Del Neohumanismo Al Organicismo- Ferreiros

7/22/2019 Del Neohumanismo Al Organicismo- Ferreiros

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DEL NEOHUMANISMOAL ORGANICISMO:

GAUSS, CANTORY LA MATEMTICA PURA.

Jos FerreirsUniversidad de Sevilla

1. Introduccin

Los nombres de Gauss y Cantor se cuentan entre los ms clebres de lamatemtica moderna y contempornea. Se trata de dos figuras seeras, queimprimieron su sello en el avance de la matemtica moderna de finalesdel XIX y principios del XX. El nombre de Gauss identifica un punto deinflexin en el que las viejas tradiciones de la aritmtica, el lgebra y el an-lisis se redefinen en un sentido ms abstracto, reformulndose en un con-texto de matemtica pura y dando lugar a desarrollos que prefiguran unaparte importante de la matemtica moderna. El nombre de Cantor aparecesiempre como sinnimo de la teora de conjuntos,1 que vino a constituir elnuevo lenguaje, la metodologa y el marco general en el que termin por

formularse esa matemtica moderna y abstracta.Pero, si esos nombres se identifican plenamente con la nueva matemtica,resultar extrao a muchos encontrarlos asociados al movimiento romntico.Con respecto a Cantor, esa reaccin slo puede deberse a la ignorancia, yaque las resonancias romnticas se encuentran en lugares muy significativos desu obra y su correspondencia. En cambio, la figura de Gauss parecer a casitodos, incluyendo conocedores expertos, demasiado serena, clsica y conser-vadora como para tolerar la compaa del adjetivo romntico.

1 En otro lugar he argumentado que esa presentacin simplifica demasiado: Ferreirs[1999].


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En lo que sigue mostrar que, a pesar de las apariencias, el trasfondoromntico contribuye mucho a iluminar la direccin de los trabajos mate-mticos de ambos autores. Pero la relacin es ms compleja, lo que quizhubiera complacido a un Schelling: la relacin entre estas dos figuras y su

trasfondo es orgnica o, como diramos hoy, interactiva. En realidad,mi propsito ms inmediato ser contribuir a una comprensin ms rica delperiodo romntico por la va de la reflexividad. Documentarse y analizar lahistoria del periodo romntico invita a una reflexin crtica sobre la propiavisin historiogrfica que nos leg.

El romanticismo suele concebirse como una era impregnada de nuevasconcepciones histricas, progresistas y evolucionistas de la humanidad, y,en el caso alemn, como un periodo empapado de idealismo. Curiosamen-te, buena parte de la historia de la ciencia en esa era parece estar demasia-do influenciada por la idea romntica del Zeitgeist[espritu del periodo].Muy a menudo la discusin sobre la ciencia y el romanticismo en Alemaniase reduce al problema de hasta qu punto la Natrphilosophie idealistainfluy sobre los cientficos alemanes y hasta qu punto dej huellas en lasnuevas orientaciones de la ciencia decimonnica. Este planteamiento da porsupuesto que el idealismo absoluto es un elemento nuclear del Zeitgeistromntico y define en buena medida la esencia del romanticismo alemn.

Aqu enfatizaremos la idea de que es un error que los historiadores ten-damos a identificar el romanticismo (en su dimensin filosfica) con el ide-alismo absoluto. La era romntica fue un periodo cultural complejo y mul-

tiforme, marcado por tensiones entre tendencias en conflicto, y bien puedesuceder que no haya una esencia simple del periodo. Sobre todo, el movi-miento romntico es anterior y posterior al idealismo absoluto, de maneraque lo desborda por delante, por detrs, e incluso por los flancos: an en elmomento lgido del idealismo hubo autores muy influyentes entre los cien-tficos, como Fries y Herbart, que se desligaron explcitamente del idealis-mo absoluto. Anteriormente, encontramos el Neohumanismo, una nuevatendencia cultural, intelectual y educativa; con posterioridad, aparecenvarias tendencias que cabe calificar de romanticismo tardo, entre ellasdiversas reacciones al materialismo. Son estos fenmenos culturales los que

veremos ligados al desarrollo de la matemtica pura.As pues, si estoy en lo cierto, pueden establecerse lazos importantesentre la nueva matemtica y el romanticismo,pero slo a condicin de quenos liberemos de la imagen romntica del Zeitgeist. Los historiadores de laciencia que han buscado el impacto del romanticismo idealista se han cen-trado tpicamente en las ciencias naturales, sobre todo en la biologa (casoparadigmtico sera la embriologa, pero tambin la teora celular) y enmenor medida en la fsica (el electromagnetismo, Oersted y Faraday, la fsi-ca de la energa). Para esa tradicin historiogrfica el caso de la matemti-ca habra sido una excepcin, en la medida en que su continuidad con la

tradicin clsica y moderna fue mucho mayor, y los matemticos se mos-traron en general refractarios a las ideas especulativas de la Natrphilosop -

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hie. En mi opinin, por el contrario, el impacto de las concepciones romn-ticas sobre las matemticas fue grande, y su caso mucho menos excepcionalde lo que se ha pensado.

2. Romanticismo pre-idealista: el Neohumanismo

A juzgar por mis exploraciones superficiales de algunos manuales, el fen-meno cultural del movimiento neohumanista es bastante desconocido entrelos historiadores de la filosofa. Sin embargo, es todo un clsico en la his-torial cultural de los pases alemanes, y bien conocido entre los historiado-res de la ciencia que se han ocupado de este perodo. El Neohumanismo fueun movimiento educativo, y ms que eso: cultural, que liga la Ilustracinalemana tarda y el romanticismo temprano. Se trat de una renovacin delos ideales educativos que, como indica el nombre, pretenda ser una vueltaa lo mejor del humanismo renacentista. Se intent alcanzar una formacinintegralo Bildungdel hombre: el objetivo de la educacin no deba ser unasimple meta utilitaria o profesional, sino la plenitud de las facultades fsi-cas, mentales y espirituales del hombre. Y para ello, el mejor medio erapensaban la frecuentacin de los arquetipos clsicos, un conocimientoprofundo del griego y del latn, de la literatura, el arte y la historia antiguas.

Igual que el humanismo renacentista, los neohumanistas estaban fuerte-

mente influidos por las ideas educativas de Platn. Las disciplinas antesmencionadas (las humanidades), junto con la matemtica,2 constituiran lapreparacin esencial del hombre que le ayudara a madurar y florecer hastaalcanzar la sabidura filosfica y aqu nos separamos de Platn, no en vanohablamos de la Alemania protestante las verdades de la fe cristiana.Neohumanistas importantes fueron los grandes fillogos Heine y Wolf, elfilsofo Kant, escritores como Herder, Goethe o Schiller, por supuesto loshermanos Humboldt, etc. El movimiento tuvo un enorme impacto en todala cultura alemana del XIX, y en los cientficos a travs de la reforma uni-versitaria. Tuvo, por supuesto, un gran impacto tambin sobre los idealis-

tas Fichte, Schelling y Hegel, pero no hay que tomar la parte por el todo: sibien idealismo implica Neohumanismo, la conversa no es vlida.3

Los ideales neohumanistas se mencionan siempre que se habla de lasgrandes reformas educativas del norte de Alemania: la refundacin de las

del neohumanismo al organicismo: gauss, cantor y la matemtica pura 167

2 El papel pedaggico de la matemtica (como escuela del intelecto) se vea mucho msclaro que el de las ciencias naturales, y esto se reflej enseguida tanto en la enseanza mediacomo en la universitaria. Cf.Jungnickel & McCormmach [1986].

3 De la pluma de Gauss han salido comentarios como el siguiente, en referencia a Hegel:No se le ponen a Usted los pelos de punta con sus definiciones? (carta a Schumacher, Werke

XII, 6263), y tambin Cantor se expres en trminos muy crticos y humorsticos (vanse susAbhandlungen, 391).


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Universidades a partir de la nueva universidad de Berlin (1810) y la crea-cin de lo que nosotros llamamos bachillerato (los Gymnasien).4 Mencio-naremos rpidamente tres rasgos asociados al movimiento neohumanistaque, para nuestros propsitos, conviene enfatizar: (1) el espritu contem-

plativo, purista y anti-utilitario, que tuvo su reflejo en el ideal de la cienciapura, la ciencia por la ciencia (esto, dicho sea de paso, muestra que elNeohumanismo tuvo mucho de reaccin contra ciertas tendencias ilustra-das); (2) asociado a ello, la reivindicacin de un estatus de igualdad entre laFacultad de Filosofa y las Facultades profesionales (asunto en el que Kanttuvo una intervencin notable), lo cual signific reivindicar la filosofa y lasciencias naturales y humanas como asuntos fundamentales de la Universi-dad, no meras siervas de la educacin profesional; y (3) la creacin de ins-tituciones como los seminarios (introducidos por los fillogos: Heine enGttingen y Wolf en Halle, hacia 1790, imitados luego por los cientficos)a travs de los cuales se promovi la unidad de enseanza e investigacin.Contra la tradicin, todo profesor deba ser investigador, y todo alumnodeba tener contacto con la investigacin en el seminario. No es difciladvertir que algunos temas de las grandes reformas alemanas siguen reso-nando en los debates recientes de la Universidad espaola.

3. Carl F. Gauss, el Neohumanismo y la matemtica pura5

Qu tiene que ver Gauss con el Neohumanismo? Aparentemente nada: fuedirector de un Observatorio astronmico, es decir, un profesional msque un cientfico puro en la jerga de la poca; se ocup de problemas decartografa y geodesia al servicio del rey de Hannover; invent instrumen-tos de precisin para la fsica, e incluso uno de los primeros telgrafos. Pare-ce pues un personaje de la Ilustracin, ms que un romntico. Sin embargo,todo indica que Gauss se vio a s mismo como un Arqumedes moderno, unArqumedes al estilo platnico, como lo pint Plutarco en las Vidas parale -las: sus actividades prcticas y sus mquinas, por importantes que fueran,

no tenan ms relevancia que las mquinas de guerra del siracusano com-paradas con sus joyas matemticas.No me resisto a citar el poema de Schiller Arqumedes y el aprendiz, un

poema al que hizo alusin el propio Gauss en su leccin inaugural de 1808.Como Gauss, Schiller fue un marcado representante del Neohumanismo yun hombre influido por la filosofa de Kant:

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4 Sobre este tema y otros relacionados, un estudio muy recomendable es McClelland[1980]. En conexin ms directa con las ciencias, Jungnickel & McCormmach [1986].

5 Otros trabajos que hablan de neohumanismo y matemtica, sin analizar el caso deGauss, son los de Pyenson [1983] y Jahnke [1990].


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Vino a Arqumedes un joven deseoso de saber;Inciame, le dijo, en ese arte divina,Que tan magnficos frutos dio a nuestra patria,Y protegi los muros ciudadanos frente a los sambuca.6

Divina dices que es el arte! Y lo es, replic el sabio,Mas ya lo era, hijo mo, antes de servir al estado.Si quieres frutos, puede drtelos tambin una mortal;El que aspira a la diosa, no busque en ella a la doncella.7

Este texto refleja a la perfeccin el espritu que anim a los cultivadores ale-manes de la matemtica pura, y es que el Neohumanismo guarda unaclave para entender la transformacin sufrida por la matemtica como dis-ciplina, reflejo en el mundo de las instituciones cientficas efecto pero tam-bin causa renovada de una atmsfera cultural como la que se fragu hacia1800.

Encontraremos al Gauss neohumanista en la leccin inaugural sobreastronoma que pronunci a su entrada como director del Observatorioastronmico de la Universidad de Gttingen en 1808 (leccin que siguirepitiendo en sus cursos al menos hasta 1815 y probablemente ms all).8

Aquella leccin ofrece un magnfico cuadro general de la astronoma talcomo la concibi el gran especialista que fue Gauss. Nos ofrece reflexionessobre el cuerpo de los conocimientos astronmicos, pero tambin sobre laimagen que de esa disciplina matemtica tiene Gauss. Recordemos que estehombre joven se haba hecho clebre en 1801 al calcular con precisin la

rbita de un asteroide, magnfica hazaa prctica y de clculo que simulta-ne con una hazaa puramente terica de calibre todava mayor: la publi-cacin de las Disquisitiones arithmeticae , primer gran tratado modernode teora de nmeros.

En su leccin inaugural, un Gauss de 3 1 aos traza los objetivos prin-cipales de su primer curso universitario sobre astronoma, define el campode esta ciencia y sus partes principales, y aborda la pregunta (tpicamenteilustrada) de qu provecho nos ofrece esta ciencia. Me encantara aqudarle la palabra a l mismo, porque el texto es inmejorable, pero debore sum ir. Gauss conoce muy bien las ventajas que la astronoma ha aport a-

do a la humanidad, y las expone magnficamente. Pero lo primero que nosdice es que preguntas como sa, si se formulan demasiado a menudo, noson un buen signo del espritu de los tiempos. Ese utilitarismo es mezqui-no y estrecho, fro e indiferente a lo que es grande y honra a la humani-dad: revela la disposicin a medir la recompensa de cada esfuerzo, porpequeo que sea, y a condicionar todo a nuestro bienestar fsico. Semejan-


6 Mquinas de guerra que los romanos emplearon en el asedio de Siracusa, la ciudad deArqumedes.

7 Citado en Ferreirs [1999], 6.8 Astronomische Antrittsvorlesung [Gauss 1808].


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te mezquindad no es en absoluto ajena dice Gauss a las catstrofes quehemos experimentado, sin duda en alusin a la Revolucin Francesa, lainvasin napolenica y la derrota alemana en Jena (18 0 6), donde por cier-to muri el duque de Brunswick, benvolo protector de Gauss en sus aos

j u ven i les .Ciencias como la teora de nmeros nunca habran surgido a la sombra

de esa disposicin utilitaria, y tambin el desarrollo de la astronoma hadependido de felices grandes espritus que fueron en pos de la verdad pors misma, encontrando su recompensa y su felicidad en el propio xito desus esfuerzos. En este punto, Gauss rememora la figura de Arqumedes, talcomo la describiera Plutarco, y hace referencia al poema de Schiller dn-dolo por bien conocido antes de decir: Consideremos tambin la sublimeastronoma, ante todo, desde este bello punto de vista.9 Las respuestas msdignas a la cuestin del provecho no son aspectos de utilidad material, sinola satisfaccin peculiar que nos ofrece la contemplacin de la verdad cient-fica, su grandeza intrnseca como blsamo frente a los aspectos desagrada-bles de la vida diaria, y tambin las huellas de la sabidura eterna que encon-tramos en el maravilloso orden del cosmos.

Un punto de vista hermoso, sin duda, que habr recordado al lector laquintaesencia del purismo acadmico que caracteriz a los profesores ale-manes en dcadas posteriores del siglo XIX y principios del XX, hasta ladcada de 1930. Aos del ascenso de Hitler al poder, lo que nos debe recor-dar, tambin, los peligros de ese aristocrtico amor a la contemplacin y su

concomitante desdn por las cosas de la vida diaria, de la poltica, de losproblemas sociales.Ese discurso marcadamente neohumanista fue pronunciado por Gauss,

en 1808, en la pequea ciudad y la gran Universidad de Gttingen. Lacaracterstica (1) mencionada en la seccin anterior queda claramente ilus-trada, y tambin se presenta en muchos otros lugares de la obra y la corres-pondencia de Gauss, por ejemplo sus conocidos comentarios sobre la teorade nmeros. En cuanto al aspecto (2), toda la carrera de Gauss, pero enespecial sus esfuerzos por promover a otros como Dirichlet, W. Weber,Eisenstein, dan claro ejemplo de su fidelidad a las nuevas ideas. Slo el

aspecto (3) es en parte extrao a la vida de Gauss: aunque fue un grandsi-mo investigador, y aunque las generaciones posteriores lo tomaron comomodelo del nuevo cientfico alemn, vino al mundo demasiado pronto paravivir como protagonista el periodo en que se abord la enseanza de temasde investigacin. Esto llegara con admiradores y discpulos suyos como

Jacobi o Dirichlet, pero Gauss nunca explic en Gttingen sus resultadosoriginales en matemtica pura.

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9 Gauss [1808], 191192. Gauss no olvida citar (en latn) un pentmetro de Ovidio, y

luego una bonita frase de Jean Paul, su escritor preferido, antes de pasar por fin a la utilidadprctica de la astronoma.


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En el caso de Gauss, la nueva orientacin dio lugar a toda una serie deresultados y propuestas importantes en anlisis, fsica matemtica, geome-tra, teora de nmeros, etc. Comenz a apuntar un nuevo estilo abstractode hacer matemticas, que los contemporneos designaron como enfoque

conceptual, y que se consolidara con autores como Dirichlet y sobre todoRiemann, profundamente marcados por Gauss. Ms an, en el contexto delnuevo purismo y del enfoque conceptual, pero marcado tambin porinfluencias filosficas, Gauss avanz hacia una concepcin aritmetizante dela matemtica. Naca as tambin otro aspecto clave de la matemtica ale-mana del XIX: la aritmetizacin; como dijo Hilbert al final del siglo, lamatemtica de aquel tiempo se desarroll bajo el signo del nmero.

Gauss acu su nueva visin de los fundamentos y la organizacin delsaber matemtico por medio de una frase griega: ho theos arithmetidsei,el dios aritmetiza. La historia de esta frase es, de nuevo, tpicamente neohu-manista, como lo indica el mismo hecho de que se escriba en griego: se ins-pira en un dicho que Plutarco (otra vez Plutarco) atribuy nada menos quea Platn, el dios geometriza eternamente. Gauss corrige al divino Platn,y al hacerlo expresa un cambio importante en la concepcin del saber mate-mtico: la milenaria dominancia de la geometra da paso al triunfo delnmero. Esto tiene tambin una relectura filosfica, porque segn Gaussel conocimiento del nmero es puro, a priori, necesario y absoluto, mien-tras que la geometra fsica no queda determinada a priori, sino que contie-ne inevitablemente un elemento emprico.10

El auge de la matemtica pura en Alemania no fue una casualidad, sinoun aspecto ms de las nuevas tendencias culturales y educativas que se ori-ginaron con el Neohumanismo de fines del XVIII. El ambiente neohumanis-ta marc la situacin en las principales universidades del norte de Alema-nia: el Gttingen de Gauss y Riemann, el Knigsberg de Jacobi, el Berln deDirichlet, Kummer y Weierstrass. Marc tambin las actividades de Ale-xander von Humboldt como promotor de las matemticas en Prusia, y lasde Leopold Crelle como fundador de una revista fundamental, el Journalfr die reine und angewandte Mathematik. (Tngase en cuenta que Gttin-gen estaba en el reino de Hannover, bajo la influencia de Gran Bretaa, y

que la dominancia del espritu neohumanista fue mucho mayor en Prusia.)La idea principal que estoy exponiendo es, por tanto, un argumento esti-lo Forman.11 Los matemticos se convirtieron en los profesionales que hoyconocemos a principios del XIX, en el contexto de las universidades alema-nas, y ms concretamente en el ambiente neohumanista que se respiraba enla zona norte de Alemania. Esto les forz a adaptarse a un nuevo entorno,


10 Werke VIII, 201; citado en Ferreirs [1999], 15. En el lenguaje y las categoras queemplea en estas reflexiones, queda patente la influencia de Kant sobre Gauss, quien haba ledo

sus obras con detenimiento en sus aos mozos.11 Cf. Forman [1971].


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enemigo de algunos de los rasgos que clsicamente haban definido al mate-mtico. En el siglo XVIII, la palabra matemtico tena ciertas resonanciasnegativas: se refera a un practicn, un tcnico, y sufra as la carga negati-va que la tradicin occidental vena otorgando a todas las cosas corpre-

as frente a las del alma. Como en la tradicin antigua y medieval, todauna serie de temas mixtos o aplicados se consideraban partes de la mate-mtica. Abramos un manual de aquel entonces, por ejemplo el de TomsVicente Tosca, y encontraremos captulos enteros dedicados a fortificacio-nes, balstica, etc. Esto contrasta mucho con lo que se poda encontrar enlas universidades prusianas hacia 1850, porque aqu se haba efectuado unadepuracin, separando la matemtica pura nica digna de representacinen la Universidad neohumanista de los temas tecnolgicos y aplica-dos.12 Estos tuvieron que encontrar acomodo en otros lugares: otrosmanuales, otras revistas (no la de Crelle), otras instituciones (las TechnischeHochschulen, no las Universidades).

Tal fue el espritu que anim a la reforma acadmica del XIX en Alema-nia y el contexto en el que los matemticos se convirtieron en un grupoimportante de profesionales investigadores. Si pensamos por un momentoen los efectos de semejante reforma, comprenderemos que los matemticosno podan integrarse plenamente en la universidad sin adaptar su actividady su escala de valores al patrn imperante. Tngase en cuenta, especial-mente, que en aquella poca el lugar de la matemtica y todas las cienciasno era otro que la Facultad de Filosofa, un entorno institucional especial-

mente refractario a todo lo que fuera utilitario o ingenieril.13

Esto nos dauna clave para entender mejor el discurso inaugural que Gauss dio en 1808.Los matemticos tenan que estar a la altura de las expectativas neohuma-nistas, platonizantes, tenan que probar que su ciencia mereca la dignidadde figurar entre las disciplinas contemplativas de la Facultad de Filosofa.

El proceso de adaptacin al nuevo entorno impuls a los matemticos asuprimir y abandonar aquellos aspectos de su actividad que haban estadoasociados a actividades tcnicas y profesionales (recogidos por los ingenie-ros y los profesores de Escuelas Tcnicas), para centrarse en el cultivo cadavez ms exclusivo de problemas puramente matemticos, de los aspectos

teorticos y contemplativos de su disciplina. Para cuando lleg el tiempo(mediados de siglo) en que la versin puramente romntica del Neohuma-nismo comenz a declinar y a combinarse con nuevas tendencias culturales,como el positivismo, la reorientacin purista haba tomado tanto impulso yse haba institucionalizado de tal modo, que su continuidad qued asegura-

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12 La separacin se apunta ya en autores de fines del XVIII como Kant, lo cual favorece ala tesis que presento.

13 Buena muestra de ello son las dificultades que encontraron los qumicos de Prusia para

instalar laboratorios y conseguir financiacin para ellos. Vase Turner [1982] y tambin Jung-nickel & McCormmach [1986].


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da hasta el punto de expandirse a otros pases. El Neohumanismo es unatendencia cultural que no slo fue anterior al idealismo absoluto, sino tam-bin posterior a l: su impacto result muy profundo y perdur a travs decambios notables en la configuracin del ambiente intelectual alemn (posi-

tivismo, neo-romanticismo, modernismo, historicismo).Ahora bien, el proceso que he descrito no debe interpretarse en trminos

causales y unidireccionales, al gusto de los partidarios de la construccinsocial de la ciencia. Si la orientacin purista triunf, fue porque el cuerpodel conocimiento matemtico previamente disponible ofreca material msque suficiente para suministrar problemas concretos y estimular refunda-ciones y reorganizaciones. Adems, la versin triunfante de la matemticapura fue el resultado de un proceso de negociacin, no entre actoressociales, sino entre los matemticos promotores del purismo acadmico ylas posibilidades y necesidades que ofreca el cuerpo de las matemticas.Tambin en este sentido fue de capital importancia la figura de Gauss, porsu extraordinaria capacidad matemtica y creativa, unida a una notablesensibilidad filosfica. Tan puristas como Gauss fueron autores como Hin-denburg y Martin Ohm, hermano del clebre fsico; si el nombre del prime-ro se hizo mtico, mientras los otros dos eran cada vez ms ridiculizados, espor factores que desbordan el escenario social y cultural, por factores quecabe llamar cognitivos.

4. Georg Cantor: el organicismo en los orgenes de la teora de conjuntos

Tambin la obra de Cantor se entiende mucho mejor en el contexto intelec-tual, cientfico y filosfico de su tiempo, pero en este caso hablamos de lainfluencia de ciertas corrientes post-idealistas, y de manera especial lainfluencia del organicismo. Resulta difcil desentraar la trama de las inspi-raciones de Cantor, porque este hombre creativo y muy original elabor unafilosofa propia a la medida de sus creencias pero tambin de sus matem-ticas, y, a la inversa, forj una matemtica nueva a la medida de su filoso-

fa y sus convicciones ontolgicas y cientficas. Veamos de qu se trata.Lo primero que hay que decir y es una tesis polmica, pero que puedoargumentar en detalle sobre la base un prolongado estudio de la obra deCantor14 es que la dedicacin de Cantor a problemas de la teora de con-juntos de puntos y la teora de conjuntos transfinitos no se puede explicarsatisfactoriamente teniendo en cuenta slo los grandes problemas abiertos en


14 Vase mi artculo The motives behind Cantors set theory Physical, biological and phi-losophical questions, de prxima publicacin en el Festschrift para Sabetai Unguru que edita-

r la revista Science in Context. Para una exposicin de las ideas de Cantor y sus motivacio-nes estrictamente matemticas puede verse mi libro Ferreirs [1999].


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Fig. 1. En La contienda entre las

Facultades (1798), Kant reivindi -

c la autonoma de la filosofa y

las ciencias respecto al Estado y a

la educacin profesional. Sumoderado nfasis en la razn, la

libertad, la verdad y la ciencia

tena, aun as, implicaciones sub -

versivas.

Fig. 2. Retrato de Carl F. Gauss a

la edad de 26 aos (1 803) ,

momento en que ya gozaba de

gran fama como matemtico y

astrnomo.


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Fig. 3. En sus Fundamentos para

una teora general de conjuntos

(1 8 8 3), Cantor introduce los

nmeros transfinitos y con ello da

el paso hacia la teora abstracta

de conjuntos. Se trata de una de

sus principales contribuciones,

mezcla extraordinaria (como

indica el subttulo) de matemti -

ca, ciencia y filosofa.

Fig. 4 Carta manuscrita de Can -tor a otro profesor de Halle, Frie -

drich Loos, en la cual alaba la

obra de ste y critica fieramente

los ataques de Haeckel famoso

evolucionista que formul una

doctrina monista de cort e

materialista a la metafsica y la

religiosidad tradicional.


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la matemtica de su tiempo. Como dijo Poincar (un claro simpatizante) en1883, eran desarrollos prematuros para el estado de la matemtica en aquelmomento, o, como haba dicho su maestro Hermite, eran resultados para losque no se vea ningn inters real y presente. La teora de conjuntos de Can-

tor pertenece sin duda a la matemtica pura, y en este sentido nuestro hom-bre estaba plenamente inserto en la direccin que hemos visto inaugurar aGauss. Pero, contra lo que parece a primera vista, la motivacin tras esa teo-ra no era puramente matemtica. Haba grandes motivos matemticos, sinduda, pero haba tambin otros motivos cientficos y filosficos de peso.

Para advertirlo, basta con atender a lo que nos dice el propio Cantor ensu artculo ms importante, Grundlagen einer allgemeinen Mannichfaltig -keitslehre [Cantor 1883]. Conviene resaltar que este artculo es sumamentepeculiar, una pieza nica en la historia de la matemtica moderna por la ricay compleja mezcla de elementos matemticos y filosficos que ofrece. Can-tor lo public enseguida como libro, y le puso por ttulo Fundamentospara una teora general de conjuntos. Una investigacin matemtico-filos-fica sobre la teora del infinito. En esta obra es donde introdujo los cle-bres nmeros transfinitos, que sirven para el anlisis abstracto de los diver-sos tipos de conjuntos bien ordenados y de sus cardinalidades. El paso eraradical, y Cantor se sinti obligado a defenderlo de manera especial en elfrente filosfico, respondiendo a las viejas crticas de Aristteles, de losescolsticos y de muchos otros filsofos, replicando a las nuevas crticas deKronecker, y exponiendo ciertas tesis epistemolgicas y metafsicas que rela-

ciona explcitamente con los sistemas de Platn, Spinoza y Leibniz.Por primera vez en su carrera, Cantor hizo confesin pblica de convic-ciones filosfico-cientficas que albergaba desde diez o ms aos antes.15 Enlos Grundlagen [1883, 8, 181182] abraz una combinacin de realismoe idealismo (estos dos tipos de realidad [inmanente o ideal y transiente oexterna] siempre se dan a la vez) cuyo fundamento sita en la unidaddeltodo al que nosotros mismos pertenecemos y que basa en ideas teolgicasinspiradas por Spinoza, Leibniz y los telogos catlicos y en una episte-mologa de inspiracin neoplatnica. No se piense que la conexin entreestos elementos y sus matemticas es forzada o extrnseca: Cantor discuta

lo que acabamos de indicar en la seccin 8 de la obra, dedicada precisa-mente a justificar la metodologa propia de la matemtica moderna. Utilizaesas ideas especulativas precisamente para defender una idea clave queluego hara famosa Hilbert: que en relacin a los objetos matemticos, paraconsiderarlos legtimos y existentes, basta con que estn bien definidos yque formen un sistema lgicamente consistente (o sea, basta su realidadinmanente o ideal, vase arriba).

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15 Ya durante su carrera y tras el doctorado en teora de nmeros (1867) estudi muy a

fondo la filosofa de Spinoza, y de nuevo en el invierno de 187172, cuando escriba sus art-culos ms famosos sobre anlisis matemtico (series de Fourier).


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Pero el pasaje que nos interesa ms, por las revelaciones que ofrece apropsito de las motivaciones de la teora de conjuntos cantoriana, seencuentra algo antes, al final de la seccin 5 de su escrito. Aqu manifiestaCantor su esperanza en que los nuevos mtodos de la teora de conjuntos

contribuyan a resolver las dificultades que encontraron los sistemas de Spi-noza y Leibniz, poniendo de nuevo en pie su aproximacin a la realidad fsi-ca y mental. Dichas dificultades, contina, condujeron a la filosofa crticade Kant, pero ni esta doctrina ni sus sucesoras han logrado dar un sustitu-to adecuado a las teoras de Spinoza y Leibniz. Cito ahora textualmente:

Pues junto a (o en lugar de) la explicacin mecnica de la Naturaleza que ensu dominio propio ha contado con todas la ayuda y las ventajas del anlisismatemtico, pero cuya unilateralidad e insuficiencia han sido expuestas mag-nficamente por Kant, no ha habido hasta ahora ni siquiera el inicio de una

explicacin orgnica de la Naturaleza, que tratara de ir ms all y que estu-viera armada con idntico rigor matemtico. Una tal explicacin orgnicaslo podr iniciarse, segn creo, retomando de nuevo y desarrollando la obray los esfuerzos de aquellos dos pensadores.16

La crtica al mecanicismo se haca ms explcita en una carta de 1886 a Val-son,17 donde Cantor llegaba a afirmar que la gran obra de Newton, Princi -

pia, se haba convertido en la causa real del positivismo y el materialismoactuales, que se han convertido en una especie de monstruo y se pavoneancon el brillante ropaje de la ciencia. Y ello, a pesar de las buenas intencio-

nes del propio Newton, pero a causa de los graves defectos metafsicos ylas perversiones de su sistema.Dos aos antes, en 1884, Cantor haba confesado a Mittag-Leffler el

influyente matemtico sueco que fund la gran revista Acta Mathematicaque desde 1870 vena trabajando en el proyecto de una profundizacinrigurosa en la esencia de todo lo orgnico, lo que haba requerido la crea-cin de herramientas matemticas completamente nuevas: la teora de con-juntos.18 Precisamente entre 1882 a 1885, aos clave por la riqueza y pro-fundidad de las nuevas ideas que public, Cantor elabor algunas hiptesissobre la constitucin de la materia y del ter, explotando su nuevo anlisis

conjuntista del continuo, e introduciendo ideas novedosas en teora de con-juntos de puntos. Su pretensin era desarrollar una gran teora unificada delas fuerzas fsicas y qumicas, con vistas a aplicarla al reino biolgico y asavanzar en el proyecto organicista.

Estas hiptesis, publicadas en un artculo que apareci en Acta Mathe -matica en 1885,19 se nos antojan hoy muy pintorescas. Convencido de que


16 Cantor [1883], 177.17 Francs que, significativamente, era autor de biografas de Ampre y Cauchy. La carta,

sin fecha, aparece en Purkert & Ilgauds [1987], 208209.18 Carta del 22 Sep. 1884, en Cantor [1991].


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una teora satisfactoria de la Naturaleza deba partir de elementos simplesde la materia y el ter, rigurosamente puntuales y dados en nmero infini-to, Cantor postulaba por ejemplo que el conjunto de elementos corpreoses enumerable (del tamao del infinito ms pequeo, 0 en la conocida

notacin de 1895) mientras que el conjunto de los elementos que forman elter tiene la cardinalidad del continuo (la segunda cardinalidad infinita, 1,segn la clebre Hiptesis del Continuo). Pero aqu no podemos entrar enun anlisis detallado de estas ideas. Lo que ms nos interesa es que esascuestiones tenan, segn Cantor, ramificaciones en la explicacin de losfenmenos orgnicos. Un ejemplo lo da en carta al filsofo y psiclogoWundt de octubre de 1883: el conjunto de todas las clulas orgnicas quehay en el cosmos en un tiempo dado es infinito y precisamente enumera-ble, esto es, de la cardinalidad 0.

20 Efectivamente, sobre la base de ciertossupuestos, que para Cantor eran obviamente correctos, este resultado debiologa matemtica se reduce a un teorema de la teora de conjuntos depuntos que haba publicado en 1882.

Las hiptesis fsicas que hemos mencionado y sus aplicaciones biolgi-cas quedaron sin desarrollo, infructuosas. Lo ms interesante de ellas es pre-cisamente la nueva luz que arrojan sobre las motivaciones extra-matemti-cas que guiaron a Cantor en su extraordinaria investigacin del continuo yel infinito. El contexto de las especulaciones organicistas de Cantor ayudaa entender cmo se plante y logr demostrar ciertos resultados muyimportantes en la poca ms creativa de su carrera. Me limitar a mencio-

nar algunas que aparecen a una luz nueva, como el mencionado teorema de1882 sobre la cardinalidad de los conjuntos de infinitos subdominios sininterseccin en el espacio R3, o el teorema del mismo ao sobre movimien-to continuo en espacios lacunarios a los que se ha sustrado un conjuntoinfinito enumerable de puntos.21 Tambin las condiciones que estableceCantor en su definicin abstracta de conjunto continuo publicada en1883, para la adecuacin de la misma, resultan ms comprensibles tenien-do en cuenta su intencin de aplicar el concepto al mundo biolgico. Y lapropia va por la que Cantor lleg a su conjetura ms famosa, la Hiptesisdel Continuo durante dcadas el primer motor de la teora de conjuntos,

emerge a una luz nueva.Juzgada a la distancia, con la perspectiva que dan muchas dcadas, lateora de conjuntos fue un puntal muy importante en la consolidacin ypotenciacin de la nueva matemtica pura y abstracta. En este sentido, setrat de un avance ms en la senda de la nueva profesin matemtica uni-versitaria que hemos visto iniciarse con Gauss. Pero no slo Cantor contri-

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19 Abhandlungen, 275276. Vase tambin la carta a Mittag-Leffler en Purkert & Ilgauds[1987], 203205.

20 Cantor [1991], 142.21 Vase el artculo de 1882 en Abhandlungen, 139144.


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buy al desarrollo del enfoque conjuntista, y en otros casos notablementeel de Dedekind las motivaciones para el empleo de los conceptos y mto-dos conjuntistas fueron en buena medida intra-matemticas y puristas.22 Entodo caso, creo inevitable la conclusin de que en el caso de Cantor las

motivaciones matemticas se conjugaron y entrelazaron de un modo rico ysorprendente con otros motivos filosficos, fsicos y biolgicos.

5. El organicismo de Cantor en su contexto histrico

Si observamos estas motivaciones extra-matemticas de Cantor y tratamosde describirlas en general, nos encontramos con caractersticas como lassiguientes: la bsqueda de una concepcin orgnica de la Naturaleza, con-trapuesta al mecanicismo; el inters por conciliar la teora cientfica conconvicciones metafsicas y teolgicas asociadas al cristianismo, a Spinoza ya Leibniz; y, en la vertiente negativa, el horror frente al positivismo, el sen-sualismo, el escepticismo, y sobre todo el materialismo. Todos ellos son ras-gos caractersticos de corrientes culturales del siglo XIX, y reflejan buenaparte de los debates y las polmicas intelectuales y existenciales de aqueltiempo. Vemoslas en contexto.

Las convicciones idealistas de Schelling y Hegel, que haban llenado deentusiasmo a los jvenes universitarios alemanes durante los aos 1820 y

1830, fueron perdiendo terreno por una compleja combinacin de factores.Entre ellos podemos mencionar los triunfos de la fsica matemtica y lanueva qumica, pero tambin el conservadurismo poltico de Hegel en unapoca revolucionaria, y no en ltimo lugar el giro materialista que impri-mieron a su filosofa los que (con Feuerbach y Marx) quisieron corregirdicho conservadurismo invirtiendo la dialctica hegeliana. Las dcadasintermedias del XIX fueron un momento de cientificismo y positivismo, peroen Alemania result especialmente notable la polmica en torno al materia-lismo de Carl Vogt y otros. Este materialismo vulgar, como lo llamMarx, era hijo por un lado de la nueva ciencia (muy especialmente la fisio-

loga mecanicista cultivada en Berln) y por otro de los movimientos pol-ticos revolucionarios.23

Los burgueses profesores de Universidad, educados en la tradicin reli-giosa y en el culto romntico al espritu, y bien establecidos como funcio-narios intelectuales en la sociedad de la poca, se enfrentaron horroriza-dos a aquellos materialistas que hablaban del pensamiento como unasecrecin del cerebro y que pretendan contribuir a la subversin del


22 Si exceptuamos aspectos ms epistemolgicos ligados al proyecto logicista: cf. Ferreirs

[1999].23 Cf. Gregory [1977].


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orden social. En este ambiente tan caldeado tuvo lugar la primera recepcindel darwinismo en Alemania, durante los aos 1860, precisamente cuandoestudiaba el joven Cantor.24 Ernst Haeckel fue el bilogo que ms se hizonotar como defensor del darwinismo y hostigador de las ideas tradiciona-

les. En un escrito muy posterior, de 1900, Cantor habla de los desvergon-zados ataques de Haeckel a la Cristiandad y felicita a un colega de su Uni-versidad por la publicacin de su Anti-Haeckel.25 Esos ataques desver-gonzados, fanticamente materialistas y evolucionistas, haban empezadojustamente en los aos 1860.

Resulta muy tentador suponer que los proyectos filosfico-cientficos deCantor estuvieron marcados por la experiencia de aquella atmsfera intelec-tual tan inflamable que vivi en sus aos de estudiante.26 Si es as, su reac-cin frente a la metafsica radical y la poltica socialista del materialismo fuebastante tpica de la burguesa y el profesorado alemanes. Lo atpico es laseriedad y la radicalidad, dignas de un filsofo, con las que Cantor empren-di la tarea de elaborar una nueva concepcin matemtico-cientfica delmundo fsico y biolgico. Pero hay algo ms: Cantor pudo encontrar en sumismo entorno intelectual, en las Universidades y las clases a las que asisti,muchos temas clave que inspiraron sus reflexiones filosfico-cientficas.

Hacia 1860, en la situacin polmica (marcada por las crticas al idea-lismo y las amenazas del materialismo) que hemos descrito brevemente,algunos filsofos reaccionaron en vena romntica tarda, replanteando pro-blemas que haban sido tratados por filsofos como Kant y Schelling, pero

con variaciones inspiradas en los viejos autores Spinoza y Leibniz, los maes-tros del racionalismo especulativo tantas veces mencionados por Cantor.Cantor asisti a los cursos de dos de estos filsofos: en Berln, las clases deF. A. Trendelenburg, notable por sus ideas de filosofa poltica y sus traba-jos como historiador; en Gttingen, las lecciones de Hermann Lotze, recor-dado sobre todo por haber introducido la filosofa de los valores. Hemosvisto antes que Cantor defenda en 1883 una combinacin de idealismo yrealismo, y precisamente las amalgamas de este tipo fueron caractersticasde los filsofos tardorromnticos que trataron de superar a un tiempo elidealismo absoluto y el materialismo.

Ante todo, hay que decir que el debate sobre el mecanicismo era un temacapital de la filosofa alemana desde que fuera tratado por Kant en su doc-trina del juicio teleolgico contenida en la Kritik der Urtheilskraft(1790). Como Leibniz mucho antes,27 Kant quiso conciliar el orden mec-

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24 Buen testimonio de la ideologa y sentimentalidad de Cantor en esta poca lo dan las car-tas que escribi a su padre, cf. Dauben [1979].

25 Carta a F. Loos, profesor de historia de la iglesia en Halle, en Meschkowski [1983],292293.

26 Pero debo confesar que no he encontrado evidencia histrica directa para esta suposi-

cin. Lo mejor que encontramos es evidencia indirecta, como la citada carta de 1900 o lasdeclaraciones de los aos 1880 que he citado en la seccin anterior.


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nico de las cosas corpreas con un orden teleolgico del mundo de lasalmas. En su opinin, slo la consideracin mecnica es objetiva, aunque esradicalmente incompleta, mientras que la concepcin teleolgica slo puedeser subjetiva, pero incorpora un ingrediente ideal que es imprescindible a la

razn humana. Poco despus, Schelling defendi la tesis especulativa de queAlma y Naturaleza son idnticas, de modo que el alma es naturaleza inte-rior y la naturaleza alma exteriorizada. Como corolario de esta doctrinapresent la idea de que el enfoque mecnico, identificado para entonces conel nombre de Newton, era necesariamente incapaz de dar cuenta de losfenmenos orgnicos, y no slo de ellos, sino tambin de los fsicos y qu-micos. Se impona con esto la necesidad de avanzar hacia una concepcinorgnica de la Naturaleza.

Vemos que las preocupaciones de Cantor tienen orgenes en la filosofaalemana del cambio de siglo, pero conviene advertir que esos temas habansido retomados de varios modos por quienes fueron sus maestros de filoso-fa. Cantor asisti a diversos cursos de Trendelenburg, influyente filsofo queestaba profundamente influido por el tesmo y la tica de Spinoza. Trende-lenburg defenda una cosmovisin orgnica [organische Weltanschauung]postulando un paralelismo entre lo fsico y lo mental, dominados ambos porla finalidad y el pensamiento creativo. Esto recuerda un tanto a la filoso-fa de Schelling, aunque renunciando al postulado de identidad schellingianopara volver a un mero paralelismo ms en lnea con Spinoza y Leibniz. Perola principal diferencia de facto es que Trendelenburg renunci completamen-

te a influir en el terreno cientfico: su organicismo no pretenda ser biol-gico o cientfico, sino que fue ms bien una cosmovisin religiosa.28

Durante un semestre que pas en Gttingen, Cantor tuvo tambin oca-sin de escuchar al gran filsofo Lotze, que haba ofrecido ideas relevantessobre todo en su famoso libro Microcosmos. Es muy digno de nota queLotze era mdico, y como tal fue el primer promotor pblico del mecani-cismo fisiolgico, que segn vimos se cuenta entre las influencias delmaterialismo de Vogt y otros. Pero en su filosofa recogi las enseanzas deLeibniz y Kant,29 e intent mostrar cmo el reinado omnipresente de lascausas mecnicas est estrictamente subordinado a la teleologa: la causali-

dad y el mecanicismo son los fieles siervos encargados de realizar las ideasespirituales que circundan y dan fundamento a todos los fenmenos natu-rales. Se ha dicho de la filosofa de Lotze que es una modificacin espino-zista del leibnizianismo, lo que no deja de resultar significativo en el con-


27 Pero eliminando un supuesto tan especulativo de Leibniz como el de la armona perfec-ta. La insistencia en los lmites es el elemento escptico que quisieron superar los idealistasy que segua poniendo tan nervioso a Cantor: probablemente nunca se ha hecho ms pordesacreditar la razn humana y sus facultades, escribi en referencia a las Antinomias de laKritik der reinen Vernunft.

28 Como la llam otro discpulo suyo famoso, Dilthey, en una recensin de 1860.29 Aunque abandonando Lotze las restricciones crticas tan esenciales en su filosofa.


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texto de nuestra historia, aunque el recurso a este tipo de etiquetas noayuda en nada a la comprensin filosfica.

Como vemos, Cantor encontr en las Universidades a las que asisti, yprobablemente en las discusiones intelectuales de sus aos mozos, los temas

clave que inspiraron sus reflexiones filosfico-cientficas. A travs de Tren-delenburg se encontr con Spinoza, a travs de Lotze con Leibniz; comobuen estudiante y serio aprendiz de filsofo, no se content con conoceresas ideas de segunda mano, sino que dedic gran parte de su tiempo a leerdirectamente a los maestros del XVII, y de este modo pudo avanzar haciaideas originales. Como habra dicho Marx, las filosofas de Trendelenburgy Lotze (para lo que nos interesa aqu, y sin negar su posible inters en otrosaspectos) no eran ms que reacciones ideolgicas de la burguesa alemanafrente a las amenazas del materialismo y el socialismo. Cantor quiso ir msall, quiso ser el Newton del organicismo: desarrollar la herramienta con-ceptual y matemtica necesaria (como hizo Newton con el clculo infinite-simal) y proceder a su aplicacin cientfica.

Cantor no sigui a Trendelenburg en su resignacin a no hablar delmundo fsico, para centrarse en lo psicolgico, la moral y la poltica; tam-poco sigui a Lotze en su resignacin a aceptar el triunfo del mecanicismoen el terreno cientfico. Quiso, como Schelling, elaborar un organicismo queentrara plenamente en la discusin cientfica, y que complementara o inclu-so reemplazara al mecanicismo. Pero, a diferencia de Schelling, intenthacerlo con todo el rigor conceptual y metdico de las matemticas: aban-

don la lgica dialctica y profundiz en el concepto matriz del continuoy en el estudio de los conjuntos de puntos y el infinito. Sus logros matem-ticos son evidentes, y no tienen nada que envidiar a un Newton. Pero en lorelativo al aprovechamiento cientfico de esos logros se qued muy lejos desus altas expectativas.

6. Conclusin

Los dos casos que hemos analizado son muy distintos entre s, pero ambosmuestran maneras en que el contexto cultural, intelectual y social puedecontribuir de modo importante a conformar la investigacin matemtica o,ms en general, cientfica.

El ejemplo de Gauss nos ensea cmo los ideales culturales y educativosdel Neohumanismo tendencia inaugurada por fillogos, poetas e historia-dores, pero tambin por filsofos como Kant dejaron una huella muy pro-funda en la concepcin de la ciencia propia de la Alemania decimonnica.Actuaron nada menos que redefiniendo el ethos de la ciencia y los valorescaractersticos de semejante empresa, en un proceso que afect a la profe-

sionalizacin de los matemticos y, con ello, a la orientacin de toda unadisciplina. (Proceso que, por cierto, no cabe en el esquema de las revolucio-

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nes cientficas de Kuhn, ya que los cambios valorativos de que hablamos novinieron inducidos por un cambio de paradigma interno a la disciplina,sino por transformaciones institucionales que afectaron a todo el conjuntode las disciplinas cientficas).

El caso de Cantor nos plantea la influencia de una problemtica cientfi-co-filosfica de corte tardorromntico, que buscaba superar el materialismoy lograr una comprensin organicista del universo, como motivacin impul-sora de su extraordinario trabajo sobre el infinito y el continuo. Entinda-se bien que tambin existieron motivaciones puramente matemticas, muyimportantes y profundas, pero la cuestin es que stas no bastan, por ssolas, para entender el desarrollo de las ideas cantorianas (como tampocobastaran las motivaciones filosfico-cientficas por s mismas).

Una leccin comn, central en conexin con los temas de reflexin pro-puestos para el congreso Ciencia y Romanticismo, es que las simplifica-ciones de manual difcilmente ayudan a entender el curso de la historia y susmeandros. El Romanticismo fue un movimiento amplio, complejo y con-tradictorio, como probablemente todos los movimientos culturales. Nosupuso la muerte de la Ilustracin, ni se entiende bien en trminos de for-maciones culturales excluyentes y absolutamente dominantes, de un Zeit -

geisto una esencia inmutable. Desborda por delante, por detrs y por losflancos al idealismo filosfico, no slo en otros contextos nacionales, sinotambin en la misma Alemania. Por delante hemos encontrado una nuevatendencia cultural, intelectual y educativa como fue el Neohumanismo, hija

de la Ilustracin en cierto sentido, pero madre del Romanticismo en otro.Por detrs, nos hemos topado con las polmicas del positivismo y el mate-rialismo, y con reacciones filosficas que caen bajo rtulos como los depost-romanticismo y organicismo.30

Para terminar, no quiero dejar de sealar una diferencia muy importan-te entre el argumento acerca de la teora de conjuntos y el otro argumentoestilo Forman. La historia que he contado a propsito de Cantor podraperfectamente encorsetarse en la vieja idea filosfica de un contexto dedescubrimiento que no afecta al proceso de recepcin, justificacin yposterior desarrollo. Slo factores extra-matemticos como los indicados

nos pueden ayudar a entender por qu surgi la teora cantoriana en ladcada de 1880, y no bastante despus. Pero el impulso organicista muricon el propio Cantor: la teora de conjuntos de la dcada de 1900 no esta-ba en absoluto marcada por las seales de ese nacimiento.

En el caso del Neohumanismo y el ethos de la ciencia alemana, la situa-cin es muy distinta: esto no puede reducirse a un mero contexto de descu-brimiento sin grandes repercusiones ulteriores, porque estamos hablando defactores que determinaron en buena parte a la disciplina matemtica tal


30 Por los flancos, podramos haber hablado de Herbart y Riemann vase Ferreirs[2000] o tambin de Fries y los cientficos que le siguieron.


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como la hemos conocido. Si estoy en lo cierto, el impacto de aquella ten-dencia en la conformacin de la profesin matemtica fue muy profundo,como lo fue ms en general en todo el contexto de la Universidad alemana,su ideal de la ciencia pura y su redefinicin de las disciplinas cientficas fun-

damentales. El rastro de ese impacto puede seguirse a lo largo de muchasdcadas, hasta llegar al enorme cataclismo cultural e institucional que supu-so la poca nazi. Por muchas dcadas ha afectado a la produccin, la recep-cin y la transmisin del conocimiento matemtico.

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Del Neohumanismo Al Organicismo- Ferreiros

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