1.1 Definición y notación de conjuntos.

Definir el concepto de un conjunto y sus elementos, describiendo los diferentes tipos, para poder realizar operaciones.

OBJETIVO

ITESM-Preparatoria Zona EsmeraldaSemestre Enero – Mayo 2015Prof. Q.F.B. Mary Luz Noguera

1.1 Definición y notación de conjuntos

La mente humana posee una inclinación natural a reunir o agrupar.

Cuando vemos en el cielo cinco estrellas reunidas, en lugar de considerarlas como cinco elementos separados, las personas tendemos a verlas como un grupo de estrellas.

Nuestra mente trata de encontrar orden y patrones.

En matemáticas, esta tendencia a agrupar es representada mediante el concepto de conjunto

Conjunto.

Es una lista, colección o clase de objetos bien definidos, objetos que pueden ser cualquier cosa, a saber: números, personas, letras, animales, etc.

El concepto de conjunto es fundamental en todas las ramas de las matemáticas.

Estos objetos se llaman elementos o miembros del conjunto.

Notación de conjuntos

Usaremos letras mayúsculas para presentar los conjuntos e incluiremos sus elementos dentro de

llaves, separándolas por comas.

A los elementos que forman el conjunto los denotaremos con letras minúsculas.

A = { a, e, i, o, u }

A es el conjunto de las vocales y

a es un elemento del conjunto A

2) por comprensión.

2) Un conjunto está descrito por comprensión si sus elementos están dados en forma implícita mediante una

frase que los describa.

Conjuntos: 1) por enumeración (extensión).

1) Un conjunto está descrito por enumeración si se han dado explícitamente todos sus elementos.

enumeramos totalmente a los elementos del conjunto.

A = { a, e, i, o, u }

B = {Estados de la República Mexicana}B es el conjunto de todos los estados de la República Mexicana y

podemos decir que Yucatán es un elemento de B

damos una frase que describe a los elementos de éste conjunto.

Identifica los siguientes conjunto:por enumeración o por

comprensión

C = { José, Bertha, Rafael, María }

A = { }

B = {Manzanas producidas en México }

D = {Países Latinoamericanos }

ENUMERACION

ENUMERACION

COMPRENCION

COMPRENCION

enumeramos totalmente a los elementos del conjunto.

damos una frase que describe a los elementos del conjunto.

Símbolo Є significa pertenecer

Para decir que un elemento está o no en un conjunto dado usaremos el símbolo Є y Є respectivamente.

X Є A significa que X no pertenece al conjunto A

Construcción de conjuntos

X Є A significa que X pertenece al conjunto A

Expresar los siguientes conjuntos en su forma de enumeración.

Expresar los siguientes conjuntos en su forma de comprensión.

a) A = {x/x es un niño héroe}b) B = { x/x es un par positivo menor

que 20}c) C = {x/x es un mes del año}

a) A = {1, 3, 5, 7, 9 }b) B = {Septiembre, octubre,

noviembre, diciembre}c) C = {México, Canadá }

x/x significa en el lenguaje algebraico x tal que x

Conjuntos especiales

Conjunto universo

Conjunto vacio

Conjunto unitario

Conjuntos iguales

Conjuntos ajenos

Conjuntos finitos e infinitos.

Conjunto universo

La letra U representa el universo.

Un conjunto queda determinado por una colección de atributos que los elementos del universo pueden o no poseer.

Llamaremos universo al conjunto que en un momento dado es usado como marco de referencia para formar conjuntos.

Así los elementos del universo que si poseen los atributos requeridos forman el conjunto.

Conjunto vacio

Si A = { personas vivientes mayores de 200 años },

A es vacio según las estadísticas conocidas.

Sea B = { personas que vuelan }

Sea C = { x/x es rojo y verde a la vez }

Sea D = { x/x es un numero racional e irracional }

Es un conjunto que carece de elementos. Este conjunto se suele llamar conjunto

nulo.

Se denota así:

Ø

Conjunto unitario

A = { 5 }

B = { números pares entre 6 y 10}

C = { la capital de Perú}

Es todo conjunto que está formado por un solo y único elemento.

Conjuntos iguales

Tienen los mismos elementos

Conjuntos ajenos o disjuntos

Son aquellos que no tienen nada en común.

Por ejemplo, el conjunto de los

números pares y el conjunto de los

números nones son ajenos.

Conjuntos finitos e infinitos

Conjunto finito

Es finito si consta de un cierto número de elementos distintos, es decir, si al contar los diferentes elementos del

conjunto el proceso de contar puede acabar. Si no, el conjunto es infinito.

Conjunto infinito

¿PREGUNTAS?

¿COMENTARIOS?

Q.F.B MARY LUZ NOGUERA DE DE REGULES, MATEMATICAS I 16

Subconjunto

A es subconjunto de B A c B

A no es subconjunto de B A ¢ B

Ej. A = { 2, 4, 6, 8 } B = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 }

Es claro que A c B. Toda x que pertenece a A también pertenece a B

Sean A y B dos conjuntos, diremos que A es un subconjunto de B, si para toda x que pertenece a A se tiene que x también

pertenece a B. Es decir, todos los elementos de A lo son también de B

Subconjunto propio

Si A = { x/x es una vocal } y B = { x/x es una letra del abecedario}

A B ya que A B y A ≠ B

A B

Sean A y B dos conjuntos cualesquiera. Diremos que A es un subconjunto propio de B si solo si:

1º) A B y 2º) A ≠ B y lo denotaremos A B

Si A = { a, b, c } y B = { a, b, c } A no es subconjunto propio de B, ya que A B pero A = B

Subconjunto propio

B c A A c B

Nota:

𝑺𝒊 𝑨=∅ 𝒚 𝑩={𝟏 ,𝟐 ,𝟑 } 𝑨⊆𝑩𝒚𝒂𝒒𝒖𝒆∅⊂𝑩𝒚 ∅ ≠𝑩

Correspondencia biunivoca Se da si y sólo si cada elemento del conjunto A está

relacionado con uno y solo un elemento del conjunto B.

Si A = { a, e, i, o, u }

B = { 1, 2, 3, 4, 5 }

Hay una correspondencia biunívoca entre ellos

Cardinalidad de un conjuntoNúmero de elementos de un conjunto Se denota #

# = 3 # = 7 # = 3

Si A = { 2 } # = 1

Si B = { a, b, c } # = 3

Si C = { x/x son los meses del año } # = 12

Otros ejemplos

Ø # = 0

Ejercicios

Establecer una correspondencia biunívoca cuando sea posible entre los siguientes pares de conjuntos

A = {x/x es un número múltiplo de 5} B = {x/x es un múltiplo de 3 }

A = {x/x es un hombre } B = {x/x es una mujer }

A = {maestros del Tec. de Monterrey } B = {alumnos del Tec. De Monterrey }

A = { números naturales } B = {números naturales terminados en cero }