1. Sean A y B dos eventos con P(A )≠ 0 y P(B) ≠ 0. Demuestre que P(A ∩ B) = P(B) P(A/B) = P(A) P(B/A).

7. Un inspector debe seleccionar a un trabajador de entre 4 aspirantes numerados del 1 al 4. La selección la lleva a cabo mezclando los números y tomando uno al azar. Sean: A el evento (se selecciona al trabajador 1 o al 2); B, el evento (se selecciona al trabajador 1 o al 3); y C, el evento(se selecciona al trabajador 1). ¿Son independientes: a) A y B?; b) A y C?

A: 1 o 2

B: 1 o 3

C: 1

a)

P(A) = 1/2 P(A ∩ B) = 1/4P(A) =1/2P(A ∩ B)=P(A)P(B)P(A ∩ B) = 1/2 x 1/2 =1/4 A y B son independientes

b) P(A) = 1/2 P(A ∩ C) = 1/4

P(C) =1/4 P(A ∩ C)=P(A)P(C)

P(A ∩ C) = 1/2 x 1/4 =1/8 A y C son independientes

13. En una exhibición de arte hay 12 pinturas de las cuales 10 son originales. Un visitante selecciona una pintura al azar y decide comprarla después de escuchar la opinión de un experto sobre la autenticidad de la pintura. El experto está en lo correcto en 9 de cada 10 casos, en promedio

a) Dado que el experto decide que la pintura es autentica, ¿Cuál es la probabilidad de que él no se equivoque?;

A: La pintura es autentica

B1: El experto no se equivoca

P (A )=( 1012 )( 910 )+( 212 )( 110 )=2330 P (B1/ A )=

1012x910

2330

=4546

b) Si el experto decide que la pintura es una copia, entonces el visitante la devuelve y escoge otra, ¿Cuál es la probabilidad de que la segunda pintura escogida sea original?

P (A )=( 1011 )( 910 )+( 911 )( 110 )= 99110

19. Los empleados de la compañía Cruz del Sur se encuentran distribuidos en 3 divisiones : Administración, Operación de planta y Ventas. La siguiente tabla indica el numero de empleados en cada división , clasificados por sexo.

Mujeres(M) Hombres(H)Administración(A) 20 30

Operación(O) 60 140Ventas(V) 100 50

Si se elige un empleado al azar,

a) ¿Cuál es la probabilidad de que sea mujer?, ¿y de que trabaje en ventas?

P(M) = 180/400 = 0,45

P(V) = 150/400 = 0,375

b) ¿Cuál es la probabilidad de que sea hombre y que trabaje en la división de administración?

P(H/A) = 30/400 = 0.075

c) ¿Cuál es la probabilidad de que trabaje en la Operación de Planta si es mujer?

P(O/H) = 60/180= 1/3

d) ¿Cuál es la probabilidad de que sea mujer si trabaja en la división de ventas?

P(M/V) = 100/150= 2/3

e) ¿Son los sucesos V y H independientes? ¿y los sucesos A y M?

P(V) ∩P(H) = (150/400)(220/400) = 0.20625

P(V∩H) = 50/400 = 0,125

V y H no son independientes

P(A) ∩P(M) = (50/400)(180/400) = 0.056

P(A∩M) = 20/400 = 0,05

A y M no son independientes

25. En un supermercado el 70% de las compras las realizan las mujeres: de las compras realizadas por estas, el 80% supera los 20 dólares, mientras que de las compras realizadas por hombres solo el 30% supera esa cantidad.

a) Elegido un comprobante de compra al azar, ¿Cuál es la probabilidad de que supere los 20 dólares?

P(Mayor a 20) = (0,7)(0,8)+(0,3)(0,3) = 0,65

b) Si se sabe que el comprobante de compra no supera los 20 dólares, ¿Cuál es la probabilidad de que la compra haya sido hecha por una mujer?

P(menor a 20) = 1- P(Mayor a 20) = 1 – 0,65 = 0,35

P(M) = (0,7)(0,2)/0,35 = 0,4

31. Como un acto de buena vecindad Dios y Satanás acordaron un intercambio cultural entre el cielo y el infierno. Demonios del infierno van a vivir en el cielo, mientras que los ángeles del cielo van a vivir en el infierno. Los demonios tienden a no decir la verdad más frecuentemente que los ángeles. Los demonios mienten el 80% de las veces y los ángeles mienten el 20% de las veces. Después del intercambio. Después del intercambio, la proporción entre los demonios y ángeles en el cielo es 2:3. Mi amigo José murió y fue al cielo. Él encuentra a una persona y le hace una pregunta. Desafortunadamente, los demonios y los ángeles no s pueden distinguir por su aspecto físico. Deseamos determinar:

a) La probabilidad que de que la respuesta haya sido una verdad a la pregunta de José.

Demonios: mienten = 0,8 no mienten = 0,2

Ángeles: mienten = 0,2 no mienten = 0,2

DA

=23

P(V) = 2 (0,2 )+3 (0,8)5

=0,56

b) Dado que la respuesta fue una mentira ¿Cuál es la probabilidad de que haya sido dada por un demonio?

P(mentira) = 1-P(V) = 1- 0,56 = 0,44

P(D) = 2(0,8)5(o , 44)=0,7272