Decisiones de Inversión Matemáticas financieras Profesor Ignacio Vélez Pareja Pontificia...

Decisiones de InversiónMatemáticas financieras

Profesor Ignacio Vélez Pareja

Pontificia Universidad Javeriana

19/02/98 2Copyright Ignacio Vélez Pareja ©

CAPÍTULO 2

EL VALOR DEL DINERO EN EL TIEMPO

"Se habla mucho de depositar confianza, pero nadie dice qué interés te pagan."

(Quino. Manolo, en, ...y yo digo)


Análisis de rentabilidad

En este curso se estudiará el problema que se plantea el inversionista al enfrentarse con flujos de dinero que ocurren en diferentes períodos de tiempo.



Los individuos tienen preferencia por consumir ahora y no aplazar ese consumo*. Cualquier individuo prefiere tener una suma de dinero hoy y no tener que esperar un cierto tiempo para poder contar con la misma cantidad de dinero ofrecida para hoy.



Sobre esta base se desarrolla lo que se conoce como Matemáticas Financieras. En realidad debe ser Aritmética Financiera Para el manejo de esta herramienta sólo es necesario saber contar y aplicar las operaciones básicas de la aritmética y algo de sentido común y cierta capacidad de análisis de situaciones.


Niveles de comprensión

Aquí se pueden presentar tres niveles de comprensión: Conceptual. Entender conceptosOperativa o instrumental. Uso de los instrumentos aritméticos o computacionalesSituacional. Descripción de la realidad


Ojos despiertos y oídos atentos

Esto indica que hay que agudizar la vista y el oído. Hay que leer con atención y escuchar al otro para entender de qué se trata la situación a analizar.


El Concepto de Equivalencia

A continuación se van a expresar unas ideas que conducen a un mismo concepto: equivalencia. Los individuos obtienen satisfacción al consumir y se puede cambiar consumo actual por consumo futuro, siempre que la utilidad o satisfacción de este último sea al menos equivalente a la del consumo actual.


Hagamos un trato...

Si usted tiene el derecho a recibir hoy $1 millón, (Le debo $1 millón y se lo debo pagar hoy. No

puedo hacerlo y le pido un plazo de un año.) ¿qué suma de dinero dentro de un año estaría dispuesto a recibir en lugar del $1 millón hoy? Escriba en secreto la suma de dinero que aceptaría.


La tasa de equivalencia

La suma que se escribió es equivalente a $1 millón hoy. La suma adicional que se exige sobre $1 millón medida como una fracción es la tasa de equivalencia. Esa tasa de equivalencia es personal y depende de la información que tenga cada persona.


Olvídese de sumar en tiempos diferentes

Como la gente tiene una preferencia subjetiva a consumir hoy, aplazar un consumo actual, implica exigir una mayor cantidad de consumo futuro, para alcanzar una satisfacción equivalente. Así, se llega fácilmente a la conclusión que ya no se pueden sumar unidades monetarias de diferentes períodos de tiempo, porque no son comparables.


Cambio consumo actual por futuro

Cuando se introduce el concepto de inversión, o sea sacrificar $1 hoy para obtener más de $1 al final de un período, se invertirá mientras la suma adicional que le paguen, sea mayor que la asignada al sacrificio de consumo actual, o sea, a la tasa a la cual se está dispuesto a cambiar consumo actual por consumo futuro.


El Concepto de Equivalencia

En forma matemática:F=P(1+i)n

donde:F = Suma futura poseída al final de n

períodos.i = Tasa de equivalencia, fracción, mayor

que cero y menor que 1 definida para el período (año, mes, día,...)

P = Suma de capital colocada en el período cero.

n = Número de períodosEste es el concepto básicoEste es el concepto básico


Soy indiferente entre P y F

Este modelo y los párrafos anteriores permiten expresar de otro modo el concepto de equivalencia. Se dice que dos sumas son equivalentes, aunque no iguales, cuando la persona es indiferente entre recibir una suma de dinero hoy (P) y recibir otra diferente (F) -mayor- al final de un período de tiempo.


La diferencia es por el sacrificio

Esta diferencia entre P y F responde por el “valor” que le asigna el individuo al sacrificio de consumo actual y al riesgo que percibe y asume al posponer el ingreso. Al hablar de equivalencia se ha involucrado -en forma implícita- una tasa de equivalencia i%, en general, diferente de cero.


Un peso hoy vale más

El concepto de equivalencia, implica que el valor del dinero depende del momento en que se considere, esto es, que un peso hoy, es diferente a un peso dentro de un mes o dentro de un año. Más aun, un peso hoy vale más que un peso futuro.


La tasa de descuento

La tasa que establece esta equivalencia se llama tasa de descuento (discount rate o hurdle rate, en inglés) o tasa de rentabilidad mínima aceptable; algunos autores prefieren utilizar el nombre de costo o tasa de oportunidad


... nadie dice qué interés te pagan

El concepto de interés, sin ser intuitivo, está profundamente arraigado en la mentalidad de quienes viven en un sistema capitalista.


Interés, ¿es lo justo?

No se necesita formación académica para entender que cuando se recibe dinero en calidad de préstamo, es "justo" pagar una suma adicional al devolverlo. La aceptación de esta realidad económica, es común a todos los estratos socio-económicos.


Interés: Lo que me gano

Se puede definir el interés, en forma muy simple como:

Provecho, ganancia, utilidad.Lucro producido por el capital.

El interés puede definirse, también, como el precio pagado en dinero, por el uso del dinero de otro.


... capital, tiempo y riesgo

“En economía, el interés se liga a los conceptos de capital, tiempo y riesgo; por lo tanto, puede ser considerado como la compensación que el poseedor del dinero recibe, .. por la cesión a otros, (y) por la utilización (por ese tercero) durante un período de tiempo ... (de) un capital determinado, empleo que en sí mismo, es siempre arriesgado".


Interés

En otras palabras, el interés, I, es la compensación que reciben los individuos, firmas o personas naturales, por el sacrificio en que incurren al ahorrar una suma P. El mercado brinda la posibilidad de invertir o la de recibir en préstamo; el hecho de que existan oportunidades de inversión o de financiación, hace que exista el interés.


PIi

Interés es la compensación

Este fenómeno económico real, se mide con la tasa de interés, i, la cual, a su vez, se representa por un porcentaje. Este porcentaje se calcula dividiendo el interés I recibido o pagado por un período, por el monto inicial, P; de modo que la tasa de interés será:


Los componentes de la tasa de interés

Se puede considerar que la magnitud de la tasa de interés corriente, o sea la que se encuentra en el mercado (la que usan los bancos o cualquier otra entidad financiera) tiene tres componentes o causas

La inflación El riesgoEl interés real


El efecto de la inflación

El efecto de la inflación o mejor, las expectativas de inflación, que es propio de la economía donde se presenta el problema de inversión. La inflación mide el aumento del nivel general de precios, a través de la canasta familiar; su efecto se nota en la pérdida del poder adquisitivo de la moneda.

A mayor inflación, mayor tasa de interés.


¿Cómo se relacionan interés e inflación?

Una rápida exploración a los valores de las tasas de interés del mercado de algunos países, muestra la influencia de la inflación sobre la tasa de interés (cifras de 1997, The Economist Feb. 7th 1998, pp 108-110).


En países desarrollados

PAIS INTERES INFLACION

Japón 1.97% 1.6%

Canadá 5.43% 1.7%

U.S.A. 5.58% 2.3%

Alemania 4.94% 1.8%

Reino Unido 5.96% 3.0%


... y no tan desarrollados

PAIS INTERES INFLACION

Francia 4.94% 1.2%

Italia 5.37% 1.8%

Grecia 17.47% 4.4%

España 5.18% 2.0%

Colombia 24.58% 17.8%


El efecto del riesgo

El efecto del riesgo, que es intrínseco al negocio o inversión en que se coloca el dinero o capital.

A mayor riesgo, mayor tasa de interés


El interés real

El interés real o la productividad en su uso, que es un efecto intrínseco del capital, independiente de la existencia de inflación o riesgo. Refleja también la abundancia o escasez de dinero en el mercado (grado de liquidez del mercado). Tiende a ser constante y con un valor cercano al 3%-6% anual.

Datos para Colombia: 1995-1999

A 6 meses A 1 año A 2 años A 3 años

Máximo 31,13% 26,30% 17,27% 12,97%

Mínimo -5,26% 2,33% 7,29% 8,79%

Promedio 10,39% 10,91% 9,79% 10,33%

Desviaciónestándar

8,75% 6,80% 1,91% 1,40%

Coeficientede variación

1,19 1,61 5,12 7,39

Tasas reales

-10%

-5%

0%

5%

10%

15%

20%

25%

30%

35%

sep-94 abr-95 oct-95 may-96 dic-96 jun-97 ene-98 jul-98 feb-99 ago-99

Mes

Tas

a

1 año

2 años

3 años

6 meses


Relación multiplicativa

La relación de estos componentes para determinar la tasa de interés corriente, no es aditiva, sino multiplicativa, o sea que la tasa de interés corriente, se puede expresar así:


Relación multiplicativa

1111

iiiifc r

donde:donde:

iicc = tasa de interés corriente = tasa de interés corriente

iirr = tasa de interés real = tasa de interés real

iiff = tasa de inflación = tasa de inflación

ii = componente de riesgo = componente de riesgo


Componentes de la tasa de interés

Hoy Hoy + un año$1,000,000 1,320,000

1,000/US$ idev =20% 1,200/US$

US$1,000 idura=10% US$1,100Interés obtenido por el inversionista 32%

Este ejemplo ilustra, por analogía, la idea anterior


Componentes de la tasa de interés

Como la devaluación y el interés en dólares son simultáneos, el interés ganado en moneda blanda no es idev + idura sino

iblanda=(1+idev)x(1+idura)-1

=1.2x1.1-1=.32-=.32 ó 32%

Esto es similar al esquema de los componentes de la tasa de interés


Diagrama de Flujo de Caja

El eje del tiempo

0 1 2 3 4 5 6............ .....n



Los egresos 0 1 2 3

120

450



Los ingresos

250

350

0 1 2 3



Una inversión: 1,350

1,000

00

1



Un préstamo:

00

1,000

1,350

1


Interés Simple y Compuesto

La tasa de interés puede considerarse simple o compuesta. El interés simple ocurre cuando éste se genera únicamente sobre la suma inicial, a diferencia del interés compuesto, que genera intereses sobre la suma inicial y sobre aquellos intereses no pagados, que ingresan o se suman al capital inicial.


Aritmética financiera

La sencillez de este tema permite llamarlo aritmética financiera. Aquí se trata de encontrar una variable entre cinco, dadas tres de ellas, de las cuales una es el número de períodos (n) o la tasa de interés (i). La condición para hallar esa variable desconocida es que se mantenga válida la equivalencia entre flujos de caja.


Número de períodos

Las variables son:

n = número de períodos que se analizan (año, mes, día, trimestre, semana, etc.). Los períodos deben ser iguales. En Excel se llama nper.


Tasa de interés de equivalencia (tasa)

i = tasa de interés de equivalencia, expresada en porcentaje por unidad de tiempo (año, mes, día, trimestre, semana, etc.). Este interés debe ser estipulado por unidad de tiempo igual al período indicado en n. Se supone interés compuesto. Nombre en Excel, tasa.


Suma presente (VA)

P = Suma presente, situada al final del período cero. Nombre en Excel, VA.

00 n

P


Suma futura (VF)

F = Suma futura, situada al final del período n. Nombre en Excel, VF.

00 n

F


Cuota uniforme

C = Cuota o pago uniforme, situada al final de todos los períodos entre el período 1 y el n. Nombre en Excel, pago.

0 1 2 3 4

C C C C


Suma presente y suma futura

Se puede transformar una suma de dinero presente P en el período, en una suma de dinero mayor equivalente, F en el período n y viceversa.

n00n00

P F


Suma presente y suma futura

Lo anterior responde a preguntas como:¿Si se deposita una suma de dinero hoy en

una cuenta de ahorros al i% por período, cuánto se tendrá al final de n períodos?

o¿Cuánto se debe depositar hoy para tener

una suma F al final n períodos, a la tasa i%?


Suma presente y cuota

Se puede transformar una suma de dinero presente P, en 0, en una serie de cuotas uniformes C equivalente, desde 1 hasta n y viceversa.

00 n

C C C C

n0 1 20 1 2


Suma presente y cuota

Esto responde a preguntas como:¿Si se tiene un préstamo P a la tasa de i%,

cuánto valen las cuotas iguales para pagarlo en n períodos?

o¿Cuánto se debe pagar hoy por un préstamo

a cuotas C a la tasa de i% y faltan n cuotas?


Suma futura y cuota

Se puede transformar una suma de dinero futura F, n, en una serie de cuotas uniformes C equivalente y viceversa.

00 n 00 n

C C C C

F


Suma futura y cuota

Esto responde a preguntas como:¿Cuánto se debe ahorrar por período para

obtener una suma F al final de n períodos si la tasa de interés es i%?

o¿Cuánto se tendrá al final de n períodos si se

ahorra C por período al i%?


F (VF) equivalente a P

Para hallar el valor de una suma futura -F- al final de n períodos, equivalente a una suma presente, a una tasa de interés compuesto i%, se utiliza la siguiente fórmula de Excel

=VF(i;n;C;P;tipo)


P (VA) equivalente a F

Para hallar la suma presente en el período cero, equivalente a una suma futura situada en n, a una tasa de interés compuesto, i%, se utiliza la siguiente fórmula de Excel.

=VA(i;n;C;F;tipo)


P (VA) equivalente a C

A su vez, para hallar la suma P a la tasa de interés compuesto i%, que sea equivalente a una suma uniforme durante n períodos al final de cada uno, 1, 2,..., n, se utiliza la fórmula de Excel

=VA(i;n;C;F;tipo)


Costo Capitalizado

Cuando n es muy grande, entonces la anterior expresión se llama Costo Capitalizado. Esto significa que se tiene una serie perpetua de ingresos iguales a C y se desea calcular la suma presente P equivalente.

iCP


... con crecimiento

Cuando las sumas de dinero futuras experimentan un crecimiento porcentual de g, a partir de una suma uniforme C, entonces esta expresión queda modificada así:

Esto será de utilidad para calcular el valor residual o de salvamento de un proyecto (cap.6)

giC

P


C (pago) equivalente a P

Para hallar la suma uniforme durante determinado número de períodos 1,2,..., n, equivalente a una suma presente en cero a una tasa de interés compuesto i%, se utiliza la fórmula de Excel:

=PAGO(i;n;P;F;tipo)


Perpetuidades

Cuando n es muy grande, o sea que se desea calcular la cuota C perpetua equivalente a P

PxiC


F (VF) equivalente a C

Para calcular la suma futura al final del período n equivalente a una serie uniforme durante n períodos, a la tasa de interés compuesto i%, al final de cada uno, 1, 2....n, se utiliza la fórmula de Excel

=VF(i;n;C;P;tipo)


C (pago) equivalente a F

Para obtener el valor de la serie uniforme al final de cada período 1,2 ...n, equivalente a una suma futura al final del período n, a la tasa de interés compuesto i%, se utiliza la fórmula de Excel

=PAGO(i;n;P;F;tipo)


Cálculo de número de períodos (nper)

En estos factores sólo se ha trabajado en el cálculo de P, F o C, pero se puede también calcular las otras variables n e i. Para calcular n, se utiliza la función de Excel

=NPER(i;C;P;F;tipo)

Esto permite responder preguntas como ¿cuánto tiempo hay que esperar para duplicar una inversión?


Cálculo de tasa de interés (Tasa y TIR)

Cálculo de tasa de interés

i es aquella tasa de interés que hace equivalentes los flujos de caja positivos con los negativos. Cuando se trabaja con Excel, se utiliza:

=TASA(n;C;P;F;tipo;i semilla) para flujos constantes y =TIR(rango;i semilla) para flujos no constantes.


“Estimar” o i semilla

En el Asistente de Funciones, para la función TIR, aparece “estimar” en lugar de i semilla; cuando no se escribe ningún valor, el programa supone que es 0.1.


Cálculo de tasa de interés

Con este cálculo se puede responder preguntas como ¿cuánto se ganó en esta inversión?


P equivalente a flujo no uniforme (VNA)

¿Cuál es el equivalente en pesos de hoy (valor actual o valor presente) de un flujo de caja cuando no son constantes?

En Excel se utiliza =VNA(i;rango). Esta suma en 0 se expresa en pesos descontados del período anterior al que inicia el rango. El rango debe seleccionarse desde el período 1 hasta el n.


Sólo tres funciones

En Excel sólo se requieren tres funciones para manejar los casos de transformación entre sumas de dinero P, F y C. Estas son:

=VF(i;n;C;P;tipo) para transformar P y/o C a F.=VA(i;n;C;F;tipo) para transformar F y/o C a P.=PAGO(i;n;P;F;tipo) para transformar P y/o F a C.


Tabla resumen

Patrón típico("datos": P, F, C,nper y/o i%)

Patrón no típico(irregular, real;"datos": rango)

A suma presente VA VNAA suma futura VF No hayA cuota uniforme PAGO No hayTasa de interés TASA TIRNúmero deperíodos

NPER No hay


Tablas de amortización

Una tabla de amortización muestra cómo un pago de una deuda se divide entre interés y abono o amortización de la deuda; o, en el caso que así fuera, cómo un determinado esquema de abonos o amortizaciones conduce, al sumarle los intereses, a una cierta cuota o pago.


Amortización y capitalización

Con una tabla de amortización se puede también determinar el saldo pendiente al final de cada período. Algo similar puede hacerse con una tabla de capitalización; la diferencia radica en que en lugar de amortizar (disminuir una deuda), se capitalizan los ahorros y los intereses que ellos producen y, por ende, se puede calcular el saldo acumulado del capital ahorrado con sus intereses.


Dos grandes tipos de tablas

Cuota o pago determinadosyAbono o amortización determinados

Sólo se necesita definir de cuál caso se trata y crear la estructura.


Regla general

Cuota = abono más intereses

La cuota uniforme es sólo un caso particular donde todas las cuotas son

iguales


Estructura con cuota o pago

Saldoinicial

Interés Amorti-zación

Pago ocuota

Saldofinal

Saldofinal delperíodoanterior

Saldoinicialpor tasadeinterés

Pagomenosinterés

Definidoavoluntad

Saldoinicialmenosamortiza-ción


Estructura con amortización

Saldoinicial

Interés Amorti-zación oabono

Pago ocuota

Saldofinal

Saldofinal delperíodoanterior

Saldoinicialpor tasadeinterés

DefinidaaVoluntad

Abonomásinterés

Saldoinicialmenosamortiza-ción


Tasas de Interés Equivalentes

En muchos casos es necesario hacer transformaciones a las tasas de interés estipuladas para poderlas comparar. En particular, esto se refiere a los casos en que los intereses se pagan en forma anticipada y en los casos en que los intereses se estipulan para un determinado período, pero se liquidan en períodos inferiores al que se estipuló inicialmente.


Interés Anticipado

Cuando se estipula un pago de interés anticipado (ia), en realidad ello significa que (en el caso de un préstamo) se recibe un monto menor al solicitado.

P

Pia P

110


Interés Anticipado

Es decir que hoy se recibe P-Pia y al final del año se debe pagar P. Nuevamente, la suma adicional que se paga es Pia, pero la suma recibida es P-Pia. Por lo tanto, el interés I, que se paga, es Pia.


Tasa de interés vencida

La tasa de interés vencida, a partir de la anticipada

donde:iv = tasa de interés vencidaia = tasa de interés anticipada

a

av

i

ii

1


Tasa de interés anticipada

La tasa de interés anticipada, a partir de la vencida

donde:iv = tasa de interés vencidaia = tasa de interés anticipada

vivi

ai

1


Dos formas de pagar un préstamo

Se tienen dos opciones para pagar un préstamo de $1,000. La primera es pagar todo a los 4 trimestres:

00 11 22 33 44

1,3601,360


Dos formas de pagar un préstamo

La segunda es pagar intereses trimestrales vencidos y los $1,000 al final:

00 11 22 33 44

9090 9090 9090 1,0901,090


Tasa de interés efectiva y nominal

Lo más probable es que todos hubieran preferido la primera. Si hay esa preferencia significa que la segunda debe ser más costosa. Si se tuviera el dinero para pagar de la segunda manera, pero en lugar de hacerlo se escoge la primera y se ahorran los $90 al 9% trimestral, se tendrá a final la suma de $411.58. O sea, que se deja de recibir esa suma en el caso de pagar de la primera forma..


Si no tuviera que prestar el dinero...

Podría ahorrarlo y obtendría justamente, el valor futuro de los intereses que debo pagar al dueño del dinero. Y todo sería mío. Pero como debo pagar los intereses, sólo queda para mí la diferencia entre los intereses y el valor acumulado del ahorro.


¿A quién le cuesta más?

Tasa deahorro

Valorfuturo

Tasa deinterésanual

0.0% $ 360.00 36.00%

3.0% $ 376.53 37.65%

6.0% $ 393.72 39.37%

9.0% $ 411.58 41.16%

12.0% $ 430.14 43.01%


¡No es una paradoja!

A quien tenga una posibilidad de ahorrar a mayor tasa, le va a costar más pagar intereses liquidados cada trimestre en lugar de pagarlos todo al final. ¿Sorpresa? No. Ya se había intuido con el concepto de equivalencia; y es de la tasa de interés de equivalencia (de ahorro) que depende el valor hoy de un dinero en el futuro.



Este mayor costo debe poderse reflejar de alguna manera. Una forma de hacerlo es por medio de la tasa de interés efectiva.

El préstamo de este ejemplo se pactó al 36% anual liquidado por trimestre vencido.



Dependiendo de la forma como se liquiden los intereses estipulados en una transacción, entonces se presentarán diferencias entre el interés “verdadero” y el pactado. Estas tasas se llaman tasas de interés efectivas y tasas de interés nominales.


Tasa de interés nominal

Tasa de interés nominal es una tasa de interés que se estipula para un determinado período (por ejemplo, un año) y que se liquida en forma fraccionada, en lapsos iguales o inferiores al indicado inicialmente.


Tasa de interés efectiva

Tasa de interés efectiva es la tasa de interés que resulta cuando se liquida una tasa de interés nominal en períodos menores al estipulado inicialmente para ella. Dicha tasa puede calcularse en virtud de que el interés es compuesto, ya que las liquidaciones del mismo se han acumulado.


La efectiva depende de la nominal

La tasa de interés efectiva depende de la tasa de interés nominal.

Tasa mensual Tasa nominal Tasa efectiva

(tasa periódica) anual anual

1.0% 12% 12.68%

1.5% 18% 19.56%

2.0% 24% 26.82%

2.5% 30% 34.49%

3.0% 36% 42.58%


... y de la frecuencia de liquidación

La frecuencia con que se liquida una tasa nominal, influye en la tasa efectiva. Esto puede verse en una tabla, a partir de una tasa anual nominal 24% :Período i por período Períodos iea

Año 24.00% 1 24.00%Semestre 12.00% 2 25.44%Cuatrimestre 8.00% 3 25.97%Trimestre 6.00% 4 26.25%Bimestre 4.00% 6 26.53%Mes 2.00% 12 26.82%Día 0.0658% 365 27.11%


Condiciones para la tasa de interés efectiva

Para estos ejemplos, es importante reiterar que un interés efectivo implica:

liquidación de intereses en períodos de tiempo menores al estipulado para la tasa de interés nominal;

acumulación (real o virtual) de los intereses generados durante el período indicado; y

interés compuesto.


Ejemplo

Como ya se sabe, el valor acumulado de $1,000 al 2% mensual es 1,000(1+0.02)12. Si se considera que 2% mensual es lo mismo que decir 24% anual liquidado mensualmente vencido, entonces esta expresión se puede escribir como 1,000(1+0.24/12) 12



Si se generaliza y se piensa que el 24% anual liquidado mensualmente vencido es la tasa de interés nominal, entonces el valor acumulado es P(1+inom/n)n

El valor de los intereses en el ejemplo es $268.24, (1,268.24-1,000). La tasa de interés es 268.24/1,000=26.82%


Tasa de interés efectiva

Dados una tasa de interés nominal y el número de veces por período que se liquida el interés (vencido), entonces el interés efectivo es:

Donde:ief = tasa de interés efectiva

n = número de veces que se liquida o capitaliza el interés nominal durante el períodoinom = tasa de interés nominal por período,

liquidada por período vencido

11

nnom

ef nii


Tasa de interés efectiva en Excel

En Excel se utiliza la función

=INT.EFECTIVO(int.nominal;num. períodos al año)


Tasa de interés continua

Cuando n es muy grande se dice que tiende a(infinito) y en ese caso, la expresión queda reducida a

donde:e = base de logaritmos naturalesinom = tasa de interés nominal anualA esta expresión se llama tasa de interés continua.

1 nomief ei


Otra vez el préstamo...

En el ejemplo se tenía entonces que el préstamo se había hecho al 36% anual TV (trimestre vencido). La tasa de interés efectiva es de 41.16% (verifique ese cálculo). Pero ese resultado es el mismo para cualquier persona, ya sea que ahorre al 0% o al 12%. ¿Qué supuesto implícito hay aquí?


Supuesto implícito en ief...

¡La persona que recibe ese crédito, ahorra a la misma tasa a la que le prestan! Tarea: averiguar si el sistema financiero da en préstamo a la misma tasa que paga por los depósitos que recibe. ¿Qué es la tasa de captación? ¿Qué es la tasa de colocación? ¿Qué es el margen de intermediación? Ahora saque sus conclusiones.


Cuando la nominal es anticipada...

Cuando la tasa de interés nominal se liquida anticipada, la fórmula de la tasa de interés efectiva se convierte en

Excel no tiene una fórmula diseñada para este caso.

11

n

n

ii nomef


Tasa de interés nominal

La tasa interés nominal a partir de la tasa de interés efectiva anual es:

Donde:ief = tasa de interés efectiva anualn = número de veces que se liquida durante el períodoinom = tasa de interés nominal por período, liquidada vencida

111n

efnom ini


Tasa de interés nominal en Excel

En Excel

=TASA.NOMINAL(interés efectivo;num. períodos)

interés efectivo = tasa de interés efectiva anual

num. períodos = número de veces que se liquida durante el año.

Esta tasa nominal anual, liquidada vencida.


Relación entre tasa periódica y nominal

Tasa de interés periódica es igual a tasa de interés nominal dividida por el número de períodos

ip = inom/n

y viceversa

inom =n x ip


Transformaciones entre tasas nominales

En las transformaciones entre tasas de interés nominales debe distinguirse entre transformaciones con períodos de liquidación iguales y desiguales.

Para el caso de períodos de liquidación iguales:



Tasanominal

Cálculo detasaperiódica

Equivalencia Nueva tasanominal

Anticipada ia = inom/n iv = ia/(1-ia) n x iv

Vencida iv = inom/n ia = iv/(1+iv) n x ia



Para períodos de liquidación diferentes: Con la inom v con período de liquidación n1 se calcula la tasa efectiva y con esta última se calcula la nueva inom n2. Para llegar a la tasa nominal vencida si se tiene una anticipada se utiliza primero el procedimiento para convertir de tasa anticipada a vencida con igual período.



inom a n1 inom a n2 = iaxn2

ia = inom a/n1 ia = iv/(1+iv)

iv = ia/(1-ia) iv = inom v/n2

inom v = ivxn1 ief inom v n2


EjemploTasa nominal anticipadade 24% anual trimestreanticipado 4 períodos

Se convierte a tasa deinterés nominal antici-

pada n2 períodos inom a= 11,640%x2=23,280%

Tasa de interés periódicaanticipada

ia = 24%/ 4=6%

Se convierte a tasa deinterés periódic antici-

pada ia =13,743%/ (1+13,743%)=1

1,640%

Se convierte a tasa deinterés periódica vencida

iv = 6%/ (1-6%)=6,383%

Se convierte a tasa deinterés periódica vencida2 períodos

iv = 26,347% / 2=13,173%

Se convierte a nominalvencida

inom v =6,383%x4=25,532%

Se convierte ahora a tasade interés efectiva con lafórmula o con la función

de Excel

ief=28,082%

Se convierte a tasa no-minal vencida con la

fórmula o con la funciónde Excel con 2 períodos

26,347% semestre ven-cido

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