Curvas Equipotenciales

PRIMER LABORATORIO DE FÍSICA III FIGMM

PRIMER LABORATORIO DE FÍSICA III

CURVAS EQUIPOTENCIALES

1) OBJETIVOS :

En el presente trabajo tendremos como objetivo graficar y trazar curvas equipotenciales correspondientes a diferentes configuraciones de electrodos metálicos.

Determinar una expresión matemática con la cuál podamos determinar el potencial eléctrico en un punto cualquiera del plano bidimensional, generado por las distintas configuraciones.

Interpretar la relación entre la configuración de curvas equipotenciales halladas en laboratorio y las curvas equipotenciales teóricas.

2) FUNDAMENTO TEÓRICO :

Para tener un mejor entendimiento de lo que veremos más adelante, mostraremos algunas nociones y conceptos de la electrostática.

A) Campo Eléctrico : Existen distintos tipos de campo en la naturaleza, pero esta vez nos centraremos en la definición de campo eléctrico, esto es, si colocamos una carga q1, ésta produce un campo eléctrico en el espacio que lo rodea. Ahora si colocamos, esta vez, una carga de prueba q2, ésta experimentaría una fuerza.Se deduce que el campo juega un papel intermedio en lasfuerzas que obran entre las cargas. Entonces podemos decir que el campo eléctrico está íntimamente ligado a la distribución de cargas.


B) Líneas de Fuerza: Son líneas imaginarias que representan la trayectoria de una partícula cargada si es que fuese colocada en algún campo eléctrico.

Las líneas de fuerza presentan las siguientes características:

• Las líneas de fuerza comienzan en las cargas positivas y terminan en las negativas.

• La densidad de líneas es proporcional al valor del campo.

• No existe intersección entre las líneas de fuerza resultantes.

• La tangente a la línea en cualquier punto es paralela a la dirección del campo eléctrico en ese punto.

C) Potencial Eléctrico : Los conceptos mencionados anteriormente son muy importantes para reconocer las superficies equipotenciales. La distribución del

potencial eléctrico en una cierta región donde existe un campo eléctrico puede representarse de manera grafica mediante superficies equipotenciales.

Una curva o superficie equipotencial es el lugar geométrico de los puntos de igual potencial, donde se cumple que el potencial eléctrico generado por alguna distribución de carga o carga puntual es constante.

Si el potencial eléctrico es constante, la diferencia de potencial se define de la siguiente manera.

Si ΔV=VB-VA pero VB = VA , entonces VB-VA = VB-VB = 0

Como q no es cero, el producto escalar de los vectores F y dr es cero:

F.dr=0. en otras palabras se puede afirmar lo siguiente:

VAB = = 0


Como dr pertenece a la superficie equipotencial, por álgebra vectorial se concluye F es ortogonal a dr, de aquí se puede determinar que las líneas de fuerza siempre son perpendiculares a las superficies equipotenciales y como el campo eléctrico E es paralelo a la fuerza eléctrica, se puede concluir también que el campo eléctrico también es perpendicular a una superficie equipotencial, también se puede concluir que el trabajo requerido para llevar a una carga de un sitio A a un sitio B (siendo A y B pertenecientes a la equipotencial) es cero.

Las Nociones anteriores nos servirán para comprender mejor las ecuaciones que vendrán a continuación la cual nos servirá para determinar una expresión directa para el cálculo del potencial en el plano.

Medición de equipotenciales mediante la resolución de la ecuación de Laplace y Poisson:

Mét o dos gráficos: Los métodos gráficos son menos precisos pero pueden ejecutarse con

papel y lápiz. Gráficamente pueden resolverse problemas bidimensionales de Laplace y, con algo más de dificultad e incluso problemas de Poisson. Consideraremos solamente campos laplacianos bidimensionales. Sea un campo:

que cumpla la ecuación de Laplace

Una solución analítica para la ecuación de poisson seria:

Teniendo en consideración que los campos F que son irrotacionales en una cierta región del espacio, cumplen en ella una ecuación de tipo Poisson.

Si en υ

http://www.monografias.com/trabajos34/el-trabajo/el-trabajo.shtml

http://www.monografias.com/trabajos12/exal/exal.shtml


La ecuación homogénea, ecuación de Laplace

que será válida en regiones donde F sea solenoidal.El problema que se plantea es la búsqueda de la solución de estas

ecuaciones en un cierto volumen y bajo unas ciertas condiciones de contorno. Se ha visto que las condiciones de Dirichlet, o las mixtas, en las cuales se fija el valor de f en al menos parte de la superficie del contorno, aseguran la unicidad del potencial, mientras que las condiciones de Neumann, en las que se fija solamente la componente normal del campo Fn, implican la unicidad de este último.

La resolución de la ecuación de Poisson puede llevarse a cabo sumando a la solución general de la ecuación de Laplace una solución particular de la de Poisson y ajustando los coeficientes de esta suma para cumplimentar las condiciones de contorno.

Muchos problemas importantes de campos electrostáticos, campos magnetostáticos y corrientes estacionarias responden a este tipo de ecuaciones.

Para medios no conductores de clase A, el campo electrostático cumple las ecuaciones

Haremos la deducción del método de diferencias finitas para el problema bidimensional. Así, consideremos una función V(x,y), la cuál desarrollamos alrededor de un punto en serie de Taylor:

Sumando miembro a miembro (1) y (2), agrupando y despejando el término en derivada segunda resulta:


De forma similar se obtiene la expresión para la coordenada “y”:

Recordando la ecuación de Poisson:

sustituyendo las derivadas segunda por sus equivalentes (3) y (4) podemos expresarla en la siguiente forma:

Siendo que la carga es nula en la región considerada, con lo que la densidad de carga “ρ”, vale la ecuación de Laplace, verificándose que:

(7)

Lo que significa que el valor del potencial en un punto es la media de los potenciales en los puntos circundantes.


3) CÁLCULOS Y RESULTADOS :

De acuerdo a lo obtenido en el laboratorio, mostraremos los datos experimentales y las respectivas curvas equipotenciales para las dos diferentes configuraciones analizadas las cuales son: A) Placa – Punto y B) Anillo – Punto.

Utilizaremos la resolución de las ecuaciones de Poisson y Laplace para determinar los puntos restantes que no fueron obtenidos en el laboratorio, para así poder graficar con exactitud las curvas y regiones equipotenciales.

De la ecuación deducida en el marco teórico tenemos:

V ( x , y )=V ( x+h , y )+V ( x−h , y )+V (x , y+h )+V (x , y−h)

4

Con esta ecuación podremos hallar el potencial en un determinado punto del plano conociendo otros cuatro puntos equidistantes, con esto procedemos a hallar algunos puntos no conocidos.

Para PLACA-PUNTO:

V (−9,7 )=V ( x+h , y )+V ( x−h , y )+V ( x , y+h )+V ( x , y−h )4

= 0 V−4 V +1V −3 V4

=−1.5 V


=−4 V −8V−7 V −3V4

=−5.5V


=−8V−7 V−11V −11V4

=−9.25 V


=−15V −15 V−11V −11V4

=−13


=−15V −15 V−19 V−19 V4

=−17 V

V (1,7 )=V ( x+h , y )+V ( x−h , y )+V ( x , y+h )+V ( x , y−h )4

=−23V −23 V−19 V−19 V4

=−21 V


=−23V −23 V−27 V −27V4

=−25V


=−31V −31V −27 V−27 V4

=−29 V



=−31V −31V −35V −36 V4

=−33.25 V


=−37 V−39 V−35 V −36V4

=−36.75

De esta manera podemos hallar de manera aproximada las coordenadas de los puntos que queremos, en este caso hemos tomado las coordenadas en el cual el potencial es igual 0V, -7V, -11V, -19V, -29V y -39V para poder dibujar sus respectivas superficie equipotencial. Estos puntos serán visto luego en los cuadros mas adelante.

Para ANILLO-PUNTO:


= 0 V−1 V +1V −3 V4

=−0.75 V


=−3V −1V −5V−5V4

=−3.5 V


=−5V −5 V−7V −8 V4

=−6.25 V


=−7V−3V−10V −9 V4

=−7.25 V


=−10V −9 V−13 V −12V4

=−11V


=−13V −12V −15 V−15 V4

=−13.75 V


=−15V −15 V−19 V−18 V4

=−16.75 V


=−19V −18V −22 V−22 V4

=−20.25 V


=−22V −22V −24 V−26 V4

=−23.5V


=−24 V−26V −27 V−30V4

=−26.75

De igual manera en que en la parte anterior de esta manera podemos hallar aproximadamente las coordenadas donde están las superficies equipotenciales, para este caso también tomamos puntos que están conocidos por el experimento y otros los hallamos mediante la manera antes explicada, los potenciales usados en este caso fueron: 0V, -5V, -7V, -15V y -37V. Estos puntos al igual que los anteriores servirán para poder graficar las superficies equipotenciales.


A) Configuración Placa – Punto: Curvas equipotenciales

V= 0 V= -7 V=-19 X Y X Y X Y

-10 8 -6.2 7 8 0-9.2 6 -6 6 6 0-9.3 4 -6 4 4 0-8 2 -6 2 2 0

-9.2 0 -6 0 1 0.7-9 -2 -6 -2 -3 0.1

-9.5 -4 -6 -4 -5 0-9.2 -6 -6.2 -5 -6 -0.2-10 -8 -6.6 -7 -8 -0.5

V=-29 V=-39 V=-45 X Y X Y X Y7 5 8 12 10 44 4 6 10 9 22 4 4 8 9.8 0-2 3.8 1 8.3 8.75 -2-4 4 -1 7.8 10.5 -4-6 4 -3 7.5 -8 4.8 -6 8

B) Configuración Anillo – Punto: Curvas EquipotencialesV= 0 V= -5 V=-7 V=-15 V=-37

X Y X Y X Y X Y X Y-10 8 -6 8 -4 8 2 8 10 4-9.3 6 -5 6 -4.6 6 2 6 8.9 2-8 4 -5.1 4 -4 4 0.5 4 8.25 0

-7.2 2 -5 2 -4 2 0 2 8.65 -2-7.1 0 -4.8 0 -4 0 0 0 9.5 -4-7.2 -2 -4.8 -2 -4 -2 0.8 -2-7.5 -4 -5 -4 -4 -4 0 -4-8 -6 -5.1 -6 -4 -6 0.5 -6

-8.9 -8 -5.5 -8 -4.5 -8 0.5 -8


A) Curvas Equipotenciales “Placa - Punto”:


B) Curva Equipotencial “Anillo - Punto”:


A) Planilla de voltajes “Placa – Punto”:

B) Planilla de voltajes “Anillo – Punto”:

V = 4.5v 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100 0 -3 -5 -7 -10 -13 -15 -19 -22 -24 -271 0 -1 -5 -8 -9 -12 -15 -18 -22 -26 -302 4 0 -3 -7 -11 -14 -18 -23 -27 -32 -373 7 2 -3 -7 -11 -15 -19 -23 -28 -34 -414 10 3 -2 -7 -11 -15 -19 -24 -30 -36 -445 8 2 -2 -7 -10 -14 -19 -23 -29 -35 -426 6 1 -3 -7 -11 -15 -19 -23 -29 -34 -387 3 0 -3 -7 -10 -14 -18 -22 -26 -30 -348 2 -1 -4 -8 -11 -14 -18 -22 -26 -29 -32

V = 4.5v 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100 0 -4 -8 -11 -15 -19 -23 -27 -31 -35 -371 1 -3 -7 -11 -15 -19 -23 -27 -31 -36 -392 2 -3 -7 -11 -15 -19 -24 -29 -34 -39 -453 3 0 -7 -11 -14 -19 -24 -29 -32 -41 -494 3 -2 -7 -12 -14 -16 -20 -24 -28 -36 -465 2 -2 -7 -11 -16 -20 -25 -30 -36 -42 -306 2 -2 -7 -11 -15 -17 -24 -29 -35 -40 -447 1 -4 -8 -12 -16 -20 -25 -29 -34 -39 -438 0 -4 -8 -12 -16 -20 -24 -28 -33 -35 -38


A) Superficie Equipotencial “Placa - Punto”:

B) Superficie Equipotencial “Anillo - Punto”:

A) Superficie Equipotencial Teórica “Placa - Punto”:


B) Superficie Equipotencial Teórica “Anillo - Punto”:

A) Curvas Equipotenciales en tres dimensiones “Placa - punto”:


B) Curvas Equipotenciales en tres dimensiones “Anillo - punto”:

4) CONCLUSIONES :

El campo eléctrico es proporcional a la corriente eléctrica y depende de la conductividad del medio. En las gráficas podemos observar que donde el campo eléctrico es más débil, las superficies equipotenciales son más separadas y en donde es más fuerte están mas juntas.

De las gráficas se observa que las curvas equipotenciales no se cruzan, esto se debe a que un punto no puede tener diferentes potenciales.

Por simetría, las superficies equipotenciales de una carga esférica (punto y anillo) son una familia de esferas concéntricas. Para un campo uniforme son una familia de planos perpendiculares al campo.

En las curvas equipotenciales, las magnitud de intensidad del campo eléctrico, el potencial eléctrico y la energía potencial son constantes

5) OBSERVACIONES :

Notamos una diferencia en los gráficos reales experimentales, y los resultados teoricos, ello se debe a algunos inconvenientes como la alteración que generan


algunas partículas de cobre de la solución de sulfato de cobre, dificultando y alterando los campos electrostáticos.

Agregamos que la incertidumbre usada para los cálculos respectivos fue V=±0.5 v.

En la práctica de laboratorio nos encontramos con el buen estado de los implementos, como por ejemplo el del galvanómetro que nos permitió analizar diferencias de potencial en un rango de -50 a +50 volts.

6) MATERIALES:

Bandeja de Plástico Galvanómetro

Electrodos


Sulfato de Cobre Fuente de Poder Papel Milimetrado

7) MONTAJE DE EQUIPO:

8) BIBLIOGRAFÍA:

*http://exa.unne.edu.ar/fisica/electymagne/LABORATORIOS/L3_CE_LAPLACE/L3_CE_LAPLACE.htm

*http://www.fisicarecreativa.com/informes/infor_em/Laplace_2k5.pdf

*http%3A%2F%2Fmaxwell.ugr.es%2Fsalvador%2Ftercero%2Fpoisson_bgo.pdf%2B&h=jAQEZnysX&s=1

*http://www.xtec.cat/~ocasella/applets/elect/appletsol2.htm

*Sears Zemansky Young Freedman – Física Universitaria Vol. 2 – Pág. 890, 891 – undécima edición – Pearson educación, Inc. 2004

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