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DEDUCTIVO COMPUESTO. SISTEMA DECIMAL. SISTEMA DE DOS ECUACIONES

LINEALES EN DOS VARIABLES.TRAZOS DE FIGURAS 2.

EJERCICIOS DE CLASE 1. En un Coloquio están reunidos un ingeniero, un

contador, un abogado y un médico; los nombres, aunque no necesariamente en ese orden, son Abdías, Gastón, Paulo y Marcelo. Si se sabe que Abdías y el contador no se llevan bien: Paulo es amigo del médico, Gastón es primo del abogado y este amigo de Marcelo, el ingeniero es muy amigo de Marcelo y del médico. ¿Quién es el abogado? A) Abdías B) Paulo C) Gastón D) Marcelo E) Fernando Solución De los datos se obtiene el siguiente esquema:

Ocupación ingeniero contador médico Abogado Nombre Gastón Marcelo Abdías Paulo

Por lo tanto, el abogado es Paulo

2. Alex, Karina, Jorge, Sonia y Tomás están estudiando, pues la próxima semana rendirán un examen. Se sabe que: Todos van a rendir exámenes de diferentes

cursos en diferentes días de lunes a viernes. Alex rendirá su examen al día siguiente de Sonia,

si ella está estudiando matemática. Tomás rendirá su examen en un día posterior al

de sus amigas y, además, no está estudiando inglés ni literatura.

Jorge rendirá su examen un día después que Tomás y está estudiando economía.

Karina que rinde su examen el día miércoles, no está estudiando inglés ni química.

¿Qué está estudiando Alex y en qué día rendirá su examen? A) Inglés – martes B) Inglés – lunes C) Economía – jueves D) Literatura – martes E) Química – viernes Solución Alex lunes matemática Karina martes literatura Jorge miércoles ingles Sonia jueves economía Tomás viernes química Alex estudia inglés rendirá su examen martes

3. Américo, Israel, Melanio y Silvio son amigos que tienen uno de ellos 1 cromo; otro, 2; otro, 3 y otro 4, pero no necesariamente en ese orden. Israel le dice al que tiene 2 cromos: “yo no tengo

4 cromos”.

Melanio le dice al que tiene 4 cromos que sus cromos son repetidas.

Silvio le dice al que tiene 4 cromos: “Si me obsequias uno, ambos tendremos igual número de cromos”.

¿Cuántos cromos tienen Israel y Melanio juntos? A) 5 B) 6 C) 4 D) 7 E) 3 Solución Con los datos se construye la siguiente tabla 1 2 3 4 Angel X X X Si Israel X X Melanio X X Silvio X Si X X

Luego Israel y Melanio tienen juntos 4 figuritas.

4. En una reunión, se encuentran Annie, Rosario, Gisela y Paola, cada una con una profesión diferente: enfermera, periodista, abogada y médica, no necesariamente en ese orden. La periodista, que es prima de Annie, es la menor y siempre va al teatro con Rosario. Respecto de sus edades se sabe que: Gisela es la mayor de todas, la médica es mayor que la abogada y menor que la enfermera, y Annie es mayor que Rosario. ¿Quiénes son la médica y la enfermera, respectivamente? A) Paola – Annie B) Rosario – Gisela C) Paola – Gisela D) Annie – Martha E) Annie – Paola Solución

5. Darío, Marcelo y Elías viven en Salamanca, Ate y Callao, no necesariamente en ese orden, y estudian uno Medicina, otro Economía y otro Derecho, no necesariamente en ese orden. Darío no vive en Salamanca; Marcelo no estudia Derecho; el que vive en el Callao estudia Economía y la primera letra del nombre de cada estudiante no coincide con la primera letra de la carrera que estudian. ¿Qué estudia Elías y quién vive en Ate? A) Derecho – Marcelo B) Derecho – Darío C) Medicina – Darío D) Medicina – Elías E) Derecho – Elías Solución

6. Estoy colocando los números 1 al 9 en las casillas de un tablero 3x3. Empiezo colocando los números 1, 2, 3 y 4 como se ve en la figura. Para el número 5, la suma de los números que hay en las casillas

LÓGICO MATEMÁTICA

02 CIENCIAS

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adyacentes (que tienen un lado común con la del 5) es igual a 9. ¿Cuál es la suma de los números adyacentes al 6? A) 29 B) 15 C) 17 D) 28 E) 14 Solución

7. Eduardo afirma lo siguiente: en la siguiente suma 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚7��������+ 7𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚�������� = 9768, la suma de las cifras del número representa mi edad actual. ¿Cuál será la edad de Eduardo dentro de 5 años? A) 16 años B) 12 años C) 8 años D) 11 años E) 13 años Solución

𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚7��������+ 7𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚�������� = 9768 Descomponiendo

10𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚������ + 7 + 7000 +𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚������ = 9768 11𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚������ + 7007 = 9768

Luego 11𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚������ = 2761 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚������ = 251 Suma de cifras = 2+5+1 = 8 Edad de Eduardo dentro de 5 años: 13 años

8. Al dividir un número M de 3 cifras entre otro número N de 2 cifras se obtiene 11 de cociente y 25 de residuo. Si se divide el complemento aritmético de M entre el complemento aritmético de N, se obtiene 7 de cociente y 19 de residuo. Halle la suma de las cifras de M. A) 11 B) 18 C) 13 D) 10 E) 19 Solución

9. Ruth observa la siguiente igualdad 𝑥𝑥𝑥𝑥��� + 𝑥𝑥𝑥𝑥���� + 𝑧𝑧𝑧𝑧��� = 𝑥𝑥𝑥𝑥𝑧𝑧����� , y le dice a Raquel: “La edad actual en años de mi padre, está expresada por (𝑥𝑥𝑧𝑧��� − 𝑥𝑥𝑥𝑥���)”. Dentro de siete años, ¿cuál será la edad, en años, del padre de Ruth? A) 43 B) 46 C) 47 D) 52 E) 50 Solución 𝑥𝑥𝑥𝑥��� + 𝑥𝑥𝑥𝑥���� + 𝑧𝑧𝑧𝑧��� = 𝑥𝑥𝑥𝑥𝑧𝑧�����, luego descomponiendo 10x + 11y + 11z = 100x + 10y + z luego 2y + 5z = 45x y + 5z = 45x de aquí x = 1, y = 5 y z = 8 luego 𝑥𝑥𝑧𝑧��� − 𝑥𝑥𝑥𝑥��� = 43 edad del padre:43 Edad del padre dentro de 7 años: 50 años

10. Beatriz y Sarita juntas tienen S/ 520. El triple de dinero que tiene Beatriz excede en S/ 5 al doble de lo que tiene Sarita. ¿Cuánto dinero más que Beatriz tiene Sarita? A) S/ 111 B) S/ 110 C) S/ 134 D) S/ 124 E) S/ 102 Solución Beatriz tiene: S/. x Sarita tiene: S/. y

x+y = 520 3x-2y = 5 3(520-y) – 2y = 5 ⇒ 1560 – 5y = 5 ⇒ y = 311 ∴ x = 209 y y = 311 Diferencia: 311 – 209 = 102

11. Juana le dice a Josefa: Cuando tú tenías 7 años menos de la edad que yo tengo, yo tenía 3 años menos de la edad que tú tienes y cuando tenga el doble de la edad que tú tienes, nuestras edades sumarán 66 años. ¿Qué edad, en años, tiene Josefa? A) 17 B) 18 C) 15 D) 16 E) 19 Solución Como el problema relaciona tres tiempos, entonces hacemos el esquema para el primer párrafo: Según el segundo párrafo tenemos

De los dos esquemas, aplicando diferencia de edades, tenemos: (y-3)-(x-7)=x-y entonces x = y+2 2y-(66-2y) = x-y entonces x = 5y-66 Igualando 5y-66 = y+2 4y = 68 y = 17

12. Un granjero dijo: “Ayer, aun vendiendo cada una de mis gallinas a S/. 15, me hubiese faltado S/. 185 para comprar un lechón; pero hoy, como el precio del lechón se ha reducido en S/. 100, vendiendo cada una de mis gallinas a S/. 27, podría quedarme con una de ellas, comprar el lechón y tener S/. 20 de sobra”. ¿Cuántas gallinas tiene el granjero? A) 8 B) 10 C) 9 D) 11 E) 12 Solución #gallinas: x Precio del lechón: y Ayer: c/gallina a S/. 15 15x + 185 = y Hoy: c/gallina a S/. 27 27(x - 1) = (y - 100) + 20 Reemplazando (3) en (4): x = 11

1 2

3 4

a

fa

a

fa

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13. La figura está formada por dos rectángulos adyacentes. ¿Cuál es la mínima longitud que debe recorrer la punta de un lápiz para hacer la figura, si debe comenzar en el punto A y terminar en el punto M? A) 312 cm B) 302 cm C) 322 cm D) 282 cm E) 300 cm Solución En la figura se muestra los trazos repetidos. Luego, la longitud mínima será: 302 cm

14. Se tiene un alambrado formado por un cubo y una pirámide regular cuyas caras laterales son triángulos equiláteros en donde la arista mide 40 cm. Halle la menor distancia, en centímetros, que recorrerá una hormiga situada en el punto M al desplazarse por todo el alambrado. A) 680 cm. B) 800 cm. C) 720 cm. D) 760 cm. E) 640 cm.

Solución # . 4V I =

4 2# .R 12

T −= =

Escogemos uno de los casos analizando Luego Longmin = 16(40) + 2(40) = 720 cm

15. En la figura, se muestra un alambrado formado

por un prisma recto triangular regular y un tetraedro regular. Halle la distancia mínima que recorrerá una hormiga situada en el punto M, al desplazarse por todo el alambrado. A) 56 cm B) 68 cm C) 72 cm D) 60 cm E) 48 cm

Solución # . 4V I =

4 2# .R 12

T −= =

Escogemos uno de los casos analizando Luego Longmin = 12(4) + 4 + 4 = 56 cm

EJERCICIOS DE EVALUACIÓN

1. Narciso, Oscar, Santiago y Lucas asisten a una reunión y trabajan en diferentes oficios: carpintero, gasfitero, pintor y soldador, no necesariamente en ese orden; visten polos de color negro, verde, crema y rojo, no necesariamente en ese orden, y uno cada uno. Además se sabe que: El carpintero desayunó esta mañana en la casa

de su primo Oscar. Santiago y el pintor adeudan a las personas que

tienen polos de color verde y crema. Narciso y el soldador no simpatizan con la

persona que tiene polo crema. El gasfitero tiene polo negro. ¿Quién es el gasfitero y de qué color es el polo del carpintero? A) Santiago – negro B) Narciso – crema C) Oscar – verde D) Lucas – rojo E) Santiago – crema Solución Con los datos tenemos el siguiente gráfico Narciso Carpintero negro Oscar gasfitero verde Lucas pintor crema Santiago soldador rojo Por lo tanto, el gasfitero es Santiago y el polo del carpintero es crema

2. Los hermanos Mario, Nico, Oscar, Pedro y Roger se turnan para cuidar a su hermana Karina. Cada uno de los hermanos cuida durante un día a su hermana, pero ninguno de ellos la cuidará sábado o domingo. Mario solo puede cuidarla a partir del jueves, Roger solo los miércoles o viernes, Oscar la cuida un día después de Nico y Roger la cuida dos días después que Pedro. ¿Qué días de la semana cuidan a su hermana, Nico y Mario respectivamente? A) Lunes – jueves. B) Lunes – martes. C) Jueves – lunes. D) Martes – lunes. E) Miércoles – viernes. Solución Haremos un cuadro de doble entrada. Lu Ma Mi Ju Vi Mario No No

No Si No Nico Si No No No Oscar Si No No No Pedro No No Si No No Roger No No No No Si

32 cm A M

24 cm

18 cm

M

M

4 cm

4 cm

32 cm A M

24 cm

18 cm

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Nico cuida el Lunes y Mario el Jueves

3. Cuatro niños, entre ellos un par de hermanos, decidieron vestirse cada uno con un disfraz diferente. Uno de ellos vistió de pirata, otro de mago, otro de esqueleto, y el otro de Robín Hood. Se sabe que: Jorge y Marcelo, que no se vistieron de mago ni

de pirata, son hermano y hermana respectivamente.

El niño Salas vive al otro lado de la calle donde viven Jorge y Marcelo, y no se disfrazó de mago.

Abdías vive a varias manzanas de distancia, y no se puso el disfraz de pirata.

El niño que se disfrazó de esqueleto fue la sensación de la noche, y no era Sam

Uno de los Duarte tenía disfraz de Robín Hood. Uno de los apellidos es Flores. ¿Qué disfraz lleva Marcelo y como se apellida Abdías respectivamente? A) Mago - Duarte B) Robín Hood- Flores C) Pirata - Flores D) Esqueleto - Salas E) Robín Hood- Duarte Solución

esqueleto Pirata Mago R. Hood Jorge Si No No No Marcelo No No No Si Abdias No No Si No Sam No Si No No Duarte Duarte Flores Salas

Por tanto, Macelo se vistió de Robin Hood y Abdías se apellida Flores.

4. Sarita, Gisela y Rosario comparten un departamento en la capital. Una es repostera, otra es modista y la otra es cosmetóloga, no necesariamente en ese orden. Sus edades, en años, son 19, 21 y 26 y nacieron en los meses de enero, marzo y diciembre, no necesariamente en ese orden. Se sabe que: Sarita no es la menor de todas. El cumpleaños de la repostera es en enero. En navidad, la mayor de todas corta el cabello a

sus amigas. Sarita prepara sus postres en la madrugada. Rosario es la cosmetóloga del departamento. ¿Quién es la modista y cuántos años tiene? A) Gisela; 19 B) Gisela; 21 C) Rosario; 19 D) Rosario; 26 E) Sarita; 21 Solución

repostera modista Cosmetól. Sarita (21) Si No No Gisela (19) No Si No Rosario (26) No No Si Enero Marzo Diciembre

La modista es Gisela y tiene 19 años.

5. Un Contador trabaja 5 días seguidos y descansa los 3 días siguientes. Si inicia su trabajo un miércoles, ¿cuántos días tiene que trabajar para que pueda descansar por primera vez miércoles, jueves y viernes consecutivamente? A) 25 B) 10 C) 5 D) 20 E) 15 Solución

6. Yolanda disponía de S/ 1000; al realizar compras en

un supermercado, gastó S/. 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚�������, quedándole S/. 𝑚𝑚(𝑚𝑚 + 1)(𝑚𝑚+ 1)�����������������������; luego, saliendo del supermercado, obsequió S/. n a un mendigo. ¿Cuánto le quedó finalmente? A) S/ 451 B) S/ 461 C) S/ 421 D) S/ 401 E) S/ 441 Solución 1000 = 𝑚𝑚(𝑚𝑚 + 1)(𝑚𝑚+ 1)����������������������� + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚������� Luego descomponiendo 1000 = 100m + 10m + 10 + n + 1 + 100n + 11m 1000 = 101(m + n) = 20m + 11 m + n = 9, m = 4, a = 5 Le quedó: 456 – 5= 451

7. Bernabé da cuatro diferentes cantidades de dinero

como propina a sus cuatro hijos; una a cada uno de ellos. La suma recibida por cada uno de ellos es mayor a S/. 10 pero menor a S/. 100. Todas las cuatro cantidades son representadas únicamente por dos cifras. Por ejemplo si las cifras fueran 5 y 6, entonces las cantidades serian: 55, 66, 56 y 65. Si la suma que repartió Bernabé está comprendida entre S/. 70 y S/. 100; y el hijo mayor fue el que recibió más dinero, ¿cuántos soles le dieron de propina? A) 44 B) 77 C) 55 D) 33 E) 66 Solución Sean las cifras: a, b Los hijos reciben: , , ,ab ba aa bb

70 < 100ab ba aa bb+ + + < 70 < 22(a+b) < 100 3,1 < a + b < 4,5 Entonces a + b = 4 así a = 3 b = 1 Por lo tanto el mayor recibe: 33 soles

8. Si a un numeral de tres cifras se le agrega el número 5 al comienzo y al final, el nuevo numeral sería un número de cinco cifras, el cual es 147 veces el numeral original. Halle la suma de las cifras del número original. A) 16 B) 9 C) 11 D) 14 E) 13 Solución El número original: abc Con la variación: 5 5abc = 147 abc Operando: 5 5abc = 147 abc

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50005 10 abc = 147 abc abc = 365 Suma de cifras = 3+6+5=14

9. Abdías le dice a Paulo: “Yo tengo el doble de la edad que tú tenías cuando yo tenía la edad que tienes; pero cuando tú tengas la edad que yo tengo, la suma de nuestras edades será 63 años”. Determine, en años, ambas edades actuales. A) 29 y 21 B) 28 y 21 C) 28 y 20 D) 28 y 22 E) 27 y 21 Solución Empleando un cuadro para dos personas y en tres tiempos; así como ubicando la información de la primera condición del problema, tenemos Pasado Presente Futuro Abdias y 2x Paulo x y

De la segunda condición: “nuestras edades sumarán 63 años” Si Pablo tendrá 2x, entonces José tendrá 63-2x Pasado Presente Futuro Abdias y 2x 63 – 2x Paulo x y 2x

Por diferencia de edades (no cambia con el transcurso del tiempo): Tiempos pasado y presente: y – x = 2x – y 2x = 3y …………………………. (I) Tiempos presente y futuro: 2x – y = (63 – 2x)-2x 2x – y = 63-4x y = 6x – 63………………………….(II) Reemplazando en (I) tenemos: 2(6x-63)=3x 12x-126 = 3x entonces x=14 En (II): y = 6(14)-63=21 las edades son: Abdías: 2(14) = 28 Paulo: 21

10. La suma de dos cantidades es 32. Si a una de ellas le quitáramos cinco unidades para aumentárselas a la otra, entonces lo que tendría la primera sería igual a la tercera parte de lo que tendría la segunda. Halle la suma de las cifras del menor valor de las cantidades iniciales. A) 8 B) 10 C) 4 D) 6 E) 12 Solución x + y = 32 …. (1) 5 5

3y x+

= − de aquí y = 3x – 20 … (2)

De (1) y (2) x + 3x – 20 = 32 Luego x = 13; y = 19 Piden 1 + 3 = 4

11. Isela tiene la misma cantidad de monedas de S/. 5 que de S/. 2, Yolanda tiene el triple de monedas de S/. 2 que de S/. 5. Si en total la cantidad de monedas de S/. 5 es igual a 12, y sabiendo que la cantidad de monedas que tienen entre las dos es 28, ¿cuántos soles tiene Isela solo en monedas de S/. 5? A) 35 B) 40 C) 45 D) 55 E) 50 Solución S/. 5 S/. 2 Isela x x Yolanda y 3y

x + y = 12 2x + 4y = 28 x = 10

∴ 5(10) = 50 soles

12. La figura está formada por una circunferencia de radio 40 cm y cinco semicircunferencias de radio 20 cm. ¿Cuál es la menor longitud, en centímetros, que debe recorrer la punta de un lápiz, sin separarse del papel, para dibujar dicha figura, si se debe comenzar y terminar en el punto A? (Considere ABCDE como un pentágono regular y F centro de la circunferencia) A) 232𝜋𝜋 cm B) 260𝜋𝜋 cm C) 360𝜋𝜋 cm D) 264𝜋𝜋 cm E) 304𝜋𝜋 cm Solución La red: 2 π (40) +5π .20 =180 π

AB + CD + EF = 722 40 20180

π π +

=

Repetimos = 52π Longitud total = 232π cm

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13. En la figura, AMC es un triángulo, recto en M, AM = 6 cm; MO2 = 4 cm; además O1, O2 y O3 son centros de las semicircunferencias. ¿Cuál es la menor longitud, en centímetros, que debe recorrer la punta de un lápiz, sin separarse del papel, para dibujar dicha figura A) (42 + 12𝜋𝜋) cm.

B) (39 + 12𝜋𝜋) cm

C) (36 + 12𝜋𝜋) cm

D) (29 + 24𝜋𝜋) cm.

E) (30 + 18𝜋𝜋) cm.

Solución

El gráfico tiene 4 vértices impares. Nos piden el menor recorrido, entonces se debe repetir la menor cantidad de líneas.

Número mínimo de aristas repetidas: 4 2 12−

=

⇒Recorrido Mínimo: 36 +12π + 3 = 39 +12π ∴Recorrido Mínimo = 39 +12π 14. La figura está formada por cinco hexágonos

regulares congruentes de 4 cm de lado. ¿Cuál es la mínima longitud que debe recorrer la punta de un lápiz para dibujar la figura de un solo trazo continuo, si debe comenzar y terminar en el punto M? A) 96 cm B) 120 cm C) 112 cm D) 108 cm E) 72 cm Solución

En la figura se muestra los trazos repetidos.

4 cm

Luego, la longitud mínima será: 28x4=112 cm

M

O2 O1

M

A C O3

M