Deber Deflexiones Deformaciones Esfuerzos

7/21/2019 Deber Deflexiones Deformaciones Esfuerzos

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UNIVERSIDAD DE LAS FUERZAS ARMADAS – ESPE

DPTO. CIENCIAS DE LA TIERRA Y LA CONSTRUCCION

PAVIMENTOS

1

1. La figura 4 muestra una masa de suelo semi-infinita sometida a una carga circular de

7.50 de diámetro y a una presión en el área circular de1 ⁄ 1 ⁄ = 0.0981 , el modulo de elasticidad de la capa es de1000 ⁄ y la relación de Poisson de 0.5. Determine los esfuerzos,

deformaciones y la deflexión en el punto A

Datos:

o = 0.0375

o = 0.0981

o

= 98.1

o = 0 . 5o = 0.20

ESFUERZOS: ( , , profundidad = . :

Esfuerzo vertical

= 1 + ⁄

= 0.0981 1 0.20 0.0375 +0.20 ⁄

=4.95487 ×10−





PAVIMENTOS

2

Esfuerzo radial

= 2 1 + 2 21+ + ⁄ + + ⁄

= 0.0981 2 1+20.5 21+ 0. 50.20 0.0375 +0.20 ⁄ + 0.200.0375 +0.20 ⁄

=4.29218×10−

Esfuerzo tangencial = 2 1 + 2 21+ + ⁄ + + ⁄

= 0.0981 2 1+20.5 21+ 0. 50.20 0.0375 +0.20 ⁄ + 0.200.0375 +0.20 ⁄

=4.29218×10−

DEFLEXION: profundidad

= . :

Δ = 1+ + + 1 2 +

Δ = 1 + 0 . 50.0981 0.037598.1 0.0375 √ 0.0375 +0.20 + 120.50.0375 0.0375 +0.20 0.20

Δ =1.03662×10−

DEFORMACIONES: profundidad = . :

Deformación vertical = 1 + 1 2 + 2 + ⁄ + ⁄

= 1 + 0 . 50.0981 98.1 120.5 + 20.50.200.0375 +0.20 ⁄ 0.20

0.0375 +0 .2 0 ⁄





PAVIMENTOS

3

=5.00708×10−

Deformación radial = 1 + 2 1 2 21 + ⁄ + + ⁄

= 1 + 0 . 50.0981 298.1 120.5 21 0 . 50.200.0375 +0 .2 0 ⁄ + 0.200.0375 +0 .2 0 ⁄

=2.50354×10−

Deformación tangencial

= 1 + = 198.1 4.29×10− 0.504.95 × 10− + 4.29 × 10− =2.50354 ×10−

Cizallamiento máximo

màx

= 2

= 4.954871872 ×10− 4.292175638 × 10− 2

=2.45598 ×10− 2. Determine el estado completo de esfuerzos , , , usando la teoría de una

capa, bajo la línea del centro de una llanta con carga de 2050 y una presión de

inflado de

5. 60

⁄ para las siguientes relaciones profundidad – radio

⁄ 0, 0.2 , 0.5 , 1.0 , 2.0 , 4.0, 8.0. Asuma que la capa está caracterizada por un

módulo

La presión de contacto se asume aproximadamente igual a la presión de inflado dela llanta del vehículo.

DATOS:

P= 2050 Kgq=5.60 Kg/cm2

E= 210 Kg/cm2

u=0.5r/a = 0





PAVIMENTOS

4

Para resolver el siguiente ejercicio es necesario obtener los datos de los paramentos de A,

B, C, D, E, F y G según la relación de r/a y z/a.

Formulas:

Para z/a =0

Esfuerzo vertical:

= ∗ + = 5 . 6 ∗ 1 + 0

= 5.6 /

Esfuerzo radial horizontal: = ∗ 2 + + 1 2 = 5 . 6 ∗ 2 ∗ 0 . 5 ∗ 1 + 0 + 1 2 ∗ 0 . 50.5 = 5.6 /

Esfuerzo tangencial horizontal: = ∗ 2 + 1 2 = 5 . 6 ∗ 2 ∗ 0 . 5 ∗ 1 0 + 1 2 ∗ 0 . 50.5 = 5.6 /

Esfuerzo cortante vertical radial

= ∗ = 5 . 6 ∗ 0 = 0

Para las siguientes relaciones se utilizó una hoja electrónica





PAVIMENTOS

5

Relación

Valores de la función de elasticidad

[ σz ] [ σr ] [ σt ] [ τ max ]

Prof. /

Radio kg / cm

2

kg / m

2

kg / m

2

kg / m

2

z / a A B C D E F G H

0 1 0 0 0 0.5 0.5 0 5.6000 5.6000 5.6000 0.000

0.2 0.80388 0.18857 -0.09429 0.09429 0.40194 0.40194 0 5.5577 3.9737 3.9737 0.000

0.5 0.55279 0.35777 -0.17889 0.17889 0.27639 0.27639 0 5.0991 2.0938 2.0938 0.000

1 0.29289 0.35355 -0.17678 0.17678 0.14645 0.14645 0 3.6201 0.6502 0.6502 0.000

2 0.10557 0.17889 -0.08944 0.08944 0.05279 0.05279 0 1.5930 0.0903 0.0903 0.000

4 0.02986 0.05707 -0.02854 0.02854 0.01493 0.01493 0 0.4868 0.0074 0.0074 0.000

8 0.00772 0.01526 0.00763 0.00763 0.00386 0.00386 0 0.1287 0.0860 0.0005 0.000

3. Repetir el problema anterior, para el caso de considerar una relación de Poisson de = 0 . 3 y comente el efecto de la relación de Poisson sobre el estado completo de

esfuerzos.

DATOS:

= 2050

= 5.6 /

= 0 . 3

Relación


[ σz ] [ σr ] [ σt ] [ τ max ]

Prof./

Radiokg / cm2 kg / m2 kg / m2 kg / m2


0 1 0 0 0 0.5 0.5 0 5.6000 4.4800 4.4800 0.000

0.2 0.80388 0.18857 -0.09429 0.09429 0.40194 0.40194 0 5.5577 3.0734 3.0734 0.000

0.5 0.55279 0.35777 -0.17889 0.17889 0.27639 0.27639 0 5.0991 1.4747 1.4747 0.000

1 0.29289 0.35355 -0.17678 0.17678 0.14645 0.14645 0 3.6201 0.3222 0.3222 0.000

2 0.10557 0.17889 -0.08944 0.08944 0.05279 0.05279 0 1.5930 -0.0279 -0.0279 0.000

4 0.02986 0.05707 -0.02854 0.02854 0.01493 0.01493 0 0.4868 -0.0261 -0.0261 0.000

8 0.00772 0.01526 0.00763 0.00763 0.00386 0.00386 0 0.1287 0.0773 -0.0081 0.000





PAVIMENTOS

6

4. Determine el estado completo de deformaciones , , usando la teoría de una

capa, bajo la línea del centro de una llanta con carga de

2050 y una presión de

inflado de 5. 60 ⁄ , para la siguiente relación profundidad –

radio ⁄ =0.5.Asuma que la capa está caracterizada por un módulo resiliente de 2 1 0 ⁄ y

una relación de Poisson de = 0 . 3. Repita el análisis considerando una relación de

Poisson de = 0 . 5. Comente el efecto de la relación de Poisson en el estado de

deformaciones del sistema.

DATOS:

o = 2050 o

= 5 . 6

o ó =0.5 o = 0 . 3 o

= 210 /

Formulas:

Dado los valores calculados para la relación z/a=0.5

Relación


[ εz ] [ εr ] [ εt ]

Profundidad

/ Radiokg / cm2 kg / m2 kg / m2


0.5 0.55279 0.35777 -0.17889 0.17889 0.27639 0.27639 0 0.0201 -0.0024 -0.0024

Para cuando u=0.5:

Deformación vertical:

∈ = 1.5

∈ = 1.5∗5.6210 0.35777

∈ = 0. 0143





PAVIMENTOS

8

Dado el estado triaxial de esfuerzos de un elemento, las deformaciones pueden ser

calculadas por las siguientes ecuaciones:

Reemplazando el valor de = 0 , 5 en las ecuaciones anteriores obtenemos:

1 ε = 1 0,50,5

2 ε = 1 0,50,5

3 ε = 1 0,50,5

Definimos la dilatación o deformación volumétrica, ε como el cambio de volumen

unitario (cambio del volumen total ∆V dividido por el volumen original V) y lo

expresamos mediante: ε = ∆ ó ε = ε + ε + ε

Reemplazando en esta ecuación con los valores de (1), (2) y (3):

ε = 1 0,50,5+ 1 0,50,5+ 1 0,50,5

ε =1 + +

=

Bibliografia:

o http://camineros.com/docs/cam071.pdf

o http://www.ual.es/~mnavarro/Tema%206%20%20Elasticidad.pdf

o http://noticias.espe.edu.ec/hfbonifaz/files/2012/09/ENSAYO-TRIAXIAL.pdf

http://camineros.com/docs/cam071.pdf


http://www.ual.es/~mnavarro/Tema%206%20%20Elasticidad.pdf


http://noticias.espe.edu.ec/hfbonifaz/files/2012/09/ENSAYO-TRIAXIAL.pdf









PAVIMENTOS

9

6. Calcular la deflexión total del pavimento en la primera capa y en la superficie de la

subrasante, bajo el centro de una carga circular de 15 de radio y presión decontacto de 5.60 ⁄ para un pavimento de 40 de espesor con un módulode elasticidad de 7000 ⁄ , y un módulo de elasticidad de la subrasante de700 ⁄ . Considere una relación de Poisson en ambas capas de 0.50.

DATOS:

o = 15

o = 5.60 ⁄

o ℎ = 40

o

=0.5o =7000 ⁄ o = 7 0 0 ⁄

o =0.5

DEFLEXION: (utilizando formulas)

o Fórmulas de Palmer y Barber:

deflexión en la superficie del pavimento ∆

∆ = 1.5 1 +ℎ ⁄ +

∆ = 1.5 5.6015

700

151 7007000

15+40 7000700 ⁄

+ 700

7000





PAVIMENTOS

10

∆ = 0.46

Deflexión en la primera capa

∆

∆= 1.5 [

1

+ ℎ ⁄ ]

∆

=1.5 5.6015

7000 [

1 15

15+40 7000700 ⁄ ]

∆=0.15 Deflexión en la superficie de la subrasante ∆

∆= 1.5

+ ℎ

⁄

∆= 1.5 5.60 15700 15+40 7000700 ⁄

∆= 0.31

o Formulas de Odemark:

Deflexión en la superficie del pavimento

∆

∆ = 1.5 1 1 1 + 0 . 9 ℎ × + 1

1 + 0 . 9 ℎ /

∆ = 1.55.6015700 [(1 1 1 + 0 . 9 4015) × 7007000 + 1

1 + 0 . 9 4015 7000700 /]

∆ = 0.45





PAVIMENTOS

11

Deflexión en la superficie de la subrasante

∆

∆= 1.5 1

1 + 0 . 9 ℎ /

∆= 1.5 5.6015700 1 1 + 0 . 9 4015 7000700 /

∆= 0.34

Deflexión en la primera capa ∆ ∆= ∆ ∆ ∆= 0.11

Si = = . , entonces el espesor equivalente es

ℎ =0 .9 ℎ

⁄

ℎ=0.9407000700 ⁄

ℎ = 77.56

Esfuerzo vertical de compresión sobre la subrasante =

1 1 1 + ℎ

⁄

= 5 . 6 0 1 1 1 + 1577.56 ⁄

=0.300 ⁄





PAVIMENTOS

12

Tabla de Resultados:

DEFLEXIÒN EN LA:ODEMARK

PALMER YBARBER

[ cm ] [ cm ]

Superficie del pavimento 0,045 0,046Superficie de la subrasante 0,034 0,031

Primera capa 0,011 0,015

Espesor equivalente[ cm ]77,560

Esfuerzo Vertical en la subrasante[ kg / cm2 ]

0,300

7. Una prueba de placa fue hecha usando una placa de 75 de diámetro. Se hicieron

dos ensayos, uno sobre una subrasante y otro sobre una base granular de 25 de

espesor. La presión requerida para causar una deflexión de 0.5 fue de0.7 2.8 ⁄ , respectivamente. Determine el espesor de la capa de base

granular requerido para resistir una llanta de 2050 , con una presión de inflado = 5.60 ⁄ y mantener una deflexión de 0.5DATOS:

p=2050 Kg

Deflexión= 0.5

q= 5.6 Kg/cm2

Espesor base granular= 25cm

0.5= 1.5∗0.7∗37.5

2 ∗ 37.5 + 25 ∗ 12

1

En (1):

2953.13=2∗ 37.5 + 25 ∗ 12

2953.132 = 37.5 + 25 ∗ 12

8.72096∗10^6=37.5 + 25 ∗ 12 ∗ 2 3

∆= 1.52 ∗ + ℎ ∗ 12





PAVIMENTOS

13

∆= 1.51 1 + ℎ ∗ 12

0.5= 1.5∗2.8∗37.5

11 37.5

37.5 + 25 ∗ 12

2

0.5= 1.5∗2.8∗37.51 1 37.52953.132 0.5= 157.51 221

1=31542 44 en 3: 8.72096∗10^6=37.5 + 25 ∗ − ∗ 2 = . / = . / Calculo del Espesor de la capa base granular:

∆= 1.51 1 + ℎ ∗ 12

0.5= 1.5∗5.6∗37.539.36[

1 37.5

37.5

+ ℎ

∗ 39.3668.91

]

ℎ = 16.77





PAVIMENTOS

14

8. Una estructura de pavimento tiene las siguientes características:

ℎ = 10.0 ,

ℎ = 40.0 , =25000 ⁄ , = 2000 ⁄ , = 5 0 0 ⁄ .Para una presión de contacto, = 5.60 ⁄ y radio de carga, = 15 ,

calcule los esfuerzos y las deformaciones de sus capas.

Resuelto por el método de Ábacos:

DATOS: o E1=25000 kg/cm2

o E2=2000 kg/cm2

o

E3=500 kg/cm2

o u1=0,5

o u2=0,5

o

u3=0,5o

h1=10 cm

o h2=40 cm

o a=15 cm

o

q=5,6 kg/cm2

Formulas:





PAVIMENTOS

15

Datos Sistema de Pavimentos:

1 = 12 , 2= 23 , 1 = ℎ2 , = ℎ1ℎ2

Esfuerzo Vertical en la interfase 1- Por Tablas ZZ1= 0,35

σz1= q*ZZ1σz1= 1,96 kg/cm2

Esfuerzo Vertical en la interfase 2 - Por Tablas ZZ2= 0,07

σz2= q*ZZ2σz2= 0,392 kg/cm2

Cuadro Resumen de los Factores de esfuerzos por Tablas

a1(A) (ZZ1-RR1) (ZZ2-RR2) (ZZ2-RR3)

0,2 1,90693 0,07623 0,00381

0,375 3,86066 0,26391 0,01320

0,4 4,13976 0,29072 0,01454

Esfuerzos de Tracción

σz1-σr1= q(ZZ1-RR1)σr1= -19,659675 kg/cm2

σz2-σr2= q(ZZ2-RR2)σr2= -1,085889 kg/cm2

σz2-σr3= q(ZZ1-RR1)σr3= 0,318087 kg/cm2

Deformación Radial por Tracción:

k1(K1) 12.5

k2(K2) 4

a1(A) 0.375

H 0.25

∈ = 1 ∗





PAVIMENTOS

16

Єr1= -4,3E-04

Єr2= -3,69E-04Єr3= -7,39E-05

Deformación Vertical de la Subrasante 3:

Єz3= 1,48E-04

9.

Una estructura de pavimento está compuesta de las siguientes capaz: una capa de15 de concreto asfáltico con un módulo dinámico de 28 000 ⁄ , una capa

de base granular de 60 de espesor con un módulo dinámico de 1400 ⁄ y

la subrasante tiene un modulo resiliente de 700 ⁄ . Todas las tres capas

tienen una relación de Poisson de = 0 . 5. La carga aplicada por una llanta es de2050 y la presión de contacto es de = 5.60 ⁄ . Calcular la deformación

radial horizontal de tracción en la base de la capa asfáltica . la deformación vertical

de compresión y el esfuerzo vertical de compresión sobre la capa de subrasante.

DATOS:

Capa de concreto asfaltico: ℎ = 15 =28000 ⁄ =0,5

Base granular:

ℎ = 60

= 1400 ⁄ =0,5

Subrasante: = 7 0 0 ⁄ =0,5

= 2050

= 5,60 ⁄

∈ = 1 ∗





PAVIMENTOS

17

Calculo del radio circular = ∗

= ∗

= 2050

∗5,6/2

=10,79

Cálculo de los esfuerzos

Las soluciones gráficas y tabulares para los esfuerzos utilizan las siguientes funciones:

= = 280001400 = 20

=

=1400700 = 2

= ℎ = 10,7960 =0,18

= ℎℎ = 1560 =0,25





PAVIMENTOS

18

Zz1=0,12

Zz2=0,17

Determinación del esfuerzo vertical en la capa de concreto asfaltico

= ∗ 1





PAVIMENTOS

19

= 5, 60 ⁄ ∗0,12

=0,672

Determinación del esfuerzo vertical en la base granular = ∗ 2 = 5, 60 ⁄ ∗0,17 =0,952

Calculo de los esfuerzos de tracción

Calculo de la deformacion radial por traccion

Calculo de la deformación vertical sobre la subrasante.

σr1 -8,26269 kg/cm2

σr2 0,77198 kg/cm2

σr3 0,86197 kg/cm2

Capa asfaltica

Base granular

Subbase

∈r1 -1,60E-04

∈r2 -6,43E-05

∈r3 -6,43E-05

Capa asfaltica

Base granular

Subbase

∈z3 1,29E-04Subbase

a1(A) (ZZ1-RR1) (ZZ2-RR2) (ZZ2-RR3)

0.1 0.63215 0.00962 0.004810.18 1.59548 0.03215 0.01608

0.2 1.83766 0.03781 0.01891

RESUMEN DE LOS FACTORES DE ESFUERZOA

Deber Deflexiones Deformaciones Esfuerzos

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