Dami Apunte v4

Analisis Matematico II

Damian Silvestre

Prologo

Este es un apunte teorico dirigido a los alumnos que esten cursando lamateria Analisis Matematico II en la Universidad Tecnologica Nacional.

El mismo puede ser descargado desde el blog http://analisis2.wordpress.com.Se trata de un trabajo en proceso, es decir que no esta terminado, y

ademas no pretende sustituir la bibliografıa, sino solamente complementarla.Cualquier error, comentario o sugerencia que pueda mejorar estas notas

seran bien recibidas. Pueden escribirme en la seccion Teorıa en dicho blog(preferentemente), o a mi direccion de correo electronico [email protected].

Historial de versiones:

(Version 1) 24 de Mayo de 2013: Primera version.

(Version 2) 17 de Agosto de 2013: Correcciones varias. Se agradece lalectura del apunte al profesor Victor Carnevali.

(Version 3) 17 de Diciembre de 2013: Varios cambios. Mejore el forma-to del documento utilizando el paquete de LATEX amsthm. Agregue elmetodo de variacion de parametros y la demostracion cartesiana de quelas lineas de campo son ortogonales a las lineas equipotenciales en R2.Agrupe las formulas de masa, momentos y centro en un par de tablas.

(Version 4) 21 de Febrero de 2014: Se cambio el formato del artıculo.

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http://analisis2.wordpress.com

mailto:[email protected]

Indice general

1. Nociones previas 71.1. Conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.2. Subconjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.3. Igualdad de conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.4. Operaciones con conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.5. Producto cartesiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.6. Cardinal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.7. Relaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.8. Funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.9. Estructuras algebraicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2. Ecuaciones diferenciales 1o parte 172.1. Ecuaciones Diferenciables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.2. Grado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.3. Soluciones de una EDO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.4. Ecuaciones Diferenciales de Variables Separables . . . . . . . . 192.5. Ecuacion Diferencial Ordinaria Lineal de 1o Orden . . . . . . . 202.6. Familias de curvas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.6.1. Familias de curvas ortogonales . . . . . . . . . . . . . . 23

3. Nociones de Topologıa 273.1. Espacio euclıdeo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273.2. Entorno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283.3. Clasificacion topologica de puntos de Rn . . . . . . . . . . . . 283.4. Clasificacion topologica de subconjuntos de Rn . . . . . . . . . 293.5. Conjunto acotado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303.6. Conjunto conexo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

3.6.1. Conjunto arco-conexo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

5

6 INDICE GENERAL

3.6.2. Conjunto conexo por poligonales . . . . . . . . . . . . 32

3.6.3. Conjunto convexo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

3.6.4. Conjunto sımplemente conexo . . . . . . . . . . . . . . 32

3.7. Clasificacion de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

3.8. Conjuntos de nivel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

4. Lımite y Continuidad 35

4.1. Lımite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

4.1.1. Como probar que un lımite no existe . . . . . . . . . . 36

4.1.2. Como probar que un lımite existe . . . . . . . . . . . . 37

4.2. Continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

4.2.1. Propiedades de funciones contınuas . . . . . . . . . . . 38

5. Derivabilidad 41

5.1. Derivada de funcion vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

5.1.1. Interpretacion geometrica . . . . . . . . . . . . . . . . 42

5.2. Derivadas parciales, direccionales, y respecto a un vector . . . 42

5.2.1. Propiedad de homogeneidad . . . . . . . . . . . . . . . 45

5.2.2. Derivadas parciales sucesivas . . . . . . . . . . . . . . . 46

5.2.3. Teorema de Schwarz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

5.2.4. Funcion clase C1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

5.3. Curvas y Superficies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

6. Diferenciabilidad 51

6.1. Definicion de funcion diferenciable . . . . . . . . . . . . . . . . 53

6.2. Diferenciabilidad implica Derivabilidad . . . . . . . . . . . . . 54

6.3. Diferenciabilidad implica Continuidad . . . . . . . . . . . . . . 55

6.4. Gradiente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

6.5. El gradiente es normal al conjunto de nivel . . . . . . . . . . . 57

6.6. Direcciones de derivada maxima, mınima y nula . . . . . . . . 58

6.7. C1 implica diferenciable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

7. Funciones Compuestas e Implıcitas 61

7.1. Funcion Compuesta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

7.2. Regla de la Cadena . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

7.3. Funcion definida implıcitamente . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

7.4. Teorema de Cauchy-Dini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

INDICE GENERAL 7

8. Polinomio de Taylor y Extremos 658.1. Polinomio de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 658.2. Maximos y mınimos de una funcion . . . . . . . . . . . . . . . 67

8.2.1. Criterio de la derivada primera . . . . . . . . . . . . . 688.2.2. Criterio de la derivada segunda . . . . . . . . . . . . . 70

8.3. Extremos condicionados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

9. Integral de Lınea y Funcion Potencial 779.1. Integral de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 779.2. Curva regular a trozos, curva de jordan . . . . . . . . . . . . . 789.3. Integral de lınea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 799.4. Campos conservativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 809.5. Teorema de la independencia del camino . . . . . . . . . . . . 809.6. Condicion necesaria para la existencia de funcion potencial . . 829.7. Condicion de suficiencia para la existencia de funcion potencial 83

10.Integrales Multiples 8510.1. Teorema de Fubini en R2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8810.2. Teorema de cambio de variables . . . . . . . . . . . . . . . . . 8910.3. Coordenadas cartesianas y polares en R2 . . . . . . . . . . . . 8910.4. Coordenadas cartesianas, cilındricas y esfericas en R3 . . . . . 91

11.Integrales de Superficie y Flujo 9511.1. Definicion para superficie parametrica . . . . . . . . . . . . . . 9511.2. Caso superficie grafica de campo escalar . . . . . . . . . . . . 9611.3. Caso superficie definida implıcitamente . . . . . . . . . . . . . 97

12.Calculo de Masa, momentos, y centro 99

13.Teoremas de Green, Stokes y Gauss 10313.1. Campos irrotacionales, solenoidales, y armonicos . . . . . . . . 104

14.Ecuaciones Diferenciales 2o parte 10714.1. Ecuacion diferencial ordinaria homogenea . . . . . . . . . . . . 10714.2. Ecuacion diferencial total exacta . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

14.2.1. Convertible a exacta con factor integrante . . . . . . . 10914.3. Ecuacion diferencial lineal de 2o orden . . . . . . . . . . . . . 111

14.3.1. Resolucion de la homogenea asociada . . . . . . . . . . 11314.3.2. Como encontrar una solucion particular . . . . . . . . . 115

8 INDICE GENERAL

14.4. Lıneas de campo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

Capıtulo 1

Nociones previas

1.1. Conjuntos

Definicion 1. Un conjunto1 es una coleccion de objetos. Un elementopuede pertenecer o no a un conjunto.

Ejemplo 1. Algunos ejemplos de conjuntos son

1. A = {casa, arbol, vaca}

2. B = {x ∈ R : x ≤ 23}

3. C = {2, 4, 77}

4. D = {−1, 1}

El conjunto A se describio por extension, mientras que el conjunto B porcomprension.

Si un elemento pertenece a un conjunto se lo denota con ∈

Siguiendo con el ejemplo: casa ∈ A, 11 ∈ B.

1Al definir un conjunto como una coleccion, tengo que definir que es una coleccion. Enrealidad no vamos a definir un conjunto, sino que los vamos a manejar de manera intuitivacomo una agrupacion de objetos.

9

10 CAPITULO 1. NOCIONES PREVIAS

1.2. Subconjuntos

Definicion 2. Si todos los elementos de un conjunto B pertenecen tambiena otro conjunto A, decimos que el primero es un subconjunto del segundo,y denotamos dicha relacion por B ⊆ A

Siguiendo con el ejemplo: D ⊆ B

1.3. Igualdad de conjuntos

Definicion 3. Si A ⊆ B y B ⊆ A decimos que A = B.

1.4. Operaciones con conjuntos

Definicion 4. La union de dos conjuntos A y B, se denota A ∪ B, y es elconjunto cuyos elementos pertenecen a A o a B o a ambos.

La interseccion de dos conjuntos A y B, se denota A∩B, y es el conjuntode elementos que pertenecen tanto a A como a B

La diferencia de dos conjuntos A y B, se denota A − B, y es el conjuntode los elementos de A que no estan en el conjunto B.

Si interpretamos un conjunto A como subconjunto de otro conjunto U dado(universal), la diferencia U − A la denominamos complemento de A y lodenotamos por Ac,

Ejemplo 2. Algunos ejemplos de operaciones entre conjuntos

E = A ∪B

F = B ∩ C = {2, 4}

B − C = {x ∈ R : (x ≤ 23) ∧ (x 6= 2) ∧ (x 6= 4)}

Considerando D ⊆ B tenemos Dc = {x ∈ R : x ≤ 23 ∧ x 6= −1 ∧ x 6=1} = {x ∈ B : x 6= −1 ∧ x 6= 1}

1.5. PRODUCTO CARTESIANO 11

1.5. Producto cartesiano

Definicion 5. Dados dos conjuntos A y B, el conjunto de todos los paresordenados (a, b) con a ∈ A y b ∈ B, se lo llama producto cartesiano de Acon B, y se lo denota A×B.

Siguiendo con el ejemplo:

A×D = {(casa,−1), (arbol,−1), (vaca,−1),

(casa, 1), (arbol, 1), (vaca, 1)}

1.6. Cardinal

Definicion 6. Si un conjunto A tiene una cantidad finita de elementos, dec-imos que es un conjunto finito, y llamamos cardinal a la cantidad deelementos que posee. En caso contrario decimos que es un conjunto infini-to.

Lo denotamos por |A| o por #A

Ejemplo 3. Siguiendo con nuestros ejemplos

|A| = 3

|C ∪D| = 5

|B| =∞

#R =∞

1.7. Relaciones

Definicion 7. Una relacion entre un conjunto A y otro conjunto B essımplemente un subconjunto del producto cartesiano A×B. Si (x, y) ∈ R lodenotamos xRy.


Ejemplo 4. Por ejemplo, una relacion de A en D podrıa ser:

R = {(casa,−1), (arbol,−1), (casa, 1)}

Definicion 8. Una relacion R de A en sı mismo se dice que es

reflexiva, si xRx para todo x ∈ A

simetrica, si xRy implica yRx para todos x, y ∈ A

antisimetrica, si xRy y yRx implica que y = x para todos x, y ∈ A

transitiva, si xRy y yRz implica que xRz para todos x, y, z ∈ A

Definicion 9. Una relacion R de A en sı mismo que es reflexiva, simetrica ytransitiva, se dice que es una relacion de equivalencia, y se suele denotar≡.

Si R es una relacion de equivalencia en A, dado x ∈ A, el conjunto de los losy ∈ A tales que xRy se llama la clase de equivalencia de x, y se denota

[x] = {y ∈ A : yRx}

Ejemplo 5. Por ejemplo, en Z, la relacion xRy sii 3|y − x es una relacionde equivalencia. Bajo esta relacion de equivalencia se tiene que 5 ≡ 11, pues3|(11−5) = 6. Esta relacion de equivalencia tiene tres clases de equivalencias

0 = {0 + 3k : k ∈ Z}1 = {1 + 3k : k ∈ Z}2 = {2 + 3k : k ∈ Z}

Uniendo todas las clases de equivalencias, obtenemos el conjunto completo

Z = 0 ∪ 1 ∪ 2

1.8. FUNCIONES 13

Definicion 10. Una relacion R de A en sı mismo que es reflexiva, anti-simetrica y transitiva, se dice que es una relacion de orden, y se sueledenotar ≤.

Ejemplo 6. Por ejemplo en Z la relacion xRy sii x|y (x divide a y) es unarelacion de orden.

Definicion 11. Si ≤ es una relacion de orden en A, y si x, y ∈ A, entoncesdecimos que x e y son comparables si se cumple que x ≤ y o bien quey ≤ x. En caso contrario decimos que x e y son no comparables.

Ejemplo 7. Por ejemplo, si en Z tomamos la relacion x ≤ y sii x|y, entonces3 y 5 son elementos no comparables, pues 3 6 |5 y 5 6 |3.

Definicion 12. Una relacion de orden en la que x ≤ y o y ≤ x para todox, y ∈ A se dice que es una relacion de orden total.

Es decir que un orden total es una relacion de orden en la que todo par deelementos es comparable.

Ejemplo 8. Por ejemplo, en R la relacion xRy sii x ≤ y es una relacion deorden total.

Definicion 13. Sea ≤ una relacion de orden en A, y sea x ∈ A. Entonces

si y ≥ x implica que y = x, decimos que x es un elemento maximalde A.

si y ≤ x implica que y = x, decimos que x es un elemento minimalde A.

si x ≥ y para todo y ∈ A, decimos que x es el maximo de A.

si x ≤ y para todo y ∈ A, decimos que x es el mınimo de A.

1.8. Funciones

Definicion 14. Una relacion R entre A y B se dice que es una relacionfuncional si cumple que


1. Para todo a ∈ A existe b ∈ B tal que (a, b) ∈ R. Es decir todo elemntodel dominio se relaciona con uno del codominio.

2. Si (a, b) y (a, c) pertenecen a R, entonces b = c. Es decir que el elementocon el que se relaciona es unico.

Definicion 15. Dados dos conjuntos A y B, y una relacion funcional Rentre ellos, a la terna (A,B,R) se la llama funcion de A en B, y se ladenota f : A → B. Al conjunto A se lo llama dominio de la funcion, y alconjunto B codominio.

En vez de escribir (a, b) ∈ R se suele escribir b = f(a).

Ejemplo 9. Siguiendo con los mismos conjuntos de los ejemplos anteriores,podemos definir una funcion

f : A → B

f(casa) = −1

f(arbol) = 21

f(arbol) = 21

f(vaca) = 12

Definicion 16. Se denomina conjunto imagen de la funcion f al conjunto

f(A) = {b ∈ B : ∃a ∈ A tal que f(a) = b}

Si X ⊆ A llamamos imagen de X por f al conjunto

f(X) = {b ∈ B : ∃x ∈ X tal que f(x) = b}

Si Y ⊆ B llamamos preimagen de Y por f al conjunto

f−1(Y ) = {a ∈ A : f(a) ∈ Y }

1.9. ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS 15

Observamos que en ningun momento en la definicion de funcion se requieretener una expresion tipo formula para calcular los elementos de la imagen.Comprender esto es importante para los temas de derivada de funcion defini-da implıcitamente por una ecuacion, y ecuaciones diferenciales, que vienenluego en la materia.

Definicion 17. Sean f : A → B y g : B → C dos funciones. Observar queexiste una unica funcion h : A → C tal que h(x) = g(f(x)). Decimos que hes la funcion compuesta de f con g y la denotamos h = g ◦ f .

1.9. Estructuras algebraicas

Definicion 18. Un grupo es un conjunto G con una funcion · : G×G→ Gtal que

1. Es asociativa, para todo a, b, c ∈ G se tiene (a · b) · c = a · (b · g)

2. Existe elemento neutro e ∈ G tal que e · g = g · e = g (para todo g ∈ G)

3. Existe elemento inverso g−1 ∈ G para cada g ∈ G de forma tal queg · g−1 = g−1 · g = e

Si ademas cumple ser conmutativa, es decir que para todo a, b ∈ G se tienea · b = b · a, se dice que es un grupo abeliano o conmutativo y se suele usarla notacion aditiva (+ para la funcion, −a para el inverso).

Un monoide, es como la definicion de grupo, pero solo satisface 1. y 2. (norequiere 3, es decir no requiere inversos)

Ejemplo 10. (Z,+) y (R− {0}, ·) son grupos conmutativos.

(R2×2, ·) es un monoide (no conmutativo), donde R2×2 representa las matricesde 2× 2 con coeficientes reales, y · es la multiplicacion de matrices.

Definicion 19. Un anillo es un conjunto R con dos funciones + : R×R→R y · : R×R→ R, tales que

1. (R,+) es grupo conmutativo.


2. (R, ·) es un monoide.

3. La multiplicacion se distribuye sobre la suma, es decir dados a, b, c ∈ Rse tiene a · (b+ c) = ab+ ac y (b+ c) · a = ba+ ca

Si ademas resulta que la multiplicacion es conmutativa, se dice que es unanillo conmutativo.

Ejemplo 11. Algunos ejemplos de anillos

1. (R2×2,+, ·) es un anillo no conmutativo.

2. (Z,+, ·) es un anillo conmutativo.

Definicion 20. Un cuerpo es un conjunto K con dos funciones + : K ×K → K, y · : K × K → K tales que (K,+, ·) es un anillo conmutativo yademas (K − {0}, ·) es grupo conmutativo.

Ejemplo 12. Algunos ejemplos de cuerpos

(Q,+, ·)

(R,+, ·)

(C,+, ·)

Observar que (Z,+, ·) no es un cuerpo, en particular 2 no tiene inverso mul-tiplicativo en Z.

Definicion 21. Un espacio vectorial es un conjunto V y un cuerpo Kcon una funcion + : V × V → V y una funcion · : K × V → V tal que

1. (V,+) es grupo conmutativo.

2. 1 · v = v para todo v ∈ V

3. a(bv) = (ab)v para todo a, b ∈ K y v ∈ V

4. k(v + w) = kv + kw para todo k ∈ K y v, w ∈ V

1.9. ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS 17

5. (k + q)v = kv + qv para todo k, q ∈ K y v ∈ V

Ejemplo 13. V = (Rn,+,R, ·) es un espacio vectorial. Es el principal espa-cio vectorial con el que trabajamos en esta materia.

Definicion 22. Un espacio con producto interno es un espacio vectorialV sobre el cuerpo K (que debe ser R o C) y con una funcion 〈−,−〉 : V ×V →K tal que para todo u, u′, v ∈ V y λ ∈ K se tiene

1. 〈u+ u′, v〉 = 〈u, v〉+ 〈u′, v〉

2. 〈λu, v〉 = λ〈u, v〉

3. 〈u, v〉 = 〈v, u〉

4. 〈v, v〉 > 0 si v 6= 0

Ejemplo 14. En Rn podemos definir el producto interno usual como

u · v =n∑i=1

uivi = u1v1 + u2v2 + . . .+ unvn

donde u = (u1, . . . , un) y v = (v1, . . . , vn) ∈ Rn.

Tambien se lo conoce como producto punto, o producto escalar.

Luego Rn con el producto · forma un espacio con producto interno.

Capıtulo 2

Ecuaciones diferenciales 1o

parte

2.1. Ecuaciones Diferenciables

Definicion 23. Una ecuacion diferencial (ED) es una ecuacion en la queintervienen una o mas variables independientes, una variable dependiente ysus derivadas hasta un cierto orden.

Se las clasifica como EDO o EDP de la siguiente forma:

Si interviene mas de una variable independiente, se dice que es unaecuacion diferencial a derivadas parciales (EDP).

Si solo interviene una variable independiente, se dice que es una ecuaciondiferencial ordinaria (EDO).

En este curso solo vamos a trabajar con ecuaciones diferenciales ordi-narias. Las mismas pueden expresarse genericamente como

F (x, y, y′, y′′, . . . , y(n)) = 0

Llamamos orden de una EDO al orden de la derivada de mayor ordenque interviene en la ecuacion diferencial.

19

20 CAPITULO 2. ECUACIONES DIFERENCIALES 1o PARTE

Ejemplo 15. y′′ + 8xy′ − 13y = 1 es una EDO de 2o orden.

2.2. Grado

Definicion 24. Decimos que una EDO tiene forma polinomica si la pode-mos expresar de la siguiente forma:

pn(x)(y(n))an + . . .+ p1(x)(y′)a1 + p0(x)ya0 = q(x)

donde an, . . . , a0 ∈ N

En dicho caso, el grado de la EDO es el del exponente de la derivada demayor orden.

Por ejemplo, (y′′′)2 + y′′ + (y′)3 = x tiene grado 2.

2.3. Soluciones de una EDO

Definicion 25. Una solucion de una EDO es una funcion que satisface dichaecuacion.

Podemos clasificar tres grupos de soluciones

1. La solucion general (SG) de una EDO, es una familia de funcionesque verifican la EDO y que posee tantas constantes arbitrarias como elorden de la EDO.

Simbolicamente la podemos expresar como

F (x, y, c1, . . . , cn) = 0

2. Una solucion particular (SP) es una funcion que verifica la EDO yque se puede obtener asignando valores a las constantes arbitrarias dela SG.

2.4. ECUACIONES DIFERENCIALES DE VARIABLES SEPARABLES21

3. Una solucion singular (SS) es una funcion que verifica la EDO perono se deduce de la SG asignando valores a sus constantes.

Ejemplo 16. En el siguiente grafico representamos las soluciones de laecuacion diferencial xy′ = y + x cos2(y/x), y resaltamos en azul la solucionparticular que satisface y(1) = π

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2.4. Ecuaciones Diferenciales de Variables Sep-

arables

Definicion 26. Una EDO se dice que es de variables separables si me-diante operaciones algebraicas se la puede llevar a la forma

y′ =p(x)

q(y)

o, usando la notacion de Leibniz

q(y)dy = p(x)dx


Para resolverla, es decir encontrar su SG, basta con integrar ambos miembros(es decir hallar una primitiva), y agregar una constante arbitraria en un ladode la igualdad.

∫q(y)dy =

∫p(x)dx+ C

2.5. Ecuacion Diferencial Ordinaria Lineal de

1o Orden

Definicion 27. Una ecuacion diferencial se dice que es una ecuacion difer-encial lineal de orden n si se puede expresar de la forma

y(n) + an−1yn−1 + . . .+ a1(x)y′ + a0(x)y = g(x)

Si g(x) ≡ 0 es la funcion constante 0, se dice que la EDO es lineal ho-mogenea.

Un caso particular es la ecuacion diferencial lineal de 1o orden

Definicion 28. Una ecuacion diferencial se dice lineal de 1er orden sepuede expresar como

y′ + p(x)y = q(x)

Proposicion 2.5.1. Dada la ecuacion diferencial lineal de 1o orden

y′ + p(x)y = q(x)

Su solucion general es

y = e−∫p(x)dx

∫q(x)e

∫p(x)dxdx+ Ce−

∫p(x)dx

2.5. ECUACION DIFERENCIAL ORDINARIA LINEAL DE 1o ORDEN23

Demostracion. Hay varios metodos de resolucion para una EDO lineal de 1o

orden.

Uno facil es el siguiente: empezamos por realizar la sustitucion

y = uv

con lo cual nos queda

y′ = u′v + uv′

reemplazamos

u′v + uv′ + p(x)uv = q(x)

Ahora sacar factor comun v (o u, la relacion es en principio simetrica)

v[u′ + p(x)u] + uv′ = q(x)

Imponemos la condicion de que lo que multiplica a v sea cero

u′ + p(x)u = 0

Nos queda una EDO en u de variables separables

∫du

u=

∫−p(x)dx

Buscamos una SP de la misma (no hace falta la constante arbitraria), obten-emos

u = e−∫p(x)dx

Ahora reemplazamos la SP de u encontrada en la EDO y nos queda


e−∫p(x)dxv′ = q(x)

Y nos quedo una EDO en v de variables separables, la resolvemos

∫dv =

∫q(x)e

∫p(x)dxdx

Esta vez queremos la SG de v (por eso va la constante arbitraria)

v =

∫q(x)e

∫p(x)dxdx+ C

Finalmente reemplazamos u y v (no olvidar distribuir el parentesis)

y = uv

y = e−∫p(x)dx

∫q(x)e

∫p(x)dxdx+ Ce−

∫p(x)dx

Como se podra imaginar, no es sencillo recordar dichar formula, es por esoque se aconseja en cambio recordar el metodo de resolucion, es decir recordarsustituir y = uv y hacer los mismos pasos.

2.6. Familias de curvas

Definicion 29. Dada una ecuacion en la que interviene una variable inde-pendiente, una variable dependiente, y n constantes arbitrarias c1, . . . , cn ∈R, llamamos familia de curvas (de orden n) a las curvas que se obtienende asignarle valores a las constantes arbitrarias.

Simbolicamente la podemos expresar una familia de curvas de la forma

2.6. FAMILIAS DE CURVAS 25

F (x, y, c1, . . . , cn) = 0

Cuando encontramos la SG de una EDO E de orden n, la misma viene ex-presada por una familia de curvas F de orden n.

Las funciones que son solucion, quedan expresadas por una ecuacion quedefine a y implıcitamente en funcion de x.

No siempre es posible o conveniente explicitar dichas funciones.

Recıprocamente, dada una familia de curvas F de orden n, podemos buscaruna EDO E de orden n tal que dicha familia sea su SG.

2.6.1. Familias de curvas ortogonales

Definicion 30. Sean C1 y C2 en R2 dos curvas que se cortan en A = (x0, y0),es decir tal que A ∈ C1∩C2. Decimos que C1 y C2 son curvas ortogonalesen A si admiten vector tangente en dicho punto, y los mismos son ortogo-nales (o equivalentemente, si admiten rectas tangentes en dicho punto, y lasmismas son ortogonales).

Es decir, si g1 : [a, b]→ R2 y g2 : [c, d]→ R2 son parametrizaciones regularesde C1 y C2 respectivamente, tal que g1(t1) = g2(t2) = A, entonces g′1(t1) ·g′2(t2) = 0

Dos familias de curvas F1 y F2 se dicen familias de curvas ortogonales,si para toda C1 ∈ F1, C2 ∈ F2, resultan ser curvas ortogonales para todopunto de interseccion A ∈ C1 ∩ C2.

Los siguientes graficos representan familias de curvas ortogonales.


Proposicion 2.6.1. Dos familias de curvas F1,F2 son ortogonales sii susrespectivas ecuaciones diferenciales E1, E2 estan relacionadas por la ecuacion

y′2 =−1

y′1

2.6. FAMILIAS DE CURVAS 27

Demostracion. (Enfoque Cartesiano)

Sabemos que si tenemos dos rectas que pasan por (x0, y0) de ecuaciones

y1 − y0 = m1(x− x0)

y2 − y0 = m2(x− x0)

entonces las mismas son ortogonales sii m2 = −1/m1.

Sean las curvas C1 ∈ F1, C2 ∈ F2 de ecuacion

y1 = y1(x)

y2 = y2(x)

Las mismas admiten recta tangente en (x0, y0)

y = y1(x0) + m1︸︷︷︸y′1(x0)

(x− x0)

y = y2(x0) + m2︸︷︷︸y′2(x0)

(x− x0)

y luego las mismas son ortogonales sii se cumple

y′2(x0) = − 1y′1(x0)

Demostracion. (Enfoque parametrico)

Dadas las curvas C1 ∈ F1, C2 ∈ F2 de ecuaciones

y = y1(x)

y = y2(x)

Las podemos parametrizar como

g1(t) = (t, y1(t))

g2(t) = (t, y2(t))

Luego podemos encontrar vectores tangentes a cada una derivando


g′1(t) = (1, y′1(t))

g′2(t) = (1, y′2(t))

y estos son ortogonales sii su producto escalar es cero

g′1(t) · g′2(t) = 0

(1, y′1(t)) · (1, y′2(t)) = 0

1 + y′1(t)y′2(t) = 0

Finalmente,

y′2(t) = − 1y′1(t)

Capıtulo 3

Nociones de Topologıa

3.1. Espacio euclıdeo

Definicion 31. Llamamos espacio euclıdeo, a un espacio vectorial sobreR con un producto interno.

Definicion 32. Definimos el producto interno usual de Rn (o productoescalar) de la siguiente manera: dados v, w ∈ Rn, su producto interno usuales

~v · ~w = v1w1 + v2w2 + . . .+ vnwn

El espacio euclıdeo en el que vamos a trabajar en esta materia es Rn con elproducto interno usual. De ahora en mas cada vez que se mencione Rn lovamos a pensar como un espacio euclıdeo.

El producto interno nos permite definir las nociones de norma de un vector,distancia entre dos vectores, y angulo entre dos vectores, como mostramos acontinuacion

Definicion 33. Dado v ∈ Rn, definimos su norma como

||~v|| =√~v · ~v =

√v2

1 + v22 + . . . v2

n

29

30 CAPITULO 3. NOCIONES DE TOPOLOGIA

y dados v, w ∈ Rn, definimos su distancia como

d(v, w) = ||w − v|| =√

(w1 − v1)2 + (w2 − v2)2 + . . .+ (wn − vn)2

y su angulo como

cos(φ) =~v · ~w||~v|| ||~w||

3.2. Entorno

Definicion 34. Dados x ∈ Rn y r > 0

Llamamos entorno (o entorno abierto) de centro x0 y radio r al conjunto

E(x, r) = {y ∈ Rn : d(x, y) < r}

Llamamos entorno cerrado de centro x0 y radio r al conjunto

E[x, r] = {y ∈ Rn : d(x, y) ≤ r}

Llamamos entorno reducido de centro x y radio r a

E ′(x, r) = E(x, r)− {x}

3.3. Clasificacion topologica de puntos de Rn

Definicion 35. Sea A ⊆ Rn, y x ∈ Rn, entonces decimos que x respecto deA es

Punto interior: Si existe E(x, δ) ⊆ A.

3.4. CLASIFICACION TOPOLOGICA DE SUBCONJUNTOS DE RN 31

Punto exterior: Si existe E(x, δ) ⊆ Rn−A. Equivalentemente E(x, δ)∩A = ∅.

Punto frontera: Si no es punto interior ni exterior. Es decir que paratodo δ > 0 se tiene E(x, δ) ∩ A 6= ∅ y E(x, δ) ∩ (Rn − A) 6= ∅

Punto clausura (o adherencia): Si existe un entorno tal que E(x, r)∩A 6= ∅

Punto de acumulacion (o punto lımite): Si para todo entorno delpunto, E(x, r) ∩ (A− {x}) 6= ∅.Equivalentemente, si para todo entorno reducido del punto, E ′(x, r) ∩A 6= ∅

Punto aislado: Si existe un entorno tal que E(x, r) ∩ A = {x}

Definicion 36. Sea A ⊆ Rn. Entonces definimos

El interior de A como el conjunto de sus puntos interiores, lo denotamosA◦

La clausura de A como el conjunto de sus puntos de clausura, lo denotamosA

El conjunto derivado de A como el conjunto de todos sus puntos de acu-mulacion, lo denotamos A′

Observacion 3.3.1. Dado A ⊆ Rn, se cumple que A◦ ⊆ A ⊆ A.

3.4. Clasificacion topologica de subconjuntos

de Rn

Definicion 37. Sea A ⊆ Rn, decimos que A es un conjunto

Abierto: Si A = A◦. Es decir si todos los puntos del conjunto soninteriores.

Cerrado: Si A = A. Es decir si todos los puntos de clausura pertenecenal conjunto. Equivalentemente


• El conjunto contiene a todos sus puntos frontera.

• El conjunto contiene a todos sus puntos de acumulacion.

• El complemento del conjunto es abierto.

Observacion 3.4.1. Un conjunto puede no ser ni abierto ni cerrado. Porejemplo [0, 1) ⊂ R.

Ademas un conjunto puede ser abierto y cerrado a la vez. Por ejemplo ∅ yRn.

3.5. Conjunto acotado

Definicion 38. Un conjunto A ⊆ Rn se dice que es un conjunto acotado siel mismo esta contenido en algun entorno del origen, es decir si A ⊆ E(0, r)para algun r > 0.

3.6. Conjunto conexo

Intuitivamente, un conjunto conexo es aquel formado por una sola ’pieza’,que no se puede ’dividir’.

Definicion 39. Una escision de un conjunto X ⊆ Rn son dos conjuntosdisjuntos abiertos A,B tales que X ⊆ A ∪ B. Decimos que la misma es notrivial si A ∩X 6= ∅ y B ∩X 6= ∅.

Un conjunto X ⊆ Rn es un conjunto conexo si no admite escisiones notriviales.

En caso contrario decimos que es disconexo.

Ejemplo 17. Para ejemplificar esta parte vamos a utilizar estos tres con-juntos

A = Rn

B = S1 = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 = 1}

3.6. CONJUNTO CONEXO 33

C = D2(4, 4) = {(x, y) ∈ R2 : (x− 4)2 + (y − 4)2 ≤ 1}

Los tres conjuntos A, B y C son conjuntos conexos.

En cambio D = B ∪ C es disconexo, pues si X = E((0, 0), 2)) y Y =E((4, 4), 2) se tiene X e Y abiertos, y disjuntos, D ⊆ X ∪ Y , X ∩ D 6= ∅,Y ∩ D 6= ∅, luego se trata de una escision no trivial y el conjunto D esdisconexo.

3.6.1. Conjunto arco-conexo

Definicion 40. Si a, b ∈ Rn, un camino de a a b es una funcion α : [0, 1]→Rn contınua, tal que α(0) = a y α(1) = b

Por ejemplo, si a, b ∈ Rn el camino recto entre a y b es la funcion α :[0, 1]→ Rn tal que

α(t) = ta+ (1− t)b

La imagen de dicho camino es el segmento de recta

[a, b] = {ta+ (1− t)b : t ∈ [0, 1]}

Definicion 41. Un conjunto A ⊆ Rn se dice que es un conjunto arco-conexo si para todos los a, b ∈ A existe un camino α que une a con b dentrodel conjunto, es decir tal que α([0, 1]) ⊆ A.

Ejemplo 18. Siguiendo con el ejemplo, los conjuntos A,B,C son todos arco-conexos.

Observacion 3.6.1. Todo conjunto arco-conexo es conexo, pero no vale lavuelta, es decir hay conjuntos conexos que no son arco-conexos.

Definicion 42. Si α es un camino de a a b, y β es un camino de b a c,definimos la yuxtaposicion de α y β como el camino α∧β : [0, 1]→ Rn dea a c definido por


(α ∧ β)(t) =

{α(t) t ∈ [0, 1

2]

β(2t− 1) t ∈ [12, 1]

3.6.2. Conjunto conexo por poligonales

Definicion 43. Una poligonal π es la yuxtaposicion de una cantidad k ∈ Nfinita de caminos rectos πi : [xi−1, xi]→ Rn con 1 ≤ i ≤ k.

Definicion 44. Un conjunto A ⊆ Rn se dice que es un conjunto conexopor poligonales si para todo a, b ∈ A existe una poligonal π que comienzaen a, termina en b, y esta contenida en A.

Observacion 3.6.2. Una poligonal es un caso particular de un camino. Porlo tanto si un conjunto es conexo por poligonales, entonces tambien es arco-conexo, pero no vale la vuelta.

Ejemplo 19. En los ejemplos, los conjuntos A y C son conexos por polig-onales, aunque el conjunto B (que es arco-conexo) no es conexo por poligo-nales.

3.6.3. Conjunto convexo

Definicion 45. Un conjunto A ⊆ Rn se dice que es un conjunto convexosi para todo a, b ∈ A el camino recto que los une no se sale del conjunto, esdecir [a, b] ⊆ A.

Observacion 3.6.3. Un camino recto es un caso particular de una poligonal,por lo tanto un conjunto convexo tambien es conexo por poligonales.

3.6.4. Conjunto sımplemente conexo

Esta es la nocion mas compleja de conexidad que vemos. Intuitivamente,un conjunto es sımplemente conexo si toda curva cerrada simple (curva deJordan) se puede ”deformar contınuamente”hasta llegar a un punto. En R2

esto serıa equivalente a decir que el conjunto no tiene agujeros.

3.7. CLASIFICACION DE FUNCIONES 35

Mas formalmente, si denotamos S1 al cırculo unitario de R2 y D2 al discounitario de R2, es decir

S1 = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 = 1}

D2 = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 ≤ 1}

entonces se tiene la siguiente

Definicion 46. Un conjunto X es un conjunto sımplemente conexosi es arco-conexo, y ademas toda funcion contınua f : S1 → X se puedeextender a una funcion contınua F : D2 → X tal que F restringida a S1 esf , y tal que la imagen de F no se sale del conjunto, es decir F (D2) ⊆ X.

3.7. Clasificacion de funciones

Definicion 47. Sea f una funcion de la forma f : A ⊆ Rn → Rm.

Entonces

Si n = m = 1 decimos que f es una funcion escalar.

Si n = 1 y m > 1 decimos que f es una funcion vectorial.

Si n > 1 y m = 1 decimos que f es un campo escalar.

Si n > 1 y m > 1 decimos que f es un campo vectorial.

Tiene sentido decir que las funciones mas generales que estudiamos son loscampos vectoriales, y que las otras son casos particulares, y que la funcionescalar es la que se estudio en Analisis 1. En esta materia generalizamos a masde una dimension tanto en el dominio como el codominio de las funciones.


3.8. Conjuntos de nivel

Definicion 48. Sea f : A ⊆ Rn → R un campo escalar, y sea k ∈ R

El conjunto de nivel k de f es la preimagen de k por f , es decir

Ck(f) = f−1(k) = {x ∈ A : f(x) = k}

Analogamente, definimos el conjunto de positividad

Definicion 49. Sea f : A ⊆ Rn → R un campo escalar.

El conjunto de positividad de f es la preimagen del conjunto de todoslos reales positivos, es decir

C+(f) = f−1((0,+∞)) = {x ∈ A : f(x) > 0}

Capıtulo 4

Lımite y Continuidad

4.1. Lımite

Definicion 50. Dado el campo vectorial f : A ⊂ Rn → Rm y x0 punto deacumulacion de A, si existe l ∈ Rm tal que para todo entorno E(l, ε) existeun entorno reducido E∗(x0, δ), tal que f(E∗(x0, δ) ∩ A) ⊂ E(L, ε), entoncesdecimos que el lımite de f cuando x tiende a x0 es l, y lo denotamosescribiendo

lım~x→ ~x0

f(~x) = l

Observacion 4.1.1. La definicion anterior es equivalente a la definicionclasica de lımite, que expresa que existe lımite l ∈ Rm si para todo ε > 0existe un δ > 0 tal que para todo x ∈ A, si

0 < ||x− x0|| < δ

entonces||f(x)− l|| < ε

Esta definicion nos interesa solo a nivel teorico, pues en la practica los ejerci-cios de lımites los podemos resolver usando las propiedades de las funcionescontınuas.

37

38 CAPITULO 4. LIMITE Y CONTINUIDAD

Para funciones vectoriales y campos vectoriales es util el siguiente teorema:

Teorema 4.1.2. Sea f : A ⊆ Rn → Rm con funciones coordenadas f =(f1, . . . , fm) y x0 ∈ A′, entonces el lımite lımx→x0 f(x) existe si y solo siexisten todos los lımites lımx→x0 fi(x) = li con 1 ≤ i ≤ m, y en dicho caso ellımite de f es lımx→x0 f(x) = (l1, . . . , lm)

4.1.1. Como probar que un lımite no existe

Primero necesitamos esta

Definicion 51. Sea A ⊆ Rn y sea x ∈ A′. Un camino que pasa por x0

es un subconjunto B ⊆ A tal que x0 ∈ B′ (es decir el punto x0 es punto deacumulacion tambien de B).

Dada una funcion f , para probar que no existe el lımite cuando x tiende ax0, suele resultar muy util la siguiente

Proposicion 4.1.3. Sea f : A ∈ Rn → R, si existe el lımite lımx→x0 f(x) = ly si B ⊆ A es un camino que pasa por x0, y si g : B ∈ Rn → R es larestriccion de f a B, entonces tambien existe lımx→x0 g(x) = l.

Esto nos da un criterio para determinar cuando un lımite no existe: podemosprobar por distintos caminos, y si por alguno de ellos el lımite no existe, opor dos de ellos existen pero dan valores distintos, entonces el lımite de lafuncion original no existe, ya que de otra forma deberıa existir y ser iguales.

Observacion 4.1.4. Aunque pruebe por 727 caminos y todos coincidan enel lımite, esto no alcanza para asegurar que el lımite de la funcion originalexista. Es decir dicha condicion es necesaria pero no suficiente. Siempre po-drıa haber otro camino por el cual el lımite de distinto o no exista. Por lotanto este criterio sirve para probar que un lımite no existe, pero no sirvepara probar que un lımite exista.

Claro, a no ser que tome por camino a todo A, o a B(x0, r)∩A por ejemplo.

Otra herramienta para determinar cuando un lımite no existe son los lımiteslaterales: si estos no coinciden el lımite de la funcion original no existe.

4.1. LIMITE 39

Ejemplo: Sea f(x, y) = sin(x2+y4)x2+y2

. Analizar la existencia de lımite de f en

(0, 0).

lımx→0

[lımy→0

sin(x2+y4)x2+y2

]= lımx→0

sin(x2)x2

= 1 = Lyx

lımy→0

[lımx→0

sin(x2+y4)x2+y2

]= lımy→0

sin(y4)y2

= lımy→04y3 cos(y4)

2y

= lımy→04y2 cos(y4)

2= 0 = Lxy

Como Lyx 6= Lxy no existe el lımite pedido.

4.1.2. Como probar que un lımite existe

Una forma que funciona a veces es utilizar el siguiente teorema, familiar desdeAnalisis 1

Proposicion 4.1.5. Sean f, g, h : A ⊆ Rn → R, y x0 ∈ A′.

Si f = g·h con g acotada, es decir g(A) un conjunto acotado, y h infinitesimo,es decir lımx→x0 h(x) = 0 entonces el lımite de f cuando x→ x0 existe y escero, es decir lımx→x0 f(x) = 0

Tambien es util la siguiente

Proposicion 4.1.6. Supongamos que existen los lımites lımx→x0 g(x) = l1 ylımx→x0 h(x) = l2.

Entonces si f = g ± h, se tiene que lımx→x0 f(x) = l1 ± l2.

Y si f = g · h, se tiene que lımx→x0 f(x) = l1 · l2.

Otra tecnica que puede servir es la de relizar un cambio de varibles que

reduzca la cantidad de variables. Por ejemplo, si f(x, y) = sin(x2+y2)x2+y2

, entonces


el lım(x,y)→(0,0) f(x, y) = 0, pues realizando la sustitucion u = x2 +y2 se tieneque cuando (x, y)→ (0, 0) entonces u→ 0 (pues x2 + y2 es contınua), y por

lo tanto el lımite pedido equivale a lımu→0sin(u)u

= 1

4.2. Continuidad

Definicion 52. Dado un campo vectorial f : A ⊂ Rn → Rm, y un puntox0 ∈ A, decimos que f es contınua en x0 si para todo E(f(x0), ε) existe unE(x0, δ) tal que f(E(x0, δ) ∩ A) ⊆ E(f(x0), ε)

Observacion 4.2.1. La definicion anterior es equivalente a la definicionclasica de continuidad: Para todo ε > 0 existe un δ > 0 tal que para todox ∈ A, si

||x− x0|| < δ

entonces||f(x)− f(x0)|| < ε

Observacion 4.2.2. Tambien es equivalente a la siguiente definicion: Si x0

es punto aislado, entonces f es contınua en x0 (basta tomar el δ que haceque el punto sea aislado).

De lo contrario, x0 es un punto de acumulacion de A, en este caso f escontınua en x0 sii se cumplen las siguientes

1. Existe f(x0) (en realidad esto ya lo estamos pidiendo cuando decimosx0 ∈ A)

2. Existe ∃ lımx→x0

f(x) = l

3. f(x0) = l

4.2.1. Propiedades de funciones contınuas

Las siguientes funciones son contınuas en todo su dominio

4.2. CONTINUIDAD 41

Funciones polinomicas, de cualquier cantidad de variables. Ejemplo:x2 + 3xy + z3 es una funcion contınua en R3

La funcion exponencial f(x) = ex es contınua en R

Las funciones trigonometricas sin(x) y cos(x) son contınuas en R

Proposicion 4.2.3. Supongamos que las funciones g, h : A ⊆ Rn → Rm soncontınuas en x0 ∈ A.

Entonces son contınuas en x0 las siguientes funciones

f = g ± h

Si ademas m = 1, es decir se trata de campos escalares, tiene sentido multi-plicarlos, y es contınua la funcion

f = g · h

y tambien tiene sentido dividirlos en los puntos donde no se anula el denom-inador, y en dichos puntos el cociente es una funcion contınua, es decir enlos puntos donde h(x0) 6= 0 es contınua la funcion

f = g/h

Para analizar la continuidad de una funcion vectorial o de un campo vectorial,suele ser util la siguiente

Observacion 4.2.4. Si f : A ⊆ Rn → Rm tiene funciones coordenadasf = (f1, f2, . . . , fm) entonces f es contınua en x0 si y solo sı cada componentefi es contınua en x0 para todo 1 ≤ i ≤ m.

Tambien resulta muy util el siguiente

Teorema 4.2.5. Si f : A ⊆ Rn → Rm es contınua en x0 y g : B ⊆ Rm → Rp

es contınua en y0 = f(x0), y si existe la funcion compuesta h = g ◦ f (esdecir f(A) ⊆ B), entonces h es contınua en x0.

Capıtulo 5

Derivabilidad

5.1. Derivada de funcion vectorial

Definicion 53. Dada la funcion vectorial f : A ⊂ R → Rn y t0 ∈ A◦,entonces la derivada de f en t0 se define como

f ′(t0) = lımh→0

f(t0 + h)− f(t0)

h

si dicho lımite existe. Sino, se dice que f no es derivable en dicho punto.

Si es derivable en todo el dominio tiene sentido definir la funcion derivadaf ′(t) que a cada punto t0 le asigna la derivada de la funcion f . Cuando deci-mos que f es derivable, sin aclarar el punto, nos referimos a que es derivableen todo su dominio.

Para calcular la derivada suele ser util la siguiente

Observacion 5.1.1. Si f(t) = (f1(t), f2(t), . . . , fn(t)) entonces f es deriv-able si y solo si todas sus funciones coordenadas fi son derivables, y en esecaso el valor de la derivada viene dada por g′(t) = (g′1(t), g′2(t), . . . , g′n(t))

43

44 CAPITULO 5. DERIVABILIDAD

5.1.1. Interpretacion geometrica

Si f : [a, b] → Rn es la parametrizacion de una curva C, y si ademas f esderivable en t0, entonces f ′(t0) es un vector tangente a dicha curva en elpunto f(t0).

En este caso tiene sentido la siguiente

Definicion 54. Sea f : [a, b] → Rn parametrizacion de una curva C, yderivable en t0. Entonces la recta tangente a C en x0 = f(t0) es deecuacion parametrica

x = f(t0) + λf ′(t0)

con λ ∈ R.

Ademas el plano normal a C en x0 es de ecuacion cartesiana

(x− f(x0)) · f ′(t0) = 0

5.2. Derivadas parciales, direccionales, y re-

specto a un vector

Definicion 55. Sea f : A ⊆ Rn → Rm y x0 ∈ A◦, y sea v ∈ Rn. Entoncesdefinimos la derivada de f en x0 respecto al vector v como

5.2. DERIVADAS PARCIALES, DIRECCIONALES, Y RESPECTO A UN VECTOR45

f ′v(x0) = lımh→0

f(x0 + hv)− f(x0)

h

si dicho lımite existe.

Si ademas v es un versor, es decir si ||v|| = 1, decimos que dicho lımite esla derivada direccional de f respecto a la direccion v.

Si ademas v es un versor canonico de Rn, es decir si

v = ei = δij =

{1 i = j

0 i 6= j,

decimos que dicho lımite es la derivada parcial de f respecto a xi

Otras notaciones equivalente son

f ′v(x0) = f ′(x0, v) = Dvf(x0) = ∂f∂v

(x0)

Ejemplo 20. Dada f(x, y) =√

3− x2 − y2. Calculemos las derivadas par-ciales de f en (1, 0)

Cuando queremos hacer una derivada parcial, y pensamos las demas vari-ables como constantes, si podemos aplicar la regla de la cadena de Analisis 1(verificar hipotesis), decimos que estamos aplicando la regla practica. Eneste caso

f ′x(x, y) =−2x

2√

3− x2 − y2

f ′y(x, y) =−2y

2√

3− x2 − y2

Luego

f ′x(1, 0) =−1√3− 1

=−1√

2

f ′y(1, 0) =−0√3− 1

= 0


Podemos interpretar la derivadas direccional respecto a v como la pendientede una recta tangente a la grafica de z = f(x, y) en la direccion de v.

En el siguiente grafico se representa la grafica de z = f(x, y), y su rectatangente en (1, 0, f(1, 0)) en la direccion de y. Vemos que la recta resulta serhorizontal, lo que concuerda con que f ′y(1, 0) = 0 es decir que tiene pendientenula.

Definicion 56. Dada f : A ⊆ Rn → Rm,

Decimos que f es derivable respecto a v ∈ Rn, sin aclarar el punto, si loes para todo x ∈ Rn.

Decimos que f es derivable en x0 ∈ A◦, sin aclarar el vector, si lo esrespecto a todo v ∈ Rn.

Decimos que f es derivable, sin aclarar ni el punto ni el vector, si lo espara todo x ∈ A◦ y respecto a todo v ∈ Rn.

El siguiente teorema es util para derivar funciones vectoriales o campos vec-toriales coordenada a coordenada.

Teorema 5.2.1. Sea f : A ⊆ Rn → Rm con x0 ∈ A◦ y v ∈ Rn, tal quef = (f1, . . . , fm). Entonces f es derivable en x0 respecto a v si y solo sı cadafuncion coordenada es derivable en x0 respecto a v, y en dicho caso se tienef ′v(x0) = (f ′1v(x0), f ′2v(x0), . . . , f ′mv(x0)).


5.2.1. Propiedad de homogeneidad

Llamamos propiedad de homogeneidad de la derivada a la siguiente proposi-cion

Proposicion 5.2.2. Si existe la derivada direccional f ′(x0, v) y k ∈ R, k 6= 0,entonces

f ′(x0, kv) = kf ′(x0, v)

Demostracion. Por definicion

f ′(x0, kv) = lımh→0

f(x0 + hkv)− f(x0)

h

multiplico y divido por k 6= 0

= k lımh→0

f(x0 + hkv)− f(x0)

hk

Sustituyo u = hk y cuando h→ 0 se tiene que u→ 0, luego

= k lımu→0

f(x0 + uv)− f(x0)

u

Finalmente

= kf ′(x0, v)

De la propiedad de homogeneidad se desprende facilmente el siguiente

Corolario 5.2.3. Sea f derivable en x0, entonces

f ′(x0,−v) = −f ′(x0, v)


f ′(x0, v) = ||v||f ′(x0, v) (donde v = v||v||)

Demostracion. Para el primero basta tomar k = −1. Para el segundo k =||v||.

5.2.2. Derivadas parciales sucesivas

Definicion 57. Sea f : A ⊆ Rn → Rm. Supongamos esta funcion esderivable respecto a xi, entonces podemos definir la funcion derivada par-cial f ′xi : A → Rn. Supongamos ahora que esta nueva funcion es derivablerespecto a xj. Podemos definir entonces la funcion derivada segunda parcial

f ′′xixj : A→ Rm

A la misma tambien la llamamos la derivada sucesiva respecto a xixj.

Analogamente, si f es k veces derivable, podemos definir la funcion derivadasucesiva respecto a xi1xi2 . . . xik

f (k)xi1xi2 ...xik

: A→ Rm

Si estan definidas las funciones derivadas sucesivas f ′′xixj y f ′′xjxi, decimos queestas son derivadas sucesivas mixtas.

Analogamente, si f es k veces derivable, y φ : {1, 2, . . . , k} → {1, 2, . . . , k} es

una permutacion, decimos que f(k)xi1xi2 ...xik

y f(k)xiφ(1)xiφ(2) ...xiφ(k)

son derivadas

sucesivas mixtas de orden k.

5.2.3. Teorema de Schwarz

En palabras sencillas, lo que dice el teorema de Schwarz es que bajo ciertascondiciones, no importa en que orden derivemos va a dar lo mismo. Es decir


que bajo esas condiciones nos garantiza que las derivadas sucesivas mixtasson iguales.

Teorema 5.2.4. Sea el campo escalar f : A ⊂ Rn → R, si existen f ′′xixj , f′′xjxi

y son contınuas en un entorno del punto x0 ∈ A◦ entonces

f ′′xixj(x0) = f ′′xjxi(x0)

es decir las derivadas sucesivas mixtas son iguales.

No es facil encontrar ejemplos de funciones cuyas derivadas sucesivas mixtasno sean iguales.

En 1873 el matematico H.A. Schwarz produjo el siguiente ejemplo

f(x, y) =

{x2 arctan(y/x)− y2 arctan(x/y) x 6= 0, y 6= 0

0 en otro caso

Para esta funcion en (0, 0) se tiene que

f ′′xy(0, 0) = −1 6= f ′′yx(0, 0) = +1

5.2.4. Funcion clase C1

Definicion 58. Si f : A ⊂ Rn → Rm con A abierto, es tal que posee todassus derivadas parciales y son contınuas en A, entonces decimos que f es declase C1 y lo denotamos

f ∈ C1

Del mismo modo si tiene todas sus derivadas parciales segundas y son contınuasdecimos que f ∈ C2.

Analogamente se dice que f ∈ Ck si sus derivadas parciales de orden k existeny son contınuas en el abierto A.


Observacion 5.2.5. Si f : A ⊂ Rn → R, f ∈ C2, para cualquier x ∈ Ase cumplen las hipotesis del teorema 5.2.4 (de Schwarz), es decir f ′′xixj(x) =f ′′xjxi(x).

Mas generalmente, si f ∈ Ck, y φ : {1, 2, . . . , k} → {1, 2, . . . , k} es unapermutacion, entonces

f (k)xi1xi2 ...xik

= f (k)xiφ(1)xiφ(2) ...xiφ(k)

Es decir las derivadas sucesivas mixtas de orden k son iguales.

5.3. Curvas y Superficies

Definicion 59. Un subconjunto C ⊆ Rn decimos que es una curva si existeuna funcion vectorial contınua g : [0, 1] → Rn, tal que g([0, 1]) = C. A lafuncion g se la llama parametrizacion de la curva.

Sea g(t) la parametrizacion de una curva, si ademas g ∈ C1 y existe g′(t0) 6= ~0decimos que x0 = g(t0) es un punto regular de la curva C. Si todos lospuntos x0 ∈ C de la curva son puntos regulares, decimos que C es una curvaregular.

Un subconjunto Σ de R3 decimos que es una superficie si existe un campovectorial contınuo g : A ⊂ R2 → R3, con A conexo, tal que g(A) = S. A lafuncion g se le dice la parametrizacion de la superficie Σ.

Sea g(u, v) la parametrizacion de una superficie, si ademas g ∈ C1 y existeg′u(u0, v0) ∧ g′v(u0, v0) 6= 0 decimos que x0 = g(u0, v0) es un punto regularde la superficie Σ. Si todos los puntos x0 ∈ Σ de la superficie son regulares,decimos que Σ es una superficie regular.

Ejemplo 21. La cicloide es la curva que se genera al hacer girar una circun-ferencia de radio a > 0 sobre el eje de las x, como se ilustra en la siguienteimagen.

5.3. CURVAS Y SUPERFICIES 51

Dicha curva puede parametrizarse por

g : R → R2

g(t) = a(t− sin(t), 1− cos(t))

la cual es derivable en todo su dominio, su derivada es

g′(t) = a(1− cos(t), sin(t))

Calculemos algunos puntos de la curva

X0 = g(0) = (0, 0)

X1 = g(π/2) = a(π/2− 1, 1)

X2 = g(π) = a(π, 2)

X3 = g(2π) = a(2π, 0)

Veamos cuales de ellos son regulares

g′(0) = a(0, 0)

g′(π/2) = a(1, 1)

g′(π) = a(2, 0)

g′(2π) = a(0, 0)


Por lo tanto los puntos X1 y X2 son regulares, y los puntos X0 y X3 no lo son(se dice que son singulares). Ademas en X2 el vector tangente es horizontal,de hecho la recta tangente en dicho punto es la recta horizontal de ecuaciony = 2a

Capıtulo 6

Diferenciabilidad

En Analisis 1, si una funcion era derivable en un punto, entonces tambienera contınua en el.

En Analisis 2, nuestra definicion de funcion derivable en un punto, parafunciones de mas de una variable, es tal que puede ser derivable en un punto(en toda direccion y sentido), y aun ası no ser contınua en el.

Hay muchos ejemplos donde esto ocurre, veamos uno sencillo:

Dada f(x, y) =

{x2/y y 6= 0

0 y = 0, veamos si es derivable en (0, 0). Sea v = (a, b),

luego

lımh→0

f((0, 0) + h(a, b))− f(0, 0)

h

lımh→0

f(ha, hb)− f(0, 0)

h

Si b = 0

lımh→0

0− 0

h= 0

53

54 CAPITULO 6. DIFERENCIABILIDAD

Si b 6= 0

lımh→0

(h2a2

hb

)− 0

h=a2

b

Luego la funcion es derivable en (0, 0) y sus derivadas valen

f ′((0, 0), (a, b)) =

{a2

bb 6= 0

0 b = 0

Pero esta funcion no es contınua en (0, 0) pues f(0, 0) = 0, pero si nosrestringimos al camino y = x2 tenemos

lımx→0 y=x2

f(x, y) = lımx→0

x2

x2= 1 6= 0

Por lo tanto la funcion no es contınua en (0, 0).

La idea de esta seccion es generalizar la idea de derivada de Analisis 1 enun nuevo concepto que vamos a llamar diferenciabilidad, de forma tal queeste nuevo concepto implique continuidad, ası como lo hacıa el concepto dederivabilidad en una variable.

Primero recordemos la definicion de funcion derivable en un punto de Analisis1.

Definicion 60. Una funcion escalar f : A ⊂ R→ R es derivable en x0 ∈ A◦si existe el siguiente lımite

f ′(x0) = lımh→0

f(x0 + h)− f(x0)

h

Pero esto equivale a pedir

lımh→0

f(x0 + h)− f(x0)− hf ′(x0)

h= 0

6.1. DEFINICION DE FUNCION DIFERENCIABLE 55

O sea es derivable sii existe una funcion escalar µ : A→ R tal que

f(x0 + h)− f(x0)− f ′(x0)h = hµ(h)

con

lımh→0

µ(h) = 0

Por otro lado, la expresion f ′(x0)h es una transformacion lineal T : R→ R,h→ T (h).

Por lo tanto podemos decir que f es derivable sii existe una transformacionlineal T : R→ R y un campo escalar µ : A→ R tales que

f(x0 + h)− f(x0) = T (h) + hµ(h)

con

lımh→0

µ(h) = 0

Ahora sı estamos en condiciones de definir funcion diferenciable en un punto:

6.1. Definicion de funcion diferenciable

Definicion 61. Un campo vectorial f : A ⊆ Rn → Rm se dice que es unafuncion diferenciable en x0 ∈ A◦ si existe una trasnformacion linealT : Rn → Rm y un campo vectorial µ : B(x0, δ) ∩ A→ Rm tales que

f(x0 + h)− f(x0) = T (h) + ||h||µ(h)

con

lımh→0

µ(h) = 0


A la transformacion lineal asociada T la llamamos el diferencial de f enx0.

Esta definicion tiene concecuencias importantes. Veremos algunas de ellas enlas siguientes secciones.

6.2. Diferenciabilidad implica Derivabilidad

Teorema 6.2.1. Sea el campo vectorial f : A ⊂ Rn → Rm diferenciable enx0, entonces f es derivable en x0, y ademas las derivadas valen

f ′(x0, v) = Df(x0) · v

Demostracion. Como f es diferenciable en x0 existen una transformacionlineal T : Rn → Rm y un campo vectorial µ : Rn → Rm tales que

f(x0 + h)− f(x0) = T (h) + ||h||µ(h)

Considerando h = kv

f(x0 + kv)− f(x0) = T (kv) + ||kv||µ(kv)

f(x0 + kv)− f(x0) = kT (v) + |k|µ(kv)

dividiendo por k y tomando lımite k → 0

lımk→0

f(x0 + kv)− f(x0)

k= lım

k→0T (v) +

|k|kµ(kv)

Y como T (v) no depende de k, y como |k|k

es acotada y µ→ 0, se tiene

f ′(x0, v) = T (v)

Corolario 6.2.2. Sea un campo vectorial f : A ⊂ Rn → Rm diferenciable enx0 ∈ A◦, y sea T una transformacion lineal que cumple lo pedido, entoncesdicha transformacion lineal es unica, y ademas

T (ei) = f ′( ~x0, ei)

6.3. DIFERENCIABILIDAD IMPLICA CONTINUIDAD 57

Demostracion. Por el teorema anterior f ′( ~x0, v) = T (v). Haciendo v = eitenemos f ′( ~x0, ei) = T (ei).

Para ver que la transformacion lineal es unica, como {ei}1≤i≤n es una basede Rn, cualquier vector x ∈ Rn lo puedo escribir en forma unica como com-binacion lineal x =

∑ni=1 λiei, luego si T : Rn → Rm es una transformacion

lineal debe cumplir T (x) =∑n

i=1 λiT (ei), y por lo visto recien debe cumplirT (x) =

∑ni=1 λif

′(x0, ei), con lo cual quedo completamente determinada, esdecir la transformacion lineal es unica.

Definicion 62. Sea f : A ⊆ Rn → Rm diferenciable en x0 ∈ A◦, de la formaf = (f1, f2, . . . , fm), y sea T : Rn → Rm el diferencial de f en x0.

Sea [T ] la matriz asociada a la transformacion lineal T respecto a las basescanonicas de Rn y Rm. La misma se expresa poniendo en sus columnas lostransformados de la base canonica, es decir las derivadas parciales de f enx0, es decir que

[T ] =

f ′1,e1 f ′1,e2 . . . f ′1,enf ′2,e1 f ′2,e2 . . . f ′2,en. . .f ′m,e1 f ′m,e2 . . . f ′m,en

Al diferencial T de f en x0 lo vamos a denotar tambien df . Y a la matriz[T ] asociada al diferencial la vamos a llamar la matriz jacobiana de f enx0, y la denotamos Df .

6.3. Diferenciabilidad implica Continuidad

Teorema 6.3.1. Sea el campo vectorial f : A ⊂ Rn → Rm diferenciable enx0 ∈ A◦, entonces f es contınuo en x0.

Demostracion. Como f es diferenciable en x0 existen una (unica) transfor-macion lineal T : Rn → Rm y un campo vectorial µ : A→ Rm tales que


f(x0 + h)− f(x0) = T (h) + ||h||µ(h)

Tomando lımite h→ 0

lımh→0

f(x0 + h)− f(x0) = lımh→0

T (h)︸︷︷︸→0

+ ||h||︸︷︷︸→0

µ(~h)︸︷︷︸→0

O sea

lımh→0

f(x0 + h)− f(x0) = 0

lımh→0

f(x0 + h) = f(x0)

Sustituyendo x = x0 + h queda h = x− x0, y cuando h→ 0 se tiene x→ x0,reemplazando:

lımx→x0

f(x) = f(x0)

lo cual nos dice que el lımite existe y es igual al valor de la funcion en elpunto, o sea que f es contınua en x0.

6.4. Gradiente

Definicion 63. Sea el campo escalar f : A ⊂ Rn → Rm, y x0 ∈ A◦, si existenlas derivadas parciales de f en x0, definimos el vector gradiente ∇f(x0)de f en x0 como el vector cuyas coordenadas son las derivadas parciales def en x0, es decir como

∇f(x0) = (f ′e1(x0), f ′e2(x0), . . . , f ′en(x0))

6.5. EL GRADIENTE ES NORMAL AL CONJUNTO DE NIVEL 59

Observacion 6.4.1. Sea el campo escalar f : A ⊂ Rn → Rm, diferenciableen x0 ∈ A◦, y sea v ∈ Rn. El teorema 6.2.1 nos dice en este caso que

f ′v(x0) = ∇f(x0) · v

6.5. El gradiente es normal al conjunto de

nivel

Observacion 6.5.1. Sea el campo escalar f : A ⊂ Rn → R diferenciable enx0 ∈ A◦, y sea k ∈ R, entonces ∇f(x0) es perpendicular al conjunto de nivelk de f .

Demostracion. El conjunto de nivel k de f son los x ∈ A tales que

f(x) = k

Sea g : [a, b] → Rn la parametrizacion de una curva incluıda en el conjuntode nivel, es decir que g([a, b]) ⊆ Ck(f), tal que g(t0) = x0 y g′(t0) 6= 0.

Entonces podemos componer g con f y obtenemos

f(g(t)) = k

Aplicando el teorema 7.2.1 (la regla de la cadena, que vamos a ver despues)se tiene

∇f(g(t)) · g′(t) = 0

Es decir que ∇f(x0) · g′(t0) = 0, o sea que f(x0) ⊥ g′(t0).

Pero g′(t0) es un vector director de la recta tangente una curva que esta in-cluıda en el conjunto de nivel, es decir es paralelo al conjunto de nivel, y porlo tanto el gradiente es normal al conjunto de nivel.


6.6. Direcciones de derivada maxima, mıni-

ma y nula

Proposicion 6.6.1. Sea f : A ⊂ Rn → R es diferenciable en x0 y ∇f(x0) 6=0. Entonces:

Existe una unica direccion de maxima derivada direccional y es rmax =∇f(x0)||∇f(x0)|| . El valor de dicha derivada es ||∇f(x0)||.

Existe una unica direccion de mınima derivada direccional y es rmin =−rmax. El valor de dicha derivada es −||∇f(x0)||.

Si ademas n = 2, entonces existen exactamente dos direcciones dederivada direccional nula, y si ∇f(x0) = (a, b) entonces las mismas

son r1 = (−b,a)||(−b,a)|| y r2 = −r1

Demostracion. Como f es diferenciable en x0, por la observacion 6.4.1 sabe-mos que f es derivable en x0 y

f ′v(x0) = ∇f(x0) · v

Pero

∇f(x0) · v = ||∇f(x0)||︸︷︷︸cte

||v||︸︷︷︸=1

cos(φ)︸︷︷︸∈[−1,1]

donde φ es el angulo entre ∇f(x0) y v.

Para que dicha derivada sea maxima se requiere cos(φ) = 1, por lo tanto elvalor maximo que toma es ||∇f(x0)||, y esto ocurre cuando el angulo es 0, es

decir cuando v = rmax = ∇f(x0)||∇f(x0)||

Por la propiedad de homogeneidad, la mınima derivada direccional es−||∇f(x0)||y ocurre en la direccion v = rmin = −rmax

Finalmente, supongamos que n = 2, y buscamos las direcciones de derivadadireccional nula, es decir tales que

6.7. C1 IMPLICA DIFERENCIABLE 61

f ′v(x0) = 0 = ∇f(x0) · v

Es decir estamos buscando los versores normales a ∇f(x0).

Dado el vector∇f(x0) = (a, b), una forma facil de encontrar un vector normales intercambiar las coordenadas y cambiarle el signo a una. Luego dividimospor la norma y obtuvimos un versor normal. El otro es sımplemente el opuestoaditivo. Es decir las direcciones de derivada direccional nula son

vnul1 =(−b, a)

||(a, b)||

y

vnul2 = −vnul1

6.7. C1 implica diferenciable

Teorema 6.7.1. Sea el campo escalar f : A ⊂ Rn → Rm con A abierto. Sif ∈ C1, entonces f es diferenciable en todo x ∈ A.

Observacion 6.7.2. Una funcion f puede ser diferenciable y aun ası f 6∈ C1.

Por ejemplo, la siguiente funcion es diferenciable en R, pero su derivada f ′(x)no es contınua en el origen.

f(x) =

{x2 sin( 1

x) si x 6= 0

0 si x = 0

Capıtulo 7

Funciones Compuestas eImplıcitas

7.1. Funcion Compuesta

Definicion 64. Sean f : A ⊂ Rn → Rm y g : B ⊂ Rm → Rp tales quef(A) ⊆ B.

Entonces existe una unica la funcion h : A→ Rp tal que h(x) = g(f(x)).

A dicha funcion h la llamamos la funcion compuesta de f con g, y ladenotamos como

h = g ◦ f

Notar que esta definicion es un poco mas general que la definicion 17, porcuanto no se pide que el codominio de la primera sea igual al dominio de lasegunda, solo que la imagen de la primera este incluıdo en el dominio de lasegunda.

Al mismo tiempo es mas particular que aquella definicion, pues la primerase refiere funciones entre conjuntos en general, mientras que la segunda esentre subconjuntos de Rn.

63

64 CAPITULO 7. FUNCIONES COMPUESTAS E IMPLICITAS

7.2. Regla de la Cadena

Teorema 7.2.1. Sean f : A ⊂ Rn → Rm diferenciable en x0 ∈ A◦, yg : B ⊂ Rm → Rp diferenciable en y0 = f(x0) ∈ B◦, tales que f(A) ⊆ B

Entonces la funcion compuesta h : A→ Rp es diferenciable en x0, y ademasel diferencial de h en x0 es igual a la composicion de los diferenciales de fen x0 con el de g en y0, de la siguiente manera

dh(x0) = dg(y0) ◦ df(x0)

O lo mismo expresado matricialmente, la matriz jacobiana de la compuestaes igual al producto de las matrices jacobianas de la siguiente manera

Dh(x0) = Dg(y0) ·Df(x0)

7.3. Funcion definida implıcitamente

Definicion 65. Dada una funcion F : A ⊆ Rn+1 → R, decimos que laecuacion F (x1, x2, . . . , xn, y) = 0 define implıcitamente a y como fun-cion de x1, . . . , xn en B si existe una funcion f : B ⊆ Rn → R tal queF (x1, . . . , xn, f(x1, . . . , xn)) = 0, para B ⊆ Ay donde Ay es la proyeccion deA sobre x1, . . . , xn

Ejemplo: F : R3 → R, F (x, y, z) = x2 + y2 − z. La ecuacion correspondientees x2 + y2 − z = 0. Como existe f : R2 → R, f(x, y) = x2 + y2 tal queF (x, y, f(x, y)) = 0, la ecuacion define implıcitamente a z como funcion dex, y.

Otro ejemplo: F : R3 → R, F (x, y, z) = x2 + y2 + z2 − 1. La ecuacioncorrespondiente es x2 + y2 + z2 = 1.

Sea D2 = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 ≤ 1}. Como existe f : D2 ⊆ R2 →R, f(x, y) =

√1− x2 + y2 tal que F (x, y, f(x, y)) = 0, la ecuacion define

implıcitamente a z como funcion de x, y.

7.4. TEOREMA DE CAUCHY-DINI 65

Notar que globalmente la relacion entre x, y y z no es funcional, pues porejemplo tanto el (0, 0, 1) como el (0, 0,−1) satisfacen la ecuacion, pero f(0, 0)debe tener una unica imagen. En particular, la funcion definida implıcita-mente no tiene porque ser unica, otra funcion definida implıcitamente por lamisma ecuacion es g : D2 → R2, g(x, y) = −

√1− x2 − y2

7.4. Teorema de Cauchy-Dini

Teorema 7.4.1. Teorema de Cauchy-Dini Sea F : A ⊆ Rn+1 → R con Aabierto y F ∈ C1, y sea la ecuacion F (x1, . . . , xn, y) = 0.

Sea ademas P = (a1, . . . , an, y0) ∈ A, tal que F (P ) = 0, y F ′y(P ) 6= 0.

Entones la ecuacion define implıcitamente a y como funcion de x1, . . . , xnen un entorno de Py = (a1, . . . , an), y resulta que f es diferenciable en Py, yademas

f ′xi(Py) = −F ′xi(P )

F ′y(P )

Este teorema nos garantiza bajo ciertas condiciones la existencia de una fun-cion definida implıcitamente, es decir que exista f : Ay ∩E(Py, δ) ⊂ Rn → Rtal que F (x1, . . . , xn, f(x1, . . . , xn)) = 0

En particular, esto nos permite el gradiente ∇f(Py) de la siguiente manera

∇f(Py) =

(−F ′x1(P )

F ′y(P ),−

F ′x2(P )

F ′y(P ), . . . ,−

F ′xn(P )

F ′y(P )

)

= − 1

F ′y(P )

(F ′x1(P ), F ′x2(P ), . . . , F ′xn(P )

)

66 CAPITULO 7. FUNCIONES COMPUESTAS E IMPLICITAS

Capıtulo 8

Polinomio de Taylor yExtremos

8.1. Polinomio de Taylor

Sea f : A ⊆ R2 → R, f ∈ C2, (x0, y0) ∈ A.

Sabemos que el diferencial de f en cada punto (x0, y0) ∈ A es de la forma

df(x0,y0)(x− x0, y − y0) = f ′x(x0, y0)(x− x0) + f ′y(x0, y0)(y − y0)

O escribiendo (u, v) = (x− x0, y − y0)

df(x0,y0)(u, v) = f ′x(x0, y0)u+ f ′y(x0, y0)v

En cada punto (x, y) su diferencial es

df(x,y)(u, v) = f ′x(x, y)u+ f ′y(x, y)v

Ahora definimos el diferencial segundo de f en (x, y), como el diferencial deldiferencial, es decir

67

68 CAPITULO 8. POLINOMIO DE TAYLOR Y EXTREMOS

d2f(x,y)(u, v) = d(df(x,y)(u, v)) = d(f ′x(x, y)u+ f ′y(x, y)v)

= f ′′xx(x, y)u2 + f ′′xy(x, y)uv + f ′′yx(x, y)vu+ f ′′yy(x, y)v2

= f ′′xx(x, y)u2 + 2f ′′xy(x, y)uv + f ′′yy(x, y)v2

donde en el ultimo paso usamos el teorema 5.2.4 (de Schwarz).

Con esta notacion vamos a definir entonces el polinomio de Taylor

Definicion 66. Sea f : A ⊆ R2 → R, f ∈ C2, (x0, y0) ∈ A.

El polinomio de Taylor de primer grado de f en (x0, y0) es

T1(u, v) = f(x0, y0) + df(x0,y0)(u, v)

= f(x0, y0) + f ′x(x0, y0)u+ f ′y(x0, y0)v

Y el polinomio de Taylor de segundo grado de f en (x0, y0) es

T2(u, v) = f(x0, y0) + df(x0,y0)(u, v) +1

2!d2f(x0,y0)(u, v)

= f(x0, y0) + f ′x(x0, y0)u+ f ′y(x0, y0)v +

+1

2!

[f ′′xx(x0, y0)u2 + 2f ′′xy(x0, y0)uv + f ′′yy(x0, y0)v2

]Mas generalmente, si f : A ⊆ Rn → R, f ∈ Ck, x0 ∈ A, y llamandou = x− x0, el polinomio de Taylor de f de grado k en x0 es

Tk(u) = f(x0) + dfx0(u) +1

2!d2fx0(u) + . . .+

1

k!dkfx0(u)

El polinomio de Taylor sirve para aproximar la funcion en un entorno delpunto donde fue calculada. Es decir si f ∈ Ck y Tk(u) es el polinomio degrado k de f en x0, entonces

8.2. MAXIMOS Y MINIMOS DE UNA FUNCION 69

f(x) ≈ Tk(x− x0)

para x cerca de x0.

8.2. Maximos y mınimos de una funcion

Sabemos que R es un conjunto totalmente ordenado (ver definicion 12), ypor lo tanto cualquier subconjunto B ⊆ R tambien hereda un orden total.

Tiene sentido entonces para B ⊆ R preguntar si tiene un maximo o unmınimo.

Por ejemplo, si A = (0, 1], entonces A tiene un maximo y es el elemento1 ∈ A, pero no tiene ningun mınimo.

Definicion 67. Sea f : A ⊆ Rn → R un campo escalar, y sea Y = Im(f) ⊆R el conjunto imagen de f .

Si Y tiene un maximo, decimos que es el maximo absoluto de f .

Si Y tiene un mınimo, decimos que es el mınimo absoluto de f .

Definicion 68. Sea f : A ⊆ Rn → R un campo escalar, x0 ∈ A, E =E(x0, δ) un entorno de x0 de radio δ > 0, y g = f |E, es decir la funcion frestringida al entorno E, y sea YE = Im(g) la imagen de la funcion ası re-stringida.

Si YE tiene un maximo, decimos que es un maximo relativo de f relativoa x0.

Si YE tiene un mınimo, decimos que es un mınimo relativo de f relativoa x0.

Definicion 69. Llamamos extremos a los maximos y mınimos (absolutosy relativos) de f .

Observacion 8.2.1. Las definiciones anteriores las podemos expresar tam-bien de la siguiente manera.

Sea el campo escalar f : A ⊂ Rn → R, y x0 ∈ A, entonces:


f(x0) es el maximo absoluto de f si f(x) ≤ f(x0) para todo x ∈ A

f(x0) es el mınimo absoluto de f si f(x) ≥ f(x0) para todo x ∈ A

f(x0) es maximo relativo de f relativo a x0 si f(x) ≤ f(x0) para todox ∈ A ∩ E(x0, δ) para algun δ > 0

f(x0) es mınimo relativo de f relativo a x0 si f(x) ≥ f(x0) para todox ∈ A ∩ E(x0, δ) para algun δ > 0

Observacion 8.2.2. Todos los extremos se definieron en sentido amplio.La definicion en sentido estricto es analoga pero cambiando ≤ por < y ≥por >, y analizando A−{x0} para extremos absolutos, y (A−{x0})∩E(x0, δ)para extremos relativos.

8.2.1. Criterio de la derivada primera

Antes de enunciar el criterio, vamos a necesitar esta

Definicion 70. Sea f : A ⊂ Rn → R. Un punto crıtico de f es un elemen-to x0 ∈ A tal que o bien f no es diferenciable en x0, o bien es diferenciableen x0 pero ∇f(x0) = 0.

Si x0 es punto crıtico, pero f(x0) no es extremo, decimos que (x0, f(x0)) espunto silla.

Ahora si enunciamos el criterio de la derivada primera

Teorema 8.2.3. Criterio de la derivada primera

Sea f : A ⊂ Rn → R, f ∈ C1, entonces una condicion necesaria para quef(x0) sea extremo, es que x0 sea punto crıtico.

Es decir que el criterio de la derivada primera nos dice que si x0 ∈ A es puntocrıtico, entonces o bien f(x0) es extremo, o bien (x0, f(x0)) es punto silla.

Demostracion. Sea g(t) = x0 + tv para un versor v ∈ Rn, y considero lacomposicion


h(t) = f(g(t))

Como g(0) = x0 y f presenta un extremo en x0, entonces h presenta unextremo en 0.

Ademas como f es diferenciable en x0 y g es diferenciable en 0, entonces porla regla de la cadena h es diferenciable en 0 y

h′(0) = ∇f(g(0))g′(0)

Y por el criterio de la derivada primera (de Analisis 1) sabemos que debecumplirse

h′(0) = 0

O sea que

∇f(g(0)) · g′(0) = 0

Pero g′(0) = v, luego nos queda

∇f(x0) · v = 0

y como f es diferenciable en x0

∇f(x0) · v = f ′v(x0) = 0

En particular tomando v un versor canonico de Rn vemos que todas lasderivadas parciales son nulas, y por lo tanto ∇f(x0) = 0 como querıamosprobar.


8.2.2. Criterio de la derivada segunda

Antes de enunciar el criterio de la derivada segunda nos va a ser util lasiguiente

Definicion 71. Sea f : A ⊂ Rn → R, f ∈ C2.

La matriz Hessiana es la matriz jacobiana del gradiente de f . Es decir:

Hf =

f ′′x1x1 f ′′x1x2 . . . f ′′x1xnf ′′x2x1 f ′′x2x2 . . . f ′′x2xn. . .f ′′xnx1 f ′′xnx2 . . . f ′′xnxn

Observacion 8.2.4. Por el teorema 5.2.4 (de Schwarz), la matriz Hessianadebe ser simetrica.

Teorema 8.2.5. Sea M ∈ Rn×n una matriz cuadrada y simetrica.

Entonces M tiene autovalores λ1, λ2, . . . , λn ∈ R, es decir tiene todos susautovalores y son reales.

Definicion 72. Sea M ∈ Rn×n una matriz cuadrada y simetrica con coefi-cientes reales.

Sabemos por el teorema 8.2.5 que todos sus autovalores λ1, . . . , λn son reales.

Decimos que M es una matriz definida positiva, si todos sus autovaloresson positivos, es decir λi > 0 para 1 ≤ i ≤ n.

Decimos que M es una matriz semidefinida positiva, si todos sus auto-valores son no negativos, es decir λi ≥ 0 para 1 ≤ i ≤ n.

Decimos que M es una matriz definida negativa, si todos sus autovaloresson negativos, es decir λi < 0 para 1 ≤ i ≤ n.

Decimos que M es una matriz semidefinida negativa, si todos sus au-tovalores son no positivos, es decir λi ≤ 0 para 1 ≤ i ≤ n.

Decimos que M es una matriz no definida, si no es definida positiva, nisemidefinida positiva, ni definida negativa, ni semidefinida negativa. Es decirsi tiene autovalores tanto positivos como negativos.


Teorema 8.2.6. Criterio de Sylvester

Sea M ∈ Rn×n una matriz cuadrada y simetrica.

Sean las n submatrices Mp = (aij)1≤i,j≤p con 1 ≤ p ≤ n.

A sus determinantes det(Mp) con 1 ≤ p ≤ n se los conoce somo sus menoresprincipales.

El criterio de Sylvester dice que

M es definida positiva sii todos sus menores principales son positivos,es decir det(Mp) > 0 para 1 ≤ p ≤ n

M es definida negativa sii sus menores principales son de la formadet(M1) < 0, det(M2) > 0, det(M3) < 0, . . ., es decir (−1)pdet(Mp) > 0para 1 ≤ p ≤ n. Es decir van intercambiando signo empezando pornegativo.

No lo encontre en la bibliografıa, y no estoy seguro de si sera cierto, pero seme ocurre que a lo mejor tambien es cierto lo siguiente:

M es semidefinida positiva sii todos sus menores principales son nonegativos, es decir det(Mp) ≥ 0 para 1 ≤ p ≤ n

M es semidefinida negativa sii sus menores principales son de la formadet(M1) ≤ 0, det(M2) ≥ 0, det(M3) ≤ 0, . . ., es decir (−1)pdet(Mp) ≥ 0para 1 ≤ p ≤ n.

M es no definida sii tiene menores principales tanto positivos comonegativos.

Ahora si enunciamos el criterio de la derivada segunda

Teorema 8.2.7. Criterio de la derivada segunda

Sea f : A ⊂ Rn → R, f ∈ C2 y x0 ∈ A punto crıtico. Entonces si lamatriz hessiana de f en x0 es definida positiva (Ver 72), la funcion presentaun mınimo relativo f(x0), y si es definida negativa, la funcion presenta unmaximo relativo f(x0).


Si la matriz esta semidefinida (positiva o negativa), el criterio no decide.

Si la matriz no esta definida, no hay extremo, es decir que (x0, f(x0)) espunto silla.

Combinando el criterio 8.2.6 de Sylvester con el criterio 8.2.7 de la derivadasegunda, podemos construir el criterio del Hessiano

Teorema 8.2.8. Criterio del Hessiano

Sea f : A ⊂ Rn → R, f ∈ C2 y x0 ∈ A punto crıtico.

Sean las n submatrices Mp = (aij)1≤i,j≤p con 1 ≤ p ≤ n, y sean det(Mp) susmenores principales.

Entonces

Si det(Mp) > 0 para 1 ≤ p ≤ n, f(x0) es mınimo relativo.

Si (−1)pdet(Mp) > 0 para 1 ≤ p ≤ n, f(x0) es maximo relativo.

Si algun det(Mp) = 0, el criterio no decide.

En cualquier otro caso, el punto (x0, f(x0)) es un punto silla.

Ejemplo 22. Veamos el caso particular n = 3. Sea f : A ⊆ R3 → R, f ∈ C2

y x0 ∈ A punto crıtico de f . Queremos saber si f(x0) es extremo relativo.Sea Hf(x0) la matriz hessiana de f en x0

Hf(x0) =

f ′′xx(x0) f ′′xy(x0) f ′′xz(x0)f ′′yx(x0) f ′′yy(x0) f ′′yz(x0)f ′′zx(x0) f ′′zy(x0) f ′′zz(x0)

Calculamos los menores principales de f , es decir los siguientes determi-nantes (se entiende, todas las funciones evaluadas en x0)

H1 =∣∣f ′′xx∣∣

H2 =

∣∣∣∣f ′′xx f ′′xyf ′′yx f ′′yy

∣∣∣∣


H3 =

∣∣∣∣∣∣f ′′xx f ′′xy f ′′xzf ′′yx f ′′yy f ′′yzf ′′zx f ′′zy f ′′zz

∣∣∣∣∣∣Entonces si H1, H2, H3 > 0 la matriz esta definida positiva, y por lo tantof(x0) es mınimo relativo.

Y si H1 < 0, H2 > 0, H3 < 0 la matriz esta definida negativa, y por lo tantof(x0) es maximo relativo.

Si algun Hi = 0, el criterio no decide. En cualquier otro caso el punto(x0, f(x0)) es punto silla.

Ejemplo 23. Ahora veamos el caso particular n = 2. Sea f : A ⊆ R2 → R,f ∈ C2 y x0 ∈ A punto crıtico de f . Queremos saber si f(x0) es extremorelativo. Sea Hf(x0) la matriz hessiana de f en x0

Hf(x0) =

(f ′′xx(x0) f ′′xy(x0)f ′′yx(x0) f ′′yy(x0)

)

Los menores principales de f son H1 = f ′′xx(x0) y H2 = det(Hf(x0)).

Si det(Hf(x0)) > 0 hay extremo, pues el producto de los dos autovaloreses positivo, es decir que son ambos positivos o ambos negativos.

En este caso si f ′′xx(x0) > 0, f(x0) es mınimo relativo, y si f ′′xx(x0) < 0,f(x0) es maximo relativo.

El caso f ′′xx(x0) = 0 no puede darse, pues si det(H(fx0)) = f ′′xxf′′yy −

(f ′′xy)2 > 0, entonces f ′′xxf

′′yy > (f ′′xy)2 > 0, lo cual implica que f ′′xx 6= 0

Si det(Hf(x0)) < 0 entonces (x0, f(x0)) es punto silla, pues el productode los dos autovalores es negativo, es decir que son de signo contrario.

Si det(Hf(x0)) = 0 entonces el criterio no decide, habra que averiguarde otra forma si se produce extremo o punto silla.


8.3. Extremos condicionados

Supongamos que queremos maximizar un campo escalar f(x, y), sujeto a unarestriccion g(x, y) = 0.

Un metodo consiste, cuando es posible, en despejar x o y (o alguna expresion)de la ecuacion g(x, y) = 0 de forma tal de reemplazarla en la funcion f(x, y)para que quede en funcion de una variable.

Otra posibilidad serıa parametrizar la curva g(x, y) = 0, digamos mediante lafuncion vectorial r(t), luego componer h = f ◦r y maximizar dicha compuestah(t) = f(r(t)) que es una funcion de una variable.

Pero si ninguno de los metodos anteriores funciona, debemos recurrir a losmultiplicadores de Lagrange:

Definimos la funcion de Lagrange:

L(λ, x, y) = λg(x, y) + f(x, y)

Los puntos crıticos (restringidos) los hallamos calculando su gradiente e igua-lando a cero:

∇L(λ, x, y) = (0, 0, 0)

de donde

g(x, y) = 0

λg′x + f ′x = 0

λg′y + f ′y = 0

Para cada punto crıtico restringido podemos analizar si es extremo analizandogeometricamente la funcion, o usando el hessiano restringido:

8.3. EXTREMOS CONDICIONADOS 77

H =

0 g′x g′yg′x f ′′xx f ′′xyg′y f ′′yx f ′′yy

El criterio del hessiano restringido en este caso dice que

Si H3 < 0 hay mınimo relativo

Si H3 > 0 hay maximo relativo.

En general, si hay m restricciones, se consideran los menores principales detamano i ≥ 2m+ 1.

Si m es par y Hi > 0 para todo i hay mınimo relativo. Y si Hi < 0, Hi+1 >0, Hi+2 < 0, . . . hay maximo relativo.

Si m es impar y Hi < 0 para todo i hay mınimo relativo. Y si Hi > 0, Hi+1 <0, Hi+2 > 0, . . . hay maximo relativo.

Ejemplo 24. Analizar los extremos de f(x, y) = x2 + y2 sujeto a x = 0.

Primero definimos la funcion de Lagrange

L(λ, x, y) = λx+ x2 + y2

Ahora buscamos los puntos crıticos

∇L(λ, x, y) = (x, λ+ 2x, 2y) = (0, 0, 0)

de donde

x = 0

λ+ 2x = 0

2y = 0


El unico punto crıtico es (λ, x, y) = (0, 0, 0). Ahora veamos el hessiano

H =

0 1 01 2 00 0 2

Como H3 = −2 < 0 hay mınimo relativo f(0, 0) = 0

Capıtulo 9

Integral de Lınea y FuncionPotencial

9.1. Integral de Riemann

Recordemos la definicion de la integral de Riemann

Definicion 73. Sea [a, b] ∈ R un intervalo compacto, y sea P = {a = x0 <x1 < . . . < xn = b} una particion de [a, b]. Sea f una funcion acotada en[a, b].

Notamos

mi = ınfx∈[xi−1,xi]

f(x)

Mi = supx∈[xi−1,xi]

f(x)

4xi = xi − xi−1

Las sumas superior e inferior de Riemann son

79

80 CAPITULO 9. INTEGRAL DE LINEA Y FUNCION POTENCIAL

Sp(f) =n∑i=1

Mi4xi

sp(f) =n∑i=1

mi4xi

Luego definimos

∫ b

a

fdx = ınfp part

Sp(f)

∫ b

a

fdx = supp part

sp(f)

donde el ınfimo y el supremo se calcula sobre todas las particiones posibles.

Si son iguales, se nota∫ bafdx y se dice que f es Riemann-integrable en [a, b],

y lo denotamos f ∈ R

9.2. Curva regular a trozos, curva de jordan

Definicion 74. Una curva C ∈ Rn decimos que es regular a trozos sipuede escribirse como C = ∪ki=1Ci donde cada Ci es una curva regular, y elextremo final de una coincide con el inicial de la siguiente.

Es decir si cada curva Ci esta parametrizada por gi : [ai, bi]→ Rn, entoncesgi(bi) = gi+1(ai+1)

Una curva C es simple si admite una parametrizacion inyectiva.

Una curva C es cerrada si admite una parametrizacion g : [a, b] → Rn talque g(a) = g(b)

Una curva C se dice cerrada simple, o curva de Jordan, si admite unaparametrizacion g : [a, b]→ Rn tal que es inyectiva en [a, b) y g(a) = g(b)

9.3. INTEGRAL DE LINEA 81

9.3. Integral de lınea

Definicion 75. Dada una curva C ∈ Rn con parametrizacion g : [a, b]→ Rn,y dado un campo escalar f : A ⊆ Rn → R contınuo, tal que C ∈ A◦, definimosel diferencial de curva escalar como

dc = ||g′(t)||dt

y definimos la integral de f sobre C como

∫C

fdc =

∫ b

a

f(g(t))||g′(t)||dt

Definimos la longitud de C como la integral de la funcion constante 1, esdecir

Long(C) =

∫C

dc =

∫ b

a

||g′(t)||dt

Dada la misma curva C con misma parametrizacion g, y dado el campovectorial f : A ⊆ Rn → Rn contınuo, tal que C ∈ A◦, definimos el diferencialde curva vectorial como

dc = g′(t)dt

y definimos la integral de f sobre C en este caso tambien llamado circu-lacion como

∫C

f · dc =

∫ b

a

f(g(t)) · g′(t)dt

En ambos casos decimos que se trata de la integral sobre la curva C desdeg(a) hasta g(b)


9.4. Campos conservativos

Dado un campo vectorial f : A ⊆ Rn → Rn, con A abierto y f ∈ C1,podemos preguntarnos si en realidad se trata del gradiente de un campoescalar φ : A ⊆ Rn → R, φ ∈ C2, tal que ∇φ = f . Esto motiva la siguiente

Definicion 76. Dado f : A ⊆ Rn → Rn, con A abierto y f ∈ C1.

Si existe φ : A ⊆ Rn → R, φ ∈ C2, tal que

∇φ = f

decimos que f es un campo conservativo, y que φ es su funcion poten-cial.

Ejemplo 25. No todos los campos vectoriales son conservativos

Por ejemplo f(x, y) = (−y, x) no es conservativo. Si lo fuera, como f ∈ C1

se tendrıa una φ ∈ C2 tal que ∇φ = f , pero en ese caso serıa φ′x = −yy φ′y = x. Se cumplen las hipotesis del teorema de Schwarz, por lo tantoφ′′xy = φ′′yx con lo cual llegamos a −1 = 1 lo cual es absurdo, y por lo tanto fno es un campo conservativo.

Es facil construir ejemplos de campos conservativos, sımplemente elegimos uncampo escalar φ ∈ C2, y su gradiente es un campo conservativo. Por ejemplosi φ(x, y) = x2 + y2 entonces se tiene que ∇φ(x, y) = f(x, y) = (2x, 2y) es uncampo conservativo, cuya funcion potencial es φ.

9.5. Teorema de la independencia del camino

Teorema 9.5.1. Sea el campo vectorial conservativo f : A ⊂ Rn → Rn, ysea φ : A ⊂ Rn → R su funcion potencial.

Sea C ⊂ A◦ una curva regular con parametrizacion g : [a, b]→ Rn.

Entonces

9.5. TEOREMA DE LA INDEPENDENCIA DEL CAMINO 83

∫C

f · dc = φ(g(b))− φ(g(a))

Demostracion. Queremos calcular

∫C

f · dc =

∫ b

a

f(g(t)) · g′(t)dt

Como f = ∇φ se tiene

∫C

f · dc =

∫ b

a

∇φ(g(t)) · g′(t)dt

Ahora consideramos la funcion compuesta h = φ ◦ g, h(t) = φ(g(t)). Lamisma existe puesto que la curva esta en el dominio de φ.

Como g ∈ C1 por ser la parametrizacion de una curva regular, y φ ∈ C2 porser funcion potencial de f , ambas son diferenciables, y podemos aplicar elteorema de la regla de la cadena

h′(t) = ∇φ(g(t)) · g′(t)

reemplazando en la integral

∫C

f · dc =

∫ b

a

h′(t)dt

y por el teorema fundamental del calculo de Analisis 1

∫ b

a

h′(t)dt = h(b)− h(a)

Pero h = φ(g(t)), finalmente

∫C

f · dc = φ(g(b))− φ(g(a))


Es decir que la integral de f sobre la curva C no depende del camino, sinosolamente de los puntos inicial g(a) y final g(b) de la curva.

Corolario 9.5.2. Si f es conservativo, la integral sobre cualquier curva cer-rada da cero.

Demostracion. Como C es cerrada g(a) = g(b), y como f es conservativo setiene

∫C

f · dc = φ(g(b))− φ(g(a)) = φ(g(a))− φ(g(a)) = 0

9.6. Condicion necesaria para la existencia de

funcion potencial

Teorema 9.6.1. Sea f : A ⊂ Rn → Rn conservativo con f ∈ C1, entoncessu matriz jacobiana Df es contınua y simetrica.

Dicho de otra forma, si f ∈ C1 tiene matriz jacobiana Df que o bien no escontinua, o bien no es simetrica (o ninguna de las dos), entonces f no puedeser un campo conservativo.

Demostracion. Como f ∈ C1 es claro que su matriz jacobiana debe sercontınua, pues sus columnas son sus derivadas parciales.

Como f es conservativo, existe φ : A ⊂ Rn → R, φ ∈ C2 tal que ∇φ = f .

Luego la matriz jacobiana de f debe ser la matriz hessiana de φ.

Luego por la observacion 8.2.4, la matriz jacobiana de f debe ser simetrica.

9.7. CONDICION DE SUFICIENCIA PARA LA EXISTENCIA DE FUNCION POTENCIAL85

9.7. Condicion de suficiencia para la existen-

cia de funcion potencial

Teorema 9.7.1. Sea f : A ⊂ Rn → Rn tal que cumple la condicion necesariapara que exista funcion potencial (es decir tiene Df contınua y simetrica).Si ademas A es sımplemente conexo, entonces f es conservativo.

Observacion 9.7.2. La condicion de suficiencia (A sımplemente conexo),junto con la necesaria me garantizan que el campo es conservativo. Peroque no se cumpla que A sea sımplemente conexo no me garantiza que elcampo f no sea conservativo. Hay funciones que no cumplen la condicion desuficiencia y aun ası son conservativos.

Ejemplo 26. Dado A = R2 − {(0, 0)}. Claramente A no es sımplementeconexo. Ahora definimos

f : A → R2

f(x, y) = (2x, 2y)

Existe el siguiente φ ∈ C2

φ : A → Rφ(x, y) = x2 + y2

de forma que f = ∇φ, es decir que el campo f es conservativo.

Capıtulo 10

Integrales Multiples

Definicion 77. Sea f : R ⊆ R2 → R, con R = [a, b]× [c, d] y f acotada.

Sean Px = {a = x0 < x1 < . . . < xn = b} y Py = {c = y0 < y1 < . . . < ym =d} particiones de [a, b] y [c, d]

Notamos

m(i,j) = ınf(x,y)∈[xi−1,xi]×[yj−1,yj ]

f(x, y)

M(i,j) = sup(x,y)∈[xi−1,xi]×[yj−1,yj ]

f(x, y)

4xi = xi − xi−1

4yj = yj − yj−1

Las sumas superior e inferior de Riemann son

Sp(f) =m∑j=1

n∑i=1

M(i,j)4xi4yj

87

88 CAPITULO 10. INTEGRALES MULTIPLES

sp(f) =m∑j=1

n∑i=1

m(i,j)4xi4yj

Luego definimos

∫∫R

fdxdy = ınfp part

Sp(f)

∫∫R

fdxdy = supp part

sp(f)

donde el ınfimo y el supremo se calcula sobre todas las particiones posibles.

Si son iguales, se dice que f es Riemann-integrable en R = [a, b] × [c, d], senota

∫∫Rfdxdy, y se dice que es la integral doble de f sobre R.

La definicion para funciones de la forma f : R ⊆ R3 → R es analoga.

Definicion 78. Sea f : A ⊆ R2 → R, con A acotado y f acotada.

Por ser A acotado, el mismo se encuentra dentro de un rectangulo R =[a, b]× [c, d], es decir A ⊆ R.

Definimos la funcion h : R→ R como

h(x, y) =

{f(x, y) si (x, y) ∈ A0 si (x, y) 6∈ A

Luego definimos la integral de f sobre A como

∫∫A

fdxdy =

∫∫R

hdxdy

si dicha integral existe.

La definicion para funciones de la forma f : A ⊆ R3 → R es analoga.

89

Definicion 79. Sea A ⊆ R2 acotada. Definimos su area como

area(A) =

∫∫A

dxdy

Sea H ⊆ R3 acotada. Definimos su volumen como

vol(H) =

∫∫∫H

dxdydz

Definicion 80. Una region elemental tipo I de R2 es un subconjuntoR ⊆ R2 de la forma

R = {(x, y) ∈ R2 : a ≤ x ≤ b, f1(x) ≤ y ≤ f2(x)}

Esto tambien lo vamos a escribir como

R =

{a ≤ x ≤ b

f1(x) ≤ y ≤ f2(x)

Analogamente, una region elemental tipo II es de la forma

R =

{a ≤ y ≤ b

f1(y) ≤ x ≤ f2(y)

En ambos casos f1, f2 son funciones contınuas en el compacto [a, b].

Una region elemental de R2, es una region elemental tipo I o bien tipo II.

Una region elemental tipo I de R3 es un subconjunto R ⊆ R3 de la forma

R =

a ≤ x ≤ b

f1(x) ≤ y ≤ f2(x)

g1(x, y) ≤ z ≤ g2(x, y)


En total hay 3! = 6 tipos de regiones elementales en R3, que se correspondencon las permutaciones de las tres variables x, y, z ya que basicamente consisteen ordenar las variables.

De nuevo f1, f2, g1, g2 son funciones contınuas, y por lo tanto acotadas.

Ejemplo 27. En R2, supongamos que tenemos la region R definida por

R =

{0 ≤ x ≤ 2π

cos(x) ≤ y ≤ 2 + sin(x)

La podemos representar graficamente de la siguiente manera

Esta region R es una region elemental tipo I.

Observacion 10.0.3. Como todas las funciones que definen una region ele-mental R son contınuas en un compacto, resultan ser acotadas, por lo tantoR es un conjunto acotado, y como R es cerrado, resulta que ademas R escompacto.

10.1. Teorema de Fubini en R2

El siguiente teorema nos permite calcular ciertas integrales dobles realizandodos integrales simples iteradas.

10.2. TEOREMA DE CAMBIO DE VARIABLES 91

Teorema 10.1.1. Sea f : A ⊂ R2 → R contınua, con A region elementaltipo I, de la forma A = {(x, y) ∈ R2 : a ≤ x ≤ b, f(x) ≤ y ≤ g(x)} entonces

∫∫A

f(x, y)dxdy =

∫ b

a

dx

∫ g(x)

f(x)

f(x, y)dy

Observacion 10.1.2. Si A es una region elemental tipo I y II, entoncespuedo cambiar el orden de integracion.

10.2. Teorema de cambio de variables

Primero lo enunciamos en R2

Teorema 10.2.1. Sea f : A ⊂ R2 → R contınua, y g : U ⊆ R2 → R2

biyectiva, g ∈ C1, y (x, y) = g(u, v), y sea A = g(B), entonces

∫∫A=g(B)

f(x, y)dxdy =

∫∫B

f(g(u, v))||det(Dg(u, v))||dudv

Ahora enunciamos la version del teorema para R3

Teorema 10.2.2. Sea f : A ⊂ R3 → R contınua, y g : U ⊆ R3 → R3

biyectiva, g ∈ C1, y (x, y, z) = g(u, v, w), y sea A = g(B), entonces

∫∫∫A=g(B)

f(x, y, z)dxdydz =

∫∫∫B

f(g(u, v, w))||det(Dg(u, v, w))||dudvdw

10.3. Coordenadas cartesianas y polares en

R2

Son los cambios de variables mas utilizados en R2


Definicion 81. Las coordenadas cartesianas corresponde a la funcionidentidad de R2

g : R2 → R2

g(u, v) = (u, v)

En este caso se tiene

|det(Dg)| = 1

Las lıneas coordenadas son rectas paralelas a los ejes cartesianos.

Definicion 82. Las coordenadas polares corresponde al campo vectorial

g : [0,+∞)× [0, 2π) → R2

g(ρ, φ) = (ρ cos(φ), ρ sin(φ))


|det(Dg)| = ρ

Las lıneas coordenadas son circunferencias con centro en el origen, y semirec-tas que parten del origen.

10.4. COORDENADAS CARTESIANAS, CILINDRICAS Y ESFERICAS EN R393

10.4. Coordenadas cartesianas, cilındricas y

esfericas en R3

Son los cambios de variables mas utilizados en R3

Definicion 83. Las coordenadas cartesianas corresponde a tomar la fun-cion identidad de R3

g : R3 → R3

g(u, v, w) = (u, v, w)


|det(Dg)| = 1

Las superficies coordenadas son planos paralelos a los planos coordenados.


Definicion 84. Las coordenadas cilındricas sobre el eje z corresponde ala funcion

g : [0,+∞)× [0, 2π)× R → R3

g(ρ, φ, z) = (ρ cos(φ), ρ sin(φ), z)


|det(Dg)| = ρ

Las superficies coordenadas son cilindros sobre el eje z, semiplanos que partendel eje z, y planos paralelos al xy.

Ejemplo 28. Calcular el volumen del cuerpo H definido como

H =

{x2 + y2 ≤ 1

0 ≤ z ≤√x2 + y2

A continuacion representamos graficamente el cuerpo H. Observar que sonlos puntos dentro de un cilındro de radio 1 sobre el eje z, y entre el planoz = 0 y el cono z =

√x2 + y2

10.4. COORDENADAS CARTESIANAS, CILINDRICAS Y ESFERICAS EN R395

Calculamos su volumen

V ol(H) =

∫∫∫H

dV =

∫ 2π

0

dφ

∫ 1

0

ρdρ

∫ ρ

0

dz =2

3π

Definicion 85. Las coordenadas esfericas sobre el eje z corresponde ala funcion

g : [0,+∞)× [0, 2π)× [0, π] → R3

g(ρ, α, β) = (ρ cos(α) sin(β), ρ sin(α) sin(β), ρ cos(β))

En este caso

|det(Dg)| = ρ2 sin(β)

Las superficies coordenadas son esferas centradas en el origen, conos centra-dos en el origen sobre el eje z, y semiplanos que parten del eje z.

Capıtulo 11

Integrales de Superficie y Flujo

11.1. Definicion para superficie parametrica

Definicion 86. Dada una superficie Σ ∈ R3 con parametrizacion g : B ⊆R2 → R3, y dado un campo escalar f : A ⊆ R3 → R contınuo, tal queΣ ∈ A◦, definimos el diferencial de superficie escalar como

ds = ||g′u(u, v) ∧ g′v(u, v)||dudv

y la integral de f sobre Σ como

∫∫Σ

fds =

∫∫B

f(g(u, v))||g′u(u, v) ∧ g′v(u, v)||dudv

Definimos el area de la superficie Σ como la integral de la funcion constante1, es decir

area(Σ) =

∫∫Σ

ds =

∫∫B

||g′u(u, v) ∧ g′v(u, v)||dudv

Dada la misma superficie Σ (orientable) con misma parametrizacion g, ydado el campo vectorial f : A ⊆ R3 → R3 contınuo, tal que Σ ∈ A◦, definimosel diferencial de superficie vectorial como

97

98 CAPITULO 11. INTEGRALES DE SUPERFICIE Y FLUJO

ds = (g′u(u, v) ∧ g′v(u, v))dudv

y definimos la integral de f sobre Σ en este caso tambien llamado flujo como

∫∫Σ

f · ds =

∫∫B

f(g(u, v)) · (g′u(u, v) ∧ g′v(u, v))dudv

En este caso decimos que se trata de la integral sobre la superficie Σ en laorientacion con vector normal g′u(u, v) ∧ g′v(u, v).

11.2. Caso superficie grafica de campo escalar

Sea f : A ⊂ R2 → R, su conjunto grafica consiste en el conjunto

Σ = {(x, y, z) ∈ A× R : z = f(x, y)}

La misma la podemos parametrizar como

g(x, y) = (x, y, h(x, y))

Luego

g′x = (1, 0, h′x)

g′y = (0, 1, h′y)

g′x ∧ g′y = (−f ′x,−f ′y, 1)

Por lo tanto, el diferencial de superficie vectorial es

ds = (−f ′x,−f ′y, 1)dxdy

y el diferencial de superficie escalar es

11.3. CASO SUPERFICIE DEFINIDA IMPLICITAMENTE 99

ds =√

1 + (f ′x)2 + (f ′y)

2dxdy

11.3. Caso superficie definida implıcitamente

Sea el campo escalar G : A ⊂ R3 → R, G ∈ C1 y supongamos la superficie Σcorresponde al conjunto de nivel 0 de G. Es decir es la superficie de ecuacion

G(x, y, z) = 0

y supongamos ademas que G′z(x, y, z) 6= 0

Entonces por el teorema 7.4.1 de Cauchy-Dini, la ecuacion define implıcita-mente a z = w(x, y), con w diferenciable. Luego podemos parametrizar Σ dela siguiente forma

g(x, y) = (x, y, w(x, y))

g′x = (1, 0, w′x)

g′y = (0, 1, w′y)

g′x ∧ g′y = (−w′x,−w′y, 1)

Pero

w′x = −G′x

G′z

w′y = −G′yG′z

reemplazando

100 CAPITULO 11. INTEGRALES DE SUPERFICIE Y FLUJO

g′x ∧ g′y = (G′xG′z

,G′xG′z

, 1) =1

G′z∇G

Por lo tanto, el diferencial de superficie vectorial es

ds =∇GG′z

dxdy

y el diferencial de superficie escalar es

ds =||∇G|||G′z|

dxdy

Capıtulo 12

Calculo de Masa, momentos, ycentro

Veamos algunas formulas para el calculo de masa, momentos y centro, sobrecurvas y regiones planas.

Sea C ⊂ R2 una curva, y A ⊆ R2 una region plana.

Sea δ : R2 → R contınua la densidad de masa.

Concepto Curvas Region plana

M : Masa∫Cδdc

∫∫Aδdxdy

Mx: Momento estaticorespecto al eje x

∫Cyδdc

∫∫Ayδdxdy

My: Momento estaticorespecto al eje y

∫Cxδdc

∫∫Axδdxdy

G: Centro de masa 1M

(My,Mx)1M

(My,Mx)Ix: Momento de iner-cia respecto al eje x

∫Cy2δdc

∫∫Ay2δdxdy

Iy: Momento de iner-cia respecto al eje y

∫Cx2δdc

∫∫Ax2δdxdy

Ahora en R3. Veamos algunas formulas para el calculo de masa, momentosy centro, sobre curvas en el espacio, regiones solidas, y supercicies.

101

102 CAPITULO 12. CALCULO DE MASA, MOMENTOS, Y CENTRO

Sea C ⊂ R3 una curva, A ⊆ R3 una region solida, y Σ ⊆ R3 una superficie.

Sea δ : R3 → R contınua la densidad de masa.

Concepto Curvas Region solida Superficie

M : Masa∫Cδdc

∫∫∫Aδdxdydz

∫∫Σδds

Mxy: Momentoestatico respecto alplano xy

∫Czδdc

∫∫∫Azδdxdydz

∫∫Σzδds

Mxz: Momentoestatico respectoal plano xz

∫Cyδdc

∫∫∫Ayδdxdydz

∫∫Σyδds

Myz: Momentoestatico respectoal plano yz

∫Cxδdc

∫∫∫Axδdxdydz

∫∫Σxδds

G: Centro de masa 1M

(Myz,Mxz,Mxy)1M

(Myz,Mxz,Mxy)1M

(Myz,Mxz,Mxy)

Mx: Momento estaticorespecto al eje x

∫C

√y2 + z2δdc

∫∫∫A

√y2 + z2δdxdydz

∫∫Σ

√y2 + z2δds

My: Momento estaticorespecto al eje y

∫C

√x2 + z2δdc

∫∫∫A

√x2 + z2δdxdydz

∫∫Σ

√x2 + z2δds

Mz: Momento estaticorespecto al eje z

∫C

√x2 + y2δdc

∫∫∫A

√x2 + y2δdxdydz

∫∫Σ

√x2 + y2δds

Ixy: Momento de iner-cia respecto al planoxy

∫Cz2δdc

∫∫∫Az2δdxdydz

∫∫Σz2δds

Ixz: Momento de iner-cia respecto al planoxz

∫Cy2δdc

∫∫∫Ay2δdxdydz

∫∫Σy2δds

Iyz: Momento de iner-cia respecto al planoyz

∫Cx2δdc

∫∫∫Ax2δdxdydz

∫∫Σx2δds

Ix: Momento de iner-cia respecto al eje x

∫C

(y2 + z2)δdc∫∫∫

A(y2 + z2)δdxdydz

∫∫Σ

(y2 + z2)δds

Iy: Momento de iner-cia respecto al eje y

∫C

(x2 + z2)δdc∫∫∫

A(x2 + z2)δdxdydz

∫∫Σ

(x2 + z2)δds

Iz: Momento de iner-cia respecto al eje z

∫C

(x2 + y2)δdc∫∫∫

A(x2 + y2)δdxdydz

∫∫Σ

(x2 + y2)δds

103

Mas generalmente:

El momento estatico respecto a una recta (o plano) es la integral de ladistancia a la recta (o plano) por la densidad de masa.

El momento de inercia respecto a una recta (o plano) es la integral de ladistancia al cuadrado a la recta (o plano) por la densiad de masa.

104 CAPITULO 12. CALCULO DE MASA, MOMENTOS, Y CENTRO

Capıtulo 13

Teoremas de Green, Stokes yGauss

Definicion 87. Sea f : A ⊂ R2 → R2, f ∈ C1, f = (P,Q), entoncesdefinimos el green de f como

green(f) = Q′x − P ′y

El operador nabla corresponde a ∇ =(∂∂x, ∂∂y, ∂∂z

).

Sea f : A ⊂ R3 → R3, f ∈ C1, f = (P,Q,R), entonces definimos el rotor def como

rot(f) = ∇∧ f = (R′y −Q′z, P ′z −R′x, Q′x − P ′y)

y la divergencia de f como

div(f) = ∇ · f = P ′x +Q′y +R′z

Teorema 13.0.1. Teorema de Green

Dada una region elemental A ⊂ R2 con curva frontera C = ∂A regular oregular a trozos (automaticamente cerrada y simple, o sea de Jordan), y sea

105

106 CAPITULO 13. TEOREMAS DE GREEN, STOKES Y GAUSS

el campo vectorial f : B ⊂ R2 → R2, f ∈ C1, f = (P,Q), y con A ⊂ B,entonces

∮C+=∂A

f · dc =

∫∫A

Q′x − P ′ydxdy

Teorema 13.0.2. Teorema de Stokes

Dada una superficie (orientable) abierta Σ ⊂ R3 y su curva borde C = ∂Σregular/a trozos (automaticamente cerrada y simple), y sea f : A ⊂ R3 → R3,f ∈ C1 con f = (P,Q,R), y con Σ ⊂ A, entonces

∮C+=∂Σ

f · dc =

∫∫Σ

rot(f) · ds

Teorema 13.0.3. Teorema de la divergencia

Dada una region elemental del espacio H ⊂ R3, y su superficie fronteraΣ = ∂H una superficie regular/a trozos (automaticamente cerrada y simple),y sea f : A ⊂ R3 → R3, f ∈ C1, con f = (P,Q,R), y H ⊂ A, entonces

∫∫Σ+=∂H

f · ds =

∫∫∫H

div(f)dxdydz

13.1. Campos irrotacionales, solenoidales, y

armonicos

Definicion 88. Sea A ⊂ Rn un conjunto abierto.

Un campo vectorial f : A ⊂ R3 → R3, f ∈ C1 se dice irrotacional sirot(f) = 0

Un campo vectorial f : A ⊂ R3 → R3, f ∈ C1 se dice solenoidal si div(f) =0

Un campo escalar f : A ⊂ R3 → R, f ∈ C1 se dice armonico si div(grad(f)) =0

13.1. CAMPOS IRROTACIONALES, SOLENOIDALES, Y ARMONICOS107

Teorema 13.1.1. Sea el campo escalar f : A ⊂ R3 → R, f ∈ C2, entoncesrot(grad(f)) = 0, es decir los campos de gradientes son irrotacionales.

Sea el campo vectorial f : A ⊂ R3 → R3 con f ∈ C2, entonces div(rot(f)) =0, es decir los campos de rotores son solenoidales.

108 CAPITULO 13. TEOREMAS DE GREEN, STOKES Y GAUSS

Capıtulo 14

Ecuaciones Diferenciales 2o

parte

14.1. Ecuacion diferencial ordinaria homogenea

Definicion 89. Una funcion f : A ⊆ Rn → Rm se dice homogenea degrado k si

F (λx) = λkF (x)

Definicion 90. Una ecuacion diferencial ordinaria se dice homogenea si sepuede expresar en la forma

y′ = F (x, y)

donde F es una funcion homogenea de grado cero, es decir si F (tx, ty) =F (x, y)

Para resolverla se hace la sustitucion y = zx, donde z depende de x. Quedauna ecuacion diferencial de variables separables en z que la resolvemos, yfinalmente volvemos a reemplazar z = y

x.

Ahora con mas detalle, para resolverla hacemos la sustitucion

109


y = zx

y′ = z′x+ z

la reemplazamos en la ecuacion diferencial

z′x+ z = F (x, zx)

como F es homogenea de grado 0

z′x+ z = F (1, z)

restamos z de ambos lados

z′x = F (1, z)− z

separo variables e integro

∫dz

F (1, z)− z=

∫dx

x+ C

Esa es la solucion general de z, para obtener la solucion general de y sereemplaza z = y

xy listo.

14.2. Ecuacion diferencial total exacta

Definicion 91. Una ecuacion diferencial total exacta, es aquella que se puedeexpresar como

P (x, y)dx+Q(x, y)dy = 0

con P y Q definidos sobre A ⊆ R2 sımplemente conexo, y tal que Q′x−P ′y = 0.

14.2. ECUACION DIFERENCIAL TOTAL EXACTA 111

Para resolverla, empezamos por notar que por la condicion 9.7.1 (suficientepara la existencia de funcion potencial), sabemos que f = (P,Q) es conser-vativo, y por lo tanto existe

φ : A ⊆ R2 → R

con φ ∈ C2 y tal que

dφ(x, y) = P (x, y)dx+Q(x, y)dy

Luego la solucion general es de la forma

φ(x, y) = C

14.2.1. Convertible a exacta con factor integrante

Supongamos que queremos resolver una ecuacion diferencial de la forma

P (x, y)dx+Q(x, y)dy = 0

con P yQ definidos sobre A ⊆ R2 sımplemente conexo, pero tal queQ′x−P ′y 6=0.

La ecuacion diferencial no es total exacta, pero a lo mejor la podemos con-vertir en total exacta multiplicando la ecuacion por una funcion µ que lla-maremos factor integrante, que la convierta en una ecuacion diferencialtotal exacta. Luego la resolvemos como cualquier ecuacion diferencial totalexacta.

El problema ahora es como encontrar un factor integrante. Vamos a trabajarsolo con factores integrantes que dependen de una sola variable, o bien x obien y.

Proposicion 14.2.1. Si Q′x−P ′y 6= 0 pero al dividirla por P o por Q dependesolamente de una variable, hay un factor integrante respecto de esa variable.


Si hay factor integrante respecto a x el mismo es

µ(x) = e∫ P ′y−Q

′x

Qdx

Si hay factor integrante respecto a y el mismo es

µ(y) = e∫ Q′x−P

′y

Pdy

Demostracion. Vamos a ver el caso de factor integrante respecto a y.

Supongamos que exite µ(y) tal que al multiplicar por la ecuacion diferencialla convierte en total exacta, por lo tanto

µ(y)P (x, y)dx+ µ(y)Q(x, y)dy = 0

es total exacta, teniendo en cuenta que µ depende solo de y tenemos

µQ′x − [µ′P + µP ′y] = 0

µQ′x − µ′P − µP ′y = 0

µ(Q′x − P ′y) = µ′P

µ′

µ=Q′x − P ′y

P

ComoQ′x−P ′yP

depende solo de y, esto es una ecuacion diferencial de variablesseparable en µ, con µ′ = dµ/dy, lo resolvemos

∫dµ

µ=

∫Q′x − P ′y

Pdy

14.3. ECUACION DIFERENCIAL LINEAL DE 2o ORDEN 113

µ(y) = e∫ Q′x−P

′y

Pdy

que es el factor integrante respecto a y.

El caso de factor integrante respecto a x es analogo.

14.3. Ecuacion diferencial lineal de 2o orden

Recordemos que en 27 habıamos visto la definicion de la ecuacion diferenciallineal de orden n. Y en 2.5.1 aprendimos a resolver la ecuacion diferenciallineal de primer orden.

Ahora vamos a trabajar con las lineales de segundo orden.

Definicion 92. Una ecuacion diferencial se dice lineal de segundo ordensi se la puede expresar como

y′′ + a(x)y′ + b(x)y = g(x)

La misma se dice homogenea si g(x) es la funcion constante cero.

En cualquier caso, la ecuacion diferencial homogenea asociada es

y′′ + a(x)y′ + b(x)y = 0

Si a(x) = a y b(x) = b son funciones constantes, nos queda

y′′ + ay′ + by = g(x)

y se dice que la ecuacion diferencial es a coeficientes constantes.

Nos proponemos resolver las ecuaciones diferenciales lineales de segundo or-den a coeficientes constantes. Para ello nos va a ser de mucha ayuda la sigu-iente


Proposicion 14.3.1. Dada la ecuacion diferencial lineal de segundo ordena coeficientes constantes

y′′ + ay′ + by = g(x)

La solucion general viene dada por

y = yh + yp

donde yh es la solucion general de la homogenea asociada, y yp es una solucionparticular.

Demostracion. La familia y = yh+yp ya tiene dos constantes arbitrarias (lasque provienen de yh), y la ecuacion diferencial es de segundo orden. Por lotanto si satisface la EDO entonces debe ser su SG.

Reemplazamos y = yh + yp y veamos que satisface la ecuacion diferencial.

y = yh + yp

y′ = y′h + y′py′′ = y′′h + y′′p

Reemplazo en

y′′ + ay′ + by = g(x)

y obtengo

(y′′h + y′′p) + a(y′h + y′p) + b(yh + yp) = g(x)

y′′h + ay′h + byh︸︷︷︸0

+ y′′p + ay′p + byp︸︷︷︸g(x)

= g(x)


Por lo tanto satisface la ecuacion diferencial, y debe ser su solucion general.

14.3.1. Resolucion de la homogenea asociada

Veamos ahora como podemos resolver la ecuacion diferencial homogenea aso-ciada, que es de la forma

y′′ + ay′ + by = 0

La solucion general de la homogenea asociada resulta ser un subespacio dedimension dos del espacio vectorial de las funciones C2 de R en R. Por lo tantoalcanza con encontrar una base de dicho subespacio, por lo tanto si f1, f2 sonsoluciones particulares y {f1, f2} es LI (linealmente independiente), entoncesla solucion general son sus combinaciones lineales, es decir

y = C1f1 + C2f2

Definicion 93. Dadas f1, f2 : A ⊆ R→ R, f1, f2 ∈ C1. El wronskiano def1 y f2 es el siguiente determinante

W =

∣∣∣∣f1 f2

f ′1 f ′2

∣∣∣∣Proposicion 14.3.2. Dadas f1, f2 : A ⊆ R→ R, f1, f2 ∈ C1

Si el wronskiano de f1 y f2 es W 6= 0 entonces {f1(x), f2(x)} es LI.

Para resolver la ecuacion diferencial homogenea asociada

y′′ + ay′ + by = 0

primero proponemos como solucion


y = eαx

y′ = αeαx

y′′ = α2eαx

ahora reemplazamos en la ecuacion homogenea asociada y obtenemos

α2eαx + aαeαx + beαx = 0

sacamos factor comun eαx

eαx[α2 + aα + b] = 0

y puesto que eαx > 0 lo dividimos y obtenemos lo que se llama la ecuacioncaracterıstica

α2 + aα + b = 0

Al resolverla puede darse solo uno de tres casos posibles

1o Caso: α1, α2 reales y distintas. En este caso {eα1x, eα2x} ya es lineal-mente independiente, y la SG es

y = c1eα1x + c2e

α2x

2o Caso: α1 = α2 = α reales e iguales. En este caso {eαx, xeαx} resultalinealmente independiente la SG es

y = c1eα1x + c2xe

α1x

3o Caso: α1 = r + si, α2 = r − si complejas conjugadas. En este caso{eα1x, eα2x} ya es linealmente independiente. En principio la SG es


y = c1eα1x + c2e

α2x

y = c1e(r+si)x + c2e

(r−si)x

y = erx[c1esix + c2e

−six]

Recordemos la Formula de Euler que establece que

eis = cos(s) + i sin(s)

reemplazando en la SG

y = erx[c1(cos(sx) + i sin(sx)) + c2(cos(−sx) + i sin(−sx))]

usando que cos(x) es par (es decir cos(x) = cos(−x)) y que sin(x) esimpar (es decir sin(x) = − sin(−x))

y = erx[c1(cos(sx) + i sin(sx)) + c2(cos(sx)− i sin(sx))]

y reagrupando

y = erx[(c1 + c2) cos(sx) + i(c1 − c2) sin(sx)]

Llamando C1 = (c1 + c2) y C2 = i(c1− c2) obtenemos finalmente la SGdel tercer caso

y = arx[C1 cos(sx) + C2 sin(sx)]

14.3.2. Como encontrar una solucion particular

Ahora nos faltarıa aprender a encontrar una solucion particular de la ecuaciondiferencial lineal no homogenea

y′′ + ay′ + by = g(x)


El metodo de coeficientes indeterminados sirve cuando la funcion g(x)es relativamente sencilla, que en este contexto significa combinacion lineal depolinomios, exponenciales o trigonometricas.

Consiste en tratar de adivinar la forma que debe tener la solucion, pro-poniendo como solucion una familia de funciones acorde al problema, y luegose determinan los coeficientes.

Si la funcion es polinomica, se propone una combinacion lineal de poli-nomios generico, en principio del mismo grado.

Por ejemplo si g(x) = 2x2, propongo yp = ux2 + vx+ w

Si la funcion es exponencial, se propone una combinacion lineal deexponenciales.

Por ejemplo si g(x) = e2x + 2ex, propongo yp = ue2x + vex

Si la funcion es trigonometrica, se propone una combinacion lineal detrigonometricas.

Por ejemplo si g(x) = cos(2x), propongo yp = u cos(2x) + v sin(2x)

Por ejemplo

g(x) propongo yp2x2 ux2 + vx+ w

e2x + 2ex ue2x + vex

cos(2x) u cos(2x) + v sin(2x)

Se reemplazan en la EDO y se averiguan los coeficientes indeterminadosu, v, w, . . ..

En algunos casos puede pasar que la solucion propuesta ya sea solucion dela homogenea asociada, en ese caso se va a llegar a un absurdo. En ese casolo que se puede hacer es multiplicar por x la solucion propuesta y volver aintentar. Si sigue pasando puedo multiplicar por x2 y volver a intentar, yası sucesivamente.


Veamos ahora el otro metodo, conocido como variacion de parametros,para encontrar una solucion particular de la ecuacion diferencial lineal nohomogenea

y′′ + ay′ + by = g(x)

y supongamos que la solucion general de la homogenea asociada es

y = c1y1(x) + c2y2(x)

Este metodo consiste en buscar una solucion particular y que verifique losiguiente

y = λ(x)y1(x) + µ(x)y2(x) (14.1)

y′ = λ(x)y′1(x) + µ(x)y′2(x) (14.2)

derivando la ecuacion (1) obtenemos

y′ = λ′y1 + λy′1 + µ′y2 + µy′2

para que se cumpla la ecuacion (2) pedimos

λ′y1 + µ′y2 = 0 (14.3)

derivando (2)

y′′ = λ′y′1 + λy′′1 + µ′y′2 + µy′′2

Reemplazando en la ecuacion diferencial

y′′ + ay′ + by = g(x)


obtenemos

λ′y′1 + λy′′1 + µ′y′2 + µy′′2 + a(λy′1 + µy′2) + b(λy1 + µy2) = g(x)

λ′y′1 + µ′y′2 + λ(y′′1 + ay′1 + by1︸︷︷︸0

) + µ(y′′2 + ay′2 + by2︸︷︷︸0

) = g(x)

lo cual impone

λ′y′1 + µ′y′2 = g(x) (14.4)

juntando (3) y (4) obtenemos

λ′y1 + µ′y2 = 0 (14.5)

λ′y′1 + µ′y′2 = g(x) (14.6)

que es un sistema de ecuaciones lineales en λ′ y µ′.

Resumiendo, estamos buscando λ(x) y µ(x) para encontrar una solucionparticular de la forma

y = λ(x)y1(x) + µ(x)y2(x)

y para ello imponemos

{λ′y1 + µ′y2 = 0

λ′y′1 + µ′y′2 = g(x)

Lo resolvemos por cualquier metodo, por ejemplo lo escribo en forma matri-cial

14.4. LINEAS DE CAMPO 121

(y1 y2

y′1 y′2

)(λ′

µ′

)=

(0

g(x)

)y lo resuelvo con la regla de Cramer

λ′ =

∣∣∣∣ 0 y2

g(x) y′2

∣∣∣∣∣∣∣∣y1 y2

y′1 y′2

∣∣∣∣

µ′ =

∣∣∣∣y1 0y′1 g(x)

∣∣∣∣∣∣∣∣y1 y2

y′1 y′2

∣∣∣∣Luego se integran ambos parametros para encontrar una primitiva de cadauna, y se reemplazan para obtener la solucion particular

y = λ(x)y1(x) + µ(x)y2(x)

14.4. Lıneas de campo

Definicion 94. Dado un campo vectorial f : A ∈ Rn → Rn, f ∈ C1, unalınea de campo es una curva regular C ⊆ A que admite una parametrizaciong : [a, b]→ Rn tal que

g′(t) = f(g(t))

para todo a < t < b

Observacion 14.4.1. En R2, dada f : A ⊆ R2 → R2.

Si C es una lınea de campo de f = (P,Q) con la parametrizacion g(t) =(x(t), y(t)), entonces debe cumplir


g′(t) = (x′(t), y′(t)) = (P,Q) = f(g(t))

en notacion de Leibniz

(dx, dy) = (P,Q)dt

y por lo tanto

y′ =Q

P

Otra forma de pensarlo: las lıneas de campo son las curvas que en cada puntotiene la misma pendiente que el campo (P,Q) que es ∆y/∆x = Q/P , por lotanto satisfacen la ecuacion diferencial

y′ =Q

P

Esto quiere decir que para encontrar la familia de las lıneas de campo de f ,basta encontrar la solucion general de dicha ecuacion diferencial.

Teorema 14.4.2. Si f : A ⊆ Rn → Rn es un campo conservativo, y φ : A ⊆Rn → R es una funcion potencial de f , es decir ∇φ = f , entonces las lıneasde campo de f son ortogonales a los conjuntos de nivel de φ.

Demostracion. Consideremos el conjunto de nivel k de φ

Ck(φ) = {x ∈ A : φ(x) = k}

Sea C1 ⊂ A una curva incluıda en Ck(φ) parametrizada por

h : [a, b]→ Rn

Sea C2 ⊂ A una lınea de campo del campo f = ∇φ, parametrizada por

14.4. LINEAS DE CAMPO 123

g : [c, d]→ Rn

Supongamos que ambas curvas se cruzan en h(t0) = g(u0) = x0 ∈ A

Consideremos la compuesta w = φ ◦ h, se tiene que

w(t) = φ(h(t)) = k

Como ambas son diferenciables, por el teorema de la regla de la cadena

w′(t0) = ∇φ(h(t0)) · h′(t0) = 0

como f = ∇φ, y h(t0) = g(u0)

f(g(u0)) · h′(t0) = 0

Y como g es una lınea de campo, f(g(u0)) = g′(u0), y por lo tanto

g′(u0) · h′(t0) = 0

Lo que muestra que estos vectores tangentes son ortogonales.

Tanto las lıneas de campo como el conjunto de nivel eran genericos. Es decirque las lıneas de campo de f y los conjuntos de nivel de φ son ortogonalesen todo punto de interseccion.

En R2 tenemos el siguiente caso particular, que podemos demostrar de unaforma mas cartesiana.

Teorema 14.4.3. Sea f : A ⊆ R2 → R2 un campo conservativo, y φ unafuncion potencial de f , es decir tal que ∇φ = f .

Entonces las lıneas de campo de f son ortogonales a las lıneas equipotencialesde φ.


Demostracion. Por la observacion 14.4.1, las lıneas de campo de f son lafamilia de curvas cuya ecuacion diferencial es

y′ =Q

P(14.1)

Por otro lado, si φ es una funcion potencial de f , es decir tal que ∇φ = f ,entonces las lıneas equipotenciales son la familia de curvas

φ(x, y) = C

Buscamos su ecuacion diferencial, diferenciando ambos miembros

φ′x(x, y)dx+ φ′y(x, y)dy = 0

usando que ∇φ = (φ′x, φ′y) = (P,Q)

Pdx+Qdy = 0

Qdy = −Pdx

o equivalentemente su ecuacion diferencial es

y′ = −PQ

(14.2)

De (1) y (2) vemos que dichas familias de curvas son ortogonales. Es decir laslıneas de campo de f y las lıneas equipotenciales de φ son familias de curvasortogonales.

Dami Apunte v4

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