1924 - Basándose en la analogía entre las ecuaciones del movimiento de una partícula y las de la propagación de una onda L. De Broglie propuso que el movimiento de una partícula está gobernado por la propagación de ciertas “ondas piloto” asociadas a la partícula.

De Broglie postuló que:

* la longitud de onda y la frecuencia de las ondas piloto asociadas con la partícula de momentum p y energía relativista E están dadas por

= h / p

= E / h

* el movimiento de la partícula está regido por la propagación ondulatoria de las ondas piloto.

* Señaló que la condición cuántica para el momento cinético era equivalente a una condición de onda estacionaria.

S = 2 r S = n

2 r = n

2 r = n h /p

p r = n h / 2

L = n h

• Partiendo de la hipótesis de De Broglie se podía prever la existencia de fenómenos de difracción de un haz de partículas.

• En 1927 Davisson y Germer descubrían el fenómeno de difracción de electrones en un cristal (ver Física Moderna, Paul A. Tipler, § 5.2)

• El mismo año G.P. Thomson observó la transmisión de electrones a través de láminas metálicas delgadas (ver Introducción a la Física cuántica, A. P. French y E.F. Taylor, § 2.6)

• En 1930 Stern y Estermann observaron la difracción de los átomos de hidrógeno y helio en un cristal de fluoruro de litio.

La existencia del aspecto ondulatorio sugiere asociar a la partícula una funciónde onda que dependa de las coordenadas de espacio y tiempo, pero la existenciadel aspecto corpuscular (fundamentalmente en la física macroscópica) lleva a la

necesidad de asociar a la partícula un tren de ondas bastante concentrado(paquete de ondas).

Consideremos el caso ficticio de una partícula que se desplaza en un espacio unidimensional

Según la teoría de la integral de Fourier la función de onda (x.t) puede considerarsecomo la superposición de infinitas ondas sinusoidales de longitudes de onda

diferentes y cuyas amplitudes son una cierta función de esta longitud de onda.

Dado

(x) =1

2 -

+ A(k) eikx dk A(x) =

12

-

+ (x) e-ikx dx

(t) =1

2 -

+ A(w) eiwt dw A(w) =

12

-

+ (t) e-iwt dt

con k = 2 / y w = 2

Si x es la longitud aproximada del espectro del tren de ondas y k es la anchuradel espectro de longitudes de onda, el estudio de la integral de Fourier demuestraque

x * k > 1

de forma análoga llegamos a que

t * w > 1

Consideremos un paquete formado por : y 1 = A sen (k x - w t)

y 2 = A sen [(k + k) x - (w + w) t ]

Hallamos Y = y 1 + y 2

Y = 2 A cos ( w /2 t - k /2 x) sen [(k + k/2) x - (w + w/2) t ]

El factor cos ( w /2 t - k /2 x) describe la modulación de la amplitud de laforma resultante. La velocidad con la que se mueve la envolvente viene dada por:

w /2 = 2 fg

k /2 = 2 g

Vg = g fg como entonces Vg = w / k

Para un número grande de ondas en el paquete Vg = d w / d k

De los postulados de De Broglie sabemos que = h / p por lo tanto = E / h

w = 2 E / h

k = 2 p / h

dw = 2 dE / h

dk = 2 dp / h

como Vg = d w / d k llegamos a vg = dE / dP

De la Relatividad tenemos para una partícula E2 = E02 + p2 c2

o sea dE / dp = p c2 / E

dado que p = m V y E = m c2 dE / dp = V

La velocidad de grupo de la onda asociadaes exactamente igual a la velocidad de la partícula

Concluimos entonces

Vfase = = h / p = E / h

Vfase = E / p

E2 = (m0 c2)2 + p2 c2

E = (m0 c2)2 + p2 c2

Sustituyendo

Luego de algunas operaciones llegamos a

Vfase = ( (m0 c2)2 + p2 c2 )/ p

Vfase = 1+ (m0 c / p )2 c