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ESCUELA POLITÉCNICA NACIONALDEPARTAMENTO DE AUTOMATIZACIÓN Y CONTROL INDUSTRIAL

ANÁLISIS DE CIRCUITOS ELÉCTRICOS II

I. ANÁLISIS DE CIRCUITOS ELÉCTRICOS EN EL DOMINIO DE LA FRECUENCIA W

I.1. CIRCUITOS TRIFÁSICOS: Magnitudes de voltaje y corriente

1. Una fuente 3Ø simétrica de secuencia positiva, con un voltaje de línea |V L|=200 [V ]se conecta a una carga 3Ø en conexión Y sin neutro, cuyas fases están dadas por: Z1=10 [Ω] , Z2= j5 [Ω]y Z3=− j10 [Ω] . Determinar los valores de los voltajes y corrientes en la carga 3Ø.

Solución: Referencia V 12=200∠0 ° [V ]

V 1=244 . 9∠−15 ° [ V ], V 2=73 .2∠−60 ° [V ] , V 3=175 .3∠38 . 8° [V ]I 1=24 . 49∠−15° [ A ], I 2=14 .64∠−150 ° [ A ], I 3=17.53∠128 .8 ° [ A ]

2. Una carga 3Ø en conexión , cuyas fases tienen los valores: Z12=10 [Ω] , Z23= j 5 [Ω] y Z31=− j 10 [Ω] , se conecta a una fuente 3Ø simétrica de secuencia negativa, con un voltaje de

línea |V L|=200 [V ] . Calcular los valores de todas las corrientes.


I 12=20∠0° [ A ] , I 23=40∠30 ° [ A ], I 31=20∠−30 ° [ A ]I 1=10 . 35∠75 ° [ A ] , I 2=24 .79∠53 .8 ° [ A ] , I 3=34 .64∠−120 ° [ A ]

3. Obtener el valor de la lectura del Amperímetro ideal, si Z1=3 [Ω] y Z3= j 4 [Ω] . La fuente

3Ø simétrica es de secuencia positiva con un voltaje de línea |V L|=200 [V ] .

______________________________________________________________________________________________ Prof. Oscar E. Cerón Aguirre MSc. 2012_1 pág. 1

Solución: 112 . 77 [ V ]

4. Encontrar el valor de la impedancia de faseZY así como el valor del voltaje de línea a los

terminales de la carga 3Ø simétrica en conexión Y (V__

ab , V__

bc , V__

ca ). La fuente 3Ø simétrica

tiene un voltaje de línea |V L|=200 [V ] y entrega una corriente de línea | I__

L|=10 [ A ] . Cada

línea tiene una impedancia ZL= j10 [Ω] .

Solución: ZY=− j21 . 55 [Ω]

V__

ab , V__

bc , V__

ca simétricos, donde V ab =373 .21∠0 °

5. Una fuente 3Ø simétrica a tres conductores, con voltaje de línea |V L|=176 . 8 [V ]y secuencia

negativa, se conecta a dos cargas 3Ø simétricas, una en conexión : ZΔ=15∠0 ° [Ω] y la otra

en conexión Y:ZY=10∠30 ° [Ω] . Determinar las corrientes de línea entregadas por la fuente y dibujar el diagrama fasorial del circuito.


I__

1 , I__

2 , I__

3 simétricas, donde I 1 =29.7∠−100° [ A ]


6. Una fuente 3Ø simétrica tiene un voltaje entre líneas |V L|=200 [V ]

y secuencia positiva. Se conecta a través de líneas a una carga 3Ø simétrica en conexión . La impedancia de cada

línea es ZL=− j 8 [ Ω]

y la de la fase de carga es ZΔ=15∠53.13 ° [Ω ]

. Hallar las corrientes de línea del circuito y las corrientes de fase de la carga.


I__

1 , I__

2 , I__

3 simétricas, donde I 1 =23.09∠23 .13 ° [ A ]

I__

12 , I__

23 , I__

31 simétricas, donde

I 12 =13 .33∠53 .13 ° [ A ]

I.2. POTENCIA COMPLEJA

1. Una carga 3Ø en con fases: Z12=5∠0 ° [Ω] , Z23=5∠53 . 1° [Ω] y Z31=5∠−30 ° [Ω] , está conectada a una fuente 3Ø simétrica de secuencia negativa, con un voltaje de línea |V L|=200 [V ] . Determinar el triángulo de potencias del circuito 3Ø.

Solución: P3 φ=19728 [W ] , fp3 φ=0 . 9927 atraso

2. Obtener el triángulo de potencias del circuito 3Ø, cuya fuente 3Ø simétrica es de secuencia

positiva y el voltaje de línea |V L|=200 [V ] . Todos las impedancias están en [Ω] .

Solución: P3 φ=10 [KW ] , fp3 φ=0 . 707 adelanto

3. Encontrar el triángulo de potencias de una fuente 3Ø simétrica de secuencia negativa, cuyo

voltaje de línea es |V L|=200 [V ]y se conecta a una carga 3Ø en conexión , cuyas fases son:Z12=100 [Ω] ,Z23: 300 [W ] , fp 23 =0 .707 adelanto ,Z31 : 200 [VAR ] , fp 31 =0 .866 atraso .

Solución: P3 φ=1046 .4 [W ] , fp3 φ=0 . 9955 adelanto


4. Una fuente 3Ø simétrica de secuencia positiva y voltaje de línea |V L|=200 [V ] , está

conectada a la carga 1Ø Z0 que consume una potencia de 30 [KW ]a un factor de potencia

unitario, y a la carga 3Ø simétrica que consume una potencia total de 50 [ KW ]a un factor de potencia 0.5 en atraso. Calcular el valor de las corrientes de línea de la fuente 3Ø.

Solución: Referencia V 12=200∠0 ° [V ]I 1=262 . 4∠−90 ° [ A ], I 2=295. 7∠178° [ A ] , I 3=386. 6∠ 40° [ A ]

5. Obtener el triángulo de potencias de una fuente 3Ø simétrica de secuencia negativa y voltaje

de línea |V L|=200 [V ] , que se conecta a dos cargas 3Ø simétricas, cuyos triángulos de potencias están dados por:

Carga 3Ø # 1: 4 .5 [KW ] , fp3 φ=0 .866 adelanto

Carga 3Ø # 2: 42 [KVA ] , fp3 φ=0 .707 atraso

Solución: P3 φ=34 .2 [KW ] , fp3 φ=0 . 7838 atraso

6. Hallar el valor de la impedancia de la carga 3Ø simétrica en conexión , si la fuente 3Ø

simétrica de secuencia positiva y voltaje de línea |V L|=200 [V ] entrega una potencia P3 φ=1000 [W ] con un fp3 φ=0 . 6 atraso .


Solución: ZΔ=205 . 8∠59 . 04 ° [ Ω]

7. Calcular el valor de la impedancia Z1 , si la fuente 3Ø simétrica de secuencia negativa y

voltaje de línea |V L|=200 [V ] entrega una potencia Q3 φ=300 [VAR ] con un fp3 φ=0 . 913545 adelanto . Además Z0=200 [Ω]

Solución: Z1=200∠30 ° [Ω]


I.3. MEDICIÓN DE POTENCIA ACTIVA

1. Una carga 3Ø en con fases: Z12=10 [Ω] , Z23=− j 5 [Ω] y Z31= j10 [Ω] , está conectada

a una fuente 3Ø simétrica de secuencia positiva, con un voltaje de línea |V L|=200 [V ] .

Calcular los valores de las lecturas de los elementos vatimétricos W 2 y W 3 .

Solución: W 2=−2928 [W ] , W 3=6928 [W ]

2. Una fuente 3Ø simétrica de secuencia positiva y voltaje de línea |V L|=200 [V ] , se conecta a

una carga 3Ø en con fases: Z12 : 100 [W ] , fp 12=0 . 866 adelanto , Z23=50 [ Ω], Z31 : 50 [VA ] , fp 31=0 . 707 atraso . Obtener el valor de las lecturas de los elementos

vatimétricos W 2 y W 3 .

Solución: W 2=500 [W ] , W 3=435. 4 [W ]

3. Calcular la lectura de los vatímetros W 1 yW 3 en el circuito 3Ø, cuya fuente 3Ø simétrica de

secuencia positiva tiene un voltaje de línea |V L|=200 [V ] . Cada impedancia de línea ZL

consume 100 [W] con un fp=0 .707 adelanto . La carga 3Ø simétrica consume 300 [VAR]

con un fp3 φ=0 .866 atraso .


Solución: W 1=W 3=409. 81 [W ]

4. En un circuito 3Ø totalmente simétrico, con un voltaje de línea |V L|=200 [V ] y secuencia positiva, se conectan dos vatimétricos W1 y W3, los mismos que dan lecturas de 1000 [W] y de – 500 [W] respectivamente. Determinar el valor de la impedancia de la carga 3Ø en conexión Y.

Solución: ZY=15 . 12∠−79 .1 ° [Ω]

5. Una fuente 3Ø simétrica de secuencia positiva y voltaje de línea |V L|=200 [V ] , se conecta a dos cargas 3Ø simétricas, cuyos características están dados por:

Carga 3Ø # 1: 10 [KW ] , fp3 φ=0.5 atrasoCarga 3Ø # 2: puramente capacitiva y de valor variable

Obtener la lectura de dos vatímetros W1 y W2, cuando al variar la carga 3Ø capacitiva el factor de potencia de la fuente 3Ø es de 0.707 atraso.

Solución: W 1=7887 [W ] , W 2=2113 [W ]

6. El voltaje de línea de una fuente 3Ø simétrica de secuencia positiva es |V L|=200 [V ]

. Hallar

las lecturas de los elementos vatimétricos W1 y W2, si ZY=3+ j 4 [Ω]

y Z0 :1200 [W ]

, fp0=0 .707 adelanto

.

Solución: W 1=5447 .7 [ W ] , W 2=552 .48 [W ]

7. Una carga 3Ø simétrica en Y viene dada por Q3 φ=400 [VAR ] , fp3 φ=0 . 5 en atraso , se

conecta a una fuente 3Ø simétrica de secuencia positiva con |V L| = 200[V], a través de


líneas de impedancia ZL . Encuentre el valor de la impedancia de carga (ZY [ Ω]) y la impedancia de la línea (ZL [ Ω]), si las lecturas de los vatímetros son W 2=−200 [W ] y W 3=800 [W ] .

Solución: ZY=5 . 5∠60 ° [Ω]

,

ZL=25. 8∠−80 ° [Ω]


II. ANÁLISIS DE CIRCUITOS ELÉCTRICOS EN EL DOMINIO DEL TIEMPO

II.1. CONDICIONES INICIALES

1. Obtener los valores de corriente i(0+ ) y su derivada

didt

|0+ así como i(∞) , si en t=0 el

interruptor se cierra.

Solución: i(0+ )=2 [ A ] ,

didt

|0+=−13

[ A /s ], i(∞)=5/4 [ A ]

2. Encontrar los valores de corriente i(0+ )y su derivada

didt

|0+ así como i (∞) , si en t=0 el

conmutador pasa de la posición (a) a la posición (b).

Solución: i(0+ )=0 .1 [ A ] ,

didt

|0+=−103 [ A/ s ], i (∞)=0 [ A ]

3. Determinar los valores de corriente i (0+ )y de la derivada de voltaje

dvdt

|0+, si en t=0 el



Solución: i (0+ )=20 [ A ],

dvdt

|0+=−30 [V /s ]

4. Calcular los valores de las condiciones iniciales de energía en el capacitor e inductor en t=0+ , si vC (0+ )=10 [V ].

Solución: vC (0− )=0 [ V ] , iL (0−)=7 [ A ]

5. Obtener los valores de voltaje v (0+ )y de la derivada de corriente

didt

|0+, si en t=0− el


Solución: vC (0+ )=15 [V ],

didt

|0+=−1052

[ A /s ]

6. Hallar los valores de corriente i(0+ )

y de la derivada de voltaje

dvdt

|0+

.


Solución: i(0+ )=5 [ A ],

dvdt

|0+=−52

[V /s ]

II.2. RESPUESTA COMPLETA

1. Obtener la respuesta de corriente i( t )válida para ∀ t , si en t=0 el conmutador pasa de la posición (a) a la posición (b).

Solución: i( t )=10

9δ ( t )−25

9e−t u( t ) [ A ]

2. Encontrar la respuesta de corriente i( t )válida para ∀ t .

Solución: i( t )=10 δ ( t )+10 ( 2−2 .35e−0 .29 t−1 . 65e−1 .71 t ) u( t ) [ A ]


3. Determinar la respuesta de corriente i( t )válida para ∀ t , si en t=0 el conmutador pasa de la posición (a) a la posición (b).

Solución: i( t )=− 5

16δ( t )+ 5

128e−

18

tu ( t ) [ A ]

4. Calcular la respuesta de corriente i( t )válida para ∀ t .

Solución: i( t )=2 δ ( t )−( 4 .74 e−2t Cos ( t−161. 6 ° )+14 e−2 t−3 .5 e−t ) u( t ) [ A ]

5. Obtener la respuesta de voltaje v (t )válida para ∀ t , si en t=0+ el conmutador pasa de la posición (a) a la posición (b).

Solución: v (t )=10δ( t )+10 (4e−2 t−(5−2t )e−t ) u( t ) [V ]

6. Hallar la respuesta de corriente i ( t )válida para ∀ t , si en t=0− el conmutador pasa de la posición (a) a la posición (b).


Solución:i ( t )=5 δ ( t )−15

8(5e−5 t+3e−t ) u( t ) [ A ]

7.


III. ANÁLISIS DE CIRCUITOS ELÉCTRICOS EN EL DOMINIO DE LA FRECUENCIA COMPLEJA

III.1. RESPUESTA COMPLETA

1. Obtener las respuestas de voltaje v (t )y corriente i( t )válidas para ∀ t >0 .

Solución: v (t )=[90−120e−5 t ] u ( t ) [V ] , i( t )=300 e−5t u( t ) [ uA ]

2. Encontrar la respuesta de corriente i( t )válida para ∀ t , si en t=0 se cierra el interruptor.

Solución:i( t )=−5

8( e−t+15e−5 t ) u ( t ) [ A ]

3. Determinar la respuesta de corriente i( t )válida para ∀ t , si en t=0− se cierra el interruptor.

Solución: i( t )=−4δ ( t )+[ 5+12. 1e−t Cos(√7 t−48 . 6 ° ) ] u( t ) [ A ]


4. Calcular la respuesta de voltaje v (t )válida para ∀ t , si en t=0−el conmutador pasa de la posición (a) a la posición (b).

Solución: v (t )=20 δ (t )−72.11e−1.5 t Cos(0 . 866 t−46 . 1° )] u (t ) [V ]

5. Obtener la respuesta de corriente i( t )válida para ∀ t , si en t=0− el conmutador pasa de la posición (a) a la posición (b).

Solución:i ( t )=5 δ ( t )−15

8(5e−5 t+3e−t ) u( t ) [ A ]

6. Calcular la respuesta de corriente i( t )válida para ∀ t .

Solución: i( t )=2 δ ( t )−( 4 .74 e−2t Cos ( t−161. 6 ° )+14 e−2 t−3 .5 e−t ) u( t ) [ A ]


III.2. FUNCIÓN DE RED

1. Determine la Función de Red.

Solución: F (s )=Y (s )= s

s2+2 s+3

2. Obtenga la Función de Transferencia.

Solución: F (s )=T I( s )= 2

s2+2 .5 s+3

3. Calcule la Función de Punto Motriz.

Solución: F (s )=Y eq( s )= s2+s+2

3 s2+4 s+4

III.3. COMPONENTE PARTICULAR______________________________________________________________________________________________ Prof. Oscar E. Cerón Aguirre MSc. 2012_1 pág. 16

1. La Impedancia de Punto Motriz de un circuito eléctrico, viene dada por:

Z( s )=10 s( s+2 )( s+3 )(s2+2 s+5) Usando las variables eléctricas correspondientes, halle la

componente particular de la respuesta. La fuente tiene la siguiente forma: 10e−2t Cos(3 t+30∘) .

Solución: v p( t )=47 . 4 e−2tCos(3 t−64 . 2° ) [V ]

2. Calcule la componente particular de la respuesta de voltaje v (t ), mediante la construcción y uso del Diagrama Vectorial de Polos y Ceros. La fuente de corriente i ( t ) viene dada por: i( t )=10 e−t Sen(2 t−75∘) [ A ] .

Solución: v p( t )=31e−tSen(2 t+75 .3 ° ) [V ]

3. En base al Diagrama de Polos y Ceros, que corresponde a una Admitancia de Transferencia, construya el Diagrama Vectorial de Polos y Ceros. Utilizando los módulos y ángulos de cada vector, determine la componente particular de la respuesta, si la fuente tiene la forma: 10e−2 t

Cos(3 t+30 °). Detalle sus variables y unidades.

Solución: i p( t )=33 .43e−2 tCos(3 t−81 .8 ° ) [ A ]


4. El Diagrama Vectorial de Polos y Ceros corresponde a una Admitancia de Transferencia. La

fuente tiene la forma: 10 eσ0 t

Sen (ω0 t+53 °) . Usando los módulos y ángulos de los vectores del Diagrama, calcule la componente particular de la respuesta, detallando su variable eléctrica y unidad.

Solución: ip ( t )=167 .7 e−3tSen (2t +26 . 4 ° ) [ A ]

5. El diagrama vectorial de polos y ceros corresponde a una impedancia de punto motriz. La magnitud de la fuente es 10 y su ángulo 60 y corresponde a la componente real del modelo

general Xest

. En base a los elementos del diagrama vectorial, obtenga la componente particular de la respuesta, detallando las variables y sus correspondientes unidades.

Solución: v p( t )=62. 02e−3 tCos(2 t−157 .1 ° ) [V ]


III.4. DIAGRAMA DE BODE

1. Utilizando papel semi-logarítmico, dibuje con el mayor detalle, el Diagrama de Bode

correspondiente a la Función de Red dada por: F (s )=10 s2(s+100)

( s+1 )2(s2+10 s+100 ) .

Solución:

2. Utilizando papel semi-logarítmico, dibuje con el mayor detalle, el Diagrama de Bode

correspondiente a la Función de Red dada por: F (s )=10 (s+1)2 (s+100)

s2( s2+10 s+100) .

Solución:


3. Dibuje en papel semi-logarítmico, con el mayor detalle, el Diagrama de Bode correspondiente a la Función de Red dada por el Diagrama Simple de Polos y Ceros.

Solución:


4. Obtenga la Función de Red, correspondiente al Diagrama de Bode. Presente todo el detalle realizado.

Solución: F (s )=10 s2( s+100 )

( s+1 )(s+10)2

5. Encuentre la Función de Red, correspondiente al Diagrama de Bode. Presente todo el detalle realizado.

Solución: F (s )=10−1 ( s+10 )3

s( s+1 )(s+100)


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