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2º Bachillerato – Integrales indefinidas (2ª parte)

Ejercicios resueltos de integrales indefinidas – David Miguel del Río – I.E.S. Europa (Móstoles) Sugerencias: [email protected]

Presta especial atención a las integrales número 60, 61, 65, 70, 73, 76, 79, 81, 87, 95 y 100.

51) ( ) ( ) ( ) Cxxxdx

xx

+−

+−−

=−∫ 2

135

1131

3 23 2

3

RESOLUCIÓN: esta integral es similar a las tres anteriores, por lo que seguiremos la misma estrategia, es decir, trataremos de eliminar la raíz (cúbica en este caso). Haremos el cambio de variable t3=x–1 y desarrollaremos lo que salga: Después desharemos el cambio.

( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Cxxxxx

ttdtttdttt

t

xttxdxdtt

xt

dxxx

+−

+−−

=−

+−

=

=+=+=+

=

−=+==−=

=− ∫ ∫∫

21·3

51·13

213

513

23

533331

11

31

1

3 23 22353

2542

3

3

3

2

3

3

52) Csenxxxdxxxsen ++−=∫ cos)(

RESOLUCIÓN: esta es la integral de un producto. Vamos a resolverla por partes: ∫ ∫−= duvvudvu ···

( ) ( ) Csenxxxxdxxxdxxxx

xvdxxsendv

dxduxu

dxxxsen ++−=+−=−−−=

−==

==

= ∫ ∫∫ coscoscoscoscos

cos)(

)(

53) Cexedxex xxx +−=∫ ·

RESOLUCIÓN: esta es la integral de un producto. Vamos a resolverla por partes: ∫ ∫−= duvvudvu ···

Cexedxexe

evdxedvdxduxu

dxex xxxx

x

xx +−=−=

====

= ∫∫ ·

54) ( ) ( ) ( ) Cxxxsenxxdxxsenxx ++−+=++∫ cos12)(2 22

RESOLUCIÓN: esta es la integral de un producto. Vamos a resolverla por partes:

Necesitaremos reiterar el procedimiento: ∫ ∫−= duvvudvu ···

( ) ( ) ( )( ) ( )( )dxxxxxx

xdxvdxxsendvdxxdu

xxu

dxxsenxx 12coscos2

cos)(12

2

)(2 2

2

2 +−−−++=

−==

+=++=

=++ ∫∫

vamos a reiterar el procedimiento eligiendo como función u, de nuevo, al polinomio. Esto lo hacemos así porque conforme derivemos u irá bajando el grado del polinomio hasta que desaparezca.

( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )[ ]∫∫ −−−+−−++=

−=−==

+=

=+−−−++ dxxsenxsenxxxx

xsenvxdxdvdxduxu

dxxxxxx 2)()(12cos2

)(cos2

12

12coscos2 22

( )( ) ( )( ) ( ) ( ) xxsenxxxxdxxsenxsenxxxx cos2)(12cos2)(2)(12cos2 22 +++++−=−−+−−++= ∫

- web: www.dmdelrio.es 19



podemos agrupar el resultado obtenido agrupando los cosenos:

( ) ( ) ( ) Cxxxsenxxdxxsenxx ++−+=++∫ cos12)(2 22

55) Cxxxdxxx +−=∫ 497lnln

776


Como función u tomaremos el logaritmo. Esto lo hacemos así porque de lo contrario, si fuese dv, habría que integrarlo, lo que no es sencillo.

∫ ∫−= duvvudvu ···

Cxxxxxxdxxxxxdxxxx

xv

dxxdvxdxduxu

dxxx +−=−=−=−=

=

=

=

=

= ∫∫∫ 497ln

771

7ln

71

7ln·

77·ln

7

ln

ln7777

6777

7

66

56) ( ) Cexxdxexx

x ++−

=∫ 27269 32

32


Necesitaremos reiterar el procedimiento: ∫ ∫−= duvvudvu ···

∫∫∫ −=−=

=

===

= dxxeexxdxeexev

dxedvxdxduxu

dxex xxxx

x

xx 3

32

332

3

3

2

32

32

32

33

3

2

vamos a reiterar el procedimiento. Hay que tener cuidado con los signos durante las operaciones:

∫∫∫ +−=

−−=

=

===

=− dxexeexdxeexexev

dxedvdxduxu

dxxeex xxxxxx

x

xx

x3

3323332

3

33

32

92

92

33332

3

3

32

3

Ahora tenemos que integrar la exponencial, que es inmediata. Vamos a hacerla aparte y luego sustituiremos el resultado:

xffxx eeefdxedxe 333

31

31'·

313

31

=

=== ∫ ∫∫

Sustituimos en la expresión antes hallada:

Cexeexexeexdxexeexdxex xxx

xxx

xxx

x ++−=+−=+−= ∫∫ 3332

3332

3332

32

272

9331

92

9392

92

3

en este resultado podemos sacar factor común las exponenciales y agrupar el polinomio: ( ) CexxCexeexdxex

xx

xxx +

+−=++−=∫ 27

269272

92

3

323

33232

57) ( ) ( ) ( ) Cxxxxsenxdxxsenxx +−+−+−=+−∫ 2cos2522

210412

212 323


Necesitaremos reiterar el procedimiento eligiendo como función u, de nuevo, al polinomio. Esto lo hacemos así porque conforme derivemos u irá bajando el grado del polinomio hasta que desaparezca.





( )( )

( ) ( )

( ) ( )∫

∫∫

−++−−=

=−

−−

−+−=

−=

=

−=+−=

=+−

dxxxxxx

dxxxxxx

xv

dxxsendv

dxxduxxu

dxxsenxx

2cos232

2cos122

232

cos22

cos212

2cos2

2

2312

212

23

23

2

3

3

vamos a reiterar el procedimiento con la nueva integral que hemos obtenido. Luego sustituiremos lo hallado:

( ) ( )

( ) ∫

∫∫

−−=

=−−=

=

=

=−=

=−

dxxsenxxsenx

xdxxsenxsenx

xsenv

dxxdvxdxduxu

dxxx

2·12

2232

62

22

223

22

2cos

623

2cos23

2

2

2

2

Sustituimos en el resultado anterior:

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ∫∫

∫∫−−++−−=

−−++−−=

=−−=+−

dxxsenxxsenxxxxdxxsenxxsenxxxx

dxxsenxxsenxdxxsenxx

2·24

2234

2cos122

2·12

22322

2cos122

2·12

2232

212

2323

23

Ahora resolveremos por partes la nueva integral que ha aparecido:

∫∫∫ +−=

−−

−=

−=

=

==

= dxxxxdxxxx

xv

dxxsendvdxduxu

dxxsenx2

cos22

cos22

cos22

cos2·

2cos2

22·

Por fin hemos llegado a una integral inmediata. Basta con multiplicar y dividir por ½ para tener la derivada del argumento del coseno. Aplicamos la regla de integración ∫ = )()'·cos( fsenff

24

2cos2

2cos

212·2

2cos2

2cos2

2cos2

2· xsenxxdxxxxdxxxxdxxsenx +−=+−=+−= ∫∫∫

Ya podemos sustituir el resultado encontrado en la cadena de integrales:

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) Cxxxxsenx

xsenxxxsenxxxxxsenxxxsenxxxx

dxxsenxxsenxxxxdxxsenxxsenxxxx

dxxsenxxsenxdxxsenxx

+−+−+−==

=−+−++−−=

+−−−++−−=

=−−++−−=

−−++−−=

=−−=+−

∫∫

∫∫

2cos2522

210412

296

2cos48

2234

2cos122

24

2cos224

2234

2cos122

2·24

2234

2cos122

2·12

22322

2cos122

2·12

2232

212

32

2323

2323

23

Para expresar el resultado hemos agrupado en seno y coseno de x/2. 58) Cxxxdxx +−=∫ lnln

RESOLUCIÓN: esta integral se resuelve por partes ( ) de la siguiente manera: ∫ −= duvvudvu ··· ∫




Cxxxdxxxxdxxxx

xvdxdvxdxduxu

dxx +−=−=−=

==

=

=

= ∫∫∫ lnlnln

ln

ln

59) ( ) ( ) Cxxarcsenxdxxarcsen +−+=∫ 21·

RESOLUCIÓN: esta integral se resuelve por partes ( ) de la siguiente manera: ∫ −= duvvudvu ··· ∫

( )2

2

1)(·1

)(

xdxxxarcsenx

xvdxdvx

dxdu

xarcsenu

dxxarcsen−

−=

==−

=

=

= ∫∫

la nueva integral que hemos obtenido es una potencial (polinomio 1-x2 elevado a –1/2) donde casi tenemos la derivada de la base (basta con multiplicar y dividir por –2). Utilizaremos para resolverla la

regla de integración ∫ ++

=+

Cnfffn

n

1'·

1

( ) ( ) 221

221

21

21

22

1

21

12

1

212

1'·2

1122

11

xxfffdxxxx

dxx −−=−

−=

−=

−=−−

−=

− ∫∫∫−−

Ahora sustituimos el valor de la integral en el resultado hallado anteriormente:

( ) ( )22

2 1)(·1

)(·1

)(

xxarcsenxx

dxxxarcsenx

xvdxdvx

dxdu

xarcsenu

dxxarcsen −−−=−

−=

==−

=

=

= ∫∫

queda: ( ) Cxxarcsenxdxxarcsen +−+=∫ 21)(·

60) ( ) Cxsenxedxxsenex

x +−

=∫ 2cos)(

RESOLUCIÓN: esta integral se resuelve por partes ( ). Presenta la particularidad de

que al reiterar el procedimiento reaparece la integral inicial. Para terminar de resolverla hay que agrupar las integrales.

∫ −= duvvudvu ··· ∫

( )( ) ∫∫

∫∫

−−=−−−=

=

==−==

=−=

====

=

dxxsenexexsenedxsenxexexseneevdxedvdxxsendu

xu

xdxexsene

evdxedvxdxduxsenu

dxxsene

xxxxxx

x

xxx

x

xx

)(cos)(cos)(

)(cos

cos)(cos

)(

)(

Como se puede ver después de reiterar el procedimiento vuelve a aparecer la integral inicial. Lo que haremos es despejar. De momento tenemos:

∫∫ −−= dxxsenexexsenedxxsene xxxx )(cos)()(

xexsenedxxsenedxxsene xxxx cos)()()( −=+ ∫∫




xexsenedxxsene xxx cos)()(2 −=∫

Cxexsenedxxsenexx

x +−

=∫ 2cos)()(

61) ( ) Cxsenxedxxe

xx

++

=∫ 82393cos3)3cos(

33


Necesitaremos reiterar el procedimiento. ∫ ∫−= duvvudvu ···

( )

∫∫

∫∫∫

−+=

−+=

=

=

==

=

=+=−−=

=

=

−==

=

xdxexsenexexdxexsenexe

ev

dxedv

xdxduxsenu

xdxsenexedxxsenexe

ev

dxedv

xdxsenduxu

dxxe

xxxxxx

x

x

xxxx

x

xx

3cos813273cos33cos333393cos3

3

3cos33

393cos33333cos3

3

333cos

)3cos(

333333

3

3

3333

3

33

Como se puede ver después de reiterar el procedimiento vuelve a aparecer la integral inicial. Lo que haremos es despejar. De momento tenemos:

∫∫ −+= xdxexsenexexdxexxxx

3cos813273cos33cos 3333

xsenexexdxexdxexxxx

3273cos33cos813cos 3333 +=+ ∫∫

xsenexexdxexxx

3273cos33cos82 333 +=∫

Cxsenexexdxe

xxx

++

=∫ 823273cos33cos

333

62) Cexdx

ex

xx ++

−=∫1

RESOLUCIÓN: esta integral se puede resolver por partes. Como función u tomaremos el polinomio, cuya derivación siempre simplifica el polinomio. Como dv tomaremos la exponencial, que es fácil de integrar: ∫ ∫−= duvvudvu ···

( ) ( ) Cex

eexe

exdxe

exdxeex

evdxedvdxduxu

dxxedxex

xxxx

xx

xxx

x

xx ++

−=−−

=−−

=+−

=−−−=

−====

== −−−−

−

−− ∫∫∫∫

111

63) Cxsenxxdxxxsenx ++−

=∫ 82

42cos)cos()(·

RESOLUCIÓN: esta integral tiene un triple producto. Siempre que tengamos el producto de un seno por un coseno podemos recurrir a la fórmula trigonométrica del seno del ángulo doble:

ααα cos22 sensen = . Podemos recurrir a esta expresión multiplicando y dividiendo por 2 en la integral:




dxxsenxdxxxsenxdxxxsenx ∫∫∫ == )2(·21)cos()(·2·

21)cos()(·

Ahora que tenemos la integral de un producto podemos aplicar la integración por partes:


∫∫∫∫ +−

=

−

−−

=−

=

===

== xdxxxxdxxx

xvxdxsendvdxduxu

dxxsenxdxxxsenx 2cos41

42cos2cos

212cos

21·

21

2cos21

2)2(·21)cos()(·

Sólo nos queda resolver la nueva integral que hemos hallado y sustituir el resultado. Para resolver la integral del coseno del ángulo doble multiplicamos y dividimos por 2 para tener la derivada del argumento del coseno. Entonces la integral será inmediata: ∫ = )()cos(' fsenff

xsenxdxxdx 2212cos2

212cos == ∫∫

Sustituyendo en lo que ya habíamos hallado:

xsenxxxdxxxdxxsenxdxxxsenx 221

41

42cos2cos

41

42cos)2(·

21)cos()(· +

−=+

−== ∫∫∫

queda:

Cxsenxxdxxxsenx ++−

=∫ 82

42cos)cos()(·

64) Cxxxdxxx

+−=∫ 4·9ln

2·3ln 3 23 2

3

RESOLUCIÓN: podemos expresar esta integral como producto y utilizar la integración por partes . Luego tomaremos como u el logaritmo, que es más fácil de derivar que de integrar. ∫ −= duvvudvu ··· ∫

∫∫ ∫∫−

−−

−=−=

=

=

=

=

== dxxxxxdxxxx

xv

dxxdv

xdxduxu

dxxxdxxx 3

13 232

32

32

313

1

3 23ln

2·3

23

23·ln

23

ln

·lnln

la integral que tenemos ahora es una inmediata de tipo potencial:

23

32

3 232

31 xxdxx ==∫

−

Ahora sustituimos el valor hallado:

Cxxxxxxdxxxxdxxx

+−=−=−= ∫∫−

4·9ln

2·3

2·3

23ln

2·3

23ln

2·3ln 3 23 23 23 2

313 2

3

65) ( ) ( ) ( )( ) Cxxsenxdxxsen +−

=∫ 2lncoslnln

RESOLUCIÓN: esta integral sería inmediata si el seno fuera de t en vez de ser el seno de un logaritmo. Por eso, como primer paso en la resolución vamos a hacer el cambio de variable t=lnx:




( ) ∫∫ =

==

=

=

= dtetsen

exxdtdxxdxdtxt

dxxsen t

t

)(

ln

ln

hemos necesitado expresar x en función de t, y como t=ln(x) utilizando las leyes de los logaritmos x=et. Ahora tenemos una integral, en función de t, que puede resolver por partes (de hecho resolvimos la

misma integral en el ejercicio 60, y daba ( ) Cxsenxedxxsenex

x +−

=∫ 2cos)( ). Sustituyendo el resultado

obtenemos:

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) Cxxsenxxxsenetsentedtetsen

exxdtdxxdxdtxt

dxxsenxt

t

t

+−

=−

=−

==

==

=

=

= ∫∫ 2lncosln

2lncosln

2cos)(

ln

lnln

Para ver porqué elnx vale x hay que utilizar las leyes de los logaritmos: primero suponemos que elnx=k, y aplicamos logaritmos a la ecuación ln(elnx)=lnk. Ahora aplicamos las leyes de los logaritmos: lnx·lne=lnk, como lne=1 queda lnx=lnk, de donde x=k, es decir como supusimos que elnx=k, entonces elnx=x

66) ( ) Cxxdxxx

x++−=

+−−

∫ 65ln65

52 22

RESOLUCIÓN: esta integral es inmediata. Se trata de una función racional que se puede integrar utilizando la regla de integración ( )+= Cf

ff ln'

∫ :

( ) Cxxfffdx

xxx

++−=

==

+−−

∫∫ 65ln)ln('65

52 22

Esta integral también se puede resolver haciendo un cambio de variable, llamando t a la función f:

( )( ) Cxxt

tdt

dxxdtxxt

dxxx

x++−===

−=+−=

=+−

−∫∫ 65ln)ln(

5265

6552 2

2

2

67) ( ) ( ) Cxxdxxxx

+−+−−=+−∫ 3ln32ln2

652

RESOLUCIÓN: esta integral, como racional que es, se puede intentar resolver utilizando la técnica de fracciones simple. Para ello factorizamos el denominador: x2–5x+6=(x–2)(x–3). Vamos a tratar de expresar el integrando como fracciones simples:

( )( )( ) ( )

( )( )( ) ( )

6532

6532

2332

232365 222 +−−−++

=+−−+−

=−−−+−

=−

+−

=−−

=+− xx

BAxBAxx

BxBAxAxx

BxAxxB

xA

xxx

xxx

Comparando el numerador del quebrado inicial y el final planteamos el sistema:

23032

1−==⇒

=−−=+

BABA

BA

por lo tanto:

∫∫∫∫ −−

−=

−−

−=

+−⇒

−−

−=

+−dx

xdx

xdx

xxdx

xxx

xxxxx

22

33

32

33

6522

33

65 22

ahora tenemos dos integrales racionales inmediatas utilizando la relación: ∫ = )ln(' fff




( ) ( )∫∫∫∫∫ +−−−=−

−−

=−

−−

=+−

Cxxxdx

xdxdx

xdx

xdx

xxx 2ln23ln3

22

33

22

33

652

68) ( ) Cxxdxxx

x+

+−=

+−−

∫ 286ln3

8693 2

2


( )( )( ) ( )

( )( )4224

4224

428693

2 −−−−++

=−−−+−

=−

+−

=+−

−xx

BAxBAxx

BBxAAxxB

xA

xxx


23

23

9243

==⇒

−=−−=+

BABABA

por lo tanto:

∫∫∫∫ −+

−=

−+

−=

+−−

⇒−

+−

=+−

−42

322

34

23

223

8693

423

223

8693

22 xdx

xdxdx

xxdx

xxx

xxxxx


( ) ( ) ( )( )[ ] ( ) Cxxxxxxxdx

xdxdx

xxx

++−

=−−=−+−=−

+−

=+−

−∫∫∫ 2

86ln342ln234ln

232ln

23

423

223

8693 2

2

69) ( ) ( ) Cxxdxxx

+−+−−=+−∫ 4ln2ln

862

2


( )( )( ) ( )

( )( )4224

4224

42862

2 −−−−++

=−−−+−

=−

+−

=+− xx

BAxBAxx

BBxAAxxB

xA

xx


11224

0=−=⇒

=−−=+

BABA

BA

por lo tanto:

∫∫∫∫ −+

−−=

−+

−−

=+−

⇒−

+−−

=+− 424

12

186

24

12

186

222 x

dxxdxdx

xxdx

xxxxxx


( ) ( ) Cxxxdx

xdxdx

xx+−+−−=

−+

−−=

+− ∫∫∫ 4ln2ln4286

22

70) ( ) Cx

xdxxxx

+

−−−=

+−∫ 333ln

23

181223

2

RESOLUCIÓN: esta integral, como racional que es, se puede intentar resolver utilizando la técnica de fracciones simple. Lo primero que podemos hacer es extraer de la integral las constantes que podamos:

dxxxxdx

xxx

∫∫ +−=

+− 9623

181223

22




Ahora factorizamos el denominador: x2–6x+9=(x–3)2 Tenemos una raíz repetida, por lo que vamos a expresar las fracciones simples de la siguiente manera:

( ) ( )( )

963

33

3396 2222 +−+−+

=−

+−=

−+

−=

+− xxBAAx

xBAAx

xB

xA

xxx


3103

1==⇒

=+−=

BABA

A

por lo tanto:

( ) ( ) ( )∫∫∫∫ −+

−=

−

+−

=+−

⇒−

+−

=+− 22222 3

333

33

1963

33

196 x

dxxdxdx

xxdx

xxx

xxxxx

ahora tenemos dos integrales inmediatas. La primera es una racional del tipo: ∫ = )ln(' fff , y la segunda

es una potencial del tipo ∫ ++

=+

Cnfffn

n

1'·

1

que debemos expresar como (x–3)-2 para verla.

( )( ) ( ) ( ) ( )

333ln

1333ln33

333

396

12

22 −−−=

−−

+−=−+−

=−

+−

=+−

−−∫∫∫∫∫ x

xxxdxxxdx

xdx

xdxdx

xxx

Ahora sustituimos este resultado en el primer desglose de la integral:

( ) Cx

xdxxxxdx

xxx

+

−−−=

+−=

+− ∫∫ 333ln

23

9623

181223

22

71) ( ) ( )[ ] Cxxdxx

++−−=−∫ 2ln2ln

42

21

2

RESOLUCIÓN: esta integral, como racional que es, se puede intentar resolver utilizando la técnica de fracciones simple. Ocurre que la factorización no es exacta, pero eso no compromete la eficacia del método de fracciones simples. Podemos factorizar utilizando la relación de diferencia de cuadrados es igual al producto de suma por diferencia: ( ) ( )( )222 2 −+=− xxx Ahora vamos a tratar de expresar el integrando como fracciones simples:

( )( )( ) ( )

( )( )2222

2222

2221

2 −++−++

=−+++−

=−

++

=− xx

BAxBAxx

BBxAAxxB

xA

x


221

221

1220

=−

=⇒

=+−=+

BABA

BA

por lo tanto:

∫∫∫∫ −+

+−

=

−+

+

−

=−

⇒−

++

−

=− 222

1222

12

221

2221

21

222

1

2221

21

22 xdx

xdxdx

xxdx

xxxx


( ) ( )2ln22

12ln221

2221

2221

21

2 −++−

=−

++

−=

− ∫∫∫ xxxdx

xdxdx

x

y, racionalizando el resultado sale:

( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] Cxxxxxxdxx

++−−=+−−=−++−

=−∫ 2ln2ln

422ln2ln

2212ln

2212ln

221

21

2




También podríamos utilizar propiedades de los logaritmos y expresar la solución así:

( ) ( )[ ] Cxxxxdx

x+

+−

=+−−=−∫ 2

2ln422ln2ln

42

21

2

72) C

xarctgdx

x+=

+∫ 22

41

2

RESOLUCIÓN: esta integral se “parece” a la del arcotangente. Únicamente necesitamos que el 4 se convierta en 1. Esto podemos conseguirlo dividiendo numerador y denominador entre 4:

dxx

dxx

dxx

dxx

dxx ∫∫∫∫∫

+

=+

=+

=+

=+

12

141

44

2

41

44

4

41

44

41

41

2

2

2222

ahora tenemos una integral del “tipo arcotangente”, que sería inmediata si dispusiéramos de la derivada de la función, que es ½. Para ello multiplicamos y dividimos por ½ y aplicamos la regla de integración

( )∫ =+

farctgff

21'

Cxarctgdxx

dxx

dxx

+

=

+

=+

=+ ∫∫∫ 22

1

12

21

241

12

141

41

222

Esta integral también se puede resolver haciendo un cambio de variable llamando t a la función:

( ) Cxarctgtarctgtdt

tdt

dxdt

dxdt

xt

dxx

dxx

+

==

+=

+=

=

=

=

=+

=+ ∫∫∫∫ 22

121

142

12

41

22

2

12

141

41

2222

73) ( ) ( ) Cxarctgxxdxxx

x++−

++=

++−

∫ 122

22ln22

1 2

2

RESOLUCIÓN: esta integral podría ser inmediata tipo racional si tuviéramos como numerador la derivada del denominador. Esto podemos conseguirlo manipulando el quebrado:

dxxx

dxxx

xdxxx

xdxxx

xdxxx

xdxxx

x∫∫∫∫∫∫ ++

−++

+=

++−+

=++−+−

=++

−=

++−

224

21

2222

21

22422

21

222222

21

2222

21

221

222222

La primera de las integrales es una racional inmediata (es lo que hemos buscado).

( )22ln22

22 22 ++=

+++

∫ xxdxxx

x

Sustituimos:

( ) dxxx

xxdxxx

dxxx

xdxxx

x∫∫∫∫ ++

−++=++

−++

+=

++−

221

2422ln

21

224

21

2222

21

221

22

222

La segunda de las integrales la podemos manipular para conseguir un tipo arcotangente:

( )( ) ( )1

1'

111

1121

221

2222 +=

=

+=

++=

+++=

++ ∫∫∫∫ xarctgfarctgffdx

xdx

xxdx

xx

Sustituyendo:

( ) ( ) ( ) Cxarctgxxdxxx

xxdxxx

x++−++=

++−++=

++−

∫∫ 1222ln21

221

2422ln

21

221 2

22

2




74) ( ) ( ) Cxxdxxx

++−−

=−−∫ 4

1ln7ln76

22

RESOLUCIÓN: esta integral, como racional que es, se puede intentar resolver utilizando la técnica de fracciones simple. Para ello factorizamos el denominador: x2–6x–7=(x–7)(x+1). Vamos a tratar de expresar el integrando como fracciones simples:

( )( )( ) (

( )( ))

177

177

17762

2 +−−++

=+−−++

=+

+−

=−− xx

BAxBAxx

BBxAAxxB

xA

xx


41

41

270 −

==⇒

=−=+

BABABA

por lo tanto:

∫∫∫∫ +−

−=

+

−

+−

=−−

⇒+

−

+−

=−− 14

174

11

41

741

762

141

741

762

22 xdx

xdxdx

xxdx

xxxxxx


( ) ( ) Cxxxdx

xdxdx

xx++−−=

+−

−=

−− ∫∫∫ 1ln417ln

41

141

741

762

2

podemos sacar factor común y aplicar las leyes de los logaritmos:

( ) ( )[ ] CxxCxxdx

xx+

+−

=++−−=−−∫ 1

7ln411ln7ln

41

762

2

75) Cxxdxxx

x+

++

−+

−+

+=

++−

∫ 253ln

5565

253ln

5565

1332

2

RESOLUCIÓN: esta integral, como racional que es, se puede intentar resolver utilizando la técnica de fracciones simples. Nos vamos a encontrar con el problema de la factorización del denominador. Para encontrar las raíces del denominador lo igualamos a cero y resolvemos la ecuación de segundo grado:

++

−+=++⇒

−−=

+−=±−

=−±−

=⇒=++2

532

5313

253

253

253

2493013 22 xxxx

x

xxxx

Vamos a tratar de expresar el integrando como fracciones simples:

( )

132

532

53

253

253

253

253

253

25313

3222 ++

−+

+++

=

++

−+

−++

++

=+

++

−+

=++

−xx

BAxBA

xx

BBxAAx

x

B

x

Axx

x


5565

5565

32

532

532 +

=+

=⇒

−=−

++

=+BABA

BA

por lo tanto:




∫∫

∫∫

++

++

−+

+=

=

++

+

+−

+

+

=++

−⇒

++

+

+−

+

+

=++

−

2535

565

2535

5652

535

565

253

5565

1332

253

5565

253

5565

1332

22

x

dx

x

dx

dxxx

dxxx

x

xxxx

x


Cxxx

dx

x

dxdxxx

x+

+++

−+

+=

++

++

−+

+=

++−

∫∫∫ 253ln

253ln

5565

2535

565

2535

56513

322

76) ( ) Cx

xdxxx

x+

−−−=

+−+

∫ 2102ln2

4462

2

RESOLUCIÓN: esta integral podría ser inmediata tipo racional si tuviéramos como numerador la derivada del denominador. Esto podemos conseguirlo manipulando el quebrado:

4410

4442

441042

444462

4462

22222 +−+

+−−

=+−+−

=+−+−+

=+−

+xxxx

xxx

xxx

xxx

x

Tenemos:

∫∫∫∫ +−+

+−−

=

+−+

+−−

=+−

+ dxxx

dxxx

xdxxxxx

xdxxx

x44

1044

4244

1044

4244

6222222

La primera de las integrales es una racional inmediata al tener como numerador la derivada del

denominador. Podemos aplicar la regla de integración ( )∫ = fff ln'

( ) ∫∫∫∫ +−++−=

+−+

+−−

=+−

+ dxxx

xxdxxx

dxxx

xdxxx

x44

1044ln44

1044

4244

622

2222

La segunda de las integrales se puede manipular para convertirla en una potencial inmediata:

∫ +=

+

1'

1

nfffn

n

( )( ) ( )

210

1210210

2110

4410 1

222 −

−=

−−

=−=−

=+− ∫∫∫

−−

xxdxxdx

xdx

xx

Sustituyendo queda:

( ) ( ) Cx

xxdxxx

xxdxxx

x+

−−+−=

+−++−=

+−+

∫∫ 21044ln

441044ln

4462 2

22

2

Esta integral también puede hacerse por el método de fracciones simples, teniendo en cuenta que el denominador tiene raíces múltiples: x2-4x+4=(x–2)2 vamos a expresar las fracciones simples de la siguiente manera:

( ) ( )( )

442

22

224462

2222 +−+−+

=−

+−=

−+

−=

+−+

xxBAAx

xBAAx

xB

xA

xxx


10262

2==⇒

=+−=

BABA

A

por lo tanto:




( ) ( ) ( )∫∫∫∫ −+

−=

−

+−

=+−

+⇒

−+

−=

+−+

22222 210

22

210

22

4462

210

22

4462

xdx

xdxdx

xxdx

xxx

xxxxx

ahora tenemos dos integrales inmediatas. La primera es una racional del tipo: ∫ = )ln(' fff , y la segunda

es una potencial del tipo ∫ ++

=+

Cnfffn

n

1'·

1

que debemos expresar como (x–2)-2 para verla.

( )( ) ( ) ( ) ( )

2102ln2

12102ln2210

22

210

22

4462 1

222 −

−−=−−

+−=−+−

=−

+−

=+−

+ −−∫∫∫∫∫ x

xxxdxxxdx

xdx

xdxdx

xxx

Hemos obtenido:

( ) Cx

xdxxx

x+

−−−=

+−+

∫ 2102ln2

4462

2

77) ( ) Cxdxxx

++

=+∫ 2

25ln25

2

2

RESOLUCIÓN: esta integral es una racional en la que casi tenemos como numerador la derivada del denominador, bastaría con multiplicar y dividir por 2. Podemos aplicar la regla de integración

∫ = )ln(' fff

( ) ( ) Cxfffdx

xxdx

xx

++=

==

+=

+ ∫∫∫ 25ln21ln'

252

21

252

22

También podemos resolver esta integral haciendo un cambio de variable, llamando t a la función:

( ) ( ) Cxttdt

t

dt

xdxdtxdxdt

xtdx

xx

++

====

=

=+=

=+ ∫ ∫∫ 2

25lnln21

212

2

225

25

22

2

78) ( ) ( )[ ] Cxxxxdxxxx

++−−

++=−++

∫ 63ln3ln9110

391 3

2

24

RESOLUCIÓN: esta integral es una racional en la que el grado del numerador es mayor que el grado del denominador. Por ello lo primero es dividir los polinomios.

99110

91

22

2

24

−++=

−++

xx

xxx

Sustituyendo en la integral:

∫∫∫∫∫∫ −++=

−++=

−++=

−++ dx

xxxdx

xdxdxxdx

xxdx

xxx

99110

399110

99110

91

2

3

22

22

2

24

Esta nueva integral la podemos resolver por la técnica de fracciones simples. Para ello hay que factorizar el denominador: (x2-9)=(x+3)(x–3). Vamos a tratar de expresar el integrando como fracciones simples:

( )( )( ) ( )

( )( )3333

3333

33991

2 +−−++

=+−−++

=+

+−

=− xx

BAxBAxx

BBxAAxxB

xA

x


691

691

91330 −

==⇒

=−=+

BABABA

por lo tanto:




∫∫∫∫ +−

−=

+

−

+−

=−

⇒+

−

+−

=− 36

9136

913

691

3691

991

3691

3691

991

22 xdx

xdxdx

xxdx

xxxx


( ) ( )3ln6913ln

691

3691

3691

991

2 +−−=+

−−

=− ∫∫∫ xx

xdx

xdxdx

x

podemos sacar factor común y aplicar las leyes de los logaritmos:

( ) ( )

+−

=+−−=−∫ 3

3ln6913ln

6913ln

691

991

2 xxxxdx

x

Ahora podemos sustituir:

Cxxxxdx

xxxdx

xxx

+

+−

++=−

++=−++

∫∫ 33ln

69110

399110

391 3

2

3

2

24

79) ( ) ( ) ( ) Cxxxdxxxxxx

++

+−

−+−=−−+−−

∫ 53ln81

52ln2ln10

12436116

23

2

RESOLUCIÓN: esta integral, como racional que es, se puede intentar resolver utilizando la técnica de fracciones simple. Para ello factorizamos el denominador: x3+3x2–4x–12=(x+2)(x–2)(x+3). Vamos a tratar de expresar el integrando como fracciones simples:

( )( )( )( ) ( ) ( )

12434665

3224656

32212436116

23

2

222

23

2

−−+−+−+++++

=

=+−+

−++++−+=

++

−+

+=

−−+−−

xxxCBAxBAxCBA

xxxCCxBBxBxAAxAx

xC

xB

xA

xxxxx


581

5110

6466115

6=

−=−=⇒

−=−+−−=+=++

CBACBA

BACBA

por lo tanto:

∫ ∫∫

∫∫

++

−−

+−=

=

++

−

−

++

−=

−−+−−

⇒+

+−

−

++

−=

−−+−−

3581

251

210

3581

251

210

12436116

3581

251

210

12436116

23

2

23

2

xdx

xdx

xdx

dxxxx

dxxxxxx

xxxxxxxx

ahora tenemos tres integrales racionales inmediatas utilizando la relación: ∫ = )ln(' fff

( ) ( ) ( ) Cxxxxdx

xdx

xdxdx

xxxxx

+++−−+−=+

+−

−+

−=−−+−−

∫ ∫∫∫ 3ln5812ln

512ln10

3581

251

210

12436116

23

2

80) ( ) ( ) ( ) Cxxxdxxxx

xx+

−+

++−=

+−−−−

∫ 53ln23

52ln71ln

6521127

23

2

RESOLUCIÓN: esta integral, como racional que es, se puede intentar resolver utilizando la técnica de fracciones simple. Para ello factorizamos el denominador: x3–2x2–5x+6=(x+2)(x–3)(x–1). Vamos a tratar de expresar el integrando como fracciones simples:




( )( )( )( ) ( ) ( )

6526234

1326234

1326521127

23

2

222

23

2

+−−−−+−+−+++

=

=−−+

−−+−+++−=

−+

−+

+=

+−−−−

xxxCBAxCBAxCBAxxx

CCxCxBBxBxAAxAxxC

xB

xA

xxxxx


1523

57

1162324

7===⇒

−=−−−=−+−

=++CBA

CBACBACBA

por lo tanto:

∫ ∫∫

∫∫

−+

−+

+=

=

−+

−+

+=

+−−−−

⇒−

+−

++

=+−−

−−

13523

257

11

3523

257

6521127

11

3523

257

6521127

23

2

23

2

xdx

xdx

xdx

dxxxx

dxxxx

xxxxxxxx

xx


( ) ( ) ( ) Cxxxxdx

xdx

xdxdx

xxxxx

+−+−++=−

+−

++

=+−−

−−∫ ∫∫∫ 1ln3ln

5232ln

57

13523

257

6521127

23

2

81) ( ) ( ) Carctgxxxxxdxxxx

xxxx+−++−++=

−+−+−++

∫ 1ln1ln331

1242 2223

234


143532

11242

23

2

23

234

−+−+−

++=−+−

+−++xxxxxx

xxxxxxx


∫∫

∫∫∫∫∫

−+−+−

++=−+−

+−++=

=−+−

+−++=

−+−

+−++=

−+−+−++

dxxxxxxxxdx

xxxxxxx

dxxxxxxdxxdxdx

xxxxxxdx

xxxxxxx

14353

14353

22

143532

143532

11242

23

22

23

22

23

2

23

2

23

234

Esta nueva integral la podemos resolver por la técnica de fracciones simples. Para ello hay que factorizar el denominador: (x3–x2+x–1)=(x–1)(x2+1). Vamos a tratar de expresar el integrando como fracciones simples teniendo en cuenta que uno de los polinomios es de segundo grado:

( )( )( ) ( ) ( )

( )( )1111111435

2

2

2

22

223

2

+−−++−++

=+−

−+−++=

++

+−

=−+−

+−xx

NAxNMxMAxx

NNxMxMxAAxx

NMxxA

xxxxx


1234

35

−===⇒

=−−=+−

=+NMA

NANMMA

por lo tanto:

∫∫∫∫ +−

+−

=

+−

+−

=−+−

+−⇒

+−

+−

=−+−

+− dxxx

xdxdx

xx

xdx

xxxxx

xx

xxxxxx

112

13

112

13

1435

112

13

1435

2223

2

223

2

la primera de las integrales es una racional inmediata que podemos resolver con: ∫ = )ln(' fff




( )1ln1

−=−∫ xxdx

En la segunda de las integrales podemos separar el quebrado y luego la integral en resta de integrales:

( ) ( )xarctgxdxx

dxxxdx

xx

−+=+

−+

=+−

∫∫∫ 1ln1

11

2112 2

222

Ahora podemos sustituir todos estos resultados:

( ) ( ) Cxarctgxxxx

dxx

dxxx

xdxxxdx

xxxxxxxdx

xxxxxxx

+−++−++=

=+

−+

+−

++=−+−

+−++=

−+−+−++

∫∫∫∫∫)(1ln1ln33

11

12

133

14353

11242

22

222

23

22

23

234

82) ( ) Cxxxdxxxx

xx+−−−=

−−−−−

∫ 322ln322

243 2323

2

RESOLUCIÓN: esta integral es una racional en la que casi tenemos como numerador la derivada del denominador, bastaría con multiplicar y dividir por 2. Podemos aplicar la regla de integración

∫ = )ln(' fff

( ) ( ) Cxxxfffdx

xxxxx

+−−−=

==

−−−−−

∫∫ 322lnln'322

243 2323

2

También podemos resolver esta integral haciendo un cambio de variable, llamando t a la función:

( ) ( ) ( ) Cxxxttdt

dxxxdtxxxt

dxxxx

xx+−−−===

−−=−−−=

=−−−

−−∫∫ 322lnln

243322

322243 23

2

23

23

2

83) ( ) ( ) Cxxxxxx

dx+

−+

−−=

+−∫ 33ln

22ln

6ln

65 23

RESOLUCIÓN: esta integral, como racional que es, se puede intentar resolver utilizando la técnica de fracciones simple. Para ello factorizamos el denominador: x3–5x2+6x=x(x–3)(x–2). Vamos a tratar de expresar el integrando como fracciones simples:

( )( )( ) ( ) ( )

xxxAxCBAxCBAxxx

CxCxBxBxAAxAxxC

xB

xA

xxx

656325

233265

23651

23

2

222

23

+−+−−−+++

=

=−−

−+−++−=

−+

−+=

+−


21

31

61

160325

0−

===⇒

==−−−

=++CBA

ACBA

CBA

por lo tanto:

∫ ∫∫

∫∫

−−

−+=

=

−

−

+−

+=+−

⇒−

−

+−

+=+−

221

331

61

221

331

61

651

221

331

61

651

2323

xdx

xdx

xdx

dxxxx

dxxxxxxxxxx


( ) ( ) Cxxxxdx

xdx

xdx

xxxdx

+−

−−

+=−

−−

+=+− ∫ ∫∫∫ 2

2ln3

3ln6

ln22

133

161

65 23




84) ( )( ) C

xarctgarctgx

xxdx

+−

=++∫ 6

22

41 22

RESOLUCIÓN: esta es una integral racional que podemos intentar por fracciones simples. Si conseguimos separar los dos factores podemos tratar de encontrar integrales del tipo arcotangente. Por eso vamos a tratar de expresar el integrando como fracciones simples de la siguiente manera:

( )( ) ( )( )( ) (

( )( ))

414

414

41411

22

2

22

22

2222 +++++

=++

+++=

++

+=

++ xxBAxBA

xxBBxAAx

xB

xA

xx


31

31

140 −

==⇒

=+=+

BABABA

por lo tanto:

( )( ) ( )( )

∫ ∫ ∫ ∫∫∫∫

∫∫

+

−+

=+

−+

=+

−+

=+

−+

=

=

+

−

++

=++

⇒+

−

++

=++

12

22121

131

12

121

131

44

431

131

431

131

431

131

411

431

131

411

22222222

22222222

x

dx

xdx

xdx

xdx

x

dx

xdx

xdx

xdx

dxxx

dxxxxxxx

∫

ahora tenemos dos integrales racionales inmediatas utilizando la relación: ∫ =+

)(1

'2 farctgff Queda:

( )( ) ( ) C

xarctgarctgxxarctgxarctgx

dx

xdx

xxdx

+−

=

−+=

+

−+

=++ ∫∫∫ 6

22

2611

31

12

22121

131

412

2222

85) ( ) ( ) Cxxxdxxxx

x+

−+

−−=

+−+

∫ 64ln41

31ln7

2ln

4525

23

2

RESOLUCIÓN: esta integral, como racional que es, se puede intentar resolver utilizando la técnica de fracciones simple. Para ello factorizamos el denominador: x3–5x2+4x=x(x–1)(x–4). Vamos a tratar de expresar el integrando como fracciones simples:

( )( )( ) ( ) ( )

xxxAxCBAxCBAxxx

CxCxBxBxAAxAxxC

xB

xA

xxxx

45445

41445

414525

23

2

222

23

2

+−+−−−+++

=

=−−

−+−++−=

−+

−+=

+−+


641

37

21

24045

5=

−==⇒

==−−−

=++CBA

ACBA

CBA

por lo tanto:




∫ ∫∫

∫∫

−+

−−=

=

−+

−

−

+=+−

+⇒

−+

−

−

+=+−

+

4641

137

21

4641

137

21

6525

4641

137

21

4525

23

2

23

2

xdx

xdx

xdx

dxxxx

dxxxx

xxxxxxx

x


( ) ( ) Cxxxxdx

xdx

xdxdx

xxxx

+−

+−

−=−

+−

−=+−

+∫ ∫∫∫ 6

4ln413

1ln72

ln46

4113

721

4525

23

2

86) ( ) ( ) Carctgxxxxdxxx

+−+

−−

+=−∫ 24

1ln4

1ln14

4


111

1 44

4

−+=

− xxx


∫∫∫∫ −+=

−+=

−dx

xdxdx

xdx

xx

11

111

1 444

4

Esta nueva integral la podemos resolver por la técnica de fracciones simples. Para ello hay que factorizar el denominador: (x4–1)=(x–1)(x+1)(x2+1). Podemos tratar de encontrar integrales del tipo racional y del tipo arcotangente. Por eso vamos a tratar de expresar el integrando como fracciones simples de la siguiente manera:

( )( )( )( ) ( ) ( )

1

11111111

4

2

2

22323

24

−−−++−++

=

=++−

−+−+−++++=

++

++

−=

−

xCBAxCBAxBAxxx

CCxBBxBxBxAAxAxAxxC

xB

xA

x


21

41

41

10

0−

=−

==⇒

=−−=+−

=+CBA

CBACBABA

por lo tanto:

∫ ∫∫

∫∫

+−

+−

−=

=

+

−

++

−

+−

=−

⇒+

−

++

−

+−

=−

121

141

141

121

141

141

11

121

141

141

11

2

2424

xdx

xdx

xdx

dxxxx

dxxxxxx

ahora tenemos dos integrales racionales inmediatas utilizando la relación: ∫ = )ln(' fff y otra integral

tipo arcotangente, también inmediata utilizando la relación: ( )∫ =+

farctgff

21'

( ) ( ) Carctgxxxxxdx

xdx

xdxxdx

xx

+−+

−−

+=+

−+

−−

+=− ∫ ∫∫∫ 24

1ln4

1ln12

114

114

11 24

4




87) ( )( )( ) ( ) ( ) ( ) Cxarctgxxdxxxxxxxx

++−−++=+++−

+++∫ 522ln2ln

261022852182

2

23

RESOLUCIÓN: Esta integral la podemos resolver por la técnica de fracciones simples. Para ello ya tenemos factorizado el denominador: (x–2)(x+2)(x2+10x+26). Vamos a tratar de expresar el integrando como fracciones simples teniendo en cuenta que uno de los polinomios es de segundo grado:

( )( )( )

( )( )( )( ) ( ) ( ) (

( )( )( ))

261022452524646812

261022445268524612

261022261022852182

2

23

2

232323

22

23

+++−−−+−+++++++

=

=+++−

−−++−++++++=

=++

++

++

−=

+++−+++

xxxxNBAxMBAxNBAxMBA

xxxxNMxNxMxBBxBxBxAAxAxAx

xxNMx

xB

xA

xxxxxxx


2011

845252524646

188122

−====

=−−=−+=++=++

NMBA

NBAMBANBAMBA

por lo tanto:

( )( )( )

( )( )( ) ( ) ( ) ∫∫∫∫∫ ++−++−=

++−

++

−=

+++−+++

⇒

⇒++

−+

++

−=

+++−+++

261022ln2ln

26102

22261022852182

26102

21

21

261022852182

222

23

22

23

xxdxxx

xxdx

xdx

xdxdx

xxxxxxx

xxxxxxxxxxx

Ahora tenemos que resolver la integral racional, que es del tipo arcotangente. Esto se puede ver cuadrando el denominador:

( ))5()(

1'

152610 222 +=

=

+=

++=

++ ∫ ∫∫ xarctgfarctgff

xdx

xxdx

Sustituyendo queda:

( )( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Cxarctgxxxxdxxxdx

xxxxxxx

++−++−=++

−++−=+++−

+++∫∫ )5(22ln2ln

261022ln2ln

261022852182

22

23

88) ( ) Cxsenxsendxxxsen ++=∫ 64cos)(

6433

RESOLUCIÓN: Vamos a tratar de convertir esta integral en una del tipo potencial para poder

resolverla utilizando la regla de integración ∫ ++

=+

Cnfffn

n

1'·

1

12 =x

. Para ello vamos a utilizar la relación

fundamental de la trigonometría: cos2 + senx( ) ( ) ( ) ( )( )

( ) ( )dxxxsendxxxsendxxsenxxsendxxxxsendxxxsen

∫∫∫∫∫

−=

=−==

cos)(cos)(

1cos)(coscos)(cos)(53

232333

Hemos obtenido dos integrales potenciales inmediatas que podemos resolver con la relación de

integración ∫ ++

=+

Cnfffn

n

1'·

1

de la siguiente manera:

( ) ( )44

')(coscos)(44

333 xsenfffdxxsenxdxxxsen =

=== ∫∫∫




y

( ) ( )66

')(coscos)(66


=== ∫∫∫

Estas integrales también pueden resolverse haciendo un cambio el variable t igual a la función:

( ) ( ) 44coscos)(

4433 xsentdtt

dxxdtsenxt

dxxxsen =====

= ∫∫

y

( ) ( ) 66coscos)(

6655 xsentdtt

dxxdtsenxt

dxxxsen =====

= ∫∫

sustituyendo los resultados tenemos resuelta la integral:

( ) ( ) ( ) Cxsenxsendxxxsendxxxsendxxxsen +−=−= ∫∫∫ 6)(

4)(cos)(cos)(cos)(

645333

89) ( ) Cxsenxsendxxxsen +−=∫ 75cos)(

7534



=+

Cnfffn

n

1'·

1

12 =x


fundamental de la trigonometría: cos2 + senx( ) ( ) ( ) ( )( )

( ) ( )dxxxsendxxxsendxxsenxxsendxxxxsendxxxsen

∫∫∫∫∫

−=

=−==

cos)(cos)(

1cos)(coscos)(cos)(64

242434

Hemos obtenido dos integrales potenciales inmediatas que podemos resolver con la relación de

integración ∫ ++

=+

Cnfffn

n

1'·

1

de la siguiente manera:

( ) ( )55

')(coscos)(55


=== ∫∫∫

y

( ) ( )77

')(coscos)(77


=== ∫∫∫


( ) ( ) 55coscos)(

5544 xsentdtt

dxxdtsenxt

dxxxsen =====

= ∫∫

y

( ) ( ) 77coscos)(

7766 xsentdtt

dxxdtsenxt

dxxxsen =====

= ∫∫


( ) ( ) ( ) Cxsenxsendxxxsendxxxsendxxxsen +−=−= ∫∫∫ 75cos)(cos)(cos)(

756434

90) ( ) Cxxdxxxsen ++−=∫ 7cos

5coscos)(

7543



=+

Cnfffn

n

1'·

1

12 =x


fundamental de la trigonometría: cos2 + senx




( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( )dxxsenxdxxsenx

dxxxsenxdxxsenxsenxdxxxsen

∫∫∫∫∫

−=

=−==

)(cos)(cos

cos1)(cos)(coscos)(64

242443

Hemos obtenido dos integrales potenciales casi inmediatas (basta con multiplicar por –1 para tener la

derivada de la base) que podemos resolver con la relación de integración ∫ ++

=+

Cnfffn

n

1'·

1

de la

siguiente manera:

( ) ( )[ ]5

cos5

')(cos)(cos55

444 xfffdxxxsendxxsenx −=

−=−=−−= ∫∫∫

y

( ) ( )7

cos7

')(cos)(cos77

666 xfffdxxxsendxxsenx −=

=−=−−= ∫∫∫


( )( )( )( )

( )55

cos)(cos

55444 xsentdttdtt

dxxsendtdxxsendt

xtdxxsenx −=−=−=−=

=−−==

= ∫ ∫∫

y

( )( )( )( )

( )77

cos)(cos

77666 xsentdttdtt

dxxsendtdxxsendt

xtdxxsenx −=−=−=−=

=−−==

= ∫ ∫∫


( ) ( ) ( ) Cxxdxxsenxdxxsenxdxxxsen ++−=−= ∫∫∫ 7cos

5cos)(cos)(coscos)(

756443

91) ( ) Cxxdxxxsen +−−=∫ 42cos

126cos2cos)4(

RESOLUCIÓN: Dado que integrar un producto es complicado, vamos a tratar de convertirlo en una suma (o resta). Para ello utilizamos las relaciones trigonométricas que convierten productos de senos por cosenos en sumas: ( ) ( ) ( ) ( )BAsenBAsenBAsen −++=cos2

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )dxxsenxsendxxxsenxxsendxxxsendxxxsen ∫∫∫∫ +=−++== 26212424

212cos)4(2

212cos)4(

Ahora podemos separar la integral en suma de integrales;

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )∫∫∫∫ +=+= dxxsendxxsenxsenxsendxxxsen 2216

2126

212cos)4(

Obtenemos dos integrales inmediatas del tipo ( ) ( )∫ −= ffsenf cos' :

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) Cxx

dxxsendxxsendxxsendxxsendxxxsen

+−−=

=+=+= ∫∫∫∫∫2cos

416cos

121

2221

2166

61

212

216

212cos)4(

92) ( ) Cxxdxxxsen ++−=∫ 63cos

189cos6cos)3(

RESOLUCIÓN: Dado que integrar un producto es complicado, vamos a tratar de convertirlo en una suma (o resta). Para ello utilizamos las relaciones trigonométricas que convierten productos de senos por cosenos en sumas: ( ) ( ) ( ) ( )BAsenBAsenBAsen −++=cos2




( ) ( ) ( ) ( )( )

( ) ( )( ) ( ) ( )( )dxxsenxsendxxsenxsen

dxxxsenxxsendxxxsendxxxsen

∫∫

∫∫∫−=−+=

=−++==

392139

21

6363216cos)3(2

216cos)3(

Hemos utilizado la propiedad del seno del ángulo opuesto: ( ) ( )αα sensen −=− Ahora podemos separar la integral en resta de integrales;

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )∫∫∫∫ −=−= dxxsendxxsenxsenxsendxxxsen 3219

2139

216cos)3(

Obtenemos dos integrales inmediatas del tipo ( ) ( )∫ −= ffsenf cos' :

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) Cxx

dxxsendxxsendxxsendxxsendxxxsen

++−=

=−=−= ∫∫∫∫∫3cos

619cos

181

3331

2199

91

213

219

216cos)3(

93) ( ) Csenxxsendxxsenxsen ++−=∫ 21895)4(

RESOLUCIÓN: Dado que integrar un producto es complicado, vamos a tratar de convertirlo en una suma (o resta). Para ello utilizamos las relaciones trigonométricas que convierten productos de senos por senos en sumas: ( ) ( ) ( ) ( )BABABsenAsen −++−= coscos2

( ) ( ) ( ) ( )( )

( ) ( )( ) ( ) ( )( )dxxxdxxx

dxxxxxdxxsenxsendxxsenxsen

∫∫

∫∫∫+−=−+−=

=−++−==

cos9cos21cos9cos

21

54cos54cos215)4(2

215)4(

Hemos utilizado la propiedad del coseno del ángulo opuesto: ( ) ( )αα coscos =− Ahora podemos separar la integral en resta de integrales;

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )∫∫∫∫ +−=+−= dxxdxxxxdxxsenxsen cos219cos

21cos9cos

215)4(

Obtenemos dos integrales inmediatas del tipo ( ) ( )∫ = fsenff cos' :

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) Cxsenxsen

dxxdxxdxxdxxdxxsenxsen

++−=

=+−=+−= ∫∫∫∫∫

219

181

cos219cos9

91

21cos

219cos

215)4(

94) ( ) Cxsenxsendxxx ++=∫ 147

26133cos)10cos(

RESOLUCIÓN: Dado que integrar un producto es complicado, vamos a tratar de convertirlo en una suma (o resta). Para ello utilizamos las relaciones trigonométricas que convierten productos de cosenos por cosenos en sumas: ( ) ( ) ( ) ( )BABABA −++= coscoscoscos2

( ) ( ) ( ) ( )( )

( ) ( )( )dxxx

dxxxxxdxxxdxxx

∫

∫∫∫+=

=−++==

7cos13cos21

310cos310cos213cos)10cos(2

213cos)10cos(

Ahora podemos separar la integral en suma de integrales;

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )∫∫∫∫ +=+= dxxdxxdxxxdxxx 7cos2113cos

217cos13cos

213cos)10cos(

Obtenemos dos integrales inmediatas del tipo ( ) ( )∫ = fsenff cos' :




( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) Cxsenxsen

dxxdxxdxxdxxdxxx

++=

=+=+= ∫∫∫∫∫7

14113

261

7cos371

2113cos13

131

217cos

2113cos

217cos)10cos(

95) Cxtgxxsen

dx+

+=

++∫ 21ln

)cos()(1

RESOLUCIÓN: En este tipo de integrales vamos a utilizar uno de los cambios de variables “mágicos”, que es:

( )

( )

( ) ( ) 222

2

22

42422

2

22

2

22222222

222

12

14

12121

111cos1)(

11cos1coscoscos1coscos1

cos1cos1

2

121

21

21

21

2

tt

tt

ttttt

ttxxsen

ttxtxxxttxttxt

xxxtg

tdtdxdtdxtdtdxxtg

txtg

+=

+=

+

−+−++=

+−

−=−=

+−

=⇒+=+=−⇒+=−⇒=+−

=

+=⇒=+⇒=

+

=

Vamos a sustituir las expresiones del seno y coseno halladas:

∫∫∫∫∫ +=

+=

−+++=

+−

++

+

+=++ t

dtt

dtttt

dt

tt

tttdt

xxsendx

1222

1212

11

121

12

)cos()(1 22

2

2

2

2

Hemos conseguido una integral racional inmediata utilizando la regla de integración: ∫ = )ln(' fff

Cxtgtfff

tdt

xxsendx

+

+=+=

==

+=

++ ∫∫∫ 21ln)1ln()ln('

1)cos()(1

96) Cx

xdxxxsen

++=∫ cos1cos

cos2

3

RESOLUCIÓN: Vamos a utilizar la ley fundamental de la trigonometría: 1cos 22 =+ xsenx( )

∫ ∫∫ ∫∫∫∫ −=−=−

== dxxsendxxxsendx

xxxsendx

xxsendx

xxxsendx

xxsenxsendx

xxsen )(

cos)(

coscos)(

cos)(

coscos1)(

cos)(

cos 22

2

22

2

2

2

2

3

Ahora tenemos dos integrales que son inmediatas (la segunda es obvio). Veamos la primera de ellas:

xx

xfffdxxxsendxxxsendxxxsen sec

cos1

1cos

1')(cos)()(cos)(

cos)( 11

2222 ==

−−=

−

−=−=−−==−−

−−− ∫∫∫∫Ahora sustituimos en la integral:

Cxxxxdxxsendxxxsendx

xxsen

++=−−=−= ∫ ∫∫ cossec)cos(sec)(cos

)(cos 22

3

97) ( ) ( )2

1ln2

1ln3cos

34 senxsenxsenxxsendxxxsen +

+−

−−−=∫

RESOLUCIÓN: Multiplicamos y dividimos por cos(x):

∫∫ ∫∫ −=== xdx

xsenxsenxdx

xxsendx

xx

xxsendx

xxsen cos

1cos

coscoscos

coscos 2

4

2

444




Vamos a hacer el cambio de variable t=sen(x)

∫∫∫ −=

==

=−

= dttt

dtdxxtxsen

xdxxsenxsendx

xxsen

2

4

2

44

1)cos()(

cos1cos

Esta integral es una racional que se podrá resolver por partes, pero primero hay que dividir los polinomios ya que el grado del numerador es mayor que el del denominador:

22

2

4

111

1 tt

tt

−+−−=

−

sustituyendo en la integral:

∫ ∫ ∫ ∫∫ −+−−=

−+−−=

−+−−=

−td

tttdt

tdttdtdt

ttdt

tt

2

3

22

22

2

4

11

311

111

1 ∫

La última integral podemos resolverla por fracciones simples. Para ello factorizamos el denominador así:1-t2=(1+t)(1-t), y expresamos el quebrado de la siguiente manera:

( )( )( ) ( )

( )( )ttBAtBA

ttBtBAtA

tB

tA

t +−++−

=+−−++

=+

+−

=− 11111111

2

Comparando los numeradores planteamos el sistema:

21

21

10

==

=+=−

BABABA

Queda:

)1ln(21)1ln(

21

121

121

121

121

121

121

11

2 ttt

dttdt

tdt

tdtdt

ttdt

t++−

−=

++

−−−

=+

+−

=

++

−=

− ∫∫∫∫∫∫

Vamos a sustituir en la integral anterior:

)1ln(21)1ln(

21

311

31

3

2

3

2

4

tttttdt

ttdttt

++−−−−=−

+−−=− ∫∫

y a deshacer el cambio t=sen(x)

Cxsenxsenxsenxsenttttdxxxsen

+++−−−−=++−−−−=∫ ))(1ln(21))(1ln(

21

3)()()1ln(

21)1ln(

21

3cos

334

98) Cxtgx

dx+=

+∫ 2cos1

RESOLUCIÓN: Vamos a utilizar la fórmula del coseno del ángulo mitad: 2cos1

2αα +

=

cos .

Utilizando esta relación podemos poner que: 2

cos2cos 2 xx =+1

Cxtgdxxdxxdxxxdx

xdx

+=====+ ∫∫∫ ∫∫ 22

sec21

2sec

212

21

2sec

21

2cos2cos1

222

2

La integral de la secante al cuadrado es inmediata.

99) CxxtgCxxtgCxtgarctgxtgdxxx

++−=++−=+

+−=

+∫ 222

222

2cos1cos

RESOLUCIÓN: Esta integral se puede convertir en la integral anterior manipulando el quebrado:

Cxtgxdxdxx

dxx

xdxx

xdxxx

+−==+

−+

+=

+−+

=+ ∫∫∫∫∫ 2cos1

1cos1

1coscos1

11coscos1

cos




Para resolver dxx∫ + cos1

1 repasar el ejercicio 98.

100) Cxtgxtgxsenx

dx+

−−

−=

+−∫ 12

ln22

ln3)(3cos

RESOLUCIÓN: En este tipo de integrales vamos a utilizar uno de los cambios de variables “mágicos”, que es:

( )

( )

( ) ( ) 222

2

22

42422

2

22

2

22222222

222

12

14

12121

111cos1)(

11cos1coscoscos1coscos1

cos1cos1

2

121

21

21

21

2

tt

tt

ttttt

ttxxsen

ttxtxxxttxttxt

xxxtg

tdtdxdtdxtdtdxxtg

txtg

+=

+=

+

−+−++=

+−

−=−=

+−

=⇒+=+=−⇒+=−⇒=+−

=

+=⇒=+⇒=

+

=

Vamos a sustituir las expresiones del seno y coseno halladas:

∫∫∫∫∫ +−=

+−=

++−−=

++

−+−

+=+− 23462

23361

2

31

2311

12

3)(3cos 2222

22

2

2

ttdt

ttdt

tttdt

tt

tt

tdt

xsenxdx

Esta nueva integral se puede resolver por fracciones simples factorizando: t2-3t+2=(t–1)(t–2)

( )( )( ) ( )

232

212

21231

22 +−−−++

=−−

−+−=

−+

−=

+− ttBAtBA

ttBBtAAt

tB

tA

tt

Comparando los numeradores planteamos el sistema:

1112

0=−=

=−−=+

BABABA

queda:

∫ ∫∫∫ −+−−=−

+−

−=

−+

−−

=+−

⇒−

+−−

=+−

)2ln()1ln(212

111

231

21

11

231

22 tttdt

tdtdt

ttdt

tttttt

Sustituimos en la integral original y deshacemos el cambio de variable t=tg(x/2):

Cxtgxtgttttdt

xsenxdx

+

−

+

−

−=−+−−==

+−=

+− ∫∫ 22

ln12

ln)2ln()1ln(233)(3cos 2


David Miguel del Río: mi web personal

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