Datos y factores - Freudenthal Instituut and... · Retrocede en el tiempo hasta un mundo sin...

Datos y factoresNúmeros

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Las matemáticas en contexto es un currículo exhaustivo para los grados intermedios. Se desarrolló entre 1991 y 1997 en colaboración con el Wisconsin Center forEducation Research (Centro de Investigación Educativa de Wisconsin), Facultad deEducación, de la Universidad de Wisconsin-Madison y el Freudenthal Institute(Instituto Freudenthal), de la Universidad de Utrecht, Países Bajos, con el apoyo delsubsidio n.º 9054928 de la National Science Foundation (Fundación Nacional paralas Ciencias).

Esta unidad es nueva y ha sido preparada como parte de la revisión curricular que serealizó entre los años 2003 y 2005, con el apoyo del subsidio n.º ESI0137414 de laNational Science Foundation.

National Science FoundationLas opiniones expresadas pertenecen a los autoresy no reflejan necesariamente las de la Fundación.

Abels, M., de Lange, J. y Pligge, M. A. (2006). Datos y factores. Wisconsin CenterFor Education Research y Freudenthal Institute (Eds.), Las matemáticas en contexto. Chicago: Encyclopædia Britannica, Inc.

Copyright © 2006 Encyclopædia Britannica, Inc.

Reservados todos los derechos.Impreso en los Estados Unidos de América.

Este trabajo está protegido por las actuales leyes estadounidenses de propiedad int-electual, que rigen también su uso público, su presentación y otros usos aplicables.Queda prohibido cualquier uso no autorizado por la ley de propiedad intelectual delos Estados Unidos sin nuestro expreso consentimiento escrito, que incluye, aunqueno exclusivamente, su copia, adaptación y transmisión televisiva o por otros medioso procesos. Para obtener mayor información con respecto a una licencia, escriba aEncyclopædia Britannica, Inc., 331 N. LaSalle St., Chicago, IL 60610.

ISBN 0-03-093046-4

1 2 3 4 5 6 073 09 08 07 06

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Equipo de desarrollo de Las matemáticas en contextoDesarrollo 2003–2005

Meike Abels y Jan de Lange desarrollaron Datos y factores. La adaptación para su uso en las escuelasestadounidenses es de Margaret A. Pligge.

Wisconsin Center for Education Personal del Freudenthal InstitutePersonal de investigación

Thomas A. Romberg David C. Webb Jan de Lange Truus DekkerDirector Coordinador Director Coordinador

Gail Burrill Margaret A. Pligge Mieke Abels Monica WijersCoordinadora editorial Coordinadora editorial Coordinadora Coordinadora

del contenido del contenido

Personal del proyecto

Sarah Ailts Margaret R. Meyer Arthur Bakker Nathalie KuijpersBeth R. Cole Anne Park Peter Boon Huub Nilwik Erin Hazlett Bryna Rappaport Els Feijs Sonia PalhaTeri Hedges Kathleen A. Steele Dédé de Haan Nanda QuerelleKaren Hoiberg Ana C. Stephens Martin Kindt Martin van ReeuwijkCarrie Johnson Candace UlmerJean Krusi Jill VettrusElaine McGrath

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(c) 2006 Encyclopædia Britannica, Inc. Las matemáticas en contexto y el logotipo de Las matemáticas en contexto son marcasregistradas de Encyclopædia Britannica, Inc.

Créditos de las fotografías de la portada: (todas) © Getty Images

Ilustraciones1 (arriba) Michael Nutter/© Encyclopædia Britannica, Inc.; (abajo)Holly Cooper-Olds; 2, 3, 4, 13 Christine McCabe/© EncyclopædiaBritannica, Inc.; 18, 24 (izquierda), 25, 27, 34 (izquierda), 36 HollyCooper-Olds; 38 Christine McCabe/© Encyclopædia Britannica,Inc.; 45, 50 (arriba) Holly Cooper-Olds; 51, 56 Christine McCabe/©Encyclopædia Britannica, Inc.

Fotografías3 Sam Dudgeon/HRW Photo; 6 © Richard T. Nowitz/Corbis; 8, 9 (arriba) Victoria Smith/HRW; (abajo) R. Stockli, A. Nelson, F. Hasler,NASA/GSFC/NOAA/USGS; 12 Victoria Smith/HRW; 13 (arriba) SamDudgeon/HRW Photo; (abajo) PhotoDisc/Getty Images; 14 (arribaizquierda) PhotoDisc/ Getty Images; (arriba derecha) G. K. & VikkiHart/ PhotoDisc/Getty Images; 15 © ImageState; 30 © Corbis; 37 SamDudgeon/HRW Photo; 38, 39 Victoria Smith/HRW; 40 StephanieFriedman/HRW; 41 © PhotoDisc/Getty Images; 44 Don Couch/ HRWPhoto; 49 Sam Dudgeon/HRW Photo; 55 Archives Acad_mie desSciences, photo Suzanne Nagy; 56 Lisa Woods/HRW

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Contenido

Contenido V

Carta al alumno VI

Sección A Base diezJeroglíficos 1Por diez 3Números grandes 6Notación exponencial 7Notación científica 8Resumen 10Verifica tu trabajo 11

Sección B FactoresPíxeles 13Datos 17Factores 17Cambios de posición 21Resumen 22Verifica tu trabajo 23

Sección C Números primosÁrboles invertidos 24Números primos 27Factores primos 29Cubos y cajas 30Resumen 32Verifica tu trabajo 33

Sección D Cuadrado y raíz cuadradaCuadrado 35Raíz cuadrada 37Doblar las esquinas de un cuadrado 37

No tan cuadrado 40Resumen 42Verifica tu trabajo 43

Sección E Más potenciasLa leyenda del tablero de ajedrez 44Potencias de base dos 46Potencias de base tres 48Bases diferentes 48De regreso a los egipcios 50Resumen 52Verifica tu trabajo 53

Práctica adicional 54

Respuestas para verificar tu trabajo 60

6

12

24

32

2

2

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Querido alumno:

Los números que usamos hoy son los que, habitualmente, usan todaslas personas del mundo. Esto puedesorprenderte, ya que existen aproximadamente 190 países independientesen el mundo, ¡donde se hablan 5,000 idiomas diferentes! Esto no siemprefue así. En la unidad Datos y factores, investigarás el modo en que lascivilizaciones antiguas escribían los números y realizaban cálculosnuméricos. Analizar el pasado teayudará a tomar mayor concienciadel modo en que escribes ycalculas los números. Observarásotros sistemas numéricos que seusan actualmente.

Investigarás algunas propiedades de las fotografías digitales. Al hacerlo,aprenderás más acerca de las propiedades de los números. ¿Cuántos paresdiferentes de números puedes multiplicar para hallar un producto de 36 yun producto de 51 o 53? Ampliarás tus conocimientos sobre todos losnúmeros reales.

Esperamos que disfrutes de esta unidad.

Atentamente.

El equipo de desarrollo de Las matemáticas en contexto

VI Datos y factores

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Sección A: Base diez 1

ABase diez

Jeroglíficos

Trópico de Cáncer

MA

R R

OJO

M A R M E D I T E R R Á N E O

DEPRESIÓN

DE QATTARA

Alejandría

GizaMenfis

Abidos

Edfú1.a Catarata

2.a Catarata

Valle delos Reyes

Abu Simbel

Rosetta

HeliópolisEl Cairo

Tell El-Amarna

KarnakTebas

Luxor

AsuánPhilae

SINAÍ

DE

SI E

RT

O D

E L I B

I A

DE

SI E

RT

O AR

ÁB

I GO

BAJOEGIPTO

ALTOEGIPTO

NUBIA

Río

Nilo

R

ío Nilo

N

S

O E

0 100 200 300 km

0 100 200 mi

Este jeroglífico es un hombre asombrado. Quizás esté asombrado

porque representa un número muy grande.

1. ¿Qué número representa el hombre asombrado?

Este es su último trabajo. Los jeroglíficos en la piedra representan el número 1,333,331.

Retrocede en el tiempo hasta un mundo sincomputadoras, calculadoras, ni televisores:a Egipto alrededor del año 3000 a de C.

En esa época, Horus era el mejor escultoren piedra de su pueblo.

Esculpía figuras pequeñas llamadasjeroglíficos para registrar la información.

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Este es el número 3,544 escrito en jeroglíficos.

2. ¿Cómo escribiría Horus tu edad y 1,234?

Hoy, usamos el sistema arábigo y los numerales 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9para representar cualquier número.

3. Completa la tabla de la Hoja de actividad del estudiante 1 paracomparar los jeroglíficos egipcios con los numerales arábigos queusamos hoy.

4. ¿Qué número representa este dibujo?

5. ¿Cómo escribiría Horus 420 y 402?

6. ¿Cuántos jeroglíficos egipcios necesitas para escribir el número 999?

2 Datos y factores

Base diezA

Jeroglífico Descripción Numeral Palabra

egipcio egipcia arábigo española

trazo vertical 1 uno

hueso de talón

espiral o cuerda

flor de loto

dedo que señala

renacuajo

un hombre asombrado


A

Encontraste estos tres pedazos de una piedra que contienenjeroglíficos egipcios.

7. ¿Qué número representan cuando se colocan todos juntos?


Base diez

Por diez

Hoy, Pedro encontró estas tres baldosas enel piso de una casa abandonada.

8. ¿Puedes deducir la dirección de estacasa? Sí o no ¿Por qué?

9. ¿Cuáles son las diferencias entrenuestro sistema arábigo de escritura yuso de números y el sistema egipcio?

10. a. Dibuja el número egipcio que es diez veces más grande que este.

b. Describe lo que harían los egipcios antiguos para multiplicar un número por diez.

En nuestro sistema arábigo, las cifras de un número se llaman dígitos. Losdígitos tienen un valor especial en cada número.

Por ejemplo, en el número 379:El dígito 3 tiene un valor de 3 centenas.El dígito 7 tiene un valor de 7 decenas.El dígito 9 tiene un valor de 9 unidades.


Puedes desarrollar el número 379 con palabras como 3 centenas, 7 decenasy 9 unidades o como 3 � 100 � 7 � 10 � 9 � 1.

11. Desarrolla los siguientes números de la misma manera.

a. 628 b. 2,306 c. 256 d. 2,560

12. Compara tu respuesta a 11c y d. ¿Qué observas?

Estas figuras comparan el modo de multiplicar un número por 10 en ambossistemas numéricos.

Jeroglíficos egipcios antiguos VS. Sistema de números arábigos

Sasha mira el jeroglífico y observa: “Cuando multiplicas un número por 10, sólo debes convertir cada jeroglífico en un jeroglífico de unvalor superior”.

13. a. Explica qué es lo que Sasha quiere decir. Usa un ejemplo en tu explicación.

b. ¿Cuál es el valor de 7 en 537 y en 5,370?

c. ¿Cuál es el valor de 3 en 537 y en 5,370?

d. Explica lo que le sucede al valor de los dígitos cuando multiplicaspor diez.

e. Calcula 26 �10 y 2.6 �10.

f. La explicación que presentaste en d ¿es válida para el problema e?Si no es así, revisa tu explicación.

4 Datos y factores

Base diezA

537

5370

� 10 � 10


El sistema de números egipcios no era muy apropiado para la notacióndecimal o fraccionaria. La notación decimal que usamos hoy fuedesarrollada aproximadamente 4,000 años después. El matemáticoholandés, Simón Stevin, inventó el punto decimal.

14. a. Explica el valor de cada dígito en el número 12.574.

b. Escribe 7 � 100 � 6 � 1 � 4 � 1��10 � 5 �

1��1000 como un solo número.

Si multiplicas un número decimal por 10, se multiplica el valor de cadadígito por 10.

Ten en cuenta el producto de 57.38 � 10.

57.38 � 10 � 573.8

57.38 � 5 � 10 � 7 � 1 � 3 � 1��10 � 8 � 1��

100

573.8 � 5 � 100 � 7 � 10 � 3 � 1 � 8 � 1��10

15. Calcula cada uno de los productos sin usar una calculadora.

a. 4.8 � 10

b. 4.8 � 10 � 10

c. 6.37 � 10 � 10

d. 9.8 � 10 � 10 � 10

e. 1.25 � 1,000

f. 0.57892 � 1,000

A


Base diez

� 10

5 7 3 8

5 7 3 8 10

cen

ten

as

dece

nas

un

idad

es

déci

mas

cen

tési

mas

ten

as

dece

nas

un

idad

es

déci

mas

cen

tési

mas


En el 2004, la población de los Estados Unidos era, aproximadamente, 292millones y la población mundial era, aproximadamente, 6 mil millones.

16. Escribe estas poblaciones usando únicamente numerales.

Observa que las comas separan cada grupo de tres dígitos. Esto facilita lalectura de los números. Lees el número 2,638,577 como “dos millones,seiscientos treinta y ocho mil quinientos setenta y siete”.

17. ¿Cómo lees 4,370,000 y 1,500,000,000?

Existen maneras diferentes de leer y escribir números grandes. Porejemplo, puedes leer 3,200,000 como: “tres millones, doscientos mil” osimplemente como “3.2 millones”.

18. Escribe como mínimo dos maneras diferentes de leer cada número.

a. 6,500,000

b. 500 millones

c. 1.2 mil

d. 750,000

6 Datos y factores

Base diezA

Números grandes

Numerales Palabras

1 uno10 diez

100 cien1,000 mil

10,000 diez mil100,000 cien mil

1,000,000 un millón10,000,000 diez millones

100,000,000 cien millones1,000,000,000 mil millones

10,000,000,000 diez mil millones100,000,000,000 cien mil millones

1,000,000,000,000 un billón


A

19. Halla los productos y escribe tus respuestas usando sólo palabras.

a. Un millón por diez

b. Cien por cien

c. Mil por mil

20. a. ¿Cuántos millares hay en un millón?

b. ¿Cuántos millares hay en mil millones?

c. ¿Cuántos millones hay en mil millones?

d. Usa números tales como 10, 100, 1,000, y así sucesivamente, paraescribir cinco problemas diferentes de multiplicación para los que larespuesta sea 1,000,000.

21. Supón que contaste desde uno hasta un millón y cada cuenta debíadurar un segundo? ¿Cuánto tiempo tomaría esto?

Para ahorrar tiempo en la escritura y cuenta de los ceros, los científicosinventaron una notación especial llamada notación exponencial.

El número 1,000 escrito en notación exponencial es 103 (léelo como “diezelevado a la tercera potencia” o “diez al cubo”).

1,000 �103 porque 1,000 �10 �10 �10

En 103, el 10 es la base y el 3 es el exponente.

22. Escribe cada uno de los números en notación exponencial.

a. 100 b. 1,000,000,000 c. 10,000,000,000

23. Escribe cada uno de los números en numerales y en palabras.

a. 104 b. 101 c. 106


ABase diez

Notación exponencial

10 3 exponente

base


6.4 09 6.4 E 09

¿Cómo muestra tu calculadora los números grandes? Para averiguarlo,responde lo siguiente:

24. a. Ingresa en una calculadora todos los 9 necesarios hasta que todoslos lugares de la pantalla estén ocupados. En tu cuaderno, registrael número que muestra la pantalla.

b. Sin usar la calculadora, ¿qué ocurre cuando sumas 1 a estenúmero? Calcula la respuesta en tu cuaderno. Escribe tu respuestaen notación exponencial. Identifica la base y el exponente.

c. Ahora, usa tu calculadora para sumar 1 al número grande queaparece en la pantalla (el formado por todos los números 9). Anotael nuevo número que muestra la pantalla.

d. Explica lo que representa cada parte del número de la pantalla.

e. En tu cuaderno, calcula el producto de 2,000,000,000 �3,000,000,000. Verifica tu cálculo usando tu calculadora. Si fueranecesario revisa tu respuesta correspondiente a la parte d.

8 Datos y factores

Base diezA

Notación científica

Para los números muy grandes la mayoría de las calculadoras adoptan elmodo (Sci) de notación científica. La pantalla muestra un número positivoentre 1 y 10 y una potencia de diez.

Las calculadoras muestran la notación científica de diferentes maneras. Acáse ven dos formas diferentes en que una calculadora muestra la poblaciónmundial de 6,400,000,000 de personas para el 2004.

El número que aparece es el producto: 6.4 � 109.


4 06 3.8 04

A

25. a. Escribe 6.4 � 109 en numerales y en palabras.

b. ¿Qué números aparecen en la pantalla?

La distancia desde la Tierra hasta la Luna es de aproximadamente 240 mil millas.

26. ¿Cómo debería mostrar tu calculadora esta distancia en notación científica?


Base diez


10 Datos y factores

Base diez

El Sistema numérico arábigo que usasactualmente es un sistema posicional que usalos numerales del 0 al 9. La posición de cadadígito en un número determina su valor.Puedes leer el número 79.54 como “setenta ynueve y 54 centésimos”.

Puedes desarrollar el número 79.54 como:

7 � 10 � 9 � 1 � 5 � 1��10 � 4 � 1��100

o 70 � 9 � 5��10 �

4��100 .

A

� 10

dece

nas

unid

ades

déci

mas

cent

ésim

as

7 9 . 5 4

4 centésimas5 décimas

9 unidades7 decenas

Si multiplicas un número decimal por 10, el valor de cada dígito se multiplicapor 10.

Por ejemplo: 79.54 � 10

79.54 � 10 � 795.4

79.54 � 7 � 10 � 9 � 1 � 5 � 1��10 � 4 � 1��

100

795.4 � 7 � 100 � 9 � 10 � 5 � 1 � 4 � 1��10

Multiplica por diez

cen

ten

as

dece

nas

un

idad

es

déci

mas

cen

tési

mas

7 9 5 4

7 9 5 4 10



La notación exponencial es una manera más corta de escribirmultiplicaciones repetidas.

Por ejemplo: 10 � 10 � 10 � 10 � 10 � 10 � 10 � 107.

Puedes leer 107 como “diez a la séptima potencia” o “diez a la séptima”.

En 107, el 10 es la base y el 7 es el exponente.

Las calculadoras usan la notación científica para mostrar números muygrandes. El número aparece en la pantalla como un producto de un número entre el 1 y el 10 y una potencia de diez.

Una calculadora que muestra representa

el producto 4.5 � 107 � 4.5 � 10,000,000

� 45,000,000

1. Realiza los siguientes cálculos sin usar una calculadora.

a. 1,000 � 10 � 10 d. 63.7 � 100

b. 1,000 � 1,000 e. 0.58 � 1,000

c. 63.7 � 10

2. a. Usa números tales como 10, 100, 1,000 y así sucesivamente paraescribir cinco problemas diferentes de multiplicación para los que larespuesta sea mil millones.

b. Escribe otros cinco problemas diferentes de multiplicación similares a los de la parte a, pero para los que la respuesta es 2,270,000.

Notación exponencial

4.5 07

Notación científica

10 7 exponente

base


12 Datos y factores

Base diezA

5.1 06 5.1 E 06

3. Calcula lo siguiente y escribe tus respuestas de tres manerasdiferentes: en notación exponencial, como un solo número y en palabras.

a. 104 � 103

b. 1,000,000 �10,000

c. diez � cien� mil

d. mil � un millón

4. a. Completa los exponentes que faltan y luego escribe la respuesta como un solo número.

2.25 � 104 � ______

22.5 � 10? � ______

225 � 10? � ______

b. Inventa un problema similar al a. Pídele a un compañero de claseque resuelva tu problema.

Estas son dos maneras diferentes de mostrar un mismo número en una calculadora.

5. a. Explica lo que aparece en pantalla.

b. Escribe este número como un solo número.

Escribe, para un boletín de la escuela, un párrafo breve que describa losbeneficios de usar la notación científica tanto para los números muypequeños como para los números muy grandes.


Jacqui y Nikki son amigos. Antes eran vecinos, pero Nikkise mudó a Cleveland. Ahora mantienen su amistad através de Internet. Se envían correos electrónicos yconversan en línea una vez al día como mínimo.

Hoy, después de la escuela, Jacqui revisó su correoelectrónico. Luego de aproximadamente tres minutos sedio cuenta de que el mensaje de Nikki estaba tardandomás tiempo que el habitual en descargarse. Luego deesperar impacientemente durante diez minutos, Jacqui lepregunta a su hermano:

—Dave, ¿qué puedo hacer? ¡Mira la barra en la pantallade la computadora!

SecciónB: Factores 13

BFactores

Píxeles

El correo electrónico de Nikki incluía una foto de sucachorro nuevo.

—Es una linda foto, pero el tamaño del archivo esdemasiado grande. Envíale un correo electrónico ydile que debe reducir el tamaño de los archivos antesde enviarlos —comenta Dave.

—Dave, ¿cómo puede ella hacer eso? Ni siquierayo conozco el modo de hacer eso —dice Jacqui.

Dave comparte lo que sabe acerca de las fotosdigitales.

Esto es lo que muestra la barra de la computadora de Jacqui luego de 12 minutos.

1. Calcula cuántos minutos más deberá esperar Jacqui para descargarpor completo este mensaje. Muestra cómo hallaste tu respuesta.


Una fotografía digital está compuesta de muchos cuadrados pequeños decolores. Estos cuadrados pequeños son elementos de la fotografía o píxeles.

14 Datos y factores

FactoresB

La cantidad de píxeles determina el tamaño delarchivo; a mayor cantidad de píxeles, mayortamaño del archivo.

Este es un archivo más pequeño de Nikki y superro. La cantidad de píxeles disminuyómuchísimo; ahora ya puedes ver los píxeles.

Ahora, investigarás el efecto de modificar lacantidad de píxeles por pulgada (ppi).

Las Fotografias 1, 2 y 3 son la misma fotografía.

Los lados de la Fotografía 1 tienen una longitud de dos pulgadas.

2. a. ¿Cuántos píxeles cuentas a lo largo de una pulgada?

b. ¿Cuál es el número total de píxeles en la Fotografía 1?

La Fotografía 2 muestra el mismo patrón de píxeles, pero usamás píxeles por pulgada (ppi).

3. a. ¿Cuántos píxeles por pulgada hay en la Fotografía 2?

b. Sin contar, ¿qué puedes decir acerca del número depíxeles por pulgada en la Fotografía 3?

Compara las Fotografías 1, 2 y 3.

4. Describe el modo en que las fotografías se parecen y se diferencian.

4. Probablemente, no hallaste el número total de píxeles contando todos los cuadrados pequeños. Para contar los píxeles de la Fotografía 1 es probable que hayas multiplicado 12 � 12. Siempre que multiplicasun número por sí mismo, estás elevando al cuadrado

un número.

5. ¿Por qué crees que se usa la expresión “elevar alcuadrado un número”?

Fotografía 1

Fotografía 2

Fotografía 3


Dos maneras de indicar el número 12 elevado al cuadrado son 122 o 12^2.Ambas representan 12 � 12, lo que da por resultado 144.

La Fotografía 1 tiene 12 píxeles a lo largo de cada lado, para un total de 122

o un total de 144 píxeles.

Los números como 144 que se obtienen de elevar al cuadrado un número,se llaman números cuadrados o números cuadrados perfectos.

6. Halla, como mínimo, cinco números diferentes que sean cuadradosperfectos. Comparte tu lista con un compañero. Observa si cada uno de ustedes puede adivinar el número antes de que fuera elevadoal cuadrado.

Anteriormente, habías comparado el mismo patrón de píxeles para tresfotografías de diferentes tamaños. Las fotografías se redujeron, pero elnúmero total de píxeles no se modificó.

Por lo tanto, si deseas reducir el tamaño de un archivo de fotografía, debes reducir el número total de píxeles. Ahora, investigarás las maneras de reducir el número de píxeles modificando el número de píxeles por pulgada (ppi).

Los lados de esta fotografía cuadrada de una rosa de color rosa tienen 1 pulgada.

7. a. ¿Cuál es el número total de píxeles si hay 200 ppi?

b. ¿Cuál es el número total de píxeles si hay 100 ppi?

Observa que los lados de la fotografía siguen siendo de 1 pulgada.

Y ¿50 ppi? Y ¿25 ppi?

c. Copia esta tabla y escribe tus respuestas del punto b en la columna 2. Describe el modo en que los píxeles por pulgada (ppi)en la columna 1 varían de una fila a la otra.

d. ¿Cómo disminuye el número total de píxeles cuando el número depíxeles por pulgada se reduce a la mitad?

e. El tiempo de descarga disminuye a medida que se reduce elnúmero total de píxeles. El tiempo de descarga para una fotografíade 200 ppi es 16 segundos. Usa esta información para completar laúltima columna de tu tabla.

Sección B: Factores 15

BFactores

ppi Número total de píxeles Tiempo de descarga

200

100

50

25


La fotografía que Nikki incluyó en su correo electrónico tenía 400 ppi y sutamaño era de 3 in por 4 in.

8. ¿Cuántos píxeles en total tenía la fotografía que Nikki envió por correoelectrónico? Muestra tus cálculos.

En la unidad Expresiones y fórmulas, usaste árboles aritméticos parafacilitar la organización de tus cálculos.

9. Explica el modo en que cada árbol aritmético se relaciona con elproblema 8.

10. a. Sin modificar el tamaño de su fotografía (3 in por 4 in), Nikki redujoel número de píxeles a 200 ppi. ¿Cuántos píxeles en total componenla nueva fotografía de Nikki?

b. Usa la información de la fotografía de Nikki para copiar y completaresta tabla.

c. En la tabla, el número de ppi se reduce a la mitad. ¿Qué ocurre conel número total de píxeles?

Jacqui esperó aproximadamente 48 minutos para la descarga de la fotografíaoriginal de Nikki.

11. a. ¿Cuál hubiera sido el tiempo de descarga si la fotografía hubieratenido 200 ppi en lugar de 400 ppi?

b. ¿Y si la fotografía hubiera tenido 100 ppi?

16 Datos y factores

FactoresB

4003

�

�

______?

______?

______?

4004

�

43

�

�

______?

______?

______?

400400

�

ppi

400

200

100

Número total de píxeles


Esta es la fotografía de Nikki demasiadoreducida: sólo tiene cinco píxeles por pulgada.

Las imágenes aparecen bastante bien en unapantalla de computadora cuando tienen 72píxeles por pulgada como mínimo.


BFactores

Datos

FactoresEn el problema anterior, podrías haber calculado el número total de píxelesusando la división: 480,000 � 4 �___ , o la multiplicación: 4 � ___ � 480,000.

Las operaciones de división y multiplicación se relacionan mutuamente de esta manera. Usando cualquiera de las dos operaciones, hallaste que el número total de píxeles se redujo de 480,000 a 120,000. Dosoraciones númericas para este contexto son 480,000 � 4 � 120,000 y 4 � 120,000 � 480,000.

Los números enteros 4 y 120,000 se llaman factores de 480,000.

12. a. Halla cuatro factores diferentes de 48.

b. ¿Puedes hallar un factor de 45 sin realizar cálculos? Explícalo.

c. ¿Cómo sabes que 2 no es un factor de 45?

Puede ser que recuerdes algunas reglas de divisibilidad. Las reglas dedivisibilidad involucran la división de números enteros sin residuo. Estasson tres reglas de divisibilidad:

• Un número es divisible por 3 si la suma de sus dígitos es divisible por 3.

• Un número es divisible por 4 si los últimos dos dígitos forman unnúmero que es divisible por 4.

• Un número es divisible por 9 si la suma de sus dígitos es divisible por 9.

13. a. ¿Es 2,520 divisible por 3? ¿Por 4? ¿Por 9?

b. ¿Es 2,520 divisible por 5? Escribe una regla para la divisibilidad por 5.

c. ¿Cómo puedes verificar si 2,520 es o no es divisible por 6?

d. ¿Qué otras reglas de divisibilidad conoces?


Jacqui imprime 24 fotografías cuadradas. Ella desea usar todas las 24fotografías para armar un cuadro rectangular en su habitación.

Ella comienza a investigar todos los posibles arreglos de modo tal quepueda elegir el que quiera. Primero, diseña un arreglo rectangular.

Luego, decide hacer una lista de todos los arreglos posibles.

Las 24 fotografías de Jacqui:

Un posible arreglo rectangular de 24 fotografías; 6 horizontales y 4 verticales:

Lista de todos los arreglos rectangulares posibles:

1 por 24 6 por 42 por 12 8 por 33 por 8 12 por 24 por 6 24 por 1

Ella le pregunta a Dave si esos son todos. Dave ve la lista y dice: “Creo que1 por 24 es lo mismo que 24 por 1”.

14. ¿Estás de acuerdo con Dave? Sí o no, ¿por qué?

18 Datos y factores

FactoresB


Jacqui decide dibujar uno de losarreglos de sus fotografías en unpapel cuadriculado.

Esta es una gráfica que muestratodos los arreglos rectangularesde la lista de Jacqui.

15. a. Explica lo que muestra la gráfica.

b. ¿Cómo rotularías los ejes?

c. Describe lo que tiene encomún cada par decoordenadas.

Como 3 � 8 � 24, 3 y 8 sonfactores de 24.

16. Haz una lista de todos losfactores de 24 posibles.

¿Cómo puedes tener la seguridad de que los tienes todos?


BFactores

2

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

22

24

0 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24

2

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

22

24

0 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24

(1, 24)

(2, 12)

(4, 6)

(8, 3)

(3, 8)

(6, 4)

(12, 2)

(24, 1)


17. a. Crea una gráfica que muestre todos los puntos que representanfactores de 25. ¿Cuántos puntos hay en esta gráfica?

b. Crea una gráfica que muestre todos los puntos que son factores de 23. ¿Cuántos puntos hay en esta gráfica?

c. Describe una relación entre el número de puntos en la gráfica y el número de factores.

18. a. ¿Qué números tendrán, siempre, un número impar de factores?

b. ¿Qué números tendrán, siempre, un número par de factores?

c. ¿Exactamente para qué número tiene la gráfica de factores un punto?

19. a. Halla, como mínimo, cinco números que tengan exactamente dos factores.

b. ¿Qué observas con respecto a los cinco números que hallaste en laparte a?

Los números que hallaste en el problema 19a se denominan números

primos. Tienen exactamente dos factores: el número uno y el númeromismo. Seguirás investigando los números primos en la siguiente sección.

Puede que hayas descubierto una manera sencilla para hacer una lista detodos los factores de un número.

Rosa, Lloyd y Raquel están hallando todos los factores de 36.

Este es su trabajo.

20. a. Si continuas la lista de Rosa, ¿cómo sabrás cuándo detenerte?

b. Termina el trabajo de Raquel para hallar todos los factores de 36.

c. Usa una de estas estrategias para hallar todos los factores de 96.

20 Datos y factores

FactoresB

Lloyd:

T odos los factores de

36 son 1, 36, 2, 18, 3, 12, …

Ro s a :

1 y 36

2 y 18

3 y 12 . . .??

Raquel

1 2 3 12 18 36


Actividad

En esta actividad, cada uno de los estudiantes que están de pie sostendráuna tarjeta con un número de un conjunto especial.

Necesitarás tarjetas numeradas desde el 1 hasta el número total deestudiantes de la clase.

Sigue estos pasos:

Paso I. Cada alumno recibe una tarjeta y se pone de pie.

Paso II. ¿Cabe el número 2 en el número de tu tarjeta? Si la respuesta es SÍ, el alumno debe sentarse; de locontrario, el alumno debe permanecer de pie.

Paso III. ¿Cabe el número 3 en el número de tu tarjeta? Si la respuesta es SÍ, debes cambiar de posición. Si estás de pie, siéntate; si estás sentado, ponte de pie.

Verifica si estás llevando a cabo el juego correctamente considerando estaspreguntas:

● Luego del Paso III, ¿el alumno con el número 5 está de pie o está sentado?

● ¿El alumno con el número 12 está de pie o está sentado?

Si todos están de acuerdo, continúa preguntando ¿El número ___ cabe en el número de tu tarjeta? No olvides cambiar tu posición cada vez que turespuesta sea SÍ.

Paso IV. ¿Cabe el número 4 en el número de tu tarjeta? Si tu respuesta es SÍ, cambia tu posición. Si estás de pie, siéntate; si estás sentado, ponte de pie.

Continúa estos pasos preguntando si el número de la tarjeta es divisiblepor 5, luego por 6, luego por 7, y así sucesivamente, hasta llegar al númerototal de alumnos de la clase.

21. a. ¿Qué números pertenecen a los alumnos que están parados alfinal? ¿Qué tienen en común estos números?

b. Si realizas esta actividad con 100 alumnos, ¿qué números deberánsostener los estudiantes que estén de pie al final?


Cambios de posición


22 Datos y factores

Factores

Elevar al cuadrado Multiplicar un número por sí mismo es elevar al cuadrado un número.

Las dos maneras de indicar que un número, por ejemplo 3, está elevado al cuadrado son 32 y 3^2. Ambas representan 3 � 3, lo que da porresultado 9.

Los números que se obtienen al elevar al cuadrado un número se llamannúmeros cuadrados o números cuadrados perfectos.

Factores 5 es un factor de 30 porque 30 dividido 5 es un número entero.30 � 5 � 6 y 5 � 6 � 30, por lo tanto, 6 es otro factor de 30. Todos losfactores de 30 son:

DivisibilidadPara averiguar si un número es divisible por un número determinado,puedes seguir algunas de las reglas de divisibilidad.

Un número es divisible:

por 2 si el último dígito es es par;por 3 si la suma de sus dígitos es divisible por tres;por 5 si el último dígito es un cero o un cinco;por 9 si la suma de sus dígitos es divisible por nueve.

Número primoUn número es primo si tiene exactamente dos factores: el número mismo y el número uno.

B

1 2 3 5 6 10 15 30



1. En la Escuela Intermedia Green, hay 945 alumnos. ¿Es posible dividir atodos los alumnos en grupos de a tres? ¿En grupos de a seis?

2. Halla todos los factores de:

a. 15 c. 53

b. 32 d. 17

3. a. Da un ejemplo de un número que tenga un número par de factores.

b. Da un ejemplo de un número que tenga un número impar de factores.

c. ¿Cómo denominas a los números que tienen un número impar de factores?

4. Enumera todos los números del 1 al 100 que son números cuadrados perfectos.

Considera estos enunciados.

“El número 2 es factor de todos los números pares. Por lo tanto, no hay números primos pares.”

“Todo número par dividido por un número par es par.”

Indica si cada uno de los enunciados es verdadero o falso. Justifica tu razonamiento.


24 Datos y factores

En la Sección B, usaste árboles aritméticos para organizar tus cálculos.

1. Usa un árbol aritmético para calcular 2 � 5 � 7 � 7.

Estos son dos árboles aritméticos diferentes para calcular 5 � 5 � 2 � 6 � 3.

2. a. ¿Darán ambos el mismo resultado? Sí o no, ¿por qué?

b. ¿Qué árbol aritmético preferirías usar? ¿Por qué?

CNúmeros primos

Árboles invertidos

6 32

�

�

______?

______?

�

______?

______?

55

�

36

�

�

______?

______?

______?

255

�

�

______?

Mientras iba a St. Ives, me encontré con un hombre con siete esposas.Cada esposa tenía siete bolsas,Cada bolsa tenía siete gatos,Cada gato tenía siete gatitos.Gatitos, gatos, bolsas y esposas.¿Cuántos iban a St. Ives?

77

�

�

______?

______?

______?

77

�


Puedes escribir 150 como un producto de dos factores.

150 � 3 � 50

Ambos números, 3 y 50, son factores de 150.

3. a. Explica por qué 10 es un factor de 150.

b. ¿Qué es un factor? Usa tus propias palabraspara describir “factor”.

Sección C: Números primos 25

CNúmeros primos

6

12

24

32

2

2

Estos árboles aritméticos especiales se denominan árboles de factores. Enestos árboles de factores, sólo verás los signos de multiplicación. Este es elcomienzo de un árbol de factores para el número 1,560.

5. a. Copia y completa el árbol de factores para el número 1,560.Extiende las ramas lo más lejos posible.

b. ¿Cómo sabrás cuándo has terminado el árbol por completo?

c. Usa los números finales para escribir 1,560 como un productode factores.

d. ¿Usarías el número 1 como número final? Sí o no, ¿por qué?

Un árbol aritmético invertido puede ayudarte aescribir un número como producto de factores.

4. a. ¿Qué información te da el árbol aritméticoinvertido?

b. Usa los “números finales” (los números que se encuentran al final del árbol) para escribir 24 como un producto de factores.

2 � 5

10 156�

1,560

un producto de cuatro factores


Cuando has extendido el árbol de factores lo más posible, hasdescompuesto en factores completamente el número original. El número 1es un factor de todos los números pero no es necesario incluir los números1 en un árbol de factores.

6. Descompone cada número en la mayor cantidad de factores posibles.Usa un árbol de factores para escribir cada número como un productode los números finales.

a. 56 c. 420

b. 285 d. 3,432

Tanto Hackan como Alberta han comenzado, cada uno, un árbol de factorespara descomponer 1,092 en todos los factores posibles.

Hakan se da cuenta de que 1,092 es par de manera que comienza su árbol así:

7. a. En tu cuaderno, completa los árboles de factores de Hakan y de Alberta.

b. ¿Obtienes los mismos factores al final de las ramas de cada uno de los árboles?

8. a. Regresa a todos los árboles de factores que has hecho hasta ahoray compila una lista de todos los números finales.

b. Has aprendido otro nombre para estos números finales en laSección B. ¿Cuál es?

c. Halla al menos otros tres números finales posibles que no estén enla lista que hiciste para la parte a.

26 Datos y factores

Números primosC

1,092

2 546

1,092

6 182

Alberta se da cuenta de que 1,092 esdivisible tanto por 2 como por 3, demanera que es divisible por 6. Ellacomienza su árbol así:


Los números finales de todos los árboles de factores son números primos.En la Sección B, descubriste que los números primos tienen exactamentedos factores, el número uno y el número mismo.

Los números que no son números primos se llaman números compuestos.

El número 1 no es ni un número primo, ni un número compuesto.

En la antigüedad, los griegos usaban los números primos. Eratóstenesdescubrió un método para extraer todos los números primos del 1 al 100.Comenzó con una lista de 100 números de los cuales seleccionó losnúmeros primos tachando los múltiplos de los números.

Los múltiplos de 2 son 2, 4, 6, 8, 10 y así sucesivamente.


CNúmeros primos

Números primos

9. a. ¿Cuál es el siguiente múltiplo de 2?

b. Enumera los primeros cinco múltiplos de 3.

c. ¿Tienen ambas listas números en común? Explícalo.


28 Datos y factores

Usa la Hoja de actividad del estudiante 2 y los problemas del 10 al 15 paravolver a crear el método de Eratóstenes para extraer los números primos

10. a. Encierra en un círculo el número 2 y coloca una X sobre todos losotros múltiplos de 2.

b. Los números con una X no son primos. ¿Por qué no?

11. a. Encierra en un círculo el 3 y coloca una X sobre todos los otrosmúltiplos de 3.

b. Explica por qué no necesitas poner una X sobre todos los múltiplos de 4.

c. ¿Necesitas tachar los múltiplos de 6? Explica por qué.

d. Pablo siguió estos pasos y dijo: “No puedo encontrar ningúnnúmero divisible por 12 que no haya sido tachado”. ¿Tiene razónPablo? Explica tu respuesta.

e. Marisa sostiene que incluso si extendieras la tabla hasta el número1,000, todos los números de la tabla que son divisibles por 24 yaestarían tachados. ¿Estás de acuerdo? Explícalo.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

41 42 43 44 45 46 47 48 49 50

51 52 53 54 55 56 57 58 59 60

61 62 63 64 65 66 67 68 69 70

71 72 73 74 75 76 77 78 79 80

81 82 83 84 85 86 87 88 89 90

91 92 93 94 95 96 97 98 99 100

Actividad


12. a. Encierra en un círculo el 5 y coloca una X sobre todos los otrosmúltiplos de 5 que no han sido tachados.

b. ¿Cuál es el primer número sobre el que pusiste una X?

c. Encierra el 7 en un círculo. Sin mirar la tabla, menciona el primer múltiplo de 7 sobre el que deberías colocar una X. Explica cómo pudiste determinar este número. Ahora, tacha los otros múltiplos de 7.

d. ¿Por qué es necesario tachar todos los múltiplos de 8, 9 y 10?

13. a. Encierra el 11 en un círculo. ¿Sobre qué múltiplo de 11 pondrás una X primero?

b. Encierra en un círculo todos números que no han sido tachadados.

c. ¿Que número encerraste en el círculo?

d. ¿En qué columnas aparecen estos números encerrados en un círculo?

14. a. Explica por qué tachaste sólo los múltiplos de los números primos.

b. Explica por qué tuviste que tachar los múltiplos de los númerosprimos únicamente hasta el número 11.

El número 8 se puede descomponer en todos los factores posibles comoun producto de números primos: 8 � 2 � 2 � 2.

15. a. Escribe cada número compuesto entre el 2 y el 10 como unproducto de números primos.

b. ¿Piensas que es posible escribir todos los números usando sólo los números primos y la multiplicación?

Por medio de los árboles de factores puedes hallar todos los factoresprimos de un número.

16. a. Usa el método de árbol de factores para hallar todos los factoresprimos de 156.

b. Escribe 156 como un producto de factores primos.


Factores primos


Este es otro método que puedes usar para hallar todos los factoresprimos de un número.

156—— 278—— 239—— 313—— 131

17. a. Compara este método con el método del árbol.

b. Usa este método para hallar todos los factores primos de 72.

30 Datos y factores

Números primosC

Cubos y cajasHelena administra el departamento deexpedición de Learning Is Fun, Inc., unaempresa que fabrica cubos de un centímetropara las escuelas.

18. a. Un tipo de caja contiene 24 cubos.¿Cuáles son las posibles dimensionesde esta caja?

b. Otro tipo de caja contiene 45 cubos. ¿Puede esta caja tener la misma altura que una caja que contiene sólo 24 cubos? Explica, sí o no, ¿por qué?

Para poder apilar las cajas con facilidad, Learning Is Fun quisiera que lascajas tuvieran la misma longitud y el mismo ancho. Cada caja que se envíaestá totalmente llena de cubos de un centímetro.

19. ¿Es posible que los dos tipos de caja del problema 18 tengan la misma longitud y el mismo ancho? Explica y da la longitud, el ancho y la altura de ambos tipos de caja.


Learning Is Fun también empaca cubos en dos cajas diferentes de grantamaño. Una caja contiene 210 cubos y la otra 315 cubos. Las cajas grandesdeben estar totalmente llenas de cubos de un centímetro.

20. a. ¿Es posible que estas dos cajas tengan la misma altura?Explica tu respuesta.

b. Helena quiere que las bases de las cajas tengan las mismas dimensiones para poder apilarlas con más facilidad. ¿Es esto posible? Si es así, ¿cuáles son las dimensiones posibles para la base?

c. ¿Qué información necesitas conocer acerca de los números 210 y 315 para poder contestar las partes a y b anteriores?

Learning Is Fun ahora quiere fabricar una caja grande adicional quecontenga 525 cubos.

21. a. ¿Cuáles son las posibles dimensiones de esta caja? Nombra tresposibilidades como mínimo.

b. ¿Es posible fabricar cajas para 210, 315 y 525 cubos con bases de dimensiones iguales? Explica tu respuesta.

c. ¿Cómo puede ayudarte a resolver este problema la descomposiciónen factores primos?


CNúmeros primos


32 Datos y factores

Números primos

En esta sección, usaste los árboles de factores y otros métodos paradescomponer números compuestos en todos los factores posibles comoproducto de factores primos. Los números finales de los árboles sonnúmeros primos.

Números primosLos números primos tienen exactamente dos factores, el número uno y elnúmero mismo.

Números compuestosLos números que no son primos se llaman números compuestos.

El número 1 no es ni un número primo, ni un número compuesto.

Producto de factores

Puedes escribir 150 como un producto de cuatro factores:

150 � 2 � 3 � 5 � 5

Los números 2, 3, y 5 son factores de 150.

También puedes escribir 150 como un producto de dos factores.

150 � 3 � 50

Otro factor de 150 es 50.

Todos los factores de 150 son 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 25, 30, 50, 75 y 150.

Los factores primos de 150 son 2, 3 y 5.

C


Hallar los factores primosHas aprendido dos métodos para hallar todos los factores primos de unnúmero.

Por medio de los árboles de factores puedes hallar todos los factoresprimos de un número.

Este es otro método que puedes usar para hallar todos los factores primosde un número.

140—— 270—— 235—— 57—— 71

Puedes usar todos los números finales para descomponer 140 en todos losfactores posibles como un producto de números primos.

140 � 2 � 2 � 5 � 7Los factores primos de 140 son 2, 5 y 7.

1. Usa un árbol aritmético para calcular 5 � 7 � 4 � 5 � 2.

2. ¿Cuáles de estos números son números compuestos? Explica tu respuesta.

12 19 39 51

75 �

2 � 35

702 �

140



34 Datos y factores

Números primos

3. Usa el método que quieras para descomponer cada número en todoslos factores posibles como un producto de números primos.

a. 99

b. 750

c. 264

4. a. ¿Cuáles son las dimensiones posibles de una caja que puedellenarse completamente con ocho cubos de un centímetro. Nombratres posibilidades como mínimo.

b. ¿Cuáles son las dimensiones posibles de una caja para 50 cubos deun centímetro? Nombra tres posibilidades como mínimo.

Escribe un relato de cinco oraciones similar al anterior que comience así:“Cinco estudiantes tienen cinco amigos. Cada amigo tenía…”. En laconclusión, halla el número total de las cosas que mencionaste enel relato.

C

Siete casas contienen siete gatos.Cada gato mata siete ratones.Cada ratón había comido sieteespigas de cereal.Cada espiga de cereal deberíahaber producido siete hekats de trigo.¿Cuál es el total de todos estoselementos?


Recuerda la Sección B en la cual elevaste números al cuadrado. En estasección, seguirás elevando números al cuadrado usando el contexto del área.

1. a. Dibuja un cuadrado que mida 3 cm por 3 cm.

b. ¿Cuántos cuadrados (1 cm por 1 cm) cubren totalmente elcuadrado que acabas de dibujar?

c. Explica el modo en que la operación de elevar al cuadrado se relaciona con el área del cuadrado que dibujaste en a.

2. a. Copia y completa esta tabla colocando en el área del cuadradolongitudes de lados comprendidas entre 1 cm y 10 cm.

b. ¿Es esta tabla una tabla de razones? Explica, sí o no, ¿por qué?

c. Usa la cuadrícula de la Hoja de actividad del estudiante 3 parahacer una gráfica de la información incluida en tu tabla. Une todoslos puntos con una curva uniforme.

d. Describe la curva de tu gráfica. Explica lo que te indica esta curva.Guarda estas gráficas. Las usarás nuevamente en el problema 7.

Para los problemas del 3 al 7, usa papel cuadriculado en centímetros.

3. a. Dibuja un cuadrado que mida 1 cm por 1 cm.

b. ¿Cuál es el área de este cuadrado?

c. Dibuja un cuadrado de 1––2 cm por 1––2

cm.

d. Usa tus dos dibujos para explicar que 1––2

� 1––2

� 1––4

.

Ahora, observarás cuadrados más grandes.

4. a. Dibuja una cuadrado de 1 1––2

cm por 11––2

cm.

b. Usa este dibujo para calcular el área del cuadrado. (Recuerda la unidad Redistribución.)

Sección D: Cuadrado y raíz cuadrada 35

DCuadrado y raíz cuadrada

Cuadrado

10987654321Longitud del lado

Área del cuadrado (en cm2)


El número 1 1––2

se llama número mixto. Es una combinación de un númeroentero y una fracción.

5. a. Usa un dibujo para calcular el área de un cuadrado cuyos lados tienen 21––

2cm de longitud.

b. Usa un dibujo para calcular 31––2

� 3 1––2

.

c. ¿Qué significa (4 1––2

)2? Calcula (4 1––2

)2.

d. Calcula (5 1––2

)2.

6. Usa los resultados de los problemas 4 y 5 para sumar cinco puntosmás a tu gráfica del problema 2c.

36 Datos y factores

Cuadrado y raíz cuadradaD

Nicole usa el patrón de sus respuestasen el problema 5 para afirmar: “¡Hayun patrón para elevar al cuadradoestas mitades! Mira, si quiero calcular

61––2

� 6 1––2

, simplemente calculo 6 � 7

y luego sumo 1––4

”.

7. a. Muestra cómo puedes usar tu gráfica para comprobar si la ideade Nicole tiene sentido.

b. Usa un dibujo de un cuadrado cuyos lados tienen 6 1––2

cm delongitud para demostrar que Nicole tiene razón. ¿Funcionarásiempre la idea de Nicole? ¿Cómo lo sabes?

c. Usa la idea de Nicole para calcular 9 1––2

� 9 1––2

.

d. Usa tu gráfica del problema 2 para verificar si tu respuesta a c es o no razonable.

e. Usa la misma gráfica para estimar el área de un cuadrado cuyoslados tienen 3.8 cm de longitud.



Actividad

• Usa la Hoja de actividad del estudiante 4. Recorta lacuadrícula de 8 cm por 8 cm. ¿Cuál es el área de esta figura?

• Dobla las cuatro esquinas de manera tal que se junten enel centro. ¿Cuál es la forma de este papel doblado? ¿Cuáles su área? Mide la longitud de cada lado de la figura conuna regla. (Pista: tal vez quieras mirar el reverso de la figura.)

• Dobla las cuatro esquinas nuevas de manera tal que se junten en el centro. Repite este proceso hasta que hayas observado un total de cinco figuras. Cada vez que dobles las cuatro esquinas, escribe el nombre de la figura, el áreade la figura y la longitud de uno de sus lados.

• ¿Cómo cambia el área cada vez que doblas las esquinas para hacer una figura nueva?

En la actividad, mediste la longitud de un lado de un cuadrado de 32centímetros cuadrados (cm2) de área. Mina realizó la misma actividad ymidió una longitud de 5.6 cm. Cuando Justin realizó la actividad, midió unalongitud de 5.7 cm.

8. a. ¿Se parecen tus mediciones a las de Mina y Justin?

b. Cuando Vance observó las respuestas de Mina y de Justin, comentóque se aproximaban a la respuesta correcta pero no eran exactas.¿Cómo lo supo?


Raíz cuadrada

Doblar las esquinas de un cuadrado


9. a. Al principio de la conversación, Kay y Juanita no están de acuerdo.¿Quién crees que tiene la razón? Explícalo.

b. ¿Cómo halló Rick el número 5.6568542 con su calculadora?

38 Datos y factores


Kay, Juanita y Rick están conversando sobre la longitud del ladodel cuadrado que tiene un area de 32 cm2.

—Juanita —dijo Kay—, no creo que 5.6 cm o 5.7 cm seasuficientemente preciso. Si extendemos el número a máscifras decimales, obtendremos la longitud exacta. Probemoscon 5.65, porque está justo en el medio de 5.6 y 5.7.

—Kay, no creo que eso ayude —respondió Juanita—.Un número con decimales multiplicados por sí mismo nuncadará como resultado un número entero.

—Lo calculé con mi calculadora y obtuve 5.6568542 —agregóRick—. Esa tiene que ser la respuesta exacta.

—¡Muy buen trabajo, Rick! —concluyó Kay—. Verifiquémoslo.

5.6568542

Juanita olvidó su calculadora y escribe 5.6568542 en un pedazo de papel.Comienza a analizar si el número de Rick es la longitud exacta del lado delcuadrado. Rick usa su calculadora para verificar el número que halló.

10. a. ¿Cómo puede Juanita verificar el número sin una calculadora? Basándote en el cálculo de Juanita, ¿es el número de Rick la longitud exacta del lado del cuadrado?

b. ¿Cómo pudo Rick verificar el número en su calculadora? Haz lo mismo en tu calculadora. Escribe las teclas que pulsaste y el resultado.


14. a. ¿Para cuáles de los siguientes números resultará más sencillo hallarla raíz cuadrada? Escribe las raíces cuadradas de los números queseleccionaste.

24 49 121 120 81 72

1 64 2.5 0.25 225 525

b. Ten en cuenta los números que no seleccionaste en la parte a. Usa tu calculadora para aproximar las raíces cuadradas de estos números.

15. ¿Cómo puedes saber si puedes obtener un número exacto para una raíz cuadrada?

16. a. ¿Cómo puedes hallar el número entero que más se aproxima a��24? Explica esto sin usar una calculadora.

b. Dibuja una recta numérica desde –6 hasta 6 y ubica los siguientesnúmeros en la recta númerica.

��36 5 �5 ��5 ��5 ��6 ��17 un medio de ��50



��52

Ahora, usarás una calculadora para hallar la longitud del lado deun cuadrado que tiene un área de 52 cm2. La longitud de estelado (o la longitud del lado de cualquier cuadrado) puedehallarse sacando la raíz cuadrada del área.

11. ¿Cómo funciona la tecla de la raíz cuadrada?

12. Usa la Hoja de actividad del estudiante 5 para investigar laraíz cuadrada de 52. Describe en un párrafo los resultadosque hallaste y lo que piensas acerca del valor exacto de ��52.

13. Dibuja un cuadrado que tenga un área de 20 cm2. Explica laestrategia que usaste.


40 Datos y factores


No tan cuadrado

El piso de la habitación de Nathan es de 2 1––2

m por 4 1––2

m. Su habitación se

renovará y el piso se hará nuevamente. Para estimar el costo del nuevo

piso, Nathan estima que su área será aproximadamente de 8 1––4

m2.

17. a. ¿Cómo llegó Nathan a esta respuesta?

b. Demuestra que esta respuesta no puede ser correcta.

c. En papel cuadriculado, traza un dibujo a escala del piso de lahabitación de Nathan. Usa el dibujo a escala para calcular el áreadel piso.




Durante el otoño, Nathan gana dinero adicional trabajando en el manzanar.En una hora, llena 3 1––

2fanegas de manzanas. ¿Cuántas fanegas habrá

llenado luego de trabajar 6 1––2

horas?

Una solución a este problema implica calcular 3 1––2

� 6 1––2

. A pesar de

que entran en juego las fanegas de manzanas y las horas, puedes usar

el modelo del área para hacer el cálculo. En este caso, el área tiene

3 1––2 � 6 1––2

, y el rectángulo tiene 3 1––2

por 6 1––2

.

6

1 2

183

1 2

18. a. Copia el modelo del área anterior y usalo parahallar el número de fanegas de manzanas queNathan habrá llenado luego de trabajar durante6 1––

2horas.

b. Usa el modelo del área para calcular

3 1––2

� 4 1––2

.

c. Usa el modelo del área para calcular

5 1––2

� 11 1––2

.


42 Datos y factores

Cuadrado y raíz cuadrada

CuadradoPara hallar el área de un cuadrado puedes elevar al cuadrado las longitudesde sus lados. Por ejemplo, si la longitud del lado de un cuadrado es 5 cm,entonces el área es 5 cm � 5 cm, o 52 cm2, o 25 cm2.

Raíz cuadradaSi conoces el área de un cuadrado puedes hallar la longitud del lado delcuadrado “sacando la raíz cuadrada” del área. “Sacar la raíz cuadrada” delárea y “hallar la raíz cuadrada” del área son dos maneras diferentes deexpresar el mismo concepto.

Por ejemplo:

Si el área es 52 m2, entonces la longitud del lado es ��52 m. Por medio de la �� tecla de tu calculadora, hallas que ��52 ≈7.211.

Puedes escribir la longitud del lado ≈ 7.2 m.¡Piensa cómo puedes redondear tu respuesta!

Números mixtosUn número mixto es un número que resulta de la suma de un númeroentero y una fracción.

Por ejemplo, 3 1––2

es un número mixto porque 3 1––2

� 3 � 1––2

.

Puedes usar el modelo del área para multiplicar números mixtos.

3 1––2

� 8 1––2

Las cuatro partes dan un total de 29 3––4

(24 � 4 � 1 1––2

� 1––4

).

Por lo tanto 3 1––2

� 8 1––2

� 29 3––4

.

D

52 m2

8

1

4

3

12

12

1 224

14



1. a. ¿Cuál es la base en 25? b. ¿Cuál es el exponente en 25?

c. Calcula 25.

2. ¿Cuáles son las longitudes de los lados de los cuadrados de cada área dada?

a. 1200 in2 b. 120 in2 c. 12 in2

d. 1.2 in2 e. 0.12 in2

f. Compara tus respuestas de la a a la e. ¿Qué observas?

3. En Springville las calles y avenidas forman las manzanas de la ciudad. Las manzanas son muy regulares y se parecen mucho a una cuadrícula. Cada manzana de Springville tiene, por lo general, 1––8 de milla de largo.

a. ¿Cuál es el área de una manzana de la ciudad?

b. Calcula 3––8

� 1 1––2.

4. Calcula 3 1––2

� 2 1––3

.

1––8

milla

En este patrón puedes ver cuatrocuadrados. Sin hacer mediciones o cálculos, ¿qué relación observas entre los cuadrados rojos?

Halla el área y las longitudes de los lados de cada uno de los cuatro cuadrados. Compara el área y la longitud de los lados. ¿Qué otras relaciones observas?


44 Datos y factores

Sissa inventó el juego de ajedrez en la India durante el siglo VI.

El soberano de Sissa estaba tan satisfecho con el nuevo juego que leofreció a Sissa una recompensa en oro.

Sissa solicitó una recompensa en arroz y sugirió que se le diera arrozdurante 64 días (el número de cuadrados en el tablero de ajedrez). Sissaadoraba los patrones y pidió:

un grano de arroz durante el primer día,dos granos de arroz durante el segundo día,cuatro granos de arroz durante el tercer día,ocho granos de arroz durante el cuarto día,y así sucesivamente, duplicando el número de granos de arroz cada vez.

¡El soberano estaba satisfecho de que Sissa solicitara una recompensa tan pequeña!

1. a. Estima ¿cuántos granos de arroz recibirá Sissa el día número 64?

b. ¿Qué deberías hacer para calcular el monto total de arroz que Sissaespera recolectar?

c. ¿Qué opinas sobre esta recompensa?

EMás potencias

La leyenda del tablero de ajedrez


Al principio de esta unidad trabajaste con potencias de diez. Escribistefactores repetidos de diez en notación exponencial: 10 � 10 � 10 � 10 está escrito como 104. Puedes escribir números conbases distintas de 10 usando la notación exponencial. Por ejemplo, 125 es5 � 5 � 5, de manera que 125 � 53.

2. Descompone estos números en todos sus factores como producto denúmeros primos. Escribe la descomposición en factores primos usandola notación exponencial.

a. 8 b. 81 c. 1,024

3. a. Calcula 35.

b. ¿Qué número es mayor, 32 o 23? Explica por qué.

c. ¿Qué número es mayor, 42 o 24? Explica por qué.

Sección E: Más potencias 45

EMás potencias


Puedes resolver el problema usando potencias de base dos. Se ha creadoesta tabla para los primeros diez días de los 64 durante los cuales Sissarecibirá arroz.

4. a. Describe un patrón para las primeras dos columnas.

b. Puedes escribir el número de granos de arroz para el primer díacomo una potencia de dos. ¿Cómo? Explica tu razonamiento.

5. Explica el modo en que puedes hallar la respuesta al problema del arroz en 1a si usas la notación exponencial.

Usa el patrón de las últimas tres columnas como ayuda para contestarestas preguntas:

6. a. ¿Cuál es el número total de granos después de cinco días?, y,¿luego de seis días?

b. ¿Cuántos granos recibirá Sissa el día 11?

c. ¿Cuántos granos recibirá Sissa en total el día 11? Explica tu trabajo.

d. ¿Cuál es la relación entre el número de granos por día y el númerototal de granos?

46 Datos y factores

Más potenciasE

Potencias de base dos

Número de granos de arroz

Día Cada día Suma parcial Total parcial

1 1 1

2 21 2 1 � 2 3

3 22 4 3 � 4 7

4 23 8 7 � 8 15

5 24 16

6 25 32

7 26 64

8 27 128

9 28 256

10 29 512



EMás potencias

El día 19, Sissa tendrá 262,144 granos.

7. a. Escribe este número como una potencia de dos.

b. ¿Cuántos granos en total tendrá el día 19? Explícalo.

c. Escribe tu respuesta a b usando potencias de base dos.

Cinco alumnos usaron potencias de base dos para escribir el número totalde granos luego de 64 días.

Esto es su trabajo.

8. Para cada alumno, explica si el trabajo está bien o mal.

263 – 1 + 263

Bea

264

Cici

2 � 263 – 1

Deron

264

– 1

Eva

20 + 21 + 22 + 23 + 24 + ...... + 263

Ali


48 Datos y factores

Más potenciasE

11. a. Escribe una regla para multiplicar con potencias debase tres.

b. ¿Se puede aplicar tu regla a potencias de basediez? Ilustra esto con un ejemplo.

c. Calcula 52 � 103. ¿Funciona tu regla en este caso?Sí o no, ¿por qué?

Esta tabla se puede usar para hallar productos depotencias de base 3.

9. Explica la manera como puedes usar esta tabla para verificar que el producto de 243 � 729 es 177,147.

10. Usa la tabla para calcular:

a. 9 � 243

b. 6,561 � 6,561

c. 3 � 19,683

Potencias de base tres

Bases diferentes

243 � 729 � 177,147

3 � 3 � 3 � 3 � 3 3 � 3 � 3 � 3 � 3 � 3

324

324

162

...

2

2

En la sección C, usaste dos métodos diferentes paradescomponer un número en todos los factores posiblescomo producto de factores primos.

12. a. Escribe la descomposición en factores primos

de 324.

b. ¿Cuáles son los dos factores primos diferentesde 324?

c. Kathie halla los factores primos de 288 y escribe288 � 25 � 32. Explica qué fue lo que hizo.

d. Escribe tu respuesta como un producto depotencias usando dos factores primos diferentes.


31 3

32 9

33 27

34 81

35 243

36 729

37 2,187

38 6,561

39 19,683

310 59,049

311 177,147

312 531,441

313 1,594,323

314 4,782,969

315 14,348,907

316 43,046,721

317 129,140,163

318

319

320



EMás potencias

La descomposición en factores primos de 400 es 2 � 5 � 2 � 5 � 2 � 2.Puedes escribir la descomposición en factores primos de 400 como unproducto de potencias. Usando los factores primos 2 y 5, ladescomposición en factores primos de 400 es 24 � 52.

13. Escribe la descomposición en factores primos de cada número. Si esposible, usa la notación exponencial para escribir cadadescomposición en factores como un producto de potencias.

a. 216 b. 6,125 c. 1,000

Joshua, Brenda, Verónica y Pete calcularon 10 � 23. Esto es su trabajo.

14. Para cada alumno, explica si el trabajo está bien o mal.

Kian tiene diez cubos y cada uno de ellos mide 2 cm por 2 cm por 2 cm.

15. a. ¿Cuál es el volumen total de los diez cubos de Kian?

b. ¿Cómo se relaciona el problema 15a con el problema 14?

16. a. Calcula 5 � 43.

b. Calcula 32 � 103.

c. Escribe una regla para multiplicar con potencias de bases diferentes.

10 x 23 =

203 = 8,000

Joshua

10 x 23 =

10 x 6 = 60

Brenda

10 X 23 =10 X 8 = 80

Verónica

101 x 23 =

20 4 = 160,000

Pete


50 Datos y factores

Más potenciasE

Al comenzar esta unidad, investigasteel sistema numérico egipcio. Ahora,investigarás cálculos que ellosinventaron hace años y que nosotrosaún usamos hoy en nuestro mundocon calculadoras, computadoras y CD.

Osiris es un granjero egipcio. Es capazde cosechar 75 kg de arroz por día.

De regreso a los egipcios

18. a. Describe cada paso realizado en la tabla de razones.

b. Compara y contrasta ambas estrategias.

c. ¿Cómo puedes hallar 11 � 51 usando los cálculos anteriores?

d. Usa el método de duplicación egipcio para calcular 18 � 51.

17. a. Usa una tabla de razones para hallar cuánto habrá cosechadodespués de 12 días.

b. Escribe una operación de multiplicación que podría resolver esteproblema. Realiza el cálculo.

Los egipcios usaban un método especial Esta es una estrategia similar quede duplicación para multiplicar. probablemente reconozcas.

Ejemplo de la tabla de razones:

1 2 4 8 13

51 102 204 408 663

13 � 51

1✓ 512 102

4✓ 204

8✓ 408

663



EMás potencias

Tanto el método egipcio como el método de la tabla de razones muestrancómo puedes escribir el número 13 como una suma de diferentespotencias de base dos. Como 13 � 1 � 4 � 8, puedes escribir 13 como unasuma de potencias de base dos: 13 � 20 � 22 � 23.

19. a. Usa la respuesta al problema 18c para escribir el número 11 comouna suma de potencias de base dos.

b. Usa la respuesta al problema 18d para escribir el número 18 como una suma de potencias de base dos.

Puedes escribir cualquier número entero como una suma de potencias debase dos. Para hallar estas potencias de base dos, puedes usar una tabla.Toda potencia de base dos no se usa más de una vez. El número meta seubica en la posición izquierda superior de la tabla.

20. a. Explica la información que muestran estos dos esquemas.

b. Usa la Hoja de actividad del estudiante 6 para escribir todos losnúmeros enteros del 1 al 15 como una suma de potencias de base dos.

Acabas de volver a escribir quince números del sistema decimal (base 10)en el sistema binario (base 2).

El número 5 en el sistema binario es 101 y se lee como “uno, cero, uno”. Elnúmero 12 en el sistema binario es 1100. El sistema binario usa sólo dosdígitos: 0 y 1. El prefijo “bi” en binario significa dos.

524 23 22 21 20

1 0 1

1224 23 22 21 20

1 1 0 0

Este es un reloj binario especial con luces azulespequeñas que brillan para mostrar la hora actual.Cada luz está prendida (1) o apagada (0).

21. a. La tercera columna muestra el número 4.¿Cómo podrías explicar esto a alguien?

b. ¿Qué hora muestra el reloj ahora? Muestra tu trabajo.


52 Datos y factores

Más potencias

Productos de potenciasPuedes descomponer cualquier número en todos los factores posiblescomo un producto de factores primos. A veces, cuando los factores serepiten, puedes escribir este número como un producto de potencias. Por ejemplo:

5,625 � 3 � 3 � 5 � 5 � 5 � 5

� 32 � 54

Puedes combinar un producto de potencias con la misma base en una basey una potencia. Por ejemplo:

Si quieres calcular un producto de potencias con bases diferentes, entoncesdebes calcular primero las potencias y luego realizar la multiplicación. Nohay métodos abreviados porque las bases son diferentes. Por ejemplo:

53 � 102

125 � 100, que es 12,500

El sistema binarioEl sistema binario se basa en las potencias de base dos. Existenúnicamente dos dígitos en el sistema binario, 0 y 1. Para escribir un númeroen el sistema binario sólo necesitas escribir el número como una suma depotencias de 2. Por ejemplo:

5 � 4 � 1� 22 � 20

� 22 �0 � 20

� 1 � 22 + 0 � 21 + 1 � 20

En el sistema binario puedes escribir 5 como 1012 (se lee como “uno, cero,uno, base 2”).

E

524 23 22 21 20

1 0 1

32 � 33 � 35

� 3 � 3 � 3 � 353 � 3 2 � 3



1. Escribe 10,000 como un producto de potencias.

2. Escribe la descomposición en factores primos de cada número. Si es posible, usa la notación exponencial para escribir cadadescomposición en factores como un producto de potencias.

a. 288 b. 900 c. 1764

3. Calcula 23 � 52.

4. Usa la tabla con potencias de base tres para calcular:

a. 27 � 81

b. 2187 � 3

c. 1 � 3 � 9 � 27 � 81

d. 94

Compara nuestros números decimales con los números binarios. ¿Por qué piensas que usamos la base diez en lugar de la base dos? Da unarespuesta específica.


31 3

32 9

33 27

34 81

35 243

36 729

37 2,187

38 6,561

39 19,683

310 59,049


1. a. ¿Aproximadamente cuántos años tiene una persona que tiene un millón de segundos de edad?

b. Aproximadamente, ¿cuántos años tiene una persona que tiene milmillones de segundos de edad? Explica la estrategia que usastepara calcular la respuesta.

c. ¿Qué sucedió hace aproximadamente un millón de días? Explicacómo hallaste la respuesta.

En un vuelo transatlántico, la velocidad de un avión es aproximadamente1,000 km por hora. Si fuera posible, un avión que viajara a esta velocidadnecesitaría 16 días para llegar a la luna.

2. Usa esta información para calcular la distancia de la Tierra a la Luna.

La distancia de la Tierra al Sol es de aproximadamente 400 veces ladistancia de la Tierra a la Luna.

3. a. ¿Cuántos días necesitaría el mismo avión para volar desde la Tierrahasta el Sol?

b. ¿Cuál es la distancia (en km) entre la Tierra y el Sol? Escribe turespuesta en notación científica y como un solo número.

4. ¿Cuál es el mayor de los siguientes números? Explica tu razonamiento.

1. ¿Cuál es el menor número natural que tiene exactamente cinco factores? Explica cómo lo hallaste.

400 � 10640 � 1080.4 � 1011

54 Datos y factores

Práctica adicional

Sección Base diezA

Sección FactoresB


No puedes ver el el último dígito de este número de 11 digitos.

2. ¿Qué dígito puedes colocar en la posición abierta para obtener un número:

a. divisible por 5?

b. divisible por 2 y por 5?

c. divisible por 9 pero no por 2?

d. divisible por 2 y por 3?

Puedes escribir el número 10,000 como un producto de dos números en muchas formas diferentes. Estas son dos maneras diferentes:10,000 � 1,000 � 10 y 10,000 � 400 � 25.

3. Escribe 10,000 como un producto de tres números, de modo queninguno de ellos sea divisible por diez. Halla dos posibilidades.

En 1845, Bertrand llegó a la siguiente conjetura:

“Para cada número entero mayor que tres, existe por lo menos un número primo entre ese número y su doble”.


84 355 216 015

1822–1900

4. Comprueba la conjetura deBertrand verificando todos losnúmeros correspondientesmenores que 21. Organiza tutrabajo de forma tal que alguienmás pueda comprender laconjetura de Bertrand.

Joseph Bertrand fue un matemáticofrancés que se interesó por losnúmeros primos, la geometría y laprobabilidad. En 1855, tradujo alfrancés el trabajo de Gauss sobre elanálisis de errores. En 1856, fuedesignado profesor de la ÉcolePolytechnique. Luego, fue tambiénnombrado profesor del Collège deFrance. Desde 1874 hasta el final desu vida, se distinguió como miembrode la Academia de Ciencias de París.


En 1742, el matemático ruso Christian Goldbach llegó a la siguienteconjetura:

“Todo número entero par mayor que dos puede escribirse comola suma de dos números primos”.

Por ejemplo, 8 = 5 + 3.

¡La conjetura de Goldbach ha sido verificada para todos los valores hasta1014, pero aún nadie ha podido probarla!

1. a. Puedes escribir el número par 6 como � 3 � 3 o 6 � 1 � 5. Una deestas sumas no verifica la conjetura de Goldbach. ¿Cuál? ¿Por qué?

b. Puedes verificar la conjetura de Goldbach para 28 con la suma 28 � 23 � 5. ¿Es ésta la única posibilidad? Investiga otrasposibilidades.

c. Verifica la conjetura de Goldbach controlando todos los númerospares menores que 21. Organiza tu trabajo de manera tal quealguien más pueda comprender la conjetura de Goldbach.

56 Datos y factores

Práctica adicional

Sección Números primosC

2. Coloca los ocho números, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 y 7 en losocho vértices de la figura en tres dimensiones de modoque la suma de dos vértices adyacentes cualesquierasea un número primo. Los vértices adyacentes estánconectados físicamente.

Un día primo es aquel en el que tanto el mes como el día son números primos. Por ejemplo, 23 de mayo es un día primo porque (5 y 23) son números primos.

3. a. ¿Cuál es el primero y el último día primo del año?

b. ¿Cuántos días primos hay en un año?

4. Descompone cada uno de los siguientes números en todos sus factorescomo un producto de números primos.

a. 900 b. 2,079 c. 12,121


1. a. Explica cómo puedes usar el modelo del área eneste dibujo para calcular (7 1––

2)2.

b. Usa papel cuadriculado para copiar este dibujoy completar toda la información faltante.

c. Calcula (7 1––2

)2.

2. Elige una estrategia para calcular:

a. (12 1––2

)2

b. (21 1––2

)2

Estos son dos cuadrados y dos rectángulos. El númeroen cada figura indica el área de esa figura. Puedes usarlas cuatro figuras para formar un cuadrado más grande.

3. a. ¿Cuál es la longitud de los lados del cuadradogrande? Muestra tu trabajo y haz un esquemadel cuadrado grande.

b. Supón que puedes modificar compensadamentedos rectángulos idénticos para formar uncuadrado grande. ¿Cuál es el área de estecuadrado? ¿Cuál es la longitud de un lado?

En este dibujo, las figuras de color amarillo oscuro son cuadrados.


Práctica adicional

Sección Cuadrado y raíz cuadradaD

7 12

7 ? ?

? ?12

El área de cada cuadrado está indicada.

4. Explica cómo el área total detodas estas figuras es el cuadrado de un número.

9 cm2

24 cm2

24 cm2

64 cm2

121 cm2

16 cm2

9 cm2


Tres de los siguientes enunciados son verdaderos y tres son falsos.

a. 43 � 82 � 4 � 4 � 4 � 8 � 8 b. (6 1––2

)2 � 36 1––2

c. (11 1––2

)2 � (11 1––2

)3 � (11 1––2

)5 d. 26 � 25 � 230

e. 54 � 24 � 108 f. 34 � 9 � 36

1. Trata de decidir cuáles son verdaderos y cuáles son falsos sin realizarcálculos. Explica tu razonamiento.

2. Descompone los siguientes números en todos sus factores como unproducto de números primos.

a. 10 b. 26 c. 77 d. 50

Durante la clase de matemáticas, el señor Shawn le preguntó a Pedro:“¿Cuántos rectángulos diferentes de 26 pulgadas cuadradas puedes dibujar?”

Pedro respondió rápidamente: “Si los lados son números naturales,entonces hay cuatro posibilidades”.

3. a. ¿En qué posibilidades pensó Pedro? ¿Puedes explicar cómo hizoPedro para contestar tan rápido?

b. ¿Cuántos rectángulos posibles puedes dibujar respectivamente conáreas de 10 in2 y 77 in2? Explica cómo puedes hallar rápidamentetodas las posibilidades.

c. Considera todos los rectángulos posibles con un área de 50 in2. ¿Hallaste todos los rectángulos posibles rápidamente? Explica, sí ono, ¿por qué?

En comunicaciones, electrónica y física, un kilo significa 103.Por ejemplo, 1 kilómetro = 103 metros o 1,000 metros.

En Tecnología de la Información (TI) y en el almacenamiento de datos, unkilo significa 210. Por ejemplo, 1 kilobyte = 210 bytes.

58 Datos y factores

Práctica adicional

Sección Más potenciasE


Esta tabla explica los prefijos kilo, mega y giga.

4. a. Calcula cuántos bytes hay en un kilobyte. Estima tu respuestausando una potencia de base diez.

b. ¿Cuántos bytes hay en un megabyte? Escribe tu respuesta ennotación científica. Estima tu respuesta usando una potencia de base diez. (Puedes usar una calculadora para esto si lo deseas.)

c. ¿Cuántos kilobytes hay en un megabyte? ¿Cómo lo sabes?

La relación entre kilobytes y megabytes se cumple para megabytes ygigabytes. Un gigabyte es mayor que 1,000 veces un megabyte.

d. ¿Cuántos bytes hay en un gigabyte? Escribe tu respuesta como una potencia de base dos.

5. En el problema 21 de la Sección E, aprendiste cómo leer un reloj binario. Haz un esquema de un reloj binario y colorea las luces de modo que la hora que se muestre sea 3:12 p.m.


Práctica adicional

Terminología de la TI

un kilobyte 1 kB � 210 bytes

un megabyte 1 mB� 220 bytes

un gigabyte 1 gB � ..... bytes


1. a. 1,000 � 10 � 10 � 100,000

b. 1,000 � 1,000 � 1,000,000

c. 63.7 � 10 � 637

d. 63.7 � 100 � 6,370

e. 0.58 � 1,000 � 580

2. a. Estos son cinco ejemplos de productos cuyo resultado es mil millones.

1,000 � 100,0001,000 � 1,000 � 1,00010 � 10 � 10 � 10 � 10 � 10 � 10 � 10 � 1010 � 100,000,000100 � 10,000,000Podrías tener otros; verifica con un compañero para asegurarte de que el producto es 1,000,000,000.

b. Estos son cinco ejemplos de productos cuyo resultado es 2,270,000.

Podrías tener otros; verifica con un compañero para asegurarte deque el producto es 2,270,000.

2,270 � 1,00022.7 � 100,000227 � 10,000227 � 100 � 100227 � 10 � 1,000

3. a. 107 o 10,000,000, o diez millones

b. 1010 o 10,000,000,000 o diez mil millones

c. 106 o 1,000,000 o un millón(10 � 100 � 1,000 � 101 � 102 � 103)

d. 109 o 1,000,000,000 o mil millones(1,000,000 � 10,000 � 106 � 104)(1,000 � 1,000,000 � 103 � 106)

4. a. 2.25�104 ➞ 22.5�103 ➞ 225�102 ➞ 2,250�10 ➞ 22,500

b. Verifica el trabajo del compañero que resolvió tu problema.

60 Datos y factores

Respuestas para verificar tu trabajo

Sección Base diezA


5. a. Ambas calculadoras muestran 5.1 y 06; 5.1 es el primer factor entre1 y 10; 06 es el exponente de 10. La diferencia en la segundapantalla es que usa una E para designar el exponente de diez; laprimera muestra el exponente de diez como un número pequeñoen la esquina derecha superior.

b. 5.1 � 106 o 5.1 millones o 5,100,000

1. Sí, los grupos de tres, pero los grupos de seis no funcionan porque lasuma de los dígitos de 945 es 18:9 � 4 � 5 � 18 y 18 es divisible por 3.

No, los grupos de seis no funcionan. “Divisible por 6” significa que elnúmero 945 tiene que ser divisible por 3 y por 2. Como 945 no es unnúmero par, no es divisible por 2 y, por lo tanto, no es divisible por 6.

2. a. 1, 3, 5 y 15

b. 1, 2, 4, 8, 16 y 32

c. 1 y 53

d. 1 y 17

3. a. El número que escribiste puede ser par o impar pero no debe ser un número cuadrado perfecto. Un ejemplo de número que tiene un número par de factores es 20; los factores de 20 son 1, 2, 4, 5, 10 y 20.

b. El número que escribiste debe ser cualquier número cuadradoperfecto. Ejemplos de números con un número impar de factoresson 25 o 100.

c. Un número cuadrado perfecto tendrá siempre un número impar de factores.

4. Hay 10 números cuadrados perfectos del 1 al 100: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49,64, 81 y 100.



Sección FactoresB


1. Hay muchas maneras para estimar con un árbol aritmético. En todoslos casos, tu respuesta final es 1,400.

Estas son dos maneras diferentes:

2. Los números 12, 19, 39 y 51 son todos números compuestos.

Ejemplo de razonamiento: Los números primos tienen exactamente dos factores: 1 y el númeromismo. Los números compuestos son números mayores que uno queno son primos. Una manera de averiguar si un número es un númerocompuesto es usar las reglas de divisibilidad.

12 es un número par, por lo tanto, es divisible por 2 y tiene másfactores que 1 y 12.

19 � 1 � 19; 19 no tiene ningún otro factor más que 1 y 19, por lo tanto, 19 es primo.

39 � 3 � 13; de manera que 39 tiene más factores que 1 y 39.

51 es divisible por 3 porque la suma de sus dígitos es 6, y 6 esdivisible por 3; por lo tanto, 51 tiene más factores que 1 y 51.

62 Datos y factores


Sección Números primosC

5 24

�

�

20

700

�1,400

35

75

�

25

�

�

�

10

200

20

7 45

�

1,400


3. a. 99 � 3 � 3 � 11 b. 750 � 2 � 3 � 5 � 5 � 5

c. 264 � 2 � 2 � 2 � 3 � 11

4. Una estrategia para resolver estos problemas es hallar, en primer lugar, todos los factores del número de centímetros cúbicos.

a. Los factores de 8 son: 1, 2, 4 y 8.

Las tres dimensiones posibles son:1 cm por 1 cm por 8 cm,1 cm por 2 cm por 4 cm y2 cm por 2 cm por 2 cm.

b. Los factores de 50 son: 1, 2, 5, 25 y 50.

Las tres dimensiones posibles son:1 cm por 2 cm por 25 cm,1 cm por 5 cm por 10 cm y2 cm por 5 cm por 5 cm.



2 � 5

10

55 �

3 � 25

75�

75099 � 9 � 11

� (3 � 3) � 11

� 3 � 3 � 11

264

132

66

33

11

1

2

2

2

3

11


1. a. La base es 2.

b. El exponente es 5.

c. 25 � 2 � 2 � 2 � 2 � 2 � 32

2. a. La longitud del lado es ��1200�� ≈ 34.64 in.

b. La longitud del lado es ��120�� ≈ 10.95 in.

c. La longitud del lado es ��12 ≈ 3.46 in.

d. La longitud del lado es ��1.2 ≈ 1.095 in o 1.10 in.

e. La longitud del lado es ��0.12�� ≈ 0.316 in o 0.32 in.

f. Si el área es 100 veces tan pequeña, entonces la longitud del lado es diez veces tan pequeña. Compara, por ejemplo, a y c o c y e.

64 Datos y factores


Sección Cuadrado y raíz cuadradaD

1 milla

1 milla cuadrada 1 milla

una manzana de la ciudad

1 milla 1 2

milla3 8

3. a. El área de una manzana de la ciudad es 1––

64milla cuadrada.

Ejemplo de razonamiento:

Una manzana de la ciudad tiene 1––8

milla por 1––8

milla.

En una milla cuadrada (ver dibujo), puedes colocar ocho filas de ocho manzanas de la ciudad. Esto hace 8 filas � 8 manzanas o 64 manzanas.

Si 64 manzanas de la ciudad entran en una millacuadrada, entonces el área de una manzana de laciudad es 1––

64de una milla cuadrada.

b. 3––8

� 1 1––2

� 36–––64

Esta es una manera para calcular 3––8

� 1 1––2

usando manzanas de la ciudad.

3––8

de milla es equivalente a 3 manzanas de la ciudad.

1 1––2

de milla son 12 manzanas de la ciudad (8 � 4).

3––8

� 1 1––2

es igual a 3 manzanas � 12 manzanas o

a 36 manzanas.

Como 1 manzana de la ciudad tiene 1––64

milla cuadrada,

36 manzanas de la ciudad es 36–––64

de milla cuadrada.


4. 3 1––2

� 2 1––3

� 8 1––6

Un ejemplo de estrategia que usa el modelo del área:

Las cuatro partes dan un total de 8 1––6

, (6 � 1� 1� 1––6

).

1. Existen muchas respuestas posibles. Estos son tres ejemplos:

10,000 � 24 � 54

10,000 � 102 � 102

10,000 � 22 � 52 � 102

Asegúrate de usar un producto de potencias; 10,000 � 104 es una potencia y no un producto de potencias.

2. a. 288 � 2� 2 � 2 � 2 � 2 � 3 � 3� 25 � 32

b. 900 � 2 � 2 � 3 � 3 � 5 � 5� 22 � 32 � 52

c. 1764 � 2 � 2 � 3 � 3 � 7 � 7� 22 � 32 � 72

3. 23 � 52 � 2 � 2 � 2 � 5 � 5� 200

4. a. 27 � 81� 2,187

Explicación:

Puedes usar la tabla para hallar 27 � 33 y 81 � 34

27 � 81 � 33 � 34

� 37

En la tabla, 37 � 2,187.



Sección Más potenciasE

213

3

12

6

1 16

1


b. 2,187 � 3 � 6,561

Explicación:

Puedes usar la tabla para hallar 2,187 � 37 y 3 � 31.2,187 � 3 � 37 � 31

� 38

En la tabla, 38 � 6,561.

c. 1 � 3 � 9 � 27 � 81 � 59,049

Explicación:

Puedes usar la tabla para hallar 1 � 30; 3 � 31; 9 � 32; 27 � 33 y 81 � 34.1 � 3 � 9 � 27 � 81 � 30 � 31 � 32 � 33 � 34

� 310

En la tabla, 310 � 59,049.

d. 38 � 6,561

Explicación:

94 � 9 � 9 � 9 � 9� 32 � 32 � 32 � 32

� 38

En la tabla, 38 � 6,561.

66 Datos y factores



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