Decaimiento Del Ee en Mm

CÁLCULO DEL PROCESO DE DISPERSIÓN 𝑒+𝑒− → 𝜇+𝜇−

DEPARTAMENTO DE FÍSICA Y GEOLOGÍA

FACULTAD DE CIENCIAS BÁSICAS

UNIVEERSIDAD DE PAMPLONA

2015

CARLA YESENIA FIGUEROA VILLAMIZAR

DEPARTAMENTO DE FÍSICA Y GEOLOGÍA

FACULTAD DE CIENCIAS BÁSICAS

UNIVERSIDAD DE PAMPLONA

CÁLCULO DEL PROCESO DE DISPERSIÓN 𝑒+𝑒− → 𝜇+𝜇−

TRABAJO DE GRADO

Presentado por:

CARLA YESENIA FIGUEROA VILLAMIZAR

Trabajo dirigido por:

PhD. JAIRO ALONSO MENDOZA SUÁREZ

Pamplona, febrero del 2015.

Título

“Cálculo del proceso de dispersión 𝑒+𝑒− → 𝜇+𝜇−”

Autora

Carla Yesenia Figueroa Villamizar.

Director

PhD. Jairo Alonso Mendoza Suárez.

Universidad De Pamplona

Facultad de Ciencias Básicas.

Departamento de Física y Geología.

Colombia, 2015.

AGRADECIMIENTOS

Quiero dar a conocer mis más sinceros agradecimientos a mis familiares, quienes

siempre se han preocupado por mi bienestar y por ayudarme en todo lo que este a

su alcance. Quiero agradecer especialmente a mi madre, Rosa, que siempre ha

estado a mi lado incondicionalmente sin importar mis errores. También a mis tíos,

Adolfo y Yazmín que han sido modelos de perseverancia y dedicación, y a mi

hermano y a mi abuela que son ejemplo de humildad.

Agradezco mucho también al PhD. Jairo Alonso Mendoza Suárez, quien fue el que

me dirigió en este Trabajo de Grado, ayudando constantemente, colmado de

paciencia, dispuesto a explicar y enseñar de la manera más clara y más sencilla

conceptos de dan gran complejidad. Profesor muchas gracias por su tiempo,

dedicación y por ser más que un tutor, un amigo.

Agradezco a la Universidad de Pamplona por permitirme realizar mis estudios de

pregrado, y a todos los profesores a quienes tuve el gusto de conocer, especialmente

a los del Departamento de Física y Geología ya que son estos los que, no solo me

ayudaron a formarme como profesional, sino también a crecer como persona

inculcándome valores son su ejemplo, su dedicación, sus exigencias y su amor a la

enseñanza.

También quiero agradecer a mis compañeros de Física, ellos se han convertido en

grandes amigos, con ellos he compartido grandes momentos en la aventura en la

que nos metimos al decidir tomar esta carrera.

En general quiero agradecer a todas las personas que han influido en mi vida de una

u otra manera, todos ellos me han dejado gratos momentos y grandes lecciones,

seguro sin ellos no sería la persona quien soy hoy en día.

2015, Carla Y. Figueroa V.

DEDICATORIA

A mi madre:

Rosa Villamizar.

RESUMEN

El presente trabajo es un estudio del proceso de dispersión 𝑒+𝑒− → 𝜇+𝜇− utilizando

las reglas de Feynman y la regla de oro de Fermi. El cálculo del proceso se desarrolla

detalladamente permitiendo analizar mejor el fenómeno. El proceso 𝑒+𝑒− → 𝜇+𝜇−

es considerado uno de los procesos más didácticos de QED (Quantum Electro

Dynamics), pero también es uno de los más importantes de la física de altas energías,

ya que es fundamental para estudiar todos los procesos de colisiones 𝑒+𝑒−, y es

usado para calibrar los experimentos, además es muy útil para determinar las

propiedades de las partícula elementales, en particular la extensión al proceso

𝑒+𝑒− → 𝑞�̅�. En este trabajo también se encuentra una breve historia de la

consolidación del Modelo Estándar de Partículas Elementales y todas las

herramientas necesarias para poder entender y desarrollar el proceso de dispersión

inicialmente mencionado.

Contenido

INTRODUCCION .................................................................................................................................... x

1. BREVE HISTORIA DE LAS PARTÍCULAS ELEMENTALES .............................................................1

1.1 Primeros descubrimientos de las partículas elementales ...........................................................1

1.2 Descubrimiento de las antipartículas .......................................................................................7

1.2.1 La óctuple senda y el modelo de los quarks ........................................................................ 11

1.3 El Modelo Estándar de las partículas elementales ................................................................. 14

1.4 Partículas verdaderamente elementales ................................................................................ 15

1.4.1 Los quarks ...................................................................................................................... 15

1.4.2 Leptón ............................................................................................................................ 16

1.4.3 Bosones. ......................................................................................................................... 17

1.4.4 Hadrones ........................................................................................................................ 17

1.5 Interacción de las partículas ................................................................................................ 20

1.5.1 Interacción Gravitacional ................................................................................................. 20

1.5.2 Interacción débil ............................................................................................................. 21

1.5.3 Interacción electromagnética ........................................................................................... 21

1.5.4 Interacción fuerte ........................................................................................................... 22

1.5.5 Interacción electro-débil ................................................................................................... 22

2 DIRAC, FERMI Y FEYNMAN ........................................................................................................ 25

2.1 Taza de decaimiento ............................................................................................................ 25

2.2 Sección eficaz ...................................................................................................................... 27

2.3 La regla de Oro de Fermi ...................................................................................................... 27

2.3.1 Regla de Oro de Fermi para Decaimientos ......................................................................... 28

2.3.2 Regla de Oro de Fermi para Dispersión ............................................................................. 28

2.4 Ecuación de Dirac ................................................................................................................ 33

2.4.1 Ecuación de Schrödinger .................................................................................................. 34

2.4.2 Ecuación de Klein Gordon ................................................................................................ 35

2.4.3 Derivación de la ecuación de Dirac .................................................................................... 37

2.4.4 Solución de la ecuación de Dirac. ...................................................................................... 46

2.5 Diagramas de Feynman........................................................................................................ 47

2.5.1 Partes del diagrama ........................................................................................................ 49

2.5.2 Reglas de Feynman para Electrodinámica cuántica ........................................................... 50

3. PROCESO DE DISPERSIÓN 𝒆 + 𝒆−→ 𝝁+ 𝝁 − ......................................................................... 55

3.1 Desarrollo matemático ......................................................................................................... 55

3.1.1 Helicidad de las partículas ............................................................................................... 68

3.1.2 Simetría de cruce ............................................................................................................ 75

3.1.3 Variables de Mandelstam ................................................................................................. 78

4 CONCLUSIONES ......................................................................................................................... 81

APENDICES ....................................................................................................................................... 85

EFECTO COMPTON ............................................................................................................................. 85

PROPIEDADES DE LA DISTRIBUCIÓN DELTA DE DIRAC ................................................................... 89

PROPIEDADES DE LAS TRAZAS ........................................................................................................ 91

SECCIÓN EFICAZ ............................................................................................................................... 92

RELACIÓN DE COMPLETEZ ............................................................................................................... 97

EL TENSOR MÉTRICO Y EL SÍMBOLO DE LEVI CIVITA .................................................................... 108

OPERADORES DE PROYECCIÓN PARA FERMIONES ........................................................................ 109

CÓDIGO EN WOLFRAM MATHEMATICA PARA LA REALIZACIÓN EL CÁLCULO DEL PROCESO DE

DISPERSIÓN 𝒆 + 𝒆−→ 𝝁 + 𝝁− ..................................................................................................... 112

LISTA DE FIGURAS

Figura 1.1 Descubrimiento del barión Λ0 .............................................................................................. 10

Figura 2.1. Proceso visto desde el centro de masa. ............................................................................... 29

Figura 2.2. Representación simplificada de un diagrama de Feynman. .............................................. 48

Figura 2.3. Equivalencia de la caja de interacción ............................................................................... 48

Figura 2.4. Partes de un Diagrama de Feynman. .................................................................................. 49

Figura 3.1. Diagrama del proceso 𝑒 + 𝑒−→ 𝜇 + 𝜇 − ....................................................................... 55

Figura 3.2 Choque inelástico electrón-muon ......................................................................................... 63

Figura 3.3 Partículas antes y después del choque ................................................................................ 64

Figura 3.4.Conservación del momento angular en la dirección de giro z ............................................ 68

Figura 3.5. Sección eficaz del proceso de dispersión 𝑒 + 𝑒−→ 𝜇 + 𝜇 −, teniendo en cuenta la

helicidad de las partículas. ..................................................................................................................... 74

Figura 3.6. Partícula y antipartícula con helicidad en la misma dirección ........................................ 74

Figura 3.7. Proceso de dispersión 𝑒 − 𝑒−→ 𝜇 − 𝜇 − ....................................................................... 75

Figura 3.8. Proceso visto desde el centro de masa para el proceso 𝑒 + 𝑒−→ 𝜇 + 𝜇 − .................. 77

Figura 3.9. Sección eficaz total del proceso 𝑒 + 𝑒−→ 𝜇 + 𝜇 −. ....................................................... 79

Figura 3.10. Dependencia energética de la sección eficaz total del proceso 𝑒 + 𝑒−→ 𝜇 + 𝜇 −

comparada con la dependencia energética del “espacio de fases”. ...................................................... 80

Figura D.1 Sistema de partículas a interactuar .................................................................................... 92

Figura H.1. Proceso de dispersión 𝑒 + 𝑒−→ 𝜇 + 𝜇 − visto desde el centro de masa del sistema

................................................................................................................................................................. 110

TABLAS

Tabla 1.1. Leptones .................................................................................................................................................. 16

Tabla 1.2. Mesones ................................................................................................................................................... 18

Tabla 1.3. Bariones .................................................................................................................................................. 19

INTRODUCCION

El presente trabajo es un estudio únicamente teórico de la física de partículas, cuyo

objetivo principal se basa en el estudio del proceso de dispersión 𝑒+𝑒− → 𝜇+𝜇−. Está

conformado de tres capítulos, el primero de ellos es una breve reseña histórica de

cómo se fueron descubriendo las partículas elementales a través del tiempo hasta

llegar a lo que hoy conocemos como el Modelo Estándar de Partículas Elementales,

esta teoría es hoy en día una de las más estables de la Física de Partículas. La

interacción de dos partículas, a través de los campos que originan, puede

interpretarse considerando que ambas partículas intercambian una tercera partícula,

llamada partícula portadora de la interacción. El Modelo Estándar aborda tres de las

cuatro interacciones que se consideran fundamentales, la electromagnética, débil y

fuerte. Debido a que los procesos son cuánticos, la gravedad tiene una intensidad

despreciable al ser comparada con las demás interacciones y existe el problema de

una teoría cuántica gravitatoria congruente con el Modelo Estándar.

El segundo capítulo abarca los conceptos como Sección Eficaz, Regla de oro de

Fermi, Reglas de Feynman y la Ecuación de Dirac, que son las bases fundamentales

que me permiten abordar los procesos de interacción de forma matemática, y

explicar analíticamente lo que ocurre en los grandes experimentos como lo son los

aceleradores de partículas.

El tercer capítulo es la parte más importante del trabajo, es el cálculo detallado de

la sección eficaz para el proceso de dispersión 𝑒+𝑒− → 𝜇+𝜇−. En este capítulo se

aplicaran todo lo estudiado en los dos capítulos anteriores. Se partirá de las reglas

de Feynman hasta encontrar la Amplitud de decaimiento, luego se hallará la

amplitud al cuadrado y, mediante la relación de completez, se dejará ésta en

términos de las trazas para poder simplificar los cálculos, aplicando la regla de oro

de Fermi para dispersiones se encontrara la sección eficaz del proceso, incluyendo

también la helicidad de las partículas, finalmente se expresará los resultados

obtenidos en términos de las variables de Mandelstand y se graficarán los resultados

usando el paquete Feyncal del Software Wolfram Mathemaica, estas curvas

ayudaran a analizar de manera más clara el comportamiento de las partículas en esta

dispersión y a concluir en que rango angular es más probable que se produzca el

proceso de dispersión.

1

1. BREVE HISTORIA DE LAS PARTÍCULAS

ELEMENTALES

Este capítulo es básicamente una breve historia de cómo se fueron descubriendo y clasificando

las partículas elementales hasta llegar a la consolidación del Modelo Estándar que conocemos

actualmente. El propósito de este capítulo es introducir al lector en el tema, darle a conocer

de forma rápida como están divididas las partículas que hoy en día se consideran como la base

de la materia que conforma el universo. También es una forma de inducir al lector en temas

más complejos que se presentan más adelante y facilitar su comprensión.

1.1 Primeros descubrimientos de las partículas elementales

Las dos preguntas fundamentales que la física de partículas intenta responder son

¿de qué elementos está compuesta la materia en sus raíces más fundamentales? y

¿Cómo interactúan estos elementos entre sí?

Sin embargo, estas preguntas son formuladas por el hombre desde la antigüedad.

Para responder a la primera pregunta, se han formulado teorías desde tiempos

remotos, por ejemplo, en la Antigua Grecia Demócrito de Abdera, cerca del año 450

A.C, propuso que toda la materia que formaba la tierra estaba compuesta de ciertos

elementos a los que llamó “átomos”, que significa pequeñas partículas indivisibles.

Muchos años después, Robert Boyle (1627-1691), quien es considerado el padre de

la química, dio la definición de elemento que es muy similar a la que se da para

partícula elemental: “los elementos son ciertos cuerpos primitivos y simples que no

están formados por otros cuerpos, ni unos de otros, y que son los ingredientes de

que se componen inmediatamente y en que se resuelven en último término todos los

cuerpos perfectamente mixtos”.

El estudio de la materia avanzó rápidamente junto con los avances y

descubrimientos de químicos y físicos, y a finales del siglo XIX ya era totalmente

CAPÍTULO 1 BREVE HISTORIA DE LAS PARTÍCULAS ELEMENTALES

2

aceptada la idea de que la materia está compuesta por elementos denominados

átomos, pero se encontraron varios elementos diferentes con propiedades

periódicas, lo cual llevaba a pensar que dichos átomos no podían ser partículas

indivisibles sino que debían estar compuestas de otras partículas. Dichos elementos

fueron organizados en una tabla según su periodicidad por Dimitri Mendeleiev

(1834-1907). Mendeleiev ordenó los elementos según el orden ascendiente de masa

atómica, pero en esta tabla quedaron algunos espacios vacíos cuando se ordenaron

los elementos descubiertos hasta aquella época, lo cual indicaba la existencia de

otros elementos aún no descubiertos.

Los elementos ordenados por Mendeleive presentaban una regularidad, cada ocho

elementos se repetían las propiedades químicas, en ese entonces no se sabía

exactamente a que se debía aquel patrón, pero más adelante se descubriría que estas

propiedades eran determinadas por la carga eléctrica del núcleo atómico.

Se puede decir que el verdadero estudio de las partículas elementales inició con el

descubrimiento del electrón en 1897, cuando Joseph John Thomson (1856-1940),

descubrió el electrón al experimentar en campos eléctricos y magnéticos. Thomson

sabía que los rayos catódicos emitidos por un filamento caliente podían ser

deflactados por un campo magnético, lo cual indicaba que tenían carga. Thomson

construyó un tubo de descargas en el que dispuso un campo eléctrico en oposición

de un campo magnético los cuales fueron arreglados de tal forma que no se

observara desviación en los rayos catódicos lo cual ocurre solo cuando la fuerza

provocada por los dos campos es igual. En el tubo de rayos catódicos de Thomson,

con un potencial de aceleración, se quería que las partículas cargadas fueran del

cátodo hacia el ánodo, y lo atravesaran por una abertura hasta llegar al otro extremo

del tubo, luego de atravesar un campo eléctrico y magnético. El campo eléctrico fue

inducido en una región formada por dos placas paralelas dispuestas enseguida de

la región en la que se encontraba el ánodo, es allí donde el rayo es desviado, y se

compensa esta región con un campo magnético inducido por dos electroimanes

colocados fuera del tubo. Gracias al alto vacío que Thomson logró alcanzar en el

tubo, se pudo observar como los rayos eran desviados gracias al campo eléctrico, y

ya en experimentos anteriores, había demostrado que la carga negativa y la

luminosidad son indivisibles, a diferencia de lo que muchos científicos de la época

pensaban, con todo lo anterior, Thomson confirmó su hipótesis acerca de la

existencia del electrón.


3

Thomson determinó la velocidad de la partícula y la relación de su carga – masa, el

cociente de esta relación dio un resultado enorme debido a que su masa es muy

pequeña (𝑚𝑒 = 9,109 ∗ 10−31 𝑘𝑔 ~0,5𝑀𝑒𝑉). Thomson comprendió que los

electrones eran elementos que componen el átomo cuya carga es negativa

(𝑒− = −1,6 ∗ 10−19𝐶), pero el átomo es una partícula con carga neutra, entonces

nacía la duda de acerca de dónde estaba la carga positiva equivalente en el átomo.

Thomson ideó un modelo para este que consistía en colocar los electrones como un

grupo de “cerezas en una torta” que vendría siendo el átomo, modelo que

Rutherford demostraría que era incorrecto, más adelante.

Ernest Rutherford (1871-1937) fue un físico y químico británico, y es considerado

uno de los padres de la física atómica gracias a sus importantes contribuciones a esta

área de las cuales se destaca el descubrimiento del núcleo atómico [1].

En 1911, Rutherford y dos de sus alumnos, Hans Geiger y Ernest Marsden,

efectuaron un experimento crítico que mostró que el modelo de Thomson podría ser

erróneo. En este experimento, un haz de partículas alfa cargadas positivamente, se

proyectaron contra una delgada hoja metálica, los resultados de los experimentos

fueron asombrosos: la mayoría de las partículas atravesaron la hoja como si fuera un

espacio vacío. Pero muchas partículas se desviaban de sus direcciones originales de

recorrido a ángulos muy grandes. Algunas partículas incluso se regresaban en

dirección contraria a la que se habían lanzado. Cuando Geiger informó a Rutherford

que algunas partículas habían rebotado, este dijo: “Fue con mucho el más increíble

evento que me había sucedido en la vida. Era tan increíble como si usted disparara

una pieza de artillería de 15 pulgadas contra un pedazo de papel facial y que ésta

regresara y lo golpeara” [2].

Debido a lo anterior, Rutherford lanzó la hipótesis propuesta por sus dos

estudiantes, la cual sugería que en el centro del átomo debía existir un núcleo que

contuviera la mayor parte de la masa del átomo y la carga positiva de este. A esta

parte del átomo, Rutherford la llamó protón, también sugirió que el tamaño de cada

átomo estaba definido por el número de electrones que este tuviera.

Rutherford ideó un modelo del átomo que consistía en un centro formado por el

protón y los electrones girando alrededor de este, similar al modelo planetario del

sistema solar, este modelo planetario ya había sido sugerido por el Físico japonés

Hantaro Nagoaka, en 1904, pero había pasado inadvertido.


4

Sin embargo, el modelo propuesto por Rutherford presentaba ciertas

inconsistencias, la primera de ellas era que al girar los electrones alrededor del

núcleo, y en consecuencia, perder energía, el sistema no podía ser estable, y la otra

se debía a que los electrones debían estar sujetos a cierta aceleración centrípeta para

permaneces girando alrededor del núcleo positivo, entonces de acuerdo con la teoría

electromagnética de Maxwell, las cargas aceleradas centrípetamente que giran con

frecuencia f deben radiar ondas electromagnéticas de frecuencia f, aplicada esta

teoría al átomo, se conduce al desastre ya que conforme el electrón irradia energía,

el radio de su órbita disminuye de forma estable y su frecuencia de revolución

aumenta. Esto lleva a una frecuencia siempre en aumento de la radiación emitida y

a un colapso final del átomo cuando el electrón se precipita al núcleo. [2]

Años más tarde, el físico danés Niels Bohr, al estudiar la teoría atómica de

Rutherford, postuló que la teoría de la radiación clásica no se cumplía para un

sistema tan pequeño como el del átomo y aplicando las ideas del científico alemán

Max Planck, (que proponía los niveles de energía, en los cuales giran los electrones

en el átomo alrededor del núcleo, cuantizados), “postuló que los electrones en los

átomos están confinados a niveles de energía no radiantes y estables y a órbitas

llamadas estados estacionarios” [2]. De esta manera, Bohr superó las inconsistencias

que traía consigo el modelo atómico de Rutherford.

Sin embargo, el modelo que se tenía del átomo solo funcionaba perfectamente para

el átomo de hidrógeno (H) ya que los demás elementos no podían tener igual

número de electrones y protones, por ejemplo, el átomo de helio (𝐻𝑒) requiere dos

electrones, pero su masa es cuatro veces la del átomo de hidrógeno, por lo tanto,

faltaba masa extra en este y en los otros elementos.

En 1932, el físico ingles James Chadwick (1891-1974, mientras estudiaba la radiación

emitida por el Belirio bombardeadas con partículas, descubrió el neutrón, que

resultó ser una partícula con una masa similar a la del protón y con carga eléctrica

neutra, de allí a derivación de su nombre y la capacidad de no alterar la carga del

átomo.

El descubrimiento del neutrón dio solución al problema que había con la masa de

los átomos, quedando así formulada una teoría atómica consistente a principios del

siglo XX.


5

También para el años de 1932 se había ya descubierto otra partícula elemental, el

fotón. En 1900, Planck intentaba explicar la radiación emitida por un cuerpo negro,

cuyas explicaciones de la época mantenían una serie de inconvenientes (la potencia

total radiada resultaba ser infinita, “catástrofe ultravioleta”), al tratar de explicar los

resultados experimentales, Planck propuso que la radiación electromagnética está

cuantizada, y que se producía solo en “paquetes” de energía 𝐸 = 𝑣ℎ, donde h es la

llamada constante de Planck. Planck no explicó en que consiste el origen de la

cuantización, pero en 1905, el físico alemán Albert Einstein (1879-1955) explicó, por

medio del efecto fotoeléctrico, que la cuantización es una característica del campo

electromagnético y que la radiación consiste en cuantos de energía, gracias al Efecto

Fotoeléctrico Einstein recibió el premio nobel que le fue otorgado en 1921. El Efecto

Fotoeléctrico consiste básicamente en la descarga de electrones al bombardear con

rayos de luz, una placa de metal con carga neutra. Los “cuantos de luz” actúan como

partículas que interaccionan con los electrones del metal, estos electrones absorben

el cuanto de luz, y luego, son expulsados del metal. La cantidad de electrones

desprendidos del metal depende de la intensidad de la luz, la cual está definida por

el “color” (longitud de onda, o equivalentemente, frecuencia) de la misma .

El efecto Fotoeléctrico no puede ser explicado totalmente por la teoría ondulatoria

debido al extraño comportamiento de la luz como partícula, de aquí proviene el

conocido comportamiento dual de la luz, onda-partícula.

Más adelante, en 1923, Arthur Compton (1892-1962), físico estadounidense, verificó

con en el experimento denominado Efecto Compton (ver apéndice A), que las

longitudes de ondas incidentes y salientes están relacionadas por [3] [4]

𝜆′ − 𝜆 = 𝜆𝑐(1 − 𝐶𝑜𝑠 𝜃), ( 1.1)

donde 𝜆𝑐 es la longitud Compton y 𝜃 el ángulo entre la radiación incidente y la

reflejada.

Entonces, a los “cuantos de luz” se les asignó el nombre de fotones, o paquetes de

luz, esta nueva partícula elemental carecía de masa.

A finales de 1932 se sabía que la materia estaba compuesta por átomos y que esto a

su vez se constituía de tres partículas elementales: el electrón, el protón y el neutrón,


6

también se sabía que existía una cuarta partícula elemental: el fotón. De las

anteriores partículas, las que poseen carga participaban en interacciones

electromagnéticas y, aparte de esta interacción, solo se conocía la gravitatoria cuya

intensidad es despreciable cuando se trata con partículas subatómicas. Hasta la

tercera década del siglo XX, estas cuatro partículas y estas dos interacciones parecían

explicarlo todo, al electrón se le llamó leptón, que significa liviano, y al neutrón y al

protón se les llamo hadrones, que significa, pesados. Sin embargo, existía algo a lo

que este modelo estándar de partículas no podía responder, ¿cómo hacían los

protones para mantenerse unidos entre sí, en el núcleo, y con los neutrones? Si

analizamos los protones desde el punto de vista de su carga, debería existir una

fuerza de repulsión grande entre ellos, sin embargo estos se mantienen unidos a

pesar de las distancias tan pequeñas que los separa. El físico japonés Hideki Yukawa,

propuso en 1935 la existencia de una “fuerza nuclear” entre los protones y los

neutrones debido a una fuerza que hoy en día se conoce como Fuerza de Yukawa,

esta fuerza explicaba el comportamiento de las partículas del átomo encontradas en

su núcleo.

Yukawa propuso la existencia de una partícula denominada mesón (masa

intermedia entre leptones y hadrones) 𝜋 o pion, esta partícula cumplía una función

similar a la del fotón en la teoría electrodinámica, pero a diferencia del fotón, el pion

debería tener masa.

Yukawa proponía que esta fuerza nuclear debía ser de muy corto alcance, alcances

tan cortos que la fuerza gravitatoria y electrodinámica no alcanzaban a interferir

entre estos elementos. También argumentaba que para que esto fuera posible era

necesario que la masa del pion fuera aproximadamente 300 veces más grande que la

del electrón.

Hasta 1937 la fuerza nuclear propuesta por Yukawa era tan solo una idea, pero en

este año, dos grupos experimentales identificaron dos partículas elementales con

características similares a la partícula de Yukawa al estudiar rayos cósmicos. Pero

fue hasta después de la segunda guerra mundial cuando se comprobó que una de

estas dos partículas halladas correspondía al mesón 𝜋, y que la otra partícula, con

características de interacción similares a las del electrón y espín también de ½, pero

con una masa 200 veces mayor que la de este correspondía a otra partícula a la cual

se le dio el nombre de muón.


7

Años más tarde se descubrió que existían tres tipos de mesones 𝜋 (𝜋+, 𝜋0, 𝜋−), todos

ellos agrupados hoy en día en una familia llamada bosones (espín entero), pero que

se comportan de forma distinta en interacciones electromagnéticas según su carga.

1.2 Descubrimiento de las antipartículas

Aunque la mecánica cuántica no relativista se estableció formalmente en poco

tiempo, entre 1923 y 1926, reconciliar a la mecánica cuántica con la teoría de la

relatividad tomó mucho más tiempo y la contribución de muchos físicos, uno de los

primeros en aportar a esta relación fue el físico británico Paul Dirac quien en 1927,

luego de grandes estudios físicos, mediante la formulación de la ecuación que lleva

su nombre, la cual fue desarrollada para describir el comportamiento de los

electrones libres [1],

𝐸2 − 𝑐2�⃑�2 = 𝑚2𝑐2. ( 1.2)

En la ecuación 1.2 claramente se ve el doble signo de la raíz cuadrada, lo cual indica

evidentemente que a cada solución de energía positiva debería corresponder una

de energía negativa, pero, si fuese así, todos los electrones elegirían tener energías

lo más negativas posibles y, al ocupar esos estados, emitirían una energía infinita.

Para solucionar este inconveniente se recurrió a la formación de la Teoría Cuántica

Relativista, por medio de esta teoría permite reinterpretar esas energías negativas

asociándola con la antipartícula del electrón, conocida como positrón, con energía

positiva. La Teoría Cuántica Relativista predice una antipartícula para cada

partícula existente.

Efectivamente, tal y como lo predecía la Teoría Cuántica Relativista, las

antipartículas se empezaron a descubrir. En 1932 Carl Anderson detectó el positrón

luego de haber experimentado durante años con rayos cósmicos e introducirle varias

mejoras a su experimento para alcanzar más claridad en sus observaciones.

En 1931, Anderson publicó su primer artículo en el cual describía la aparición de

varios tipos de radiación los cuales podían interpretarse como protones, núcleos más

pesados y electrones. Los electrones podían ser identificados con mayor claridad


8

debido a su mayor penetrabilidad y la marcada curvatura en sus trayectorias, sin

embargo, Anderson encontró evidencias de trayectorias muy similares a las

descritas por un electrón pero con una curvatura invertida, con las mejoras

introducidas al experimento y en agosto de 1932 Anderson obtuvo la primera

imagen clara de la partícula que, luego de atravesar una placa de plomo, se detenía

en la cámara de niebla. La búsqueda de evidencias que argumentaran el

comportamiento de las partículas que describían esta trayectoria, llevó a Carl

Anderson a concluir que, evidentemente la curvatura era la descrita por un electrón

pero con curvatura inversa a la una partícula negativa, desconociendo la predicción

de Dirac, Anderson concluyó que se trataba de un electrón positivo o de un positrón.

En 1936, Carl Anderson fue laureado con el premio Nobel de Física, el cual

compartió con Franz Hess.

El descubrimiento del positrón fue la prueba de que la predicción de la ecuación de

Dirac interpretada en la Teoría Cuántica Relativista era cierta, sin embargo, hoy en

día se sabe que el universo está compuesto de partículas, entonces si a cada partícula

le corresponde una antipartícula, ¿estas dónde están?

Las teorías científicas aceptadas que intentan responder esta pregunta afirman que

en el origen el universo estaba compuesto de materia y antimateria en igual

proporción, pero la materia y la antimateria se anulan y a pesar de esto el universo

está compuesto únicamente de materia y no se han encontrado rastros de

antimateria, la razón de esto se desconoce. En física, el proceso por el cual la cantidad

de materia superó a la de antimateria se denomina bariogénesis, y algunas posibles

explicaciones a la existencia de este fenómeno son:

Por un exceso de materia en el Big Bang: se supone que el exceso de materia

que forma el universo actualmente podría ser el resultado de una pequeña

asimetría en las proporciones iniciales de materia y antimateria.

Asimetría CP: En 1967, Andréi Sajarov postuló por primera vez que las

partículas y las antipartículas no tenían propiedades simétricas, esta

explicación se basa en la violación de la simetría discreta de conjugación de

carga y paridad. Algunos experimentos sugieren que quizás eso sea cierto,

eliminando la necesidad de un exceso de materia en el Big Bang y dejando la

explicación del exceso de materia en el universo a las leyes de la física que

favorecen esta predominación.


9

Existencia de galaxias formadas de antimateria ligadas por gravedad que aún

no han podido ser detectadas. Muy pocos científicos creen en esta

posibilidad, sin embargo aún no ha sido totalmente descartada.

Por la misma época que se descubrió el positrón también se encontraron rastros de

una nueva partícula, esta vez se trataba del neutrino. Los procesos de desintegración

nuclear 𝛽 parecían violar la conservación de energía e impulso. En tales procesos, el

núcleo radioactivo parecía decaer en otro núcleo más liviano, emitiendo solo un

electrón

𝐴 → 𝐵 + 𝑒. (1.3)

Es claro que como la carga eléctrica debe conservarse, entonces el núcleo hijo debe

tener un protón más que el núcleo padre. Por lo tanto, debe ser el que sigue en la

tabla periódica.

Como en todos los procesos deben conservarse la energía y el impulso, pero en las

medidas que se realizaban se encontraba que el electrón saliente llevaba menos

energía e impulso que los debidos, para resolver este inconveniente Wolfgang Pauli

(1900-1959) postuló la existencia de otra nueva partícula la cual se llevaría la energía

y el impulso faltante en el proceso. Esta partícula debía ser neutra para que así no se

afectara la conservación de la carga eléctrica y también debía tener una masa

prácticamente igual a cero. Otro factor importante es que no debía sufrir relaciones

electromagnéticas ni nucleares, ya que los detectores no la veían. Esta partícula fue

denominada neutrino.

El descubrimiento del neutrino 𝜈 abrió paso al descubrimiento del antineutrino �̅�,

antipartícula correspondiente al neutrino, y a la aparición de una nueva interacción,

la interacción débil el cual estudiaremos un poco más a fondo más adelante.

Hacia 1947 se habían detectado una gran cantidad de partículas cuya existencia

había sido predicha teóricamente, se había detectado el mesón 𝜋 de Yukawa, el

positrón y el neutrino, con esto parecía que la física de partículas cobraba por fin un

orden, pero esta cómoda situación no duró mucho, en un experimento que consistía

pasar las partículas provenientes de rayos cósmicos a través de placas de hierro, se

observó un suceso inusual de que se concluyó que se producía una partícula neutra


10

la cual se desintegraba después en dos piones, dejando una novedosa traza en forma

de V, figura (1.1).

Figura 1.1 Descubrimiento del barión 𝜦𝟎.

A esta partícula se le llamó kaón neutro (𝐾0) y el proceso registrado es de la forma:

𝐾0 → 𝜋+ + 𝜋−. (1.4)

Poco tiempo después, se midió el proceso en el que una partícula cargada, denotada

por 𝐾+, se desintegraba en tres piones:

𝐾+ → 𝜋+ + 𝜋− + 𝜋+. (1.5)

Las dos partículas se comportaban de forma similar a los piones y tenían, al igual

que estos, espín entero. A todas las partículas que sufrían interacción nuclear,

además de la débil y la electromagnética, y tenían espín entero, se les llamó mesones.

Después de esto se empezaron a descubrir muchos mesones.


11

Al mismo tiempo se midió un proceso en el que la desintegración producía un pión

y un protón [5]:

Λ0 → 𝜋− + 𝑝. (1.6)

La figura (1.1) muestra los rastros dejados por los productos de desintegración que

describen la anterior ecuación, (1.5).

Estas partículas también producían interacciones fuertes, y poseen un espín

semientero, a todas las partículas con estas características, cuyo comportamiento

coincidía con el de los protones y los neutrones, se les denominó bariones. En años

siguientes se descubrieron muchos otros bariones.

Todas estas partículas tienen un comportamiento “extraño” ya que se creaban en

interacciones nucleares y decaen muy lentamente, para explicar este

comportamiento, se asignó a cada partícula un nuevo número cuántico llamado

“extrañeza” y denominado por 𝑆, esta nueva cantidad debía conservarse en las

reacciones fuertes, pero no en las débiles. A las partículas extrañas se les asignó el

valor de 𝑆 = 1 y a las demás partículas un valor de 𝑆 = 0.

También se introdujo otro nuevo número que se conserva, el número bariónico, cuyo

valor es 1 para los bariones, -1 para las antipartículas y 0 para los mesones y leptones.

Este nuevo número se introdujo debido a la posibilidad de desintegración del

protón, 𝑝 → �̅� + 𝛾, y aunque la probabilidad de tal desintegración no se ha

desechado del todo, es muy baja ya que si ocurriera, los átomos comunes se

desintegrarían.

1.2.1 La óctuple senda y el modelo de los quarks

A mediados de la década de 1960 se habían descubierto demasiadas partículas, lo

cual hacía demasiado complicado trabajar en este campo ya que no había un patrón

que las clasificara y las ordenara, era necesario crear una especie de tabla periódica

que clasificara las partículas por hadrones. Murray Gell-Mann (1929- ) y Yuval

Ne’eman (1925-2006) diseñaron un esquema denominado “la óctuple senda” para


12

clasificar estas partículas. Ambos científicos observaron que tanto bariones como

mesones formaban diagramas muy definidos (multipletes) si se les agrupaba usando

su carga eléctrica y su extrañeza. La óctuple senda reunida a ocho partículas con

características similares donde podían reunirse algunos bariones y algunos mesones

de los muchos que se había descubierto.

En la figura (1.2) se observa el denominado óctuple bariónico, aquí se agrupan los

ocho bariones más livianos. Las partículas con la misma carga (en unidades de carga

del protón) se encuentran sobre la misma diagonal y las partículas en la misma línea

horizontal son partículas con la misma extrañeza.

Figura 1.2. Octuplete de bariones

No solo existían hexágonos, por ejemplo, los diez bariones que seguían en masa se

agrupaban en un decuplete, figura (1.3).

Ilustración 1.3. Decuplete bariónico


13

Al acomodarse los bariones en el decuplete, la partícula denominada Ω− no había

sido detectada, pero Gell-Mann predijo su existencia y el valor de su masa, más

tarde, en 1964 fue detectada.

La óctuple senda originó la pregunta de ¿por qué los hadrones se comportaban de

esta manera tan regular? Pero la respuesta para esta pregunta no tardó mucho en

encontrarse, en 1964, Gell-Mann y Stephan Zweig (1881-1924) propusieron, de forma

independiente, que los hadrones estaban compuestos por partículas

verdaderamente elementales, los quarks. Los quarks eran partículas que se

clasificaban en tres tipos o sabores, caracterizados por su carga eléctrica y su

extrañeza, formando un diagrama de forma triangular, ver figura 1.4.

El quark Up (𝑢) tiene carga 2/3 y extrañeza cero; el quark Down (𝑑) tiene carga

−1/3 y extrañeza cero; el quark extraño (𝑠) tiene carga −1/3 y extrañeza -1. A caga

quark 𝑞 le corresponde un atiqurk �̅� cuya carga y extrañeza en las misma depara los

quarks pero con signo opuesto, ver figura 1.5.

Figura 1.4. Quarks. Figura 1.5. Antiquarks.

La teoría de los quarks nos dice que estas partículas no se encuentran libres en la

naturaleza, pero que los bariones están compuestos por tres quarks (los antibariones

por tres antiquarks) y los mesones por un quark y un antiquark.


14

Con estas reglas se hace un poco más sencillo la construcción de los hadrones, por

ejemplo, el octete de mesones y el decuplete de bariones, pero hay una combinación,

𝑠�̅� que corresponde a una novena partícula que no está en el hexágono. Se trata de

un tercer mesón, a parte del 𝜋0 y del 𝜂, con números cuánticos nulos, fue detectada

la partícula 𝜂′. Explicar el octete bariónco es un poco más complicado porque

requiere tener en cuenta los espines, pero funciona igualmente bien. Efectivamente,

todos los multipletes de la óctuple senda que tienen masas más grandes pueden

explicarse mediante estados excitados de los quarks. Obsérvese que hay ciertos

hadrones cuya existencia sería incompatible con el modelo de quarks. Por ejemplo:

no puede haber un barión con extrañeza igual a cero y carga, no existe combinación

de tres quarks que dé por resultado esos números. Tampoco puede haber un mesón

de carga +2, como la del barión ∆++ o de extrañeza −3, como el barión Ω− .Durante

mucho tiempo se realizó una intensa búsqueda de estas partículas “exóticas”, pero

no se encontró ninguna [6].

1.3 El Modelo Estándar de las partículas elementales

El denominado Modelo Estándar no es propiamente un modelo sino una teoría, de

hecho, una de las mejores teorías que tiene la física de partículas ya que identifica y

agrupa las partículas según sus propiedades y explica cómo interactúan.

Todo lo que pasa en el universo (excepto el efecto de la gravedad) se puede explicar

a través de las partículas que componen el modelo estándar, interactuando de

acuerdo a sus propiedades, sus reglas y las ecuaciones que las definen.

Como vimos anteriormente, en un principio, partículas tales como el protón y el

neutrón junto con centenares de partículas subatómicas que se fueron encontrando

a través de experimentos, se consideraban como elementales, pero con el avance de

las investigaciones científicas y la evolución tecnológica se logró comprobar en

realidad, están compuestas de quarks, leptones y bosones.

Sin embargo, hoy en día se sigue usando el término de partículas elementales para

referirse a cualquier partícula subatómica, aun cuando ya se ha comprobado que

estas partículas no son propiamente elementales.


15

1.4 Partículas verdaderamente elementales

Existen muchas formas de clasificar las partículas según sus propiedades y una de

ellas es por su espín, en este caso se clasifican en Fermiones, que se compone de

todas las partículas de espín semi-entero, y en bosones, que comprende las

partículas de espín entero.

A su vez los fermiones se dividen en dos grupos de partículas, los quarks y los

leptones.

1.4.1 Los quarks

La palabra quark fue una palabra atribuida por Murray Gell-Mann, es una palabra

carente de significado

Existen 6 tipos diferentes de quarks denominados de la siguiente forma:

Up (arriba)

Down (abajo)

Charm (encanto)

Strange (extraño)

Top (cima)

Bottom (fondo)

Cada uno de los anteriores quarks posee una antipartícula o antiquark

respectivamente. Estos nombres se le dieron arbitrariamente y debido a la necesidad

de nombrarlos de forma sencilla, de tal forma que sus nombres fueran fáciles de

recordar. Los quarks strange, charm, top y bottom son partículas elementales muy

inestables y se desintegraron en fracción de segundos después del big bang, pero

para su estudio, los físicos de partículas han creado formas de recrearlos. Los quarks

up y down son mucho más estables y poseen carga eléctrica.


16

En la naturaleza no se encuentran quarks aislados, estos siempre se unen para

formar hadrones formados por dos quarks llamados mesones, o tres quarks

denominados bariones.

Los quarks existentes actualmente poseen una carga eléctrica de −1 3⁄ ó + 2 3⁄ de la

carga elemental, es decir, la carga del electrón.

1.4.2 Leptón

Un leptón es una partícula con espín -1/2 (un fermión) que no experimenta fuerza

nuclear fuerte. Existen seis leptones y sus correspondientes antipartículas, tabla 1.1.

Todos los leptones cargados conocidos tienen una sencilla unidad de carga eléctrica

(que depende de si son partículas o antipartículas) y todos los neutrinos y

antineutrinos tienen carga eléctrica cero.

Los leptones cargados tienen dos estados espín posible, mientras una sola helicidad

es observada por los neutrinos [7].

Tabla 1.1. Leptones

Partícula Símbolo Antipartícula Masa en Reposo

(𝑴𝒆𝑽/𝑪𝟐)

Tiempo de vida (Sg)

Electrón 𝒆− 𝑒+ 0.511 𝐸𝑠𝑡𝑎𝑏𝑙𝑒

Neutrino Electrónico

𝝂𝒆 𝑣�̅� 0 < 7 × 10−6 𝐸𝑠𝑡𝑎𝑏𝑙𝑒

Muon 𝝁− 𝜇+ 105.7 2.21 × 10−6 Neutrino Muónico

𝝂𝝁 𝑣𝜇̅̅ ̅ 0 < 0.27 𝐸𝑠𝑡𝑎𝑏𝑙𝑒

Tau 𝝉− 𝜏+ 1777 2.96 × 10−13 Neutrino Taónico

𝝂𝝉 𝑣�̅� 0 < 31 𝐸𝑠𝑡𝑎𝑏𝑙𝑒


17

1.4.3 Bosones.

La denominación "bosón" fue dada en honor al físico indio Satyendra Nath Bose.

Los bosones se caracterizan por tener momento angular intríseco o espín entero (0,

1,2,…), no cumplen el principio de exclusión de Pauli y siguen la estadística de Bose-

Einstein, la funciones de onda cuántica que describe sistemas de bosones es

simétrica. Algunos bosones son:

Fotones

Bosones W y Z

Bosón de Higgs

Bosón X

Gluones

1.4.4 Hadrones

Lo hadrones son partículas compuestas de quarks, se clasifican en mesones y en

bariones.

Los bariones y mesones tienen mucho en común por lo cual son agrupados dentro

de una misma clase de partículas llamados hadrones palabra que viene del griego

hadros que significa fuerte. Así tenemos que los hadrones interactúan a través de

interacciones fuertes. Además los hadrones son capaces de interactuar por medio de

interacciones débiles, lo cual ocurre cuando reglas de selección prohíben las

interacciones fuertes en su interacción con leptones. Si los hadrones tienen cargas

entonces ellos pueden interactuar también por medio de interacciones

electromagnéticas.

1.4.4.1 Mesones

Los mesones, del griego mesos que significa mediano, son partículas que interactúan

a través de interacciones fuertes, débiles y electromagnéticas. Todos los mesones son


18

bosones ya que tienen un espín entero. Los mesones se clasifican según su espín J y

su paridad P en:

Mesones escalares: son mesones con spin cero y paridad positiva.

Mesones pseudoescalares: son mesones con spin cero y paridad negativa.

Mesones vectoriales: son mesones con spin 1 y paridad positiva paridad

negativa.

Tabla 1.2. Mesones

Partícula Símbolo

Antipartícula Composición Masa

𝑴𝒆𝑽/𝒄𝟐

S C B Tiempo de vida

Modo de decaimiento

Pion 𝝅+ 𝜋− 𝑢�̅� 139.6 0 0 0 2.60× 10−8

𝜇+𝜈𝜇

Pion 𝝅𝟎 𝑙𝑎 𝑚𝑖𝑠𝑚𝑎 𝑢�̅� − 𝑑�̅�

√2

135.0 0 0 0 0.83× 10−16

2𝛾

Kaon 𝑲+ 𝐾− 𝑢�̅� 493.7 +1 0 0 1.24× 10−8

𝜇+𝜈𝜇 , 𝜋+𝜋0

Kaon 𝑲𝒔𝟎 𝐾𝑠

0 1∗ 497.7 +1 0 0 𝑜. 89× 10−10

𝜋+𝜋−, 2𝜋0

Kaon 𝑲𝑳𝟎 𝐾𝐿

0 1∗ 493.7 +1 0 0 5.2× 10−8

𝜋+𝑒−, 𝜈𝑒

Eta 𝜼𝟎 𝑙𝑎 𝑚𝑖𝑠𝑚𝑎 2∗ 548.8 0 0 0 < 10−18 2𝛾, 3𝜇

Eta Prima

𝜼𝟎′ 𝑙𝑎 𝑚𝑖𝑠𝑚𝑎 2∗ 958 0 0 0 … 𝜋+𝜋−𝜂

Rho 𝝆+ 𝜌− 𝑢�̅� 770 0 0 0 0.4× 10−23

𝜋+𝜋0

Rh 𝝆𝟎 𝑙𝑎 𝑚𝑖𝑠𝑚𝑎 𝑢�̅�, 𝑑�̅� 770 0 0 0 0.4× 10−23

𝜋+𝜋−

Omega 𝝎𝟎 𝑙𝑎 𝑚𝑖𝑠𝑚𝑎 𝑢�̅�, 𝑑�̅� 782 0 0 0 0.8× 10−22

𝜋+𝜋−𝜋0

Phi 𝝋 𝑙𝑎 𝑚𝑖𝑠𝑚𝑎 𝑠�̅� 1020 0 0 0 20× 10−23

𝐾+𝐾−, 𝐾0𝐾

D 𝑫+ 𝐷− 𝑐�̅� 1869.4 0 +1 0 10.6× 10−13

𝐾+_, 𝑒+_

D 𝑫𝟎 𝐷0̅̅ ̅̅ 𝑐�̅� 1864.6 0 +1 0 4.2× 10−13

[𝐾, 𝜇, 𝑒]+_

D 𝑫𝒔+ 𝐷𝑠

− 𝑐�̅� 1969 +1 +1 0 4.7× 10−13

𝐾+_

J/Psi 𝑱/𝝍𝝍

𝑙𝑎 𝑚𝑖𝑠𝑚𝑎 𝑐𝑐̅ 3096.9 0 0 0 0.8× 10−20

𝑒+𝑒−, 𝜇+𝜇−…

B 𝑩− 𝐵+ 𝑏�̅� 5279 0 0 −1 1.5× 10−12

𝐷0 + _


19

B 𝑩𝟎 𝐵0 𝑑�̅� 5279 0 0 −1 1.5× 10−12

𝐷0 + _

𝑩𝒔 𝑩𝒔𝟎 𝐵𝑠

0 𝑠�̅� 5370 0 0 −1 . .. 𝐵𝑠− + _

Epsilon 𝚼 𝑙𝑎 𝑚𝑖𝑠𝑚𝑎 𝑏�̅� 9460.4 0 0 0 1.3× 10−20

𝑒+𝑒−, 𝜇+𝜇−…

1.4.4.2 Bariones

Proviene del griego barys que significa pesado. Los bariones son partículas de espín

semi-entero que interactúan fuertemente y su masa en reposo es mayor o igual a la

masa de un nucleón y menor que la de un deuterón. Sufren además interacciones

débiles y electromagnéticas.

Todos los bariones tienen un espín semi-entero y por lo tanto son fermiones. Los

bariones se clasifican en bariones y resonancias bariónicas.

Bariones: las propiedades de los bariones de espín ½ y paridad positiva.

Resonancias Bariónicas.

Notemos el parentesco interno de estas resonancias bariónicas con los bariones.

Cada uno de los productos de los decaimientos es de nuevo un barión. Las

resonancias bariónicas son en cierto modo bariones excitados.

Tabla 1.3. Bariones

Partícula Símbolo Composición Masa en reposo

𝑴𝒆𝑽/𝒄𝟐

Espín B S Tiempo de vida

(Sg)

Modo de decaimiento

Protón 𝒑 𝑢𝑢𝑑 938.3 1/2 +1 0 𝐸𝑠𝑡𝑎𝑏𝑙𝑒 …

Neutrón 𝒏 𝑑𝑑𝑢 939.6 1/2 +1 0 920 𝑝𝑒−𝜈𝑒

Lambda 𝚲𝟎 𝑢𝑑𝑠 1115.6 1/2 +1 −1 2.6× 10−10

𝑝𝜋−, 𝑛𝜋0

Sigma 𝚺+ 𝑢𝑢𝑠 1189.4 1/2 +1 −1 0.8× 10−10

𝑝𝜋0, 𝑛𝜋+

Sigma 𝚺𝟎 𝑢𝑑𝑠 1192.5 1/2 +1 −1 6× 10−20

Λ0𝛾

Sigma 𝚺− 𝑑𝑑𝑠 1197.3 1/2 +1 −1 1.5× 10−10

𝑛𝜋0

Delta 𝚫++ 𝑢𝑢𝑢 1232 3/2 +1 0 0.6× 10−23

𝑝𝜋+

Delta 𝚫+ 𝑢𝑢𝑑 1232 3/2 +1 0 0.6× 10−23

𝑝𝜋0


20

Delta 𝚫𝟎 𝑢𝑑𝑑 1232 3/2 +1 0 0.6× 10−23

𝑛𝜋0

Delta 𝚫− 𝑑𝑑𝑑 1232 3/2 +1 0 0.6× 10−23

𝑛𝜋−

Xi 𝚵𝟎 𝑢𝑠𝑠 1315 1/2 +1 −2 2.9× 10−10

Λ0𝜋0

Xi 𝚵− 𝑑𝑠𝑠 1321 1/2 +1 −2 1.64× 10−10

Λ0𝜋−

Omega 𝛀− 𝑠𝑠𝑠 1672 3/2 +1 −3 0.82× 10−10

Ξ0𝜋0, Λ0𝐾−

Lambda 𝚲𝒆+ 𝑢𝑑𝑐 2281 1/2 +1 0 2

× 10−23 …

1.5 Interacción de las partículas

Cada una de las interacciones se caracteriza por la "carga" que, como la carga

eléctrica, es fuente y receptor de la interacción. El Modelo Estándar es la teoría que

describe todas las interacciones fundamentales, excepto la gravitación. Para este

último, todavía no se tiene una teoría microscópica, pero sí una aproximación

macroscópica, la llamada relatividad general.

La intensidad de las interacciones depende de la escala de energía de los fenómenos

en estudio, por ejemplo, la fuente y el receptor de la interacción gravitatoria es el

tensor de impulso de la energía; en consecuencia, esta interacción es sentida por

todas las partículas. Sin embargo, la gravedad es muy débil en todas las escalas de

energía experimentalmente accesible [5]. A continuación se presenta una breve

descripción de las cuatro interacciones fundamentales conocidas actualmente.

1.5.1 Interacción Gravitacional

La fuerza gravitacional es una fuerza de atracción entre dos partículas y es

proporcional a sus masas. Es una fuerza de largo alcance, controla el movimiento de

los planetas y las galaxias, controla la caída de los cuerpos, y es de carácter general

de nuestro universo [8].

La fuerza gravitacional se calcula:


21

𝐹 = 𝐺𝑚𝑀

𝑅2,

donde G es la llamada constante de gravitación universal y su valor es 𝐺 = 6.67 ×

10−11𝑁𝑚2/𝐾𝑔2; m y M son las masas de los cuerpos que presentan esta fuerza y R

es la distancia que separa estos cuerpos.

La fuerza gravitacional existente entre los cuerpos en el espacio (galaxias, planetas,

estrellas…) es la responsable de dinámica macroscópica existente en el universo y

del equilibrio con el que este evoluciona.

1.5.2 Interacción débil

Es la fuerza responsable de la desintegración radioactiva y el decaimiento beta. El

término “débil” se deriva del hecho de que un campo de fuerzas es de 1013 veces

menor que la interacción nuclear fuerte, sin embargo, a cortas distancias sigue

siendo mucho mayor que la fuerza de gravedad.

En el modelo estándar de la física de partículas, la fuerza débil se considera una

consecuencia del intercambio de bosones W y Z que son muy masivos, y de acuerdo

con el principio de incertidumbre de Heisenberg son de corta vida, lo cual explica el

escaso alcance de este tipo de fuerzas.

1.5.3 Interacción electromagnética

Actúa entre partículas cargadas eléctricamente, por ejemplo, un electrón cargado

negativamente y un positrón de carga positiva se atraen entre sí con una fuerza que

es proporcional a sus cargas eléctricas.

Es responsable de la unión de átomos y administra principalmente todos los

fenómenos conocidos de la vida en la tierra. Esta fuerza se manifiesta en sí a través

de la radiación electromagnética en forma de luz, ondas de radio y rayos-X. El fotón

es un cuanto de la fuerza electromagnética y, es el mediador de la fuerza

electromagnética, que es una fuerza de largo alcance. La energía potencial

electromagnético está dada por [8]:

http://es.wikipedia.org/wiki/Modelo_est%C3%A1ndar

http://es.wikipedia.org/wiki/F%C3%ADsica_de_part%C3%ADculas

http://es.wikipedia.org/wiki/Bosones_W_y_Z

http://es.wikipedia.org/wiki/Principio_de_incertidumbre_de_Heisenberg


22

𝑉 =𝑒𝑀2

𝑟,

( 1.7)

donde r es la distancia que separa las dos partículas.

1.5.4 Interacción fuerte

Es la fuerza responsable de la unión de los protones y los neutrones en el núcleo del

átomo. Es una fuerza fuerte. La fuerza nuclear fuerte es aproximadamente 100 veces

la fuerza electromagnética. Es una fuerza de corto alcance sobre la dimensión

nuclear del orden de 10−13𝑐𝑚.

Los resultados experimentales sobre la dispersión de electrones en núcleos pueden

ser explicados mediante la interacción electromagnética solamente [8] [9].

1.5.5 Interacción electro-débil

En la física de partículas, la interacción electro-débil es la unificación de dos de las

cuatro interacciones fundamentales conocidas de la naturaleza: la interacción

electromagnética y la interacción débil.

El Modelo Estándar de las interacciones electro-débiles fue propuesto por S.L

Glashow, A.Salam, y S. Weinberg para leptones y posteriormente extendido para

grados de libertad hadrónicos mediante el llamado mecanismo Gim. Dicho modelo

es hoy la mejor formulación que unifica las interacciones electromagnéticas y

débiles; es teóricamente consistente y se encuentra en acuerdo con todos los datos

experimentales que involucran fenómenos de origen electro-débil. Para energías que

son pequeñas comparadas con la escala electro-débil dicha teoría produce la

Electrodinámica Cuántica (QED), así como el modelo de Fermi, los cuales dan buena

descripción de las interacciones débiles y electromagnéticas a bajas energías. Dicho

modeló es “mínimo” en el sentido que contiene el número más pequeño de grados


23

de libertad necesarios para describir correctamente todos los experimentos

conocidos [10] .

Me gustaría saber cómo creó Dios este mundo. No me interesa

este aquel fenómeno. El espectro de este o aquel elemento. Lo que

quiero conocer son sus pensamientos, el resto son detalles.

EINSTEIN

25

2 DIRAC, FERMI Y FEYNMAN

En este capítulo se pretende dar a conocer al lector en los conceptos teóricos que se aplican en

el tercer capítulo en el desarrollo del cálculo de la dispersión 𝑒+𝑒− → 𝜇+𝜇−.

La ecuación de Dirac fusiona con éxito la Mecánica Cuántica con la Relatividad Especial. Se

proporciona una descripción natural del espín del electrón, predice la existencia de la

antimateria, y es capaz de predecir con precisión el espectro del átomo de hidrógeno. La

ecuación de Dirac es considerada una transición natural de la Mecánica Cuántica Relativista

a la Teoría Cuántica de Campos [11]. Por otro lado podemos decir que la Regla de Oro de

Fermi es útil para para calcular la taza de transición de un proceso determinado por unidad

de tiempo, y Feynman, mediante sus diagramas, permite la representación de los cálculos

matemáticos dan una probabilidad a una transición entre un estado inicial y un estado final

en teoría cuántica de campos.

2.1 Taza de decaimiento

Cuando se habla de decaimientos, son varias las cantidades que intervienen en el

proceso, pero una de las principales, y de hecho la más importante es la vida útil de

la partícula en cuestión.

La mayoría de las partículas que se conocen son inestables y solo pueden

mantenerse un corto tiempo desde su creación, este tiempo que dura la partícula se

denomina tiempo de vida, entonces cuando nos referimos a tiempo de vida de una

partícula, estamos hablando del tiempo que dura ésta en el proceso de

descomposición, pero cuando se habla de una partícula en cuestión se puede

encontrar con que esta no decae siempre en el mismo tiempo, por ejemplo, todos los

muones son iguales, sin embargo unos decaen primero que otros, entonces no se

puede dar un tiempo de vida exacta para cada partícula, pero lo que si se puede

encontrar un promedio (o media) de vida útil de estas, el cual se denomina como

𝝉.

CAPÍTULO 2 DIRAC, FERMI Y FEYNMAN

26

Otro factor importante que se tiene en cuenta para el cálculo de la vida media de

una partícula es el hecho de que independientemente del momento en que fueron

creadas, todas las partículas tienen la misma posibilidad de decaer.

Para calcular la vida media de una partícula se parte del hecho de suponer que se

tiene un número 𝑁0 de partículas idénticas, el número de partículas N que decae

está dado por (ver apéndice D):

𝑑𝑁 = −Γ𝑁𝑑𝑡. (2.1)

Resolviendo la anterior ecuación por separación de variables se encuentra el valor

de N:

∫𝑑𝑁

𝑁= −∫Γ𝑑𝑡

( 2.2)

𝐿𝑛(𝑁) = Γ𝑡 + 𝑘.

(2.3)

Donde k es una constante de integración. Entonces

𝑁 = 𝐶𝑒−Γ𝑡. (2.4)

Pero se sabe que en un tiempo 𝑡 = 0 se tiene que 𝑁 = 𝑁0, entonces

𝑁(𝑡) = 𝑁0𝑒−Γ𝑡, (2.5)

donde Γ es la taza de decaimiento, es decir, la probabilidad de que una partícula

cualquiera decaiga por unidad de tiempo. Evidentemente el número de partículas

N disminuye exponencialmente con el tiempo. Entonces el tiempo de vida media es

simplemente la inversa del decaimiento,

𝜏 =1

Γ . (2.6)


27

2.2 Sección eficaz

La sección eficaz de dispersión 𝝈 es el espacio en el que un sistema de partículas

tiene influencia sobre otro y brinda toda la información del proceso de dispersión

(ver Apéndice D). Para cada uno de los procesos el sistema dispersor es el mismo,

pero con resultados diferentes; cada uno de estos procesos tiene su propia sección

eficaz transversal, entonces la sección eficaz para un proceso determinado, por

ejemplo, electrón-muon está dada por [12]

𝜎 =∑𝜎𝑖

𝑛

𝑖=1

. (2.7)

2.3 La regla de Oro de Fermi

La regla de oro de Fermi es un método empleado para calcular la taza de transición,

es decir, la probabilidad de que ocurra la transición por unidad de tiempo en un

proceso determinado. La regla de oro de Fermi dice que la probabilidad de la

transición de cualquier proceso es proporcional al acoplo entre los estados inicial y

final conocida como amplitud por el número de maneras distintas en que se puede

dar la transición; el espacio de fase, y está dado por [12]

𝑇𝑎𝑧𝑎 𝑑𝑒 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑖𝑐𝑖ó𝑛 =2𝜋

ℏ|𝔐|2 × (𝑒𝑠𝑝𝑎𝑐𝑖𝑜 𝑑𝑒 𝑓𝑎𝑐𝑒). (2.8)

Donde 𝔐 es la amplitud del proceso, la cual contiene toda la información dinámica,

mientras que el espacio de fase contiene la parte cinemática, la cual lleva la

información de la masa, la energía y el momento de las partículas implicadas.


28

Existen dos variaciones de la regla de oro de Fermi dependiendo del tipo de proceso

que se lleve a cabo, la regla de oro de Fermi para Dispersión y la regla de oro de

Fermi para decaimientos.

2.3.1 Regla de Oro de Fermi para Decaimientos

Suponiendo que una partícula decae en n partículas 1 → 2 + 3 + 4 +⋯+ 𝑛, la regla

de oro toma la forma [12]

𝑑Γ = |𝔐|2𝑠

2ℏ𝑚1[(

𝑐𝑑3𝑷𝟐(2𝜋)32𝐸2

)(𝑐𝑑3𝑷𝟑(2𝜋)32𝐸3

)…(𝑐𝑑3𝑷𝒏(2𝜋)32𝐸𝑛

)]

× (2𝜋)4𝛿4(𝑝1 − 𝑝2 − 𝑝3−⋯−𝑝𝑛),

(2.9)

donde 𝑠 =1

𝑗! con 𝑗 es el número de partículas idénticas en el estado final luego del

decaimiento.

La función 𝛿 garantiza el principio de conservación de energía y el momento, los

cuales forman el espacio de fase con los cuadrimomentos y las energías de cada

partícula.

Por otro lado

𝑝𝑖 = (𝐸𝑖𝑐, 𝑷𝒊) 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒

𝐸𝑖𝑐= √𝑚𝑖

2𝑐2 + 𝒑𝑖2.

(2.10)

2.3.2 Regla de Oro de Fermi para Dispersión

En los procesos de dispersión dos partículas interactúan entre sí sufriendo una

dispersión en n partículas de la forma 1 + 2 → 3 + 4 +⋯+ 𝑛.

La regla de oro para dispersión está dada por [12]


29

𝑑σ = |𝔐|2ℏ2𝑠

4√(𝑝1𝑝2)2 − (𝑚1𝑚2𝑐)

2[(

𝑐𝑑3𝑷𝟐(2𝜋)32𝐸2

)(𝑐𝑑3𝑷𝟑(2𝜋)32𝐸3

)…(𝑐𝑑3𝑷𝒏(2𝜋)32𝐸𝑛

)]

× (2𝜋)4𝛿4(𝑝1 − 𝑝2 − 𝑝3−⋯−𝑝𝑛),

( 2.11)

donde 𝑝𝑖 y 𝐸𝑖 están dadas en la ecuación (2.10).

Figura 2.1. Proceso visto desde el centro de masa.

Para nuestro caso a tratar que es el proceso de dispersión 𝑒+𝑒− → 𝜇+𝜇− se tienen 2

partículas que se dispersan en otras dos de la forma 1 + 2 → 3 + 4, este proceso visto

desde el centro de masa se representa en la figura (2.1). Aplicando la regla de Oro

para calcular la sección eficaz de dispersión, tenemos que la ecuación (2.11) queda

de la forma:

𝑑σ = |𝔐|2ℏ2𝑠

4√(𝒑𝟏𝒑𝟐)2 − (𝑚1𝑚2𝑐)2[(

𝑐𝑑3𝑷𝟑(2𝜋)32𝐸3

)(𝑐𝑑3𝑷4(2𝜋)32𝐸4

)]

× (2𝜋)4𝛿4(𝑝1 + 𝑝2 − 𝑝3−𝑝4).

(2.12)

Para simplificar los cálculos se supone que en el marco de referencia del centro de

masa se cumple que: 𝑷𝟏 = −𝑷𝟐 , entonces el producto punto de los cuadri-

momentos serían:


30

𝒑1. 𝒑2 =𝐸1𝐸2𝑐2

+ 𝒑12. (2.13)

Sumando las energías de las partículas 1 y 2 dadas en la ecuación (2.10) se tiene que:

𝐸1𝑐+𝐸2𝑐= √𝑚1

2𝑐2 + 𝒑12 +√𝑚2

2𝑐2 + 𝒑22.

Elevando al cuadrado, agrupando términos y multiplicando por 𝑷𝟏𝟐 se obtiene:

𝑷𝟏𝟐 (𝐸1 + 𝐸2𝑐

)2

= 𝑷𝟏𝟒 + 2

𝐸1𝐸2𝑐2

+ 𝑷𝟐𝟐𝑷𝟏

𝟐 + 𝑷𝟏𝟐𝑚𝟏

𝟐𝑐𝟐 + 𝑷𝟏𝟐𝑚𝟐

𝟐𝑐𝟐.

Sustituyendo en la parte derecha de la igualdad los valores para 𝑷𝟏𝟐 y 𝑷𝟐

𝟐 según la

ecuación (2.10) y factorizando términos se llega a que:

𝑷𝟏𝟐 (𝐸1 + 𝐸2𝑐

)2

= (𝑷𝟏𝟐 +

𝐸1𝐸2𝑐2

)2

+𝑚12(𝐸1

2 − 𝐸22) − 𝑚1

4𝑐4, (2.14)

pero como 𝑷𝟏 = −𝑷𝟐 entonces 𝑷𝟏𝟐 = 𝑷𝟏

𝟐, por lo tanto:

𝐸12

𝑐2−𝑚1

2𝑐2 =𝐸22

𝑐2−𝑚2

2𝑐2 (2.15)

𝐸12 − 𝐸2

2 = 𝑐4(𝑚12 −𝑚2

2). (2.16)


31

Sustituyendo las ecuaciones (2.13), (2.15) y (2.16) en (2.14) se obtiene

|𝑷1| (𝐸1 + 𝐸2𝑐

) = √(𝑝1𝑝2)2 − (𝑚1𝑚2𝑐2)2,

(2.17)

tomando la ecuación (2.17) y sustituyéndola en la ecuación (2.12) se obtiene que

𝑑σ = |𝔐|2ℏ2𝑠𝑐

4|𝑷1|(𝐸1 + 𝐸2)[(

𝑐𝑑3𝑷𝟑(2𝜋)32𝐸3

)(𝑐𝑑3𝑷4(2𝜋)32𝐸4

)]

× (2𝜋)4𝛿4(𝑝1 + 𝑝2 − 𝑝3−𝑝4),

(2.18)

factorizando términos se tiene que

𝑑σ = (𝑐ℏ

8𝜋)2 |𝔐|2𝑠𝑐

|𝑷1|(𝐸1 + 𝐸2)[(𝑑3𝑷𝟑𝑑

3𝑷4𝐸3𝐸4

)]

× 𝛿4(𝑝1 + 𝑝2 − 𝑝3−𝑝4).

,(2.19)

Pero 𝛿4(𝑝1 + 𝑝2 − 𝑝3−𝑝4) = δ(𝑝10 + 𝑝2

0 − 𝑝30 − 𝑝4

0)𝛿3(𝑷1 + 𝑷2 −𝑷3 −𝑷4) y teniendo

en cuenta que 𝑷𝟏 = −𝑷𝟐 se llega a

𝑑σ = (𝑐ℏ

8𝜋)2 |𝔐|2𝑠𝑐

|𝑷1|(𝐸1 + 𝐸2)[(𝑑3𝑷𝟑𝑑

3𝑷4𝐸3𝐸4

)]

× 𝛿 (𝐸1 + 𝐸2𝑐

−𝐸3 + 𝐸4𝑐

) 𝛿3(−𝑷3 − 𝑷4).

( 2.20)

Por la ecuación (2.10) sabemos que 𝐸𝑖

𝑐= √𝑚𝑖

2𝑐2 + 𝒑𝑖2 entonces sustituyendo las

energías 𝐸3 y 𝐸4 en la ecuación (2.20) se tiene que


32

𝑑σ = (𝑐ℏ

8𝜋)2 |𝔐|2𝑠𝑐

|𝑷1|(𝐸1 + 𝐸2)[(𝑑3𝑷𝟑𝑑

3𝑷4𝛿 (𝐸1 + 𝐸2𝑐

− √𝑚32𝑐2 + 𝑷3

2 − √𝑚42𝑐2 + 𝑷4

2)

𝑐2√𝑚32𝑐2 + 𝑷3

2√𝑚42𝑐2 + 𝑷4

2)]

× 𝛿3(−𝑷3 − 𝑷4),

(2.21)

integrando respecto a 𝑷4 , por la propiedad 1 de la función Delta de Dirac 𝛿 (ver

Apéndice B), se evalúa 𝑷4 → −𝑷3 y se llega a:

𝑑σ = (𝑐ℏ

8𝜋)2 |𝔐|2𝑠

𝑐|𝑷1|(𝐸1 + 𝐸2)[(𝛿 (𝐸1 + 𝐸2𝑐

− √𝑚32𝑐2 + 𝑷3

2 − √𝑚42𝑐2 + 𝑷3

2)

√𝑚32𝑐2 + 𝑷3

2√𝑚42𝑐2 + 𝑷3

2𝑑3𝑷𝟑)],

(2.22)

teniendo en cuenta que 𝐸 = 𝑐√𝑚𝑖2𝑐2 + 𝑷𝑖

2 y también que 𝑷𝟑 = −𝑷𝟒, para las

partículas después de la dispersión se tiene que

𝑑𝐸

𝐸=

|𝑷3|𝑑𝑷3

√𝑚32𝑐2 + 𝑷3

2√𝑚42𝑐2 + 𝑷3

2,

(2.23)

donde 𝐸 = 𝐸3 + 𝐸4. Sustituyendo la ecuación (2.23) en la ecuación (2.22) y teniendo

en cuenta que en coordenadas esféricas el diferencial de volumen toma la forma

𝑑3𝑷𝟑 = 𝑷𝟑𝟐𝑑𝑷𝟑𝑑Ω, entonces se llega a:

𝑑σ = (𝑐ℏ

8𝜋)2 |𝔐|2𝑠

𝑐|𝑷1|(𝐸1 + 𝐸2)[(𝛿 (

𝐸1 + 𝐸2𝑐

−𝐸

𝑐)|𝑷3|

𝐸𝑑Ω𝑑𝐸)],

(2.24)

donde 𝑑Ω = sin𝜙 𝑑𝜃𝑑𝜙. Usando las propiedades 2 y 6 para el Delta de Dirac 𝛿 (ver

Apéndice B), se tiene para el cálculo realizado anteriormente que:


33

𝛿 (𝐸1 + 𝐸2𝑐

−𝐸

𝑐) = 𝑐𝛿(𝐸 − (𝐸1 + 𝐸2)).

(2.25)

Ahora sustituyendo (2.25) en (2.24) se tiene que

𝑑σ

𝑑Ω= (

𝑐ℏ

8𝜋)2 |𝔐|2𝑠

𝑐|𝑷1|(𝐸1 + 𝐸2)[(𝑐𝛿(𝐸 − (𝐸1 + 𝐸2))

|𝑷3|

𝐸𝑑𝐸)],

(2.26)

y evaluando la integral sobre E se llega a

𝑑σ

𝑑Ω= (

𝑐ℏ

8𝜋)2 |𝔐|2𝑠

(𝐸1 + 𝐸2)2|𝑷3|

|𝑷1|.

(2.27)

Es importante resaltar que la integral no está resuelta completamente debido a que

por el momento no se conoce el valor de la amplitud 𝔐 ni de que forma depende de

la interacción de las partículas y el ángulo 𝜃.

Como 𝑷𝟏 = −𝑷𝟐 𝑷𝟑 = −𝑷𝟒 en la ecuación (2.26) puede aparecer cualquiera de los

momentos de las partículas entrantes y salientes. Pero para poder calcular la sección

transversal de dispersión para un proceso 1 + 2 → 3 + 4 es necesario conocer la

forma de la amplitud de decaimiento |𝔐|2 del proceso [12].

2.4 Ecuación de Dirac

La ecuación de Dirac es una de las ecuaciones más importantes que se puede

encontrar en la física de Partículas. Paul Dirac, físico británico que contribuyó al

desarrollo de la mecánica cuántica y la electrodinámica cuántica. En 1928 Dirac

formuló su famosa ecuación que describe el comportamiento cuántico de sistemas

que se mueven de forma relativista, introduciendo términos relativistas a la

mecánica cuántica. La ecuación de Dirac describe de forma precisa partículas


34

elementales de spin 1/2 como por ejemplo el electrón, además esta ecuación predice

la existencia de la antipartícula.

Esta ecuación es una de las mayores contribuciones del siglo XX a la ciencia, logro

dar un giro total a la forma en comprendiamos la materia entendiendo ahora

conceptos de antimateria y espín de partículas elementales.

Es difícil saber de qué forma pensaba Dirac en el momento de formular esta ecuación

que da respuesta a los problemas que presentaban descripciones relativistas de los

fenómenos cuánticos, sin embargo a continuación se hará un desarrollo detallado de

una posible forma de derivar esta ecuación.

2.4.1 Ecuación de Schrödinger

La teoría cuántica planteo el problema de describir partículas que se movieran a

velocidades cercanas a las de la luz, para poder lograr esto era necesario unir los

principios cuánticos y relativistas de tal modo que la descripción fuera consistente y

libre de contradicciones internas.

Partiendo de la relación clásica de la energía

𝐸 =𝑃2

2𝑚+ 𝑉(𝑥), ( 2.28)

donde P es el momento, m la masa, y V el potencial.

Utilizando la correspondencia entre las cantidades clásicas y operadores cuánticos

donde:

�̂� = 𝑖ℏ𝜕

𝜕𝑡

�̂� = −𝑖ℏ𝜕

𝜕𝑥

�̂⃑� = −𝑖ℏ∇

(2.29)


35

�⃑�2̂ = −ℏ2∇2,

donde ∇2=𝜕2

𝜕𝑥2+

𝜕2

𝜕𝑦2+

𝜕2

𝜕𝑧2.

Sustituyendo las equivalencias de las ecuaciones (2.29) en la ecuación (2.28) y

dejando que los operadores resultantes actúen sobre la función de onda 𝜓 se obtiene

la ecuación de Schrödinger

𝑖ℏ𝜕𝜓

𝜕𝑡= −

−ℏ2

2𝑚∇2𝜓 + 𝑉𝜓.

(2.30)

La ecuación de Schrödinger es de primer orden en el tiempo y de segundo orden en

las ecuaciones espaciales lo cual genera un problema para afrontar un estudio

relativista donde las coordenadas espaciales y temporales están en el mismo orden

[14].

2.4.2 Ecuación de Klein Gordon

Se parte de la relación relativista entre la masa, la energía y el momento:

𝐸2 = 𝑝2𝑐2 +𝑚2𝑐4. (2.31)

Utilizando las relaciones encontradas en (2.29) y sustituyéndolas en la ecuación

(2.31) y aplicando este resultado sobre un campo 𝜙 que dependerá de las

coordenadas espaciales y el tiempo, se encuentra la ecuación de Klein Gordon [15]:

−ℏ2𝜕2𝜙

𝜕𝑡2= −ℏ2𝑐2∇2𝜙 +𝑚2𝑐4.

(2.32)


36

Esta ecuación muestra cómo evoluciona cuánticamente una partícula escalar, de

espín nulo, de forma relativista.

Para solucionar esta ecuación se introduce una función de una onda plana:

𝜙(�⃑�, 𝑡) = 𝑒−𝑖𝑝.𝑥,

donde 𝑝 = (𝐸, 𝑝) y 𝑥 = (𝑡, �⃑�). Por lo tanto 𝑝. 𝑥 = 𝑝𝜇𝑥𝜇 = 𝐸𝑡 − �⃑�. �⃑�.

Calculando las derivadas:

𝜕𝜙

𝜕𝑡=𝜕

𝜕𝑡𝑒−𝑖(𝐸𝑡−𝑝𝑥) = −𝑖𝐸𝑒−𝑖(𝐸𝑡−𝑝𝑥) = −𝑖𝐸𝜙

𝜕𝜙

𝜕𝑥=𝜕

𝜕𝑥𝑒−𝑖(𝐸𝑡−𝑝𝑥) = 𝑖𝑝𝑒−𝑖(𝐸𝑡−𝑝𝑥) = 𝑖𝑝𝜙.

(2.33)

Ahora se introducen las derivadas en la ecuación (2.32) y reagrupando se obtiene

que:

𝜕2𝜙

𝜕𝑡2−𝜕2𝜙

𝜕𝑥2= −𝐸2𝜙 + 𝑝2𝜙

(2.34)

(𝐸2 − 𝑝2)𝜙 = 𝑚2𝜙, (2.35)

esto implica que 𝜙 satisface:

𝐸2 − 𝑝2 = 𝑚2, (2.36)

despejando la energía se tiene que:

𝐸 = ±√𝑝2 +𝑚2. (2.37)


37

La anterior ecuación muestra un valor de energía negativa para las partículas, lo cual

es inaceptable, pero el verdadero problema de esta ecuación radica en que cuando

se aplica a una única partícula esta nos indica que hay estados donde la probabilidad

de encontrar dicha partícula en una región del espacio puede ser negativa.

Schrödinger descartó la ecuación de Klein Gordon debido a sus inconsistencias. Sin

embargo muchos científicos se dedicaron a solucionar el problema que conllevaba

establecer una teoría que fundiera la cuántica con la relatividad, entre ellos Paul

Dirac.

2.4.3 Derivación de la ecuación de Dirac

Primero que todo, se considerará que 𝑐 = ℏ = 1.

La relación entre la energía y el momento relativista tiene que cumplirse en

cualquiera de los casos:

𝐸2 = 𝑝2 +𝑚2. (2.38)

Realizando las sustituciones usuales en cuántica para la energía y el

momento: 𝐸 = 𝑖𝜕𝑡 y �⃑� = (−𝑖∇⃑⃑⃑). Reemplazando en la ecuación anterior se llega

a:

(𝑖𝜕𝑡)2𝜓 = ((−𝑖∇⃑⃑⃑)

2+𝑚2)𝜓.

Esta ecuación es la ecuación (2.35), es decir, la de Klein-Gordon.

Por otro lado, se sabe que la ecuación de Schödinger se puede escribir

formalmente como 𝑖𝜕𝑡𝜓 = 𝐻𝜓. Consideremos ahora que la parte del

Hamiltoniano en la ecuación de Klein-Gordon en realidad es el cuadrado de

un Hamiltoniano previo que se puede escribir con toda tranquilidad como:

𝐻 = �⃑�(−𝑖∇⃑⃑⃑) + 𝛽𝑚,

entonces


38

𝐻2 = (−𝑖∇⃑⃑⃑)2+𝑚2.

�⃑� = (𝛼1, 𝛼2, 𝛼3) y 𝛽 son contantes a determinar.

Si ahora se desarrolla el cuadrado del Hamiltoniano propuesto se tiene que:

𝐻2 = (𝛼𝑖(−𝑖∇𝑖) + 𝛽𝑚)(𝛼𝑗(−𝑖∇𝑗) + 𝛽𝑚). (2.39)

Escribiendo la sumatoria de forma explícita se tiene que

𝐻2 =∑ 𝛼𝑖𝛼𝑗(−𝑖∇𝑖)(−𝑖∇𝑗) +𝑖,𝑗

∑𝛼𝑖𝛽(−𝑖∇𝑖)𝑚 +𝑖

∑ 𝛽𝛼𝑗(−𝑖∇𝑗)𝑚𝑖,𝑗

+ 𝛽2𝑚2.

(2.40)

La primera sumatoria se puede dividir en dos partes. La primera cuando 𝑖 = 𝑗 y la

otra haciendo la suma para valores 𝑖 > 𝑗 simetrizando los productos para poder

recorrer todos los términos requeridos para la suma,

𝐻2 =∑ 𝛼𝑖2(−𝑖∇𝑖)

2 +𝑖

∑ (𝛼𝑖𝛼𝑗 + 𝛼𝑗𝛼𝑖)(−𝑖∇𝑖)(−𝑖∇𝑗) +𝑖>𝑗

∑ (𝛼𝑖𝛽 + 𝛽𝛼𝑖)(−𝑖∇𝑖)𝑚 + 𝛽2𝑚2

𝑖,

(2.41)

ahora se impone que la ecuación (2.41) sea el Hamiltoniano de Klein –Gordon,

imponiendo así la relación relativista entre energía y tiempo, entonces


39

∑𝛼𝑖2(−𝑖∇𝑖)

2 +𝑖

∑ (𝛼𝑖𝛼𝑗 + 𝛼𝑗𝛼𝑖)(−𝑖∇𝑖)(−𝑖∇𝑗) +𝑖>𝑗

∑ (𝛼𝑖𝛽 + 𝛽𝛼𝑖)(−𝑖∇𝑖)𝑚 + 𝛽2𝑚2

𝑖= (−𝑖∇⃑⃑⃑)

2+𝑚2.

(2.42)

Las relaciones que tienen que cumplir 𝛼𝑖 y 𝛽 para que esto sea posible son:

𝛼𝑖2 = 𝐼

𝛽2 = 𝐼 𝛼𝑖𝛼𝑗 + 𝛼𝑗𝛼𝑖 = 0 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑖 ≠ 𝑗

𝛼𝑖𝛽 + 𝛽𝛼𝑖 = 0

Donde I es la matriz identidad.

Se puede reescribir las anteriores propiedades usando el anti conmutador. Se tienen

dos objetos matemáticos, A y B, y el anti conmutador { , }, entonces:

{𝐴, 𝐵} = 𝐴𝐵 + 𝐵𝐴.

Si el resultado da cero entonces se puede decir que A y B anti-conmutan y entonces

evidentemente 𝐴𝐵 = −𝐵𝐴.

Entonces se tiene:

{𝛼𝑖, 𝛼𝑗} = 0 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑖 ≠ 𝑗

{𝛼𝑖, 𝛽} = 0

𝛼𝑖2 = 𝛽2 = 𝐼 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑖 = 1,2,3.

Por lo tanto (𝛼1, 𝛼2, 𝛼3) y 𝛽 son objetos cuyo cuadrado nos da la unidad y anti

conmutan entre ellos. Por lo tanto estos objetos necesariamente tienen que ser

matrices.

La ecuación de Dirac tiene la forma:

𝑖𝜕𝑡𝜓 = [�⃑�(−𝑖∇⃑⃑⃑) + 𝛽𝑚]𝜓. (2.43)

Si se extiende la expresión de la ecuación de Dirac se obtiene que:


40

𝑖𝜕𝑡𝜓 = [𝛼1(−𝑖𝜕𝑥) + 𝛼2(−𝑖𝜕𝑦) + 𝛼3(−𝑖𝜕𝑧)]𝜓 + 𝛽𝑚𝜓. (2.44)

Ahora se va a numerar una serie de propiedades que deben cumplir las matrices

(𝛽, 𝛼1, 𝛼2, 𝛼3) .

1. El Hamiltoniano debe ser hermítico ya que este nos dará la energía del

sistema y por lo tanto sus valores deben ser reales.

𝐻 = 𝐻ϯ.

2. La masa m es un escalar positivo y por lo tanto es hermítico. El momento 𝑝𝑖 =

−𝑖𝜕𝑖 es un operador hermítico, 𝑝𝑖ϯ= 𝑝𝑖 y por lo tanto 𝛼𝑖 y 𝛽 también deben

ser hermíticas.

3. Las trazas de las matrices 𝛼𝑖 y 𝛽 son nulas. Es decir, la suma de la diagonal

principal de las matrices da cero.

Se parte de

{𝛼𝑖, 𝛽} = 𝛼𝑖𝛽 + 𝛽𝛼𝑖 = 0,

entonces

𝛼𝑖𝛽 = −𝛽𝛼𝑖.

Calculando las trazas

a) 𝑇𝑟(𝛼𝑖).

Multiplicando la matriz 𝛼𝑖 por la matriz identidad se tiene que:

𝑇𝑟(𝛼𝑖) = 𝑇𝑟(𝛼𝑖𝐼).

Recordemos que: 𝛼𝑖2 = 𝛽2 = 𝐼 entonces se puede escribir

𝑇𝑟(𝛼𝑖) = 𝑇𝑟(𝛼𝑖𝐼) = 𝑇𝑟(𝛼𝑖𝛽2) = 𝑇𝑟(𝛼𝑖𝛽𝛽),

pero 𝛼𝑖𝛽 = −𝛽𝛼𝑖, entonces


41

𝑇𝑟(𝛼𝑖𝛽𝛽) = 𝑇𝑟(−𝛽𝛼𝑖𝛽) = −𝑇𝑟(𝛽𝛼𝑖𝛽).

Recordemos que las trazas tienen una propiedad cíclica que dice que

𝑇𝑟(𝐴𝐵𝐶) = 𝑇𝑟(𝐶𝐴𝐵) = 𝑇𝑟(𝐵𝐶𝐴),

entonces

𝑇𝑟(𝛼𝑖𝛽𝛽) = 𝑇𝑟(−𝛽𝛼𝑖𝛽) = −𝑇𝑟(𝛽𝛼𝑖𝛽) = −𝑇𝑟(𝛽𝛽𝛼𝑖).

Pero el cuadrado de beta nos da la matriz identidad, por lo tanto:

𝑇𝑟(𝛼𝑖𝛽𝛽) = 𝑇𝑟(−𝛽𝛼𝑖𝛽) = −𝑇𝑟(𝛽𝛼𝑖𝛽) = −𝑇𝑟(𝛽𝛽𝛼𝑖) = −𝑇𝑟(𝐼𝛼𝑖) = −𝑇𝑟(𝛼𝑖),

con lo que queda se obtiene que:

𝑇𝑟(𝛼𝑖) = −𝑇𝑟(𝛼𝑖).

Esto solo es posible si la traza es nula, por lo tanto:

𝑇𝑟(𝛼𝑖) = 0.

b) 𝑇𝑟(𝛽) se calcula de forma simila que la 𝑇𝑟(𝛼𝑖) llegando también a la

conclusión de que:

𝑇𝑟(𝛽) = 0.

Continuando con las propiedades que deben cumplir las matrices (𝛽, 𝛼1, 𝛼2, 𝛼3).

4. Es necesario conocer los auto valores asociados a las matrices.


42

Para calcular los auto valores de una matriz se hace de la siguiente forma. Por

ejemplo para 𝛽. Se supone que se tiene un vector �⃑� que es propio de 𝛽. Entonces

𝛽�⃑� = 𝐾�⃑�.

Esto quiere decir que cuando 𝛽 actúa sobre �⃑� el resultado es un número (que puede

ser o no complejo) multiplicado por el mismo vector 𝑣.⃑⃑⃑ ⃑

Si se aplica 𝛽 sobre la parte derecha e izquierda de la anterior expresión se tiene que:

𝛽(𝐾�⃑�) = 𝐾𝛽�⃑� = 𝐾𝐾�⃑� = 𝐾2�⃑�

𝛽(𝛽�⃑�) = 𝛽2�⃑� = 𝐼�⃑� = �⃑�,

entonces:

𝐾2 = 1

𝑘 = ±1.

Por lo tanto los auto valores para 𝛽 son +1 y -1 posiblemente degenerados. De forma

similar se hace el procedimiento para los autovalores de 𝛼𝑖 obteniendo de igual

forma que para 𝛽, que sus autovalores son +1 y -1.

5. Se necesita establecer el rango que tienen las matrices.

Sabemos que

𝛽𝛼𝑖 = −𝛼𝑖𝛽 = (−𝐼)𝛼𝑖𝛽,

tomando los determinantes y usando la propiedad de los determinantes que dice

que


43

𝑑𝑒𝑡(𝛽) det (𝛼𝑖) = det (𝛼𝑖)det (𝛽).

Por otro lado se tiene que

det (𝛽𝛼𝑖) = det (−𝛼𝑖𝛽) = det ((−𝐼)𝛼𝑖𝛽) = (−1)𝑛𝑑𝑒𝑡 (𝛼𝑖)𝑑𝑒𝑡(𝛽),

luego

(−1)𝑛𝑑𝑒𝑡 (𝛼𝑖)𝑑𝑒𝑡(𝛽) = 𝑑𝑒𝑡 (𝛼𝑖)𝑑𝑒𝑡(𝛽).

La única forma para que (−1)𝑛 = 1 es que n sea un número par.

6. Se necesita saber si las matrices (𝛽, 𝛼1, 𝛼2, 𝛼3) son linealmente independientes

o no.

Supongamos que la matriz 𝛽 es linealmente dependiente, entonces

𝛽 =∑ 𝑏𝑖𝛼𝑖3

𝑖=1,

𝑏𝑖 representa los coeficientes de la combinación lineal, generalmente son

números complejos.

Sabemos que {𝛽, 𝛼𝑖} = 0, entonces

0 = {𝛽, 𝛼𝑖} = {𝑏𝑖𝛼𝑖 , 𝛼𝑖} = 𝑏𝑖{𝛼𝑖, 𝛼𝑖} = 2𝑏𝑖(𝛼𝑖)2 = 2𝛽𝑖𝐼.


44

Como la anterior expresión es nula, la única posibilidad para esto es que 𝑏𝑖 = 0

para i= 1,2,3. Por lo tanto las matrices (𝛽, 𝛼1, 𝛼2, 𝛼3) son linealmente

independientes.

7. También es necesario determinar el tamaño mínimo de las matrices.

Para una matriz 𝑛 × 𝑛 y hermítica los grados están definidos por 𝑛2. Si además la

matriz no tiene traza, como es este el caso, los grados se reducen en uno ya que al

menos un elemento de la diagonal ha de ser combinación lineal de los demás

elementos. Entonces se tiene que los grados de libertad serian 𝑛2 − 1.

Probando, n tiene que ser par entonces:

22 − 1 = 3 .

No es posible tener las relaciones de anti-conmutación requeridas de cuatro matrices

con este rango.

42 − 1 = 15.

15 grados de libertad son más que suficientes, entonces n tiene que ser par y 𝑛 ≥ 4.

En conclusión las matrices (𝛽, 𝛼1, 𝛼2, 𝛼3) son linealmente independientes, sin traza,

hemíticas, su cuadrado nos da la matriz identidad, anticonmutan entre ellas y su

rango mínimo debe ser de 4.

Ahora se realiza un cambio de variable para poder llegar a la expresión de la

ecuación de Dirac que se encuentra popularmente.

𝛽 = 𝛾0

𝛽𝛼𝑖 = 𝛾𝑖.

Entonces se tienen las matrices gamma { 𝛾0, 𝛾1, 𝛾2, 𝛾3}.


45

Para escribir la ecuación de Dirac en término de las matrices gamma partimos de

𝑖𝜕0𝜓 = [𝛼1(−𝑖𝜕1) + 𝛼2(−𝑖𝜕2) + 𝛼3(−𝑖𝜕3)]𝜓 + 𝛽𝑚𝜓.

( 2.45)

Simplificando se tiene que:

𝑖𝜕0𝜓 = [𝛼𝑖(−𝑖𝜕𝑖) + 𝛽𝑚]𝜓, (2.46)

multiplicando 𝛽 por la ecuación (2.46) se tiene que:

𝑖𝛽𝜕0𝜓 = [−𝑖𝛽𝛼𝑖𝜕𝑖 + 𝛽𝛽𝑚]𝜓. (2.47)

Recordemos que 𝛽𝛽 = 𝛽2 = 𝐼, 𝛽 = 𝛾0 y 𝛽𝛼𝑖 = 𝛾𝑖, entonces se tiene que la ecuación

(2.47) queda de la forma:

𝑖𝛾0𝜕0𝜓 = [−𝑖𝛾𝑖𝜕𝑖 +𝑚]𝜓, (2.48)

ahora se sustituye 𝛾𝜇 donde 𝜇 = 0,1,2,3,4,

𝑖𝛾𝜇𝜕𝜇𝜓 −𝑚𝜓 = 0, (2.49)

donde 𝜓 = (

𝜓1𝜓2𝜓3𝜓4

) . La ecuación (2.49) es la ecuación de Dirac en su forma más

conocida.


46

2.4.4 Solución de la ecuación de Dirac.

Supongamos que la función de onda 𝜓 es independiente de la posición, es decir, el

momento de la partícula es cero y la partícula estaría en reposo, entonces

𝜕𝜓

𝜕𝑥=𝜕𝜓

𝜕𝑦=𝜕𝜓

𝜕𝑧= 0.

(2.50)

Teniendo en cuenta la ecuación (2.50) la ecuación de Dirac se reduce a

𝑖𝛾𝑜𝜕𝜓

𝜕𝑡−𝑚𝜓 = 0, (2.51)

escrito en forma matricial

(1 00 −1

) (𝜕𝜓𝐴/𝜕𝑡𝜕𝜓𝐵/𝜕𝑡

) = −𝑖𝑚 (𝜓𝐴𝜓𝐵), (2.52)

donde 𝜓𝐴 = (𝜓1𝜓2) y 𝜓𝐵 = (

𝜓3𝜓4).

De esta forma podemos ver que de la ecuación (2.52) se desprenden dos ecuaciones:

𝜕𝜓𝐴𝜕𝑡

= −𝑖𝑚𝜓𝐴 (2.53)

−𝜕𝜓𝐵𝜕𝑡

= −𝑖𝑚𝜓𝐵.

(2.54)


47

Cuyas soluciones son:

𝜓𝐴(𝑡) = 𝑒−𝑖𝑚𝑡𝜓𝐴(0)

(2.55)

𝜓𝐵(𝑡) = 𝑒+𝑖𝑚𝑡𝜓𝐵(0).

(2.56)

La ecuación (2.55) puede perfectamente representar la partícula, por ejemplo, el

electrón, y la ecuación (2.56) nos abre la mente hacia la existencia de la antipartícula,

por ejemplo, el positrón.

2.5 Diagramas de Feynman

Los diagramas de Feynman son representaciones gráficas espacio-temporales de las

formas en las que se puede dar un proceso cuántico en donde partículas iniciales

interactúan, y de esta interacción dan como resultado partículas finales.

La Teoría Cuántica de Campos nos indica la posibilidad de que de un estado inicial

lleguemos a un estado final, y nos da las herramientas teóricas para describir las

partículas que intervienen en el proceso y sus interacciones y luego comprobarlos

experimentalmente en los aceleradores de partículas en donde lanzamos unas

partículas contra otras (estado inicial), y en la colisión se generan energías que dan

origen a otras partículas (Estado final). Cabe resaltar que en estos procesos

experimentales se conserva la energía, el momento y la carga.

Con los diagramas de Feynman representamos gráficamente lo que ocurre en los

aceleradores de partículas. Simplificando el proceso partimos de:


48

Figura 2.2. Representación simplificada de un diagrama de Feynman.

En la figura 2.2 se puede observar una forma de graficar el proceso que ocurre

cuando se tiene una interacción entre partículas. En el estado inicial se encuentran

partículas de las cuales se conoce su carga, masa, sus espines, su energía y su

momento, es decir, el estado inicial es conocido. Al medir el estado final se pueden

determinar las partículas que aparecen con la energía y el momento que tienen.

También se conoce la carga, los espines y sus otras características. La caja de

interacciones representa todos los procesos que pueden ocurrir al pasar del estado

inicial al final. No existe una interacción única que me lleve de un estado inicial al

final, entonces esta caja representa todas estas formas posibles en las que se puede

llevar a cabo el proceso, figura 2.3.

Figura 2.3. Equivalencia de la caja de interacción


49

En realidad lo que se calcula en este tipo de procesos son las probabilidades de

transición entre el estado inicial y final.

Debido a que el cálculo de las probabilidades de transición y de todas las formas

posibles en las que se realiza el proceso, no son nada fáciles es de gran utilidad los

diagramas de Feynman ya que estas gráficas son representaciones de los cálculos

matemáticos que nos permiten dar una probabilidad de una transición entre un

estado inicial y uno final en teoría cuántica de campos.

2.5.1 Partes del diagrama

Se tiene un diagrama simple que representa la transición de un estado inicial a un

estado final debido a una interacción de partículas. El diagrama está compuesto por

las siguientes partes, figura 2.4:

Líneas externas: representan a las partículas iniciales y a las finales.

Líneas internas: representan la propagación de las partículas que median la

interacción que provoca la transición entre el estado inicial y el estado final.

Vértices: los puntos en los que se produce la interacción, es donde una

partícula se acopla con otra produciendo en sí misma la interacción que

corresponda.

Figura 2.4. Partes de un Diagrama de Feynman.


50

2.5.2 Reglas de Feynman para Electrodinámica cuántica

Se sabe que para electrones y para los positrones libres el momento viene dado por

𝑝 = (𝐸

𝑐, 𝑷) donde 𝐸 = (𝑚2𝑐4 + 𝑷𝟐𝑐𝟐)2. La representación de estas dos partículas por

medio de una función es:

𝒑𝒂𝒓𝒂 𝒆𝒍 𝒆𝒍𝒆𝒄𝒕𝒓ó𝒏: 𝜓(𝑥) = 𝑎𝑒−(𝑖

ℏ)𝑝 . 𝑥𝑢(𝑠)(𝑝) (2.57)

𝒑𝒂𝒓𝒂 𝒆𝒍 𝒑𝒐𝒔𝒊𝒕𝒓ó𝒏: 𝜓(𝑥) = 𝑎𝑒(𝑖

ℏ)𝑝 . 𝑥𝑣(𝑠)(𝑝). (2.58)

Donde 𝑠 = 1,2 y representa los dos estados del spin. Los espinores 𝜇(𝑠) y 𝜈(𝑠)

satisfacen la ecuación de Dirac en el espacio de momento (s):

(𝛾𝜇𝑝𝜇 −𝑚𝑐)𝑢 = 0

(𝛾𝜇𝑝𝜇 +𝑚𝑐)𝑣 = 0.

(2.59)

Sus adjuntos: �̅� = 𝑢ϯ𝛾0y �̅� = 𝑣ϯ𝛾0 satisfacen:

�̅�(𝛾𝜇𝑝𝜇 −𝑚𝑐) = 0

�̅�(𝛾𝜇𝑝𝜇 +𝑚𝑐) = 0.

(2.60)

Su ortogonalidad:

�̅�(1)𝑢(2) = 0 �̅�(1)𝑣(2) = 0.

(2.61)


51

Normalizando:

�̅�𝑢 = 2𝑚𝑐

�̅�𝑣 = −2𝑚𝑐. (2.62)

La relación de completez (ver Apéndice E) para partículas y antipartículas:

∑ 𝑢(𝑠)�̅�(𝑠) =

𝑠=1,2

𝛾𝜇𝑝𝜇 +𝑚𝑐

∑ 𝑣(𝑠)�̅�(𝑠) =𝑠=1,2 𝛾𝜇𝑝𝜇 −𝑚𝑐.

(2.63)

Se hace un promedio de los espines de los electrones y los protones.

Para calcular la amplitud 𝔐 asociado con el diagrama de Feynman en particular se

procede de la siguiente manera:

1. Notación: para cada línea externa asociar un momento 𝑝1, 𝑝2, … , 𝑝𝑛, y dibujar

una flecha al lado de la línea la cual indica la dirección positiva del tiempo.

Para cada línea interna asociar un impulso 𝑞1, 𝑞, … , 𝑞𝑛.

2. Líneas internas: contribuyen factores de la siguiente forma [12]:

𝐸𝑙𝑒𝑐𝑡𝑟𝑜𝑛𝑒𝑠: {𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑛𝑡𝑒𝑠 → 𝑢𝑠𝑎𝑙𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 → �̅�

𝑃𝑜𝑠𝑖𝑡𝑟𝑜𝑛𝑒𝑠: {𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑛𝑡𝑒𝑠 → 𝑣𝑠𝑎𝑙𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 → �̅�

𝐹𝑜𝑡𝑜𝑛𝑒𝑠: {𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑛𝑡𝑒𝑠 → 𝜖𝜇𝑠𝑎𝑙𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 → 𝜖𝜇∗̅̅̅

.


52

3. Factores de vértice: cada vértice contribuye con un factor 𝑖𝑔𝑒𝛾𝜇. El

acoplamiento constante 𝑔𝑒 se relaciona con la carga del electrón.

4. Propagador: cada línea interna aporta un factor de la siguiente manera:

𝒆𝒍𝒆𝒄𝒕𝒓𝒐𝒏𝒆𝒔 𝒚 𝒑𝒐𝒔𝒊𝒕𝒓𝒐𝒏𝒆𝒔: 𝑖(𝛾𝜇𝑞𝜇 +𝑚𝑐)

𝑞2+𝑚2𝑐2

𝒇𝒐𝒕𝒐𝒏𝒆𝒔:− 𝑖𝑔𝜇𝜈

𝑞2.

5. Conservación de la energía y el momento: para cada vértice se escribe una

función 𝛿 de la forma:

(2𝜋)4𝛿4( 𝑝1 + 𝑝2 + 𝑝3),

donde 𝑝𝑖 son los cuadri-momentos entrantes.

6. Integración sobre los momentos internos: por cada momento interno q se

escribe un factor 𝑑4𝑞/(2𝜋)4 y se integra.

7. Se cancela la función Delta: el resultado obtenido incluirá un factor

(2𝜋)4𝛿4(𝑝1 + 𝑝2 + 𝑝3+⋯−𝑝𝑛) correspondiente a la conservación global de la

energía-momento.

8. Asimetrización: incluya un signo menos entre la diferenciación de los

diagramas en el intercambio de dos electrones de entrada (o positrones), o de

un electrón y un positrón entrante – saliente o viceversa.

En tiempos y lugares totalmente inciertos, los átomos dejaron su camino celeste, y

mediante abrazos fortuitos, engendraron todo lo que existe.

JAMES CLERK MAXWELL

55

3. PROCESO DE DISPERSIÓN 𝒆+𝒆− → 𝝁+𝝁−

En este capítulo se desarrolla el principal objetivo de este trabajo el cual es realizar los cálculos

de forma detallada para la descripción del proceso electrón muon (figura 3.1),

El proceso 𝑒+𝑒− → 𝜇+𝜇− es considerado uno de los procesos más básicos de QED (Quantum

Electro Dynamics), pero también es uno de los más importantes de la física de altas energías,

es fundamental para estudiar todos los procesos de colisiones 𝑒+𝑒−, de hecho es usado para

calibrar los experimentos, además es muy útil para determinar las propiedades de las

partículas elementales, en particular la extensión al proceso 𝑒+𝑒− → 𝑞�̅�. Ha sido estudiado

en el experimento PETRA en el anillo DESY usando un gran número de detectores. Los

muones se caracterizan por su habilidad para penetrar. Substancialmente cantidades de

material (usualmente atraviesan el anillo de detección) sin interactuar (los muones solo

sufren interacciones débiles y electromagnéticas) como los electrones (pero más pesados).

El proceso se describe por amplitudes electromagnéticas y débiles 𝐴𝑒𝑙𝑒; 𝐴𝑑𝑒𝑏 . La sección

transversal es proporcional al cuadrado de la suma de las amplitudes [16].

𝜎 ∝ |𝐴𝑒𝑙𝑒 + 𝐴𝑑𝑒𝑏|

2 = |𝐴𝑒𝑙𝑒|2 + |𝐴𝑑𝑒𝑏|

2 + 2𝑅𝑒𝐴𝑒𝑙𝑒𝐴𝑑𝑒𝑏∗

En este trabajo nos centraremos en hacer el cálculo para la interacción electromagnética.

3.1 Desarrollo matemático

Figura 3.1. Diagrama del proceso 𝒆+𝒆− → 𝝁+𝝁−

CAPÍTULO 3 PROCESO DE DISPERSIÓN 𝑒+𝑒− → 𝜇+𝜇−

56

En la figura (3.1) se observa el proceso a trabajar en este capítulo. Se tiene un electrón

que interactúa con un positrón y luego del proceso de interacción estas dos

partículas se dispersan originando un muon y su anti-partícula.

Recordando que lo que interesa calcular es la sección eficaz de la dispersión

entonces, aplicando las reglas de Feynman, de la 1 a la 5, vistas en el capítulo anterior

para definir la amplitud de decaimiento se tiene que:

𝔐 = (2𝜋)2∫[�̅�(3)𝑖𝑒𝛾𝜇𝑢(1)]𝑔𝜇𝜈

𝑞2[�̅�(4)𝑖𝑒𝛾𝜈𝑣(2)]

× 𝛿4(𝑝1 − 𝑝3 − 𝑞)𝛿

4(𝑝2 + 𝑞 − 𝑝4)𝑑4𝑞,

(3.1)

donde �̅�(3) representa la antipartícula (positrón), 𝑢(1) representa la partícula

(electrón), �̅�(4) representa el 𝜇+, 𝑣(2) representa el 𝜇− y 𝑞 = 𝑷1 − 𝑷3.

Integrando como se indica en la regla de Feynman número 6 y cancelando el Delta

de Dirac (regla número 8) se puede llegar a

𝕸 = [�̅�(3)𝑖𝑒𝛾𝜇𝑢(1)]𝑔𝜇𝜈

(𝑷1 − 𝑷3)2[�̅�(4)𝑖𝑒𝛾𝜈𝑣(2)]. ( 3.2)

Simplificando y realizando la contracción de índices entre 𝑔𝜇𝜈 y 𝛾𝜈 se tiene que

𝕸 =−𝑒2

(𝑷1 − 𝑷3)2[�̅�(3)𝛾𝜇𝑢(1)][�̅�(4)𝛾𝜇𝑣(2)],

( 3.3)

pero lo que realmente se necesita es el cuadrado de la amplitud 𝕸 ya que la sección

eficaz y el ancho de decaimiento son proporcionales al cuadrado de la amplitud, entonces


57

⟨|𝕸|2⟩ =𝑒4

(𝑷1 − 𝑷3)4[�̅�(3)𝛾𝜇𝑢(1)][�̅�(4)𝛾𝜇𝑣(2)][�̅�(3)𝛾

𝜈𝑢(1)]∗[�̅�(4)𝛾𝜈𝑣(2)]∗.

( 3.4)

Se tiene que

𝐺 ≡ [�̅�(𝑎)Γ1𝑢(𝑏)][�̅�(𝑎)Γ2𝑢(𝑏)]∗,

(3.5)

donde Γ1 y Γ2 son matrices 4 × 4.

Se empieza analizando el complejo conjugado, recordemos que las matrices son hermíticas.

Sabemos que:

𝛾0ϯ = 𝛾0

𝛾0Γ2ϯ

2𝛾0 = Γ̅2

(𝛾0)2 = 𝛾0𝛾0 = 1

(𝐴𝐵)ϯ = 𝐵ϯ𝐴ϯ.

Entonces

[�̅�(𝑎)Γ2𝑢(𝑏)]∗ = [𝑢ϯ(𝑎)𝛾0Γ2𝑢(𝑏)]

ϯ

(3.6)

[𝑢ϯ(𝑎)𝛾0Γ2𝑢(𝑏)]ϯ = 𝑢ϯ(𝑏)Γ2

ϯ𝛾0ϯ𝑢(𝑎) = 𝑢ϯ(𝑏)𝛾0⏟

�̅�(𝑏)

𝛾0Γ2ϯ𝛾0⏟

Γ2̅̅̅̅

𝑢(𝑎),

(3.7)

entonces

[�̅�(𝑎)Γ2𝑢(𝑏)]∗ = �̅�(𝑏)Γ2̅𝑢(𝑎),

(3.8)

por lo tanto


58

𝐺 = [�̅�(𝑎)Γ1𝑢(𝑏)][�̅�(𝑏)Γ2̅𝑢(𝑎)].

(3.9)

Utilizando la ecuación (2.63) hacemos la sumatoria sobre los espines entrantes

∑ 𝐺

𝑒𝑠𝑝𝑖𝑛𝑒𝑠 𝑏

= �̅�(𝑎)Γ1[ ∑ 𝑢(𝑏)

𝑒𝑠𝑝𝑖𝑛𝑒𝑠

�̅�(𝑏)]Γ2̅𝑢(𝑎)],

( 3.10)

entonces

∑ 𝐺

𝑒𝑠𝑝𝑖𝑛𝑒𝑠 𝑏

= �̅�(𝑎)Γ1[𝛾𝜇𝑝𝑏 +𝑚𝑏𝑐]Γ2̅𝑢(𝑎)],

(3.11)

pero b pp

y al sustituir en la ecuación (3.11) se obtiene que (ver apéndice E):

1( ) [ pu a 2] ( )

espin

b

esbQ

uc am , (3.12)

por lo tanto

∑ 𝐺

𝑠𝑝𝑖𝑛𝑒𝑠 𝑏

= �̅�(𝑎)𝑄 𝑢(𝑎).

(3.13)

Ahora para la partícula 𝑎

∑ ∑ 𝐺

𝑠𝑝𝑖𝑛𝑒𝑠 𝑏

=

𝑠𝑝𝑖𝑛𝑒𝑠 𝑎

∑ �̅�(𝑎)𝑄 𝑢(𝑎)

𝑠=1,2

.

(3.14)


59

Si se escribe el producto de la matriz de forma explícita se obtiene que:

( ) ( ) [ ( ) ( )]i ij j ij ij

espína espín

u a Q u a Q u a u a (3.15)

( ) ( ) (i ij j ij au a Q u a Q p )es

a

pí

i

na

jm c (3.16)

( ) ( ) [ (i ij j au a Q u a Tr Q p ) .]espín

a

a

m c (3.17)

Donde 𝑇𝑟 denota la traza de las matrices, es decir, la suma de los elementos

diagonales.

Entonces la ecuación 3.5 queda de la forma

1

*

1 2 [Γ (Γtodoslosespin

b

es

u a u b u a pTu rb 2] (b am c p )]am c . (3.18)

Para el proceso electrón-muon:

Γ1 = 𝛾𝜇

Γ2 = 𝛾𝜈

𝑏 = 1

𝑎 = 3

𝑚 = 𝑚𝑎𝑠𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑒𝑙𝑒𝑐𝑡𝑟ó𝑛

𝑀 = 𝑚𝑎𝑠𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑚𝑢𝑜𝑛.

Entonces teniendo en cuenta las propiedades de las trazas (Apéndice C) se puede

resolver las trazas:

1[ (Tr p 3) (mc p 1)] [mc Tr p 3 1] [p mcTr p

1

]

[mcTr p

3p 2 2] [ ].m c Tr

(3.19)


60

Ahora se desarrolla cada parte de la ecuación anterior.

1[ (Tr p 3) (mc p 1)] [mc Tr p 3 1] [p mcTr p

1

]

[mcTr p

3p

2 2

1

]

[ ] [m c Tr Tr p 3].p

(3.20)

Teniendo en cuenta las propiedades 15 y 16 del apéndice C se tiene que:

1Tr p 3p

1 3

1 3

1 3

1 3 [4 ,

Tr p p

Tr p p

p p Tr

p p g g g g g g

entonces

1Tr p 3p 1 3 1 3 3 14 . .p p p p g p p

(3.21)

Procediendo para el siguiente término se tiene que:

1mcTr p 1

1 ,

mcTr p

mcp Tr

teniendo en cuenta la propiedad 19 del Apéndice C se llega a que:

1mcTr p 0

. (3.22)

Haciendo uso de la propiedad 14 del Apéndice C, se puede escribir el siguiente

término de la ecuación (3.20) como:


61

𝑚2𝑐2𝑇𝑟[𝛾𝜇𝛾𝜈] = 4𝑚2𝑐2𝑔𝜇𝜈,

(3.23)

entonces sustituyendo (3.21), (3.22), (3.23) en (3.20) se llega a que

1[ (Tr p 3) (mc p 2 2

1 3 3 1 1 3)] 4[ ( . )]mc p p p p g m c p p . (3.24)

Ahora hacemos el desarrollo para las partículas restantes

2[ (Tr p 4) (mc p 2)] [mc Tr p 4p 2] [mcTr p

2

]

[mcTr p

4p 2 2] [ ].m c Tr (3.25)

Desarrollando la ecuación (3.25) por partes, y realizando este procedimiento de

forma similar al hecho para la ecuación 3.20 tenemos que:

2[Tr p 4p 2 4

2 4

2 4

] [ ]

[ ]

[4( )],

Tr p p

p p

p p g g g g g g

luego se obtiene que:

2[Tr p 4p 2 4 2 4 4 2] 4[ . ].p p p p g p p (3.26)

Para los términos que siguen se tiene que

(𝑚𝑐)2𝑇𝑟[𝛾𝜇𝛾𝜈] = 4(𝑚𝑐)2𝑔𝜇𝜈 , (3.27)


62

entonces:

2[ (Tr p 4) (mc p 2 2

2 4 2 4 2 4)] 4[ . ( . )].mc p p p p g m c p p (3.28)

Por lo tanto, al sustituir las ecuaciones (3.24) y (3.28) en la ecuación (3.4) se tiene

que:

⟨|𝕸|2⟩ =4𝑒4

(𝑝1 − 𝑝3)4[(𝑝1 . 𝑝2)(𝑝3 . 𝑝4) + (𝑝1 . 𝑝4)(𝑝3 . 𝑝2) + (𝑝1 . 𝑝3)((𝑀𝑐)

2 − (𝑝2 . 𝑝4))

+(𝑝3 . 𝑝2)(𝑝1 . 𝑝4) + (𝑝3 . 𝑝4)(𝑝1 . 𝑝2) + (𝑝3 . 𝑝1)((𝑀𝑐)2 − (𝑝2 . 𝑝4)) + (𝑝2 . 𝑝4)((𝑚𝑐)

2

−(𝑝1 . 𝑝3)) + 4((𝑚𝑐)2 − (𝑝1 . 𝑝3))(((𝑚𝑐)

2 − (𝑝2 . 𝑝4))],

simplificando:

⟨|𝕸|2⟩ =4𝑒4

(𝑝1 − 𝑝3)4[2(𝑝1 . 𝑝2)(𝑝3 . 𝑝4) + 2(𝑝1 . 𝑝4)(𝑝3 . 𝑝2)

+ (𝑝1 . 𝑝3)[2(𝑀𝑐)2 − 2(𝑝2 . 𝑝4) − (𝑝2 . 𝑝4) − (𝑝2 . 𝑝4) − 4((𝑀𝑐)

2 − (𝑝2 . 𝑝4))

+ (𝑝2 . 𝑝4)(𝑚𝑐)2 + 4(𝑚𝑐)2((𝑀𝑐)2 − (𝑝2 . 𝑝4))]]

⟨|𝕸|2⟩ =4𝑒4

(𝑝1 − 𝑝3)4[2(𝑝1 . 𝑝2)(𝑝3 . 𝑝4) + 2(𝑝1 . 𝑝4)(𝑝3 . 𝑝2) + (𝑝1 . 𝑝3)(−2(𝑀𝑐)

2)

− 2(𝑚𝑐)2(𝑝4 . 𝑝2) + 4(𝑚𝑐)2(𝑀𝑐)2].

Por lo tanto se tiene que

⟨|𝕸|2⟩ =8𝑒4

(𝑝1 − 𝑝3)4[(𝑝1 . 𝑝2)(𝑝3 . 𝑝4) + (𝑝1 . 𝑝4)(𝑝3 . 𝑝2) − (𝑝1 . 𝑝3)(𝑀𝑐)

2

− (𝑝4 . 𝑝2)(𝑚𝑐)2 + 2(𝑚𝑐)2(𝑀𝑐)2].

(3.29)

Recordemos que:

El cuadri-momento está dado por:


63

𝑝1 = 𝑝10, 𝑝1

1, 𝑝12, 𝑝1

3

= (𝐸1𝑐, �⃑⃑�1),

donde 𝑝1 =𝐸1

𝑐 y (𝑝1

1, 𝑝12, 𝑝1

3) = �⃑⃑�1.

Por conservación de energía tenemos que 𝐸 = 𝐸1 = 𝐸2 = 𝐸3

Y 𝑀 ≫ 𝑚.

El proceso a considerar es un choque inelástico, el electrón 𝑒− choca con el muon 𝜇,

y rebota.

Figura 3.2 Choque inelástico electrón-muon

Momento 1: energía y movimiento para el electrón que se dispara contra el muon.

𝑝1 = (𝐸

𝑐2, �⃑⃑�1).

Momento 2: energía y movimiento. La partícula, muon, está quieta, entonces su

velocidad es cero lo que implica que su momento también lo sea,

𝑝2 = (𝑀𝑐, 0).

Momento 3: el electrón rebota, entonces


64

𝑝3 = (𝐸

𝑐2, �⃑⃑�3).

Momento 4: el muon no se mueve (ver figura 3.3), entonces

𝑝4 = (𝑀𝑐, 0).

Figura 3.3 Partículas antes y después del choque

Es importante resaltar que |�⃑⃑�1| = |�⃑⃑�3| = |�⃑⃑�| y que 𝜃 es el ángulo existente entre entre

�⃑⃑�1 y �⃑⃑�3, entones �⃑⃑�1. �⃑⃑�3 = 𝑃2𝐶𝑜𝑠 𝜃.

Desarrollando cada parte de la ecuación (3.29) tenemos que:

(𝑝1 − 𝑝3)2 = [(

𝐸

𝑐, �⃑⃑�1) − (

𝐸

𝑐, �⃑⃑�3)]

2

= −(�⃑⃑�12 − 2�⃑⃑�1. �⃑⃑�3𝐶𝑜𝑠𝜃 + �⃑⃑�3

2)

= −(�⃑⃑�2 − 2�⃑⃑�2𝐶𝑜𝑠𝜃 + �⃑⃑�2)

= −(2�⃑⃑�2 − 2�⃑⃑�2𝐶𝑜𝑠𝜃)

= −2�⃑⃑�2(1 − 𝐶𝑜𝑠𝜃),

entonces

(𝑝1 − 𝑝3)2 == −2�⃑⃑�2(1 − 𝐶𝑜𝑠𝜃). (3.30)


65

Pero 1 − 𝐶𝑜𝑠𝜃 = 2𝑆𝑒𝑛2𝜃

2 , entonces

(𝑝1 − 𝑝3)2 = −4�⃑⃑�2𝑆𝑒𝑛2

𝜃

2.

(3.31)

Ahora para resolver los productos punto entre los cuadri-momentos:

𝑝1. 𝑝3 = [(𝐸

𝑐, �⃑⃑�1) . (

𝐸

𝑐, �⃑⃑�3)]

= (𝐸

𝑐)2

− �⃑⃑�1. �⃑⃑�3

=𝐸2

𝑐2− �⃑⃑�2𝐶𝑜𝑠𝜃,

pero 𝐸2

𝑐2=𝑚2𝑐4

𝑐2+�⃑�2𝑐2

𝑐2= 𝑚2𝑐2 + �⃑⃑�2, entonces:

𝑝1. 𝑝3 = 𝑚2𝑐2 + �⃑⃑�2 − �⃑⃑�2𝐶𝑜𝑠𝜃

= 𝑚2𝑐2 + �⃑⃑�2(1 − 𝐶𝑜𝑠𝜃)

= 𝑚2𝑐2 − �⃑⃑�2𝑆𝑒𝑛𝜃.

Por lo tanto

𝑝1. 𝑝3 = 𝑚2𝑐2 − 2�⃑⃑�2𝑆𝑒𝑛𝜃.

(3.32)

Ahora para los demás productos se desarrolla de forma similar:

(𝑝1. 𝑝2)(𝑝3. 𝑝4) = [(𝐸

𝑐, �⃑⃑�1) . (𝑀𝑐, 0)] [(

𝐸

𝑐, �⃑⃑�3) . (𝑀𝑐, 0)]

(𝑝1. 𝑝2)(𝑝3. 𝑝4) = (𝑀𝐸)2 (3.33)

(𝑝1. 𝑝4)(𝑝2. 𝑝3) = (𝑀𝐸)

2 (3.34)


66

(𝑝2. 𝑝4) = (𝑀𝑐)2. (3.35)

Ahora sustituyendo las ecuaciones (3.31), (3.32), (3.33), (3.34), y (3.35) en (3.29) se

tiene que

⟨|𝕸|2⟩ =8𝑒4

16�⃑⃑⃑�4𝑆𝑒𝑛4

𝜃2

[(𝑀𝐸)2 + (𝑀𝐸)2 − (𝑚2𝑐2 − 2�⃑⃑⃑�2𝑆𝑒𝑛2

𝜃

2) (𝑀𝑐)2 − (𝑀𝑐)2(𝑚𝑐)2

+ 2(𝑚𝑐)2(𝑀𝑐)2],

simplificando un poco:

⟨|𝕸|2⟩ =8𝑒4

16�⃑⃑⃑�4𝑆𝑒𝑛4

𝜃2

[2(𝑀𝐸)2 −𝑚2𝑐2(𝑀𝑐)2 − 2�⃑⃑⃑�2𝑆𝑒𝑛2

𝜃

2(𝑀𝑐)2 − (𝑀𝑐)2(𝑚𝑐)2

+ 2(𝑚𝑐)2(𝑀𝑐)2]

⟨|𝕸|2⟩ =𝑒4

�⃑⃑⃑�4𝑆𝑒𝑛4

𝜃2

[(𝑀𝐸)2 − �⃑⃑⃑�2𝑆𝑒𝑛2

𝜃

2(𝑀𝑐)2].

Recordando que 𝐸2 = 𝑚2𝑐4 + �⃑⃑�2𝑐2 se tiene que:

⟨|𝕸|2⟩ =𝑒4

�⃑⃑⃑�4�⃑⃑⃑�2𝑆𝑒𝑛4

𝜃2

[(𝑀 (𝑚2𝑐2 + �⃑⃑⃑�2𝑐2))

2

− �⃑⃑⃑�2𝑆𝑒𝑛2

𝜃

2(𝑀𝑐)2 −]

=𝑒4

�⃑⃑⃑�4𝑆𝑒𝑛4

𝜃2

[𝑀2𝑚2𝑐4 + �⃑⃑⃑�2𝑐2 − �⃑⃑⃑�

2𝑆𝑒𝑛2

𝜃

2(𝑀𝑐)2]

=𝑒4𝑀2𝑐2

�⃑⃑⃑�4𝑆𝑒𝑛4

𝜃2

[𝑚2𝑐2 + �⃑⃑⃑�2− �⃑⃑⃑�

2𝑆𝑒𝑛2

𝜃

2]

=𝑒4𝑀2𝑐2

�⃑⃑⃑�4𝑆𝑒𝑛4

𝜃2

[𝑚2𝑐2 + �⃑⃑⃑�2(1 − 𝑆𝑒𝑛2

𝜃

2)]


67

=𝑒4𝑀2𝑐2

�⃑⃑⃑�4𝑆𝑒𝑛4

𝜃2

[𝑚2𝑐2 + �⃑⃑⃑�2𝐶𝑜𝑠2

𝜃

2],

entonces

⟨|𝕸|2⟩ =𝑒4𝑀2𝑐2

�⃑⃑⃑�4𝑆𝑒𝑛4

𝜃2

[𝑚2𝑐2 + �⃑⃑⃑�2𝐶𝑜𝑠2

𝜃

2].

(3.36)

Ahora para hallar la Sección Eficaz para el proceso de dispersión 𝑒+𝑒− → 𝜇+𝜇−,

retomamos la ecuación (2.27),

𝑑σ

𝑑Ω= (

𝑐ℏ

8𝜋)2 |𝔐|2𝑠

(𝐸1 + 𝐸2)2|�⃑⃑⃑�3|

|�⃑⃑⃑�1|.

(2.27)

Pero la ecuación (2.27) es para un marco de referencia en el centro de masas, el muon

es tan pesado que con dificultad se mueve, por lo tanto se conserva la energía y el

momento cuando las dos partículas chocan, entonces |�⃑⃑⃑�3| = |�⃑⃑⃑�1| y 𝐸1 + 𝐸2 ≈ 𝑀𝑐2.

Entonces la ecuación (2.27) se reduce a:

𝑑σ

𝑑Ω= (

𝑐ℏ

8𝜋)2 |𝔐|2

𝑀2𝑐4.

(3.37)

Ahora, sustituyendo la Amplitud elevada al cuadrado (ecuación 3.36) en la ecuación

(3.37) y se obtiene

𝑑σ

𝑑Ω= (

𝛼ℏ

2�⃑⃑⃑�2𝑆𝑒𝑛2𝜃2

)

2

[𝑚2𝑐2 + �⃑⃑⃑�2𝐶𝑜𝑠2𝜃

2],

(3.38)

donde 𝛼 = (𝑐ℏ𝑒2

4𝜋) y 𝑒 = √4𝜋𝛼 . Si �⃑⃑⃑�2 ≪ (𝑚𝑐)2 entonces la ecuación 3.38 se reduce a

la fórmula de Rutherford:


68

𝑑σ

𝑑Ω= (

𝑒2

2𝑚𝑣2𝑆𝑒𝑛2𝜃2

)

2

.

(3.39)

3.1.1 Helicidad de las partículas

La helicidad de las partículas está asociada al espín. Cada partícula de materia,

perteneciente a los fermiones, (electrones, quarks, etc.) está girando, es decir, cada

partícula de materia tiene cierto momento angular intrínseco. Este giro es una

propiedad mecánica inherentemente cuántico de las partículas fundamentales. Por

ejemplo un electrón, tiene una helicidad izquierda y una versión derecha de

helicidad.

Es importante resaltar que si una partícula tiene masa, entonces su helicidad tiene

un valor fijo en todos los marcos de referencia, pero si la partícula posee una masa

que varía entonces la helicidad no es una propiedad intrínseca desde diferentes

observadores, (en marcos de referencia válidos) puede medir diferentes valores para

la helicidad (izquierda o derecha). Así que, aunque helicidad es algo que es fácil de

visualizar, no es una propiedad "fundamental" de la mayoría de las partículas.

Figura 3.4.Conservación del momento angular en la dirección de giro z


69

Ahora se procederá a realizar el cálculo de la sección eficaz para el proceso de

dispersión 𝑒−𝑒+ → 𝜇−𝜇+ pero incluyendo la helicidad de las partículas.

En primer lugar se debe elegir una base de estados de polarización. Para obtener

una respuesta simple en el límite de alta energía, la mejor opción es la de cuantificar

cada giro a lo largo de la dirección del movimiento de la partícula, que es, para usar

estados de helicidad definida.

Se calculará la sección eficaz utilizando la base de helicidad mediante el uso de los

operadores de proyección de helicidad para proyectar el espinor diestro o izquierdo.

Se trabajará con el límite de alta energía en el que todos los fermiones son

efectivamente sin masa.

Se toman unidades naturales para la realización de los siguientes cálculos, entonces

𝑐 = ℏ = 1.

Se parte de la ecuación para calcular la amplitud de decaimiento del proceso (3.3),

𝕸 =−𝑒2

(𝑷1 − 𝑷3)2[�̅�(3)𝛾𝜇𝑢(1)][�̅�(4)𝛾𝜇𝑣(2)].

Para los fermiones sin masa los operadores de proyección (ver Apéndice G), están

dados por:

𝑃𝑅 =1 + 𝛾5

2= (

0 00 1

) → 𝑂𝑝𝑒𝑟𝑎𝑑𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑝𝑟𝑜𝑦𝑒𝑐𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒𝑟𝑒𝑐ℎ𝑜 (3.40)

𝑃𝐿 =1 − 𝛾5

2= (

1 00 0

) → 𝑂𝑝𝑒𝑟𝑎𝑑𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑝𝑟𝑜𝑦𝑒𝑐𝑐𝑖ó𝑛 𝑖𝑧𝑞𝑢𝑖𝑒𝑟𝑑𝑜. ( 2.41)

Entonces dado que 𝛾𝜇 → 𝛾𝜇1±𝛾5

2 se puede realizar la sustitución para la parte del

electrón y el positrón en la ecuación (3.3), escogiendo un giro a la derecha, en donde

se obtendrá que

�̅�(3)𝛾𝜇𝑢(1) → �̅�(3)𝛾𝜇1 + 𝛾5

2 𝑢(1).

(3.42)


70

Para poder desarrollar la parte derecha de la ecuación anterior es necesario tener

en cuenta las siguientes propiedades:

1. 𝛾5 = (0 11 0

)

2. (𝛾5)2 = 𝐼 (𝑀𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 𝑖𝑑𝑒𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑)

3. �̅� = 𝜓ϯ𝛾0

4. {𝛾5, 𝛾0} = 0

5. {𝛾5, 𝛾𝜇} = 0

6. �̅� = 𝑢ϯ𝛾0.

Entonces teniendo en cuenta las propiedades anteriores se tiene que:

�̅�(3)𝛾𝜇 (1 + 𝛾5

2) 𝑢(1) = 𝑣ϯ(3)𝛾0𝛾𝜇

1 + 𝛾5

2 𝑢(1)

= 𝑣ϯ(3)𝛾0 (1 − 𝛾5

2)𝛾𝜇 𝑢(1)

= 𝑣ϯ(3) (1 + 𝛾5

2)𝛾0𝛾𝜇 𝑢(1),

entonces

�̅�(3)𝛾𝜇 (1 + 𝛾5

2) 𝑢(1) = 𝑣ϯ(3) (

1 + 𝛾5

2)𝛾0𝛾𝜇 𝑢(1).

(3.43)

Elevando al cuadrado la ecuación (3.43) tenemos que

∑|�̅�(3)𝛾𝜇 (1 + 𝛾5

2) 𝑢(1)|

2

=∑ �̅�(3)𝛾𝜇 (1 + 𝛾5

2) 𝑢(1)�̅�(1)𝛾𝜈 (

1 + 𝛾5

2) 𝑣(3)

𝑠𝑠

. (3.44)

Ahora teniendo en cuenta la relación de completez (Apéndice E), y realizando el

cálculo respectivo se llega a:


71

25

3

13 1

2s

v u Tr p

1

1

2p

3

1

2

Tr p

1p

3

1 1

2 2

Tr p

1p1 1

,2 2

pero

(1 + 𝛾5

2)(1 + 𝛾5

2) =

1

4(1 + 2𝛾5 + (𝛾5)2)

=1

4(1 + 2𝛾5 + 1)

=1

4(2 + 2𝛾5)

=1

2(1 + 𝛾5),

entonces

25

3

13 1

2s

v u Tr p

1p

3

1

2

1[

2p

1p 3

1] [

2p 1p 5

5

1 3 1 3

5

1 3 1 3

1 3 1 3

1 3 1 3 3 1 3 1

]

1 1[ ] [ ]

2 2

1 1[ ] [ ]

2 2

1 1[4( ] [4 ]

2 2

2( . ).

Tr p p p p

p p Tr p p Tr

p p g g g g g g p p i

p p p p g p p p p


72

Por .lo tanto

25

1 3 1 3 3 1 3 1

13 1 2( . ).

2s

v u p p p p g p p p p

(3.45)

De forma similar se desarrolla para la parte de la ecuación que comprende los

muones

25

2 4 2 4 2 4 2 4

1 v 22 ( . )

24 ,

s

u p p g p p p p p p

(3.46)

entonces la matriz de amplitud al cuadrado está dada por:

|𝕸|2 =𝑒4

𝑞4[2(𝑝3

𝜇𝑝1𝜈 + 𝑝3

𝜈𝑝1𝜇− 𝑔𝜇𝜈𝑝1. 𝑝3 − 휀

𝜎𝜇𝜆𝜈𝑝3𝜎𝑝1𝜆)

× 2(𝑝2𝜇𝑝4𝜈 + 𝑝2𝜈𝑝4𝜇 − 𝑔𝜇𝜈𝑝2. 𝑝4 − 𝑖휀𝛼𝜇𝜆𝜈𝑝2𝛼𝑝4

𝛽).

(3.47)

Expandiendo la anterior expresión y simplificando se tiene que:

|𝕸|2 =4𝑒4

𝑞4[(𝑝3. 𝑝2)(𝑝1. 𝑝4) + (𝑝3. 𝑝4)(𝑝1. 𝑝2) − (𝑝3. 𝑝1)(𝑝2. 𝑝4) − 𝑖휀𝛼𝜇𝜆𝜈𝑝2

𝛼𝑝4𝛽𝑝3𝜇𝑝1𝜈

+ (𝑝3. 𝑝4)(𝑝1. 𝑝2) + (𝑝3. 𝑝2)(𝑝1. 𝑝4) − (𝑝3. 𝑝1)(𝑝2. 𝑝4) − 𝑖휀𝛼𝜇𝜆𝜈𝑝2𝛼𝑝4

𝛽𝑝3𝜈𝑝1

𝜇

− (𝑝3. 𝑝1)(𝑝2. 𝑝4) − (𝑝3. 𝑝1)(𝑝2. 𝑝4) + 4(𝑝3. 𝑝1)(𝑝2. 𝑝4)

+ 𝑖휀𝛼𝜇𝜆𝜈𝑝2𝛼𝑝4

𝛽𝑔𝜇𝜈𝑝1. 𝑝3 − 𝑖휀

𝜎𝜇𝜆𝜈𝑝3𝜎𝑝1𝜆𝑝2𝜇𝑝4𝜈 − 𝑖휀𝜎𝜇𝜆𝜈𝑝3𝜎𝑝1𝜆𝑝2𝜈𝑝4𝜇

+ 𝑖휀𝜎𝜇𝜆𝜈𝑝3𝜎𝑝1𝜆𝑔𝜇𝜈𝑝2. 𝑝4 − 휀𝜎𝜇𝜆𝜈휀𝛼𝜇𝜆𝜈𝑝3𝜎𝑝1𝜆𝑝2

𝛼𝑝4𝛽

=4𝑒4

𝑞4[2(𝑝3. 𝑝2)(𝑝1. 𝑝4) + 2(𝑝3. 𝑝4)(𝑝1. 𝑝2) − 휀

𝜎𝜇𝜆𝜈휀𝛼𝜇𝜆𝜈𝑝3𝜎𝑝1𝜆𝑝2𝛼𝑝4

𝛽].

Aplicando las propiedades de Levi Civita (Apéndice F) se tiene que:


73

|𝕸|2 =4𝑒4

𝑞4[2(𝑝3. 𝑝2)(𝑝1. 𝑝4) + 2(𝑝3. 𝑝4)(𝑝1. 𝑝2) + (𝑝3. 𝑝2)(𝑝1. 𝑝4) − (𝑝3. 𝑝4)(𝑝1. 𝑝2)

+ (𝑝3. 𝑝2)(𝑝1. 𝑝4) − (𝑝3. 𝑝4)(𝑝1. 𝑝2)]

=16𝑒4

𝑞4(𝑝3. 𝑝2)(𝑝1. 𝑝4).

Teniendo en cuenta que 𝑞2 = 4𝐸2 y que (𝑝3. 𝑝2)(𝑝1. 𝑝4) = 𝐸(𝐸 + |𝑝1|𝐶𝑜𝑠𝜃) donde

|𝑝1| = √𝐸2 −𝑚𝜇

2, pero en el límite de altas energías 𝑚𝜇 = 0, siendo esta la masa del

muon. Entonces:

|𝕸|2 =16𝑒4

16𝐸4 [𝐸(𝐸 + |𝑝1|𝐶𝑜𝑠𝜃)]

2

=𝑒4

𝐸4[𝐸4(1 + 𝐶𝑜𝑠𝜃)2]

= 𝑒4(1 + 𝐶𝑜𝑠𝜃)2.

Por lo tanto

|𝕸|2 = 𝑒4(1 + 𝐶𝑜𝑠𝜃)2. (3.48)

Sustituyendo la ecuación (3.48) en la ecuación (3.37) para calcular la sección eficaz

se llega a

𝑑σ

𝑑Ω(𝑒𝑅−𝑒𝐿

+ → 𝜇𝑅−𝜇𝐿

+) = (𝑐ℏ

8𝜋)2 𝑒4

𝑀2𝑐4(1 + 𝐶𝑜𝑠𝜃)2,

(3.49)

escrito en forma más sencilla

𝑑σ



+) =𝛼2

4𝑀2𝑐4(1 + 𝐶𝑜𝑠𝜃)2.

(3.50)


74

En la figura (3.5) podemos ver el comportamiento de la sección eficaz diferencia para

el canal 𝑒𝑅−𝑒𝐿


+ respecto al ángulo de dispersión.

Figura 3.5. Sección eficaz del proceso de dispersión 𝒆+𝒆− → 𝝁+𝝁−, teniendo en cuenta la helicidad de las partículas.

No es necesario repetir los cálculos para obtener las otras amplitudes no nulas, solo

es necesario tener en cuenta que para que den diferente de cero las dos partículas

deben tener diferente dirección de helicidad (figura 3.6).

Figura 3.6. Partícula y antipartícula con helicidad en la misma dirección

Por ejemplo, para calcular la amplitud para la dispersión 𝑒𝑅−𝑒𝐿

+ → 𝜇𝐿−𝜇𝑅

+ el cálculo se

realiza de forma similar pero teniendo en cuenta que se sustituye 𝛾5 por −𝛾5 en el

lado izquierdo y por lo tanto 𝑖휀𝛼𝜇𝜆𝜈 se reemplaza por −𝑖휀𝛼𝜇𝜆𝜈 en el lado derecho (ver

Apéndice G), entonces tenemos que

0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0

0.25

0.30

0.35

0.40

0.45

0.50


75

𝑑σ



+) =𝛼2

4𝑀2𝑐4(1 − 𝐶𝑜𝑠𝜃)2.

De forma similar:

𝑑σ

𝑑Ω(𝑒𝐿−𝑒𝑅


+) =𝛼2

4𝑀2𝑐4(1 − 𝐶𝑜𝑠𝜃)2

𝑑σ

𝑑Ω(𝑒𝐿−𝑒𝑅


+) =𝛼2

4𝑀2𝑐4(1 + 𝐶𝑜𝑠𝜃)2.

3.1.2 Simetría de cruce

La dispersión 𝑒+𝑒− → 𝜇+𝜇− tiene una estrecha relación con el proceso 𝑒−𝜇− → 𝑒−𝜇−,

esta relación se clarifica al calcular la amplitud cuadrada del proceso y el promedio

de la suma de los espines.

Para el proceso 𝑒−𝜇− → 𝑒−𝜇− tenemos que:

Figura 3.7. Proceso de dispersión 𝒆−𝒆− → 𝝁−𝝁−

Entonces aplicando las reglas de Feynman vistas en el capítulo dos del presente

trabajo se llega a


76

𝑖𝔐 =𝑖𝑒2

𝑞2𝑢(̅̅ ̅𝑝1

′)𝛾𝜇𝑢(𝑝1)�̅�(𝑝2′ )𝛾𝜇𝑢(𝑝2).

(3.51)

Elevando la amplitud al cuadrado llegamos a

42

14

1[(

4 4espines

pe

Trq

M 1) (m p

2

) ]

[

m

Tr p

2) (M p ) ].M

(3.52)

Este resultado es el mismo para el proceso 𝑒+𝑒− → 𝜇+𝜇−, cuando se remplaza:

𝑝1 → 𝑝1 𝑝3 → −𝑝1′ 𝑝2 → 𝑝2

′ 𝑝4 → −𝑝2

Resolviendo las trazas al igual que se ha hecho para los procedimientos anteriores e

implementando el límite relativista donde 𝑚 ≈ 0 se llaga a

⟨|𝕸|2⟩ =8𝑒4

𝑞4[(𝑝1 . 𝑝2

′ )(𝑝1′ . 𝑝2) + (𝑝1 . 𝑝2)(𝑝1

′ . 𝑝2′ ) − 𝑀2(𝑝1 . 𝑝1

′ )].

(3.53)

Para trabajar la anterior expresión se toma como marco de referencia el centro de

masa del proceso (figura 3.8).

Se necesitan las siguientes combinaciones:

𝑝1. 𝑝2 = 𝑝1′ . 𝑝2

′ = 𝑝2(𝐸 + 𝑝2) 𝑝1. 𝑝1

′ = 𝑝22(1 − 𝐶𝑜𝑠𝜃)

𝑝1′ . 𝑝2 = 𝑝1. 𝑝2

′ = 𝑝2(𝐸 + 𝑝2𝐶𝑜𝑠𝜃) 𝑞2 = −2𝑝1. 𝑝1

′ = −2𝑝22(1 − 𝐶𝑜𝑠𝜃).

(3.54)


77

Figura 3.8. Proceso visto desde el centro de masa para el proceso 𝒆+𝒆− → 𝝁+𝝁−

Por lo tanto la expresión para la amplitud cuadrada se reduce a

1

4∑ |𝔐|2

𝐸𝑠𝑝𝑖𝑛𝑒𝑠

=2𝑒2

𝑝22(1 − 𝐶𝑜𝑠𝜃)2

[(𝐸 + 𝑝2)2 + (𝐸 + 𝑝2𝐶𝑜𝑠𝜃)

2

−𝑀2(1 − 𝐶𝑜𝑠𝜃)2],

(3.55)

entonces la Sección Eficaz queda de la forma

(𝑑𝜎

𝑑Ω)𝐶𝑀=

|𝔐|2

64𝜋2(𝐸 + 𝑝2)2 .

(3.56)

Entonces


78

(𝑑𝜎

𝑑Ω)𝐶𝑀=

𝛼2

2𝐸𝐶𝑀2 (𝐸 + 𝑝2)2(1 − 𝐶𝑜𝑠𝜃)2

[(𝐸 + 𝑝2)2 + (𝐸 + 𝑝2𝐶𝑜𝑠𝜃)

2

−𝑀2(1 − 𝐶𝑜𝑠𝜃)2],

(3.57)

donde 𝑝2 = √𝐸2 −𝑀2. En el límite de altas energías se tiene que 𝑀 = 0, por lo tanto

[16]:

(𝑑𝜎

𝑑Ω)𝐶𝑀=

𝛼2

2𝐸𝐶𝑀2 (1 − 𝐶𝑜𝑠𝜃)2

[4 + (1 + 𝐶𝑜𝑠𝜃)2]. (3.58)

Es de notar el singular comportamiento para la ecuación (3.58),

𝑑𝜎

𝑑Ω∝1

𝜃4 𝑐𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝜃 → 0.

Esta singularidad es la misma que notamos en la fórmula de Rutherford.

3.1.3 Variables de Mandelstam

A menudo es útil expresar amplitudes de dispersión en términos de variables que

hacen que sea un poco más sencillo aplicar relaciones de cruce. Para procesos de

dispersión de la forma 1 + 2 → 3 + 4, se introducen las Variables de Mandelstam las

cuales se definen como:

𝑠 = (𝑝1 + 𝑝2)2 ≈ 2𝑝1. 𝑝2 ≈ 2𝑝3. 𝑝4

𝑡 = (𝑝1 − 𝑝3)2 ≈ −2𝑝1. 𝑝3 ≈ −2𝑝2. 𝑝4

𝑢 = (𝑝1 − 𝑝4)2 ≈ −2𝑝1. 𝑝4 ≈ −2𝑝3. 𝑝2.

(3.59)

Las definiciones de s y t son intercambiables (cuando 𝑝3 ↔ −𝑝2). La Amplitud

elevada al cuadrado en términos de las Variables de Mandelstam puede definirse

como


79

1

4∑ |𝔐|2

𝐸𝑠𝑝𝑖𝑛𝑒𝑠

=8𝑒4

𝑡2[(𝑠

2)2

+ (𝑢

2)2

], (3.60)

simplificando un poco:

|𝔐|2 = 2𝑒4𝑠2 + 𝑢2

𝑡2 .

(3.61)

Por simetría de cruce (𝑝3 ↔ −𝑝2 → 𝑠 ↔ 𝑡), se tiene que:

|𝔐|2 = 2𝑒4𝑡2 + 𝑢2

𝑠2.

(3.62)

Figura 3.9. Sección eficaz total del proceso 𝒆+𝒆− → 𝝁+𝝁−. En la gráfica (a) encontramos la sección eficaz total medido en PETRA versus la energía del centro de masa. En la gráfica (b) encontramos la misma gráfica que en (a) pero

diseñada mediante el programa Wolfram Mathematica.

La ecuación (3.62) es otra forma de escribir la Amplitud de decaimiento al cuadrado

del proceso de dispersión 𝑒−𝑒+ → 𝜇−𝜇+, pero esta vez incluyendo las variables de

Mandelstam para simplificar la expresión.


80

Partiendo de la ecuación (3.62) también podemos llegar a la sección eficaz diferencial

descrita por la ecuación (3.38).

Entonces integrando la ecuación (3.38) con respecto a los ángulos 𝜃 y 𝜙 se

encuentra la Sección Eficaz del proceso

𝜎 =4𝜋𝛼2

3𝑠.

(3.63)

En la figura (3.9) encontramos la sección eficaz total versus la energía del centro de

masa, y en la figura (3.10) encontramos una gráfica en la que se observa la relación

existente entre la sección eficaz total de dispersión del proceso, calculado teniendo

en cuenta como referencia el centro de masa (Apéndice H), y dicha energía

comparada con el espacio de fase.

Figura 3.10. Dependencia energética de la sección eficaz total del proceso 𝒆+𝒆− → 𝝁+𝝁− comparada con la dependencia energética del “espacio de fases”. La gráfica (a) fue extraída del libro An introduction to quantum field

theory [16], y la gráfica (b) fue trabajada en el programa Wolfram Mathematica.

El romper de una ola no puede explicar todo el mar.

VLADIMIR NABOKOV

CONCLUSIONES

81

4 CONCLUSIONES

Como se menciona en el trabajo en el primer capítulo, el Modelo Estándar de

Partículas Elementales es una de las mejores teorías que se tiene para explicar cómo

se conforma la naturaleza de la materia. Es una teoría que identifica, describe y

clasifica las partículas elementales, y además explica cómo interactúan estas entre sí

teniendo en cuenta simetrías y prediciendo la existencia de otras partículas. Aun

así, esta teoría no está completamente definida y acabada, al igual que las otras

teorías científicas, es con lo que se cuenta actualmente, y hasta el momento funciona,

pero deja abierta la posibilidad a ser modificada o completada ya que aún cuenta

con muchos interrogantes que no han podido ser respondidos debido a que todavía

faltan partículas fundamentales por ser detectadas (abriendo la posibilidad de que

efectivamente existan) o simplemente encontrar una mejor respuesta para explicar

los fenómenos que hasta el momento aún no se han podido explicar.

Se demostró la Ecuación de Dirac de forma detallada, explicando cada término que

la conforma. Esta ecuación es de alta importancia en este trabajo ya que por medio

de esta ecuación, en 1927 se predijo la existencia de la antipartícula lo cual dio un

giro al estudio de las partículas elementales, convirtiendo este descubrimiento en

uno de los mayores logros alcanzados en el siglo XX por la física de partículas y

abriendo puertas para seguir con el estudio de esta área. La demostración propuesta

en este trabajo de grado para la ecuación de Dirac tiene en cuenta una matemática

amplia, de una forma más comprensible para el lector, pero de igual forma, válida y

correcta, además permite visualizar los factores físicos que enmarca su desarrollo,

debido a la forma detallada en la que se hizo la demostración.

El desarrollo del cálculo para encontrar la Sección Eficaz del proceso de dispersión

𝑒+𝑒− → 𝜇+𝜇− a orden árbol, el cual era el principal objetivo de este trabajo, se logró

hacer de forma detallada evitando omitir pasos que en muchos textos son

“obviados”. El proceso que se desarrolló es el que se hace para cualquier tipo de

interacción de partículas fundamentales, aunque sin tener en cuenta los factores de

forma y demás correcciones que intervienen dependiendo del proceso que se

CONCLUSIONES

82

trabajó, sin embargo se podría decir que el desarrollo de este proceso es la base guía

para desarrollar los demás.

A medida que se desarrolló el cálculo se pudieron ver como existen algunos

procedimientos matemáticos, que a pesar de que carecen de significado físico, como

por ejemplo, la relación de completez y la solución mediante trazas, nos conducen a

resultados que explican la naturaleza de fenómenos, como lo son los procesos de

dispersión de partículas.

El cálculo se desarrolló teniendo en cuenta las reglas de Feynman, las cuales

funcionan de forma efectiva para encontrar la Amplitud de decaimiento y la sección

eficaz en un proceso de dispersión.

A pesar de que los diagramas de Feynman son únicamente una abstracción de lo

que ocurre en los procesos de dispersión, funcionan muy bien para explicar

fenómenos complejos como los que ocurren en los grandes colisionadores de

partículas, y la matemática que se implementa, es útil para entender el fenómeno en

sí, de forma abstracta, prediciendo y permitiendo el estudio de otros procesos de

dispersión, que luego que se verifican en los aceleradores de partículas.

Se trabajó la sección eficaz primero sin tener en cuenta la helicidad de las partículas

y más adelante, introduciendo esta corrección. Al calcular inicialmente la sección

eficaz sin tener en cuenta la helicidad de las partículas se llegó a la ecuación (3.38),

la cual se reduce a la ecuación de dispersión de Rutherford cuando se hace la

consideración �⃑⃑⃑�2 ≪ (𝑚𝑐)2 [12]. Por otro lado, al realizar los cálculos para la sección

eficaz diferencial teniendo en cuenta la helicidad de las partículas, se obtuvo la

ecuación correspondiente de dispersión para el canal 𝑒𝑅−𝑒𝐿


+, (ecuación 3.50),

y de manera análoga para los otros 15 canales posibles en el proceso, sin embargo

esta sección eficaz diferencial de dispersión, como se mencionó, es solo para cada

canal, para obtener la sección eficaz de todo el proceso (ecuación H.5) es necesario

sumar la sección eficaz obtenida para los 16 canales y promediarla sobre el espín de

las partículas. Es importante resaltar que 12 de los 16 canales se hacen cero debido a

que las partículas (partícula y antipartícula) poseen dirección igual en su helicidad

[16].

Ya que el marco de referencia que se tomó en los dos casos para calcular la sección

eficaz diferencial, es diferente, se obtienen ecuaciones distintas en apariencia

CONCLUSIONES

83

(ecuaciones 3.38 y H.5), pero igualmente útiles, correctas y eficientes en el momento

de encontrar la región de dispersión de las partículas en el proceso 𝑒+𝑒− → 𝜇+𝜇−.

Teniendo en cuenta la ecuación (3.50) podemos observar que la sección eficaz

diferencial se anula para 𝜃 = 𝜋, esto es algo de esperarse ya que para este ángulo el

momento angular total del estado final es opuesto al momento del estado inicial [16].

En la gráfica (3.9 b) podemos observar que la gráfica obtenida para la sección eficaz

diferencial es similar a la gráfica que obtienen experimentalmente en PETRA

(Figura 3.9 a), lamentablemente como no contamos con datos exactos no podemos

obtener una gráfica totalmente idéntica, sin embargo el patrón de curvatura es muy

similar.

La gráfica que se muestra en la figura (3.10 b), realizada en el programa Mathemática

se asemeja notablemente a la gráfica extraída de la literatura [16], en las dos gráficas,

(3.10 a) y (3.10 b) podemos ver la relación. En la gráfica podemos observar que la

sección eficaz es cero para 𝐸𝑐𝑚 < 2𝑚𝜇.

Queda para trabajos posteriores la introducción de correcciones al proceso, como lo

son lazos, cajas, y cualquier tipo de fenómenos que puede ocurrir en este tipo de

procesos. No sobra resaltar que el cálculo que se hizo es solo uno de los más

elementales de los millones de procesos que existen, sin embargo también uno de

los más fundamentales que existen. También se realizó el cálculo para el proceso a

nivel electromagnético, faltarían interacciones débiles con el W y el Z, pero para este

proceso se necesita un curso formal de Teoría Cuántica de Campos.

También queda como sugerencia, seguir en el trabajo y manejo del paquete Altas

Energías del programa Wolfram Mathematica (Apéndice I), ya que resulta muy

práctico en el momento de hacer los cálculos y graficar las soluciones encontradas y

de esta manera concebir mejor que es lo que ocurre en este tipo de procesos, sin

embargo es un paquete muy completo y muy amplio, que requiere trabajo constante

para lograr su completo manejo, a demás este paquete posee numerosas aplicaciones

que sería bueno conocer.

La realización de este trabajo de grado sirvió de gran ayuda a la formación

académica de la estudiante en cuanto a la profundización en temas tales como

Cuántica, Física de Partículas y Física computacional, introduciendo a la estudiante

en conocimientos nuevos que no son vistos durante el pregrado.

APÉNDICE A

85

APENDICES

A EFECTO COMPTON

El efecto Compton es el cambio de longitud de onda de un fotón de radiación

electromagnética de alta energía al chocar con electrones y perder parte de su

energía. Este fenómeno fue descubierto por el físico estadounidense Arthur

Compton en 1923, y gracias a la importancia de este descubrimiento galardonado

en 1927 con el premio Nobel. El efecto Compton constituyó la demostración final de

la naturaleza cuántica de la luz tras los estudios de Planck sobre el cuerpo negro y

la explicación de Albert Einstein del efecto fotoeléctrico [4].

N

Figura 1.A Efecto Compton

APÉNDICE A

86

Antes del choque

Energía y momento del fotón:

𝐸𝛾 = ℎ𝑓

(A.1)

𝑝𝛾 = (𝐸𝛾

𝑐, 𝑷⃑⃑⃑⃑⃑𝛾),

(A.2)

donde

�⃑⃑⃑�𝛾 = (0,0,𝐸𝛾

𝑐).

(A.3)

Energía y momento del electrón:

𝐸𝑒 = 𝑚0𝑐2

(A.4)

𝑝𝑒 = (𝑚0𝑐, 0).

(A.5)

Después del choque

𝑝𝛾′ = (

𝐸′𝛾

𝑐, , 𝑷′⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑

𝛾)

(A.6)

𝑝𝑒 = (𝑚0𝑐, 𝑷′⃑⃑⃑⃑⃑𝑒).

(A.7)

Por conservación de momentos

𝑝𝛾 + 𝑝𝑒 = 𝑝𝛾′ + 𝑝𝑒

′ ,

(A.8)

despejando

APÉNDICE A

87

𝑝𝑒′ = 𝑝𝛾 + 𝑝𝑒 − 𝑝𝛾

′ ,

(A.9)

elevando al cuadrado:

(𝑝𝑒′ )2 = (𝑝𝛾 + 𝑝𝑒 − 𝑝𝛾

′ )2

(A.10)

𝑝𝑒′2 = 𝑝𝛾

2 + 2𝑝𝛾𝑝𝑒 + 𝑝𝑒2 − 2𝑝𝛾𝑝𝛾

′ − 2𝑝𝑒𝑝𝛾′ + 𝑝𝛾

′2. (A.11)

Pero 𝑝𝑒′2 = 𝑝𝛾

2 = 𝑝𝑒2 = 𝑝𝛾

′2 = 0, entonces

0 = 2𝑝𝛾𝑝𝑒 − 2𝑝𝛾𝑝𝛾

′ − 2𝑝𝑒𝑝𝛾′ .

(A.12)

Factorizando

𝑝𝑒(𝑝𝛾 − 𝑝𝛾′ ) − 𝑝𝛾𝑝𝛾

′ = 0,

(A.13)

pero

𝑝𝛾. 𝑝𝛾′ =

𝐸𝛾𝐸𝛾′

𝑐2(1 − 𝐶𝑜𝑠 𝜃)

(A.14)

𝑝𝑒 . 𝑝𝛾′ = (𝑚0𝑐, 0) (

𝐸𝛾′

𝑐, �⃑⃑⃑�𝛾

′ ) = 𝑚0𝐸𝛾′ .

(A.15)

Sustituyendo (A.14) y (A.15) en (A.13) obtenemos

𝑚0𝐸𝛾 −𝑚0𝐸𝛾′ −

𝐸𝛾𝐸𝛾′

𝑐2(1 − 𝐶𝑜𝑠 𝜃) = 0

(A.16)

APÉNDICE A

88

𝑚0(𝐸𝛾 − 𝐸𝛾′ ) =

𝐸𝛾𝐸𝛾′

𝑐2(1 − 𝐶𝑜𝑠 𝜃),

(A.17)

pero 𝐸 =ℎ𝑐

𝜆, sustituyendo la energía en la ecuación (A.17) tenemos que:

𝑚0 (ℎ𝑐

𝜆−ℎ𝑐

𝜆′) =

ℎ2𝑐2

𝑐2𝜆𝜆′(1 − 𝐶𝑜𝑠 𝜃)

(A.18)

𝑚0 (1

𝜆−1

𝜆′) =

ℎ

𝑐𝜆𝜆′(1 − 𝐶𝑜𝑠 𝜃)

(A.19)

(1

𝜆−1

𝜆′) =

ℎ

𝑚0𝑐𝜆𝜆′(1 − 𝐶𝑜𝑠 𝜃)

(A.20)

𝜆′ − 𝜆

𝜆𝜆′=

ℎ

𝑚0𝑐𝜆𝜆′(1 − 𝐶𝑜𝑠 𝜃)

(A.21)

𝜆′ − 𝜆 =ℎ

𝑚0𝑐(1 − 𝐶𝑜𝑠 𝜃).

(A.22)

Llamando a 𝜆𝑐 =ℎ

𝑚0𝑐 tenemos que

𝜆′ − 𝜆 = 𝜆𝑐(1 − 𝐶𝑜𝑠 𝜃), (A.23)

donde 𝜆𝑐 es la longitud Compton.

APÉNDICE B

89

B PROPIEDADES DE LA DISTRIBUCIÓN DELTA DE

DIRAC

La distribución Delta de Dirac 𝛿(𝑥) es una función introducida por el físico Ingles

Paul Dirac, la cual define una función en forma integral sobre cierto espacio de

funciones. Esta función de distribución constituye una aproximación muy útil para

funciones pico y representa el mismo tipo de abstracción matemática que una carga

o masa puntual. En ocasiones se denomina también Función de Impulso. Además,

la distribución delta de Dirac permite definir la derivada generalizada de funciones

discontinuas. Las propiedades de esta función 𝛿 son:

1. ∫ 𝑓(𝑥)𝛿(𝑥 − 𝑎) = 𝑓(𝑥)∞

−∞

2. 𝛿(𝑥) = 𝛿(−𝑥)

3. ∫ 𝑓(𝑥)𝑏

𝑎𝛿(𝑥 − 𝑥0) = {

𝑓(𝑥0) 𝑠𝑖 𝑎 < 𝑥0 < 𝑏0 𝑠𝑖 𝑥0 > 𝑎 ó 𝑥0 > 𝑏

4. 𝑓(𝑥)𝛿′(𝑥) = 𝑓′(𝑥)𝛿(𝑥)

5. 𝑥𝑛𝛿(𝑥) = 0 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡𝑜𝑑𝑜 𝑛 > 0 𝑦 𝑥 ∈ ℝ

6. 𝛿(𝑎𝑥 − 𝑏) =1

|𝑎|𝛿 (𝑥 −

𝑏

𝑎) 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡𝑜𝑑𝑜 𝑎 ≠ 0

7. ∫ 𝛿(𝑥) = 1∞

−∞

8. 𝑓(𝑥)𝛿(𝑥 − 𝑎) = 𝑓(𝑎)𝛿(𝑥 − 𝑎)

9. 𝑓(𝑥)𝛿′(𝑥 − 𝑎) = 𝑓(𝑎)𝛿′(𝑥 − 𝑎) − 𝑓′(𝑎)𝛿(𝑥 − 𝑎)

APÉNDICE B

90

10. 𝛿(𝑓(𝑥)) = ∑𝛿(𝑥−𝑛)

|𝑓′(𝑥𝑛)| 𝑐𝑜𝑛 𝑓(𝑥𝑛) = 0 𝑦 𝑛 𝑓′(𝑥𝑛) ≠ 0

11. 𝛿(𝑤) =1

2𝜋∫ 𝑒−𝑖𝜔𝑡∞

−∞𝑑𝑡

APÉNDICE C

91

C PROPIEDADES DE LAS TRAZAS

1. 𝑇𝑟(𝐴 + 𝐵) = 𝑇𝑟(𝐴) + 𝑇𝑟(𝐵)

2. 𝑇𝑟(𝛼𝐴) = 𝛼𝑇𝑟(𝐴), donde 𝛼 es un número.

3. 𝑇𝑟(𝐴𝐵) = 𝑇𝑟(𝐵𝐴)

4. 𝑔𝜇𝜈𝑔𝜇𝜈 = 4

5. 𝛾𝜇𝛾𝜈 + 𝛾𝜈𝛾𝜇 = 2𝑔𝜇𝜈

6. a b b a 2 .a b

7. 𝛾𝜇𝛾𝜇 = 4

8. 𝛾𝜇𝛾𝜈𝛾𝜇 = −2𝛾𝜈

9. a 2 a

10. 𝛾𝜇𝛾𝜈𝛾𝜆𝛾𝜎𝛾𝜇 = −2𝛾𝜈𝛾𝜆𝛾𝜎

11. a b c 2 c b a

12. La traza del producto de un número impar de matrices gamma es cero.

13. 𝑇𝑟(1) = 4

14. 𝑇𝑟(𝛾𝜇𝛾𝜈) = 4𝑔𝜇𝜈

15. (Tr a b ) 4(a.b)

16. 𝑇𝑟(𝛾𝜇𝛾𝜈𝛾𝜆𝛾𝜎) = 4(𝑔𝜇𝜈𝑔𝜆𝜎 − 𝑔𝜇𝜆𝑔𝜈𝜎 + 𝑔𝜇𝜎𝑔𝜈𝜆)

17. (Tr a b c d ) 4( . . . . . . )a bc d a cb d a db c

18. 𝑇𝑟(𝛾5) = 0

19. 𝑇𝑟(𝛾5𝛾𝜇𝛾𝜈) = 0

20. 5(Tr a b ) 0

21. 𝑇𝑟(𝛾5𝛾𝜇𝛾𝜈𝛾𝜆𝛾𝜎) = 4𝑖𝜖𝜇𝜈𝜆𝜎

22. 5(Tr a b c d ) 4 ai b c d

APÉNDICE D

92

D SECCIÓN EFICAZ

Los experimentos que permiten identificar el comportamiento de las partículas, y

sus características, especialmente en el régimen relativista, son experimentos de

dispersión.

En los aceleradores de partículas, se hacen chocar dos haces con los momentos bien

definidos, y se analiza lo que se observa en los detectores. La probabilidad de

cualquiera de los estados finales que pueden ocurrir, se puede expresar en términos

de la Sección Eficaz.

Para definir la Sección Eficaz se considera un objetivo, en reposo (�⃑�𝐴 = 0), de tipo A

con densidad 𝜌𝐴, y una longitud 𝐿𝐴. Se apunta hacia este objetivo un grupo de

partículas tipo B, con cierta velocidad �⃑�𝐵, con densidad 𝜌𝐵 y una longitud 𝐿𝐵 [16]

(ver figura D.1).

Figura D.0.1 Sistema de partículas a interactuar

La anterior figura está relacionada con el experimento hecho por Rutherford, el

objetivo era una lámina metálica delgada, de un número atómico relativamente

grande (en la gráfica, lámina de longitud 𝐿𝐴), mientras que los proyectiles consistían

en un haz colimado de baja energía cuyas partículas eran los núcleos de los átomos

APÉNDICE D

93

de helio, (en la gráfica, lámina de longitud 𝐿𝐵). El resultado básico de estos

experimentos fue que la mayoría de la

s partículas atravesaron la lámina con muy poca desviación angular.

Ocasionalmente, sin embargo, las deflexiones eran bastante grandes [17].

La Sección Eficaz 𝜎 es el número total de eventos dispersados, dividido por el

producto de 𝜌𝐴, 𝜌𝐵,𝐿𝐴 y 𝐿𝐵.

𝜎 =𝑁ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑒𝑣𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑑𝑖𝑠𝑝𝑒𝑟𝑠𝑎𝑑𝑜𝑠

𝜌𝐴𝐿𝐴𝜌𝐵𝐿𝐴, (D.1)

donde 𝜌𝐴 y 𝜌𝐵 no son constantes.

Ahora se calcula el número total de eventos dispersados el cual es proporcional a

𝜌𝐴, 𝜌𝐵,𝐿𝐴 y 𝐿𝐵. Entonces llamamos a 𝑁𝑒 = 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑒𝑣𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑑𝑖𝑠𝑝𝑒𝑟𝑠𝑎𝑑𝑜𝑠, donde

𝑁𝑒 = 𝐿𝐴𝐿𝐵∫𝑑2𝑥𝜌𝐴(𝑥)𝜌𝐵(𝑥).

(D.2)

Entonces como 𝜌𝐴 y 𝜌𝐵 no son constantes, tenemos que:

𝜌𝐴 =𝑁ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑝𝑎𝑟𝑡í𝑐𝑢𝑙𝑎𝑠 𝑒𝑛 𝐴

𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒𝑛 𝑑𝑒 𝐴=𝑁𝐴𝑉𝐴

𝜌𝐵 =𝑁ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑝𝑎𝑟𝑡í𝑐𝑢𝑙𝑎𝑠 𝑒𝑛 𝐵

𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒𝑛 𝑑𝑒 𝐵

=𝑁𝐵𝑉𝐵

=𝑁𝐵𝐴𝐵𝑥

,

donde 𝐴𝐵 es el área para B.

𝜌𝐵 =𝑁𝐵𝐴𝐵𝑥

⟹𝑁𝐵𝑥= 𝜌𝐵𝐴𝐵.

APÉNDICE D

94

Entonces, la ecuación anterior implica que:

𝑁𝐵 = ∫𝑑𝑁𝐵 ⟹𝑁𝐵 = ∫𝜌𝐵𝐴𝐵𝑑𝑥.

Pero si 𝜌𝐴 y 𝜌𝐵 son constantes, tenemos que:

𝑁𝑒 = 𝜎𝐿𝐴𝐿𝐵𝜌𝐴𝜌𝐵∫𝑑2𝑥

= 𝜎𝐿𝐴𝐿𝐵𝜌𝐴𝜌𝐵𝐴.

(3.D)

Esto lo podemos escribir como:

𝑁𝑒 = 𝜎𝐿𝐴𝐿𝐵𝑁𝐴𝑉𝐴

𝑁𝐵𝑉𝐵

=𝜎𝑁𝐴𝑁𝐵𝐿𝐴𝐿𝐵𝑉𝐴𝑉𝐵𝐿𝐴𝐿𝐵

𝐴,

(D.4)

donde A es un área obtenida de la integral ∫𝑑2𝑥 = 𝐴. Pero 𝐴𝐴 = 𝐴𝐵 = 𝐴, entonces:

𝑁𝑒 =𝜎𝑁𝐴𝑁𝐵𝐴

. (D.5)

Pero la sección eficaz 𝜎 no permite medir los momentos de las partículas, y por lo tanto no

podemos conocer la velocidad de las partículas, por eso es necesario definir la sección eficaz

diferencial del proceso.

𝑑𝜎

𝑑3𝑝1…𝑑3𝑝𝑛

⟹𝑑𝜎

𝑑Ω . (D.6)

APÉNDICE D

95

Recordemos que:

𝑝 = (𝐸

𝑐, �⃑⃑�),

donde 𝐸

𝑐→ 𝑝0 y �⃑⃑� → 𝑃(𝑟, 𝜃, 𝜑) y r es constante para 𝜎.

Ω = á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝑠ó𝑙𝑖𝑑𝑜.

En coordenadas esféricas tenemos que el diferencial de volumen está dado por:

𝑑𝑉 = 𝑟2𝑆𝑒𝑛𝜃𝑑𝑟𝑑𝜃𝑑𝜑,

reagrupando

𝑑𝑉 = 𝑟2𝑑𝑟 𝑆𝑒𝑛𝜃𝑑𝜃𝑑𝜑⏟ 𝑑Ω

,

por lo tanto:

𝑑𝑉 = 𝑟2𝑑𝑟𝑑Ω,

siendo 𝜃 ⊥ 𝜑.

Una cantidad mesurable e importante es la Razón de Decaimiento Γ de una partícula

inestable A (que se supone está en reposo) en un estado final especificado (de dos o

mas partículas). Se define como:

Γ ≡𝑁ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑑𝑒𝑐𝑎𝑖𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑝𝑜𝑟 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝑡𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜

𝑁ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑝𝑎𝑟𝑡í𝑐𝑢𝑙𝑎𝑠 𝐴 𝑝𝑟𝑒𝑠𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠.

(D.7)

APÉNDICE D

96

El tiempo de vida 𝜏 de la partícula es el recíproco de la suma de sus razones de

decaimiento en todos los posibles estados finales.

τ =1

Γ . (D.8)

APÉNDICE E

97

E RELACIÓN DE COMPLETEZ

La ecuación de Dirac con �⃑� = 0 (ver sección 2.4.4 de este trabajo), admite cuatro

soluciones independientes:

ψ1 = 𝑒−𝑖(

𝑚𝑐2

ℏ)𝑡 (

1000

)

(E.1)

ψ2 = 𝑒−𝑖(

𝑚𝑐2

ℏ)𝑡 (

0100

)

(E.2)

ψ3 = 𝑒+𝑖(

𝑚𝑐2

ℏ)𝑡 (

0010

)

(E.3)

ψ4 = 𝑒+𝑖(

𝑚𝑐2

ℏ)𝑡 (

0001

)

(E.4)

donde 𝜓𝐴 = (𝜓1

𝜓2) y 𝜓𝐵 = (

𝜓3

𝜓4).

Se podría preguntar por qué no se limitan a establecer que 𝜓𝐵 = 0 (“energías

negativas” o “soluciones físicamente inaceptables”) y se dejan olvidadas.

Desafortunadamente esto no se puede hacer. En un sistema cuántico de necesita un

conjunto completo de estados y los estados de energía positivos por sí mismo no son

completos.

En la ecuación de Shrödinger el signo de i es solamente convencional, pero en la

Teoría Relativista, estos signos surgen, y cuando son correctamente interpretados,

implican la existencia de la antipartícula, y describen, por ejemplo, un electrón con

APÉNDICE E

98

espín hacia arriba, uno con espín hacia abajo, un positrón con espín hacia arriba y

uno con espín hacia abajo.

Tenemos, como soluciones, ondas planas

𝜓(𝑥) = 𝑎𝑒−𝑖𝑝.𝑥𝑢(𝑝).

(E.5)

Se necesita encontrar un cuadri-vector 𝑝𝜇 y un bi-espinor asociado 𝜇(𝑝) tal que la

ecuación E.5 satisfaga la Ecuación de Dirac, (a es un factor de normalización).

Tenemos que

𝜕𝜇𝜓 = −𝑖𝑝𝜇𝜓, (E.6)

sustituyendo la ecuación anterior en la ecuación de Dirac se obtiene:

ℏ𝛾𝜇𝑝𝜇𝑒−𝑖𝑝.𝑥 𝑢 −𝑚𝑐𝑒−𝑖𝑝.𝑥 𝑢 = 0 (E.7)

ó

(ℏ𝛾𝜇𝑝𝜇 −𝑚𝑐)𝑢 = 0.

(E.8)

Si u satisface la anterior ecuación, entonces 𝜓 satisface la ecuación de Dirac.

Ahora

𝛾𝜇𝑝𝜇 = 𝛾0𝑝0 − 𝜸. 𝒑

=𝐸

𝑐(1 00 −1

) − 𝒑. (0 𝜎−𝜎 0

)

APÉNDICE E

99

𝛾𝜇𝑝𝜇 = (

𝐸

𝑐−𝒑. 𝝈

𝒑. 𝝈 −𝐸

𝑐

),

(E.9)

así

(𝛾𝜇𝑝𝜇 −𝑚𝑐)𝑢 = ((𝐸

𝑐− 𝑚𝑐) −𝒑. 𝝈

𝒑. 𝝈 (−𝐸

𝑐− 𝑚𝑐)

)(𝑢𝐴𝑢𝐵)

= ((𝐸

𝑐− 𝑚𝑐) 𝑢𝐴 −𝒑. 𝝈𝑢𝐵

𝒑. 𝝈𝑢𝐴 (−𝐸

𝑐− 𝑚𝑐)𝑢𝐵

).

Donde A indica la parte superior y B la parte inferior, cada una con dos

componentes.

Ahora se define 𝑢𝐴 y 𝑢𝐵:

𝑢𝐴 =𝑐

𝐸 −𝑚𝑐2(𝒑. 𝝈)𝑢𝐵

𝑢𝐵 =𝑐

𝐸 +𝑚𝑐2(𝒑. 𝝈)𝑢𝐴.

(E.10)

Sustituyendo la segunda ecuación en la primera obtenemos

𝑢𝐴 =𝑐2

𝐸2 −𝑚2𝑐4(𝒑. 𝝈)2𝑢𝐴,

(E.11)

pero

𝒑. 𝝈 = 𝑝𝑥 (0 11 0

) + 𝑝𝑦 (0 −𝑖𝑖 0

) + 𝑝𝑧 (1 00 −1

)

APÉNDICE E

100

𝒑. 𝝈 = (𝑝𝑧 (𝑝𝑥 − 𝑖𝑝𝑦)

(𝑝𝑥 + 𝑖𝑝𝑦) −𝑝𝑧),

(E.12)

entonces

(𝒑. 𝝈)𝟐 = (𝑝𝑧2 + (𝑝𝑥 − 𝑖𝑝𝑦)(𝑝𝑥 + 𝑖𝑝𝑦) 𝑝𝑧(𝑝𝑥 − 𝑖𝑝𝑦) − 𝑝𝑧(𝑝𝑥 − 𝑖𝑝𝑦)

𝑝𝑧(𝑝𝑥 + 𝑖𝑝𝑦) − 𝑝𝑧(𝑝𝑥 + 𝑖𝑝𝑦) (𝑝𝑥 + 𝑖𝑝𝑦)(𝑝𝑥 − 𝑖𝑝𝑦) + 𝑝𝑧2)

= 𝒑2,

(E.13)

así

𝑢𝐴 =𝒑𝟐𝑐2

𝐸2 −𝑚2𝑐4𝑢𝐴.

(E.14)

Por lo tanto

𝐸2 −𝑚2𝑐4 = 𝒑2𝑐2. (E.15)

Para satisfacer la Ecuación de Dirac, 𝐸 y 𝒑 (ecuación E.5) deben cumplir la relación

de energía-momento relativista. La ecuación E.15 admite dos soluciones para E

𝐸 = ±√𝑚2𝑐4 + 𝒑𝟐𝑐2. (E.16)

El signo positivo está asociado con estados de la partícula y el signo negativo con

estados de la antipartícula.

Retomando las ecuaciones (E.10) y usando la (E.12) se pueden construir las cuatro

soluciones independientes de la ecuación de Dirac [16]:

1. Tomando 𝑢𝐴 = (10), se tiene que

APÉNDICE E

101

𝑢𝐵 =𝑐

𝐸 +𝑚𝑐2(𝒑. 𝝈) (

10) =

𝑐

𝐸 +𝑚𝑐2(

𝑝𝑧𝑝𝑥 + 𝑖𝑝𝑦

).

(E.17)


𝑢𝐵 =𝑐

𝐸 +𝑚𝑐2(𝒑. 𝝈) (

01) =

𝑐

𝐸 +𝑚𝑐2(𝑝𝑥 − 𝑖𝑝𝑦−𝑝𝑧

).

(E.18)

3. Tomando 𝑢𝐵 = (10), se tiene que

𝑢𝐴 =𝑐

𝐸 −𝑚𝑐2(𝒑. 𝝈) (

10) =

𝑐

𝐸 −𝑚𝑐2(

𝑝𝑧𝑝𝑥 + 𝑖𝑝𝑦

).

(E.19)


𝑢𝐵 =𝑐

𝐸 −𝑚𝑐2(𝒑. 𝝈) (

01) =

𝑐

𝐸 −𝑚𝑐2(𝑝𝑥 − 𝑖𝑝𝑦−𝑝𝑧

). (E.20)

Para normalizar los espinores de tal manera que: 𝑢ϯ𝑢 =2|𝐸|

𝑐, entonces

𝑢 = (

𝛼𝛽𝛾𝛿

)⟹ 𝑢ϯ = (𝛼∗𝛽∗𝛾∗𝛿∗).

Las cuatro soluciones son:

APÉNDICE E

102

𝑢(1) = 𝑁

(

10

𝑐(𝑝𝑧)

𝐸 +𝑚𝑐2

𝑐(𝑝𝑥 + 𝑖𝑝𝑦)

𝐸 +𝑚𝑐2 )

(E.21)

𝑢(2) = 𝑁

(

01

𝑐(𝑝𝑥 − 𝑖𝑝𝑦)

𝐸 +𝑚𝑐2

𝑐(−𝑝𝑧)

𝐸 +𝑚𝑐2 )

,

(E.22)

donde 𝐸 = √𝑚2𝑐4 + 𝒑2𝑐2

𝑣(1) = 𝑁

(

𝑐(𝑝𝑧)

𝐸 −𝑚𝑐2

𝑐(𝑝𝑥 + 𝑖𝑝𝑦)

𝐸 −𝑚𝑐2

10 )

(E.23)

𝑣(2) = 𝑁

(

𝑐(−𝑝𝑧)

𝐸 −𝑚𝑐2

𝑐(𝑝𝑥 − 𝑖𝑝𝑦)

𝐸 −𝑚𝑐2

01 )

,

(E.25)

donde 𝐸 = −√𝑚2𝑐4 + 𝒑2𝑐2.

La constante de normalización es 𝑁 = √|𝐸|+𝑚𝑐2

𝑐.

Se podría decir que 𝑢(1) y 𝑣(1) tienen espín arriba y 𝑢(2) y 𝑣(2) tienen espín hacia abajo.

Ahora se procederá a probar la relación de completez para los espinores. Teniendo en

cuenta la ecuación (E.21) y (E.22) y sabiendo que �̅� = 𝛾0𝑢ϯ, donde

APÉNDICE E

103

0

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

,

se tiene que:

∑ 𝑢(𝑠)�̅�(𝑠)

𝑠=1,2

= |𝑁|2

[

(

0

1

𝑐 (𝑝𝑥− 𝑖𝑝

𝑦)

𝐸 + 𝑚𝑐2

𝑐(−𝑝𝑧)

𝐸 + 𝑚𝑐2 )

(1 0 −𝑐𝑝𝑧

𝐸 + 𝑚𝑐2−𝑐 (𝑝

𝑥− 𝑖𝑝

𝑦)

𝐸 + 𝑐𝑚2)

+

(

0

1

𝑐 (𝑝𝑥− 𝑖𝑝

𝑦)

𝐸 + 𝑚𝑐2

𝑐(−𝑝𝑧)

𝐸 + 𝑚𝑐2 )

(0 1 −𝑐 (𝑝

𝑥− 𝑖𝑝

𝑦)

𝐸 + 𝑐𝑚2

𝑐𝑝𝑧

𝐸 + 𝑚𝑐2)

]

.

A continuación se desarrolla el producto matricial y la suma entre los resultados.

APÉNDICE E

104

2 2

22 2 2

2 22 2 21,2

2 2 22

2 22 2 2

2

2

(1 0

0 0 0 0

0

0

0 0

)

0 0

(0 1

)

z

s s z x yz z

s

x yx y z x y

x y

x y z

c pcp

E mc E mc

c p p ipE mc cp c pu u

c E mc E mc E mc

c p pc p ip c p p ip

E mc E mc E m

ip

i

c

c p cp p

E mc E

E mc

c

2

2 2 2 2

2 22 2 2

2 2 2

2 22 2 2

0

0

x yx y z x y

z x yz z

mc

c p pc p ip c p p ip

E mc E mc E mc

c p p ipcp c p

E mc E mc E mc

2

2

21,2

2

2

2

0 ( )

0 ( )

0

0

z x y

x y zs s

s

z x y

x y z

E mcp p ip

c

E mcp ip p

cu u

cpp p ip

E mc

cpp ip p

E mc

Pero 𝒑. 𝝈 = (𝑝𝑧 𝑝𝑥 − 𝑖𝑝𝑦

𝑝𝑥 + 𝑖𝑝𝑦 −𝑝𝑧) y

𝑐2𝒑2

𝐸+𝑚𝑐2=𝐸2−𝑚2𝑐4

𝐸+𝑚𝑐2= 𝐸 −𝑚𝑐2 entonces:

APÉNDICE E

105

∑ 𝑢(𝑠)�̅�(𝑠)

𝑠=1,2

=

[ (

𝐸

𝑐+ 𝑚𝑐 0

0𝐸

𝑐+𝑚𝑐

) −(𝒑. 𝝈)

(𝒑. 𝝈) (−𝐸

𝑐+𝑚𝑐 0

0 −𝐸

𝑐+𝑚𝑐

)

]

Teniendo en cuenta que 𝛾0 − 𝛾𝑖 = 𝛾𝜇 se tiene que

∑ 𝑢(𝑠)�̅�(𝑠)

𝑠=1,2

=𝐸

𝑐𝛾0 − 𝒑. (

0 𝜎−𝜎 𝑜

) + 𝑚𝑐

=𝐸

𝑐𝛾0 − 𝒑. 𝛾𝑖 +𝑚𝑐.

Por lo tanto

∑ 𝑢(𝑠)�̅�(𝑠)

𝑠=1,2

= 𝛾𝜇𝑝𝜇 +𝑚𝑐. (E.26)

Ahora para la antipartícula se procede de forma similar. Teniendo en cuenta las

ecuaciones (E.23) y (E.24) se tiene que:

APÉNDICE E

106

∑ 𝑣(𝑠)�̅�(𝑠)

𝑠=1,2

= |𝑁|2

[

(

𝑐(𝑝𝑥− 𝑖𝑝

𝑦)

𝐸 − 𝑚𝑐2

−𝑐(𝑝

𝑧)

𝐸 − 𝑚𝑐2

0

1 )

(𝑐(𝑝

𝑥+ 𝑖𝑝

𝑦)

𝐸 − 𝑚𝑐2−

𝑐(𝑝𝑧)

𝐸 − 𝑚𝑐20 −1)

+

(

𝑐(𝑝𝑧)

𝐸 − 𝑚𝑐2

𝑐(𝑝𝑥+ 𝑖𝑝

𝑦)

𝐸 − 𝑚𝑐2

1

0 )

(𝑐(𝑝

𝑧)

𝐸 − 𝑚𝑐2

𝑐(𝑝𝑥− 𝑖𝑝

𝑦)

𝐸 − 𝑚𝑐2−1 0)

]

2 2 2 2

2 2 2 2 2

2 2 2

2 2 2 2 2

2 2

2 2

2

1 2

2

2

,

2

(p ) ( ) ( )0

( ) ( )

( )0

( ) ( )

0 0 0 0

( )0 1

( )

x y z x y x y

z x y z z

x y

s

s

z

z

s

c p c p p ip c p ip

E mc E mc E mc

c p p ip cE mc

p cp

E mc E mc E mc

c p ip cp

E mc E mc

c

v v

p

E

c

E c

c

mc

m

2

2 2 2

2 2 2 2

2 2 2 2 2

2 2

( )0

( )

( ) (p ) ( )0

( ) ( )

( )1 0

0 0 0 0

z x y z

z x y x y x y

x yz

c p p ip cp

E mc E mc

c p p ip c p c p ip

E mc E mc E mc

c p ipcp

E mc E mc

APÉNDICE E

107

1,2

2

2

2

2

2

2

0 ( )

0 ( )

0

0

z x y

x y z

z x

s s

s

y

x y z

cpp p ip

E mc

cpp ip p

E mc

E mcp p ip

c

E mcp i

c

v

p

v

p

∑ 𝑢(𝑠)�̅�(𝑠)

𝑠=1,2

=

[ (

𝐸

𝑐− 𝑚𝑐 0

0𝐸

𝑐−𝑚𝑐

) −(𝒑. 𝝈)

(𝒑. 𝝈) (−𝐸

𝑐+𝑚𝑐 0

0 −𝐸

𝑐+𝑚𝑐

)

]

∑ 𝑣(𝑠)�̅�(𝑠)

𝑠=1,2

=𝐸

𝑐𝛾0 − 𝒑. 𝛾 − 𝑚𝑐 = 𝛾𝜇𝑝𝜇 −𝑚𝑐.

(E.27)

APÉNDICE F

108

F

EL TENSOR MÉTRICO Y EL SÍMBOLO DE LEVI CIVITA

La convención para el tensor métrico está dado por:

𝑔𝜇𝜈 = 𝐷𝑖𝑎𝑔(+1,−1,−1,−1).

(F.1)

El símbolo de Levi-Civita es el complemento antisimétrico de un tensor de rango 4.

El producto entre dos tensores de Levi-Civita está dado por [18]:

' ' ' '

' ' ' '

' ' ' ' [ ' ' ' ']

' ' ' '

' ' ' '

. (F.2)

En la ecuación (F.2) la doble barra indica el determinante de la matriz y los corchetes

en los índices del resultado, indican la antisimetrización con respecto a los índices

cerrados. Al tomar sucesivas contracciones de esta relación, se pueden obtener las

siguientes relaciones:

휀𝜇𝜈𝜆𝜌휀𝜇𝜈′𝜆′𝜌′ = −𝛿[𝜈′𝜈 𝛿𝜆′

𝜆𝛿𝜌′]𝜌

(F.3)

휀𝜇𝜈𝜆𝜌휀𝜇𝜈𝜆′𝜌′ = −2[𝛿[𝜆′′𝜆 𝛿𝜌′]

𝜌] (F.4)

휀𝜇𝜈𝜆𝜌휀𝜇𝜈𝜆𝜌′ = −6𝛿𝜌′

𝜌 (F.5)

휀𝜇𝜈𝜆𝜌휀𝜇𝜈𝜆𝜌 = −24. (F.6)

APÉNDICE G

109

G OPERADORES DE PROYECCIÓN PARA FERMIONES

𝐿 = 𝐿𝑒𝑓𝑡

𝑅 = 𝑅𝑖𝑔ℎ𝑡

𝑢𝐿(𝑝) = (1 − 𝛾5

2)𝑢(𝑝)

(G.1) 𝑣𝐿(𝑝) = (

1 + 𝛾5

2)𝑣(𝑝)

(G.5)

�̅�𝐿(𝑝) = �̅�(𝑝) (1 + 𝛾5

2)

(G.2) �̅�𝐿(𝑝) = �̅�(𝑝) (

1 − 𝛾5

2)

(G.6)

𝑢𝑅(𝑝) = (1 + 𝛾5

2)𝑢(𝑝)

(G.3) 𝑣𝑅(𝑝) = (

1 − 𝛾5

2)𝑣(𝑝)

(G.7)

�̅�𝑅(𝑝) = �̅�(𝑝) (1 − 𝛾5

2)

(G.4) �̅�𝑅(𝑝) = �̅�(𝑝) (

1 + 𝛾5

2)

(G.8)

APÉNDICE H

110

H SECCIÓN EFICAZ TOTAL

Figura H.1. Proceso de dispersión 𝑒+𝑒− → 𝜇+𝜇− visto desde el centro de masa del sistema

Para calcular la Amplitud al cuadrado del proceso se tiene que

1

4∑ |𝕸|2


=8𝑒4

(𝑝1 − 𝑝3)4[(𝑝1 . 𝑝2)(𝑝3 . 𝑝4) + (𝑝1 . 𝑝4)(𝑝3 . 𝑝2) + 𝑚𝜇

2(𝑝1 . 𝑝3), (H.1)

Ahora escribiendo la amplitud en términos de la energía E y el ángulo de dispersión

𝜃 se tiene

1

4∑ |𝕸|2


=8𝑒4

16𝐸4[𝐸2(𝐸 − |�⃑⃑�2|𝐶𝑜𝑠 𝜃)

2+ [𝐸2(𝐸 + |�⃑⃑�2|𝐶𝑜𝑠 𝜃)

2+ 2𝑚𝜇

2𝐸2]

= 𝑒4 [(1 +𝑚𝜇2

𝐸2) + (1 −

𝑚𝜇2

𝐸2)𝐶𝑜𝑠2𝜃].

( H.2)

Ahora se puede calcular la sección eficaz del proceso,

APÉNDICE H

111

𝑑σ

𝑑Ω=

1

2𝐸𝐶𝑀2

|�⃑⃑⃑�2|

16𝜋2𝐸𝐶𝑀 .1

4∑ |𝕸|2


=𝛼2

4𝐸𝐶𝑀2√1 −

𝑚𝜇2

𝐸2(1 +

𝑚𝜇2

2𝐸2).

Integrando sobre 𝑑Ω encontramos la sección eficaz total.

( H.3)

𝜎 =4𝜋𝛼2

3𝐸𝐶𝑀2√1 −

𝑚𝜇2

𝐸2(1 +

𝑚𝜇2

2𝐸2)

(H.4)

En el límite de altas energías donde 𝐸 ≫ 𝑚𝜇 tenemos que,

𝑑σ

𝑑Ω→⏟

𝐸≫𝑚𝜇

𝛼2

4𝐸𝐶𝑀2(1 + 𝐶𝑜𝑠2𝜃),

(H.5)

y para la sección eficaz total:

𝜎 →⏟𝐸≫𝑚𝜇

4𝜋𝛼2

3𝐸𝐶𝑀2 (1 −

3

8(𝑚𝜇

𝐸)4

−⋯). (H.6)

Valores experimentales

(𝑐ℎ)2 = 0.389𝐺𝑒𝑉2. 𝑚𝑏

𝛼 =1

137

𝜎(30𝐺𝑒𝑉) =4𝜋

3

(1137)

2

(30𝐺𝑒𝑉)20.389𝐺𝑒𝑉2. 𝑚𝑏 = 96 × 10−9𝑚𝑏 = 96𝑝𝑏

APÉNDICE I

112

I CÓDIGO EN WOLFRAM MATHEMATICA PARA LA

REALIZACIÓN EL CÁLCULO DEL PROCESO DE

DISPERSIÓN 𝒆+𝒆− → 𝝁+𝝁−

Primero se carga el programa Feyncalc en Mathematica.

<< HighEnergyPhysics`fc`

Se evalúan las trazas, se realizan las contracciones correspondientes

automáticamente.

Msq =𝑒4

4(p1 + p2)4Contract[Tr[(GS[p1] + me). GA[mu]. (GS[p2]

− me). GA[nu]]Tr[(GS[p4] − mm). GA[mu]. (GS[p3] −mm). GA[nu]]]

Ahora se introducen las variables de Mandelstam:

𝑝𝑟𝑜𝑑[𝑎_, 𝑏_] = 𝑃𝑎𝑖𝑟[𝑀𝑜𝑚𝑒𝑛𝑡𝑢𝑚[𝑎],𝑀𝑜𝑚𝑒𝑛𝑡𝑢𝑚[𝑏]];

𝑀𝑎𝑛𝑑𝑒𝑙𝑠𝑡𝑎𝑚 = {𝑝𝑟𝑜𝑑[𝑝1, 𝑝2] →𝑠 − 𝑚𝑒2 −𝑚𝑚2

2, 𝑝𝑟𝑜𝑑[𝑝3, 𝑝4] →

𝑠 − 𝑚𝑒2 −𝑚𝑚2

2,

𝑝𝑟𝑜𝑑[𝑝1, 𝑝3] →𝑡 − 𝑚𝑒2 −𝑚𝑚2

2, 𝑝𝑟𝑜𝑑[𝑝2, 𝑝4]

→𝑡 − 𝑚𝑒2 −𝑚𝑚2

2, 𝑝𝑟𝑜𝑑[𝑝1, 𝑝4] →

𝑢 −𝑚𝑒2 −𝑚𝑚2

2, 𝑝𝑟𝑜𝑑[𝑝2, 𝑝3]

→𝑢 −𝑚𝑒2 −𝑚𝑚2

2, (𝑝1 − 𝑝2) → √𝑠}

Aplicando las sustituciones en la amplitud:

𝐌𝐬𝐪/.𝐦𝐚𝐧𝐝𝐞𝐥𝐬𝐭𝐚𝐦

APÉNDICE I

113

Este resultado puede ser simplificado eliminando una variable de Mandelstam :

𝐒𝐢𝐦𝐩𝐥𝐢𝐟𝐲[𝐓𝐫𝐢𝐜𝐤𝐌𝐚𝐧𝐝𝐞𝐥𝐬𝐭𝐚𝐦[%, 𝒔, 𝒕, 𝒖, 𝟐𝐦𝐞𝟐 + 𝟐𝐦𝐦𝟐]]

Aplicando el límite relativista y simplificando:

𝐒𝐢𝐦𝐩𝐥𝐢𝐟𝐲[%%/. {𝐦𝐦 → 𝟎,𝐦𝐞 → 𝟎}]

Por simetría de cruce, se obtiene la amplitud de cruce, entonces se hace el

intercambio p3 ⇔ -p2 análogo a tomar s ⇔ t obteniendo

𝟐𝒆𝟒(𝒔𝟐 + 𝒖𝟐)

𝒕𝟐

Graficando: 𝒆 = 𝟏; 𝒔 = 𝟏;𝒖 = 𝟏;

𝐏𝐥𝐨𝐭[𝟐𝒆𝟒(𝒔𝟐 + 𝒖𝟐)

𝒕𝟐, {𝒕, 𝟎, 𝟏}]

La sección eficaz diferencial está dada por:

𝐞𝐟𝐢𝐜𝐚𝐳[𝐬_] =𝟏

𝟔𝟒𝝅𝟐𝒔𝟐𝒆𝟒[

𝟏

𝟐(𝟏 − (𝐂𝐨𝐬[𝜽])𝟐)]

La sección eficaz está dada por:

𝐏𝐥𝐨𝐭[𝟏

𝟒(𝟏 + (𝐂𝐨𝐬[𝒙])𝟐), {𝒙, 𝟎, 𝐏𝐢}]

Para obtener los valores de las constantes, el programa cuenta con un paquete.

<< 𝐏𝐡𝐲𝐬𝐢𝐜𝐚𝐥𝐂𝐨𝐧𝐬𝐭𝐚𝐧𝐭𝐬`

𝐄𝐥𝐞𝐜𝐭𝐫𝐨𝐧𝐌𝐚𝐬𝐬 𝐏𝐫𝐨𝐭𝐨𝐧𝐌𝐚𝐬𝐬

Sección eficaz:

APÉNDICE I

114

∫ (𝐂𝐨𝐬[𝒙])𝟐 ⅆ𝒙𝟐𝝅

𝟎

∫ ∫ 𝐒𝐢𝐧[𝒙]ⅆ𝒙ⅆ𝒚𝝅

𝟎

𝟐𝝅

𝟎

∫ ∫ 𝐒𝐢𝐧[𝒙](𝐂𝐨𝐬[𝒙])𝟐 ⅆ𝒙ⅆ𝒚𝝅

𝟎

𝟐𝝅

𝟎

∫ ∫ (𝟏 + (𝐂𝐨𝐬[𝒙])𝟐)𝐒𝐢𝐧[𝒙]ⅆ𝒙ⅆ𝒚𝝅

𝟎

𝟐𝝅

𝟎

𝐒𝐞𝐫𝐢𝐞𝐬 [√𝟏 −𝒙𝟐

𝒂(𝟏 +

𝒙𝟐

𝟐𝒂) , {𝒙, 𝟏, 𝟐}]

𝐒𝐢𝐦𝐩𝐥𝐢𝐟𝐲%

𝐒𝐞𝐫𝐢𝐞𝐬[𝟏 + (𝐂𝐨𝐬[𝒙])𝟐, {𝒙, 𝟎, 𝟓}]

Graficando:

𝐏𝐥𝐨𝐭[{√𝟏 −𝟏

𝒙𝟐(𝟏 +

𝟏

𝟐𝒙𝟐), 𝟏}, {𝒙, 𝟏, 𝟑}, 𝐏𝐥𝐨𝐭𝐒𝐭𝐲𝐥𝐞 → {𝟎,𝐃𝐚𝐬𝐡𝐞𝐝}, 𝐀𝐱𝐞𝐬𝐋𝐚𝐛𝐞𝐥

→ {𝐄𝐜𝐦, "𝛔 · "𝐄𝟐𝐜𝐦}]

Relación de completez

𝐄𝐥𝐞𝐦𝐞𝐧𝐭[{𝐩𝐱, 𝐩𝐲, 𝐩𝐳, 𝑮,𝒎, 𝒄, 𝒕, 𝒂}, 𝐑𝐞𝐚𝐥𝐬]

𝐮𝟏 = (

𝟏𝟎

𝐩𝐳 𝒂⁄

(𝐩𝐱 + 𝒊𝐩𝐲) 𝒂⁄

)

APÉNDICE I

115

𝐠𝐨 = (

𝟏 𝟎 𝟎 𝟎𝟎 𝟏 𝟎 𝟎𝟎 𝟎 −𝟏 𝟎𝟎 𝟎 𝟎 −𝟏

)

𝐠𝐨. 𝐮𝟏

𝐮𝟏𝐛 = 𝐓𝐫𝐚𝐝𝐢𝐭𝐢𝐨𝐧𝐚𝐥𝐅𝐨𝐫𝐦 [𝐓𝐫𝐚𝐧𝐬𝐩𝐨𝐬𝐞[𝐂𝐨𝐧𝐣𝐮𝐠𝐚𝐭𝐞[𝐠𝐨. 𝐮𝟏]]]

𝐮𝟐 = (

𝟎𝟏

(𝐩𝐱 − 𝒊𝐩𝐲) 𝒂⁄

−𝐩𝐳 𝒂⁄

)

𝐠𝐨. 𝐮𝟐

𝐮𝟐𝐛 = 𝐓𝐫𝐚𝐝𝐢𝐭𝐢𝐨𝐧𝐚𝐥𝐅𝐨𝐫𝐦 [𝐓𝐫𝐚𝐧𝐬𝐩𝐨𝐬𝐞[𝐂𝐨𝐧𝐣𝐮𝐠𝐚𝐭𝐞[𝐠𝐨. 𝐮𝟐]]]

Producto u1 por u1b:

(

𝟏

𝟎

𝐩𝐳 𝒂⁄

(𝐩𝐱 + 𝒊𝐩𝐲) 𝒂⁄

) . (𝟏 𝟎 −𝐩𝐳

∗

𝒂∗−𝐩𝐱

∗− 𝒊𝐩𝐲

∗

𝒂∗);

𝐦𝟏 = 𝐓𝐫𝐚𝐝𝐢𝐭𝐢𝐨𝐧𝐚𝐥𝐅𝐨𝐫𝐦[𝐌𝐚𝐭𝐫𝐢𝐱𝐅𝐨𝐫𝐦[%]]

Producto u2 por u2b:

(

𝟎𝟏

(𝐩𝐱 − 𝒊𝐩𝐲) 𝒂⁄

−𝐩𝐳 𝒂⁄

) . (𝟎 𝟏 −𝐩𝐱∗ + 𝒊𝐩𝐲∗

𝒂∗𝐩𝐳∗

𝒂∗);

𝐦𝟐 = 𝐓𝐫𝐚𝐝𝐢𝐭𝐢𝐨𝐧𝐚𝐥𝐅𝐨𝐫𝐦[𝐌𝐚𝐭𝐫𝐢𝐱𝐅𝐨𝐫𝐦[%]]

Simplificando las matrices al multiplicar por (E + m c2)/c = a

APÉNDICE I

116

𝐦𝟏𝐬 =

(

𝒂 𝟎 −𝐩𝐳∗ −𝐩𝐱∗ − 𝒊𝐩𝐲∗

𝟎 𝟎 𝟎 𝟎

𝐩𝐳 𝟎 −𝐩𝐳𝐩𝐳∗

𝒂−𝐩𝐳(𝐩𝐱∗ − 𝒊𝐩𝐲∗)

𝒂

𝐩𝐱 + 𝒊𝐩𝐲 𝟎 −𝐩𝐳∗(𝐩𝐱 + 𝒊𝐩𝐲)

𝒂−(𝐩𝐱 + 𝒊𝐩𝐲)(𝐩𝐱∗ − 𝒊𝐩𝐲∗)

𝒂 )

𝐦𝟐𝐬 =

(

𝟎 𝟎 𝟎 𝟎𝟎 𝒂 −𝐩𝐱∗ + 𝒊𝐩𝐲∗ 𝐩𝐳∗

𝟎 𝐩𝐱 − 𝒊𝐩𝐲 −(𝐩𝐱 − 𝒊𝐩𝐲)(𝐩𝐱∗ + 𝒊𝐩𝐲∗)

𝒂

𝐩𝐳∗(𝐩𝐱 − 𝒊𝐩𝐲)

𝒂

𝟎 −𝐩𝐳𝐩𝐳(𝐩𝐱∗ + 𝒊𝐩𝐲∗)

𝒂−𝐩𝐳𝐩𝐳∗

𝒂 )

𝐦𝐭𝐨𝐭 = 𝐦𝟏𝐬 +𝐦𝟐𝐬;

𝐓𝐫𝐚𝐝𝐢𝐭𝐢𝐨𝐧𝐚𝐥𝐅𝐨𝐫𝐦[𝐌𝐚𝐭𝐫𝐢𝐱𝐅𝐨𝐫𝐦[𝐦𝐭𝐨𝐭]]

Simplificando los productos de momento

%/. {𝐩𝐳∗ → 𝐩𝐳, 𝐩𝐱∗ → 𝐩𝐱, 𝐩𝐲∗ → 𝐩𝐲, (𝐩𝐱 − 𝒊𝐩𝐲)(𝐩𝐱 + 𝒊𝐩𝐲) → (𝐩𝐱𝟐 + 𝐩𝐲𝟐)}

𝐌𝐚𝐭𝐫𝐢𝐱𝐅𝐨𝐫𝐦[%]

De forma similar se hace para la antipartícula v.

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Decaimiento Del Ee en Mm

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