ANALISIS III

POR DARWIN CUBI

INTEGRALES TRIPLES (EJERCICIOS)

1. Calcular´ ´ ´

S

[(x− a)2 + (y − b)2 + (z − c)2

]− 12

dxdydz S es una esfera deradio R y centro en el origen y (a, b, c)punto fijo en el exterior de la esfera.

Solución´ ´ ´S

[(x− a)2 + (y − b)2 + (z − c)2

]− 12

dxdydz =´ ´ ´

S

(dxdydz√

(x−a)2+(y−b)2+(z−c)2

)

Podemos darnos cuenta que la funcion a integrar es la distancia del puntofijo a cualquier punto en la esfera. Basandonos en esto, para facilidad decalculo en la integral podemos colocar al punto fijo en uno de los ejes (x óy ó z) de tal manera que dos de sus coordenadas son 0 y su tercera coor-denada la llamaremos d, en este caso colocaremos al punto fijo en el eje z,quedandonos las coordenas del punto fijo asi (0, 0, d), tambien aplicaremosel cambio a coordenadas esfericas.

1

ANALISIS III 2

0 ≤ ρ ≤ R, 0 ≤ θ ≤ 2π 0 ≤ ϕ ≤ π

Entonces la integral nos queda asi

´ ´ ´S

(dxdydz√

x2+y2+(z−d)2

)=´ ´ ´

S

(dxdydz√

x2+y2+z2−2zd+d2

)=´ R0

´ π0

´ 2π0

ρ2 sinϕdθdϕdρ√ρ2+d2−2dρ cosϕ

=

2π´ R0

´ π0

ρ2 sinϕdϕdρ√ρ2+d2−2dρ cosϕ

Aqui aplicamos el siguiente cambio de variableu = ρ2 + d2 − 2dρ cosϕdu = 2dρ sinϕEl cambio de limite es:θ = 0⇒ u = ρ2 + d2 − 2dρθ = π ⇒ u = ρ2 + d2 + 2dρEntonces la integral queda así:

2π´ R0

ρ2d

´ (ρ+d)2(d−ρ)2

dudρ√u

= 2π´ R0

ρ2d2u

12 |(ρ+d)

2

(d−ρ)2 dρ = 2π´ R0

2ρ2dρd

=

4πd

´ R0ρ2dρ = 4π

d(ρ

3

3) |Ro = 4πR3

3d

2. Calcular´ ´ ´

B

(e(x

2+y2+z2)32dxdydz

)donde B es una bola unitaria

Solución

Hacemos el cambio a coordenadas esfericas:

´ ´ ´B

(e(x

2+y2+z2)32

dxdydz

)=´ 10

´ 2π0

´ π0

(e(ρ

2)32

ρ2 sinϕdϕdθdρ

)=

=´ 1

0

´ 2π0

(e(ρ

2)32

ρ2.− cosϕ |π0 dθdρ)

= 2´ 10

´ 2π0

(e(ρ

2)32

ρ2dθdρ

)= 2´ 10

(eρ

3ρ2θ |2π0 dρ

)= 4π

´ 10eρ

3ρ2dρ = 4π

3(e− 1)