Mtodo A: Resolucin de la ecuacin diferencialLa segunda ley de Newton postula que la fuerza aplicada sobre un cuerpo es directamente proporcional a la aceleracin que este adquiere. Matemticamente:

Y como la aceleracin es la segunda derivada de la posicin respecto del tiempo, queda:

De este modo, esta expresin permite obtener la ecuacin de movimiento si conocemos las fuerzas que actan sobre el cuerpo estudiado.En la versin ms simplificada del movimiento vibratorio armnico simple, la nica fuerza que causa la oscilacin del sistema es de la forma:

Se denomina fuerza recuperadora ya que, al oponerse al sentido de la elongacin, har que el cuerpo regrese a la posicin de equilibrio. Se trata, asimismo, de una fuerza central.Sustituyendo en la ecuacin de la segunda ley de Newton resulta:

Con el fin de simplificar la ecuacin diferencial obtenida, introduciremos una constante cuyo valor es:

Por lo tanto:

Un mtodo que nos brinda la solucin a esta ecuacin es presuponer que esta es del tipo:

Calculamos su segunda derivada.

Y sustituyendo en la ecuacin diferencial se tiene que:

Despejamos :

Siendo As pues, es ya conocida:

La solucin general a la ecuacin diferencial vendr dada por la suma de y , multiplicadas por sendas constantes arbitrarias:

Ahora bien, si recurrimos a la llamada frmula de Euler:

Podemos reescribir la solucin del siguiente modo:

Y finalmente, haciendo y , obtenemos la siguiente expresin:

No obstante, la versin ms empleada de la ecuacin de movimiento del M.A.S. es . Para llegar a ella habremos de realizar una segunda transformacin.

De este modo:

A la hora de trabajar con el producto de cosenos o senos, aplicaremos las relaciones que siguen:

Por consiguiente:

Desarrollando los productos, resulta:

Mtodo B: Relacin M.C.U. y M.A.S.Una de las formas de definir el movimiento armnico simple es a travs de su conexin con el movimiento circular uniforme. Si imaginamos una partcula que describe un M.C.U. sobre una circunferencia de radio , el movimiento de la proyeccin de dicha partcula sobre el dimetro de la misma circunferencia es armnico simple.

Es posible relacionar la elongacin (la distancia entre el punto proyectado y el centro de la circunferencia) con el radio del siguiente modo:

Donde es el ngulo formado entre el dimetro y un vector dirigido desde el centro hasta la partcula que describe el M.C.U. (vector de posicin).Y, partiendo de la frmula que define al movimiento circular uniforme:

Despejando y sustituyendo en la ecuacin de movimiento se concluye que:

Martn de la Rosa daz 2 bachilleratodiciembre 2013