Ejemplo de unidad didáctica

De Pitágoras a ‘Kou ku’

Desarrollo de la unidad didáctica

Actividad 1ª: búsqueda y formulación de los 14 segmentos

de diferente longitud en el geoplano 5x5

(1,0) (2,0) (3,0) (4,0)(1,1) (2,1) (3,1) (4,1)

(2,2) (3,2) (4,2)

(3,3) (4,3)

(4,4)

Actividad 2ª:dibujo de los 8 cuadrados de área diferentes

en el geoplano 5x5

(1,0) (2,0) (3,0)

(4,0) (1,1) (2,1)

(3,1) (2,2)

Actividad 3ª: calculamos mediante triangulación las áreas de los 8

cuadrados diferentes en el geoplano 5x5

(1,0):1 (2,0):4 (3,0):9

(4,0):16 (1,1):2 (2,1):5

(3,1):10 (2,2):8

Actividad 4ª:relacionamos las longitudes de los lados con las

áreas de los cuadrados que generan

(1,0) (2,0) (3,0) (4,0) 1 4 9 16

(1,1) (2,1) (3,1) (4,1) 2 5 10

(2,2) (3,2) (4,2) 8

(3,3) (4,3)

(4,4)

Actividad 5º: conjetura y comprobación de las áreas de los

cuadrados restantes en el geoplano 8x8

(3,2) = 13; (3,3) =18

(4,2) = 20; (4,3) = 25

Actividad 6ª: observamos y analizamos las siguientes tablas

Longitudes Áreas

(1,0) (2,0) (3,0) (4,0); 1 4 9 16

(1,1) (2,1) (3,1) (4,1); 2 5 10 17

(2,2) (3,2) (4,2); 8 13 20

(3,3) (4,3); 18 25

(4,4); 32

DEMOSTRAMOS EL MAL LLAMADO TEOREMA DE PITÁGORAS

“SÍ Y SÓLO SI”: relacionamos los cuadrados construidos sobre los lados con el correspondiente

tipo de triángulo

Si el triángulo es rectángulo:

a2 + b2 = c2

Si el triángulo es obtusángulo:

a2 + b2 ≤ c2

Si el triángulo es acutángulo:

a2 + b2 ≥ c2

Del mal llamado teorema de Pitágoras al TEOREMA DE

'KOU KU'

CARLOS ALONSO ZALDÍVAR El País

13/08/1998

El viaje de Clinton a China ha resultado de lo más interesante, pero antes de hablar de ello veamos un teorema que dice así: si sobre el lado corto -kou- de un rectángulo se construye un cuadrado y sobre el lado largo -ku- otro, la suma de sus áreas resulta igual al área del cuadrado construido sobre la diagonal -shian- del rectángulo.

Sí, tiene usted razón, este teorema no es otro que el de Pitágoras, lo único que pasa es que en Occidente lo conocemos por ese nombre, aunque no poseemos ningún texto de Pitágoras donde figure, mientras que el teorema kou ku figura en el Chou Pei Suang Ching -algo así como la Aritmética Clásica de los Grados y de las Trayectorias Circulares del Cielo-, que, según algunos eruditos, es siglos anterior y, según otros, coetáneo, de la época de Pitágoras.

Los occidentales hemos conocido el teorema de Pitágoras pulcra y brillantemente deducido por Euclides en sus Elementos. Los chinos lo fueron conociendo gracias sobre todo al autor del Chiu Chang Shuan Shu -que quiere decir, Nueve Capítulos de Artes Matemáticas-, donde se presenta en varias formas, entre otras solucionando el siguiente problema, no exento de belleza oriental:

si tenemos un bambú de 10 chih de altura, cuya parte superior está quebrada y toca el suelo a una distancia de 3 chih de la base del brote, ¿a qué altura está roto el bambú?

Ahora volvamos a Clinton. La discusión que en Estados Unidos ha suscitado su viaje a China está siendo rica e interesante. Abarca desde la moral a la geopolítica, pasando por la política tout court y otras muchas cosas que no comentaré.

La moral. Para algunos, las relaciones de Estados Unidos con China plantean, ante todo, una cuestión moral. Los hay, suelen ser de derechas, que ven en China al nuevo imperio del mal que hay que condenar y quieren que Clinton sea el Reagan que lo denuncie. Otros, éstos más bien de izquierdas, no aceptan que China se libere del estigma de Tiananmen hasta que su régimen político sea como el estadounidense, más o menos. Que los chinos vivan hoy en mejores condiciones económicas y políticas que nunca no importa. Lo que importa es que los que quieren protestar no pueden hacerlo como en Estados Unidos. A unos y a otros Clinton les ha jugado una mala pasada diciendo que los cambios en curso en China están "moralmente bien" o que el país "tiene el liderazgo adecuado en el momento adecuado". Semejantes cosas han hundido la moral o han irritado sobremanera a los moralistas. Clinton también ha dicho que en China la reforma política es imprescindible para que progrese la reforma económica y que, incluso, debe precederla, pero esa frase les ha sonado a relativismo moral. Se trata de gente seria que sabe, y que dice, que Rusia, caminando al revés, ha convertido la democracia en cleptocracia, pero eso no les hace pensar dos veces lo que consideran cuestiones de principio. Occidente no puede dar por bueno nada que sea menos democrático que Occidente (hoy), y ya está. Discutible, pero hay que reconocer que pasa en las mejores familias.

Por ejemplo, es tradición occidental considerar que nada en las matemáticas orientales se puede comparar a la geometría deductiva euclidiana. En este sentido vuelve a tener interés el teorema kou ku, también conocido como teorema de Pitágoras. Los chinos lo descubrieron buscando un método para construir ángulos rectos, algo necesario para trazar la planta de una casa o de un templo. Es un teorema que además les ayudó mucho a hacer observaciones astronómicas precisas. Sin embargo, la Grecia clásica (no la Jónica) contempló el teorema de Pitágoras y, en general, las matemáticas con un sentido menos pragmático y más dirigido a la búsqueda del recto pensar y de la verdad. Platón dixit. Claro que el descubrimiento del teorema kou ku dio lugar en la China antigua al desarrollo de métodos para extraer raíces cuadradas, cúbicas y para resolver ecuaciones cuadráticas, métodos que sólo fueron igualados en la matemática europea del XVIII. Pero todo esto no deja de ser un tanto algebraico y empírico, algo que no puede compararse con la pureza de la geometría deductiva de Euclides. Quienes así lo creen deben, sin embargo, reconocer que el teorema kou ku también dio pie a una geometría deductiva china que, más allá de meras relaciones numéricas entre los lados de los triángulos rectángulos, probó, mediante procedimientos geométricos como el ji ju o apilamiento de rectángulos, que figuras con formas distintas pueden tener áreas iguales.

Pero volvamos al viaje de Clinton, ahora, a su repercusión geopolítica. Clinton ha parecido aceptar que al teorema de Pitágoras se le puede llamar teorema kou ku y se ha mostrado condescendiente con métodos como el ji ju, lo cual ha puesto nerviosos a los geopolíticos defensores de la benigna hegemonía universal estadounidense. Ya saben a quién me refiero, a los Kagan (The Benevolent Empire) o los Brzezinski (The Grand Chessboard: American Primacy and Its Geostrategic Imperatives) que hablan de los países europeos como entidades dependientes de Estados Unidos y que se refieren a otros aliados llamándoles vasallos y tributarios, y a los que no son aliados, tildándoles de bárbaros. Todo ello, como puede apreciarse, de sabor muy imperial, como si fuera de la dinastía Ming. Para estos estrategas de status mío, la confraternización de Jefferson Clinton con Jiang Zemin ha borrado lo esencial de este mundo y de esta época, a saber, que China es el más poderoso y ascendente retador potencial de la hegemonía americana. Clinton tuvo un detalle con ellos. Cuando en la Universidad de Pekín le preguntaron si el mundo necesitaba un líder, dijo: "La respuesta corta es sí", y después añadió otra respuesta larga, más multilateralista, que he olvidado.

En el terreno político tout court, la pregunta es qué balance ofrece el viaje de Clinton en materia de comercio, derechos humanos, proliferación y Taiwan. Las respuestas oscilan, pero domina el entendimiento de que se han dado pasos para que el déficit comercial estadounidense con China se corrija, que se ha abierto un diálogo público y respetuoso sobre derechos humanos, que ha habido coincidencia en cooperar para evitar la proliferación nuclear en Asia (India, Pakistán, Corea del Norte) y que el tema Taiwan ha quedado enmarcado en los siguientes términos: Estados Unidos no aceptará el uso de la fuerza contra la isla, pero tampoco apoyará la independencia de Taiwan. Muchos se preguntan si Estados Unidos ha desplazado su relación preferente con Japón hacia China o si ha antagonizado a la India. Clinton no se ha andado con dibujos: la seguridad de Estados Unidos -ha dicho- se ve enormemente reforzada por la cooperación de China, tanto para superar la crisis económica en Asia como para detener la proliferación nuclear en Asia del Sur y mantener la paz en Corea.

En este terreno político, James Baker ha hecho un interesante balance del viaje. Baker cree que ahora hay bases para elaborar una futura política de Estados Unidos respecto a China que cuente con apoyo bipartidista. De Baker, en sus tiempos de secretario de Estado, se decía en Washington que podía atravesar el Potomac sin mojarse. No porque supiera andar sobre las aguas, sino porque sabría elegir para hacerlo el día en que el río estaba helado. No sé si tiene razón, pero apunta bien. Estados Unidos viene dando bandazos en su política hacia China hace bastantes años. Y no sólo en su política china. Eso es malo, malo para ellos y para todos. Clinton, por fin, ha marcado un rumbo. A mi juicio, un buen rumbo. Pero en casa tiene todavía las aguas muy revueltas. No todo el mundo que se deja oír en Washington es tan sensato como Baker. En fin, veremos.

Digo que el rumbo que ha marcado Clinton a la política china es bueno, porque parece haber entendido que el teorema de Pitágoras también se llama teorema kou ku. Es decir, parece haber entendido que si en algo como las matemáticas, que contienen el cuerpo de conocimientos de aceptación más universal, culturas distintas establecen, usan y demuestran un mismo teorema de diferentes maneras, ¿cómo pretender que a China se le puedan dar lecciones?

Claro que no se trata sólo de China. A fin de cuentas, en la Universidad de Columbia hay una tableta de arcilla que, en escritura cuneiforme, contiene 11 filas de números ordenados en columnas: una columna numera la fila; otra da la altura de un triángulo rectángulo; la tercera, la longitud de su base, y la cuarta, la de la hipotenusa. La tablilla es de algún año entre 1800 y 1650 antes de Cristo y procede de lo que hoy es Irak y, en aquel tiempo, Babilonia.

→

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CHOU PEI SUAN CHING

a2

b2

c2

OBJETIVOS DE ETAPA

a) Asumir responsablemente sus deberes, conocer y ejercer sus derechos en el respeto a los demás, practicar la tolerancia, la cooperación y la solidaridad entre las personas y grupos, ejercitarse en el diálogo afianzando los derechos humanos como valores comunes de una sociedad plural y prepararse para el ejercicio de la ciudadanía democrática.

f) Concebir el conocimiento científico como un saber integrado, que se estructura en distintas disciplinas, así como conocer y aplicar los métodos para identificar los problemas en los diversos campos del conocimiento y de la experiencia.

g) Desarrollar el espíritu emprendedor y la confianza en sí mismo, la participación, el sentido crítico, la iniciativa personal y la capacidad para aprender a aprender, planificar, tomar decisiones y asumir responsabilidades.

OBJETIVOS DE ÁREA

2. Reconocer y plantear situaciones susceptibles de ser formuladas en términos matemáticos, elaborar y utilizar diferentes estrategias para abordarlas y analizar los resultados utilizando los recursos más apropiados.

5. Identificar las formas y relaciones espaciales que se presentan en la vida cotidiana, analizar las propiedades y relaciones geométricas implicadas y ser sensible a la belleza que generan al tiempo que estimulan la creatividad y la imaginación.

9. Manifestar una actitud positiva ante la resolución de problemas y mostrar confianza en la propia capacidad para enfrentarse a ellos con éxito y adquirir un nivel de autoestima adecuado, que le permita disfrutar de los aspectos creativos, manipulativos, estéticos y utilitarios de las matemáticas.

OBJETIVOS DE LA UNIDAD- Conocer y comprender los términos: cateto e

hipotenusa; triángulo rectángulo, obtusángulo y acutángulo.

Explicar cuál es la relación entre los cuadrados construidos sobre los lados de un triángulo según éste sea rectángulo, obtusángulo o acutángulo.

Utilizar la relación pitagórica para calcular distancias de manera indirecta.

Valorar el hecho de que para indicar la distancia entre dos puntos en ocasiones no es adecuado recurrir a la línea recta.

CONTENIDOS

Bloque 4. Geometría

Figuras con la misma forma y distinto tamaño. La semejanza. Proporcionalidad de segmentos. Identificación de relaciones de semejanza.

Ampliación y reducción de figuras. Obtención, cuando sea posible, del factor de escala utilizado. Razón entre las superficies de figuras semejantes.

Utilización de los teoremas de Tales y Pitágoras para obtener medidas y comprobar relaciones entre figuras.

PRINCIPIOS DE PROCEDIMIENTO (I) 

- Planteará situaciones de aprendizaje en las que sus alumnos puedan adquirir progresivamente las nuevas nociones basándose en sus conocimientos anteriores y primitivos.

- Se centrará en la organización de las actividades de sus alumnos y alumnas, teniendo en cuenta los contenidos a aprender.

Procurará que en cada situación de acción perciban un problema a resolver, una dificultad que quieran y deban superar.

Favorecerá que identifiquen, inicien y desarrollen sus propios problemas relacionados con las situaciones planteadas.

Graduará las actividades teniendo en consideración los conceptos y las operaciones a construir.

PRINCIPIOS DE PROCEDIMIENTO (II) - Planteará situaciones problemáticas que conduzcan a los alumnos y alumnas a formular sus acciones y a utilizar el lenguaje oral y simbólico.

- Ideará situaciones de intercambios de mensajes entre emisores y receptores para que tengan que elaborar mensajes e interpretarlos independientemente del juicio del docente.

- Favorecerá la realización de situaciones que conduzcan a la comprobación de las teorías en acción o hipótesis de los alumnos previamente formuladas, a la prueba de sus ideas frente a la evidencia y frente a las pruebas de los compañeros.

- Propondrá situaciones organizadas con la finalidad de que se validen y demuestren las soluciones propuestas, sometiéndolas a la crítica razonada de los otros.

CRITERIOS DE EVALUACIÓN4. Estimar y calcular longitudes, áreas y volúmenes de espacios y objetos con una precisión acorde con la situación planteada y comprender los procesos de medida, expresando el resultado de la estimación o el cálculo en la unidad de medida más adecuada.Mediante este criterio se evaluará si el alumno o la alumna, en situaciones en las que la solución del problema requiera medidas indirectas en las que haya que utilizar la semejanza de figuras geométricas, es capaz de:- comprender y diferenciar los conceptos de longitud y superficie así como las unidades asociadas a cada una de las magnitudes.- utilizar conceptos y estrategias diversas para calcular el perímetro y área de figuras sencillas sin aplicar las fórmulas.- calcular, mediante fórmulas, longitudes, áreas.- aplicar los teoremas de Pitágoras y de Tales a la resolución de problemas geométricos.- utilizar las unidades y la precisión adecuadas al contexto del problema planteado.

PRUEBA DE EVALUACIÓNDadas las siguientes ternas de longitudes, explicar si pueden construirse triángulos con lados de dichas longitudes y argumentar qué tipo de triángulo pueden conformar:

(3, 4, 6)(3, 3, 3)(3, 4, 7)(3, 4, 5)

(5, 13, 14)(5, 12, 13)

Un carpintero tiene 32 metros de madera y quiere construir una pequeña valla alrededor de un parterre en el jardín. Está considerando los siguientes diseños. ¿Cuáles le permiten construir el parterre?

A B

C D

10 10

10 10

6

6 6

6