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Captulo 2. MATLAB

Lenguajes de Programacin

1. OPERACIONES CON MATRICES Y VECTORES


MATLAB es fundamentalmente un programa para clculomatricial.Para definir una matriz no hace falta establecer de antemanosu tamao (de hecho, se puede definir un tamao y cambiarloposteriormente). Las matrices se definen por filas; loselementos de una misma fila estn separados por blancos ocomas, mientras que las filas estn separadas por pulsacionesintro o por caracteres punto y coma (;).


>> A=[1 2 3; 4 5 6; 7 8 9]La respuesta del programa es la siguiente:A =1 2 34 5 67 8 9


Una sencilla operacin con A es hallar su matriz traspuesta.En MATLAB el apstrofo (') es el smbolo de trasposicinmatricial. Para calcular A' (traspuesta de A) basta teclear losiguiente (se aade a continuacin la respuesta del programa):>> A'ans =1 4 72 5 83 6 9


La variable ans puede ser utilizada como operando en lasiguiente expresin que se introduzca. Tambin podrahaberse asignado el resultado a otra matriz llamada B:>> B=A'B =1 4 72 5 83 6 9


Ahora ya estn definidas las matrices A y B, y es posibleseguir operando con ellas. Por ejemplo, se puede hacer elproducto B*A (deber resultar una matriz simtrica):>> B*Aans =66 78 9078 93 10890 108 126


En MATLAB se accede a los elementos de un vectorponiendo el ndice entre parntesis (por ejemplo x(3) x(i)).Los elementos de las matrices se acceden poniendo los dosndices entre parntesis, separados por una coma (por ejemploA(1,2) A(i,j)). Las matrices se almacenan por columnas(aunque se introduzcan por filas, como se ha dicho antes), yteniendo en cuenta esto puede accederse a cualquier elementode una matriz con un slo subndice. Por ejemplo, si A es unamatriz (3x3) se obtiene el mismo valor escribiendo A(1,2) queescribiendo A(4).


Invertir una matriz es casi tan fcil como trasponerla. Acontinuacin se va a definir una nueva matriz A -no singular-en la forma:>> A=[1 4 -3; 2 1 5; -2 5 3]A = 1 4 -3 2 1 5-2 5 3


Ahora se va a calcular la inversa de A y el resultado seasignar a B. Para ello basta hacer uso de la funcin inv( )B=inv(A)B = 0.1803 0.2213 -0.1885 0.1311 0.0246 0.0902-0.0984 0.1066 0.0574


Para comprobar que este resultado es correcto basta premultiplicar A por B;>> B*Aans =1.0000 0.0000 0.00000.0000 1.0000 0.00000.0000 0.0000 1.0000


De forma anloga a las matrices, es posible definir un vectorfila x en la forma siguiente (si los tres nmeros estnseparados por blancos o comas, el resultado ser un vectorfila):>> x=[10 20 30] % vector filax =10 20 30MATLAB considera comentarios todo lo que va desde elcarcter tanto por ciento (%) hasta el final de la lnea.


Si los nmeros estn separados por intros o puntos y coma (;)se obtendr un vector columna:>> y=[11; 12; 13] % vector columnay =111213


MATLAB tiene en cuenta la diferencia entre vectores fila yvectores columna. Por ejemplo, si se intenta sumar losvectores x e y se obtendr el siguiente mensaje de error:

>> x+y??? Error using ==> +Matrix dimensions must agree.


Estas dificultades desaparecen si se suma x con el vectortraspuesto de y:

>> x+y'ans =21 32 43


Operaciones con matrices

+adicin o sumasustraccin o resta*multiplicacin'traspuesta^potenciacin\divisin-izquierda/divisin-derecha.*producto elemento a elemento./ y .\divisin elemento a elemento.^elevar a una potencia elemento a elemento


Los operadores anteriores se pueden aplicar tambin de modomixto, es decir con un operando escalar y otro matricial. Eneste caso la operacin con el escalar se aplica a cada uno delos elementos de la matriz. Considrese el siguiente ejemplo:

>> A=[1 2; 3 4]A =1 23 4


Considrese el siguiente sistema de ecuaciones lineales,

Ax = b

en donde x y b son vectores columna, y A una matrizcuadrada invertible. La resolucin de este sistema deecuaciones se puede escribir en las 2 formas siguientes:

x = inv(A)*b x = A\b


En MATLAB existe tambin la posibilidad de aplicarelemento a elemento los operadores matriciales (*, ^, \ y /).Para ello basta precederlos por un punto (.). Por ejemplo:>> [1 2 3 4]^2??? Error using ==> ^Matrix must be square.>> [1 2 3 4].^2ans =1 4 9 16


> [1 2 3 4]*[1 -1 1 -1]??? Error using ==> *Inner matrix dimensions must agree.

>> [1 2 3 4].*[1 -1 1 -1]ans =1 -2 3 -4


Tipos de datosMATLAB es un programa preparado para trabajar convectores y matrices. Como caso particular tambin trabajacon variables escalares (matrices de dimensin 1). MATLABtrabaja siempre en doble precisin, es decir guardando cadadato en 8 bytes, con unas 15 cifras decimales exactas. Ya sever ms adelante que tambin puede trabajar con cadenas decaracteres (strings) y, desde la versin 5.0, tambin con otrostipos de datos: Matrices de ms dos dimensiones, matricesdispersas, vectores y matrices de celdas, estructuras y clasesy objetos.


Otras formas de definir matricesExisten en MATLAB varias funciones orientadas a definircon gran facilidad matrices de tipos particulares. Algunas deestas funciones son las siguientes:

eye(4) forma la matriz unidad de tamao (4x4)zeros(3,5) forma una matriz de ceros de tamao (3x5)zeros(4) dem de tamao (4x4)ones(3) forma una matriz de unos de tamao (3x3)ones(2,4) idem de tamao (2x4)


linspace(x1,x2,n) genera un vector con n valores igualmente espaciados entre x1 y x2logspace(d1,d2,n) genera un vector con n valores espaciados logartmicamente entre 10^d1 y 10^d2. Si d2 es pi6, los puntos se generan entre 10^d1 y pirand(3) forma una matriz de nmeros aleatorios entre 0 y 1, con distribucin uniforme, de tamao (3x3)rand(2,5) idem de tamao (2x5)


randn(4) forma una matriz de nmeros aleatorios de tamao (4x4), con distribucin normal, de valor medio 0 y varianzamagic(4) crea una matriz (4x4) con los nmeros 1, 2, ... 4*4, con la propiedad de que todas las filas y columnas suman lo mismohilb(5) crea una matriz de Hilbert de tamao (5x5). La matriz de Hilbert es una matriz cuyos elementos (i,j) responden a la expresin (1/(i+j-1)). Esta es una matriz especialmente difcil de manejar por los grandes errores numricos a los que conduce


Formacin de una matriz a partir de otrasA continuacin se describen algunas de las funciones quecrean una nueva matriz a partir de otra o de otras,comenzando por dos funciones auxiliares:

[m,n]=size(A) devuelve el nmero de filas y de columnas de la matriz A. Si la matriz es cuadrada basta recoger el primer valor de retornon=length(x) calcula el nmero de elementos de un vector x


zeros(size(A)) forma una matriz de ceros del mismo tamao que una matriz A previamente creadaones(size(A)) dem con unosA=diag(x) forma una matriz diagonal A cuyos elementos diagonales son los elementos de un vector ya existente xx=diag(A) forma un vector x a partir de los elementos de la diagonal de una matriz ya existente A


diag(diag(A)) crea una matriz diagonal a partir de la diagonal de la matriz Ablkdiag(A,B) crea una matriz diagonal de submatrices a partir de las matrices que se le pasan como argumentostriu(A) forma una matriz triangular superior a partir de una matriz A (no tiene por qu ser cuadrada).tril(A) dem con una matriz triangular inferior


OPERADOR DOS PUNTOS (:)Defnase un vector x con el siguiente comando:

>> x=1:10x =1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

En cierta forma se podra decir que el operador (:) representaun rango: en este caso, los nmeros enteros entre el 1 y el 10.


Por defecto el incremento es 1, pero este operador puedetambin utilizarse con otros valores enteros y reales, positivoso negativos. En este caso el incremento va entre el valorinferior y el superior.>> x=1:2:10x =1 3 5 7 9>> x=10:-1:1x =10 9 8 7 6 5 4 3 2 1


Operadores relacionales

OperadorDescripcinMayor que=Mayor o igual que= =Igual que~ =Distinto que


Operadores lgicos

OperadorDescripcin&and|or~negacin lgica


Funciones matemticas elementales que operan de modo escalar

FuncinDescripcinsin(x)Senocos(x)Cosenotan(x)Tangenteasin(x)Arco senoacos(x)Arco cosenoatan(x)Arco Tangentesinh(x)Seno hiperblico


FuncinDescripcincosh(x)Coseno hiperblicotanh(x)Tangente hiperblicoasinh(x)Arco seno hip.acosh(x)Arco coseno hip.atanh(x)Arco tangente hip.log(x)Logaritmo naturallog10(x)Logaritmo decimal


FuncinDescripcinexp(x)funcin exponencialsqrt(x)raz cuadradasign(x)devuelve -1 si 0.rem(x,y)resto de la divisinmod(x,y)similar a remround(x)redondeo hacia el entero ms prximofix(x)redondea hacia el entero ms prximo a 0


FuncinDescripcinfloor(x)valor entero ms prximo hacia -ceil(x)valor entero ms prximo hacia +real(x)partes realesimag(x)partes imaginariasabs(x)valores absolutosangle(x)ngulos de fase


Funciones que actan sobre vectores

FuncinDescripcin[xm,im]=max(x)mximo elemento de un vector. Devuelve el valor mximo xm y laposicin que ocupa immin(x)mnimo elemento de un vector. Devuelve el valor mnimo y la posicin que ocupasum(x)suma de los elementos de un vector


FuncinDescripcincumsum(x)devuelve el vector suma acumulativa de los elementos de un vectormean(x)valor medio de los elementos de un vectorstd(x)desviacin tpicaprod(x)producto de los elementos de un vector


FuncinDescripcincumprod(x)devuelve el vector producto acumulativo de los elementos de un vector[y,i]=sort(x)ordenacin de menor a mayor de los elementos de un vector x. Devuelve el vector ordenado y, y un vector i con las posiciones iniciales en x de los elementos en el vector ordenado y.


Funciones que actan sobre matrices

FuncinDescripcinB = A'calcula la traspuesta (conjugada) de lamatriz AB = A.'calcula la traspuesta (sin conjugar) de la matriz Av = poly(A)devuelve un vector v con los coeficientes del polinomio caracterstico de la matriz cuadrada A


FuncinDescripcint = trace(A)devuelve la traza t (suma de los elementos de la diagonal) de una matriz cuadrada A[m,n] = size(A)devuelve el nmero de filas m y de columnas n de una matriz rectangular An = size(A)devuelve el tamao de una matriz cuadrada Anf = size(A,1)devuelve el nmero de filas de Anc = size(A,2)devuelve el nmero de columnas de A


2. PROGRAMACIN DE MATLAB


SENTENCIA IFEn su forma ms simple, la sentencia if se escribe en la formasiguiente

if condicion sentenciasend


Existe tambin la bifurcacin mltiple,

if condicion1 bloque1 elseif condicion2 bloque2 else bloque4end


SENTENCIA SWITCHswitch switch_expresion case case_expr1, bloque1 case {case_expr2, case_expr3, case_expr4,...} bloque2 ... otherwise, % opcin por defecto bloque3end


SENTENCIA FORfor i=1:n sentenciasend

o bien,for i=vectorValores sentenciasenddonde vectorValores es un vector con los distintos valoresque tomar la variable i.


SENTENCIA WHILEwhile condicion sentenciasend

donde condicion puede ser una expresin vectorial omatricial. Las sentencias se siguen ejecutando mientras hayaelementos distintos de cero en condicion, es decir, mientrashaya algn o algunos elementos true. El bucle se terminacuando todos los elementos de condicion son false


SENTENCIA BREAKla sentencia break hace que se termine la ejecucin del buclems interno de los que comprenden a dicha sentencia.


SENTENCIA CONTINUELa sentencia continue hace que se pase inmediatamente a lasiguiente iteracin del bucle for o while, saltando todas lassentencias que hay entre el continue y el fin del bucle en laiteracin actual.


SENTENCIAS TRY...CATCH...ENDLa construccin try...catch...end permite gestionar los errores.try sentencias1catch sentencias2endEn el caso de que durante la ejecucin del bloque sentencias1se produzca un error, el control de la ejecucin setransfiere al bloque sentencias2. Si la ejecucin transcurrieranormalmente, sentencias2 no se ejecutara nunca.


FUNCIN INPUTLa funcin input permite imprimir un mensaje en la lnea decomandos de MATLAB y recuperar como valor de retorno unvalor numrico o el resultado de una expresin tecleada por elusuario.

>> n = input('Teclee el nmero de ecuaciones')


FUNCIN DISPLa funcin disp permite imprimir en pantalla un mensaje detexto o el valor de una matriz, pero sin imprimir su nombre.

>> disp('El programa ha terminado')>> A=rand(4,4)>> disp(A)


FUNCION FPRINTFLa cadena de control contiene los formatos de escritura. Porejemplo:

vol = 2.0393938; fprintf('El volumen de la esfera es: %12.5f \ n',vol);El volumen de la esfera es: 2.03939


En el ejemplo expuesto, El volumen de la esfera es la cadenaque se exhibir, %12.5f es el formato, y \n es el operador decambio de lnea.


DEFINICIN DE FUNCIONESLa primera lnea de un fichero llamado name.m que defineuna funcin tiene la forma:

function [lista de valores de retorno] = name(argumentos)

donde name es el nombre de la funcin. Entre corchetes yseparados por comas van los valores de retorno (siempre quehaya ms de uno), y entre parntesis tambin separados porcomas los argumentos.


EVALUACIN DE FUNCIONES MEDIANTE REFERENCIASPara evaluar una referencia de funcin MATLAButiliza la funcin feval, que se llama de la formasiguiente:[r1, r2, r3, ...] = feval(fh, arg1, arg2, arg3, ...)donde fh es una referencia de funcin y r1, r2, r3, ...y arg1, arg2, arg3, ... son respectivamente losvalores de retorno y los argumentos de la funcincuya referencia es fh.


EjerciciosCree un archivo M de funcin, fun_es(x) que calcule la siguiente funcin: y = 0.5 e - x sen(x) El argumento debe aceptar tanto un escalar como un vector. Pruebe su funcin tecleando en MATLAB fun_es(3) fun_es([1 2 3]) x/32


2. Implementar un programa que permita evaluar evaluar el factorial de un nmero entero positivo. Por ejemplo: Si n = 5: S = 5*4*3*2*1 Si n = 3: S = 3*2*13. Implementar programas que permitan evaluar las siguientes series:

a. La suma de los n primeros trminos de la serie: S = 2 - 4 + 6 - 8+ ...


b. La suma de los n primeros trminos de la funcin:

4. Realizar un programa que permita obtener n nmeros diferentes al azar, comprendidos entre otros dos a y b.


3. GRFICOS BIDIMENSIONALES


Funciones grficas 2D elementales

FuncinDescripcinplot()crea un grfico a partir de vectores y/o columnas de matrices, con escalas lineales sobre ambos ejesloglog()dem con escala logartmica en ambos ejessemilogx()dem con escala lineal en el eje de ordenadas y logartmica en el eje de abscisassemilogy()dem con escala lineal en el eje de abscisas y logartmica en el eje de ordenadas


FuncinDescripcintitle('ttulo')aade un ttulo al dibujoxlabel('tal')aade una etiqueta al eje de abscisas. Con xlabel off desapareceylabel('cual')aade una etiqueta al eje de ordenadas. Con ylabel off desaparece


FuncinDescripcintext(x,y,'texto')introduce 'texto' en el lugar especificado por las coordenadas x e y. Si x e y son vectores, el texto se repite por cada par de elementos. Si texto es tambin un vector de cadenas de texto de la misma dimensin, cada elemento se escribe en las coordenadas correspondientes


FuncinDescripcingtext('texto')introduce texto con ayuda del ratn: el cursor cambia de forma y se espera un clic para introducir el texto en esa posicingridactiva la inclusin de una cuadrcula en el dibujo. Con grid off desaparece la cuadrcula


>> x=[-10:0.2:10]; y=sin(x).*exp(-x);>> plot(x,y)


Colores, estilos de lnea y marcadores en la funcin plot


>> x=[-10:0.2:10]; y=sin(x).*exp(-x);>> plot(x,y,ko)


Aadir lneas a un grfico ya existenteSe utilizan para ello los comandos hold on y hold off. Elprimero de ellos hace que los grficos sucesivos respeten losque ya se han dibujado en la figura (es posible que haya quemodificar la escala de los ejes); el comando hold off deshaceel efecto de hold on.


>> clear; clf;>> x=[0:0.2:10]; y1=0.2*sin(x); y2=0.2*cos(x);>> y3=sin(x).*exp(-0.2*x);>> plot(x,y1,k)>> hold on>> plot(x,y2,r)>> plot(x,y3,b)>> hold off


COMANDO SUBPLOTUna ventana grfica se puede dividir en m particioneshorizontales y n verticales, con objeto de representarmltiples grficos en ella. Cada una de estas subventanastiene sus propios ejes, aunque otras propiedades son comunesa toda la figura. La forma general de este comando es:

subplot(m,n,i)

donde m y n son el nmero de subdivisiones en filas ycolumnas, e i es la subdivisin que se convierte en activa.


>> x=0:0.2:10;>> y=sin(x); z=cos(x); w=exp(-x*.1).*y; v=y.*z;>> subplot(2,2,1), plot(x,y)>> subplot(2,2,2), plot(x,z)>> subplot(2,2,3), plot(x,w)>> subplot(2,2,4), plot(x,v)


axis([xmin, xmax, ymin, ymax])mientras que :axis('auto')devuelve el escalado de los ejes al valor por defecto oautomtico.

Control de los ejes


axis('ij') utiliza ejes de pantalla, con el origen en la esquina superior izda.y el eje j en direccin vertical descendenteaxis('xy') utiliza ejes cartesianos normales, con el origen en la esquinainferior izda. y el eje y vertical ascendenteaxis('equal') el escalado es igual en ambos ejesaxis('square') la ventana ser cuadradaaxis('image') la ventana tendr las proporciones de la imagen que sedesea representar en ella (por ejemplo la de una imagen bitmap que sedesee importar) y el escalado de los ejes ser coherente con dicha imagenaxis('normal') elimina las restricciones introducidas por 'equal' y 'square'axis('off') elimina las etiquetas, los nmeros y los ejesaxis('on') restituye las etiquetas, los nmeros y los ejes


FUNCIN LINE()La funcin line() permite dibujar una o ms lneasque unen los puntos cuyas coordenadas se pasancomo argumentos.Para dibujar un segmento de color verde entre dospuntos, esta funcin se llamara de la siguientemanera:line([xini, xend]', [yini, yend]', 'color', 'g')


Se puede tambin dibujar dos lneas a la vezutilizando la forma:

line([xini1 xini2; xend1 xend2], ([yini1 yini2; yend1yend2]);

Se pueden controlar las caractersticas de la lnea por mediode pares parmetro/valor, como por ejemplo:

line(x,y,'Color','r','LineWidth',4,'MarkerSize',12,'LieStyle',','Markr,'*')


Preparacin de pelculas o "movies"Para preparar pequeas pelculas o movies se puedenutilizar las funciones movie, moviein y getframe

M = moviein(17);x=[-2*pi:0.1:2*pi]';for j=1:17 y=sin(x+j*pi/8); plot(x,y); M(:,j) = getframe;endmovie(M,10,15)


EjerciciosGrafique las funciones en el dominio que se indica y = , 0 x 4p

y = ,0 x 4sen(x)1+cos(x)11+(x-2)2


4. GRFICOS TRIDIMENSIONALES


DIBUJO DE LNEAS: FUNCIN PLOT3La funcin plot3 es anloga a su homloga bidimensionalplot. Su forma ms sencilla es la siguiente:

>> plot3(x,y,z)

que dibuja una lnea que une los puntos (x(1), y(1), z(1)),(x(2), y(2), z(2)), etc. y la proyecta sobre un plano parapoderla representar en la pantalla.


>> clear; clf>> fi=[0:pi/20:6*pi]; plot3(cos(fi),sin(fi),fi,k')


DIBUJO DE MALLADOS: FUNCIONES MESHGRID, MESH Y SURFSean x e y dos vectores que contienen las coordenadas en unay otra direccin de la retcula (grid) sobre la que se va adibujar la funcin. Despus hay que crear dos matrices X(cuyas filas son copias de x) e Y (cuyas columnas son copiasde y). Estas matrices se crean con la funcin meshgrid. Estasmatrices representan respectivamente las coordenadas x e y detodos los puntos de la retcula. La matriz de valores Z secalcula a partir de las matrices de coordenadas X e Y.Finalmente hay que dibujar esta matriz Z con la funcinmesh.


>> clear; clf;>> x=-1:0.1:1;y=-1:0.1:1;>> [X,Y]=meshgrid(x,y);>> Z=exp(-(X.^2+Y.^2));>> mesh(X,Y,Z)>> xlabel('x');ylabel('y');zlabel('z')


surf(U,V,W)


alpha(0.4) %Transparencia


>> mesh(X,Y,Z,'EdgeColor','Black')


DIBUJO DE LNEAS DE CONTORNO: FUNCIONES CONTOUR >> [X,Y]=meshgrid([-1:0.1:1],[-1:0.1:1]);>> Z=exp(-(X.^2+Y.^2))


>> contour(X,Y,Z,12) %12 curvas de nivel


>>contour3(X,Y,Z,20)


surfc(X,Y,Z)


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