HUGO DE LA TORREESTADISTICA INRC 1428

3-55 La variable X tiene una distribución binomial con n=10 y p=0.5. Calcule las probabilidades siguientes:

X={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10 }

a) P(X=5)

P (X=5 )=nCx pxq (n− x )

P (X=5 )=10C5 (0.5 )5 (0.5 )10−5P (X=5 )=0.24609

b) P(X≤2)

P (X ≤2 )=∑ [nCx pxq (n− x ) ]P ( x≤2 )=[10C20.520.58 ]+[10C10.510.59 ]+[10C00.500.510 ]P ( x≤2 )=0.05468

c) P(X≥9)

P (X ≥9 )=∑ [ nCx px q(n−x )]P ( x≥9 )= [10C 90.590.51 ]+[10C100.5100.50 ]P ( x≥9 )=0.01074

d) P(3≤X<5)

P (3≤X<5 )=∑ [ nCx px q(n−x )]P (3≤X<5 )=[10C30.530.57 ]+[10C 40.540.56 ]P (3≤X<5 )=0.322265

3-59 Determine la función de distribución acumulada de un variable aleatoria binomial con n=3 y p=1/2.

X={0,1,2,3 }P (X=0 )=[3C 0( 14 )0

( 34 )3

=0.4218]P (X=1 )=[3C1( 14 )

1

( 34 )2

=0.4218 ]P (X=2 )=[3C2( 14 )

2

( 34 )1

=0.1406]P (X=3 )=[3C 0( 14 )

3

( 34 )0

=0.0156 ]

F (X ){x<0 00≤ x<1 P (X=0 )=0.42181≤x<2 P (X=0 )+P (X=1 )=0.84362≤x<3 P ( X=0 )+P (X=1 )+P (X=2 )=0.98423≤ x P (X=0 )+P ( X=1 )+P (X=2 )+P ( X=3 )=1

}3-61 Sea X el número de bits recibidos de manera incorrecta en un canal de comunicación digital y suponga que X, es una variable aleatoria binomial con p=0.001. Si se transmiten 100 bits calcule:

X={0,1,2,3 ,…,1000 }

a) P(x=1)

P (X=1 )=1000C1 (0.001 )1 (0.999 )999P (X=1 )=0.368063b) P(x≥1)

P (X ≥1 )=∑ [nCx pxq (n− x ) ]P (X ≥1 )=1−[1000C0 (0.001 )0 (0.999 )1000 ]P (X ≥1 )=0.632304

c) P(x≤2)

P (X ≤2 )=∑ [nCx pxq (n− x ) ]P (X ≤2 )=[1000C0 (0.001 )0 (0.999 )1000 ]+[1000C 1 (0.001 )1 (0.999 )999 ]

P (X ≤2 )=0.919790d) Media y Varianza

E (X )=n∗p p= kN

=0.001E (X )=1000∗0.001E (X )=1

V (X )=n∗p∗qV (X )=1000∗0.001∗0.999V (X )=0.999

3.63 En un proceso de producción se examinan lotes de 50 resortes helicoidales para determinar si cumplen con los requerimientos del cliente. El número promedio de resortes helicoidales que no cumplen con los requerimientos es de uno por lote. Suponga que el número de resortes que no cumple con los requerimientos en un lote denotado por X, es una variable aleatoria binomial.

a) ¿Qué valor tiene n y p?

n=50 resortesp=550

=0.1q=1−pq=0.9

b) Calcule P(X≤2)

P (X ≤2 )=∑ [nCx pxq (n− x ) ]P (X ≤2 )=[50C0 (0.1 )0 (0.9 )50 ]+[50C1 (0.001 )1 (0.999 )49 ]P (X ≤2 )=0.111728

c) Calcule P(X≥49)

P (X ≥49 )=∑ [nCx pxq (n−x ) ]P (X ≥49 )=4.51∗10−49

3.67 Un examen de opción múltiple contiene 25 preguntas, cada una con 4 respuestas suponga que un estudiante solo adivina las respuestas.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que el estudiante conteste de manera correcta más de 20 preguntas?

P (X ≥20 )=P (X=21 )+P (X=22 )+P (X=23 )+P ( X=24 )+P (X=25 )

P (X ≥20 )=25C21( 14 )21

( 34 )4

+25C 22( 14 )22

( 34 )3

+25C23 ( 14 )23

( 34 )2

+25C24 ( 14 )24

( 34 )1

+25C25( 14 )25

( 34 )0

P (X ≥20 )=9.677∗10−10

b) ¿Cuál es la probabilidad de que un estudiante conteste de manera correcta menos de 5 preguntas?

P (X ≤5 )=P (X=0 )+P (X=1 )+P (X=2 )+P ( X=3 )+P (X=4 )+P(X=5)

P (X ≤5 )=25C0( 14 )0

( 34 )25

+25C1( 14 )1

( 34 )24

+25C 2( 14 )2

( 34 )23

+25C3 ( 14 )3

( 34 )22

+25C 4( 14 )4

( 34 )21

+25C 5( 14 )5

( 34 )20

P (X ≥20 )=0.214