Modelacin y Control de MquinasElctricas

Parte I

Dr. Jos Manuel Aller Castro

Escuela Superior Politcnica de Chimborazo

Riobamba, Mayo 2015

Resumen del Curso I

I El presente curso es una introduccin a la modelacin ycontrol de mquinas elctricas utilizando tcnicasvectoriales y matriciales.

I Se desarrollan los principios bsicos de conversin quepermiten determinar las ecuaciones internas de lasmquinas elctricas.

I Utilizando las simetras de la mquina se obtienen lastransformaciones de coordenadas que simplifican elanlisis matemtico del convertidor tanto en vectoresespaciales como mediante el uso de matrices.

Resumen del Curso II

I Se obtienen los modelos de la mquina de corrientecontinua, de la mquina de induccin y sincrnica enrgimen dinmico y esttico utilizando estastransformaciones.

I Se desarrollan algoritmos en Matlab que permiten analizarel comportamiento de estas mquinas en diferentesregmenes de operacin.

I Como parte integral del curso se describen y analizan losdiferentes controladores de par y velocidad que se utilizanen los convertidores electromecnicos

Convertidor electromecnico elemental I

I En general las mquinas elctricas tienen por finalidadtransformar la energa mecnica en energa elctrica yviceversa.

I Cuando la conversin es de energa mecnica en energaelctrica se dice que la mquina est funcionando comogenerador y en el caso contrario opera como motor.

I Tal vez la mquina elctrica ms simple es la que serepresenta en la siguiente figura.

I Este dispositivo es un convertidor electromagnticoelemental y est constituido solamente por un conductorrectilneo, movindose ortogonalmente a un campomagntico uniforme.

Convertidor electromecnico elemental II

Figura: Convertidor electromagntico elemental

I En la figura el conductor longitudinal se mueve en elinterior de un campo magntico B:E es el vector intensidad de campo elctricoe es la fuerza electromotrizB es el vector densidad de campo magnticov es el vector velocidad del conductor lineal

Convertidor electromecnico elemental III

I Las variables anteriores se relacionan a partir de la Ley deLorenz F = q (E+vB), considerando que no existecampo elctrico externo:

E = vB (1)

I Si en la ley de Lorenz, se supone que el campo magnticoB es uniforme en todos los puntos del conductor y lavelocidad v es constante, la fuerza electromotriz e de todoel conductor es:

e = l0E dl (2)

Convertidor electromecnico elemental IV

I Si al conductor anterior se le conecta una resistencia entresus extremos, circularn cargas por el conductor y seproducir una corriente de valor:

i =eR

(3)

Convertidor electromecnico elemental V

Figura: Corriente circulando por un conductor

I En el conductor de la figura se produce una fuerza Fe, quese opone al movimiento.

Convertidor electromecnico elemental VI

I Esta fuerza puede calcularse a partir de la relacin deLorenz , expresada como funcin de la corriente i por elconductor:

Fe = l iB (4)I La fuerza calculada en la expresin anterior muestra que el

sistema se opone a la extraccin de energa.I Para obtener la energa, es necesario forzar el movimiento

del conductor.I Si no acta ninguna otra fuerza que mantenga el

movimiento, y si la velocidad es diferente de cero, elsistema tendr un movimiento retardado de aceleracinnegativa.

Convertidor electromecnico elemental VII

I El conductor convertir la energa que estaba inicialmentealmacenada en su masa, en prdidas en la resistencia R delcircuito externo.

I En estas condiciones, la velocidad decaeexponencialmente a cero.

I Para mantener una velocidad constante en el conductor dela figura, es necesario aplicar una fuerza externa alconductor que se oponga a Fe. Esta fuerza es de origenmecnico y se denomina Fm.

I En la figura tambin se observa el equilibrio de fuerzasnecesario para mantener constante la velocidad v delconductor.

Convertidor electromecnico elemental VIII

I El sistema mecnico entrega potencia al sistema elctricopara mantener la velocidad v, la potencia mecnicainstantnea entregada por el sistema externo se calculamediante la relacin siguiente:

Pm = Fm v (5)

I y la potencia elctrica instantnea en el conductor es:

Pe = e i (6)

Convertidor electromecnico elemental IX

I Si se realiza un balance de potencia, considerando que lascantidades vectoriales son ortogonales entre s, se obtieneel siguiente resultado:

Pm = Fm v = Fe v = i B v l = i E l = i e = Pe (7)

I La ecuacin 7 demuestra que la conversin de energamecnica en energa elctrica ha sido completa.

Convertidor electromecnico elemental XI En el proceso no hay prdidas debido a que la potencia

disipada en la resistencia del circuito es externa a lamquina.

Figura: Conductor alimentado por una fuente de tensin V

Convertidor electromecnico elemental XI

I Aadiendo una fuente de tensin al conductor anterior conel conductor inicialmente en reposo, tal como se ilustra enla figura, la fuente de tensin V hace circular una corrientei por el circuito.

I Esta corriente produce, segn la ecuacin 4 una fuerzaelctrica Fe.

I Si no acta ninguna otra fuerza sobre el conductor, estecomienza a moverse con aceleracin.

I Cuando el conductor se mueve en un campo magntico, seorigina a su vez un campo elctrico E.

Convertidor electromecnico elemental XIII Como se puede apreciar en la figura, la fuente de tensin

produce una corriente que se opone al campo elctrico Einducido por el movimiento.

I La corriente se puede calcular como:

i =V eR

(8)

I De esta forma, en la medida que aumenta la fuerzaelectromotriz e inducida por el movimiento del conductor,disminuye la corriente en el circuito.

I Al decrecer la corriente, se reduce la fuerza elctrica sobreel conductor.

I El proceso contina hasta que la fuerza elctrica Fe sehace cero.

Convertidor electromecnico elemental XIII

I En esta condicin la tensin aplicada por la batera V esigual a la fuerza electromotriz e, inducida por elmovimiento del conductor en el campo magntico y lacorriente i se anula.

I La velocidad del conductor en que la fuerza elctrica escero, debido al equilibrio entre la tensin aplicada y lafuerza electromotriz inducida por el movimiento, se definecomo velocidad sincrnica del conductor.

I En esta situacin:

e = V = l vs B (9)

Convertidor electromecnico elemental XIV

I Donde vs es la velocidad sincrnica y se calcula de laexpresin anterior como:

vs =Vl B (10)

I Una vez que el conductor alcanza la velocidad sincrnica(V = e ; i = 0), si se aplica una fuerza resistente alconductor, el sistema comienza a retardarse y la fuerzaelectromotriz inducida e disminuye, aumenta la corrienteen el conductor debido a que la tensin V de la baterasupera a la fuerza electromotriz e.

Convertidor electromecnico elemental XV

I La aceleracin o retardo del sistema se puede calcularaplicando convenientemente la segunda ley de Newton:

a =dvdt

=1MF =

Fe +FmM

(11)

Donde:

F es la sumatoria de fuerzas aplicadasFe es la fuerza elctrica sobre el conductorFm es la fuerza mecnica resistenteM es la masa del conductor

Convertidor electromecnico elemental XVII Cuando la fuerza mecnica Fm equilibra a la fuerza

elctrica Fe, la aceleracin es cero y en ese instante secumple que:

Fm = Fe = l B i = l B (V B l v0

R

)(12)

I De la ecuacin 12 se obtiene la velocidad de operacin v0en funcin de la fuerza mecnica resistente:

v0 =V FmRBl

B l (13)

I La velocidad v0 corresponde a la operacin de la mquinacuando las fuerzas elctricas y mecnicas sobre elconductor estn en equilibrio.

Convertidor electromecnico elemental XVII

I Si en este momento se elimina la fuerza resistente Fm, elconductor se acelera en la direccin de la fuerza elctricaFe hasta alcanzar nuevamente la velocidad sincrnica.

I La exposicin anterior permite resumir en seis ecuacioneslos principios que rigen la conversin electromecnica deenerga:

E = vB (14)f = iB (15)

Convertidor electromecnico elemental XVIII

e = loE d l = E l = v B l (16)

F = lof d l = f l = i B l (17)

i =V eR

(18)

dvdt

=1MFa =

Fe +FmM

(19)

Convertidor electromecnico elemental XIX

I En el sistema de ecuaciones representado por lasexpresiones 14 a 19 se destacan los siguientes puntos:

I La ecuacin 16 calcula una variable elctrica (e) enfuncin de una variable mecnica (v) y el campo (B).

I La ecuacin 17 determina una variable mecnica (F ) enfuncin de una variable elctrica (i) y el campo (B).

I Las expresiones 16 y 17 dependen del conductor y delcampo en el cual est inmerso, por esta razn se denominanlas ecuaciones internas del convertidor electromecnico.

I Las ecuaciones 18 y 19 representan las relaciones entre elconductor mquina elctrica y el resto del universo.Estas ecuaciones se denominan ecuaciones de ligazn,ecuaciones de borde, ecuaciones de contorno o ecuacionesde frontera.

Curvas caractersticas I

I Para representar la curva caracterstica de la fuerzaelctrica sobre el conductor en funcin de la velocidad, sepuede utilizar la ecuacin 12:

Fe = i B l =(V eR

)B l = V B l

R (B l)

2

Rv(20)

I La ecuacin 20 representa la fuerza elctrica Fe como unarecta en funcin de la velocidad v del conductor.

I Cuando el conductor se encuentra en reposo (v = 0), lafuerza elctrica es igual al trmino independiente envelocidad.

I Si la fuerza elctrica es cero, la velocidad corresponde a lavelocidad sincrnica de la mquina.

Curvas caractersticas III Si se opone una fuerza constante de valor conocido, como

se observa en la figura siguiente, se determina un punto deequilibrio v0 en la interseccin de las caractersticaselctrica y mecnica.

Figura: Curva caracterstica de la mquina

Curvas caractersticas III

I En este caso v0 corresponde a la velocidad en la cual lafuerza elctrica Fe equilibra a la fuerza mecnica Fm, yconstituye un punto de operacin estable debido a quecualquier perturbacin en la velocidad mecnica delsistema tender a ser restituida a las condiciones previaspor las fuerzas actuantes sobre el conductor.

I Esta interseccin es un punto de operacin de rgimenpermanente para la mquina.

I En la figura se han marcado dos zonas (1) y (2).I En la zona (1), si la mquina arranca en contra de una

fuerza mecnica resistente constante, se acelera hastaalcanzar el punto de operacin permanente o punto deequilibrio v0 interseccin de las caractersticas.

Curvas caractersticas IV

I Esto ocurre debido a que esta zona de operacin, la fuerzaelctrica Fe, siempre es superior a la fuerza mecnica Fm.

I Si el sistema se encuentra originalmente en vaco, es decir,operando a velocidad sincrnica, sin carga mecnica yrepentinamente se aade una fuerza mecnica resistente, lafuerza elctrica es inferior a la mecnica y ocurre unproceso de retardo en la zona (2) de la figura.

I La velocidad disminuye desde la sincrnica hasta lavelocidad de operacin v0 en el punto de equilibrio.

I La fuerza mecnica Fm depende en general, para unaccionamiento fsico, de la velocidad del conductor.

Curvas caractersticas VI En la figura se muestra la curva caracterstica de la

mquina elctrica anterior, pero sometida a una fuerzamecnica dependiente de la velocidad.

Figura: Fuerza mecnica variable con la velocidad

Curvas caractersticas VII En este caso, al igual que en el anterior, v0 es un punto de

equilibrio estable ya que si se aumenta un diferencial lavelocidad del conductor por encima de v0, se origina unafuerza retardadora que hace regresar el conductor a laanterior condicin de operacin.

I Por el contrario, si la velocidad del conductor disminuyeen un diferencial, se produce una fuerza acelerante queincrementa la velocidad del conductor hasta alcanzar elpunto de equilibrio en v0.

I Al producirse un cambio en la tensin de la batera quealimenta al convertidor, la velocidad sincrnica de lamquina tambin vara, debido a que esta velocidad sedetermina cuando existe equilibrio entre la tensin de labatera y la fuerza electromotriz inducida en el conductor.

Curvas caractersticas VIII En la figura es posible definir una familia de curvas de

acuerdo a como se vare la tensin de la fuente.I Mediante la variacin de la tensin de la batera se puede

controlar la velocidad de operacin de la mquina.

Figura: Efecto de la variacin de la tensin de alimentacin

Curvas caractersticas VIII

I Tambin se puede controlar la mquina elemental variandola densidad de flujo magntico B.

I La variacin del campo produce un cambio en la pendientede la curva caracterstica de la mquina, ya que como seobserva en la ecuacin 20, esta variacin altera lapendiente de la caracterstica de forma cuadrtica y elpunto de corte en el eje de la fuerza (v = 0), de formalineal.

Curvas caractersticas IXI En la figura se ilustra esta situacin y como es posible

cambiar el punto de operacin de la mquina mediantevariaciones del campo magntico B.

Figura: Efecto de la variacin del campo B del convertidor

Curvas caractersticas X

I De los dos mtodos analizados para controlar el punto deoperacin de la mquina, la variacin del campomagntico tiene un inconveniente.

I Cuando el campo se reduce demasiado, la velocidadsincrnica aumenta considerablemente y se puede producirun fenmeno denominado embalamiento.

I El embalamiento es una aceleracin sbita debida a laprdida del campo en una mquina elctrica sin carga. Si lavelocidad sube a niveles peligrosos, puede ocurrirdeterioro de la mquina por fallas elctricas y mecnicas.

Balance energtico II En el balance de potencias desarrollado en la ecuacin 7

se lleg a la conclusin de que todo el proceso esconservativo sobre la base de que la potencia elctricadesarrollada por la mquina es igual a la potenciamecnica entregada por el sistema externo.

Figura: Modos de operacin del convertidor

Balance energtico II

I En general, todas las mquinas elctricas son reversibles ysu funcionamiento depende del sentido en que se transmitela potencia. Si la energa fluye del sistema elctrico almecnico, la mquina funciona como motor.

I Si el flujo de energa es del sistema mecnico al elctrico,el convertidor es un generador.

I Cuando el sistema elctrico y mecnico inyectan energa ala mquina, y esta energa se consume totalmente comoprdidas internas, esta condicin se denomina freno.

I La mquina se puede alimentar indistintamente conenerga elctrica o con energa mecnica.

Balance energtico III

I En la figura anterior se presenta un grfico de lacaracterstica fuerza-velocidad de la mquina analizadaanteriormente, con los diferentes modos de operacinfactibles para este convertidor.

I En la figura siguiente se muestra un esquema donde serealiza el balance energtico de la mquina en las trescondiciones de operacin posibles: motor, generador yfreno.

Balance energtico IV

Motor

Pm

Pe

Pm

Pe

Generador

Pm

Pe

Freno prdidas

prdidas prdidas(1) (2) (3)

Figura: Balance de potencia en los diversos modos de operacin

Balance energtico V

I En la zona (1), la velocidad del conductor es menor que lavelocidad sincrnica, la fuerza electromotriz inducida esmenor que la tensin aplicada externamente y la corrientetiene signo contrario a la fuerza electromotriz.

I En estas condiciones el conductor se desplaza en el mismosentido de la fuerza elctrica, es decir, esta fuerza realizatrabajo positivo y por lo tanto se est transformandoenerga elctrica en mecnica.

I La mquina est actuando como un motor.

Balance energtico VI

I En esta zona se satisfacen las siguientes condiciones:

e > 0e < Vi > 0

I En la zona (2), la velocidad del conductor es mayor que lavelocidad sincrnica y la fuerza electromotriz es mayorque la tensin aplicada, por esta razn la corriente y lafuerza elctrica invierten su sentido.

Balance energtico VII

I Para encontrar un punto de equilibrio la fuerza mecnicatambin debe invertir su sentido original.

I La fuerza mecnica ahora est entregando energa y elsistema se comporta como un generador.

I Las condiciones que imperan en esta zona de trabajo son:

e > 0e > Vi < 0

I En la zona (3), tanto la velocidad, como la fuerzaelectromotriz son negativas.

Balance energtico VIIII La fuerza mecnica est aplicada en el mismo sentido de la

velocidad negativa en este caso, por lo tanto el sistemamecnico entrega energa a la mquina.

I Simultneamente, la fuente de tensin entrega potenciaelctrica a la carga.

I En esta condicin toda la potencia entregada por el sistemamecnico y por el sistema elctrico se consume en laresistencia interna del conductor y se produce un grancalentamiento de la mquina.

I Este estado se conoce con el nombre de frenado elctrico yse caracteriza por las siguientes condiciones de operacin:

e < 0e < Vi > 0

Energa y coenerga en el campo II Un convertidor electromecnico de energa es unamquina elctrica. En general una mquina elctrica poseevarios ejes o puertos por los cuales fluye la energa.

I Estos ejes pueden ser de dos tipos: elctricos o mecnicos.I Esquemticamente se representan en la figura

Figura: Mquina elctrica y algunos de sus posibles ejes

Energa y coenerga en el campo II

I En los ejes elctricos de la mquina, las interacciones seanalizan conociendo las corrientes y tensiones.

I En los ejes mecnicos las variables que determinan lacondicin de operacin de la mquina son las velocidadesy fuerzas, si el movimiento es lineal, o el par y lavelocidad angular, si el movimiento es rotativo.

I La mquina elctrica ms simple requerira al menos uneje elctrico y un eje mecnico.

Energa y coenerga en el campo IIII El esquema bsico de esta mquina se ilustra en la figura:

I dWe es el diferencial de energa elctrica que entra en elconvertidor por el eje elctrico,

I dWm es el diferencial de energa mecnica que sale por eleje mecnico y

I dWc es el diferencial de energa que se almacena en loscampos elctrico y magntico de la mquina.

Figura: Mquina elctrica con un eje elctrico y un ejemecnico

Energa y coenerga en el campo IV

I En las mquinas elctricas, no toda la energa introducidaen los ejes elctricos se entrega en los ejes mecnicos oviceversa.

I Es necesario que parte de la energa elctrica se almaceneen los campos electromagnticos del convertidor.

I En un balance de la energa en la mquina elctrica esnecesario tener en cuenta la parte de la energa que fluyehacia y desde los campos elctricos y magnticos.

I En la figura anterior esta energa se representa por dWc .

Energa y coenerga en el campo V

I Del principio de conservacin de la energa se determina:

dWe = dWc +dWm (21)

I La energa acumulada en el campo no puede ser medida,pero es posible calcularla por la diferencia entre la energaelctrica y la mecnica:

dWc = dWedWm (22)

I La energa elctrica se determina a partir de la integral dela potencia elctrica en el tiempo.

Energa y coenerga en el campo VI

I Esta energa puede ser calculada directamente en el ejeelctrico de la mquina a partir de las medidas de tensin ycorriente instantnea:

We = t0Pe()d =

t0v() i()d =

t0v() i()d

(23)

Energa y coenerga en el campo VII

I Transformando las variables de la expresin anterior sepuede reescribir esta ecuacin en una forma msconveniente.

I Considerando que el sistema es conservativo, es decir, noexisten prdidas en elementos resistivos, la tensin v(t)aplicada a la mquina y la fuerza electromotriz inducidason iguales, y por lo tanto:

v(t) = e(t) =ddt

(24)

Energa y coenerga en el campo VIII

I En este caso, a partir de 23 y 24 se determina que:

We = t0v() i()d =

t0

ddt i()d =

=

(t) (0)

i(x , )d = (t) (0)

dWe (25)

Energa y coenerga en el campo IX

I De la expresin 25 se determina que el diferencial deenerga elctrica es dWe = i d .

I La ecuacin 25 indica que para obtener la energa elctricaque fluye por la mquina es necesario conocer solamentela dependencia de la corriente i(x , ) con respecto al flujo y a la posicin x del convertidor.

I Para determinar la variacin de la energa mecnica esnecesario conocer la velocidad y la fuerza en funcin deltiempo:

Wm = t0Pm()d =

t0F () x()d (26)

Energa y coenerga en el campo X

I Realizando cambio de variables sobre la ecuacin 26, seobtiene:

Wm = t0F () dx

dd =

x(t)x(0)

F (x , )dx = x(t)x(0)

dWm

(27)

Energa y coenerga en el campo XII Para analizar las relaciones anteriores se puede utilizar

como ejemplo el electro-imn que se ilustra en la siguientefigura

Figura: Diagrama i de un electro-imn elemental

Energa y coenerga en el campo XIII All se ha representado un grfico de la relacin existente

entre los enlaces de flujo y la corriente i , para doscondiciones extremas de la posicin relativa del yugo delelectro-imn.

I Para la misma corriente i , al disminuir la distancia x ,disminuye la reluctancia y se incrementan los enlaces deflujo .

I En el grfico i , la regin sombreada representa laintegral de la corriente i( ) con respecto a para unaposicin x fija.

I Como se ha determinado en la ecuacin 25, esta reginrepresenta la variacin de la energa elctrica en uncircuito magntico que se energiza manteniendo constantela posicin del yugo (x).

Energa y coenerga en el campo XIII

I En un sistema conservativo, la energa es una funcin deestado.

I Esto quiere decir que en estos sistemas el incremento deenerga acumulada no depende de la trayectoria utilizadapara alcanzar un determinado estado, sino del valor de lasvariables en los estados iniciales y finales del proceso.

I Para determinar la energa acumulada en el campo, esnecesario calcular la diferencia entre las energas elctricay mecnica del sistema despus del proceso.

Energa y coenerga en el campo XIV

I Si el sistema mecnico est detenido, no existe variacinen la energa mecnica del convertidor y por lo tanto todala energa elctrica que entra en la mquina se convierte enenerga acumulada en el campo, entonces:

We = (t) (0)

i(x , )d = Wc, si x = cte (28)

Energa y coenerga en el campo XV

I La ecuacin 28 se puede integrar por partes y se obtiene:

Wc = i(x , ) | (t) (0) i(t)i(0)

(x , i)di (29)

I En la ecuacin 29, el trmino integral de define comocoenerga en el campo y se expresa como W

c .

Energa y coenerga en el campo XVI

I En la figura siguiente se observa que la coenerga es el reabajo la caracterstica i .

Figura: Energa y coenerga en el campo

Energa y coenerga en el campo XVII

I En la figura 13 se observa que un sistema electromecnicodonde la posicin x es constante cumple la siguienterelacin:

i = Wc + W c (30)I De las definiciones anteriores de energa y coenerga en el

campo magntico se destacan las siguientes observaciones:

I Para la energa, el enlace de flujo es la variableindependiente, y la corriente i es la variable dependiente.

I Para la coenerga, la corriente i es la variable independientey el enlace de flujo es la variable dependiente.

Energa y coenerga en el campo XVIII

I Para calcular la fuerza Fe, se reducen los incrementos deenerga mecnica y de energa en el campo a valoresdiferenciales.

I Recordando que la energa acumulada en el campo de lamquina depende de los enlaces de flujo y de la posicinde la pieza mvil:

Wc = Wc(x , ) (31)

I El trabajo mecnico se define en su forma diferencialcomo:

dWm = Fe dx (32)

Energa y coenerga en el campo XIX

I A partir de las ecuaciones 3.27 y 3.29 se obtiene:

dWm = Fe dx =dWc(x , ) , si = cte. (33)

Energa y coenerga en el campo XX

I El diferencial total de la energa en el campo es:

dWc(x , ) =Wcx

dx +Wc

d (34)

I Como el enlace se considera constante, el segundo trminode la sumatoria de la ecuacin 34 es nulo y por lo tanto sededuce de 33 y de 34 que:

Fe dx = Wc(x , )x dx , si = cte. (35)

Energa y coenerga en el campo XXII Por identificacin de trminos en la ecuacin 35 se puede

calcular la fuerza sobre la pieza mvil en un proceso aenlace de flujo constante como:

Fe =Wc(x , )x , si = cte. (36)

La ecuacin anterior, tambin denominada principio de lostrabajos virtuales, indica que para calcular la fuerza Fesobre la pieza mvil, es necesario conocer la variacin dela energa del campo en funcin del desplazamiento,cuando se mantiene constante el enlace de flujo .

I Cuando en el convertidor, la energa acumulada en elcampo es independiente de la posicin, la fuerza elctricaes cero.

Energa y coenerga en el campo XXIII Si el convertidor electromecnico analizado anteriormente,

mantiene una caracterstica lineal entre el enlace de flujo yla corriente, la energa en el campo se puede evaluarmediante la siguiente expresin:

Wc =12 i = 1

2L(x) i2 = 1

22

L(x)(37)

I En la ecuacin anterior, L(x) representa la inductancia enfuncin de la posicin de la pieza mvil. La inductancia deuna bobina se determina a partir del nmero de vueltas N yde la permeanza del circuito magntico como:

L(x) = N2 (x) (38)

Energa y coenerga en el campo XXIII

I Para el electro-imn en anlisis, la permeanza del circuitomagntico es:

(x) =o A

2(x +d)(39)

Donde:0 es la permeabilidad del vaco 4pi107 HmA es el rea efectiva del magnetox es la separacin del yugod es la distancia entre el yugo y el circuito electro-imn

Energa y coenerga en el campo XXIV

I Sustituyendo la expresin 39 en 38 y este resultado en 37se obtiene:

Wc(x) =122(x +d)0A N2

2 (40)

y aplicando 36 a 40:

Fe =Wc(x , )x =2

0A N2(41)

I El mismo electro-imn permite analizar lo que sucede si elmovimiento se realiza muy lentamente.

Energa y coenerga en el campo XXVI Si el yugo se desplaza a una velocidad prcticamente cero,

la corriente se mantiene constante porque no se inducefuerza electromotriz debido a que los enlaces de flujocambian muy lentamente y su derivada con respecto altiempo es prcticamente nula.

I En la figura se muestra la situacin anterior.I En este caso, la energa mecnica se puede evaluar

mediante las diferencias de la coenerga en el campo entrela posicin x1 y la posicin x2.

I En la figura 14 se observa que para la condicin descrita:

Wm = Wc , si i = cte. (42)

Energa y coenerga en el campo XXVII La coenerga en el campo se calcula de la siguiente forma:

Wc =

i(t)i(0)

(x , i)di (43)

Figura: Clculo de la energa con desplazamientos muy lentosdel yugo

Energa y coenerga en el campo XXVII

I La coenerga en el campo depende de la posicin de lapieza mvil y de la corriente, por lo tanto:

dWm = Fe dx = dW c =W c(x , i)

xdx +

W c(x , i) i

di(44)

Durante el proceso, la corriente i no vara y por esta raznse puede determinar a partir de 44 que:

Fe =W c(x , i)

xsi i = cte. (45)

Energa y coenerga en el campo XXVIIII La fuerza elctrica originada en el convertidor

electromagntico depende de la variacin de la energa enel campo en funcin del desplazamiento cuando elmovimiento se realiza manteniendo constantes los enlacesde flujo.

I Si el movimiento se realiza manteniendo constante lacorriente, la fuerza elctrica depende de la variacin de lacoenerga en funcin de la posicin.

I Para calcular o medir una fuerza se utiliza el principio delos trabajos virtuales.

I Este mtodo consiste en evaluar las variaciones de laenerga o coenerga en el campo ante un desplazamientodiferencial.

I Cualquiera de los dos mtodos analizados anteriormente,permite calcular las fuerzas que aparecen sobre el sistema.

Energa y coenerga en el campo XXIXI Sin embargo, dependiendo de la forma como se presenten

los datos del convertidor, es ms fcil para determinar lafuerza utilizar los conceptos de energa o de coenerga.

I En los sistemas lineales el clculo puede ser realizado conigual facilidad por ambos mtodos.

I Cuando el sistema no es lineal, la facilidad o dificultad delclculo de fuerzas por uno u otro mtodo depende decules sean las variables independientes y cules lasdependientes.

I Si se conoce el enlace de flujo en funcin de las corrientes,el clculo por medio de la coenerga simplifica elproblema.

I Si la corriente se expresa como funcin de los enlaces, laenerga es el mejor mtodo para determinar la fuerza queaparece en la mquina.

Ecuaciones internas del convertidor I

I En la figura siguiente se representa una mquina elctricaconstituida por un electro-imn alimentado por una bobinay una pieza mvil sobre la que actan dos fuerzas, lafuerza elctrica Fe producida por la interaccinelectromagntica del dispositivo y una fuerza externa Fmde naturaleza mecnica.

Ecuaciones internas del convertidor II

Figura: Electro-imn sometido a fuerzas internas y externas

Ecuaciones internas del convertidor III

I En general la fuerza elctrica no tiene por qu ser igual a lafuerza mecnica.

I En el sistema mecnico ilustrado en la figura siguiente, lastensiones de las cuerdas no estn necesariamenteequilibradas.

Figura: Sistema mecnico elemental sin equilibrio de fuerzas

Ecuaciones internas del convertidor IV

I En el ejemplo de la figura 16, la fuerza F1 es diferente a lafuerza F2, ya que:

F1 = (m+M) a (46)

F2 = m a (47)I El razonamiento anterior es vlido tambin para el

electro-imn de la figura ante-anterior.

Ecuaciones internas del convertidor V

I La fuerza mecnica en el extremo del yugo se determinamediante la segunda ley de Newton:

Fm =Fe +M x + x (48)

Donde:

Fe es la fuerza elctricaM x es la fuerza producida por la aceleracin de la pieza mvil x es la fuerza producida por el rozamiento de la pieza es el coeficiente de roce

Ecuaciones internas del convertidor VI

I La ecuacin 48 se puede escribir mediante la expresin 45como:

Fm =Wc(x , i)x

+M x + x (49)I La ecuacin del equilibrio elctrico en la mquina es:

v = R i +e = R i + d (x , i)dt

(50)

Ecuaciones internas del convertidor VII

I Si se conoce la relacin entre los enlaces de flujo (x , i) ola corriente i( ,x), el sistema queda completamentedefinido ya que se puede evaluar la energa o la coenergaen el campo:

Wc = 0i( ,x)d (51)

Wc =

i0 (i ,x)di (52)

I La expresin 49 determina el comportamiento dinmicodel sistema ilustrado en la figura del electroimn si seconoce la fuerza mecnica Fm.

Ecuaciones internas del convertidor VIII

I Si el sistema es lineal, la relacin entre los enlaces de flujoy la corriente viene expresada mediante la ecuacin (i ,x) = L(x) i .

I En esa ecuacin, la inductancia L depende de la posicindel yugo, es decir L = L(x). Por esta razn:

i = i( ,x) =1

L(x) (i ,x) = (x) (i ,x) (53)

Donde:

(x) es la inductancia inversa L1.

Ecuaciones internas del convertidor IX

I Mediante la ecuacin 53, la dinmica del electro-imnqueda completamente determinada. Como el sistema eslineal:

Wc =

i0 (i ,x)di =

i0L(x) i di = 1

2L(x) i2 (54)

I Sustituyendo la ecuacin 54 en la ecuacin 49 se obtiene:

Fm =Wc

x+Mx + x =1

2dL(x)dx

i2 +Mx + x(55)

Ecuaciones internas del convertidor XI La ecuacin 55 representa el equilibrio de fuerzas sobre la

pieza mvil. La ecuacin que representa el circuitoelctrico del sistema es:

v = R i + ddt

(L(x) i) = R i + dL(x)dt dxdt i +L(x) di

dt(56)

I Definiendo (x) como:

(x) dL(x)dt

(57)

I la ecuacin elctrica de la mquina, a partir de 56 y 57, es:

v = R i + (x) x i +L(x) didt

(58)

Ecuaciones internas del convertidor XI

I En la expresin anterior, el primer sumando representa lacada de tensin en la resistencia de la bobina, el segundorepresenta la fuerza electromotriz inducida en la bobinapor el movimiento del yugo y el tercer sumando representala fuerza electromotriz inducida por variacin de lacorriente en la bobina.

Ecuaciones internas del convertidor XII

I De forma compacta, la ecuacin 58 se puede escribircomo:

v = R i +eG +eT (59)Donde:

e es la fuerza electromotriz total compuesta por eG y eTeG es el trmino que depende de la velocidad de la pieza mvilde la mquina, denominado trmino de generacineT es el trmino que depende de la variacin de la corriente enla mquina, denominado trmino de transformacin

Ecuaciones internas del convertidor XIII

I Cuando la corriente es cero, puede existir fuerzaelectromotriz de transformacin, pero no de generacincomo se observa en la ecuacin 58.

I En conclusin, las ecuaciones internas de la mquina sepueden escribir, en funcin de la coenerga:

Fm =12(x) i2 +M x + x (60)

o, en funcin de la energa:

Fm =12d(x)dx

2 +M x + x (61)

y la ecuacin elctrica 58.

Ecuaciones internas del convertidor XIV

I Las variables que definen el estado del sistema en lasecuaciones 60, 61 y 58 son la corriente i , la posicin x y lavelocidad x .

I Realizando el cambio de variables x = u, las ecuacionesanteriores se pueden expresar de la siguiente forma:

Fm =12(x) i2 +M u+ uv = R i + (x) u i +L(x) didt

x = u(62)

Ecuaciones internas del convertidor XV

I Representando el sistema de ecuaciones diferenciales 62en la forma cannica x = A(x)x+Bu, se obtiene:

didt = 1L(x) [R i + (x) i u] + 1L(x)v(t)u = 1M

[12(x) i2 u

]+ 1MFm(t)

x = u

(63)

Ecuaciones internas del convertidor XVI

I Para determinar la solucin de este sistema de ecuacionesdiferenciales no lineales, es necesario conocer:

I Las condiciones iniciales de las variables de estado i(0),u(0) y x(0).

I Las condiciones de borde o ligazones externas.

I En el presente caso definidas por las excitaciones en eltiempo de la fuerza mecnica Fm(t) aplicada al yugo y latensin v(t) aplicada a la bobina del electro-imn.

Ecuaciones de potencia I

I La potencia utilizada por el convertidor electromecnicoen el eje mecnico de la mquina de la figura 15 se puedecalcular a partir de la fuerza mecnica y de la velocidad delyugo:

Pm = Fm x =12(x) i2 x +M x x + x2 (64)

I La potencia absorbida por el eje elctrico es:

Pe = v i =R i2+(x) x i+L(x) didt i =R i2+eG i+eT i

(65)

Ecuaciones de potencia II

I Para que la mquina anterior pueda trabajar en un rgimencontinuo, con corriente y velocidad constante,despreciando las prdidas de friccin ( = 0), y lasprdidas por efecto Joule en los conductores (R = 0),mediante las ecuaciones 64 y 65 se observa que:

Pm =12eG i (66)

Pe = eG i (67)

Ecuaciones de potencia IIII Las expresiones 64 y 65 indican que en las condiciones

anteriores, la mquina absorbe permanentemente por el ejeelctrico el doble de la potencia mecnica que estutilizando.

I La diferencia entre estas dos potencias slo puede seralmacenada en el campo. En la figura siguiente serepresenta esta situacin.

Figura: Balance energtico de una mquina elctrica en rgimencontinuo

Ecuaciones de potencia IV

I De toda la potencia que es inyectada en el eje elctrico, el50% se convierte en energa mecnica y el otro 50% sealmacena en el campo.

I Como la corriente es constante, el trmino detransformacin (eT i) es cero y el campo no puededevolver al sistema la energa que le ha sido entregada enel proceso de conversin.

I Si una mquina elctrica se mantiene todo el tiempooperando en esta situacin, acumula de forma indefinidaenerga en el campo.

Ecuaciones de potencia V

I Esto no es factible para un sistema fsico real. La solucindel problema planteado consiste en permitir la variacin dela corriente.

I Con la variacin de la corriente aparece el trmino detransformacin (eT i) que compensa el trmino degeneracin (12eG i).

I Por esta razn no es posible construir un mquina quefuncione slo con corriente continua.

I En todas las mquinas elctricas es necesaria la variacinde las corrientes para permitir una operacin en rgimenpermanente.

Ecuaciones de potencia VI

I La argumentacin anterior se puede cuestionar debido aque son muy frecuentes en la industria las Mquinas decorriente continua.

I Sin embargo en este caso el trmino corriente continua seaplica a la fuente utilizada para alimentar el convertidor.

I Las mquinas de corriente continua requieren de undispositivo inversor electromecnico las escobillas y elcolector que permite la variacin de las corrientes en losdevanados de la mquina.

I Tambin parecen contradecir esta argumentacin losprincipios de funcionamiento de las mquinashomopolares y los convertidores magneto-hidrodinmicos.

Ecuaciones de potencia VII

I En ambos casos, estas mquinas funcionan con corrientecontinua, pero la corriente no siempre circula por el mismomaterial.

I Si un observador se mueve solidario con el medioconductor, el disco en el caso homopolar y el fluido en lamquina magnetohidrodinmica, puede medir la variacinde las corrientes al aproximarse y alejarse del punto deinyeccin.

Ecuaciones de potencia VIII

I En otras palabras, estas mquinas son equivalentes a las decorriente continua, pero si en ellas el proceso de variacinde las corrientes se realiza de forma discreta mediante elcolector y las escobillas, en las homopolares ymagnetohidrodinmicas el proceso de variacin de lascorrientes se lleva a cabo de forma continua mediante unproceso de acercamiento y alejamiento del punto deinyeccin de la corriente.

Ecuaciones de potencia IX

(a) Convertidor homopolar (b) Bombamagnetohidrodinmica

Figura: Mquinas de corriente continua

Ecuaciones de potencia X

I Por lo tanto en ningn caso conocido, la experienciacontradice la necesidad terica de variacin de la corrientepara el funcionamiento en rgimen permanente de losconvertidores electromecnicos de energa.

Generalizacin de las ecuaciones II En una mquina con dos ejes elctricos y un eje mecnico,

como la ilustrada en la figura siguiente, se satisface lasiguiente relacin para la evaluacin de la fuerza elctricasobre la pieza mvil:

Figura: Mquina con dos ejes elctricos y un eje mecnico

Fe =Wc(x ,1,2)x (68)

Generalizacin de las ecuaciones II

I Para demostrar la validez de la ecuacin 66 se deberecordar que en un sistema mecnico de este tipo, si sevara la posicin x , el intercambio energtico se produceentre los ejes elctricos y el eje mecnico.

I Si la posicin permanece fija, el intercambio energtico serealiza entre los ejes elctricos nicamente.

I La ecuacin 66 mantiene la validez en el clculo de lafuerza en un sistema con dos ejes elctricos, ya que laecuacin 37 se demostr para el caso en el que los enlacesde flujo se mantienen constantes.

Generalizacin de las ecuaciones III

I Si el enlace de flujo es constante, las fuerzaselectromotrices son cero y no puede entrar energa hacia elcampo desde ninguno de los ejes elctricos.

I Por esta razn se cumplen las mismas condiciones en laexpresin 66 que en la 37. De todo esto se concluye que escompletamente general su aplicacin.

Generalizacin de las ecuaciones IV

I Cualquiera que sea el nmero de ejes elctricos omecnicos de un convertidor electromecnico, paracalcular la fuerza elctrica se puede utilizar una expresinsimilar a la ecuacin 66, siempre y cuando el movimientose realice slo en uno de los ejes mecnicos y semantengan constantes todos los enlaces de flujo en los ejeselctricos.

I La expresin generalizada para el clculo de la fuerzaelctrica es:

Fer =Wc(x1,x2, ...,xr , ...,xn,1,2, ...,m)

xr(69)

Generalizacin de las ecuaciones VI La ecuacin 69 determina la fuerza elctrica que aparece

sobre el eje mecnico r . Para este fin, se calcula la derivadaparcial de la energa en el campo con respecto a la posicindel eje r , manteniendo constantes las posiciones de losotros ejes mecnicos y los enlaces de flujo de todos los ejeselctricos.

I En el sistema de la figura 19, si la posicin x se mantieneconstante, la energa acumulada en el campo es igual a laenerga elctrica:

dWc = dWe , si x = cte. (70)

I La energa elctrica se puede calcular como:

dWc = dWe = i1d1 + i2d2 , si x = cte. (71)

Generalizacin de las ecuaciones VI

I Si se conoce cmo varan las corrientes con los enlaces deflujo y con la posicin, el problema queda resuelto, esdecir: {

i1 = f1(x ,1,2)i2 = f2(x ,1,2)

(72)

I En los casos lineales se puede establecer:{1 = L11i1 +L12i22 = L21i1 +L22i2

(73)

Generalizacin de las ecuaciones VII

I Matricialmente la expresin 71 se puede escribir como:

[ ] = [L] [i ] (74)

Donde:

[ ] =[12

]; [i ] =

[i1i2

]; [L] =

[L11 L12L21 L22

]

Generalizacin de las ecuaciones VIII

I Empleando lgebra matricial, se puede determinar lacorriente [i ] en funcin de los enlaces [ ]:

[i ] = [L]1 [ ] = [] [ ] (75)

La expresin 75 en forma explcita es:[i1i2

]=

[11(x) 12(x)21(x) 22(x)

][12

](76)

I Para calcular la energa en el campo, es necesario variarcada uno de los parmetros en forma sucesiva, desde suvalor inicial a su valor final, mientras todas las otrasvariables de estado se mantienen constantes.

Generalizacin de las ecuaciones IXI Para evaluar la energa acumulada en el campo, se realiza

el siguiente procedimiento:

Wc = (x ,1,2)(0,0,0)

dWc =

=

(x ,0,0)(0,0,0)

dWc + (x ,1,0)(x ,0,0)

dWc + (x ,1,2)(x ,1,0)

dWc (77)

I La primera integral de la sumatoria de la ecuacin 77 escero, debido a que los enlaces de flujo son cero mientras semueve el yugo de la mquina.

I Como no existe variacin de los enlaces, no existen fuerzaselectromotrices y por lo tanto no se inyecta potenciaelctrica desde los ejes elctricos hacia el campo.

Generalizacin de las ecuaciones XI Al no existir enlaces de flujo, para realizar el

desplazamiento mecnico x no es necesario consumir nisuministrar energa.

I Para la evaluacin de los dos trminos restantes de laecuacin 77, se sustituyen las ecuaciones 71 y 76:

Wc = (x ,1,0)(x ,0,0)

(111 + 122)d1 + (211 + 222)d2 +

+

(x ,1,2)(x ,1,0)

(111 + 122)d1 + (211 + 222)d2 =

=12

1121 + 2112 +12

2222 (78)

I En el clculo de las integrales de la ecuacin 78 se asumeque 12 es igual a 21, condicin de simetra siemprevlida para los sistemas fsicos.

Generalizacin de las ecuaciones XII Generalizando el clculo anterior mediante el lgebra de

matrices, se tiene:

dWc = dWe = [i ]t [d ] , si x = cte. (79)

I De la ecuacin 76 y recordando la propiedad sobre latraspuesta de un producto de matrices:

[i ]t = [ ]t []t (80)

I Se obtiene la energa acumulada en el campo como:

Wc = (x ,1,2)(0,0,0)

[ ]t [(x)]t [d ] =12

[ ]t [(x)]t [ ]

(81)

Generalizacin de las ecuaciones XIII Si se deriva parcialmente la ecuacin 81 con respecto a la

posicin x , se encuentra la fuerza elctrica Fe que actasobre la pieza mvil:

Fe =Wc(x , [ ])x =12

[ ]tddx

([(x)]t

)[ ] (82)

I Por un razonamiento semejante, pero aplicado a lacoenerga, se puede deducir que:

Wc =

12

[i ]t [L(x)]t [i ] (83)

I La fuerza elctrica sobre la pieza se puede calcular como:

Fe =W c(x , [i ])

x=12

[i ]tddx

([L(x)]t

)[i ] =

12

[i ]t [(x)]t [i ](84)

Generalizacin de las ecuaciones XIII

I Las ecuaciones 82 y 84 son vlidas para un nmerocualquiera de ejes elctricos, pero para un eje mecnicosolamente.

I La mayora de las mquinas elctricas poseen un solo ejemecnico, pero si existen ms, es necesario calcular lasderivadas parciales de la energa o de la coenerga, segnsea el caso, con respecto a cada una de las variables quedefinen la posicin de cada eje mecnico(x1,x2,x3, ...,xn).

Generalizacin de las ecuaciones XIV

I Si el eje mecnico es rotativo o giratorio, como serepresenta en la figura siguiente, la matriz de inductanciase define en funcin del ngulo y no se calculan fuerzassino pares elctricos y mecnicos.

Figura: Electro-imn con yugo rotativo

Generalizacin de las ecuaciones XV

I Las ecuaciones del convertidor en este caso son:

Te =12

[i ]t [( )]t [i ] (85)

Donde:

[( )] =dd

[L( )]

Generalizacin de las ecuaciones XVII Las ecuaciones de equilibrio elctrico y mecnico de un

convertidor electromecnico lineal con mltiples ejeselctricos y un eje mecnico son:

[i ] = [R] [i ] + [e] =

= [R] [i ] +ddt

[ ] =

= [R] [i ] +ddx

[L(x)] x [i ] + [L(x)]d [i ]dt

=

= [R] [i ] + [(x)] x [i ] + [L(x)]d [i ]dt

(86)

Fm =12 [i ]t [(x)]t [i ] +Mx + x (87)

Generalizacin de las ecuaciones XVII

I En las ecuaciones 86 y 87 se observa que la informacinque determina la dinmica y el comportamiento de lamquina elctrica est contenida en la matriz [L(x)].

I A partir de esta matriz, se obtiene la matriz [(x)], y conestas dos matrices y los elementos de ligazn con lossistemas elctricos y mecnicos externos, se formulan lasecuaciones completas del convertidor.

Transformacin de coordenadas I

I El sistema de ecuaciones diferenciales que modela elcomportamiento de la mquina elctrica, no es lineal. Ladependencia en de este modelo dificulta notablemente lasolucin de cualquier problema.

I La transformacin de las ecuaciones diferenciales a nuevossistemas de coordenadas simplifica en muchos casos estemodelo.

I Un nuevo sistema de coordenadas se puede definirmediante una matriz de transformacin aplicada a lasvariables en coordenadas primitivas y . Las tensiones ycorrientes en el nuevo sistema transformado son:[

vee,r r]

=[Awxyz

][vwxyz

](88)

Transformacin de coordenadas II

[iee,r r

]=[Awxyz

][iwxyz

](89)

Donde:

Awxyz es la matriz de transformacinvee,r r son las tensiones en coordenadas primitivasvwxyz son las tensiones en las nuevas coordenadasiee,r r son las corrientes en coordenadas primitivasiwxyz son las corrientes en las nuevas coordenadas

Transformacin de coordenadas IIII La potencia en coordenadas primitivas se puede calcular

mediante la expresin:

p =[iee,r r

]t [vee,r r ] (90)I En la expresin 90, el asterisco () indica que el vector de

corrientes se debe conjugar en caso de ser complejo y elsuperndice t representa una trasposicin del vector decorrientes para que el producto matricial con el vector detensiones sea conformable.

I Sustituyendo en la ecuacin 90 las definiciones 88 y 89, seobtiene:

p =[iwxyz

]t [Awxyz]t [Awxyz][vwxyz] (91)

Transformacin de coordenadas IV

I Para que la transformacin utilizada[Awxyz

]sea invariante

en potencia es necesario que:[Awxyz

]t [Awxyz]= [I] (92)I En la ecuacin 92, [I] es la matriz identidad. De esta

expresin se obtiene:[Awxyz

]t=[Awxyz

]1 (93)

Transformacin de coordenadas VI Una matriz que satisface la condicin 93 se denominahermitiana o hermtica.

I La ecuacin 93 indica que si en la matriz detransformacin de coordenadas, su conjugada traspuesta esidntica a la matriz inversa, dicha transformacin esconservativa en potencia.

I En otras palabras, una transformacin hermitiana permitecalcular las potencias en las variables transformadas sinnecesidad de regresar a las coordenadas primitivas.

I Las ecuaciones de los ejes elctricos de la mquina sepueden escribir como:[v ,

]=[[R ,

]+[L ,

]p+

[ ,

]][i ,

](94)

Transformacin de coordenadas VI

I Transformando las coordenadas en la ecuacin 94 seobtiene:

[Awxyz ] [vwxyz ] =

=[[R ,

]+[L ,

]p+

[ ,

]][Awxyz ] [iwxyz ] (95)

Transformacin de coordenadas VII

I Despejando de 95 el vector de tensiones se obtiene:[vwxyz

]=

{[Awxyz

]1 [R , ][Awxyz]+ + [Awxyz]1 [L , ][Awxyz]p+ + [Awxyz]1 [L , ] ddt [Awxyz]+ + [Awxyz]1 [ , ][Awxyz]}[iwxyz](96)

Transformacin de coordenadas VIII

I La ecuacin ?? se puede escribir utilizando las siguientesdefiniciones:[

Rwxyz] [Awxyz]1 [R , ][Awxyz] (97)

[Lwxyz

] [Awxyz]1 [L , ][Awxyz] (98)[wxyz

] [Awxyz]1 [ , ][Awxyz] (99)

Transformacin de coordenadas IX

I Como la matriz de transformacin puede depender engeneral de la posicin angular , se obtiene:

ddt[Awxyz

]=

dd[Awxyz

] ddt

(100)

y definiendo:

[Hwxyz

] [Awxyz]1 [L , ] dd [Awxyz] (101)

Transformacin de coordenadas XI Se puede escribir la ecuacin ?? como:[

vwxyz]

=[[Rwxyz

]+[Lwxyz

]p+

[[wxyz

]+[Hwxyz

]]][iwxyz

](102)

I En la ecuacin 102, el segundo trmino de la sumatoria,corresponde a las fuerzas electromotrices detransformacin y el trmino tercero a las fuerzaselectromotrices de generacin.

I Este ltimo trmino se descompone en dos partes, por unlado la matriz de par

[wxyz

]y por otro la matriz

[Hwxyz

]que reproduce los trminos de generacin originados por elmovimiento relativo de los ejes transformados conrespecto a los ejes reales.

I La matriz[Hwxyz

]determina los trminos no-holonmicos

debidos a la transformacin de coordenadas.

Transformacin de coordenadas XI

I La ecuacin dinmica de la mquina se expresa como:

Tm =12[i ,

]t [ , ][i , ]+J + (103)I Transformando la ecuacin 103 a las nuevas coordenadas:

Tm =12[iwxyz

]t [Awxyz]t [ , ][Awxyz][iwxyz]+J +(104)

Transformacin de coordenadas XII

I y sustituyendo la ecuacin 99 en 104:

Tm =12[iwxyz

]t [wxyz][iwxyz]+J + (105)I Las ecuaciones 102 y 105 representan a la mquina

elctrica en un nuevo sistema de coordenadas.I Mediante una seleccin apropiada de la matriz de

transformacin[Awxyz

], es posible encontrar una solucin

ms simple al sistema de ecuaciones diferenciales quedefinen el comportamiento de la mquina.

Transformacin de coordenadas dq I

Figura: Transformacin de coordenadas de del rotor a dq del rotor

Transformacin de coordenadas dq II

I Una transformacin til en el anlisis de las mquinaselctricas rotativas consiste en proyectar las coordenadasdel rotor en ejes colineales con los ejes del estator.

I Estos nuevos ejes se denominan directo dr y cuadraturaqr ; esta transformacin permite anular el movimiento delas bobinas del rotor y las inductancias entre el estator y elrotor son constantes en el sistema de coordenadastransformadas.

I En la figura 21 se ha representado un diagrama con latransformacin propuesta.

Transformacin de coordenadas dq IIII En esta transformacin, las tensiones y corrientes

correspondientes a las coordenadas primitivas del rotor sonreferidas a nuevas tensiones y corrientes inyectadas enbobinas fijas en el espacio.

I Los ejes del estator permanecen inalterados en las nuevascoordenadas.

I La matriz de transformacin de coordenadas se puedeparticionar de la siguiente forma:

[Adq

]=

[[Aee] [0]

[0] [Arr ]

](106)

Transformacin de coordenadas dq IV

I Las coordenadas del estator no cambian en latransformacin, por esta razn la submatriz [Aee] debe serunitaria:

[Aee] =[1 00 1

](107)

I Para determinar [Arr ] se debe recordar que:[irr

]= [Arr ]

[idrqr

](108)

Transformacin de coordenadas dq V

I La matriz [Arr ] corresponde a la proyeccin de los ejes ry r sobre los ejes dr y qr solidarios con el estator.

I Esta transformacin es una rotacin inversa que anula larotacin del rotor de la mquina.

I De la figura 21 se deduce que la transformacin decoordenadas es:

[Arr ] =[

cos sensen cos

](109)

Transformacin de coordenadas dq VI

I La matriz obtenida en la ecuacin 109 es hermitiana y sutraspuesta conjugada es igual a su inversa:

[Arr ]1 =[

cos sensen cos

]1=

=1

cos2 +sen2

[cos sensen cos

]= [Arr ]t (110)

Transformacin de coordenadas dq VII

I Definida la transformacin de coordenadas[Arr ], es posibledeterminar las matrices transformadas

[Rdq

],[Ldq

],[

dq]y[Hdq

].

Matriz de resistencias en coordenadas dq I

I La matriz de resistencia[Rdq

]en las nuevas

coordenadas es:[Rdq

]=[Adq

]1 [R , ][Adq]==

[[I] [0][0] [Arr ]t

]1 [ Re [I] [0][0] Rr [I]

][[I] [0][0] [Arr ]

](111)

Matriz de resistencias en coordenadas dq II

I Efectuando el triple producto matricial de la ecuacin 111se obtiene: [

Rdq]

=

[Re [I] [0]

[0] Rr [I]

](112)

I Como se observa en la ecuacin 112, la transformacinaplicada no modifica la matriz original de resistencias.

I Esto es de esperar, debido a que las resistencias nodependen de la posicin del rotor y no existe acoplamientogalvnico entre las bobinas.

Matriz de inductancias en coordenadas dq I

I Si se aplica la transformacin a la matriz de inductancia[L ,

]se obtiene:[

L ,dq]

=[A ,dq

]1 [L , ][A ,dq]=[Le [I] Ler [I]Ler [I] Lr [I]

]=

Le 0 Ler 00 Le 0 LerLer 0 Lr 00 Ler 0 Lr

(113)

Matriz de inductancias en coordenadas dq II

I En la ecuacin 113 se observa que la matriz deinductancias transformadas es independiente de la posicinangular del rotor.

I Esto es debido a la rotacin en sentido inverso de latransformacin, que con los ejes del rotor convierte lasinductancias solidarias en inductancias que giran en contrade la posicin angular del rotor y por tanto mantienen unaposicin constante con respecto a los ejes y del estator.

I Matrices de generacin en coordenadas dq

Matriz de inductancias en coordenadas dq III

I Aplicando el mismo procedimiento a la matriz de par[ ,

]se obtiene:[ ,dq

]=[A ,dq

]1 [ , ][A ,dq]==

0 0 0 Ler0 0 Ler 00 Ler 0 0Ler 0 0 0

(114)

Matriz de inductancias en coordenadas dq IV

I Igual que con la matriz de inductancia[L ,dq

], la matriz

de par[ ,dq

]es independiente del ngulo . La matriz

de trminos de generacin no-holonmicos[H ,dq

]se

puede calcular como:

[H ,dq

]=[A ,dq

]1 [L , ] dd [A ,dq]==

0 0 0 Ler0 0 Ler 00 0 0 Lr0 0 Lr 0

(115)

Matriz de inductancias en coordenadas dq V

I La matriz de generacin[G ,dq

]se define de la siguiente

forma: [G ,dq

]=[ ,dq

]+[H ,dq

]=

=

0 0 0 00 0 0 00 Ler 0 LrLer 0 Lr 0

(116)

Ecuaciones generales en coordenadas dq I

I Las ecuaciones de tensin para la mquina en coordenadastransformadasdq son:

vevevdrvqr

=

Re+Lep 0 Lerp 00 Re+Lep 0 Lerp

Lerp Ler Rr +Lrp LrLer Lerp Lr Rr +Lrp

ieieidriqr

(117)

I La ecuacin 117 representa a la mquina elctrica encoordenadas dq.

Ecuaciones generales en coordenadas dq II

I La construccin de una mquina como sta es posiblefsicamente mediante la incorporacin de un par deconmutadores como los que se ilustran en la figura 22.

I El colector permite que las inductancias propias y mutuasvistas desde el estator sean independientes de la posicindel rotor.

I Las escobillas o carbones que recolectan la corriente,neutralizan el efecto del giro de forma anloga a lo querealiza la transformacin

[A ,dq

].

I Los trminos de la ecuacin 117 se pueden identificarfcilmente en el modelo de la figura 22.

Ecuaciones generales en coordenadas dq IIII Es necesario destacar que los signos negativos tienen su

origen en el sentido de giro de la mquina, lasconvenciones de polaridad y la posicin relativa de los ejes, , d y q.

I Para completar las ecuaciones que definen elcomportamiento de la mquina elctrica en lascoordenadas dq, es necesario calcular el par elctrico:

Te =12

ieieidriqr

1

0 0 0 Ler0 0 Ler 00 Ler 0 0Ler 0 0 0

ieieidriqr

== Ler

(ie idr ie iqr

)(118)

Ecuaciones generales en coordenadas dq IV

Figura: Modelo esquemtico de la mquina generalizada

Ecuaciones generales en coordenadas dq V

I La ecuacin de balance del par mecnico es:

Tm = Ler(ie idr ie iqr

)+J + (119)

I La condicin necesaria para la existencia del par elctricorequiere que existan al menos dos corrientes, una en elestator y otra en el rotor, y que esas corrientes seencuentren en ejes ortogonales del modelo de la mquinageneralizada.

Tarea Parte I I

1. En la figura se muestra el diagrama esquemtico de unconvertidor electromecnico de energa constituido por unafuente de tensin V = 1,0V y un conductor de masaM = 0,1kg, que se mueve ortogonalmente hacia un campomagntico uniforme B = 1,0T . La resistencia de losconductores est distribuida y depende de la longitud delcamino que conecta la fuente con el conductor mvil(R = 1+2x ). Al movimiento del conductor se oponeuna fuerza mecnica Fm = 1,0N . En estas condicionesdetermine:

1.1 Las ecuaciones diferenciales completas que rigen elcomportamiento del convertidor electromecnico.

1.2 La trayectoria descrita por el conductor mvil, si en elinstante inicial t = 0, la posicin de este elemento esx(0) = 1,0m y parte de la condicin de reposo1.

Tarea Parte I II

1.3 La trayectoria del conductor utilizando mtodos analticosy numricos (comparacin) de solucin suponiendo queahora la resistencia es concentrada y de valor constante2

5.

Figura: Conductor movindose en un campo uniforme

Tarea Parte I III2. En la figura se ha representado un convertidor

electromecnico compuesto por un electroimn y su yugo.El electroimn tiene una bobina de 1,000 vueltas,alimentada con una fuente de corriente alterna de 100Vefectivos y su resistencia es de 5. En el yugo existe otrabobina de 500 vueltas que se encuentra en cortocircuito yposee una resistencia de 10. El yugo tiene una masa de250g y est conectado mediante un resorte de 104Nm aun sistema inercial. En la posicin de reposo del resorte, elyugo se encuentra a 5mm del electroimn. La seccintransversal del material electromagntico es de 25cm2 yla longitud media del camino magntico sin considerar elentrehierro es de 48cm. La permeabilidad relativa delmaterial magntico es 2,000. El material se consideralineal en todo el rango de la densidad de flujo. En estascondiciones determine:

Tarea Parte I IV

2.1 La relacin entre los enlaces de flujo y las corrientes enfuncin de la posicin del yugo.

2.2 Las ecuaciones dinmicas completas del convertidor.2.3 La solucin en rgimen permanente, considerando que la

inercia mecnica del sistema elimina las vibracionesmecnicas del yugo posicin de equilibrio.

2.4 La potencia de prdidas del convertidor en rgimenpermanente.

Tarea Parte I V

Figura: Diagrama esquemtico del problema N. 2

Tarea Parte I VI3. Una mquina de rotor y estator cilndrico tiene dos bobinas

ortogonales en el estator y una en el rotor. El dimetro delrotor es de 15cm, la longitud axial de la mquina es de20cm y el entrehierro es de 1,5mm. Las bobinas delestator tienen 200 vueltas y se alimentan con tensionessinusoidales de 110V efectivos, 60Hz, desfasadas una deotra pi2 . El material ferromagntico del convertidor tieneuna permeanza relativa de 1.000. La bobina del rotor tiene1.000 vueltas y por ella circula una corriente de 0,5A. Elmximo acoplamiento entre las bobinas del rotor y delestator es de 90% y la dispersin en la bobina rotrica esel doble que en cada una de las bobinas del estator.Conocidos todos estos datos:

3.1 Calcule todos los parmetros del modelo de la mquina ylas ecuaciones completas que determinan sucomportamiento dinmico.

Tarea Parte I VII

3.2 Convierta las ecuaciones del estator a coordenadas dq ycalcule el par elctrico de la mquina, cuando el rotor giraa velocidad sincrnica y se encuentra adelantado pi6 conrespecto al eje magntico de la fase a.

3.3 Calcule las corrientes del estator en rgimen permanente silas bobinas del estator se encuentran en cortocircuito.

1Debido a la no-linealidad existente en el modelo matemtico delconvertidor utilice un programa para resolver numricamente este problema.

2Las condiciones iniciales coinciden con las indicadas en el punto 2 deeste problema.