIALES 2n

Notaciones alternativas para designar los niveles superior e inferior de los factores:

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Experiencia #

Variables A B C

Variables A B C

1 1 - - - 2 a + - - 3 b - + - 4 ab + + - 5 c - - + 6 ac + - + 7 bc - + + 8 abc + + + 25

Avances en Flotacin

Supongamos un caso de estudio, usando un diseo simple 22.

Se desea conocer la influencia de la temperatura y el tiempo de agitacin en una experiencia de lixiviacin de un mineral oxidado de cobre, con una solucin de cido de concentracin fija conocida.

La variable respuesta Yi ser el %Cu en solucin.

Factores Niveles - + A : Temperatura (C) 20 80 B : tiempo de agitacin (hrs.) 1 3 X2 (-,+) (+,+)

X1

(-,-) (-,+)

26

Avances en Flotacin Experiencia

# Diseo Nivel de A

C Nivel de B

hrs. Respuesta %Cu sol.

1 1 20 1 30

2 a 80 1 50

3 b 20 3 60

4 ab 80 3 90

Efecto principal de A = (a+ab) (b+1) = 25 % Efecto principal de B = (b+ab) (a+1) = 35% Interaccin AB = ( ab b) (a-1) = 5 De este anlisis se deduce sobre la importancia relativa de las variables en

particular y sus interacciones, si las hay.

27

Avances en Flotacin Estudio de un diseo experimental 23

Consideremos ahora el caso en que tengamos una variable ms que la representacin anterior, es decir los factores A, B, y C. En esta situacin nuestra representacin corresponder a un espacio tridimensional, en que los puntos experimentales estn representados por los vrtices de un cubo.

Combinaciones Diseo A B C X2 X3

1 - - -

a + - -

b - + -

ab + + -

c - - +

ac + - +

bc - + +

abc + + +

X1

28

Avances en Flotacin El efecto principal de A ser:

A = (a + ab + ac + abc) (1 + b + c + bc), lo que podemos agrupar segn:

A = (a 1) (b + 1) (c + 1) , de igual forma se tiene que: B = (a + 1) (b - 1) (c + 1) C = (a + 1) (b + 1) (c 1),

As mismo, las interacciones se obtienen segn:

El efecto de A, con B en su nivel superior, es: (ab + abc) (b + bc) El efecto de A, con B en su nivel inferior, es: (a + ac) (1 + c)

Por lo que la interaccin ser:

( ) ( ) ( ) ( )2

121

21

21

21 ccabcbabcab

AB+++++

=

Lo que tambin puede escribirse en la forma siguiente: AB = (a 1) (b - 1) (c + 1), de la misma manera se obtiene que:

BC = (a + 1) (b 1) (c 1)

AC = (a 1) (b + 1) (c - 1) 29

Avances en Flotacin

La interaccin ABC est definida como la mitad de la diferencia entre la

interaccin AB, cuando C est en su nivel superior, menos cuando C est en su nivel inferior, de donde:

ABC = (a 1) (b 1) (c - 1)

En general, para un diseo 2n factorial, para n factores A,B, C, .......Q, en dos niveles, se tiene:

A = (1/2)n-1 (a -1) (b + 1) (c + 1) ............................(q +1)

AB = (1/2)n-1(a 1) (b 1) (c +1) ............................(q +1)

ABC = (1/2)n-1 (a 1) (b 1) (c 1) .........................(q +1)

Es importante notar que estas frmulas deben expandirse para obtener

el valor de los efectos e interacciones deseados. 30

Avances en Flotacin Otro mtodo para calcular los efectos principales e interacciones de un diseo

factorial 2n es el siguiente:

Se construye una matriz diseo D, una matriz de variables independientes X, y un vector observacin Y. Para un factorial 2n, la matriz diseo contiene n columnas y 2n = N filas. Hay una columna para cada una de las n variables y cada fila da la combinacin de niveles para cada experiencia. Veamos el caso de un factorial 23, con factores A;B;C y un conjunto de respuestas.

Matriz Diseo Matriz de variables independientes Vector Observacin D X Yi

A B C I A B C AB AC BC ABC -

- - - + - - - + + + - 2

+ - - + + - - - - + + 12 - + - + - + - - + - + 8 + + - + + + - + - - - 10 - - + + - - + + - - + 6 + - + + + - + - + - - 7 - + + + - + + - - + - 5 + + + + + + + + + + + 3 31

Avances en Flotacin Los Efectos se obtienen tomando los productos interiores de los elementos

del efecto deseado en la matriz de variables independientes y dividiendo el resultado por 2n-1.

As, para elefecto A: (-) (2) = -2, (+) (12) = +12; .... etc. Por lo tanto:

Efecto 11 22

== n iinYAYAA

En este caso, A=(-2+12-8+10-6+7-5+3)/22

Este mtodo tiene la ventaja que se puede programar fcilmente para calcular las estimaciones de los efectos principales en diseos factoriales con varios factores.

32

Avances en Flotacin Anlisis de un Diseo 2n

Una vez realizado el diseo experimental 2n y determinados los efectos e interacciones de los distintos factores involucrados en el experimento, es necesario efectuar un anlisis de significacin de stos.

Para ello, se hace necesario una estimacin de las varianzas de los efectos e interacciones y posteriormente se aplica una dcima de significacin. En nuestro caso aplicaremos el test F.

Algoritmo de Yates. Un mtodo rpido para calcular los efectos e interacciones y que a su

vez proporciona seguridad en el anlisis de varianza posterior, es el Algoritmo de Yates, mtodo que se explica mejor con el siguiente ejemplo:

Se usa un diseo 23 para evaluar la importancia del flujo de alimentacin, velocidad de rotacin del tambor, y la medida de separacin entre los rodillos, en la concentracin de un mineral de fierro, empleando un separador magntico determinado.

Se tiene: Factores Niveles - + A: Flujo de alimentacin ( Ton/hr.) 0.5 0.7 B: velocidad del tambor (rpm) 64 116 C: separacin entre rodillos(mm) 25 45

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Avances en Flotacin

A B C %Fe conc. 1 0.5 64 25 68.72 a 0.7 64 25 67.85 b 0.5 116 25 69.60

ab 0.7 116 25 69.44 c 0.5 64 45 67.75 ac 0.7 64 45 67.93 bc 0.5 116 45 68.73

abc 0.7 116 45 68.72

Diseo Niveles Respuestas, Yi

Para facilitar los clculos siguientes, podemos sustraer una cantidad constante a los valores de las respuestas Yi, sin alterar el anlisis. En este caso restaremos 67 puntos en % Fe.

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Avances en Flotacin

Diseo Respuestas - 67%

(1) (2) (3) 4xEfectos

Efectos (3)/4

Suma de cuadrados

(3)2/8 1 1.72 2.57 7.61 12.74 _ _ a 0.85 5.04 5.13 -0.86 -0.22 0.09

b 2.60 1.68 -1.03 4.24 1.08 2.25 ab 2.44 3.45 0.17 0.52 0.13 0.03 c 0.75 -0.87 2.47 -2.48 -0.62 0.77

ac 0.93 -0.16 1.77 1.20 0.30 0.18 bc 1.73 0.18 0.71 -0.70 -0.18 0.06 abc 1.72 -0.01 -0.19 -0.90 -0.23 0.10

12.74 3.48

Algoritmo deYates para el clculo de efectos y varianza

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Avances en Flotacin Anlisis de Varianza de un diseo factorial 2n

Usando los mismos datos del ejemplo anterior, se tiene:

Fuente de variacin/ Suma de cuadrados/ Grados de libertad/ Varianza

Efectos Principales

A 0.09 (p-1) 1 0.09 B 2.25 (m-1) 1 2.25

C 0.77 (l-1) 1 0.77 Interacciones (p,m,l...= Nde niveles

de los factores

AB 0.03 (p-1)(m-1) 1 AC 0.18 (p-1 )( l-1) 1 BC 0.06 (m-1 )( l-1) 1

ABC 0.10 (p-1)(m-1 )( l-1) 1 0.37 4 0.0925 36

Avances en Flotacin Comprobacin:

1. La suma de las respuestas debe coincidir con el primer valor de la columna n

2. La suma de la ltima columna, debe ser igual a la suma total de cuadrados del sistema, esto es:

( )n

ii

YY

2

22

Generalizando, el divisor usado para deducir los efectos es 2n-1; para calcular las sumas de cuadrados respectivas, se eleva la columna (n) al cuadrado, dividiendo luego por 2n.

Las interacciones de orden superior sirven para estimar la varianza del error experimental, excepto en los casos en que se determina en forma independiente. Al respecto, es conveniente hacer notar que esta suposicin, no es otra cosa que suponer que las interacciones son nulas y por lo tanto esto debr justificarse con una explicacin tcnica.

En este ejemplo, hemos supuesto que no existen interacciones, por lo tanto, la sumatoria de la suma de cuadrados de las interacciones, corresponde a la suma de cuadrados del error experimental, esto es:

de cuadrados : 0.03+0.18+0.06+0.10 = 0.37, de donde, la varianza (cuadrado medio) del error experimental es S2e.e.= 0.0925 con = 4 37

Avances en Flotacin Finalmente, establecemos una hiptesis de significacin y su alternativa, que luego

comprobamos de la siguiente forma:

Establecemos Ho: S2efecto = S2error experimental

Usamos el test F para comparar varianzas:

erimentalerrordelVarianza

principalefectodelVarianza

V

VF

exp=

=

As se tiene: F(1,2) = F0.05(1,4) = 7.71 F0.01(1,4) = 21.20

De donde se deduce que el factor B es muy significativo ( = 0.01) y C es significativo ( = 0.05).

Conclusiones:

Los experimentos factoriales son usados para decidir que factores de un grupo determinado de variables son realmente importantes en el rango experimentado.

Los experimentos factoriales permiten conocer la importancia relativa de las interacciones en el proceso estudiado, interacciones que servirn para determinar el tipo de modelo que interpretar mejor el proceso estudiado, para el nivel de variables elegido.

El algoritmo de Yates es un mtodo rpido y seguro para analizar los diseos factoriales 2n.

38

Avances en Flotacin DISEOS ORTOGONALES

Un diseo experimental ortogonal es aquel en el cual los efectos e interacciones pueden estimarse independientes.

En general, un experimento es ortogonal si todas las combinaciones entre las variables han sido estudiadas el mismo nmero de veces.

Recordando que, dos vectores son ortogonales si su producto escalar es cero, se tiene por ejemplo:

kbjbibB

kajaiaA

zyx

zyx

++=

++=

ky,j,i Son vectores unitarios en las direcciones x, y, z respectivamente.

AB = |AB |cos, como cos 90 = 0, 0=== ijkjji La condicin necesaria y suficiente para que dos vectores sean

ortogonales es que: axbx+ ayby + axbz = 0, aibi = 0 ByA

39

Avances en Flotacin Estos conceptos pueden extenderse al espacio de infinitas dimensiones. Supongamos

que tenemos dos vectores que son funciones lineales de las observaciones tales como dos efectos principales e interacciones en un experimento factorial.

Entonces: Efecto I = a1x1 + a2x2 + a3x3 + ............................anxn

EfectoII = b1x1 +b2x2 + b3x3 + .............................bnxn Los dos efectos son ortogonales si aibi = 0. Esto significa que los dos efectos no se confunden entre s.Consideremos el caso de un diseo 23, como ejemplo:

Diseo Matriz de variables independientes Respuesta

I A B C AB AC BC ABC Yi 1 + - - - + + + - y1 a + + - - - - + + y2 b + - + - - + - + y3

ab + + + - + - - - y4 c + - - + + - - + y5

ac + + - + - - + - y6 bc + - + + - + - - y7 abc + + + + + + + + y8

40

Avances en Flotacin

Sabemos que : Efeccto = (Vector efecto Yi), en que Yi = Vector observacin

Estudiemos el Efecto A con la interaccin ABC:

Ef. A = ( -y1+y2-y3+y4-y5+y6-y7+y8)

Int. ABC =(-y1+y2+y3-y4+y5--y6-y7+y8)

Debe notarse adems, que el producto escalar de los efectos e interacciones es cero, pues se cumple la relacin aibi = 0 ( ortogonalidad).

En este caso, los productos escalares de los coeficientes son:(+1+1-1-1-1-1+1+1) = 0

Por inspeccin vemos que esto se cumple para todos los efectos e interacciones.

Un efecto ms del diseo es el correspondiente a la media:

Luego, si se cumple que los efectos e interacciones son ortogonales entre s, tambn deben ser ortogonales respecto a la media:

niyY

2=

+++= nnnnn Y............YYYX 2

121

21

21

321

La nica forma de que el vector efecto sea ortogonal respecto a la media, es que el vector efecto : E = 1/2n/2( a1y1 + a2y2 + ....................anyn), sea diseado de tal modo que: ai = 0, Luego 1/2n ai = 0 41

Avances en Flotacin Finalmente, si cada respuesta Yi, est sujeta a un error de varianza 2, definimos un

diseo experimental tal que la varianza del error experimental sea la misma para todos los efectos.

Considerando que los vectores efecto E1 y E2 son combinaciones lineales de las observaciones en ai y bi respectivamente, y usando la ley de propagacin de errores como una estimacin de la varianza, se tiene:

V(E1) = 1/k (a12 + a22 + ................an2) V(E2) = 1/k (b12 + b22 + .....................bn2)

Si la varianza del error experimental de los efectos E1 y E2 es igual, entonces:

ai2 = bi2

Resumiendo:

aibi = 0, asegura ortogonalidad entre efectos e interacciones. ai = bi = 0, asegura que el efecto medio es ortogonal a los otros. ai2 = bi2, asegura igual varianza de error experimental de los efectos Las condiciones anteriores se tratan de mantener en cualquier tipo de diseo. De aqu la importancia de que la matriz de variables independientes sea ortogonal.

42

Avances en Flotacin Cabe notar que cuando la matriz de variables independientes es ortogonal:

{X}T = {X}-1

{X}T x {X} = {I}

{I} = matriz identidad

y la expresin: {X}Tx {X} x {B} = {X}T x {Yi}

se simplifica a: {B} = {X}T x {Yi}

De esta expresin, se obtiene la siguiente frmula para calcular los coeficientes:

Bi = XiYi/ Xi2

y la varianza asociada a los coeficientes:

V(Bi) = ( XiYi)2/ Xi2 43

Avances en Flotacin TECNICA DEL CONFUNDIDO

Un diseo confundido es una ordenacin experimental en la cual se confunden ciertos efectos con otros. Es una tcnica mediante la cual se confunden deliberadamente ciertos efectos sin importancia, con el propsito de fijar los efectos ms importantes con mayor precisin. En el hecho, al calcular el valor de un efecto o interaccin confundidos, estamos calculando la suma de los dos.

En general existen dos tipos de situaciones que requerirn del uso de diseos confundidos:

1. Aquellas en las cuales no hay suficiente materia prima para efectuar una experimentacin completa. En diseo experimental denominaremos por bloque a una agrupacin homognea de experiencias. En este caso denominamos bloque, al conjunto de experiencias que podemos realizar con la materia prima con que disponemos.

2. Aquellas en las cuales la experimentacin se hace usando dos o ms tipos de mquinas.

En ningn caso, el experimentador debe concluir que los efectos de los factores estudiados son causados por los diferentes bloques utilizados o por el uso de diferentes mquinas.

Una solucin diferente para tal problema podra ser, elegir al azar, los puntos experimentales. este procedimiento, sin embargo, causa una sobreestimacin del error experimental.

44

Avances en Flotacin Un procedimiento adecuado para resolver tales situaciones se explica en el siguiente ejemplo:

Consideremos un experimento factorial 23 en el cual utilizamos dos mquinas, que denominamos P1 y P2 , y se estudiarn los factores A,B, y C.

Puesto que la nica diferencia es el uso de dos mquinas distintas, usaremos el diseo confundido:

La combinacin experimental: 1 , a, b, ab, c, ac, ab, abc Efectuaremos solo la mitad de las experiencias con la mquina P1 y el resto con la

P2. Se supone que no hay diferencia en la respuesta, debido al efecto de bloque. Consideramos por bloque I a las experiencias realizadas con la mquina P1 y lo tomaremos como normal. Por lo tanto, supondremos que la diferencia en la respuesta es producida por el bloque II. Un posible arreglo puede ser:

Bloque I (P1) Bloque II (P2)

a I + P ab b + P ac c + P

abc bc + P 45

Avances en Flotacin El efecto de A es:

A = {a + ab + ac + abc} {(1 +P) + (b + P) + (c + P) + (bc + P)}

Es claro notar que el efecto de bloque (P) se confunde con el efecto principal de A, ya que es funcin de P.

En otras palabras, el efecto total del factor A, se debe no solamente a A, sino que tambin a posibles diferencias en el trabajo de las mquinas.

Considerando los otros efectos principales, tenemos:

B = { (b + P) + ab + (bc + P) + abc } {(1 + P) + a + (c + P) + ac},

Resulta evidente que la influencia de P se anula, quedando inalterado el efecto principal de B.

Por inspeccin, vemos que el efecto C, las interacciones de segundo orden y la interaccin ABC no son alterados por el efecto P.

As, el experimentador puede hacer su diseo de manera que un efecto o interaccin deseado se confunda con la influencia de bloque (P), quedando el resto inalterado.

Lo ms lgico ser confundir el efecto P con la interaccin de mayor orden, en este caso con ABC.

Para hacer esto, simplemente anotamos los signos del vector interaccin ABC y asignamos el bloque I a los signos (-) y el bloque II a los signos (+), o viceversa. 46

Avances en Flotacin

Diseo A B C ABC Bloque I Bloque II Mqu. P1 Mqu. P2

1 - - - -P1 (1) a + - - + (a+P) b - + - + (b+P)

ab + + - -P1 (ab) c - - + + (c+P)

ac + - + -P1 (ac) bc - + + -P1 (bc) abc + + + + (abc+P)

Se observa que el efecto de bloque se confunde con la interaccin ABC, pero cada uno de los efectos principales y las interacciones de segundo orden estn libres del efecto de bloque.

Esta tcnica es totalmente general y permite confundir el efecto o interaccin que uno desee.

47

Avances en Flotacin Tcnica del Confundido Parcial

Esta tcnica permite obtener informacin total . Si se repite un diseo, el experimentador puede confundir el efecto de bloque con las interacciones de ms alto orden la primera vez, y en los test subsiguientes con las interacciones de ms bajo orden. Tal procedimiento se denomina Tcnica del confundido parcial.

Usando este mtodo, el investigador obtiene informacin acerca de cada una de las interacciones. Por ejemplo, un experimento 23 puede repetirse cuatro veces usando cuatro bloques, confundiendo cada vez diferentes interacciones.

En este caso, los efectos principales pueden estimarse con la precisin asociada a cuatro experiencias repetidas y las interacciones podran estimarse con la precisin asociada a tres.

En este caso, si X es el bloque principal e Y el bloque confundido, tendremos 48

Avances en Flotacin

Interac.Conf. ABC AB AC BC

Bloques X1 Y1 X2 Y2 X3 Y3 X4 Y4

combina- (1) a (1) a (1) a (1) b

ciones ab b ab b b ab a ab

experimen- ac c c ac ac c bc c

tales bc abc abc bc abc abc abc ac

49

Avances en Flotacin Cuando una interaccin se confunde en una repeticin y no en otra, se dice que est Parcialmente Confundida.

Hay cuatro interacciones, AB,AC,BC Y ABC, en un diseo factorial 23, y en orden a obtener un completo y balanceado diseo con confundido parcial, todas las interacciones con igual alcance, requerimos cuatro repeticiones.

Todos los efectos principales estn completamente libres de las diferencias por block, por lo que sus sumas de cuadrados pueden calcularse de la forma normal para una repeticin de un 23.

Escribiendo S(A) = (Suma de las observaciones conteniendo a Suma de las observaciones no conteniendo a) =>:

Efecto Principal de A = S(A)/16, Suma de cuadrados = [S(A)]2 / 32 = cuadrado medio para un grado de libertad.

El divisor para el cuadrado de S(A) es 32 porque S(A) est basado en todas las 32 observaciones. Se procede en forma similar para B y C.

El paso siguiente, es obtener una estimacin de la magnitud de las interacciones que estn confundidas parcialmente y calcular sus cuadrados medios.

La interaccin ABC, se confundi en la primera repeticin y no en las otras tres;

Consecuentemente, ABC puede calcularse a partir de la 2a, 3a y 4a repeticin, segn:

50

Avances en Flotacin

ABC = (a-1) (b-1) (c-1)

= [(abc+a+b+c) (ab+ac+bc+(1)]

= [S1 (ABC) S2(ABC)]

Donde, S1 (ABC) es la suma de las observaciones (abc + a + b + c) y

S2(ABC) la suma (ab + ac +bc + (1)) en cada reparticin.

Para cada una de las tres ltimas repeticiones se calcula las cantidades S1(ABC) y S2(ABC) y su diferencia. si denotamos la suma de la diferencia por D(ABC), entonces:

43 =

)ABC(DABC

Suma de cuadrados (= cuadrado medio) =[D(ABC)]2/ 24

La estimacin de la interaccin es por lo tanto el promedio de las estimaciones de da cada una de las tres repeticiones. El dividendo de la suma de cuadrados es 24, que es igual al nmero de observaciones involucradas en la expresin D(ABC). Las otras tres interacciones se calculan similarmente; AB se calcula de la 1a, 3a y 4a, AC de la 1a, 2a y 4a, y BC de la 1a, 2a y 3a, repeticiones, respectivamente.

51

Avances en Flotacin Los procedimientos del confundido sirven para diseos menosres con solo dos

bloques, a medida que el diseo se hace ms complicado, el investigador debe hacer uso de la Tcnica de Grupo Finito, para lo cual veremos las siguientes definiciones y leyes de formacin:

Un grupo, es un conjunto de objetos o elementos con los cuales se asocia una ley de composicin definida, tal como la suma, multiplicacin u otra operacin. En otras palabras, el grupo es un conjunto cerrado a la suma, multiplicacin o alguna otra ley de composicin definida.

En el caso de un experimento factorial 2n, el conjunto de efectos principales e interacciones puede considerarse como un grupo producto finito, formado por todos los posibles productos de los 2n factores.

En este caso, tenemos n generadores, que pueden asociarse con los efectos principales A, B, C, .... La ley de composicin es entonces, formar todos los productos posibles de A, B, C, .... etc., con la condicin que:

A2 = B2 = C2 = ..... = 1

Para el caso de un diseo factorial 24, se tiene:

Efectos principales: A, B,C , y D; Interacciones de segundo orden: AB, AC, AD, BC, BD y CD; Las interacciones de tercer orden se obtienen multiplicando las interacciones de segundo orden por los generadores: AB C = ABC, AC x D = ACD; AD x B = ADB, etc.

52

Avances en Flotacin La interacin ABCD se encuentra multiplicando una de la interacciones de tercer

orden con el generador que corresponda, ABC x D = ABCD.

Podemos ver tambin, que no se producen nuevos trminos si hacemos otras combinaciones, por ejemplo:

ABCD x A = A2BCD = BCD

AB x AD = A2BD = BD

ABC x ABCD = A2B2C2D = D; etc.

As, podemos usar esta teora de grupo para comprobar la ortogonalidad entre un efecto y una combinacin experimental:

1. Escribimos cualquier efecto en la forma: (Ax1Bx2Cx3Cx4) en el que el exponente puede ser 0 1. Por ejemplo: A1B0C1D0 = AC.

2. Se escribe la combinacin experimental en la forma: ( ay1by2cy3dy4) , en que el exponente puede ser 0 1, por ejemplo:

la combinacin experimental abd puede escribirse: a1b1c0d1 = abd

De esta manera, la regla de ortogonalidad resulta ser: xiyi = 0, bien xiyi = 2k ( k= 0,1,2,3,......,n), con 2k par.

53

Avances en Flotacin Tcnica de Grupo Finito para Confundir un Factorial

2n en 2p Grupos o Bloques Confundidos Para confundir un diseo factorial 2n en 2p grupos usaremos las siguientes

Reglas de Formacin: 1. Determinamos el Conjunto Efectos de Contraste Contrastes de

Definicin, que es el conjunto de efectos independientes que sern confundidos en bloques y establecemos su nmero.

2. El conjunto anterior, ms la combinacin (1), forman un grupo multiplicador que sirve para determinar un grupo conocido como Bloque Principal, que puede usarse para disear el experimento confundido. Los productos de los efectos de contraste tambin estn confundidos, recordando que: A2 = B2 = C2 = 1

3. El nmero de miembros de los efectos de contraste es 2p-1 (donde el nmero de bloques es 2p). Por ejemplo, si deseamos confundir un factorial 24 en 4 bloques con 4 observaciones por bloque, entonces 2p = 4 , p= 2. Por lo tanto, necesitamos 22-1 = 2 miembros independientes en el conjunto efectos de contraste.

4. Definimos el bloque principal. Este siempre contiene la combinacin (1), puesto que a0 b0c0 ..... n0 es ortogonal a cualquier efecto, y las combinaciones experimentales son ortogonales a todos los miembros del conjunto efectos de contraste.

5. Una vez que el bloque principal est definido, los bloques restantes se forman multiplicando los miembros del bloque principal por las combinaciones experimentales no contenidas en este

54

Avances en Flotacin

Se puede demostrar que, cuando un diseo factorial 2n se confunde en 2p bloques, se necesitan p interacciones y las restantes (2p - p - 1) interacciones confundidas, se encuentran multiplicando las p interacciones en todas las formas posibles, usando la regla de grupo: A2=B2=C2 ..............= 1

DISEOS FACTORIALES FRACCIONALES Aunque un diseo factorial completo, permite al experimentador determinar

todos los efectos principales e interacciones, con el mismo nmero de experimentos, tal diseo no es usualmente necesario en las primeras etapas de una investigacin, cuando el inters principal es determinar cul, de un nmero posible de factores, influye en la variable respuesta. As, si un investigador desea estudiar 6 variables posibles, debe emplear un diseo factorial 26, ms las experiencias repetidas para determinar el error experimental.

Las 64 observaciones requeridas en el factorial completo, pueden reducirse enormemente si el investigador decide perder la informacin de las interacciones de mayor orden, a fin de determinar la existencia limpia de los efectos principales. Un diseo factorial fraccional es en el hecho, equivalente a un bloque de un sistema confundido, ya que se basa en confundir las interacciones de alto orden con los efectos principales.

Generacin de Diseos Confundidos por el Mtodo de los Signos.

55

Avances en Flotacin

En conclusin: para hacer un diseo factorial fraccional procedemos de la siguiente manera:

1. Diseamos un experimento ortogonal que proporcione informacin acerca de los efectos principales y las interacciones de ms bajo orden.

2. Determinamos exactamente qu informacin se pierde.

El procedimiento de diseo es similar al empleado en un diseo confundido.

Resumiendo, al hacer un diseo fraccional (1/2)p de un factorial 2n : (1/2)p x (2n) = 2n-p, y haciendo m = n-p, tenemos:

a) 2m puntos experimentales. b) De los (2n-1) efectos e interacciones de un diseo factorial

completo, (2p 1) son confundidos a priori, formando el conjunto "efectos de contraste del diseo.

c) Los restantes (2n 2p) efectos, forman (2n-p 1) = 2m 1 agrupaciones en el diseo.

d) Cada combinacin experimental contiene 2p efectos que forman agrupaciones entre s.

56

Avances en Flotacin

DISEOS ROTABLES Y COMPUESTOS Un diseo experimental rotable es aquel en el cual se tiene igual facultad de

prediccin en todas direcciones, a partir de un punto experimental central, y donde los puntos experimentales estn a una distancia constante del punto central. Todos los diseos de primer orden son rotables, los factoriales 2n y 2n-p.

En otras palabras, son arreglos experimentales en los cuales es posible estimar la respuesta con la misma varianza (precisin) en todos y cada uno de de los puntos experimentales del diseo (puntos perifricos). Son de gran utilidad en las etapas de optimizacin, para ajustar modelos cuadrticos y donde los diseos factoriales ya no pueden ser utilizados.

Los diseos rotables ms sencillos son aquellos representados por polgonos que pueden ser inscritos en un crculo de radio , en los cuales los puntos experimentales estn representados por los vrtices del polgono ms un punto experimental correspondiente al centro del polgono. Entre este tipo de diseos se distinguen el trigonal, pentagonal, hexagonal y el octogonal entre otros de segundo orden y que se observan en las figuras siguientes:

57

Avances en Flotacin Diseos Rotables de dos variables

a) Diseo Trigonal.

Es un diseo de primer orden, en el cual los puntos experimentales corresponden a las coordenadas de un tringulo equiltero en el plano X1-X2.,, se tienen k+1 vrtices en k dimensiones. As para k=2 tenemos un tringulo equiltero y con k=3 un tetrahedro regular, segn se muestra en figs. (a) y (b).

Para proporcionar una estimacin del error experimental, se puede agregar dos o ms puntos experimentales en el centro del diseo.

El diseo de primer orden siguiente es el 22 con puntos adicionales en el centro.

Otros diseos de segundo orden como el pentagonal, hexagonal y octogonal se presentan a continuacin:

58

Avances en Flotacin

x1 x2

-1

-1

1

1

x1

x1 x2

1.000 0

0.309 0.951

-0.809 0.588

-0.809 -0.588

0.309 -0.951

0 0

x1 x2

1.000 0

0.500 0.866

-0.500 0.866

-1.000 0

-0.500 -0.866

0.500 -0.866

0 0

x1 -1 1 -1 1 2 - 2 0 0 0

x2 -1 -1 1 1 0 0 2 - 2 0

Diseo Octogonal

Diseo Pentagonal

Diseo Hexagonal

x2

1

-1 -1 1

-

-

1

1

-

1

-1 1

1

-1

x1

x2 1

-1

-1 1

59

Avances en Flotacin En general, podemos considerar todos los diseos presentados como

polgonos regulares inscritos en una circunferencia cuyo centro es el origen del sistema x1- x2 , de radio unitario, o bien, de radio 2 .

En todos los diseos que se presentan a continuacin, se ha codificado las variables originales de tal manera que varen entre 1 y +1.

Usando la alternativa que considera la circunferencia de radio unitario, vemos que los puntos experimentales quedan dentro del rango de trabajo, es decir 1; con la alternativa de radio 2 , nos salimos del rango experimental.

El uso de una u otra alternativa depende del experimentador, cumplindose en ambas las condiciones de ortogonalidad.

DISEOS ROTABLES DE TRES VARIABLES Estos son diseos de segundo orden y se consideran los siguientes:

a) El proporcionado por los vrtices de un icosahedro, que consta de doce puntos experimentales ms los puntos en el centro del diseo. Las coordenadas son: (0; a; b), (b; a), (a; 0; b).

b) El proporcionado por los vrtices de un dodecahedro, en el cual se dispone de 20 puntos experimentales, ms los puntos centrales. Las coordenadas son: (0; c-1, c), (c, 0; c-1); (c; c; 0), (1, 1, 1)

Para ambos diseos: a = 1.473, b = 0.911, c=1.618 60

Avances en Flotacin DISEOS COMPUESTOS

Cuando se trabaja con tres o ms variables, se utilizan los denominados Diseos Compuestos, que permiten estimar los coeficientes de un modelo de segundo orden.

En un diseo factorial 2n, cada uno de los n factores es variado entre 1 y +1, (xi = 1), tomndose 2n combinaciones en dos niveles. Este tipo de diseo permite ajustar un modelo cuadrtico de la forma:

El diseo factorial 2n permite estimar los coeficientes 0, i, ij, pero no da informacin sobre ii. Esta es la razn de la introduccin de los diseos compuestos que no son otra cosa que puntos experimentales adicionales al diseo factorial 2n. Estos diseos anexos se denominan estrellas y pueden considerarse como experimentos en los cuales se vara un factor cada vez, partiendo del centro del diseo (xi = 0) desde un nivel superior (+ ) hasta otro inferior (- ), mientras que todos los otros permanecen en su nivel central cero. Esto significa que se agregan 2n+1 puntos experimentales al diseo factorial. As xi = , xi = 0 para ji, i = 1,2,3,4..........n.

En un diseo compuesto, el nmero total de experiencias se compone como sigue:

j

n

ji

iiji

n

iii

n

iii xxxxY

====

+++=

21

2

110

Diseo 2n Factorial Estrella Total

N de puntos

2n 2n + 1 2n + 2n +1 61

Avances en Flotacin DISEO COMPUESTO; Hoja de Datos: Definicin de Factores, A =........, B

=.........., C =........... A = a1x1 + b1; B = a2x2 + b2; C = a3x3 + b3

Matriz Diseo Niveles de los factores Respuestas X1 X2 X3 A B C Y1 Y2

-1 -1 -1

1 -1 -1

-1 1 -1

1 1 -1

-1 -1 1

1 -1 1

-1 1 1

1 1 1

-1.6818 0 0

1.6818 0 0

0 -1.6818 0

0 1.6818 0

0 0 -1.6918

0 0 1.6818

0 0 0

1 -1 -1

-1 1 -1

-1 -1 1

1 1 1

0 0 0 62

Avances en Flotacin A medida que aumenta el valor de n, el primer componente (2n) crece rpidamente y por lo tanto el nmero de experiencias. Para reducir esto, se han

propuesto los diseos compuestos, en los cuales el diseo factorial total se reemplaza por un diseo factorial fraccional. En este caso, al hacer una rplica (1/2)p del diseo 2n, el nmero total de experiencias es 2n-p + 2n +1, mientras que el nmero de coeficientes en la ecuacin del modelo anteriormente descrito es 2n +1 +(1/2)n(n-1) y esta relacin puede fcilmente exceder la primera. Por ello, al reducir el nmero de experiencias no es posible estimar todos los coeficientes del modelo.

En cualquier diseo compuesto 2n + 2n + 1 en el cual no se usa ningn efecto principal como efecto de contraste del diseo fraccional, es posible estimar los siguientes factores:

a) la constante 0 b) n coeficientes lineales j c) n coeficientes cuadrticos ii

d) 2n 1 coeficientes ij seleccionados de las agrupaciones.

63

Avances en Flotacin Tanto los diseos rotables como los diseos compuestos centrales, se pueden ampliar, realizando un mayor nmero de experiencias en el nivel central para

cuantificar el error experimental.

La precisin o el grado de confiabilidad en la estimacin de los coeficientes del modelo propuesto se puede aumentar haciendo que el diseo compuesto central sea tambin rotable. La propiedad de rotabilidad de un diseo compuesto se logra haciendo = 2n/4, para el caso que se utilice el diseo factorial completo.

Si se utiliza un diseo fraccional del tipo 2n-k, entonces = 2(n-k)/4. Aqu vemos que este diseo compuesto central para dos factores, resulta ser el

mismo que el octogonal, es decir este diseo compuesto ser rotable para = 2 , lo cual se cumple pues n=2 . Algunos valores de para rotabilidad del diseo compuesto respectivo para diferentes n, se se muestran en la tabla siguiente:

n Dis. Fact. Fraccin

al

2 3 4 5

6

22

23 24 25

26

1.414 1.682 2.000 2.378

2.828

- 1/2 1/2 1/2 1/4 1/2 1/4 1/8

1.414 1.682 2.000 1.682 2.378 2.000 1.682

64

Avances en Flotacin En el caso que se tenga informacin que las mejores condiciones operacionales se

encuentran ms cerca de un extremo que del centro del diseo, se puede hacer uso de un diseo compuesto rotacional no central, que mejor se explica en la figura siguiente:

O : puntos experimentales del diseo factorial 2n.

* : puntos extras agregados para el diseo compuesto.

b)

a) 65

Avances en Flotacin

Algunos de estos diseos son los representados por los vrtices de un icosahedro (12 puntos experimentales), un dodecahedro ( 20 puntos experimentales) y el representado en la figura anterior (a) con 14 puntos experimentales ms el nivel central.

En la tabla siguiente, se muestran algunos diseos compuestos centrales rotables para n 4, donde cada diseo, debe ser aumentado con experiencias repetidas en el centro del diseo.

Tabla : Diseos compuestos centrales rotables:

n Factorial

Diseo entrada

X1 X2 X3 X4 +2 0 0 0

4 24 + 0 +2 0 0 0 0 +2 0 0 0 0 +2 8 puntos X1 X2 X3 X4 X5 +2.378 0 0 0 0

5 25 + 0 +2.378 0 0 0 0 0 +2.378 0 0 0 0 0 +2.378 0 0 0 0 0 +2.378 10 puntos

n

2n + Matriz de n n en la cual la diagonal principal tiene los nmeros = +2n/4.

2n puntos

66

Avances en Flotacin

Modelos Matemticos

Formulacin y Propsitos

En cualquier estudio es siempre til determinar una relacin matemtica que ligue las variables estudiadas, con el fin de predecir el fenmeno en cuestin. Un modelo matemtico es entonces una representacin lgica y cuantitativa de las interrelaciones de las variables del sistema en estudio.

Al formular un modelo debemos tener presente: Propsito para el cual el modelo ha de servir Examen y clasificacin de las variables del proceso, de acuerdo a

su importancia Rango de validez del modelo Determinacin del modelo requerido

67

Avances en Flotacin En el caso del ajuste de un modelo, la eleccin de ste depende completamente del propsito que se persigue. En general, se puede

proponer un modelo por las siguientes razones: A. Ajuste de datos. A menudo deseamos obtener una relacin entre una variable X y una

respuesta Y. En este caso el procedimiento es encontrar simplemente un polinomio de grado N, PN(X) tal, que sea mnima la expresin (Y-PN(X))2.

B. Ecuaciones tericas. Es el caso cuando se desea comprobar una relacin, ya conocida,

mediante mtodos experimentales. Un ejemplo podra ser el estudio experimental de la ley de Ohm.

Se podra proponer un modelo de la forma: V = B0+B1I+B2R+B11I12+B22R2+B12IR+ El anlisis de la relacin anterior conducir finalmente a comprobar

que el voltaje es proporcional al producto IR.

68

Avances en Flotacin C. Determinacin de condiciones ptimas:

Uno de los varios poderosos mtodos para determinar los niveles

ptimos de varias variables en un proceso, es ajustar modelos que sirvan posteriormente para determinar las condiciones ptimas, situacin que veremos a continuacin.

Modelos de un diseo experimental Puesto que el objetivo de la tcnica de diseo es llegar a establecer la

regin experimental de mxima o mnima respuesta, tendremos necesariamente que referirnos a un standard para saber cundo y qu combinacin de niveles nos dan stas.

El standard es justamente un modelo matemtico cuyos coeficientes no son otra cosa que los efectos e interacciones.

La metodologa contempla:

Postulacin de un modelo matemtico Diseo del experimento

69

Avances en Flotacin

01

n

i ii

Y B B X =

= + +

Experimentacin Anlisis del experimento

Cuando se inicia un experimento, lo ms fcil es postular un modelo

lineal que se contrasta mediante un anlisis de varianza y que nos servir para progresar en la bsqueda de la regin de mxima o mnima respuesta o que nos indicar si hemos llegado a sta.

Los diseos del tipo factorial 2n slo sirven para determinar modelos

del tipo:

01 1

n n

i i ij i ji i

Y B B x B x x = =

= + + +

70

Avances en Flotacin

Modelos del tipo anterior son incompletos en nuestros casos, como se ver posteriormente.

En general, los modelos podemos determinarlos: a) A partir del anlisis Yates, puesto que ste encuentra los

efectos de los factores que sern los coeficientes del modelo.

b) Mediante el mtodo Doolittle abreviado.

El caso a) lo podemos utilizar para modelos lineales. La tcnica Doolittle es general y sirve para ajustar cualquier modelo, siempre que se disponga del diseo apropiado.

71

Avances en Flotacin Modelos determinados a partir del Yates

Consideremos un ejemplo: Supongamos que estudiamos la concentracin de un mineral de Fe en un separador magntico en que tomamos en cuenta los siguientes factores: A = Amperes en el embobinado magnetizante B = Alimentacin en ton/hr./pie C = Velocidad de rotacin en r.p.m Factores Niveles - + A = Amp. 4 10 B = t/h/pie 5 12 C = r.p.m. 1 3

72

Avances en Flotacin

Definido el problema, postularemos un modelo lineal del tipo: Y=B0+B1X1+B2X2+B3X3+ Puesto que deseamos estimar los coeficientes de un modelo lineal, usamos un diseo factorial del tipo 23.

Combinaciones Matriz diseo Respuestas experimentales A B C Yi 1 - - - 91.9 a + - - 94.9 b - + - 91.2 ab + + - 94.2 c - - + 92.7 ac + - + 95.7 bc - + + 92.0 abc + + + 95.0

73

Avances en Flotacin

Combi-nacin Exp.

Yi -90% (1) (2)

(3) 4x efectos

Efectos Col (3)

4

Suma cuadr.

Col. (3)2 8

1 1.9 6.8 12.2 27.6 - a 4.9 5.4 15.4 12.0 3.0 18.0 b 1.2 8.4 6.0 -2.8 -0.7 0.98 ab 4.2 7.0 6.0 0.0 0 0 c 2.7 3.0 -1.4 3.2 0.8 1.28 ac 5.7 3.0 -1.4 0 0 0.00 bc 2.0 3.0 0 0 0 0.00 abc 5.0 3.0 0 0 0 0.00

27.6 20.26

ANALISIS YATES DEL DISEO

74

Avances en Flotacin

Se observa que todas las interacciones son nulas y considerando que stas corresponden al error experimental, concluimos que slo los efectos principales son significativos y que en realidad existe una relacin lineal del tipo postulado. Determinacin de los coeficientes: 1) Codificamos las variables de tal modo que varen entre -1 y +1, segn A - a1 (Amp) a1 X1 = = b1 b1 Luego:

1

1

1

1

4 1

10 1

ab

ab

=

= +

de donde

a1 = 7

b1 = 3

75

Avances en Flotacin Por lo tanto queda :

Igualmente : El modelo podemos escribirlo entonces: X1 X2 X3 2) Ya que los diseos factoriales funcionan como si las variables fueran en realidad X1, X2, X3 variando entre + 1, el modelo estimado

71 3

AX

=

8.52 3.5

BX

=

0 1 1 2 2 3 3Y b b X b X b X = + + + +

( * ) 7 8.5 20 1 2 33 3.5 1

A B CB B B BY = + + + +

23 1

CX =

76

Avances en Flotacin es tal que:

a) b0 = media o promedio general b) b1, b2, b3, ..bi corresponden al efecto unitario En nuestro caso de donde el modelo queda: Y = 93.45 + 1.5X1 - 0.35X2 + 0.4X3+ 3) Si queremos tener el modelo en funcin de las variables A, B y C, basta desarrollar la expresin ( * ). Reemplazando los coeficientes determinados, queda: Y = 90 + 0.5A - 0.1B + 0.4C

Efecto Respectivo2i

b =

20.7 0.352

b = =

77

Avances en Flotacin Consideraciones Generales

a) Al determinar el modelo debemos tener en cuenta el anlisis de varianza posterior al anlisis Yates. Este anlisis nos indica que factores e interacciones son significativas en nuestro estudio experimental y el modelo debe reflejar estas conclusiones. Si no es as, significa que nuestro modelo no sirve y que es necesario postular otro. B) No debe olvidarse que en algunos casos el modelo que podemos determinar por la tcnica de Yates es slo preliminar y que slo contiene las variables significativas en primer grado y puede no ser el que ms se ajuste a nuestros resultados experimentales. Supongamos que en el caso anterior las variables significativas son A y B. Segn esto podemos proponer el modelo: Y = B0+B1X1+B2X2+ Sin embargo, este modelo no es el mejor, sino que es: Y=B0+B1X1+B2X2+B11X12+B22X22+B12X1X2+ Esto por supuesto, no lo podemos deducir del anlisis Yates ni determinar con un diseo factorial 2n. Para solucionarlo debemos recurrir al empleo de la tcnica Doolittle, especialmente til en el caso de diseos rotables ortogonales.

78

Avances en Flotacin

Mtodo de Doolittle abreviado. La tcnica Doolittle utiliza el mtodo de los mnimos cuadrados (regresin mltiple), para determinar los coeficientes. Usando esta tcnica podemos estimar b0, b1, b2.etc., de los coeficientes reales B0, B1, B2etc., de tal forma que la suma de los cuadrados de la diferencia sea mnima, es decir, tienda a cero. El residuo R es tal que: R = 0 donde es el valor de la respuesta predicha por el modelo Yi es el valor observado. Para explicar el mtodo consideremos que disponemos de un diseo 23 factorial y que deseamos ajustar el modelo: Y = B0+B1X1+B2X2+B3X3+ recordando que: Xi = + 1

2Y Yi

2Y Yi

Y

79

Avances en Flotacin Procedimiento

a) Escribimos la matriz de variables independientes y el vector

observacin:

Matriz Diseo D Matriz de Variables Independientes X Vector Observ. X1 X2 X3 X0 X1 X2 X3 Yi

1 -1 -1 -1 1 -1 -1 -1 Y1 a 1 -1 -1 1 1 -1 -1 Y2 b -1 1 -1 1 -1 1 -1 Y3 ab 1 1 -1 1 1 1 -1 Y4 c -1 -1 1 1 -1 -1 1 Y5 ac 1 -1 1 1 1 -1 1 Y6 bc -1 1 1 1 -1 1 1 Y7 abc 1 1 1 1 1 1 1 Y8

80

Avances en Flotacin

b) En general, cualquier modelo lo podemos escribir en forma matricial: [ Yi ] = [X] [B] [X]T [X][B] = [X]T [ Yi ] [X] = Matriz de variables independientes (n x m) [X]T = Matriz transpuesta de X (m x n) [B] = Matriz de constantes (vector) (b x 1) [Yi] = Matriz de observaciones (vector) (n x 1) La transpuesta de una matriz de orden (n, m) se obtiene intercambiando filas y columnas. Al desarrollar la expresin anterior para el caso propuesto, obtenemos las denominadas ecuaciones normales en el mtodo de los mnimos cuadrados: X0B0+X0X1B1+X0X2B2+X0X3B3 = X0Yi X0X1B0+X12B1+ X1X2B2+ X1X3B3 = X1Yi X0X2B0+ X1X2B1+ X22B2+ X2X3B3 = X2Yi X0X3B0+ X1X3B1+ X2X3B2+ X32B3 = X3Yi

81

Avances en Flotacin

Recordando que cuando la matriz de variables independientes es ortogonal:

{X}T = {X}-1

{X}T x {X} = {I}

{I} = matriz identidad

y la expresin: {X}Tx {X} x {B} = {X}T x {Yi}

se simplifica a: {B} = {X}T x {Yi}

De esta expresin, se obtiene la siguiente frmula para calcular los coeficientes:

Bi = XiYi/ Xi2

y la varianza asociada a los coeficientes:

V(Bi) = ( XiYi)2/ Xi2 82

Avances en Flotacin

La solucin de estas cuatro ecuaciones permite encontrar los coeficientes. Un mtodo para determinar los coeficientes es la tcnica Doolittle, que proporciona al mismo tiempo un anlisis de varianza para saber si el modelo propuesto se ajusta a nuestros resultados experimentales. Se observa que las ecuaciones normales forman una matriz simtrica en que aij = aji y nicamente se necesita la mitad de los trminos en la tcnica Doolittle. c) Escribimos las ecuaciones normales en la forma siguiente:

B0 B1 B2 B3 N X1 X2 X3 Yi X12 X1X2 X1X3 X1Yi X22 X2X3 X2Yi X32 X3Yi

Haciendo el desarrollo mediante smbolos, la tcnica Doolittle permite calcular los coeficientes segn se muestra en el cuadro siguiente:

83

Avances en Flotacin Bo B1 B2 B3

a11 a12 a13 a14 a15

a22 a23 a24 a25

a33 a34 a35

a44 a45

a11 a12 a13 a14 a15

1 b12 b13 b14 b15

c12 c13 c14 c15

1 d13 d14 d15

e13 e14 e15

1 f14 f15

g13 g14 g15

1 h15

Procedimientos:

a) Se toma la primera fila

b) Se divide por el primer coeficiente, segn:

b1j = a1j/a11 j = 2 5

c) Se usa b12 como pivote

c1j = a2j (a1j b12), j = 2 5

d) Se divide por el primer coeficiente

d1j = c1j/c12 j = 2 5

e) Se usan dos pivotes (b13 y d13)

e1j = a3j (a1j b13 + c1j d13) j = 3 5

f)Se divide por el primer coeficiente

f1j = e1j/e13 j = 3 5

g) Se usan 3 pivotes ( b14, d14 y f14)

g1j = a4j (a1j b14 + c1j d14 + e1j f14) h) h14 = g1j/g14, etc. 84

Avances en Flotacin

Los coeficientes se determinan segn:

B3 x 1 = h15 B2 x 1 + B3 x f14 = f15 B1 x 1 + B2 x d13 + B3 x d14 = d15 B0 + B1 x b12 + B2 x b13 + B3 x b14 = b15

85

Avances en Flotacin ANAVA

Fuente de Variacin

Suma de cuadrados

Grados de Libertad

Cuadrado medio

F

Suma bruta de cuadrados =

N

.

Debido a B0 B15 x a15 1 B15 x a15 . Debido a B1 C15 x d15 1 C15 x d15 . Debido a B2 E15 x f15 1 E15 x f15 . Debido a B3 G15 x h15 1 G15 x h15 . Suma residual de cuadrados

R.

(N-4)

R/N - 4

Error experimental, S.C.

Z

e

Z/e

Desajuste R - Z N - 4- e (R-Z)/(N-4-e)

2iY

2iY

2

iY

86

Avances en Flotacin Observaciones a) El error experimental z puede determinarse haciendo experiencias

repetidas, en cuyo caso calcularemos su suma de cuadrados, grados de libertad y cuadrado medio. Si no se ha determinado, podramos considerar el residuo como una estimacin anticipada del error experimental. Los puntos experimentales que corresponden a experiencias repetidas deben necesariamente aparecer en la matriz (X) para que sean considerados en el desarrollo Doolettle, pues de lo contrario puede llegarse a absurdos, como por ejemplo, obtener grados de libertad cero o negativos para el desajuste.

b) Cuando el cuadrado medio (varianza) del residuo es menor que el del cuadrado medio del error experimental, indudablemente no es necesario realizar un test estadstico para estudiar el desajuste de nuestromodelo de los resultados experimentales y simplemente lo aceptamos.

Si esto no sucede, debemos hacer un estudio estadstico para comprobar nuestro modelo.

Procedimiento Es til calcular el cuadrado del coeficiente de correlacin mltiple R2,

definido como sigue: Se expresa en porcentaje, 100 R2. Su magnitud mide el xito del

modelo en explicar la variacin de los datos. Posteriormente, establecemos las siguientes hiptesis nulas:

2 Suma de cuadrados debido a la regresionRSuma bruta de cuadrados

=

87

Avances en Flotacin 1) H0: Varianzas residuo varianza error experimental. Si

aceptamos H0 significa que las diferencias detectadas en el residuo corresponden al error experimental y, por lo tanto, podemos aceptar el modelo.

2) H0: Varianza desajuste varianza error experimental. Esta es la H0 en los anlisis de regresin: se obtiene:

Si H0 se rechaza, es decir, si F es significativo, se concluye que el modelo parece ser inadecuado y debe proponerse otro. Este test permite afinar el modelo.

El procedimiento a seguir es, en trminos generales, el descrito anteriormente, pero es necesario recordar que es el experimentador es quien decide el tipo de test que debe aplicar en su caso particular.

2

( )

e

Desajuste r eF conS e

= =

88

Avances en Flotacin

Ejemplo: Un investigador desea estudiar la relacin del tiempo y la temperatura para una respuesta dada Yi; hace un diseo 22 en duplicado y ajusta un modelo lineal del tipo:

Y = B0 + B1X1 + B2X2+

Matriz de variables independientes

Resp.

Soluciones Doolitlle de las ecuaciones normales

X0 X1 X2 Y1 b0 b1 b2 1 -1 -1 1.0 8 0 0 66.0 1 -1 -1 1.7 8 0 30.70 1 1 -1 6.0 8 38.20

1 1 -1 5.2 8 0 0 66.0 1 -1 1 7.0 1 0 0 8.25

1 -1 1 7.9 8 0 30.80 1 1 1 18.0 1 3.85

1 1 1 19.2 8 1

38.20 4.78

89

Avances en Flotacin

Significativo = 0.01 El valor R2 = 845.405/870.980 = 0.970 => 97.00%

b2 1 = 4.78 b2 = 4.78

b1 1+b2 0 = 3.85 b1 = 3.85

b0 1+b1 0+b2 0 = 8.25 b0 = 8.25

Fuente de Variacin Suma de Cuadrados

Cuadrado Medio

F

Y2 870.980 8 Debido a bo (66.0x8.25) 544.500 1 Debido a b1 (30.8x3.85) 118.500 1 118.500 Debido a b2 (30.20x4.78) 182.405 1 182.405 Residuo 25.575 5 5.115 Desajuste 23.885 1 23.885 Error 1.690 4 0.422

A N A V A

90

Avances en Flotacin

Esto significa que el modelo propuesto explica el 97% de las variaciones de los datos respecto del promedio. A pesar de esto se ve que tanto el residuo como el desajuste son altamente significativos, lo cual conduce a concluir que el modelo es inadecuado y es necesario proponer otro

Podemos proponer el siguiente: Y = B0+B1X1+B2X2+B12X1X2 El coeficiente B12 puede estimarse de los datos, sin embargo, el modelo

anterior es un modelo de segundo orden incompleto, pues le faltan los efectos cuadrticos B11 y B22. Es importante recordar que es el orden de aproximacin a los datos lo que interesa, no los trminos individuales que forman la aproximacin.

El modelo correcto: Y = B0+B1Y1+B2X2+B11X12+B22X22+B12X1X2+

91

Avances en Flotacin

La matriz de variables independientes para un diseo 22 sera: Vemos que las columnas asociadas a X0, X12, X22 son idnticas, de aqu que en diseos factoriales 2n o replicaciones no pueden determinarse los factores cuadrticos. Coeficientes y nmero de experiencias El nmero N de experimentos necesarios para determinar L coeficientes, no debe ser menor que L y normalmente debe exceder este nmero. En la tabla siguiente vemos la relacin entre el nmero de factores, el grado de la ecuacin ajustada y el nmero de coeficientes de la ecuacin. Se ve que estos crecen rpidamente con el grado de sta.

X0 X1 X2 X12 X22 X1X2 1 -1 -1 1 1 1 1 1 -1 1 1 -1 1 -1 1 1 1 -1 1 1 1 1 1 1

92

Avances en Flotacin

N de Coeficientes (L) Grado de la Ecuacin ajustada

N de

Factores Plana Cuadrtica Cbica Curtica

2 3 6 10 15 3 4 10 0 35 4 5 15 35 70 5 6 21 56 126

En el caso que N fuera igual a L, el proceso de ajustar el modelo inevitablemente forzara los N valores predichos por el modelo a concordar exactamente con los valores observados Y1, Y2..YN

En estas circunstancias podramos, por supuesto, llegar a la conclusin que la superficie ajustada no corresponde exactamente a la superficie verdadera. Sin embargo, si L fuera mayor que N, los N valores predichos por el modelo diferiran de los N valores dados observados Yi. La suma de cuadrados de las discrepancias (que es por supuesto la cantidad minimizada en el mtodo Doolittle) la hemos denominado Suma residual de cuadrados. Esta cantidad, al dividirla por (N-L) denominado residuo de los grados de libertad nos da una estimacin de 2, la varianza del error experimental, en el supuesto de que la superficie real puede ser representada por una funcin de la forma propuesta.

2, ...i nY Y Y

iY

( )2i iY Y R =

93

Avances en Flotacin

Si la superficie real no pudiese representarse por una ecuacin de la forma propuesta, R/(N-L) tiende en promedio a exceder 2 en una cantidad que depende de la magnitud de la ecuacin postulada. Un buen ajuste no implica necesariamente que R/(N-L) es pequeo, sino que slo es magnitud anticipada de la varianza del error experimental.

El criterio para evaluar los efectos reales y las interacciones en un diseo tipo factorial o para juzgar el desajuste de un modelo, es el test F. Si la estimacin de la varianza del error experimental obtenida por repeticin es muy pequea, an las interacciones de alto orden son significativas. Al mismo tiempo, si la varianza del error experimental es pequea, generalmente significa que es imposible encontrar un modelo simple cuyo desajuste sea del mismo orden de magnitud que la varianza del error experimental.

94

Avances en Flotacin

DETERMINACION DE CONDICIONES OPTIMAS

Concepto de Optimizacin En la mayora de los procesos de la Ingeniera Metalrgica, es

necesario determinar las condiciones ptimas por experimentacin. Optimizar significa determinar el conjunto de valores de las variables independientes, considerando las restricciones propias del proceso en estudio, tales que stas den un rendimiento ptimo, es decir, maximicen o minimicen la funcin respuesta. Rendimientos expresados en mxima ley de concentrado, mxima recuperacin, mnimo costo de capital, de reactivos, etc.

Existen muchos mtodos de optimizacin descritos en la literatura. El mtodo que se explica a continuacin es esencialmente experimental y es la continuacin de la metodologa de diseo ya desarrollada.

95

Avances en Flotacin

Secuencias del Mtodo para determinar Condiciones Optimas

El procedimiento para encontrar condiciones ptimas en un

sistema multivariable consiste fundamentalmente en lo siguiente:

a) Determinacin del rango que encierra el ptimo mediante la aplicacin secuencial del mtodo de la Pendiente Ascendente o Descendente (Method of Steepest Ascent or Descent).

b) Determinado el rango ptimo, se hace un diseo detallado que permite ajustar un modelo matemtico adecuado. Esta ecuacin ajustada nos da una superficie respuesta del sistema estudiado.

c) Ajustado el modelo matemtico, le damos una forma cannica que facilitar enormemente el anlisis de la Superficie Respuesta ajustada.

96

Avances en Flotacin

COMPLEJIDAD DE LA SUPERFICIE RESPUESTA 97

Avances en Flotacin Mtodo de la Pendiente Ascendente o Descendente.

Este mtodo permite ubicar la regin experimental de mxima o mnima variable

respuesta; como hemos dicho, una vez determinada esta regin, es necesario ajustar un modelo matemtico que permitir analizar y predecir el comportamiento del proceso en dicha regin experimental. A esta tcnica se la denomina Metodologa de la Superficie Respuesta.

Supongamos que la relacin verdadera entre la variable respuesta Yi y las variables X1 y X2 est dada por las lneas de contorno de la Figura anterior y nuestro objetivo es realmente encontrar el modelo matemtico que nos permita calcular estas lneas. Como por lo general al comienzo de una investigacin nueva se carece de informacin experimental, consideramos que nuestra primera regin experimental ser A1, la que por encontrarse lejos de la regin ptima, nos permitir aplicar la tcnica que entraremos a explicar.

En la regin experimental A1, la funcin Y puede representarse convenientemente como una funcin v = F(X1,X2), que represente un plano

Y = B0+B1X1 + B2X2. Si consideramos un plano perpendicular al anterior, ste apuntar a una regin experimental de mayor o menor variable respuesta. Se sabe por geometra analtica que este plano es proporcional a las pendientes B1 y B2. Esto significa que el experimentador puede usar los signos y valores de los coeficientes B1 y B2 para determinar el factor direccional que le permitir ubicar la nueva regin experimental que le interesa.

98

Avances en Flotacin Esta situacin se visualiza en la misma Figura.

Se repite el experimento en las nuevas regiones experimentales A2, A3. etc. Como se busca un mximo o un mnimo, llega un instante en que es imposible aproximar la superficie por un plano. Por lo tanto, debe hacerse un diseo ms detallado y determinar la forma verdadera de la superficie respuesta que interesa.

Las consideraciones y conceptos anteriores se pueden generalizar a un sistema de n variables. En este caso, la funcin respuesta es del tipo :

Y = F(X1,X2,X3..Xn) Para representar grficamente esta funcin, necesitaramos (n+1) ejes

perpendiculares entre s, lo cual es imposible en un espacio de tres dimensiones. Se usa el prefijo hiper para indicar cualquier extensin de la geometra slida al espacio multidimensional. As, el hiperespacio de (n+1) dimensiones se refiere al conjunto de puntos (X1,X2,X3,Xn; Y).

El conjunto de puntos en la ecuacin anterior es una superficie respuesta de n dimensiones contenida en un especio de (n+1) dimensiones.

Similarmente se concibe la interseccin de la hipersuperfice respuesta con cualquier hiperplano constante Y como un hipercontorno de (n-1) dimensiones.

99

Avances en Flotacin

Cada punto (X1,X2,X3Xn) para Y constante, corresponde a posibles experiencias y cada porcin del hiperplano X1, X2,X3, .Xn constituir una regin experimental estudiada, informacin que nos permitir progresar en la bsqueda del ptimo.

En el ejemplo dado, los contornos de la superficie respuesta Y se visualizan en la Fig. con la superficie respuesta misma. La informacin obtenida en la regin experimental A1 nos permite ubicar A2 y as sucesivamente hasta determinar la regin experimental que encierra el ptimo.

La direccin de la pendiente ascendente es la inversa de la pendiente descendente. Esto es lgico, pues si en una direccin se incrementa la respuesta, en la contraria se producir una disminucin de ella. Lo anterior se esquematiza en la Figura 7a.

El factor direccional proporcionado por las pendientes de un plano ajustado a partir de los datos de un diseo factorial 2n y 2n-p da la direccin de la pendiente ascendente, es decir, de un incremento en la respuesta. De aqu que sea necesario invertir los signos de las pendientes estimadas al aplicar el mtodo de la pendiente descendente.

100

Avances en Flotacin

Superficie Respuesta de Primer Orden, Paso de la Pendiente Ascendente

101

Avances en Flotacin

102

Avances en Flotacin

El mtodo de las pendientes descrito anteriormente puede fallar si el sistema investigado tiene ms de un mximo o mnimo. En tales casos, el ptimo que se ubique depender de la regin experimental de partida. As por ejemplo, en la Fig.siguiente se muestra un sistema con dos mximos, pudindose elegir cualquiera de las regiones sealadas como zona experimental de partida. Eligiendo la regin experimental Q, es probable que el mtodo de las pendientes no nos diga nada. En general, estos tipos de superficies respuestas podran indicar un cambio fundamental en el mecanismo de reaccin del sistema. La metodologa desarrollada en el presente captulo se refiere slo a sistemas que presentan un mximo o mnimo, puesto que el estudio de los sistemas anteriores requiere otro tipo de consideraciones. Resumiendo, podemos decir:

Para determinar el rango que encierra el ptimo, elegimos una regin experimental, hacemos unas pocas pruebas, analizamos los datos para estimar el plano propuesto, nos movemos hacia una nueva regin experimental y luego repetimos la operacin. El diseo ms conveniente en la primera fase es 2n-p.

103

Avances en Flotacin

Lo anterior implica:

un clculo cuidadoso de las pendientes un clculo cuidadoso de la varianza asociada a los coeficientes. un anlisis de varianza, a fin de determinar las variables de real

significacin en el rango elegido.

Es indudable que cuando hay suficiente informacin previa y se conoce el rango ptimo, esta tcnica estara dems y solo sera necesario ajustar el modelo matemtico en dicha regin experimental para obtener la superficie respuesta correspondiente.

Cuando el proceso depende de 2 3 variables, se puede utilizar el mtodo de variar un factor cada vez`para determinar el rango ptimo de las variables y posteriormente aplicar la metodologa de la superficie respuesta, pero el mtodo de diseo expuesto es mucho ms econmico y rpido, sobre todo en aquellos casos en que el nmero de variables es numeroso.

104

Avances en Flotacin

Ejemplo Ilustrativo

Para explicar el mtodo de la pendiente ascendente, tomaremos el siguiente caso

En la flotacin de un mineral sulfurado de cobre, se eligen los siguientes factores, a fin de determinar qu combinacin de ellos produce una recuperacin mxima

Como colector se us Z-200 y como espumante Dowfroth 200. Consideremos que la recuperacin de cobre es una funcin lineal de los factores definidos anteriormente. Y=Bo+B1X1+B2X2+B3X3+B4X4+

FACTORES NIVELES 0 + A = tiempo de molienda (min) 5.0 6.5 8.0

B = pH (unidades de pH) 8.5 9.5 10.5

C = dosificacin de colector (lb/ton) 0.10 0.15 0.20

D = dosificacin de espumante (lb/ton) 0.20 0.30 0.40

105

Avances en Flotacin

Recordando que es necesario codificar las variables originales entre -1 y +1, siendo Xi = +1(i=1,2,3.n).

A fin de determinar los coeficientes de este modelo, haremos un diseo factorial 24-1= 23, haciendo D = ABC. Combinacio Matriz de variables independientes X Observa nes experi-mentales

X0 X1 X2 X3 X4 ciones

1 1 - - - - 87.70 a(d) 1 + - - + 90.40 b(d) 1 - + - + 87.50 ab 1 + + - - 92.00

c(d) 1 - - + + 84.00 ac 1 + - + - 86.40 bc 1 - + + - 85.00

abc(d) 1 + + + + 88.20 1 0 0 0 0 88.00 1 0 0 0 0 88.60 1 0 0 0 0 89.00

106

Avances en Flotacin

Clculo del error experimental Restamos 88.00 a las respuestas en el centro del diseo, a fin de facilitar los

clculos Tenemos:

Puesto que la matriz es ortogonal, podemos aplicar las frmulas ya presentadas anteriormente:

Bi = XiYi/Xi2

[V(Bi)] = (XiYi)2/ Xi2

Cuadrado Medio

Yi2 = 1.36 3

(Y)i2 = 0.85 1

= 0.51 2 0.25

107

Avances en Flotacin

# Significativa = 0.05 De acuerdo con los clculos anteriores, el modelo propuesto queda como

sigue:

Y = 87.80 + 1.55X1 + 0.57X2 - 1.70X3 - 0.27X4 + Del anlisis de varianza deducimos que la pendiente b4 puede

considerarse igual al error experimental. Esto significa que el efecto del factor D es despreciable y que no tiene influencia alguna en el rango experimental estudiado.

Constante Estimada

Xi2 XiYi XiYi Xi2

(XiYi)2 Xi2

F

b0 11 967.20 87.80 - b1 8 12.40 1.55 20.50 # b2 8 4.60 0.57 2.63 # b3 8 -13.60 -1.70 23.10 # b4 8 -2.20 -0.27 0.60 -

108

Avances en Flotacin La secuencia de clculos necesarios para obtener el incremento y la direccin en

que debemos variar los factores, se ve en la tabla siguiente: Fijado el incremento de una de las variables, las restantes se calculan proporcionalmente: En este caso hemos elegido el incremento de las variables X1, luego:

Variables Paso de la Pendiente Ascendente X1 X2 X3 X4 Nivel Base 6.50 9.50 0.15 0.30 Unidad (ui) 1.50 1.00 0.05 0.10 Pendiente estimada (bi) 1.55 0.57 -1.70 -0.27 Uibi 2.32 0.57 -0.085 -0.02 Xi 1.00 0.25 -0.004 -0.001

31 2

1 1 2 2 3 3

... ii i

X XX Xu b u b u b u b

= = =

22

1.0 1.0 0.57 0.252.32 0.57 2.32

X X = => = = 109

Avances en Flotacin

Figura

X2

X1

A1

A2

110

Avances en Flotacin

Es evidente que podemos tomar cualquiera de las variables y asignarle un incremento conveniente. Esto por supuesto depende del criterio del investigador, pero se acostumbra usar las variables con bi mayor. Formamos a continuacin una serie de experiencias tomando en cuenta los incrementos calculados, restndolos o sumndolos, segn sea el caso. Esta suma o resta debe hacerse de acuerdo al signo de la pendiente estimada.

Experiencias Factores posibles X1 X2 X3 X4

1 6.50 9.50 0.150 0.300 2 7.50 9.75 0.146 0.299 3 8.50 10.00 0.142 0.298 4 9.50 10.25 0.138 0.297 5 10.50 10.50 0.134 0.296 6 11.50 10.75 0.130 0.295 7 12.50 11.00 0.126 0.294 8 13.50 11.25 0.122 0.293 9 14.50 11.50 0.118 0.292

10 15.50 11.75 0.114 0.291

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Avances en Flotacin

Una vez que hemos formado la secuencia de experiencias, elegimos 2 3 de ellas que quedan fuera del rango estudiado y las hacemos. Por ejemplo, podemos tomar las experiencias (5), (8) y (10). La respuesta obtenida en cada una de ellas nos servir como gua para elegir la nueva regin experimental. Supongamos que realizadas las experiencias, la mejor recuperacin corresponde a la experiencia (8). Esto nos permite concluir que es conveniente tomar como nivel base o central del prximo diseo la experiencia (8). Es evidente que cuando se tiene experiencia y se conoce el proceso que se est investigando, podemos elegir la nueva regin experimental utilizando solo la informacin dada por la pendiente ascendente. Sin embargo, se puede correr el riesgo de que exista una superficie respuesta de contornos ascendentes y elegir una regin experimental inconveniente, segn se muestra en la figura anterior.

Para mostrar la forma de proceder cuando deseamos aplicar el mtodo de la pendiente descendente, tomaremos el mismo caso anterior. Supongamos, a ttulo de ejemplo solam