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Leñitas Geométricas

para el Fogón Matemático de los Festivales

De OMA para Profesores y Maestros

en actividad

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“Entender las matemáticas es demostrar formalmente lo que se ve intuitivamente, y ver intuitivamente lo que se demuestra formalmente”. George Polya

La Visualización como Método de Resolución de ProblemasLas transformaciones en el plano

Como los insectos, también las figuras de un plano admiten muchas metamorfosis. Algunas de ellas son trans-formaciones sorprendentes que convierten seres difíciles de manejar en otros mucho más domesticables y fá-cilmente manipulables. Una metamorfosis sin grandes complicaciones es la homotecia, que viene a ser como la imagen de un aburrido crecimiento, pero que, como verás, resuelve problemas curiosos. Otra es la inversión, mucho más original y loca, que convierte circunferencias en rectas unas veces, otras en circunferencias, y que resuelve problemas mucho más complicados con una sencillez increíble.

Homotecia. Imagen del crecimiento

Fijemos un punto O del plano; cada punto P, distinto de O, se va a transformar en un punto P’ situado sobre la recta ʹO P

! "!! a una distancia de O que es el triple de la distancia OP , como indica la figura. Esta es la homo-

tecia de centro O y razón 3.

Es fácil ver cómo se transforman los diferentes habitantes familiares del plano: recta, circunferencia... Una recta que pasa por O, como la OP

! "!!, se estira sobre sí misma a partir de O. Cada uno de sus puntos, al igual

que P, se separa de O, yendo a parar a triple distancia de O sobre la misma recta. El único punto que se queda en su sitio es O. r

S

To T'

S'

r'

Una recta que no pasa por O, como la r, va a parar a otra recta paralela a ella r’, a triple distancia de O que r, ya que si el punto S de r en la figura va a parar a S’ y otro punto T de r va a parar a T', cuando unimos S’ a T', como

OS'OS

= 3= OT 'OT

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Una de las peculiaridades llamativas de la matemática es que principios y observaciones aparentemente simples, después de una elaboración racional no muy complicada, producen enunciados que, cuando uno los ve por primera vez, parecen pertenecer a otro orden de ideas completamente distinto.

Algo parecido ocurre con el fenómeno, aún más sorprendente, de la aplicabilidad de la matemática al mundo de la realidad. Es verdad que los principios sobre los que basamos nuestro edificio matemático los tomamos de la realidad y que las conexiones lógicas de nuestras mentes pretenden imitar de algún modo las leyes del funcionamiento del mundo exterior a ella. Algunos piensan que esto es suficiente para develar el misterio de la aplicabilidad de la matemática. Pero los principios matemáticos de la base son, hasta cierto punto, mutilaciones de una realidad mucho más rica. Igualmente, parece seguro que nuestras leyes lógicas solo nos aproximan muy rudamente el funcionamiento real del mundo exterior. Y, sin embargo, sobre estos principios y con esta lógica nos construimos un edificio mental que luego resulta capaz de predecir fenómenos reales con una exactitud asombrosa. Una enseñanza de la matemática eficaz debería afianzarse en esta asombrosa matemática cultural del siglo xxi.

EN LA PRÁCTICA DOCENTE

Nº 7 - 23 de mayo de 2019

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s 7 Entonces resulta que los triángulos OST y OS’T’ son semejantes, los ángulos en S y S’ son iguales y, por tanto,

ST! "!

y ʹS ʹT! "!!

son paralelas.

Como lo mismo ocurre para cualquier otro punto U que tomemos sobre r, resulta que la transformada de r por esta homotecia es r’, paralela a r por S’ y, por tanto, situada a triple distancia de O que r.

¿Cuál será la fi gura transformada de una circunferencia c de centro C y radio r? Fácil de adivinar, ¿no? Es otra circunferencia tres veces más grande de centro situado sobre OC

! "!!.

O

H c 3rr

C

H'

C'

c'

El centro C va a parar a un punto C’. Un punto H de la circunferencia va a parar a H’, y como

3= O ʹHOH

=O ʹCOC

Entonces resulta que también los triángulos OHC y OH’C’ son semejantes ʹH ʹCHC

= 3

y así, ʹH ʹC = 3HC = tres veces el radio r de c, es decir, H’ está sobre la circunferencia de centro C’ y radio 3r.

Es fácil ver que dos triángulos de lados paralelos no iguales son homotéticos. ¿Cómo se busca su centro de homotecia? Asimismo, es sencillo ver, y a ti te lo dejo, que dos circunferencias cualesquiera de radio distinto son homotéticas siempre. ¿Centro de homotecia? ¿Razón?

Experimentemos en geometría. Los números en los polígonos

Un polígono convexo es aquel que no tiene entrantes, es decir, está todo él al mismo lado de cada uno de sus bordes. Un triángulo es un polígono convexo, un cuadrado también, pero este cuadrilátero no lo es.

La suma de los ángulos de un triángulo es de 180º. La suma de los ángulos de un cuadrado o de un rectángulo es de 4 x 90º = 360º = 2 x 180º. ¿Será 180 un número mágico para esto de los ángulos? ¿Cuánto vale la suma

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s 7 de los ángulos de un pentágono convexo o de un polígono convexo de n lados?

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2

15

4 e3 e2e1

e5

e42

15

4

e4 e3

e2e1

e5

i4 i3i2i1

i5

3

Construye un pentágono, transporta los ángulos para sumar.

Pentágonos convexos y cóncavos

①

⑤ ⑥ ⑦ ⑧

② ③ ④

C CB B B B

BB BK K

G G G

E

E E

F F

H HA I

I

J J L

A

D D

E A

→

→

¿Te sale más o menos 540º? Entonces has medido bien. Observa que 540º = 3 x 180º. De nuevo el 180 de por medio. ¿Por qué tendrá que ser así? Fíjate cómo van las cosas. Vamos a tratar de medir la suma de los ángulos exteriores, es decir, de los señalados en la fi gura siguiente.

3

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4 e3 e2e1

e5

e42

15

4

e4 e3

e2e1

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i4 i3i2i1

i5

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s 7

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s 7 Utilizando un compás, con radio 2 cm, señala bien los arcos cuya suma quieres medir. Observa. Si trasladas

paralelamente todos los arcos hasta tener su centro en un mismo punto 0, está claro que cada uno empieza donde el otro termina y que entre todos forman una circunferencia entera. Así resulta que la suma de todos los ángulos exteriores es 360º = 2 x 180º. Y esto será así también, si hacemos lo mismo, con cualquiera que sea el número de lados del polígono convexo que consideremos.

¿Cuál será ahora la suma de los ángulos interiores en el caso del pentágono convexo? Es decir, ¿cuánto vale i1 + i2 + i3 + i4 + i5 = Si? Observa que i1 + e1 = 180º y así i1 = 180º – e1. Por tanto

i1 + i2 + i3 + i4 + i5 = 5 x 180º – (e1 + e2 + e3 + e4 + e5) = 5 x 180º – 2 x 180º = (5 – 2) x 180º.

Y exactamente del mismo modo, si tienes un polígono convexo de n lados, resulta que la suma de los ángulos exteriores es de 2 x 180º y la suma de los ángulos interiores es de (n – 2) x 180º.

Vamos a hacer más números. ¿Cuántas diagonales hay en un polígono convexo? En un triángulo ninguna. En un cuadrado 2, en un rectángulo 2, en un pentágono convexo 5, en un hexágono convexo 9, en un polígo-no convexo de 10 lados... muchísimas, ¿no? Trazarlas y contarlas es un rollo.

d5 = 5 d6 = 9

Vamos a ver si podemos averiguar sin contar. ¿Cuántas salen de cada vértice V de un polígono de 10 lados? Es claro que los segmentos que van a vértices distintos de V y que no son adyacentes son los que nos dan las diagonales. Adyacentes hay 2 y así las diagonales que salen de V son 10 – 3 = 7. ¿Quiere esto decir que habrá 70 diagonales? Parecen muchas, ¿no? Si por cada vértice contamos 7, entonces cada diagonal queda contada dos veces, una por cada vértice que la diagonal une. Así resulta que el número de diagonales es la mitad de 70, es decir, 35. Hay 35 diagonales en el decágono convexo. ¿Y en el polígono convexo de n lados? Ahora ya

sabes lo que hay que hacer. El número de diagonales será n(n−3)2

= dn .

Comprueba que, efectivamente, si n = 3, d3 = 0; si n = 4, d4 = 2; n = 5, d5 = 5... Sin necesidad de contar sabe-mos que si n = 20, d20 = 170.

Otra cuenta interesante con los números para contar. Tienes un polígono convexo de n lados. Supongamos

que al trazar las n(n−1)2

diagonales no hay tres que pasen por un mismo punto que no sea vértice. ¿Cuál es

el número de puntos interiores que quedan determinados por intersección de las diagonales? Vamos a contar un poco, pintando.

Con n = 4 hay P4 = 1 con n = 5 hay P5 = 5

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con n = 6 hay P6 = 15 con n = 7 ¡ya me pierdo!...

Vamos a tratar de pensar un poco. Cada punto interior intersección de dos diagonales, ¿cómo queda deter-minado? Naturalmente que por las dos diagonales que se cortan en él. ¿Y estas diagonales? Cada una por los dos vértices que une. Así, para cada cuatro vértices A, B, C, D que escojamos de nuestro polígono, estén donde estén, y aunque al unirlos obtengamos seis rectas AB

! "!!, AC! "!!

, AD! "!!

, BC! "!

, CD! "!

, BD! "!!

solo dos de ellas se cortarán en el interior del polígono, las otras lo harán fuera o en el borde. Así, cada cuatro vértices determinan un solo punto interior y cada punto interior intersección de dos diagonales corresponde a un solo grupo de cuatro vértices. Es claro, entonces, que hay tantos puntos interiores de intersección como grupos diferentes de cuatro vértices se puedan formar. ¿Cuántos de estos grupos hay? Elemental:

n4

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟=

n(n−1)(n−2)(n−3)4×3×2×1

= P4

Haciendo cuentas para comprobar, resulta P4 = 1, P5 = 5, P6 = 15, P7 = 35. Como ves, un contar con astucia, sin contar uno a uno, ahorra un montón de trabajo aburrido.

Hay números para contar y números para medir

La Matemática, decía Santaló, se ha dividido tradicionalmente en diversos componentes: en la enseñanza elemental y media son Geometría, Aritmética, Álgebra, Cálculo y Probabilidades; y los límites que las separan no son precisos ni mucho menos, en ello infl uye el carácter de unidad indisoluble de la Matemática, a pesar de las grandes diferencias de detalles. De los distintos componentes, es seguramente la Geometría la que más interviene sobre las demás. En especial, porque aporta la “interpretación geométrica” de sus resultados, a tra-vés de la “intuición visual”, que en Geometría es una necesidad y en las demás una valiosa ayuda.

El primer problema didáctico que se presenta es decidir si conviene enseñar la Matemática como unidad o desenmarañando las trenzas de las distintas ramas. Nunca hubo consenso, pero nosotros –entusiasmados por los Festivales de Problemas– tenemos una clara posición: destacar la unidad de la Matemática.

Desde la Geometría aparecen naturalmente, como ocurrió en la historia, las fracciones, los irracionales y los imaginarios, tal como aprendemos a reconocer las vacas, los caballos o los perros en el campo, sin las defi nicio-nes clásicas de los textos de Biología sobre mamíferos, vertebrados etc., etc. A los números es posible recono-cerlos, familiarizarse y hasta jugar y operar con ellos, como se aprendió en casa a contar y sumar con los dedos. Creemos que antes de sistematizar la Combinatoria uno tiene que adquirir habilidad para contar sin contar.

Un tema conceptualmente tan cautivante como la Aritmética entera, es la aritmética de las fracciones a partir de la aproximación a un número real. La Matemática existe sobre una base muy extendida, y cada profesor debe conocer y manejar los resultados clásicos más importantes para estar en el aula con una actitud expec-tante. En particular, la teoría de las fracciones continuas, que hoy en día se usa repetidamente para calcular los valores de las funciones con la ayuda de computadores, puede prestarle la solidez que necesita.

Estas fracciones son un tópico matemático relativamente sencillo. La complejidad que requiere su compren-sión no excede a la de la aritmética elemental. Pero es un tema que juega un papel predominante en el con-texto cultural actual, porque permite aproximar de manera efi ciente a los números irracionales, tan usados en las ciencias y las tecnologías de nuestros días; además, es un método verdaderamente notable para resolver ecuaciones diofánticas, entre otras aplicaciones.

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s 7 Beskin, en su conocido fascículo Fracciones maravillosas, pone de relieve el valor formativo y práctico de la

cuestión y se pregunta: ¿cuál es el procedimiento para estimar el valor de un número real r sin depender de un sistema de representación posicional?

Respondiendo a esta cuestión, no hay dudas: en primer lugar hace falta indicar entre cuáles números enteros

está comprendido el número real r. Por ejemplo, 6127

se encuentra entre 2 y 3; 2 está comprendido entre 1

y 2; π, entre 3 y 4.

Sin duda, es sufi ciente indicar solamente el menor de estos números, por ejemplo: 6127

= 2 + x (0 < x < 1); 2 = 1 + y (0 < y < 1); π = 3 + z (0 < z < 1).

Observemos que esta estimación no está vinculada con la representación decimal de los números enteros.

Ocupémonos del número 6127

. Nuestra estimación “es más de dos” es demasiada imprecisa y sirve únicamen-

te como primera aproximación. Si queremos dar el segundo paso para mejorar la estimación debemos analizar el complemento x. Puesto que este es menor que la unidad, es natural representarlo como una fracción con el numerador 1, entonces lo escribimos así

6127

= 2+ 1x1

.

Nuevamente, si x1 es mayor que la unidad, volvemos a repetir los mismos pasos: separamos la parte entera, etc., etc. Te invitamos a que sigas con atención las transformaciones en estos pasos:

6127

= 2+ 727

= 2+ 1277

= 2+ 1

3+ 67

= 2+ 1

3+ 1

1+ 16

.

En la expresión:a0 +

11

a1 +1

a2 +1

...+ 1

as−1 +1as

Donde a1, a2, a3, …, as son números naturales y a0 es un número natural o cero, todo esto se denomina frac-ción continua. Los números a0; a1, a2, …, as se denominan elementos de una fracción continua. Se puede

decir que hemos desarrollado el número 6127

en fracción continua. Consiste en la repetición de dos pasos.

Paso 1. De un número es separada la parte entera, o sea, se representa como la suma de dos sumandos: un número entero más el resto, menor que la unidad.

Paso 2. El segundo sumando se representa como la unidad dividida por un número mayor que la unidad. A este número se le aplica el primer paso, etcétera.

Antes de ahondar en la teoría de las fracciones continuas, responderemos algunas preguntas frecuentes.

La pregunta ahora es: ¿no es demasiado voluminosa la designación de la fracción continua? En el ejemplo hemos obtenido una fracción de tres pisos, pero si fuera de veinte pisos no entraría en esta hoja de papel.

Justamente es por eso que para las fracciones continuas se usa la siguiente forma de representación:

a0 +1

a1 +1

a2 +1

...+ 1as

0 = a0 ; a1 , a2, ..., as[ ]

Advertir el punto y coma. Subraya que la parte entera a0 es de singular importancia, diferente de los otros números (singular no signifi ca más importante; en nuestro caso, más bien expresa lo contrario).

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s 7 Problema. ¿Cómo se desarrolla un número negativo en fracción continua? Para el desarrollo de un número

negativo en fracción continua existen dos procedimientos. ¡Inténtalo!

Otra pregunta: ¿el proceso de desarrollo de un número a en fracción continua se detiene obligatoriamente? No, puede resultar infi nito. Citemos unos cuantos ejemplos.

Ejemplo 1. Desarrollar 2 en fracción continua.

2 = 1+ 1x1

:

x1 =12−1

= 2+ 1x2;

x2 =12−1

.

Como resultado x2 = x1. Por lo tanto, a partir de este lugar, todo se repetirá, o sea, a3 = a2, a4 = a3, … y así sucesivamente obtenemos:

2 = 1+ 1x1= 1+ 1

2+ 1x2

= 1+ 1

2+ 12+a3

=…

Mientras anotamos 2 en su forma fi nal, porque este “proceso” continúa infi nitamente, obtendremos 2 ≈ 1;2,2,2,…[ ].

Ejemplo 2. En los problemas geométricos se puede buscar el desarrollo en fracción continua de una magnitud geométrica cuyo valor numérico no está dado. Hallemos, por ejemplo, la relación entre la base y el lado lateral de un triángulo isósceles con el ángulo de 108°.

B

A

C

b

a

x1

B1

En el triángulo ABC, los ángulos miden respectivamente 108º, 36º, 36º. Trazamos BB1 = b (está claro que b cabe una vez en a y a < 2b).

Tenemosab=BB1 +B1C

BB1= 1+ B1C

BB1= 1+ 1

x1.

x1 =BB1B1C

=ACB1C

.

Pero el triángulo B1AC es semejante al de partida (calcúlese la magnitud de los ángulos). En la primera fi la

determinamos la relación ab

en la base del lado lateral. En la segunda fi la nos encontramos de nuevo frente al

mismo problema: x1 representa la relación de la base con el lado lateral, en el triángulo de la misma forma. Ya que después del primer paso volvemos a obtener la posición inicial, entonces el proceso será infi nito.

Podemos escribir: ab≈ 1; 1, 1, 1,…[ ] . De modo análogo, se puede demostrar que: a

b≈ 0; 1, 1, 1,…[ ] .

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Modelos para las construcciones geométricas

Determinar el lugar geométrico de los puntos de igual potencia respecto de dos circunferencias (O1r1) y (O2r2) (o desde los cuales pueden trazarse tangentes iguales a esas circunferencias). Es una recta perpendicu-lar a la recta que une los centros de las circunferencias dadas.

Si A es uno de los puntos buscados, AB= AC y AB2= AO1

2− r1

2 y AC2= AO2

2− r2

2 . Por lo tanto: AO1

2− r1

2 = AO22− r2

2 , o: AO12− AO2

2= r1

2 − r22 = constante.

Por consiguiente, A se encuentra en la perpendicular (eje radical) de la recta que une los centros.

O1

O2

r1 r2B

A

C

Para visualizar usando la estrategia de homotecia o inversión1. Construir un triángulo ABC, conocido el lado b, la mediana ma y la altura ha.

2. Construir un triángulo ABC, conocidas la altura ha, la mediana ma y sabiendo que a = 2b.

3. Construir un triángulo ABC conociendo r, a y A. (La r minúscula indica radio de círculo inscripto).

4. Circunscribir un cuadrado a un triángulo equilátero ABC dado, de tal modo que ambas fi guras tengan un vértice en común.

5. Construir un triángulo ABC conociendo A, a y b2 + c2.

6. Construir un triángulo ABC conociendo a, ha y hb.

7. Inscribir en una circunferencia (O, R) los triángulos rectángulos cuyos catetos pasen por un punto M dado.

Modelización: La Matemática Cotidiana

DIRIGE: Dr. Néstor Aguilera

ORGANIZA: OMA. Departamento de Investigación y Docencia.

Del 6 al 9 de julio de 2019 Hotel EDEN de la Falda.Costo de la residencia:$ 6.000.- por persona con estadía y pensión completa. $ 4.800.- por persona sin alojamiento.Pagos en 2 cuotas: 1ra. cuota al inscribirse.2da. cuota al iniciar la Residencia.Inscripción e informes: OMA. Tel 011 4826-6900. C.A.B.A.

R E S I D E N C I A M A T E M Á T I C A