ALGEBRA LINEAL

TRABAJO:TRANSFORMACIONES LINEALES

PROFESORA:ELDA ROSARIO RUIZ

HORA:07:00-08:00 hrs.

ALUMNO:EMMANUEL MARTINEZ HERNANDEZ

CARRERA:ING. ELECTRICA

INDICE5.1 Transformaciones Lineales35.2 Ncleo o imagen de una transformacin lineal55.3 La Matriz de una Transformacin Lineal65.4 Aplicacin de las Transformaciones Lineales8 -Reflexin8 -Dilatacin8 -Contraccin8 -Rotacin8 Ejercicios Resueltos11

5.1 Transformacin LinealComo se ha visto, una transformacin tiene tres elementos esenciales: el dominio, el codominio y la regla de correspondencia; adems, tiene dos caractersticas importantes derivadas de las tres antes mencionadas: el recorrido (Perteneciente al codominio) y el ncleo (parte del dominio). En lgebra Lineal se ha hablado de operaciones de suma de vectores y de multiplicacin por un escalar; para que una transformacin sea caso de estudio en el lgebra Lineal, es necesario que mantenga dichas operaciones vlidas a lo largo de la transformacin. Es as como surge el concepto de transformacin lineal. Comenzamos definiendo unatransformacin lineal.Ejemplos tpicos son la derivada y la integral, al igual que lasproyecciones.Definimos elkernelyrangode una transformacin lineal T :VWy los denotamos por N(T) y R(T) respectivamente. Es un ejercicio verificar que N(T)Vy R(T)W. Definimosnulidad(T) =dim(N(T)) yrango(T) =dim(R(T)).TEOREMA 2.1SiT :VWes una transformacin lineal, entoncesVes dimensionalmente finito si y slo siN(T)yR(T)son dimensionalmente finitos, y en este caso,dim(V) =nulidad(T) +rango(T).DemostracinDados dos espacios vectorialesVyWsobre un campoF, definimosL(V,W) = {T :VW| T es una transformacin lineal}.Si T, UL(V,W) yaF, definimosaT + U :VWcomo (aT + U)(x) =aT(x) + U(x) para todaxF. Es un ejercicio verificar queaT + U es una transformacin lineal y que L(V,W), junto con estas operaciones de suma y de multiplicacin por escalares, es un espacio vectorial sobreF.Definimos el que una funcin fuerainyectiva,sobreybiyectiva.Es un ejercicio demostrar que para una transformacin lineal T :VW, las siguientes condiciones son equivalentes: T es inyectiva N(T) = {0} (es decir,nulidad(T) = 0) Para todoSV,Ses linealmente independiente si y slo siT(S)Wes linealmente independienteTambin se deja como ejercicio el verificar que siVyWson dos espacios vectoriales con la misma dimensin (finita) y T :VWes una transformacin lineal, entonces T es inyectiva o sobre si y slo si es biyectiva.Una transformacin lineal es una funcin que preserva la estructura algebraica de espacio vectorial, por lo que no toda funcin entre espacios vectoriales es una transformacin lineal. De hecho, es sencillo encontrar funciones inyectivas, sobre, y biyectivas quenoson transformaciones lineales. Esto motiva las definiciones demonomorfismo,epimorfismoeisomorfismo.

5.2 Ncleo o Imagen de una Transformacin Lineal

5.3 La Matriz de una transformacin linealSiVyWtienendimensinfinita y uno tiene elegidasbasesen cada uno de los espacios, entonces todo mapa lineal deVenWpuede representarse por unamatriz. Recprocamente, toda matriz representa una transformacin lineal.SeanT:VWuna transformacin lineal,B={v1, ...,vn} una base deV,C={w1, ...,wm} base deW. Para calcular la matriz asociada aTen las basesByCdebemos calcularT(vi) para cadai=1,...,ny escribirlo como combinacin lineal de la baseC:T(v1)=a11w1+ ...+am1wm, ..., T(vn)=a1nw1+ ...+amnwm.La matriz asociada se notaC[T]By es la siguiente:

Como un vector deWse escribe de forma nica como combinacin lineal de elementos deC, la matriz es nica.Gracias al teorema mencionado en la seccinTeoremas bsicos de las transformaciones lineales en espacios con dimensin finita, sabemos que dada cualquier eleccin deu1, ...,unexiste y es nica la transformacin lineal que envavienui. Por lo tanto, dadaAcualquier matrizmn, existe y es nica la transformacin linealT:VWtal queC[T]B=A.Adems, las matrices asociadas cumplen queC[aT+bS]B=aC[T]B+bC[S]Bpara cualquiera,b,T,SL(V,W). Por esto es que la aplicacin que hace corresponder cada transformacin lineal con su matriz asociada es un isomorfismo entreL(V,W) yMnmC(K).Si nos restringimos al casoV=W,C=B, tenemos adems que esta aplicacin es un isomorfismo entrelgebras.A toda transformacin lnea f: v w de espacios vectoriales de dimensiones finitas n y m, respectivamente, se le puede asociar a una matriz A M mxn, tal que f(x) = Ax, donde x = Recprocamente a toda matriz se le puede asociar con una transformacin lineal: f: v wEsto es de extrema utilidad considerando que: DimIm (f) = Rango f = Rango AGrafico

DondeV: espacio vectorial de salidaW: espacio vectorial de llegadav: vector de la base del espacio vectorial de salidaf(v): imagen del vector de la base del espacio vectorial de salidaB1: Base del espacio vectorial de salidaB2: Base del espacio vectorial de llegada(v)B1: Coordenada del vector de la base del espacio vectorial de salidaf (v)B2: Coordenada de la imagen del vector de la base del espacio vectorial de salida respecto a B2 A Matriz Asociada de B1 en B25.4 Aplicacin De Las Transformaciones LinealesAplicacin de las transformaciones lineales: reflexin, expansin, contraccin y rotacinGraficar un conjunto de puntos en otro es lo que se conoce como transformacin lineal de un conjunto de puntos. Existen ciertas propiedades bsicas de las transformaciones lineales, las cuales si son tomadas en cuenta y aplicadas al momento de resolver un problema, pueden reducirlo un problema simple. La notacin general utilizada para una transformacin lineal es T: Rn Rm.1. Reflexin: Cuando un conjunto de puntos dados es graficado desde el espacio euclidiano de entrada a otro de manera tal que este es isomtrico al espacio euclidiano de entrada, llamamos a la operacin realizada la reflexin del conjunto de puntos dado. Esto puede realizarse tambin con respecto a la matriz, en tal situacin la matriz de salida es llamada la matriz de reflexin. La reflexin es realizada siempre con respecto a uno de los ejes, sea el eje x o el eje y. Esto es como producir la imagen espejo de la matriz actual.2. Expansin: Al igual que en la reflexin, tambin es posible expandir los puntos dados en una direccin particular. La expansin se realiza habitualmente para un cierto grado. Es como realizar una operacin de multiplicacin de los elementos del conjunto de puntos dados con un trmino escalar hacia la direccin donde tiene que ser expandido. Sea para un punto (2, 3) si el grado de expansin 2 es la direccin de y, entonces el nuevo punto obtenido es (2, 6).3. Contraccin: La contraccin es el procedimiento inverso de la expansin. Aqu el punto es contrado en un determinado grado hacia una direccin dada. Sea el punto de entrada (4, 8) y este debe ser contrado para el grado dos en la direccin de x entonces el nuevo punto resulta ser (2, 8).4. Rotacin: El trmino rotacin tiene dos significados, ya la rotacin de un objeto puede ser realizada con respecto al eje dado o al eje mismo. La rotacin se realiza para un cierto grado el cual es expresado en forma de un ngulo. Asimismo, la rotacin puede realizarse en la direccin de las manecillas del reloj, o inverso a las manecillas del reloj.Como ejemplo, dirijmonos a producir la matriz estndar para la representacin de la transformacin lineal reflejando un conjunto de puntos en el plano x-y a travs de la recta y = (2x / 3).

El primer paso para esto es determinar los vectores base.

Por lo tanto, podemos afirmar que,

Dado que y pertenece a R2. Imagina que A: R2 R2 es una transformacin lineal, entonces podemos escribir que,

La imagen de la matriz base determina la imagen de cualquier elemento. Por lo tanto la imagen de a travs de y = (2x/ 3) es determinada mediante la obtencin de una recta que pasa por (1, 0) y es que es ortogonal a . Esto est dado por y = (3x/ 2) (3/ 2).El punto donde las dos rectas, esto es, y = (3x/ 2) (3/ 2) e y = (2x/ 3) se intersectan se dado como (9/13, 6/13). Tomamos p1 para ser el punto de reflexin de a travs de la recta dada. Este punto es simtrico respecto a (9/13, 6/13) por lo tanto, podemos escribir que,

Esto produce,De manera similar, la imagen del vector base resulta ser

Y tenemos la matriz de transformacin lineal final como,

Ejercicios Resueltos Transformaciones Lineales

Ejercicios resueltos Ncleo O Imagen de una Transformacin

Ejercicios Resueltos La Matriz de una Transformacin Lineal

Ejercicios Resueltos Aplicacin de las Transformaciones Lineales

Transformaciones Lineales

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