CURVAS CONICASConstrucción y solución de empalmes continuos

MORFOLOGÍA · Diseño IndustrialCátedra Laurencena

Universidad Nacional de MisionesFacultad de Artes y Diseño

CIRCUNFERENCIA ELIPSE PARABOLA HIPERBOLA

CIRCUNFERENCIA

C

Q

Tg Q

90º

Para la construcción de una circunferenciadebemos definir en primer lugar un centro C.Posteriormente debemos determinar sutamaño en función de la longitud del radioR.

Ten en cuenta que todos los puntos que componen la curva se encuentran a la mismadistancia del centro C, por lo tanto su radio Res constante.

Para conocer la tangente Tg de un puntocualquiera dado, simplemente debemos trazar una línea recta perpendicular al radio ypasante por dicho punto, es decir, formandoun ángulo de 90º entre sí.

En el ejemplo dibujado se muestra latangente Tg Q correspondiente al punto Q.

R

ELIPSE

Para la construcción de una elipse debemos definir un diámetro mayor y un diámetromenor, las dos dimensiones fundamentalesque determinan las proporciones de estacurva.

A continuación vamos a presentar unasecuencia de dibujos para explicar elprocedimiento para la construcción de unaelipse.

ELIPSE

Para la construcción de una elipse debemos definir un diámetro mayor DM y un diámetro menor dm, las dos dimensiones fundamentales que determinan las proporciones de estacurva.

Una vez dibujadas las dos circunferenciasvamos a trazar una serie de líneas rectasque, partiendo desde el centro C, cortena dichas circunferencias en dos puntos. Unavez dibujadas las rectas es importantemarcar los puntos de intersección para poder identificarlos claramente.

Ten en cuenta que cuanta mayor sea lacantidad de líneas mayor será la cantidadinformación que obtengas para luegotrazar la elipse resultante.

DM

dm

C

ELIPSE

Una vez identificados los puntos quecorresponden a la intersección entre laslíneas y las circunferencias deberemostrazar líneas horizontales y verticales conorigen en dichos puntos, y prolongar dichaslíneas hasta que las mismas se crucen en unpunto.

Es importante considerar que dichas líneas horizontales y verticales deben ser paralelasa los ejes X e Y.

Cada uno de los puntos obtenidos a partirdel cruce de dichas líneas son puntos dela elipse que estamos construyendo.

En el dibujo mostrado solo estamosobteniendo los puntos de un cuarto deelipse, de manera que deberás repetireste procedimiento con los cuatrocuadrantes.

Y

X

ELIPSE

El último paso consiste en trazar la elipseresultante.

ELIPSE

Para hallar la tangente de un puntocualquiera de una elipse primero debemoshallar dos puntos fundamentales llamadosfocos. Dichos puntos se ubican sobre eldiámetro mayor.

Para calcular la posición de los focosdebemos trazar una circunferencia que conradio CA y centro en B intercepte al diámetro mayor en dos puntos.

C

F1 F2

radio CA

B

A

ELIPSE

Una vez obtenidos los focos debemos elegir el punto del cual queremos conocersu tangente. Luego vamos a unir dichopunto con los focos.

Como se observa en el dibujo las rectas queunen el punto con los focos forman unángulo ß. El paso siguiente consiste en medir dicho ángulo y trazar una línea rectaque pasando por el punto P divida al ángulo en dos partes iguales.

Dicha recta, que divide al ángulo ß en dospartes iguales se llama bisectriz. C

F1 F2

BP

ß

A

bisectriz

ELIPSE

El último paso para hallar la tangente delpunto P consiste en trazar una recta que,pasando por el punto P, forme un ángulode 90º con la bisectriz de ángulo ß.

Dicha recta es la tangente Tg P del punto P.

C

F1 F2

BP

Tg P ß

A

bisectriz

PARABOLA

Para la construcción de una paráboladebemos previamente definir dos dimensiones que son las que determinarán las proporciones de dicha parábola.

La primera de esas dimensiones es el anchode las ramas de la parábola. La segundadimensiones es la áltura de la parábola, es decir, la distancia que existe desde el vérticeV hasta la línea que une los extremos de lasramas.

V

Ancho de ramas

Altu

ra d

e la

par

ábol

aA

ltura

de

la p

aráb

ola

PARABOLA

Una vez definidas las dimensiones mencionadas en el esquema anterior debemos trazar dos líneas rectas que unan los puntos A y A´ (que son los puntos extremos de la parábola), con el punto Q.

Puede observarse que la distancia entre lospuntos V y Q es la misma que laaltura de la parábola.

Una vez dibujadas las líneas que unen A yA´ con Q vamos a sub dividir los segmentosde los cuatro cuadrantes en partes iguales.A modo de ayuda podemos numerar los segmentos.

V

A

Q

A´

0

11

1

2

3

4

5

6

7

2

3

4

5

6

7

2

3

4

5

6

7

1

2

3

4

5

6

7

PARABOLA

Una vez divididos los segmentosde los cuatro cuadrantes en partes igualesdebemos unir con líneas rectas los puntoscon igual número y cuadrantes opuestos,tal como se muestra en el dibujo adjunto.

Las rectas resultantes son tangentes de la parábola que queremos construir, demanera que la curva deberá ser trazada tocando dichas rectas en un punto.

V0

11

1

2

3

4

5

6

7

2

3

4

5

6

7

2

3

4

5

6

7

1

2

3

4

5

6

7

PARABOLA

Las rectas resultantes son tangentes de la parábola que queremos construir, demanera que la curva deberá ser trazada tocando dichas rectas en un punto.

V0

11

1

2

3

4

5

6

7

2

3

4

5

6

7

2

3

4

5

6

7

1

2

3

4

5

6

7

PARABOLA

Para hallar la recta tangente de un puntodado debemos comenzar uniendo dichopunto con una recta que pase por el mismoy forme un ángulo de 90º con el eje de laparábola.

V

P Q90º

Tg P

PARABOLA

Como se observa en el dibujo queda definida una distancia entre Q y V, que replicaremos según el esquema,definiendo una distancia VQ´.

El último paso consiste en unir con unalínea recta Q´ con P. La línea recta resultantees la tangente Tg del punto P.

V

P Q90º

Q´

EMPALMES CONTINUOS

Un empalme es la unión entre dos segmentos de curvas. Esta operación esútil para el diseño de figuras en el plano ysectores de superficies.

Los empalmes pueden ser continuos o discontinuos.

Los empalmes continuos son aquellos casos en los que las tangentes de los segmentos de curvas unidos, en el punto de unión, son coincidentes.

Observemos, por ejmplo, el caso mostradoen el siguiente esquema. Queremos unir lacurva C1 y la curva C2 de manera continuapor los puntos Q1 y Q2.

Para que esto se cumpla debemos analizar sus tangentes en dichos puntos y ver si las mismas son coincidentes.

Al unir las curvas según los puntos Q1 y Q2vemos que las tangentes son coincidentes.Entonces podemos afirmar que el empalmees continuo.

Curva 1

Q1

Q2

TgQ2 Curva 2

TgQ1

Curva 1

Q1Q2

TgQ2 Curva 2

TgQ1

EMPALMES CONTINUOSCircunferencias

Dada una circunferencia C1 podemos plantear la posibilidad de realizar unempalme continuo con una circunferenciaC2.

Como sabemos que la tangente de unpunto cualquier de la circunferencia C1 forma un ángulo de 90º con el radio R1,entonces cualquier circunferencia C2 y cuyo centro se ubique en la prolongación deR1 nos permitirá resolver un empalmecontinuo.

C1

Q

Tg Q

90º

R1

C1

Q

Tg Q

90º

C2

R1

EMPALMES CONTINUOSElipses

Dada una elipse E1 podemos plantear laposibilidad de un empalme continuo a partir de conocer la tangente del puntoque queremos empalmar.

Como sabemos que la tangente de un puntodado forma un ángulo de 90º con respectoa la bisectriz, entonces cualquier circunferencia C2 y cuyo centro se ubique en la prolongación de la bisectriz nos permitirá resolver un empalme continuo.

C2

F1 F2Tg P

bisectriz

P

Tg P

V

P Q90º

90º

Q´

EMPALMES CONTINUOSParábolas

Dada una parábola P1 podemos plantear laposibilidad de un empalme continuo a partir de conocer la tangente del puntoque queremos empalmar.

Como sabemos que la tangente de un puntodado puede ser calculada geometricamenteentonces cualquier circunferencia C2 y cuyo centro se ubique en la prolongación de una recta perpendicular a dicha tangente nos permitirá resolver un empalme continuo. C2