Definición de la función logaritmo natural. -...

Preparado por: Prof. Gil Sandro Gómez 1

1. Funciones trascendentes.

1.1Función logaritmo natural.

Definición de la función logaritmo natural.

La función logaritmo natural se define como

1

1ln , 0

x

x dt xt

.

El dominio de la función logaritmo natural es el conjunto todos los

reales positivos.

Gráfica de la función logarítmica.

Teorema 1. Propiedades de la función logaritmo natural.

La función logaritmo natural tiene las siguientes propiedades:

1. El dominio es (0,∞) y el rango es (-∞,∞).

2. La función es continua, creciente e inyectiva.

3. La gráfica es cóncava hacia abajo.

Teorema 2. Propiedades de los logaritmos.

Si a y b son números positivos y n es racional, se satisfacen las

siguientes propiedades.

1. ln1=0


2. ln (ab)= ln a + ln b

3. ln an=n ln a

4. ln (a/b)= ln a – ln b.

El número e.

Definición de e. La letra e denota el número real positivo tal que

1ln 1

e dte

t

La derivada de la función logaritmo natural.

Teorema 3. Derivada de la función logaritmo natural.

Sea u una función derivable en x

11. (ln ) , 0

dx x

dx x

1 '2. (ln ) , 0

d du uu u

dx u dx u

Demostración de la expresión 1.

1 F(x)= ln x=

x dtSea

t

Aplicando el segundo teorema fundamental del cálculo:

1

ln 1'( ) ( )

xd x d dtF x f x

dx dx t x

Q.E.D.

Ejemplos: Derivación de funciones logarítmicas.

2) ( ) lna f x x x

Aplicando propiedades logarítmicas, reescribimos antes de derivar:

212

( ) ln( )f x x x


Derivando la nueva expresión, tenemos que:

2

1 2 1

2

dy x

dx x x

b.

2 2

3

( 1)( ) ln

2 1

x xf x

x

Primero aplicamos las propiedades de los logaritmos y luego

derivamos:

2 312

( ) ln 2ln( 1) ln( 1)f x x x x

Derivando la nueva expresión:

2 2

2 3 2 3

1 2 1 6 1 4 3'( ) 2

1 2 2 1 1 2 1

x x x xf x

x x x x x x

1.2 Derivación logarítmica.

Se llama derivación logarítmica al proceso de utilizar los logaritmos

como ayuda en la derivación de funciones no logarítmicas.

Ejemplo.

Hallar la derivada de

2

2

3 2, 1

( 1)

x xy x

x

~(1)

Aplicando logaritmo en ambos lados:

2

2

3 2ln ln

( 1)

x xy

x

~(2)

Aplicando las propiedades logarítmicas en (2):

12

ln 2ln ln(3 2) 2ln( 1)y x x x ~(3)


Derivando la expresión (3):

1 2 1 3 2

2 3 2 1

dy

y dx x x x

Despejando a dy

dx:

2 3 2

6 4 1

dyy

dx x x x

~(4)

Sustituyendo a y por su valor en (4):

2

2

3 2 2 3 2

( 1) 6 4 1

dy x x

dx x x x x

Teorema 4. Derivadas con valores absolutos.

Si u es una función derivable de x tal que u≠0, entonces

'ln

d uu

dx u

Demostración:

Si u>0, entonces u u , y el resultado se obtiene aplicando el teorema

3. Si u<0, entonces u u , y se tiene

' 'ln ln( )

d d u uu u

dx dx u u

Q.E.D

Ejemplo: Hallar la derivada de

cosln

cos 1

xy

x

Aplicando propiedades logarítmicas:

cosln ln cos ln cos 1

cos 1

xy x x

x

Según el teorema 4, tomamos cosu x y cos 1z x y escribimos:

ln lny u u , derivando la nueva expresión:


' 'dy u z

dx u z , entonces

cos cos 1

dy senx senx

dx x x

Simplificando tenemos:

tancos 1

dy senxx

dx x

1. 3 La función logaritmo natural y la integración.

Teorema 5. Regla logarítmica para integración.

Sea u una función derivable de x.

1. lndxx

x c 2. lnduu

u c

Ejemplo. Uso de la regla logarítmica para integración.

212

2

11

1 2

xx udx du

u x du xdx

Despejando a du, tenemos que:

2

duxdx , aplicando la regla logarítmica para la integración:

21 1 12 2 2

1 ln ln 1udu u c x c

Utilizando las propiedades de los logaritmos:

2

2 21 12 21

1 ln 1 ln 1xx udx du x c x c

Ejemplo: Dividir antes de integrar.

3 2

3 2 2

-3 5 -3

- 3

5

x x x

x x x

entonces, 2 5

3x

x


Ahora iniciamos el proceso de integración:

32 2

33

55 ln( 3)

3xdx

xx dx x dx x c

x

Ejemplo: Cambio de variable con la regla logarítmica.

3

( 2)

( 1)

x x

xdx

Haciendo u=x-1, entonces du=dx y x=u+1.

2

33 3 3

31( 2) ( 1)( 1) ( 1) 1

( 1)( ) du

uu

x x u u u

ux u udx du du du u du

2

21

2 2ln lnu

uu c u c

Estrategia para la integración.

1. Memorizar una lista de fórmulas básicas de integración.

2. Buscar una fórmula de integración que se parezca total o

parcialmente al integrando, y por prueba y error elegir una u que

se ajuste el integrando a la fórmula.

3. Si no se puede hallar una sustitución u adecuada, intentar

transformar el integrando. Mediante identidades trigonométricas,

multiplicación y división por la misma cantidad, o suma y resta

de una misma cantidad. Se requiere ingenio.

4. Si se tiene acceso a un software de computadora que resuelva

integrales, es conveniente usarlo.

Integrales de funciones trigonométricas.

Integrales de las seis funciones trigonométricas básicas

cos cos s

tan ln cos cot ln s

senudu u C udu enu C

udu u C udu enu C


sec ln sec tan csc ln csc cotudu u u C udu u u C

Ejemplo: Usando una identidad trigonométrica

Hallar ∫tanxdx

Utilizando la identidad de la tanx, tenemos que:

costan senxxxdx dx

Tomenos u=cosx y luego derivemos la expresión:

u’=-senx, sustituyendo tenemos:

lndu duu u u C

Sustituyendo a u por su equivalente tenemos que:

tan ln ln cosxdx u C x C

Ejemplo: Hallar 2(tan 1)x dx

Recordando que 2 2tan 1 secx x , para escribir el integral original

en función de su identidad equivalente:

2 2(tan 1) sec secx dx xdx xdx

Aplicando la tercera fórmula de integrales de las seis funciones

trigonométricas básicas:

sec ln sec tanxdx x x c

Ejemplo: 1cox

senx dx

Hagamos u=senx +1, luego derivemos y después se sustituye al

numerador y al denominador por su equivalente, una vez realizados

estos pasos integramos la nueva expresión:


1 cos

ln ln 1duu

u senx du x

u c senx c

1. 4 Funciones inversas.

Definición de función inversa: Una función g es la función inversa de la

función si f(g(x))=x para todo x en el dominio de g, y g(f(x))=x para

todo x en el dominio de f.

La función g se denota por f-1(se lee como “inversa de f”).

Algunas observaciones relevantes acerca de las funciones inversas.

1. Si g es la función inversa de f, entonces f es la función inversa

de g.

2. El dominio de f-1 es el rango de f y el rango de f-1 es el dominio

de f.

3. Una función puede no tener función inversa, pero si la tiene es

única.

Teorema 6. Propiedad de reflexión de las funciones inversas.

La gráfica de f contiene el punto (a,b) si sólo si la gráfica f-1 de

contiene el punto (b,a).

Demos: Si (a,b) está en la gráfica de f, entonces es f(a)=b y se puede

escribir f-1(b)=f-1(f(a))=a.

Así que (b,a) está en la gráfica de f-1, entonces f(b)=a y se puede

escribir f(a)=f(f-1(b))=b.

Existencia de una función inversa.

Teorema 7. Existencia de la función inversa.

1. Una función tiene función inversa si y sólo si es inyectiva.

2. Si f es estrictamente monótona en todo su dominio, entonces

ésta es inyectiva por lo tanto tiene inversa.


Demos: f es inyectiva si para x1 y x2 en su dominio

1 2 1 2

1 2 1 2

1 2

1 2

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

f x f x x x

x x f x f x

f x f x

f x f x

1 2 1 2( ) ( )f x f x x x

La contrapositiva de esta implicación es lógicamente equivalente y se

estable que

1 2 1 2( ) ( )x x f x f x

Si escogemos x1 y x2 a en el dominio de f. Si 1 2x x , entonces es

estrictamente monótona, se deduce que

1 2( ) ( )f x f x o 1 2( ) ( )f x f x

En cualquier caso, 1 2( ) ( )f x f x . Por tanto, f es inyectiva en el

intervalo.

Gráfica de la función inversa.

Procedimiento para encontrar la función inversa de una función.

1. Determinar mediante el teorema 7 si la función dada y=f(x)

admite inversa.


2. Despejar a x como función de y: x=g(y)= f-1 (y).

3. Intercambiar x y y la ecuación resultante es y= f-1 (x).

4. Definir como dominio de f-1 el recorrido de f.

5. Verificar que f(f-1(x))=x y f-1(f(x))=x.

Ejemplo. Calcular la inversa de.

2 1, 0y x x

1. Aplicando el teorema 7 verificamos si la función admite inversa:

1 2

2 2

1 2 1 2

1 2 1 2

1 2 1 2

0

( ) (0) 1 1 ( ) (0) 1 1 ( ) ( )

0, 1 , ( ) 1 ( ) 2

( ) ( )

Sean x x

f x y f x f x f x

x x evaluemos a f f x y f x

x x f x f x

1 2 1 2( ) ( )x x f x f x

La función es inyectiva y es monótona creciente.

2. Despejar a x en término de y: 2 1y x

2

2

1

1

1

y x

y x

x y

3. Intercambie a x y y: 1y x .

4. El dominio de f-1 es el codominio de f y codominio de la función

inversa es el dominio de f.

5. La inversa de la función 2( ) 1f x x es la función 1( ) 1f x x

Para comprobarlo, hay que revisar si las dos funciones compuestas

producen la función identidad:

1 2

1 2 2

( ( )) ( 1) 1 1 1

( ( )) 1 1

f f x x x x

f f x x x x


Derivada de la función inversa.

Teorema 8. Continuidad y derivabilidad de las funciones

inversas.

Sea f una función cuyo dominio es un intervalo I. Si f tiene una función

inversa, entonces las siguientes proposiciones son verdaderas.

1. Si f es continua en su dominio, entonces f-1 es continua en su

dominio.

2. Si f es creciente en su dominio, entonces f-1 es creciente en su

dominio.

3. Si f es decreciente en su dominio, f-1 es decreciente en su

dominio.

4. Si f es derivable en c y f’(c)≠0, entonces f-1 es derivable en f(c).

Teorema 9. Derivada de una función inversa.

Sea f una función derivable en un intervalo I. Si f tiene una función

inversa g, entonces g es derivable para todo x tal que f’(g(x))≠0.

Además,

1'( ) , '( ( )) 0.

'( ( ))g x f g x

f g x

Demostración:

1

( ( )) ~ (1)

Derivando (1):

( )1 '( ( ) ~ (2)

Despejando de (2), tenemos :

( ) 1( ) '

'( ( ))

x f g x

dg xf g x

dx

dg xf

dx f g x


Ejemplo: Calcular la derivada de una función inversa.

3 2

2

2

2

7 2, ( 4,1)

3 14 ,evaluando en ( 4,1) :

3(1) 14(1) 11

1como , tenemos que:

1,evaluando la derivada de la inversa en ( 4,1)

3 14

1

11

x y y

dxy y

dy

dx

dy

dy

dxdxdy

dy

dx y y

dy

dx

Ejemplo: Encontrar (f-1)’(a) para la función f y el número real a dado.

3

-1 -1

-1

-1

3

3 3

2

( ) 2 1, 2

( ) ( ) ( ( )), :

( ) ( ) , :

1( ) '( )

'( )

( ) 2 -1 2, :

2 -1- 2 0, 2 -3 0

:

( -1)(

f x x x a

Como f b a y f a f f b entonces

a f b y f a b tenemos que

f af b

f b x x de ahí

x x x x

Ahora calculamos los ceros del polinomio

x x x

2 2

1

3) 0

1, 1

'( ) 3 2, '(1) 3(1) 2 5

1 1( ) '(2)

'(1) 5

x entonces b

f x x f

ff


1.5 La función exponencial natural.

Definición. La función inversa de la función logaritmo natural f(x)=lnx

se llama función exponencial natural y se denota por

1( ) .

, ln .

x

x

f x e

Esto es y e si y sólo si x y

La relación inversa entre las funciones logaritmo natural y exponencial

natural se puede resumir como sigue:

lnln( ) x xe x y e x

Gráfica de la función exponencial.

Teorema 10. Operaciones con funciones exponenciales.

Sean a y b dos números reales arbitrarios.

( )

( )

1.

2.

a b a b

aa b

b

e e e

ee

e

Propiedades de la función exponencial natural.

1. El dominio de ( ) xf x e es (-∞,∞), y su rango es (0,∞).

2. La función ( ) xf x e es continua, creciente e inyectiva en todo su

dominio.


3. La gráfica de ( ) xf x e es cóncava hacia arriba en todo su

dominio.

4. lim limx x

x xe o y e

Derivadas de las funciones exponenciales.

Teorema 11. Derivada de la función exponencial natural.

Si u es una función derivable de x.

( )1.

2. ( )

xx

u u

d ee

dx

d due e

dx dx

Demostración de la expresión (2):

~ (1)

Aplicando logaritmo en (1):

ln ln ~ (2)

Aplicando las propiedades de los logaritmos:

ln ln ~ (3)

~ (3)

'~ 4

Despejando a y en (4) :

~ (5)

Sustituyendo a y en (5):

;

u

u

u

y e

y e

y u e u

Derivando

y du

y dx

dy duy

dx dx

dy due

dx dx

. .Q E D


Ejemplo: Hallar la derivada de la función exponencial dada.

2

2 2 2cos 2 (cos 2 )

x

x x x

y e senx

dye x e senx e x senx

dx

Otro ejemplo:

2

2

2

( cos )

2 ( cos ) 2 ( cos )

( cos )

ln( tan )

2 cos (1 ) sec ( )

tan

senx x x

senx x x x x

senx x x

y e e

dy xe x senx e e

dx e e

Integrales de funciones exponenciales.

Teorema 12. Reglas de integración para funciones

exponenciales.


1. 2. x x u ue dx e c e du e c

Ejemplo: Hallar la integral de

cos ~ (1)

~ (2)

:

cos ~ (3)

(3) :

cos ~ (4) :

sen xe xdx

Haciendo u sen x

Derivando u

du xdx

Despejando de

duxdx

(2) (4) (1) :

1 1 1

1cos

u u sen x

sen x sen x

Sustituyendo y en

e du e c e c

e xdx e c


1.6 Las funciones exponencial y logarítmica en base a.

Definición de una función exponencial base a:

Si a es un número real positivo (a≠1) y x es cualquier número real,

entonces la función exponencial de base a se denota por ax y se

define como y=e(lna)x.

Si a=1, entonces y=1x=1 es una función constante.

Algunas propiedades:

0 ( )

( )

1. 1 2.

3. 4. ( )

x y x y

xx y x y xy

y

a a a a

aa a a

a

Definición de la función logarítmica de base a:

Si a es un número real positivo (a≠1) y x es cualquier número real

positivo, entonces la función logarítmica de base a se denota loga x y

se define como

1log ln

lna x x

a

Propiedades de la función logarítmica de base a:

a

a a a

1. log 1 0 2. log log log

3. log log 4. log log log

a a a

n

a a

xy x y

xx n x x y

y

Nota: De las definiciones de funciones exponenciales y logarítmicas

base a, se sigue que ( ) y ( ) logx

af x a g x x son funciones inversas una

de otra.

Propiedades como funciones inversas.

log

1. log

2. , 0

3. log ,

x

x

a

a

x

a

y a si y solo si x y

a x para x

a x para todo x


Derivación e integración.

Teorema 13. Derivadas para otras bases distintas de e.

Sea a un número real positivo (a≠1) y u una función derivable de x.

1. ( ) ln 2. ( ) ln

1 13. (log ) 4. (log )

(ln ) (ln )

x x u u

a a

d d dua a a a a a

dx dx dx

d d dux u

dx a x dx a u dx


(ln )

(ln )

(ln ) (ln ) ( )ln

por definición

~ (1)

Derivando la expresión:

= (ln ) (ln ) (ln ) ~ (2)

Como la función exponencial es inversa de la logarítmica tenemos:

(l

u

u u a u

a u

a u a u

u

a

y a a e

y e

dy d du due a u e a e a

dx dx dx dx

dya

dx

n ) ; . .du

a Q E Ddx


log ~ (1)

:

ln~ (2)

ln

(2) :

1; . .

(ln )

aSea y u

Haciendo cambio de base tenemos

uy

a

Derivando a

dy duQ E D

dx a u dx


Ejemplos: Derivadas de una funciones de base distinta de e.

tan

tan 2 tan 2 2

ln

ln 2

1. 3 (ln 3)

:

3 sec (ln 3)(ln 3) 3 sec (ln 3)

2.

log :

ln ln (ln )(ln ) (ln )

exp :

1 12(ln )

x

x x

x

x

y

Derivando

dyx x

dx

y x

Aplicando aritmo en ambos lados

y x x x x

Derivando la nueva resión

dyx

y dx x

Despejando

ln

:

2(ln ) x

dya

dx

dyx x

dx x

2

5

2 2 2

2

3. y=log sec( 2 )

sec( 2 ) tan( 2 )(2 2) 2( 1) tan( 2 )

(ln 5)sec( 2 ) (ln 5)

x x

dy x x x x x x x x

dx x x

En ocasiones, un integrando contiene una función exponencial en una

base distinta de e. En tal caso, hay dos opciones: (1) pasar a base e

usando la fórmula (ln )x a xa e y entonces integrar o (2) integrar

directamente, usando siguiente fórmula de integración

1

ln

x xa dx a ca

Ejemplo: Integración de una función exponencial en base distinta de e.

2

2

( )2 ~ (1)

~ (2)

xx dx

Hacemos u x


2

2

a :

2 , :

~ (3)2

(2) (3) (1) :

1 1 12 2 2 ; :

2 2 ln 2

1 1 1 1 12 2 2

2 2 ln 2 2 ln 2

u u udu

u u x

Deriferenciando u

du xdx despejando

duxdx

Sustituyendo y en

du C sustituyendo a u por su valor

du C C

1. 7 Funciones trigonométricas inversas.

Ninguna de las seis funciones trigonométricas tienen inversas. Esto se

debe a que son funciones periódicas y por tanto ninguna es inyectiva.

Para que tengan funciones inversas es necesario redefinir el dominio

de cada una de ellas.

min

-1 1 -

Definición de las funciones trigonométricas inversas

Función Do io Rango

y arcsenx si y sólo si seny x x

2 2

arccos cos -1 1 0

arctan tan - -2 2

cot cot -

y

y x si y sólo si y x x y

y x si y sólo si y x x y

y arc x si y sólo si y x x

0

sec sec 1 0 ,2

csc csc 1 - , 02 2

y

y arc x si y sólo si y x x y y

y arc x si y sólo si y x x y y


Las gráficas de las seis funciones trigonométricas inversas.

Gráfica de la función coseno y su inversa.


f -1(x)=arc tag x

Y=arcsecx


Y=arccscx

Y=arccotx


Propiedades de las funciones trigonométricas

-1 1 - , 2 2

( ) ( ) .

- , 2 2

tan(arctan ) arctan(tan ) .

1 0 , 2 2

sec( sec ) sec(sec )

Pr log

Si x y y entonces

sen arcsenx x y arcsen seny y

Si y entonces

x x y y y

Si x y y o y entonces

arc x x y arc y y

opiedades aná as

son válidas para las otras funciones trigométricas inversas

Derivadas de las funciones trigonométricas inversas.

Teorema 14. Derivadas de las funciones trigonométricas

inversas.


2 2

2 2

2

' '( ) (arccos )

1 1

' '( tan ( cot )

1 1

' '( sec ) ( sc )

1

d u d uarcsenu u

dx dxu u

d u d uarc u arc u

dx u dx u

d u d uarc u arcc u

dx dxu u u

2 1u

Demostración:

~ 1

Derivando (1)

cos ~ (2)

(2) :

1 '~ (3)

cos cos

Sea y arcsenu entonces u seny

du dyy

dx dx

dyDespejando a de

dx

dy du u

dx y dx y


2 2 2

2

2

:

cos 1 cos 1 ~ (4)

(1) (4) :

cos 1 ~ (5)

(5) (3) :

'; . .

1

Aplicando las propiedades de las identidades trigométricas

sen y y y sen y

Sustituyendo en

y u

Sustituyendo en

dy uQ E D

dx u

Las demás se dejan como ejercicios a los estudiantes.

Ejemplos: Hallar las derivadas de

2 2 2 2

2

1. 2 ( 1)

2 2 2 2

1 ( 1) 1 ( 2 1) 1 2 1 2

2. ( ) (arccos )

cos(arccos ) (arccos )1

y arcsen x

dy

dx x x x x x x x

h t sen t

dh d tt t

dt dt t

2

3. tan

1

2 ( 1)

y arc x

dy

dx x x

2

2

2 2

3. sec

1( ) 2 sec 2 sec

1 1

y x arc x

dy xx xarc x xarc x

dx x x x

1. 7 Funciones hiperbólicas.

El nombre de funciones hiperbólicas proviene de la comparación entre

el área de una región semicircular, con el área de una región bajo una

hipérbola.


Definición de las funciones hiperbólicas.

1 csc ; 0

2

1cosh sec

2 cosh

1tanh coth , 0

cosh tanh

x x

x x

e esenhx hx x

senhx

e ex hx

x

senhxx x x

x x

Identidades hiperbólicas

2 2

2 2

2 2

cosh 1 ( ) cosh cosh

tanh sec 1 ( - ) cosh - cosh

coth csc 1 cosh( ) cosh cosh

x senh x senh x y senhx y xsenhy

x h x senh x y senhx y xsenhy

x h x x y x y senhxsenhy

2 2

2 2

cosh( - ) cosh cosh -

1 cosh 2 1 cosh 2 cosh

2 2

2 2 cosh cosh 2 cosh

x y x y senhxsenhy

x xsenh x x

senh x senhx x x x senh x

Derivación e integración de funciones hiperbólicas.

Teorema 16 Derivadas e integrales de las funciones

hiperbólicas.

Sea u una función derivable de x.

( ) (cosh ) ' coshd

senhu u u udu senhu Cdx


2 2

2 2

(cosh ) ( ) ' cosh

(tanh ) (sec ) ' sec tanh

(coth ) (csc ) ' csc coth

(sec ) (sec tanh )

du senhu u senhudu u C

dx

du h u u h udu u C

dx

du u u h udu u C

dx

dhu hu u

dx

' sec tanh sec

(csc ) (csc coth ) ' csc coth csc

u hu udu hu C

dhu hu u u hu udu hu C

dx

ón:

y ~ (1)2

exp (1) :

( ) ~ (2)2 2

cosh ~ (3)2

(3) (2) :

( ) cosh

u u

u u u u

u u

Demostraci

e eSea senhu

Derivando la resión

dy d d e e e e dusenhu

dx dx dx dx

e eu

Sustituyendo en

d dusenhu u

dx dx

Ejemplos: Derivación de funciones hiperbólicas.

3

32 2 3 2 2

3

2

1. ln (2 tan )

cos (2 tan )' (6 sec ) coth(2 tan )(6 sec )

(2 tan )

sec (3 )

2. ' 2sec (3 ) tanh(3 )(3) 6sec (3 ) tanh(3 )

y senh x x

h x xy x x x x x x

senh x x

y h x

y h x x h x x


Funciones hiperbólicas inversas

Teorema 17. Funciones hiperbólicas inversas.

1 2

1 2

1

1

min

ln( 1) (- , )

cosh ln( 1) [1, )

1 1tanh ln (-1,1)

2 1

coth

Función Do io

senh x x x

x x x

xx

x

x

21

21

1 1ln (- ,-1) (1, )

2 1

1 1sec ln (0,1]

1 1sc ln (- ,0) (0, )

x

x

xh x

x

xc h x

x x

Demostración:

1

- -

2 2 2

~ (1)

(1) :

cosh

cosh :

-cosh ~ (2)

2 2

log (2) :

ln cosh ln ~ (3)

cosh 1, cosh 1 ~ (4

y y y yy

y

y senh x

Despejando x de

x senhy y y x

Sumando senhy y y

e e e esenhy y e

Aplicando aritmo en

senhy y e y

y senh y entonces y senh y

2

2 1

1 2

)

(4) :

cosh 1 ~ (6), :

ln 1

tan ln 1

como senhy x sustituyendo en

y x de ahí tenemos

x x y senh x

Por to senh x x x


Demostración:

1

2

tanh ~ (1), tanhcosh

~ (2)

( ) ,

( 1) (1 ) ~ (3)

(3) (1 ) :

1~ (4)

1

log

y y

y y

y y y y y y y y

y y y y

y y

y

yy

y

senhyy x entonces x y

y

e ex

e e

x e e e e xe xe e e

xe e e xe

e x e x

Dividiendo entre e x

x ee

x e

Aplicando aritmo e

2

1

(4) :

1ln ln 2 ~ (5)

1

(5) :

1 1ln ~ (6)

2 1

(6) (1) :

1 1tanh ln ; . .

2 1

y

n

xe y

x

Despejando a y de

xy

x

Sustituyendo en

xx Q E D

x

Nota: Las demás demostraciones se dejan como ejercicio a los

estudiantes. Deben enviarlas por e-mail o presentarlas en el cuaderno.

Las gráficas de las funciones hiperbólicas inversas se dejan como tarea

para a los estudiantes, también.

Teorema 18. Derivación e integración de funciones hiperbólicas

inversas.

1 1

2 2

' '[ ] [ ]

1 1

Sea u una función derivable de x

d u d usenh u cosh u

dx dxu u


2 2

2 2

2 2

1 1

2 2

1 1

2 2

2 2

2 2

' '[tan ] [ t ]

1 1

' '[sec ] [ sc ]

1 1

ln( )

1ln

2

1ln

du

u a

du

a u

du

u au

d u d uh u co h u

dx u dx u

d u d uh u c h u

dx dxu u u u

a u a c

a uc

a a u

a u ac

a u

Definición de la función logaritmo natural. -...

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