Datos Panel Ej Gujarati

Econometría 2. Curso 2010-2011. Ejercicios Tema 2

Datos de Panel. Ejemplo 1.

Ejemplo del libro “Econometría” de Damodar N. Gujarati, cuarta edición, basado en el estudio de la teoría de inversiones llevado a cabo por Y. Grunfeld1, (datos en la tabla 16.1).

Grunfeld estaba interesado en el estudio de la inversión bruta real, I, en función del valor del capital social de la empresa, CAP (valor de las acciones comunes y preferentes a 31 de Diciembre), y del valor real, PL (valor de las plantas y los equipos), en millones de dólares, debidamente ajustados con los correspondientes deflactores.

Consideramos los datos de 4 unidades o empresas de la muestra: General Electric (GE), General Motor (GM), U.S.Steel (US) y Westinghoues (WEST), correspondientes al periodo 1935-1954.

Las variables están nombradas como I_GE, I_GM, I_US, I_West, CAP_GE, CAP_GM, CAP_US, CAP_West, PL_GE, PL_GM, PL_US y PL_West

Los datos se encuentran en el archivo tm2_ej1.wf1

Para estimar dicho modelo podemos llevar a cabo para cada una de las compañías la regresión Yt = b1 + b2 X2t + b3 X3t + et para t =1935,…,1954

Siendo las variables Y = I, X2=CAP y X3=PL

Así tendremos las cuatro estimaciones individuales:

Dependent Variable: I_GE General Electric Method: Least Squares Sample: 1935 1954 Included observations: 20

Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. C -9.956306 31.37425 -0.317340 0.7548

CAP_GE 0.026551 0.015566 1.705705 0.1063PL_GE 0.151694 0.025704 5.901548 0.0000

R-squared 0.705307 Mean dependent var 102.2900Adjusted R-squared 0.670637 S.D. dependent var 48.58450S.E. of regression 27.88272 Akaike info criterion 9.631373Sum squared resid 13216.59 Schwarz criterion 9.780733Log likelihood -93.31373 F-statistic 20.34355Durbin-Watson stat 1.072099 Prob(F-statistic) 0.000031

1 Y. Grunfeld, “The Determinant of Corporate Investiment”, tesis de doctorado inédita. Department of

Economics, University of Chicago, 1958. Convertido en el ejemplo más utilizado en los estudios de panel de datos.

1


Dependent Variable: I_GM General Motor Method: Least Squares Sample: 1935 1954 Included observations: 20


CAP_GM 0.119210 0.025804 4.619724 0.0002PL_GM 0.371525 0.037052 10.02704 0.0000


Dependent Variable: I_US U.S.Steel Method: Least Squares Date: 08/27/01 Time: 09:43 Sample: 1935 1954 Included observations: 20


CAP_US 0.171430 0.073721 2.325409 0.0327PL_US 0.408709 0.144889 2.820836 0.0118


Dependent Variable: I_WEST Westinghouse Method: Least Squares Date: 08/27/01 Time: 09:45 Sample: 1935 1954 Included observations: 20


CAP_WEST 0.053055 0.015708 3.377633 0.0036PL_WEST 0.091694 0.056135 1.633465 0.1208


De modo análogo podríamos hacer una regresión para cada uno de los años, de 1935 a 1954.

2


Podemos resumir las estimaciones obtenidas para los coeficientes con el cuadro que sigue:


CAP_GE 0.026551 0.015566 1.705705 0.1063 PL_GE 0.151694 0.025704 5.901548 0.0000

C -149.4667 105.7202 -1.413795 0.1755 CAP_GM 0.119210 0.025804 4.619724 0.0002 PL_GM 0.371525 0.037052 10.02704 0.0000

C -50.07804 146.7223 -0.341312 0.7371 CAP_US 0.171430 0.073721 2.325409 0.0327 PL_US 0.408709 0.144889 2.820836 0.0118

C -0.580403 8.013355 -0.072429 0.9431 CAP_WEST 0.053055 0.015708 3.377633 0.0036 PL_WEST 0.091694 0.056135 1.633465 0.1208

Se nos muestra así la variabilidad de las estimaciones, por ejemplo la ordenada en el origen va desde -149.4667 en GM hasta -0.58 en West, el coeficiente de CAP va desde 0.0026551 en GE hasta 0.171430 en US, etc.

Ahora bien, si bien pueden existir algunas diferencias individuales, el planteamiento es que las pendientes de las variables CAP y PL deberían ser iguales en todos los casos si tenemos presente que los parámetros estructurales correspondientes b2 y b3 son las tasas marginales del CAP y PL, respectivamente, sobre la inversión I.

Podemos hacer la estimación conjunta contando con las 80 observaciones disponibles (4 unidades x 20 momentos de tiempo), lo cual permitirá mejorar la eficiencia de las estimaciones, reduciendo las covarianzas de los estimadores, considerando que las pendientes son las mismas para las cuatro empresas.

En EViews podemos crear un objeto panel (POOL) seleccionando las opciones Object/New Object... del menú principal, poniendo NEW OBJECT en la línea de mandatos seleccionando POOL, o bien poniendo directamente NEW POOL en la línea de comandos o mandatos. Se nos abrirá una ventana solicitando los identificadores cross-section o transversales. En nuestro caso, dedicando una línea para cada unidad, estos serán:

_GE _GM _US _WEST De este modo las variables para las diferentes unidades estarán

identificadas como VARIABLE_UNIDAD, refiriéndonos a las mismas de forma conjunta utilizando la forma VARIABLE?. Podemos ponerle el nombre

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PANEL1 al panel definido mediante el comando NAME del menú de la ventana del panel.

MODELO PLANO

Así para estimar el modelo con las 80 (4x20) observaciones, en la misma ventana seleccionamos proc/estimate, indicando como variable dependiente I? y como regresores o variables independientes C CAP? PL? sin modificar el resto de opciones (Fixed and Random Effects, Cross-section: None, Period: None, Method: LS).

Obtenemos así la regresión del Modelo Plano (datos agrupados) dada por:

Yit = b1 + b2 X2it + b3 X3it + eit: para i =1,…,4, T=1935, …,1954

Dependent Variable: I? Method: Pooled Least Squares Sample: 1935 1954 Included observations: 20 Cross-sections included: 4 Total pool (balanced) observations: 80


CAP? 0.110096 0.013730 8.018809 0.0000 PL? 0.303393 0.049296 6.154553 0.0000

R-squared 0.756528 Mean dependent var 290.9154 Adjusted R-squared 0.750204 S.D. dependent var 284.8528 S.E. of regresión 142.3682 Akaike info criterion 12.79149 Sum squared resid 1560690. Schwarz criterion 12.88081 Log likelihood -508.6596 Hannan-Quinn criter. 12.82730 F-statistic 119.6292 Durbin-Watson stat 0.218717 Prob(F-statistic) 0.000000

Los 3 coeficientes son significativos, siendo el modelo significativo conjuntamente, explicando el 75,6% de las variaciones de la inversión de las empresas. El valor del estadístico de Durbin Watson 0.218717 nos muestra la posible existencia de autocorrelación en los errores que habría que corregir, y que podría también derivar de una mala especificación.

Ahora bien, en este caso hemos considerado que no existen diferencias individuales en el comportamiento inversor de las empresas, tanto en lo que podríamos llamar inversión autónoma como en las pendientes, las posibles diferencias individuales están integradas en los errores del modelo: eit = ai+vit donde ai representa la característica individual.

4


Estimation Equations: I_GE = C(1) + C(2)*CAP_GE + C(3)*PL_GE I_GM = C(1) + C(2)*CAP_GM + C(3)*PL_GM I_US = C(1) + C(2)*CAP_US + C(3)*PL_US I_WEST = C(1) + C(2)*CAP_WEST + C(3)*PL_WEST Substituted Coefficients: I_GE = -63.3041355019 + 0.110095541779*CAP_GE + 0.303393160672*PL_GE I_GM = -63.3041355019 + 0.110095541779*CAP_GM + 0.303393160672*PL_GM I_US = -63.3041355019 + 0.110095541779*CAP_US + 0.303393160672*PL_US I_WEST = -63.3041355019 + 0.110095541779*CAP_WEST + 0.303393160672*PL_WEST

Sin embargo, podríamos considerar que existen diferencias individuales en el comportamiento de las 4 empresas, bien solo en la ordenada en el origen, bien en las pendientes o en ambas.

MODELO DE EFECTOS FIJOS

Para incluir las diferencias individuales en la ordenada en el origen, definimos variables ficticias o Dummy que caracterizan a cada una de las unidades, por ejemplo D2, D3 y D4, no consideramos D1 para no caer en la trampa de las variable ficticias. Tendríamos de este modo el conocido como modelos de efectos fijos (MEF), también conocido como modelo de covarianza, siendo X2 y X3 las covariantes:

Yit = b1 + b2 X2it + b3 X3it + ai + eit: para i =1,…,4, T=1935, …,1954.

El efecto individual ai se ha considerado fijo, es decir, no tiene carácter estocástico.

Si escribimos el modelo con las variables ficticias, tendremos:

Yit = α1 + α2 D2t + α3 D3t + α4 D4t + b2 X2it + b3 X3it + eit

siendo α1 = b1 + a1, α2 = b1 + a2, α3 = b1 + a3 y α4 = b1 + a4

Para su estimación en EViews, hacemos lo siguiente: en la ventana del pool seleccionamos Estimate o bien proc/estimate, indicando como variable dependiente I? y como regresores o variables independientes C CAP? PL? indicando en la opción (Fixed and Random Effects, Cross-section: Fixed, Period: None, Method: LS). Obtenemos así la salida:

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Dependent Variable: I? Modelo de efectos fijos Method: Pooled Least Squares Balanceado Sample: 1935 1954 Included observations: 20 Cross-sections included: 4 Total pool (balanced) observations: 80


CAP? 0.107948 0.017509 6.165319 0.0000PL? 0.346162 0.026664 12.98212 0.0000

Fixed Effects (Cross) _GE—C -171.9429 _GM—C -10.37070 _US—C 167.6899

_WEST—C 14.62366 Effects Specification

Cross-section fixed (dummy variables) R-squared 0.934563 Mean dependent var 290.9154Adjusted R-squared 0.930141 S.D. dependent var 284.8528S.E. of regresión 75.28890 Akaike info criterion 11.55258Sum squared resid 419462.9 Schwarz criterion 11.73123Log likelihood -456.1032 Hannan-Quinn criter. 11.62421F-statistic 211.3706 Durbin-Watson stat 0.807158Prob(F-statistic) 0.000000

La representación de las ecuaciones estimadas son:

Estimation Equations: I_GE = C(4) + C(1) + C(2)*CAP_GE + C(3)*PL_GE I_GM = C(5) + C(1) + C(2)*CAP_GM + C(3)*PL_GM I_US = C(6) + C(1) + C(2)*CAP_US + C(3)*PL_US I_WEST = C(7) + C(1) + C(2)*CAP_WEST + C(3)*PL_WEST Substituted Coefficients: I_GE = -171.942896645 - 73.8494731434 + 0.107948082413*CAP_GE + 0.34616168207*PL_GE I_GM = -10.3707000954 - 73.8494731434 + 0.107948082413*CAP_GM + 0.34616168207*PL_GM I_US = 167.689934658 - 73.8494731434 + 0.107948082413*CAP_US + 0.34616168207*PL_US I_WEST = 14.6236620819 - 73.8494731434 + 0.107948082413*CAP_WEST + 0.34616168207*PL_WEST

Podemos ver como el R2 se ha incrementado hasta el valor 0.934563.

Si debemos seleccionar entre el modelo agrupado o el modelo de efectos fijos, podemos llevar a cabo el contraste de restricciones lineales.

H0:{ α2 = 0, α3 = 0, α4 = 0} vs. H1:{ α2 ≠ 0, α3 ≠ 0 ó α4 ≠ 0}

Es decir: Modelo agrupado (MA) vs. Modelo de Efectos Fijos (MEF).

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El estadístico de contraste esta dado por

kNTq

H

MEF

MAMEF

MEF

MEFMA

stN

stNst

FkNTR

qRRF

kNTSCRqSCRSCR

kNTSCRqSCRSCRF

−≈−−

−=

⇒−

−=

−−

=

;2

22Re

ReRe

0

)/()1(/)(

)/()/)(

)/()/)(

Obtenemos así que:

68.29980.66)620*4/()934563.01(

3/)756528.0934563.0(74;3;05.0 =>=

−−−

= FF

Luego rechazamos la hipótesis nula al 5% de significación, optando por el modelo de efectos fijos.

Para llevar a cabo el contraste en EViews se procede del siguiente modo:

Una vez estimado el modelo de efectos fijos se selecciona el menú o sucesión de comandos dado por select View/Fixed/Random Effects Testing/Redundant Fixed Effects - Likelihood Ratio, obteniéndose el valor ya calculado F = 67.110248, el cual resulta significativo pues su P-valor es 0.000.

Redundant Fixed Effects Tests Pool: POOL01 Test cross-section fixed effects

Effects Test Statistic d.f. Prob. Cross-section F 67.110248 (3,74) 0.0000 Cross-section Chi-square 105.112639 3 0.0000

Cross-section fixed effects test equation: Dependent Variable: I? Method: Panel Least Squares Sample: 1935 1954 Included observations: 20 Cross-sections included: 4 Total pool (balanced) observations: 80


CAP? 0.110096 0.013730 8.018809 0.0000 PL? 0.303393 0.049296 6.154553 0.0000

R-squared 0.756528 Mean dependent var 290.9154 Adjusted R-squared 0.750204 S.D. dependent var 284.8528 S.E. of regression 142.3682 Akaike info criterion 12.79149 Sum squared resid 1560690. Schwarz criterion 12.88081 Log likelihood -508.6596 Hannan-Quinn criter. 12.82730 F-statistic 119.6292 Durbin-Watson stat 0.218717 Prob(F-statistic) 0.000000

7


Podríamos considerar también, de modo análogo, el efecto tiempo o ambos, el individual y el temporal, siendo entonces

Yit = b1 + b2 X2it + b3 X3it + ai + δt + eit: para i =1,…,4, T=1935, …,1954

Redundant Fixed Effects Tests Pool: POOL01 Test cross-section fixed effects

Effects Test Statistic d.f. Prob.

Cross-section F 67.110248 (3,74) 0.0000 Cross-section Chi-square 105.112639 3 0.0000

Cross-section fixed effects test equation: Dependent Variable: I? Method: Panel Least Squares Date: 12/11/10 Time: 20:04 Sample: 1935 1954 Included observations: 20 Cross-sections included: 4 Total pool (balanced) observations: 80

Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.

C -63.30414 29.61420 -2.137628 0.0357 CAP? 0.110096 0.013730 8.018809 0.0000 PL? 0.303393 0.049296 6.154553 0.0000

R-squared 0.756528 Mean dependent var 290.9154 Adjusted R-squared 0.750204 S.D. dependent var 284.8528 S.E. of regression 142.3682 Akaike info criterion 12.79149 Sum squared resid 1560690. Schwarz criterion 12.88081 Log likelihood -508.6596 Hannan-Quinn criter. 12.82730 F-statistic 119.6292 Durbin-Watson stat 0.218717 Prob(F-statistic) 0.000000

Debemos tener presente que la estimación se hace bajo suponiendo válida la hipótesis eit ≈ N(0,σ2). Es decir, las varianza de los errores es la misma en todas las unidades y en todos los momentos de tiempo, no existiendo correlaciones entre los errores de momentos diferentes o del mismo momento de diferentes individuos.

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MODELO DE EFECTOS ALEATORIOS (MEA)

Dado el modelo Yit = b1 + b2 X2it + b3 X3it + ai + eit: para i =1,…,4, T=1935, …,1954, habíamos considerado ai como el efecto de la unidad i-ésima, a la cual habíamos llamado efecto fijo por su carácter no estocástico. Ahora bien, si el individuo i-ésimo ha sido obtenido o seleccionado de modo aleatorio de una población, debemos asignarla a ai un carácter estocástico. En este caso el modelo es llamado Modelo de Efectos Aleatorios (MEA) o Modelo de Componentes del Error (MCE).

Si consideramos ai un término de error aleatorio con media nula y varianza constante, σa

2, podemos escribir:

Yit = b1 + b2 X2it + b3 X3it + ai + eit = b1 + b2 X2it + b3 X3it + vit

Donde vit = ai + eit es el término del error compuesto.

Se supone generalmente que ambos componentes siguen distribuciones normales de media nula y varianza constante, sin autocorrelaciones. Es decir:

ai ≈ N(0, σa2) y ei ≈ N(0, σe

2)

E(ai eit) = 0, E(ai aj) = 0 si i ≠ j

E(eit eis) = E(eit ejt) = E(eit ejs) = 0 si i ≠ j, t ≠ s

Debe notarse que la variable aleatoria ai es una variable latente o no observable.

Como consecuencia de lo anterior se tiene:

E(vit) = 0, Var(vit) = σa2 + σe

2

Y por tanto: 22

2

),(ea

aisit vvcorr

σσσ+

= , es decir, para cualquier unidad

transversal la correlación entre los términos de error de diferentes momentos es siempre la misma, cualquiera que sea la distancia temporal, siendo, por otra parte, la misma para cualquier unidad transversal.

Como consecuencia, si se estima el modelo de efectos aleatorios por MCO sin tener en cuenta las correlaciones, los estimadores obtenidos serán ineficientes. El método de estimación que debe seguirse es el conocido como Mínimos Cuadrados Generalizados (MCG).

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Para aplicar el modelo de efectos aleatorios para la estimación de la función de inversión de Grunfeld con EViews, debemos seleccionar en especificación de la estimación del panel o pool la opción Random dentro del recuadro con Random Effects. Obtenemos así:

Dependent Variable: I? Method: Pooled EGLS (Cross-section random effects) Sample: 1935 1954 Included observations: 20 Cross-sections included: 4 Total pool (balanced) observations: 80 Swamy and Arora estimator of component variantes


CAP? 0.107655 0.016875 6.379722 0.0000PL? 0.345710 0.026636 12.97896 0.0000

Random Effects (Cross) _GE—C -169.9282 _GM—C -9.507820 _US—C 165.5613

_WEST—C 13.87475

Effects Specification S.D. Rho

Cross-section random 152.1582 0.8033 Idiosyncratic random 75.28890 0.1967

Weighted Statistics R-squared 0.804962 Mean dependent var 31.99227 Adjusted R-squared 0.799896 S.D. dependent var 167.7316 S.E. of regression 75.03139 Sum squared resid 433487.6 F-statistic 158.8972 Durbin-Watson stat 0.780384 Prob(F-statistic) 0.000000

Unweighted Statistics R-squared 0.753716 Mean dependent var 290.9154 Sum squared resid 1578718. Durbin-Watson stat 0.214279

El cuadro que se denomina Effects Specification recoge la descomposición de la varianza de los residuos: Var(vit) = σa

2 + σe2 siendo en este caso dadas por:

10

28890.75,1582.152 == ae σσ) )

Obtenemos así 5272905.288202889.751582.152)( =+== σ) 222itvVar

luego 1967.0222 =+

=ea

aa

σσσ

σσ

))

22 )

)

)


Es decir, la componente idiosincrática supone el 19,67% de la varianza de los residuos.

Modelo de Efectos Fijos vs. Modelo de Efectos Aleatorios

En este punto se plantea la necesidad de seleccionar uno de los dos modelos: el modelo de efectos fijos (MEF) o el modelo de componentes del error (MCE).

La solución depende de la posible correlación entre el error individual y las covariables. Si no existe correlación la mejor elección es el MCE o MEA, siendo el MEF mejor cuando existe la misma.

Enunciamos las observaciones de Judge et al. sobre la posible elección entre uno y otro método:

1. Si T (nº de observaciones temporales) es grande y N (nº de unidades transversales) es pequeño, es probable que haya muy poca diferencia en las estimaciones de los parámetros, siendo preferible MEF.

2. Si N es grande y T pequeño pueden existir grandes variaciones entre ambos métodos. En este caso, si los elementos de a muestra de unidades transversales no se extrajeron de modo aleatorio es apropiado el MEF. Si las unidades transversales se extrajeron de modo aleatorio es más adecuado el MCE.

3. Si el componente del error individual, ai, está correlacionado con alguno de los regresores los estimadores MCE están sesgados, siendo insesgados los obtenidos por el MEF.

4. Si N es grande y T pequeño, siendo válidos los supuestos MCE, los estimadores MCE son más eficientes.

Existe una prueba formal, conocida como test de Hausman, para comparar ambos modelos. La hipótesis nula es que no existen diferencias entre ambos métodos. El estadístico de prueba sigue asintóticamente una distribución Chi cuadrado con k grados de libertad. Si no se rechaza la hipótesis nula se considera que es mejor el MEF.

En EViews, para llevar a cabo el contraste de Hausman debe llevarse a cabo previamente la estimación del modelo de efectos aleatorios (MEA). Para realizar el test se sigue la siguiente sucesión de comandos en la ventana del pool:

View/Fixed/Random Effects Testing/Correlated Random Effects - Hausman Test

De este modo hemos obtenido el cuadro siguiente.

11


Correlated Random Effects - Hausman Test Pool: POOL02EF_ALEAT Test cross-section random effects Test Summary Chi-Sq. Statistic Chi-Sq. d.f. Prob. Cross-section random 1.474175 2 0.4785Cross-section random effects test comparisons:

Variable Fixed Random Var(Diff.) Prob. CAP? 0.107948 0.107655 0.000022 0.9500PL? 0.346162 0.345710 0.000002 0.7132

Cross-section random effects test equation: Dependent Variable: I? Method: Panel Least Squares Sample: 1935 1954 Included observations: 20 Cross-sections included: 4 Total pool (balanced) observations: 80


CAP? 0.107948 0.017509 6.165319 0.0000PL? 0.346162 0.026664 12.98212 0.0000

Effects Specification Cross-section fixed (dummy variables) R-squared 0.934563 Mean dependent var 290.9154Adjusted R-squared 0.930141 S.D. dependent var 284.8528S.E. of regression 75.28890 Akaike info criterion 11.55258Sum squared resid 419462.9 Schwarz criterion 11.73123Log likelihood -456.1032 Hannan-Quinn criter. 11.62421F-statistic 211.3706 Durbin-Watson stat 0.807158Prob(F-statistic) 0.000000

Donde se nos muestra en primer lugar el estadístico Test Summary Chi-Sq. Statistic Chi-Sq. d.f. Prob. Cross-section random 1.474175 2 0.4785

Luego no hay evidencia que nos permita rechazar la hipótesis nula, (H0≡{ E[ai|x’s] = 0}) ya que λH = 1.474175 < χ2

0.05 = 5.99 (el p-valor de 1.474175 es 0.4785) por tanto, el estimador MCG (βMCG = βEA) es asintóticamente más eficiente que el de MCO para el modelo de efectos fijos (βEF); en consecuencia optamos por el modelo de modelo de efectos aleatorios.

La salida nos da también la comparación de los coeficientes estructurales obtenidos por ambos métodos, MEF y MEA, así como los errores estándar de las diferencias. Por último muestra el resultado de la estimación del modelo de efectos fijos.

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