CURVAS DE

PERSECUSIÓN

Se denomina curva de

persecución a la curva

que describe un objeto

que se desplaza a

velocidad w constante, y

que persigue de manera

óptima a otro que se

desplaza en línea recta a

velocidad v también

constante. Curva de persecución (en azul).

¿Qué ruta debe seguir un destructor para aniquilar a un

submarino que huye en línea recta y en dirección

desconocida, pero a velocidad constante?

PROBLEMA N°01

CASO 1:

El destructor avanza

hasta que su distancia

al origen iguale a la

distancia del submarino

al origen.

v

)d-(x=

v

)d (=t

D

1o

S

11

x

=t o1

SD vv

CASO 2:

El destructor avanza

primero hasta llegar al

origen, y sigue

avanzando hasta que

su distancia al origen

sea igual que la

distancia del submarino

al origen.

v

)d(x=

v

)d (=t

D

2o

S

22

x=t o

2

SD vv

A partir de alguno de esos puntos, la estrategia consistirá en

espiralear alrededor del origen, de tal modo que en todo

tiempo la distancia del destroyer al origen sea la misma que la

distancia del submarino al origen.

En coordenadas polares:

Además:

Entonces:

Entonces:

La cual es una E.D de variables

separables y cuya solución sería:

De donde se desprende que:

La trayectoria es una espiral logarítmica y la constante c

dependerá de cuál de los dos casos se elegirá como inicial.

Trayectoria del CASO 1 Trayectoria del CASO 2

Básicamente son la misma espiral pero con diferente comienzo.

PROBLEMA N°02

¿Qué trayectoria seguirá un perro al perseguir a un gato que

corre en línea recta?

Planteamiento

Un perro ve

a un gato a

una

distancia xo

… el gato huye en línea recta

Escogemos un punto cualquiera (x,y) sobre la curva y

calculamos la pendiente (m) de la recta tangente a la curva

en tal.

Derivando la ecuación (1) :

Además:

puesto que x avanza en dirección negativa.

Y: entonces:

Haciendo: y

tendremos:

Evaluando las condiciones iniciales:

Cuando

Se entiende que

Es lógico, el perro debe ser más rápido para que

algún día pueda alcanzar al gato.

Así, la trayectoria de persecución será:

PROBLEMA N°03

¿Qué trayectoria se dibujará si cada hormiga persigue a la que

está en el vértice siguiente?

Planteamiento

Asumir el lado del cuadrado = a

Calculamos la pendiente de la recta tangente a la

trayectoria de una hormiga

Cuando

Entonces la trayectoria de una hormiga queda

representada por:

Las trayectorias de las otras hormigas (en orden antihorario)

serán: