República Bolivariana de Venezuela. Ministerio del Poder Popular para la Educación.

Instituto Universitario de Tecnología “Antonio José de Sucre”. Barquisimeto- Estado Lara.

Integrante:Darly Vargas.

Cedula:22.264.803.

Facilitador:Marienny Arrieche

Sección:S2.

Enero, 2016.

Movimiento armónico simple. Movimiento de rotación. Sistema

de Masa- Resort

e.

Trabajo y Energía en el Movimiento: Armónico

Simple; Rotación. Sistema Masa-Resorte.

Péndulo Simple y Oscilaciones.

Hidrostática.

Movimiento armónico simple. Movimiento de rotación. Sistema

de Masa- Resort

e.

Trabajo y energía en el movimiento armónico simpleEn la naturaleza hay muchos movimientos que se repiten a intervalos iguales de tiempo, estos son llamados movimientos periódicos. En Física se ha idealizado un tipo de movimiento oscilatorio, El estudio del oscilador armónico constituye en Física un capítulo muy importante, ya que son muchos los sistemas físicos oscilantes que se dan en la naturaleza y que han sido producidos por el hombre.El movimiento armico simple es también denominado movimiento vibratorio armónico simple (m.v.a.s.), es un movimiento periódico, y vibratorio en ausencia de fricción, producido por la acción de una fuerza recuperadora que es directamente proporcional a la posición, y que queda descrito en función del tiempo por una función senoidal (seno o coseno). Si la descripción de un movimiento requiriese más de una función armónica. Una partícula describe un Movimiento Armónico Simple (M.A.S.) cuando se mueve a lo largo del eje X, estando su posición x dada en función del tiempo t por la ecuación.

x=A·sen (ωt+φ)

DondeA es la amplitud.ω La frecuencia angular. t+  la fase. La fase inicial.Características de un M.A.S. son:

Como los valores máximo y mínimo de la función seno son +1 y -1, el movimiento se realiza en una región del eje X comprendida entre +A y -A.

La función seno es periódica y se repite cada 2, por tanto, el movimiento se repite cuando el argumento de la función seno se incrementa en 2, es decir, cuando transcurre un tiempo T tal que (t+T)+= t++2 .

T = 2/

 Cinemática de un M.A.S.En un movimiento rectilíneo, dada la posición de un móvil, obtenemos la velocidad derivando respecto del tiempo y luego, la aceleración derivando la expresión de la velocidad.La posición del móvil que describe un M.A.S. en función del tiempo viene dada por la ecuación:

x = A sen (t + ) 

Derivando con respecto al tiempo, obtenemos la velocidad del móvil

v = A  cos (t +)

Derivando de nuevo respecto del tiempo, obtenemos la aceleración del móvil

a = - A 2 sen ( t +  ) = - 2x

Condiciones iniciales

Conociendo la pulsación , la posición inicial x0 y la velocidad inicial v0 (en el instante t=0). x0=A·sen           v0=A·cos

Se puede determinar la amplitud A y la fase inicial φ

 Dinámica de un M.A.S.Aplicando la segunda ley de Newton obtenemos la expresión de la fuerza necesaria para que un móvil de masa m describa un M.A.S. Esta fuerza es proporcional al desplazamiento x y de sentido contrario a éste.

F = m a = - m2 x

En la ecuación anterior vemos que la fuerza que origina un movimiento armónico simple es una fuerza del tipo:

F = -K x

Es decir una fuerza como la que hace un muelle, directamente proporcional a la elongación pero de signo contrario. K es la constante recuperadora o constante de elasticidad y se puede observar, en las dos ecuaciones anteriores, que está relacionada con la pulsación:

K = m2

Teniendo en cuenta que  = 2/ T  podemos deducir el periodo del movimiento armónico simple:

Como se origina un m.a.s.

Siempre que sobre una partícula, desplazada una longitud  x de su posición de equilibrio, actúe una fuerza que es proporcional al desplazamiento x, y de sentido contrario a éste, tal como se muestra en el ejemplo de la figura.

Energía de un M.A.S.En el m.a.s. la energía se transforma continuamente de potencial en cinética y viceversa.En los extremos solo hay energía potencial puesto que la velocidad es cero y en el punto de equilibrio solo hay energía cinética. En cualquier otro punto, la energía correspondiente a la partícula que realiza el m.a.s. es la suma de su energía potencial más su energía cinética.Toda partícula sometida a un movimiento armónico simple posee una energía mecánica que podemos descomponer en: Energía Cinética (debida a que la partícula está en movimiento) y Energía Potencial (debida a que el movimiento armónico es producido por una fuerza conservativa).Si tenemos en cuenta el valor de la energía cinética Ec = 1/2 m v2 

Y el valor de la velocidad del m.a.s. 

v = dx / dt  = A  cos ( t + o)Sustituyendo obtenemos

Ec  = 1/2 m v2    =   1/2 m A2 2cos2 ( t + o)

Ec  = 1/2 k A2 cos 2( t + o)A partir de la ecuación fundamental de la trigonometría:sen2 + cos2 = 1

Ec = 1/2 k A2 [1 - sen 2( t + o)]

Ec = 1/2 k [A2 - A2sen 2(t + o)]

De donde la energía cinética de una partícula sometida a un m.a.s. queda

Ec  = 1/2 k [ A2 - x2]Observamos que tiene un valor periódico, obteniéndose su valor máximo cuando la partícula se encuentra en la posición de equilibrio, y obteniéndose su valor mínimo en el extremo de la trayectoria.La energía potencial en una posición y vendrá dada por el trabajo necesario para llevar la partícula desde la posición de equilibrio hasta el punto de elongación y.

Por ello el valor de la energía potencial  en una posición x vendrá dado por la expresión

Ep = 1/2 k x2

Teniendo en cuenta que la energía mecánica es la suma de la energía potencial  más la energía cinética, nos encontramos que la energía mecánica de una partícula que describe un m.a.s. será:Etotal = 1/2 K x2 +  1/2 K (A2-x2) = 1/2 KA2

E = 1/2 k A2

En el m.a.s. la energía mecánica permanece constante si no hay rozamiento, por ello su amplitud permanece también constante.Descripción del   M.A.S. relacionándolo con un movimiento circular uniforme.En este apartado, vamos a interpretar geométricamente el Movimiento Armónico Simple (M. A. S.), relacionándolo con el movimiento circular uniforme.En la figura, se observa la interpretación de un M.A.S. como proyección sobre el eje X, del extremo de un vector rotatorio de longitud igual a la amplitud A, que gira con velocidad angular  igual a la frecuencia angular del M.A.S, en el sentido contrario a las agujas del reloj. Dicha proyección vale:

El ángulo t +  que forma el vector rotatorio con el eje de las X se denomina fase del movimiento. El ángulo   que forma en el instante t=0, se denomina fase inicial.

C urva de energía potencial La función Ep=mω2x2/2 representa una parábola cuyo vértice está en el origen, que tiene un mínimo en x=0 cuyo valor es Ep=0.Las región donde se puede mover la partícula está determinada por la

condición de que la energía cinética ha de ser mayor o igual a cero Ek>=0. En otras palabras, que la energía total sea mayor o igual que la energía potencial E>=Ep. Si la partícula tiene una energía total E, la partícula solamente se podrá mover en la región comprendida entre -A y +A, siendo A la amplitud de su M.A.S.

El módulo y el sentido de la fuerza vienen dados por la pendiente de la recta tangente cambiada de signo. Por tanto, la fuerza que actúa sobre la partícula es negativa a la derecha del origen y positiva a la izquierda.

En el origen la pendiente es nula, la fuerza es nula, una situación de equilibrio, que por coincidir con un mínimo de la energía potencial es de carácter estable.

Trabajo de rotaciónEl movimiento de rotación de una partícula se realiza cuando ésta describe circunferencias de radio r alrededor de un eje de giro. Al ángulo girado se le representa con la letra griega θ y se mide en radianes; la velocidad de rotación o velocidad angular se representa con ω y se mide en radianes/segundo. La relación entre las magnitudes angulares y las del movimiento lineal son sencillas si recordamos la expresión de la longitud de la circunferencia (l = 2 · π · r) Distancia = ángulo · radio

d = θ · r v = ω · r Con estas expresiones, la energía cinética de rotación de una partícula se expresa como: Erotacion=¿ 1

2⋅ .m . v2=¿¿ 1

2⋅ m.r2 .ω2

Cuando se trata de un sólido con muchas partículas, la energía de rotación del sólido es la suma de todas las energías de cada una de las partículas o trozos que lo componen:

Er=¿¿∑(12 . mi . ri2. ω2)= 1

2 . ( ∑ (mi .r i2) ) . ω2

La expresión Σ (mi. ri2) se denomina momento de inercia, y de forma análoga a la masa (o masa de inercia), mide la dificultad que tiene un objeto a ponerse en movimiento de rotación respecto a un eje de giro. La energía de rotación viene dada por la siguiente expresión:

Er=¿ 1

2. I .ω2¿

Al igual que una fuerza realiza trabajo cuando produce un desplazamiento, en la mecánica de rotación se realiza un trabajo cuando se produce un giro por efecto de una fuerza.El trabajo de la fuerza F viene dado por la expresión: W = F · d y, Como la distancia recorrida es: d = θ · rSe obtiene como trabajo de rotación: W = F · θ · r

Y, por fín, al producto de la fuerza por la distancia del punto de aplicación de ésta al eje de giro mide la capacidad de producir un giro de esa fuerza, y se denomina par o momento de la fuerza, con lo cual, la expresión del trabajo de rotación queda como: W r=M .θ

Y la potencia de rotación es la velocidad con que se produce un trabajo de rotación, esto es, el resultado de dividir el trabajo entre el tiempo:

Pr=W r

t =M .ω

Con todo esto, la equivalencia entre magnitudes del

movimiento lineal y del movimiento de rotación es la siguiente:

Sistema   Masa-Resorte.  Otro ejemplo de Movimiento Armónico Simple es el sistema masa-resorte que consiste en una masa “m” unida a un resorte, que a su vez se halla fijo a una pared, como se muestra en la figura. Se supone movimiento sin rozamiento sobre la superficie horizontal.

El resorte es un elemento muy común en máquinas. Tiene una longitud normal, en ausencia de fuerzas externas. Cuando se le aplican fuerzas se deforma alargándose o acortándose en una magnitud “x” llamada “deformación”. Cada resorte se caracteriza mediante una constante “k” que es igual a la fuerza por unidad de deformación que hay que aplicarle. La fuerza que ejercerá el resorte es igual y opuesto a la fuerza externa aplicada (si el resorte deformado está en reposo) y se llama fuerza recuperadora elástica.

Dicha fuerza recuperadora elástica es igual a:

 E n

el

primer dibujo tenemos el cuerpo de masa “m” en la posición de equilibrio, con el resorte teniendo su longitud normal. Si mediante una fuerza externa lo apartamos de la misma (segundo dibujo), hasta una deformación “x = + A” y luego lo soltamos, el cuerpo empezará a moverse con M.A.S. oscilando en torno a la posición de equilibrio. En este dibujo la fuerza es máxima pero negativa, lo que indica que va hacia la izquierda tratando de hacer regresar al cuerpo a la posición de equilibrio.

 Llegará entonces hasta una deformación “x = -A” (tercer dibujo). En este caso la deformación negativa indica que el resorte está comprimido. La fuerza será máxima pero positiva, tratando de volver al cuerpo a su posición de equilibrio.A través de la Segunda Ley de Newton relacionamos la fuerza actuante (recuperadora) con la aceleración a (t).

Péndulo simple.Un péndulo simple es un sistema mecánico, constituido por una masa puntual, suspendida de un hilo inextensible y sin peso. Cuando se separa hacia un lado de su posición de equilibrio y se le suelta, el péndulo oscila en un plano vertical bajo la influencia de la gravedad. El movimiento es periódico y oscilatorio. Un péndulo simple es un punto pesante, suspendido en un punto

fijo por un hilo inextensible, rígido y sin peso. Sus Objetivos es estudiar el comportamiento del periodo en función del ángulo de oscilación y la masa de oscilación.

Método de Newton . Consideremos un péndulo simple, como el representado en la Figura. Si desplazamos la partícula desde la posición de equilibrio hasta que el hilo forme un ángulo Θ con la vertical, y luego la abandonamos partiendo del reposo, el péndulo oscilará en un plano vertical bajo la acción de la gravedad. Las oscilaciones tendrán lugar entre las posiciones extremas Θ y -Θ, simétricas respecto a la vertical, a lo largo de un arco de circunferencia cuyo radio es la longitud, del hilo. El movimiento es periódico, pero no podemos asegurar que sea armónico.Para determinar la naturaleza de las oscilaciones deberemos escribir la ecuación del movimiento de la partícula.La partícula se mueve sobre un arco de circunferencia bajo la acción de dos fuerzas: su propio peso (mg) y la tensión del hilo (N), siendo la fuerza motriz la componente tangencial del peso. Aplicando la segunda ley de Newton obtenemos:

siendo at, la aceleración tangencial y donde hemos incluido el signo negativo para manifestar que la fuerza tangencial tiene siempre sentido opuesto al desplazamiento (fuerza recuperadora).Al tratarse de un movimiento circular, podemos poner

Siendo   la aceleración angular, de modo que la ecuación diferencial del movimiento es:

Esta ecuación. No corresponde a un movimiento armónico simple (m.a.s.) debido a la presencia de la función seno, de modo que podemos asegurar que el movimiento del péndulo simple no es armónico simple, en general.

Método de LagrangeEl lagrangiano del sistema es:

Donde   es la elongación angular (ángulo que forma el hilo con la vertical) y   es la longitud del hilo. Aplicando las

ecuaciones de Lagrange se sigue

Y obtenemos la ecuación del movimiento es

De modo que la masa no interviene en el movimiento de un péndulo.El movimiento de un péndulo simple está determinado por su frecuencia angular o pulsación (ω) que viene dada por la expresión:

El periodo de un oscilador armónico es:

Mientras que su frecuencia resulta ser:

De estas ecuaciones resulta interesante observar que, para ángulos suficientemente pequeños, el periodo es independiente de la masa del péndulo o de la amplitud de la oscilación, dependiendo únicamente de la longitud del hilo.

Oscilación Es una variación, perturbación o fluctuación en el tiempo de un medio o sistema. Si el fenómeno se repite, se habla de oscilación periódica.Oscilación, en física, química e ingeniería es el movimiento repetido de un lado a otro en torno a una posición central, o posición de equilibrio. El recorrido que consiste en ir desde una posición extrema a la otra y volver a la primera, pasando dos veces por la posición central, se denomina ciclo. El número de ciclos por segundo, o hercios (Hz), se conoce como frecuencia de la oscilación empleada en el MÁS (Movimiento Armónico Simple).Una oscilación en un medio material es lo que crea el sonido. Una oscilación en una corriente eléctrica crea una onda electromagnética.Oscilación libre

En el caso en que un sistema reciba una única fuerza y oscile libremente hasta detenerse por causa de la amortiguación, recibe el nombre de oscilación libre. Éste es por ejemplo el caso cuando pulsamos la cuerda de una guitarra.

Oscilación libre. La envolvente dinámica

muestra fases de ataque y caída.

Oscilación amortiguadaSi en el caso de una oscilación libre nada perturbara al sistema en oscilación, éste seguiría vibrando indefinidamente. En la naturaleza existe lo que se conoce como fuerza de fricción (o rozamiento), que es el producto del choque de las partículas (moléculas) y la consecuente transformación de determinadas cantidades de energía en calor. Ello resta cada vez más energía al movimiento (el sistema oscilando), produciendo finalmente que el movimiento se detenga. Esto es lo que se conoce como oscilación amortiguada.

En la oscilación amortiguada la amplitud de la misma varía en el tiempo (según una curva exponencial), haciéndose cada vez más pequeña hasta llegar a cero. Es decir, el sistema (la partícula, el péndulo, la cuerda de la guitarra) se detiene finalmente en su posición de reposo.

La representación matemática es , donde   es el coeficiente de amortiguación. Notemos que la amplitud   es también una función del tiempo (es decir, varía con el tiempo), mientras que a y   son constantes que dependen de las condiciones de inicio del movimiento.No obstante, la frecuencia de oscilación del sistema (que depende de propiedades intrínsecas del sistema, es decir, es característica del sistema) no varía (se mantiene constante) a lo largo de todo el proceso. (Salvo que se estuviera ante una amortiguación muy grande.)Oscilación autosostenida.Si logramos continuar introduciendo energía al sistema, reponiendo la que se pierde debido a la amortiguación, logramos lo que se llama una oscilación autosostenida. Éste es por ejemplo el caso cuando en un violín frotamos la cuerda con el arco, o cuando soplamos sostenidamente una flauta.

Oscilación autosostenida. La envolvente dinámica presenta una fase casi estacionaria (FCE), además de las fases de ataque y caídaLa acción del arco sobre la cuerda repone la energía perdida debido a la amortiguación, logrando una fase (o estado) casi estacionaria. Preferimos llamarla fase casi estacionaria -y no estado estacionario, como suele encontrarse en alguna literatura- debido a que, en condiciones prácticas, resulta sumamente difícil que la energía que se introduce al sistema sea exactamente igual a la que se pierde producto de la amortiguación. En consecuencia, la amplitud durante la fase casi estacionaria no es en rigor constante, sino que sufre pequeñas variaciones, cuya magnitud dependerá de nuestra habilidad para compensar la energía perdida.Si la energía que se repone al sistema en oscilación es menor a la que se pierde producto de la fricción obtenemos una oscilación con amortiguación menor, cuyas características dependen de la relación existente entre la energía perdida y la que se continúa introduciendo. También en este caso el sistema termina por detenerse, aunque demore más tiempo. (En música lo llamaríamos decrescendo.)Por el contrario, si la energía que introducimos al sistema es mayor que la que se pierde por la acción de la fricción, la amplitud de la oscilación crece en dependencia de la relación existente entre la energía perdida y la que se continúa introduciendo. (En música lo llamaríamos crescendo.)

Oscilación forzadaLas oscilaciones forzadas resultan de aplicar una fuerza periódica y de magnitud constante (llamada generador G) sobre un sistema oscilador (llamado resonador R). En esos casos puede hacerse que el sistema oscile en la frecuencia del generador (ƒg), y no en su frecuencia natural (ƒr). Es decir, la

frecuencia de oscilación del sistema será igual a la frecuencia de la fuerza que se le aplica. Esto es lo que sucede por ejemplo en la guitarra, cuando encontramos que hay cuerdas que no pulsamos pero que vibran "por simpatía".Debe tenerse en cuenta que no siempre que se aplica una fuerza periódica sobre un sistema se produce una oscilación forzada. La generación de una oscilación forzada dependerá de las características de amortiguación del sistema generador y de las del resonador, en particular su relación.

La Hidrostática.Es la rama de la mecánica de fluidos o de la hidráulica que estudia los fluidos incompresibles en estado de equilibrio. Reciben el nombre de fluidos aquellos cuerpos que tienen la propiedad de adaptarse a la forma del recipiente que los contiene. A esta propiedad se le da el nombre de fluidez.Son fluidos tanto los líquidos como los gases, y su forma puede cambiar fácilmente por escurrimiento debido a la acción de fuerzas pequeñas.Principio fundamental de la hidrostática.La diferencia de presión entre dos puntos de un mismo líquido es igual al producto del peso específico del líquido por la diferencia de nivelesP2 - P1 = . (h2 - h1) (10)

Dónde:P2, P1: presión hidrostática en los puntos 2 y 1 respectivamente, N/m2

h2, h1: profundidad a la que se encuentran los puntos 2 y 1 respectivamente, m: Peso específico del fluido, N/m3

Presión de un fluido en equilibrioEn términos de mecánica clásica, la presión de un fluido incompresible en estado de equilibrio se puede expresar mediante la siguiente fórmula:

Donde P es la presión, ρ es la densidad del fluido, g es la aceleración de la gravedad y h es la altura.

Principio de Pascal . El principio de Pascal es una ley enunciada por el físico y matemático francés Blaise Pascal (1623–1662) que se resume en la frase: «el incremento de la presión aplicada a una superficie de un fluido incompresible (generalmente se trata de un líquido incompresible), contenido en un recipiente indeformable, se transmite con el mismo valor a cada una de las partes del mismo».Es decir, que si se aplica presión a un líquido no

comprimible en un recipiente cerrado, esta se transmite con igual intensidad en todas direcciones y sentidos. Este tipo de fenómeno se puede apreciar, por ejemplo, en la prensa hidráulica o en el gato hidráulico; ambos dispositivos se basan en este principio. La condición de que el recipiente sea indeformable es necesaria para que los cambios en la presión no actúen deformando las paredes del mismo en lugar de transmitirse a todos los puntos del líquido.

Principio de Arquímedes . El principio de Arquímedes establece que cualquier cuerpo sólido que se encuentre sumergido total o parcialmente en un fluido será empujado en dirección ascendente por una fuerza igual al peso del volumen del líquido desplazado por el cuerpo sólido. El objeto no necesariamente ha de estar completamente sumergido en dicho fluido, ya que si el empuje que recibe es mayor que el peso aparente del objeto, éste flotará y estará sumergido solo parcialmente.