DEFINICIN Y FUNCIONES DE LAECONOMA La economa es una ciencia social que estudia cmo los individuos o las sociedades usan o manejan los escasos recursos para satisfacer sus necesidades. Tales recursos pueden ser distribuidos entre la produccin de bienes y servicios, y el consumo, ya sea presente o futuro, de diferentes personas o grupos de personas en la sociedad. El estudio de la economa se basa en la organizacin, interpretacin y generalizacin de los hechos que suceden en la realidad. La microeconoma, una de las dos ramas en las que se divide la economa, realiza el estudio de unidades econmicas (las personas, las empresas, los trabajadores, los propietarios de tierras, los consumidores, los productores, etc.); es decir, estudia cualquier individuo o entidad que se relacione de alguna forma con el funcionamiento de la economa de forma individual, no en conjunto. Al estudiar estas unidades econmicas, la microeconoma analiza y explica cmo y por qu estas unidades toman decisiones econmicas. La macroeconoma, la otra rama en que se divide la economa, se encarga de estudiar el comportamiento y el desarrollo agregado de la economa. Cuando se habla de agregado se hace referencia a la suma de un gran nmero de acciones individuales realizadas por diversas unidades econmicas, las cuales componen la vida econmica de un pas. Esta rama no estudia las acciones de determinados individuos, empresas, etc., sino la tendencia en las acciones de stos. Para su estudio, la economa utiliza herramientas como las matemticas y la estadstica aplicadas en la econometra, la cual se usa ampliamente en el desarrollo y prueba de modelos econmicos. Un modelo econmico es una conceptualizacin mediante la cual se pretende representar matemticamente y de forma simplificada la realidad, para, de esta forma, poder establecer y cuantificar las relaciones entre las variables econmicas que se analizan.

La economa es estudiada por los economistas. Los economistas formulan principios econmicos tiles en la formulacin de polticas diseadas para la solucin de problemas econmicos | [1] . De esta manera, la economa puede dar alguna explicacin a hechos ocurridos en el pasado y realizar pronsticos sobre el comportamiento econmico en el futuro. Lo anterior facilita el diseo y la implementacin de polticas econmicas en un pas o una regin por parte de las autoridades econmicas, las cuales, a travs de estas polticas, dirigen la economa de dicho pas o regin con el objetivo primordial de beneficiar a sus habitantes y, por ende, a la economa en general, gracias a la satisfaccin de sus necesidades.

Funciones Econmicas INTRODUCCIN: En esta seccin trataremos de introducir al alumno en conceptos elementales de economa, para luego a partir de la definicin de funcin, poder desarrollar los problemas de aplicacin matemtica a las ciencias econmicas. Qu entendemos por Economa?

En una sociedad, los individuos tomados tanto en forma aislada como en su conjunto, tienen necesidades materiales (vivienda, alimentacin, etc.) y no materiales (salud, recreacin, etc.).Pero, cmo las satisfacen si cuentan con recursos que son escasos o limitados?. El camino es el de realizar actividades productivas. En ese marco vamos a definir a la Economa como la ciencia que se encarga de distribuir en forma conveniente los recursos escasos de una sociedad, con el objeto de producir bienes que permitan satisfacer directa o indirectamente los deseos o necesidades de los individuos. Los economistas son los encargados de encontrar las respuestas al problema que surge entre deseos y necesidades ilimitadas, frente a recursos que son escasos. Para intentar entender como funcionan estas relaciones utilizaremos modelos matemticos. Modelacin matemtica Los antiguos griegos fueron los primeros en tratar de comprender la naturaleza a partir de un anlisis lgico. Aristteles desarroll la teora que el mundo no era plano sino esfrico, la que fue demostrada por sin moverse un solo paso de Alejandra. Pero, cmo lo hizo?. A

travs de suposiciones y simplificaciones cre el contexto matemtico en el cual pudieron aplicarse los principios de la geometra que le permitieron encontrar una medida equivalente a la circunferencia de la tierra. Actualmente cientficos y tcnicos buscan representar la realidad en trminos matemticos, y es a este proceso al que denominaremos "modelacin matemtica". Aplicacin a las Ciencias Econmicas:

En relacin a esta seccin que estamos desarrollando, el objetivo no es el de formar economistas, sino que pretendemos sirva de ayuda para ensear matemtica desde una perspectiva de las ciencias econmicas. En Economa se plantean los problemas de tal modo que puedan responderse matemticamente, y que dichas respuestas puedan generalizarse. Entendemos por modelo a la simplificacin y abstraccin de la realidad, donde se identifican y parmetros, a partir de los cuales se postulan relaciones entre ellas en forma de leyes o teoras. Cunto ms sencillo sea el modelo econmico propuesto, ms fcil ser usarlo para dar respuestas de tipo general. La validez del mismo depender de la validez de las consecuencias que de l se deducen Como no es posible controlar todas las variables, es frecuente introducir la condicin de "ceteris paribus" , que nos permite suponer que todas las variables se mantienen constantes temporariamente, excepto la que estamos estudiando, y quiere decir: "Si todo lo dems no cambia". Por ejemplo, cuando analizamos como vara la demanda de la carne de vaca al variar su precio, estamos dejando de considerar otros factores que influyen en la toma de decisin del consumidor como son el precio de productos substitutos (carne de pollo o de pescado); el gusto o preferencia de los consumidores por otras carnes; y la renta del consumidor en el mismo perodo de tiempo. Ningn valor describe toda la informacin requerida, ya que la cantidad demandada de carne de vaca depender entre otras cosas de su precio. Expresin analtica de un modelo econmico

En este curso nos referiremos a los modelos econmicos , que sern las herramientas para entender la realidad en forma simplificada, esquemtica y aproximada. Su expresin analtica se realiza a travs de una o varias funciones que nos indican las relaciones existentes entre las variables. En el desarrollo de este curso trataremos modelos econmicos simples, formados en su mayora por una sola funcin que relaciona dos variables.

As hablamos de la "Funcin Oferta" , donde las cantidades ofrecidas de un bien dependern del precio del mismo, o de la "Funcin Demanda" , donde las cantidades demandadas de un bien tambin dependern de su precio. Analicemos la Demanda de un determinado bien A: Precio de A (p) Cantidad comprada de A (d) 20.000 10.000 1 3

Funcin Lineal de Demanda del bien A

q: Cantidad demandada del bien A p: Precio del bien A Cantidad demandada = f(precio del mercado)

La grfica de la curva de demanda nos muestra las cantidades del bien A que sern demandadas durante un perodo de tiempo para cada posible precio. En el anlisis no incluimos ni precio de los bienes substitutos de A, ni gusto de los consumidores, ni su renta. Cada punto de la curva de coordenadas (qA,pA), nos muestra como se relacionan las variables precio y cantidad bajo la condicin de Funciones Econmicas "ceteris paribus" .

Para expresar un modelo econmico utilizaremos el concepto matemtico de funcin, entendiendo por tal a la relacin de dependencia entre variables econmicas. En Economa las funciones pueden adoptar tanto formas tericas muy complejas, como muy simples. En este curso trabajaremos con funciones econmicas de una sola variable y principalmente de tipo lineal y cuadrtica. Respecto del Dominio y del conjunto de las imgenes, haremos algunas consideraciones al definirlos, ya que los valores que asumen las variables deben tener sentido econmico, y como tal estarn restringidos a nmeros reales positivos. Si nos referimos a precios o cantidades no podremos hablar de valores negativos, por ejemplo producir (-5) autos, o vender un bien a (-100) pesos carece de sentido. Las funciones econmicas se grafican en el primer cuadrante de un sistema de coordenadas cartesianas

FUNCION ECONOMICA: f : R0+ --> R0+ es una funcin contnua y biyectiva, con dominio y codominio en los nmero reales no negativos, que representa a un modelo econmico. Funciones lineales La funcin lineal es la ms simple dentro de las formas que puede adoptar una relacin entre variables econmicas, pero desempean un importante papel en la formulacin de los problemas econmicos. Una funcin lineal tiene la forma general

Donde a y b son nmeros reales, el coeficiente a es la pendiente de la recta que representa a la funcin y siempre es distinta de cero, el trmino independiente b es la ordenada al origen, que grficamente representa la interseccin de la recta con el eje de las ordenadas en el punto de coordenadas (0,b). La variable independiente es x, a la cual le asignamos valores para obtener y. Estas funciones se caracterizan porque un cambio unitario en la variable independiente (x), provoca un cambio proporcional en la variable dependiente (y). La tasa de cambio est representada por la constante a. Analicemos la relacin funcional que existe entre la venta domiciliaria de telfonos celulares, y el sueldo del vendedor: (funcion ingreso)

donde "y" es el sueldo del vendedor, y "x" es la cantidad de telfonos vendidos. Estamos frente a una funcin lineal, cuya representacin grfica es:

Podemos observar: 1. Es funcin creciente 2. Al aumentar el nmero de telfonos vendidos, aumenta el sueldo del vendedor. 3. D (f) = R0+ I (f) = En otras ramas de las ciencias tambin se utilizan las funciones lineales, Por ejemplo: Distancia recorrida por un mvil sobre un camino recto a velocidad constante, en funcin del tiempo (Movimiento rectilneo uniforme) Ley de enfriamiento de Newton. La velocidad de enfriamiento de un cuerpo est en funcin de la temperatura del cuerpo, por encima de la temperatura ambiente. Longitud de la circunferencia en funcin del radio. Unidad de riego en funcin de la superficie. Ejemplo Veamos un ejemplo de funcin lineal aplicado al Comercio Exterior.

Segn la Subsecretara de Comercio Exterior de una regin A, se exportaron (en miles de dlares), durante el perodo comprendido entre 1993 y 1997, los valores que se indican en la siguiente tabla: Ao (x) Exportaciones (y) Grfico 1: Graficamos los puntos en un sistema de coordenadas cartesianas: Grfico 2: En el siguiente grfico mostramos la lnea recta que se ajusta mejor (en cierto sentido) a la nube de puntos que aparecen en el grfico anterior. La lnea recta se denomina lnea de regresin, y est dada por : Coeficiente de Correlacin : 0.976168 Y = 94.4x -186474.99924 1993 1640 1994 1763 1995 1875 1996 1987 1997 2006

Ejemplo 2 La Comisin Ballenera Internacional formul en 1960 la relacin lineal que existe entre la longitud L (en pies) y el peso esperado W (en toneladas britnicas) de las ballenas azules adultas. W = 3,15 L - 192

Si representamos grficamente en un sistema de coordenadas cartesianas, obtenemos:

Representacin grfica La representacin grfica de las funciones permite reconocer rpidamente la relacin que existe entre las variables, detectar situaciones claves, formular distintos modelos y compararlos. Se pueden realizar dos tipos de grficos segn la informacin que se vuelque en ellos: 1. Representar grficamente la relacin que liga a las variables en forma emprica. Retomando el ejemplo de las exportaciones (ejemplo 1), volcamos los datos de la tabla en un sistema de coordenadas cartesianas. Grfico 1: Cada punto del grfico representa un par ordenado (x, y), cuya primera componente corresponde al ao en que se realizaron las exportaciones, y la segunda a los miles de dlares exportados en ese ao. Grfico 2: Luego se busca y se grafica la lnea recta que se ajusta mejor (en cierto sentido) a la nube de puntos que aparecen en el grfico. La lnea recta se denomina lnea de regresin, y est dada por : Y = 94.4x -186474.99924 Coeficiente de Correlacin : 0.976168 2. Se grafica la relacin terica dada por la funcin Para un determinado valor de x, se obtiene el valor de y. Bastar graficar solo dos puntos, unirlos por medio de una curva continua, y obtenemos la recta que representa a la funcin lineal sobre la que se trabaja. En el ejemplo 2, que corresponde al peso y longitud de las ballenas, y tomamos el punto P (100 ; 113) y el punto Q (150 ; 270,5), los unimos y obtenemos la grfica de la relacin.

3. Otra forma de obtener la misma grfica, es a travs de la pendiente y la ordenada al origen . Para la funcin lineal Y= La ordenada al origen (b) es 6, y grficamente est representado por el punto en que la recta corta al eje de las ordenadas, punto de coordenadas ( 0,6). La pendiente de la recta (a) est dada por el valor 2.

En cuanto a la representacin grfica, la inclinacin que adopte la recta depender del valor de la pendiente, y de la escala a la que le representen las magnitudes utilizadas.

Funciones Lineales: OFERTA Cuntas unidades de un determinado bien estar dispuesto a ofrecer un productor para distintos precios?. Haremos un anlisis similar al realizado para la Demanda, pero mirando el problema desde otra arista, ahora contemplaremos el comportamiento del productor. De igual manera que en el caso de la demanda, la oferta individual que realiza un productor depender de numerosos factores, entre los que podemos nombrar la tecnologa utilizada, los precios de los factores de la produccin (Tierra, Capital, Trabajo, etc.), y el precio del bien que se desea ofrecer.

Para analizar la oferta individual de un bien, aplicaremos la condicin de "ceteris paribus", y consideraremos temporariamente constantes todos los factores, a excepcin del precio del bien que se analiza. Definimos a la oferta como "la relacin entre la cantidad que el productor est dispuesto a ofrecer a la venta de un bien, y el precio al que dicha cantidad se ofrece en el mercado, en un determinado momento" . Funcin Oferta:

Si confeccionamos una tabla donde se relacionen los diferentes precios con las cantidades que un productor est dispuesto a ofrecer en cada unidad de tiempo, obtenemos una relacin a la que llamaremos "Oferta individual" de un determinado bien. La suma de las ofertas individuales para cada productor, se conoce como "Oferta global o de Mercado". Qu sucede si los precios son muy bajos? Los productores no ofrecern nada, debido a que no se cubren los costos de produccin. Pero si los precios aumentan, la situacin cambia y empezarn a ofrecer sus productos en el mercado, en forma creciente, porque a mayor precio del producto, mayor ser la oferta del mismo. Funcin Creciente Tabla de Oferta. Cantidades ofrecidas del bien A a distintos precios pA 2 3 4 5 6 qA 0 2 4 6 8

Representamos grficamente los valores de la tabla y obtenemos una curva, donde a cada precio le corresponde una cantidad ofrecida determinada. La unin de todos los puntos conforma la "Curva de la Oferta". A cada precio pA le corresponde una cantidad ofrecida qA, si unimos los distintos puntos (pA , qA) , obtenemos la curva de oferta del bien A.

La grfica corresponde a una funcin lineal O = f (p) , y es la representacin de la relacin que existe entre la cantidad ofrecida de un bien (O) en un determinado momento y el precio de dicho bien (p), manteniendo constante todos los dems factores que puedan afectar a la cantidad ofrecida, por ejemplo: tecnologa. Se caracteriza por tener pendiente positiva, ya que al aumentar el precio aumentar tambin la cantidad ofrecida. Veamos un ejemplo de funcin de Oferta lineal, en donde se relaciona las cantidades mensuales ofrecidas de un bien (q), y su precio de venta (p): O = q = f(p) = 3 p - 1

Cul es el Dominio y el conjunto de las imgenes de esta funcin? Do = [ 1/3,+ infinito) Io = [0, infinito)Nos enfrentamos aqu con un problema: al fijar el dominio y el conjunto imagen hemos supuesto que la cantidad ofrecida depende del precio, y no el precio de la cantidad ofrecida, y para graficar ubicamos la variable independiente precio, sobre el eje vertical, mientras que la variable dependiente cantidad en el eje horizontal. En realidad graficamos la funcin inversa de la oferta Para reflexionar: 1. 2. 3. 4. Cul es la cantidad ofrecida del bien a un precio p = 4 ? Habr oferentes para un precio de $0,25 por unidad? Justifique. Cul es el menor precio que el mercado acepta? Por qu la pendiente de la funcin es positiva?. Indique si la funcin es creciente o decreciente.

1. p = 4

2.

Una oferta de ( - 0,25 ) unidades carece de sentido econmico, las cantidades pertenecen al conjunto de los nmeros enteros positivos. 3.

Para precios inferiores a $1/3, los comerciantes no ponen sus productos a la venta. (Oferta cero).

4. La pendiente de la funcin es positiva, ( a = 3 ). Al aumentar el precio de venta, los comerciantes estn dispuestos a ofrecer mayores cantidades de sus productos. Funcion Creciente. Si conocemos que la oferta de un determinado modelo de calculadoras manuales es lineal, y que cuando su precio es de $6 no hay unidades ofrecidas, pero cuando el precio es $8, se ofrecen 56 unidades. Se desea formular la funcin Oferta de calculadoras. Una forma de obtener la funcin es a partir de la ecuacin de la recta que pasa por dos puntos:

q = 28 p - 168DESPLAZAMIENTO DE LA OFERTA Al igual que en la demanda, cuando se produce un cambio en el precio, se produce un movimiento a lo largo de la curva de oferta.

Pero cuando se cambian las otras variables o factores que consideramos constantes, cambia el parmetro y la oferta se desplaza a la derecha o a la izquierda. Las otras variables que influyen en la oferta son: 1. Tecnologa

Un cambio tecnolgico produce un desplazamiento de la oferta a la derecha, a los mismos precios se puede ofrecer ms cantidad.

2. El costo de produccin Si disminuye el costo de produccin (p. ej. si baja el inters bancario que los productores pagan por los crditos banzarios o baja el salario de los trabajadores) a los mismos precios se ofrecer ms cantidad y la oferta se desplaza a la derecha. Si por el contrario, aumentan los costos, se ofrece menos cantidad y la oferta se desplaza a la izquierda.

3. El precio de otros bienesCuando aumenta el precio de la yerba, disminuye la oferta de t, debido a que son productos de oferta rival porque compiten por el mismo factore de produccin: la tierra. As tambin, si aumenta el precio de la carne, aumenta la oferta de cueros ya que los dos productos son de oferta conjunta; derivan del mismo proceso productivo.

Funciones Lineales: DEMANDA El consumo de un determinado bien por un individuo tiene infinitas explicaciones, tales como gustos o preferencias, ingreso del consumidor, precio de otros bienes, pero por sobre todas las cosas el precio del bien. Para analizar la demanda de un bien por un determinado individuo, aplicaremos la condicin de "ceteris paribus" y consideraremos temporariamente constante todos los factores, a excepcin del precio del bien que se est analizando, as obtenemos la Demanda Individual de un determinado bien. La suma de las demandas individuales de dicho bien, dar la demanda global o de mercados Mercado: Es toda institucin social donde compradores y vendedores intercambian libremente bienes y servicios. DEMANDA: Es la relacion entre el precio de un bien y las cantidades se est dispuesto a adquirir en el mercado en un determinado momento, manteniendo constante los dems factores que puedan afectarla. Ley de la demanda:

El precio de un bien y la cantidad demandada del mismo, poseen una relacin inversa debido a que mientras mayor sea el precio, menor ser la cantidad demandada, y por el contrario, cuando el precio disminuye aumenta la cantidad demanda. Esta relacin inversa se conoce como "Ley de la Demanda", y se cumple para casi todos los bienes. Si un supermercado aumenta el precio de una gaseosa, la cantidad vendida en el corto plazo disminuir. Excepciones a esta ley la constituyen por ejemplo la demanda de servicios necesarios como el agua, o de medicamentos oncolgicos, entre otros. Curva de demanda: Analicemos la demanda del detergente de marca A, a diferentes precios y por un determinado consumidor, bajo las condicin "ceteris paribus".

A partir de la recoleccin de datos reales de la demanda individual de un comprador, se confecciona la tabla de Demanda Observamos que la relacin emprica entre el precio del bien y la cantidad demandada es inversa, a medida que aumenta el precio del bien disminuye la cantidad de artculos que los compradores estn dispuestos a adquirir. Cuadro .Tabla de demanda Precio (p) Cantidad demandada (q) 10 8 6 4 2

$2 $4 $6 $8 $10

Con los datos obtenidos se confecciona el grfico de la curva decreciente de la demanda. Curva de demanda de detergente A

Cada punto del plano de coordenadas (p,q), muestra un precio p y una cantidad q que ser demandada; al unirlos se obtiene la curva de la demanda del detergente A en un determinado perodo de tiempo para cada uno de los posibles precios. Funcin Demanda y su representacin grfica:

A partir de ahora trabajaremos con la relacin matemtica que vincula la forma en que vara la cantidad requerida de un bien, segn el precio que tenga en el mercado, aplicando la condicin "ceteris paribus"; lo que nos origina la funcin reducida de demanda y que designaremos "Funcin Demanda", y la simbolizaremos como

Las funciones Demanda se suponen continuas definidas en el conjunto de los nmeros reales, es decir que consideramos precios y cantidades como variables continuas. Aunque en la realidad puedan experimentar saltos, ya que los precios pertenecen al + conjunto de los Nmeros Racionales Positivos Q , y las cantidades al conjunto de los Nmeros Enteros Positivos .

Para evitar las discontinuidades, que no son objeto de este curso se considerar que el + precio pertenece al conjunto de los nmeros Reales positivos (R ). En general, la demanda es una funcin decreciente que se representa grficamente en el primer cuadrante. Veamos un ejemplo de funcin lineal de demanda, en donde se relaciona las cantidades mensuales demandadas de un determinado modelo de sillones (q), y su precio de venta (p):

q = f(p) = 360 - 20 pCul es el Dominio y el Conjunto de las imgenes de la funcin? Nos enfrentamos aqu con un problema: al fijar el dominio y el conjunto imagen hemos supuesto que la cantidad demandada depende del precio, y no el precio de la cantidad demandada. Desde el punto de vista matemtico es indiferente considerarlo de una u otra forma, y desde la ptica econmica el anlisis se simplifica al suponer que el precio est determinado por el mercado, o sea el conjunto de todos los oferentes y demandantes, por lo tanto, para cada uno individualmente el precio es un dato. Observe en la grfica que la variable independiente precio se mide sobre el eje vertical, mientras que la variable dependiente cantidad se mide en el eje horizontal. Esta forma responde a una convencin entre los economistas para poder comparar grficos, siempre los valores monetarios se representan en el eje "y", y como tal lo mantendremos en este curso, pero desde el punto de vista matemtico, en realidad no graficamos a la funcin oferta o demanda, sino, sus funcines inversas. Mercados de competencia perfecta: Tipo de mercado donde el precio se fija por la interaccin de muchos compradores y vendedores y ninguno de ellos puede influir sobre el precio, lo nico que se pueden modificar son las cantidades demandadas u ofrecidas.

Para obtener el Dominio de la funcin buscamos los lmites del precio p :

Cul es el precio para el cual el mercado ya no comprar ms productos: f(p) = 360 - 20 p f-1(p) = - 1/20 p + 18 360 - 20p > 0 => 360 > 20p => 360/20 > p => p < 18 Es decir que : ; Si el precio es 18, nadie est dispuesto a comprar sillones. Para obtener el Conjunto de las Imgenes de la funcin, buscamos los lmites de las cantidades demandadas, para un precio cero:

f(0) = 360 - 20p => f(0) = 360 - 20 . 0 f(0) = 360 Es decir que: ; Si el precio es cero, el producto se regala y la demanda es de 360 sillones. Recordemos que generalmente las variables econmicas son no negativas.

Para reflexionar: Cul es la demanda de sillas para un precio p = 10 ? Habr consumidores dispuestos a pagar $25 por silln? Cul es el mayor precio que la demanda acepta? Cul es la raz de la funcin? Qu significa la ordenada al origen de la funcin en trminos de precio? Porqu la pendiente de la funcin es negativa?

1. 2. 3. 4. 5. 6.

1. p = 10 f(p) = 360 - 20 p f(10) = 360 - 20 . 10 = 160 Si el precio es diez, la demanda es de 160 sillones: q(10) = 160 2. p = 25 f(25) = 360 - 20 . 25 = - 140 Si el precio es veinticinco pesos, no hay demanda de sillones, porque no existe ningn comprador dispuesto a pagar ese precio. 3. El mayor precio que el mercado acepta es $18, para el cual la demanda es de cero unidades, es decir que cuando el precio sea inferior a dicho monto, el mercado comenzar a demandar sillones. Punto de coordenadas ( 0,18). 4. La pendiente de la funcin demanda es negativa, porque al aumentar los precios del bien, disminuyen las cantidades demandadas. Es una funcin decreciente. Supongamos ahora el mercado de carne de pollo de un supermercado: cuando el precio del kg. es de $4 no hay demanda, y cuando el precio es 0, la demanda es de 200.

1. Identifique las coordenadas de los puntos a los que hace referencia el 2. 3. 4. 5.enunciado. Determine la funcin demanda. Qu precio dar por resultado una demanda de 45 unidades?. Interprete la pendiente de la funcin. Grafique.

DESPLAZAMIENTO DE LA DEMANDA Consideremos la ecuacin de la demanda como Q = a - bp Analizaremos ahora qu sucede cuando, permaneciendo constante el precio del bien en cuestin, se altera alguno de los factores que bajo la condicin de ceteris paribus hemos considerado constante.

Esos factores estn cuantificados en el parmetro a. Un cambio de cualquier factor que influya en la demanda diferente del precio del bien, desplazar toda la curva de demanda a la derecha o a la izquierda, segn sea el sentido del cambio del factor. Este tipo de desplazamiento se denomina cambios de la demanda, mientras que el resultado de variaciones del precio lo denominamos cambios en la cantidad demandada. Esta distincin es muy importante y se debe entender qu factores producen uno u otro tipo de cambios. Entonces, una variacin del precio produce un movimiento dentro de la curva o sea una variacin de la cantidad demandada. Los otros factores o variables que producen desplazamientos de la demanda porque modifican el parmetro son: El ingreso de los consumidores Cuando aumenta el ingreso las personas pueden consumir ms cantidad, cualquiera fuese el precio, por lo tanto aumenta la demanda y se desplaza a la derecha. Por el contrario, cuando disminuye el ingreso, los consumidores compran menos cantidad, disminuye la demanda y se desplaza a la izquierda.

Las variaciones del ingreso producen cambios en la misma direccin. Si bien sta es la regla, hay excepciones: como el caso de los bienes llamados inferiores, como la mandioca y la grasa, cuya demanda disminuye cuando aumenta el ingreso. Los precios de los bienes relacionados El efecto depende del tipo de bienes: pueden complementarios y bienes sustitutos. Consideremos primero el efecto sobre la demanda del bien x cuando se produce un cambio en el precio del bien complementario. P. ej., si se produce un aumento en el precio de la nafta, ello repercute en la demanda de autos nafteros, se demandan menos autos y la demanda se desplaza a la izquierda.

Si se tratan de bienes sustitutos, por ejemplo la naranja y la mandarina, cuando aumenta el precio de la naranja, aumenta la demanda de mandarinas y la demanda se desplaza a la derecha. El gusto de los consumidores El razonamiento es sencillo. Si el producto se pone de moda o si por medio de la publicidad se convence al consumidor que es mejor, ms rico, ms lindo, bueno para la salud, etc., se demandar ms cantidad independientemente del precio y la demanda se desplazar a la derecha. Por el contrario, si pasa de moda pocas personas lo comprarn an cuando se ponga en oferta a un precio ms bajo y la demanda disminuye o sea que la curva se desplaza a la izquierda. Otros factores pueden influir en la demanda y producir desplazamientos. Para caso en particular es necesario analizar cules son los ms importantes. Funciones Lineales: El equilibrio en el mercado Un mercado determinado est formado por los compradores y vendedores de un bien o de un servicio. Al ponerse en contacto, cada uno tiene sus expectativas de consumo y produccin, que estn representadas por sus respectivas curvas de demanda y oferta. En el punto de corte de ambas curvas, los compradores y vendedores coinciden en las decisiones, y ser solo un precio el que permitir que los compradores estn comprando la cantidad que desean comprar, y los vendedores estn vendiendo la cantidad que desean vender. A este precio lo denominamos precio de equilibrio, y a la cantidad demandada y ofrecida la llamamos cantidad de equilibrio. Cmo se determina el precio de equilibrio de un mercado?

Una vez que disponemos de las curvas de oferta y demanda de un determinado bien, podemos encontrar el punto de equilibrio, que estar dado por un par ordenado cuya primera componente es el precio, y la segunda es la cantidad, en la que se coinciden

las decisiones de los compradores y vendedores. En la grfica, es el punto de interseccin entre las curvas de oferta y de demanda. En la siguiente tabla observamos los precios y las cantidades ofrecidas y demandadas en un determinado momento y bajo la condicin de "ceteris paribus". Precio PA 10 15 20 30 35 Cantidad demandada (DA) 50 40 30 10 0 Cantidad ofrecida (OA) 0 15 30 60 75 Excedente Excedente Excedente o Escasez Escasez Escasez

Una vez que graficamos las curvas de oferta y demanda, podemos encontrar el precio y la cantidad de equilibrio para el bien A, en el punto de interseccin de ambas curvas (20,30). Dicho punto es el par ordenado, cuya primera componente representa el precio ($20) y la segunda componente la cantidad en la que coinciden las decisiones de los compradores y los vendedores (30 unidades de A).

Figura

Si el precio fuera superior a $20, por ejemplo $30, la demanda se desalienta. Muchos compradores no dispondran de los ingresos suficientes para adquirir el producto.y la cantidad demandada disminuye a 10 unidades. Con respecto a la oferta, el nuevo precio alienta a los productores a ofrecer ms, las cantidades ofrecidas aumentan a 60 unidades. La diferencia entre cantidades ofrecidas y demandadas provoca un excedente (exceso) de produccin de 50 unidades que quedan sin vender, y los oferentes comenzarn a bajar los precios Si por el contrario el precio bajara a $15, los compradores se sentiran insatisfechos, porque demandaran 40 unidades, y los vendedores ofreceran solo 15, existira un exceso de demanda de 25 unidades (escasez). La presin de la demanda hara aumentar el precio. Que no se corten las curvas de oferta y demanda, significa que oferentes y demandantes no se ponen de acuerdo. Por ejemplo: Una joyera en una villa miseria.

Debemos destacar entonces que son la escasez y el excedente los que presionan sobre el precio y lo hacen desplazar hacia el punto de equilibrio, igualando las cantidades demandadas y ofrecidas. En el caso que conociramos las leyes que rigen la oferta y demanda de un bien y necesitramos encontrar el punto de equilibrio, bastara aplicar los conocimientos de resolucin de un sistema de dos ecuaciones con dos incgnitas. Para las Leyes de Oferta y Demanda de un determinado bien dadas a continuacin, encuentre el punto de equilibrio:

Resolvemos el sistema de ecuaciones:

El precio de equilibrio es p = 21, y las cantidades demandada y ofrecidas corresponden a 22 unidades del bien.

CAMBIOS DEL PRECIO DE EQUILIBRIO El precio de equilibrio se mantiene mientras no se produzcan cambios en las variables o factores que influyen en la Demanda y la Oferta. Si se produce una variacin de ingresos o cambian los gustos de los consumidores, la demanda se desplaza y cambia el precio de equilibrio. Aumenta la Demanda Disminuye la Demanda

Pueden ocurrir desplazamientos de la Oferta si se modifican las variables que influyen en ella (por ej. tecnologa), entonces tambin se modifica el precio de equilibrio. Aumenta la Oferta Disminuye la Oferta

Tambin se pueden desplazar ambas curvas; puede aumentar la Oferta y disminuir la Demanda o viceversa, o pueden aumentar o disminuir ambas curvas. En cada caso el precio de equilibrio ser distinto.

FUNCIONES LINEALES DE COSTOS El costo es la expresin cuantitativa monetaria representativa del consumo necesario de factores de la produccin que se emplean para producir un bien o prestar un servicio. Con las funciones de costos trataremos de plantear un modelo matemtico simplificado de la realidad econmica. Iniciaremos diciendo que los costos de produccin de un bien o de prestacin de un servicio tienen distintos componentes que, en un principio, le atribuiremos un comportamiento lineal, pues es el modelo ms sencillo. Las funciones lineales cumplen un importante papel en el anlisis cuantitativo de los problemas econmicos. En muchos casos los problemas son lineales pero, en otros, se buscan hiptesis que permitan transformarlos en problemas lineales ya que su solucin es ms sencilla. Costo lineal Cuando una empresa produce cualquier bien o presta un servicio, deber utilizar una serie de insumos que valorizados monetariamente le genera costos, que analizados en funcin a la relacin con la produccin total, los denominaremos costos fijos y costos variables. Los primeros, como lo indica su nombre, son independientes de las cantidades de un artculo que se produzca o un servicio que se preste (p.ej.: alquiler del local, depreciacin de los bienes durables, determinados impuestos, etc.). En cambio, los costos variables dependen de la cantidad que se produzca de ese artculo o que se preste del servicio, (p. ej.: costos de materiales, de mano de obra productiva, etc.) El costo total es la suma de ambos Costo total = Costos fijos + Costos variables Si a los costos fijos de producir x artculos lo indicamos como b pesos, estamos en presencia de una funcin constante de la forma f(x) = b Haciendo b = 6, confeccionamos la grfica correspondiente de CF (x) = 6

Podemos observar que si se confeccionan 1, 5 u 8 artculos se mantiene el mismo valor de costo fijo, por eso decimos que CF (x) = 6 es una funcin constante. Para simplificar nuestro anlisis supongamos la condicin de que el costo variable por unidad de artculo se mantiene constante, en ese caso los costos variables totales sern proporcionales a la cantidad de artculos producidos. Si a pesos indican el costo variable por unidad, los costos variables para producir x unidades del artculo sern ax pesos. Estamos en presencia de una funcin lineal de la forma g(x) = ax Hacemos a = 0,8, o sea g(x) = 0,8 x , por lo que expresamos la funcin de costo variable: CV(x) = 0,8 x

Como el costo total para producir x artculos es la suma de los costos anteriores, tenemos CT(x) = CV(x) + CF(x) CT(x) = ax + b (funcin afn) CT(x) = 0,8 x + 6

Ejemplo 1 El costo variable de fabricar juntas para machimbre es de $ 2 por unidad y los costos fijos por da son de $30. Escriba la frmula de costo total y construya su grfica Cunto cuesta fabricar 25 juntas de machimbre por da? Solucin El costo total de fabricar x juntas de machimbre en un da es C(x) = 2x + 30

El costo total de fabricar 25 juntas de machimbre por da es de $ 80. C(25) = 2. 25 +30 C(25) = 80

Ejemplo 2: El costo de fabricar 10 bolsas de cartn al da es de $2,20, mientras que fabricar 20 bolsas del mismo tipo cuesta $ 3,80. Suponiendo que se trate de un modelo de costo lineal, determine la frmula correspondiente a producir x bolsitas de papel en el da y construya su grfica. Solucin: En este caso tenemos dos puntos P(10; 2,2) y Q (20; 3,80), pudiendo construir la ecuacin que determine la relacin. Por la ecuacin de la recta que pasa por dos puntos, tenemos

y = 0,16x+0,6

En el grfico observamos que como x puede tomar nicamente valores enteros no negativos, no podemos representar a la funcin como una linea recta continua. Generalmente, cuando se trabaja con funciones econmicas, se considera el dominio real, por lo que se la representa como una lnea continua. FUNCIONES LINEALES DE INGRESO Para el anlisis de funciones lineales relacionadas con el ingreso, valen las mismas consideraciones hechas referentes a las funciones lineales de costos. El ingreso de una empresa, en un determinado perodo de tiempo, est dado por las ventas de bienes o servicios en ese perodo. Por ello lo podemos expresar como el producto de la cantidad vendida por el precio unitario del bien o servicio.

I = p. q Si la empresa comercializa n productos distintos, la funcin se define como I = p1q1 + p2q2+ . . . + pnqn que se podemos expresar

Es decir que el ingreso se determina como la suma de los productos de los precios por las cantidades vendidas de cada uno de los bienes. Si volvemos al concepto de funcin lineal del tipo f(x) = ax + b vemos que en la funcin de ingreso el trmino b es igual a 0 por cuanto si no hay ventas de bienes el ingreso se anula. Por lo tanto esta funcin es del tipo f(x) = ax , como a medida que aumentan las unidades vendidas, aumenta el ingreso, es una funcin creciente y del primer cuadrante en la representacin cartesiana, pues las cantidades vendidas no pueden ser negativas siendo su menor valor x = 0 (cero unidades vendidas). En este caso los ingresos sern tambin igual a 0 (cero). La grfica de esta funcin tendra su nacimiento en el origen de un sistema de coordenadas cartesiana, es decir en el punto (0,0). Ejemplo 1: El precio de venta de una campera es de $ 30. La funcin de ingreso es: I(x) = 30x (x son las unidades vendidas) y su representacin grfica:

Ejemplo 2: El sueldo de un vendedor (ingresos del vendedor) est dado por la funcin I(x) = 1,5x + 300, el nmero 300 representa el sueldo fijo, es decir el valor independiente de las ventas (valores de x) del vendedor. El nmero de unidades vendidas por el empleado es el valor de x que matemticamente puede tomar cualquier valor dentro del conjunto de los nmeros reales, pero en este caso, obviamente no se pueden vender cantidades negativas, por lo que cobra importancia la definicin del dominio de la funcin que segn lo descripto debe ser un nmero mayor o igual a 0 (cero). Aunque no se puedan vender cantidades fraccionarias para el anlisis econmico se toman los valores no + negativos (x R0 )

DI ={x / x R x 0 }.Otra posible restriccin al dominio estara dada por la cantidad mxima de ventas determinada por la capacidad del vendedor, la del mercado para absorber la demanda mensual y el stock del producto. As podramos decir, por ejemplo, que las ventas mximas en promedio en los ltimos dos aos, no superan las 100 unidades. Este dato nos limita an ms el dominio de la funcin pues x (cantidad vendida) adems de tener que ser un nmero mayor o igual que cero debe ser menor o igual a 100. Definimos nuevamente el dominio de la funcin como:

DI = {x / x R 0 x 100}Cabra preguntarse Cul es el sueldo mensual mnimo y mximo que podra cobrar el vendedor? Sueldo mensual mnimo: cuando las ventas son nulas, es decir x = 0 I(x)= 1,5.0 + 300 = 300 Sueldo mensual mximo: cuando las ventas son x = 100 I(x) = 1,5. 100 + 300 = 450

Intuitivamente diremos que cuanto ms vende el empleado, mayor ser su ingreso por lo que estamos en presencia de una funcin creciente, definida en el primer cuadrante con dominio DI = {x / x R 0 x 100 } y conjunto imagen II = {y / y R 300 < y < 450} COMPORTAMIENTO ECONMICO DE LOS COSTOS Cabe aclarar que cuando se efecta el anlisis econmico de los costos resulta necesario dividir entre el corto y largo plazo. El costo total, en el corto plazo, vara al modificarse la relacin entre los factores fijos constantes y los variables, la empresa est en condiciones de ajustar su volumen de produccin modificando los factores variables (p. ej.: el nmero de horas diarias/obrero, etc.) pero no puede aumentar su capacidad de planta. En cambio, a largo plazo, como es factible modificar todos los factores resultan todos los costos variables (algunos en funcin a la produccin y otros al tiempo). Este tipo de anlisis, por su profundidad, escapa de los objetivos del curso. En forma general puede decirse que las determinantes que afectan a los costos son la tcnica de produccin , la eficiencia de los componentes fijos y variables que se utilicen y los precios pagados por los factores productivos. Cuando se modifican los componentes se produce un cambio en la curva de costo, p.ej. si aumenta el precio de los insumos se eleva la curva de costos. Pero, refirindonos nicamente a los costos a corto plazo, creemos necesario que el destinatario de este material conozca ms profundamente su comportamiento. No escapar a su percepcin que para todo el estudio previo, aplicando el principio de ceteris paribus, se supone que slo vara la cantidad o volumen de produccin, que los insumos se mantienen a precio constante, que la tcnica de produccin es siempre la misma, etc.

El grfico siguiente corresponde al caso estudiado hasta ahora, cada unidad adicional de insumo agrega al costo el mismo importe que la unidad anterior. La pendiente del costo total es el ndice del costo variable por unidad de produccin.

En cambio, en el grfico siguiente est representada una produccin a rendimientos decrecientes (costos crecientes). Cada unidad de producto requiere ms unidades de factores variables.

Por ltimo, en el grfico que sigue est representada una produccin a rendimientos crecientes (costos decrecientes). Cada unidad adicional del producto manufacturado necesita menos unidades de insumos variables que la anterior

En las empresas reales son ms comunes las funciones de costos que combinan los dos ltimos casos. El costo fijo se mantiene constante para cualquier volumen de produccin ya que la empresa en el corto tiempo no modifica su capacidad de planta. La curva del costo variable tiende a crecer a medida que aumenta la produccin porque se hacen necesarios mayor cantidad de insumos variables hasta un determinado volumen de produccin, a partir del cual a medida que se agregan insumos variables influyen cada vez ms en el producto. Su grfica puede ser la siguiente:

Para completar nuestro anlisis resulta interesante comparar los valores de costos fijos totales, variables totales y totales vistos hasta ahora con los costos unitario fijo promedio, unitario variable promedio y unitario total promedio de una empresa ideal. Cada uno de los costos promedio resulta de dividir el costo total por el nmero de unidades producidas. Tendremos la siguiente tabla Unidades Costos fijos producidas totales Costos variables totales 20000 40000 60000 80000 100000 120000 140000 160000 180000 200000 Costos totales Costo unitario fijo promedio 40000 20000 13333 10000 8000 6667 5714 5000 4444 4000 Costo unitario variable promedio 20000 20000 20000 20000 20000 20000 20000 20000 20000 20000 Costo unitario total promedio 60000 40000 33333 30000 28000 26667 25714 25000 24444 24000

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

40000 40000 40000 40000 40000 40000 40000 40000 40000 40000

60000 80000 100000 120000 140000 160000 180000 200000 220000 240000

En el siguiente grfico estn representadas las tres primeras columnas, correspondientes a los costos totales

En el grfico siguiente estn representadas las tres ltimas columnas correspondientes a los costos promedio

Cabe sealar en esta ltima grfica que la funcin del costo unitario variable es constante mientras que la de costo unitario variable promedio decrece, rpidamente para los valores bajos de produccin donde las unidades agregadas sobre los costos fijos producen mayor efecto y luego, ms lentamente a medida que aumenta la produccin. Ese efecto se traslada a la funcin de costo promedio total por unidad. El costo unitario fijo es una curva asinttica que cuando las unidades tienden a infinito, dicho costo tiende a cero Funciones Cuadrticas: Hasta ahora hemos trabajado con las funciones lineales de oferta y demanda de tipo lineales, donde la variable dependiente cantidad , cambia en proporcin directa con el cambio de la variable independiente precio.

Pero existen casos en que la relacin puede estar representada por una funcin no lineal, donde la respuesta de la variable dependiente no se encuentra en proporcin directa con los cambios de la variable independiente. Oferta En un sondeo de opiniones, se les pregunt a los proveedores de un determinado producto sobre las cantidades que estn dispuestos a ofrecer en relacin a distintos precios. Los datos obtenidos se volcaron en la tabla siguiente: Precio (p) 10 20 30 Cantidad ofrecida(q) 95 395 895

A partir de los datos recolectados se obtuvo la ecuacin de la oferta q = p2 - 5 Si consideramos los valores del dominio que tienen sentido econmico, definimos a la oferta como una funcin biyectiva con races funcin Demanda ser . Descartamos x2 , y el Dominio restringido de la

Los vendedores estarn dispuestos a colocar sus productos en el mercado a precios superiores a ( debajo de dicho valor, no habr productos en el mercado.

). Por

Para poder graficar buscamos su funcin inversa, representamos a la variable independiente precio en el eje vertical, y la variable dependiente cantidad en el eje horizontal como acuerdan los economistas.

Para reflexionar:

1. Cul es el Dominio de la funcin Oferta, y cul el Dominio restringido ?.Comprelos.

2. Cul es la cantidad ofrecida del bien a un precio p = 28 ? 3. Habr oferentes para un precio de $2 por unidad? Justifique. 4. A partir de que precio los vendedores estn dispuestos a colocar sus productos 5.

en el mercado? Es una funcin creciente o decreciente? Interprete este concepto desde el punto de vista econmico.

1. El dominio de la funcin Oferta es el conjunto formado por los nmeros reales positivos incluidos el cero.

Dominio restringido, se refiere a los posibles valores que puede tomar la variable independiente con un sentido econmico.

Para precios inferiores a econmico.

, las cantidades ofrecidas son negativas, y la expresin no tiene sentido

Si

Relacin de inclusin:

2. 3.

. Para un precio de $ 28, se ofrecern 779 unidades del bien. , y una cantidad negativa carece de sentido econmico.

4. A partir de un precio p

+

los productores estarn dispuestos a colocar sus productos en el mercado.

5. La oferta es una funcin creciente en los rangos restringidos, a medida que aumenta el precio aumentan las cantidades ofrecidas por los productores en el mercado. DESPLAZAMIENTO DE LA OFERTA Al igual que en la demanda, cuando se produce un cambio en el precio, se produce un movimiento a lo largo de la curva de oferta.

Pero cuando se cambian las otras variables o factores que consideramos constantes, cambia el parmetro y la oferta se desplaza a la derecha o a la izquierda. Las otras variables que influyen en la oferta son: Tecnologa Un cambio tecnolgico produce un desplazamiento de la oferta a la derecha, a los mismos precios se puede ofrecer ms cantidad.

El costo de produccin Si disminuye el costo de produccin (p. ej. si baja el inters bancario que los productores pagan por los crditos banzarios o baja el salario de los trabajadores) a los mismos precios se ofrecer ms cantidad y la oferta se desplaza a la derecha. Si por el contrario, aumentan los costos, se ofrece menos cantidad y la oferta se desplaza a la izquierda.

El precio de otros bienes Cuando aumenta el precio de la yerba, disminuye la ofeeeeerta de t, debido a que son productos de oferta rival porque compiten por el mismo factore de produccin: la tierra. As tambin, si aumenta el precio de la carne, aumenta la oferta de cueros ya que los dos productos son de oferta conjunta; derivan del mismo proceso productivo.

Funciones Cuadrticas:Demanda Hasta ahora hemos trabajado con las funciones lineales de oferta y demanda, donde la variable dependiente cantidad , experimenta cambios que son directamente proporcionales a los que sufre la variable independiente precio. Pero en la realidad, en la mayora de los casos la relacin puede estar representada por una funcin no lineal, donde la respuesta de la variable dependiente no se encuentra en proporcin directa con los cambios de la variable independiente. En algunos casos la funcin de demanda puede expresarse como una funcin polinmica de grado dos o funcin cuadrtica., cuya representacin grfica es una parbola. Simblicamente se expresa:

Una empresa encuestadora sonde a los posibles compradores de un modelo de paraguas sobre los precios que estaran dispuestos a pagar. As se obtuvo una funcin cuadrtica de Demanda. Los datos de campo se muestran en la siguiente tabla: Precio (p) 10 11 15 Cantidad demandada (q) 280 270 190

A partir de los datos recolectados se obtuvo la ecuacin de la demanda, que responde a la funcin 2 cuadrtica q = -2p +32p +160, y en lenguaje matemtico la identificaremos como:

Para graficar, respetamos las convenciones de los economistas, y ubicamos a la variable independiente precio en el eje vertical y a la variable dependiente cantidad en el eje horizontal. En realidad graficamos la funcin inversa de la Demanda. A partir de la Ecuacin Cannica de la funcin cuadrtica, buscamos la inversa:

Graficamos la funcin inversa.

Para reflexionar:

1. Identifique el Dominio y el Dominio restringido. 2. Cul ser la cantidad demandada a un precio de $15 por unidad? 3. Habr demandantes para un precio de $30 por unidad?. Justifique. 4. A partir de que precios los compradores estn dispuestos a adquirir los productos en el mercado? Respuestas 1. 2. f(15) = 190

3. f(30) = - 680. Carece de sentido econmico. p = 30 no pertenece al Dominio restringido de la Demanda del bien en cuestin. 4. A partir de precios inferiores a $ 20.Funciones Cuadrticas: El equilibrio en el mercado En el caso de funciones Oferta y Demanda no lineales, para buscar el equilibrio del mercado, se deber encontrar el precio de mercado que iguale a la cantidad ofrecida (q o) y la cantidad demandada (q d). Veamos un ejemplo Para q d = p - 5 y q o = - 2p + 32p +160 El equilibrio estar en el punto de interseccin entre las cantidades ofrecidas y demandadas q d= q o p - 5 = - 2p + 32p +160 0 =3 p - 32p -165 Buscamos las races: p1 = 14,4, y p2 carece de sentido econmico por ser negativa. Con: q d : la cantidad demanda. q o : la cantidad ofrecida. p: el precio del bien en un determinado momento. Punto de equilibrio. r (14,47; 204,25) Precio de equilibrio = 14,47 Grficamente, significa encontrar el punto en donde se cortan las curvas de Oferta y Demanda.2 2 2 2 2