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Prof. Jorge Castro Monge, M.Sc. | INTRODUCCIÓN A LA TEORÍA DE CONJUNTOS 1

INTRODUCCIÓN A LA TEORÍA DE CONJUNTOS

EL CONCEPTO DE CONJUNTO ES FUNDAMENTAL EN MATEMÁTICA, incluso más que la opera-ción de contar, pues se puede encontrar implícita o explícitamente, en todas las ramas de las ma-temáticas puras y aplicadas. En su forma explícita, los principios y terminología de los conjuntos se utilizan para construir proposiciones matemáticas más claras y precisas y para explicar conceptos abstractos como él.

DEFINICIONES

Sabemos que la palabra conjunto implica la idea de una colección de objetos que se caracterizan en algo común.

En matemática tiene el mismo significado, sólo que a estos objetos se les llama elementos o miembros del conjunto.

La noción simple de una colección o conjunto de objetos es fundamental en la estructura básica de las matemáticas y fue George Cantor, en los años 1870 quien primero llamó la atención de los matemáticos a este respecto.

No puede darse una definición satisfactoria de un conjunto en términos de conceptos simples, por lo tanto la palabra "CONJUNTO" debe aceptarse lógicamente como un TÉRMINO NO DEFINIDO. El concepto de conjunto es simplemente intuitivo.

NOTACIÓN

Usualmente los conjuntos se representan con una letra mayúscula:

A, B, C, D, E,

Llamaremos elemento, a cada uno de los objetos que forman parte de un conjunto, estos elementos poseen características muy particulares y propias de su individualidad, tienen cualidades que nos permiten diferen-ciarlos, y cada uno de ellos es único, no habiendo elementos duplicados o repetidos. Los representaremos con una letra minúscula, los elementos de un conjunto se escriben entre llaves y separados por comas:

a, b, c, d, e, f, ….

De esta manera, si A es un conjunto, y a, b, c, d, e todos sus elementos, es común escribir:

A = {a, b, c, d, e}

para definir a tal conjunto .


RELACIÓN DE PERTENENCIA

Se denomina relación de pertenencia en teoría de conjuntos a la relación que se dá entre en un elemento y un conjunto (y no a la inversa).

Así por ejemplo si el conjunto V = {a, e, i, o, u}, o sea el conjunto V está formado por las letras vocales del idioma español, entonces podemos afirmar que cualquiera de esas vocales es un elemento del conjunto V.

En otras palabras tenemos que:

a pertenece a V, e pertenece a V y así sucesivamente con cada uno de los elementos del conjunto.

Tal relación se representa simbólicamente de la siguiente manera:

,

í …

Volviendo al conjunto anterior, también podemos afirmar que:

Y se representa simbólicamente de la siguiente manera:

DETERMINACIÓN DE UN CONJUNTO

Hay dos formas de determinar conjuntos.

POR EXTENSIÓN

Se dice que un conjunto es determinado por EXTENSIÓN (o enumeración), cuando se da una lista que comprende a todos los elementos del conjunto y sólo a ellos.

Ejemplos:

A = {a, e, i, o, u}, entonces a A, o A pero v A

B = { 0, 2, 4, 6, 8 }

C = { m, a, t, e, i, c, s } En un conjunto determinado por extensión no se repite un mismo elemento y contiene cada una de las letras de la palabra matemáticas.


POR COMPRENSIÓN

Se dice que un conjunto es determinado por COMPRENSIÓN, cuando se enuncia una propiedad que la cumpla en todos los elementos del conjunto y tal que es válida sólo a ellos.

Ejemplos:

A = {x/x es una letra vocal}

B = {x/x es un número positivo par menor que 10}, entonces 2 B pero 5 B

C = {x/x es una letra de la palabra matemáticas}

Vamos a mostrar un cuadro comparativo de determinación de conjuntos

Por extensión Por comprensión A = { a, e, i, o, u } A = { x/x es una vocal } B = { 0, 2, 4, 6, 8 } B = { x/x es un número positivo par menor que 10 } C = { c, o, n, j, u, t, s } C = { x/x es una letra de la palabra conjuntos } D = { 1, 3, 5, 7, 9 } D = { x/x es un número positivo impar menor que 10 } E = { b, c, d, f, g, h, j, . . ., x, y, z} E = { x/x es una consonante del alfabeto español}

DIAGRAMAS DE VENN

Los diagramas de Venn tienen el nombre de su creador, John Venn, matemático y filósofo británico. Venn introdujo el sistema de representación que hoy conocemos en julio de 1880 con la publicación de su trabajo titulado « De la representación mecánica y diagramática de proposiciones y razonamientos» en el Philosop-hical Magazine and Journal of Science, adentrándose de esta manera en el mundo de la lógica formal. El método de Venn superaba en claridad y sencillez a los sistemas de representación anteriores, convirtiéndose con el tiempo en un nuevo estándar. Venn fue el primero en formalizar su uso y en ofrecer un mecanismo de generalización para los mismos.

Posteriormente desarrolló su nuevo método en su libro Lógica simbólica, publicado en 1881 con el fin de interpretar y ampliar nociones del Álgebra de Boole en el campo de la lógica formal. Su libro se convirtió en una excelente plataforma de ejemplo para el nuevo sistema de repre-sentación. Siguió usándolo en su siguiente libro sobre lógica (Los princi-pios de la lógica empírica, publicado en 1889), con lo que los diagramas de Venn se constituyen a partir de entonces como un recurso de repre-sentación de relaciones lógicas.

En un Diagrama de Venn cada conjunto se representa mediante un óvalo, círculo o rectángulo. Al superponer dos o más de las anteriores figuras geométricas, el área en que confluyen indica la existencia de un


subconjunto que tiene características que son comunes a ellas; en el área restante, propia de cada figura, se ubican los elementos que pertenecen únicamente a esta. En un diagrama de Venn de dos conjuntos tiene tres áreas claramente diferenciadas: A, B y [A y B].

CONJUNTOS FINITOS

Un conjunto es finito si consta de cierto número de elementos distintos, es decir si al contar los diferentes elementos del conjunto el proceso de contar termina. En caso contrario, el conjunto es infinito.

Ejemplos:

M = {x / x es un alumno matriculado en el curso Matemática Discreta} Conjunto finito

N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, ... } Conjunto infinito

P = {x / x es un país miembro de la Organización de Naciones Unidas} Conjunto finito

V = {3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, ... } Conjunto infinito

IGUALDAD DE CONJUNTOS

Se dice que 2 conjuntos A y B son iguales cuando ambos tienen los mismos elementos, es decir si cada elemento de A pertenece a B y si cada elemento que pertenece a B pertenece también a A. La igualdad se denota A = B.

En la igualdad, el orden de los elementos de cada conjunto no importa.

Ejemplos:

A = {1, 2, 3, 4} C = {1, 2, 3, 3, 4, 1} E = {x/x es una vocal de la palabra mundo} B = {3, 4, 1, 2} D = {1, 2, 2, 3, 3, 4,} F = {u, o} A = B C = D E = F

CONJUNTO VACÍO

Es un conjunto que no posee elementos. Suele llamársele conjunto nulo, y se le denota por el sím-bolo ø o { }.

Ejemplos:

A = { x/x es número natural menor que 0 } A = { } A = Ø


B = { x / x es un mes que tiene 33 días} B = { } B = Ø C = { x / x3 = 8 y x es impar } C = { } C = Ø D = { x / x es un día terrestre de 90 horas } D = { } D = Ø

CONJUNTO UNITARIO

Es todo conjunto que está formado por un sólo y único elemento.

Ejemplos:

A = {5}

B = {x/x es un número par entre 6 y 10} = {8}

C = {x/x es la capital de Costa Rica} = {San José}

D = {x / 2x = 6} = {3}

CONJUNTO UNIVERSAL

Es el conjunto que contiene a todos los elementos del discurso, dicho de otra manera es el conjun-to referencias de todos los elementos que estemos manejando. Es un término relativo. Se le deno-ta por la letra .

Ejemplos:

Sean los conjuntos:

= { ú }

= { , , , , , , , … , }

= { ú

Existe otro conjunto que incluye a los conjuntos P, X, I. Es

U = {x/x es un número positivo menor o igual que 10}

Gráficamente se representa por un rectángulo tal como se observa a continuación.


CARDINALIDAD DE UN CONJUNTO

La cardinalidad de un conjunto es un concepto que se refiere al número de elementos que tiene dicho conjunto. En el diagrama anterior la cardinalidad de U es 10 y se representa así:

( ) = 10 #( ) = 10

SUBCONJUNTOS

Decimos que un conjunto A es subconjunto de otro B, si cada elemento de A lo es de B. En este caso escribimos BA . Si A no es un subconjunto de B, se escribe BA

En términos simbólicos esto suele ser expresado de la siguiente forma:

BaAaBA

Que leemos A está contenido en B si y solo si cada elemento de A, es elemento de B.

Ejemplos:

1. Se tiene que . Por otra parte, si denota el conjunto de los números racionales, entonces .

2. Sean A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, B = {2, 4, 5} y C = {1, 2, 3, 4, 5}. Entonces, .

3. Si A es un conjunto cualquiera, AA .


Es decir, todo conjunto es un subconjunto de sí mismo.

CONJUNTO DE CONJUNTOS

Es un conjunto cuyos elementos son todos conjuntos.

Ejemplo:

F = {{}, {a}, {a, b}, {a,b,c}}

Solamente en este caso es válido decir que {a} es un elemento de F, o sea a F .

Pero no es correcto indicar que ,a b F , ya que en este caso particular ,a b F

CONJUNTO POTENCIA

El conjunto potencia de un conjunto M está formado por la familia de todos los subconjuntos del conjunto M se le llama Conjunto Potencia de M. Se le denota como 2M .

Ejemplos:

a) M = { 1, 2 } El conjunto M tiene 2 elementos, la cardinalidad de M es 2.

2M = { {1}, {2}, {1, 2}, ø} entonces M tiene 22 = 4 subconjuntos b) M = { 1, 2, 3 } El conjunto M tiene cardinalidad 3.

2M = { {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}, ø} entonces M tiene 23 = 8 subconjuntos

Si un conjunto M es finito con "n" elementos, entonces su cardinalidad es “n” y el conjunto poten-cia 2M tendrá 2n elementos que corresponde al número de subconjuntos de M.


EJERCICIOS:

1. Sea A = {1, 2, 4, 6, a, b, c, d}. Escriba en cada caso una V si la proposición es verdadera y una F si es falsa.

a. ( ) 6 b. ( ) 3 c. d.

e. ( ) f. ( ) { } g. h.

2. Sea = { < 7}. Identifique cada uno de los siguientes casos como verdadero o falso.

a. ( ) 6 b. ( ) 3,65 c. d. 6

e. ( ) f. ( ) { } g. 12 h. 3,14

3. En cada parte, escriba un conjunto por extensión con las letras de cada palabra.

a. condecoraciones b. pacifismo c. fundamentalismo

4. En cada parte, forme un conjunto listando sus elementos.

a. El conjunto de todos los enteros positivos que son menores que diez.

b. 2/ 12x x y x

5. En cada parte, escriba el conjunto por comprensión.

a. {2, 4, 6, 8, 10} b. {a, e, o}

c. {1, 8, 27, 64, 125} d. {-2, -1, 0, 1, 2}

6. Sea A = {1, 2, 3, 4, 5} ¿Marque con una X sobre la letra que antecede a cada conjunto si es igual a A?

a. {4, 1, 2, 3, 5} b. {2, 3, 4}

c. {1, 2, 3, 4, 5, 6} d. {x/x y x2 25}

e. / 5x x y x f. { 6}

7. ¿Cuáles de los siguientes son conjuntos vacíos?

a. {x/x 01, 2x } b. {x/x 01, 2x }


c. {x/x 9, 2x } d. {x/x 12, xx }

8. Haga una lista de todos los subconjuntos de {a, b}

9. Haga una lista de todos los subconjuntos de {Java, C++, C}

10. Utilice el diagrama de Venn para identificar cada uno de los siguientes casos como verdadero o falso.

a. BA ( ) b. AB ( ) c. BC ( )

d. Bx ( ) e. Ax ( ) f. By ( )

Prof. Jorge Castro Monge, M.Sc. | OPERACIONES con CONJUNTOS 10

OPERACIONES CON CONJUNTOS

UNIÓN DE CONJUNTOS

Se llama UNIÓN de dos conjuntos A y B al conjunto formado por los elementos de A o de B, es de-

cir: /A B x x A x B

Ejemplo: = { , , , , } = { , , , }.

á .

Luego: = { , , , , , , , }

INTERSECCIÓN DE CONJUNTOS

Se llama INTERSECCIÓN de dos conjuntos A y B al conjunto formado por objetos que son elementos

de A y de B, es decir: /A B x x A x B . En la imagen la intersección es la parte obscu-

ra de la misma.

Ejemplo:

Sean A = {a, b, c, e, f}, B = {b, e, f, r, s} y C = {a, t, u, v}.

Encuentre: , .

Como la intersección está formada por los elementos comunes de ambos conjuntos, se tiene que:

= { , , }= { }= { }

Cuando dos conjuntos no tienen elementos en común como B y C en el ejemplo anterior, se denominan Conjuntos disjuntos.


DIFERENCIA DE CONJUNTOS

Dados dos conjuntos A y B, se llama DIFERENCIA al conjunto A - B = {x/x A; y, x B}. Luego A – B se llama complemento de B con respecto a A.

A-B

En el diagrama de Venn A-B está representado por la zona rayada.

Ejemplo:

Sean A = {a, b, c} y B = {b, c, d, e}. Entonces:

A – B = {a} y B – A = {d, e}.

Asimismo, se llama DIFERENCIA SIMÉTRICA entre A y B al conjunto

/

A B A B B A

A B x x A x B x B x A

A B

En el diagrama de Venn la diferencia simétrica está representada por las regiones menos oscuras (Lo que no tienen en común)

Ejemplo: Sean A = {a, b, c, d} y B = {a, c, e, f, g}. Entonces , , , ,A B b d e f g


COMPLEMENTO DE UN CONJUNTO

Si un conjunto A es subconjunto de otro conjunto universal U, al conjunto A' formado por todos los elementos de U pero no de A, se llama complemento de A con respecto a U. Simbólicamente se expresa: ' /A x x U x A

Ejemplos:

a) Sean U = {m, a, r, t, e } y A = {a, e } Su complemento de A es: A' = {m, t, r} b) Sean U = {letras de la palabra aritmética} y A = { e, i, a } Determinado por extensión tenemos U = {a, r, i, t, m, e, c} A = { e, i, a } Su complemento es: A' = {r, t, m, c} En forma gráfica:


PROPIEDADES DE LAS OPERACIONES BOOLEANAS

Las llamadas OPERACIONES BOOLEANAS (unión e intersección) verifican las siguientes propiedades

PROPIEDADES UNION INTERSECCION

1.- Idempotencia A A A A A A

2.- Conmutativa A B B A A B B A

3.- Asociativa A B C A B C A B C A B C

4.- Absorción A A B A A A B A

5.- Distributiva A B C A B A C A B C A B A C

6.- Complementariedad 'A A U 'A A

Estas propiedades hacen que partes de U con las operaciones unión e intersección tenga una es-tructura de álgebra de Boole.

Además de éstas, se verifican también las siguientes propiedades:

o ,A A A (elemento nulo).

o ,A U U A U A (elemento universal).

o ' ' ', ' ' 'A B A B A B A B (leyes de Morgan).

PROBLEMAS CON OPERACIONES CON CONJUNTOS

Mediante diagramas de Venn y las definiciones y aplicación de las distintas operaciones con con-juntos se pueden resolver problemas, que nos preparan en el campo de la lógica formal.

Ejemplo: A una fiesta llegaron 150 personas, de las cuales 75 cantan, 85 bailan, 20 no cantan ni bailan. ¿Cuántas personas cantan y bailan?

Solución: La pregunta lleva implícita una conectiva lógica y, que es parte importante de la defini-ción formal de la operación intersección. Por lo tanto podemos representar el problema de la siguiente manera:


( ) ( ) + 20 = 150( ) = 75( ) = 85

:75 + 85 + 20 = 150

:75 + 85 + 20 = 150

75 + 85 + 20 150 == 30

R:/ El número de personas que cantan y bailan es igual a 30.


EJERCICIOS:

En los ejercicios 1 al 4, sea

U = {a, b, c, d, e, f, g, h, k}, A = {a, b, c, g}, B = {d, e, f, g}, C = { a, c, f} y D = {f, h, k}.

1. Calcule

a. A B b. B C c. A C

d. B D e. A – B f. A B

2. Calcule

a. A D b. D B c. C D

d. A D e. B – C f. C – B

g. C D h. A’ i. D’

3. Calcule

a. A U B U C b. A B C

c. A (B U C) d. (A U B) C

4. Calcule

a. A U {} b. A U U c. B U B

d. C {} e. C – D f. D C

En los ejercicios 5 y 6, sean:

U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, A = {1, 2, 4, 6, 8}, B = {2, 4, 5, 9}, C = 2/ 16x x y x y D =

{7, 8}

5. Calcule

a. A B b. B C c. A C

d. B D e. A – B f. A B

g. A C h. A D i. A D


j. B C k. C D l. B – A

m. C – D n. C D o. B C

6. Calcule

a. A U B U C b. A B C

c. A (B U C) d. (A U B) C

7. De acuerdo al diagrama: Identifique los siguientes casos como ver-daderos o falsos.

( ) BAy ( ) CBx

( ) CBw ( ) Cu

( ) CBAx ( ) CBAy

( ) CAz ( ) CBv

9. En una encuesta realizada a 150 personas sobre sus preferencias de tres productos A, B y C, se

encontró el siguiente resultado:

82 consumen el producto A.

54 consumen el producto B.

50 sólo consumen el producto A.

30 sólo consumen el producto B.

El número de personas que consumen sólo B y C es la mitad de las personas que

consumen sólo A y C.

El número de personas que consumen sólo A y B es el triple de las personas que

consumen los tres productos.

El número de personas que no consumen los productos mencionados son tantos

como los que consumen sólo C.

Determinar:

a) El número de personas que consumen sólo dos de los productos.

b) El número de personas que no consumen A, B ni C.

c) El número de personas que por lo menos consumen uno de los productos.

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CONJUNTO PRODUCTO Y PARTICIONES

CONJUNTO PRODUCTO

Un par ordenado (a, b) es un listado de los objetos a y b en un orden prescrito, donde a aparece en primer término y b, en segundo. En consecuencia, un par ordenado simplemente es una secuen-cia de longitud 2. A partir del análisis anterior de las secuencias, se desprende que los pares orde-nados (a1, b1) y (a2, b2) son iguales sí y solamente sí a1 = a2 y b1 = b2.

Si A y B son dos conjuntos no vacíos, se define el conjunto producto o producto cartesiano A x B como el conjunto de todos los pares ordenados (a, b) con Aa y Bb . Así,

}/),{( BbyAabaAxB

Ejemplo 1. Sean A = {1, 2, 3} y B = {a, b}

Entonces A x B = {(1, a), (1, b), (2, a), (2, b), (3, a), (3, b)}

Observe que los elementos de A x B pueden ser dispuestos en forma tabular conveniente como se muestra a continuación.

A

B a b

1 (1, a) (1, b)

2 (2, a) (2, b)

3 (3, a) (3, b)

Ejemplo 2. Si A y B son como en el ejemplo 1, entonces

B x A = {(a, 1), (b, 1), (a, 2), (b, 2), (a, 3), (b, 3)}

De los ejemplos anteriores se ve que A x B no siempre es igual a B x A

Teorema 1. Para dos conjuntos finitos no vacíos cualesquiera A y B, se tiene que BAAxB ,

donde X se lee La cardinalidad de X.


Ejemplo 3. Una compañía de aseguradora clasifica a sus potenciales clientes de acuerdo con los siguientes criterios:

Género: masculino (m); femenino (f)

Máximo nivel educativo: técnico (t); trabajador especializado (e); profesional (p); investigador (i)

Sean G = {m, f} y E = {t, e, p, i}. Entonces G x E contendrá todas las categorías de personas en que se clasifica la población para ese mercado.

Determinar G x E.

Ejemplo 4. Una compañía de programación proporciona las tres características siguientes para cada programa que se vende:

Lenguaje: C++ (p), C# (s), .NET (n)

Memoria: 1 Gb (1), 2 Gb (2), 4 GB (4)

Sistema Operativo: Linux (l), Windows (w)

Luego L = {p, s, n}, M = {1, 2, 4}, S = {l, w}

El producto L x M x S contiene todas las categorías que describen un programa en esa compañía y hay 3 x 3 x 2 o sea 18 categorías en este esquema de clasificación.

Determinar L x M x S

PARTICIONES

Una partición o conjunto cociente de un conjunto no vacío P es una colección de subconjuntos no vacíos de P tales que:

1. Cada elemento de P pertenece a uno de los con-juntos en Pi.

2. Si P1 y P2 son elementos distintos de P, entonces

21 PP Ø

Los conjuntos que hay en P se llaman bloques o celdas de la partición. La siguiente figura muestra una Parti-ción P = {P1, P2, P3, P4, P5, P6, P7}


Consideremos los siguientes subconjuntos de A:

A1 = {a, b, c, d}, A2 = {a, c, e, f, g, h}, A3 = {a, c, e, g}, A4 = {b, d}, A5 = {f, h}

{A1, A2} no es una partición ya que 21 AA Ø. Luego {A1, A5} es una partición de A en vista de que no tienen elementos comunes.

¿Qué sucede con la colección {A3, A4, A5}.

Ejemplo: Sean:

Z = conjunto de todos los enteros,

A1 = conjunto de todos los enteros pares, y

A2 = conjunto de todos los enteros impares.

Entonces {A1, A2} es una partición de Z.

EJERCICIOS:

1. En cada parte, encuentre x o y de manera que el enunciado sea verdadero.

a. (x+2, 3) = (4,3) b. (1, 3y) = (x, 9) c. (3x + 1, 2) = (10, 2) d. (C++, Java) = (y, x)

2. En cada parte, encuentre x o y de manera que el enunciado sea verdadero.

a. (4x, 5) = (16, y) b. (3x – 3, 3y – 1) = (5, 5) c. (x2, 25) = (49,y)

3. Sean A = {a, b, c} y B = {3, 5, 7}. Haga una lista de los elementos en:

a. A x B b. B x A c. A x A d. B x B

4. Sean A = {Salas, Pérez} y B = {presidente, vicepresidente, secretario, tesorero}. Dé cada uno de los tres casos siguientes:

a. A x B b. B x A c. A x A

5. Un fabricante de automóviles hace tipos diferentes de chasis (o armazón del auto) y tres tipos de motores:

Tipo de armazón: sedán (s), coupé (c), vagón (v) Tipo de motor: gasolina (g), diesel (d), híbrido (h) Elabore una lista de todos los modelos posibles de autos.

6. Si A = {a, b, c}, B = {1, 2}, y C = {#, *}, escriba el conjunto A x B x C


7. Si A = {a/a es un número entero positivo} y B = {1, 2, 3}. Haga un esquema de cada uno de los siguientes casos en el plano cartesiano.

a) A x B b) B x A

8. Si A = {a / a es un número racional y -1 a 5} y B = {b / b es un racional y 1 b 5}, haga un esquema de los siguientes casos en el plano cartesiano.

a) A x B b) B x A

9. Sean A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} y A1 = {1, 2, 3, 4} A2 = {5, 6, 7} A3 = {4, 5, 7, 9} A4 = {4, 8, 10} A5 = {8, 9, 10} A6 = {1, 2, 3, 6, 8, 10} ¿Cuáles de las siguientes son particiones de A? {A1, A2, A5} b) {A1, A3, A5} c) {A3, A6} d) {A2, A3, A4}

10. Si P1 es el conjunto de los enteros positivos y P2 el conjunto de todos los enteros negativos, ¿es {P1, P2} una partición de .

11. Si B = {0, 3, 6, 9, ….} escriba una partición de B que contenga: a. Dos subconjuntos infinitos b. Tres subconjuntos infinitos

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SUCESIONES

Algunos conjuntos importantes se originan en relación con las sucesiones. Una sucesión es sim-plemente una lista de objetos ordenados: Un primer elemento, un segundo elemento, un tercer elemento, y así sucesivamente. Dicha lista puede finalizar después de n pasos, donde n , o puede continuar indefinidamente. En el primer caso se dice que la sucesión es finita, y en el se-gundo caso, la sucesión es infinita. Los elementos pueden ser todos diferentes o algunos estarán repetidos.

Ejemplos:

a) 1, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 1, 1 es una sucesión finita b) 3, 8, 13, 18, 23,… es una sucesión infinita c) 1, 4, 9, 16, 25, … es otra sucesión infinita y corresponde a la lista de los cuadrados

de los números naturales

Puede ocurrir que la secuencia de términos de una sucesión no quede claramente definida por los primeros términos que la conforman y también es útil conocer una forma corta de especificar una sucesión. Existen dos clases de fórmulas para determinar una sucesión. En el ejemplo b) una des-cripción natural de la sucesión consiste en indicar que los términos consecutivos se forman su-mando 5 al término anterior. Si empleamos un subíndice para indicar la posición de cada término de una sucesión, puede describirse dicha sucesión de la siguiente manera:

1 13, 5, 2n na a a n

Una fórmula como la anterior, que se refiere al término anterior, para definir el siguiente término, se llama recursiva o recurrente. Toda fórmula recursiva debe tener un punto de partida.

La descripción de la sucesión del ejemplo c) sería: 2 , 1nb n n . A las fórmulas de este tipo

se les llama explícitas, porque indican exactamente qué valor tiene cualquier término en particu-lar.

Ejemplos:

d) La fórmula recursiva 1 15, 2 ,2 6n nc c c n define la sucesión finita: 5, 10, 20, 40, 80,

160 e) La sucesión infinita 3, 7, 11, 15, 19, 23, … puede definirse por la fórmula recursiva

1 13, 4n nd d d

f) La fórmula explícita 4 ,1 ,nns n describe la sucesión infinita: -4, 16, -64, 256, …

g) La sucesión finita: 87, 82, 77, 72, 67 puede definirse por la fórmula explícita, 92 5 , 1 5.nt n n


CONJUNTO CORRESPONDIENTE A UNA SUCESIÓN

Está constituido por todos los elementos distintos de la sucesión. En una sucesión el orden de los elementos es importante, sin embargo el orden en que se enlisten los elementos en el conjunto carece de significado.

Ejemplos:

a) El conjunto correspondiente a los elementos del ejemplo c) es {1, 4, 9, 16, 25, …} b) El conjunto correspondiente a los elementos del ejemplo a) es {0, 1}

REPRESENTACIÓN EN COMPUTADORA DE CONJUNTOS Y SUBCONJUNTOS

Si A es un subconjunto de un conjunto universal U, la función característica Af de A se define co-

mo sigue:

1 si

( )0 si A

x Af x

x A

Para representar un conjunto en una computadora, debe disponerse los elementos del conjunto en una sucesión. Cuando un conjunto universal U es finito y A es subconjunto de U, entonces la función característica asigna un 1 a los elementos que pertenecen a A y 0 a los que no pertenecen a A. Así Af puede ser representada por una sucesión de ceros y unos de longitud n.

Ejemplo: Sea 1,2,3,4,5,6 , 1, 2 , 2,4,6 , 4,5,6U A B C . Entonces

( ) 1,1,0,0,0,0( ) 0,1,0,1,0,1( ) 0,0,0,1,1,1

A

B

C

f xf xf x


EJERCICIOS:

En los ejercicios 1 al 4, dé el conjunto correspondiente a la sucesión.

1. 2, 1, 2, 1, 2, 1, 2, 1 2. 0, 2, 4, 6, 8, 10, … 3. aabbccddee…zz 4. abbcccdddd

En los ejercicios 5 al 8, escriba los cuatro primeros términos (comience con n=1) de la sucesión cuyo término general se da.

5. 5nna

6. 23 2 6nb n n

7. 1 12.5, 1.5n nc c c

8. 1 13, 2 1n nd d d

En los ejercicios 9 al 14, escriba una fórmula para el término de orden n de la sucesión. Identifique su fórmula como recursiva o explícita.

9. 1, 3, 5, 7, … 10. 0, 3, 8, 15, 24, 35, … 11. 1, -1, 1, -1, 1, -1, … 12. 0, 2, 0, 2, 0, 2, … 13. 1, 4, 7, 10, 13, 16

14. 1 1 1 11, , , , ,...2 4 8, 16

15. Escriba una fórmula explícita para la sucesión 2, 5, 8, 11, 14, 17, … 16. Escriba una fórmula recursiva para la sucesión 2, 5, 8, 11, 14, 17, … 17. Sean U = {Fortran, Pascal, Ada, Cobol, Lisp, Basic, C++, Forth}, B = { C++, Basic, Ada}, C =

{Pascal, Ada, Lisp, C++}, D = { Fortran, Pascal, Ada, Basic, Forth}, y E = { Pascal, Ada, Cobol, Lisp, C++}. En cada uno de los siguientes casos, represente el conjunto dado por un arre-glo de ceros y unos.

a) B C b) C D c) ( )B D E d) ( )C D E

18. Sea U = {b, d, e, g, h, k, m, n}, B = {b}, C = {d, g, m, n}, y D = {d, k, n} a) Represente , , B C Df f y f

b) Represente , B C C D y C D como arreglos binarios

Prof. Jorge Castro Monge, M.Sc. | UNIDAD II - Lógica 24

UNIDAD II - LÓGICA

CONECTIVAS

Al realizar razonamientos empleamos sentencias que están conectadas entre sí por conectivas lingüísticas. La lógica proposicional se ocupa del estudio de las conectivas lingüísticas entre propo-siciones. Una proposición es una sentencia que puede ser verdadera, circunstancia que indicare-mos asociándola el valor de verdad V , o falsa, en cuyo caso le asociaremos el valor de verdad F . Nuestro principal interés en relación con la lógica proposicional es dejar establecido el papel que juegan las conectivas lingüísticas y sus conectivos lógicos asociados en relación con los conceptos de verdad y demostración. Las conectivas lingüísticas permiten construir proposiciones compuestas a partir de otras más sim-ples. Así, si los símbolos p y q representan proposiciones genéricas, las conectivas lingüísticas más empleadas son las que aparecen en la siguiente tabla: Conectiva lingüística Conectiva lógica Símbolo Se escribe

no p Negación p p y q Conjunción p q p o q Disyunción p q

Si p entonces q Implicación p q p si y solo si q Equivalencia p q

NEGACIÓN

El significado de la conectiva lógica negación, reside en que la proposición ¬p es verdadera en el caso de que p sea falsa y recíprocamente que ¬p es falsa cuando p es verdadera. Recogemos el significado del conectivo ¬ en la siguiente tabla de verdad:

¬ V F F V

Del mismo modo podemos recoger el significado del resto de las conectivas.

CONJUNCIÓN

La sentencia p^q es verdadera sólo cuando p y q son verdaderas simultáneamente. La tabla de verdad co-rrespondiente a esta conectiva será, pues:

V V V V F F F V F F F F


DISYUNCIÓN

La sentencia p q , que se lee p ó q; debe entenderse en su acepción más amplia, es decir, p ó q o ambos; con lo que p q será verdadera en el caso de que p sea verdadera, q sea verdadera o ambas sean verdaderas simultáneamente:

V V V V F V F V V F F F

IMPLICACIÓN

Para establecer el significado de la sentencia p q , que se lee si p entonces q o también p impli-ca q; debemos tener presente que en lenguaje natural la sentencia p implica q encierra una rela-ción de causalidad, causalidad que no siempre aparece al utilizar este conectivo en el ámbito for-mal. Se pretende que el valor V o F de la sentencia p q dependa por completo de los valores de verdad de p y q, con independencia de que exista o no alguna relación de causalidad con senti-do entre p y q. En lenguaje matemático, p implica q quiere decir que si p es verdadera, necesaria-mente q es verdadera, o lo que es lo mismo, que es imposible que q sea falsa y p verdadera: Esto es, si el valor de verdad de p es V y el de q es F, el valor de verdad de p q es F; para el resto de posibles valores de p y q la sentencia será verdadera. Considérese el ejemplo siguiente: Sea la proposición: Si quemo madera, hay humo en el ambiente, que representaremos por p q . Entendemos que esta sentencia es verdadera, puesto que en nuestra experiencia no en-

contramos una situación en la que una madera esté ardiendo y no produzca humo. Sin embargo, la sentencia es verdadera independientemente de que se tenga madera a mano y no haya humo en el ambiente, de que no estemos quemando madera y haya humo debido a que estamos que-mando papel, o incluso de que efectivamente estemos quemando madera y se esté llenando el ambiente de humo. En otras palabras p q sigue siendo verdadera aun en el caso en el que p sea falsa (no estemos quemando madera) y q sea falsa (no hay humo en el ambiente), p sea falsa y q sea verdadera o incluso que p sea verdadera y q sea verdadera. El significado de este conectivo lógico queda pues del siguiente modo:

V V V V F F F V V F F V

Es importante destacar que de la tabla anterior se sigue que para demostrar que la sentencia p --> q es verdadera, basta con estudiar el caso en el que p es verdadera, puesto que si p es falsa, la sentencia p q es verdadera.


A las sentencias p y q las denominaremos, respectivamente, antecedente y consecuente de la pro-posición p q : La sentencia q p es denominada sentencia recíproca de la sentencia p q ; y la sentencia: q p sentencia contrarrecíproca de la sentencia p q

EQUIVALENCIA

La proposición p q , que se lee p si y solo si q, o también p equivale a q es verdadera cuando p y q tienen el mismo valor de verdad, es decir:

V V V V F F F V F F F V

Para representar proposiciones emplearemos los símbolos p, q, r... o, lo que es lo mismo, emplea-remos los símbolos p, q, r... como variables proposicionales.

FORMA DE UNA PROPOSICIÓN

Uno de los descubrimientos más sorprendentes con el que nos encontramos al estudiar lógica consiste en que la validez de una deducción depende exclusivamente de la forma que ésta tenga, y no del posible significado de las proposiciones que en ella intervienen. Las proposiciones trabajo o no trabajo y estoy sentado o no estoy sentado tienen la misma formap p : La tabla de verdad de esta forma proposicional p p es:

¬

V F V F V V

Es decir, cualquier proposición que tenga la forma p p será verdadera independientemente del valor de verdad que tenga p: La forma de las proposiciones va a estar determinada por cómo están dispuestos los conectivos , , , , ; por lo que vamos a introducir la definición de forma proposicional para estudiar aquellas propiedades que únicamente dependen de la manera en la que están colocados dichos conectivos lógicos: Definición: Llamaremos forma proposicional a cualquier expresión formada por: a) variables proposicionales tales como p; q, r;… b) los conectivos lógicos , , , , c) los paréntesis (,) Y construida utilizando las siguientes reglas:


1. Cualquier variable proposicional es una forma proposicional 2. Si A y B son formas proposicionales, entonces también lo son ( ), ( ), ( ), ( ) ( )A A B A B A B y A B En la práctica se suelen suprimir los paréntesis en aquellos casos en los que al hacerlo no se pro-duce ambigüedad. Señalar también que, como veremos luego, la regla 2 puede ser simplificada prescindiendo de algunos de los conectivos. Ejemplo: La expresión

p q

No es una forma proposicional (por ejemplo porque comienza por un conectivo ), mientras que la expresión

(( ( )) )p q r

Sí lo es porque sigue las reglas de su construcción. Obsérvese que última forma proposicional puede ser representada sin ambigüedad suprimiendo paréntesis por

( )p q r

Cada forma proposicional tiene asociada una tabla de verdad, que recoge los distintos valores de verdad de la forma al asignar valores V y F a las distintas variables involucradas. La tabla de verdad asociada a una forma proposicional se puede construir sistemáticamente a partir del procedimien-to empleado para construir dicha forma proposicional: Ejemplo: Construcción de la tabla de verdad de la forma proposicional ( )p q r Lo primero es determinar los pasos seguidos en su construcción. Obsérvese que según las reglas de construcción de formas proposicionales siempre se tiene un último conectivo que va separando la parte de la derecha y la de la izquierda que son proposiciones más simples (con menos conecti-vos): , , , ¬ , ( ¬ ), ( ¬ )

En segundo lugar se construye la primera fila de la tabla teniendo en cuenta dichos pasos:

En tercer lugar establecemos todas las posibles situaciones de verdad o falsedad de las primeras variables del enunciado que intervienen:


Finalmente se van rellenando el resto de las columnas teniendo en cuenta por una parte el signifi-cado de los conectivos lógicos , , , , ,y por otra, que cada vez que aparece una nueva variable proposicional es preciso comparar las situaciones de verdad o falsedad obtenidas con los dos posibles valores de verdad de la nueva variable proposicional:

Prof. Jorge Castro Monge, M.Sc. | Tautologías y razonamientos válidos 29

EJERCICIOS Construir las tablas de verdad de las siguientes formas proposicionales:

1. ( )p q 2. ( )p p 3. ( )p p 4. ( )p q r 5. ( ) (( ) ( ))p q p q

TAUTOLOGÍAS Y RAZONAMIENTOS VÁLIDOS

Definición. Una forma proposicional es una tautología si toma el valor V cualquiera que sea la forma en que asignemos los valores V ó F a las variables proposicionales que en ella intervienen. Una forma proposicional es una contradicción si toma el valor F cualquiera que sea la forma en que asignemos los valores V ó F a las variables proposicionales que en ella intervienen. Ejemplo. ( ) (( ) )p q p q Es una tautología según se sigue de su tabla de verdad:

EJERCICIOS

Probar que las siguientes formas proposicionales son tautologías:

1. ( ( ))p p q q 2. (( ) ( )) ( )p q q r p r 3. (( ) ( ))p q p q q 4. (( ) )p q p q 5. ( )p p q 6. (( ) ( )) ( )p q q p p q 7. ( ) (( ) ( ))p q q p 8. ( ) (( ) ( ))p q p q p 9. ( )p p p 10. (( ) ( ))p p q q


REGLAS DE INFERENCIA

Los argumentos basados en tautologías representan métodos de razonamiento universalmente correctos. Su validez depende solamente de la forma de las proposiciones que intervienen y no de los valores de verdad de las variables que contienen. A esos argumentos se les llama reglas de inferencia. Las reglas de inferencia permiten relacionar dos o más tautologías o hipótesis en una demostración. En una demostración no solamente hay tautologías e hipótesis, también existen reglas de inferencia que permiten obtener nuevas líneas válidas, a continuación se cita una lista de las principales reglas de inferencia que se pueden aplicar en una demostración.

MODUS PONENDO PONENS (PP) p q “Si llueve, entonces las calles se mojan” (premisa) p “Llueve” (premisa) __________________________________________________ q “Luego, las calles se mojan” (conclusión) El condicional o implicación es aquella operación que establece entre dos enunciados una relación de causa-efecto. La regla ‘ponendo ponens’ significa, “afirmando afirmo” y en un condicional es-tablece, que si el antecedente (primer término, en este caso p) se afirma, necesariamente se afir-ma el consecuente (segundo término, en este caso q). MODUS TOLLENDO TOLLENS (TT) ‘Tollendo tollens’ significa “negando, niego”, y se refiere a una propiedad inversa de los condicio-nales, a los que nos referíamos en primer lugar. p q “Si llueve, entonces las calles se mojan” ¬q Las calles no se mojan” __________________________________________________ ¬p “Luego, no llueve” Si de un condicional, aparece como premisa el consecuente negado (el efecto), eso nos conduce a negar el antecedente (la causa), puesto que si un efecto no se da, su causa no ha podido darse. Esto nos permite formular una regla combinada de las ambas anteriores, consecuencia ambas de una misma propiedad de la implicación; la regla ponendo ponens sólo nos permite afirmar si está afirmado el antecedente (el primer término de la implicación), y la regla tollendo tollens sólo nos permite negar a partir del consecuente (segundo término de la implicación); ambas consecuencias se derivan de que la implicación es una flecha que apunta en un único sentido, lo que hace que sólo se pueda afirmar a partir del antecedente y negar sólo a partir del consecuente. DOBLE NEGACIÓN (DN) ¬¬p p El esquema representa, “p doblemente negada equivale a p”. Siguiendo el esquema de una infe-rencia por pasos, la representaríamos así:


¬¬p “No ocurre que Ana no es una estudiante” _____________________________________________________ p “Ana es una estudiante” La regla ‘doble negación’, simplemente establece que si un enunciado está doblemente negado, equivaldría al enunciado afirmado. ADJUNCIÓN Y SIMPLIFICACIÓN Adjunción (A): Si disponemos de dos enunciados afirmados como dos premisas separadas, me-diante la adjunción, podemos unirlos en una sola premisa utilizando el operador (conjunción). p “Juan es cocinero” q “Pedro es policía” ___________________________________ p q “Juan es cocinero y Pedro es policía” Simplificación (S): obviamente, es la operación inversa. Si disponemos de un enunciado formado por dos miembros unidos por una conjunción, podemos hacer de los dos miembros dos enuncia-dos afirmados por separado. p q “Tengo una manzana y tengo una pera” ___________________________________________ p “Tengo una manzana” q “Tengo una pera” MODUS TOLLENDO PONENS (TP) La disyunción, que se simboliza con el operador V, representa una elección entre dos enunciados. Ahora bien, en esa elección, forma parte de las posibilidades escoger ambos enunciados, es decir, la verdad de ambos enunciados no es incompatible, si bien, ambos no pueden ser falsos. A partir de lo anterior, se deduce la siguiente regla, denominada tollendo ponens (negando afir-mo): si uno de los miembros de una disyunción es negado, el otro miembro queda automática-mente afirmado, ya que uno de los términos de la elección ha sido descartado. p V q “He ido al cine o me he ido de compras” ¬q “No he ido de compras” __________________________________________________________ p “Por tanto, he ido al cine” LEY DE LA ADICIÓN (LA) Dado un enunciado cualquiera, es posible expresarlo como una elección (disyunción) acompaña-do por cualquier otro enunciado. a “He comprado manzanas” ______________________________________________________________ a V b “He comprado manzanas o he comprado peras”


SILOGISMO HIPOTÉTICO (SH) Dados dos implicaciones, de las cuales, el antecedente de la una sea el consecuente de la otra (el mismo enunciado), podemos construir una nueva implicación cuyo antecedente sea el de aquella implicación cuya consecuencia sea el antecedente de la otra implicación, y cuyo consecuente sea el de ésta última, cuyo antecedente era consecuencia del primero. Expresado de otro modo, si una causa se sigue una consecuencia, y ésta consecuencia es a su vez causa de una segunda consecuencia, se puede decir que esa primera causa es causa de esa segun-da consecuencia, del mismo modo que, si una bola de billar roja golpea a otra bola blanca que a su vez golpea a una bola negra, la bola roja es causa del movimiento de la bola negra. Expresado en forma de inferencia lógica: p q “Si la bola roja golpea a la bola blanca, la bola blanca se mueve” q r “Si la bola blanca golpea a la bola negra, la bola negra se mueve” ______________________________________________________________________ p r “Si la bola roja golpea a la bola blanca, la bola negra se mueve” SILOGISMO DISYUNTIVO (DS) Dadas tres premisas, dos de ellas implicaciones, y la tercera una disyunción cuyos miembros sean los antecedentes de los condicionales, podemos concluir en una nueva premisa en forma de dis-yunción, cuyos miembros serían los consecuentes de las dos implicaciones. Lógicamente, si plan-teamos una elección entre dos causas, podemos plantear una elección igualmente entre sus dos posibles efectos, que es el sentido de esta regla. p q “Si llueve, entonces las calles se mojan” r s “Si la tierra tiembla, los edificios se caen” p V r “Llueve o la tierra tiembla” ____________________________________________________ q V s “Las calles se mojan o los edificios se caen” SIMPLIFICACIÓN DISYUNTIVA (SD) Si disponemos de dos premisas que corresponden a dos implicaciones con el mismo consecuente, y sus antecedentes se corresponden con los dos miembros de una disyunción, podemos concluir con el consecuente de ambas implicaciones. p V q “Helado de fresa o helado de vainilla” p r “Si tomas helado de fresa, entonces repites” q r “Si tomas helado de vainilla, entonces repites” ____________________________________________________ r Luego, repites LEY CONMUTATIVA Esta ley, no es válida para la implicación, pero sí para conjunción y para la disyunción. Una conjun-ción es afirmar que se dan dos cosas a la vez, de modo que el orden de sus elementos no cambia este hecho. Igualmente, una disyunción es presentar una elección entre dos cosas, sin importar en qué orden se presente esta elección. Así pues,


p q q p “«p y q» equivale a «q y p»” p V q q V p “«p ó q» equivale a «q ó p» LEYES DE MORGAN (DM) Esta ley permite transformar una disyunción en una conjunción, y viceversa, es decir, una conjun-ción en una disyunción. Cuando se pasa de una a otra, se cambian los valores de afirmación y ne-gación de los términos de la disyunción/conjunción así como de la propia operación en conjunto, como podemos observar aquí: p q p V q ___________ ____________ ¬(¬p V ¬q) ¬(¬p ¬q) Ejemplos: REGLA DEL MODUS PONENDO PONENS Es una regla de inferencia que permite demostrar q a partir de p q y p. PREMISA 1) Si Pedro está en el partido de Fútbol, entonces Pedro está en el estadio. PREMISA 2) Pedro está en el partido de Fútbol. ___________________________________________________ CONCLUSIÓN: Pedro Está en el estadio. Simbólicamente tenemos lo siguiente: p: Pedro está en el partido de fútbol q: Pedro está en el estadio Entonces: PREMISA 1) p q PREMISA 2) p __________ CONCLUSIÓN: q Esta regla permite pasar de dos premisas a la conclusión, se dice que la conclusión es una conse-cuencia lógica de las premisas, es decir siempre que las premisas son ciertas, la conclusión es tam-bién verdadera. Cuando el MODUS PONENDO PONENS o cualquier otra regla se aplica para sacar una conclusión de dos o más proposiciones, el orden de las proposiciones es indiferente. La abreviatura para esta regla es MP. DOBLE NEGACIÓN. Es una regla que permite pasar de una premisa única a la conclusión. Un ejemplo simple es el de una negación de la negación que se denomina << Doble negación >>. Sea la proposición: No ocurre que Ana no es un estudiante. De donde se puede sacar la conclusión: Ana es estudiante.


La regla también actúa en sentido contrario. Por ejemplo: de la proposición se puede concluir la negación de su negación: Juan toma el autobús para ir a la escuela. __________________________________________ No ocurre que Juan no toma el autobús para ir a la escuela La abreviatura para esta regla es DN. MODUS TOLLENDO TOLLENS La regla de Inferencia que se aplica también a las proposiciones condicionales, pero en este caso, negando (tollendo) el consecuente, se puede negar (tollens) el antecedente de la condicional. La deducción siguiente es un ejemplo del uso de esta regla: PREMISA 1) Si tiene luz propia, entonces el astro es una estrella . PREMISA 2) El astro no es una estrella. Conclusión: Por lo tanto no tiene luz propia. Simbolizando: p : Tiene luz propia q : El astro es una estrella. PREMISA 1) p q PREMISA 2) q Conclusión: p Cuando se trata de proposiciones moleculares puede usarse el paréntesis para mayor claridad. La abreviatura para esta regla es TT. Regla de ADJUNCION Y SIMPLIFICACIÓN. Se suponen dadas dos proposiciones como premisas. La primera es Jorge es adulto La segunda es: María es adolescente. Si ambas proposiciones son verdaderas, entonces se podrían juntar en una proposición molecular utilizando el término de enlace << y >> y se tendría una proposición verdadera que se leería: Jorge es adulto y maría es adolescente. La regla que permite pasar de las dos premisas a la conclusión se denomina regla de ADJUNCION. La abreviatura para esta regla es A. De manera simbólica se puede ilustrar la regla así :


PREMISA 1) p PREMISA 2) q _____________________ Conclusión 1) p q Conclusión 2) q p El orden de las premisas es indiferente. Ahora veamos la REGLA DE SIMPLIFICACIÓN Si se tiene una premisa que dice: El cumpleaños de María es el lunes y el mío es el sábado. De esta premisa se pueden concluir: El cumpleaños de María es el viernes. La otra conclusión: El mío es el sábado. Si la premisa es cierta, cada una de las conclusiones es también cierta. Esta regla se abrevia por S. En forma simbólica la regla de simplificación es: p q De la premisa p q _______________ Se concluye: p O se concluye: q En una demostración no solamente hay tautologías e hipótesis, también existen reglas de inferen-cia que permiten obtener nuevas líneas válidas, esta es la parte en donde la mayoría de alumnos tienen problemas y en donde no sabe que regla aplicar para resolver un determinado problema.

Nota: Una demostración formal en la lógica se fundamenta y desarrolla estrictamente utilizando únicamente las reglas de validez enunciadas en el numeral anterior). Con base en ellas puede de-mostrarse que las implicaciones implícitas en cada una de las reglas de inferencia son teoremas.

Como un objetivo práctico a lograr es abreviar los procesos demostrativos, se introducen las reglas de inferencia; éstas, conjuntamente con las reglas de validez permiten ampliar y facilitar la obten-ción de los resultados válidos en esta teoría.


EJERCICIOS

En cada uno de los problemas siguientes, tradúzcase a la forma simbólica y empleando las reglas de inferencia y de validez, establézcase para cada argumento si es o no válido.

1. Si llueve, entonces iré al cine. Llueve. Luego, iré al cine. 2. Si llueve, entonces iré al cine. No llueve. Luego, no iré al cine. 3. Si me caigo de la bicicleta, me golpeo. Estoy golpeado; luego, me caí de la bicicleta. 4. Si voy al colegio pasaré por la biblioteca. Si paso por la biblioteca consultaré el diccionario de sinó-

nimos. Voy al colegio; luego, consulté el diccionario de sinónimos. 5. Si los precios son bajos, entonces los salarios son bajos. Los precios son bajos o no hay control de

precios. Si no hay control de precios, entonces hay inflación. No hay inflación; por tanto los salarios son bajos.

6. La lógica es fácil o les gusta a los estudiantes. Si las matemáticas son difíciles entonces la lógica no es fácil. Por tanto, si a los estudiantes no les gusta la lógica, las matemáticas no son difíciles.

7. Si trabajo, entonces no estudio. Estudio o repruebo el curso de matemáticas. Aprobé el curso de matemáticas; luego, trabajo.

8. Si el entero 35 244 es divisible entre 396, entonces el entero 35 244 es divisible entre 66. Si el en-tero 35 244 es divisible entre 66, entonces el entero 35 244 es divisible entre 3.

Prof. Jorge Castro Monge, M.Sc. | Inducción matemática 37

INDUCCIÓN MATEMÁTICA

G. Peano (1858–1932) propuso cinco propiedades fundamentales que caracterizan a los números naturales, Axiomas de Peano. Una de ellas conocida como el Principio de Inducción Matemática es actualmente una herramienta de uso práctico y teórico principalmente para matemáticos y personas que trabajan en Ciencias Computacionales.

El principio lo enunciaremos para los enteros positivos N+, pero bien se puede ampliar a los núme-ros naturales o a cualquier subconjunto de los enteros mayores o iguales a un entero fijo.

PRINCIPIO DE INDUCCIÓN MATEMÁTICA

Si S en un conjunto de enteros positivos tal que

(B) 1 S

(I) 1, 1k k S k S

entonces S contiene todos los enteros positivos.

En un principio de Inducción Matemática son muy importantes los nombres asociados y en la lite-ratura técnica, como es costumbre, no se presenta con detalle los pasos, por lo que resulta indis-pensable conocer la nomenclatura.

Nomenclatura de Inducción Matemática.

(B) se llama Caso Base o caso inicial

(I) se llama Paso de Inducción

k S se llama Hipótesis de Inducción

Y como ya se mencionó todo junto se llama Principio de Inducción Matemática.

Es importante que el alumno comprenda y memorice cada uno de estos conceptos y su participa-ción directa en la propiedad.

Esencialmente lo que enuncia el principio de inducción matemática es, si logramos establecer que el primer entero positivo cumple, una propiedad, y si partiendo de que un entero arbitrario tam-bién la cumple, se puede comprobar que el entero siguiente también tiene la propiedad entonces concluimos que todos los enteros positivos tienen la propiedad indicada.

Por lo que otra forma de enunciar el Principio de Inducción Matemática es:

Si F(n) es una proposición abierta que involucra enteros y se tiene:


(B) F(1) es verdadera; o sea, se que cumple para n=1

(I) F(K) F(k+1); Si se cumple para n = k entonces también se cumple para n=k+1.

Concluimos que la proposición es verdadera para todos los enteros positivos.

El Principio de Inducción Matemática se utiliza para demostrar propiedades, formulas, validarlas y probar que son verdaderas, usualmente en el conjunto de los números enteros positivos. Muchas propiedades que incluyen la definición de de factorial se pueden probar por Inducción Matemáti-ca, como el Teorema del Binomio de Newton, el Triángulo de Pascal y algunas propiedades de combinatoria que involucran combinaciones y permutaciones. Otra forma de utilizarla es para proporcionar definiciones y formalizar conceptos.

ALGORITMO. Para demostrar una igualdad F(n) algebraica válida que involucra enteros donde la parte izquierda es una suma cuyo término n-ésimo es una fórmula de n.

[Fórmula] Escribir la fórmula en función de n, sea F(n).

[Caso Base] Probar la fórmula para n=1, F(1).

[Meta] Escribir la fórmula para n=k+1, F(k+1).

[Paso de Inducción]

[Hipótesis de Inducción] Escribir la fórmula para n=k.

[Llegar a la Meta] Sumar a ambos lados el último término de la parte izquierda de la [Meta], o sea la igualdad para n=k+1.

Aplicar propiedades algebraicas al lado derecho hasta llegar al lado derecho de la [Meta], o sea la igualdad para n=k+1.

Nota: Cabe aclarar que la única dificultad se puede presentar en el manejo algebraico de las ex-presiones en la segunda parte del Paso de Inducción y que depende muchas veces de la compleji-dad de la expresión y de la habilidad algebraica de quien realiza la prueba.

Nota: La meta la marcamos con rojo para indicar que no es un paso válido en la demostración, sino más bien una guía de a dónde queremos llegar y para tener una mejor idea de lo que estamos demostrando.

En los ejemplos que se vean se debe considerar expresiones que se puedan resolver con la prepa-ración de los estudiantes a los que va dirigido.


Ejemplos: Demuestre por inducción matemática, que para todos los valores de:

a)

( 1)1, 1 2 3 ...2

n nn n

Solución:

Sea ( 1)( ) 1 2 3 ...

2n nP n n

Paso Base: Demostrar que se cumple para n = 1

1(1 1)12

, la cual es verdadera.

Paso de inducción. Si P(k) es verdadera, entonces también lo será para P(k+1)

( 1)( ) 1 2 3 ...2

k kP k k

Demostrar para k+1

( 1)( 1) (1 2 3 ... ) ( 1) ( 1)2

k kP k k k k

( 1) 1 Factorizando2

2=(k+1)2

( 1)( 2)2

( 1)(( 1) 1) El segundo miembro de P(k+1)2

kk

k

k k

k k

b) Demostrar por inducción que la expresión 12na es divisible por 1a .

Proceso:

Para n = 1: )1).(1(11 21.2 aaaa es divisible por 1a . Se verifica

Sea cierta la proposición para n = k: 12ka es divisible por 1a

Veamos entonces que también será cierta para n=k+1:


1)1(2 ka es divisible por a+1.

En efecto:

)1).(1()1(1)1(1 22222)1(2 aaaaaaaa kkk

El primer sumando es divisible por a+1 por hipótesis, y el segundo lo es porque contiene a (a+1) como factor.

Por consiguiente, 12na es divisible por a+1, para todo n>0

c)

5 ( 1)5 10 15 ....... 52

n nn

15 1(1 1) 5 21 1

2 2

n

5 ( 1)5 10 15 ...... 52

n kk kk

15 ( 1)5 10 15 ...... 5 5( 1) 5( 1)

25 ( 1) 10( 1)

25( 1)( 2) 5( 1)( 1 1)

2 2

n kk kk k k

k k k

k k k k

d) 1 5 9 .......... (4 3) (2 1)n n n

11 1(2 1 1) 1n

1 5 9 .......... (4 3) (2 1)n k

k k k


2

1

1 5 9 .......... (4 3) 4 1 3 (2 1) 4 1 3

2 4 4 3

n k

k k k k k

k k k2

2

2 4 1 2 3 1 ( 1)(2 1)

k k kk kk k

e)

2 2 2 2 (2 1)(2 1)1 3 5 ....... (2 1)3

n n nn

2

11(2 1 1)(2 1 1) 1 3 11 1

3 3

n

2 2 2 2 (2 1)(2 1)1 3 5 ....... (2 1)3

n kk k kk

2 22 2 2 2

2

1(2 1)(2 1)1 3 5 ....... (2 1) 2 1 1 2 1 1

3(2 1)(2 1) 3 2 1 1

3

n kk k kk k k

k k k k

2

2

(2 1)(2 1) 3 2 2 1

3(2 1)(2 1) 3 2 1

3

k k k k

k k k k

2

(2 1) (2 1) 3(2 1)

3(2 1) 2 6 3

3

k k k k

k k k k

2(2 1) 2 5 3

3(2 1)(2 3)( 1)

3(

k k k

k k k

k 1)(2 3)(2 1)3

k k


EJERCICIOS:

Demuestre por inducción matemática en cada caso:

1. 1 + 4 + 7 + · · · · · · · + (3n - 2) = (3 1)2

n n

2. 13 + 23 + 33 + · · · · · · · + n3 = 2 2( 1)

4n n

3. 2 + 22 + 23 + · · · · · · · + 2n = 2(2n - 1)

4. 13 + 33 + 53 + · · · · · · · + (2n - 1)3 = n2(2n2 - 1)

5. 1 1 1 1..........1 2 2 3 3 4 ( 1) 1

nn n n

6. 1 + 3 + 5 + 7 + · · · · · · · · · + (2n - 1) = n2

7. (5 1)2 7 12 · · · · · · · 5n 3

2n n

8. 2

1 1 1 1.............3 15 35 4 1 2 1

nn n

Prof. Jorge Castro Monge, M.Sc. | UNIDAD III – CONTEO 43

UNIDAD III – CONTEO

COMBINATORIA

Breve reseña histórica

El surgimiento y desarrollo de la combinatoria ha sido paralelo al desarrollo de otras ramas de las matemáticas, tales como el álgebra, teoría de los números, y probabilidad. Desde tiempos muy remotos ha habido problemas de combinatoria que han llamado la atención de los matemáticos. por ejemplo el problema de los cuadrados mágicos que son arreglos de números con la propiedad de que la suma de los elementos de cualquier columna, renglón o diagonal es el mismo número, aparece en un viejo libro chino fechado 2200 a. C. Los cuadrados mágicos de orden 3 fueron estu-diados con fines místicos. Los coeficientes binomiales, que son los coeficientes enteros de la ex-pansión de (a+b)n fueron conocidos en el siglo XII. El triángulo de Pascal que es un arreglo trinagu-lar de los coeficientes binomiales fue desarrollado en el siglo XIII.

Se puede considerar que en el Occidente la combinatoria surge en el siglo XVII con los trabajos de Blaise Pascal y de Pierre Fermat sobre la teoría de juegos de azar. Estos trabajos, que formaron los fundamentos de la teoría de la probabilidad, contenían asimismo los principios para determinar el número de combinaciones de elementos de un conjunto finito, y así se estableció la tradicional conexión entre combinatoria y probabilidad.

El término "combinatoria" tal y como lo usamos actualmente fue introducido por Wilhem Leibniz en su Dissertatio de Arte Combinatoria. De gran importancia para la consolidación de la combina-toria fue el artículo de Ars Conjectandi (el arte de conjeturar por J. Bernoulli; este trabajo estaba dedicado a establecer las nociones básicas de probabilidad. Para esto fue necesario introducir también un buen número de nociones básicas de combinatoria pues se usaron fuertemente como aplicaciones al cálculo de probabilidades. Se puede decir que con los trabajos de Leibniz y Bernou-lli se inicia el establecimiento de la combinatoria como una nueva e independiente rama de las matemáticas.

El matemático suizo Leonard Euler fue quien desarrolló a principios del siglo XVIII una auténtica escuela de matemática combinatoria. En sus artículos sobre la partición y descomposición de en-teros positivos en sumandos, estableció las bases de uno de los métodos fundamentales para el cálculo de configuraciones combinatorias, que es el método de las funciones generadoras. Tam-bién se le considera el padre de la teoría de gráficas por el planteamiento y solución del problemas de los "Puentes de Königsberg" usando por primera vez conceptos y métodos de teoría de gráfi-cas. Los primeros problemas de teoría de gráficas surgieron de la búsqueda de solución a algunos problemas cotidianos y también en el planteamiento de algunos acertijos matemáticos tales como el problema de los Puentes de Königsberg, el arreglo de reinas en un tablero de ajedrez con alguna restricción, problemas de transporte, el problema del agente viajero, etcétera.


El problema de los cuatro colores formulado a mediados del siglo XIX (cuatro colores son suficien-tes para colorear las regiones de un mapa de tal manera que regiones con frontera tengan asigna-dos distinto color) pasó de ser un mero acertijo matemático a ser fuente de importantes proble-mas y resultados en teoría de gráficas de interés tanto teórico como en aplicaciones. Este ha sido uno de los problemas teóricos más desafiantes en la historia de la combinatoria debido a la simpli-cidad de su planteamiento.

En Inglaterra a finales de siglo XIX Arthur Cayley (motivado por el problema de calcular el número de isómeros de hidrocarburos saturados) hizo importantes contribuciones a la teoría de enumera-ción de gráficas. Por este tiempo el matemático George Boole usó métodos de combinatoria en conexión con el desarrollo de la lógica simbólica y con las ideas y métodos que Henri Poincaré desarrolló en relación con problemas de topología. Uno de los factores más importantes que han contribuido al gran desarrollo que ha tenido la combinatoria desde 1920 es la teoría de gráficas, la importancia de esta disciplina estriba en el hecho de que las gráficas pueden servir como modelos abstractos para modelar una gran variedad de relaciones entre objetos de un conjunto. Sus aplica-ciones se extienden a campos tan diversos como la investigación de operaciones, química, mecá-nica estadística, física teórica y problemas socio-económicos. La teoría de redes de transporte se puede ver como un capítulo de la teoría de las gráficas.

INTRODUCCIÓN A LA COMBINATORIA

A menudo se presenta la necesidad de calcular el número de maneras distintas en que un suceso se presenta o puede ser realizado. Otras veces es importante determinar la probabilidad de ocu-rrencia de un evento específico. En ambos casos se apela al sentido común, o se establecen méto-dos que permitan sistematizar tales cálculos. Con frecuencia el sentido común ayuda a entender por qué se eligió un procedimiento dado, mientras que la formalización del cálculo las vías para encontrar las soluciones apropiadas.

Iniciaremos nuestro estudio de teoría combinatoria enunciando los principios aditivo y multiplica-tivo de conteo.

Principio aditivo de conteo: Sean A y B dos sucesos que no pueden ocurrir simultáneamente. Si A ocurre de a maneras distintas y B ocurre de b maneras distintas, el número de maneras en el cual puede ocurrir A o B es A +B

Principio multiplicativo de conteo: Si un suceso puede ocurrir en a maneras e, independiente-mente, un segundo suceso puede ocurrir en b maneras, entonces el número de maneras en que ambos, A y B, pueden ocurrir AB.

A este principio también se le denomina principio fundamental de conteo.


Ejemplo: Se tienen 6 banderas de señalización, dos rojas, dos verdes y dos azules. ¿Cuántas seña-les distintas pueden hacerse con una o dos banderas a la vez?

Solución: Si denotamos las banderas rojas, verdes y azules por R, V y A, respectivamente, vemos que con una bandera a la vez se pueden hacer 3 señales distintas:

R , V , A

Con dos banderas a la vez se puede hacer las siguientes señales (sacando, por ejemplo, una prime-ra y después la otra) es decir

RR, RV. RA, VR, VV, VA, AR, AV, AA

Entonces, si se utilizan dos banderas, se pueden hacer 9 señales distintas. Luego, con una o dos banderas se podrán realizar 3+9= 12 señales diferentes. Observa que, como se establece en la definición, se trata de dos sucesos A y B descritos como:

A: Se hacen señales con una sola bandera

B: Se hacen señales con dos banderas.

Y que ambos no pueden ocurrir simultáneamente, ya que si se decide hacer señales con una ban-dera se descarta la segunda alternativa y viceversa

Ejemplo: ¿Cuántas quinielas de futbol distintas se pueden hacer?

Tenemos en cuenta que en cada partido puede haber 3 resultados: 1, x,2 , que hay 14 partidos y que los resultados de cada uno es independiente de los demás, por tanto tendremos

3 .3 ………3 = 314

Ejemplo: ¿Cuántos resultados distintos puede haber en un sorteo de la lotería primitiva sin tener en cuenta el número complementario?

En una bolsa tenemos 49 bolas numeradas del 1 al 49. El primer número lo escojo entre 49 posi-bles números, el segundo número lo escojo entre 48 (pues las bolas, una vez extraídas no se de-vuelven a la bolsa), el tercero entre 47, y así sucesivamente, por lo tanto, en principio habría

49*48*47*46*45*44= 10.068.347.520.

Esta sería la solución si el orden de extracción de las bolas, se tuviese en cuenta, pero no es así. El número que hemos sacado en la primera extracción podría haber salido en la segunda, tercera, cuarta, quinta o sexta extracción (en total 6), por lo tanto habrá que dividir por 6. El número que


hemos sacado en la segunda extracción, podría haber salido en la tercera, cuarta, quinta o sexta extracción, (en total 5), habrá que dividir entre 5 y así seguiríamos razonando hasta la última ex-tracción.

Por ello habrá que dividir por 6*5*4*3*2*1 el número anterior para obtener la solución.

10.068.347.520/720=13.983.816

Ejemplo: ¿Cuántas quinielas distintas se pueden hacer si creemos que el resultado de 4 partidos será un 1, el de 5 partidos puede ser un 1 o una x, y los 6 partidos restantes puede darse cualquie-ra de los tres signos?

Los cuatro resultados 'fijos' los podemos elegir entre un signo, los 5 'dobles' entre dos y los 6 'tri-ples' entre 3, por lo tanto la solución sería: 1.1.1.1.2.2.2.2.2.3.3.3.3.3.3=23328

Hasta ahora, los ejemplos realizados los hemos realizado mediante conteo, nuestro objetivo es formalizar y obtener expresiones matemáticas que nos den los resultados buscados.

PERMUTACIONES

Permutaciones SIN repetición: Las permutaciones sin repetición de n elementos se definen como las distintas formas de ordenar todos esos elementos distintos, por lo que la única diferencia entre ellas es el orden de colocación de sus elementos.

El número de estas permutaciones será:

!nP n

Permutaciones CON repetición: Llamamos a las permutaciones con repetición de n elementos tomados de a en a, de b en b, de c en c, etc, cuando en los n elementos existen ele-mentos repetidos (un elemento aparece a veces, otro b veces, otro c veces, etc) verificándose que a+b+c+...=n.

El número de estas permutaciones será:

, , !! ! !

a b cn

nPRa b c

Teniendo en cuenta que

! ( 1)( 2) .... 3 2 1n n n n


Ejemplos

a) ¿Cuántos números de 5 cifras distintas se pueden formar con los dígitos 1,2,3,4,5?

P5 =5! = 5.4.3.2.1 = 120

b) ¿Cuántos números de 4 cifras se pueden formar con los dígitos 0,1,2,3?

P4 – P3 = 4! -3!= 24-6 = 18

Hemos restado P3 para descontar los números que empiezan por cero, ya que estos no son de cuatro cifras.

c) ¿Cuántos números de 6 cifras se pueden formar si en ellos siempre hay 1’s, 2’s y 3’s?

P61,2,3 = 60

2.3.26.5.4.3.2

1!2!3!6!

VARIACIONES

Definición: Las variaciones sin repetición de n elemen-tos tomados de r en r se definen como las distintas agrupaciones formadas con r ele-mentos distintos, eligiéndolos de entre los n elementos de que disponemos, considerando una variación distinta a otra tanto si difieren en algún elemento como si están situados en distinto orden.

El número de variaciones que se pueden construir se puede calcular mediante la fór-mula

,

!( )!n r

nVn r

Definición: Las variaciones con repetición de n elemen-tos tomados de r en r se definen como las distintas agrupaciones formadas con r ele-mentos que pueden repetirse, eligiéndolos de entre los n elementos de que disponemos, considerando una variación distinta a otra tanto si difieren en algún elemento como si están situados en distinto orden.

El número de variaciones que se pueden constuir se puede calcular mediante la fór-mula:

,r

n rVR n


Ejemplos

a) ¿Cuántos números de tres cifras distintas se pueden formar con los dígitos 1,2,3,….,9?

5047.8.9!39

!9V39

b) Con las letras del alfabeto español (27 letras) ¿Cuántas palabras (con o sin sentido) de 6 letras distintas pueden formarse?- ¿Cuántas empiezan por vocal?

V 627 , 5V 5

26

COMBINACIONES

Definición: Las combinaciones sin repetición de n ele-mentos tomados de r en r se definen como las distintas agrupaciones formadas con r elementos distintos, eligiéndolos de entre los n elementos de que disponemos, conside-rando una variación distinta a otra sólo si difieren en algún elemento, (No influye el orden de colocación de sus elementos).

El número de combinaciones que se pueden construir se puede calcular mediante la fór-mula:

,!

!( )!n rnC

r n r

Definición: Las combinaciones con repetición de n ele-mentos tomados de r en r se definen como las distintas agrupaciones formadas con r elementos que pueden repetirse, eligiéndolos de entre los n elementos de que disponemos, considerando una variación distinta a otra sólo si difieren en algún elemento, (No influ-ye el orden de colocación de sus elementos).

El número de combinaciones que se pueden construir se puede calcular mediante la fór-mula:

,( 1)!

!( 1)!n rn rCRr n


Ejemplos

a) Como respuesta a un anuncio de trabajo se presentan 12 personas para cubrir tres plazas de administrativo ¿Cuántos grupos diferentes de personas se pueden seleccionar?

Debemos elegir grupos de 3 de entre los 12 , no influye el orden

C 2203.2

12.11.103)!3!-(12

12!312

b) ¿Cuántos triángulos distintos se pueden formar con 8 puntos en el plano si tres de ellos nunca están alineados?

Para que dos triángulos sean distintos se tienen que diferenciar al menos en un vértice y el orden en que tomamos los vértices no influye

C 563.2

8.7.63)!.3!(88!3

8

c) ¿Cuántos conjuntos de tres letras existen elegidas entre a, b, c, d, e, f, g si en cada conjunto puede haber más de una letra igual?

Tenemos en cuenta que el conjunto ac,b, conjunto el con coincide cb,a, y que los elemen-tos se pueden repetir, es decir ba,a, es un conjunto de tres letras, luego

CR 843.2

9.8.76!3!9!

Cn1-nm

nm


¿CÓMO LAS DIFERENCIAMOS?


EJERCICIOS

1. Supongamos que hay ocho diferentes lugares de capacitación administrativa para asignar a ocho empleados en el programa preliminar de capacitación administrativa de una empresa. ¿De cuántas maneras diferentes pueden ser asignados los ocho individuos a los ocho lugares distintos?

2. En referencia a la situación descrita en el ejercicio 1, supongamos que sólo se dispone de seis diferentes lugares para los ocho candidatos. ¿De cuántas maneras diferentes pueden asignar-se los seis lugares distintos a seis de los ocho individuos?

3. En referencia a la situación descrita en el ejercicio 2, supongamos que seis de los lugares dis-ponibles pueden considerarse comparables y en realidad iguales para efectos prácticos. ¿De cuántas maneras pueden elegirse seis de los ocho candidatos para ocupar los seis lugares?

4. Un grupo de proyecto de dos ingenieros y tres técnicos debe formarse a partir de un grupo departamental que incluye a cinco ingenieros y nueve técnicos. ¿Cuántos diferentes grupos de proyecto pueden formarse con los catorce empleados disponibles?

5. Una clave de acceso a un banco consta de dos letras de alfabeto seguidas por dos dígitos. ¿Cuántas claves diferentes hay?

6. ¿Cuántas permutaciones hay de cada uno de los siguientes conjuntos, sin permitir repetición? a. {r, s, t, u} r = 2 b. {1, 2, 3, 4, 5} r = 3 c. {a, b, 1, 2, 3, c} r = 3

7. Para cada conjunto A, encuentre el número de permutaciones de A tomando r elementos a la vez, pudiendo repetir elementos.

a. A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}, r = 3 b. A = {a, b, c, d, e, f}, r = 2 c. A = {x/x es un número entero y x2<16}, r = 4

8. ¿De cuántas maneras 6 hombres y 6 mujeres pueden sentarse en línea si: a. Cualquier persona puede sentarse en seguida de cualquier otra. b. Los hombres y las mujeres deben ocupar asientos alternos.

9. Encuentre el número de permutaciones de la palabra BOUGHT con y sin repetición de térmi-nos.

10. ¿De cuántas maneras puede seleccionarse un comité de tres miembros de facultad y dos de estudiantes, tomándolos de siete miembros de facultad y ocho estudiantes?

11. ¿De cuántas formas se puede elegir un comité de 3 personas de un grupo de 20? ¿Y de cuán-tas si uno debe ser el presidente, otro el vicepresidente y otro el secretario?

12. ¿Cuántos números distintos de 5 cifras se pueden formar con las cifras 1,2,3,5,7,8,9? 13. En una reunión hay tres chicas y siete chicos ¿Cuántos grupos de 5 personas pueden formar-

se? ¿Cuántos si en cada grupo debe haber 2 y solo dos chicas? 14. ¿Cuántos números de cuatro cifras pueden formarse con dos cifras pares (no entra el cero) y

dos impares?

Prof. Jorge Castro Monge, M.Sc. | UNIDAD IV - Relaciones y dígrafos 52

UNIDAD IV - RELACIONES Y DÍGRAFOS

RELACIONES

Una relación R de A en B es cualquier subconjunto de A x B. Si (x, y) R, entonces se dice que “x está relacionado con y” y se escribe x R y o R(x, y).

La notación infija x R y es muy común en matemática, por ejemplo para decir que 3 y 5 están vin-culados por la relación “menor que” se escribe 3 < 5. La notación prefija R(x, y) a veces se usa sin paréntesis, como R xy.

Si A = B entonces en lugar de “relación de A en A” simplemente se dice “relación en A”.

El conjunto de todas las relaciones de A en B es el conjunto P(A x B).

Ejemplo 1. Sea F = {Ana, Berta, Carlos, Diana, Ernesto} una familia en la cual Ana es la madre de Berta, Berta es la madre de Carlos y Diana, y Diana es la madre de Ernesto.

Entonces M = {(Ana, Berta), (Berta, Carlos), (Berta, Diana), (Diana, Ernesto)} es una relación de F en F que corresponde al concepto intuitivo de la relación “es madre de”.

Ejemplo 2. Sean A y B conjuntos de números reales. Se define la siguiente relación R (de igualdad) de A a B:

a R b si y solo sí a = b

Ejemplo 3. Sea A = {1, 2, 3, 4, 5}

Defina la siguiente relación R (menor que) en A:

a R b a < b

Entonces:

R = {(1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (3, 4), (3, 5), (4, 5)}

Ejemplo 4. = el conjunto de todos los enteros positivos. Muestre un ejemplo y un contraejemplo de la siguiente relación R en A:

a R b a divide a b

4 R 12, pero 5 R 7

Ejemplo 5. Una línea aérea da servicio a cinco ciudades c1, c2, c3, c4 y c5. La tabla muestra el costo en dólares del viaje de ci a cj. En consecuencia el viaje de c1 a c3 es de $100, mientras que el costo del viaje de c4 a c2 es de $200.


Defina la siguiente relación entre el conjunto de ciudades A: ci R cj si y sólo sí el costo de ir de ci a cj es menor o igual a $180. Determine R.

R = {(c1,,c2),(c1,c3),(c1,c4),(c2,c4),(c3,c1),(c3,c2),(c4,c3),(c4,c5),(c5,c2),(c5,c4)}

CONJUNTOS QUE SURGEN DE LAS RELACIONES

Sea AxBR una relación de A a B. Se va a definir ahora varios conjuntos importantes y útiles relacionados con R.

El dominio de R, denotado Dom(R), es el conjunto de todos los elementos de A que están relacio-nados con algún elemento de B. En otras palabras, Dom(R), un subconjunto de A, es el conjunto de todos los primeros elementos de los pares que forman R. De modo similar, se define el rango de R, designado por Ran®, como el conjunto de todos los elementos de B que están relacionados con algún elemento de A.

Los elementos de A que no están en Dom(R) no están involucrados en la relación R de manera alguna. Esto es cierto también para los elementos de B que no están en el rango de R.

Ejemplo 6. Si R es la relación definida en A = {1, 2, 3} y B = {r, s} t.q. su relación es

R = {(1,r),(2,s),(3,r)}

Entonces el Dom(R) = A y Ran(R) = B.

Ejemplo 7. Sea A = {1, 2, 3, 4, 5} Definida por la siguiente relación R (menor que) en A: a R b a < b.

Entonces el Dom(R) = {1, 2, 3, 4} y Ran(R) {2, 3, 4, 5}

Teorema 1. Sea R la relación de A a B, y sean A1 y A2 subconjuntos de A. Entonces:

(a) Si 21 AA entonces )()( 21 ARAR

(b) )()()( 2121 ARARAAR

(C) )()()( 2121 ARARAAR


Teorema 2. Sean R y S relaciones de A a B. Si R(a) = S(a) para todas las a de A, entonces R = S.

LA MATRIZ DE UNA RELACIÓN

Es posible representar una relación entre dos conjuntos finitos como una matriz de la siguiente manera. Si A = {a1, a2, … , am} y B = {b1, b2, … , bn} son conjuntos finitos que contienen m y n ele-mentos respectivamente, y R es una relación de A a B, se representa R por la matriz m x n MR = [mij], la cual se define por

),(0

),(1

ji

j

ij

ba

bam

si

si i

La matriz MR se llama matriz de R. A menudo MR proporciona una manera fácil de verificar si R tiene una propiedad dada.

Ejemplo 8. Sea R la relación definida en A = {1, 2, 3} y B = {r, s} t.q. su relación es

R = {(1,r),(2,s),(3,r)}

Entonces la matriz de R es:

010

101

RM

A la inversa, dados los conjuntos A y B con n y m BA , una matriz m x n cuyas entradas son

ceros y unos, determina una relación.

Ejemplo 9. Considere la matriz

001

110

010

101

RM Como M es 3 x 4, entonces A = {a1, a2, a3} y B = {b1, b2, b3, b4}

Entonces 1),( ijji mba . En consecuencia, R = {(a1,b1),(a1,b4),(a2,b2),(a2,b3),(a3,b1),(a3,b3)}

DÍGRAFOS

Si A es un conjunto finito y R es una aplicación sobre A, también se puede representar R gráfica-mente como sigue. Se traza un círculo para cada elemento de A y se marca el círculo con el ele-mento correspondiente de A. A estos círculos se los llama vértices. Se traza a continuación una


flecha, a la flecha se le llama lado o arco, del vértice ai al vértice aj si y solamente sí ai R aj. La re-presentación gráfica resultante de R se llama gráfica dirigida o dígrafo de R.

Ejemplo 10. Sean

A = {1, 2, 3, 4}

B = {(1,1), (1,2), (2,1), (2,2),(2,3),(2,4),(3,4),(4,1)}

Entonces el dígrafo de R es el siguiente:

Ejemplo 11. Encuentre la relación determinada por el siguiente dígrafo.

Un concepto importante para las relaciones es el que inspira la forma visual de los dígrafos. Si R es una relación sobre un conjunto A y Aa , entonces el grado interno de a (relativo a R) es el número Ab t.q. ),( ab . El grado externo de a es el número de ),( baAb t.q. .

Esto significa en términos del dígrafo de R, que el grado in-terno de un vértice es el número de arcos que terminan en el

vértice y el grado externo de un vértice es el número de arcos que salen del vértice.

Ejemplo 12. Considere el dígrafo del ejemplo 9. Determinar los grados internos y externos de cada vértice.

Vértice Grado interno Grado externo 1 3 2 2 2 4 3 1 1 4 2 1


Ejemplo 13. Sea A = {a, b, c, d} y sea R la relación sobre A que tiene la matriz

1000

0100

1110

0101

RM

Construya el dígrafo de R, y haga una tabla de los grados internos y grados externos de todos los vértices.

Vértice Grado interno Grado externo a 2 1 b 3 1 c 1 3 d 1 2

Ejemplo 14. Sea A = {1, 4, 5}, y sea R la relación que da el dígrafo siguiente. Encuentre MR y R.

R = {(1,4), (1,5), (4,1), (4,4), (5,4),(5,5)}

101

111

010

RM


EJERCICIOS:


TRAYECTORIAS EN RELACIONES Y DÍGRAFOS

Supóngase que R es una relación sobre un conjunto A. Una trayectoria de longitud n en R de a a b es una secuencia finita . , , , … , , , que comienza con a y termina con b, tal que:

, , … ,

Debe observarse que una trayectoria de longitud n involucra n + 1 elementos de A, aunque no sean necesariamente distintos.

Ejemplo. Considere el dígrafo de la siguiente figura.

Entonces:

: 1, 2, 5, 4, 3 es una trayectoria de longitud 4 del vértice 1 al vértice 3.

: 1, 2,5,1 es una trayectoria de longitud 3 del vértice 1 al vértice 1.

: 2, 2 es una trayectoria de longitud 1 del vértice 2 al vértice 2.

Una trayectoria que inicia y termina en el mismo vértice se llama ciclo. En el ejemplo anterior, y son ciclos de longitud 3 y 1 respectivamente. Es claro que una trayectoria de longitud 1 se identifica como un par ordenado (x, y) que pertenece a R.

Se define una relación Rn sobre como sigue: x Rny significa que hay una trayectoria de longitud n de x a y en R. También puede definirse una relación sobre A, suponiendo que x y signifi-que que hay una trayectoria en R de x a y. La longitud de esa trayectoria dependerá, en general, de x y y. A la relación se le llama relación de conectividad de R.

Ejemplo: Sea A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Sea R la relación cuyo dígrafo aparece a continuación.


1 R2 2 puesto que 1 R 2 y 2 R 2









Ejemplo: Sean A = {a, b, c, d, e} y

R = {(a, a), (a, b), (b, c), (c, e), (c, d), (d, e)}

Calcule (a) R2; (b) R

El siguiente es el dígrafo de R.

(a) a R2 a puesto que a R a y a R a

a R2 b puesto que a R a y a R b

a R2 c puesto que a R b y b R c

b R2 e puesto que b R c y c R e

b R2 d puesto que b R c y c R d

c R2 e puesto que c R d y d R e

(b) Para calcular R , se necesitan todos los pares ordenados de vértices para los cuales haya una trayectoria de cualquier longitud del primer vértice al segundo.

R = {(a,a),(a,b),(a,c),(a,d),(a,e),(b,c),(b,d),(b,e),(c,d),(c,e),(d,e)}


EJERCICIOS:

Para los ejercicios 1 al 8 utilice el dígrafo que aparece a la derecha.

1. Haga una lista de todas las trayectorias de longitud 1.

a. Haga una lista de todas las trayectorias de longitud2,

que inicien en el vértice 2. b. Haga una lista de todas las trayectorias de longitud 2.

2. (a). Haga una lista de todas las trayectorias de longitud 3, que

inicien en el vértice 3. (b). Haga una lista de todas las trayectorias de longitud 3.

3. Encuentre un ciclo que comience en el vértice 2.


5. Trace el dígrafo de R2.

6. Determine

7. Determine

8. Determine

Para los ejercicios 9 al 19, sea R la relación cuyo dígrafo aparece a la derecha.

9. Haga una lista de todas las trayectorias de longitud 1.

10. Haga una lista de todas las trayectorias de longitud 2 que inicien en el vértice c.

11. Encuentre todas las trayectorias de longitud 2.

12. Haga una lista de todas las trayectorias de longitud 3 que inicien el vértice a.

13. Determine todas las trayectorias de longitud 3.

14. Encuentre un ciclo que comience en el vértice c.

15. Encuentre un ciclo que comience ene vértice d.

16. Dibuje el dígrafo de R2

17. Determine MR2

18. Determine


19. Determine

En los ejercicios 20 al 26, utilice el dígrafo de la figura de la derecha.

20. Determine todas las trayectorias de longitud 3.


22. Encuentre un ciclo que comience ene vértice 7.

23. Dibuje el dígrafo de R2

24. Determine MR2

25. Determine

26. Determine


REPRESENTACIÓN EN COMPUTADORA DE RELACIONES Y DÍGRAFOS

El método directo para almacenar elementos de datos es colocarlos en una lista o arreglo lineal. Esto equivale a poner elementos de datos consecutivos en lugares de almacenamiento con numeración consecutiva en la memoria de la computado-ra. La siguiente figura ilustra dicho método para cinco elementos.

El problema principal que se tiene con este método es que no se puede insertar nuevos datos entre los datos existentes sin tener que mover un número que po-dría ser muy grande de elementos.

Un método alternativo para representar esa secuencia de datos es por medio de

una lista enlazada, que se muestra esquemáticamente en la siguiente figura. Se imagina que tales celdas tienen espacio para dos elemen-tos de información. El primero puede ser de datos (números o sím-bolos), y el segundo elemento es un apuntador (puntero), es decir un número que dice (señala) la localización de la siguiente celda. En consecuencia las celdas pueden estar dispuestas en sucesión, pero los datos no necesariamente están en sucesión.

En la práctica el concepto de lista enlazada por punteros, se puede poner a funcionar utilizando dos arreglos enlazados, un arreglo de datos A y un arreglo de apuntadores P, como se muestra a continua-ción. Obsérvese que una vez que se ha tenido acceso a los datos de la posición A[i], el número de la posición P[i], da o señala, el índice de A que contiene el siguiente elemento de datos.


Ejemplo:

Considere la relación cuyo dígrafo aparece a continuación

Si se desea almacenar el dígrafo en forma de lista enlazada de manera que el orden lógico coincida con la numeración de sus lados, se puede usar el siguiente esquema.

INICIO TAIL HEAD NEXT

El esquema anterior nos permite seguir el rastro del proceso, sin embargo el mismo presenta des-ventajas importantes. En muchos algoritmos, es eficiente localizar un vértice, y luego comenzar de inmediato a investigar los lados que comienzan o terminan en ese vértice. En general esto no es posible con el esquema anterior, por lo que se proporciona una modificación al mismo. Usaremos un arreglo denominado VERT que tiene una posición para cada vértice en el dígrafo. Para cada vértice I, se deben arreglar los apuntadores de SIGUE de manera que enlacen todos los lados que salgan de I, que inicie en el lado al que señale VERT[I]. En cada caso el último de esos lados apun-tará a cero. En este modelo Los arreglos COLA y CABEZA contienen realmente varias listas enlaza-das de lados, una lista para cada vértice.


VERT POS[i] TAIL HEAD NEXT

1 2 2 3 7

2 1 1 2 4

3 6 5 4 0

4 0 1 3 5

5 3 1 6 0

6 9 3 4 8

2 1 0

3 5 10

6 1 0

3 6 0


EJERCICIOS

1. Sea A = {1, 2, 3, 4} y sea R = {(1,1), (1,2), (1,3), (2,3), (2,4), (3,1), (3,4), (4,2)} una relación sobre A. Calcule la Matriz MR que de la representación de R y los valores de los arreglos VERT, TAIL, HEAD y NEXT que describan R como una lista enlazada. Enlazar en orden cre-ciente.

2. Sea A = {1, 2, 3, 4} y sea R la relación cuyo dígrafo aparece al lado. Describa los arreglos VERT, TAIL, HEAD y NEXT que describan R como una lista enlazada, de manera que los la-dos que salen de cada vértice sean alcanzados en la lista en orden creciente.

3. Sea A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} y sea R la relación cuyo dígrafo aparece al lado. Describa los arreglos VERT, TAIL, HEAD y NEXT que describan R como una lista enlazada, de ma-nera que los lados que salen de cada vértice sean alcan-zados en la lista en orden decreciente.

4. Considere los siguientes arreglos VERT = [1, 2, 3, 4] TAIL = [1, 2, 2, 4, 4, 3, 4, 1] HEAD = [2, 2, 3, 3, 4, 4, 1, 3] NEXT = [8, 3, 0, 5, 7, 0, 0, 0] Los cuales describen una relación R en el conjunto A = {1, 2, 3, 4}. Dibuje el dígrafo de R y la matriz MR.

5. Considere los siguientes arreglos VERT = [1, 2, 3, 4, 5] TAIL = [1, 1, 2, 3, 3, 3, 4, 5, 5] HEAD = [2, 4, 3, 4, 1, 5, 1, 1, 2] NEXT = [2, 0, 0, 6, 0, 5, 0, 0, 8] Los cuales describen una relación R en el conjunto A = {1, 2, 3, 4, 5}. Dibuje el dígrafo de R y la matriz MR.

Prof. Jorge Castro Monge, M.Sc. | UNIDAD V - funciones 66

UNIDAD V - FUNCIONES

Una función f del conjunto X al conjunto Y es una relación del conjunto Y. A los elementos del con-junto X se les llamará entradas de f, y a los elementos del conjunto Y se les llamará salidas de f. La notación f : X Y significará que f es una función del conjunto X al conjunto Y. Al conjunto X se le llamará el dominio de f , mientras que al conjunto Y se le llamará codominio de f . Para que f sea considerada una función debe satisfacer dos axiomas:

1. Para cada x X existe un y Y tal que ( , ) :x y f

, / ( , )x X y Y x y f

2. Para cada x X si existen dos elementos y1 y y2 en Y tal que (x, y1) f y (x, y2) f enton-ces y1 = y2:

1 2 1 2 1 2 , , , , ,x X y y Y x y f x y f y y

Para un x X, al único elemento y de Y que cumple (x, y) f , se le simbolizará por f (x) y se le llamará imagen de f en x o también valor de f en x.

El conjunto de todos los elementos de Y que son valores de algún elemento de X se le llamará el rango de f:

, ( )y Y x X f x y

Para un y Y puede o no existir algún elemento x X tal que ( )f x y , al conjunto de todos los posibles x’s que cumplan esto se les llamará imagen inversa de y.

Considérese la función:

Dominio de f = {a, b, c} Codominio de f = {1, 2, 3, 4} f(a) = 1, f(b) = 2, f(c) = 1


Rango de f = {1, 2} Imagen inversa de 1 = {a, c} Imagen inversa de 2 = {b} Imagen inversa de 3 = {} Pares que forman f = {(a,1), (b,2), (c,1)}

FUNCIONES ESPECIALES EN CIENCIAS DE LA COMPUTACIÓN

FUNCIÓN MÓDULO

Sea m un número entero positivo. Para cada número entero n el módulo m de n es el residuo positivo de la división entera de n entre m:

mod 0 y existe otro entero q tal que n m r r m n qm r

Ejemplos:

11 mod 3 2, 11 3 3 2pues

21 mod 4 1, 21 5 4 1pues

21 mod 4 3, -21 6 4 3pues

FUNCIÓN PISO

Para cada número real x el piso de x es el mayor entero que es menor o igual a x, corresponde

esta función al redondeo al número entero menor más próximo: Se representa x

Ejemplos:

4,1 4

0,98 0

8 8

2,1 3


FUNCIÓN TECHO

Para cada número real x el techo x es el menor entero que es mayor o igual a x, redondeo al nú-

mero entero mayor más próximo: Se representa x

Ejemplos:

4,23 5

0,123 1

5 5

1,3 1

FUNCIONES HASH Sirven para garantizar la integridad de los textos. El código ASCII asigna un número a cada letra o signo de puntuación:

Es una clave simétrica estándar internacional. La utilizan, por ejemplo, todos los computadores. Podemos substituir cada letra de un texto por su código ASCII:

65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79A B C D E F G H I J K L M N O

97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111a b c d e f g h i j k l m n o

33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47! " # $ % & ' ( ) * + , - . /

E n u n r i n c ó n d e 69 110 32 117 110 32 114 105 110 99 243 110 32 100 101 32

l a M a n c h a d e c u y108 97 32 77 97 110 99 104 97 32 100 101 32 99 117 121

o n o m b r e n o q u i e111 32 110 111 109 98 114 101 32 110 111 32 113 117 105 101


Podemos utilizar los códigos ASCII de un texto para hacer cualquier cálculo:

Aquí, cada tres caracteres, con sus códigos ASCII, se opera (1º-2º)*3º . La suma de los resultados es una función HASH que identifica perfectamente el texto. Cualquier modificación en el texto provoca un cambio en el valor de la función HASH.

Por ejemplo, al substituir “rincón” por “rincon” sin acento, el valor HASH ha pasado de -11.399 a 3.121. Ejemplo: Ana envía un mensaje a Benito. Al final del mensaje le añade el valor HASH del texto según una función en la que se han puesto previamente de acuerdo. Benito recibe el mensaje y calcula el valor HASH. Si coincide con el que ha dicho Ana puede estar seguro de que el mensaje no ha sido modificado. Los textos enviados electrónicamente pueden deformarse, bien por la intervención de terceras personas, o bien por errores en la transmisión. Las funciones HASH sirven para garantizar la inte-gridad de los textos.

E n u n r i n c ó n d e69 110 32 117 110 32 114 105 110 99 243 110 32 100 101

l a M a n c h a d e c32 108 97 32 77 97 110 99 104 97 32 100 101 32 99

u y o n o m b r e n o q117 121 111 32 110 111 109 98 114 101 32 110 111 32 113

2738

8669-11399

6831

-444 -8658 1254

-1312 224 990 -15840 -6868 -22806

-7372 -4365 1144 6500

7590 8927

E n u n r i n c o n d e69 110 32 117 110 32 114 105 110 99 111 110 32 100 101

l a M a n c h a d e c32 108 97 32 77 97 110 99 104 97 32 100 101 32 99

u y o n o m b r e n o q117 121 111 32 110 111 109 98 114 101 32 110 111 32 113

2738

86693121

6831

-444 -8658 1254

-1312 224 990 -1320 -6868 -8286

-7372 -4365 1144 6500

7590 8927


EJERCICIOS

1. Sea f la función mod 10. Calcule: a. f(417) b. f(38) c. f(253)

2. Sea f la función mod 7. Calcule:

a. f(81) b. f(316) c. f(1057)

3. Calcule cada uno de los siguientes:

a. 2,78 b. 2,78 c. 28 d. 17,8 e. 21,48

4. Calcule cada uno de los siguientes:

a. 3,34 b. 3,34 c. 34 d. 13,4

e. 31,4

5. Utilice la función de hash h, la cual toma los primeros tres dígitos del número de cuenta

como un número y los últimos cuatro dígitos como otro número, los suma y luego aplica la función mod 59. Determine a cuál lista debe agregarse las siguientes cuentas:

a. 3759273 b. 7149021 c. 5167249 d. 6751238 e. 3344543

6. Determine en cuál lista habrá que buscar para encontrar la cuenta de los siguientes clien-tes, si se definió una función hash tal que se toman los cuatro primeros dígitos como un número y se suman al número formado por los últimos tres dígitos y luego se les aplica la función mod de los últimos dos dígitos.

a. 2561384 b. 6082376 c. 4984620 d. 9127655 e. 8712120

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